Matematiksel İktisat II Ders Notları

ÜSTEL VE
LOGARİTMİK
FONKSİYONLAR
2
Şekil 5.1a Üstel Fonksiyonlar
y
10
y = f ( t ) = bt , b > 1
8
6
4
2
-3
-2
-1
•
1
2
3
t
3
Şekil 5.1b Üstel Fonksiyonlar
y
y = f ( t ) = 22 t
50
40
30
y = f ( t ) = 2t
20
10
-2
-1
1
2
3
4
t
4
Şekil 5.1c Üstel Fonksiyonlar
y
8
y = f ( t ) = 2 ( 2t )
6
4
y = f ( t ) = 2t
2
-2
-1
1
2
t
5
y = f (t) = b
t
, b>1
y = f (t) = b > 0
t
ln y = ( ln b ) t
( dy y )
dt
→
,
−∞< t < ∞
d
( ln y ) = ln b
dt
= ln b
dy
t
′
= f ( t ) = ( ln b ) b > 0 , − ∞ < t < ∞
dt
6
d2 y
2 t
= f ′′ ( t ) = ( ln b ) b > 0
2
dt
lim ( b
t →∞
t
)=∞
,
lim ( b
t →−∞
t
,
)=0
−∞< t < ∞
y = f ( t ) = ab
7
ct
, b>1
ct
′
f ( t ) = ac ( ln b ) b
a>0,c>0
→
f ′(t) > 0
a>0,c<0
→
f ′(t) < 0
a<0,c>0
→
f ′(t) < 0
a<0,c<0
→
f ′(t) > 0
8
ct
′′
f ( t ) = ac ( ln b ) b
2
2
a>0
→
f ′′ ( t ) > 0
a<0
→
f ′′ ( t ) < 0
9
Şekil 5.2a Üstel Fonksiyonlar
y
y
t
0
y = f ( t ) = ab
a>0, c>0
ct
t
0
y = f ( t ) = ab
a>0, c<0
ct
10
Şekil 5.2b Üstel Fonksiyonlar
y
0
y = f ( t ) = ab
a<0, c<0
t
ct
y
0
y = f ( t ) = ab
a<0, c>0
t
ct
e Tabanı ya da Doğal Üstel Fonksiyonlar
y=e
f (t)
y = f (t) = e
t
y = f ( t ) = Ae
rt
y = f ( t ) = 2te
t2
→
dy
f (t)
′
= f (t)e
dt
→
dy
= et
dt
→
dy
= Are rt
dt
→
dy
t2
t2
t2
= 2e + 2t 2te = 2e ( 1 + 2t 2 )
dt
(
)
11
12
Şekil 5.3. Üstel Fonksiyonlar
30
y = et
25
20
15
10
5
-3
-2
-1
1
2
3
13
Doğal Üstel Fonksiyonlar ve Büyüme
1⎞
⎛
f (m) = ⎜1+ ⎟
m⎠
⎝
f ( 1) = ( 1 +
1 1
1
)
f ( 3) = (1 +
1
3
)
f ( 100 ) = ( 1 +
3
m
= 2 , f ( 2) = (1 +
)
1 2
2
= 2.25
= 2.37037 , f ( 4 ) = ( 1 +
1
100
)
100
= 2.70481 .....
m
1⎞
⎛
e = lim f ( m ) = lim ⎜ 1 + ⎟ 2.71828
m →∞
m →∞
m⎠
⎝
)
1 4
4
= 2.44141 .....
y=e
x
14
fonksiyonunun Maclaurin serisini bulalım. Bu açılım, e
sayısının asimptotik değerini verecektir.
y = f ( x) = e
x
x
′
f ( x) = e
→
f ′ ( 0) = 1
x
′′
f ( x) = e
→
f ′′ ( 0 ) = 1
f ′′′ ( x ) = e
→
f ′′′ ( 0 ) = 1
x
.............
f
( n)
( x) = e
...........
x
→
f
( n)
( 0) = 1
15
f ( x) =
f ( 0)
0!
+
f ′ ( 0)
1!
x+
f ′′ ( 0 )
2!
x +
2
f ′′′ ( 0 )
3!
1 2 1 2 1 2
1 2
e = 1+ x + x + x +
x +
x + .....
2
6
24
120
x
x = 1 için;
1 1 1
1
e = 1+1+ + +
+
+ .....
2 6 24 120
e 2.7182819
x + ..... +
3
f
( n)
( 0)
n!
xn
16
Kesikli Büyümeden Sürekli Büyümeye Geçiş
Süreksiz bir büyüme süreci şöyledir:
1. Yıl: A1 = A0 + rA0 = A0 ( 1 + r )
2. Yıl: A2 = A1 + rA1 = A0 ( 1 + r ) + rA0 ( 1 + r ) = A0 ( 1 + r )
3. Yıl: A3 = A2 + rA2 = A0 ( 1 + r )
3
....................................................
t. Yıl: At = At − 1 + rAt −1 = A0 ( 1 + r )
t
2
17
Yıldan yıla gelişen bu kesikli faiz sürecini, bir yılın altındaki
zaman dilimlerini de (günlük, aylık, üç aylık gibi) kapsayacak
şekilde genelleştirelim. Bir yılda tekrarlanan vade sayısına m
diyelim.
1. Dönem: A1 = A0 +
r
m
A0 = A0 ( 1 +
r
m
)
2. Dönem: A2 = A1 +
r
m
A1 = A0 ( 1 +
r
m
) + rA ( 1 + ) = A ( 1 + )
3. Dönem: A3 = A2 +
r
m
A2 = A0 ( 1 +
r 3
m
0
)
....................................................
m. Dönem: Am = Am −1 +
r
m
Am − 1 = A0 ( 1 +
)
r m
m
r
m
0
r 2
m
18
Bir yılda tekrarlanan vade ve yıllık birikimi birlikte yazalım:
A = A0 ( 1 +
)
r mt
m
Bu ifade, bir yıl içerisinde m kadar tekrarlanan ve t yıl süren bir
bileşik faiz sürecinin sonunda birikecek olan toplam geliri
göstermektedir. Süreç zaman dilimleri arasında sıçramalarla
ilerlediğinden, kesiklidir. Ancak iktisat biliminde bu kesikli
süreçlerin
yanında,
birikimin
(büyümenin)
sürekli
biçimde
gerçekleştiği durumlar da vardır. Bu nedenle, yukarıdaki kesikli
bileşik birikim sürecini, sürekli biçime dönüştürelim.
19
r ⎞
⎛
V ( m) = A⎜1 + ⎟
m⎠
⎝
m
w=
r
mt
⎡⎛
1 ⎞ ⎤
= A ⎢⎜ 1 +
⎟ ⎥
m r⎠ ⎥
⎢⎝
⎣
⎦
m
r
rt
⎡⎛
1⎞ ⎤
V ( m ) = A ⎢⎜ 1 + ⎟ ⎥
w ⎠ ⎥⎦
⎢⎣⎝
w
→
rt
⎡⎛
1⎞ ⎤
lim V ( m ) = lim A ⎢⎜ 1 + ⎟ ⎥ = Ae rt
w →∞
w →∞
w ⎠ ⎥⎦
⎢⎣⎝
w
V ( m ) = Ae rt
rt
20
Kesikli ve Sürekli Büyümede Bugünkü Değer
V ( t ) = A0 ( 1 + r )
t
r ⎞
⎛
V ( m ) = A0 ⎜ 1 + ⎟
m⎠
⎝
V ( m ) = A0 e rt
→
mt
A0 = V ( t )( 1 + r )
−t
→
r ⎞
⎛
A0 = V ( t ) ⎜ 1 + ⎟
m⎠
⎝
→
A0 = V ( t ) e − rt
− mt
21
e sayısı ve Anlık Büyüme Hızı
Vt = A0 e
rt
dVt
rt
= rA0 e = rVt
dt
d ln Vt dVt Vt dVt 1 Vt
=
=
=
=r
dt
dt
dt Vt Vt
22
Logaritma
Üstel ve logaritmik fonksiyonlar monotonik olduklarından tersi
alınabilir ve birbirlerinin tersi olan fonksiyonlardır.
y=b
t
⇔
t = log b y
y=e
t
⇔
t = log e y = ln y
23
Şekil 5.4. Doğal Üstel ve Doğal
Logaritmik Fonksiyonlar
y = et
y
t = ln y
1•
0
•1
t
24
Temel Logaritma Kuralları
1. Bir Çarpımın Logaritması:
ln ( uv ) = ln u + ln v ,
u, v > 0
İspat:
uv = e
u =e
*
ln ( uv )
ln u
uv =e
* *
,
ln u ln v
e
v =e
*
=e
ln v
ln u + ln v
→ ln ( u v
* *
) = ln u + ln v
25
2. Bir Bölümün Logaritması:
⎛ u⎞
ln ⎜ ⎟ = ln u − ln v ,
⎝v⎠
u, v > 0
İspat:
u
=e
v
⎛ u⎞
ln ⎜ ⎟
⎝v⎠
,
u =e
*
u* e ln u
ln u − ln v
= ln v = e
*
v
e
ln u
→
,
v =e
*
ln v
⎛ u* ⎞
ln ⎜ * ⎟ = ln u − ln v
⎝v ⎠
26
3. Bir Kuvvetin Logaritması:
ln ua = a ln u ,
u>0
İspat:
u = (e
a
ln u
)
a
=e
a ln u
→
ln u = a ln u
a
4. Logaritma Tabanının Değiştirilmesi
log b u = ( log b e )( log e u )
İspat:
u = ep
→
p = log e u
log b u = log b e p = p log b e = log e u log b e
27
28
5. Logaritma Tabanının Tersi
1
log b e =
log e b
İspat:
u=b
→
log b b = ( log b e )( log e b )
N 1
1 = ( log b e )( log e b )
1
→
1
log b e =
log e b
1. Logaritmik Fonksiyon Türev Kuralı
y = ln t
→
y = ln f ( t )
y = ln u
dy d
1
= ( ln t ) =
dt dt
t
→
dy f ′ ( t )
=
dt
f (t)
,
u = f (t)
→
du
= f ′(t)
dt
d ( ln u ) du 1 du f ′ ( t )
dy d
= ( ln f ( t ) ) =
=
=
dt dt
du dt u dt
f (t)
29
2. Doğal Üstel Fonksiyon Türev Kuralı
y=e
t
y=e
f (t)
y=e
u
→
→
,
30
dy d t
t
= (e ) = e
dt dt
u = f (t)
(
→
dy d f ( t )
=
e
dt dt
dy
f (t)
′
= f (t)e
dt
)
du
= f ′(t)
dt
d ( e u ) du
f (t)
u
′
′
=
= e f (t) = f (t)e
du dt
31
Örnek 1:
y=e
rt
→
dy
rt
= re
dt
→
dy
= −e − t
dt
Örnek 2:
y=e
−t
Örnek 3:
y = ln ( at )
→
dy a 1
=
=
dt at t
32
Örnek 4:
y = a ln t
→
dy
1
=a
dt
t
→
dy
2
2
3 1
= 3t ln t + 2t = t 2 3 ln t 2 + 2
dt
t
Örnek 5:
y = t ln t
3
2
(
Örnek 6:
y = log b t
→
ln t
y=
ln b
→
dy
1 1
=
dt ln b t
)
33
Örnek 7:
y=b
f (t)
→
ln y = f ( t ) ln b
dy y
= f ′ ( t ) ln b
dt
→
→
d ln y
= f ′ ( t ) ln b
dt
dy
f (t)
′
= yf ( t ) ln b = b f ′ ( t ) ln b
dt
Örnek 8:
y = log b f ( t )
→
y=
ln f ( t )
ln b
→
dy
1 f ′(t)
=
dt ln b f ( t )
34
Örnek 9:
y = 12
t −1
→
dy y
= ln12
dt
ln y = ( t − 1) ln12
→
dy
= 12t − 1 ln12
dt
→
d ln y
= ln12
dt
35
Örnek 10:
⎛ t2 ⎞
y = t log b ⎜
⎟
⎝ 1+ t ⎠
→
1
y=t
ln t 2 − ln ( 1 + t )
ln b
(
⎛ t2 ⎞
ln ⎜
⎟
1+ t ⎠
⎝
y=t
ln b
)
dy
1
1 ⎛ 2t
1 ⎞
2
=
−
ln t − ln ( 1 + t ) + t
⎜
2
dt ln b
ln b ⎝ t
1 + t ⎠⎟
(
)
2
⎡
⎤
⎛
dy
t ⎞
t
1
=
+ 2⎥
⎢ ln ⎜
⎟−
dt ln b ⎣ ⎝ 1 + t ⎠ 1 + t
⎦
Örnek 11:
x2
y=
( x + 3 )( 2 x + 1)
ln y = ln x 2 − ln ( x + 3 ) − ln ( 2 x + 1)
1
2
d ln y 2 x
= 2 −
−
dt
x
( x + 3 ) ( 2 x + 1)
⎛ 2x
⎞
1
2
dy
x2
=
−
⎜⎜ 2 −
⎟⎟
dt ( x + 3 )( 2 x + 1) ⎝ x
( x + 3 ) ( 2 x + 1) ⎠
36
37
Optimal Zamanlama: Şarap Depolama Problemi
Şarabın değeri verilmiş olsun:
Vt = Ke
t
Şarap üreticisi t=0 anında şarabı satarsa (yani depolama
yapmadan doğruca üretimden satışa giderse), şarabın değeri:
t=0
→
V0 = Ke
0
→
V0 = K
Yani K, şarabın üretildiği andaki değeridir. Üretici, kârını
maksimize edebilmek için şarabı ne kadar süre depolamalıdır?
Bir başka ifadeyle, optimal şarap depolama süresi nedir
(depolamanın maliyetsiz olduğunu varsayıyoruz)?
Şarabın,
mahzende
depolandıktan
sonra
38
satılması halinde
kazanılacak gelirin bugünkü değerini, piyasada geçerli olan faiz
oranından indirgeme yaparak belirleriz:
At = Vt e
− rt
Buna göre, V ’nin bugünkü değeri:
At = Vt e
At = Ke
− rt
= Ke e
t − rt
t
− rt
39
Amaç, V ’nin bugünkü değerini (At) maksimize etmektir. Bunun
için optimizasyonda gerekli ve yeterli olan birinci ve ikinci sıra
koşullardan yararlanırız.
Birinci Sıra Koşul:
dA
=0
dt
2
İkinci Sıra Koşul:
d A
<0
2
dt
40
At = Ke
t − rt
1
2
ln A = ln K + t − rt
dA A
1
= 1 −r
dt
2t 2
1
2t
1
2
−r =0
→
→
→
d ln A
1
= 1 −r
dt
2t 2
(
dA
= Ke
dt
1
*
t = 2
4r
t − rt
)
⎛ 1
⎞
⎜ 12 − r ⎟ = 0
⎝ 2t
⎠
Optimal
Depolama
Süresi
41
Görüldüğü gibi, bekleme (depolama) süresi (t) ile piyasa faiz
oranı (r) arasında ters yönlü bir ilişki vardır. Piyasa faiz oranı
artarsa, şarabın değerlenme süresi de giderek kısalır:
1
t = 2
4r
*
→
dt
1
=− 3 <0
dr
2r
42
Şimdi ikinci sıra koşulu inceleyelim:
2
(
d A d ⎡
Ke
=
2
dt
dt ⎣
⎡
2
d
d A
⎣
=A
2
dt
(
1
2
t − rt
)(
1
2
t
− 12
)
d ⎡
⎤
A
−r =
⎦ dt ⎣
)
− r ⎤ dA
⎦+
dt
dt
N
t
− 12
(
1
2
t
− 12
−r
(
1
2
t
− 12
)
−r ⎤
⎦
)
0
⎡
2
d
d A
⎣
=A
2
dt
(
1
2
)
−r ⎤
⎦ = A − 1 t − 32 = − A < 0
4
3
dt
4 t
t
− 12
(
)
GSMH ’de Büyümenin Belirlenmesi
43
Türkiye GSMH ’si belirli bir dönem için yıllık ve üçer aylık
olarak aşağıda verilmiştir. Her iki zaman dilimindeki ardışık ve
ortalama büyüme oranlarını bulalım.
Yıllar
GSMH (1987=100)
(Milyar TL)
1950
10827
1951
12205
1952
13667
1953
15214
Genel olarak (yıllık) büyüme oranının belirlenmesi:
∆Yt Yt − Yt −1
gt =
=
Yt −1
Yt −1
Örneğin 1951 yılındaki büyüme oranını bulalım:
g1951
∆Y1951 Y1951 − Y1950 12205 − 10827
=
=
=
Y1950
Y1950
10827
g1951 = 0.1129 = %11.29
44
Belirli bir dönemdeki ortalama büyüme hızının belirlenmesi:
Yt = Y0 e gt
→
ln Yt = ln Y0 + gt
ln Yt − ln Y0
g=
t
Y0 ’dan Yt ’ye geçen süre 1 yıl ise (∆t=1) büyüme oranı:
g = ln Yt − ln Yt −1
45
46
Diğer yıllara ilişkin büyüme oranları da aşağıdaki tabloda
hesaplanmıştır:
Yıllar
GSMH (1987=100)
(Milyar TL)
Büyüme
Oranları (%)
Ortalama Büyüme
Oranları (%)
1950
10827
1951
12205
11.29
11.98
1952
13667
10.70
11.31
1953
15214
10.17
10.72
47
Şekil 5.5. Türkiye’nin GSMH Gelişimi
1400.0
1200.0
0.0434x
y = 41.013e
2
R = 0.9856
1000.0
800.0
600.0
400.0
200.0
2001
1998
1995
1992
1989
1986
1983
1980
1977
1974
1971
1968
1965
1962
1959
1956
1953
1950
1947
1944
1941
1938
1935
1932
1929
1926
1923
0.0
48
Tablo 5.2. Türkiye’nin Üçer Aylık GSMH Gelişimi
Üçer Aylık Dönemler
GSMH (1987=100)
(Milyar TL)
1980.1
9060548
1980.2
10804801
1980.3
17808035
1980.4
12622606
1981.1
9687466
1981.2
11563892
1981.3
18249736
1981.4
13227577
Genel olarak (üçer aylık) büyüme oranının belirlenmesi:
49
∆Yt . i Yt . i − Yt −1. i
, i = 1, 2, 3, 4
gt . i =
=
Yt −1. i
Yt −1. i
Örneğin 1981 yılının ikinci üç aylık dönemindeki büyüme
oranını bulalım:
g1981.2
∆Y1981.2 Y1981.2 − Y1980.2 11563892 − 10804801
=
=
=
Y1980.2
Y1980.2
10804801
g1981.2 = 0.0703 = %7.03
50
Diğer dönemlere ilişkin büyüme oranları da aşağıdaki tabloda
hesaplanmıştır:
Üçer Aylık Dönemler
GSMH (1987=100)
(Milyar TL)
Büyüme Oranları
(%)
1980.1
9060548
1980.2
10804801
1980.3
17808035
1980.4
12622606
1981.1
9687466
6.69
1981.2
11563892
7.03
1981.3
18249736
2.48
1981.4
13227577
4.79
51
Şekil 5.5. Türkiye’nin GSMH Gelişimi
(1987.1-2002.4)
40000
35000
Mevsimsellik içeren
GSYİH serisi
30000
25000
20000
X-12 yöntemiyle
mevsimsellikten arındırılmış
GSYİH serisi
15000
2002Q4
2002Q1
2001Q2
2000Q3
1999Q4
1999Q1
1998Q2
1997Q3
1996Q4
1996Q1
1995Q2
1994Q3
1993Q4
1993Q1
1992Q2
1991Q3
1990Q4
1990Q1
1989Q2
1988Q3
1987Q4
1987Q1
10000
Fonksiyonların Bileşimlerinin Büyüme Hızı
1.Çarpım Biçimindeki Fonksiyonlarda
y = uv
,
u = f (t)
ln y = ln ( uv )
→
→
v = g(t)
ln y = ln u + ln v
d ln y d ln u d ln v
=
+
dt
dt
dt
y u v
= +
y u v
,
→
ry = ru + rv
dy y du u dv v
=
+
dt
dt
dt
52
53
2.Bölüm Biçimindeki Fonksiyonlarda
u
y=
v
,
u = f (t)
⎛ u⎞
ln y = ln ⎜ ⎟
⎝v⎠
→
→
v = g (t)
ln y = ln u − ln v
d ln y d ln u d ln v
=
−
dt
dt
dt
y u v
= −
y u v
,
→
ry = ru − rv
dy y du u dv v
=
−
dt
dt
dt
3.Toplam ya da Fark Biçimindeki Fonksiyonlarda
y = u+v
,
u = f (t)
ln y = ln ( u + v )
ry =
ry =
→
,
v = g (t)
d ln y d ln ( u + v )
=
dt
dt
d (u + v) (u + v)
dt
d ( f ( t ) + g ( t ))
( f ( t ) + g ( t ))
dt
1
⎡⎣ f ′ ( t ) + g ′ ( t ) ⎤⎦
ry =
f (t) + g (t)
54
ru =
rv =
f ′(t)
f (t)
g′ ( t )
g (t)
55
→
→
f ′ ( t ) = f ( t ) ru
g ′ ( t ) = g ( t ) rv
1
⎡⎣ f ( t ) ru + g ( t ) rv ⎤⎦
ry =
f (t) + g (t)
⎛
⎞
⎛
⎞
f (t)
g(t)
ry = ⎜⎜
⎟⎟ ru + ⎜⎜
⎟⎟ rv
⎝ f (t) + g (t) ⎠
⎝ f (t) + g (t) ⎠
56
Örnek 12:
Bir ekonominin mal ihracatı artış hızı rG=t/3; hizmet ihracatı artış
hızı rS=t/5 olarak kaydedilmiştir. Buna göre, bu ekonominin
toplam ihracatının artış hızı nedir?
X (t) = G (t) + S (t)
G
S
rx = rG + rS
X
X
→
G
rx =
X
⎛ t ⎞ S ⎛ t ⎞ 5G + 3 S
⎜ 3 ⎟ + X ⎜ 5 ⎟ = 15 X t
⎝ ⎠
⎝ ⎠
57
Örnek 13:
Bir ekonominin GSYİH büyüme oranı %2.5; nüfus artış hızı da
%1.4 ise, kişi başına GSYİH artış hızı nedir?
Y
y=
N
→
ln y = ln Y − ln N
d ln y d ln Y d ln N
=
−
dt
dt
dt
y
= 0.025 − 0.014 = 0.011
y
58
Örnek 14:
Bir
firmanın
sattığı
malın
fiyatı
2003
yılı
içinde
%5
değerlenmiş ve satış miktarı da %3 artmıştır. Buna göre,
firmanın toplam hasılat artışı nedir?
R = PQ
→
ln R = ln P + ln Q
d ln R d ln P d ln Q
=
+
dt
dt
dt
R P Q
= + = 0.05 + 0.03 = 0.08 = %8
R P Q
59
Örnek 15:
Bankaya iki yıllık süre için yılda %10 bileşik faizle yatırılmış
olan 1000 TL’nin sağlayacağı toplam getiri nedir?
A0 = 1000 TL ,
V = A0 ( 1 + r )
V = 1210
t
r = %10 = 0.1 ,
→
t=2
V = 1000 ( 1 + 0.1)
2
60
Örnek 16:
Örnek 15’teki vade süresi 6 ay olsa toplam getiri ne olurdu?
A0 = 1000 TL ,
r ⎞
⎛
V = A0 ⎜ 1 + ⎟
m⎠
⎝
V = 1215.5
r = %10 = 0.1 ,
mt
→
t=2 ,
0.1 ⎞
⎛
V = 1000 ⎜ 1 +
⎟
2 ⎠
⎝
m = 2 ( 6 ay vade )
( 2 )( 2 )
61
Örnek 17:
Örnek 15’teki vade süresi sıfıra yaklaşırsa, yani bir yıl içindeki
vade tekrarı sonsuza giderse toplam getiri ne olurdu?
A0 = 1000 TL ,
Vt = A0 e
rt
V = 1221.4
→
r = %10 = 0.1 ,
V =e
( 0.1)( 2 )
t=2 ,
m→∞
62
Örnek 18:
Örnek 15, 16 ve 17’de değişik vadelere bağlı olarak birikimli
faiz işleme sürecini inceledik. Faiz sürecinin sonunda elde
edilen toplam getiri, vadeye bağlı olarak değişmektedir. Buna
göre, yıllık efektif faiz oranı nedir?
Efektif faiz
oranı,
tüm
uygulamalardaki
eşitleyen faiz oranıdır.
A0 ( 1 + re )
t
r ⎞
⎛
= A0 ⎜ 1 + ⎟
m⎠
⎝
mt
toplam
getirileri
63
A0 ( 1 + re )
t
r ⎞
⎛
= A0 ⎜ 1 + ⎟
m⎠
⎝
m
mt
→
m
⎡⎛
⎤
r ⎞
lim re = lim ⎢⎜ 1 + ⎟ − 1⎥ = e i − 1
m →∞
m →∞
m⎠
⎢⎣⎝
⎥⎦
m
r ⎞
⎛
re = ⎜ 1 + ⎟ − 1
m⎠
⎝
re = e i − 1
→
r ⎞
⎛
re = ⎜ 1 + ⎟ − 1
m⎠
⎝
→
re = e i − 1
2
→
0.1 ⎞
⎛
re = ⎜ 1 +
− 1 = 0.1025 = %10.25
⎟
2 ⎠
⎝
re = e 0.1 − 1 = 0.1052 = %10.52
64
Örnek 19:
5 yıllık (vadeli) bir bononun yıllık %9 faizden sağlayacağı
toplam gelir 1000 TL’dir. Bu bononun bugünkü değeri nedir?
r ⎞
⎛
V = A0 ⎜ 1 + ⎟
m⎠
⎝
V = 1000 ,
mt
r ⎞
⎛
A0 = V ⎜ 1 + ⎟
m⎠
⎝
→
r = %9 = 0.09
0.09 ⎞
⎛
A0 = 1000 ⎜ 1 +
⎟
1 ⎠
⎝
,
t=5
,
− mt
m=1
−5
→
A0 = 649.93 TL.
65
Bir Anuitenin Şimdiki Değeri
Anuite,
Anuite veri bir zaman diliminde, her bir dönem için yapılan
ödemeler dizisine denir.
Aşağıdaki şekilde, n dönem boyunca her dönem R liralık
ödemenin, bugünkü değerleri dönem dönem gösterilmiştir. Her
bir
dönem
için
yapılan
ödemelerin
bugünkü
değerlerinin
toplamını yazalım.
A = R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + ..... + R ( 1 + r )
−1
−2
− ( n − 1)
+ R (1 + r )
−n
66
0
R (1 + r )
−1
R (1 + r )
−2
R (1 + r )
− ( n − 1)
R (1 + r )
−n
1 2 3
R R R
n−1 n
R
R
67
A = R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + ..... + R ( 1 + r )
−1
−2
− ( n − 1)
+ R (1 + r )
−n
Bu, bir geometrik seridir. Terim sayısı n, ilk terimi R(1+r)-1 ve
ortak çarpanı (1+r)-1 ‘dir. Bu toplamı şöyle bulabiliriz:
A = R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + ..... + R ( 1 + r )
−1
−2
− ( n − 1)
− ( 1 + r ) A = − R ( 1 + r ) − R ( 1 + r ) − ..... − R ( 1 + r )
−1
−2
−3
+
(
−n
+ R (1 + r )
− R (1 + r )
)
−1
−1
−1
−n
⎡
⎡
⎤
A 1 − ( 1 + r ) = R ⎢ ( 1 + r ) − ( 1 + r ) ( 1 + r ) ⎤⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
−n
− n −1
68
(
)
−1
−1
−n
⎡
⎡
⎤
A 1 − ( 1 + r ) = R ⎢( 1 + r ) 1 − ( 1 + r ) ⎤⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
(
)
−n
⎛ 1 − (1 + r )− n
A = R⎜
⎜
r
⎝
(
)
−n
⎡ ( 1 + r ) −1 1 − ( 1 + r ) − n ⎤
1 − (1 + r )
⎢⎣
⎥⎦
A= R
=R
−1
−1
⎡1 − ( 1 + r ) ⎤
⎡
1 + r ) 1 − (1 + r ) ⎤
(
⎣
⎦
⎣
⎦
A= R
1 − (1 + r )
(1 + r ) − 1
→
⎞
⎟
⎟
⎠
69
Örnek 20:
Aylık 1000 TL. kazandıran, %6 bileşik faizdeki, 3.5 yıllık bir
anuitenin bugünkü değeri nedir?
0.06
R = 1000 TL. , r =
= 0.005 , n = ( 3.5 )( 12 ) = 42
12
⎛ 1 − (1 + r )− n
A = R⎜
⎜
r
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ 1 − ( 1 + 0.005 ) −42
A = 1000 ⎜
⎜
0.005
⎝
⎞
⎟ = 37798.3 TL.
⎟
⎠
70
Bir Anuitenin Gelecekteki Değeri
Bir anuitenin gelecekteki değeri (miktarı), tüm dönemler
sonunda yapılmış olan ödemelerin toplam değeridir.
Aşağıdaki şekilde Aşağıdaki şekilde, n dönem boyunca her
dönem R liralık ödemenin, gelecekteki değerleri dönem dönem
gösterilmiştir. Her bir dönem için yapılan ödemelerin bugünkü
değerlerinin toplamını yazalım.
V = R + R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) ..... + R ( 1 + r )
2
3
n −1
71
0
1 2 3
R R R
n− 2 n−1 n
R
R
R
R (1 + r )
R (1 + r )
2
R (1 + r )
n −1
72
V = R + R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) ..... + R ( 1 + r )
2
3
n −1
Bu, bir geometrik seridir. Terim sayısı n, ilk terimi R ve ortak
çarpanı (1+r) ‘dir. Bu toplamı şöyle bulabiliriz:
V = R + R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + R ( 1 + r ) + ..... + R ( 1 + r )
2
3
− ( 1 + r ) V = − R ( 1 + r ) − R ( 1 + r ) − ..... − R ( 1 + r )
2
+
n
⎡
V ⎡⎣1 − ( 1 + r ) ⎤⎦ = R 1 − ( 1 + r ) ⎤
⎣
⎦
→
n −1
− R (1 + r )
⎛ (1 + r )n − 1 ⎞
⎟
V = R⎜
⎜
⎟
r
⎝
⎠
n
n −1
73
Örnek 21:
%6 bileşik faiz üzerinden 3 yıl boyunca ve her 3 ayda bir
yapılan 50 TL’lik ödemelere sahip bir anuitenin gelecekteki
değeri nedir?
R = 50 TL.
,
0.06
r=
= 0.015
4
⎛ (1 + r )n − 1 ⎞
⎟
V = R⎜
⎜
⎟
r
⎝
⎠
→
,
n = ( 4 )( 3 ) = 12
⎛ ( 1 + 0.015 )12 − 1 ⎞
⎟ = 652.06 TL.
V = 50 ⎜
⎜
⎟
0.015
⎝
⎠
74
Yatırım Fonu
Yatırım fonu, gelecekteki bir zorunluluktan ötürü, ödemelerin
periyodik biçimde önceden yapılmasıdır. Örneğin 7000 TL’lik
bir makine satın aldığımızı ve 8 yıllık kullanım ömrü olduğunu
varsayalım. 8. yılın sonunda yenisini alabilmek için her dönem
bir kenara ayırmak ayırmamız gereken para, yatırım fonudur.
75
Örnek 22:
Kendisine 6 yıl boyunca her yıl 1000 TL. kazandıracağını
tahmin ettiği bir makineyi satın almak isteyen bir firma,
yatırım fonuna yıllık ödeme yapmaktadır ve bileşik faiz oranı
da
yıllık
%5’tir.
Firmanın
bu
makine
yatırımından
%7
kazanmak istemesi halinde, makineye yapması gereken ödeme
miktarı ne olur?
76
Makinenin satın alınma fiyatına X diyelim. Dolayısıyla bu
makine her yıl firmaya ( 0.07X
) kadar kazandıracaktır.
Makinenin yıllık getirisi 1000 TL. olduğundan, geri kalan
yıllarda firma yatırım fonuna her yıl için (R=1000-0.07X) kadar
ödeme yapacaktır. Bu ödemelerin toplamı, X ’e eşittir.
X = ( 1000 − 0.07 X )
X = 4607.92 TL.
( 1 + 0.05 )
0.05
6
−1
Bir Borcun Ödeme Dönem Sayısının (n) Belirlenmesi
77
Anuite bugünkü değerinin belirlenmesi hesabından hareket
ederek, ödeme dönem dayısını (n) belirleyebiliriz:
⎛ 1 − (1 + r )− n
A = R⎜
⎜
r
⎝
(1 + r )
−n
R − Ar
=
R
⎛ R ⎞
ln ⎜
⎟
R
Ar
−
⎝
⎠
n=
ln ( 1 + r )
⎞
⎟
⎟
⎠
→
→
Ar
−n
= 1 − (1 + r )
R
⎛ R − Ar ⎞
− n ln ( 1 + r ) = ln ⎜
⎟
R
⎝
⎠
78
Örnek 23:
Bir müzik marketten 1500 TL.değerinde bir müzik seti satın
aldınız? Her ay 75 TL. ödeme yapacaksınız. Market bu vadeli
alış verişe yıllık %12 bileşik faiz işletiyorsa, borcunuzun
tamamını kaç ödemede kapatabilirsiniz?
⎛ R ⎞
ln ⎜
⎟
R
Ar
−
⎠
n= ⎝
ln ( 1 + r )
,
0.12
A = 1500 TL. , R = 75 TL. , r =
= 0.01
12
⎛
⎞
75
ln ⎜⎜
⎟⎟
75 − ( 0.01)( 1500 ) ⎠
⎝
n=
ln ( 1 + 0.01)
→
n ≅ 22.4 ay
79
Örnek 24:
Bir A ekonomisinin gelecek yıllarda, yıllık ortalama %5, B
ekonomisinin de %2 büyüyeceğini varsayalım. B ekonomisi, A
ekonomisinden iki kat daha zengin ise, kaç yıl sonra A
ekonomisi B kadar zenginlik düzeyine ulaşır?
A ve B ekonomilerinin t yıl sonraki GSMH’leri:
YAt = YA0 e
gAt
,
YBt = YB 0 e
gB t
80
t
yıl
sonra
her
iki
ekonomi
aynı
zenginlik
düzeyinde
olacağından, t yıl sonraki GSMH ’leri eşitleyelim:
YAt = YBt
→
2YA0 = YB 0 →
ln ( e
0.05 t
YA 0 e
YA 0 e
= YB 0 e
0.05 t
0.02 t
gB t
= 2YA0 e
) = ln 2 + ln ( e )
0.693
t =
≅ 23.1 yıl
0.03
*
gAt
0.02 t
→ e
0.05 t
= 2e
→ 0.05t = 0.693 + 0.02t
0.02 t
81
Örnek 25:
Eksik istihdamdaki bir ekonominin kişi başına GSMH’sinin yıllık
ortalama %1 hızla büyüyeceğini varsayalım. Bu ekonomi kaç
yılda şu anki kişi başına GSMH’sinin iki katına ulaşır?
yt = 2 y0 , g = %1 = 0.01
y t = y0 e
gt
ln 2 = ln ( e
→
0.01 t
)
2 y0 = y0 e
→
0.693 = 0.01t
0.693
t =
= 69.3 ≈ 70 yıl
0.01
*
0.01 t
82
Örnek 26:
Yaşam maliyet endeksi, baz yılı olan 1983’ten beri her yıl
%12.5 artmıştır. Buna göre, 1990’daki yaşam maliyeti endeks
değeri nedir?
C 83 = 100
C 90 = C 83 ( 1 + i )
C 90 = 228.07
t
→
C 90 = 100 ( 1 + 0.125 )
7
83
Örnek 27:
Bir firmanın satışlarının bugünkü değeri 150 TL.’dir. Bu firma
satışlarını her yıl %8 artıracak olursa, 6 yıl sonraki satışlarının
değeri ne olur?
S0 = 150 ,
i = %8 = 0.08 ,
S t = S0 ( 1 + i )
t
S6 = 238.03
→
S6 = ?
S6 = S0 ( 1 + 0.08 )
6
84
Örnek 28:
Bugün 1 ABD Dolarının 1,400,000 TL olduğunu varsayalım.
Dolar, TL karşısında yılda %2.6 oranında değer yitirirse, 25 yıl
sonra 1TL kaç Dolara eşit olur?
D0 = 1, 400, 000 TL ,
Dt = D0 ( 1 − i )
t
D25 ≈ 724, 606 TL.
→
i = %2.6 = 0.026 ,
D25 = ?
D25 = D0 ( 1 − 0.026 )
25
85
Örnek 29:
Gelişmekte olan bir ülke tasarruflarını 5.6 milyar $ ’dan, 12
milyar $ ’a yükseltmek istiyor. Her yıl tasarruflarını %15
oranında artırırsa, kaç yılda bu hedefine ulaşabilir?
S0 = 5.6 ,
g S = %15 = 0.15 ,
S t = S0 ( 1 + g S )
ln S t − ln S0
t=
ln ( 1 + g S )
t
S t = 12 ,
t =?
→ ln S t = ln S0 + t ln ( 1 + g S )
→
ln12 − ln 5.6
t=
ln ( 1 + 0.15 )
→
t = 5.45 yıl
86
Örnek 30:
y = 4x e
3x
fonksiyonunun uçdeğerini araştıralım.
dy
= 4 x ( 3e 3 x ) + 4e 3 x = 4e 3 x ( 3 x + 1) = 0
dx
3x + 1 = 0
→
1
x=−
3
d2 y
3x
3x
3x
e
x
e
e
12
3
1
12
12
=
+
+
=
(
)
( 3 x + 2)
2
dx
1
x = − ' te
3
→
d2 y
= 4.4 > 0
2
dx
1
Buna göre, x = − 'te bir minimum vardır.
3
87
Şekil 5.6.
0.6
y = 4 x e3x
0.4
0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
-0.2
-0.4
88
Veri Nüfus Sayımlarını Dikkate Alarak Ara Yıl ve Gelecekte
Nüfus Tahminleri:
Yıllar
Nüfus Sayımları
(Bin Kişi)
Nüfus Artış
Hızları (%)
1975
40078
1980
44438
2.07
1985
50306
2.48
1990
56098
2.18
2000
67845
1.90
89
N t = N 0 e nt
ln N t = ln N 0 + ln ( e nt )
→
nt = ln N t − ln N 0
→
ln N t − ln N 0
n=
t
Yıllık Ortalama
Nüfus Artış Hızı
90
1975-1980
arasındaki
yıllık
ortalama
nüfus
artış
hızını
hesaplayalım:
N 0 = N 75 = 40078 ,
N t = N 80 = 44438 ,
t=5
ln N t − ln N 0 ln N 80 − ln N 75 ln 44438 − ln 40078
n=
=
=
t
5
5
n = 0.0207 = %2.07
91
Nüfus sayımı yapılmayan bir ara yılın, örneğin 1976 yılının
nüfusunu, yukarıda bulduğumuz 1975-1980 arasındaki yıllık
ortalama nüfus artış hızı değerini kullanarak tahmin edelim:
N 0 = N 75 = 40078 ,
t =1
, n = 2.07
N t = N 76 = ?
N t = N 0e
nt
N 76 ≈ 40914
→
N 76 = 40078e
2.07
92
Şimdi de 2010 yılı nüfusunu, ilk olarak %1.8, ikinci olarak
%1.5 nüfus artış hızlarına göre tahmin edelim.
N 0 = N 2000 = 67845 ,
t = 10
0.018
, n =}
0.015
N t = N 2010 = ?
N t = N 0e
nt
N t = N 0e
nt
→
→
N 2010 = 67845e
10 ( 0.018 )
→
N 2010 ≈ 81225
N 2010 = 67845e
10 ( 0.015 )
→
N 2010 ≈ 78825
93
Büyüme Muhasebesi
Y = F ( K , L)
→
ln Y = ln F ( K , L )
d ln Y ∂ ln Y dK ∂ ln Y dL
Y ( ∂Y Y ) ( ∂Y Y ) =
+
→
=
K+
L
dt
∂K dt
∂L dt
Y
∂K
∂L
Y ( ∂Y Y ) K ( ∂Y Y ) L
K +
L
=
→
Y
K
L
∂K
∂L
Y
K
L
= εYK + εYL
Y
K
L
Y ⎛ ∂Y K ⎞ K ⎛ ∂Y L ⎞ L
=⎜
+⎜
⎟
Y ⎝ ∂K Y ⎠ K ⎝ ∂L Y ⎠⎟ L