Doyumlu Eyleyicilere Sahip bir Asimetrik Yapısal Sistemin

Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 14-17 Haziran 2015
Doyumlu Eyleyicilere Sahip bir Asimetrik Yapısal Sistemin Titreşimlerinin
Doğrusal Matris Eşitsizlikleri Tabanlı
H  Durum Geri Beslemeli Kontrolör ile Azaltılması
M. Sever*
G. Göktaş†
H. Yazıcı‡
İ. B. Küçükdemiral§
Yıldız Teknik Üniversitesi
İstanbul
Özet—Kütle merkezi (KM) ve rijitlik merkezi (RM)
çakışık olmayan yani rijitlik düzensizliğine sahip yapısal
sistemler literatürde asimetrik olarak sınıflandırılır. Bu
çalışmada doyumlu eyleyicilere sahip bir asimetrik
yapısal sistem (AYS)’ in deprem kaynaklı titreşimlerinin
azaltılması için Doğrusal Matris Eşitsizlikleri (DME)
tabanlı durum geri-beslemeli optimal H  kontrolör
tasarımı gerçekleştirilmiştir. Benzetim çalışmalarında
kullanılmak üzere çift yönlü eksantrikliğe sahip olan tek
katlı bir AYS modellenmiştir. Modellenen sistem, iki
eksende yanal titreşimlere ve tek eksende burulma
titreşimine izin verecek şekilde üç serbestlik derecesine
sahiptir. Tasarlanan kontrolörün titreşimleri azaltmadaki
etkinliği frekans bölgesi tepe değerlerindeki azalmayla
açıkça görülmektedir. El Centro ve San Francisco gibi
farklı deprem kayıtlarıyla yapılan zaman alanı
benzetimleri ise kontrol sinyallerinin doyumlu eyleyici
kısıtlarını sağladığını ve kapalı çevrim kararlılığını
garanti ettiğini göstermektedir.
I.Giriş1
Son yıllarda, yapısal sistemlerin deprem kaynaklı
titreşimlerinin azaltılmasında aktif kontrol yöntemleri
araştırmacılar tarafından büyük ilgi görmektedir [1].
Bugüne kadar LQG kontrolör [2-3], bulanık mantıklı
kontrolör [4], kayan-kipli ve PID kontrolör [5], bulanık
mantıklı kayan-kipli kontrolör [6-7] ve zaman gecikmesi,
eyleyici doyumu gibi farklı dinamikleri ele alan durum ve
çıkış geri beslemeli optimal H  kontrolörler [8-10] ile
gerçekleştirilmiş teorik ve deneysel çalışmalar mevcuttur.
Literatürdeki teorik ve deneysel sonuçlar göstermektedir
ki aktif titreşim kontrol yöntemleri, yapısal sistemlerin
deprem kaynaklı titreşimlerinin azaltılmasında pasif ve
yarı-aktif kontrol tekniklerinden daha yüksek performans
göstermektedir [1].
Yapısal titreşimlerin aktif kontrolü üzerine yürütülen
çalışmaların büyük bir kısmında KM ve RM nin çakışık
olduğu simetrik yapısal sistemler modellenmiştir. Bu
kabulle modellenen sistemlere etki eden bozucu zemin
hareketleri, doğrusal yönde oluştuğunda, yapısal sistemde
sadece yanal titreşimler oluşur. KM ve RM nin çakışık
olmadığı bir AYS için ise herhangi bir yönde etki eden
bozucu zemin hareketi, eş zamanlı olarak yanal titreşim
ve burulma titreşimine sebebiyet vermektedir. Eğer AYS’
de burulma titreşimlerine ait modun doğal frekansı, yanal
titreşimlerin doğal frekanslarından daha düşük bir
frekansta ise, buna dönel esnek (DE) olma özelliği
denmektedir. Aktif titreşim kontrolü gerçekleştirilecek
olan yapısal sistem eğer DE’ lik özelliğine sahip ise
burulma
titreşimlerinin
göz
ardı
edilmeden
modellenmelidir [11]. Her yapısal sistemin inşaatı
aşamasındaki hatalar veya plansız yerleştirilen büyük
kütleler gibi belirsizliklere maruz kaldığı bilinmektedir.
Bu belirsizlikler, tamamen simetrik tasarlanmış bir
yapısal sistemi dahi burulma titreşimlerine karşı narin
kılabilmektedir. Bu gerekçelerle aktif titreşim kontrol
sistemi tasarımında eldeki yapısal sistemin özellikleri iyi
incelenmelidir [12].
Bu kısımda AYS’ lerin burulma cevaplarının
iyileştirilmesi adına yürütülmüş olan çalışmalar
incelenecektir. Tasarım aşamasında burulma cevaplarının
iyileştirilmesi ve gerekli yönetmeliklerin oluşturulması
adına öncü araştırmalar Chopra ve Goel tarafından
Anahtar kelimeler: aktif titreşim kontrolü, asimetrik yapısal
sistemler, deprem kaynaklı titreşimler, doğrusal matris eşitsizlikleri,
eyleyici doyumu
Abstract—This paper is concerned with the design of
linear matrix inequalities based optimal state-feedback
controller design for seismic excited asymmetric
structural systems having stiffness irregularities. A one
storey, two way asymmetric structural system model is
used to illustrate the effectiveness of approach through
simulations. The modelled system has bi-lateral and
rotational degrees of freedom. Frequency responses
show the effectiveness of proposed controller by means of
a decrease in the peak values of each resonance
frequency. Moreover, the time domain simulation results,
acquired by using real time-history data of San
Francisco and El Centro Earthquakes also show that
proposed controller is very effective in reducing
vibration amplitudes of each direction by applicable
control signals and guaranteeing the stability of closed
loop system.
Keywords: active vibration control, asymmetric structure,
earthquake induced vibration, linear matrix inequalities, actuator
saturation
[email protected]
[email protected]
‡
[email protected]
§
[email protected]
*
†
1
Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 14-17 Haziran 2015
değerleri ise  x ,  y ve  ’ dir. Sistemin kütlesi ise
yürütülmüştür [13-14]. AYS’ lere ek sönüm elemanları
yerleştirilmesi ve/veya akıllı zemin izolasyonu gibi pasif
titreşim kontrol yöntemleri de burulma titreşimlerinin
azaltılmasında önerilmiştir [15-16]. Pasif kontrol
tekniklerinden daha yüksek performans elde ederken,
aktif kontrol tekniklerinden daha az enerji kullanmak
isteyen araştırmacılar yarı-aktif kontrol tekniklerinin
AYS’
lere
uygulanması
üzerine
çalışmalarını
sürdürmektedirler [17-20]. Daha yüksek performansla
burulma titreşimlerini azaltmak isteyen araştırmacılar ise
kaçınılmaz bir şekilde aktif kontrol tekniklerine
odaklanmışlardır. Ricatti denklemleri tabanlı LQG
kontrolör [3], yeni bir maliyet fonksiyonu ile optimal
LQR kontrolör [21] ve optimal H  kontrolör [10], [12]
tasarımı gibi teknikler AYS’ lerin burulma titreşimlerinin
aktif kontrol ile azaltılmasında kullanılmıştır.
Söz konusu çalışmaların her biri AYS’ lerin burulma
titreşimlerinin azaltılması konusunda literatüre önemli
katkılarda bulunmuştur. Eyleyici doyumu içeren bir AYS
için DME tabanlı optimal H  kontrolör ile mümkün
olan en geniş hacimli değişmez elipsoide sahip kapalı
çevrim sistem için durum geri beslemeli kontrolör
tasarımı ise henüz bu çalışmadaki gibi ele alınmamıştır.
alışıldık şekilde m ile gösterilmektedir. Tendonlar ile
KM arasındaki x ve y yönlerindeki mesafeler Bx ve
B y ’ dir.
Şekil. 1. AYS fiziksel modeli [12].
Sistemin hareket denklemleri matris formunda
Mxs  Cx s  Kxs  Bu  Dw
(1)
olarak verilmektedir. Buradaki kütle, yay, sönüm, kontrol
girişi ve bozucu etki katsayı matrisleri
 d x ,1 
x
d 
1 0 0
 xg 
x,2 
, w    , M  0 1 0  ,
x s   y  , u  
 d y ,1 


 yg 
r 
0 0 1



d y , 2 
II. Asimetrik Yapısal Sistemin Modellenmesi
Çalışmamızda DE’ lik özelliğine sahip bir AYS’ in
matematiksel modeli kütle, yay ve damper alt sistemleri
kullanılarak elde edilmiştir. Ele alınan AYS iki eksende
yanal titreşim ve tek eksende burulma titreşimine izin
verecek şekilde üç serbestlik derecesine sahiptir. DE
olma özelliği taşıyan AYS’ lerin burulma titreşimlerinin
incelenmesi daha büyük önem taşımaktadır. Bu sebeple
modele ait doğal frekansların DE özelliğini yansıtacak bir
ilişkiyle sıralanması, gerçek sistem dinamiklerini daha
doğru yansıtan bir model ile kontrolör tasarımına olanak
tanımaktadır. Doğal frekansların ihtiyaç duyulduğu
şekilde sıralanmasını kolaylaştırmak için AYS’ in hareket
denklemleri yay ve sönüm elemanı katsayıları yerine ayrı
eksenlerdeki doğal frekans değerleri ve sönüm oranları
ile parametrize edilmiştir. Aktif tendon sistemine sahip,
çift yönde eksantrikliğe sahip olan tek katlı bir AYS şekil
1 ile gösterilmektedir [12].
Sistemin hareket denklemlerini oluşturan parametreler
ve hareketini tanımlayan zamana bağlı değişkenler şekil
1’ in de yardımıyla tanımlanmalıdır. KM ve RM
arasındaki x ve y yönlerindeki eksantriklikler sırasıyla
e x ve e y ’ dir. KM ve RM arasındaki mesafe ise r ’ dir.
  x2

K  0
 2
  x ey
 y2 ex
,D
2
2 2
2 2 
   x ey   y  ex 

 y2
 y2  ex
 4k c cos tx

m


0
B


4k c cos tx
  By
m



  x2 ey
0
4k c cos tx
m
0
 By
4k c cos tx
m
0


4k c cos ty 


m
4k c cos ty 

  Bx
m

0
4k c cos ty
 Bx
 1 0 
  0  1 ,
0 
 0
m
4k c cos ty
m
olarak belirlenmiştir [12]. Genelleştirilmiş koordinatlar
olarak adlandırabileceğimiz xs vektörünün üçüncü
elamanının alışıla geldik şekilde  olarak değil de r
olarak seçilmesi dikkat çekicidir. Bu seçimin avantajı ise
durum geri beslemeli kontrol için r ’ nın ölçülmesinin
 ’ nın ölçümünden daha kolay olmasıdır.
ex : e x r , ey : e y r ,  Bx : B x r ve  By : B y r
değişkenlerinin tanımlanmasıyla hareket denklemleri
sönüm matrisi dışında tamamlanmıştır. Sönüm matrisinin
değerlerini
yapısal
ölçülerden
veya
malzeme
karakteristiklerinden tanımlamak pratik açıdan hassas ve
etkili bulunmadığı için tercih edilmemektedir. Bu sebeple
her moda ait deneysel olarak elde edilmiş sönüm oranları
ve sistemin hareket denklemlerine ait kütle ve yay
katsayısı matrislerinin kullanılmasıyla sönüm matrisi
AYS’ lerin titreşimlerinin azaltılması için gerekli
kuvvetleri tendonlardaki d x ,1 , d x, 2 , d y ,1 ve d y , 2 yer
değiştirmeleri sağlanmaktadır.
kc
parametresi
tendonlara ait yay sabitini,  tx ve  ty açıları ise
tendonların AYS üzerindeki konstrüktif yerleşimini
gösterir. AYS’ in her bir moduna ait ayrık doğal frekans
2
Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 14-17 Haziran 2015
C  a0 M  a1K
III. Eyleyici Doyumu Kısıtı Altında Doğrusal Matris
Eşitsizlikleri Tabanlı Durum Geri Beslemeli Optimal
H  Kontrolör Tasarımı
(2)
denklemiyle hesaplanmaktadır [22]. a0 ve a1 katsayıları
sisteme ait deneysel olarak elde edilmiş sönüm oranları ve
ayrık doğal frekans bilgilerinin kullanılmasıyla hesaplanır.
İlgili katsayılar ve sönüm oranları arasındaki ilişki ise
n 
a0 1 a1
 n
2 n 2
1  x
1
1 y
2
1 
A. Durum Geri Beslemeli Optimal H  Kontrolör
Tasarımı
Bu kısımda durum geri beslemeli optimal H 
kontrolör tasarımını ele alınmıştır.
(3)
x 
 x 
a0   

 y      y 
a
   1    
Durum geri beslemeli kontrol kanunu u  Kx
şeklinde sistemin durumlarının doğrusal bir fonksiyonu
olarak ifade edilmektedir. Bu kontrol kanununu (5) açık
çevrim sisteminde yerine koyarak kapalı çevrim sistem
(4)
x   A  B2 K x  B1w
denklemleriyle tanımlanmıştır [22]. (4) numaralı
denklemin en küçük kareler yöntemiyle çözülmesinin
ardından sönüm matrisi (2) denklemiyle hesaplanmıştır.
z  C  D2 K x  D1w
elde edilir. H  performans problemi, (6) kapalı-çevrim
sistemini kararlı kılacak ve sistemin bozucu girişlerinden
maliyet fonksiyonuna olan transfer fonksiyonları
matrisinin sonsuz normunu,  gibi bulunabilecek en
küçük skaler pozitif değerden küçük kılacak bir
denetleyici bulma problemidir.
Çalışmanın ana amacı olan aktif kontrol sistemi
tasarımını gerçekleştirebilmek için hareket denklemleri
uygun bir şekilde durum uzay formuna getirilmiştir.
x  Ax  B1w  B2u
(5)
z  Cx  D1w  D2u
Burada x  xs
Sistemin kararlılığı P  P T  0 şeklinde tanımlanan
pozitif tanımlı simetrik bir matris ile oluşturulan pozitif
tanımlı ve karesel yapıdaki V x   xT Px Lyapunov
x s T uygun boyutlu x   n durum
değişkenleri vektörü, uygun boyutlu w   p zeminin
ivme hareketlerinden oluşan w  xg yg T bozucu

girişleri

vektörü,
u  d x1 d x 2
d y1
u  m
d y2

T
ise

uygun
fonksiyonunun zamana göre türevinin tüm x   n ve
w   p durum ve bozucu giriş vektörleri için negatif
işaretli olması şartıyla garanti edilir. Lyapunov
fonksiyonunun zamana göre türevi ise
boyutlu
kontrol girişleri vektörüdür.
(5)’ te görülmekte olan durum uzay matrisleri ise
 0
A
1
 M K
dV x 
 x T Px  xT Px
dt
I

 0 
;
; B1  
1 
1 
 M C  nxn
 M D  nxp
x T Px  xT Px  0
(8)
Eşitsizliğinin sağlanmasıdır. Kapalı çevrim sistemin
bozucu girişlerinden maliyet fonksiyonuna olan transfer
fonksiyonunun sonsuz normunun  gibi bir pozitif
skalerden küçük olması ise
olarak tanımlanmaktadır. z maliyet fonksiyonunu
oluşturan durum uzay matrisleri ise C   qxn , D1   qxp ,
ve
(7)
olduğu için kararlılık koşulu
 0 
B2  
1 
 M B  nxm
D2   qxm olarak boyutlandırılmıştır
tasarımcısı tarafından belirlenmektedir.
(6)
kontrolör
z
w
Çalışmamız özelinde maliyet fonksiyonu boyutları q  n
seçilmiş ve durum uzay matrisleri
2
2
2
2

zT z
  2  z T z   2 wT w  0
wT w
(9)
eşitsizliğiyle gösterilir. (8) ve (9) eşitsizliklerinde gerekli
yerlere (6) kapalı çevrim sisteminin yerleştirilmesiyle,
kararlılık ve H  performans problemi bir arada
C  I nxn ; D1  0 nxp ; D2  0 nxm
olarak kullanılmıştır.
xT  A  B2 K T Px  xP A  B2 K x  wT B1T Px 
xT PB1w 

C
D2 K x  D1wT z   2 wT w  0


z
3
(10)
Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 14-17 Haziran 2015
x  Ax  Bu
matris eşitsizliği olarak ele alınabilmektedir ve uygun
düzenlemelerle
sistemini ele alalım. Eğer
T
 x  x
 T     0
 w   w
T
AT P  PA  0
(11)
 A  B2 K  P  P A  B2 K 


PB1  C  D2 K T D1 
 C  D2 K T C  D2 K 
  0 (12)


T
T
T
2
  I  D D1 
1 P  D1 C  D2 K 
 B

1



0
I 


  I 
 X C  D2 K T 
C  D2 K X

D1T


D1   0
B1T
2
B1
  2I
D1
 A  BK T P  P A  BK   0
(20)
AT P  K T B T P  PA  PBK  0
(21)
matris eşitsizlikleri sağlanmalıdır. Doğrusal olmayan bu
matris eşitsizlikleri yine
X : P 1  X  X T  0
değişken
değişkeninin tanımlanması ve W : KX
dönüşümünün uygulanmasıyla
(14)
XAT  W T B T  AX  BW  0
olarak yazıldığında, Schur tümleyen [23] kullanarak ve
W : KX değişken dönüşümünü uygulayarak
 AX  XAT  B2W  WB2T

B1T


CX  D2W

(18)
kapalı çevrim sistemini elde etmek için kullanabiliriz. (19)
kapalı çevrim sistemini Lyapunov kararlılık koşuluna göre
kararlı kılmak için
DME elde edilir. (13) uygun düzenlemelerle
 A  B2 K X  X  A  B2 K 

B1


Değişmez elipsoitin özelliklerini kullanarak durum
geri beslemeli kontrolör tasarlamak için açık çevrim (16)
sistemde u  Kx durum geri beslemeli kontrol kanununu
(19)
x   A  BK x
(13)
T
pozitif tanımlı
değişmez elipsoittir. Bir elipsoitin içindeki herhangi bir
x0 başlangıç koşulundan başlayan bir sisteme ait durum
vektörü eğer o elipsoitin içinden çıkmıyorsa, o elipsoit bir
değişmez elipsoittir [24].
olarak yazılabilir. Kolaylıkla görüldüğü üzere (11) karesel
bir yapıdadır. Karesel bir yapının negatif tanımlı olması
(12)’ nin sağlanmasına denktir. P ve K bilinmeyenleri
(12)’ de birbirleriyle çarpım halinde oldukları için
doğrusal olmayan bir matris eşitsizliği oluşturmaktadır.
Bu aşamada X : P 1  X  X T  0 değişkeninin
tanımlanması ve (12)’ ye yapılacak olan uyumluluk
dönüşümünde [23] kullanımıyla
T
P  PT  0
 P : x : xT Px  1

0  X

I   0
(17)
DME’ ni sağlayan bir
Lyapunov matrisi var ise
T
X
0

(16)
(22)
DME’ ne dönüşür. (22) DME kullanılarak hesaplanan X
ve W değişkenleriyle u  Kx  WX 1 x kontrol kanunu
elde edilir.
XCT  W T D2T 

D1T
  0 (15)

I

Sistemin doyumlu bir eyleyiciye sahip olması kontrol
girişi sinyalinin u 2  u max şeklinde sınırlı olmasını
gerektirmektedir. Kontrol girişi sinyalinin sınırlılığını
yazılabilmektedir.
u
Durum geri beslemeli optimal H  kontrolör tasarımı
problemi (15)’ i sağlayan en küçük  skaleri için
hesaplanan X ve W değişkenlerini kullanarak
u  Kx  WX 1 x kontrol kanunuyla çözülmektedir.
2
2
 u T u  u max  u T u  u max
(23)
olarak da yazabiliriz. Kontrol sinyalini (23)’ te yerine
yazarak
2
xT X 1W T WX 1 x  u max
B. Eyleyici Doyumu Kısıtı Altında Değişmez Elipsoit
Tabanlı Kararlı Kılıcı Durum Geri Beslemeli
Kontrolör Tasarımı
Çalışmamızda, kapalı çevrim sistemin kararlılığını
garanti eden ve kapalı çevrim transfer fonksiyonunun
sonsuz normunu minimize eden durum geri beslemeli
optimal H  kontrolör tasarımı için gerekli DME
oluşturulsa da eyleyici doyumu problemi kontrolör
sentezine katılmamış bulunmaktadır. Doğrusal zamanla
değişmeyen
(24)
eşitsizliği elde edilir. (24)’ ün uygun bir şekilde
düzenlenmesiyle
 X 1W T WX 1 
 x  1   1 T 1
xT 
2


X W WX
u max


2
(25)
u max
elipsoiti oluşur. Sistem durumlarının yörüngeleri (18)
değişmez elipsoitinin içine hapsedildiği için (25) elipsoiti
4
Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 14-17 Haziran 2015
olan en geniş değişmez elipsoit ile kararlı kılan kontrolör
tasarımları ayrı ayrı ele alındı.
de değişmez elipsoit tarafından kapsanmak zorundadır. Bu
durum
P  
P
1
T
X W WX
2
u max
Eyleyici doyumu kısıtı altında, önceden belirlenen bir
(26)
X 1W T WX 1
2
u max
   2 skaleri ve umax skaleri için mümkün olan en geniş
değişmez elipsoite sahip kapalı çevrim sistemi elde eden
kontrolör alttaki teorem ile hesaplanır.
1
(27)
Teorem:
x  Ax  B1w  B2u
olarak ifade edilir. (27)’ ye solundan ve sağından X
değişkeni ile çarpmak suretiyle uyumluluk dönüşümü
uygulandığında
 
W TW
2
X  2  X  W T umax
u max
1
W 0
z  Cx  D1w  D2u
ile verilen açık çevrim sisteme
u  Kx
(28)
durum geri beslemeli kontrol kanununun uygulanması ile
elde edilen
elde edilir ve Schur tümleyeni ile
X

W
WT 
0
2
u max
I 
x   A  B2 K x  B1w
(29)
z  C  D2 K x  D1w
kapalı çevrim sisteminin sonsuz normunun
DME halinde eyleyici doyumu kısıtı ifade edilir. Artık
sistemin değişmez elipsoitinin içinde kalan bölgedeyken,
umax sınır değerininden daha küçük kontrol sinyalleri
kullanarak kararlı kılınmasını sağlanmıştır.
değerini   n skaleri kılarken, u
min  s.t.
 AX  XAT  B2W  WB2T

B1T


CX  D2W

hacmi det P  ile orantılıdır. Matrislerin determinantı ve
izi arasında
n
I
0
X 
B1
 I
D1
XCT  W T D2T 

D1T
0

I

WT 
0
2
u max
I 
X

W
(30)
ilişkisi mevcut olduğu için S  S T  P  S  IPI  0
matris eşitsizliğini sağlayan bir S değişkeni ile  P
değişmez elipsoiti arasında bağıntı kurulur. Schur
tümleyenin de kullanılmasıyla
S
I


 u max kısıtını da
sağlayan değişmez elipsoitin hacmini maksimum değerine
ulaştıran durum geri beslemeli kontrol kanunu
Burada eyleyici doyumu kısıtını sağlamak kadar
önemli olan diğer bir nokta da kapalı çevrim sistemin
mümkün olan en geniş hacimli değişmez elipsoite sahip
olmasıdır. Geometriden de bilindiği üzere  P elipsoitinin
1
 iz P  
 det P   

det( X )
 n 
2
Tzw
S
I

I
0
X 
iz S   
optimizasyon
probleminin
çözümüyle
bulunacak
S  S T  0 , X  X T  0 ve W değişkenleriyle
(31)
DME elde edilir. Eğer iz S  ’ i minimize edecek şekilde
(22), (29) ve (31) DME çözülecek olursa
u  Kx  WX 1 x kontrol kanunu mümkün olan en geniş
hacimli değişmez elipsoit için, u max değerini aşmadan
kapalı çevrim sistemi kararlı kılar.
u  Kx  WX 1 x
olarak hesaplanır.
IV. Benzetim Çalışmaları
Bu bölümde bir AYS’ in deprem kaynaklı
titreşimlerinin aktif kontrolü için DME tabanlı durum geri
H
kontrolör
tasarımı
beslemeli
optimal
gerçekleştirilmiştir. Tasarlanan kontrolörün performansı
San Francisco ve El Centro depremlerine ait kuzey-güney
ve doğu-batı yönlü ivme kayıtlarıyla sınanmıştır. Söz
C. Eyleyici Doyumu Kısıtı Altında Durum Geri
Beslemeli Optimal H  Kontrolör
Çalışmamızda, kararlılığı garanti ederken kapalı
çevrim sistemin sonsuz normunu minimize eden kontrolör
ve doyumlu eyleyicilerle kapalı çevrim sistemi mümkün
5
Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 14-17 Haziran 2015
olarak hesaplanmıştır. Benzetim çalışmalarında kullanılan
AYS ve aktif tendon sistemine ait olan yapısal
parametreler ise tablo 1 ile verildiği gibidir.
konusu depremlerin ivme kayıtları şekil 2 ve 3’ te
görülmektedir.
El Centro Depremi Kayıtları
Kuzey-Güney (m/s2)
4
2
x
2.82 Hz
 tx
36
ex
0.3
0
y
4.11 Hz
 ty
36
ey
0.3
-2

1.56 Hz
x
0.0124
Bx
1.2247
m
342350 kg
y
0.0124
By
1.2247
kc
1488400 N/m

0.0124
0
10
20
30
zaman (s)
40
50
El Centro Depremi Kayıtları
2
Doğu-Batı (m/s2)
AYS ve Aktif Tendon Sisteminin Parametreleri
1
TABLO 1. Yapısal parametreler
0
Tasarlanan
kontrolörün
zaman
alanındaki
performansını incelemek için AYS’ in iki eksendeki yanal
titreşimlerine ve tek eksendeki burulma titreşimlerinin
kontrollü ve kontrolsüz yer değiştirme cevapları
incelenmiştir.
-1
-2
0
10
20
30
zaman (s)
40
50
Şekil. 2. El Centro depremi ivme kayıtları.
0.01
0
x (m)
Kuzey-Güney (m/s2)
0.02
2
0
-2
-0.01
-4
0
10
20
30
zaman (s)
40
-0.02
50
-0.03
San Franciscoo Depremi Kayıtları
-0.04
0
4
Doğu-Batı (m/s2)
Kontrolsüz
Kontrollü
0.03
San Francisco Depremi Kayıtları
4
San Francisco Depremi
0.04
5
10
15
20
25
30
zaman (s)
35
40
45
50
2
0
El Centro Depremi
0.04
-2
Kontrolsüz
Kontrollü
0.03
-4
10
20
30
zaman (s)
40
50
0.02
0.01
x (m)
0
Şekil. 3. San Francisco depremi ivme kayıtları.
-0.01
Üçüncü bölümde verilen Teorem’ deki optimizasyon
problemi MATLAB paket programı ile kullanılan
YALMIP ayrıştırıcısı [25] ve SeDuMi çözücüsü [26] ile
çözülmüştür. Optimizasyon probleminde  değeri 0.2 ve
umax değeri 0.2 olarak belirlendiğinde   1204.4 olarak
hesaplanmıştır. Elde edilen durum geri beslemeli kontrol
matrisi
 0.2301
 0.5267
K 
 0.0532

 0.3498
0
-0.02
-0.03
-0.04
0
5
10
15
20
25
30
zaman (s)
35
40
45
50
Şekil. 4. Kontrollü ve kontrolsüz x yönündeki yer değiştirme
cevapları.
Şekil 4, 5 ve 6 göstermektedir ki tasarlanan kontrolör
AYS’ in hem iki yöndeki yanal titreşimlerini hem de tek
eksendeki burulma titreşimlerini başarıyla azaltmaktadır.
Zaman cevaplarının genlikleri incelendiğinde özellikle
kontrolsüz cevaplardaki genliklerin en yüksek olduğu
0.1335  0.1259  0.1715 0.0118 0.0736 
 0.1741 0.1605  0.1212  0.0286  0.0824
0.2979 0.1989 0.0150  0.1565  0.0700

0.6056  0.0875  0.0353  0.1162 0.0860 
6
Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 14-17 Haziran 2015
bölgelerin daha iyi bastırıldığı ortaya çıkmaktadır ki bu
H  kontrolör yapısının tanımıyla örtüşmektedir.
Benzetim çalışmalarında kullanılan üç serbestlik
dereceli AYS’ in DE’ lik özelliği taşıması için burulma
moduna ait doğal frekansının yanal modlara ait doğal
frekansından düşük olması gerektiği daha önce
belirtilmişti. Bunu kolayca elde etmek için hareket
denklemleri yay ve sönüm katsayıları yerine tarafımızdan
belirlenen ayrık doğal frekans değerleriyle parametrize
edilmişti. Tablo 1’ de verilen ve sırasıyla  x  2.82 Hz,
 y  4.11 Hz,   1.56 Hz değerlerinde olan bu ayrık
San Francisco Depremi
Kontrolsüz
Kontrollü
0.03
0.02
y (m)
0.01
0
doğal frekans değerleriyle oluşturulan modelin üç
modunun birleşik olduğu durumdaki doğal frekanslarının
biraz daha farklı olacağı iyi bilinen bir durumdur. Şekil 7’
deki rezonans tepeleri incelendiğinde birleşik sistemin
doğal frekans değerlerinin 1.41 Hz, 2.95 Hz ve 4.31 Hz
değerlerinde olması AYS’ in doğal frekans dağılımının
istenen şekilde elde edildiğini göstermektedir.
-0.01
-0.02
-0.03
0
5
10
15
20
25
30
zaman (s)
35
40
45
50
El Centro Depremi
Kontrolsüz
Kontrollü
x yönünde a/ag (dB)
0.03
0.02
y (m)
0.01
0
50
Kontrolsüz
Kontrollü
0
-50
0
1
10
frekans (Hertz)
y yönünde a/ag (dB)
-0.01
-0.02
-0.03
0
5
10
15
20
25
30
zaman (s)
35
40
45
50
rTeta yönünde a/ag (dB)
Şekil. 5. Kontrollü ve kontrolsüz y yönündeki yer değiştirme cevapları.
San Francisco Depremi
0.05
Kontrolsüz
Kontrollü
0.04
0.03
10
40
20
0
-20
-40
Kontrolsüz
Kontrollü
0
1
10
frekans (Hertz)
10
50
Kontrolsüz
Kontrollü
0
-50
-100
0
1
10
frekans (Hertz)
10
rTeta (m)
0.02
0.01
Şekil. 7. AYS kontrollü ve kontrolsüz ivme cevaplarının frekans bölgesi
grafikleri
0
-0.01
Frekans cevapları incelendiğinde, rezonans noktaları
olarak adlandırabileceğimiz üç tepe noktasının üçünün de
genliklerinin azaltıldığı açıkça görülmektedir. Bu durum
zaman cevaplarındaki iyileşmeyi doğrular niteliktedir.
-0.02
-0.03
-0.04
0
5
10
15
20
25
30
zaman (s)
35
40
45
50
San Francisco Depremi
El Centro Depremi
0.05
Kontrolsüz
Kontrollü
0.05
dx1 (m)
0.04
0.03
0
0.02
rTeta (m)
-0.05
0.01
0
0
10
20
30
zaman (s)
40
50
40
50
San Francisco Depremi
-0.01
0.04
-0.02
0.02
-0.04
0
5
10
15
20
25
30
zaman (s)
35
40
45
dx2 (m)
-0.03
50
0
-0.02
Şekil. 6. Kontrollü ve kontrolsüz r yönündeki yer değiştirme
cevapları.
0
7
10
20
30
zaman (s)
Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 14-17 Haziran 2015
Şekil 8 ve 9’ da kontrol girişi olarak görev yapan
tendon
yer
değiştirmelerinin
zaman
kayıtları
görülmektedir. Bir optimizasyon problemi olarak ifade
edilmiş olan durum geri beslemeli optimal H  kontrolör
tasarımının daha ilk aşamasında belirlenen umax : 0.2
San Francisco Depremi
dy1 (m)
0.05
0
m için beklenen u
-0.05
0
10
20
30
zaman (s)
40
Bu çalışmada aktif titreşim kontrolü uygulamak
amacıyla, eş zamanlı olarak yanal titreşimlerin ve burulma
titreşimlerinin görüldüğü üç serbestlik dereceli bir AYS
modellenmiştir.
Farklı deprem girişleri karşısındaki
performansları sınanan doyumlu eyleyicilere sahip aktif
tendon sistemine sahip AYS’ e DME tabanlı durum geri
beslemeli optimal
H
kontrolör uygulanmıştır.
Tasarlanan
kontrolörün
AYS
titreşimlerinin
azaltılmasında iyi bir performans göstermesinin yanı sıra
bunu son derece uygulanabilir genliklere sahip kontrol
sinyalleriyle yapmıştır. Kapalı çevrim sisteme ait
değişmez elipsoit hacmini maksimize ederek, kontrolör
tasarımının daha ilk adımında hedeflenen eyleyici
doyumu ve kapalı çevrim sistem
sonsuz normu
değerlerini sağlayan bu kontrolör AYS’ lere yönelik
gerçekleştirilecek
olan
aktif
titreşim
kontrolü
uygulamaları için uygun bir çözüm olarak görünmektedir.
dy2 (m)
0.02
0
-0.02
0
10
20
30
zaman (s)
40
50
Şekil. 8. San Francisco depremi kaynaklı titreşimlerin bastırılması
sırasında kontrol girişi sinyali olarak kullanılan aktif tendon sistemi yer
değiştirmeleri
El Centro Depremi
dx1 (m)
0.05
0
-0.05
0
10
20
30
zaman (s)
40
50
Kaynakça
El Centro Depremi
0.04
[1]
Soong T. T. ve Constantinou M. C. Passive and Active Structer
Vibration Control in Civil Engineering. Springer-Verlag, 1994
[2] Lu L. T., Chiang W. L. ve Tang J. P. LQG/LTR control
methodology in active structural control. ASCE Journal of
Engineering Mechanics, 124:446-454, 1998
[3] J. Wu ve Yang J. LQG control of lateral-torsional motion of
Nanjing TV transmisison tower. Earthquake Engineering and
Structural Dynamics, 29:1111-1130, 2000
[4] Guclu R. ve Yazici H. Fuzzy logic control of non-linear structural
system against earthquake induced vibration. Journal of Vibration
and Control, 13:1535-1551, 2007
[5] Guclu R. Sliding-mode and PID control of a structural system
against earthquake. Mathematical and Computer Modelling,
44:210-217, 2006
[6] Wang A. ve Lin Y. Vibration control of a tall building subjected
to earthquake excitation. Journal of Sound and Vibration,
299:757-773, 2007
[7] Alli H. ve Yakut O. Fuzzy sliding-mode control of structures.
Engineering Strutures, 27:277-284, 2007
[8] Lin C., Chang C. ve Chen H. Optimal H  output feedback
control system with time delay. ASCE Journal of Engineering
Mechanics, 132:1096-1105, 2006
[9] Chase J., Breneman S. ve Smith H. Robust H  static output
feedback control with actuator saturation. ASCE Journal of
Engineering Mechanics, 125:225-233, 1999
[10] Fujimani T., Saito Y., Morishita M., Koike Y. ve Tanida K. A
hybrid mass damper system controlled by H  control theory for
reducing bending-torsion vibration of an actual building.
Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 30:1639-1653,
2001
[11] Thabatabei R. Recent Advances in Vibration Analysis- Torsional
vibrations of eccentric building systems. INTECH, 2011
dx2 (m)
0.02
0
-0.02
0
10
20
30
zaman (s)
40
50
40
50
40
50
El Centro Depremi
dy1 (m)
0.01
0.005
0
-0.005
-0.01
-0.015
0
10
20
30
zaman (s)
El Centro Depremi
0.04
dy2 (m)
0.02
0
-0.02
0
10
20
30
zaman (s)
 u max kısıtı sağlanmaktadır.
V. Sonuçlar
San Francisco Depremi
0.04
2
50
Şekil. 9. El Centro depremi kaynaklı titreşimlerin bastırılması sırasında
kontrol girişi sinyali olarak kullanılan aktif tendon sistemi yer
değiştirmeleri
8
Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir, 14-17 Haziran 2015
[12] Lin C., Chang C. ve Wang F. Active control of irregular buildings
considering soil-struture interaction effects. Soil Dynamics and
Earthquake Engineering, 30:98-109, 2010
[13] Chopra A. K. ve Goel R. K. Evaluation of torsional provisons in
seismic codes. Journal of Structural Engineering, 117:3762-3782,
1991
[14] Goel R. K. ve Chopra A. K. Dual-level approach for seismic
design of asymmetric plan buildings. Journal of Structural
Engineering, 120:161-179, 1994
[15] Symans M. D., Charney F. A., Whittaker A. S., Constantinou M.
C., Kircher C. A., Johnson M. W. ve McNamara R. J. Energy
dissipation systems for seismic applications: Current practice and
recent developments. Journal of Structural Engineering, 134:3-21,
2008
[16] Narasimhan S., Nagarajaiah S., Johnson E. A. ve Gavin H.P.
Smart base isolated benchmark building part 1: Problem
definition. Journal of Structural Control, 00:1-6, 2002
[17] Reigles D. G. ve Symans M. D. Supervisory fuzzy logic control of
a base isolated benchmark building utilizing a neuro-fuzzy model
of controllable fluid viscous dampers. Structural Control and
Health Monitoring, 13:724-747, 2006
[18] Leavitt J., Bobrow J. E., Jabbari F. ve Yang J. N. Application of
high pressure gas semi-active resetable damper to the benchmark
smart base-isolated building. Structural Control and Health
Monitoring, 13:748-757, 2006
[19] Yoshida O., Dyke S. J., Giacosa L. M. ve Truman K. Z.
Experimental verification of torsional response control of
asymmetric buildings using MR dampers. Earthquake Engineering
and Structural Dynamics, 32:2085-2105, 2003
[20] Shook D. A., Roschke P. N., Lin P. ve Loh C. Semi-active control
of a torsionally-responsive structure. Engineering Structures,
31:57-68, 2009
[21] Yanik A., Aldemir U. ve Bakioglu M. A new active control
performance index for vibration control of three-dimensional
structures. Engineering Structures, 62:53-64, 2014
[22] Chopra A. K. Dynamics of Structures: Theory and Applications to
Earthquake Engineering. Prentice Hall, 1995
[23] Boyd S., Ghaoui L. E., Feron E. ve Balakrishan V. Linear Matrix
Inequalities Systems and Control Theory. SIAM, 1994
[24] Hu T. ve Lin Z. Control Systems with Actuator Saturation:
Analysis and Design. Springer Science, 2001
[25] Löfberg J. Yalmip: A Toolbox for Modelling and Optimization in
MATLAB. Proceedings of the CACSD Conference, 2004
[26] Strum J. F. Using SeDuMi 1.02 a MATLAB for Optimization
over Symmetric Cones. Optimization Methods and Software, 11
(2):625-653
9