unlam

MUKAVEMET-II
(08/09 I I YY)
KİRİŞLERDE EĞİLME GERİLMELERİ
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Basit Eğilme (Pure Bending)
Atalet Momentleri
Eğilme Gerilmesi
07.02.2012 15:04
Dr. N. MEYDANLIK
NM
NM
© 2008 NM
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
2
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
(Pure Bending) :
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
1.Basit Eğilme
07.02.2012 15:04
MAKİNA MÜH. BÖL.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
NM
3
NM
NM
4
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
400 N
MÜH.-MİM FAK.
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
0.3 m
RC= 400 N
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
0.6 m
MAKİNA MÜH. BÖL.
NM
5
6
NM
NM
400 N
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
0.3 m
M’= 120 N m
Basit Eğilme : Aynı düzlemde
birbirine zıt ve eşit büyüklükte
momentlere (kuvvet çiftlerine)
maruz kalan pirizmatik elemanlar.
M= 120 N m
RD= 400 N
Basit Eğilme (Pure Bending)
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
Basit Eğilme = sadece EĞĐLME, KESME yok
07.02.2012 15:04
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
MAKİNA MÜH. BÖL.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
NM
7
8
NM
NM
Cismin, herhangi bir kesitinde dış
kuvvetlerin
etkisi yalnız eğilme momentinden ibaretse veya
diğer zorlama çeşitleri ihmal edilebilecek kadar az
ise buna mukavemette Basit Eğilme hali denir.
Cismi, bir kesitle ikiye böldüğümüz takdirde
parçalardan birini dengede tutacak etki kesit
ağırlık merkezine tesir eden yalnız bir eğilme
momentinden ibaretse basit eğilme hali mevcuttur.
Şekildeki (önceki slayttaki halter) simetrik yükle yüklenmiş
basit mesnetli kirişte C, D aralığında kiriş basit
eğilmeye zorlanmaktadır. A-C ve D-B aralıklarında
ise kirişin kesitlerine kesme kuvveti de tesir
ettiğinden bu aralıklarda basit eğilme hali mevcut
olmayıp genel eğilme hali mevcuttur.
07.02.2012 15:04
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
Basit Eğilmeye zorlanan bir kesitteki gerilmeler bir kuvvet çifti
verecek şekilde dağılırlar. Bu kuvvet çiftinin düzlemi atılan
parçaya tesir eden dış kuvvetlerin kuvvet çiftinin düzleminin
aynıdır. Kesitteki gerilmeleri hesaplayabilmek için çubuğun
deformasyonunu (Şekil değiştirmesini) göz önüne almak icap
eder. Basit eğilmeye zorlanan bir çubuğun deformasyonu şöyle
olur. Şekildeki çubukta aşağı taraftaki lifler uzamış yukarıdaki
lifler kısalmıştır. Eksendeki liflerde aynı boyda kalmıştır. O
halde aşağıdaki lifler uzadığına göre bu lifler çekme gerilmesine
yukarıdaki liflerde kısaldığına göre basma gerilmelerine maruz
kalmaktadır. Eğilmeden sonra çubuğun ekseni dairesel bir eğri
halini alır. Bu eğriye Elastik Eğri denir. Eğilmeden önce çubuk
eksenine dik bir düzlem kesit içinde bulunan noktalar eğilmeden
sonra gene çubuk eksenine (Elastik Eğri) dik bir düzlem içinde
kalmak üzere kesit düzlemi biraz döner. Yani eğilmeden önce
paralel olan düzlemler eğilme sonucu aralarında açı yaparlar.
Eğilmede bu hipotezi Bernoulli bulmuş ve Navier.de
düzenlemiştir.
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
Bu hipoteze göre:
MÜH.-MİM FAK.
MAKİNA MÜH. BÖL.
NM
NM
9
NM
1. Çubuk eksenine dik düzlem kesitler eğilme neticesinde gene düzlem kalırlar.
2. Çubuk eksenine dik kesitler şekil değiştirmeden sonra da şekil değiştirmiş
eksene dik kalırlar.
Ayrıca aşağıdaki hususlarda kabul edilir.
1. Kiriş (çubuk) malzemesi homojen olup Hooke kanununa uymaktadır.
2. Çekme ve basmada elastiklik modülü birbirine eşittir.
3. Eğilmeden önce kiriş ekseni doğru olup çubuğun her yerinde kesitleri aynı
kalmaktadır.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
Basit eğilmeye zorlanan bir çubukta Bernoulli hipotezini göz
önüne alarak liflerin uzama ve kısalmasını hesaplayalım. Slayt14
de görüldüğü gibi yukarıdaki lifler kısalmış aşağıdaki lifler uzamış
ve çubuk ekseninden geçen bir düzlem içindeki lifler ise ne
uzamış ne de kısalmıştır. Bu düzleme Tarafsız veya Nötr
Düzlem denir. Tarafsız düzlemin kesit düzlemi ile ara kesitine
Tarafsız Eksen denir. Tarafsız eksenden y uzaklığındaki bir lifin
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
(JK lifinin-slayt17) uzama oranı εx dir.
07.02.2012 15:04
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
• Kiriş ; L>>h, L>>b
KĐRĐŞLER ĐLE ĐLGĐLĐ TEMEL VARSAYIMLAR
(KABULLER)
(L/h>10, L/b>10)
• x-y düzlemi simetri düzlemidir
• Yükler x-y düzleminde uygulanıyor
• Kiriş x-y düzleminde deforme oluyor
• Kiriş yüksekliği,h, değişmiyor,
• Kiriş ekseni kesitin ağırlık merkezi ile
çakışıyor (ilerde göreceğiz)
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
10
• Ve incelediğimiz kirişlerin hepsi uzunlamasına eksenine dik yönde etki eden
yükler etkisindedir.
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
* Dikkat : Burada incelediğimiz kirişler
MAKİNA MÜH. BÖL.
NM
11
NM
NM
• Uzunluk ekseni boyunca düz
• Kiriş kesiti düşey simetri eksenine sahiptir
• Not: Uygulanan eğilme momentinin kirişin boyuna ekseni ve bu
düşey simetri ekseninin olduğu düzlemde etki ettiği kabul edilir.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
• kirişin herhangi bir yerindeki kesitte iç kuvvetler uygulanan dış
momente eşdeğerdir, ki bu momente EĞİLME MOMENTİ
(bending moment) denir.
07.02.2012 15:04
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
• From statics, M bir kuvvet çiftidir, iki eşit ve birbirine zıt kuvvet demektir.
• x ekseni yönünde kuvvetlerin
toplamı sıfırdır.
Σ M y = ∫ z σ x dA = 0
ΣFx = ∫ σ x dA = 0 ( F − F = 0)
12
• Ve yine statikten biliyoruz ki denge için herhangi bir kesitte herhangi bir
doğrultudaki iç kuvvetlerin toplamı sıfırdır yani;
• Momentin olduğu düzlem içindeki
y eksenine göre moment sıfırdır,
∑ M z = ∫ − yσ x dA = M
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
• but, bu düzleme dik z eksenine
göre moment M’ ye eşittir.
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
MAKİNA MÜH. BÖL.
• Yay merkezinden geçen kesit düzlemi yine
düzlem kalıyor
• Üstteki liflerin uzunluğu azalırken alttaki
liflerin uzunluğu artıyor
• Alt ve üst yüzeylere parelel, uzunluğu
değişmeyen bir tarafsız yüzey (neutral
surface) oluşuyor
• Tarafsız yüzeyin üstündeki gerilme ve
genlemeler negatif (basma) ve altındakiler
ise pozitif (çekme) dir.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
Yüklü hal (M=M1)
Yüksüz hal (M=0)
NM
14
NM
NM
Deneysel gözlem
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
13
• Düzgün bir daire yay parçası şeklinde eğiliyor
• Kiriş yine simetrik kalıyor
Düşey simetri düzlemine sahip bir kiriş
basit eğilmeye maruz kaldığında:
EĞĐLME DEFORMASYONLARI
Boyuna düşey kesit
(simetri düzlemi)
Boyuna yatay kesit
07.02.2012 15:04
07.02.2012 15:04
Simetri
ekseni
Boyuna
eksen
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
Yatay çizgiler eğri
oluyor
MAKİNA MÜH. BÖL.
Deformasyon sonrası
NM
15
NM
NM
Kabuller:
A) Düşey kesit yine düzlem kalıyor
B) Boyuna eksenin uzunluğu değişmiyor
C) Düşey kesit boyuna eksene dik kalmaya
Tarafsız yüzey
devam ediyor
D) Düşey düzlemdeki çarpılma ihmal edilebilir
EĞĐLME DEFORMASYONLARI
Deformasyon
öncesi
Düşey çizgiler düz
kalıyor
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
(Strain Due to Bending)
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
εx =
ε =
m
L
c
ρ
εx = −
=−
or
y
εm
c
ρ=
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
c
εm
εm:
En büyük genleme
(max. genleme)
16
L′ = (ρ − y )θ
δ = L′ − L = (ρ − y )θ − ρθ = − yθ
δ
yθ
y
=−
(strain varies linearly)
ρθ
ρ
JK lifinin uzunluğu (L’, çok küçük açıları gören yay uz.) ;
L uzunluğundaki bir kirişi gözönüne
aldığımızda;
deformasyondan
sonra,
tarafsız yüzey uzunluğu yine L olarak
kalırken (Kalın kırmızı çizgi). Örneğin;
tarafsız yüzeyden y kadar yukardaki bir
lifin (JK) uzunluğu,
Eğilme nedeniyle deformasyon
07.02.2012 15:04
(a)
Boyuna düşey kesit
(simetri düzlemi)
Tarafsız
Tarafsı
Tarafsız eksen
(b) En kesiti (Düşey kesit)
07.02.2012 15:04
MÜH.-MİM FAK.
17
.
MAKİNAGenişlik
MÜH. Bboyunca
ÖL. NM
düzgün dağıldığı kabul
edilir.
Flash örnek
18
NM
NM
Tarafsız eksenden
olan uzaklık
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
Elastik eğilme
gerilmesi
y
σm
c
Atalet momentinin
tanımı
c
σ mI
∫

 y
dA = − y  − σ m  dA

 c
• For static equilibrium,
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
Eğilme Gerilmesi ;
• Lineer elastik malzeme için,
y
σ x = Eε x = − Eε m
c
y
= − σ m (stress varies linearly)
c
En büyük gerilme
• Statik dengeden,
x
M =
∫ − yσ
y
Fx = 0 = ∫ σ x dA = ∫ − σ m dA
c
σ
∫
σ
0 = − m ∫ y dA
c
σm =
Substituti ng
My
σ =−
I
x
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Eğilme Momenti (Mz)
(Đç kuvvet )
My
σ =−
I
x
Tarafsız eksene göre
atalet momenti (Iz)
gerilme
σx = −
M = m y 2 dA =
c
Mc
M
=
I
S
y
x
Bu demektir ki kesitin tarafsız
(nötr) eksene göre 1. alan momenti
(statik moment) sıfır olmalıdır (bkz.
Ağ. mer. bul.) Bir başka deyişle
gerilmeler elastik bölgede kaldığı
müddetçe tarafsız eksen kesitin
ağırlık merkezinden geçer.
07.02.2012 15:04
Tarafsız
yüzey
z
Tarafsız eksen (y=0)
(σ=0, ε=0)
Pozitif bir moment
etkisinde gerilme dağılımı
Dikkat:
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
y negatif ise gerilme çekme gerilmesidir.
Moment pozitif olduğunda ;y pozitif ise gerilme basma gerilmesidir,
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
Mz
y
Iz
MÜH.-MİM FAK.
MAKİNA MÜH. BÖL.
Pozitif moment etkisinde gerilme dağılımı örnekleri ;
σx = −
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
NM
20
NM
NM
19
İki önemli parametre ; (1) Ağırlık Merkezi, (2) Atalet Momenti (Iz)
07.02.2012 15:04
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Atalet Momentleri
;
(çok kullanı
kullanılan iki kesit iç
için ağ
ağ. mer.
mer. geç
geçen eksenlere gö
göre)
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
(yani ezberleyiniz, lütfen !)
Bu iki kesitin atalet momenti ifadelerini hafızanıza alınız !
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
PARELEL EKSEN TEOREMİ ;
MÜH.-MİM FAK.
MAKİNA MÜH. BÖL.
Ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti biliniyorsa buna
parelel bir başka eksene göre atalet momentini bulmak için kullanılır.
(Ağ. Mrk.)
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
Ixc , Iyc (veya Ix ,Iy ) verildiğinde Ix , Iy (veya Ixc , Iyc ) nin bulunması
07.02.2012 15:04
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
NM
21
22
NM
NM
ÖRNEK-1: (Toplayarak) BİLEŞİK ALAN (veya kompozit alan)
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
MAKİNA MÜH. BÖL.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
ÖRNEK-2: (Çıkartarak) BİLEŞİK ALAN (veya kompozit alan)
07.02.2012 15:04
ÖRNEK-3:
07.02.2012 15:04
NM
23
NM
NM
24
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
Eğilme momenti ve eğrilik arasındaki ilişki :
Pozitif
Eğilme
Momenti
Pozitif
Eğrilik
Çekme gerilmesi
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
Pozitif Eğilme
Momenti
Basma gerilmesi
MAKİNA MÜH. BÖL.
Negatif
Eğilme
Momenti
Negatif
Eğrilik
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
Basma gerilmesi
Negatif Eğilme
Momenti
Çekme gerilmesi
Eğilme momenti ile Normal gerilme arasındaki ilişki :
07.02.2012 15:04
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
örnek Problem 1
SOLUTION:
NM
25
26
NM
NM
• Kirişin S.C.D. çizip mesnet tepki
kuvvetlerini bulunuz.
• KK ve EM diyagramlarını çiziniz,
• En büyük KK ve EM değerlerini
tespit ediniz,
• Elastik eğilme formülünü uygulayıp
en büyük normal gerilmeyi bulunuz
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
Şekilde yükleme hali görülen ahşap
bir kiriş için kesme kuvveti ve
eğilme moment diyagramını çiziniz,
en büyük normal gerilmeyi hesap
ediniz.
07.02.2012 15:04
b h3 =
=
1
12
MAKİNA MÜH. BÖL.
(0 .080 m )(0 .250 m )3
NM
50 × 10 3 ( N ⋅ m) x 0.125 (m)
1 .0416 × 10 − 4 m 4
28
NM
NM
27
Flash Örnek;
rnek 1, 2, 3, 4
MÜH.-MİM FAK.
1
12
I
M B .c
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
σ max . = 60.0 × 106 Pa
σ max . =
= 1 .04166 × 10 − 4 m 4
I =
• Apply the elastic flexure formulas to
determine the corresponding
maximum normal stress.
• En büyük (maksimum) kesme kuvveti veya
eğilme momenti mutlak değerce en büyük
olandır.
Vm = 26 kN M m = M B = 50 kN ⋅ m
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
Örnek Problem 1 devam :
07.02.2012 15:04
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
ÇALIŞMA SORUSU: M=25 kN.m lik iki adet eşit ve zıt yöndeki
eğilme momentleri altındaki C kesitli kirişte ; a) C noktasındaki b)
D noktasındaki ve c) E noktasındaki gerilmeleri bulunuz.
07.02.2012 15:04
07.02.2012 15:04
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
MAKİNA MÜH. BÖL.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
NM
29
NM
NM
30
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
En Büyük Gerilmeler ;
Basma gerilmeleri
Pozitif eğilme
momenti
MÜH.-MİM FAK.
MAKİNA MÜH. BÖL.
Çekme gerilmeleri
NM
32
NM
NM
31
Negatif eğilme
momenti
Basma gerilmeleri
S1 ve S2 ye
“Kesit Modülleri”
veya
“Eğilme Mukavemet
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
Momentleri” denir.
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
Çekme gerilmeleri
07.02.2012 15:04
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
İki Eksene Göre de Simetrik olan Kesitler ;
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
Kiriş kesit özellikleri
:
• Eğilme nedeniyle en büyük normal gerilme,
I
⇒ ( kesit mod ülü )
c
M c M
σ
=
=
max
.
I
S
I ⇒ ( atalet momenti)
S ( We ) =
Geniş B.
MAKİNA MÜH. BÖL.
NM
1 bh 3
I
= 12
= 16 bh 2 = 16 Ah
c
h 2
• Dikdörtgen kesitli kirişi
gözönüne alırsak,
MÜH.-MİM FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
33
34
NM
NM
(birim uzunluktaki kütle miktarı)
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
Aynı kesit alanına sahip iki kirişi
karşılaştırırsak, yüksekliği daha büyük olan
kirişin eğilmeye karşı direncinin daha büyük
olduğu görülür. (>>h/b de yanal burkulma ?)
S (W e ) =
Kirişin kesit modülü ne kadar büyükse
eğilmeye karşı direnci o kadar büyük olur.
Dar B.
07.02.2012 15:04
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Properties of American Standard Shapes
(toplam yükseklik)
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
(Dar başlıklı I kiriş)
(Kesit tipi)
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
MAKİNA MÜH. BÖL.
Prizmatik kirişlerin eğilmeye göre tasarımı (özet):
=
M
I
max
c
=
S
M
max
(veya =
max
We
M
)
• En büyük normal gerilmeler, yüzeyde ve eğilme momentinin en
büyük olduğu yerdedir.
σ
max .
• Genel mukavemet şartına göre emniyetli bir tasarım için en büyük
normal gerilme kullanılan malzemenin hasarlanmadan taşıyabileceği
en büyük gerilme (emniyetli gerilme) den daha küçük olmalıdır. Bu
M
max
σ em.
s
)
( veya
We min .
≥
M
max
σ em.
)
En küçük S (We) değeri
bu şartı sağlamalı
kriterden gerekli en küçük kesit modülü elde edilebilir.
σs
≥
σ max . ≤ σ em. ( =
S min
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
• Kesit modülleri arasından seçimde kullanılan kriterde şu olmalıdır;
eğilme direnci yüksek, birim uzunlukta daha hafif olanı veya kesiti
kurtaran ucuz olan seçilir.
07.02.2012 15:04
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Örnek Problem 1
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
NM
35
36
NM
NM
Yukarda görülen bir basit destekli kiriş düzgün yayılı yük ve tekil
yük etkisindedir. Kiriş malzemesinin hasarlanmadan taşıyabileceği
en büyük normal gerilme değeri 160 MPa, olduğuna göre
kullanılması gereken geniş flanşlı (W tipi) bir kiriş kesiti seçiniz.
07.02.2012 15:04
M
max
W360 × 32.9
W410 × 38.8
Shape
549
474
637
S , mm3
max
=
MÜH.-MİM FAK.
= 67 .6 kNm
67.6 k> ⋅ m
160 MPa
MAKİNA MÜH. BÖL.
W 360× 32.9
NM
37
NM
NM
38
Ek sorular
• Choose the best standard section which meets
this criteria. >asıl olacak ?
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
= (area under shear curve , A to E )
• En büyük eğilme momenti at
V = 0 or x = 2.6 m dir.
VB = −8 kN
VB − V A = −(area under load curve) = −60 kN
V A = Ay = 52.0 kN
• Kesme kuvveti diyagramından en büyük
eğilme momenti bulunabilir,
Ay = 52.0 kN
∑ M A = 0 = D(5 m ) − (60 kN )(1.5 m ) − (50 kN )(4 m )
D = 58.0 kN
∑ Fy = 0 = Ay + 58.0 kN − 60 kN − 50 kN
• Kirişin S.C.D. çizilerek A and D deki tepki
kuvvetleri.
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
M
σs
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Örnek Problem 1 devam
07.02.2012 15:04
≥
W310 × 38.7
535
= 422.5 × 10 −6 m3 = 422.5 × 10 3 mm3
W250 × 44.8
We min
• Kabul edilebilir minumum kesit modülü,
Örnek Problem 1 devam
tip
448
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
Kütle/birim uzunluk
W200 × 46.1
yükseklik
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
EĞRİLİK ‘ in tanımı ;
1
ρ
=
ε max .
c
MÜH.-MİM FAK.
MAKİNA MÜH. BÖL.
(Daha önceki konu slayt 17
de elde etmiştik.)
NM
Eğilme momentinin neden olduğu deformasyon nötr
yüzeyin eğriliği ile ölçülür. Eğrilik ρ yarıçapı ile
tanımlanır ve
=
κ
1
ρ
ρ
=
σ max .
Ec
veya
40
NM
NM
39
M arttıkça eğrilik artıyor EI
arttıkça eğrilik azalmakta, EI
deformasyona karşı direnci temsil
ettiğinden, EI ya Eğilme rijidliğ
rijidliği
denir,
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
Eğrilik ifadesi
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Eğrilik yarıçapı
Eğrilik
Çok küçük deformasyon için
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
Yarıçapı
ρ : Eğrilik
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
1
M
=
elde edilir.
EI
1 Mc
=
Ec I
Elastik bölgede εmax.= σmax./E yukarda yerine konursa
(Kapa)
07.02.2012 15:04
EĞRİLİK :
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MAKİNA MÜH. BÖL.
Negatif
Negatif
eğrilik
eğrilik
MÜH.-MİM FAK.
EĞRİLİK için İşaret Kuralı:
Pozitif
Pozitif
eğrilik
eğrilik
Pozitif moment pozitif eğrilik yaratır
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Negatif
Eğrilik
Negatif
Eğilme
Momenti
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
Eğilme momenti
ve Kesme
kuvvetikuralını
için işarethatırlarsak
kuralı
Eğilme
momenti
için işaret
;
07.02.2012 15:04
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Eğilme momenti ve eğrilik arasındaki ilişki :
Pozitif
Eğilme
Momenti
Pozitif
Eğrilik
Çekme gerilmesi
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
Pozitif Eğilme
Momenti
Basma gerilmesi
Basma gerilmesi
Negatif Eğilme
Momenti
Çekme gerilmesi
Eğilme momenti ile Normal gerilme arasındaki ilişki :
07.02.2012 15:04
NM
41
NM
NM
42
Örnek Problem 2
MÜH.-MİM FAK.
∑ yA
∑A
1
ρ
Mc
I
=
M
EI
MAKİNA MÜH. BÖL.
(
I x′ = ∑ I + A d 2
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
SOLUTION:
)
y , mm
50
20
)
NM
43
NM
NM
44
3
yA, mm3
90 ×103
24 ×103
∑ yA = 114 ×10
3
∑ yA 114 ×10
Y =
=
= 38 mm
3000
∑A
∑ A = 3000
Area, mm 2
1 20 × 90 = 1800
2 40 × 30 = 1200
Kesitin geometrik özellikleri, ağırlık merkezinin
yeri ve atalet momenti hesaplanırsa,
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
• Calculate the curvature
σm =
• Apply the elastic flexural formula to
find the maximum tensile and
compressive stresses.
Y =
• Based on the cross section geometry,
calculate the location of the section
centroid and moment of inertia.
SOLUTION:
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
)
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
DD den yapılmış bir makine elemanına
yukarda görüldüğü gibi 3 kN-m lik
moment etki etmektedir. E = 165 GPa
and köşelerdeki çentik etkisi ihmal
edildiğinde, (a) En büyük çekme ve
basma gerilmesini bulunuz, (b) eğrilik
yarıçapını bulunuz.
07.02.2012 15:04
) (
örnek Problem 2 devam
(
)(
1 bh3 + A d 2
I x′ = ∑ I + A d 2 = ∑ 12
(
1 90 × 203 + 1800 × 12 2 + 1 30 × 403 + 1200 ×182
= 12
12
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
I = 868 ×103 mm = 868 × 10-9 m 4
07.02.2012 15:04
σB = −
=
M
EI
MÜH.-MİM FAK.
3 kN⋅ m
• Eğrilik hesabı ;
1
ρ
=
(165GPa)(868×10-9 m4 )
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
MAKİNA MÜH. BÖL.
NM
46
NM
NM
45
= 20.95×10−3 m-1
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
ρ
ρ = 47.7 m
1
Mc
σm =
I
M c A 3 kN ⋅ m × 0.022 m σ = +76.0 MPa
A
=
σA =
I
868 ×10−9 mm4
M cB
3 kN ⋅ m × 0.038 m σ = −131.3 MPa
B
=
−
I
868 ×10−9 mm 4
• En büyük çekme ve basma gerilmesini
bulmak için elastik eğilme formülü
uygulanırsa.
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
Örnek Problem 2 devam
07.02.2012 15:04
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
T kiriş kesiti ya en büyük çekme gerilmelerini yada en büyük
basma gerilmelerini düşürmek için tercih edilir.
YORUM:
07.02.2012 15:04
Örnek Problem 3 .
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
SOLUTION:
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
MAKİNA MÜH. BÖL.
NM
47
NM
NM
48
• 45-kN yükün yerine D de eşdeğer kuvvet-kuvvet
çifti oluşturun ve B deki tepki kuvvetlerini bulun
• Kirişi uygun yerlerden keserek oluşturdunuz
SCD üzerinde statiğin denge denklemlerini
uygulayınız.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
Yukarda görülen ankastre kiriş kesiti W250x167 olan geniş flanşlı
haddelenmiş çelik kirişten yapılmıştır. (a) verilen yükleme hali için
kirişin KK ve EM diyagramlarını çiziniz, (b) D noktasının hemen
sağında ve solundaki normal gerilmeyi hesaplayınız.
07.02.2012 15:04
Örnek Problem 3 .
07.02.2012 15:04
Örnek Problem 3 .
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
MAKİNA MÜH. BÖL.
NM
NM
NM
about the X−X axis.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
49
From Appendix C for a W250 × 167 rolled
steel shape,
S = 208 × 106 mm3
D’ nin hemen solunda :
D’ nin hemen sağında :
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
50
Çalışma Prob.-1: Aşağıda şekilde kesiti ve yükleme hali verilen
kirişte meydana gelen en büyük normal gerilmeyi hesap ediniz ve
normal gerilmenin kesit boyunca dağılımını grafik olarak çiziniz.
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
Kesit üç parçaya bölünüp parelel eksen teoremi ile
En büyük gerilme c=170 mm ile;
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
B noktasındaki gerilme c=150 mm ile ;
07.02.2012 15:04
Gerilme dağılımı
07.02.2012 15:04
MAKİNA MÜH. BÖL.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
NM
51
NM
NM
52
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
MAKİNA MÜH. BÖL.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
NM
54
NM
NM
53
Çalışma Prob.-2: Aşağıda şekilde kesiti ve yükleme hali verilen
kirişin a-a kesitinde meydana gelen en büyük normal gerilmeyi hesap
ediniz .
07.02.2012 15:04
07.02.2012 15:04
07.02.2012 15:04
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
MAKİNA MÜH. BÖL.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
NM
55
NM
NM
56
Çalışma sorusu -1.
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
Ahşap
kiriş
şekilde
gösterildiği gibi dikdörtgen
bir kesite sahiptir. Eğilme
emniyet gerilmesi σem.=10
MPa olduğuna göre gerekli
b boyutunu hesaplayınız.
Çalışma sorusu -2.
MÜH.-MİM FAK.
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
MAKİNA MÜH. BÖL.
YNT: b=53.1 mm
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
Yükleme hali verilen kiriş için en büyük normal gerilmeyi hesaplayınız.
YNT: σ =± 1.2 MPa
07.02.2012 15:04
Çalışma sorusu -3.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
YNT: σ =± 40.5 MPa
Yükleme hali verilen kiriş için en büyük normal gerilmeyi
hesaplayınız.
07.02.2012 15:04
NM
57
NM
NM
58
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
σ max . = K
MÜH.-MİM FAK.
Mc
I
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
D
d
MAKİNA MÜH. BÖL.
σak.=500 MPa olduğuna göre en
büyük normal gerilmeyi hesap
ediniz.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
K=1.45 okunur ve
r
d
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
NM
60
NM
NM
59
Gerilme Yığılma Etkisi (STRESS CO(CE(TRATI(OS)
Gerilme yığılma etkisi ya yüklerin uygulama noktası civarında yada kesitin birdenbire
değiştiği bölgelerde ortaya çıkar,
örneğin ;
07.02.2012 15:04
Örnek Prob. :
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
MAKİNA MÜH. BÖL.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
NM
61
62
NM
NM
Aslında normal gerilme dağılımı nonlineerdir (b), ama eğilme gerilme
formülüne göre lineer ve σmax.=234 MPa dır (c). Dikkat edilirse daha
büyük geçiş yarıçapı K’ yı dolayısıyla en büyük gerilmeyi düşürür.
07.02.2012 15:04
ÖRNEK 33-3
Uygulama :
Eğilme
momenti
180
>m
olduğunda gerilmenin 150 MPa’ ı
geçmemesi için r=? ne omalıdır ?
I=9*403/12=48.103 mm4
K ≤ 2 olmali
Mc
K
≤ 150 MPa
I
K * 75 ≤ 150 MPa
Mc 180 *103 * 20
=
= 75 MPa
I
I
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
D 60
=
= 1.5
d 40
r
= 0.13 olmalı K = 2 için tablodan
d
r = .13 * d = 0.13 * 40 = 5.2 mm olmalı
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
MAKİNA MÜH. BÖL.
Toplam
Toplam
NM
NM
NM
63
σeğ ≥ σek.
σeğ.≤ σek.
yazılabilir
• Eksantrik yükleme nedeniyle olan
gerilmeler;
eğilme
ve
eksenel
yüklemenin
süperpozesi
ile
elde
edilebilir. Yani,
σ x = (σ x )eksenel + (σ x )eğ .
Simetri Düzleminde Eksantrik Eksenel Yükleme
M
F
P My
= −
A
I
Gerilme dağılımı :
eğilme
eğilme
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
• Superpose the uniform stress due to
the centric load and the linear stress
due to the bending moment.
• Find the equivalent centric load and
bending moment
ÇÖZÜM YOLU:
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
15 mm
12 mm
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
eksenel
eksenel
• Eksantrik yükleme
F=P
M = Pd
07.02.2012 15:04
ÖRNEK 3.3.
800 N
800 N
800 N
64
• Evaluate the maximum tensile and
compressive stresses at the inner
and outer edges, respectively, of the
superposed stress distribution.
• Find the neutral axis by
determining the location where the
normal stress is zero.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
Yukarda görülen 12 mm çapında düşük
karbonlu çelikten yapılmış açık zincir
halkası şekilde görüldüğü gibi 800 N luk
kuvvetle çekmeye zorlanıyor, (a) en
büyük çekme ve basma gerilmelerini
bulunuz, (b) ağırlık merkezi ile nötr
eksen arasındaki mesafeyi bulunuz.
07.02.2012 15:04
Örnek 3.3. devam
d=15 mm
800 N
• Eşdeğer eksenel yük
ve eğilme momenti
MÜH.-MİM FAK.
MAKİNA MÜH. BÖL.
• Eksenel yük nedeniyle
normal gerilme dağılımı
2
A = π c 2 = π (0 . 006 )
= 113 .1 *10 − 6 m 2
P
800 N
σ0 =
=
A 113 .1 *10 − 6 m 2
= 7 . 07 MPa
1
64
π d4 =
1
64
π (0.012 )4
• Eğilme momenti
nedeniyle normal G.
I=
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
-63.6 MPa
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
NM
65
66
NM
NM
= 1.018 * 10 −9 m 4
Mc (12 >m )(0.006 m )
σm =
=
I
1.018 * 10 −9 m 4
= 70 .7 MPa
-70.7 MPa
7.07 MPa
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
70.7 MPa
77.8 MPa
-70.7 MPa
P My0
0= −
A
I
P I
1.018 *10 −9 m 4
= (7.07 MPa )
y0 =
12 Nm
AM
y0 = 0.6 mm
• Tarafsız eksenin yeri (σx=0)
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
P = 800 >
M = Pd = (800 > )(15 mm )
= 12 >m
07.02.2012 15:04
Örnek 3.3. devam
70.7 MPa
7.07 MPa
• En büyük çekme ve basma
gerilmeleri
σt = σ0 +σm
= 7.07 + 70.7 = 77.8 MPa
σc = σ0 −σm
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
= 7.07 − 70.7 = −63.6 MPa
07.02.2012 15:04
ÖRNEK 3.4.
A = 3 ×10−3 m 2
Y = 0.038 m
I = 868 ×10−9 m 4
07.02.2012 15:04
Örnek 3.3. devam
07.02.2012 15:04
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
MAKİNA MÜH. BÖL.
NM
Şekilde görülen DD den yapılmış
parçanın çekme normal gerilme dayanımı
30 MPa ve basma dayanımı ise 120 MPa
dır. Verilenlere göre hasarlanmadan
taşınabilecek en büyük P=? yükü nedir.
ÇÖZÜMDE ĐZLE>ECEK YOL:
• Determine an equivalent centric load and
bending moment.
• Superpose the stress due to a centric
load and the stress due to bending.
NM
NM
67
• Evaluate the critical loads for the
allowable tensile and compressive stresses.
MAK
MAKİİNA
NA M
MÜ
ÜH.
H. BBÖ
ÖL.
L.
• The largest allowable load is the smallest
of the two critical loads.
M
MÜ
ÜH.
H.--M
MİİM
M FAK.
FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA
TRAKYA Ü
ÜN
NİİVERTS
VERTSİİTES
TESİİ
• Eşdeğer eksenel kuvvet ve eğilme momenti bulunur.
d = 0.038 − 0.010 = 0.028 m
P = centric load
M = Pd = 0.028 P = bending moment
• Eğilme ve eksenel yük nedeniyle oluşan gerilmelerin
süperpozisyonu
( işaretler öngörme ile)
P Mc A
P
(0.028 P )(0.022) = +377 P
=
−
+
σA = − +
A
I
3 × 10 −3
868 × 10 −9
(0.028 P )(0.038) = −1559 P
P McB
P
−
=
−
−
A
I
3 × 10 −3
868 × 10 −9
σB = −
P ≅ 77.0 kN
68
• Çekme ve basma dayanımlarına göre hasarlanmadan
taşınabilecek yükler.
σ A = + 377 P = 30 MPa ⇒
P = 79 .6 kN
σ B = − 1559 P = − 120 MPa ⇒ P = 76 .9 kN
• Taşınabilecek en büyük yük,
(küçük olanı seçilerek)
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
TRAKYA ÜNİVERTSİTESİ
MÜH.-MİM FAK.
Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri-I
MAKİNA MÜH. BÖL.
yani dersin sonu
THE END
07.02.2012 15:04
NM
69