Sanatsal Matematik: Bir Biyografi

Yeniden
S
Levent Özbek
[email protected]
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi østatistik Bölümü
S say×s×, matematik bahçesinin en zarif çiçeklerinden birisidir. Archimedes'den beri yüzlerce y×ld×r,
matematikçilerin ve diùer bilim insanlar×n×n merak ve ilgiyle koklad×klar× bir çiçek olagelmiütir. Bu say×n×n birçok
özelliùi vard×r: Dairenin çevresinin çap×na oran×d×r ve transandant (aük×n) bir say×d×r (katsay×lar× tam say× olan
cebirsel bir denklemin çözümü olamayan say×).
S 'nin; geometri, olas×l×k, diferensiyel ve integral hesaplamalarda farkl× bir biçimde kullan×ld×ù×n× görmek,
gerçekten de ilginçtir. Niye biri, bugün süper bilgisayarlarla yap×ld×ù× gibi, S 'nin deùerini milyonlarca basamaùa
kadar hesaplamak istesin? S 'nin ondal×k basamaklar×na karü× bu ilginin kaynaù× nedir? Bu, süper bilgisayarlar×n
donan×m ve yaz×l×mlar×n×n kapasitelerinin ölçülmesinde kullan×l×r. Hesaplama yöntemleri, yeni düüüncelerin ve
kavramlar×n ortaya ç×kmas×n× saùlar. Gerçekten, S 'nin bir düzeni, kal×b× yok mu? Sonsuz çeüitlilikte kal×plar m×
içeriyor? S 'nin içindeki baz× say×larla daha s×k m× karü×laü×l×yor? Öyleyse bu say×lar tam da rasgele daù×lm×ü deùil
mi acaba? Belki de matematikçilerin yüzy×llar boyunca S 'ye duyduklar× ilgi ve hayranl×k, daùc×lar× hep daha
yükseklere t×rmanmaya yönelten güçlü istek ve duygulara benzetilebilir.
Binlerce y×ld×r insanlar, S 'nin daha çok ondal×k basamaù×n× hesaplamaya çal×ümaktad×r ve bu ondal×k
basamaklar×n nas×l bir daù×l×m gösterdiùi merak konusudur. S 'ye duyulan bu ilgi nereden kaynaklanmaktad×r?
Acaba S 'nin bugüne kadar bilinen özelliklerinden baüka, keüfedilmeye haz×r daha hangi özellikleri vard×r?
Asl×nda tüm bu sorular×n yan×t×, henüz aç×k bir üekilde verilebilmiü deùildir. Her gün S ile ilgili yeni bir yaz×
ç×kmaktad×r. únsan×n merak ve tutkusu sürdüùü sürece, S ’de yeni bir estetik yön bulma arzusu sonsuza dek
sürecek gibi görünmektedir.
Matematik literatüründe karü×m×za ç×kan ve matematikçiler taraf×ndan estetik özelliùinden s×kça sözedilen
iS
“ e 1 0 ” eüitliùi; matematiùin en önemli sabit say×lar× olan e, i, S ,1, ve 0 say×lar×n× içermesi aç×s×ndan da
oldukça ilginçtir.
Matematik bahçesinin en zarif çiçeùi orada durmakta ve belki de sonsuz özelliklerini sunmaya haz×r bir
sevgili gibi beklemektedir. Yaz×n×n devam×nda sorulan sorular×n baz×lar×n×n yan×t×n×n neden zor olduùu ve
insanl×ù×n bugüne kadar bu çiçeùi hangi yönlerden koklamaya çal×üt×klar× üzerinde durulacakt×r.
1. K×sa Tarihçe
Hemen hemen tüm matematik kitaplar×nda, özellikle matematiùi genelde bilime ilgi duyan kiüilerin
okumas× için yazan kitaplarda, S ve onun özelliklerinden söz edilmeden geçilmemiütir [1]-[9].
Archimedes'ten sonra S say×s× üzerinde çok çal×ümalar yap×lm×üt×r. Bunlardan ilki, S say×s×n×n irrasyonel bir
say× olduùunun gösterilmesidir. Lindemann (1852-1939), 1882 y×l×nda S say×s×n×n transandant (aük×n) bir say×
olduùunu göstermiütir.
S 'yi hesaplamak için kullan×lan en ilginç yollardan birini, 18. yy'da Frans×z doùa bilimci Buffon, úùne
Problemi’nde kullanm×üt×r. Bir düzlem, aralar× d birim olan paralel çizgilerle ayr×lm×üt×r. Uzunluùu d'den k×sa olan
bir iùne, bu çizgili yüzeye düüürülür. Eùer iùne bir çizginin üzerine düüerse, iyi at×ü olarak kabul edilir. Buffon'un
üaü×rt×c× buluüu; iyi at×ülar×n kötü at×ülara oran×n×n S 'yi içeren bir aç×klamas×n×n olmas×yd×. Eùer iùnenin uzunluùu
d birimse, iyi at×ü olas×l×ù× 2/ S ’ dir. 1901'de Lazzerini 3408 at×ü yaparak S 'nin deùerini 3.1415929 olarak hesaplad×
ki; bu alt× ondal×k basamaùa kadar doùruydu. S 'yi hesaplamak için baüka bir olas×l×k yöntemi, 1904'de R.Charles
taraf×ndan bulundu. Buna göre; rasgele yaz×lan iki say×n×n göreceli asal olmalar×n×n olas×l×ù×
6
dir.
S2
S ’nin hesab× için çok deùiüik yöntemler kullan×lmakla birlikte, günümüzde yak×nsak sonsuz seriler,
çarp×mlar ve ard×ü×k yineleme baù×nt×lar× kullan×lmaktad×r [18]-[22]. únternet üzerinde S ’ye aç×lan kap× olarak [22]
nolu adresten yararlan×labilir.
2. S İçin Bazı Hesaplama Yöntemleri
S say×s×n× hesaplamak için çok deùiüik yöntemler kullan×lmakla birlikte, bunlardan baz×lar× aüaù×da
verilmiütir. Biraz programlama bilgisi olan birisi, bu yöntemleri kullanarak S ’ yi kolayl×kla hesaplatabilir.
Archimedes (ca250 BC)
a0
a n 1
2 3
ve
2a n bn
a n bn
b0
3 baülang×ç deùerlerine baùl× olarak;
ve
bn 1
a n 1bn ard×ü×k yineleme formulüyle hesaplan×r.
PIVOLKA, 2003, 2(5), Sayfa 8
Francois Viete (ca.1579)
2
S
John Wallis (ca.1650)
1 1 1 1
2 2 2 2
S
2
1 1 1 1 1
...
2 2 2 2 2
2.2.4.4.6.6.8.8...
1.3.3.5.5.7.7.9...
Madhava, James Gregory,
Gottfried Wilhelm Leibnitz (1450-1671)
S
4
1 1 1
1 ...
3 5 7
Isaac Newton (ca 1666)
3 3
1
1
1
§ 1
·
24¨ 3 ... ¸
5
7
9
4
5.2
7.2
9.2
© 3.2
¹
S
Leonard Euler (ca. 1748)
S2
6
1
S2
1
1
1
1
...
Æ
90
2 2 32 4 2 5 2
1
1
1
1
1
4 4 4 ...
4
2
3
4
5
Eugene Salamin, Richard Brent (1976)
a0
1, b0
1 / 2 ve s 0
1 / 2 baülang×ç deùerlerine baùl× olarak k
a k 1 bk 1
Æ bk
a k 1bk 1 Æ c k a k2 bk2 Æ s k
2
2a k2
olmak üzere; “ p k
” baù×nt×s× ile hesaplan×r.
sk
ak
1,2,3,... için
s k 1 2 k c k
Jonathan Borwein ve Peter Borwein (1991)
a0
( 3 1) / 2 baülang×ç deùerleri için
1 / 3, s 0
rk 1 1
3
Æ s k 1
Æ a k 1
3 1/ 3
2
1 2(1 s k )
olmak üzere 1 / a k , S ’ye yak×nsar.
rk 1
rk21 a k 3 k (rk21 1)
Jonathan Borwein ve Peter Borwein (1985)
§ 1
¨
¨ 10 5
©
f
¦e
n2
10
10
n f
·
¸
¸
¹
2
S
Roy North (1989)
500, 000
4
¦
k 1
(1) k 1
2k 1
3.14159 0 6535897932 40 4626433832 6 9502884197
burada sadece alt× çizgili olan rakamlarda hata vard×r.
David Bailey, Peter Borwein ve Simon Plouffe (1996)
S
f
1 § 4
2
1
1 ·
¸
i ¨
© 8i 1 8i 4 8i 5 8i 6 ¹
¦ 16
i 0
3. Model, Rasgelelik, Simülasyon ve S Sayısı
S say×s×n×n neden bu baül×k alt×nda incelendiùi; “Model”, “Rasgelelik” ve “Simülasyon” kavramlar×ndan
biraz bahsettikten sonra aç×kl×k kazanacakt×r.
PIVOLKA, 2003, 2(5), Sayfa 9
Evrende olup bitenleri anlama ve anlatma çabas× içinde olan insan; ilgilendiùi olay ve süreçlerle ilgili çeüitli
modeller kurar ve bu modeller üzerinde çal×üarak, gelecekte ne gibi durumlar ortaya ç×kabileceùini bilmeye çal×ü×r.
Model; gerçek dünyadaki bir sistemin yap× ve iüleyiüinin, ilgili olduùu bilim sahas×n×n (fizik, kimya, biyoloji, jeoloji,
astronomi, ekonomi, sosyoloji, ...) kavram ve kanunlar×na baùl× olarak ifade edilmesidir. Model; gerçek dünyadaki
bir olgunun bir anlat×m×d×r, bir temsilidir. Gerçek dünyan×n çok karmaü×k olmas× nedeniyle modeller, anlatmak
istedikleri olgu ve sistemleri basitleütirerek onlar× belli varsay×mlar alt×nda ele almaktad×r. Modeller gerçeùin
kendileri deùildir ve ne kadar karmaü×k görünseler de gerçeùin bir eksik anlat×m×d×rlar. K×saca model denilen üey,
model kurucunun gerçeùi "anlay×ü×n×n" bir ürünüdür ve her model kurma iülemi bir soyutlama sürecidir.
Modeller deùiüik biçimlerde s×n×fland×r×lmaktad×r. Matematiksel modeller, anlat×m gücü en fazla ve en
geçerli olan modellerdir. Model kurucunun gerçek dünyadaki olguya bak×ü aç×s×na baùl× olarak, modellemede
farkl× durumlar sözkonusu olabilir.
Newton'un Mekaniùi ile doruk noktas×na ulaüan Laplace anlam×nda belirlenimci dünya görüüü
(determinizm-gerekircilik, saat gibi t×k×r-t×k×r iüleyen evren modeli), kuantum fiziùinin geliüimi ile beraber yerini
olas×l×kç× dünya görüüüne b×rakmak zorunda kalm×üt×r. Belirlenimci dünya görüüü (determinizm, belirlenmiülik) ve
bununla iliükili nedensellik ve rasgelelik kavramlar×; bilim, felsefe, sanat gibi alanlarda çok tart×ü×lan konular
aras×nda yer almaktad×r [1]-[8].
Gerçek dünyay× anlama ve anlatmada, yani modellemede, insan akl×n×n en güçlü iki arac× matematik ve
istatistiktir. ústatistik; özellikle, rasgelelik içeren olgular×n modellenmesinde ön plana ç×kmaktad×r. Bu durumda,
“Rasgelelik nedir?” sorusu önem taü×maktad×r.
Pagels, "Rasgelelik nedir?" sorusuna cevap vermeye çal×ü×rken, matematiksel ve fiziksel rasgelelik
problemleri aras×nda ayr×m yapman×n önemine deùinmiütir ve “Matematiksel problem, say×lar veya fonksiyonlar×n
rasgele s×ras×n×n ne anlama geldiùini tan×mlayan bir mant×ksal problemdir. Fiziksel rasgelelik problemi, gerçek fiziksel
olaylar×n rasgelelik konusundaki matematiksel kriterlere uyup uymad×ù×n× belirlemektir. Rasgeleliùin matematiksel bir
tan×m×na sahip olana kadar, doùal olaylar×n bir dizisinin gerçekten rasgele olup olmad×ù×n× belirleyemeyiz. Bir kere böyle bir
tan×m×m×z olunca, o zaman, gerçek olaylar×n böyle bir tan×ma karü×l×k gelip gelmediùini belirleme konulu ek deneysel bir
problemimiz olur. Burada ilk problemle karü×laü×r×z: Matematikçiler, rasgeleliùin kesin bir tan×m×n× verme ya da onunla
baùlant×l× bir iü olan olas×l×ù× tan×mlama iüinde hiçbir zaman baüar× saùlayamam×üt×r...” demiütir.
Yine Pagels; S say×s×n×n ondal×k aç×l×m×ndaki say×lar×n, rasgelelik testlerinden geçebileceùini veya bu
say×lar×n çeüitli olas×l×k daù×l×mlar×na uyabileceùini belirtmiütir. Dolay×s×yla S ’ye, bir de rasgelelik aç×s×ndan
bak×lmas×nda yarar vard×r.
Buffon'un úùne Problemi; S 'nin bir geometrik olas×l×k probleminin çözümü sonucunda ortaya ç×kmas×
aç×s×ndan özellikle ilginçtir. Bu deney herkes taraf×ndan kolayca yap×labilir ve S için bir tahmin elde edilebilir.
Olas×l×k ve istatistik kitaplar×n×n hemen hepsinde, Buffon'un úùne Problemi’ne yer verilmiütir [10]-[14].
1
S
1 x 2 dx ” özelliùi kullan×larak Monte Carlo úntegrasyonu olarak
Yine S 'yi tahmin etmek için, “
4 ³0
bilinen yöntem kullan×labilir. U 1 , U 2 , ..., U n rasgele deùiükenleri ( 0, 1) aral×ù×nda düzgün daù×l×ma sahip olmak
üzere (hesap makinalar×ndaki RND tuüu, bilgisayarlardaki RND fonksiyonu veya rasgele rakamlar tablosu
kullan×larak bu say×lar elde edilebilir)
S
1 n
1 U i2 toplam× ; için bir tahmin verecektir.
¦
4
ni1
“Durup dururken nereden ç×kt× bu rasgele say×lar?” dediùinizi duyar gibi oluyorum. Model, rasgelelik,
nedensellik gibi pek çok kavramdan sonra bir de “rasgele say×”. Ekonometri, Say×sal Çözümleme, ûifreleme,
Bilgisayar Programlama, Deneysel Fizik, ústatistik gibi birçok uygulamal× bilim alan×nda rasgele say×lar,
simülasyon (benzetim) aüamas×nda kullan×lmaktad×r. “Art×k gelelim üu bizim S 'ye” diyorsan×z, biraz daha sab×r
göstermenizi isteyeceùim. K×saca simülasyon, model üzerinde deney yapmad×r. Rasgelelik içeren olay ve
süreçlerin, bilgisayar ortam×nda deneyinin yap×lmas×d×r. Bir olay, süreç veya sistemle ilgili bir özelliùin ya da
davran×ü×n model üzerinde gözlenmesine simülasyon (simulation) denir. "Simulation"; taklit, benzetim anlam×na
gelen bir sözcüktür.
Matematiksel modellerde, analitik veya say×sal bir çözüm bulunamad×ù×nda simülasyona baüvurulduùunu
ve optimal bir sonuç yerine, deùiüik koüullar alt×nda yap×lan denemelerle birtak×m "gözlem" sonuçlar×n×n elde
edildiùini belirtelim. Modeller kurulduktan sonra, bu modellerden sonuç ç×karma yöntemlerinden veya baüka bir
ifadeyle çözüm yöntemlerinden biri olan simülasyon; analitik veya say×sal çözümler aras×nda en son baüvurulmas×
gereken bir çare olarak düüünülmesine karü×l×k, bilgisayar ve diùer teknolojik geliümeler sonucunda çok kullan×lan
bir yöntem haline gelmiütir. Bununla birlikte, simülasyon ile elde edilen gözlemlerin gerçek dünyadakine göre
ucuz, çabuk ve tekrarlanabilir üekilde elde edilmesi ve özellikle rasgelelik içeren modellerde çok deùiüik koüullar
PIVOLKA, 2003, 2(5), Sayfa 10
alt×nda gözlem yapma olanaù× vermesi, baz× durumlarda simülasyonu birinci s×rada tercih edilen bir yöntem
haline getirmektedir. Ancak, simülasyon sonucunda gerçek olay, süreç veya sistemle ilgili "model üzerinde yap×lan
deneyler" ile baz× gözlem deùerlerinin elde edildiùi unutulmamal×d×r.
Simülasyon, eùitimde (pilot eùitimi, iü oyunlar×, savaü oyunlar×, rasgeleliùin kavrat×lmas×, ...) maliyeti
düüük ve kullan×ül× bir yöntemdir. Özellikle rasgele deùiüken içeren modellerdeki simülasyonda rasgeleliùin
saùlanmas× (olas×l×k daù×l×mlar×ndan rasgele say× üretilmesi) ve simülasyon sonucunda elde edilen "gözlem"
deùerlerine baùl× sonuçlar×n "iyiliùi" sorunlar×, istatistiksel olarak çözülmesi gerekenlerden baül×ca ikisidir. Olas×l×k
daù×l×mlar×ndan rasgele say× üretilmesinin esas×, düzgün daù×l×mdan say× üretilmesine baùl×d×r. Düzgün daù×l×ma
sahip say×lar×n üretimi de, kendi baü×na bir araüt×rma konusudur. Son y×llarda, simülasyon, özellikle eùitim
alan×nda kullan×lan yöntemlerin baü×nda gelmektedir. Simülasyonun temelinde de rasgele say×lar yatmaktad×r.
Yap×lan simülasyon iüleminin gerçek dünyadaki olay× iyi bir üekilde taklit edebilmesi istenir; eùer taklit iyi
yap×lam×yorsa, deney gerçek dünyadaki olay× iyi temsil edemeyecektir. Bu nedenlerle rasgele dizi kavram×n×n
uygulama aç×s×ndan önemi büyüktür. ústatistiksel daù×l×mlardan örnek almak (model üzerinde deney yapma,
bilgisayarda deney yapma, gözlem alma) için ( 0, 1) aral×ù×nda düzgün daù×l×ma sahip rasgele deùiükenlerin çeüitli
fonksiyonlar× kullan×l×r. Eùer ( 0, 1) aral×ù×ndaki düzgün daù×l×mdan rasgele say× üretilemiyorsa doùald×r ki; diùer
daù×l×mlardan da say× üretmek mümkün olamamaktad×r. Bunun için çeüitli üreteçler (fonsiyonel iliüki)
kullan×lmakta ve çeüitli istatistiksel özellikleri saùlayan üreteçler, rasgele say× üreteçleri olarak kullan×lmaktad×r. Bu
say×lar belirli kurallara göre üretildiklerinden, "sözde rasgele say×" olarak bilinmektedir.
Hepimizin yak×ndan bildiùi bilgisayar oyunlar×n×n da temeli bu rasgele say×lara baùl×d×r. Tavla oyununda
zar at×ü×n×n bilgisayarda yap×labilmesi için, yine rasgele say× üreteçlerinden yararlan×l×r. Bilgisayarda oynanan talih
oyunlar×nda da rasgele say× üreteçleri kullan×l×r. Baz× kiüiler, bu rasgele say× üreteçlerinin formulünü keüfederek bu
oyunlarda hile yapmaktad×r. Bununla ilgili son zamanlarda haklar×nda kanuni yapt×r×mlar uygulanan kiüiler de
bulunmaktad×r. K×saca bilgisayarda oyun oynayan ya da oyun programlar× yazanlar×n, rasgele say×lar×
kullanmadan herhangi bir üey yapmalar× olanakl× deùildir.
Eùitimde de simülasyon; hem masrafs×z hem de kolay olduùundan, bilgisayar destekli eùitim programlar×,
son y×llarda kulland×ù×m×z programlar×n baü×nda gelmektedir. Bu programlar, öùrenenin, konuya ilgisini çekmek
için hareketli görüntüler ve grafikler kullan×larak, aktif bir üekilde öùrenme sürecine girmesini saùlar. Bilindiùi gibi
kiüinin konuya ilgi duymas×, eùitim aç×s×ndan çok önemlidir. Öùrenen; konunun temel kavramlar×n× tan×d×ktan
sonra, çeüitli modeller üzerinde program×n elverdiùi ölçüde girdilerini deùiütirerek sonuçlar× bilgisayar ekran×nda
görebilir. Biraz programlama bilgisi olan bir kiüi, kendi simülasyonlar×n× kendisi de kolayl×kla yapabilir.
Özellikle çeüitli araçlar×n kullan×m× ile ilgili eùitimde (Uçak, Gemi, Uzay araçlar× gibi); bu araçlar×n hangi ortamda
nas×l kullan×lacaù×n× ve kontrol edileceùini öùretmek amac×yla, kullan×c×n×n gerçek durumda karü×laüabileceùi farkl×
ortamlar haz×rlan×r ve kullan×c× bu durumlara göre davran×ü biçimleri ortaya koyar. Eùer kullan×c×ya belirli, sabit,
deùiümeyen ortamlar oluüturulursa; belli bir süre sonra kullan×c× bunlara al×üacaù×ndan, gerçeùin kendisinden
uzaklaüm×ü olur. Bu nedenle kullan×c×ya hep farkl× durumlarla karü×laüabileceùi ortamlar×n, yani gerçek dünyada
“rasgele” olarak karü×s×na ç×kabilecek ortamlar×n oluüturulmas× gerekir ki; bu da ancak rasgele say×lar×n
kullan×lmas×yla olur.
Günümüzde bilgisayar teknolojilerinin geliümesi ile beraber, S 'nin milyarlarca ondal×k basamaù× CDROM'lara kaydedilerek simulasyon çal×ümas× yapanlar×n kullan×m×na sunulmuütur. S say×s×, doùal rasgele say×
üreteci olarak adland×r×lm×üt×r [15]-[17].
Kaynakça
[1]- S. Sertöz, Matematiùin Ayd×nl×k Dünyas×, Tübitak Yay.,1996.
[2]- M. Boll, Matematik Tarihi, úletiüim Yay., 1991.
[3]- G. Gamov, 1-2-3 Sonsuz, Evrim Yay., 1995.
[4]- T. Pappas, Yaüayan Matematik, Sarmal Yay., 1993.
[5]- G. H. Hardy, Bir matematikçinin Savunmas×, Tübitak Yay., 1994.
[6]- J. P. King, Matematik Sanat×, Tübitak Yay., 1997.
[7]- A. Dönmez, Matematik Tarihi, V Yay., 1986.
[8]- H. R. Pagels, Kozmik Kod, Doùan×n Dili/Kuantum Fiziùi, Sarmal
Yay., 1992.
[9]- A. Erdil, Aük×n Say×lar Üzerine, Matematik Dünyas× Say× 2, 1998.
[10]- B.J.T. Morgan, Elements of Simulation, Chapman and Hall,
1992
[11]- H.C. Tuckwell, Elementary Applications of Probability Theory,
Chapman and Hall, 1998
[12]- F.Öztürk, Matematiksel ústatistik, A.Ü.F.F. Yay. No:10, 1993.
[13]- P. Bremaud, An Introduction to Probabilistic Modeling,
Springer-Verlag, 1988
[14]- I. Deak, Random Number Generators and Simulation, Akademiai
Kiado, Budapest 1990.
[15]- Y. Dodge, A Natural Random Number Generator,
International Statistical Review, 1996, 329-344.
[16]- T. Jaditz, Are the Digits of S an Independent and Identically
Distributed Sequence?, The American Statistician, Vol.54, No.1, 1216, February 2000.
[17]- L. Özbek, Rasgele dizi ve S , Matematik Dünyas×, 2000, Cilt9.,
Say× 1, 26-28.
[18]- D.H. Bailey, J.M.Borwein and S.Ploufle, “The Quest for pi”,
The Mathematical Intelligencer, June 1996.
[19]- L.J.Lange, An elegant Continued Fraction for S , The
American Mathematical Mountly, May 1999, Vol.106, N.5, 456-458.
[20]- T.J. Osler, The Union of Vieta’s and Wallis’s Product for Pi,
The American Mathematical Mountly, October 1999, Vol.106, N.8,
774-776.
[21]- P. Borwein, The amazing number S , September 2000, NAW
5/1, nr.3, 42-46.
[22]- P.Borwein, Ocak 2001, Kiüisel web sayfas× (internette S ’ye
aç×lan kap×), http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein.
PIVOLKA, 2003, 2(5), Sayfa 11