1.6 Stone-Cech Kompaktlamanın Bir Baska Insası

16
1. Stone Cech Kompaktlama
1.6
Stone-Cech Kompaktlamanın Bir Başka Inşası
Tümüyle düzenli her uzayın homeomorfik olarak tek bir kompakt uzayın içerisine
Cb -gömülebilir olduğu kanıtlanmıştı. Yani X tümüyle düzenli uzay ise öyle bir
kompakt Hausdorff uzay K vardır ki, X uzayı K uzayının yoğun bir altuzayına
homeomorfik (aluuzay olarak varsayabiliriz!) ve
π : Cb (X) → C(K), π(f ) = f |X
fonksiyonu örtendir. K uzayı, X uzayının Stone-Cech kompaktlaması olarak
adlandırılmış ve βX ile gösterilmişti.
Bu bölümde Stone-Cehc kompaktlamanın varlığı z-ultrafiltreler terimiyle
gösterilecek. Bu gösterimin avantaji, Tychnoff Teoreminin kullanılmamasıdır.
Túmüyle düzenli X uzayında her x ∈ X için
Ax = {Z(f ) : x ∈ Z(f )}
olarak tanımlanmıştı. Ax , X uzayında bir z-ultrafiltredir ve x noktasına yakınsır.
X uzayının kompakt olması için gerekli ve yeterli koşul X uzayının her zultrafiltresinin Ax formunda olması (Teorem ???) nedeniyle, X uzayı kompakt
değilse X uzayında Ax -formunda olmayan z-ultrafiltreler vardır.
Teorem 1.15. 3 X tümüyle düzenli uzay olsun. X uzayında tanımlı z-ultarfiltrelerin
kümesin K ile gösterlim. Her Z ∈ Z(X) için
[Z] = {p ∈ K : Z ∈ p}
olarak tanımlıyalım. K, kapalı kümeler tabanı
K = {[Z] : Z ∈ Z(X)}
olan bir topolojik uzaydır. Üstelik bu topolojik uzay X uzayının Stone-Cech
kompaktlaması βX uzayına homeomorfiktir.
Kanıt: K kümesinin sonlu arakesit kapalı olduğu açıktır. Ayrıca
K = [Z(0)] ∈ K
olur. Dolayısıyla K kümesi kapalı kümeler tabanı olarak K’yı topolojik uzay
yapar. Aşağıdaki adımlar sonucu kanıt tamamlanacaktır.
ϕ : X → K, ϕ(x) = Ax
olarak tanımlıyalım. X tümüyle düzenli olduğundan π fonksiyonu birebirdir.
(i) X uzayı K uzayının altuzayına homeomorfiktir: Her Z ∈ Z(X) için
3
Gilman ve Jerison’nın ”Rings of Continuous Functions” kitabından alınmıştır.
1.6. Stone-Cech Kompaktlamanın Bir Başka Inşası
17
ϕ(Z) = ϕ(X) ∩ [Z] ve ϕ−1 ([Z]) = Z
olduğu barizdir. X uzayını kapalı kümeler tabanının Z(X) ve K uzayının
kapalı küme tabanı K olmasından dolayı X uzayı ve K uzayının ϕ(X)
altuzayı homeomorfiktir.
(ii) Her Z ∈ Z(X) için [Z] = ϕ(Z) olur:
ϕ(Z) = [Z] ∩ ϕ(X) ⊂ [Z]
ve [Z] kapalı olduğundan
ϕ(Z) ⊂ [Z]
0
0
olur. Z ∈ Z(X) sıfır kümesi ϕ(Z) ⊂ [Z ] özelliğinde olsun.
0
0
ϕ(Z) ⊂ [Z ] ∩ ϕ(X) = ϕ(Z )
0
0
olmasından Z ⊂ Z ve dolayısıyla [Z] ⊂ [Z ] olur. Buradan da
0
[Z] ⊂ ϕ(Z) = ∩ϕ(Z)⊂[Z 0 ] [Z ]
olur. Böylece isenilen göstreilmiş olur.
(iii) K uzayının ϕ(X) altuzayı yoğundur:
ϕ(X) = Z(0) = [Z(0)] = [X] = K.
(iv) Her Z1 , Z2 ∈ Z(X) için Z1 ∩ Z2 = Z1 ∩ Z2 olur: Bariz.
(v) K Hausdorff uzaydır: K uzayında F1 6= F2 olsun. F1 6⊂ F2 olduğunu
varsayabiliriz. Bu durumda
A ∈ F1 , A ∈ F2 ve A ∩ B = ∅
özelliğinde sıfır kümeler A ve B vardır. Bu kümeler tümüyle ayrılabilir
kapalı kümeler ve X tümüyle düzenli olduğundan
0
A⊂X \Z ⊂Z ⊂X \B
0
0
özelliğinde Z, Z ∈ Z(X) sıfır kümeleri vardır. Z ∪ Z = X olduğundan
Z ∪ Z 0 = K olur. Ayrıca
F1 ∈ K \ Z, F2 ∈ K \ Z 0 ve (K \ Z) ∩ (K \ Z 0 ) = ∅
18
1. Stone Cech Kompaktlama
olduğu kolayca görülebilir. K uzayının Hausdorff olduğu gösterilmiş olur.
(vi) K uzayı kompaktır:
B = {Z(fi ) : i ∈ I}
0
kümesinin sonlu arakesit özelliği olsun. Her Z, Z ∈ Z(X) için Z ∩ Z 0 =
Z ∩ Z 0 olduğundan
0
B = {Z(fi ) : i ∈ I}
0
kümesinin de sonlu arakesit özelliği vardır. Teorem ??? gereği B ⊂ F
özelliğinde z-ultrafiltre F vardır.
F ∈ ∩Z∈F Z ⊂ ∩B
olduğundan
∩B 6= ∅
olur. K kümesinin K uzayının kapalı tabanı olduğundan K uzayının
kompakt olduğu gösterilmiş olur
(vii) X uzayı K uzayına Cb -gömülebilir: K tümüyle düzenli olduğundan (iv)
ve Teorem ??? gereği istenilen elde edilir.
Banach-Stone Theoremi gereği K uzayı βX uzayına homeomorfiktir.
Alıştırmalar
|X|
1.9. X 4 sonzuz bir küme olmak üzere ayrık topoloji ile donaltılsın. |βX| ≤ 22
olduğunu
gösteriniz.
1.10. X tümüyle düzenli uzay ve F, X uzayında z-ultrafiltre olsun. Küme kapsama sıralamasına
göre tanımlan
({Ax : x 6∈ Z})Z6∈F
netinin, βX uzayında F’ye yakınsadığını kanıtlayınız.
1.11. X, tümüyle düzenli K uzayının yoğun altuzayı olsun. K ⊂ βX olması için gerekli ve
yeterli koşulun βK = βX olmas—i gerektiğini gösteriniz.
1.12. X tümüyle düzenli uzay ve f ∈ Cb (X) verilsin. f β , f ’nin βX uzayına sürekli genişlemesi
ise her F ∈ βX için
f β (F) = inf Z∈F sup f (Z) = supZ∈F inf f (Z)
olduğunu gösteriniz.
4
Fazlasıda doğru: |βX| = 22
|X|
.