indir - kocaelimakine.com

© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
3. ISI İLETİMİ ANALİZİ
3.1
Bir boyutlu ve kararlı ısı iletimine giriş
3.1.1 Düzlem Duvar
T(x)
qx
T1
T∞ ,1 ,h1
T∞ , 2 , h2
T2
L
x
Şekil 3.1. Düzlem duvar
Varsayımlar:
i) Malzeme homojen ve izotropik (kx = ky = kz = k = sabit)
ii) Malzeme içinde ısı iletimi yok (qv =0)
iii) Sürekli rejim mevcut ( ∂ / ∂t = 0 )
iv) Sadece bir boyutta (x) ısı akışı mevcut ( ∂ / ∂y = ∂ / ∂z = 0 )
Isı iletimi genel denkleminden;
d ⎛
dT ⎞
d
(q x ) =⇒ q x = sbt
⎜− k
⎟=0⇒
dx ⎝
dx ⎠
dx
dT
= c1
dx
T ( x ) = c1 x + c 2
Sınır Şartları (Şekil 3.1):
T ( x = 0 ) = T1
T ( x = L ) = T2
x = 0 ⇒ T1 = c 2
x = L ⇒ T2 = c1 L + c 2 = c1 L + T1
⇒ c1 =
(T2 − T1 )
L
Bulunan c1 değeri denkleme yerleştirildiğinde, sıcaklık dağılımı için
T (x ) =
(T2 − T1 )
L
x + T1 ,
III/1
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
ve ısı enerjisi için
(T − T2 )
dT
= kA 1
dx
L
denklemlerine ulaşılır.
q x = − kA
Isıl Direnç:
R
+
I
-
I=
ΔV
ΔV
ΔT
⇒q=
R
R
Şekil 3.2. Elektriksel-ısıl analoji
İletim ısıl direnci
q = kA
L
ΔT ΔT
⇒ Ri =
=
L
kA
L
kA
Taşınım ısıl direnci
q = hAΔT =
1
ΔT
⇒ Rt =
1
hA
hA
Işınım ısıl direnci
q = hr AΔT =
ΔT
1
⇒ Rı =
1
hr A
hr A
Eşdeğer (toplam) Isıl Direnç:
1
qx
T1
2
T2
T∞ ,1
T∞ , 2
R1
R3
R2
Şekil 3.3 Çoklu ısıl direnç devresi
III/2
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
Isı akısı ‘x’ ekseni boyunca sabit olup,
qx =
(T∞1 − T1 ) = (T1 − T2 ) = (T2 − T∞ 2 )
R1
R2
R3
q x R1 = T∞1 − T1
q x R2 = T1 − T2
q x R3 = T2 − T∞ 2
denklemleri yazılabilir. Elde edilen denklemler taraf tarafa toplanınca;
q x (R1 + R2 + R3 ) = T∞1 − T∞ 2
elde edilir. Buradan;
qx =
ΔT
∑ Rt
sonucuna ulaşılabilir.
3.1.2 Komplex Düzlem Duvar ve Toplam Isı Transfer Katsayısı
Seri bağlı katmanlar
T1
T2
T3
T∞1
kA
R1
kB
T∞ 2
kC
LA
LB
LC
A
B
C
R4
R2
R3
T4
Reş = ∑ R =R1 + R2 + R3 + R4 + R5
Şekil 3.4. Seri-bağlı dirençlerden oluşmuş kompleks düzlem duvar
qx =
ΔT
1
1
= UAΔT ⇒ UA =
=
∑R
∑ R RTop
U : Toplam ısı transfer katsayısı (W/m2K)
qx =
T∞1 − T∞ 2
= UA(T∞1 − T∞ 2 )
(R1 + R2 + R3 + R4 + R5 )
III/3
R5
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
Seri-paralel bağlı katmanlar
R2a
1
1
1
=
+
R2 R2 a R2 b
R3
R1
R2
R1
R2b
R3
Reş = ∑ R =R1 + R2 + R3
Şekil 3.5. Seri-paralel bağlı dirençlerden oluşmuş kompleks düzlem duvar
3.2
Bir boyutlu, kararlı ve ısı üretimi olmayan sistemlerde ısı iletimi
3.2.1 Isı iletimi denklemi genel formu
1 d ⎛ n dT ⎞
⎜ kr
⎟=0
dr ⎠
r n dr ⎝
n = 0⎫
⎬⇒
r = x⎭
Kartezyen koordinat
n = 1⎫
⎬⇒
r = r⎭
Silindirik koordinat.
n = 2⎫
⎬⇒
r = r⎭
Küresel koordinat.
3.2.2 Farklı koordinatlarda ısıl direnç
T1 (kA)
(kB)
L1
L2
L
r2
r2
r1
r1
A
L
R= 1
kAA
T2
R=
ln(r2 / r1 )
2π .k A AL
kA
Şekil 3.6. Farklı koordinatlar için iletim ısıl direnci
III/4
R=
(1 / r1 − 1 / r2 )
4π .k
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
3.2.3 Temas direnci veya birikinti direnci
qx
Rc =
ΔT
(A)
ΔT
qx
(B)
Şekil 3.7. Temas direnci dolayısıyla arayüzeyde sıcaklık düşüşü
3.2.4. Radyal Sistemlerde Kritik Yarıçap:
Ts
r
Ti
h, T∞
Ti
Ts
RTop =
ln (r / r1 )
1
+
21
π2
.3
kL
21
π2
.rhL
3
r1
R il
T∞
Rtaş
Şekil 3.8. Radyal sistemlerde kritik yarıçap hesabı
Toplam direncin ‘r’ değerine göre türevi ‘0’ değerine eşitlendiğinde
k
rkr = ⇒ silindirik eleman
dRTop
h
=0⇒
2k
dr
rkr =
⇒ küresel eleman
h
bağıntıları elde edilir.
RTop
q
RTop,min
qmax
rkr
rkr
r
Şekil 3.8. Kritik yarıçap değerinde toplam ısıl direnç ve ısı enerjisi değerleri
III/5
r
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
Kritik yarıçap değeri ikinci türevde yerine konulduğunda ‘0’ dan büyük değere
ulaşıldığından bu noktada direnç minimum (dolayısıyla ısı transferi maksimum) değere ulaşır.
3.2.5. Değişken Kesitli Geometrilerde Isı İletimi Analizi
qx+dx
z
y
qx
x
dx
x1
x
x0
Şekil 3.9. Yanal yüzeyleri yalıtılmış değişken kesitli geometri için diferansiyel analiz
prensibi
Diferansiyel hacme giren-çıkan ısı enerjilerinin eşitliğinden hareketle,
q x = q x + dx
q x = −k (T )Ax
x
qx ∫
x0
dT
dx
T
dx
= − ∫ k (T )dT
A( x )
T0
denklemi elde edilir.
D (x)
Ax = π
x2
D2 π 2 2
= a x , k (T ) = cT 2
4
4
( )
T2
dx
= − ∫ cT 2 dT
x1 ⎛⎜ π ⎞⎟a 2 x 2
T1
⎝4⎠
qx ∫
x1
x2
Şekil 3.10. Bir-boyutlu değişken kesite ait örnek
III/6
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
3.3
Bir boyutlu, kararlı ve ısı üretimi içeren sistemlerin analizi
qV ≠ 0 olma durumudur. Bu durumda ısı iletimi denklemi aşağıdaki gibi olur.
1 d ⎛ n dT ⎞
⎜ kr
⎟ + qV = 0
dr ⎠
r n dr ⎝
Düzlem Duvar
Aşağıda (Şekil 3.11) belirtilen üç farklı yüzey ısıl şartı söz konusudur.
Silindirik ve küresel yüzeylerde aynı durum söz konusu olup, sadece radyal ısı iletim
denklemi kullanılmalıdır. Yüzeydeki Ts sıcaklığının bulunması için,
−k
dT
dx
= h(TS − T∞ )
x=L
sınır koşulu uygulanmalıdır.
-L
x +L
-L
x +L
x
TS1
T0
TS
TS2
T∞1 , h1
T∞ 2 , h2
TS
T∞ , h
TS
T∞ 2 , h2
T∞ , h
farklı yüzey sıcaklıkları
eşit yüzey sıcaklıkları
bir yüzeyi yalıtımlı
T(-L)=TS1
T (+ L ) = TS
T (+ L ) = TS
T(+L)=TS2
dT
dx
dT
dx
=0
x=0
Şekil 3.11. İçerisinde ısı üretimi bulunan düzlem duvara ait ısıl koşullar
III/7
=0
x=0
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
3.4
Kanatçıklı yüzeyler
Genişletilmiş (kanatçıklı) yüzeyler tanımı; genellikle sınırları içinde iletimle, sınırları
ile çevresi arasında ise taşınımla ve/veya ışınımla ısı geçişi olan bir katı için kullanılır.
Taşınım ve iletimin birlikte gerçekleştiği birçok farklı durum olmakla birlikte en çok
karşılaşılan uygulamalardan biri katı ve çevresindeki akışkan arasında ısı geçişini artırmak
için kullanılan genişletilmiş yüzeylerdir. Bu tür yüzeylere kanat denir.
Sıcak bir akışkandan soğuk bir akışkana ısı geçişi en basit olarak metal bir duvar
vasıtasıyla gerçekleşir. Birim zamanda transfer edilen ısı miktarı aşağıdaki denklemle ifade
edilir.
Q = hA(Ts − T∞ )
Denklemde görüldüğü gibi birim zamanda transfer edilen ısı miktarını artırmak için ; ısı
transfer yüzeyini, sıcaklık farkını veya ısı taşınım katsayısını artırmak gereklidir. Eğer yüzey
sıcaklığı Ts sabitse ısı geçişini artırmanın iki yolu vardır. Akışkan hızı yükseltilerek ısı
taşınım katsayısı artırılabilir veya akışkan sıcaklığı T∞ azaltılabilir. Isı taşınım katsayısının en
yüksek değere artırılması bile, istenen ısı geçişini elde etmeye yeterli olmayabilir ve yüksek
maliyetlerle karşılaşılabilir. Bu maliyetler akışkan hareketinin artırılması için gerek duyulan
fan veya pompa gücü ile ilgilidir. Ayrıca
T∞ sıcaklığının azaltılması da pek mümkün
değildir. Genellikle sıcaklık farkı sınırlıdır, pratikte verilmiş belirli sıcaklıklarda çalışılır.
Diğer bir seçenek ise transfer yüzey alanının artırılmasıdır. Şekil 3.12’de görüldüğü
gibi ısı geçişi, taşınımın gerçekleştiği yüzeylerin artırılması ile artırılabilir.
A
Şekil 3.12 Isı geçiş yüzeyinin kanatçık kullanımıyla arttırılması
III/8
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
3.5
Kanatçıklı yüzeylerde genel ısı iletimi analizi
Şekil 3.13’ de görülen değişken kesitli kanatçık sisteminde bazı varsayımlar yapılarak
kanatçıklar için genel ısı iletim denklemi türetilebilir. Bu varsayımlar; sistemin sürekli
rejimde olması, bir boyutlu ısı iletiminin geçerli olması ve ısı üretiminin olmaması
şeklindedir.
dqta
dAs
Ac(x)
qx
qx+dx
dx
z
h, T∞
y
x
Şekil 3.13 Değişken kesitli kanatçık için ısı iletimi analizi
Sistemin enerji denklemi yazılırsa;
.
.
E g − Eç = 0
q x − (q x + dx + dqt ) = 0
q Χ = − kAi
dT
dx
q x + dx = q x +
dq x
dx
dx
dqt = hdAt (T − T∞ )
(q x − q x + dx ) − dqt = 0
,
q x − q x + dx = −
∂q x
dx
∂x
d
dT
(− k
Ai ( x)) dx - hdAt (T ( x) − T∞ ) =0
dx
dx
k=sbt şartı uygulandığında,
III/9
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
d
dT h dAt
(T ( x) − T∞ ) = 0
( Ai ( x) ) dx
dx k dx
1 dAi dT
1 h dAt
d 2T
+(
)
−(
)(T − T∞ ) = 0
2
Ai dx dx
Ai k dx
dx
denklemi elde edilir. Bu sonuç, genişletilmiş bir yüzeyde, bir boyutlu enerji denkleminin
genel gösterimidir.
3.6
Sabit kesitli kanatçıklar için sıcaklık dağılım denklemi
Sabit kesit alanlı kanatçıklarda, Şekil 3.14’de görüldüğü üzere,
dAi
dx
sıfırdır. Buna
göre genel enerji denkleminin ikinci terimi sıfır olur.
qtaş
T∞ , h
qtaş
t
P
Tb
qx
q
qx+dx
W
L
dx
x
Şekil 3.14 Sabit kesitli kanatçık için ısı iletimi analizi
q x − q x + dx − qtaş = 0
dq
− x − hAt (T − T∞ ) = 0
dx
d ⎛
dT ⎞
⎜ kAi
⎟dx − hPdx(T − T∞ ) = 0
dx ⎝
dx ⎠
Sabit ‘k’ ve A şartları uygulandığında;
d 2T
dx 2
−
hP
(T − T∞ ) = 0
kAi
denklemine ulaşılır. Bu denklemin daha basit bir formuna ulaşabilmek için;
III/10
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
hp
kAi
θ = T ( x ) − T∞ ve m =
tanımlamaları uygulanırsa,
d 2θ
dx
2
− m 2θ = 0
veya
θ ıı − m 2θ = 0
denklemi elde edilir. Bu denklem, 2. dereceden lineer ve homojen bir diferansiyel denklem
olup, genel çözümü aşağıdaki gibidir:
θ ( x ) = c1e mx + c 2 e − mx
Bu denklemdeki sabitlerin özelleştirilmesi için, kanatçık türüne göre farklı sınır şartlarının
uygulanması gereklidir.
Sınır Şarları
I. Sınır Şartı (Tüm Kanatçık İçin Aynı):
x = 0 ⇒ T ( x = 0) = Tb ⇒ θ = Tb − T∞ = θ b
II. Sınır Şartı (Kanatçık Tipine Göre Değişir)
i) Sonsuz uzunluktaki (çok uzun) kanat
x = L → ∞ ⇒ T ( x = L ) = T∞ ⇒ θ (L ) = T∞ − T∞ = 0
ii) Uç kısmı yalıtılmış (adyabatik) kanat
x = L ⇒ qx = 0 ⇒
dT ( x )
dθ ( x )
=
=0
dx L
dx L
iii) Uç kısmında taşınım ile ısı transferi olan (gerçek) kanat
x = L ⇒ q il
L
= qtas
L
⇒ −k
dθ
dx
= hθ ( L )
L
Örnek: Sonsuz uzunluktaki (çok uzun) kanat için sıcaklık dağılımı
Genel denklem:
θ ( x ) = c1e mx + c 2 e − mx
Sınır şartları:
x = 0 ⇒ θ (0) = c1e 0 + c 2 e −0 = θ b ⇒ c1 + c 2 = θ b
x = L = ∞ ⇒ θ (∞ ) = c1e m∞ + c 2 e − m∞
III/11
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
Katsayılara ait değerler (sınır şartlarına uygun olarak):
c1 = 0 → c 2 = θ b
Katsayılar denkleme yerleştirildiğinde, sıcaklık dağılım denkleminin özel formu olan
θ ( x ) = θ b e − mx
veya
−
θ ( x ) T ( x ) − T∞
=
=e
θb
Tb − T∞
Ph
*x
kA
denklemi elde edilir.
3.7
Kanatçıklara ait diğer parametrelerin hesabı
i) Kanatçıktan transfer edilen ısı enerjisi miktarı
Sabit kesitli kanatçık için Şekil 3.15’de gösterilen ısı dendesinden hareket edilirse,
kanatçık tabanından iletim ile transfer edilen ısı enerjisi değeri ile kanatçıktan taşınım ile
çevreye transfer edilen ısı enerjisine eşit olacaktır. Bu nedenle; kanatçıktan transfer edilen ısı
enerjisi aşağıdaki denklemlerden herhangi biri kullanılarak bulunur:
q( x = 0 ) = − kAi
dθ
dx x = 0
L
qtas = ∫ hPdxθ ( x )
0
qtaş
qx
dx
Şekil 3.15 Sabit kesitli kanatçık için ısı dengesi
Örnek: Sonsuz uzunluktaki (çok uzun) kanattan transfer edilen ısı enerjisi
Fourier ısı iletimi kanunu kullanılarak;
q x = kAi
dθ
dx
q x = PhkAi θ b tanh(mL)
III/12
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
ii) Kanatçık Etkenliği (tek kanatçık)
Kanat kullanımı bir yüzeyden ısı geçişini artırmak için etkin yüzey alanını artırmayı
amaçlar. Bununla birlikte, kanatın kendisi orjinal yüzeyden ısı geçişine bir iletim direnci
gösterir. Bu nedenle kanat kullanımının ısı geçişini mutlaka artıracağı önceden söylenemez.
Bu husus kanat etkenliği tanımlanarak değerlendirilebilir. Kanat etkenliği ( ε k ); kanatlı halde
geçen ısının, kanatsız halde geçebilecek ısıya oranı olarak tanımlanır,
εk =
q x kanatcikli
hAiθ b
ve denklemi ile ifade edilir.
Örnek: Çok uzun kanatçık için kanat etkenliği
εk =
kAi Phθ b
hAt θ b
=
kP
hAi
iii) Kanatçık verimi
Kanat ısıl performansının bir diğer ölçüsü kanat verimidir. Taşınım için en yüksek
sıcaklık farkı taban ve akışkan arasındaki sıcaklık farkıdır.
θ b = Tb − T∞
Bu nedenle kanadın yayabileceği enerjinin en yüksek değeri bütün kanat yüzeyinin taban
sıcaklığında olduğu zaman gerçekleşecektir. Ancak bu ideal bir durumdur ve kanat içinde
sıcaklık değişimi mutlaka vardır. Bu düşünceden yola çıkılarak kanat verimi şu şekilde ifade
edilir.
ηk =
q x kanatcik
q max
=
q x kanatcik
hAk θ b
Örnek: Çok uzun kanatçık için kanat verimi
ηk =
kAi Phθ b
hPLθ b
=
kAi
hPL
Kanatcıklı yüzeyin toplam verimi
η0 =
qt
qt
=
qmax hAtθ b
At = A f + Ab
III/13
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
qt = hAbθ b + hA f θ b .η ⇒ h(At − A f )θ b + hA f θ b .η
⎡ Af
⎤
(1 − η )⎥
qt = hAtθ b ⎢1 −
⎣ At
⎦
η0 = 1 −
Af
At
(1 − η )
3.8. Farklı Kanatçıklar için yüzey sıcaklık dağılımı ve yüzeyden transfer edilen ısı
miktarını veren eşitlikler
Yukarıda çok uzun kanatçık için türetilen denklemlerde izlenen yol diğer kanatçık
tiplerine uygulanırsa, aşağıdaki tabloda özetlenen eşitlikler elde edilir:
Kanatçık Tipi
sonsuz uzunluktaki
kanatçık
θ (L ) = 0
adyabatik uçlu
kanatçık
dθ
=0
dx X =L
ucunda taşınım İle
ısı transferi olan
kanatçık
θ /θ b
q f / qk
Sıcaklık Dağılımı
Kanatçık Isı Transfer Miktarı
e − mx
M = hPkAi .θ b
cosh m(L − x )
cosh mL
M . tanh mL
cosh m(L − x ) + (h / mk )sinh m(L − x )
cosh mL + (h / mk )sinh mL
qf = M
sinh mL + (h / mk ) cosh mL
cosh mL + (h / mk )sinh mL
(
)
sinh x = (e x − e − x )/ 2
cosh x = e x + e − x / 2
θ = T − T∞
θ b = θ (0) = Tb − T∞
M = hPkAi .θ b
cosh (x m y ) = cosh x. cosh y m sinh x. sinh y
sinh ( x m y ) = sinh x. cosh y m sinh y. cosh x
cosh 2 x − sinh 2 x = 1
3.9. Değişken kesitli kanatçık sistemleri
Kanatçık kesit alanını değiştirmek suretiyle malzemeden ve dolayısıyla ağırlıktan
tasarruf sağlanabilir.
d 2T
1 dAi dT
1 h dAt
+(
)
−(
)(T − T∞ ) = 0
2
Ai dx dx
Ai k dx
dx
Değişken kesitli kanatçık sisteminde genel enerji denkleminin ikinci terimi korunmak zorunda
olup,
d 2T Ai d dT
h dAt
+
−(
)(T − T∞ ) = 0
2
Ai dx dx
kAi dx
dx
III/14
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
denkleminde gerekli düzenlemeler yapılırsa,
d 2T 1 dT
h dAt
+
−(
)(T − T∞ ) = 0
2
x dx
kAi dx
dx
d 2θ 1 dθ
h dAt
+
−(
)θ = 0
2
x dx
kAi dx
dx
değişken kesitler için genel kanatçık denklemine ulaşılır.
3.10 Üçgen kanatçık sistemi için çözüm
Şekil 3.16 Üçgen kanatçık geometrisi
Eğer ‘x’ kanatçık ucundan tabanına doğru ölçülürse; iletim alanı ‘x’ e bağlı olarak
aşağıdaki şekilde ifade edilir:
Ai ( x) =
b
wx
L
Perimetrik çevre ( P ) hava ile temastaki yüzeylerin ‘ dx ’ diferensiyel elemanı için toplamı
olup,
dAt = Pdx
Kanatçığın kalınlığının, genişliğine oranının çok küçük olduğu varsayımıyla, P = 2 w olur.
Buna göre taşınım alanı;
dAt = 2 wdx
şeklindedir. Bu değerleri genel enerji iletim denkleminde yerlerine koyarsak;
d 2θ 1 dθ
h 2wdx
+
−(
)θ = 0
2
b
x dx
dx
dx
k wx
L
2hL
d 2θ 1 dθ
+
−(
)θ = 0
2
x dx
kb
dx
β=
2hL
olarak tanımlarsak ;
kb
III/15
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
d 2θ 1 dθ β
+
− θ =0
dx 2 x dx x
denklemi elde edilir. Değişken kesitli denklemlerin çözümünde Bessel fonksiyonları
kullanılır.
x2
d2y
dy
+ x − (x 2 + m2 ) y = 0
2
dx
dx
Burada ‘m’ bir sabittir. Yukarıdaki denklem mertebesi m olan bir Bessel denklemidir. Bu
denklemin genel çözümü şu şekildedir.
y ( x) = C1Ι m ( x) + C 2 K m ( x)
Ι m = mertebesi m olan birinci çeşit Bessel fonksiyonu
K m = mertebesi m olan ikinci çeşit Bessel fonksiyonu
d 2θ 1 dθ β
+
− θ =0
dx 2 x dx x
Bu denklem modifiye edilmiş Bessel denklemidir. Denklemi x 2 ile çarparsak;
x2
d 2θ
dθ
+x
− βxθ = 0
2
dx
dx
θ = y tanımlaması yaparak denklemleri karşılaştırırsak;
β xθ = ( x 2 + m 2 ) y
m = 0 alınırsa; β x = x 2
x2
→
β x = (x 2 + m2 )
→ x = 2 βx
olur.
d 2θ
dθ
+x
− βxθ = 0
2
dx
dx
i) Sıcaklık dağılımı
Yukarıdaki bilgiler doğrultusunda, denklemin genel çözümü şu şekilde olur.
θ ( x) = C1Ι 0 (2 βx ) + C 2 K 0 (2 βx )
Denklemde; C1 ve C 2 sabitleri, Ι 0 mertebesi sıfır olan birinci çeşit Bessel fonksiyonunu
ve K 0 mertebesi sıfır olan ikinci çeşit Bessel fonksiyonunu temsil etmektedir. Sınır şartlarını
uygularsak;
x = 0 da;
K 0 ( x) =
π Ι − x ( x) − Ι x ( x)
2
sin( xπ )
değeri sonsuzdur. Fiziki olarak, sıcaklık bu noktada sonsuz olamayacağından C 2 =0 olmalıdır.
Bu durumda,
III/16
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
θ ( x) = C1Ι 0 (2 β x )
elde edilir. C1 sabiti,
x = L de; θ = θ b = Tb − T∞
şartı kullanılarak,
C1 =
θb
Ι 0 ( 2 βL )
bulunur.Sıcaklık dağılım denkleminin çözümü ise
θ ( x ) Ι 0 ( 2 βx )
=
θb
Ι 0 ( 2 βL )
şeklinde elde edilir.
ii) Kanatçıktan transfer edilen ısı miktarı
q x = kAi
Ai = w
dθ
dx
b
x
L
Ai = w
x = L de ;
q x = kAi
b
L
L
→
Ai = wb
Ι (2 βx )
d
θb 0
dx
Ι 0 (2 βL )
x = L de türev alınarak ve
d
Ι 0 (ax) = aΙ 1 (ax)
dx
bağıntısı kullanılarak aşağıdaki denklem elde edilir.
qx =
Ι (2 βL )
2hkb θ b 1
Ι 0 (2 βL )
iii) Kanatçık verimi
ηk =
qx
hAt θ b
2hkb wθ b
ηk =
Ι 1 (2 βL )
Ι 0 (2 βL )
h2wLθ b
Yukarıdaki denklemde gerekli sadeleştirmeler yapılırsa;
III/17
© Tüm yayın hakları Prof. Dr. Bülent Yeşilata’ya aittir. İzinsiz çoğaltılamaz.
ηk =
1
Ι 1 (2 βL )
βL Ι 0 (2 βL )
denklemi elde edilir.
iv) Kanatçık etkenliği
εk =
εk =
qx
hAiθ b
2hkb wθ b Ι 1 (2 βL )
hwbθ b Ι 0 (2 βL )
Yukarıdaki denklemde gerekli sadeleştirmeler yapılırsa;
εk =
2 L Ι 1 (2 βL )
βL Ι 0 (2 βL
denklemi elde edilir.
III/18