forlaget benjamin

I. ULUSAL PARÇACIK HIZLANDIRICILARI ve UYGULAMALARI KONGRESi
25-26 EKiM 2001, TAEK, ANKARA
ATOM ÇEKİRDEKLERİNİN ENERJİ SEVİYELERİNİN
YOĞUNLUĞU
H. AHMEDOV, İ. ZORBA, M. YILMAZ ve B. GÖNÜL
1
Fizik Mühendisliği Bölümü, Gaziantep Üniversitesi, 27310, Gaziantep.
ÖZET
Değişik çekirdeklerde
(α , α ′) , ( p, α ) , (α , p ) ( p, n ), (α , n ), (n, n ′)
ve
(n, γ )
reaksiyonlarının
uygulanması çekirdek spektroskopisinin önemli bir konusu olan enerji seviyelerinin yoğunluğunun tayin
edilmesinde ve sınıflandırılmasında büyük önem taşımaktadır. Aynı zamanda enerji seviyelerinin yoğunluğun
bilinmesi nükleer fizyon ve füzyon reaktör-fiziğinde ve astrofizikte de önem arz etmektedir.
Bugüne kadar genel kabul gören enerji seviyelerinin yoğunluğunu veren Bethe [1]
teorisi çekirdek
içerisindeki nükleonların uyarılmasını tek parçacık Fermi-Gaz modelini temel almaktadır. Daha sonra bu
modele artık etkileşim enerjisi olarak pairing enerji, kabuk yapısı, nükleonların kollektif hareketi vs etkileri
ilave edilmiştir [2]. Bütün bu düzeltmeler doğal olarak teoriye birçok yeni formül ilavesi gerektirmiş ve
sonuçta mevcut modelin daha karmaşık bir hale gelmesine neden oluştur. Bu sebeple daha basit ve fiziksel bir
modele ihtiyaç duyulmaktadır.
Biz bu çalışmada çift-çift nadir temel ve aktinit atom çekirdeklerinin uyarılma enerjisine bağlı olarak enerji
yoğunluklarını hesaplamak için enerji seviyelerinin düzenli aralıklı ve nükleonların kollektif hareketlerini
temel alan bir model sunmaktayız. İncelenen bu elementlerin quadrupole momentleri büyük olup birinci 2+
uyarılma enerjileri saf kollektif rotasyonel karakterlidir.
Geliştirilen model sonuçları mevcut Fermi-Gaz modeli sonuçları ile karşılaştırılmış ve çekirdek uyarılma
enerjisinin nötron bağlanma enerjisi civarındaki değerlerinde çekirdeklerin enerji aralıkları hesaplanmıştır.
Anahtar Kelimeler: Enerji seviyeleri yoğunluğu, kolektif rotasyonel durumlar, çift-çift çekirdekler.
GİRİŞ
Ağır atom çekirdekleri için geliştirilmiş olan
istatistiksel ve termodinamik metotların temeli
Bohr [3] ve Frenkel’e [4] kadar dayanmakta olup,
Bohr’un göreceli kararlılığı temel alan ve hızlı
nötronların ağır atom çekirdekleri ile reaksiyonları
sonucu birleşik çekirdek oluşturmaları savına
dayanmaktadır. Bu durumda ise dar alanda fazla
sayıda atom altı parçacıkların sıkışmaları
nedeniyle
bu parçacıklar arasında enerji
değişimleri daha baskın olmaktadır.
Nötron
buharlaşması olayı ise Frenkel tarafından oluşan
bu birleşik (compound) çekirdeklerden nötron
yayınımı ihtimali hesaplarının yapılabilmesi
amacıyla ortaya konulmuştur. Bethe [1] çekirdek
enerjilerin seviyeleri yoğunluğunu birbirleriyle
etkileşmeyen parçacıkların oluşturduğu Fermi-Gaz
sisteminin ortalama enerjisi ile entropisi arasındaki
termodinamik ilişkileri hesapladı. Daha sonra
Landau [5] ve Weiskopf [6] daha genel
1
termodinamik ilişkileri ele alarak enerji seviyeleri
yoğunluğu hesaplamaları yaptılar.
Bu çalışmalarda [1,5,6] atom çekirdeğinin
uyarılma enerjisi termodinamik sıcaklığın karesi
olarak dikkate alınmış olup Bohr ve Kalckar [7]
tarafından
yapılan
ve
nükleer
uyarılma
enerjilerinin eş aralıklı olduğu savını temel
almaktadır. Sonuçta bütün bu hesaplama metotları
Fermi-Gaz modeli çerçevesinde olup bu
hesaplamalarda dikkate alınmayan ilave etkiler
Hurwitz ve Bethe [8] tarafından modele kapalı
kabuklu çekirdeklere yakın ve temel seviyelerinde
bulunan çift parçacıklı sistemler için çift oluşturma
enerjisine karşılık gelen karakteristik BetheHurwitz parametresi ilave edilerek çözülmeye
çalışılmıştır. Daha sonraları modelde eksiklikleri
hissedilen tek-parçacıklı seviye yoğunluğu
parametresinin proton ve nötron ortalama
spinlerine bağımlılığı [9], bu parametrenin
çekirdeğin uyarılma enerjisine bağımlılığı [10] ve
hatta superiletkenlik türü korelasyon etkisi,
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
nükleer maddenin uyarılmasında rol oynayan
kollektif etkiler [11] modele dahil edilmeye
çalışılmış ve sonuçta da mevcut modelin daha
karmaşık bir hal almasına neden olmuştur.
KOLLEKTİF
UYARILMA
MODLARININ ÖNEMİ
Bohr
çalışmasında
[3]
birleşik
atom
çekirdeklerinin uyarılmalarının
sadece
tek
parçacıklı kuantum uyarılmaları olmayıp aynı
zamanda onların kolektif kuantum hareketlerine de
karşılık olduğunun belirtmiş ve Kalckarla beraber
[8] bunun sonucunda çekirdek içerisinde 8 MeV
gibi yüksek enerjilerde oluşan ortalama enerji
aralıklarının Hardy ve Ramanujan [13] tarafından
ortaya atılmış olan
P (n ) ≅

1
2 
exp π
n
3 
4 3n

(1)
asimptotik
formül
ile
hesaplanabileceğini
vurgulamıştır. Bu çalışmada ortaya atılmış olan
tamamen matamatiksel bir formül olup herhangi
bir uyarılmış enerji seviyesinin (E) birden fazla ve
hemen hemen eş aralıklı olan daha küçük enerji
seviyelerinin ( ε 0 ) toplamlarının kombinezonları
sayısı olarak hesaplanmasında kullanılabilir.
P (E , ε 0 ) ≅

2 E 

exp π

E
ε
3
0 

4 3
ε0
1
(2)
Bu arada, standart Bethe teorisi çekirdek içi
parçacıkların eş-aralıklı tek-parçacık olduklarını
varsaymaktadır. A. Bohr şekilleri bozulmaya
uğramış karakterli atom çekirdekleri için
rotasyonel enerji tayfını veren bir teori geliştirmiş
olup [13] çift-çift çekirdekler için 2+ halini ilk
uyarılma seviyesi olarak almıştır [14 ve oradaki
referanslar].
HESAPLAMA METODU
Saf ve eş aralıklı (tek-parçacık, kollektif
rotasyonel veya kollektif vibrasyonel) bir enerji
tayfını esas alıp denklem (2) den başlarsak
çekirdeğin seviye yoğunlukları için oldukça basit
olarak
ρ (E , ε 0 ) =
dP (E , ε 0 )
dE



1
1 −
π 2E


6ε 0

,
olarak yazılıp
ρ (E , ε 0 ) =
a0 =


 π 2E 

2

exp



6
ε
0





(4)
π
olarak tanımlanıp
6ε 0
2
π 2 a0
3/ 2
24 3 (a 0 E )

1 − 1

a0 E

,
şeklinde yeniden düzenlenebilir.

 exp 2 a0 E


(
(5)
Bizim bu çalışmadaki amacımız çekirdek şeklinin
büyük oranlarda bozulmuş olduğu
çift-çift
çekirdeklerde enerji seviyeleri yoğunluğunu veren
bir formül türetmek olduğundan ε0 birinci
uyarılma enerji seviyesi için 2+ rotasyonel haline
karşılık gelen enerji değerini alıyoruz. Hemen
anlaşılacağı gibi denklem (5) de verilen. ε0 ve
sonuç olarak ta a0 çekirdeğin proton ve nötron
sayılarına bağlı olduğundan ilgili deneysel
sonuçlar ref. [14] den alınmıştr.
SONUÇLARIN KARŞILAŞTIRILMASI
Gözlemlenebilir
enerji
seviyeleri
yoğunluğunu veren Bethe formülü [1,2,16 ]
ρ (E ) = ∑ ρ (E , J ) =
J
(
π exp 2 aE
12 a 1/ 4 E E 5 / 4
)
1
2πσ
,
(6)
olup J, E uyarılma enerjisine karşılık gelen açısal
momentum, (g) Fermi enerjisi (εF) de tanımlanmış
olarak verilen tek-parçacık seviyeleri yoğunluğu, a
Bethe teorisi seviye yoğunluğu parametresi ve σ
spin-dağılım parametresidir,
π2
a=
g
6
,
(
σ = g m2
)
1/ 2 1 / 2
t
(7)
olarak verilmekte olup, A kütle numarasını, <m2>
ise tek-parçacıklı hallerin ortalama manyetik
kuantum sayısı karesini göstermekte olup,
g=
,
(3)
yazabiliriz. Bu ifade
π2
6ε 0
ρ (E , ε 0 ) =
E 3/ 2
4 3
ε0
3 A
olarak tanımlanmaktadır.
2 εF
Hesaplamalara
öncelikle
kendi
geliştirmiş
olduğumuz formüldeki a0 ı hesaplanarak başlanıldı
ve akabinde bu değerlerin literatürdeki değerleri
ref. [14] den alınarak karşılaştırılıp sonucu şekil 1.
de kütle numarasının fonksiyonu olarak gösterildi.
Özellikle nadir toprak elementleri bölgesindeki ve
Gibert-Cameron [16] ve Malyshev’in [17] nötron
bağlanma enerjisi yakınlarındaki s-dalgası nötron
resonans değerlerini kullanan çalışmaları referans
)
alınarak yapılan çift-çift çekirdeklerdeki a0 ın ve
a’nın kütle numarasına bağımlılığı karşılaştırması
dikkate değerdir (şekil 2).
Sonuç olarak seviye yoğunluğu hesaplamalar
sonuclarının
güvenilirliği
görülmüş
olup
hesaplamalara spin ve temel seviyesinin
haricindeki rotasyonel band uyarılma enerjilerinin
de dahil edilmesi düşünülmektedir.
40
-1
a0= π /(6ε0(2 ) ) (MeV )
30
2
+
20
10
0
0
50
100
150
200
Kütle Numarası, A
Şekil 1. a0 parametresinin çift-çift atom çekirdekleri için değerleri.
250
Hesaplanan (a0)
Gilbert-Cameron (a)
Malyshev (a)
24
-1
a0 ve a değerleri (MeV )
28
20
16
12
150
160
170
180
190
Kütle Numarası, A
Şekil 2. a ve a0 parametrelerinin nadir toprak atom çekirdeklerinin kütlelerine bağımlılığı.
KAYNAKÇA
[1] H. Bethe, Phys. Rev. 50, (1936) 332.
[2] W. P. Abfalterer, R.W. Finlay, ve S. M.
Grimes, Phys. Rev. C, 62 (2000) 064312.
[3] N. Bohr, Nature 137 (1936) 344; Science 86
(1937) 161.
[4] Ya. I. Frenkel, Sow. Phys. 9 (1936) 533
[5] L. Landau, Sow. Phys. 11 (1937) 556.
[6] V. Weisskopf, Phys. Rev. 52 (1937) 295.
[7] N. Bohr, F. Kalckar, Math. Fys. Medd. 14(10)
(1937) 1.
[8] H. Hurwitz, H. Bethe, Phys. Rev. 81 (1951)
898.
[9] T. Newton, Canad. J. Phys. 34 (1956) 804.
[10] A. V. Ignatyuk, G. N. Smirenkin and A. S.
Tishin, Sow. J. Nucl. Phys. 21 (1975) 255.
[11] A. V. Ignatyuk, K. K. Istekov, G. N.
Smirenkin, Sow. J. Nucl. Phys. 29 (1979) 450.
[12] G. N. Hardy, S. Ramanujan, Proc. London,
Math. Soc. XIII (1918) 75
[13] A. Bohr, Rotational States of Atomic Nuclei ,
Universitetets institut for teoretisk fysik, benhavn,
Ejnar Munksgaards Forlag, (1954); A. Bohr, B.
Mottelson, Nuclear Structure, Vol.II, W.A.
Benjamin, New York, Amsterdam (1969).
[14] Nuclear Structure and Decay Data, ENSDF
(Evaluated Nuclear Structure Data File), National
Nuclear Data Center, Brookhaven National
Laboratory, Upton NY., (1999)
[15] D. L. Hendrie, N. K. Glendenning, B. G.
Harvey et al. Phys. Lett. B 26 (1968) 127.
[16] A. Gilbert and A. G. W. Cameron, Canad. J.
Phys. 43 (1965) 1446.
[17] A. V. Malysev, Level Density and Structure
of Atomic Nuclei, Atomizdat, Moscow, (1969); A.
V. Malyshev and Yu. N. Shubin, Nucl. Phys. 76
(1966) 232.