İşletme Matematiği

‹fiLETME
MATEMAT‹⁄‹
Prof. Dr. Müh. Bülent Kobu
University of Massachusetts Dartmouth
Charlton College of Business
GÜNCELLENM‹fi
SEK‹Z‹NC‹ BASKI
II
Yay›n No
: 2230
‹flletme-Ekonomi Dizisi : 351
8. Bask› - Ekim 2009 - ‹STANBUL
ISBN 978 - 605 - 377 - 148 - 7
Copyright© Bu kitab›n bu bas›s›n›n Türkiye’deki yay›n haklar› BETA Bas›m Yay›m Da¤›t›m A.fi.’ye aittir. Her hakk› sakl›d›r. Hiçbir bölümü ve paragraf› k›smen veya tamamen ya
da özet halinde, fotokopi, faksimile veya baflka herhangi bir flekilde ço¤alt›lamaz, da¤›t›lamaz. Normal ölçüyü aflan iktibaslar yap›lamaz. Normal ve kanunî iktibaslarda kaynak gösterilmesi zorunludur.
Dizgi
Bask› - Cilt
: Beta Bas›m A.fi.
: Kahraman Neflriyat Ofset San. Tic. Ltd. fiti. (Sertifika No: 12084)
Yüzy›l Mah. Matbaac›lar Cad. Atahan No: 34 K: 4
Ba¤c›lar/‹stanbul (0-212) 629 00 01
Kapak Tasar›m : Evren Kayhan
Beta BASIM YAYIM DA⁄ITIM A.fi.
Himaye-i Etfal Sokak Talas Han No. 13-15
Ca¤alo¤lu - ‹STANBUL
Tel : (0-212) 511 54 32 - 519 01 77
Fax: (0-212) 513 87 05 - 511 36 50
www.betayayincilik.com
Eflim Gülsen’e
V
ÖNSÖZ
‹flletme yöneticisinin en önemli görevi karar vermektir. Karmafl›k bir iflletme problemi karfl›s›nda at›lacak ilk ad›m problemle ilgili olaylar› dikkatle gözlemektir. Etkin gözlemde yöneticinin yetene¤i ve tecrübesi çok önemli rol oynamakla beraber baz› tekniklerin bilinmesi de büyük fayda sa¤lar. Problemin teflhisi ve bununla ilgili bilgilerin toplanmas› verilecek karar›n isabet derecesini do¤rudan etkiler. Yanl›fl ve gereksiz bilgilerin toplanmas› bir taraftan karar verme süresini uzat›rken di¤er taraftan karar›n do¤ruluk derecesini olumsu yönde etkiler. Matematik yöntemler öncelikle problemi etkileyen faktörlerin ve
aralar›ndaki iliflkilerin aç›k ve seçik biçimde tan›mlanmas›n› sa¤lar. Dolay›s› ile yönetici
de¤iflen durumlar ve varsay›mlar karfl›s›nda karar›n›n nas›l de¤iflece¤ini daha kolay görme ve k›yaslamalar yapma olana¤›n› bulur. Modern iflletme problemlerinde de¤iflken ve
parametre say›s›n›n çoklu¤u ve de¤iflkenler aras›ndaki iliflkilerin karmafl›kl›¤› alternatif
çözümler aras›ndan en iyisinin seçimini güç bir sorun haline getirmektedir. Di¤er taraftan
bilgisayarlar›n son y›llarda yayg›n biçimde kullan›l›r olmas› matemati¤in gereklili¤i hakk›nda baz› yanl›fl kan›lar›n do¤mas›na yol açm›flt›r. En basitinden en karmafl›¤›na
kadar çeflitli problemleri çözebilen bilgisayar yaz›l›mlar›n›n kullan›labilir olmas› ö¤renim devresinde bulunan gençleri matematik ö¤renmenin gereksizli¤ine inand›rmaya
bafllam›flt›r. Halbuki bir problemin teflhisi, de¤iflkenlerin, parametrelerin ve ba¤›nt›lar›n tan›mlanmas›, k›sacas› bir iflletme probleminin matematik modelinin kurulmas› bilgisayar
taraf›ndan yap›lacak bir ifl de¤ildir. Modelin kurulmas› kadar önemli bir konu da modelin
çözümünün yorumlanmas› ve karar verilmesidir.Yönetici sadece matematik çözümlerin
sonuçlar›na bakarak karar veremez. Son kararda, yap›lan varsay›mlar›n, ölçülemeyen
faktörlerin ve risklerin de göz önüne al›nmas›nda yöneticinin sezgi ve tecrübesi de önemli rol oynar. ‹flletme yöneticisinin bir problemin matematik modelini kurabilecek ve çözüm
sonuçlar›n› sistematik bir mant›kla analiz edebilecek kadar matematik formasyona sahip
olmas› gereklidir. Bu nedenle, modern iflletmecilikte matemati¤in verimli ve etkili bir karar verme arac› oldu¤u fikrinin benimsetilmesi bu kitab›n ana amac›n› oluflturmufltur.
‹flletme Matemati¤i kitab›n›n sekizinci bask›s›n›n gerçekleflmesi yine pek çok kiflinin yak›n ilgisi ve eme¤i ile katk›da bulunmas› sonunda mümkün olmustur. Bu konuda
özellikle Beta Bas›m Yay›m Da¤›t›m A.fi. yönetici ve çal›flanlar›na ve Münevver Özakman’a teflekkür ederim.
Çal›flmalar›m süresince her zaman oldu¤u gibi yak›n ve s›cak deste¤i ile bana güç
veren eflim Gülsen Kobu’ya minnet ve flükran borcumu belirtmek isterim.
Swansea – Massachusetts
20 Eylül, 2009
Prof. Dr. Müh.Bülent Kobu
‹Ç‹NDEK‹LER
G‹R‹fi
Matemati¤in Temel Kavramlar› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Bilimsel Metot, Matematik ve ‹flletme Yönetimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Matematik Tümevar›m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
MT Metodunun Prensipleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
Al›flt›rmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
BÖLÜM I
CEBR‹N TEMEL KURALLARI
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
Do¤al Say›lar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Tam Say›lar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
Rasyonel Say›lar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Pozitif Tam Say›l› Üslü ‹fadeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Negatif tam Say›l› Üslü ‹fadeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
Köklü ‹fadeler ve Kesirli Üsler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
Reel Say›lar Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
Sanal Say›lar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
Cebrik ifadelerin Çarp›m› ve Çarpanlara Ayr›lmas› . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
Cebrik ‹fadelerin Bölünmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
Al›flt›rmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
BÖLÜM II
PERMUTASYON VE KOMB‹NASYON
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Temel Tan›mlar ve Kurallar . . . .
Faktöryel Notasyonu ve ‹fllemleri
Permutasyon . . . . . . . . . . . . . . . .
Kombinasyon . . . . . . . . . . . . . . .
Binom Teoremi . . . . . . . . . . . . . .
Al›flt›rmalar . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.55
.58
.61
.65
.68
.73
VII
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
BÖLÜM III
SETLER
Setlerin Matematikteki Önemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
Temel Tan›m ve Kurallar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
Setlerin Grafik Gösterilifli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
Set ‹fllemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
Set ‹fllemlerinin Temel Kanunlar› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
Set ‹fllemlerinin Gerçek Problemlere Uygulanmas› . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
Set Kombinasyonlar›nda Eleman Say›s› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
Say› Setleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
Say›lar Do¤rusu Üzerindeki Aral›klar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114
Aral›klarla ‹fllemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
Çarp›m Setleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118
Çarp›m Setlerinde Farkl› Çiftlerin Say›s› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
Ba¤›nt›lar ve Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
Fonksiyonlar›n Düzlemde Gösterilifli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
Fonksiyon Notasyonlar› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134
Tan›m Aral›¤›n›n Önemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
Bileflik ve Kapal› Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
‹flletme Problemlerinin Matematik Modelleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
Al›flt›rmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
BÖLÜM IV
DÜZLEM GEOMETR‹
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
Girifl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
Lineer Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
‹ki Nokta Aras›ndaki Uzakl›k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
Bir Do¤runun E¤imi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
E¤imi ve Bir Noktas› Verilen Do¤runun Çizimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166
Do¤ru Denklemlerinin Ç›kar›l›fl› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
Bir Noktan›n Bir Do¤ruya Uzakl›¤› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
Mutlak De¤er ‹flaretli Do¤ru Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
Lineer Denklemlerin Simultane Çözümleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
Simultane Çözümün Cebrik Metot ile Araflt›r›lmas› . . . . . . . . . . . . . . . . .181
S›f›r Kâr Noktas› Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
Lineer Eflitsizliklerin Grafik Gösterilifli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
Lineer Eflitsizliklerin Simultane Çözümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192
Lineer Olmayan Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
Daire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .197
Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200
Hiperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214
Elips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220
VIII
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
Polinomial Fonksiyonlar . . . . . . . .
Polinomial Denklemlerin Çözümü
Rasyonel Fonksiyonlar . . . . . . . . .
Üstel Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . .
e Tabanl› Üstel Fonksiyonlar . . . .
Al›flt›rmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.223
.227
.230
.240
.244
.249
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . .259
. . . . . . . . . . . . . . .262
. . . . . . . . . . . . . . .267
. . . . . . . . . . . . . . .269
. . . . . . . . . . . . . . .276
. . . . . . . . . . . . . . .277
. . . . . . . . . . . . . . .282
. . . . . . . . . . . . . . .289
. . . . . . . . . . . . . . .295
. . . . . . . . . . . . . . .296
. . . . . . . . . . . . . . .300
. . . . . . . . . . . . . . .302
. . . . . . . . . . . . . . .305
. . . . . . . . . . . . . . .308
. . . . . . . . . . . . . . .310
. . . . . . . . . . . . . . .312
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
BÖLÜM V
D‹Z‹LER VE SER‹LER
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
Girifl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aritmetik Diziler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometrik Diziler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bir Dizinin Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dizilerin Kurulmas› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Toplam Notasyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Serilerde Yak›nsakl›k Kriterleri . . . . . . . . . . . . .
e Say›s›n› Veren Seri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Serilerin Finans Hesaplar›nda Uygulanmas› . . .
Kuvvet Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Binom Serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
MacLaurin Serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Taylor Formülü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
McLarin ve Taylor Formüllerinde Kalan ‹fadesi
Al›flt›rmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BÖLÜM VI
TÜREV
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
Limit Kavram› . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limitin Tan›m› . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limit Teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . .
Süreklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bir E¤rinin E¤imi . . . . . . . . . . . . . . .
Türevin Tan›m› . . . . . . . . . . . . . . . . .
Süreklilik ve Türev Aras›ndaki ‹liflki
Türev Alma Metotlar› . . . . . . . . . . . .
Belirsiz fiekiller . . . . . . . . . . . . . . . . .
Al›flt›rmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.319
.325
.328
.330
.333
.337
.342
.343
.357
.362
BÖLÜM VII
TÜREV‹N UYGULANMASI
7.1
7.2
Maksimum ve Minimum Kavramlar› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .369
Ferma Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .370
IX
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
Rolle Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ortalama De¤er Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Artan ve Eksilen Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bir Fonksiyonun Maksimum ve Minimum De¤erleri
Bir E¤rinin Bükülme Yönü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bir E¤rinin Dönüm Noktalar› . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Te¤et, Normal, Te¤et Alt› ve Normal Alt› . . . . . . . . .
Fonksiyonlar›n De¤iflimlerinin ‹ncelenmesi . . . . . . .
Türevin ‹flletme Problemlerinde Uygulanmas› . . . . .
Al›flt›rmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .371
. . . . . . . . . . . . . . . . .371
. . . . . . . . . . . . . . . . .373
. . . . . . . . . . . . . . . . .374
. . . . . . . . . . . . . . . . .375
. . . . . . . . . . . . . . . . .377
. . . . . . . . . . . . . . . . .378
. . . . . . . . . . . . . . . . .379
. . . . . . . . . . . . . . . . .385
. . . . . . . . . . . . . . . . .401
BÖLÜM VIII
ÇOK DE⁄‹fiKENL‹ FONKS‹YONLAR
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
Çok De¤iflkenli Fonksiyon Kavram› . . . . . . . . .
K›smî Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tam Diferansiyel ve Tam Türev . . . . . . . . . . . .
Çok De¤iflkenli Fonksiyonlarda Ekstramumlar
Lagrange Çarpanlar›......................... . . . . . . . . .
Al›flt›rmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . .407
. . . . . . . . . . . . .408
. . . . . . . . . . . . .413
. . . . . . . . . . . . .420
. . . . . . . . . . . . .431
. . . . . . . . . . . . .434
BÖLÜM IX
INTEGRAL
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
‹ntegral ‹flleminin Genel Tarifi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .439
Temel ‹ntegral Kurallar› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .442
‹ntegral Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .445
De¤iflken Dönüflümü ile ‹ntegral Alma Metodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .453
K›s›mlara Ay›rarak ‹ntegral Alma Metodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .454
Trigonometrik Fonksiyonlara Dönüfltürerek ‹ntegral Alma Metodu . . . . .459
Basit Kesirlere Ay›rarak ‹ntegral Alma Metodu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461
Belirli ‹ntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .466
‹ntegral ile Alan Hesaplama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .471
Belirli ‹ntegralin Uygulanmas› ile ‹lgili Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . .482
Al›flt›rmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .493
BÖLÜM X
VEKTÖRLER VE MATR‹SLER
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
Temel Vektör ‹fllemleri . . . . . . . . . . . .
Vektör ‹fllemlerinin Geometrik Anlam›
Vektör Alan› ve Lineer Ba¤›ml›l›k . . .
Matrisler ve Genel Özellikleri . . . . . . .
Matris ‹fllemleri . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.505
.512
.514
.516
.519
X
10.6 Özel Matrisler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Elemanter Matris ‹fllemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Matrislerin Eflde¤erli¤i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9 Matrislerin ‹flletme Problemlerinde Uygulanmas›.
10.10 Determinantlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.11 Minörler ve Alt Determinantlar . . . . . . . . . . . . . . .
10.12 Determinantlar›n Aç›l›m› . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.13 Determinantlar›n ‹fllemsel Özellikleri . . . . . . . . . .
10.14 Ek Matrisler ve Ek Determinantlar . . . . . . . . . . . .
10.15 Minörler ve Alt Determinantlar›n Genel Tan›m› . .
10.16 Ters Matrisler ve Hesaplama Metotlar› . . . . . . . . .
10.17 Lineer Denklem Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Al›flt›rmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .524
. . . . . . . . . . . . . . . . .530
. . . . . . . . . . . . . . . . .532
. . . . . . . . . . . . . . . . .534
. . . . . . . . . . . . . . . . .541
. . . . . . . . . . . . . . . . .541
. . . . . . . . . . . . . . . . .543
. . . . . . . . . . . . . . . . .546
. . . . . . . . . . . . . . . . .550
. . . . . . . . . . . . . . . . .553
. . . . . . . . . . . . . . . . .555
. . . . . . . . . . . . . . . . .565
. . . . . . . . . . . . . . . . .577
BÖLÜM XI
DO⁄RUSAL PROGRAMLAMA
11.1
11.2
11.3
Do¤rusal Programlama Modellerinin Özellikleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .583
‹flletme Problemlerinin DP Modellerinin Kurulmas› . . . . . . . . . . . . . . . .586
‹ki De¤iflkenli DP Modellerinin Grafik Çözümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .594
Al›flt›rmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .601
BÖLÜM XII
S‹MLEX METOT
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
Simplex Metodun Temel Kurallar› . . . . . . . . . . . . . . .
Simplex Metotta ‹fllemleri Basitlefltirici Kurallar . . .
DP Modellerinde Özel Haller . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Duyarl›k Analizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DP Modellerinin ‹flletme Problemlerine Uygulanmas›
Al›flt›rmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
‹ndeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . .605
. . . . . . . . .616
. . . . . . . . .619
. . . . . . . . .622
. . . . . . . . .629
. . . . . . . . .642
. . . . . . . . .653
XI