dayanıklı kontrol

Transkript

dayanıklı kontrol

Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya
DAYANIKLI KONTROL
261
Sabit Dereceli Dayanıklı H∞ Kontrolcü Tasarımı
Gökhan Akça1 , Akın Delibaşı2
1,2
Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bölümü, Elektrik-Elektronik Fakültesi
Yıldız Teknik Üniversitesi, Davutpaşa Kampüsü, Esenler, İstanbul
{[email protected] , [email protected] }
Özetçe
şekilde aşılmaya çalışılmıştır. Bunlar; iç konveks yaklaşım
[5] ve dış konveks yaklaşım [6]. Ancak dış konveks yaklaşım
problemin çözümüne ait sadece gereklilik şartını sağlamaktadır,
dolayısıyla performansın sağlanması garanti edilemez. İç
konveks yaklaşımda ise alt çözüm kümelerinde kalmasına
karşın performansın gerçeklenmesi garanti edilebilmektedir.
İşte bu gerçeklikten ötürü yapılan çalışmalarda iç konveks
yaklaşımların değeri daha çok artmıştır. Düşük dereceli kontrolcü tasarımı için S. Wang ve J. H. Chow 2000 yılındaki
çalışmalarında sürekli zamandaki sistemler için kesin pozitif
reel fonksiyonlar üzerinde aralarında asal çarpanlarına ayırma
metodunu kullanarak bir alt çözüme ulaşmışlardır. Bir başka
tasarım yöntemi olan matris rankının sınırlandırılması ile derece
indirgeme tekniği, bir aktif süspansiyon sistemi için H∞
kontrolcü geliştirilmesinde kullanılmıştır [8]. Bu yöntemin
yanında, kısmen arttırılmış Lagrange metodu ile sabit dereceli
H∞ kontrolcü tasarımının gerçekleştirildiği çalışma [9] verimli
sonuçlar ortaya çıkarmıştır. Ancak bu yöntemlerde kullanılan
DME’ lerin sağlanması için aranan şart sınırlı reel lemma’
daki gibi Lyapunov matrisi olmuş, direk kontrolcü katsayıları
olmamıştır.
Kararlılık probleminin DME formülasyonunda direkt kontrol katsayılarının kullanıldığı çalışma durum uzay yaklaşımı
yerine çok terimli gösterim yaklaşımının kullanıldığı bir
çalışmadır [5].
Bu çalışmada, konveks olmayan bir
gövde içerisinde M. Chilali ve P. Gahinet tarafından 1996
yılında yapılan çalışmada gösterilen DME-bölgeleme tekniği
kullanılarak bir iç konveks alt gövde oluşturulmuş ve
problem bu gövde üzerinde tanımlanmıştır.
Problemin
oluşturulmasında kesin pozitif reel lemmadan ve quadratik
Lyapunov kararlığından daha az tutucu D-kararlılığından [10]
faydalanılmıştır. Etkili sonuçlar veren bu yaklaşıma geometrik
koşullar eklenerek sistemin H∞ normunun minimizasyonu
sağlanmıştır [11]. Sisteme etkiyen belirsizliklerin normunun
sınırlı olması fikrine dayalı analiz yapılarak daha önce ortaya
çıkan geometrik kısıtlardan kurtulunmuştur [12].
Konveks olmayan yapı içersinde çok terimli zamanlı olmayan algoritmaya dayalı tasarım yöntemi HIFOO (H-Infinity
Fixed Order Optimization) sabit dereceli kararlılık ve yerel optimizasyon problemlerini çözmek için geliştirilmiştir. HIFOO,
bu problemleri çözmek için HANSO (Hybrid Algorithm for
Non-Smooth Optimization) destek paketi temelli optimizasyon
tekniklerini kullanır. HIFOO, sistemin yerel optimal H∞ performansını sağlayan düşük dereceli kontrolcü problemlerinde
verimli sonuçlar verebilmektedir [13].
Çalışma, belirsizlik içeren doğrusal sistemler için sabit dereceli
H∞ kontrolcü tasarım metodu sunmaktadır. Standart tasarım
yöntemlerinde kullanılan yaklaşımlar yerine pozitif çok terimli matrislerin özellikleri temelinde oluşturulan çok terimli
yaklaşım metodu kullanılmıştır. Problemin temelinden gelen
konveks olmayan yapı, bilinen kesin pozitif reel lemma ile konveks bir şekile indirgenmiştir. Konveks problemin gösterimi ve
çözümünde DME (Doğrusal Matris Eşitsizliği) kullanılmıştır.
Geliştirilen tasarım metodunun tutuculuğu tamamen seçilen
merkezi çok terimliye bağlıdır. Çalışmada önerilen tasarım
yöntemi ile belirsizlik içeren temel bir mekanik sistem ve uçak
için H∞ normunu minimize eden kontrolcü tasarlanmıştır.
1. Giriş
Sistemin H∞ normunu minimize etmek için kullanılan standart tasarım yöntemleri ile elde edilen kontrolcülerin en az
sistem derecesine eşit dereceye sahip olmaları gerekmektedir
[1]. Bu durum ilk bakışta nispeten küçük dereceli sistemler
için bir problem oluşturmasada unutulmamalıdır ki; taleplere
göre performans çıkışlarımızı oluşturabilmek için sistem giriş
ve çıkışlarına ekleyeceğimiz ağırlaştırılmış fonksiyonlarımız
toplam sistem derecesini arttıracaktır. Standart yöntemler ile
elde edilebilecek yüksek dereceli kontrolcülerin, başta gömülü
sistemler ve uzay endüstrisinde olmak üzere pratik uygulamalarda gerçeklenmesi düşüktür. Bu nedenlerden dolayı sabit
veya düşük dereceli kontrolcü tasarımı son zamanlarda kontrol mühendisliğinin en önemli çalışma alanlarından biri haline
gelmiş ve bu konu ile ilgili çalışmalarda artış gözlenmiştir. Ancak, sabit dereceli kontrolcü probleminin konveks olmayan bir
kümede tanımlı olması ve konveks olmayan kümelerde genel
çözüm için hali hazırda çok terimli zamanlı bir çözme algoritmasının bulunmaması, son yıllarda yapılan çalışmalarda farklı
çözüm yöntemlerinin kullanılmasına sebep olmuştur.
Standart
H∞
kontrolcü
tasarımında
DME
formülasyonunun kullanımı [2] ve [3] çalışmalarında problemin konveks durum uzay parametrizasyonuna genişletilmesi
ile formüle edilmiştir. Ayrıca sistem performansına ilişkin
istenilenlerin gerçeklenmesi için kapalı çevrim kutuplarının bir
bölgeye atanması problemi, H∞ tasarımında M. Chilali ve P.
Gahinet tarafından 1996 yılında kullanılmıştır.
PID benzeri yapısal kontrolcü, çıkış geri besleme ve sabit
dereceli kontrolcü problemleri konveks olmayan bir yapıya
karşılık gelmektedir. Literatürde bu problemler genellikle iki
262
vektörleri oluştrulmuştur.
Oluşan kapalı çevrim sistemin D-kararlılığının sağlanması
için sistem kutuplarının
Endüstriyel denetim sistemleri için kontrolcü tasarımı esnasında çoğu zaman sistem modelinin içerebileceği belirsizlikler göz ardı edilerek tasarım yapılmaktadır. Bu ise sistemin tepkilere cevap verememesine neden olmakta ve üretim kaybına
yol açmaktadır. Belirsizlik içeren sistemlerin sabit dereceli kontrolcü tasarımı için daha önce yapılan çalışmalarda kullanılan
tasarım yöntemlerinin sayısı çok fazla olmamıştır [5], [12],
[14], [15].
Verilen bilgiler ve daha önce konuyla ilgili yapılan
çalışmalar çerçevesinde bu bildiride, polytopic belirsizlik içeren
sistemler için F. Yang ve diğerlerinin önerdiği yöntem kullanılarak sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarlanacaktır. Tasarım
metodunda en önemli nokta konveks olmayan bir küme
içerisinde kararlı bir merkezi çok terimli seçerek konveks bir
küme yaratmak olacaktır.
Bildirinin kalan bölümlerinde ilk olarak tasarım metodunun
geliştirilmesi adına belirsizlik içeren sistemler için problem
tanımı yapılacak ve daha sonra tasarım metodunda kullanılan
matematiksel ifadeler ve notasyon aktarılacaktır. Ardından
H∞ kontrolcü tasarımı için oluşturulan metot verilecek ve
son olarak ise iki adet belirsizlik içeren sistem ile oluşturulan
tasarım metodunun uygunluğu test edilecektir.
{
[ ]∗ [
1
d11
D= s∈C :
s
d∗12
D=
[
d11
d∗12
d12
d22
] [ ]}
1
≺ 0,
s
(1)
]
d12
,
d22
(2)
D bölgesi içerisinde olması gerekir. Buradaki D matrisi bir
adet pozitif ve bir adet negatif öz değer içeren simetrik bir
yapıya sahiptir. Simetrik matris için standart seçimler, sürekli
zamandaki sistem için kutuplar sol yarı düzlemde seçilmek istenildiğinde d11 = 0, d12 = 1, d22 = 0 şeklinde ve ayrık zamanda kutupların birim disk içinde olması istenildiğinde ise d11
= -1, d12 = 0, d22 = 1 şeklinde tanımlanmıştır. Simetrik matris elemanlarının farklı sayısal değerleri için kararlılık bölgesi
disk, dikey şerit, yatay şerit ve konik gibi farklı şekiller alabilir
[10]. Eşitsizlik (1) tek boyutlu bir set olarak aşağıdaki şekilde
gösterilebilir.
∂D = {s ∈ C : d11 + d12 s + d∗12 s∗ + d22 ss∗ = 0}
2. Problemin Tanımı
(3)
Bundan dolayı (1) numaralı eşitsizliğin sağlanması durumunda
kutuplar istenilen D-kararlılık bölgesi içerisinde kalacaktır.
Sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarım problemlerini çözmek
için yapılan bu çalışmada sisteme uygulanan belirsizliklerde
dikkate alınacağı için daha önce benzer amaç doğrultusunda
geliştirilen çok terimli metot kullanılacaktır [5]. Geliştirilen
bu metot belirsizlikler içeren bir sistem için genel bir kontrolcü tasarlayarak kararlılık problemini incelediğinden ötürü
bu yöntem H∞ kontrolcü tasarımını gerçekleyecek şekilde
geliştirilmeye çalışılacaktır. Bu çalışmada, temel amacımız
sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonun sonsuz normunun
sınırlandırılması ve minimizasyonu olacaktır.
Sabit dereceli kontrolcü tasarımında kullanılmak üzere
geliştirilen tasarım metodunun problem tanımında, ele alınan
ve belirsizlikler içeren sistemin pay ve payda cinsinden ifadesi
aşağıdaki gibidir.
b(s, λ)
p(s, λ) =
a(s, λ)
Sistemin pay ve paydasında yer alan s parametresi sistemin sürekli zamanlı olduğunu, λ parametresi ise sistemin
belirsizlikler içerdiğini belirtmektedir. Sabit dereceli kontrolcü tasarımı yapılacak sistemin pay, payda ve kontrolcü ile
ilişkisi negatif bir geri besleme vasıtasıyla Şekil 1’deki gibi
gösterilebilmektedir.
∥G(s, λ)∥∞ ≤ γ
k(s)
+
Burada G(s, λ) fonksiyonu, payı n(s, λ) ve paydası d(s, λ) olmak üzere sabit dereceli kontrolcünün çok terimlilerine (x(s),
y(s)) bağlı olan bir fonksiyondur ve sistemin kapalı çevrim
transfer fonksiyonunu sembolize eder.
p(s, λ)
−
3. Matematiksel Ön Bilgi ve Notasyon
Şekil 1: Standart Negatif Geri Besleme Yapısı.
Tasarım metodunu geliştirmek için c(s) ve d(s) çok terimlileri
c(s) = c0 +c1 s+. . .+cm sm ve d(s) = d0 +d1 s+. . .+dm sm
olacak şekilde tanımlanmışlardır. Ayrıca c(s) ve d(s) çok terimlilerin bölüm şeklinde gösterildiğinde sonsuzda sıfırlarının
olmaması için en büyük dereceli katsayıları olan cm ve dm
sıfırdan farklı bir değere eşit olacak şekilde tanımlanmışlardır
[12]. Bu çok terimlilerin katsayıları
Negatif geri besleme yapısında yer alan sabit dereceli kontrolcü, çok terimliler y(s) ve x(s) cinsinden aşağıdaki gibi
tanımlanabilmektedir.
k(s) =
y(s)
x(s)
[
c = c0
Burada x(s) = x0 + x1 s + . . . + xm sm ve y(s) = y0 +
y1 s + . . . + ym sm şeklindedir ve ilgili çok terimli katsayılarını
göstermek üzere
[
x = x0
x1
.
.
.
]
xm ,
[
y = y0
y1
(4)
.
.
.
]
ym ,
263
c1
.
.
.
]
cm ,
[
d = d0
d1
.
.
.
]
dm ,
şeklinde satır matrisi olarak gösterilebilmektedir. D-karalılık
bölgesini temsil eden DME gösterimi üzerinde yapacağımız
genişletme çalışmasında kullanmamız gereken projeksiyon ma-
trisi (2m) × (m + 1) boyutunda

1

..

.



S=
0 1

 ..
.
0
1
..
.
aynı derecede olmaktadır. Yüksek dereceli kontrolcülerin
gerçeklenmesi kolay olmadığından dolayı bu çalışmada düşük
dereceli kontrolcü elde etmek amacıyla tasarımda çok terimli
metot tercih edilmiştir. Çok terimli yaklaşım ile tasarımda
dayanıklı kararlılık ve H∞ norm sınırını gösteren eşitsizlik kullanılmaktadır.
Belirsizliğe sahip bir çok terimli :

0
.. 
.


0
,




1
dδ (s) = d(s) + n(s)δ,
(5)
eşitsizliğini sağlayan çok terimli D-kararlı c(s) ve P = P T
olmak üzere m boyutlu bir P matrisi olduğu durumda Dkararlıdır.
Burada ⊗ işareti Kronecker Delta işlemini ifade etmek için
kullanılmıştır.
Sistem belirsizliklerini polytopic olarak ele aldığımızda sisteme ait çok terimli d(s, λ), N adet köşe noktası için di (s) =
di0 + di1 s + . . . + dim sm yapısındadır. Burada i = 1, 2, . . . , N
olacak şeklinde formüle edilmiştir.
Lemma 2: [5] Çok terimli di (s), ancak ve ancak
cT di + diT c − S T (D ⊗ P i )S ≽ 0,
(8)
şeklinde formüle edilebilmektedir. Bu ifadede yer alan n(s) ve
d(s) nominal çok terimlilerdir, δ ise genliği γ −1 ’ den küçük bir
skalerdir. Denklem (8)’ de yer alan ifade Küçük Kazanç Teoremi (Small Gain Theorem) dikkate alınarak aşağıda verildiği
gibi yeniden oluşturulabilir [1, Teorem 9.1]. Belirsizliğe sahip
dδ (s) çok terimlisi ile γ arasında
n(s) (9)
d(s) ≤ γ,
∞
olacak şekilde tanımlanmıştır.
Lemma 1: [5] Pozitif reel lemma kullanılarak çok terimli
d(s), ancak ve ancak
cT d + dT c − S T (D ⊗ P )S ≽ 0,
∥δ∥ < γ −1 ,
n(s)/d(s) sisteminin sonsuz normu ile gösterilen bir ilişki
vardır. Burada n(s) çok terimlisine ait katsayılar satır vektörü n
ile gösterilip, Lemma 1’ den aşağıda verilen sonuç çıkarılabilir.
Sonuç 1: [12] D-kararlı c(s) merkezi çok terimlisi ve pozitif skaler γ değeri verildiğinde eğer
[ T
]
c d + dT c − εcT c − S T (D ⊗ P )S nT
≽ 0,
(10)
n
εγ
i = 1, 2, . . . , N, (6)
eşitsizliğini sağlayabilen P = P T şeklinde pozitif bir matris
ve pozitif skaler bir ε bulunabiliyor ise transfer fonksiyonu
n(s)/d(s)’ nin D-kararlı olduğu ve sistemin H∞ normunun
√
γ değerinin altında olduğu garanti edilir.
Tasarım yönteminde belirlenmesi gereken kritik parametre yine merkezi çok terimli olmaktadır. Merkezi çok terimlinin seçiminde izlenebilecek en uygun strateji çok terimlinin
köklerinin, açık çevrim transfer fonksiyonuna ait karakteristik
çok terimli fonksiyonun köklerine yakın seçilmesidir. Böyle bir
seçim durumunda tasarım metodunun başarısı artmakta ve daha
verimli sonuçlar elde edilebilmektedir [12].
Sistem belirsizliklerini polytopic olarak ele aldığımızda sisteme ait çok terimliler n(s, λ) ve d(s, λ), N adet köşe noktası
için di (s) = di0 +di1 s+. . .+dim sm ve ni (s) = ni0 +ni1 s+. . .+
nim sm yapısındadır. Burada i = 1, 2, . . . , N olacak şekilde
formüle edilmiştir. Yeniden tanımlanan çok terimliler ile H∞
norm sınırı
n(s, λ) (11)
d(s, λ) ≤ γ,
∞
şeklinde oluşturulmuştur.
Belirsizlik içeren sistemimize ait köşe noktalarını gösteren
kapalı çevrim transfer fonksiyonları
eşitsizliğini sağlayan çok terimli D-kararlı c(s) ve P i = P iT
olmak üzere m boyutlu bir P i matrisinin olduğu durumda Dkararlıdır.
Gözlem 1: Lemma 2’nin gerçeklenmesi, belirsizlik içeren
çok terimlinin dayanıklı kararlılığını sağlamak için yeterlidir
fakat genel olarak gerekli değildir.
Bu lemma genişletildiğinde belirsizlik içeren bütün durumlar için Şekil 1’ deki sistemin kapalı çevrim karakteristik çok
terimlisi, d(s, λ) = a(s, λ)x(s) + b(s, λ)y(s) biçimindedir ve
sistemi D-kararlı kılacak (x(s), y(s)) çok terimli çiftleri bulunabilir.
Lemma 3: [12] Sistem belirsizlikleri polytopic olarak ele
alındığında sisteme ait çok terimliler, a(s, λ) ve b(s, λ) için Dkararlı bir merkezi çok terimli c(s) verildiğinde
cT di (x, y)+di (x, y)T c−S T (D⊗P i )S ≽ 0,
i = 1, 2, . . . , N,
(7)
eşitsizliğini sağlayabilen x, y ve simetrik olan P i matrisleri var
ise, kapalı döngü sistemi dayanıklı D-kararlı kılan kontrolcü
çok terimlileri x(s) ve y(s) elde edilebilir.
Bu yaklaşım sabit dereceli kontrolcü tasarımı için basit bir
yöntem sunar. Tasarımda belirlenmesi gereken kritik parametre merkezi çok terimlidir. Bu seçim konveks çözüm gövdemiz
üzerindeki tutuculuğu direk etkilemektedir. Örneğin aynı belirsiz sistem için seçilebilecek iki farklı merkezi çok terimlinin
göstermiş olduğu çözüm gövdesi birbirinden farklı olacaktır.
Bazı durumlarda bu gövdeler birbirini kapsayabilir.
i
Gcl
(s, x, y) =
ni (s, x, y)
,
di (s, x, y)
i = 1, 2, . . . , N ,
(12)
direk kontrolcü katsayıları cinsinden yazılabilir.
Lemma 4: [12] Sistem belirsizlikleri polytopic olarak ele
alındığında sisteme ait çok terimliler, a(s, λ) ve b(s, λ) için Dkararlı bir merkezi çok terimli c(s) ve pozitif γ verildiğinde
[ T i
]
c d (x, y) + di (x, y)T c − εi cT c − S T (D ⊗ P i )S ni (x, y)T
≽ 0,
ni (x, y)
εi γ
(13)
4. H∞ Kontrolcü Tasarım Tekniği
Literatürde kullanılan standart H∞ kontrolcü tasarımında elde
edilen kontrolcünün derecesi en az kontrol edilecek yapı, kontrolcü ve ağırlaştırılmış fonksiyonların oluşturduğu sistem ile
264
eşitsizliğini sağlayabilen x, y, simetrik pozitif P i = P iT matrisleri ve pozitif skaler εi değeri var ise sistemi dayanıklı D-kararlı
kılıp sonsuz normu için alt-optimal bir sonuç veren kontrolcü
çok terimlileri x(s) ve y(s) dir.
Sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarımı için geliştirilen çok
terimli metot, durum-uzay metodunun aksine PID ve benzeri
kontrolcü yapılarında esnek ve en önemlisi direk kontrolcü katsayıları ile işlem yapma kolaylığı sunan elverişli bir yaklaşım
sunar.
kc yay sabitini ve y ise sistemin çıkışını temsil etmektedir. Bu
çalışmada durum-uzay modelinde yer alan parametreler; m1 =
1, m2 = 1 ve 0.5 < kc < 2 olacak şekilde kütle yay sistemi
için ikinci dereceden H∞ kontrolcü tasarımı gerçeklenmeye
çalışılacaktır. Tasarım, sistem parametreleri arasında yer alan
kc ’ nin [0.5, 2] kapalı aralığında değiştiği göz önünde tutularak
gerçeklenecektir.
Şekil 2’ de yer alan sistemin açık çevrim transfer fonksiyonu
kc
p(s, kc) = 4
,
(14)
s + 2s2 kc
biçimindedir. Ayrıca nominal sisteme (kc = 1) ait kutuplar
0, 0 ve ±1.4142i noktalarındadır. Kontrolcü tasarımı sırasında
problemin gösterildiği konveks olmayan bölge içersinde konveks bir bölge tanımlamak için belirlememiz gereken D-kararlı
merkezi çok terimli fonksiyonu, 4. bölümde belirtildiği gibi kutupları mümkün olduğunca açık çevrim kutuplarına yakın olacak şekilde −0.5, −0.5, −0.5, −0.5 ve −0.5 ± 1.4142i noktalarında seçilerek
5. Uygulamalar
Sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarımı için geliştirilen çok terimli metodun uygunluğu, belirsizlik içeren iki adet örnek sistemin MATLAB arayüzünde geliştirilen yazılıma uygulanıp,
örnek alınan bu sistemler için uygun olan kontrolcülerin bulunması hedeflenerek sınanacaktır. Kontrolcü tasarımında sistemde
var olan belirsizlikler dikkate alınarak işlem yapılacaktır. Örnek
alınan sistemler içerisinde ortaya çıkabilecek yarı tanımlı programlama problemleri SeDuMi [17] çözücüsü ve YALMIP [18]
arayüzü kullanılarak çözülecektir.
c(s) = s6 +3s5 +5.75s4 +6.4999s3 +3.9374s2 +1.1875s+0.1406,
belirlenmiştir. Seçilen bu merkezi çok terimli ile γ = 21 ve ε =
0.1 değeri alınıp Lemma 4 kullanıldığında sistemi dayanıklı D√
kararlı kılan ve ayrıca sonsuz normunu γ = 4.58 değerinin
altında tutan 2. dereceden
5.1. Kütle Yay Sistemi
Bu bölümde, literatürde sıkça rastlanan genel bir problem
olan kütle yay sistemine, sistem belirsizlikleri dikkate alınarak
geliştirilen tasarım metodu uygulanacak ve arzulanan kontrolcünün bulunması hedeflenecektir. Tipik bir kütle yay sistem
yapısı Şekil 2’deki gibi gösterilebilmektedir. Kütle yay sistemi
örneği, B. Wie ve D. S. Bernstein tarafından 1992 yılında
yapılan ve içeriğinde dayanıklı kontrolcü tasarımı için örnek
problemlerin yer aldığı çalışmadan alınarak kullanılmıştır.
x1
u
m1
k(s) =
kontrolcü tasarlanabilir. Bu durumda sistemin kapalı çevrim
transfer fonksiyonu
s6
+
1.57s5
s2 + 1.571s + 1.691
,
+ 3.69s4 + 3.14s3 + 1.56s2 + 0.31s + 0.016
şeklinde elde edilmektedir. Elde edilen kapalı çevrim transfer fonksiyonunun özdeğerleri −0.0803, −0.2393, −0.2546 ±
1.5829 ve −0.3713 ± 0.4302 noktalarında yer almaktadır.
Ayrıca sistem içerisindeki belirsiz parametre olan kc ’ nin
değişim aralığında da kontrolcünün, kararsız haldeki bu sistemi
kararlı hale getirdiği gözlemlenmiştir.
Kütle yay sistemi için elde edilen kontrolcü, sistemin sonsuz normunu kontrol altında tutmak amacıyla tasarlandığından,
kontrolcünün bu amaca yönelik olarak ulaştığı başarı seviyesi tam duyarlılık fonksiyonunun frekans cevabı çizdirilerek
görülebilir. Frekans cevabı, belirsizlik parametresi olan kc
değerinin belirsizlik sınırları içerisinde alabileceği 5 farklı
değer ve γ = 17 değeri için Şekil 3’ de yer aldığı gibi
çizdirilmiştir.
Şekil 3’ de, tasarlanan sabit dereceli H∞ kontrolcünün tam
duyarlılık fonksiyonunun sonsuz normunu istenilen sınır olan
√
γ değerinin altında tuttuğu görülebilmektedir. Elde edilen
kontrolcü ile sistem normunun ulaşabileceği maksimum nokta
sınırlandırılmıştır.
Sabit dereceli H∞ kontrolcüsü tasarlanan kütle yay sistemi için açık çevrim transfer fonksiyonunun köklerinden çok
farklı köklere sahip bir merkezi çok terimli fonksiyonu belirlenerek, bu uygulamada elde edilen γ değerinden daha küçük
bir norm sınırı elde edilebilir. Ayrıca benzer şekilde farklı
bir merkezi çok terimli fonksiyonu seçilerek bu uygulamada
oluşturulan kararlılık bölgesinden daha geniş bir kararlılık
bölgesi oluşturulabilir.
x2
k
−1.826s2 − 0.3051s + 0.016
,
s2 + 1.571s + 1.691
m2
Şekil 2: Kütle Yay Sistemi Yapısı.
Şekil 2’ de sistem yapısı gösterilen kütle yay düzeneğinin
durum-uzay modeli aşağıdaki gibi temsil edilmektedir.

  
  
0
x1
0
0
1 0
x˙1

  
x˙2  
0
0
0 1
 x2  +  0  u
 =
x˙3  −kc /m1
kc /m1
0 0 x3  1/m1 
0
x4
kc /m2
−kc /m2 0 0
x˙4
y = x2
Sistemin durum-uzay modelinde yer alan parametrelerden x1
ve x2 , kütlelerin pozisyonlarını x3 ve x4 ise kütlelerin hızını
belirtmek için kullanılmıştır. Bunun yanında u kontrol girişini,
265
kontrolcü tasarlanabilir, bu durumda sistemin kapalı çevrim
transfer fonksiyonu
G(s) =
−288.9s − 326.5
,
s3 + 16s2 + 140.8s + 11.1
şeklinde elde edilmektedir. Elde edilen karakteristik denklemin
kutupları −0.0795 ve −7.9602 ± 8.7286i noktalarında yer
aldığından dolayı tasarlanan 0. dereceden kontrolcünün sistemi
kararsız halden kararlı hale getirdiği söylenebilir.
Benzer şekilde 1. dereceden kontrolcü elde etmek amacıyla
kullanılacak olan merkezi çok terimli fonksiyonu, kutuplar −1,
−5, −9 ve −13 noktalarında olacak şekilde
Şekil 3: Tam Duyarlılık Fonksiyonu Frekans Cevabı.
c(s) = s4 + 28s3 + 254s2 + 812s + 585,
belirlenmiştir. Merkezi çok terimli ile, γ = 2.74 ve ε = 0.1
değeri alınıp Lemma 4 kullanıldığında sistemi dayanıklı Dkararlı kılan ve ayrıca sonsuz normunu 1.66 değerinin altında
tutan 1. dereceden
5.2. F4E Uçak Modeli
Sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarımı için geliştirilen tasarım
metodunun uygunluğunu test etmek amacıyla örnek alınan
diğer bir sistem F4E uçak modelidir [5]. F4E uçak modelinde
sistemin girişi yerden yükseklik, çıkışı ise eğim oranı olarak
belirlenmiştir. Sistem aşağıda farklı irtifa değerleri için verilen 4 temsili uçuş durumu çerçevesinde doğrusallaştırılmıştır.
Bu denklemler sırasıyla verilen Mach [0.5, 0.85, 0.9, 1.5] ve
yükseklik [5000f t, 5000f t, 35000f t, 35000f t] değerleri kullanılarak oluşturulmuştur.
1
3
2
a (s) = s +15.84s +22s−52.75
k(s) =
transfer fonksiyonu
G(s) =
b (s) = −185.4s−163.8
1
a2 (s) = s3 +17.12s2 +34.93s−122.5 b2 (s) = −507.8s−789.1
a3 (s) = s3 +15.33s2 +17.51s−14.64 b3 (s) = −158.3s−101.8
a4 (s) = s3 +15.74s2 +43.60s+269.1 b4 (s) = −304.2s−251.4
Tasarım metodunun etkinliğini göstermek amacıyla F4E uçak
modeli için 3 farklı dereceden sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarımı gerçekleştirilmeye çalışılacaktır. H∞ kontrolcü
tasarımını gerçekleştirmek için gerekli olan nominal transfer
fonksiyonu, yani sistemin açık çevrim transfer fonksiyonu
p(s, λ) =
−0.1039s − 0.3386
,
s + 0.4157
s4
−288.9s2 − 446.6s − 135.7
,
+ 16.42s3 + 66.18s2 + 29.3s + 62.86
kutupları −6.1350, −10.0734 ve −0.1037 ± 1.0032i noktalarında yer aldığından dolayı açık çevrim sistemin karakteristik denkleminde yer alan kararsız kutbun tasarlanan 1. derece
kontrolcü ile sol yarı-s düzlemine çekildiği ve sistemin kararlı
kılındığı söylenebilir.
Son olarak 2. dereceden kontrolcü elde etmek amacıyla
kullanılacak olan merkezi çok terimli fonksiyonu, kutuplar −2,
−3, −4, −5 ve −13 noktalarında olacak şekilde
c(s) = s5 + 27s4 + 253s3 + 1077s2 + 2122s + 1560,
belirlenmiştir. Merkezi çok terimli ile, γ = 2.86 ve ε = 0.1
tutan 2. dereceden
−288.9s − 326.5
,
s3 + 16s2 + 29.51s − 114.7
k(s) =
şeklindedir. Ayrıca açık çevrim transfer fonksiyonunun kutupları 1.84, −4.769 ve −13.071 noktalarında yer almaktadır.
Kontrolcü tasarımı sırasında problemin tanımlandığı konveks olmayan bölge içersinde konveks bir bölge tanımlamak
için belirlememiz gereken D-kararlı merkezi çok terimli
fonksiyonu, yine mümkün olduğunca açık çevrim kutuplarının
yerini çok oynatmadan kutupları -5, -9 ve -13 noktalarında olacak şekilde
−0.1123s2 − 0.382s − 0.9271
,
s2 + 2.355s + 2.205
transfer fonksiyonu
G(s) =
−288.9s3 − 1007s2 − 1406s − 720.1
,
s5 + 18.36s4 + 101.9s3 + 137.1s2 + 187.5s + 49.76
kutupları −0.3250, −0.4633 ± 1.3203i ve −8.5518 ± 2.2469i
noktalarında yer aldığından dolayı sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonunun sonsuz normunun minimizasyonu için tasarlanan 2. dereceden kontrolcünün sistemi kararsız halden kararlı
hale getirdiği söylenebilir.
Elde edilen 3 farklı kontrolcüye ait seçilen merkezi çok terimli fonksiyonların kökleri, elde edilen kontrolcünün derecesi
ve kapalı çevrim transfer fonksiyonunun sonsuz normunun alabileceği maksimum değerin bilgisi
c(s) = s3 + 27s2 + 227s + 585,
belirlenmiştir. Bu merkezi çok terimli ile, γ = 7 ve ε = 0.1
tutan 0. dereceden
k(s) = −0.3853,
266
σ(c)
−5, −9, −13
−1, −5, −9, −13
−2, −3, −4, −5, −13
Derece
0
1
2
√
γ
2.6
1.66
1.69
trollers”, IEEE Trans. Automatic. Control, vol. 48, no. 7
pp. 1178-1186, 2003.
yukarıdaki tabloda verilmiştir.
Merkezi çok terimlinin belirlenmesinde farklı bir strateji
izlenerek daha düşük sonsuz norm değerleri elde etmek
mümkün olabilecektir. Ayrıca kontrolcü derecesinin sistem
gereksinimlerine göre en uygun değerde seçilmesine imkan
sağlayacak karşılaştırmaların yapılması bu tasarım metodu ile
mümkün olacaktır.
Tasarlanan 3 farklı kontrolcünün derecesi sistem derecesinden küçük olarak elde edilmiştir. Bu durum kullanılan tasarım
metodu ile yüksek dereceli sistemler için düşük dereceli kontrolcüler elde edilebileceğinin bir göstergesidir.
6. Sonuçlar
Bu çalışmada, belirsizlik içeren sistemler için sabit dereceli H∞ kontrolcü tasarımı üzerinde çalışılmıştır. Sabit
dereceli H∞ kontrolcü tasarımı için çok terimli yaklaşım
çerçevesinde sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonunun
sonsuz normu, Kesin Pozitif Reel Lemma ve dayanıklı Dkararlılık teoremi kullanılarak sınırlandırılmıştır. Belirsizlik
içeren iki adet örnek sistem için farklı derecelere sahip kontrolcü tasarımı gerçekleştirilerek, geliştirilen tasarım metodunun uygunluğu gösterilmiştir. Kontrolcü tasarımında kullanılan çok terimli yaklaşım metodunda dikkat edilmesi gereken
en önemli noktanın merkezi çok terimli fonksiyonunun seçimi
olduğu vurgulanmıştır. Sonuç olarak iki örnek sistem için de
tasarlanan kontrolcülerin derecesi, sistemin derecesinden küçük
olarak elde edilmiştir. Bu sayede yüksek dereceli herhangi bir
sisteme bu çalışmada kullanılan tasarım metodu uygulanarak
düşük dereceli bir kontrolcü tasarlanabileceği görülmüş ve
bu yolla sistemin gerçek uygulamalardaki kullanılabilirliğinin
arttırılabileceği tespit edilmiştir.
Önerilen bu yöntem PID benzeri yapısal kontrolcülerin
tasarımında da kolaylıkla kullanılabilmekte ve sonuç
olarak sabit dereceli Dayanıklı H∞ PID kontrolcüsü
gerçeklenebilmektedir.
P. Gahinet ve P. Apkarian, “A Linear Matrix Inequality
Approach to H∞ Control”, Int. J. Robust and Nonlinear
Control, vol. 4, pp. 421-448, 1994.
[3]
T. Iwasaki ve R. E. Skelton, “All Controllers for the General H∞ Control Problem : LMI Existence Conditions
and State Space Formulas”, Automatica, vol. 30, no. 8,
pp. 1307-1317, 1994.
[4]
M. Chilali ve P. Gahinet, “H∞ Design with Pole Placement Constraints : An LMI Approach”, IEEE Trans. Automatic Control, vol. 41, no. 3, pp. 358-367, 1996.
[5]
D. Henrion, M. Sebek ve V. Kucera, “Positive Polynomials and Robust Stabilization with Fixed-Order Con-
[7]
S. Wang ve J. H. Chow, ”Low Order Controller Design for
SISO Systems Using Coprime Factors and LMIs”, IEEE
Trans. Automatic Control, vol. 45, no. 6, pp. 1166-1169,
2000.
[8]
R. Amirifiar ve N. Sadati, ”Low-Order H∞ Controller
Design for an Active Suspension System via LMIs”, IEEE
Trans., vol. 53, no. 2, 2006.
[9]
P. Apkarian, D. Noll ve H. D. Tuan, ”Fixed-Order H∞
Control Design via a Partially Augmented Lagrangian
Method”, Int. J. Robust and Nonlinear Control, no. 13,
pp. 1137-1148, 2003.
[11] D. Henrion, ”LMI Optimization for Fixed-Order H∞
Controller Design”, in Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control, pp. 4646-4651, 2003.
[12] F. Yang, M. Gani ve D. Henrion, “Fixed-Order Robust
H∞ Controller Design with Regional Pole Assignment”,
IEEE Trans. Autom.Control, vol. 52, no. 10,pp. 19591963, 2007.
[13] J. V. Burke, D. Henrion, A. S. Lewis ve M. L. Overton,
”HIFOO-A Matlab Package for Fixed-Order Controller
Design and H∞ Optimization”, IFAK Sypm. Robust Control Design Toulouse, France, 2006.
[14] L. H. Keel ve S. P. Bhattacharyya, ”Robust Stability and
Performance with Fixed-Order Controllers”, Automatica,
vol. 35, pp. 1717-1724, 1999.
[15] H. Khatibi, A. Karimi ve P. Longchamp, ”Fixed-Order
Controller Design for Polytopic Systems Using LMIs”,
IEEE Trans. Automatic Control, vol. 53, no. 1, 2008.
[16] B. Wie ve D. S. Bernstein, “Benchmark Problems for Robust Control Design”, Journal of Guidance Control and
Dynamics, vol. 15, no. 5, pp. 1057-1059, 1992.
K. Zhou, J. C. Doyle ve K. Glover, Robust and Optimal
Control, Upper Saddle River, NJ:Printice-Hall 1996.
[2]
D. Henrion ve J. B. Lasserre, “Solving Nonconvex Optimization Problems - How GloptiPoly is Applied to Problems in Robust and Nonlinear Control”, IEEE Control
Systems Magazine, vol. 24, no. 3, pp. 72-83, 2004.
[10] D. Henrion, D. Arzelier ve D. Peaucelle, “Positive Polynomials Matrices and Improved LMI Robustness Conditions”, Automatica, vol. 39, pp. 1479-1485, 2003.
7. Kaynakça
[1]
[6]
[17] J.F. Sturm, ”Using SeDuMi 1.02, a MATLAB Toolbox
for Optimization Over Symmetric Cones”, Technical report, Communications Research Laboratory, McMaster
University, Hamilton, Canada, 1998.
[18] J. Löfberg, “YALMIP : A Toolbox for Modeling and Optimization in Matlab”, Proceedings of the IEEE Symposium
on Computer-Aided Control System Design (CACSD),
Taipei, Taiwan, September 2004.
267
Çevrim Şekillendirme Tabanlı Dayanıklı Kontrolün
İçten Yanmalı Bir Motora Uygulanması
Şinasi Arslan1, Özgür Alpan2
1
Makine Mühendisliği Bölümü
Sakarya Üniversitesi, Esentepe-Sakarya
[email protected]
2
Motor, Kontrol ve Transmisyon Sistemleri Yöneticiliği,
Tofaş Ar-Ge, Bursa
[email protected]
pedal basılı değil iken rölânti devrinin oluşturduğu boyuna
titreşimlerin sönümlemesi konusunda LS metodu tabanlı H∞
dayanıklı kontrolör kullanarak çalışmalar yapılmıştır [3]. LS
metodu tabanlı H∞ dayanıklı kontrolör için ağırlık seçimi
konusunda çalışmalar mevcuttur [4]. Elektrik veya hibrit
araçlarda yaygın olarak kullanılan servo mekanizmalar üzerine
LS metodu tabanlı H∞ dayanıklı kontrolör uygulanan çalışmalar
da vardır [5].
Bu çalışmada SISO olarak tanımlanmış içten yanmalı
motorun LS metodu tabanlı H∞ dayanıklı kontrolör ile devir
kontrolü çalışması verilmiştir.
Özetçe
Bu çalışmada, hava debisini kontrol eden gaz kelebek
plakasının konumu sistem girişi, motor devri ise sistem çıkışı
olacak şekilde tanımlanan içten yanmalı bir motor için
dayanıklı kontrol ailesinden biri olan çevrim şekillendirme
metodu önerilmiştir. Öncelikle içten yanmalı motorun sahip
olduğu yapısal olmayan çarpımsal belirsizlik olan tork oluşumu
gecikmesi tanımlanmıştır. Ardından performans ölçütleri
doğrultusunda hedeflenen uygun çevrim şeklinin seçimi için
sistemin açık çevrim frekans cevabı incelenmiştir. Çevrim
şekillendirme metodu ile simülasyon ortamında elde edilen H∞
kontrolörün performansı nominal motor modeli ve belirsizlik
içeren aynı motor için test edilmiştir. Elde edilen H∞ kontrolör
performans sonuçları grafiksel olarak sunulmuştur.
2. Sistem Modeli
2.1. Sistem Tanımlama
Birçok mühendislik problemlerin çözümü için sistem modeline
ihtiyaç duyulmaktadır. Sistem modeli fiziksel sistemin
davranışını karakterize eden matematiksel işaretlerin bütünü
olarak tanımlanabilir. Sistem ise çeşitli girişler karşısında
çeşitli çıkışlar üreten nesne olarak tanımlanır [6].
Mühendislik problemleri ile ilgili sistem bir süreç,
mekanizma, makine veya bu çalışmada bahsedildiği üzere içten
yanmalı motor olabilir.
Bir sistem ile ilgili kontrol problemi söz konusu olduğunda,
sistem için transfer fonksiyonları kullanılır. Motor, çalışma
yapısı ve dinamik karakteristiği özelliği ile doğrusal olmayan
bir yapıya sahiptir. Dinamik sistemler üzerine enerji
verildiğinde bu enerjiyi muhafaza edip daha sonra açığa çıkan
sistemlerdir. Doğrusal olmayan sistem ise kısaca girişi ile çıkışı
arasında doğrudan doğruya oransal bir ilişki bulunmayan
sistemlerdir.
Motor, üzerinde bulunan algılayıcı ve eyleyicilerin ölçüm
ve cevap belirsizlikleri, kuru ve dinamik sürtünmeler, IPS gibi
çeşitli gecikmeler gibi belirsizliğin ve doğrusal olmayan alt
sistemlerin fazlaca yer aldığı bir ana sistemdir.
Sistem tanılama kısaca bilinen giriş-çıkış verileri
kullanılarak sonraki herhangi bir giriş sinyali için çıkış
sinyalini tanımlayan sistem modelinin oluşturulması şeklinde
tanımlanır.
Doğrusal olmayan sistemlerin model kestirimi konusunda
bilinen ve uygulanan bir metot olan Hammerstein-Wiener
doğrusal olmayan sistem tanılama tekniğidir [7,8].
Bu model Şekil 1’de gösterildiği gibi doğrusal sistem,
doğrusal olmayan giriş ve çıkış fonksiyonları tarafından
1.Giriş
İçten yanmalı motorlar alanındaki araştırmalar giderek
artmaktadır. Motorların geliştirilmesi ile ilgili çalışmaların
yasal zorunluluklara uyum, emisyon, sürülebilirlik ve
performans gibi konularda yoğunlaştığı görülmektedir.
Konvansiyonel dört zamanlı içten yanmalı motorların çalışma
prensipleri ve mekaniği ile ilgili çalışmalar büyük oranda
tamamlanmıştır. İçten yanmalı motorlarda doğrusal olmayan
dinamik yapı, fazla sayıdaki algılayıcı ve eyleyici
belirsizlikleri, sistemin nominal parametreleri üzerindeki
belirsizlikler düşünüldüğünde dayanıklı kontrol tasarımın
kaçınılmaz olduğu görülmektedir [1].
Yakıt tüketimi ve performans arasındaki dengenin en
uygun şekilde kurulması, tanımlı tüm çalışma aralıklarında
sürücünün isteklerine hızlı bir şekilde tepki vermesi, yasal
zorunlulukları karşılayacak emisyon ve duman salınımlarının
kontrol altında tutulması ve sürüş esnasında boyuna
titreşimlerin olabildiğinde az olması temel içten yanmalı motor
kontrol problemleri arasında yer almaktadır [2]. Bu
problemlerin birçoğunda motor devrinin hassas bir şekilde
dayanıklı kontrolü gerekmektedir.
Tek giriş, tek çıkışlı sistem (SISO) ve çok giriş, çok çıkışlı
sistem (MIMO) olmak üzere içten yanmalı motorun dayanıklı
devir kontrolü ile ilgili çalışmalar yapılmıştır. Sayısal geri
besleme teorisini (QFT) kullanılarak rölânti devri kontrolü ile
ilgili çalışmalarda çevrim şekillendirme (LS) metodu
uygulanmıştır [1]. Vitesin takılı olduğu konumda, herhangi bir
268
Tablo 1. Seçilen sisten tanılama parametreleri.
çevrelenerek, toplam sistemin doğrusal olmayan modeli elde
edilebilir [9].
u(t)
Doğusal
Olmayan
Giriş: f
w(t)
Doğusal
Blok:
B/F
Doğusal
Olmayan
Çıkış: h
x(t)
Açıklaması
Değeri
nk
Transport gecikmesi
1
Parametre
y(t)
nb
B derecesi (sıfırlar)
2
Şekil 1. Hammerstein-Wiener modeli.
nf
F derecesi (kutuplar)
3
Şekil 1’de verilen tümleşik sistem, eğer sadece sistem
girişinde doğrusal olmayan ifade var ise Hammerstein, benzer
şekilde sadece sistem çıkışında doğrusal olmayan ifade var ise
Wiener model olarak adlandırılmaktadır. Her ikisinin birlikte
bulunması durumunda ise sistem Hammerstein-Wiener olarak
adlandılır.
Motor sistemi için giriş sinyali olarak algılayıcıların
dinamik modelleri ve doğrusal olmayan gecikmeler, çıkışında
ise çeşitli sürtünmeler ve eyleyicilerin doğrusal olmayan
yapıları nedeniyle Hammerstein-Wiener metodu tercih
edilmiştir.
Şekil 1’de verilen model için eyleyici tarafındaki
Hammerstein doğrusal olmayan blok için u(t) giriş ve w(t) çıkış
sinyalleri arasında
(1)
w(t)  f (u(t))
T
Örnekleme zamanı
0.119
2.2. Sistem Modeli Kestirimi
Sistem tanılama tekniğiyle uygulanan sözde rasgele ikili dizi
sinyali (PRBS) girdisi ile elde edilen çıkış değişkeni değerleri
kullanılarak sistem modeli Hammerstein- Wiener modeli ile
elde edilmiştir [6,8].
Örnekleme zamanı T0.119 s olarak belirlenmiş ve veri
toplama işlemi için gerçel eş zamanda Fiat-Tofaş 1.4lt 16V
Euro5 95hP doğal hava emişli motor test sistemi kullanılmıştır.
Sisteme gaz pedalı sinyali PRBS girdisi olarak uygulanmış,
kelebek plakasının açısına göre motor devrindeki değişim diğer
parametreler sabit tutularak kayıt edilmiştir. Uygulanan PRBS
sinyali Şekil 2’de verilmiştir.
statik doğrusal olmayan bir ilişki ile ifade edilir. Aynı zamanda
algılayıcı tarafındaki Wiener doğrusal olmayan blok için x(t)
giriş ve y(t) çıkış sinyalleri arasında
(2)
y(t)  h(x(t))
Gaz Pedalı Konumu (%)
100
statik doğrusal olmayan bir ilişki ile ifade edilir. İki doğrusal
olmayan blok arasındaki doğrusal bloğun w(t) giriş kelebek
açısı ve x(t) çıkış motor devri arasında kestirilen doğrusal
model
x(t) 
(3)
B(q 1 )  b 0  b1q 1  b 2 q 2  ...  b nb q  nb
1
2
F(q )  1  f1q  f 2 q  ...  f nf q
40
20
100
200
300
400
Veri Adeti
500
600
700
800
Şekil 2. PRBS sinyali.
 nf
Veri toplama işlemi motorun rejimde olduğu bölgede
gerçekleştirilerek, avans gibi diğer önemli parametreler sabit
kabul edilmiştir. Veri toplama işlemi sonrasında hava debisinin
kontrol edilmesini sağlayan kelebek plakasının açı değişimine
karşılık motor devrinin değişimine ait faz diyagramı Şekil 3’de
verilmiştir.
-1
ile ifade edilir. Burada, (q ) zaman gecikme operatörü ile
1
60
0
0
B(q 1 )
w(t  nk)
F(q 1 )
1
80
1
tanımlanan B(q ) ve F(q ) kestirilecek skalar polinomları,
“nk” transport gecikmesini, “nb” ve “nf” ise polinom
derecelerini gösterir. (q-1) zaman operatörü örnekleme aralığı
1
ile ilişkili olup, “T” örnekleme zamanı için u(t)q  u(t  T)
olarak yazılabilir.
Hammerstein-Wiener modeline göre doğrusal olmayan
giriş fonksiyonu, sigmoid network, wavelet network,
saturasyon, ölü bölge, parça-parça doğrusal fonksiyon veya tekdereceli polinom olarak tanımlanabilir.
Bu çalışmada doğrusal olmayan giriş modeli için wavelet
network kullanılmıştır.
Sistem tanılama ile ilgili verilen denklemlerde seçilen
parametreler Tablo 1’de verilmiştir.
Kelebek Plakası Açısı (derece)
70
60
50
40
30
20
10
0
0
1000
2000
3000
4000
Motor Devri (rpm)
5000
Şekil 3. Kelebek açısı ve motor devri faz gösterimi.
269
6000
7000
Tanılama işlemi sonucu elde edilen sistem ile gerçek sistem
verisinin karşılaştırılması Şekil 4’de verilmiştir.
son kontrolör bulunur [10,11].
Kontrolörün blok diyagramı Şekil 6’te gösterilmiştir.
7000
Ks
Motor Devri (rpm)
6000
5000
K
4000
W1
G
W2
3000
2000
Şekil 6. Son kontrolör gösterimi.
1000
0
40
45
50
55
60
65
70
Zaman (s)
75
80
85
90
Çevrim şekillendirme metodunun kısaca amacı arzu edilen
Gd çevrim şekline sahip ve sistemi kararlı hale sokan H∞ en
uygun K kontrolörü bulmaktır. Hesaplama sonrasında elde
edilen γ değeri bir hassasiyet göstergesi olup, arzu edilen
çevrim şeklinin Gd’ye ne kadar yaklaşıldığını gösterir. γ = 1 ise
sistem tam olarak arzu edilen şekle sokulmuştur.
Kontrol tasarımında arzu edilen çevrim transfer fonksiyonu
Gd’nin tasarımı önemlidir. Dayanıklı kontrol ancak iyi kazanç
ve faz payları ile mümkün olmaktadır. gm kazanç payı çevrimin
kararlığını kaybedene dek sağladığı kazanç miktarıdır. Yüksek
kazanç payı sistem modellemedeki kazanç hatalarının
kararsızlık oluşturmasına engel olur. ϕm faz payı ise çevrim
kararlığını kaybettiği faz sınırı olarak tanımlanabilir. Genel
olarak dayanıklı kontrol tasarımında 30° ve 60° sistem cevabı
üzerinde salınım olmaması tercih edilir.
Düşük frekanslı bozucu sinyallerin etkisinin bertaraf
edilmesi ve iyi referans takibi için çevrim genliğinin düşük
frekanslarda yüksek olması istenir. gc kazanç geçiş frekansı
çevrimin 0 dB’i kestiği frekans olup bu değerin de
olabildiğince yüksek olması dayanıklılık açısından önemlidir.
Bozucu sinyallerin etkisini azaltmak için çevrimin ilk kısmının
eğimi olabildiğince dik olmalıdır [12]. gc kazanç geçiş
frekansı performans ile dayanıklılık arasındaki geçiş bölgesi
olarak bilinir ve Gd’nin seçiminde önemli bir parametredir.
Tasarım ölçütlerinin frekans diyagramı üzerinde şematik
gösterimi Şekil 7’de verilmiştir.
Şekil 4. Tanılanan sistem ile gerçek sistemin hızı.
Tanımlanan sistemin %81.29 doğrulukla gerçek sisteme
yaklaştığı görülmüştür.
Kontrol tasarımı yapabilmek için tanılanan sisteme ait
transfer fonksiyonu
Po (s) 
281.1s  608.6
s 2  3.773s  2.912
(4)
deneysel olarak kestirilmiştir.
3. Kontrol Tasarımı
Çevrim şekillendirme metodu tabanlı H∞ dayanıklı kontrolör
tasarımında öncelikle nominal sistemin tekil değerleri hedef
çevrim tekil değerlerine göre W1 ve W2 ön ve arka ağırlık
filtreleri ile şekillendirilir. Buna göre arzu edilen çevrim şekli
ile nominal sistem arasında G d  W2 GW1 ilişkisi yazılabilir
[10].
Şekil 5’te çevrim şekillendirme blok diyagramı
görülmektedir.
Gd
W1
G
W2
log|L(j)|
Ks
Bozucu sinyal
dayanıklılık
Şekil 5. Çevrim şekillendirme blok gösterimi.
gc
Normalleştirilmiş sol çarpanlara ayırma metodu (LCF) ile
Ölçüm gürültüsü
1
hedef çevrim G d  M N şeklinde çarpanlarına ayrılabilir
[11]. M ve N matrislerinin hesaplanmasından sonra sistemi
dayanıklı bir şekilde kararlı hale sokan H∞ kontrolörü
K s 
1
1
 I  (I  G d K s ) M
 

Şekil 7. Çevrim transfer tonksiyonu tasarım ölçütleri.
Sistem üzerinde ölçüm gürültüsü söz konusu ise, gc kazanç
geçiş frekansının hemen sonrasındaki genliklerin düşük olması
istenir. Kabaca çevrim şekillendirme yöntemi, performans için
seçilen yüksek kazanç ile dayanıklılık için seçilen düşük
kazanç bölgesinin en uygun şekilde belirlenmesi işlemidir.
Bu kontrol probleminde nominal ve belirsizliklerin dahil
edildiği tüm alt sistemlerin tekil değer gösterimi Şekil 8’de
verilmiştir.
(5)

ile hesaplanır [10,11]. Denklem 4’ten elde edilen Ks daha önce
elde edilen W1 ve W2 ön ve arka şekillendirme filtreleri
kullanılarak
K  W2 K s W1
log
log|L(j
(6)
270
60
Po
40
P
Gd
20
Genlik (dB)
3
K(s)
2
145.8s  5.976e5s  2.253e6s1.739e6
4
3
(7)
2
s  8214s 1.688e7s 3.667e7s3.65e5
olarak elde edilmiştir. Bu LS metodu tabanlı H∞ dayanıklı
kontrolör ile belirsizlikten kaynaklanan olası tüm alt sistemlerin
kapalı çevrim adım cevabı Şekil 10’da verilmiştir.
0
-20
-40
-60 -4
10
1
-2
0
10
2
10
10
10
4
Genlik
Frekans (rad/s)
Şekil 8. Sistemin tekil değerleri.
0.5
Bu kontrol problemi için seçilen Gd çevrim transfer
fonksiyonu
0
10
Gd 
s  0.01
(7)
0
1
1.5
2
2.5
Zaman (seconds)
deneyerek seçilmiştir. Şekil 6’da görüleceği üzere belirsizlik
(15-40) dB genlik ile 50 rad/s frekans dolaylarında
yoğunlaşmaktadır.
Sonraki bölümde belirsizlik içeren sistem ve tüm alt
sistemlerini kararlı hale sokan kontrolör ile ilgili benzetim
sonuçları verilmiştir.
Şekil 10. Olası sistemlerin kapalı çevrim adım cevabı.
Kapalı çevrim cevabında görüleceği üzere hesaplanan
kontrol nominal sistemin tüm alt sistemlerini kararlı hale
sokmaktadır.
Kontrolörün nominal sistemin ve tüm belirsizliklerin dahil
edildiği alt sistemleri için bozucu sinyal karşısındaki
performansı Şekil 11’de verilmiştir. Nominal ve dayanıklılık
ölçütlerinde sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonuna ait S
hassasiyet fonksiyonu kullanılmıştır.
4. Simülasyon Çalışmaları
Açık çevrim nominal sistemin ve belirsizlik içeren tüm alt
sistemlerin adım fonksiyon cevabı Şekil 9’da gösterilmiştir.
Buna göre nominal ve belirsizlik içeren tüm alt sistemlerin
kararlı olduğu görülmektedir.
10
0
250
-10
150
P
Genlik (dB)
200
Genlik
0.5
o
P
100
-20
S
S
o
-30
-40
-50
50
-60 -4
10
0
-2
10
0
10
2
10
4
10
Frekans (rad/s)
-50
0
2
4
6
8
10
Zaman (seconds)
Şekil 11. Bozucu sinyale karşı frekans cevabı.
Şekil 9. Sistem açık çevrim cevabı.
Şekil 11’e göre tasarlanan kontrolör, nominal sisteme ve
olası tüm alt sistemlere etkiyecek düşük frekanslı bozucu
girişleri dayanıklı bir şekilde reddetmektedir.
Benzer şekilde sisteme bozucu sinyal etkimesi durumunda
olası tüm alt sistemlerin zaman alanında cevabı Şekil 12’de
gösterilmiştir.
MATLAB® “loopsyn” alt programı yardımıyla sistemi
arzu edilen çevrim transfer fonksiyonuna yaklaştırarak kararlı
hale sokan kontrolör hesaplanmıştır.
Hesaplamalar sonrasında ulaşılan γ = 1,4162 olup hedef
çevrim transfer fonksiyonuna olan yaklaşma hatası kabul
edilebilir 3.0223 dB değerinde bulunmuştur. Hesaplanan
kontrolör
271
6. Kaynaklar
P
Po
1
1.
Genlik
0.5
2.
0
-0.5
0
3.
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Zaman (seconds)
4.
Şekil 12. Bozucu sinyale karşı zaman performansı.
Grafik incelendiğinde nominal ve tüm alt sistemlerine
etkiyecek adım şeklindeki bozucu giriş sinyalinin etkisi
maksimum 1s içerisinde sıfırlanmaktadır.
Şekil 13’de elde edilen kontrolcünün nominal sistem
üzerindeki performansı verilmiştir. Buna göre 0.6 s oturma
zamanı ile sistem referansı yakalanarak sıfır hata ile takip
edilmektedir.
5.
6.
7.
2500
nominal sistem cevabı
Motor Devri (rpm)
2000
8.
1500
referans giriş sinyali
1000
9.
500
0
0
10.
10
20
30
40
50
60
Zaman (seconds)
Şekil 13. Nominal sistem referans takibi.
11.
5. Sonuçlar
12.
LS metodu tabanlı H∞ dayanıklı kontrolörün yapısal olmayan
belirsizliklerden oluşan içten yanmalı motor gibi dinamik
sistemlerde başarıyla uygulanabileceği görülmüştür.
Gerçekleştirilen dayanıklılık analizleri sonrasında elde
edilen kontrolörün, sistemin olası tüm yapılarına etki edecek
düşük frekanslı bozucu sinyalleri maksimum 1 s içerisinde
sıfırlamaktadır.
Nominal sistemin zaman alanında referans takibi
incelendiğinde maksimum oturma zamanının 0.6 s olduğu
görülmektedir. Bu değer motor gibi yüksek ataletli sistem için
ideal ve kabul edilebilir seviyededir.
Sonuçta H∞ tabanlı çevrim şekillendirme yöntemi ile elde
edilen kontrolcünün gerçek zamanlı motor kontrol
problemlerinde uygulanabileceği görülmüştür. Bu metodun bir
dezavantajı olarak yüksek mertebeli kontrolör elde edilmiştir.
Hankel vb. yöntemler ile mertebe indirgeme çalışması
yapılabilir.
272
Gharip, R., M., and Moavenian, M., “A New
Generalized Controller for Engine in Idle Speed
Condition”, Journal of Basic and Applied Scientific
Research, 2(7)6596-6604, 2012.
Arslan, Ş., ve Alpan, Ö., “Gaz Kelebek Plakasının
Gözlemcili Durum Geri Beslemeli Konum Kontrolü”,
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK-2012, s. 330333, Niğde, 11-13 Ekim 2012.
Sun, X., Scotson, D.,P., and Balfour, G., “A Further
Application of Loop Shaping H-infinity Control to
Diesel Engine Control – Driven-Idle Speed Control”
SAE Technical Paper Series, 2002-01-0197.
Lanzon, A., “Simultaneous Synthesis of Weights and
Controllers in H-inf Loop-Shaping”, Proceedings of the
40th IEEE Conference on Decision and Control
Orlando, Florida USA, Aralık 2011.
Ban, N., Ogawa, H., Ono, M., and Ishida, Y., “A Servo
Control System Using the Loop Shaping Design
Procedure”,World Academy of Science, Engineering
and Technology 36 2009.
Ljung, L., “System Identification Theory for User”,
Prentice Hall , 1999.
Toğun, N., Bayseç G., ve Kara, T., “Benzinli bir Motor
Torkunun Doğrusal Olmayan Modellenmesi ve
Tanımlanması”,
15.
Ulusal
Makina
Teorisi
Sempozyumu, Niğde, 16-18 Haziran 2011.
Toğun, N., Bayseç G., and Kara T., “Nonlinear
Modeling and Identification of a Spark Ignition Engine
Torque”, Mechanical Systems and Signal Processing,
26,s.294–304, 2012.
Crama, P., and Schoukens, J.,“Hammerstein-Wiener
System Estimator Initialization”, Automatica, Volume
40, Issue 9, pp. 1543-1550, 2004.
Le, V. X., and Safonov, M. G.,“Rational Matrix GCD’s
and the Design of Squaring-Down Compensators-A
State-Space Theory”, IEEE Transactions On Automatic
Control, Vol. 37, No. 3, Mart 1992.
Glover, K., and Mcfarlane, D., “Robust Stabilization of
Normalized Coprime Factor Plant Descriptions with Hinf Bounded Uncertainty”, IEEE Transactions on
Automatic Control, Vol. 34, No. 8, Ağustos 1989.
Astrom, K., J., and Murray R., M.,”Feedback Systems”,
ISBN-10: 0691135762, 2008.
Yapısal Belirsizlik İçeren Tepe Vinç Modelinin Dayanıklı Kontrolü
Şinasi Arslan1, Seda Uygurlu1
1
[email protected]
çalışmasını olumsuz yönde etkileyen iç ve dış bozucuların
varlığı yanında dinamik model belirsizlikleri düşünüldüğünde,
bu yöntemlerin sistemde kararlılığı ve performansı
sağlayamadığı görülmüştür.
Özellikle sisteme etki eden sürtünme ve doğrusal olmayan
dinamikler dikkate alındığında bu etkiyi ortadan kaldırmak için
gözlemcili kontrol yöntemleri kullanılmıştır [4]. Bu
yöntemlerde sisteme etki eden doğrusal olmayan dinamikler
sisteme etki eden bozucu sinyal gibi değerlendirilmiş,
tasarlanan gözlemci ve doğrusal kuadratik (LQ) kontrol
yöntemi ile sistem bu etkilere karşı dayanıklı kılmaya
çalışılmıştır. Bu çalışmalarda, bozucuların sisteme etkisi
azaltılabilse bile sistemde yüksek frekanslı harmoniklerin
oluşmasına sebep olduğu görülmüştür.
Özetçe
Tepe vinci, endüstriyel alanlarda, ağır nesnelerin taşınmasında
sıklıkla kullanılan araçlardan biridir. Taşımalar esnasında
taşıyıcı halatın istenmeyen salınımları hem cismin kontrolsüz
bir şekilde hareketine hem de etrafındaki diğer cisimlere ve
canlılara tehlike oluşturur.
Bu çalışmada, istenmeyen
salınımları en aza indirgeyen pozisyon kontrolörü tasarımı
amaçlanmıştır. Tepe vinci yapısı bir araba sarkaç modeli olarak
ele alınmıştır. Sistemin kontrolünde öncelikle nominal model
için H∞ tabanlı dayanıklı kontrol önerilmiştir. Bu model
parametre belirsizlikleri ile genişletilerek sisteme etki eden dış
kaynaklı ve model kaynaklı bozuculara cevap verebilen µsentez tabanlı dayanıklı kontrolör ile performans iyileştirilmeye
çalışılmıştır. Tasarlanan kontrolörlerin etkinliği simülasyon
ortamında test edilerek sonuçlar irdelenmiştir.
Bu konudayapılan son çalışmalar; H  tabanlı dayanıklı
kontrolör (RC), parametre değişimlerine ve ihmal edilen
doğrusal olmayan dinamiklerden kaynaklanan model
belirsizliklerine dayanıklı, çevreden gelen bozucu etkilere karşı
duyarsız yapacak kontrol yöntemi üzerinde yoğunlaşmıştır [8].
RC metotların kullanıldığı çalışmalarda dayaklılık analizi ve µsentez tabanlı kontrol metoduna gerekli önem verilmemiştir.
Bu çalışmada, tek bir doğrultuda hareket eden yük arabası
ve buna bağlı, ucunda yükün olduğu taşıyıcı halat ile
modellenen doğrusal olmayan üç serbestlik dereceli tepe vinci
modeli ele alınmıştır. Burada yük arabasının pozisyonu, salınım
açısı ve taşıyıcı halatın uzunluğu ölçülebilen sistem çıkış
sinyalleri ve arabaya uygulanan kuvvet ile halatı hareket ettiren
kuvvet kontrol sinyalleri olarak alınmıştır.
Doğrusal
olmayan
model
çalışma
noktasında
doğrusallaştırılmıştır. Sistemde parametre değişimleri ile
yapısal belirsizlik içeren sistem modeli oluşturulmuştur.
Sistemin performans gereksinimleri uygun ağırlık
fonksiyonlarıyla gösterilmiş ve sistemin genişletilmiş modeli
1. Giriş
Elle kumanda edilen tepe vinci yatay doğrultudaki ivmelenme,
sistemin kontrolünü ve güvenliğini olumsuz yönde etkileyen
salınımlara yol açar. Bu durum, yükün istenilen pozisyona en
kısa zamanda en az salınımla taşınması için sistemin hassas ve
dayanıklı kontrolünü gerekli kılmıştır.
Kontrol etkinliğini artırmak için sistemin gerçek dinamik
davranışını yansıtan farklı matematiksel modeller önerilmiştir.
Birçok uygulamada, yük arabasının tek doğrultuda hareket
ettiği, taşıma halatının ise sağlam kabul edildiği sistem
modelinin, gerçek sistemin dinamik davranışına oldukça yakın
sonuçlar verdiği görülmüştür [1]. Bunun dışında, bazı
çalışmalarda,
taşıyıcı halattaki esnemeler göz önünde
bulundurulmuş ve oturma zamanının oldukça büyük olduğu
gözlenmiştir [2]. Sistemin kontrolüne yönelik birçok çalışmada
en uygununu bulma kontrol yöntemleri, tepe vincinin doğrusal
modeline uygulanmıştır [3]. Bu uygulamalarda, kullanılan
doğrusal modelin, sistemin gerçek dinamik davranışını
yansıtmakta yetersiz kaldığı görülmüştür. Sisteme etki eden
rüzgar, darbe, sürtünme gibi dış etkenlerin doğrusal olmayan
etkilerinin doğrusallaştırılması sistemin performansını olumsuz
yönde etkilemiş ve kontrol etkinliğini azaltmıştır. Bunun
üzerine, tepe vincinin kontrolünde, doğrusal olmayan model ve
buna uygun kontrol yöntemlerine başvurulmuştur [4,5]. Bu
yöntemlerin geleneksel PID kontrol ve kutup yerleştirme
yöntemlerine göre daha başarılı olduğu ileri sürülmüştür.
Tepe vincinin minimum salınımlı pozisyon kontrolü
araştırmacıların uzun zamandır ilgisini çekmektedir. Bu kontrol
probleminin çözümü için kayan kipli kontrol [6], bulanık
mantık kontrol [3], uyarlamalı kontrol [7] gibi birçok kontrol
yöntemlerine başvurulmuştur. Fiziksel sistem modelinin kesin
olarak bilindiği kabulüyle başvurulan bu yöntemler oldukça
etkili yöntemlerdir. Buna karşın sistemin kesin bir modelini
oluşturmak mümkün değildir. Kontrol edilemeyen ve sistemin
oluşturulmuştur. Nominal sistemin kontrolü, H  tabanlı RC
olarak çözülmüş, tasarlanan bu kontrolörün belirsizliklerle
sistemin
kararlılığını
ve
performansını
karşılayıp
karşılayamadığı μ-analizi ile test edilmiştir.
Belirsizlik içeren sistem modeli kullanılarak, dayanıklı
kararlılık ve performansı D-K tekrarlama metodu ile yapılan μsentez tabanlı kontrol metodu ile garanti altına alınmıştır.
Sonuçlar Matlab simülasyon ortamında elde edilmiş ve
değerlendirilmiştir.
2. Fiziksel Sistemin Tanımı
Yatay doğrultuda hareket eden bir yük arabası ve ucunda yük
asılı bir taşıyıcı halattan oluşan tepe vinç modeli Şekil 1’de
gösterilmiştir.
273
Ft
y
ile ifade edilir. Sistemin x, θ ve L konumları için doğrusal
olmayan dinamik denklemleri
M
x(t)
Fh
x t 
x
L
∀


θ(t)
1
M
1
 t  d L L sin ];
[Ft  Fh sin   xd
ML
 t  d L L sin ]cos 
[gM sin   [Ft  Fh sin   xd
 2ML  ] 
m
Şekil 1. Tepe vinç modeli.
 
L
1
Mm
d 
m
(3)
;

[ Ft m sin   (msin 2   M)(Fh  d L L)
Oluşturulan Ft(t) tahrik kuvveti arabanın x(t) yatay

sürtünme kuvvetine karşı ileri-geri hareket
doğrultuda d t x(t)
etmesini sağlar. Taşınacak yük sağlam olarak kabul edilen bir
halatla dθ sürtünme katsayılı bir döner mafsalla arabaya
 sürtünme kuvvetine karşı Fh(t) halat
bağlanmış hareketi d L L(t)
tahrik kuvveti ile sağlanıp θ(t) salınım açısıyla yatay bir
düzlemde hareket ettiği kabul edilmiştir. Modelle ilgili
paremetreler Tablo 1’de verilmiştir.
elde edilir. Sistemin modeli oluşturulurken arabayı hareket
ettiren motor ve dişli kutusu yerine direkt olarak Ft(t) tahrik
kuvveti kullanılmıştır. Taşıyıcı halatın kütlesi ve esnekliği ise
göz ardı edilmiştir.
Tablo 1. Modelde kullanılan parametreler.
Sistem kontrol amacına uygun olarak belli çalışma noktaları
etrafında doğrusal davranır. Burada küçük konum değişimleri
Parametre
M
m
L
L0
dt
dθ
dL
g
Açıklaması
Arabanın kütlesi
Yükün kütlesi
Halat boyu
Halat ilk boyu
Araba yolundaki sürtünme
katsayısı
Halat makarasının dönme
eksenindeki sürtünme
katsayısı
Halat ile makara arasındaki
sürtünme katsayısı
Yerçekimi ivmesi
 t sin   Mm(L 2  g cos )]
 mxd
3.2. Doğrusal Model
Nominal değeri
1.0 [kg]
3 [kg]
1.0 [m]
    , L  L o  L, L  L
x  x,
sin   , cos   1, xy  0 x y  0
kullanılarak Denklem 3’den
5.125[kg/s]
1
 t]
[Ft  mg  xd
M
d 
d 
  1 [gM  F  F  xd
)
 t ]    L(   

t
h
ML o
m
m
F d L

L h  L
m
m

x
0.0033[kg/s]
40[kg/s]
9.81 [m/s2]
Sistem üç serbestlik derecesine sahip olup hareketi Ft(t)
arabanın tahrik kuvveti ve Fh(t) halat tahrik kuvveti kontrol
girişi olarak uygulanan kuvvetlerle sağlanır. Sistemin hareket
denklemleri Lagrange denklemi
C  L(
(1)
x L  x  Lsin 
y L    L o   L 
CxL  L
konum belirsizliği ikinci bir bozucu giriş etkisi olarak
düşünebilinir. Denklem 5, 6 ve 7’den sitemin durum uzay
x  Ax  B   Bu u
y  C y x  D y   D yu u

 ,  , L, L]
x  [x, x,
T
y  [x L , ,L]T
 1/2Mx 1/2m(x  L   L 2 x L sin 2 x  L cos ) mgL cos 
2
2
R 1 2d t x  1/2d t  1 2d L L
2
T
(7)
y L   Lcos 
Lagrange denkleminde kullanılan Langrage ve Rayleigh
fonksiyonu, genelleştirilmiş kuvvetler ve koordinatlar
2
(6)
x L  x  L o   L
3.1. Doğrusal Olmayan Model
2
d  
);
 
m
dinamik belirsizlik bozucu giriş etkisi olarak düşünebilinir.
Aynı şekilde yük konumunun doğrusallaştırılmasından oluşan
kullanılarak elde edilir. Burada, Γ toplam kinetik enerji ile
toplam potansiyel enerji farkı olan Lagrange fonksiyonu, qi
genelleştirilmiş koordinatı, R Rayleigh fonksiyonunu ve Qi
genelleştirilmiş dış kuvvetleri göstermektedir.
Önce doğrusal olmayan hareket denklemleri elde edilir.
Sonra bunlar doğrusallaştırılarak kontrolör tasarımında
kullanılır.
2
(5)
sistemin doğrusal modeli elde edilir. Burada doğrusallaşma
işleminde oluşan
3. Sistemin Dinamik Modeli
d 
 R
( )

 Qi

dt q i
q i q i
(4)
2
2
u  [Ft ,Fh ]T
(2)
  [C xL ,C ]T
T
Q i   Ft , Fh  , q i   x, , L 
274
(8)
N iç bağlantılı nominal sistemdeki ağırlık filtreler Şekil 3’de
gösterilmiştir.
ile ifade edilir. Burada, x  R 6 x1 , y  R 3x1 ,   R 2x1 , u  R 2x1
vektörler olup diğer parametreler
0

0

0

A
0


0

0

1
0
dt
M
d t mg
0
0
dt
MLo
0
0
0
0
1
0
M
g
(1 
dtm L
Lo
d
)
0
0
0
0
0
0
 0
 1


0
 M

 0
0
1


B u   1
 ;C y   0
0
 ML
 0


 0
0


1
 0

m

D  [D y D yu ];
o
0
M
M
0
0
0
0


0
0 
0



0
0


;
B

  0
0




1 
0
0
d L 


m 
0
0
0
1
Lo
0
0
C xL
Wcx
C
Wcθ





;





-
x
+
Lo
0
0
0
1
0
1
0
0
0 ; D
0
0
0
1

0

 0

 0
Wpx
θ
L
-
Ft
eL
WpL
∑
+
WFt
WFh
Fh
enx
(9)
∑
∑
+
+
∑
enL
∑
0
0
0
0
0
0
0
0

0
epft
epfh
Wnx
+
nθ
+
-
epL
nx
+
-
enθ
epx
Wpθ epθ
Gnom
Wnθ
∑
+
nL
WnL
n x
n 
n L
+
+
0
ex
∑
rx

rL
Şekil 3. Nominal model açık çevrim iç bağlantı yapısı.
WW giriş ve Wz çıkış filtreleri
WW  Wcx , Wc , Wn , Wnx , WnL 
4. Dayanıklı Kontrol
Wcx  0.0001; Wc  0.0001; Wn 
Sistemde parametre değişimleri, ihmal edilen ve
modellenemeyen dinamikler ve çevresel faktörler belirsiz
etkiye yol açarlar. RC yöntemi ile bu belirsiz etkilere rağmen
sistemin kararlılığının sağlanması ve sistem performansının
iyileştirilmesi hedeflenir. Bu hedefler doğrultusunda ilk adım
ağırlık fonksiyonlarının seçimini yapmaktır [9].
8.104 s  0.2
;
s  40
Wnx  0.01; WnL  0.01;
(12)
Wz  Wpx , Wp , WpL , WFt , WFh  ;
1
10
0.1
; Wp 
; WpL 
s  103
s  10
s  104
5.103 s  0.1
105 s  2.106
WFt  0.08
; WFh  0.1
8
5.10 s  1
s  2.107
Wpx 
4.1. Ağırlık Filtreleri
Sistemde tüm performans gereksinimlerinin aynı anda
karşılanması mümkün olmadığından bu hedefler arasındaki
geçiş uygun ağırlık filtrelerinin seçimiyle mümkündür.
Sistemin hedeflenen performansına ulaşması için
olarak seçilmiş ve frekans cevapları Şekil 4’de gösterilmiştir.
W
60
W
Wu R

(10)
 1   (s)   (Wp1 )

 1   ( R )   (Wu )
(11)
Bu çalışmada sisteme etki eden w   rx
bozucu
giriş
sinyalleri
ve
W
W
şartlarının sağlanmasıyla mümkündür.
dış
W
20
1
Genlik (dB)
WpS
40
rL C xL C  n x n  n L

0
p
pL
Ft
Fh
n
-20
T
-40
T
-60
z  e px e p e pL e pft e pfh 
W
px
-80
T
performans çıktıları ve y n   e nx e n e nL  geri besleme ölçüm
sinyallerinin belirlenmesi ile elde edilen H∞ kontrolörün
tasarımı için Şekil 2’de gösterilen genişletilmiş kontrol yapısı
kullanılmıştır. Bu yapıda giriş ve çıkışı şekillendirmekte
kullanılan ağırlık filtrelerin bant genişlikleri ve kazançları
kapalı çevrim frekans cevapları üzerinden denemeler yapılarak
seçilmiştir.

w
z
N
u
-100
10-4
10-2
10 0
102
104
Frekans (rad/s)
Şekil 4. Sistemin ağılık filtrelerinin frekans cevapları.
4.2. H∞Tabanlı Nominal Kontrolör
Seçilen ağırlık fonksiyonları ile performans hedefleri belirtilen
sistemin kontrolü H  en uygun kontrol problemi olarak ele
 ’den z’ye kapalı çevrim transfer fonksiyonu LFT
alınır. w
doğrusal kesirli dönüşüm
yn
K∞
Tzw  F (N, K  )
Şekil 2. H∞ control yapısı.
275
(13)
1
Tzw  N11  N12K  (I  N 22K  ) N21
(14)
Sistemin ∆ yapısal belirsizlik bloku
elde edilir. H∞ kontrol problemi
(20)
  diag( m I3 , L , dx ,  d , dL )
min Tzw  min max  (Fl (N, K  ))  
ile Fu (G vinc ,  ) LFT’li belirsizlik içeren modeli Şekil 5’de
gösterilmiştir.
(15)

ile ifade edilir. Sistemin kararlılığını sağlayan kontrolör γ üst
limitini tekrarlama ile en aza indirgeyerek sistemi performans
hedeflerine ulaştırır. Bu çalışmada H∞ kontrol problemi
çözümünde Riccati eşitliği kullanılmıştır [14].
∆
y
u

u
Tekrarlama sonucunda tasarlanan on ikinci dereceden K 
Gvinç
yn
kontrolörü ile F (N, K ) kapalı çevrimli sistemin H∞ normu



  0.7160 olarak bulunmuştur.
Şekil 5. Yapısal belirsizlik içeren sistem bloğu.
4.3. H∞ Kontrolörün Dayanıklılık Analizi
Şekil 5’de gösterilen belirsizlik içeren sistemin
genişletilmiş modeli ile Şekil 6’da verilen RC genel yapısı
oluşturulur.
Dayanıklılık analizinin başlangıç noktası, P belirsizlik içeren iç
bağlantılı modelini oluşturmak için belirsizlik içeren modelin
oluşturulması gerekir. Bu çalışmada, m yükün kütlesi ve L
halatın boyunda %20, dt, dθ dL sürtünme katsayılarında %15
değişimin sistemde belirsizliğe yol açtığı kabul edilerek
parametrelerin LFT doğrusal kesirli dönüşüm ile belirsizlik
içeren sistem modeli oluşturulur.
Sistem modelinde, m, l , dx , d ve dL nominal parametre

w
1   m ,  l ,  dx ,  d ,  dL
 1 parametre
belirsizlikleri
Oluşturulan RC genel yapısının dayanıklılık analizinde ∆
belirsizlik bloğu RS analizi için kullanılırken, RP analizinde
 dış kaynaklı giriş sinyallerinden z performans çıktılarına ∆F
w
sanal belirsizlik bloğun dahil edilmesiyle oluşan
ile
d L d L (1p dL  dL ) parametre değişimleri elde edilir. 1 /m ve 1 /L
parametresinin karşılığı Fu (M mi ,  m ) Fu (M Li ,  L )
1

1
m

pm
m
 m (1  p m  m ) 1 ;
1
L

1
L

pl
L
 p {diag( m I 3 ,  L , dx ,  d , dL , F )  m, L ,dx ,d, dLR,  FC
performans belirsizlik bloğu kullanılır. M
(16)
 L (1  p L  L ) 1
1 m
1 m 
 p 1 L 
; MLi   L

 p L 1 L 
,
Fu (M d ,  d ) Fu (M m ,  m )
L
L
LFT’leri ve
0
p

dx
0
M dL  
p
dL
bulunur. Sistemin
dx 
dx 
; M d 
0
p

d
dL 
0
; Mm 
dL
p
1
m
 F ( P, K  ) transfer
y∆
u
Fu (M dx , dx ) ,
M dx , M d , M dL , M m
M

w
matrisleri
M dx 
(21)
}
∆p
(17)
bulunur. d x , d  , d L ve m değişen parametrelerin
Fu (M d ,  d )
75
fonksiyonu w
 dış kaynaklı bozucu sinyallerden z performans
çıkış sinyalleri arasında olup performans belirsizlik bloğu ile
Şekil 7’de gösterilen dayanıklılık analizi genel blok diyagramı
oluşturulur.
ile ifade edilir. LFT’deki M mi ve M li matrisi
 pm
M mi  
 pm
yn
K∞
Şekil 6. Dayanıklı kontrol genel yapısı.
m m(1p m  m ) , LL(1p L  L ) , d x d x (1p dx  dx ) d  d  (1p d  d ) ,ve
m
z
P
u
değerleri, pm , pl , pdx , pd , pdL parametrelerdeki bağıl sapmalar
ve
y∆
∆
u∆
z
Şekil 7. Dayanıklılık analizi genel yapısı.
d 
d 
Sistemin yapısal belirsizliklere dayanıklılığı, µ-Analizi ile
değerlendirilir. µ yapısal tekil değer
(18)
m
m 
  (M)
1
 min{( )  ,det(   M ) 0 }
(22)
T
u    u m1 u m 2 u m3 u L u dx u d u dL  belirsizlik
ile tanımlanır.   (M) değerine max(QM)   (M) inf (DMD1)
T
girişi ve y   ym1 y m 2 ym 3 yL ydx y d y dL  belirsizlik çıkışlarının
dahil edilmesiyle yapısal belirsizlik içeren sistemin Gvinc
genişletilmiş durum uzayı modeli
QQ
x  Ax  Bu u   B   Bu u
y   C y x  D yu u   D y   D yu u
DD 
alt ve üst sınırı ile yaklaşılır ve doğrusal matris eşitsizliği
(LMI) kullanılarak sistemin D en uygun ölçeklendirme
matrisleri ile belirlenir. Dayanıklı kararlılık üst sınır değeri
max  (M ) 0.6385 ve dayanıklı performans üst sınır değeri

(19)

11
max  (M) 1.3645 bulunur.

y n  C yn x  D ynu u   D yn   D ynu u
p
performansın
elde edilir.
p
sağlandığı bulunur.
276

Buna göre kararlılığın
 0.7329


 1.5602 ve
belirsizlik üst sınır değerlerinde
Tasarlanan K∞ nominal kontrolör ve Kmu3 µ-sentez tabanlı
kontrolörlerinin sistemin yük konumu, halatın salınım açısı ve
halat boyunun değişimi gerçek zaman cevapları Şekil 8-10’da
verilmiştir.
H  kontrol yöntemi nominal sistem için uygulanmış. Bu
tasarlanan kontrolörün parametre değişimlerine karşı RP
sağlamadığı görülmüştür. Bunun için dayanıklı performans
analizinde kullanılan   yapısal tekil değer üst sınırını
indirgeyen μ-sentez tabanlı dayanıklı kontrolör tasarımına
ihtiyaç duyulmuştur.
2
xL H nominal

x -sentezi
L
1.55
1.5
62
62.5
1
Konum (m)
4.4. μ-Sentezi
μ-sentez tabanlı dayanıklı kontrol tasarımında,µ analizi sisteme
D-K tekrarlama metodu ile birlikte kullanılarak sistemin RS’i
ve RP’i sağlayan Kmu kontrolörü
0.5
0
-0.5
M  F (P, K mu )
-1
ˆ F MD
ˆ 1  
min D
 
r
(23)

K mu
-1.5
0
20
40
60
80
100
120
Zaman (s)
ˆ F MD
ˆ 1 ) 
min max(D
 
r

K mu
Şekil 8. Yükün konum cevabı.
ile bulunur. Tekrarlamaya D̂  0  I12 ve D̂ r 0  I14 başlangıç sol ve
sağ üst sınır ölçeklendirme matrisi ile başlanır ve RP üst
sınırının üçüncü tekrarlamadan sonra
daha
fazla
indirgenemediği görülmüş, tekrarlama bu aşamada bitirilmiştir.
µ-sentezine dayalı RC tasarımı için yapılan D-K
tekrarlamalarının özeti Tablo 2’de verilmiştir.
0.8
 H nominal
0.6
Salınım açısı (rad)
Tablo 2. D-K tekrarlama özeti.
Tekrarlama sayısı: i
Kontrolör derecesi
1
2
3
12
46
82
0
34
70
 mui
3.435
1.423
0.931
max   (M i )
3.239
1.422
0.929
K mu 3
kontrolörü
 -sentezi
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
Toplam D derecesi

-0.8
-1
0
20
40
60
80
100
120
Zaman (s)
Şekil 9. Taşıyıcı halatın salınım açısı cevabı.
1.2
dayanıklı
kırkıncı
kararlılık
dereceden
analizi
üst
1
sınırı max  (M11 )  0.205 ,
0.8

performans
analizi
üst
sınır
max   (M)  0.9185 bulunması
ile
birinci
p
eşitsizliği
tekrarlama
p
bitirilmiştir. Buna göre kararlılığın

 1.0887 belirsizlik
üst
sınır




dayanıklı

L H nominal
ile
 4.878 ve
Taşıyıcı halat boyu (m)
Tasarlanan
performansın
değerlerinde
sağlandığı
bulunur.
L -sentezi
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0
H∞ tabanlı nominal K∞ nominal kontrolör ve µ-sentez tabanlı
Kmu4 dayanıklı kontrolörlerin RS ve RP analizleri sonucunda
sistemin dayanıklılığının sağlandığı belirsizlik üst sınır
değerleri Tablo 3 ’de verilmiştir.
Kontrolör
Dayanıklılık üst sınırı
RS
RP
max   (M11 )
max  p (M)


1.3645
1.5602
0.7329
Kmu4 kontrolör
0.205
0.9185
4.8780
1.0887
80
100
120
sınırlandırılmış belirsizlik bloğu ile kapalı çevrimli sistemin en
kötü performansı
W(M, , ) 

0.6385
60
Zaman (s)
Tasarlanan K∞ ve Kmu4 kontrolörleri ile oluşturulan kapalı
çevrimli sistemlerde, belirsizliklerin artışı karşında sistem
performansındaki değişim, performans düşüş eğrisi ile
    normla
değerlendirilir.   0 olmak üzere
Belirsizlik üst
sınırı
RS
RP

p
K∞ kontrolör
40
Şekil 10. Taşıyıcı halatın boy değişim cevabı.
Tablo 3.Dayanıklılık analizi sonuçları.
Analiz
sonuçları
20
max

max  (  )

Fu (M, )

(24)
ile ifade edilir. Şekil 11’de performans düşüş eğrisi
gösterilmiştir.
277
2
Performans düşüş eğrisi ile artan belirsizliklere karşı H∞
nominal kontrolörün dayanıklı performansı sağlamada başarısız
olduğu sonucuna varılmıştır.
Her iki kontrolör için performansın sağlandığı belirsizlik
üst sınır değerleri en kötü performans sınır değerleri olarak
değerlendirildiğinde, bu noktalarda H∞ nominal kontrolör ile
taşıyıcı halatın salınım açısında aşımın yükseldiği ve
dalgalanmaların arttığı gözlenmiştir.
Belirsizliklere karşı sistemde dayanıklılığı sağlamada
başarılı olmasına rağmen yüksek dereceden tasarlanan µ-sentez
tabanlı dayanıklı kontrolörün, sistemde artan hesaplama yükü
getirmesi, kontrolör derece düşürme yöntemlerine ihtiyacı
doğurmuştur.
H nominal

1.8
 -sentezi
1.6
1.4
W(M, , )
wc, =0.732
1.2
1
wc, =1.088
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
|| , ||
Şekil 11. Performans düşüş eğrisi.
7. Kaynaklar
En kötü durumda kontrolörlerin yük konumu ve halat salınım
1. Trabia, M. B., Renno, J. M., and Moustafa, K. A. F.,
“Generalized Design of an Anti-swing Fuzzy Logic
Controller for an Overhead Crane with Hoist”, Journal of
Vibration and Control, Vol. 14, pp. 319-346, 2008.
2. Alli, H., and Singh, T., “Passive Control of Overhead
Cranes”, Proceeding of the 1998 IEEE International
Conference on Control Applications, pp. 1046-1050,
Trieste, Italy, 1-4 September 1998.
3. Mahfouf, M., Kee, C. H., Abbod, M. F., and Linkens, D.
A., “Logic-based Anti-Sway Control Design for Overhead
Cranes”, Neural Computing and Applications, Vol. 9, pp.
38-43, 2000.
4. Uchiyana, N., “Robust Control for Overhead Cranes by
Partial State Feedback”, Proceedings of the Institution of
Mechanical Engineers, Part I: Journal of Systems and
Control Engineering, pp. 575-580, 2009.
5. Fang, Y., Dixon, W. E., Dawson, D. M., and Zergeroglu,
E., “Nonlinear Coupling Control Laws for an
Underactuated Overhead Crane System”, IEEE/ASME
Transactions on Mechatronics, Vol. 8, No. 3, pp. 418-423,
2003.
6. Kuo-Kai Shyu, Cheng-Lung Jen, and Li-Jen Shang,
“Design of Sliding-Mode Controller for Anti-Swing
Control of Overhead Cranes”, IEEE Industrial Electronics,
IECON pp. 412-417, 2006.
7. Jung, H. Y., and Kuang, S. Y., “Adaptive Coupling
Control for Overhead Crane Systems”, Industrial
Electronic Society, IECON 2005, 31 st Annual
Conference of IEEE, pp. 1858-1863, 2005.
8. Cho, H.C., Lee, J. W., and Lee, Y. J., and Lee, K. S.,
“Lyapunov Theory Based Robust Control of Complicated
Nonlinear Mechanical Systems with Uncertainty”, Journal
of Mechanical Science and Technology, Vol. 22, pp.
2142-2150, 2008.
9. Zhou, K., Doyle, J. C., Glover, K., “Robust and Optimal
Control”, New Jersey, Prentice Hall, 1996.
açısı zaman cevapları Şekil 12 ve 13’de verilmiştir.
2
wc x H nominal

wc x -sentezi
1.5
1
Konum (m)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
20
40
60
80
100
120
Zaman (s)
Şekil 12. En kötü durumda yükün konum cevabı.
0.8
wc  H nominal
0.6

wc  -sentezi
0.4
Salınım açısı (rad)
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
0
20
40
60
80
100
120
Zaman (s)
Şekil 13. En kötü durumda taşıyıcı halatın salınım açısı cevabı.
6. Sonuçlar
Bu çalışmada, bir tepe vinci için H∞ nominal ve µ-sentez
tabanlı dayanıklı kontrolörler tasarlandı. Nominal sistemin
zaman cevapları incelendiğinde her iki kontrolörün yük
konumları için birbirine yakın cevaplar verdiği, halatın
boyundaki değişim söz konu olduğunda H∞ nominal
kontrolörün cevap verme süresinin az olması sebebiyle daha iyi
performans verdiği görülmüştür. Buna karşın halatın salınım
açısı cevabı değerlendirildiğinde aşımın µ-sentez tabanlı
dayanıklı kontrolöründe küçük olduğu gözlenmiştir.
278
Bir Aktif Süspansiyon Sistemin µ-Sentez Tabanlı Dayanıklı Kontrolü
Şinasi Arslan1, Seda Uygurlu 1
1
[email protected]
zaman dayanıklılığı koruyamadığı ve tasarımcıyı yanılttığı
görülmüştür. Bu durum araştırmacıların dikkatini, μ-sentezine
(D-K tekrarlaması) dayalı kontrolör tasarımına çekmiştir [6].
Bu çalışmada, bir çeyrek taşıtın aktif süspansiyon
modelinde seyir konforu performansının artırılması, taşıtın
gövdesinin dikey ötelemesinin kontrolü ile ivmesinin en aza
baskılanması için H∞ tabanlı kontrolör tasarlandı.
Bu kontrolörün yapısal belirsizlik içeren sistemin dayanıklı
karalılığını (RS) ve dayanıklı performansını (RP) sağlayıp
sağlamadığı μ-dayanıklılık analizi ile değerlendirilmiş ve
sistemin kontrolünün RS ve RP’larını garanti altına almak için
μ-sentezi metodu kullanılmıştır. Sonuçlar Matlab simülasyon
ortamında elde edilerek değerlendirilmiştir.
Özetçe
Bu çalışmada, bir çeyrek taşıt aktif süspansiyon sisteminin
performansını iyileştirmek için µ-sentez metodu tabanlı bir
dayanıklı kontrolör önerilmiştir. Önce sistemin nominal modeli
için H∞ tabanlı dayanıklı kontrolör tasarlanmış, ardından, µsentez metodu ile sistemdeki parametre değişimlerine karşı
sistemin duyarlılığını ve performansını iyileştirecek bir
kontrolör tasarlandı. Kontrolörlerin etkinliği, tümsekli yol
üzerinde nominal model ile yapılan simülasyon çalışmalarında
gözlenerek değerlendirildi.
1. Giriş
2. Fiziksel Sistemin Tanımı
Taşıtlar aksları, dönen mafsallı tekerlekleri ve süspansiyon
sistemleri ile birlikte pürüzlü yollardan ve dışarıdan etkiyen
kuvvetlerle kütle yay ve sönüm elemanlarıyla oluşan bir
titreşim sistemi gibi davranış gösterirler. Taşıt süspansiyon
sistemlerin temel fonksiyonları, yol pürüzlülüğünden
kaynaklanan titreşimlerin taşıt gövdesine etkisini azaltmaktır.
Şekil 1’de gösterilen süspansiyon sistemini oluşturan iki
serbestlik dereceli çeyrek taşıt modelinde, taşıt kütlesi m1
yaylanmalı kütle, aks ve tekerlek kütlesi m2 yaylanmasız kütle
ile gösterilir. Lastiğin seyir boyunca yol ile temasının
kesilmediği kabul edilmiş k2 katsayılı yay ve b2 katsayılı sönüm
elemanı olarak, sistemdeki süspansiyon ise k2 katsayılı yay ve
b1 katsayılı sönüm elemanı ile modellenmiştir.
Taşıt titreşimleri seyir konforu, yol tutuş ve süspansiyon sapma
aralığı olmak üzere üç önemli performans kıstasıyla
değerlendirilir. Seyir konforu taşıt gövdesinin dikey ötelenmesi
ve ivmelenmesi ile ilgiliyken, süspansiyon bağıl sapması ve
aracın yol tutuşu ise kullanılan sönüm elemanı ve tekerlek
basıncıyla sınırlıdır. Süspansiyon sisteminin beklenen
performans gereksinimlerinin hepsini aynı anda sağlaması
mümkün değildir [2].
Bununla beraber yolcu sayısına ve bagaj yüküne göre
değişen taşıt kütlesi, sisteme etkisi doğrusal olmayan ama
pratikte doğrusallaştırılmış sönüm elemanı ve zamanla değişen
yay katsayısı gibi parametrelerin değişimleri, sistemin
performans düşüklüğüne hatta kararsızlığına dahi yol açabilir.
Bu nedenle, kontrol sistemi parametre değişimlerine ve dış
bozuculara karşı sistemin performansının ve kararlılığının
iyileştirilmesi için kullanılır.
Araştırmalarda belirtilen yukarıdaki gereksinimleri
karşılamak için kontrol probleminin çözümünde tam durum
geri beslemeli doğrusal kuadratik yöntemler kullanılmıştır.
Tam durum bilgisi gerektiren bu yöntemlerde bazı durum
değişkenlerinin ölçümü mümkün olmadığından bunların
tahmini için gözlemcilerle yapılan kontrol yöntemlerine
başvurulmuştur [3]. Bu çalışmalar, sistem performansını
iyileştirmede başarılı olsalar da sistemdeki belirsizliklere karşı
düşük kararlılık payına sahip olup sınırlı limitlerde kararlılık ve
performans sağlamışlardır.
Belirsizliklerin parametre değişimlerinden kaynaklandığı
düşünüldüğünde, H∞ tabanlı dayanıklı kontrolör (RC) yapısal
belirsizlik içeren sistemde μ-dayanıklılık analizi ile test
edilmiştir [4,5]. Bu yönteminin yapısal belirsizliklerle her
sensör
x1
m1
u
k1
kontrolör
b1
sensör
x2
m2
k2
b2
d
Şekil 1. Çeyrek taşıt modeli.
Sistemdeki m1 kütlesinin x1 dikey ötelemesini, m2
kütlesinin x2 dikey ötelemesini ve d yol yüzeyindeki
değişimleri gösterir. u kontrol kuvveti, m1 ve m2 kütlelerinin
279
arasına yerleştirilmiş kontrolör eyleyicisi tarafından sisteme
etki eder. Modelle ilgili paremetreler Tablo 1’de verilmiştir.
tutuş ve seyir konfor performansının aynı anda iyileştirilmesi
mümkün olmadığından beklentilere göre değişen performans
gereksinimlerinden verilen ödün, sistemde ağırlık fonksiyonları
ile gösterilir.
Bu çalışmada, H∞ kontrolörün tasarımı için Şekil 2’de
gösterilen genelleştirilmiş kontrol yapısı kullanılmıştır. Bu
yapıda giriş ve çıkışı şekillendirmekte kullanılan ağırlık
filtrelerinin bant genişlikleri ve kazançları, sistemin performans
hedefleri göz önünde bulundurularak, kapalı çevrim frekans
cevapları üzerinden denemeler yapılarak seçilmiştir.
Tablo 1. Modelde kullanılan parametreler.
Nominal
değeri
Parametre
Açıklama
m1
yaylanan kütle
Değişim
aralığı
250[kg]
yaylanmasız
50[kg]
kütle
süspansiyon
1[kNs/m]
sönüm katsayısı
tekerlek sönüm 0.015[Ns/m]
katsayısı
süspansiyon yay 16[kN/m]
katsayısı
tekerlek yay
190[kN/m]
katsayısı
m2
b1
b2
k1
k2
±%20
0
±%20

w
z
N
0
u
±%20
y
K∞
±%2
Şekil 2. H∞ kontrol yapısı.
3. Sistemin Dinamik Modeli
Sisteme etki eden d bozucu girişin etkisinin azaltılması,
araç gövdesinin x1 dikey yer değiştirme ve x1 dikey yöndeki
ivmelenmeye tanımlı duyarlılık fonksiyonlarının minimize
edilmesiyle mümkündür. ISO-2631-2:1997 (E) standartlarına
göre insan vücudunun, taşıt gövdesindeki dikey ivmelenmeye
karşı en çok duyarlı olduğu frekans (4-8) Hz aralığıdır. Bu
frekans aralığında ivme duyarlılık fonksiyonunun kazancının
azaltılması ile seyir konforu arttırılacaktır.
Tasarımı yapılacak olan kontrolörden, x1 dikey yönündeki
ivmelenme için kullanılan W1 ağırlık fonksiyonu ile belirtilen
performans hedefini sağlaması beklenir.
Süspansiyon sisteminin kontrolünde, başka bir beklenti de
yolun bozucu etkisine karşılık aracın yol tutuş performansının
iyileştirilmesidir. Bu, tekerlek basıncının artırılmasını ve
süspansiyon sapma aralığının en uygun durumda olmasını
gerektirir. Bunun için kontrolörden (x1-x2) süspansiyon sapma
aralığı ile (x2-d) aks ve yol arasındaki sapma için kullanılan W2
ve W3 ağırlık fonksiyonları olarak belirtilen performans
hedeflerini sağlaması beklenir.
Kontrolör eyleminin etkinliği, eyleyicilerin doygunluğa
ulaşmadığı çalışma limitlerinin belirlenmesiyle artırılır. Bu
kontrol probleminde, W4 kontrol ağırlık fonksiyonu ile
gösterilir. Sisteme etki eden d yol bozucu girişin maksimum 7
cm yüksekliğinde olduğu kabul edilmiş, d bozucu sinyalinin
sisteme etkisi Wd giriş sinyali ile gösterilmiştir. y ölçüm
sinyalindeki n gürültüden kaynaklanan ölçme hataları Wn
ağırlık fonksiyonlarıyla gösterilir.
N iç bağlantılı nominal sistemdeki ağırlık filtreleri Şekil
3’de gösterilmiştir.
Sistemin dinamik denklemleri Newton’un ikinci yasası
kullanılarak
m 2 
x 2  b1 (x 1x 2 )  b 2 x 2  k 1 (x 1 x 2 )  k 2 (x 2 d)   u
m1 x1  b1 (x 1 x 2 )  k 1 (x 1 x 2 )  u
(1)
elde edilir. Nominal sistemin durum uzay modeli
x 
 x   A Bu Bd   

 u
(2)
  
 y  C y D yu D y d   
 d 
ile ifade edilir. Burada, x  R 4 x1 durum uzay vektörü, y  R1x1
süspansiyon sapma aralığı u  R kontrol kuvveti, d  R bozucu
sinyal girişi ve diğer parametreler
x   x 1 , 
x1 , x 2 , 
x 2  ; y   x1 x 2 
T
A
 0
  k /m
 1
 0
 k /m
 1 2
1
1
0
 b /m
1
k1/m
1
0
b /m
1
0
1
0
 ( k1
2
 k 2 )/m



1


 (b  b ) /m 
b /m
1
1
1
1
2
2
(3)
T
Bu   0, 1 m1 , 0, 1 m 2 
T
Bd   0, 0, 0, k 2 m 2 
C y  1, 0,  1, 0 ; D yu   0 ; D yd   0
ile ifade edilir.
4. Dayanıklı Kontrol
Çeyrek taşıt süspansiyon sisteminin geri beslemeli kontrolünde,
ihmal edilen ve modellenemeyen dinamikler, parametre
değişimleri ve çevresel dış bozucular, sistem modelinde
belirsizliklere neden olur. RC yöntemleri ile bu belirsiz etkilere
rağmen sistemin kararlılığının sürdürülmesi ve performansının
iyileştirilmesi hedeflenir. Bu hedeflerin ışığında ilk adım
ağırlık fonksiyonlarının seçimini yapmaktır [7].
d
x1
Wd
x1 x 2
Gnom
x2 d
y
u
4.1. Ağırlık Filtreleri
epx1

W2
epx1x2
W3
e px 2d
W4
epu
+
yn
Araç seyir halindeyken yol bozukluğundan kaynaklanan araç
gövdesinin dikey yer değiştirmesi ve dikey ivmelenmesinin
kontrolü, seyir konforunu artırıcı yönde etki eder. Aracın yol
W1
∑
+
W5
Şekil 3. Nominal model açık çevrim iç bağlantı yapısı.
280
n
(4)
oluşturulması gerekir. Bu çalışmada, m1 yaylanmalı kütlede
%20, k1 süspansiyon yay kat sayısında %20, b1 sönüm
katsayısında %20, k2 tekerlek yay kat sayısında %2 değişimin
sistemde belirsizliğe yol açtığı kabul edilerek parametrelerdeki
değişim LFT doğrusal kesirli dönüşüm kullanılarak belirsizlik
içeren sistem modeli Şekil 5’de gösterilmiştir.
Sistem modelinde, m , k , k , ve b nominal parametre
(5)
değerleri,
WW giriş ve Wz çıkış filtreleri
WW  Wd ,Wn 
Wd  0.07; Wn  0.01;
Wz   W1 , W2 , W3 , W4 
2
W1  (s  16s  3152) / (50s 2  9682s  600);
1
W2  (s  40) / (s  0.05);
2
1
bağıl sapmalar ve
W3  (s  19s  3403) / (0.98s  17s  107);
1   m1 ,  k1 ,  k 2 ,  b1  1 parametre belirsizlikleri olmak üzere
W4  (s  0.1) 75(s  500);
m1m1 (1p m1 m1) , k 1k 1 (1p k 1 k1) , k 2 k 2 (1p k 2  k 2 )
2
2
W1
W2
20
W3
0
W4
1 / m1
parametresinin karşılığı Fu (M m1i , m1 )
60
40
ve
parametre değişimleri ile ifade edilir.
b1 b1 (1p b1 b1)
olarak seçilmiş ve frekans cevapları Şekil 4’de gösterilmiştir.
Genlik (dB)
1
p m 1 , p k1 , p k 2 , p b1 parametrelerdeki
1
m1
-20
1

p m1

m1
m1
(9)
 m1 (1  p m1m1 ) 1
ile ifade edilir. LFT’deki M m1i matrisi
-40
 p m1
M m1i  
 p m1
-60
-80
1 m1 
1 m1 
(10)
-100
-120 -3
10
10
-2
10
-1
0
10
10
1
10
2
10
3
bulunur. k1 , k 2 , b1
4
10
değişen
parametrelerin
Fu (M k1 ,  k1 ) ,
Frekans (rad/s)
Fu (M k 2 ,  k 2 ) ,
F (M b1 ,  b1 )
u
LFT’leri ve
M k1 , M k 2 , M b1
matrisleri
Şekil 4. Sistemin ağılık filtrelerinin frekans cevapları.
M k1 
4.2. H∞ Tabanlı Nominal Kontrolör
0
p

k1 
0
p

b1 
;M
k 
k1
Seçilen ağırlık fonksiyonları ile performans hedefleri belirtilen
sistemin kontrolü H alt en uygun kontrol problemi olarak ele
M b1 
1
Tzw  N11  N12 K  (I  N 22 K  ) N21

k2 
k2 
k2
(11)
b1 
T
T
y   y m1 y k1 y k 2 y b1 
belirsizlik çıkışlarının dahil edilmesiyle
yapısal belirsizlik içeren sistemin Gsus genişletilmiş durum
uzayı modeli
(6)
x  Ax  Bu u   Bd d  Bu u
(7)
y   C y x  D yu u   D yd d  D yu u
elde edilir. Buradaki parametreler
(8)
 0
p
m1
Bu 
 0

 0
ile ifade edilir. Sistemin kararlılığını sağlayan kontrolör γ üst
limitini en aza indirgeyerek sistemi performans hedeflerine
ulaştırır. Burada γ üst limitinin en uygun değeri seçilen üst ve
alt limitler arasında tekrarlama yapılarak bulunur. H∞ kontrol
problemi çözümünde Riccati eşitliği veya LMI doğrusal matris
eşitsizliği kullanılır [14].
0
0
0
 p k1 m1
0
p b1 m1 
0
0
0
p k1 m 2
pk2 m2

p b1




m2 
(13)
T
Tekrarlama sonucunda tasarlanan onuncu dereceden K 
C y  1, 0,  1, 0
kontrolörü ile F (N, K ) kapalı çevrimli sistemin H∞ normu


(12)
y  C y x  D yu u   D yd d  D yu u
elde edilir. H∞ kontrol problemi
min Tzw  min max  (Fl (N, K  ))  
0
p

bulunur. Sistemin u    u m1 u k1 u k 2 u b1  belirsizlik girişi ve
 dış kaynaklı giriş sinyalleri, z performans
probleminde w
çıktıları, u kontrol sinyali, y ölçüm sinyali ve N iç bağlantılı
 ’den z’ye kapalı çevrim
nominal sistem olarak adlandırılır. w
transfer fonksiyonu LFT doğrusal kesirli dönüşüm
Tzw  F (N, K  )

1
b1
alınır. Şekil 2’de genel blok diyagramı gösterilen H  kontrol
k2

  k1 m1
 k
1
C y 
 0

 0
  0.4740 olarak bulunmuştur.

4.3. H∞ Kontrolörün Dayanıklılık Analizi
Dayanıklılık analizinin başlangıç noktası, P belirsizlik içeren iç
bağlantılı modelini oluşturmak için belirsizlik içeren modelin
281
b 1 m1
k 1 m1
0
 k1
0
k 2
b1
0
b1 m1 


0 

 b1 
0
  p m1  p k1 m1
 0
0
D y u 
  
0
0

0
0

D y d
  0, 0, k 2 , 0 
D y u
 1 m
24
 p {diag(  m1,  k1, k 2 ,  b1, F )  m 1, k 1, k 2, b 1R,  FC }
, 0, 0, 0
 dış kaynaklı bozucu sinyallerden z performans
fonksiyonu w
çıkış sinyalleri arasında olup performans belirsizlik bloğu ile
Şekil 8’de gösterilen dayanıklılık analizi genel blok diyagramı
oluşturulur.
T
; C y  1, 0,  1, 0 
T
D yu   0, 0, 0, 0 ; D yd  0 ;D yu  0 
∆p
y∆
u
ile ifade edilir.
δm1
um1
+
u
ym1
Mm1i
∑
-
-
x
1/s
1
y
yb1
δb1
x
y
ub1
M transfer fonksiyonu ile  belirsizlik bloğu arasındaki
1
δk1
Fu (M, )M 22 M 21 (1  M 11  ) M 12
-
uk1
yk1
∑
-
uk2
d
yk2
  (M 11 ) 
+
∑
Mk2
ile
-
+ +
b2
1/m2
∑
x
1/s
2
y
1/s
2
y
  (M) 
ile ifade edilir.
(14)
1
(17)
min{ ( p ) det(  M p) 0 }
 (M)

p
değerine max(QM)  p (M) inf  (DMD

1
)
D D 
Q Q 
alt ve üst sınırı ile yaklaşılır.
Dayanıklı kararlılık üst sınır değeri
max   (M11 ) 0.6635
ve

dayanıklı performans üst sınır değeri max  p (M) 1.1668 bulunur.
∆

y
Buna
Gsus
p
x1 x 2
u
Şekil 6’da gösterilen belirsizlik içeren sistemin
genişletilmiş modeli ile Şekil 7’de verilen RC genel yapısı
oluşturulur.
y∆
∆

göre
 0.8570
kararlılığın
belirsizlik
üst


sınır

 1.5072 ve
performansın
değerlerinde
sağlandığı
bulunur.
H kontrol yöntemi nominal sistem için uygulanmış;
bununla beraber ağırlık filtrelerinin kullanılması, sistemde
kısmen belirsizlikler dahil edilmiş gibi düşünülebilir. Bu
tasarlanan kontrolörün parametre değişimlerine karşı RS ve RP
sağlamadığı görülmüştür. Bunun üstesinden gelebilmek için
dayanıklı performans analizinde kullanılan   yapısal tekil
değer üst sınırı sisteme sentez edilerek sistemin dayanıklı
performansı garantilenir.
Şekil 6. Yapısal belirsizlik içeren sistem bloğu.
u
alt ve üst sınırı ile
yaklaşılır.
Sistemin RP’ın sağlandığı üst sınır, µ yapısal tekil değeri
ile Fu (Gsus , ) LFT’li belirsizlik içeren modeli Şekil 6’da
gösterilmiştir.

w
değerine
D D
QQ
x2
(16)
  (M 11 )
max(QM11 )   (M11 ) inf  (DM11D )
x
Sistemin ∆ yapısal belirsizlik bloku
  diag( m1 ,  k1 ,  k2 , b1 )
u∆
edilir.
1
p
d
1
min{  ( ) det(  M 11 ) 0 }
ifade
Şekil 5. LFT’li belirsizlik içeren sistem blok diyagramı.
u
LFT bağlantısında M 22 nominal
sistemin kararlı olması durumunda; kararsızlık (1  M 11 )
teriminden kaynaklanmaktadır. Belirsizlik içeren sistemin
RS’ın sağlandığı üst sınır, µ yapısal tekil değeri
+
Mk1
δk2
z
Şekil 8. Dayanıklılık analizi genel yapısı.
+
∑
Mb1
M

w
x1
1/s
1
(15)
performans belirsizlik bloğu kullanılır. M  F (P, K  ) transfer
(13)
T
T
1
 dış kaynaklı giriş sinyallerinden z performans çıktılarına ∆F
w
sanal belirsizlik bloğun dahil edilmesiyle oluşan
0  p b1 m1 
0
0 
0
0 

0
0 
z
P
4.4. μ-Sentezi
y
K∞
µ dayanıklı performans analizi ve H∞ dayalı kontrol yönteminin
birleşiminden oluşan µ- sentezi D̂  0  I 8 ve D̂ r 0  I 6 başlangıç
Şekil 7. Dayanıklı kontrol genel yapısı.
sol ve sağ üst sınır ölçeklendirme matrisi ile başlatılarak H 
kontrol problemi
Oluşturulan RC genel yapısının dayanıklılık analizinde ∆
belirsizlik bloğu RS analizi için kullanılırken, RP analizinde
282
(x -x ) salınım cevabı
ˆ FM D
ˆ 1  
min D
0 
1 r0
1
20
ˆ FM D
ˆ ) 
min max (D
0 
1 r0
1

0
(18)

K mu1
2
pasif
H nominal

K mu1
 -sentezi
-20
Genlik (dB)
M1  F (P, K mu1 )
ile   13804.72 üst limit değeri ve K mu1 ilk kontrolörü
bulunur.
Doğrusal matris eşitsizliği (LMI) kullanılarak sistemin D
mu 1
-40
-60
-80
1
ve
en uygun ölçeklendirme matrisleri ile
D r1
-100
1
  (M1 ) (D 1M1D r 1 )
p
-120 -2
10
sistemin dayanıklı performans analizi üst sınır eşitsizliği
  (M1 )  13013.09 bulunması
ile
birinci
tekrarlama
-1
10
10
0
1
10
10
2
10
3
Frekans (rad/s)
p
Şekil 10. Sistemin salınım frekans cevabı.
bitirilmiştir. Aynı şekilde beşinci tekrarlama ile kırkıncı
dereceden K mu 5 kontrolörü bulunmuştur. Tekrarlamaya devam
 1.0593 belirsizlik
üst
sınır
değerlerinde
 -sentezi
20
performansın


pasif
H nominal
40
görülmüş, tekrarlama bu aşamada bitirilmiştir.
Buna göre kararlılığın
  1.9834 ve
p
x1 ivme cevabı
60
üst sınırının indirgenemediği
  p (M 5 )
Genlik (dB)
edilmesi halinde
sağlandığı
bulunur.
0
-20
-40
-60
-80
-100 -2
10
H∞
tabanlı nominal ve µ-sentezi tabanlı dayanıklı
kontrolörlerin RS ve RP analizleri sonucunda sistemin
dayanıklılığının sağlandığı m1, k1, k2 ve b1 sınır değerleri
Matlab simülasyon ortamında bulunarak Tablo 2 ’de
verilmiştir.
-1
0
10
10
1
2
10
Frekans (rad/s)
3
10
4
10
10
Şekil 11. Sistemin ivme frekans cevabı.
Kontrolörlerin zaman tanım alanındaki aktif süspansiyon
için gövdenin dikey salınımı Şekil 12’de, süspansiyon bağıl
salınımı Şekil 13’de, gösterilmiştir.
Tablo 2. H∞ nominal kontrolörün dayanıklılık sınırları.
0.12
Parametre değişim sınırları
Parametre
RS
RP
H∞-nominal µ-sentez H∞-nominal
µ-sentez
250±75.4
b1
1000±301.4
k1
16000±4822 16000±6347 16000±2742 16000±3390
k2
190000±5719 190000±7537 190000±3256 190000±4026
250±99.2
250±42.8
250±52.9
1000±396.7
1000±171.4
1000±211.9
x1 (m)
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
Sistemin (1-1.5) saniye aralığında d=7 cm yüksekliğindeki
tümsekten gelen bozucu sinyaline karşı kontrolörlerin frekans
cevapları Şekil 9,10 ve 11’de gösterilmiştir.
0

-sentezi
0.08
m1
-0.04
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Zaman (s)
(x2-d) aks sapması
20
pasif
H nominal
0.1
Şekil 12. Kontrolörlerin dikey salınım cevabı.
pasif
H nominal
0.04

pasif
H nominal
 -sentezi
-20
0.03

0.02
(x -x ) (m)
-60
0.01
2
Genlik (dB)
-sentezi
-40
1
-80
-100
-120
-140 -2
10
0
-0.01
-0.02
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
0
Frekans (rad/s)
Şekil 9. Sistemin aks sapması frekans cevabı.
1
2
3
4
5
6
Zaman (s)
Şekil 13. Kontrolörlerin bağıl salınım cevabı.
283
7
8
9
Gövdenin ivmesinin pasif süspansiyona göre bastırıldığı
Şekil 14’de verilmiştir. Sistemin titreşimlerinin sönümü ve
gövde ivmesinin azaltılması için kontrolörler tarafından
sağlanan kuvvet Şekil 15’de gösterilmiştir.
3
pasif
H nominal
2
-sentezi
1
2
x1 ivme (m/s )
kararlılığının ve dayanıklı performans sınırlarının büyük
olduğu bulunmuştur.
Parametre değişimlerine göre süspansiyon dikey bağıl
hareketini bastıran µ-sentez tabanlı kontrolör; taşıt gövdesinin
ivmelemesini azaltmış ve yerçekimi ivmesinin altında
tutmuştur. Aynı zamanda taşıt gövdesinin titreşimini kısa
zamanda sönümleyerek yolcu konforunu sağlayabileceği
saptanmıştır. Her iki kontrolörün frekans cevaplarından taşıt
gövdesinin salınımı (3-10) Hz frekans aralığında (1-10) dB
azalttığı gözlenmiştir.
Elde edilen simülasyon sonuçları kontrolörlerin aktif taşıt
süspansiyon sisteminde konforlu bir seyir sağlaması için gerçek
zaman uygulamasında başarılı olabileceğini göstermiştir.
0
-1
-2
-3
0
1
2
3
4
5
6
Zaman (s)
7
8
9
7. Kaynaklar
10
1. Kanbolat, A., Okuyama, Y., Takemari, F., Laszlo, G.,
Horvat, S., and Bokor, J., “H∞ Vibration Control of Active
Suspension for Automotive Application”, SICE '95.
Proceedings of the 34th SICE Annual Conference, pp.
1341-1346, 1995.
2. Alyaqout, S. F., Papalambros, D. Y., and Ulsoy, A. G.,
“Combined Design and Robust Control of a Vehicle
Passive/Active”, International Journal of Vehicle Design,
Vol. 59, No. 4, pp. 315-330, 2012.
3. Yu, F., and Crolla, D. A., “State Observer Design for a
Adaptive Vehicle Suspension”, Vehicle System
Dynamics, Vol. 30, pp. 457-471, 1998.
4. Tan Tien Nguyen, T. T., Nguyen, V. G., and Kim, S. B.,
“Control of Active Suspension System by Using H∞
Theory”, Transaction on Control, Automation, and
Systems Engineering Vol.2, No.1, pp. 1-6, 2000.
5. Packard, A., and Doyle, J., “The Complex Structured
Singular Value”, Automatica, pp.1-70, 1993.
6. Gaspar, P., Szaszi, I.,and Bokor, J.,” Design of Robust
Controllers for Active Vehicle Suspensions”, 2002 IFAC
15th Triennial World Congress, Barcelona, Spain, 2002.
7. Zhou, K., Doyle, J. C., Glover, K., “Robust and Optimal
Control”, New Jersey, Prentice Hall, 1996.
Şekil 14. Gövde ivme cevabı.
400
H nominal
u kontrol kuvveti (N)
300
-sentezi
200
100
0
-100
-200
-300
-400
0
1
2
3
4
5
6
Zaman (s)
7
8
9
10
Şekil 15. Kontrolörlerin tarafından uygulanan kuvvet.
µ-sentezine dayalı RC tasarımı için
tekrarlamalarının özeti Tablo 4’de verilmiştir.
yapılan
D-K
Tablo 4. D-K tekrarlama özeti.
1
Tekrarlama sayısı
i
2
3
4
5
10
10
20
28
40
0
0
10
18
30
 mui
13804.72
214.852
13.041
1.828
0.957
max   (M i )
13013.09
33.517
6.227
1.103
0.961
Açıklama
Kontrolör
derecesi
Toplam D
derecesi

6. Sonuçlar
Bu çalışmada, bir çeyrek taşıt modeli için parametrik
belirsizlikli aktif süspansiyon sistemine H∞ nominal ve µsentezine dayalı dayanıklı kontrolörler tasarlandı.
Simülasyon ortamında, yoldan gelen bir bozucu sinyale
karşı µ-sentez tabanlı RC’nin kararlılığı ve performansının H∞
nominal kontrolöre göre daha üstün olduğu, dış bozucuların
etkisine karşı sistemin performansını iyileştirdiği, dayanıklı
284
Fırçasız Doğru Akım Motoru için Doğrusal Olmayan Dayanıklı Kontrolcü
Tasarımı
Türker Türker1 , Yavuz Eren1 , Özgür Aktekin1 , Haluk Görgün1
1
Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi, Davutpaşa
{turker, yeren, oaktekin, gorgun}@yildiz.edu.tr
Özetçe
ve gecikmeler vb.
sebeplerle tork ve akım değelerinde
dalgalanmalar meydana gelmektedir.
Literatürde, bu tür
problemlerin çözümüne yönelik kontrolcü tasarımı konusunda
bir çok öneride bulunulmuştur [6, 7, 8, 9].
Bu çalışmada, doğrusal olmayan yapıya sahip fırçasız doğru
akım motorunun hız kontrolü için doğrusal olmayan yapıda
yüksek kazanç öngörülü dayanıklı oransal-integral denetleyici
tasarımı gerçekleştirilmiştir. Lyapunov kararlılık teorisi temelli
analiz ile, parametre değişimlerindeki hata dinamiklerinin sıfıra
yakınsadığı ve elde edilen denetleyicinin sistem kararlılığını
garanti ettiği görülmüştür. Tasarlanan kontrolcü yapısını
test etmek üzere benzetim çalışmaları gerçekleştirilmiş ve
sunulmuştur.
Ayrıca, SMSM için de bu tür problemlerin çözümüne
yönelik çalışmalar yapılmaktadır. SMSM için vuruntu momenti
(cogging torque) pozisyona bağlı olmayıp peryodik karakterli
bir bozucu etkidir ve bu etkinin giderilmesi için yinelemeli
yapıda adaptif öğrenme algoritması önerilmiştir [10]. Mıknatıs
yerleşimleri de stator demir kayıplarını ve ters-EMK şeklini
doğrudan etkilemektedir.
Bu durum, SMSM ile çekiş
gücü sağlanan araç uygulamalarında enerji optimizasyonu çok
önemli olduğundan dikkate alınmalıdır. Laskaris ve Kladas
senkron motor performansı için optimal mıknatıs yerleşimi
ile bozucu etkilerin indirgenmesi üzerine çalışma yapmışlardır
[11]. Bunun yanında, Kshirsagar sinüs biçiminde olmayan tersEMK’ya sahip FDAM için motor performansına etki eden sinüs
biçimli, karesel ve sinüs biçimli olmayan harmonik bileşenleri
göz önüne alınmıştır. Vektör kontrolü temelli yaklaşımla bu
bozucu etkilerin ortadan kaldırılması önerilmiştir [12].
1. Giriş
Fırçasız sabit mıknatıslı motorlar, besleme akımları ve
elde edilen ters-elektromotor (EMK) işaretinin sinüs biçimli
veya ikizkenar-yamuk (trapezoidal) olmasına göre iki gruba
ayrılmaktadır. Ters-EMK işareti sinusoidal olması durumunda
sabit mıknatıslı senkron motor (SMSM), ikizkenar-yamuk
olması durumunda ise fırçasız doğru akım motoru (FDAM)
olarak adlandırılmaktadırlar [1]. Sabit mıknatıslı FDAM
endüstriyel ve evsel uygulamalarda, benzer amaçla kullanılan
diğer motor sınıflarına göre yüksek verim, bakım sıklığının
azlığı, uzun ömürlü olmaları, çalışma sırasındaki gürültülerinin
az olması ve de elektromanyetik girişim seviyelerinin daha
düşük olması sebebiyle tercih edilmektedirler[2],[3].
İdeal durumda SMSM sinüs biçiminde ters-EMK’ya
sahipken, FDAM ikizkenar yamuk (trapezoidal) benzeri tersEMK’ya sahiptir. Ters-EMK sinyallerinin ideal şekilde olması
verimli çalışma koşulları için çok önemlidir. Örneğin, FDAM
tork değeri akışındaki dalgalanmaları azaltmak için, trapezoidal
ters-EMK şeklinin tepe genişliği mümkün olduğunda geniş
olması ve stator akımını ideal dikdörtgen şeklinde verilmesi
gerekmektedir [4]. Bu şekilde tasarlanan makinelerde tork
üzerinde dalgalanmalar önemli ölçüde azalttığından motor
sürücü devrelerindeki karmaşıklık azalmaktadır.
Fakat
uygulamada akı akışının sürekli hale getirilmesi ve sözü edilen
ters EMK şekillerinin elde edilmesi mümkün olmamaktadır. Bu
durum, tasarımda oluk ve manyetik malzeme yerleşimindeki
mekanik sınırlamalar ve de motor sargılarının endüktif
yapısı gereği sürüş devresinin gerekli akım şeklini tam
anlamıyla sağlamasının mümkün olmaması nedeniyle meydana
gelmektedir [5]. Ayrıca işletme sırasında meydana gelen
histerezis kayıpları, komütasyon akımları üzerindeki gürültü
FDAM hem yapısal hem de parametrelerinin çalışma
koşullarına bağlı olarak değişimi göz önüne alındığında yüksek
oranda doğrusal olmayan davranış göstermektedir. Bunun
yanında bozucu etkiler, gürültü ve doyum gibi etkiler de göz
önüne alındığında sistem davranışının kontrol altında tutulması
kolay olmamaktadır [2]. Bu sebeple, dayanıklı denetleyici
tasarımı ile konum, hız ve tork kontrolü için istenilen
performans elde edilebilmektedir. Bu bağlamda, literatürde,
FDAM’nin doğrusal olmayan yapısını kontrol altında tutacak
denetleyici yaklaşımları geliştirilmiştir. Örneğin, Xiu ve
arkadaşları, geleneksel (oransal-integral)PI denetleyici yerine
yüksek performans hız kontrolü için bulanık mantık temelli
adaptif yapıda yapay sinir ağları denetleyicisini önermiştir
[13]. Hemati ve arkadaşları FDAM robotik uygulamaları
için relüktans ve manyetik doyum etkilerini modelleyip
kontrolünü gerçekleştirmiştir [14]. Baik ve arkadaşları sabit
mıknatıslı senkron motorlar için Lyapunov kararlılık teorisi
temelinde yavaş değişen parametreler için model referans
adaptif kontrolcü tasarlamıştır [15]. Kang ve Sul ideal olmayan
ters-EMK’nın var olduğu durumda, FDAM’de meydana gelen
istenmeyen moment titreşimlerini bastırmak için doğrudan
moment kontrolü kavramı kapsamında denetleyici tasarımı
öne sürmüşlerdir [16]. Le-huy ve arkadaşları fırçasız doğru
285
akım motorunun düşük hızlardaki tork dalgalanmasının en aza
indirilmesi problemine çözüm önerisi sunmuşlardır [17].
Literatür incelendiğinde, geri besleme temelli doğrusal
olmayan yapıya sahip dayanıklı denetleyici ile FDAM
dayanıklı hız denetleyici tasarımının önemli bir katkı olacağı
görülmektedir. Geri besleme temelli denetleyici sentezinin
sağladığı avantajlar gereği, doğrusal olmayan davranış gösteren
FDAM hız kontrolünün göreceli olarak parametre değişimlerine
daha duyarsız davranması öngörülmüştür. Dolayısıyla, bu
çalışmada, Kuvulmaz ve Zergeroğlu tarafından belirsizlik
içeren doğrusal olmayan sistemler için öne sürülen doğrusal
olmayan oransal-integral (N-PI) denetleyici yaklaşımı göz
önüne alınmıştır [18]. Tasarlanan denetleyici, ileri besleme
terimindeki yüksek kazanç şartı ile, direnç ve endüktans gibi
motor parametrelerindeki değişimlere karşı duyarlı olup olası
belirsizliklerde faz akımlarında ve rotor hızında oluşan hataları
yok etmektedir. Lyapunov kararlılık teorisi ile parametre
değişimlerine ait hataların sıfıra yakınsadığı ve dayanıklı
denetleyicinin parametre belirsizliklerine karşı direnç gösterip
sistem kararlılığını garanti ettiği gösterilmiştir.
Bu bildiri şu şekilde düzenlenmiştir: İkinci bölümde
FDAM modeli ele alınmıştır. Üçüncü bölümde, FDAM
için dayanıklı hız denetletici tasarımı ve kararlılık analizi
sunulmuştur.
Dördüncü bölümde benzetim çalışmaları
gerçekleştirilmiştir. Son bölümde ise bildiri ile ilgili elde edilen
sonuçlar ve gelecek çalışmalar ele alınmıştır.
1
T
0.6
Ters EMK deðiþimi
0.4
0
−0.2
−0.6
−0.8
−1
0
1
2
3
θe (rad)
4
5
6
Şekil 1: Ters EMK değişimleri.
belirsizliği de hesaba katılmıştır. İkizkenar yamuk biçiminde
değişen ters EMK ET ∈ ℜ3 ile gösterilirse, bu çalışma için
kabul edilen modeldeki ters EMK (E) ve ET ’nin, motorun A
fazı için elektriksel açıya göre değişimleri Şekil 1 ile verilmiştir.
Çalışmanın bundan sonraki kısmında ∆E , E − ET olarak
tanımlanmakta, ve E’nin bilinmediği varsayılmaktadır.
3. Kontrolcü Tasarımı ve Kararlılık Analizi
Bu çalışmada benzetimi oluşturulan motor hız kontrolü sürücü
sisteminin blok diyagramı Şekil 2 ile verilmektedir. Bu
blok diyagramda verilen kontrolcülerin tasarımı ve kararlılık
analizleri alt bölümlerde sunulmaktadır. Sürücü yapısı, hız ve
akım döngüleri olmak üzere iki ana döngüden oluşmaktadır.
Hız döngüsünde, girilen hız referansına göre bir hız hatası
oluşturulmuştur.
Eşitlik (3) ile verilmiş olan motor hız
dinamik denkleminde, motor momenti sisteme sanal bir
giriş gibi varsayılmış, ve motor hız hatasını sıfırlayacak
biçimde tasarlanmıştır. Akım döngüsünde ise bu sanal giriş
referans giriş gibi kabul edilmiş, ve gerekli matematiksel
işlemler sonucunda her bir motor fazı için akım referansları
üretilmiştir. Faz akımlarının, oluşturulan bu referans işaretleri
takip edebilmesini sağlamak üzere, akım döngüsü için de bir
dayanıklı kontrolcü tasarlanmıştır.
Fırçasız doğru akım motorunun dinamik denklemleri
i. Endüktans ve direnç değerlerinin her sargı için eşit olması,
ii. Rotor relüktansının açıya bağlı değişmiyor olması,
iii. Motor fazlarının simetrik yapıda olması,
iv. Sargı akımları toplamının sıfır olması
ön kabulleri altında aşağıdaki gibi verilebilir [19]
dI
= (Vs − RI − E)
dt
dθr
= ωr
dt
dωr
J
= T − Tl − bωr
dt
P
T = kt F T (θr )I.
2
0.2
−0.4
2. Fırçasız Doğru Akım Motoru Modeli
Lm
E
E
0.8
(1)
(2)
3.1. Akım Döngüsü için Dayanıklı Kontrolcü Tasarımı
(3)
Kontrolcü tasarımını gerçekleştirmek üzere, hata dinamiği e ∈
ℜ3 şu şekilde tanımlanmaktadır.
(4)
e = Id − I
Burada, lm sargı öz endüktansı ile karşıt endüktans farkı olup,
Lm = diag(lm , lm , lm ); r sargı direnci olmak üzere R =
diag(r, r, r) biçiminde tanımlanmaktadır. Ayrıca, I ∈ ℜ3
sargı akımlarını, Vs ∈ ℜ3 sargılara uygulanan gerilimleri,
θr ve ωr sırası ile rotor açısal konumunu ve hızını, J rotor
ataletini, T ve Tl motor ve yük momentlerini, b viskoz sürtünme
sabitini, P kutup sayısını, kt moment sabitini, F ∈ ℜ3
ise fazlara göre ters EMK değişimini içeren sütun vektörü
göstermektedir. E ∈ ℜ3 ise sargıların ters EMK bileşenlerini
içermektedir. FDAM için genel kabul, ters EMK’in elektriksel
açı değerine ve motor hızına bağlı olarak ikizkenar yamuk
biçiminde değiştiğidir. Bu kabul, diğer kabuller ile birlikte
modelin belirsizliğini arttırmaktadır. Bu çalışmada, diğer
motor parametrelerindeki belirsizlikler ile birlikte, ters EMK
(5)
3
Burada, Id ∈ ℜ referans akım sinyali olarak tanımlanmakta
ve Id ’nin türevinin sınırlı olduğu kabul edilmektedir. I
ise sargı akımlarını göstermektedir. Bununla beraber hata
fonksiyonunun integrali aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır
Z t
s=
e(τ )dτ .
(6)
0
(5) ifadesi Lm ile çarpıldıktan sonra türevi alınıp, (1) denklemi
ile birleştirilip düzenlenirse aşağıdaki denkleme ulaşılmaktadır
Lm ė = Lm I˙d + RI + E − Vs .
(7)
Burada, R > 0, L > 0, I˙d ,E sınırlı ancak belirsizlik içeren
parametrelerdir. Bu sebeple her bir parametre sırasıyla nominal
286
Şekil 2: Tasarlanan kontrolcü için blok diyagram.
ve belirsizlik içeren kısımları (∆) ile R = RT + ∆R, Lm =
LT + ∆Lm , E = ET + ∆E şeklinde tanımlanmıştır. Bu
belirsizlikleri içeren ve (5) ile tanımlanan hata değerimizin sıfıra
yakınsamasını sağlayacak kontrolcü tasarımı için yardımcı
sinyal olan N ,
N = ∆Lm I˙d + ∆RI + ∆E
biçiminde belirlenip,
bu durumda
fonksiyonunun türevi tekrar yazılırsa
aday
Lyapunov
V̇ = −eT Kr e + eT (Ñ − Kn ρ(e)||e||).
(15)
Ñ ifadesinin üst sınırı yerine yazılıp, gerekli düzenlemeler
yapıldığında
(8)
V̇ 6 −||Kr ||||e||2 + ||e||(ρ(e)||e|| − Kn ρ(e)||e||)
(16)
biçiminde tanımlanmaktadır. Ayrıca, (5) ile tanımladığımız hata
ve bu hatanın türevinin sıfıra yakınsaması durumunda Nd , N
şeklinde tanımlanmaktadır. (7) denklemine Nd ifadesi ekleyip
çıkartılır ve Ñ = N − Nd tanımlaması yapılırsa.
elde edilir. Bu durumda, Kn > 1 olarak seçilip, Kr ’nin
en küçük özdeğeri göz önüne alınıp, (16) ifadesinin son hali
aşağıdaki gibi elde edilir
Lm ė = LT I˙d + RT I + ET − Vs + Nd + Ñ
V̇ 6 −λmin (Kr )||e||.
(9)
elde edilebilir. Burada Ñ için, hata değeri e’nin değerine
bağlı pozitif tanımlı bir fonksiyon ve hatanın iki normuyla,
Ñ
≤
ρ(e)||e|| biçiminde sınırlandırılabildiği kabulu
yapılmaktadır. Bu noktada amacımız, yukarıda belirtilen
parametre belirsizlikleri ile başa çıkacak kontrolcü tasarımı
için gerekli giriş sinyali Vs ile hatanın sıfıra yakınsadığını
göstermektir.
Bu amaç doğrultusunda aday Lyapunov
fonksiyonu aşağıdaki gibi önerilmektedir
V =
1 T
1
e Lm e + sT KI s + Z.
2
2
(17)
(10) ve (17) ile verilen Lyapunov fonksiyonu ve türevi ifadeleri
incelendiğinde, V > 0 ve V̇ 6 0 olduğu görülmektedir ki bu
sonuç V ’nin artmayan bir fonksiyon olmasını ve V ∈ L∞
ifadesini doğrulamaktadır. Bu sebeple, öncelikle belirtmek
gerekir ki, Lyapunov fonksiyonunun bileşenleri ve dolayısı ile
kontrol sinyalleri de sınırlı fonksiyonlardır. Bununla beraber,
(5) ifadesinin, Id sinyalinin türevinin sınırlı olması varsayımı
altında, türevi alındığında ė ∈ L∞ sonucu görülmektedir.
Ayrıca, (17) ifadesinin her iki tarafı integre edildiğinde, e ∈ L2
sonucu da elde edilebilir. Bu sonuçlar ile birlikte Barbalat ön
kuramına göre [20] limt→∞ e(t) = 0 sonucu çıkarılabilir.
(10)
Burada, KI = KIT > 0 ∈ ℜ3×3 , β = β T > 0 ∈ ℜ3×3 , ζ > 0
bir sabit olmak üzere Z,
Z t
Z=ζ−
eT (τ )(Nd (τ ) − β tanh(e(τ )))dτ
(11)
3.2. Hız Döngüsü için Dayanıklı Kontrolcü Tasarımı
Hız döngüsü için tasarlanan kontrolcü yapısı ile akım döngüsü
için tasarlanan kontrolcü yapısı ve her iki kontrolcü için
yapılan kararlılık analizleri birbiri ile hemen hemen aynıdır.
Hız döngüsü için tasarlanan kontrolcüde, viskoz sürtünme
sabiti ve yük momentinin tam olarak bilinmediği varsayılmış,
ve kontrolcü içerisinde bu değişkenlerin tahmini değerleri
kullanılmıştır. Dayanıklı kontrolcü yapısının Bölüm 3.1 ile
verildiği gibi gerçekleştirilmesi sonucunda, uygun kontrolcü
katsayıarının seçilmesi ile birlikte, sistemdeki belirsizliklere
karşı hız hatasının sıfıra yakınsadığı söylenebilir.
0
şeklinde tanımlanmıştır. Z ile verilen ifadenin pozitif tanımlı
olmasının ispatı ve β sabit matrisinin alacağı değer [18]’de
verilmiştir. Kararlılık analizini sürdürmek üzere aday Lyapunov
fonksiyonunun türevi alındığında
V̇ = eT (Lm ė + KI s + β tanh(e))
(12)
T
˙
= e (LT Id + RT I + ET + Ñ − Vs + KI s + β tanh(e))
(13)
4. Benzetim Sonuçları
elde edilir. Dayanıklı kontrolcü tasarımı amacıyla Vs kontrol
girişi, Kr = KrT > 0 ∈ ℜ3×3 ve Kn > 0 ∈ ℜ olmak üzere,
Tasarlanan kontrolcü yapısını test etmek üzere benzetim
çalışmaları gerçekleştirilmiştir.
Benzetim çalışmalarında
kullanılan
FDAM’nun
parametreleri
Tablo
1
ile
verilmiştir.
Kontrol sinyallerinin içeriğinde bulunan
Vs = LT I˙d +RT I+ET +KI s+β tanh(e)+Kr e+Kn ρ(e)||e||
(14)
287
Birim
Ω
H
kgm2
N m/A
Nms/rad
A
Değer
3
0.18
1.43 × 10−3
1.024 × 10−4
0.01547
0.001
5.6
100
90
80
70
60
50
r
Sembol
P
r
lm
J
kt
b
In
ω (rad/s)
Açıklama
Kutup Sayısı
Sargı direnci
Endüktans
Atalet
Moment sabiti
Sürtünme katsayısı
Nominal sargı akımı
40
Tablo 1: Motor parametreleri
30
20
Kr
KI
β
ρ
Kn
Akım döngüsü
diag(0.1, 0.1, 0.1)
diag(4000, 4000, 4000)
diag(30, 30, 30)
0.2
1
Hız döngüsü
0.5
0.01
0.002
0.001
1
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (s)
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Şekil 3: Rotor hızı değişimi.
Tablo 2: Kontrolcü kazançları
40
ve motor parametrelerinin tahmini değerlerini gösteren
RT = r diag(1.1, 0.9, 1.1), LT = lm diag(0.9, 0.9, 1.1),
b = 0 ve yük momenti TLT = 0.15N m olarak belirlenmiştir.
Motor modelinde ise yük momenti
(
0.1N m
, t < 0.5s,
TL =
(18)
0.05N m , t > 0.5s.
V*Sa (V)
20
0
−20
−40
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (s)
0.6
0.7
0.8
0.9
1
40
V*Sb (V)
20
0
−20
−40
40
olarak uygulanmıştır. Akım ve hız döngüleri için ayarlanan
kontrol kazançları Tablo 2’de verilmiş olup, hız referansı ωr∗ =
100rad/s olarak seçilmiştir. Başlangıçta, rotor açısı ve açısal
hızı ile birlkte faz akımları değerleri sıfır olarak atanmıştır.
Benzetim çalışması sonuçlarına göre, rotor hızı değişimi
şekil 3’te verilmiştir. Görüldüğü üzere rotor hızı oldukça
hızlı bir biçimde ve neredeyse üst aşım yapmaksızın referans
değerine yakınsamaktadır. Şekil 4 ise motor fazları için referans
gerilim değerlerini sunmaktadır. Benzetim çalışmalarında
bu referans gerilimler motor fazlarına uygulanmadan önce
normalize edilerek darbe genişlik modulasyonundan geçirilmiş
ve bunun sonrasında motor fazlarına uygulanmışlardır. Motor
faz akımlarının zamana göre değişimleri ise Şekil 5’te
verilmiştir. Şekil 5 incelendiğinde, faz akımlarının, referans
değerlerini takip ettikleri görülmektedir.
V*Sc (V)
20
0
−20
−40
Şekil 4: a,b,c fazları için referans gerilim işaretleri.
i*a − ia (A)
5
0
−5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (s)
0.6
0.7
0.8
0.9
1
5
i*b − ib (A)
5. Sonuçlar
0
−5
Bu çalışmada FDAM’nun rotor hız değişiminin kontrolü
gerçekleştirilmiştir. Doğrusal olmayan yapısı gereği FDAM
parametreleri nominal değerlerinden sapma gösterebilmektedir.
Bu sebeple dayanıklı denetleyici tasarımı gerçekleştirilmiştir.
FDAM için akım ve hız çevrimi olmak üzere iki adımda
dayanıklı denetleyici tasarımı tamamlanmıştır. Tasarlanan
denetleyiciler için kararlılık analizleri gerçekleştirilip,
denetleyici tasarımı için tanımlanan hata değerlerinin
teorik anlamda sıfıra yakınsadığı gösterilmiştir. Tasarlanan
denetleyici yardımıyla istenilen rotor hızı referans değerine,
hızlı ve neredeyse üst aşımsız eriştiği benzetim sonuçları
i*c − ic (A)
5
0
−5
Şekil 5: a,b,c fazları için referans (mavi, kesikli çizgi) ve gerçek
(yeşil, düz çizgi) akım değişimleri.
288
Proceedings of the Control and Decision Conference,
2008.
ile gösterilmiştir. Bunun yanında FDAM’na uygulanan faz
akımlarının referans değerlerine yakınsadığı da benzetim
sonuçları ile sunulmuştur. Gelecekte, FDAM için tasarlanan
denetleyicinin deneysel olarak gerçeklemesi yapılıp, farklı
yöntemler ile tasarlanan denetleyicilere göre etkinliği test
edilecektir. Bunun yanında FDAM için gözleyici temelli
denetleyici tasarımı üzerine araştırma yapılıp daha az
algılayıcı kullanımı ile FDAM kontrolünün gerçeklenmesine
çalışılacaktır.
[11] K. I. Laskaris and A. G. Kladas,
“Permanentmagnet shape optimization effects on synchronous
motor performance,” IEEE Transactions on Industrial
Electronics, vol. 58, no. 9, pp. 3776–3783, 2011.
[12] P. Kshirsagar and R. Krishman, “Efficiency improvement
evaluation of non-sinusoidal back-emf pmsm machines
using field oriented current harmonic injection strategy,”
in Energy Conversion Congress and Exposition (ECCE),
2010.
6. Teşekkür
Bu çalışma, 2012-04-04-KAP01 numaralı proje kapsamında
Yıldız Teknik Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri
Koordinatörlüğü tarafından desteklenmektedir.
[13] J. Xiu, S. Wang, and Y. Xiu, “Fuzzy adaptive single
neuron nn control of brushless dc motor,”
Neural
Computing and Applications, vol. 22, no. 3-4, pp. 607–
613, 2013.
7. Kaynakça
[14] M. Hemati, J. S. Leu, and C. Ming,
“Robust
nonlinear control of brushless dc motors for direct-drive
robotic applications,” IEEE Transactions on Industrial
[1] P. P. Acarnley, D. E. Chang, and J. F. Watson, “Review
of position-sensorless operation of brushless permanentmagnet machines,” IEEE Transactions on Industrial
[15] I. C. Baik, K. H. Kim, and M. J. Youn, “Robust nonlinear
speed control of pm synchronous motor using adaptive
and sliding mode control techniques,” Electric Power
Applications,, vol. 45, no. 4, pp. 1350–2352, 1998.
[2] J. Shao, D. Nolan, and T. Hopkins, “A novel direct back
emf detection for sensorless brushless dc (bldc) motor
drives,” in Proceedings of the Applied Power Electronics
Conference and Exposition(APEC), 2002.
[16] S. J. Kang and S. K. Sul, “Direct torque control of
brushless dc motor with nonideal trapezoidal back emf,”
IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 10, no. 6,
pp. 796–802, 1995.
[3] A. Deenadayalan, “Modified sliding mode observer for
position and speed estimations in brushless dc motor,” in
Proceedings of the India Conference (INDICON), 2011.
[17] L. H. Hoang, P. Robert, and F. Rene, “Minimization of
torque ripple in brushless dc motor drives,” Electric Power
Applications,, vol. 45, no. 4, pp. 1350–2352, 1998.
[4] T. M. Jahns and W. L. Soong,
“Pulsating torque
minimization techniques for permanent magnet ac motor
drives-a review,” IEEE Industrial Electronics Society, vol.
43, no. 2, pp. 321–330, 1996.
[18] J. Kuvulmaz and E. Zergeroglu, “A new high-gain
continuous controller scheme for a class of uncertain
nonlinear systems,” in Proceedings of the 46th Conference
on Decision and Control, 2007.
[5] D. C. Hanselman, “Minimum torque ripple, maximum
efficiency excitation of brushless permanent magnet
motors,” IEEE Transactions on Industrial Electronics,
vol. 41, no. 3, pp. 292–300, 2002.
[19] R. Krishnan,
Permanent Magnet Synchronous and
Brushless DC Motor Drives, CRC Press Taylor & Francis
Group, 2010.
[6] J. Song and I. Choy,
“Commutation torque ripple
reduction in brushless dc motor drives using a single dc
current sensor,” IEEE Transactions on Power Electronics,
vol. 19, no. 2, pp. 312–319, 2004.
[20] H. Khalil, Nonlinear Systems,
NJ:Prentice-Hall, 2002.
[7] Y. Liu, Z. Q. Zhu, and D. Howe, “Direct torque control
of brushless dc drives with reduced torque ripple,” IEEE
Transactions on Industry Applications, vol. 41, no. 2, pp.
599–608, 2005.
[8] H. Lu, L. Zhang, and W. Qu, “A new torque control
method for torque ripple minimization of bldc motors
with un-ideal back emf,” IEEE Transactions on Power
[9] J. Fang, H.Li, and B. Han, “Torque ripple reduction
in bldc torque motor with nonideal back emf,” IEEE
Transactions on Power Electronics, vol. 27, no. 11, pp.
4630–4637, 2012.
[10] Y. Luo, Y. Q. Chen, and Y. Pi, “Authentic simulation
studies of periodic adaptive learning compensation of
cogging effect in pmsm position servo system,” in
289
Upper Saddle River,
Doyumlu Eyleyiciye Sahip Durum Geri-Beslemeli H∞ Kontrolör
İle Otonom Bir Helikopterin Askıda Kalma Kontrolü
Olcay Karadeniz1, Hakan Yazıcı2, İ. Beklan Küçükdemiral3
1
Yıldız Teknik Üniversitesi, Beşiktaş
[email protected]
2
Yıldız Teknik Üniversitesi, Beşiktaş
[email protected]
3
Kontrol ve Otomasyon Mühendisliği Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi, Esenler
[email protected]
Çalışmada, H∞ kontrolörünün, LGQ kontrolöre göre daha
yüksek performansa sahip olduğu gözlemlenmiştir [4]. Castillo
vd., yaptıkları çalışmada helikopterin yumuşak uçuşlardaki
koşullarını göz önüne almışlardır. PID/PD ve Bulanık Mantık
kontrol tekniklerini kullanarak yapılan karşılaştırmada her iki
kontrolörün de başarılı sonuçlar verdiğini göstermişlerdir.
Küçük ölçekli helikopterler için, önerilen her iki kontrolöründe
uygulanabilir olduğunu ortaya koymuşlardır [5]. Huang vd.,
model tabanlı bir helikopterin dikey iniş-kalkış koşullarını
inceleyerek yeni bir PD tabanlı CMEC (CEREBELLER
MODEL ARTICULATION CONTROLLER) kontrolör
tasarlamışlardır [6]. Jensen ve Nielsen, H∞ ve μ kontrolör ile
otonom
bir
helikopterin
kapalı-çevrim
kararlılığını
incelemişlerdir [7]. Hald vd., eyleyici doyumlu LQR (Linear
Quadratic Regulator) kontrol tekniği ile bozucu etkiler altında
otonom bir helikopterin askıda kalma halini farklı senaryolar
için incelemişlerdir [8].
Bu çalışmanın amacı, otonom bir helikopterin bozucu etkiler
altında, askıda kalma halini koruması için yeni bir kontrolör
tasarımı gerçekleştirmektir. Tasarımın en önemli aracı dışbükey
en iyileştirme temelindeki DME’dir. Doyumlu eyleyici yapısı
DME kısıtları şeklinde bilinen durum geri-beslemeli H∞
kontrolörün sentez denklemlerine eklenmiştir. Otonom
helikopterin maruz kalabileceği farklı kötü durum senaryoları
için benzetim çalışmaları yapılmış ve kontrolörün performansı
ve kapalı-çevrim kararlılığı değerlendirilmiştir.
Özetçe
Bu çalışmada, tek rotorlu bir helikopterin askıda kalma halini
koruması için doyumlu eyleyiciye sahip durum geri-beslemeli
H kontrolör tasarımı gerçekleştirilmiştir. Önerilen kontrolörün
tasarımında, dışbükey en iyileştirme temelindeki Doğrusal
Matris Eşitsizlikleri (DME) yaklaşımından yararlanılmıştır.
Doyumlu eyleyici yapısı, denetim işareti üzerinden geliştirilen
DME şeklindeki kısıtlar ile kontrolör mimarisine eklenmiştir.
Çalışmada incelenen tek rotorlu helikopterin matematik
modellemesi yapılarak hareket denklemleri durum-uzay
formunda ifade edilmiştir. Yapılan benzetim çalışmaları ile
modellenen helikopterin kontrollü cevapları zaman tanım
alanında gösterilmiştir. Benzetim çalışması sonuçları,
literatürdeki
çalışmalarda
elde
edilen
sonuçlarla
karşılaştırılarak, geliştirilen doyumlu eyleyiciye sahip durum
geri-beslemeli H kontrolörün performans bakımından
üstünlüğü ortaya konulmuştur.
Anahtar kelimeler: Doğrusal matris eşitsizlikleri, H kontrol,
helikopterin askıda kalma problemi, eyleyici doyumu.
1. Giriş
Son yıllarda otonom insansız hava araçları, askeri ve sivil
alanda artan bir popülerliğe sahiptir [1]. Askeri alanda son
derece stratejik önemi alan otonom araçların, havacılık
endüstrisinde büyüyen bir payı vardır. Bu endüstride döner
kanatlı platformlar (helikopterler), sabit kanatlı platformlara
göre daha az bir paya sahip olmasına rağmen, daha fazla ilgiyi
üzerine çekmektedir. Bu çerçevede, yapısal olarak basit ancak
kontrol edilebilirlik açısından oldukça zor olan otonom
helikopterlerin kontrolü, farklı kontrol teknikleri uygulanmak
suretiyle bir çok akademik çalışmada ele alınmıştır [2].
Literatürde mevcut bulunan çalışmaların çoğunda helikopter
sisteminin askıda kalma hali üzerine incelemeler yapılmıştır
[3]. Morris ve Bendotti yaptıkları deneysel çalışmada, otonom
bir helikopterin kontrolü için, H∞ ve (Linear Quadratic
Gaussian) LQG kontrolör tasarımı gerçekleştirmişlerdir.
2. Helikopter Dinamiği ve Modellenmesi
Helikopterler, çok girişli çok çıkışlı, açık-çevrimi kararsız,
doğrusal olmayan dinamikler içeren ve zamanla değişen bir
yapıya sahiptirler. Bu sebeple, sistemin davranışını en ince
ayrıntısına kadar tanımlayan bir model elde etmek oldukça
zordur [9]. Helikopterlerin modellenmesinde temel olarak iki
metod üzerinde durulmuştur. İlk model mekanik ve
aerodinamik yasalar kullanılarak gerçekleştirilen modellemedir.
İkinci model ise deneysel olarak helikopter üzerinden veri
toplamak suretiyle yapılan sistem tanılama (system
identification) metodudur [10].
290
sapma hareketinin (yaw) oluşmasında rol oynar. Anti-tork
pedalları ile gerçekleştirilir [11]. Bu çalışmada, governorun
sabit olduğu kabul edilerek kontrol giriş vektörü aşağıdaki gibi
seçilmiştir.
2.1 Helikopter Dinamik Modeli
Bu çalışmada ele alınan 6 serbestlik dereceli helikopterin
fiziksel gösterimi Şekil 1’ de verilmiştir. Tablo 1’ de ise
helikopterin hareket sistemine ait tanımlamalar yapılmıştır.
Modellemeye temel alınan helikopter Yamaha R-50 helikopteri
olup, [8] numaralı referanstan alınmıştır. Helikopterin doğrusal
olmayan modeli ise Şekil 2’ de gösterildiği gibi 3 temel bloktan
oluşur.
u(t )  ulat (t ) ulong (t ) ucol (t ) u ped (t ) 
 fz

 m  v.r  w.q 
u  

   fy
V   v     v.r  w. p 
m
 w 

 fz  v.q  v. p 
 m

Tablo 1: Helikopter modeli hareket sistemi
Doğrusal hız
Açısal hız
Doğrusal yer değiştirme
Açısal yer değiştirme
Y-Yönü
v
q
y
θ

Z-Yönü
w
r
z
ψ
(2)
Euler Açıları:


    p  sin( ).tan( ).q  cos( ).tan( ).r 

  

     
cos( ).q - sin( ).r

  
sin( )
cos( )

.q 
  


cos( )
sin( )


(3)
Açısal İvmeler:
 ( I  I ).q.r  L
yy
zz

I xx

 p 
( I  I ). p.r  M
   q     xx zz

I yy
 r  
 ( I xx  I yy ). p.q  N

I zz

Şekil 2: Üç bloklu sistemin dinamik model yapısı
Kuvvet ve tork denklemleri ana rotorun ürettiği itki (TMR) ve
kuyruk rotorunun ürettiği itki (TTR) ile hesaplanır. Rijit gövde
denklemleri helikoptere etkiyen kuvvet (F) ve torklar (τ)
yardımıyla konum (P), doğrusal hız (V), açısal konum (Θ) ve
açısal hızlar (ω) olarak hesaplanır. Çırpma açılarının (β1s, β1c)
denklemleri ise Şekil 3’te gösterilen model yardımıyla çıkartılır.










(4)
Atalet Matrisi:
 I xx

I  0

 0
0
I yy
0
0

0

I zz 
(5)
2.3.2 Kuvvet ve Tork denklemleri:
FMR : Ana rotor itki kuvveti
FTR : Kuyruk rotor itki kuvveti
Fg : Yerçekiminden kaynaklanan kuvvet
Şekil 3: Çırpma açılarının model üzerindeki yeri
2.2
(1)
2.3 Helikopter Doğrusal Olmayan Denklemleri
Helikopterin doğrusal olmayan 6 serbestlik dereceli modelinin
denklemleri aşağıda verilmiştir.
2.3.1 Rijit gövde denklemleri:

Doğrusal İvmeler:
Şekil 1: Altı serbestlik dereceli helikopter hareketi
X-Yönü
u
p
x
φ
T
 b fx 


F   b f y   b FMR  b FTR  b Fg


 b fz 


TMR. sin( 1c )

  0    sin( ).m.g 

 
 
 (6)

TMR. sin( 1s )
  TTR    sin( ).cos( ).m. g 
 TMR .cos( 1s ).cos( 1c )   0  cos( ).cos( ).m. g 
Helikopter Eyleyicileri
b
Hareketleri gerçekleştirebilmek için cyclic kolu, collective kolu,
antitork pedalı ve governoru (düzenleyici) kullanmaktadır.
Cyclic kolu helikopteri yanlamasına ve x-eksenin etrafında
dönme hareketini (roll) sağlar ve (u_lat) kontrol girişi ile
belirlenir. Uzunlamasına ve y-ekseni etrafında yunuslama
hareketini (pitch) ise (u_long) kontrol girişi tespit eder, bu
hareket de cyclic kolu ile sağlanır. Ana rotor pallerinin
tamamımın aynı açıyla eğilmesini sağlayan eyleyici ise (u_col)
girişi ile belirlenir. Dikey yöndeki hareket icra edilir. Dümen
kontrol girişi (u_ped) helikopteri z-ekseni etrafında döndürerek
TMR. sin( 1c )  sin( ).m.g





TMR. sin( 1s )  TTR  sin( ).cos( ).m.g

 TMR. cos( 1s ).cos( 1c )  TTR  cos( ).cos( ).m. g 
291
TMR : Ana rotorun ürettiği tork
TTR : Kuyruk rotor torku
TD : Ana rotordaki sürtünmeden kaynaklanan karşıt tork
 bL 


b
   b M   b MR  b TR  b D


 bN 


 b LMR   b LTR   b LD 

 
 

  b M MR    b M TR    b M D 

 
 

 b N MR   b NTR   b N D 

 
 

Tüm sonuçlar ele alındığında durum-uzay sunum modeli için
bu denklemlerin lineerleştirilmesi gerekmektedir. Kullanılan
metodlar Tablo 2’ de verilmiştir [8].
Tablo 2: Doğrusallaştırma yöntemleri
(7)
Denklem
Operasyon Noktası
u(t ), v(t ), w(t )
0
Linearizasyon
Metodu
Taylor yöntemi
p(t ), v(t ), w(t )
0
Taylor yöntemi
 (t ), (t ), (t )
1s (t ), 1c (t )
0
Taylor yöntemi
0
Block box yöntemi
QMR (t )
c
Nümerik analiz
TMR (t )
c
Nümerik analiz
Doğrusallaştırma işlemleri sonucunda tüm denklemler şu hali
almıştır:
(12)
  u ped (t ).lt    (t ).m.g.lt
m.lt
(13)
g.(lt  lm ). 1s (t )

lt
10101.9   ucol (t )
m
p(t )  (520.4.ht .  1s (t )  ym..m.g .lt  ht .  1s (t ).m.g
w(t )  
 b L   b LMR   b LTR   b LD, MR 

 
 
 

b
   b M    b M MR    b M TR    b M D, MR 

 
 
 

 b N   b N MR   b NTR   b N D, MR 

 
 
 

(14)
(15)
  1s (t ).hm .m.g .lt  520.4.  1s (t ).hm .lt  6.5313.ht
ht . u ped (t ).lt  (10190. ym .lt  115.147.ht ).  u ped (t )).

f y , MR .hm  f z ,TR . ym  f y ,TR .h t QMR .sin( 1c ) 




 b f x .hm  b f z .lm  QMR .sin( 1s )


b
b
b
 f z . ym  f y , MR .lm  f y ,TR .l t QMR .cos( 1c ).cos( 1s ) 


b
6.5313.  1c (t ).
1
I xx .lt
1
I xx
(16)
1
q(t ) 
.(520.4. 1c (t ).hm  m.g.lm  520.4.lm   1c (t ).hm .m.g
I yy
(8)
2.3.3 Pal Açıları Çırpma Denklemleri:
Şekil 3’ te gösterilen ana rotorun itki yönünün belirlenebilmesi
için çıkartılan çırpma açılarının denklemleri aşağıda mevcuttur.
1c (t ) 

Ana rotor sürüklemesi:
QMR (t )  0.0113.TMR  6.5313
v(t ) 
Şekil 4 dikkate alınarak kombine edilen tork denklemleri ise
aşağıda verilmiştir.
b
(11)

İvmeler ve Euler açıları:
u(t )   g.(  1c (t )    (t ))
Şekil 4: Helikopter ağırlık merkezleri
b

Ana rotor itkisi:
TMR (t )  10190. ucol  m.g
10190.lm . ucol (t )  6.5313.  1s (t ))
3.06.107.(3.26.106.BMR 2  816.97. b v 2 (t ).BMR  3275.88. b u (t ).vi )
2
7
b 2
3.06.10 .(2456.91. u (t ).BMR  1637.94. AMR . b v(t ). b u (t )  1.13.105. p(t ))

2
3.06.107.(4.67.105  q(t  1.95.105  ucol (t ). b u (t ))

2
(9)
3.06.107.(1.94.105. .ucol (t ). b v(t )  3.26.106. 2 AMR )
2
7
b
b
3.06.10 .(1637.94.BMR . u (t ). v(t ).vi  4.67.105. . p(t )  3275.88.vi )

2
3.06.107.(2456.91. AMR . b v 2 (t )  818.97. b u 2 (t ). AMR  1.12.105. .q(t ))

2
(10)
1s (t )  
292
r (t )  
(17)
lt . u ped (t )  (10190. ym . u ped (t )  ym .m.g  520.4. ym ). 1c (t )
I zz
10190.lm . ucol (t )  6.5313. 1s (t ))
 (t )   p(t )
(18)
(19)
 (t )   q(t )
 (t )   r (t )
(21)
1s (t )  
1c (t )  
(20)
1
. ASP (t )
(22)
.BSP (t )
(23)
 1s
1
 1c
Doğrusallaştırma işlemleri sonucunda 11 durumlu vektör
sunumu (24) numaralı vektörde verilmiştir.
x(t )  u(t ) v(t ) w(t ) p(t ) q(t ) r (t )  (t )  (t )  (t ) 1s (t ) 1c (t )
d
V ( x)  z1T z1   2 wT w  0
dt
T
Eşitsizlik (29)’un (28) ile birleştirilmesiyle ve D11  0
kabulüyle;
(24)
Çalışmada bozucu etkiler ihmal edilmemiştir. Bozucu etkiler
rüzgar, sensör, iç momentler gibi etkilerdir. Bozucu etkiler
arasında en etkili olan giriş, iç momentlerden kaynaklanan
etkilerdir. Bu etkiler arasında kuyruk rotorunun y-ekseni
yönünde oluşturduğu ivme seçilerek sisteme ilave edilmiştir
[8]. Bu ivme ağırlık merkezine göre bir moment oluşturur ve
(25) numaralı denklemde sabit bir etki olarak sunulmuştur.
K dist  
6.5313
6.5313

 0.1226
m.lt
44.3840.1.2
(29)
( A  B2 K ) x  B1w
T
Px  xT P ( A  B2 K ) x  B1w
(C1  D12 K )T xT (C1  D12 K ) x   2 wT w  0
(30)
eşitsizliği elde edilir. Burada, (30) ’un düzenlenmesiyle
 x  ( A  B2 K )T P  P( A  B2 K )  (C1  D12 K )T (C1  D12 K ) PB1   x 
   0
 w 
B1T P
 2 I   w
  
(31)
T
(25)
matris eşitsizliği elde edilir. Schur tümleyen [12] ile (31)
eşitsizliği,
Doğrusal hale getirilen denklemler durum-uzay formuna uygun
bir hale gelmiştir. Sistemin durum-uzay formu (26) numaralı
gösterimdeki gibidir.
(26)
x(t )  Ax(t )  B1w(t )  B2u(t )
( A  B2 K )T P  P( A  B2 K )
(C1  D12 K )T (C1  D12 K )  PB 1 2 B1T P  0
(32)
Burada, A ve B2 sistem matrisleri olup, B1 bozucu etki
girişinin matrisidir [8]. Matrislerin açık formu Ekler kısmında
verilmiştir.
şeklinde ifade edilebilir. (32)’nin P 1 ile sağdan ve soldan
çarpılmasıyla;
3. Doğrusal Matris Eşitsizliği Tabanlı Doyumlu
Eyleyiciye Sahip Durum Geri- Beslemeli H∞
Kontrolör Tasarımı
 P 1 (C1  D12 K )T (C1  D12 K ) P 1  B 1 2 B1T  0
P 1 ( A  B2 K )T  ( A  B2 K ) P 1
eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin düzenlenmesiyle,
Bu bölümde, DME yaklaşımıyla doyumlu eyleyiciye sahip
durum geri-beslemeli H kontrolör tasarımı gerçekleştirilmiştir.
Doğrusal zamanla değişmeyen bir sistem;
x  Ax  B1w  B2u
 P1 ( A  B2 K )T  ( A  B2 K )P 1  P 1 (C1  D12 K )T (C1  D12 K )P 1 B1 

0
B1T
 2 I 

(34)
(27)
z1  C1 x  D11w  D12u
 1/ 2 0 
 0 ile sağdan
matris eşitsizliği elde edilir. (34)’ün 
1/ 2 
 0  
ve soldan çarpılmasıyla ve X   P1 değişken dönüşümü ile,
şeklinde ifade edilebilir. Burada, x  n durum vektörünü,
z  p kontrol çıkış vektörlerini, w  mw bozucu giriş
vektörünü,
denetim
giriş
vektörünü
u  mu
göstermektedir. A , B1 , B2 , C1 , D11 ve D12 matrisleri ise
 X ( A  B2 K )T  ( A  B2 K ) X B1  1
T

  X (C1  D12 K ) (C1  D12 K ) X  0 (35)
T

B


I
1


sistemin bilinen uygun boyutlu durum-uzay matrisleridir.
Denetim girişinin u  Kx, (K  mun ) gibi durumların
doğrusal bir fonksiyonu olduğu kabulünden yola çıkarak, kapalı
çevrim sistemi,
x  ( A  B2 K ) x  B1w
DME yazılabilir. Buradan, yine Schur tümleyeni kullanılarak
(28) ’de tanımlanan kapalı çevrim sistemin H performans
kısıtları X  0 ve Z : KX değişken dönüşümü ile aşağıdaki
DME şeklinde yazılabilir.
 XAT  AX  B2 Z  Z T Z 2T B1 XC1T  Z T D12T 


B1T
 I
0

0


C1 X  D12 Z
0
 I


(28)
z1  (C1  D12 K ) x  D11w
şeklinde elde edilir. Burada, K durum geri-beslemeli kontrolör
kazancını göstermektedir.
(36)
Bilindiği gibi, doyumlu eyleyiciler, DME kısıtları şeklinde
doğrudan denetim sinyali üzerinden matematiksel olarak elde
edilebilir [13]. Uygulanabilir bir kısıt içeren denetim sinyali
verilen umax sınırı ile u 2  umax olarak ifade edilebilir. Daha
H performans problemi, kapalı-çevrim (28) sistemini kararlı
kılacak ve sistemin girişlerinden çıkışlarına olan transfer
fonksiyonları matrisinin sonsuz normunu Tz w ,  gibi
1
(33)

bulunabilecek en küçük skaler pozitif reel bir değerden küçük
kılacak bir kontrolör bulmaktır. Bilindiği gibi, H normu ile
DME arasındaki bağlantı sınırlı gerçek yardımcı teoremi
kullanılarak yapılır. V ( x)  xT Px , P  PT  0 şartıyla karesel
Lyapunov fonksiyonudur.   0 olmak üzere sistemin
performans ve kararlılık kısıtları için tanımlanan aşağıdaki (29)
eşitsizliği, tüm x ve w ’lar için negatif tanımlı olmalıdır.
sonra,
Euclid
normu
2
u 2  umax  uT u  umax  uT u  umax
,
şeklinde tanımlanır. u  Kx ve Z : KX olduğundan,
x T X 1Z T ZX 1 x
1
2
umax
(37)
eşitsizliği elde edilebilir. Eğer  P  x | xT Px  1 şeklinde bir
elipsoid tanımlanırsa, (37) eşitsizliği
293
x
açıları ise 0.79 rad olarak verilmiştir. Çalışmada geliştirilen
kontrolörün zaman alanındaki cevapları Şekil 5’ de
gösterilmiştir.
(38)
X 1Z T ZX 1
2
umax
olarak yazılabilir. Sınırlandırılmış kontrol kuvvetini elde etmek
için,
 P   X -1  
4.2
Senaryo 2: Koşulları en ağır olan senaryo bu
senaryodur. Doğrusal hızları ve Euler açıları verilen
helikopterin başlangıç şartları [8]; u=14 m/s, v=8 m/s, w=60
m/s, φ, θ, ψ açıları ise 1.57 rad olarak verilmiştir. Tasarlanan
kontrolörün zaman alanındaki cevapları Şekil 6’ da verilmiştir.
X 1Z T ZX 1
2
umax
tanımlamasına ihtiyaç vardır ve buradan,
3
u
0.8

v
0.6
k
k
k
2.5
(39)
k
k

w
k
0.4
2
0.2
eşitsizliği elde edilir. Congruence dönüşümü ile (39) eşitsizliği
önünden ve arkasından X ile çarpılırsa,
Açı (rad)
X 1Z T ZX 1

2
umax
Hız (m/s)
X
1
1.5
1
0
-0.2
-0.4
0.5
-0.6
0
-0.8
T
-0.5
Z Z
X 2
umax
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
0
0.5
1
1.5
2
Zaman (s)
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Zaman (s)
0.1
u-lat
0.15
ifadesi elde edilir ve bu da Schur tümleyen ile kontrol kuvvetini
sınırlayan aşağıdaki matris eşitsizliği ifadesinin yazılmasını
sağlar.
0.08
0.06
u-col
0.1
Kuyruk Rotor İtkisi (N)
ZT 
0
2
umax
I
u-ped
u-long
Girdi (rad)
0.05
0
-0.05
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.1
(40)
-0.06
-0.08
-0.15
0
0.005
0.01
-0.1
0.015
0
0.005
0.01
Zaman (s)
Şekil 5: Senaryo 1’in kontrollü sonuçları
Bu eşitsizliğin çok amaçlı denetim problemine dahil
edilmesiyle, fiziksel sistemin doyumlu eyleyiciye sahip olması
sağlanır. (28) Kapalı çevrim sisteminin w ’den z ’ye en küçük
H normunu bulmak için simetrik pozitif tanımlı X ve uygun
boyutlu Z matrisi varsa pozitif skaler  için,
2.5
60

u
k
50
2
v
k
1.5
wk
40
k

k

k
1
30
Hız (m/s)
min 
0.015
Zaman (s)
0.5
20
Açı (rad)
X

Z
-1
2
10
0
-0.5
0
(41)
-1
-10
koşullar : (10),(14)
-1.5
-20
-2
-30
doğrusal en iyileştirme problemi çözülebilir. Eğer yukarıdaki en
iyileştirme probleminin çözümü varsa, verilen kapalı-çevrim
sistem için doyumlu eyleyiciye sahip durum geri-beslemeli H
kontrolör kazancı K=ZX-1 şeklinde elde edilir.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
-2.5
2
0
1
2
3
Zaman (s)
4
5
6
Zaman (s)
0.2
u-lat
0.15
0.15
u-long
0.1
Kuyruk Rotor İtkisi (N)
Girdi (rad)
4. Benzetim Çalışmaları
0
-0.05
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.1
Yapılan benzetim çalışmasında, tasarımı gerçekleştirilen
kontrolörün sisteme etki eden bozucuları bastırması ve giriş
doyumu sınırları içerisinde çalışması beklenmektedir. Kontrolör
tasarımında da tüm durumlar geri-beslenmiştir. Kontrolör
tasarımı Matlab paket programı altında YALMIP arayüzü
üzerinde kodlanarak LMILab çözücüsü ile gerçekleştirilmiştir
[14]. Eyleyici doyumu limiti olarak algoritmanın sağladığı en
düşük genlik kısıtı olan 6500 KN seçilmiştir. Doyumlu
eyleyiciye sahip bir sistemde, bozucuların durum geri-beslemeli
kontrol mantığı ile bastırılmasına yönelik olarak en iyi
kontrolör kazancına, (41)'de verilen en-iyileştirme probleminin
çözümünden ulaşılabilir. Bu en-iyileştirme probleminin
çözümünden sistemin kararlılık şartlarındaki en düşük bozucu
bastırma seviyesi  , 0.329704 olarak bulunmuştur. En iyi
u-ped
u-col
0.1
0.05
-0.15
-0.15
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Zaman (s)
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
-0.2
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
Zaman (s)
Şekil 6: Senaryo 2’nin kontrollü sonuçları
Şekil 5 ve Şekil 6’ dan gözlemlendiği gibi en zor şartlarda bile
kontrolörün devreye girmesiyle helikopter başlangıç
şartlarından askıda kalma durumuna gelmektedir.
Çalışmada incelenen otonom helikopterin açık-çevrim kökleri
sırasıyla, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -12.9, -12.9 şeklindedir.
Buradan, sistemin kontrolsüz durumda kararsız olduğu
görülmektedir. Sisteme önerilen kontrolörün uygulanmasıyla,
sistemin kapalı-çevrim köklerinin sırasıyla, -1945.2 +1686.8i,
-1945.2 -1686.8i, -1612.2, -1621.7 +0.7i, -1621.7 -0.7i,-251.2,
-125, -3 +2.2i, -3 -2.2i, -3.2, -1.3 olduğu hesaplanmıştır. Tüm
köklerin sol yarı s-düzleminde olması geliştirilen kontrolörün
sistemin kapalı-çevrim kararlılığını garanti altına aldığını
göstermektedir.
kontrolör kazancı “K” hesaplanıp, ekler kısmında verilmiştir.
Bu bölümde, otonom bir helikopterin askıda kalma kontrolü, en
kötü iki farklı senaryo için yapılan benzetim çalışmalarıyla
gösterilmiştir.
4.1
Senaryo 1: Doğrusal hızları ve Euler açıları verilen
helikopterin başlangıç şartları [8]; u, v, w hızları 3 m/s, φ, θ, ψ
294
Referans alınan [8] kaynağında LQR tekniği ile geliştirilen
kontrolörün zaman alanındaki cevapları ile bu çalışmada
geliştirilen doyumlu eyleyiciye sahip durum geri-beslemeli H
kontrolörün zaman cevapları Tablo 3’ de karşılaştırmalı olarak
verilmiştir. Tablo 3’ ten görüldüğü gibi, çalışmada geliştirilen
kontrolör, referans alınan [8] kaynağında tasarlanan kontrolöre
göre daha iyi sonuçlar vermektedir.
[6]
[7]
Tablo 3: Askıda kalma durumuna geliş zamanları (s:saniye)
Senaryo
Durum
Referans [8]
Önerilen
(LQR)
Kontrolör ( H)
u
16 s
1.6 s
v
10 s
1.5 s
w
7s
0.02 s
1
φ
10 s
1.2 s
θ
15 s
2.1 s
ψ
14 s
4s
u
16 s
1.2 s
v
9s
1.4 s
w
2s
0.04 s
2
φ
14 s
1.8 s
θ
18 s
5.5 s
ψ
10 s
4s
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
5. Sonuçlar
Bu çalışmada, otonom bir helikopterin bozucu etkiler altında,
askıda kalma halini koruması için doyumlu eyleyiciye sahip
durum geri-beslemeli H kontrolör tasarımı gerçekleştirilmiştir.
Tasarımın en önemli aracı dışbükey en iyileştirme temelindeki
DME’dir. Otonom helikopterin maruz kalabileceği en kötü
durum senaryoları için benzetim çalışmaları yapılmış ve
tasarlanan kontrolörün bozucu bastırma performansının yüksek
olduğu ve kapalı-çevrim sistemin kararlılığını garanti altına
aldığı gözlemlenmiştir. Önerilen kontrolörün diğer önemli
avantajı ise ayar parametresi içermemesi ve istenilen eyleyici
doyumu limitinde yüksek kontrol performansı göstermesidir.
Gelecekteki çalışmalarda, geliştirilen kontolöre, parametre
belirsizliği problemi normu sınırlı parametre belirsizliği
yapısında eklenerek, yeni bir dayanıklı kontrolör sentez
denklemleri elde edilebilir.
[13]
[14]
Design for Non-Aggressive Flights”, Department of CSE
and EE, University of South Florida.
Y.J. Huang, T.C. Kuo, B.W. Hong, B.C. Wu, “Robust
Cerebellar Model Articulation Controller Design for Flight
Control Systems”, World Academy of Science,
Engineering and Technology, 2011.
R. Jansen, A.K.N. Nielsen, “Robust Control of an
Autonomous Helicopter”, Department of CE, Aalborg
University,Yüksek Lisans Tezi, Danimarka, 2005.
U.B. Hald, M.V. Hesselbaek, J.T. Holmgaard, C.S.
Jensen, S.L. Jacoksen, M. Siegumfeldt, “Autonomous
Helicopter, Modelling and Control” Departmen of CE,
Aalborg University, Danimarka, 2005.
D.H. Shim, “Hierarchical Flight Control Systems
Synthesis for Rotorcraft-Based Unmanned Aerial
Vehicles” University of California Berkeley, Doktora
Tezi, 2000.
B. Mettler, “Identification Modeling and Characteristics of
Miniature Rotorcraft” Springer, 2003.
S. Franko, “LQR-Based Trajectory Control of Full
Envelope, Autonomous Helicopter” World Congress on
Engineering, Londra, İngiltere, 2009.
S. Boyd, L.E. Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan, “Linear
Matrix Inequalities in System and Control Theory”
Society for Industrial and Applied Mathemetics,
Philadelphia, 1994.
T. Hu, Z. Lin, “Control Systems with Actuator Saturation,
Analysis and Design” Boston, MA: Birkhkauser, 2001.
J. Löfberg, "Yalmip: A Toolbox for Modeling and
Optimization in MATLAB", Proceedings of the CACSD
Conferance, Taipei, Taiwan, 2004.
Ek
Sistemin Durum-Uzay Matrisleri:
0

0
0

0
0

0
A  0

0

0

0


0

Kaynakça
[1] İ. Can, A. Arısoy, H. Temeltaş, “Dikey İniş Kalkış
Yapabilen Dört Rotorlu Hava Aracının(Quadrotor) Uçuş
Kontrolü”, Havacılık ve Uzay Teknolojileri Dergisi, Cilt 4,
Sayı 3, 2010.
[2] K.A. Danapalasingan, “Robust Stabilization and
Disturbance Rejection for Autonomus Helicopter”
,Aalborg Universitiy, Doktora Tezi, 2010.
[3] S. Franko, İ. M. Koç, C. Özsoy, “İnsansız Helikopter için
Model Öngörülü Kontrolcü Tasarımı” Otomatik Kontrol
Ulusal Toplantısı, Gebze, Kocaeli, Türkiye, 2010.
[4] J.C. Morris, P. Bendotti, “Robust Hover Control for a
Model Helicopter” Proc. of the 36th Conference on
Decision and Control, San Diego, California, U.S.A.,
s:943-948, 1997
[5] C. Castillo, W. Alvis, M. Castillo-Efen, K. Valavanis, W.
Moreno, “Small Scale Helicopter Analysis and Controller
0 0 0 0 0
0
9.81 0
0 0 0 0 0 9.81
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0
0
0
0
0 0 0 0 0
0
0
0
9.81 
0
0

0 
 

1

0
0 
0
0

4.453 
 

0


0
1.427 83.54 
0
0

 

0
0 
B

B

0


0
0
0  1   2 
0
 
0
0
0 
0
0

0
0 
 

0


0

1
0
1

0 
0.078
 


0


0
 
1 
0


0.078 
0
9.81
0
260.7
0
0 

0 2.162 0.02253
0 229.6
0 

0
0
0 
0
0
0 

0
0
0.2753 
0
0
0 
0
0
0 

0
0
0 
0
0
0 

1
0
0 
0
En İyi Kontrolör Kazancı K:
K  10
12
 88753073.230 -323638251577.188 3047500143.655 7681119830.838 663286014.738

517361287.322 5815321002.346 -54759254.955 -138642746.763 -341479319.615

 -8.249
41519.705
1086757.514
-761.183
-64.298

 3443251.839 -12511180894.626 117369184.805 317649450.266 26011359.291
-26789642319.837 -996518109569.275 829004182.219 -20134449841.843 -635452134.829 6609801.845 

481373704
17905382635.786 -2287856191.698 361017730.773
6619986.430 -266336866.099

2562.561
96321.308
-81.628
1913.082
102.841
-0.647

-1952168497.117 -38677266202.932 31730237.911 -1928432438.871 -3566913.328
64234.583 
295

dayanıklı kontrol

Transkript

Benzer belgeler

Küresel ekonomik kriz ve kapitalizm

Noterlik Bilgi Sisteminin Sahiplik ve Kullanım Hakları ile Şekline

Rehau Crystal

Bu PDF dosyasını indir - Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi Part

Fizik-1 Uygulama-5

çeşitli yöntemlerle kurutulmuş hünnaptan bisküvi ve kurabiyeler için

PDF ( 2 ) - The Faculty of Engineering and Architecture

PDF dosyasını görüntüle

GOT-It 2.0.1 ile Elektromanyetik Sistemlerin