2013-14_Yaz_Analiz1_Final (Matematik)_CA

2013-14_Yaz_Analiz1_Final (Matematik)_CA

FEN-EDEBI·YAT FAKÜLTESI·
Matematik Bölümü
Analiz-I Dersi Final S¬nav¬
Dersin Kodu
: MAT101
Dönemi
: 2013-2014 Yaz
Tarihi
: 27.08.2014
Saat
: 09.00
Yer
: 137 No’lu Salon
Süre
: 70 Dakika
Dersin Sorumlusu : Dr. Hüseyin ALBAYRAK
Not: Çözümlere www.huseyinalbayrak.wordpress.com
adresinden ulaşabilirsiniz.
1 (1 0 p )
2 (1 0 p )
3 (1 0 p )
4 (1 0 p )
5 (2 0 p )
6 (1 0 p )
7 (3 0 p )
(1 0 0 p )
X
Ö¼
grencinin
Ad¬Soyad¬ :
Numaras¬
:
I·mzas¬
:
n+4
olan (xn ) dizisi için aşa¼
g¬daki ifadelerin de¼
gerlerini bulunuz.
2n
1
lim inf xn =
lim xn =Mevcut de¼
gil
2
1
lim sup xn =
2
2n+3
1
ve lim x2n 1 = lim
4n 2 =
2
Soru 1. Genel terimi xn = ( 1)n :
inf xn
=
sup xn
=
lim x2n
5
2
3
2
= lim
2n+4
4n
=
1
2
x1
-5/2
x3
-7/6
-1/2
0
1/2
x4
1
x2
3/2
p
x2 + 5 e¼
grisinin x0 = 2 noktas¬ndaki te¼
getinin denklemini bulunuz.
2x
x
2
2
Çözüm. y 0 = p
=p
olup, x0 = 2 noktas¬ndaki te¼
getin e¼
gimi; m = y 0 (2) = p
= :
2
2
2
3
2 px + 5
x +5
2 +5
2
getin denklemi;
y0 = y (2) = 2 + 5 = 3 olmak üzere, te¼
Soru 2. y =
y
Soru 3. f (x) =
p
y0 = m (x
x0 ) =) y
3=
2
(x
3
2
5
2) =) y = x + :
3
3
2x
1 fonksiyonunun x0p= 5 noktas¬ndaki türevini,
türev tan¬
p m¬n¬kullanarak bulunuz.
p
2x 1 3
2x 1 + 3
f (x) f (5)
2x 1 3
p
= lim
= lim
Çözüm. f 0 (5) = lim
x!5
x!5
x!5
x 5
x 5
(x 5) 2x 1 + 3
2x 1 9
2 (x 5)
2
2
1
p
p
= lim
= lim
= lim p
= = :
x!5 (x
x!5
x!5 (x
6
3
5) 2x 1 + 3
5) 2x 1 + 3
2x 1 + 3
Soru 4. Farklar¬100 olan iki say¬n¬n çarp¬mlar¬n¬n minimum de¼
geri nedir?
Çözüm. x y = 100 olsun. x:y ifadesinin minimum olmas¬n¬istiyoruz. f (x) = x:y = x: (x 100) = x2 100x
fonksiyonunun minimum de¼
geri x:y ifadesinin minimum de¼
geridir.
f 0 (x) = 2x
100 = 0 =) x = 50 noktas¬bir kritik noktad¬r.
x = 50 noktas¬nda fonksiyon minimum de¼
gerini al¬r.
x
50
f 0 (x)
j
j
f (x)
&
M in im u m N o k ta s¬
f (50) = 502
+
%
100:50 = 2500
5000 =
2500:
Soru 5. Aşa¼
g¬daki limitleri hesaplay¬n¬z.
9
a)
lim
x! 2
x2
z }| {
5x 14
x 7
(x + 2) (x 7)
= lim
= lim
= +1:
2
2
x! 2
x! 2 x + 2
(x + 2)
(x + 2)
| {z }
0
sin x
6x sin x
sin x
6 lim
6
6x sin x
6 1
x!0 x
x
x =
b) lim
= lim
= lim
=
= 1:
sin x
sin x
x!0 2x + 3 sin x
x!0 2x + 3 sin x
x!0
2+3
2+3
2 + 3 lim
x!0 x
x
x
8
>
>
>
sin x + 2 ; x 0
>
>
<
1
gu noktalar¬bulup, bu noktalarda sürekSoru 6. f (x) =
; 0 < x 1 fonksiyonunun süreksiz oldu¼
>
x
>
>
>
>
:
ex
;x > 1
sizlik çeşitlerini yaz¬n¬z.
Çözüm. 0 ve 1 noktalar¬kritik noktalard¬r. Di¼
ger noktalarda fonksiyon süreklidir.
1
lim f (x) = lim
= 1 oldu¼
gundan x = 0 noktas¬nda sonsuz süreksizli¼
gi vard¬r.
x!0+
x!0+ x
1
lim f (x) = lim
= 1 ve lim f (x) = lim ex = e olup, lim f (x) 6= lim f (x) oldu¼
gundan x = 1
x!1
x!1 x
x!1+
x!1+
x!1
x!1+
noktas¬nda s¬çrama süreksizli¼
gi vard¬r.
Soru 7. Aşa¼
g¬daki fonksiyonlar¬n türevlerini bulunuz.
a) y = arctan
x 1
x+3
1
=) y 0 =
2:
1: (x + 3) (x
(x + 3)2
1) :1
x 1
x+3
(x + 3)2
4
= 2
:
x + 6x + 9 + x2 2x + 1 (x + 3)2
4
2
= 2
= 2
2x + 4x + 10
x + 2x + 5
1+
b) y = (cos x)ln x
ln y = ln (cos x)ln x = ln x: ln (cos x)
y0
1
sin x
= ln (cos x) + ln x:
y
x
cos x
ln
(cos
x)
sin x: ln x
ln
x
y 0 = (cos x)
x
cos x
c)
8
>
< y = t cos t
sin t
>
: x = t sin t + cos t
=) y 0 =
y_
cos t t sin t
=
x_
sin t + t cos t
cos t
= tan t
sin t