dosyayı indir

Yeniden π (II)
Levent Özbek
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü
Sistem Modelleme ve Simulasyon Laboratuvarı
E-mail : [email protected]
Giriş
π sayısı matematik bahçesinin en zarif
çiçeklerinden birisidir. Archimedes'den beri yüzlerce
yıldır matematikçilerin ve diğer bilim insanlarının
merak ve ilgiyle kokladıkları bir çiçek olagelmiştir.
Bu sayının birçok özelliği vardır: Binlerce yıldır
insanlar π 'nin daha çok ondalık basamağını
hesaplamaya
çalışmaktadır
ve
bu
ondalık
basamakların nasıl bir dağılım gösterdiği merak
konusudur. π ' ye duyulan bu ilgi nereden
kaynaklanmaktadır? Acaba π ' nin bugüne kadar
bilinen özelliklerinden başka daha keşfedilmeye hazır
hangi özellikleri vardır? Matematik bahçesinin en
zarif çiçeği orada durmakta ve belki de sonsuz
özelliklerini sunmaya hazır bir sevgili gibi
beklemektedir.
Bu yazı, π ile ilgili yapılan çalışmaları
aktarmakta ve rasgele dizi kavramı çerçevesinde
π 'nin ondalık basamaklarını ele almakta, bu ondalık
basamakların rasgele dizi tanımına uygunluğunun
araştırılması amacını taşımaktadır
1. Kısa Tarihçe
Hemen hemen tüm matematik kitaplarında,
özellikle matematiğe ilgi duyan kişilerin okuması için
yazılan
matematikle
ilgili
kitaplarda π 'nin
özelliklerinden söz edilmeden geçilmemiştir [1]-[9].
π 'yi hesaplamak için kullanılan en ilginç
yollardan birini 18.yy'da Fransız doğa bilimci
Buffon, İğne Probleminde kullanmıştır. Bir düzlem,
araları d birim olan paralel çizgilerle ayrılmıştır.
Uzunluğu d'den kısa olan bir iğne, bu çizgili yüzeye
düşürülür. Eğer iğne bir çizginin üzerine düşerse, iyi
atış olarak kabul edilir. Buffon' un şaşırtıcı buluşu,
iyi atışların, kötü atışlara oranının π 'yi içeren bir
açıklamasının olmasıydı. Eğer iğnenin uzunluğu d
birimse, iyi atış olasılığı 2/ π dir. 1901'de Lazzerini
3408 atış yaparak π 'nin değerini 3.1415929 olarak
hesapladı ki bu altı ondalık basamağa kadar
doğruydu. π 'yi hesaplamak için başka bir olasılık
yöntemi 1904'de R.Charles tarafından bulundu. Buna
göre, rasgele yazılan iki sayının göreceli asal
olmalarının olasılığı
6
π
2
dir. π ' nin geometri,
olasılık, diferensiyel ve integral hesaplamalarında
nasıl farklı bir biçimde kullanıldığını görmek
gerçekten de ilginçtir. Niye biri bugün süper
bilgisayarlarla yapıldığı gibi, π 'nin değerini
milyonlarca basamağa kadar hesaplamak istesin?
π 'nin ondalık basamaklarına karşı bu ilginin
kaynağı nedir? Bu, süper bilgisayarların donanım ve
yazılımlarının
kapasitelerinin
ölçülmesinde
kullanılır. Hesaplama yöntemleri, yeni düşüncelerin
ve kavramların ortaya çıkmasını sağlar. Gerçekten,
π 'nin bir düzeni, kalıbı yok mu? Sonsuz çeşitlilikte
kalıplar mı içeriyor?. π 'nin içindeki bazı sayılara
daha sık mı rastlanıyor? Öyleyse bu sayılar tam da
rastgele dağılmış değil mi acaba? Belki de
matematikçilerin yüzyıllar boyunca π 'ye duydukları
ilgi ve hayranlık, dağcıları hep daha yükseklere
tırmanmaya yönelten güçlü istek ve duygulara
benzetilebilir [4].
π ’nin hesabı için çok değişik yöntemler
kullanılmakla birlikte günümüzde yakınsak sozsuz
seriler, çarpımlar ve ardışık yineleme bağıntıları
kullanılmaktadır [18]-[22].
2. π İçin Bazı Hesaplama Yöntemleri
Archimedes (ca250 BC)
a 0 = 2 3 , b0 = 3 ve
a n +1 =
2a n bn
ve bn +1 = a n +1bn
a n + bn
Francois Viete (ca.1579)
2
π
=
1 1 1 1
+
2 2 2 2
1 1 1 1 1
+
+
...
2 2 2 2 2
John Wallis (ca.1650)
π 2.2.4.4.6.6.8.8...
=
2 1.3.3.5.5.7.7.9...
William Brouncker (ca 1650)
4
π=
1
1+
9
2+
2+
25
2 + ...
Madhava, James Gregory, Gottfried Wilhelm
Leibnitz (1450-1671)
1 1 1
π
= 1 − + − + ...
4
3 5 7
Isaac Newton (ca 1666)
π=
3 3
1
1
1
 1

+ 24 3 −
−
−
− ... 
5
7
9
4
5.2
7.2
9.2
 3.2

Machin tipi formuller (1706-1776)
1
1
π
= 4 arctan( ) − arctan(
)
4
5
239
1
1
π
= arctan( ) + arctan( )
4
2
3
1
1
π
= 2 arctan( ) − arctan( )
4
2
7
1
1
π
= 2 arctan( ) + arctan( )
4
3
7
Burada,
A = 212175710912 61 + 1657145277365
B = 13773980892672 61 + 107578229802750
(
Leonard Euler (ca. 1748)
C = 5280(236674 + 30303 61)
π2
1
1
1
1
= 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ...
6
2
3
4
5
π2
1
1
1
1
= 1 + 4 + 4 + 4 + 4 + ...
90
2
3
4
5
2
∞
π
1
= 3∑
6
 2m 
m =1
m 2  
m
 1

 10 5

500 , 000
4
Louis Comtet (1974)
1
 2m 
m 4  
m
Eugene Salamin, Richard Brent (1976)
a 0 = 1, b0 = 1 / 2 ve s 0 = 1 / 2 başlangıç
değerlerine bağlı olarak k = 1,2,3,... için
a k −1 + bk −1
2
bk = a k −1bk −1
ak =
c k = a k2 − bk2
s k = s k −1 − 2 k c k
olmak üzere p k =
2a k2
bağıntısı ile hesaplanır.
sk
Jonathan Borwein ve Peter Borwein (1991)
a 0 = 1 / 3, s 0 = ( 3 − 1) / 2
başlangıç
değerleri
için
3
1 + 2(1 − s k3 )1 / 3
r −1
s k +1 = k +1
2
2
a k +1 = rk +1 a k − 3 k (rk2+1 − 1)
olmak üzere 1 / a k , π ’ye yakınsar.
rk +1 =
Jonathan Borwein ve Peter Borwein (1989)
(−1) n (6n)!( A + nB)
= 12∑
π
(n!) 3 (3n)!C n +1 / 2
n =0
1
∞
∑
k =1
3
π 4 36 ∞
=
∑
90 17 m =1
∞
∑e
n = −∞
−
n2
10
10
2

 =π


Roy North (1989)
 2n  42n + 5
= ∑  
π n =0  n  212 n + 4
1
8 ∞ (4n)! (1103 + 26390n)
=
∑
π 9801 n =0 (n!) 4
396 4 n
∞
3
dır.
Jonathan Borwein ve Peter Borwein (1985)
Srinavasa Ramanajuan(1914)
1
)
(−1) k −1
= 3.14159 0 6535897932 40 4626433832 6 9502884197
−
−−
−
2k − 1
burada sadece altı çizgili olan rakamlarda hata vardır.
David Bailey, Peter Borwein ve Simon Plouffe
(1996)
∞
1
i
i = 0 16
π =∑
2
1
1 
 4
−
−
−


 8i + 1 8i + 4 8i + 5 8i + 6 
3. Rasgelelik ve π Sayısı
Pagels "rasgelelik nedir?" sorusuna cevap
vermeye çalışırken, matematiksel ve fiziksel
rasgelelik problemleri arasında ayrım yapmanın
önemine değinmiştir.
Matematiksel
problem,
sayılar
veya
fonksiyonların rasgele sırasının ne anlama geldiğini
tanımlayan bir mantıksal problemdir. Fiziksel
rasgelelik problemi gerçek fiziksel olayların
rasgelelik konusundaki matematiksel kriterlere uyup
uymadığını belirlemektir. Rasgeleliğin matematiksel
bir tanımına sahip olana kadar, doğal olayların bir
dizisinin gerçekten rasgele olup olmadığını
belirleyemeyiz. Bir kere böyle bir tanımımız olunca, o
zaman, gerçek olayların böyle bir tanıma karşılık
gelip gelmediğini belirleme konulu ek deneysel bir
problemimiz olur. Burada ilk problemle karşılaşırız:
Matematikçiler, rasgeleliğin kesin bir tanımını verme
ya da onunla bağlantılı bir iş olan olasılığı
tanımlama işinde hiç bir zaman başarı
sağlayamamıştır ... [8].
Yine Pagels π
sayısının ondalık
açılımındaki
sayıların
rasgelelik
testlerinden
geçebileceğini veya bu sayıların çeşitli olasılık
dağılımlarına uyabileceğini belirtmiş, π sayısının
ondalık açılımdaki sayıları ele alarak rasgele bir
tamsayılar dizisini tanımlama problemi üzerinde
durmuştur.
Buffon'un İğne Problemi; π 'nin bir geometrik
olasılık probleminin çözümü sonucunda ortaya
çıkması açısından özellikle ilginçtir. Bu deney herkes
tarafından kolayca yapılabilir ve π için bir tahmin
elde edilebilir. Olasılık ve istatistik kitaplarının
hemen hepsinde Buffon'un İğne Problemine yer
verilmiştir [10]-[14]. Yine π 'yi tahmin etmek için,
π
= ∫ 1 − x 2 dx
4 0
1
özelliği kullanılarak Monte Carlo İntegrasyonu
olarak bilinen yöntem kullanılabilir. U 1 , U 2 ,..., U n
rasgele değişkenleri ( 0, 1) aralığında düzgün
dağılıma sahip olmak üzere (hesap makinalarındaki
RND tuşu, bilgisayarlardaki RND fonksiyonu veya
rasgele rakamlar tablosu kullanılarak bu sayılar elde
edilebilir)
1 n
1 − U i2
∑
n i =1
toplamı ;
π
için bir tahmin verecektir.
4
Ekonometri, Sayısal Çözümleme, Şifreleme,
Bilgisayar Programlama, Deneysel Fizik, İstatistik,...
gibi birçok uygulamalı bilim alanında rasgele sayılar
simülasyon (benzetim) aşamasında kullanılmaktadır.
Kısaca simülasyon; model üzerinde deney yapmadır.
Rasgelelik içeren olay ve süreçlerin bilgisayar
ortamında deneyinin yapılmasıdır.
Gerçek dünyada rasgelelik olgusunun içinde
bulunan ve ölçümler ile elde edilen sayılar bir rasgele
değişkenin sahip olduğu dağılımdan alınan
örneklemin gözlenen değerleri olarak düşünülmekle
birlikte simülasyonda böyle gözlemler nasıl elde
edilir?
Son yıllarda, simülasyon, özellikle eğitim
alanında kullanılan yöntemlerin başında gelmektedir.
Simülasyonun temelinde de rasgele sayılar
yatmaktadır. Yapılan simülasyon işleminin gerçek
dünyadaki olayı iyi bir şekilde taklit edebilmesi
istenir, eğer taklit iyi yapılamıyorsa deney gerçek
dünyadaki olayı iyi temsil edemeyecektir. Bu
nedenlerle rasgele dizi kavramının uygulama
açısından önemi büyüktür. İstatistiksel dağılımlardan
örnek almak (model üzerinde deney yapma,
bilgisayarda deney yapma, gözlem alma) için ( 0, 1)
aralığında
düzgün
dağılıma
sahip
rasgele
değişkenlerin çeşitli fonksiyonları kullanılır. Eğer
( 0,1) aralığındaki düzgün dağılımdan rasgele sayı
üretilemiyorsa doğaldır ki diğer dağılımlardan da sayı
üretmek mümkün olamamaktadır. Bunun için çeşitli
üreteçler (fonsiyonel ilişki) kullanılmakta ve çeşitli
istatistiksel özellikleri sağlayan üreteçler rasgele sayı
üreteçleri olarak kullanılmaktadır. Bu sayılar belirli
kurallara göre üretildiklerinden "sözde rasgele sayı"
olarak bilinmektedir.
Günümüzde
bilgisayar
teknolojilerinin
gelişmesi ile beraber π 'nin milyarlarca ondalık
basamağı CD-ROM'lara kaydedilerek simulasyon
çalışması yapanların kullanımına sunulmuştur. π
sayısı doğal rasgele sayı üreteci olarak
adlandırılmıştır.
Dodge [15], π ile ilgili geniş bir tarihçe ve
son hesaplama yöntemleri ile ilgili bilgi verdikten
sonra, π 'nin ilk 6 milyar basamağında geçen 0,1,...,9
rakamlarının düzgün dağıldığını göstermiştir.
π ’nin ilk 1.250.000
Jaditz
[16],
basamağındaki sayıların bağımsız olup olmadıklarını
anlamak amacıyla çeşitli istatistiki testler yapmış ve
bu rakamlar bu testlerden geçmiştir.
4. Rasgele Dizi
Elemanları [0,1) aralığında sayılar olan
diziler için rasgele dizi ve elemanları belli bir sayı
sisteminin rakamlarından oluşan diziler için rasgele
dizi tanımı [14]'de verilmiştir.
U 1 ,U 2 ,...,U n ,...U n ∈[0,1) , n = 1, 2 ,...
dizisindeki elemanlar için, (a, b) ⊂ [0,1) olmak üzere
1)
lim
n →∞
# {U i : U i ∈ (a, b), i = 1,2,...n}
= (b − a )
n
ise, yani dizinin elemanları [0,1) aralığında noktalar
olarak gözönüne alındığında n → ∞ için düzgün
dağılmış ise bu diziye 1 − düzgün,
2) U 1 , U 2 ,..., U n ,... (U n ) dizisinde elemanlar
ardışık k 'lılar şeklinde elealındığında bu k 'lıların k
boyutlu birim küpte n → ∞ için dağılışları düzgün
ise bu diziye k -düzgün'dür denir.
Örneğin k = 2 için
(U 1 ,U 2 ),(U 3 ,U 4 ),(U 5 ,U 6 ),... ikilileri n → ∞
için R 2 deki birim karede düzgün dağılmış ise (U n )
dizisi 2-düzgündür.
U 1 ,U 2 ,...,U n ,..., U n ∈ {0,1,2,..., b − 1} ,
b bazına göre rakamların kümesi olmak üzere; k
basamaklı herhangi bir (b1 , b2 ,..., bk )b sayısı için
# {(U i ,U i ,...,U i )b = (b1 , b2 ,..., bk )b : i = 1,2,...n} 1
lim
k +1
k +2
k +k
n
n →∞
=
bk
ise U n dizine k -düzgündür denir.
Örneğin k = 1 için b bazına göre
rakamlardan oluşan U n dizisinin 1 -düzgün olması
demek her bir rakamın dizide yer almasının göreli
frekansının 1 'ye yakınsaması demektir.
b
Bir U n dizisinin kendisi ve hemen hemen
tüm alt dizileri ∀k ∈ N için k -düzgün ise bu diziye
rasgele dizi denir.
Simülasyonda sonlu sayıda elemanlı diziler
söz konusu olduğunda böyle sonlu elemanlı diziler
için rasgelelik nasıl sağlanacaktır? Dizi sonlu
elemanlı olduğundan büyük k 'lar
düzgünlükten hiç söz edilemeyecektir.
için
k-
5. Rasgele Dizi ve π Sayısı
π sayısının ilk 30000 ondalık basamağı
Mapple programı kullanılarak hesaplanmış ve bu
dizinin 1-düzgün ve 2-düzgün'lük özelliklerini
sağladığı görülmüştür. 1-düzgünlük için 0-9
rakamlarının dizide yer almalarının göreli frekansı
1/10 değerine, 2-düzgünlük için ikililerden (00,
01,...,98, 99) oluşan rakamların dizide yer almalarının
göreli frekansı 1/100 değerine yakınsamıştır. Şekil1’de ikililerin dizide yer almalarının sayıları
gösterilmiştir. 1 ve 2-düzgünlük için, Ki-kare uyum
iyiliği testi yapılmış ve ilk 30000 basamak bu
testlerden geçmiştir.
Şunu da belirtmek gerekir ki, sonlu bir sayı
dizisi tüm rasgelelik testlerinden başarıyla geçse bile,
dizinin rasgele olduğuna karar verilemez. Yeni bir
test geliştirilebilir ve bu dizi bu yeni testten başarısız
olabilir.
Birliler
4000
adet
3000
2000
1000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,1,2,... rakamları
İkililer
200
180
160
140
adet
120
100
[2]- M. Boll, Matematik Tarihi, İletişim Yay., 1991.
[3]- G. Gamov, 1-2-3 Sonsuz, Evrim Yay., 1995.
[4]- T. Pappas, Yaşayan Matematik, Sarmal Yay.,
1993.
[5]- G. H. Hardy, Bir matematikçinin Savunması,
Tübitak Yay., 1994.
[6]- J. P. King, Matematik Sanatı, Tübitak Yay.,
1997.
[7]- A. Dönmez, Matematik Tarihi, V Yay., 1986.
[8]- H. R. Pagels, Kozmik Kod, Doğanın
Dili/Kuantum Fiziği, Sarmal Yay., 1992.
[9]- A. Erdil, Aşkın Sayılar Üzerine, Matematik
Dünyası Sayı 2, 1998.
[10]- B.J.T. Morgan, Elements of Simulation,
Chapman and Hall, 1992
[11]- H.C. Tuckwell, Elementary Applications of
Probability Theory, Chapman and Hall, 1998
[12]- F.Öztürk, Matematiksel İstatistik, A.Ü.F.F.
Yay. No:10, 1993.
[13]- P. Bremaud, An Introduction to Probabilistic
Modeling, Springer-Verlag, 1988
[14]- I. Deak, Random Number Generators and
Simulation, Akademiai Kiado, Budapest 1990.
[15]- Y. Dodge, A Natural Random Number
Generator, International Statistical Review, 1996,
329-344.
[16]- T. Jaditz, Are the Digits of π an Independent
and Identically Distributed Sequence?, The American
Statistician, Vol.54, No.1, 12-16, February 2000.
[17]- L. Özbek, Rasgele dizi ve π , Matematik
Dünyası, 2000, Cilt 9., Sayı 1, 26-28.
[18]- D.H. Bailey, J.M.Borwein and S.Ploufle, “The
Quest for pi”, The Mathematical Intelligencer, June
1996.
[19]- L.J.Lange, An elegant Continued Fraction for
π , The American Mathematical Mountly, May
1999, Vol.106, N.5, 456-458.
[20]- T.J. Osler, The Union of Vieta’s and Wallis’s
Product for Pi, The American Mathematical Mountly,
October 1999, Vol.106, N.8, 774-776.
[21]- P. Borwein, The amazing number π ,
September 2000, NAW 5/1, nr.3, 42-46.
[22]- P.Borwein, Ocak 2001, Kişisel web sayfası
http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein.
[23]- Özbek, L. (2003). Yeniden pi. Pivolka, 2(5), 8-11.
80
60
40
20
95
90
85
80
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
5
10
0
0
00,01,02,...,99 rakamları
Kaynakça
[1]- S. Sertöz, Matematiğin Aydınlık Dünyası,
Tübitak Yay.,1996.