Sıkıştırılamaz Viskoz Dış Akış - İTÜ Gemi İnşaatı ve Deniz Bilimleri

Transkript

AKM 202
Akışkanlar Mekaniği
Ders Notları
9 .Bölüm
Sıkıştırılamaz Viskoz Dış Akış
İTÜ
Gemi İnşaatı ve Deniz Bilimleri Fakültesi
Hazırlayan
Yrd. Doç. Dr. Şafak Nur Ertürk
Oda No:417
Tel: (212) 285 6382
e-posta: [email protected]
DERS NOTLARI
SIKIŞTIRILAMAZ VİSKOZ DIŞ AKIŞ
AKM 202 AKIŞKANLAR MEKANİĞİ
Giriş
Dış akış denilince, sınırsız akışkan içine batırılmış cisimlrin etrafındaki akış akla gelir.
Bunlara örnek olarak daha önce gördüğümüz yarı-sonsuz düzlemsel plaka üzerindeki akış ile
silindir etrafındaki akışı verebiliriz.Amacımız, dış akışta sıkıştırılamaz viskoz akışın
davranışını nitelik olarak incelemek.
Bir cisim etrafındaki dış akışta, oluşan birkaç fiziksel olay şekildeki bir hidrofoil'in
etrafındaki viskoz akış içerisinde gösterilmiştir.
Şekil 9- 1
Serbest akım durma noktasının etrafında ikiye ayrılır ve cisim etrafındaki akışına devam eder.
Cisim yüzeyi için verilen sınır şartı sonucu akışkan yüzeye değen noktada cisim ile aynı hıza
sahiptir. Sınır tabaka cismin hem alt hem de üst yüzeyinde oluşur. (İyi anlaşılabilmesi için,
şekilde sınır tabaka gerçekte olduğundan daha kalın gösterilmiştir) Sınır tabaka içindeki akış
başlangıçta laminerdir. Türbülanslı akışa geçiş düzgün akış şartlarına, yüzey pürüzlülüğüne ve
basınç gradyentine bağlı olarak durma noktasından belirli bir mesafede başlar. Geçiş noktaları
şekilde G ile gösterilmiştir. Türbülanslı sınır tabaka geçiş noktasından sonra laminer
tabakadan çok daha hızlı büyür. Yüzeydeki sınır tabakanın kalınlaşması akım hatlarının
hafifçe değişmesine neden olur. Artan basınç bölgelerinde (ters basınç gradyenti) akım
ayrılması oluşur. Ayrılma noktaları A ile gösterilmiştir. Cisim yüzeyinde sınır tabaka içinde
yer almış olan akışkan ayrılma noktasının arkasında "viskoz iz"i oluşturur.
Şekildeki cisim, yüzeyine etkiyen kayma ve basınç kuvvetlerinin sonucu net bir kuvvet etkisi
altındadır. U∞ hızının paralel bileşenine sürüklenme/direnç (drag), dik bileşenine de kaldırma
(lift) kuvveti denir. Ayrılmanın varlığı bu iki kuvvetin analitik çözümünü imkansız kılar.
BÖLÜM A
SINIR TABAKALAR
© 2003, Şafak Nur ERTÜRK
9-1
9. Bölüm
DERS NOTLARI
9.1 Sınır Tabaka Kavramı
Sınır tabaka kavramı ilk kez 1904 yılında Alman bilim adamı Ludwig Prandtl tarafından
ortaya atıldı. Prandtl'ın bu tarihi çıkışından önce, akışkanlar mekaniği bilimi iki farklı yönde
gelişiyordu. Teorik hidrodinamik, 1755'te Leonard Euler tarafından yayınlanan hareket
denklemlerinden viskoz olmayan akış için geliştirildi. Ancak hidrodinamik biliminin
sonuçları denyesel gözlemler ile çeliştiğinden, pratikte mühendisler kendi deneysel (ampirik)
formüllerini geliştirdiler. Bu yaklaşım tamamı ile deneysel verilere dayanıyordu ve kuramsal
hidrodinamiğin matematiksel yaklaşımından tamamen farklıydı.
Viskoz akışkanın hareketini tanımlayan denklemler (Navier-Stokes denklemleri, Navier 1827,
Stokes 1845) Prandtl'ın çıkışından önce bilinmesine rağmen, bu denklemlerin matematiksel
olarak çözümünün bir iki basit hal dışında güç olması viskoz akışın kuramsal olarak
incelenmesine engel oldu.
Prandtl ise birçok viskoz akışın iki ayrı bölgeye ayrılarak analiz edilebileceğini gösterdi; biri
katı cisim sınırında yakın bölge, ikincisi ise geriye kalan tüm akış bölgesi. Yalnızca katı cisim
sınırına yakın olan bölgede viskozitenin etkisi önemlidir. Bunun dışındaki bölgede bu etki
ihmal edilebilir ve akışkan viskozitesiz kabul edilebilir.
Sınır-tabaka kavramı kuram ile uygulama arasındaki uyuşmazlığı kaldırmış ve ikisi arasında
yıllardır kurulamayan ilişkiyi kurmuştur. Daha da önemlisi, sınır-tabaka kavramı, NavierStokes denklemleri kullanılarak çözümü imkansız olan viskoz akış problemlerinin çözümünü
mümkün kıldı.
Sınır tabaka içinde, hem viskoz kuvvetler hem de atalet kuvvetleri önemlidir. Bunun sonucu
olarak, atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranı olan Reynolds sayısının sınır tabaka
akışını tanımlamada önemli olması hiç de hayret verici değildir. Reynolds sayısında
kullanılan tipik uzunluk ya akış yönünde sınır tabakanın uzunluğu ya da sınır tabakanın
kalınlığıdır.
Sınır tabaka içindeki akış laminer veya türbülanslı olabilir. Geçiş bölgesini belirleyecek
herhangibir Reynolds sayısı yoktur. Sınır tabakadaki geçişi etkileyecek etmenler basınç
gradyenti, yüzey pürüzlülüğü, ısı taşınımı, dış kuvvetler ve serbest akımdaki bozulmalardır.
9-2
9. Bölüm
DERS NOTLARI
Birçok gerçek akışda, sınır tabaka uzun ve düz yüzeyler üzerinde oluşur. Gemi ve denizaltı
teknesi, uçak kanatları ve düz araziler üzerindeki atmosferik olaylar buna örnek olarak
verilebilir.
...................................................
Sınır tabaka, giriş ucundan kısa bir mesafe içinde laminerdir. Geçiş tek bir nokta yerine,
belirli bir bölgede oluşur. Geçiş bölgesi akışın tamamen türbülanslı hale geldiği bölgeye kadar
devam eder.
Şekil 9- 2
9.2 Sınır Tabaka Kalınlığı
Sınır tabaka viskoz kuvvetlerin önemli olduğu katı cisim yüzeyine yakın olan bölgedir. Sınır
tabaka kalınlığı, katı cisim yüzeyinden ölçülen ve hızın %1yaklaşıklıkla serbest akım hızına
eşit olduğu noktaya kadar olan mesafedir. Hız profili, yumuşak bir şekilde ve asimptotik
olarak serbest akıma birleştiği için, sınır tabaka kalınlığı δ'yı ölçmek zordur.
Sınır tabaka içindeki viskoz kuvvetlerin etkisi il akış yavaşlar. Katı cisim yüzeyi üzerindeki
kütle akış hızı, sınır tabakanın olmaması halinde aynı bölgeden geçecek lan kütle akış
hızından daha azdır. Viskoz kuvvetlerin etkisi ile akış hızındaki azalma
∞
∫ ρ (U − u )dy
0
Eğer viskoz kuvvetler yoksa, bir kesitteki hız U olacaktı. Deplasman kalınlığını δ* olarak
alırsak, kütle akışındaki azalma ρUδ * olur.
∞
ρUδ * = ∫ ρ (U − u )dy
0
Sıkıştırılamaz akış için ρ=sabit
9-3
9. Bölüm
DERS NOTLARI
∞
⎛
0⎝
δ * = ∫ ⎜1 −
u ≈U
δ
u⎞
u⎞
⎛
⎟dy ≈ ∫ ⎜1 − ⎟dy
U⎠
U⎠
0⎝
(9.1)
alınırsa o zaman integre edilen terim y ≥ δ için sıfır olur.
Sınır tabaka içindeki akışın yavaşlaması viskoz olmayan akışa göre herhangi bir kesitteki
momentum akışında bir azalmaya neden olur. Sınır tabaka boyunca gerçek kütle akışındaki,
∞
∞
0
0
∫ ρudy 'daki, momentum azalması,
∫ ρu (U − u )dy 'dir. Eğer viskoz kuvvetler yoksa, o zaman
katı cisim yüzeyini θ momentum kalınlığı kadar yukarıya ötelemek gerekir. Momentumdaki
azalma ρU 2θ 'dır. Momentum kalınlığı, θ, momentum akışı sınır tabaka boyunca momentum
akışındaki azalmaya eşit olan, U hızındaki akışkan tabakasının kalınlığı olarak tanımlanır.
∞
ρU 2θ = ∫ ρu (U − u )dy
0
ρ=sabit
δ
∞
u⎛
u⎞
u⎛
u⎞
θ = ∫ ⎜1 − ⎟dy ≈ ∫ ⎜1 − ⎟dy
U⎝ U⎠
U⎝ U⎠
0
0
(9.2)
terim y ≥ δ için sıfır olur.
Deplasman ve momentum kalınlıkları, δ* ve θ, integral kalınlıkları olarak tanımlanır.
Tanımları yapılan integraller sınır tabka boyuncadır. Integrantın serbest akımda sıfır olduğu
integraller yardımıyla tanımlandıkları için, deneysel veriler yoluyla hesaplanmaları sınır
tabaka kalınlığı kullanılarak hesaplanmalarından daha kolaydır.
9.3 Momentum İntegral Denklemi
Laminer sınır tabaka (düz plaka üzerinde) çözümü 1908'de Blasius tarafından elde edildi.
Blasius'un ortaya koyduğu ifadelerin tam çözümü sınır tabaka kalınlığı için ve
kayma
gerilmesi için gerekli ifadeleri bize verir. Hız profilleri u/U ve y/δ olarak boyutsuz olarak
çizilirse gene benzer formda çıkarlar. Hız profili için kapalı çözüm mümkün değildir ve
sayısal çözüm gerekir.
Bunun yanısıra , yaklaşık yöntemler düz plaka üzerindeki laminer-sınır tabaka için kapalı
çözümler elde etmek için kullanılır. Aynı yaklaşık yöntemler türbülanslı sınır tabaka
9-4
9. Bölüm
DERS NOTLARI
oluşumuna ait özellikler için kullanılabilir. Tam çözüm türbülanslı sınır tabaka için mevcut
olmadığından, bu durumda yaklaşık yöntemler gerekli olur. Burada, bir cisim boyunca
mesafenin fonksiyonu olarak laminer veya türbülanslı S-T kalınlığı için iyi bir yaklaşım
yapmamıza yardım edecek bir analiz gerçekleştireceğiz. İntegral denklemlerini diferansiyel
kontrol hacmine uygulayacağız. Buradaki amacımız, cisim boyunca uzunluğun fonksiyonu
olarak büyüyen S-T 'nın davranışını tahmin etmemize yarayacak bir denklem bulmak. Çıkan
bağıntı hem laminer hem de türbülanslı tabakaya uygulanabilecek ve sıfır basınç gradyentiyle
sınırlı kalmayacak.
Katı bir yüzey üzerinde sıkıştırılamaz, daimi bir akışı düşünelim. S-T kalınlığı δ, artan x
mesafesi ile kalınlaşır. Analiz için şekildeki gibi dx uzunluğunda, w kalınlığında ve δ(x)
yüksekliğinde bir kontrol hacmi alıyoruz.
Şekil 9- 3
S-T kalınlığı δ'yı x'in fonksiyonu olarak bulmak istiyoruz. abcd kontrol hacmininin ab ve cd
yüzeylerinden kütle akışı olacaktır. bc yüzeyi için ne denilebilir? bc yüzeyinden kütle akışı
olacak mıdır? Daha önce, S-T'nin sınırının bir akım hattı olmadığını görmüştük. Bu yüzden bc
yüzeyince kütle akışı olacaktır. ad katı cisim sınırı olduğunan, bu yüzey boyunca kütle akışı
olmayacaktır. Kontrol hacminin üzerine etkiyen kuvvetleri ve kontrol yüzeyleri boyunca
momentum akışını ele almadan önce, kontrol hacm,n,n herbir yüzeyinden geçen kütle
miktarını hesaplamak için süreklilik denklemini uygulayalım.
a) Süreklili Denklemi
Temel denklem,
0=
r r
∂
ρd ∀ + ∫ ρV d A
∫
∂t CV
CS
(4.13)
Kabuller: 1) Daimi akış
2) İki boyutlu akış
O zaman
r r
0 = ∫ ρVdA = m& ab + m& bc + m& cd
CS
veya
m& bc = − m& ab − m& cd
9-5
9. Bölüm
DERS NOTLARI
Şimdi bu terimleri hesap edelim.
Yüzey
ab
cd
bc
Kütle Akışı
ab yüzeyi x'de yer alıyor. Akış iki-boyutlu olduğu için (z ile değişim yok), kütle
akışı
⎧⎪δ
⎫⎪
&
mab = −⎨∫ ρudy ⎬w
⎪⎩ 0
⎪⎭
cd yüzeyi x+dx'de yer alıyor. x koordinatı civarında m& 'yi Taylor serisine
açarsak
∂m& ⎞
m& x+ dx = m& x +
⎟ dx
∂x ⎠ x
ve böylece
δ
⎧⎪δ
⎤ ⎫⎪
∂ ⎡
m& cd = ⎨ ∫ ρudy + ⎢ ∫ ρudy ⎥dx ⎬w
∂x ⎢⎣ 0
⎥⎦ ⎪⎭
⎪⎩ 0
bc yüzeyi için
⎧⎪ ∂ ⎡δ
⎤ ⎫⎪
m& bc = − ⎨ ⎢ ∫ ρudy ⎥ dx ⎬w
⎥⎦ ⎪⎭
⎪⎩ ∂x ⎢⎣ 0
Şimdi de momentum akışı ve kuvvetlerini ele alalım.
b) Momentum Denklemi
Momentum denkleminin x bileşeninin abcd kontrol hacmine uygulayalım.
Temel denklem,
FSx + FBx =
Kabul:
r r
∂
uρd∀ + ∫ uρV .dA
∫
∂t CV
CS
(4.19a)
FBx=0
O zaman,
FSx = (ma) ab + (ma) bc + (ma) cd
(ma):momentum akışı
Bu denklemi abcd diferansiyel kontrol hacmine uygulamak için, kontrol yüzeylerinden
geçen momentum akışı için ve yüzeylere etkiyen kuvvetler için bağıntıları elde etmemiz
gerekir.
9-6
9. Bölüm
DERS NOTLARI
Yüzey
ab
cd
bc
Momentum Akışı
ab yüzeyi x'de yer alıyor. Akış iki-boyutlu olduğu için (z ile değişim yok),ab
yüzeyince momentum akışı (ma)
⎧⎪δ
⎫⎪
(ma) ab = −⎨∫ uρudy ⎬w
⎪⎩ 0
⎪⎭
cd yüzeyi x+dx'de yer alıyor. x koordinatı civarında (ma)'yı Taylor serisine
açarsak
∂ (ma) ⎞
(ma) x+ dx = (ma) x +
⎟ dx
∂x ⎠ x
ve böylece
δ
⎧⎪δ
⎤ ⎫⎪
∂ ⎡
(ma) = ⎨∫ uρudy + ⎢ ∫ uρuudy ⎥ dx ⎬w
cd ⎪
∂x ⎣⎢ 0
⎦⎥ ⎪⎭
⎩0
bc yüzeyinden geçen kütle U hızına sahip olduğu için, bc'yi geçen momentum
akışı
(ma) bc = Um& bc
⎧⎪ ∂ ⎡δ
⎤ ⎫⎪
(ma ) bc = −U ⎨ ⎢ ∫ ρudy ⎥ dx ⎬w
⎥⎦ ⎪⎭
⎪⎩ ∂x ⎢⎣ 0
Kontrol yüzeyinden geçen net momentum akışı,
⎧⎪ ∂ ⎡
⎤ ⎫⎪
⎧⎪ ∂ ⎡δ
r
⎫⎪
⎧⎪δ
⎫⎪
⎧⎪δ
⎤ ⎫⎪
⎥ dx ⎬w
⎢
u
ρ
V
.
dA
u
ρ
udy
w
u
ρ
udy
w
u
ρ
udy
dx
w
U
ρ
udy
+
−
+
=
−
⎢
⎥
⎨
⎬
⎬
⎨
⎬
⎨
⎨
∫
∫
∫
∫
∫
⎪⎭
⎪⎩ 0
⎪⎭
⎪⎩ 0
⎥⎦ ⎪⎭
⎪⎩ ∂x ⎣⎢ 0
⎪⎩ ∂x ⎢⎣
CS
⎦⎥ ⎪⎭
Terimleri toplarsak
⎧⎪ ∂ ⎡δ
⎤ ⎫⎪
r
⎤
∂ ⎡
⎢
⎥ dx ⎬w
u
ρ
V
.
dA
u
ρ
udy
dx
U
ρ
udy
−
=
⎥
⎢
⎨
∫
∫
∂x ⎢ ∫
⎥⎦ ⎪⎭
⎪⎩ ∂x ⎣⎢ 0
CS
⎦⎥
⎣
Şimdi kontrol yüzeyinden geçen momentum akışının x bileşenine ait bağıntıyı elde ettik.
Dolayısı ile kontrol hacmine etkiyen yüzey kuvvetlerinin x bileşenini ele alalım.
Kuvvetlerin x bileşenlerinin analiz etmek için, normal kuvvetlerin kontrol hacminin üç
yüzeyine etkidiğini görebiliriz. Ek olarak, kayma kuvveti ad yüzeyine etkir. Hız gradyenti
S-T'nin ucunda sıfır olduğundan bc yüzeyine hiçbir kesme kuvveti etkimez.
9-7
9. Bölüm
DERS NOTLARI
Yüzey
ab
cd
bc
ad
Kuvvet
x'de basınç p ise, o zaman ab yüzeyindeki kuvvet,
Fab = pwδ
S-T çok inceolduğu için basıncın y yönündeki değişimi ihmal edilebilir, p=p(x)
cd yüzeyi x+dx'de yer alıyor. x koordinatı civarında basıncı Taylor serisine
açarsak
dp ⎞
p x + dx = p x + ⎟ dx
dx ⎠ x
ve böylece cd yüzeyine etkiyen kuvvet
⎛
⎞
dp ⎞
F = −⎜⎜ p x + ⎟ dx ⎟⎟(δ + dδ )w
cd
dx ⎠ x ⎠
⎝
bc yüzeyine etkiyen ortalama basınç
1 dp ⎞
p+
⎟ dx
2 dx ⎠ x
bc yüzeyine etkiyen normal kuvvetin x bileşeni
⎛
⎞
1 dp ⎞
Fbc = ⎜⎜ p +
⎟ dx ⎟⎟ wdδ
2 dx ⎠ x ⎠
⎝
ad yüzeyine etkiyen kesme kuvveti
1
⎛
⎞
Fad = −⎜τ w + dτ w ⎟ wdx
2
⎝
⎠
Kontrol hacmine etkiyen herbir kuvvetin x bileşenini toplarsak
1
1 dp
⎫
⎧ dp
dx.dδ − dτ w dx ⎬w
FSx = ⎨− δdx −
2
2 dx
⎭
⎩ dx
dadδ ≤ δdx olduğu için yukarıdaki denklemdeki ikinci terim ihmal edilir. Bu terimleri x
momentum denkleminde yerine koyarsak,
δ
⎧⎪ ∂ ⎡δ
⎤
⎤ ⎫⎪
∂ ⎡
⎫
⎧ dp
δ
dx
τ
dx
w
u
ρ
udy
dx
U
ρ
udy
=
−
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥ dx ⎬w
⎬
⎨
⎨
w
∫
∂x ⎢⎣ ∫0
⎭
⎩ dx
⎪⎩ ∂x ⎢⎣ 0
⎥⎦
⎥⎦ ⎪⎭
Her iki tarafı wdx ile bölersek
δ
δ
dp
∂
∂
uρudy − U
ρudy
−δ
−τ w =
∫
dx
∂x 0
∂x ∫0
(9.16)
Bu denklem, S-T içinde etkiyen kuvvetlerin x bileşeni ile momentum akışı arasındaki
bağıntıyı veren "momentum integral denklemi"dir. S-T içindeki hız asimptotik olarak
serbest akışın hızına yükseldiği için, hesaplamalar için bu denklem düzenlenebilir. Basınç
gradyenti dp/dx, S-T dışındaki akışa Bernoulli denklemini uygulayarak hesaplanabilir;
9-8
9. Bölüm
DERS NOTLARI
δ
dp / dx = − ρUdU / dx . δ = ∫ dy olduğuna göre
0
δ
δ
δ
∂
∂
du
τ w = − ∫ uρudy + U ∫ ρudy +
ρUdy
∂x 0
∂x 0
dx ∫0
δ
δ
∂
∂
dU
U ∫ ρudy = ∫ ρuUdy −
ρudy
∂x 0
∂x
dx ∫0
o zaman
τw =
δ
δ
∂
dU
ρu (U − u )dy +
ρ (U − u )dy
∫
∂x 0
dx ∫0
ve
δ
δ
∂
u
u
dU
u
τ w = U 2 ∫ ρ (1 − )dy + U
ρ (1 − )dy
∫
∂x
U
U
dx 0
U
0
(
)
τw d 2
dU
U θ + δ *U
=
dx
ρ dx
Bu "momentum integral denklemi"dir. Hız profili için uygun bir form kabulü yapılır ve
kayma gerilmesi diğer değişkenlere bağlı olarak ifade ediliyorsa bu denklem sınır tabaka
kalınlığı için adi bir diferansiyel denklem verir. S-T kalınlığı bir kez hesaplanırsa,
momentum kalınlığı, deplasman kalınlığı ve kayma gerilmesi hesaplanabilir.
yukarıdaki denklem, kontrol hacmine süreklilik ve momentum denklemlerini uygulayarak
elde edildi. Bu denklem çıkarılırken yapılan kabuller,
a) Daimi akış
b) Sıkıştırılamaz akış
c) İki boyutlu akış
d) Dış kuvvet yok
Burada τw kayma gerilmesini hız alanına bağlayan özel bir kabul yapılmamıştır. Bu
yüzden denklem hem laminer hem de türbülanslı S-T için geçerlidir. S-T kalınlığını x'in
fonksiyonu olarak bulmak için,
1) U(x) hız dağılımına ilk yaklaşım yapılır. Bu, viskoz olmayan akış teoreminden
yapılır (S-T yokmuş gibi düşünülen hız dağılımı). Bernoulli denklemi
kullanılarak S-T içindeki basınç serbest akım hızı U'ya bağlı olarak ifade edilir.
2) S-T içinde uygun bir hız profili kabulü yapılır.
9-9
9. Bölüm
DERS NOTLARI
3) τw hız alanına bağlı olarak ifade edilir.
Türbülanslı Akış
Sıfır basınç gradyenti için sınır tabkaya ait hız profili detayları boru içindeki türbülanslı akış
için olana benzer. Momentum integral denklemi bir yaklaşım olduğu için uygun bir hız profili
seçmek zorundayız. Aksi taktirde çözüm zorlaşır.
δ
dθ
d u⎛
u⎞
τ w = ρU
= ρU 2
⎜1 − ⎟dy
∫
dx
dx 0 U ⎝ U ⎠
2
(9.18)
9.4 Sınır Tabaka Akışı İçindeki Basınç Gradyenti
Düz plaka üzerindeki sınır tabaka akışına ait analizler başlangıçta sıfır basınç gradyenti için
yapılır. Bu hal için momentum integral denklemi
Bu denklem çıkarılırken akış için herhangi bir modelleme yapılmadığı için hem laminer sınır
tabaka hem de türbülanslı sınır tabaka için geçerlidir. Denklem, kayma gerilmesinin akışkanın
momentumundaki azalma ile dengelendiğini gösterir. Bunun sonucu olarak da hız profili x
boyunca değişime uğrar. Sınır tabaka gittikçe kalınlaşır ve cidara yakın akışkan daha da
yavaşlar (momentum kaybı).
BÖLÜM B
BATIRILMIŞ CİSİMLER ETRAFINDAKİ AKIŞ
9-10
9. Bölüm

Sıkıştırılamaz Viskoz Dış Akış - İTÜ Gemi İnşaatı ve Deniz Bilimleri

Transkript

Benzer belgeler

β-RELATIONS ON IMPLICATIVE BOUNDED HYPER BCK

Untitled

Zuhal Akyürek - Su Yönetimi Genel Müdürlüğü

PROF. DR. ŞEBNEM ELÇİ 1. Adı Soyadı: Şebnem Elçi 2