Burulma - kocaelimakine.com

Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Burulma (Torsion):
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Dairesel Kesitli Millerde Gerilme ve Şekil Değiştirmeler
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 1
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
T = ∫ ρ dF = ∫ ρ (τ dA)
Uygulanan bir tork şaft
eksenine dik yüzeylerde kayma
gerilmeleri meydana getirir.
Dairesel bir milin üzerine eksene
paralel
çıtalar
yerleştirilip
burulma
momentine
maruz
bırakılırsa; çıtaların birbirlerine
göre yaptığı kayma görülebilir.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 2
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
• Gözlemler dairesel kesitli bir mildeki dönme açısının
uygulanan tork değeri ve uzunlukla doğru orantılı olarak
φ ∝T
değiştiğini göstermiştir.
φ∝L
• Burulmaya maruz dairesel kesitli bir milde (dolu ve içi
boş); tüm kesitler düzlem kalır ve şekli değişmez. Çünkü
dairesel kesitli miller aksi-simetriktir ve deformasyon
sonrası kesit görünümleri değişmez.
• Kesit üzerine çizilen (markalanan) bir çap çizgisi burulma
sonrası yine düz kalır.
Dairesel
olmayan
kesitler :
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 3
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Kayma şekil değiştirmesi ve kayma gerilmesi (Elastik bölgede)
Kayma şekil değiştirmesi dönme açısı ve radyüsle orantılıdır
γ max
Lγ = ρφ
γ max =
veya
γ=
ρφ
(Şekil c)
L
cφ
ρ
ve γ = γ max
L
c
Gγ =
τ = Gγ
(Hooke Bağıntısı)
ρ
c
(Şekil a)
τ=
G γ max
T = ∫ ρτ dA =
τ max
c
ρ
c
τ max
2
ρ
∫ dA =
τ max
J
c
Böylece dairesel millerin elastik burulmasında gerilme formülü:
τ max =
Tc
Tρ
ve τ =
J
J
T : burulma momenti (tork) (N.mm)
τ : kayma gerilmesi (N/mm2)
Φ: dönme açısı (radyan)
γ : birim şekil değiştirme
J : polar atalet momenti (mm4)
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
J = 12 π c 4
(
J = 12 π c24 − c14
3- 4
)
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Burulmada hasar şekilleri
Sünek malzemelerin hasarında kayma gerilmeleri, gevrek malzemelerin hasarında ise
çekideki normal gerilmeler daha etkilidir.
Sünek malzeme
Gevrek malzeme
Örnek:
Şekildeki şaft için emniyetli kayma gerilmesi değeri 120 MPa olduğuna göre uygulanabilecek
burulma momentini ve bu momente karşılık gelen minimum kayma gerilmesini bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 5
Fifth
Edition
MECHANICS
OF
MATERIALS
Şekildeki şaftın BC kısmının içi boştur ve iç çapı 90 mm, dış çapı 120 mm’dir. Diğer kısımların içi
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Örnek:
dolu ve çapları “d ” dir. Buna göre;
a)
AB ve CD kısımları için izin verilebilir kayma gerilmesi değeri 65 MPa ise d ne olmalıdır?
b)
BC kısmındaki maksimum ve minimum kayma gerilmelerini bulunuz.
Statik dengeden:
∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) − TAB
TAB = 6 kN ⋅ m = TCD
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
∑ M x = 0 = (6 kN ⋅ m ) + (14 kN ⋅ m ) − TBC
TBC = 20 kN ⋅ m
3- 6
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Elastik Bölgede Dönme Açısı
γ max =
cφ
L
Dönme açısı:
Örnek:
γ max =
φ=
TL
JG
τ max
G
=
Tc
JG
Kademeli bir mil
için Dönme açısı:
(Hooke Bağıntısı)
Ti Li
i J i Gi
φ =∑
Şekildeki çelik kademeli milin kayma modülü G=77 GPa olduğuna göre
A noktasının toplam dönme açısını bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 7
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Örnek:
T
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Şekildeki AB mili ile CD tüpü C noktasında rijit bir plaka ile (kaynaklı olarak)
birleştirilmişlerdir. Çelik milin emniyetli kayma mukavemeti 84 MPa, pirinç tüpün
emniyetli kayma mukavemeti ise 50 MPa’dır. Mil çapı ds=38 mm olduğuna göre;
A noktasında uygulanabilecek emniyetli tork (T) değerini bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 8
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
y
Örnek:
Şekildeki içi boş çelik ABC kademeli milinin emniyetli kayma mukavemeti 90
MPa, serbest ucun (C noktası) izin verilebilir dönme miktarı ise 2° ’dir. AB ve BC
kısımlarının dış çapları sırasıyla 30 mm ve 15 mm’dir. Mile boydan boya açılmış
bulunan deliğin çapı ise 10 mm dir. Buna göre; B noktasında uygulanabilecek
maksimum burulma momenti (T) değerini bulunuz. G=80 GPa
Örnek:
T
B
z
C
x
y
Şekildeki çelik ABC kademeli milinin emniyetli kayma mukavemeti
90 MPa’dır. AB ve BC kısımlarının dış çapları sırasıyla 30 mm ve 20
mm’dir. BC kısmının içi boş ve iç çapı 5 mm dir. Buna göre;
T
z
A
0.1 kN .m
A
B
C
x
a) B noktasında uygulanabilecek maksimum burulma momenti (T)
değerini bulunuz.
b) C’nin B’ye göre dönme miktarını bulunuz.
(G=80 GPa, LAB=50 mm, LBC=25 mm )
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 9
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Örnek:
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
T=3 kN.m ‘lik torka maruz şekildeki bronz silindirde;
a) Maksimum kayma gerilmesini
b) D noktasındaki kayma gerilmesini
c)
30 mm çapındaki çekirdek kısım tarafından taşınan tork
miktarı bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 10
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Hiperstatik şaftlar (miller)
Örnek:
Şekildeki milin (yarısının içi boş) dış çapı 22 mm ve içi boş
kısmın iç çapı ise 16 mm dir. Mil A ve B noktalarından
sabitlenmiştir. Milin tam ortasına 120 N.m lik bir tork
uygulandığında A ve B noktalarında meydana gelen reaksiyon
momentlerini bulunuz?
TA + TB = 120 N ⋅ m
φ = φ1 + φ 2 = 0 veya φ1 = φ 2
TA L1 TB L 2
=
J1G
J 2G
TA +
TB =
olmalı
L1J 2
TA
L 2 J1
L1J 2
TA = 120 N ⋅ m
L 2 J1
TA = 69.8 N ⋅ m
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
TB = 50.2 N ⋅ m
3- 11
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Örnek:
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Sağ taraftan sabitlenmiş çelik bir mil ile alüminyum bir tüp, şekildeki gibi
rijit bir diske bağlanmıştır. Çelik mil ve alüminyum tüp için emniyetli
kayma gerilmeleri sırasıyla 120 MPa ve 70 MPa olduğuna göre; disk
vasıtasıyla sisteme uygulanabilecek maksimum tork değerini bulunuz.
(Ga=27 GPa, Gç=77 GPa)
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 12
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Örnek:
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
İçi boş iki şaft şekilde dişliler ile bağlanmıştır. Miller için izin verilebilir
kayma gerilmesi 55 MPa olduğuna göre, uygulanabilecek To torkunu ve
bu torka karşılık gelen A noktasının toplam dönmesini bulunuz .
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 13
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Transmisyon millerinin dizaynı
Güç ve hızı belli olan bir mile etki eden tork değeri:
P = T ω = 2 πf T
P
P
T= =
ω 2πf
Örnek:
P: güç (N.m/s), w=watt
T: tork (N.m)
ω: açısal hız (rad/s)
f :frekans (1/s), hertz
3600 devir/dk hızla dönen ve 3.7 kW gücündeki bir motora bağlı bir mildeki kayma gerilmesinin (güç aktarımı
esnasında) 60 MPa değerini geçmemesi için mil çapı ne olmalıdır?
Örnek:
İçi boş bir şaft (mil ) 100 kW lık bir gücü 20 Hz lik bir frekansla aktarmaktadır. Mildeki kayma mukavemetinin
60 MPa değerini geçmemesi istendiğine göre, milin et kalınlığını bulunuz. Mil için dış çap=50 mm.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 14
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Dairesel kesitli millerde Plastik Deformasyonlar
Malzemenin lineer elastik davrandığı kabul
edildiğinde (bu durumda τ ile γ arasında
lineer bir değişim vardır ve elastik bölgede
Hooke bağıntısı geçerlidir),
Tρ
τ = Gγ =
J
Akma mukavemeti aşıldığında veya
malzeme nonlineer bir gerilme-şekil
değiştirme karakteristiğine sahipse bu
bağıntılar geçerli olmaz.
Bir kesitteki kayma gerilmelerine karşılık gelen iç
kuvvetlerin toplamı/integrali, kesite uygulanan tork
değerine eşittir.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
τ max =
Tc
J
ρ
dρ
c
c
0
0
T = ∫ ρτ (2πρ dρ ) = 2π ∫ ρ 2τ dρ
3- 15
Fifth
Edition
MECHANICS• OF
MATERIALS
Maksimum elastik tork (veya akmayı
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
başlatan tork) ve dönme açısı :
TY =
J
τ Y = 21 πc 3τ Y
c
φY c = Lγ Y
γY
τ=
ρ
τY
ρY
φY = Lγ Y / c
Akmadan sonra tork arttıkça, plastik bölge daha fazla yayılır.
Herhangi bir ρ değeri için toplam tork:
ρY
c
⎞
⎛ ρ
T = 2π ∫ ρ ⎜⎜ τ Y ⎟⎟dρ + 2π ∫ ρ 2τ Y dρ
⎝ ρY 3 ⎠
0
ρY
3
2
⎛ 1 ρY ⎞ 4 ⎛ 1 ρY ⎞
T = πc τ Y ⎜⎜ 1 − 4 3 ⎟⎟ = 3 TY ⎜⎜ 1 − 4 3 ⎟⎟
c ⎠
c ⎠
⎝
⎝
2
3
3
ρY → 0 için
T (tork) limit bir
değere yaklaşır:
TP = 43 TY
Herhangi bir Φ değeri için toplam tork:
Lγ Y = φρY = φY c
ρY
c
=
φY
φ
3⎞
⎛
φ
T = 43 TY ⎜1 − 14 Y3 ⎟
⎜
φ ⎟⎠
⎝
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 16
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Artık Gerilmeler
Örnek:
Artık gerilmeler süperpozisyon prensibi ile bulunabilir:
Şekildeki milin kayma akma
mukavemeti 150 MPa, kayma
modülü 77 GPa olduğuna göre;
verilen tork değeri için,
a) elastik çekirdeğin yarıçapını,
b) dönme açısını
yük kaldırıldığında
c) kalıcı dönme açısını
′
τ max
Tc
=
J
∫ ρ (τ dA ) = 0
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
d) artık gerilmeleri bulunuz.
3- 17
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Çözüm:
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
• Dönme açısı için:
φ
c
=
φY ρY
⇒ φ=
(
(
φY
ρY c
)
TY L
3.68 × 10 6 N ⋅ mm (1200 mm )
φY =
=
JG
614 × 10 3 mm 4 77 × 10 3 MPa
J = 21 πc = 21 π 25 = 614 × 10 mm
4
3
τ J
TY c
⇒ TY = Y
J
c
(
150 MPa ) 614 × 10 3 mm 4
TY =
25 mm
93.4 × 10 −3 rad
φ=
= 148.3 × 10 −3 rad = 8.50 o
0.630
4
τY =
(
Tork kaldırıldığında, Dönme açısı:
)
TL
4.6 × 10 6 ⋅ 1200
=
φ′ =
JG 614 × 10 3 ⋅ 77 × 10 3
= 116.8 × 10 −3 rad = 6.69°
= 3.68 × 10 6 N ⋅ mm = 3.68 kN ⋅ m
T=
ρY
⎛
4 T ⎜1 − 1
3 Y⎜
4
⎝
ρY3 ⎞⎟
c ⎟⎠
3
4.6 ⎞
⎛
= ⎜4 −3
⎟
c
3
.
68
⎝
⎠
1
3
⇒
ρY
⎛
T
= ⎜⎜ 4 − 3
c
TY
⎝
= 0.630
)
φY = 93.4 × 10 −3 rad
• Elastik çekirdeğin radyüsü (yarıçapı) için:
4
)(
Kalıcı Dönme açısı:
⎞
⎟⎟
⎠
1
3
φ p = φ − φ ′ = 8.50° − 6.69° = 1.81o
φ p = 1.81o
ρY = 15.8 mm
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 18
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
• Süperpozisyon prensibi ile artık gerilmeler:
′
τ max
(
)
Tc 4.6 × 10 6 N ⋅ mm (25 mm )
=
=
= 187.3 MPa
J
614 × 10 3 mm 4
Yüklemedeki
gerilmeler
Yük kaldırıldığında
oluşan gerilmeler
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Artık
gerilmeler
3- 19
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Örnek:
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Kayma akma mukavemeti 145 MPa, kayma modülü 77 GPa olan şekildeki çelik mil
yavaş yavaş arttırılan T momentine maruzdur. Buna göre;
a) Akma başlangıcı için tork değerini (Ty) ve ona karşılık gelen dönme açısını (Φy),
b) Kesitin tamamını plastik deformasyona uğratan tork değerini (Tp) ve ona karşılık
gelen dönme açısını (Φf) bulunuz.
yük kaldırıldığında
c) kalıcı dönme açısını
d) artık gerilmeleri bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 20
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Burulma (Torsion):
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Dairesel Olmayan Kesitler
Dairesel olmayan parçalarda; düzlem olan kesitler burulmadan sonra
düzlem kalmazlar. Gerilme-şekil değiştirme dağılımı lineer değildir.
Üniform dikdörtgen kesitler için,
τ max =
T
c1ab 2
φ=
TL
c2 ab3G
Açık dikdörtgen kesitlerde a/b nin çok büyük
değerleri için, en büyük kayma gerilmesi ve
dönme açısı değerleri aynıdır, değişmez (aynı T
ve L değerleri için).
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 21
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
İçi boş ince cidarlı kesitler
• Bir AB parçası üzerinde x-doğrultusundaki kuvvetlerin
toplamından (statik denge),
∑ Fx = 0 = τ A (t A∆x ) − τ B (t B ∆x )
τ At A= τ Bt B = τ t = q = shear flow
• Kesit üzerindeki kayma gerilmelerine karşılık gelen
momentleri integrali uygulanan T’yi verir.
dM 0 = p dF = pτ (t ds ) = q( pds ) = 2 q dA
T = ∫ dM 0 = ∫ 2 q dA = 2 qA ; τ =
• Dönme açısı :
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
φ=
T
2tA
ds
∫
4 A 2G t
TL
3- 22
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Örnek:
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Şekildeki dikdörtgen kesitli alüminyum
tüpler ekstrüzyonla üretilmiştir.
Not: (b) deki parça imalat hatasından
dolayı uniform kesitte üretilememiştir.
T=2.7 kN.m için her iki kesitin
cidarlarındaki kayma gerilmelerini
bulunuz.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 23
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Örnek:
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Şekildeki parçaların emniyetli mukavemet değeri τem=40
MPa’dır. Uygulanabilecek emniyetli tork (T) değerlerini
ve bulunan T değerleri için dönme açılarını bulunuz.
Çubuklar için L= 1 m, G=70 GPa alınacaktır. Note: 1 ve 2
nolu parçaların kesit alanları, 1 ve 3 ün ise
dış boyutları
eşittir.
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 24
Fifth
Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Örnek:
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Şekildeki içi boş, 50 mm dış çapa ve 40 mm iç çapa sahip tüplerden
bir tanesi (b) eksene paralel olarak kesilmiştir. T=0.1 kN.m için;
a)
tüplerde meydana gelen kayma gerilmelerini ve dönme açılarını
bulunuz.
b)
Kapalı tüp için bulunan sonuçları, daha önce dairesel kesitli
millerin burulması için çıkarılan bağıntılarda bulduğunuz
sonuçlarla karşılaştırınız.
(L=1 m, G= 77 GPa)
© 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
3- 25