12. Üçgensel Sayilar ve Pell Denklemleri ile İlişkileri Üzerine Bilge

Selçuk Üniversitesi
Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi
Sayı: 25, Sayfa 179 -186, 2008
ÜÇGENSEL SAYILAR VE
PELL DENKLEMLERİ İLE İLİŞKİLERİ ÜZERİNE
Bilge Peker, Ahmet Cihangir
Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Eğitimi ABD – KONYA
[email protected], [email protected]
ÖZET
Bu çalışmada, genelleştirilmiş Pell denklemleri ile üçgensel sayılar arasındaki
ilişkiler araştırılmış ve bazı özel üçgensel sayı çeşitlerinin genelleştirilmiş Pell
denklemlerinin çözümlerinden elde edilebileceği gösterilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Üçgensel Sayılar, Şekilsel Sayılar, Pell Denklemi.
Selçuk Üniversitesi
Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi
Sayı: 25, Sayfa 179 -186, 2008
ON TRIANGULAR NUMBERS AND
THEIR RELATIONS WITH PELL EQUATIONS
Bilge Peker, Ahmet Cihangir
Selcuk University, Faculty of Education – KONYA
[email protected], [email protected]
ABSTRACT
In this study, the relations between triangular numbers and generalized Pell
equations examined and it was shown that some special kind of the triangular
numbers could obtained from the solutions of generalized Pell equations.
Keywords: Triangular Numbers, Figurate Numbers, Pell Equation.
181
Üçgensel Sayılar ve Pell Denklemleri
GİRİŞ
Bu bölümde, makale boyunca kullanacağımız temel kavramları ve teoremleri
vereceğiz.
Literatürden de bilindiği gibi, üçgensel bir formda düzenlenebilen sayılar
üçgensel sayılar olarak adlandırılır. Üçgensel sayılar, 1+2+3+... + n toplamından
n ( n + 1)
yola çıkılarak oluşturulur. n. üçgensel sayıya Tn =
formülü ile
2
ulaşılabileceği Carl F. Gauss tarafından gösterilmiştir.
Keedwell, 2000 de kare-üçgensel sayıların tamamını veren bir tekrarlı bağıntı ele
almış ve bu tekrarlı bağıntının Pell denkleminden elde edilişini göstermiştir.
Tanım 1.1 Hem üçgensel hem de beşgensel olan sayılara, beşgensel
(pentagonal) üçgensel sayılar denir.
Ayrıca, m ve n pozitif tamsayılar olmak üzere; Tm, m – inci üçgensel sayı ve Pn
de, n – inci beşgensel sayı ise o zaman
n ( 3n − 1) m ( m + 1)
=
2
2
elde edilir (Weisstein 1999).
Tanım 1.2 Hem üçgensel hem de sekizgensel olan sayılara, sekizgensel
(octagonal) üçgensel sayılar denir.
Ek olarak m ve n pozitif tamsayı olmak üzere; Tm, m-inci üçgensel sayı ve On de,
n-inci sekizgensel sayı ise o zaman
m ( m + 1)
n ( 3n − 2 ) =
2
elde edilir (Weisstein 1999).
Tanım 1.3 n ≥ 0, a0 , a1 , a2 , ... , an ler reel sayılar ve a0 hariç hepsi pozitif
olmak üzere;
1
a0 +
1
a1 +
a2 + ...
... +
1
an -1 +
1
an
ifadesine sonlu sürekli kesir denir ve [ a0 ; a1 , a2 , ... , an ] biçiminde gösterilir.
Burada a1 , a2 , ... , an ler kısmi bölümler veya kısmi paydalardır. Bu gösterimi
n > 0 için,
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı: 25, Sayfa 179 -186, 2008
182
B. Peker, A. Cihangir
1
[a1 ; a2 , a3 , . . . ,an ]
şeklinde yazabiliriz. Daha genel olarak;
1
[ a0 ; a1 , a2 , ... , an −1 , an ] = a0 +
1
a1 +
a2 + . . .
[ a0 ; a1 , a2 , ... , an ] = a0 +
... +
1
an-1 +
1
an
biçiminde gösterilir. Burada a0 sayısının pozitif ya da negatif bir reel sayı veya
sıfır olabileceğine dikkat edilmelidir. Ayrıca a0 , a1 , a2 ,..., an lerin hepsi tamsayı
ise sürekli kesire sonlu basit sürekli kesir denir (Rosen 1992).
Teorem 1.1 α = α 0 bir irrasyonel sayı olsun ve a0 , a1 , a2 , . . . dizisi,
k = 0, 1, 2, ... için,
1
ak = [α k ], α k +1 =
(α k − ak )
şeklinde tanımlansın. O zaman α , [a0 ; a1 , a2 , . . . ] sonsuz basit sürekli kesrinin
değeridir (Rosen 1992).
Tanım 1.4 Eğer, tüm pozitif n tamsayıları ile n ≥ N için an = an + t olacak
şekilde N ve t pozitif tamsayıları varsa [ a0 ; a1 , a2 , . . . ] sonsuz basit sürekli
kesrine periyodiktir denir. Ayrıca
[ a0 ; a1 , a2 , . . . ,a N −1 , aN , aN +1 , . . . ,aN + t −1 , aN , aN +1 , . . . ]
periyodik sürekli kesiri
[a0 ; a1 , a2 , . . . ,a N −1 , aN , aN +1 , . . . ,aN + t −1 ]
şeklinde gösterilir. Burada aN , aN +1 , . . . ,aN + t −1 e periyot, t ye sürekli kesrin
periyot uzunluğu denir (Rosen 1992).
Tanım 1.5 x, y, D tamsayılar ve D pozitif ve bir tamsayının karesinden farklı
olmak üzere,
x 2 − Dy 2 = 1
(1.1)
denklemine Pell denklemi denir. (1.1) denklemi D parametresine bağlı
olduğundan bu denklem bir parametreye bağlı bir denklem ailesidir. Yine (1.1)
denkleminde x ve y nin her ikisinin de negatif olmadığının kabul edilmesi
genelliği bozmaz. Herhangi bir D parametresi için (1.1) denkleminin x = ±1 ,
y = 0 ın bir çözüm olduğu kolayca görülür ki, bu çözüme bilinen (trivial) çözüm
denir. Ayrıca eğer D, a gibi bir tamsayının karesi (D = a 2 ) ise o zaman
1 = x 2 − Dy 2 = x 2 − a 2 y 2 = ( x − ay )( x + ay )
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı: 25, Sayfa 179 -186, 2008
Üçgensel Sayılar ve Pell Denklemleri
183
elde edilir ki, bu durumda eşitliğin gerçekleşmesi için gerek ve yeter şart,
x − ay = m1 , x + ay = m1 olmasıdır. Bu ise x = ±1 , y = 0 olmasını gerektirir.
Yani, D = a 2 olması durumunda trivial çözüm tek çözüm olur. O halde bundan
sonra (1.1) denkleminde D yi pozitif ve bir tamsayının karesinden farklı olarak
kabul edeceğiz. Şüphesiz Pell denkleminin (1,0) dan farklı bir çözümünün
bulunması konunun en zor kısmını teşkil eder (Robbins 1993).
x 2 − Dy 2 = −1 denklemine negatif Pell denklemi veya x 2 − Dy 2 = 1 Pell
denkleminin ilgilisi denir (Robbins 1993).
p
Teorem 1.2 D tamkare olmayan pozitif bir tamsayı ve k , D nin sürekli
qk
kesir açılımında k. yakınsayan olsun. t, bu sürekli kesrin periyodunun uzunluğu
olmak üzere, x 2 − Dy 2 = 1 Pell denkleminin sonsuz sayıdaki bütün çözümleri
a) Eğer t çift ise n = 0, 1, 2, 3, ... için; xn = Pnt −1 , yn = qnt −1 ,
b) Eğer t tek ise n = 0, 1, 2, 3, ... için; xn = p2 nt −1 , yn = q2 nt −1
şeklinde verilir (Robbins 1993).
Tanım 1.6 D tamkare olmayan pozitif bir tamsayı ve e ≠ 0 olmak üzere,
x2 – Dy2 = e denklemine genelleştirilmiş Pell denklemi denir. Hintli matematikçi
Bhaskara’ nın bu denklem üzerindeki çalışmalarından dolayı Bhaskara denklemi
olarak da isimlendirilir (Beauregard ve Suryanarayan 1997).
Sonuç 1.1 (r, s), x 2 − dy 2 = N denkleminin bir çözümü ve (t, u), x 2 − dy 2 = 1
denkleminin en küçük pozitif çözümü ise o zaman x = rt + sud , y = ru + st de
x 2 − dy 2 = N denkleminin bir çözümüdür. Bu,
(rt + sud )2 − d (ru + st )2 = (r 2 − ds 2 )(t 2 − du 2 )
eşitliğinden bulunur (Robertson 2003).
Özetlenecek olursa; x 2 − dy 2 = N denkleminin diğer çözümleri herhangi bir n
tamsayısı için;
x + y d = ±(r + s d )(t + u d ) n
ifadesinden bulunur (Robertson 2003).
GENELLEŞTİRİLMİŞ PELL DENKLEMLERİ VE ÜÇGENSEL
SAYILAR
Bu bölümde genelleştirilmiş Pell denklemleri ve üçgensel sayılar arasındaki
ilişkiler incelenmiştir. Bazı üçgensel sayıların sonsuz çoklukta oldukları
gösterilmiştir.
Teorem 2.1 Beşgensel (pentagonal) üçgensel sayılar sonsuz çokluktadır.
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı: 25, Sayfa 179 -186, 2008
184
B. Peker, A. Cihangir
İspat. Tanım 1.1 den beşgensel (pentagonal) üçgensel sayılar
n ( 3n − 1) m ( m + 1)
=
2
2
denklemini sağlar. Bu denklemi düzenlersek;
1
1
2
(m + ) 2 − 3(n − ) 2 =
2
6
12
bulunur. Şimdi her iki tarafı 12 ile çarparsak,
3(2m + 1) 2 − (6n − 1) 2 = 2 ⇒ (6n − 1) 2 − 3(2m + 1) 2 = −2
olur. Burada x = 6n – 1 ve y = 2m + 1 kabul edilirse;
x 2 − 3 y 2 = −2
denklemi elde edilir.
Bu denklemin çözümlerini bulmak için (Sonuç 1.1 den) önce x 2 − 3 y 2 = 1 Pell
denkleminin bir temel çözümünü bulalım. Temel çözümü bulmak için (Teorem
1.1 e göre) 3 irrasyonel sayısının sonsuz sürekli kesir açılımı yapılırsa
α = 3 = [1;1, 2 ] (Teorem 1.2 den) x 2 − 3 y 2 = 1 Pell denkleminin en küçük
çözümü (2, 1) olarak bulunur.
x 2 − 3 y 2 = −2 denkleminin bir çözümü (1,1) olduğundan; x 2 − 3 y 2 = −2
denkleminin, k = 1, 2, 3, ... için diğer çözümleri (Sonuç 1.1 den);
xk + yk 3 = (1 + 3)(2 + 3) k
olur. Ancak k – nın çift değerleri için bulunan çözümler n nin pozitif tamsayı
olma şartını sağlamamaktadır. Buna göre; k = 1, 3, 5, ... için,
(6n − 1) + (2m + 1) 3 = (1 + 3)(2 + 3) k
ile verilen sonsuz çözümü vardır.
Örnek 2.1 (6n − 1) + (2m + 1) 3 = (1 + 3)(2 + 3)1 = (5 + 3 3 )
2m + 1 = 3 ⇒ m = 1
6n – 1 = 5 ⇒ n = 1,
olur ve eğer
n = 1 ⇒ P1 = 1, m = 1 ⇒ T1 = 1
elde edilir. Yani, 1 sayısı beşgensel üçgensel sayıdır.
Örnek 2.2 (6n − 1) + (2m + 1) 3 = (1 + 3)(2 + 3)3 = (71 + 41 3 )
2m + 1 = 41 ⇒ m = 20
6n – 1 = 71 ⇒ n = 12,
olur ve eğer
n = 12 ⇒ P12 = 210,
m = 20 ⇒ T20 = 210
elde edilir. Yani, 210 sayısı beşgensel üçgensel sayıdır.
Teorem 2.2 Sekizgensel (octagonal) üçgensel sayılar sonsuz çokluktadır.
İspat. Tanım 1.2 den sekizgensel (octagonal) üçgensel sayılar
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı: 25, Sayfa 179 -186, 2008
Üçgensel Sayılar ve Pell Denklemleri
n ( 3n − 2 ) =
185
m ( m + 1)
2
denklemini sağlar. Bu denklemi düzenlersek;
1
1
5
6(n − ) 2 − (m + ) 2 =
3
2
12
bulunur. Şimdi her iki tarafı 24 ile çarparsak,
(12n − 4) 2 − 6(2m + 1) 2 = 10
olur. Burada x = 12n - 4 ve y = 2m + 1 kabul edilirse;
x 2 − 6 y 2 = 10
denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümlerini bulmak için (Sonuç 1.1 den)
önce x 2 − 6 y 2 = 1 Pell denkleminin bir temel çözümünü bulalım. Temel çözümü
bulmak için (Teorem 1.1 e göre) 6 irrasyonel sayısının sonsuz sürekli kesir
açılımı yapılırsa α = 6 = [2; 2, 4 ] (Teorem 1.2 den) x 2 − 6 y 2 = 1 Pell
denkleminin en küçük çözümü (5, 2) olarak bulunur.
x 2 − 6 y 2 = 10 denkleminin bir çözümü (4, 1) olduğundan; x 2 − 6 y 2 = 10
denkleminin, k = 1, 2, 3, ... için diğer çözümleri (Sonuç 1.1 den);
xk + yk 6 = (4 + 6)(5 + 2 6) k
olur. Ancak k – nın çift değerleri için bulunan çözümler n nin pozitif tamsayı
olma şartını sağlamamaktadır. Buna göre; k = 1, 3, 5, . . . için,
(12n − 4) + (2m + 1) 6 = (4 + 6)(5 + 2 6) k
ile verilen sonsuz çözümü vardır.
Örnek 2.3 (12n − 4) + (2m + 1) 6 = (4 + 6)(5 + 2 6)1
= (32 + 13 6 )
12n – 4 = 32 ⇒ n = 3, 2m + 1 = 13 ⇒ m = 6
olur ve
n = 3 ⇒ O3 = 21,
m = 6 ⇒ T6 = 21
elde edilir. Yani, 21 sayısı sekizgensel üçgensel sayıdır.
Örnek 2.4 (12n − 4) + (2m + 1) 6 = (4 + 6)(5 + 2 6)3
= (3128 + 1277 6 )
12n – 4 = 3128 ⇒ n = 261, 2m + 1 = 1277 ⇒ m = 638
olur.
n = 261 ⇒ O261 = 203841, m = 638 ⇒ T638 = 203841
elde edilir. Yani, 203841 sayısı sekizgensel üçgensel sayıdır.
Yazar Notları: Bu çalışma Bilge PEKER’ in “Üçgensel Sayılar ve Pell
Denklemleri ile İlişkileri Üzerine” isimli yüksek lisans tezinden hazırlanmıştır.
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı: 25, Sayfa 179 -186, 2008
186
B. Peker, A. Cihangir
KAYNAKLAR
Beauregard, R. A. and Suryanarayan, E. R. (1997). Arithmetic Triangles.
Mathematics Magazine, Vol. 70, No. 2, 105 – 115.
Peker, B. (2005). Üçgensel Sayılar ve Pell Denklemleri ile İlişkileri Üzerine.
Yüksek Lisans Tezi. Konya: S.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü.
Robbins, N. (1993). Beginning Number Theory, Wm.C. Brown, Oxford. London.
Robertson, J. P. (2004). Solving The Generalized Pell Equation x2 – Dy2 = N.
http://hometown.aol.com/jpr2718/pell.pdf
Rosen, K. H. (1992). Elementary Number Theory and its Applications, AddisonWesley Publishing Company, Third Edition, New York.
Weisstein, E. W. (1999). http://wolfram.com/TriangularNumber.html.
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı: 25, Sayfa 179 -186, 2008