Fonksiyonlar matematiksel

KISITLAMALI
OPTİMİZASYON
2
Kısıtsız optimizasyon konusunda, seçim değişkenlerinden hiç
birinin, diğer seçim değişkenleri üzerinde bir sınırlayıcı etki
oluşturmadan optimali belirlediğini gördük. Ancak, örneğin
firmalar bir üretim kotası (kısıtı), toplam harcama kısıtı gibi
kısıtlar altında ya da bir tüketici bütçe (gelir) kısıtı altında
optimal seçimi gerçekleştirmek durumunda kalabilirler. Böyle
bir durumda seçim değişkenleri arasında, birbirlerini kısıtlayıcı
bir bağ oluşur.
Bütçe (gelir) kısıtı altında, faydasını maksimize etmeye çalışan
bir tüketiciyi şöyle düşünebiliriz.
3
U = x1 x2 + 2 x1
Fayda Fonksiyonu (Amaç Fonksiyonu)
4 x1 + 2 x2 = 60
Bütçe Kısıtı (Kısıt Fonksiyonu)
Şekil 3.1, hem serbest (kısıtsız) durumda oluşan maksimum
ile
kısıtlama
konulması
durumunda
oluşan
maksimumu
göstermektedir. Kısıtlamalı maksimum, hiçbir zaman serbest
maksimumdan büyük değer alamaz.
Yukarıda verdiğimiz bütçe kısıtı altında faydayı maksimize
edecek olan tüketim düzeylerinin belirlenmesini basit bir
yolla çözelim.
4
Şekil 3.1. Serbest ve Kısıtlı Uçdeğer
y
•
Serbest
z
Maksimu
m
Kısıtlamalı
•
Maksimum
0
x
5
U = x1 x2 + 2 x1
4 x1 + 2 x2 = 60
→
x2 = 30 − 2 x1
U = x1 ( 30 − 2 x1 ) + 2 x1 = 32 x1 − 2 x
2
1
∂U
= 32 − 4 x1 = 0
∂x1
→
x = 8 , x = 14
*
1
*
2
6
Kısıt fonksiyonu daha karmaşık bir hal alırsa ya da kısıt sayısı
artarsa, yukarıdaki yöntemin kullanımı giderek zorlaşır. Bu
nedenle, analitik açıdan daha üstün olan Lagrange Çarpanı
yöntemine bakacağız.
Lagrange çarpanının özü, kısıtlamalı bir uçdeğer problemini,
serbest
uçdeğer
probleminin
birinci
sıra
koşulunun
uygulanabileceği bir biçime dönüştürmektir. Yukarıdaki fayda
maksimizasyonu
problemine
Lagrange
çarpanı
yaklaşalım. Lagrange fonksiyonu şöyle oluşacaktır:
yöntemiyle
7
Z = x1 x2 + 2 x1 + λ ( 60 − 4 x1 − 2 x2 )
λ
, değeri önceden bilinmeyen bir parametredir ve Lagrange
çarpanı olarak ifade edilmektedir.
ile
U
‘nun kısıtlamalı maksimizasyonu yerine,
Z
Kısıtı tamamen yerine getirirsek, λ ortadan kalkar ve
eşitlenir. Böylece
U
Z
‘nin serbest maksimizasyonunu çözer duruma geliriz. Buna
göre, parantez içindeki ifadenin yok olmasını nasıl sağlarız?
Bunun yolu, Lagrange fonksiyonunda
dikkate almaktır.
λ‘yı
ek bir değişken gibi
8
Yani, Z=Z(λ, x1, x2). Bu durumda birinci sıra koşullar şöyle yazılır:
∂Z
Z1 ≡
= x2 + 2 − 4λ = 0
∂x1
∂Z
Z2 ≡
= x1 − 2λ = 0
∂x 2
∂Z
Zλ ≡
= 60 − 4 x1 + 2 x2 = 0
∂λ
x = 8 , x = 14
*
1
*
2
λ = 4 , Z = 128
*
9
Lagrange
fonksiyonunu,
aşağıdaki
gibi
bir
amaç
fonksiyonu için genel olarak yazalım.
z = f ( x, y )
Amaç Fonksiyonu
g( x , y ) = c
Kısıt Fonksiyonu
Lagrange Fonksiyonu:
Z = f ( x , y ) + λ [ c − g ( x , y )]
ve
kısıt
10
Z
’nin durgunluk değerlerini belirlemek için birinci sıra koşulları
şöyle oluştururuz.
Birinci Sıra Koşullar:
Z x = f x − λg x = 0
Z y = f y − λg y = 0
Z λ = c − g( x , y ) = 0
11
Örnek 1:
z=xy
fonksiyonunun,
x+y=6
kısıtı altında uçdeğer-
lerini bulalım.
Lagrange Fonksiyonu:
Z = xy + λ [ 6 − x − y ]
Birinci Sıra Koşullar:
Zx = y − λ = 0
Zy = x − λ = 0
Zλ = 6 − x − y = 0
x* = 3 , y* = 3 , λ = 3
Z =z =9
*
*
12
Lagrange çarpanı (λ), kısıttaki değişme karşısında
Z’nin
(ve
z’nin) duyarlılığını ölçmektedir. Bunu görebilmek için, Lagrange
fonksiyonundan elde ettiğimiz birinci sıra koşulları kullanarak
bir karşılaştırmalı durağanlık analizi yaparız. Öncelikle birinci
koşuldaki her bir fonksiyonu, birer örtük fonksiyon olarak
tanımlayalım ve Jacobian determinantı elde edelim.
F 1 = c − g( x , y ) = 0
F = f x − λg x = 0
2
F 3 = f y − λg y = 0
13
∂F
∂λ
∂F
∂x
∂F
∂y
∂F
J =
∂λ
∂F
∂x
∂F
=
∂y
∂F
∂λ
∂F
∂x
∂F
∂y
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0
− gx
− gy
− gx
f xx − λ g xx
f xy − λ g xy
− gy
f yx − λg yx
f yy − λ g yy
Jacobian determinantın sıfırdan farklı olduğunu kabul edelim ve
kısıttaki (c) bir değişmenin,
x, y
ve
λ
optimal değerlerini nasıl
etkilediğini inceleyelim.
λ = λ (c )
*
*
x = x (c )
*
*
y = y (c )
*
*
14
Birinci sıra koşulları, optimal
x, y
ve
λ
değerleri için yeniden
yazalım.
c − g( x , y ) ≡ 0
*
*
f x ( x , y ) − λg x ( x , y ) ≡ 0
*
*
*
*
f y ( x , y ) − λg y ( x , y ) ≡ 0
*
*
*
*
Benzer şekilde Lagrange fonksiyonunu da optimal
x, y
ve
λ
değerleri için yeniden yazalım (Z’nin bu durumda dolaylı olarak
c’nin de fonksiyonu olduğuna dikkat edelim).
15
*
*
⎡
Z = f ( x (c ), y (c ) ) + λ (c ) ⎣ c − g ( x (c ), y (c ) ) ⎤⎦
*
*
*
*
Z ’nin c ’ye göre toplam türevini alalım.
*
*
*
⎛
⎞
λ
dZ *
dx*
dy* ⎡
d
dx
dy
*
*
*
= fx
+ fy
+ ⎣ c − g ( x (c ), y (c ) ) ⎤⎦
+ λ ⎜ 1 − gx
− gy
⎟
dc
dc
dc
dc
dc
dc
⎝
⎠
0
*
*
*
dZ *
dx
dy
d
λ
= ( f x − λ* gx )
+ f y − λ* g y
+ ⎡⎣ c − g ( x* (c ), y* (c ) ) ⎤⎦
+ λ*
dc
dc
dc
dc
(
0
)
0
0
*
dZ
*
=λ
dc
z = f ( x1 , x2 , ....., xn )
Amaç Fonksiyonu
g ( x1 , x2 , ....., xn ) = c
Kısıt Fonksiyonu
Lagrange Fonksiyonu:
Z = f ( x1 , x2 , ....., xn ) + λ ⎡⎣c − g( x1 , x2 , ....., xn )⎤⎦
Birinci Sıra Koşullar:
Z λ = c − g ( x1 , x2 , ....., xn ) = 0
Z1 = f1 − λ g1 = 0
Z 2 = f 2 − λ g2 = 0
#
#
#
#
Z n = f n − λ gn = 0
16
z = f ( x1 , x2 , ....., xn )
Amaç Fonksiyonu
g ( x1 , x2 , ....., xn ) = c
Kısıt Fonksiyonları
h( x1 , x2 , ....., xn ) = d
Lagrange Fonksiyonu:
Z = f ( x1 , x2 , ....., xn ) + λ ⎡⎣c − g( x1 , x2 , ....., xn )⎤⎦
+µ ⎡⎣d − h( x1 , x2 , ....., xn )⎤⎦
Birinci Sıra Koşullar:
Z λ = c − g( x , y ) = 0
Zµ = d − h( x , y ) = 0
Z i = f i − λ gi = 0 ,
( i = 1, 2, ..., n)
17
18
Yukarıda,
kısıtlamalı
optimizasyonda
birinci
sıra
koşulları
kısıtsız optimizasyondakine benzer biçimde elde ettik. Şimdi
ikinci sıra koşulu da elde etmek için,
d2z
ifadesinin işaret
belirliliğini elde etmemiz gereklidir. Bunun için
dz
’nin toplam
diferansiyelinden hareket edelim.
∂ (dz )
∂ (dz )
d (dz ) = d z =
dx +
dy
∂x
∂y
2
d z=
2
∂ ( f x dx + f y dy )
∂x
dx +
∂ ( f x dx + f y dy )
∂y
dy
⎡
⎛
⎡
∂ (dy ) ⎞ ⎤
∂ (dy ) ⎞ ⎤
⎛
dx + ⎢ f yx dx ⎜ f yy dy + f y
d z = ⎢ f xx dx ⎜ f xy dy + f y
⎟ ⎥ dy
⎟
⎥
∂x ⎠ ⎦
∂y ⎠ ⎦
⎝
⎣
⎝
⎣
2
19
∂ (dy )
dx
d z = f xx dx + f xy dydx + f y
∂x
2
2
∂ (dy )
dy
+ f yx dxdy + f yy dy + f y
∂y
2
Kısıtlı optimizasyonda seçim değişkenleri
bağlı
olduğundan
bulundurarak,
hareketle
bu
üçüncü
dy=f(x,y)
fonksiyonun
ve
altıncı
(x,y)
durumunu
toplam
terimleri
birbirlerine
göz
önünde
diferansiyelinden
yeniden
yazabiliriz:
⎡ ∂ (dy )
∂ (dy ) ⎤
2
fy ⎢
dx +
dy ⎥ = f y d (dy ) = f y d y
∂y
⎣ ∂x
⎦
şöyle
20
Bunu
dikkate
alarak,
d2z
ifadesini
yeniden
yazalım:
düzenleyerek
d 2 z = f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2 + f y d 2 y
Daha önce kısıtsız optimizasyonda
d2z şöyleydi:
d 2 z = f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2
21
Dikkat edilebileceği gibi, kısıtlı ve kısıtsız optimizasyonda d2z
ifadeleri arasındaki fark, yalnızca
fyd2y
teriminden kaynak-
lanmaktadır. Bu terim birinci dereceden olduğundan, kısıtlı
optimizasyondaki d2z ifadesi karesel biçim olamaz. Ancak
g(x,y)=c
kısıtına dayanarak,
d2z
karesel biçime dönüştürü-
lebilir.
dg = 0
⇒
d (dg ) = d g = 0
2
22
Yukarıda
d2z
ifadesini elde etme yöntemini kullanarak,
d2g
ifadesinde elde edebiliriz.
d g = g xx dx + 2 g xy dxdy + g yy dy + g y d y = 0
2
2
Yukarıdaki son denklemi
2
d2y
için çözüp,
2
d2z
‘deki yerine
koyarsak, karesel biçimi elde ederiz:
⎛
⎞ 2
⎛
⎞
⎛
⎞ 2
fy
fy
fy
d z = ⎜ f xx −
g xx ⎟ dx + 2 ⎜ f xy −
g xy ⎟ dxdy + ⎜ f yy −
g yy ⎟ dy
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
g
g
g
y
y
y
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
2
Ayrıca birinci sıra koşullardan şunu da yazabiliriz:
(
)
λ=
(
23
fy
gy
)
d 2 z = ( f xx − λg xx ) dx 2 + 2 f xy − λg xy dxdy + f yy − λg yy dy 2
Birinci sıra koşullardaki denklemlerin yeniden kısmi türevleri
alınırsa;
Z x = f x − λg x = 0
Z xx = f xx − λ g xx
Z y = f y − λg y = 0
Z yy = f yy − λ g yy
Z λ = c − g( x , y ) = 0
Z xy = Z yx = f xy − λ g xy
Buna göre
24
d2z
ifadesini yeniden yazalım:
d z = Z xx dx + 2 Z xy dxdy + Z yy dy
2
2
2
ya da
d 2 z = Z xx dx 2 + Z xy dxdy + Z yx dxdy + Z yy dy 2
Yukarıda
ulaştığımız
d2z
ifadesini
kullanarak,
iki
seçim
değişkenli ve tek kısıt denklemli bir optimizasyon probleminde
uçdeğerleri
bulmak
için
gereken
ve
yeterli
olan
işaret
belirlemesini yapabiliriz ve uçdeğere ilişkin genel koşulları
söyleyebiliriz.
25
İkinci Sıra Gerekli Koşullar:
Maksimum z için:
dg=0 kısıtı altında d2z negatif yarı belirli
Minimum z için: dg=0 kısıtı altında
d2z pozitif yarı belirli
İkinci Sıra Yeterli Koşullar:
Maksimum z için:
dg=0 kısıtı altında d2z negatif belirli
Minimum z için: dg=0 kısıtı altında
d2z pozitif belirli
26
İkinci sıra koşulu determinant biçiminde ifade edebilmek için
çitlenmiş
Hessian
’dan
yararlanacağız.
Şimdi
kavramı geliştirelim. Bunun için yine
q
hareket
olarak
edelim.
Ancak
burada
ek
aşağıda
bu
karesel biçiminden
bir
de
kısıt
denklemimiz yer almaktadır.
⎛α⎞
q = au + 2huv + bv , αu + β v = 0 → v = − ⎜ ⎟ u
⎝β⎠
2
α 2
α 2
2
q = au − 2h u + b 2 u
β
β
2
2
2
u
2
2
q = ( αβ − 2hαβ + ba ) 2
β
27
q
ancak ve ancak parantezdeki ifade pozitif ise pozitif, negatif
ise
negatif
belirli
olacaktır.
Ayrıca
parantezdeki
ifadenin
simetrik determinantının da negatif olduğunu dikkate alarak şu
sonucu yazabiliriz:
αu + β v = 0
kısıtı altında,
0 α β
α
β
a h = 2hαβ − aβ − bα
h b
2
2
<0
⇒
q>0
>0
⇒
q<0
28
Şimdi bu genellemeyi,
q
d2z
karesel biçiminden
biçimine
aktaralım.
g x dx + g y dy = 0
kısıtı altında,
0
gx
gy
H = gx
Z xx
Z xy
gy
Z yx
Z yy
Burada H
(α = g
x
, β = gy
)
< 0 ⇒ d 2z > 0
z minimumdur.
> 0 ⇒ d 2z < 0
z maksimumdur.
, çitlenmiş (kısıtlı) Hessian anlamına gelmektedir.
29
Kısıtlı uçdeğer probleminin Hessian determinantı ile, Jacobian
determinantın da eşit olduğuna dikkat edelim.
0
gx
gy
H = gx
Z xx
Z xy = J
gy
Z yx
Z yy
30
Örnek 2:
z=xy
fonksiyonunun,
x+y=6
kısıtı altında uçdeğer-
lerini Örnek 1’de incelemiştik. Şimdi bu problemi ikinci sıra
koşullar açısından inceleyelim. Daha önce şunları bulmuştuk:
Zx = y − λ = 0
x =3 , y =3
*
Zy = x − λ = 0
*
λ=3 , Z =z =9
*
*
Zλ = 6 − x − y = 0
Buna göre, ikinci derece kısmi türevleri bularak, Hessian
determinantı oluşturalım.
31
Buna göre, ikinci derece kısmi türevleri bularak, Hessian
determinantı oluşturalım.
Z xx = 0
Z yy = 0
Z xy = Z xy = 1
gx = g y = 1
0 1 1
H = 1 0 1 = 2>0
1 1 0
z* = 9
bir maksimumdur.
32
z = f ( x1 , x2 , ....., xn )
Amaç Fonksiyonu
g ( x1 , x2 , ....., xn ) = c
Kısıt Fonksiyonu
0
g1
H = g2
#
gn
g1
Z11
Z 21
#
Z n1
g2
Z12
Z 22
#
Zn2
"
"
"
#
"
gn
Z1 n
Z2n
#
Z nn
33
Hessian determinantın ana minörleri:
0
H 2 = g1
g1
Z11
g2
Z12
g2
Z 21
Z 22
,
Sonuncu ana minör:
Hn = H
H3 =
0
g1
g1
Z11
g2
Z12
g3
Z13
g2
Z 21
Z 22
Z 23
g3
Z 31
Z 32
Z 33
34
z ’nin minimum olması için:
H 2 , H 3 , ........., H n < 0
⇒
d z>0
2
z ’nin maksimum olması için:
H 2 > 0, H 3 < 0, H 4 > 0,.........,(−1) H n > 0 ⇒ d z < 0
n
2
35
m
Z = f ( x1 , x2 , ....., xn ) + ∑ ⎡⎣ c j − g j ( x1 , x2 , ....., xn )⎤⎦
j =1
0
H =
0
0
#
0
0
#
0
1
1
1
2
g
g
#
2
1
2
2
g
g
#
gn1
gn2
"
"
"
"
0
g11
g21
0
#
0
2
1
2
2
"
gn1
2
n
g
#
m
g1
g
#
m
g2
"
"
"
g
#
m
gn
"
"
"
m
1
m
2
g
g
#
Z11
Z 21
#
Z12
Z 22
#
"
"
"
Z1 n
Z2n
#
"
gnm
Z n1
Zn2
"
Z nn
36
n
seçim değişkeni ve bir kısıtı yer alan bir problemin genel
uçdeğer koşulları şöyledir:
Koşul
Birinci Sıra
Koşul
İkinci Sıra
Koşul
Maksimum
Minimum
Zλ = Z1 = Z 2 = ... = Z n = 0 Zλ = Z1 = Z 2 = ... = Z n = 0
H 2 > 0, H 3 < 0,
H 4 > 0,.....,( −1) H n > 0
n
H 2 , H 3 ,....., H n < 0
37
n seçim değişkeni ve m kısıtı yer alan bir problemde;
Maksimum için yeterli koşul:
ul
H m +1
çitlenmiş ana minörün işareti
( −1)
m+ 1
olmak üzere, çit-
lenmiş ana minörler işaret değiştirmelidir.
Minimum için yeterli koşul:
ul
Tüm ana minörler aynı işareti, yani
( −1)m
işaretini almalıdır.
38
Örnek 3:
Z = f ( x , y, w ) = x + y + 2w
2
2
2
100 = x + 2 y + 3 w
80 = 2 x + y + w
Lagrange Fonksiyonu:
 = ( x + y + 2w
2
2
2
) + λ (100 − x − 2 y − 3w )
+ µ ( 80 − 2 x − y − w )
39
Birinci sıra koşular:
 x = 2 x − λ − 2µ = 0
 y = 2 y − 2λ − µ = 0
 w = 4 w − 3λ − µ = 0
 λ = 100 − x − 2 y − 3 w = 0
 µ = 80 − 2 x − y − w = 0
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
2
0
0
0
0
2
0
0
4
1
2
2
1
3
1
−1 −2 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤
−2 −1⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ ⎢⎢ 0 ⎥⎥
−3 −1 ⎥ ⎢ w ⎥ = ⎢ 0 ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢
⎥
0 0 ⎥ ⎢ λ ⎥ ⎢100 ⎥
0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ µ ⎥⎦ ⎢⎣ 80 ⎥⎦
265
215
135
210
*
*
*
*
x =
, y =
,w =
, λ = 10 , µ =
11
11
11
11
*
40
İkinci sıra koşular:
⎡
⎢
⎢
⎢
H =⎢
⎢
⎢
⎢⎣
H3 = 9 > 0
0
0
gx
gy
0
0
hx
hy
gx
hx
f xx
f xy
gy
hy
f yx
f yy
gw
hw
f wx
f wy
gw ⎤ ⎡ 0
⎥ ⎢
hw ⎥
0
⎢
⎥
f xw = ⎢ 1
⎥ ⎢
f yw ⎥ ⎢ 2
⎥ ⎢
f ww ⎥⎦ ⎣ 3
0
1
2
0
2
2
2
1
0
1
0
2
1
0
0
3⎤
1 ⎥⎥
0⎥
⎥
0⎥
4 ⎥⎦
H 4 = H = 88 > 0
Kısıt sayısı:
m=2
( −1) = ( −1) = 1 > 0
m
Bu nedenle bir minimizasyon vardır.
2
41
Aşağıdaki gibi bir fayda fonksiyonuna ve bütçe kısıtına sahip
bir bireyin fayda maksimizasyonunu inceleyelim.
U = U ( x, y )
, (U x , U y > 0) , xPx + yPy = M
Z = U ( x , y ) + λ ⎡⎣ M − xPx − yPy ⎤⎦
Birinci Sıra Koşullar:
Z λ = M − xPx − yPy = 0
Z x = U x − λ Px = 0
Z y = U y − λ Py = 0
Ux Uy
λ=
=
Px
Py
U x Px
=
U y Py
ve
ya
da
∂U
λ =
∂M
*
42
U x Px
=
U y Py
Tüketici Denge Koşulu
İkinci Sıra Koşullar:
0
Px
Py
H = Px
U xx
U xy = 2 Px PyU xy − P U xx − P U yy > 0
Py
U yx
U yy
2
y
2
x
ise,
U
’nun
x*
olacaktır.
ve
y*
’daki durgunluk değeri (U*) maksimum
43
Şekil 3.2. Bütçe Doğrusu
y
M
z
Py
Bütçe Doğrusu
Px
dy
=−
dx
Py
z
M
Px
x
44
Şekil 3.3. Tüketici Dengesi
y
y*
U x Px
=
U y Py
E
•
Kayıtsızlık Eğrileri
U2
U1
x
*
U3
U*
Tüketicinin Bütçe
Doğrusu (Kısıtı)
x
45
İkinci derece kısmi türevler (Uxx ,
Uyy , Uxy),
fayda fonksiyonu
ve dolayısıyla kayıtsızlık eğrisi üzerinde çeşitli sınırla-malar
getirmektedir.
dy/dx=−Ux/Uy
kayıtsızlık eğrisinin negatif eğimli,
kesin dışbükey olmasını sağlar. Bunu görelim.
d2y/dx2>0
Ux
dy
=−
dx
Uy
⎛ dy ⎞
d⎜ ⎟
2
d y
dx ⎠
⎝
=
2
dx
dx
Ux =
⎛ Ux
d⎜−
⎜ U
y
⎝
=
dx
dU x
dy
= U xx + U yx
,
dx
dx
px
dy
=−
dx
py
U y px
Py
46
⎞
⎟⎟
⎠ = − 1 ⎛ U dU x − U dU y ⎞
⎟
y
x
2 ⎜
Uy ⎝
dx
dx ⎠
dU y
dy
= U xy + U yy
dx
dx
47
2
d y
=
2
dx
2 Px PxU xy − Py2U xx − Px2U yy
2
y
P Uy
=
H
2
y
P Uy
Fayda maksimizasyonu ikinci sıra koşulu sağlanırsa ( H > 0 ),
d2y/dx2>0
olur,
yani
kayıtsızlık
eğrisi
orijine
göre
kesin
dışbükey (konveks) biçimdedir diyebiliriz. Bu nedenle, Şekil
3.3’de kesikli yeşil çizgiyle gösterilen kayıtsızlık eğrisi, bu
seçim noktalarında fayda maksimizasyonu sağlanamadığından,
fayda teorisinden dışlanan bir kısımdır.
48
Eğer kayıtsızlık eğrisi, bütçe doğrusuna tek noktada değil de,
iki ve daha çok noktada teğet olacak şekilde bir doğru kısma
sahipse,
koşul
d2y/dx2=0
ortadan
olacağından,
kalkmakla
H = 0 ‘dır. Ancak ikinci sıra
birlikte,
fayda
maksimizasyonu
sağlanabilmektedir. Buna göre, fayda fonksiyonu bu bölümde
içbükeyimsidir deriz.
49
Cobb-Douglas Fayda ve Talep Fonksiyonları:
1. Genel Talep Fonksiyonunun Türetilmesi
α
β
U =x y ,
x, y ≥ 0
max
M − xPx − yPy ≥ 0
α
β
(
Z = x y + λ M − xPx − yPy
)
50
αM
x =
( α + β ) Px
⎫
⎪
⎪⎪
α β− 1
Z y = β x y − λ Py = 0 ⎬
⎪
⎪
Z λ = M − xPx − yPy = 0 ⎪⎭
Z x = αx α− 1 y β − λ Px = 0
Genel Talep
Fonksiyonları
∗
βM
y =
( α + β ) Py
∗
∗
λ =
( ) (y )
α x
∗
α− 1
Px
∗
β
51
2. Gelir-Tüketim Eğrisi
Birinci sıra koşulların ilk denkleminde
λ ’ları çekerek, denklem-
leri eşitleyelim.
∗
λ =
( ) (y )
α x
∗
α− 1
Px
β Px ∗
y =
x
αPy
∗
∗
β
=
( ) (y )
β x
∗
α
∗
β −1
Py
Gelir-Tüketim Eğrisi
Şekil 3.4. Slutsky Teoremi: Normal Mal
x1-x2 : İkame Etkisi (İE)
y
x2-x3 : Gelir Etkisi (GE)
A
y1
x1-x3 : Toplam Etki (TE)
e1
•
e
•2
e3
•
U2
U1
İE GE
x1
x2
TE
x3 B
B′
B′′
Tazmin Edilmiş
Bütçe Doğrusu
x
52
53
Slutsky Teoremini Şekil 3.4’ü kullanarak açıklayalım.
X malının fiyatı (Px) düştüğünde, bütçe doğrusu toplam olarak
doğrudan
miktar
AB
den
AB′
ye kayar.
X
malından satın alınan
x1’den x2’ye yükselir. Bunun iki nedeni vardır:
¾
İkame Etkisi
¾
Gelir Etkisi
54
İkame etkisine göre tüketici, göreli anlamda daha ucuz olan
X
malı tüketimini artırmıştır. Bunu ifade edebilmenin yolu şudur:
Birey aynı fayda düzeyindeyken, yeni fiyatları gösteren bütçe
doğrusunu
U1’e teğet olacak şekilde çizeriz. Teğet noktasında,
geçici denge noktası oluşur (e2).
e2 denge noktasına karşılık gelen x tüketim düzeyi x2 kadardır.
x’i y
malına ikame etmemizden dolayı,
etkisi oluşur.
x1-x2
kadar bir ikame
55
Diğer yandan,
Px’in
düşmesi nedeniyle bireyin reel gelirinde
bir artış olur. Yani birey her iki maldan da daha fazla
tüketebilme olanağına kavuşur. Bu nedenle bireyin fayda
düzeyi, daha yukarıda yer alan
U2’ye
çıkar. Bu durumda bütçe
doğrusunun eğimi, yeni göreli mal fiyatlarını ve yeni dengeyi
yansıtacak şekilde
tüketim düzeyi,
etkisidir.
etkisi
U2’ye
teğet biçimde sağa kayar.
x2’den x3’e
x
malı
artmış olmaktadır. Bu kısım gelir
56
Bu örneğimizde
nedenle,
x malının normal mal olduğu varsayılmıştır. Bu
Px’deki azalma, x’in satın alınan miktarını artırmıştır.
Yani talep yasası gerçekleşmiştir.
Talep yasası, gelir etkisinin ters yönde işlediği durumlarda
geçerliliğini yitirir. Bu türden mallar, Giffen malı olarak
tanımlanmaktadır. Giffen malları aşırı bayağıdır ve pozitif
eğimli talep eğrisine sahiptir. Aşağıdaki şekillerde bayağı ve
Giffen malı durumları için ikame ve gelir etkileri gösterilmiştir.
Şekil 3.5. Slutsky Teoremi: Bayağı Mal
x1-x2 : İkame Etkisi (İE)
y
x2-x3 : Gelir Etkisi (GE)
A
y1
x1-x3 : Toplam Etki (TE)
e3
e1•
•
e2
•
Tazmin Edilmiş
Bütçe Doğrusu
GE
İE
x1 x3 x2
TE
B
B′
B′′
x
57
58
Şekil 3.6. Slutsky Teoremi: Giffen Malı
y
A
x1-x2 : İkame Etkisi (İE)
x2-x3 : Gelir Etkisi (GE)
x1-x3 : Toplam Etki (TE)
e3
•
y1
U2
e1
•
e2
•
GE
İE
x3 x1 x2
TE ( − )
Tazmin Edilmiş
Bütçe Doğrusu
U1
B
B′
B′′
x
59
Fayda maksimizasyonunu incelerken bireyin gelirini (M), mal
fiyatlarını (Px,Py ) veri (dışsal) olarak aldık. Birinci ve ikinci sıra
koşullar sağlandığında, denge değerlerini (x*,
değişkenlerin
durumda
bir
H = J)
fonksiyonu
olarak
y* , l*
yazabiliriz
), dışsal
(çünkü
bu
ve gelirdeki ya da fiyatlardaki değişmelerin,
bireyin optimal dengesi üzerine etkilerini inceleyebiliriz. Buna
karşılaştırmalı durağanlık analizi diyoruz. Bunu dikkate alarak,
denge değerlerini tanımlayalım:
60
λ = λ ( Px , Py , M )
*
*
x = x ( Px , Py , M )
*
*
y = y ( Px , Py , M )
*
*
Şimdi de birinci sıra koşulları, denge değerlerini dikkate alarak
yazalım.
M − x Px − x Py ≡ 0
*
*
U x ( x , y ) − λ Px ≡ 0
*
*
*
U y ( x , y ) − λ Py ≡ 0
*
*
*
61
Her bir özdeşliğin toplam diferansiyelini bulalım.
− Px dx − Py dy = x dPx + y dPy − dM
*
*
*
*
− Px d λ * + U xx dx * + U xy dy * = λ *dPx
− Py d λ * + U yx dx * + U yy dy * = λ * dPy
Tüketicinin
dengesine
gelirindeki
nasıl
etki
dPx=dPy=0 , dM≠0
bir
değişmenin,
edebileceğini
optimal
inceleyelim.
tüketici
Dolayısıyla
varsayımlarını yapalım. Yukarıdaki birinci
sıra koşulların toplam diferansiyelleri soldaki biçime dönüşür.
Eşitliklerin her iki yanını
dM terimiyle bölelim
(sağdaki biçim).
62
0d λ − Px dx − Py dy = − dM
*
*
*
− Px d λ + U xx dx + U xy dy = 0
*
*
*
− Py d λ + U yx dx + U yy dy = 0
*
*
*
∂λ
∂x
∂y
0
− Px
− Py
= −1
∂M
∂M
∂M
*
*
*
∂λ
∂x
∂y
− Px
+ U xx
+ U xy
=0
∂M
∂M
∂M
∂λ *
∂x *
∂y *
− Py
+ U yx
+ U yy
=0
∂M
∂M
∂M
*
*
*
63
Yukarıdaki (sağdaki) son ifadeyi matris biçimiyle yazalım.
⎡ 0
⎢
⎢ − Px
⎢
−
P
⎣ y
− Px
U xx
U yx
− Py ⎤ ⎡ ∂λ * dM ⎤ ⎡ −1⎤
⎥⎢ *
⎥ ⎢ ⎥
U xy ⎥ ⎢ ∂x dM ⎥ = ⎢ 0 ⎥
⎥ ⎢ ∂y* dM ⎥ ⎢ 0 ⎥
U yy ⎦ ⎣
⎦ ⎣ ⎦
H = J
Şimdi
Cramer
çözüm
yöntemini
durağanlıkları ifade edelim.
kullanarak,
karşılaştırmalı
64
0
1
∂x
=
− Px
∂M J
− Py
*
0
*
∂y
1
=
− Px
∂M J
− Py
−1 − Py
0
U xy
0
U yy
− Px
U xx
U yx
1 − Px
=
J − Py
−1
1 − Px
0 =
J − Py
0
U xy
U yy
U xx
U yx
65
Şimdi de
Px ’deki değişimin etkilerine bakalım.
⎡ 0
⎢
⎢ − Px
⎢
P
−
⎣ y
− Px
U xx
U yx
− Py ⎤ ⎡ ∂λ * dPx ⎤ ⎡ x * ⎤
⎥⎢ *
⎥ ⎢ *⎥
U xy ⎥ ⎢ ∂x dPx ⎥ = ⎢ λ ⎥
⎥ ⎢ ∂y* dP ⎥ ⎢ 0 ⎥
U yy ⎦ ⎣
x⎦
⎣ ⎦
66
x malı için karşılaştırmalı durağanlık şöyle olacaktır:
0
1
∂x *
=
− Px
∂Px
J
− Py
x*
− Px
λ
U xy
*
0
U yy
− x * − Px
=
J − Py
*
⎛
∂
x
*
= (− x ) ⎜
⎝ ∂M
U xy
U yy
⎞ λ* 0
⎟+
⎠ J − Py
Gelir Etkisi
Gelir etkisi terimindeki
λ* 0
+
J − Py
− Py
U yy
− Py
U yy
İkame Etkisi
x*, ağırlık görevi görür. Toplam bütçede
x malının önemi ne kadar büyükse, gelir etkisi de o denli büyük
olacaktır.
67
Px
’de meydana gelen değişimin yol açacağı gelir kaybını şu
diferansiyelle gösterebiliriz:
dM = − xdPx
→
dM
x =−
dPx
*
Bunu, karşılaştırmalı durağanlıktaki yerine yazalım.
0
1
∂x
=
− Px
∂Px
J
− Py
*
*
x
*
λ
0
− Px
*
⎛ ∂x
U xy = ⎜
⎝ ∂M
U yy
⎞ ⎛ dM
⎟⎜
⎠ ⎝ dPx
Gelir Etkisi
⎞ λ* 0
⎟+
⎠ J − Py
− Py
U yy
İkame Etkisi
68
Şimdi
Px ’deki artışın yol açtığı gelir kaybının, bireye ek bir gelir
verilerek telafi edildiğini varsayalım. Bu durumda gelir etkisini
ortadan kaldırmaktayız, telafi sonrası yalnızca ikame etkisini
görmüş olmaktayız. Gelir kaybının telafi edilmesi, birinci sıra
koşulların toplam diferansiyelinde yer alan ilk denklemdeki
dM=−xdPx
teriminin sıfır olması anlamına gelir.
terimin sıfır olabilmesi için,
x*
’ın
Px
dPx≠0
iken, bu
‘e göre karşılaştırmalı
durağanlığını oluşturduğumuz matris eşitliklerinin sağındaki
vektörün ilk terimi (x*) sıfır olmalıdır.
69
x =0
*
⎡ 0
⎢
⎢ − Px
⎢
⎣ − Py
− Px
U xx
U yx
⎛ ∂x ⎞
⎜
⎟
⎝ ∂Px ⎠Tazmin
Edilmiş
*
− Py ⎤ ⎡ ∂λ * dPx ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎥⎢ *
⎥ ⎢ *⎥
U xy ⎥ ⎢ ∂x dPx ⎥ = ⎢ λ ⎥
⎥ ⎢ ∂y* dP ⎥ ⎢ 0 ⎥
U yy ⎦ ⎣
⎣ ⎦
x⎦
0
1
=
− Px
J
− Py
0
*
λ
0
− Px
*
λ 0
U xy =
J − Py
U yy
− Py
U yy
70
Buna, göre
Px
’deki artışın yol açtığı gelir ve ikame etkilerini
birlikte yeniden yazalım.
⎛ ∂x
∂x
= −⎜
∂Px
⎝ ∂M
*
*
⎞ * ⎛ ∂x ⎞
⎟
⎟x +⎜
⎠
⎝ ∂Px ⎠Tazmin
Edilmiş
Gelir Etkisi
*
İkame Etkisi
Gelir ve ikame etkisini iki bileşene ayıran bu sonuca, Slutsky
denklemi diyoruz.
71
Px
‘deki artışın sonucunda gelir etkisi ve ikame etkisinin
işaretleri konusunda ne söyleyebiliriz?
*
0
⎛ ∂x * ⎞
λ
=
⎜
⎟
J − Py
⎝ ∂Px ⎠Tazmin
Edilmiş
(+)
∂x
1 − Px
=
∂M J − Py
*
(+)
(?)
− Py
U yy
<0
(−)
U xy > 0
U yy < 0
(?)
İşaretin belirliliği, malın
normal mal mı, yoksa
bayağı mal mı olduğuna
bağlıdır. Normal mallarda
pozitif, bayağı mallarda
negatif olur.
72
Slutsky teoremini anlatırken, Lagrange fonksiyonunu bütçe
kısıtı altında faydanın maksimizasyonuna göre oluşturduk ve
problemi çözdük. Bu problemin duali (ikincili) fayda kısıtı
altında toplam harcamanın minimize edilmesidir. Bu durumda
Lagrange fonksiyonunu şöyle oluştururuz:
⎛
⎞
⎜ xPx + yPy ⎟ ,
min
⎝
⎠
α
x, y ≥ 0
β
U−x y ≥0
Z = xPx + yPy + µ ( U − x y
α
β
)
73
Her iki problemin çözümünden elde edilecek olan optimal
y* değerleri aynıdır. Aşağıdaki örnek ile bunu görelim.
U = U ( x , y ) = xy
max
M = xPx + yPy
,
x, y ≥ 0
x* ve
(
Z = xy + λ M − xPx − yPy
Z x = y − λ Px = 0
Z y = x − λ Py = 0
Z λ = M − xPx − yPy = 0
M
x =
,
2 Px
∗
M
y =
2 Py
∗
)
74
75
Dolaylı Fayda Fonksiyonu:
⎛ M
∗
∗ ∗
U = x y =⎜
⎝ 2 Px
⎞⎛ M
⎟ ⎜⎜
⎠ ⎝ 2 Py
2
⎞
M
⎟⎟ =
⎠ 4 Px Py
Şimdi de yukarıdaki problemin dualini yazalım:
⎛
⎞
⎜ xPx + yPy ⎟
⎝
⎠
min
,
x, y ≥ 0
U − U ( x , y ) = U − xy
76
Z = xPx + yPy + µ ( U − xy )
Z x = Px − µy = 0
M
∗
∗
x =
, x = xc
2 Px
∗
c
Z y = Px − µx = 0
M
∗
∗
y =
, y = yc
2 Py
∗
c
Z µ = U − xy = 0
Px Py
µ=
=
y
x
→
Px
y=
x
Py
77
Px
y=
x
Py
→
⎛ Py ⎞
x =⎜ U⎟
⎝ Px ⎠
1
2
∗
⎛
⎞
P
∗
x
y =⎜ U⎟
⎜P ⎟
⎝ y ⎠
⎛ Px ⎞ Px 2
U = xy = x ⎜
x⎟ =
x
⎜P ⎟ P
y
⎝ y ⎠
x
malının Tazmin Edilmiş
Genel Talep Fonksiyonu
1
2
y
malının Tazmin Edilmiş
Genel Talep Fonksiyonu
78
Harcama Fonksiyonu:
∗
∗
∗
M = x c Px + y c Py
1
2
1
2
⎛
⎞
P
⎛
⎞
P
y
∗
x
M = ⎜ U ⎟ Px + ⎜ U ⎟ Py
⎜P ⎟
P
⎝ x ⎠
⎝ y ⎠
∗
(
M = 2 Px PyU
)
1
2
79
Fiyat
değişimleri
karşısında
tazmin
edilmiş
talep
fonksiyonlarına ulaşabilmek için, veri bir fayda düzeyini sabit
olarak kabul edip, bireyin buna ulaşmasını sağlayacak optimal
miktarları
belirleriz.
fonksiyonlarını
da
Bulacağımız
kullanarak,
tazmin
bireyin
aynı
edilmiş
talep
(veri)
fayda
düzeyinde kalmasını sağlayacak olan minimum gelir düzeyini
belirlemiş oluruz.
Veri fayda düzeyi:
2
M
U=
4 Px Py
80
Veri faydayı, tazmin edilmiş genel fayda fonksiyonlarındaki
yerlerine yazalım ve düzenleyelim.
1
2
1
2
1
2
1
2
2 ⎞
⎛
⎛
⎞
P
P
M
M⎛ 1 ⎞
y
y
∗
xc = ⎜ U ⎟ = ⎜
=
⎟
⎜
⎟
⎜P ⎟
⎜ P 4P P ⎟
P
P
2
x
x
y
x
x ⎠
⎝
⎝ x ⎠
⎝
⎠
2 ⎞
⎛
⎞
⎛
Px
Px M
M ⎛ Px ⎞
∗
yc = ⎜ U ⎟ = ⎜
=
⎟
⎜ ⎟
⎜P ⎟
⎜ P 4P P ⎟
P
P
2
y
y
x
y
y
x ⎠
⎝
⎝
⎠
⎝
⎠
1
2
1
2
81
Veri fayda düzeyi için elde ettiğimiz talep fonksiyonlarını dual
problemin amaç fonksiyonundaki yerlerine yazarak, minimum
gelir düzeyini belirlemiş oluruz.
M ∗ = xc∗ Px + yc∗ Py
⎛M⎛ 1 ⎞ ⎞
⎛ M ⎛P ⎞ ⎞
∗
x
⎜
⎟
⎜
M =
⎜
⎟ Px +
⎜ ⎟ ⎟ Py
⎜ 2 ⎝ Px Px ⎠ ⎟
⎜ 2 Py ⎝ Px ⎠ ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
1
2
⎛ Px ⎞
M = M⎜ ⎟
⎝ Px ⎠
∗
1
2
1
2
82
Bu
minimum
gelirin
gerçekleştirilebilmesi
∗
optimal ( M ) ve gerçek gelir (
M)
için,
tüketiciye
düzeyleri arasındaki fark
kadar bir sübvansiyon sağlanmalıdır. Bu sübvansiyonu şöyle
belirleriz:
1
2
⎛ Px ⎞
S = M −M = M⎜ ⎟ −M
⎝ Px ⎠
∗
∗
⎛⎛ P ⎞
⎞
∗
x
⎜
S = M ⎜ ⎟ − 1⎟
⎜ ⎝ Px ⎠
⎟
⎝
⎠
1
2
83
Örnek 4:
Aşağıdaki fayda fonksiyonunu, veri gelir ve fiyatları dikkate
, y ∗),
toplam
(düzeltilmiş)
talep
alalım. Buna göre optimal tüketim düzeylerini (x
faydayı
∗
U(∗
),
∗
fonksiyonlarını
(
x c , yc
düzeylerini (
telafi
edilmiş
∗
∗
∗
), minimum gelir ve sübvansiyon
M ,S
) belirleyelim.
2
M
, M = 100 , Px = 4 , Py = 5
U=
4 Px Py
84
M
100
x =
=
= 12.5 ,
2 Px 2(4)
∗
M
100
y =
=
= 10
2 Py 2(5)
∗
( 100 )
M
U =
=
= 125
4 Px Py 4(4)(5)
∗
2
2
1
2
1
2
100 ⎛ 1 ⎞
M⎛ 1 ⎞
− 12
x =
⎜
⎟ =
⎜
⎟ = 25 ( Px )
2 ⎝ Px Px ⎠
2 ⎝ 4 Px ⎠
∗
c
1
2
1
2
1
100 ⎛ Px ⎞
M ⎛ Px ⎞
2
5
y =
P
=
=
(
⎜ ⎟
x)
⎜
⎟
2 Py ⎝ Px ⎠
2(5) ⎝ 4 ⎠
∗
c
85
(
M = x Px + y Py = 25 ( Px )
∗
∗
c
M = 50 ( Px )
∗
∗
c
− 12
1
2
S = M − M = 50 ( Px ) − 100
∗
∗
1
2
) P + ( 5 ( P ) ) (5)
1
2
x
x
86
Şimdi
x
malı fiyatının
5
’e yükseldiğini varsayarak, yukarıda
bulduklarımızı yeniden inceleyelim, ikame ve gelir etkilerini
belirleyelim.
x = 25 ( Px )
∗
c
− 12
= 25 ( 5 )
− 12
= 11.18
y = 5 ( Px ) = 5 ( 5 ) = 11.18
1
2
∗
c
1
2
Buna göre ikame etkisi:
∗
∗
c
x − x = 12.5 − 11.18 = 1.32
y ∗ − yc∗ = 10 − 11.18 = −1.18
87
Şekil 3.7. Slutsky Teoremi
y
M2
Py
M1
Py
•
•
∗
y2c
∗
y2u
y1∗
•
:
x −x
İkame Etkisi
:
∗
x1∗ − x2c
∗
∗
x2u
x2c
İkame Etkisi
•
x1∗
U 1∗
U 2∗
• M•
M1
P x2
P
2
2
x
∗
2u
Gelir Etkisi
Gelir Etkisi
•
∗
2c
•
M1
P x1
x
88
Bireyin,
x malı fiyatının değişmesinden
önceki fayda düzeyini
( U 1∗) sağlayabilmek için öncekinden daha yüksek bir parasal
gelire ihtiyacı vardır. Bu gelir:
M = 50 ( Px ) = 50 ( 5 ) = 112
1
2
∗
Aynı
fayda
düzeyini
1
2
elde
edebilmek
için
sağlanacak
sübvansiyon:
S = M − M = 50 ( Px ) − 100 = 112 − 100 = 12
∗
∗
1
2
89
Sübvanse edilmemiş tüketim düzeylerini de (
∗
u
x ,y
∗
u
) şöyle
buluruz:
M
100
=
= 10
x =
2 Px 2(5)
∗
u
,
M
100
=
= 10
y =
2 Py 2(5)
∗
u
Buna göre gelir etkisi:
∗
c
∗
u
∗
c
∗
u
x − x = 11.18 − 10 = 1.18
y − y = 11.18 − 10 = 1.18
90
Slutsky Denklemi:
Slutsky denklemini türetmek için, harcama minimizasyonu ya
da bunun duali olan fayda maksimizasyonu problemi ile işe
başlarız. Her iki şekilde oluşturulan problemin birinci sıra
koşullarının çözümünden elde edilecek optimal
düzeyleri ( x ∗
∗
c
x
∗
c
∗
x
ve
y
∗
c
= x , y = y ) aynıdır:
( P , P ,U ) = x ( P , P , M ( P , P ,U ) )
∗
x
y
∗
x
y
x
y
tüketim
91
Yukarıdaki eşitliğin her iki yanının
∗
c
∂x
∂x
∂ x ∂M
=
+
∂Px ∂Px ∂M ∂Px
∗
∗
c
dx
dPx
∗
∗
ya da
⎛ ∗
dx
dx
⎜
=
+
dPx dM = 0 ⎜⎜ dM
dPy = 0
⎝
∗
dU = 0
dPy = 0
Px ’e göre türevini alalım:
⎞⎛
∗
⎟ ⎜ dM
⎜ dP
dPx = 0 ⎟
⎟⎜ x
dPy = 0 ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎟
dU = 0 ⎟
dPy = 0 ⎠
92
Son ifadeyi yeniden düzenleyerek Slutsky denklemine ulaşırız:
dx
dPx
⎛ ∗
dx
dx
⎜
=
−
dPx dU = 0 ⎜⎜ dM
dPy = 0
⎝
∗
c
∗
dM = 0
dPy = 0
⎞⎛
∗
⎟ ⎜ dM
⎜ dP
dPx = 0 ⎟
⎟⎜ x
dPy = 0 ⎠ ⎝
Slutsky denkleminin sağındaki son terim
görelim.
x*
⎞
⎟
⎟
dU = 0 ⎟
dPy = 0 ⎠
’a eşittir. Bunu
93
∗
∗
M = Px x + Py y
∗
∗
∂M
∗
=x
∂Px
dx
dPx
⎛ ∗
dx
∗ ⎜ dx
=
−x
⎜ dM
dPx dU = 0
⎜
dPy = 0
⎝
∗
c
∗
dM = 0
dPy = 0
⎞
⎟
dPx = 0 ⎟
⎟
dPy = 0 ⎠
HOMOJEN VE
HOMOTETİK
FONKSİYONLAR
95
Homojen (Türdeş) Fonksiyonlar
Eğer bir fonksiyonun tüm bağımsız değişkenleri
j
gibi bir sabitle
çarpıldığında fonksiyonun değeri jr oranında artıyorsa, bu tür bir
fonksiyona
r. dereceden türdeş (homojen) fonksiyon deriz.
f ( jx1 , jx2 , ....., jxn ) = j f ( x1 , x2 , ....., xn )
r
96
Örnek 5:
x 2w
f ( x, y, w ) = +
y 3x
fonksiyonunu, türdeşlik açısından
inceleyelim.
( jx ) 2( jw )
+
f ( jx , jy , jw ) =
( jy ) 3( jx )
x 2w
= +
y 3x
= f ( x, y, w ) = j f ( x, y, w )
0
97
2
Örnek 6:
x
2w
+
f ( x, y, w ) =
y
x
2
fonksiyonunu, türdeşlik açısından
inceleyelim.
2
2
2
2
2
j x
j 2w
( jx ) 2( jw )
+
=
+
f ( jx , jy , jw ) =
jy
jx
( jy )
( jx )
⎡x
2w ⎤
= j⎢ +
⎥
x ⎦
⎣ y
2
2
= jf ( x , y , w ) = j f ( x , y , w )
1
2
98
Örnek 7:
f ( x , y , w ) = 2 x + 3 yw − w
2
2
fonksiyonunu, türdeşlik
açısından inceleyelim.
f ( jx , jy , jw ) = 2( jx ) + 3( jy )( jw ) − ( jw )
2
= j
2
( 2x
2
+ 3 yw − w
= j f ( x, y, w )
2
2
)
2
99
Doğrusal türdeş fonksiyonlarda, tüm bağımsız değişkenler
gibi bir oranda artırıldığında, fonksiyonun değeri de
artar.
Bunun
iktisat
fonksiyonlarıdır.
teorisindeki
Şimdi
doğrusal
en
iyi
türdeş
j
oranında
örneği,
bir
j
üretim
üretim
fonksiyonunu dikkate alalım:
Q = f ( K , L)
Bu doğrusal türdeş üretim fonksiyonuna ilişkin aşağıdaki
özellikleri söyleyebiliriz.
100
ÖZELLİK I:
Q=f(K,L)
doğrusal türdeş üretim fonksiyonunda
ser-maye ve işgücünün ortalama fiziksel ürünleri (APPK
APPL) yalnızca K/L ’nin bir fonksiyonudur.
Q
⎛ K L⎞
⎛K ⎞
= f ⎜ , ⎟ = f ⎜ ,1 ⎟
Q = f ( K , L) →
L
⎝ L L⎠
⎝L ⎠
Q
APPL = = q = φ( k )
L
Q Q L φ( k )
=
APPK = =
K LK
k
,
101
Üretim fonksiyonu birinci dereceden türdeş ise (doğrusal
türdeş), sermaye ve işgücünün ortalama fizik ürünleri sıfırıncı
dereceden türdeştir. Yani
K ve L
’deki aynı oranlı değişiklikler,
ortalama fizik ürünleri etkilemeyecektir.
102
ÖZELLİK II :
Q=f(K,L)
doğrusal türdeş üretim fonksiyonunda
ser-maye ve işgücünün marjinal fiziksel ürünleri (MPPK
MPPL) yalnızca K/L ’nin bir fonksiyonudur.
Q = f ( K , L) → Q = Lφ( k )
⎛K⎞
∂⎜ ⎟
∂k
L⎠ 1
⎝
=
=
L
∂K
∂K
⎛K⎞
∂⎜ ⎟
∂k
L ⎠ −K
⎝
=
= 2
L
∂L
∂L
,
∂Q ∂ [ Lφ( k )]
∂φ( k )
MPPK ≡
=
=L
∂K
∂K
∂K
1
d φ( k ) ∂k
=L
= Lφ′( k ) = φ′( k )
dk ∂K
L
∂Q ∂ [ Lφ( k )]
∂φ( k )
MPPL ≡
=
= φ( k ) + L
∂L
∂L
∂L
∂k
= φ( k ) + Lφ′( k )
∂K
−K
= φ( k ) + Lφ′( k ) 2 = φ( k ) − k φ′( k )
L
103
104
Üretim fonksiyonu birinci dereceden türdeş ise (doğrusal
türdeş), sermaye ve işgücünün marjinal fizik ürünleri sıfırıncı
dereceden türdeştir. Yani
K ve L
’deki aynı oranlı değişiklikler,
marjinal fizik ürünleri etkilemeyecektir.
ÖZELLİK III :
Q=f(K,L)
doğrusal türdeş üretim fonksiyonuysa,
şunu yazabiliriz:
∂Q
∂Q
K
+L
≡Q
∂K
∂L
105
Kanıt:
∂Q
∂Q
K
+L
= K φ′( k ) + L [ φ( k ) + k φ′( k )]
∂K
∂L
= K φ′( k ) + Lφ( k ) − K φ′( k ) = Lφ( k ) = Q
Euler Teoremi olarak adlandırılan bu sonuca göre, doğrusal
türdeş üretim fonksiyonuyla üretim yapılan bir yerde, girdilere
marjinal ürünleri ölçüsünde ödeme yapıldığında, ortadan ne
dağıtılmayan, ne de fazla ürün kalmayacağını söylemektedir.
106
Cobb-Douglas Üretim Fonksiyonu
α
β
Q = AK L ,
Burada
A,
α>0 ,
β>0
teknolojik düzey indeksi;
α
, sermayenin toplam
üründen aldığı pay (ya da üretim-sermaye esnekliği);
β,
işgücünün toplam üründen aldığı paydır (ya da üretim-işgücü
esnekliği). Fonksiyonun bazı özellikleri şöyledir:
1. (α+β) derecesinden homojendir.
2.Eşürün eğrileri negatif eğimli ve kesin dışbükeydir.
3.Üretim fonksiyonu kesin içbükeyimsidir.
107
Türdeşliğini inceleyelim:
α
β
A( jK ) ( jL) = j
α+β=1
α+β
α
β
AK L = j
α+β
Q
durumunda Cobb-Douglas üretim fonksiyonu doğrusal
türdeştir. Şimdi de eşürün eğrisi ile ilgili özelliklere bakalım.
Bunun için Cobb-Douglas üretim fonksiyonundan hareketle,
üretim düzeyini veri (Q0) kabul ederek aşağıdaki işlemleri
yapalım.
α
β
AK L = Q0
ln A + α ln K + β ln L − ln Q0 = 0
108
Yukarıdaki son ifade bir örtük fonksiyondur. Yalnızca
K
’nin değişimine izin vererek, toplam diferansiyeli yazalım.
∂F
∂F
∂F
∂F
dK +
dL = 0 →
dK = −
dL
∂K
∂L
∂K
∂L
∂F
dK
= − ∂L = −
∂F
dL
∂K
β
L = − βK
α
αL
K
Eşürün eğrisi
negatif eğimlidir.
ve
L
109
⎛ dK ⎞
⎛ βK ⎞
⎛K⎞
d⎜
d⎜−
d⎜ ⎟
⎟
⎟
2
⎝ dL ⎠ = d K = ⎝ αL ⎠ = − β ⎝ L ⎠ =
2
dL
dL
dL
α dL
d K
β 1 ⎛ dK
⎞
L
=−
−K⎟>0
2
2 ⎜
dL
α L ⎝ dL
⎠
2
Eşürün eğrisi dışbükeydir.
110
α+β=1
durumunda Cobb-Douglas üretim fonksiyonu doğrusal
türdeştir:
α
1−α
Q = AK L
Şimdi bu fonksiyonu, doğrusal türdeş fonksiyonun özellikleri
açısından inceleyelim. İlk olarak, fonksiyonu yoğunlaştırılmış
biçimde yazalım.
α
1−α
Q = AK L
α
α
−α
= AK LL
α
K
⎛K⎞
α
Q = A α L = LA ⎜ ⎟ = LAk
L
⎝ L⎠
111
Ortalama Fizik Ürünler:
Q = LAk
α
α
α
Q Q L LAk 1 Ak
APPK = =
=
=
= Ak α−1
K LK
L k
k
Q LAk α
α
APPL = =
= Ak
L
L
112
Marjinal Fizik Ürünler:
∂Q
α−1 1−α
MPPK =
= AαK L
∂K
= AαK
α−1
− ( α− 1)
L
⎛K⎞
= Aα ⎜ ⎟
⎝ L⎠
α− 1
∂Q
α −α
MPPL =
= A(1 − α ) K L
∂L
α
⎛K⎞
α
= A(1 − α ) ⎜ ⎟ = A(1 − α )k
⎝ L⎠
= Aαk
α− 1
113
EULER Teoremi:
∂Q
∂Q
α−1
α
K
+L
= K ( Aαk ) + L ( A(1 − α )k )
∂K
∂L
⎡ Kα
⎤
= LAk ⎢
+ 1 − α⎥
⎣ Lk
⎦
α
= LAk
α
[ α + 1 − α ] = LAk
α
=Q
α ve β parametrelerinin anlamları:
1. Sermaye ve işgücünün üretimdeki göreli paylarıdır:
Sermayenin göreli payı:
α−1
K (∂Q ∂K ) KAαk
=
α
Q
LAk
=α
İşgücünün göreli payı:
α
L(∂Q ∂L) LA(1 − α)k
=
= 1− α
α
Q
LAk
114
115
2. Sermaye ve işgücünün üretime göre esneklikleridir:
εQK
εQL
α−1
(∂Q ∂K )
Aαk
=
=
=α
α
(Q K )
( LAk ) K
α
(∂Q ∂L) A(1 − α)k
=
=
= 1− α
α
(Q L)
( LAk ) L
116
Endüşük Maliyetli Girdi Bileşimi
Bir firmanın üretim kotası (üretim kısıtı) koyarak, toplam
maliyetlerini minimize etmeyi amaçladığını varsayalım. Bu tür
bir problem, kısıtlamalı optimizasyon konusuyla ilgilidir. Önce
genel bir üretim fonksiyonu ile çalışalım, daha sonra CobbDouglas üretim fonksiyonunu kullanalım.
Q = Q ( K , L) , QK > 0 , QL > 0
Amaç Fonksiyonu:
TC = rK + wL
Kısıt Fonksiyonu:
Q( K , L) = Q0
117
Lagrange Fonksiyonu:
Z = rK + wL + µ ⎡⎣Q0 − Q( K , L)⎤⎦
Birinci Sıra Koşullar:
Z µ = Q0 − Q( K , L) = 0
Z K = r − µQK = 0
Z L = w − µQL = 0
Üretici Denge Koşulu:
r
w
=
=µ
QK QL
118
Denge koşuluna göre, her iki girdinin birim marjinal ürünü
başına
yapılan
maliyetlerini
harcamaların
minimize
eşitlendiği
etmektedir.
Lagrange
optimal durumdaki marjinal maliyettir.
Denge koşulunu şöyle de yazabiliriz:
r
w
=
QK QL
→
durumda,
QL w
=
QK
r
çarpanı
firma
(µ),
119
Bu durumda denge koşulu, eşürün eğrisinin eğimiyle, bütçe
doğrusunun (toplam harcama doğrusunun) eğimi birbirine eşit
olmakta
ya
da
her
iki
eğri
denge
noktasında
olmaktadırlar.
Q( K , L) = Q0
∂Q
∂Q
dK +
dK = 0
→ dQ0 =
∂K
∂K
dK
∂Q ∂ L Q L
=−
=
dL
∂Q ∂K Q K
TC w
TC = rK + wL → K =
− L
r
r
dK
w
=−
dL
r
teğet
120
Şekil 3.8a. Üretim Kısıtı Altında Maliyetin
Minimizasyonu: Dışbükey Eşürün Eğrisi
K
d 2 K −1
2
2
⎡
⎤
Q
Q
2
Q
Q
Q
Q
Q
=
−
+
KL K L
LL K ⎦ > 0
2
3 ⎣ KK L
dL
QL
A
A′
K*
Q
QL w
=
QK
r
D
Q
E
Q0
0
L*
B
B′
L
121
Şekil 3.8b. Üretim Kısıtı Altında Maliyetin
Minimizasyonu: İçbükey Eşürün Eğrisi
d 2 K −1
2
2
⎡
⎤
Q
Q
2
Q
Q
Q
Q
Q
=
−
+
KL K L
LL K ⎦ < 0
2
3 ⎣ KK L
dL
QL
K
A
A′
QL w
=
QK
r
D
Q
K*
E
Q
Q0
0
*
L
B
B′
L
122
İkinci Sıra Koşullar:
Minimum maliyetin garanti edilebilmesi için, H < 0
sağlanma-
lıdır:
H =
0
QK
QK
−µQKK
QL
−µQKL
QL
−µQLK
−µQLL
= µ ⎡⎣Q QKK − 2QKLQK QL + Q QLL ⎤⎦ < 0
2
L
2
K
2
2
⎡
µ > 0 , ⎣QLQKK − 2QKLQK QL + QK QLL ⎤⎦ < 0
123
Eşürün eğrisinin eğimini inceleyelim:
d K −1
2
2
⎡
⎤
Q
Q
2
Q
Q
Q
Q
Q
=
−
+
KL K L
LL K ⎦ > 0
2
3 ⎣ KK L
dL
QL
2
Bu sonuç, denge noktasında eşürün eğrisinin kesin dışbükey
olacağını söylemektedir. Ancak ve ancak, birinci ve burada elde
ettiğimiz ikinci sıra koşullar sağlandığında, belirli üretim kısıtı
altında
toplam
maliyeti
minimize
eden
üretim
düzeyini
belirleyebiliriz (Şekil 3.8a). Şekil 3.8b durumunda ise, birinci
sıra koşul sağlanmakla birlikte, ikinci sıra koşul yerine getirilememektedir.
124
Bu modelde,
etkilerine,
Q0
‘daki değişmelerin üretici dengesi üzerine
karşılaştırmalı
durağanlık
analizleriyle
bakalım.
Üretim kısıtındaki her değişme, üreticinin yeni bir denge
noktasına
geçmesine
neden
olacaktır.
Bu
noktaları
birleştirirsek, üretim genişleme çizgisini
izgisi elde ederiz.
Eşürün
eğrisinin
kesin
dışbükey
olduğunu
kabul
ederek,genişleme çizgisini birinci sıra koşullardan hareketle
elde
ederiz.
Cobb-Douglas
ile
bunu
görelim.
koşulundan, denge tanımını elde etmiştik:
Birinci
sıra
α
125
β−1
w QL Aβ K L
βK
=
=
=
α−1 β
αL
r QK AαK L
α
ve
β
ile girdi fiyatları sabitken, bu oranı yeniden şöyle
yazabiliriz:
K
αw
=
*
L
βr
*
α ve β
Üretim Genişleme Çizgisi
ile Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda
α ve β toplamının
bire eşit, büyük ya da küçük olmasından bağımsız olarak üretim
genişleme çizgisi Şekil 3.9b’deki gibi her zaman doğrusaldır.
Genel olarak, her hangi bir türdeş üretim fonksiyonu, doğrusal
üretim genişleme çizgisine yol açar.
126
Şekil 3.9. Üretim Genişleme Çizgisi
K
K
Üretim Genişleme Çizgisi
Üretim Genişleme Çizgisi
e
•3
• e2
• e1
•
e3
•e
•e
2
1
0
L
(a)
0
L
(b)
127
α
ve
β
α
ile Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda
ve
β
toplamının bire eşit, büyük ya da küçük olmasından bağımsız
olarak üretim genişleme çizgisi Şekil 15b’deki gibi her zaman
doğrusaldır.
Genel
olarak,
her
hangi
bir
türdeş
üretim
fonksiyonu, doğrusal üretim genişleme çizgisine yol açar.
Çünkü eğer üretim fonksiyonu
QL, K
ve
L
r
derecesinden türdeş ise,
QK ve
girdilerine göre (r−1) derecesinden türdeştir. Bu
durumda her bir girdi
artacağından,
j
kat arttığında,
QK
ve
QL
de
QK /QL oranında hiçbir değişme olmaz.
j(r−1)
kat
128
Homotetik Fonksiyonlar
Yukarıda
genel
olarak,
homojen
üretim
fonksiyonlarının
doğrusal bir genişleme çizgisine yol açtığını gördük. Homotetik
fonksiyonlar da aynı özelliğe sahiptir. Bir homotetik fonksiyon,
aynı zamanda türdeş olmayı içerir. Ancak bunun tersi doğru
değildir.
Q(K,L), r.
derecen homojen bir fonksiyon ise, bir
homotetik fonksiyonu şöyle yazabiliriz:
H ( Q ) = h ⎡⎣Q ( K , L ) ⎤⎦ , h′ ( Q ) ≠ 0
129
H
homotetik fonksiyonu,
türetilmesine rağmen,
Buna karşın
H’nin
Bunun nedeni,
H
K
h
ve
gibi homojen bir fonksiyondan
L’ye
göre homojen olmayabilir.
genişleme çizgisi,
eşürün eğrisinin,
h’ninki
Q
gibi doğrusaldır.
eşürün eğrisiyle aynı
eğime sahip olmasıdır.
h′ ( Q ) QL
HL
QL
−
=−
=−
HK
h′ ( Q ) QK
QK
130
Şekil 3.10. Homotetik Üretim Fonksiyonu
0e 2
≡ j
0e1
K
Üretim Genişleme Çizgisi
•e
jK 0
K0
0
2
•e
Q0
1
L0
Q0
jL0
L
131
Örnek 8:
H (Q ) = Q
2
α
Hem Q hem de
homojen
β
, Q = AK L
h′ ( Q ) = 2Q > 0
(
H ( Q ) = AK L
α
β
)
2
2α
2α
2β
=A K L
2
2β− 1
HL
βK
2β A K L
−
=−
=−
2
2 α− 1 2β
HK
αL
2αA K
L
2
Doğrusal
Genişleme
Patikası
H
132
Örnek 9:
H ( Q ) = e , Q = AK L
α
Q
β
Q homojen, H ise
homojen değil
Q
′
h (Q) = e > 0
H (Q) = e
AK α Lβ
α
β− 1 AK α Lβ
HL
β AK L e
βK
−
=−
α β = −
α− 1 β AK L
HK
αL
αAK L e
Doğrusal
Genişleme
Patikası
133
CES Üretim Fonksiyonu
CES (Constant Elasticity of Substitution, Sabit İkame Esnekliği)
üretim fonksiyonu şöyledir:
−ρ
−ρ
⎡
Q = A ⎣ δK + (1 − δ ) L ⎤⎦
−
1
ρ
, A > 0 , 0 < δ < 1 , −1< ρ ≠ 0
Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, CES üretim fonksiyonunun
(ρÆ0 iken) özel bir biçimidir. Bunu daha sonra göreceğiz.
CES’deki bir çok parametre ve değişken, Cobb-Douglas’daki
gibidir.
A,
etkenlik parametresidir (teknoloji endeksi);
üretimin girdiler arasındaki dağılımını;
esnekliğinin derecesini belirler.
ρ
δ,
parametresi, ikame
134
İlk olarak CES’in türdeşliğini inceleyelim:
= A ⎡⎣ δ( jK )−ρ + (1 − δ )( jL)−ρ ⎤⎦
= jA ⎡⎣ δK
−ρ
+ (1 − δ ) L ⎤⎦
−ρ
−
1
ρ
−
1
ρ
= jQ
Bu sonuca göre CES, birinci dereceden (doğrusal) türdeştir.
Yani ölçeğe göre sabit getiriye sahiptir. Ortalama ve marjinal
fizik ürünler sıfırıncı dereceden türdeştir, Euler teoremini sağlar
ve kesin içbükeyimsidir (kayıtsızlık eğrileri kesin dışbükeydir).
Bu son özelliği görelim. Bunun için aşağıda sırasıyla işgücü ve
sermaye için marjinal fizik ürünleri belirleyelim.
135
1
−
−1
⎛ 1⎞
∂Q
−ρ
−ρ
ρ
QL =
(1 − δ )( −ρ ) L−ρ−1
= A ⎜ − ⎟ ⎡⎣ δK + (1 − δ ) L ⎤⎦
∂L
⎝ ρ⎠
= (1 − δ ) A ⎡⎣ δK −ρ + (1 − δ ) L−ρ ⎤⎦
1+ρ
A
= (1 − δ ) ρ
A
(1 − δ ) ⎛ Q ⎞
=
⎜
⎟
ρ
A ⎝ L⎠
∂Q
δ ⎛Q⎞
QK =
= ρ⎜ ⎟
∂K A ⎝ K ⎠
(
−
1+ρ
ρ
L− (1+ρ )
⎡⎣ δK −ρ + (1 − δ ) L−ρ ⎤⎦
1+ρ
>0
1+ρ
>0
)
1
−
1+ρ
ρ
L− (1+ρ )
136
Eşürün eğrisinin eğimi:
QL
dK
=−
=
dL
QK
Şimdi de
d2K/dL2
(1 − δ ) ⎛ Q ⎞
⎜
⎟
ρ
A ⎝ L⎠
δ ⎛Q⎞
⎟
ρ ⎜
A ⎝K⎠
1+ρ
1+ρ
(1 − δ ) ⎛ K ⎞
=−
⎜
⎟
δ ⎝ L⎠
1+ρ
’ye bakalım:
d 2 K d (dK / dL) (1 − δ )(1 + ρ ) K 1+ρ Lρ
=
=
>0
2
2
(1+ρ )
δ
dL
dL
(L )
<0
137
İkame esnekliği, göreli faktör fiyatlarındaki yüzde değişimin,
sermaye ve işgücü ikamesinde yüzde olarak nasıl bir değişme
olabileceğini, bir başka ifadeyle veri faktör fiyatlarında
K
ve
L
’nin birbirini ne ölçüde ikame ettiklerini gösterir. Bunu CES için
görelim:
d ( K L) d ( K L)
d (w r )
( K L)
σ=
=
d (w r )
( K L)
(w r )
(w r )
Genel olarak ikame esnekliği
138
Optimal girdi bileşimi sağlandığında, şu denge koşulunun
geçerli olacağından hareket edelim:
QL w (1 − δ ) ⎛ K ⎞
= =
⎜
⎟
QK
r
δ ⎝ L⎠
1+ρ
Buradan optimal girdi oranını yazabiliriz:
K
⎛ (1 − δ ) ⎞
=⎜
⎟
*
L ⎝ δ ⎠
*
1
1+ρ
⎛w⎞
⎜r⎟
⎝ ⎠
1
1+ρ
139
Her iki yanın önce logaritmasını, sonra da (w/r)’ye göre türevini
alırsak, ikame esnekliğini elde ederiz.
*
*
*
*
*
*
d ln( K L ) d ( K L ) ( K L )
1
σ=
=
=
d ln( w r )
d (w r ) (w r )
1+ ρ
140
Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, CES üretim fonksiyonunun
(ρÆ0 iken) özel bir biçimidir. Aşağıdaki işlemleri yaparak, bunu
görelim:
Q = A ⎡⎣ δK −ρ + (1 − δ ) L−ρ ⎤⎦
−
1
ρ
1
−
⎛
⎞ 0
−ρ
−ρ
ρ
lim ( Q ) = lim ⎜ A ⎡⎣ δK + (1 − δ ) L ⎤⎦ ⎟ =
ρ→ 0
ρ→ 0
⎝
⎠ 0
Belirsizliğini
ortadan
kaldırmak
için,
her
iki
logaritmasını alıp, L’Hopital kuralını kullanalım.
yanın
doğal
ln ⎡⎣ δK
Q
ln = −
A
−ρ
141
+ (1 − δ ) L ⎤⎦
ρ
−ρ
(
⎛ d − ln ⎡ δK −ρ + (1 − δ ) L−ρ ⎤
⎣
⎦
⎜
⎜
dρ
⎛ Q⎞
lim ⎜ ln ⎟ = lim ⎜
ρ→ 0
dρ
⎝ A ⎠ ρ→ 0 ⎜
dρ
⎜
⎝
) ⎟⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
L’Hopital
kuralı
uygulandı.
⎛ Q⎞
⎛ δ ln K + (1 − δ ) ln L ⎞
δ 1−δ
lim ⎜ ln ⎟ = lim ⎜
= ln ( K L )
⎟
ρ→ 0
1
⎝ A ⎠ ρ→ 0 ⎝
⎠
1
−
⎛
⎞
−ρ
−ρ
ρ
lim Q = lim ⎜ A ⎡⎣ δK + (1 − δ ) L ⎤⎦ ⎟ = AK δ L1−δ
ρ→ 0
ρ→ 0
⎝
⎠