Karışım Problemleri

MATEMATĐK’ĐM
YILLAR 2002
ÖSS-YGS
-
2003
1
2004
-
2005
-
2006
-
2007
-
8
40
KARIŞIM PROBLEMLERĐ
x ve y maddelerinden oluşan bir karışımda
sırasıyla x ve y miktar madde varsa bu
karışımdaki x maddesinin yüzdesi
Saf madde
x
.100 dir.
x+y
Toplam karışım
2008
-
tuz
.100 ⇒
karışım
Karışım Problemleri
2009
2010
2011
-
8
.100
40 + 10
2
8
100 = 16 %16 olur.
50
(su sadece karışımı arttırdığından paydaya
eklendi)
⇒
kesrimizi hangi madde soruluyorsa o maddeyi
saf madde kabul edip aşağıdaki gibi yazarız
c) Karışıma 10 gr tuz eklersek karışımın tuz
oranı ne olur?
8 tuz
8 + 10
.100 ⇒
.100
40 karışım
40 + 10
Saf Madde
.100
Toplam karışım
18
.100 = 36 %36 olur
50
(burada ise tuz hem tuz hanesini hem de karışım
hanesini etkiler o yüzden ikisine de eklendi)
⇒
MATEMATĐK’ĐM
KAVRATICI ÖRNEK
Tuz oranı %20 olan 40 gr tuzlu su karışımı için
Aşağıdaki soruları çözeceğiz.
- Soruları çözmeye başlamadan önce ön
hazırlık mahiyetinde
saf maddeleri
ayrıştıralım
40.
20
= 8 gr tuz var
100
40-8 = 32 gr su var
d) Karışıma 10 gr su eklersek karışımın su
oranı ne olur
-bu sefer saf maddemiz sudur.
40 gramın 32 gramı su idi
Su
32
o halde kesrimiz:
.100 olur.
40
karışım
Şimdi su ekleyelim:
Su
32 + 10
42
.100 = .100 = 84
40 + 10
50
karışım
Tuz Oranı sorulduğunda esas kesir :
8 tuz
.100
40 karışım
Su Oranı sorulduğunda esas kesir :
32 su
.100
40 karışım
- Bu kesirlerin pay ve paydasına gerekli
maddeler eklenir ve işlem yapılır.
- Karışım bölümü her zaman eklenecek ve
çıkarılacak maddelerle değişecektir. Ancak saf
madde bölümü ancak eklenen madde ile aynı ise
değiştirilecektir.
a) Kaç gr tuz, kaç gr su vardır?
8gr tuz ve 32 gr su var
b) Karışıma 10 gr su eklersek karışımın tuz
oranı ne olur?
yani su oranı %84 olur.
e) Karışıma 6 gr tuz, 4 gr su
karışımın tuz oranı ne olur?
8 tuz
8+6
.100 ⇒
.100
40 karışım
40 + 6 + 4
⇒
eklersek
14
.100 = 28 %28 olur.
50
f) Karışıma tuz oranı %30 olan 60 gr tuzlu su
eklersek karışımın tuz oranı ne olur?
Yeni karışım içi tuz kesrini yazalım
30
18 tuz
= 18 ⇒
60.
.100
100
60 karışım
şimdi de iki karışımın pay ve paydalarını
birleştirelim. (100, birleşimden sonra tek sefer
yazılır..oran bulunsun diye.)
.
www.globalders.com
82
MATEMATĐK’ĐM
Esas Karışım
8
40
tuz
Karışım Problemleri
Eklenen Karışım
I) Karışımın ¼’ü dökülüp yerine tuz oranı %40
olan 30 gr tuzlu su konursa karışımın tuz oranı
ne olur?
tuz
.100
karışım
18
.100
60 karışım
- yeni eklenen karışımın kesrini bulalım:
40
30.
= 12gr tuz var dır
100
bu durumda eklenen karışımın kesri:
12 tuz
.100 dır.
40 karışım
8 + 18
. 100
40 + 60
26
.100 = 26 %26
100
g) Karışımdan 20 gr su buharlaştırırsak
karışımın tuz oranı ne olur?
- buharlaşan su olduğundan sadece karışımı
etkiler. Tuz buharlaşmaz
8 tuz
8
8
.100 =
.100 = .100 = 40
40 karışım
40 − 20
20
şimdi ikisini karıştıralım
8 tuz
.100
40 karışım
h) Karışımın ¼’ü
dökülüp yerine aynı
miktarda tuz konursa karışımın tuz oranı
ne olur?
- dökülme sorularında önce döküp sonra
saf maddeyi tekrar hesaplamak ve kesri
yazmak lazım
40’ın ¼ ‘ü 10 dur. 40-10 =30 gr karışım
kalır.
döküldükten sonra karışımın tuz yüzdesi yine
aynıdır değişmez.
Kalan karışımın tuz miktarı:
20
30.
= 6 gram tuz vardır.
100
6 tuz
.100 olur.
ve yeni kesir :
30 karışım
MATEMATĐK’ĐM
oranımız %40 olur.
Şimdi yeni karışıma 10 gr tuz ekleyelim
6 tuz
6 + 10
16
.100 =
.100 = .100 = 40
30 karışım
30 + 10
40
o halde yeni karışımın tuz oranı %40 olur.
dökülüp yerine aynı
i) Karışımın ¼’ü
miktarda su konursa karışımın tuz oranı ne
olur?
g şıkkında kesrimizi bulmuştuk.
tuz
6
6
6
.100 =
.100 = .100 = 15
30 karışım
30 + 10
40
12
40
tuz
.100
karışım
8 + 12
20
.100 = .100 = 25
40 + 40
80
yani yeni karışım %25 tuz içerir.
Örnek ( 1) Đçinde 5Lt alkol bulunan 125lt
lik Alkol-su karışımındaki alkol oranı % kaç?
ÇÖZÜM:
Konumuzun başında da dediğimiz gibi hangi
maddenin yüzdesi soruluyorsa o saf madde
kabul edilip paya yazılır. Saf madde dahil tüm
maddelerde paydaya yazılır.
ÇÖZÜM:
100
5
.100 =
= 4 yani %4 bulunur.
25
125 25
Örnek ( 2) Alkol oranı % 10 olan 40 litre
ispirto ile alkol oranı %40 olan 20 lt ispirto
karıştırılırsa karışımın alkol oranı yüzde kaç
olur.
ÇÖZÜM:
Karıştırılacak karışımların her birinin saf
maddelerini bulup paya, toplam karışımları da
paydaya yazalım
demek ki yeni tuz oranı %15 olur.
.
www.globalders.com
83
MATEMATĐK’ĐM
Alkol oranı % 10 olan 40 litre ispirtoda
40.
Karışım Problemleri
⇒ 6x + 12y = 10x + 10y
⇒ 2y = 4x
y 4
⇒ = = 2 bulunur.
x 2
1
= 4 lt alkol var
10
alkol oranı %40 olan 20 lt ispirtoda
20.
Örnek ( 5) Tuz oranı %x olan 100gr tuzlu
suyun içinden xgr su buharlaştırılıyor. Yeni
çözeltinin tuz oranı eskisinin 4/3 katı oluyor.
Karışımda kaç gram tuz vardır.
40
= 8 lt alkol var
100
Saf Madde
4+8
12
.100 ⇒
.100 = .100
Toplam karışım
40 + 20
60
⇒ %20 bulunur.
ÇÖZÜM:
100 gr tuzlu suyun oranı %x ise karışımda x gr
tuz var demektir.
Örnek ( 3) Tuz oranı %20 olan 300 gr tuzlu su
ile 100 gr lik tuzlu su karıştırılıyor. Elde edilen
karışımın tuz oranı %25 ise ikinci karışımın tuz
oranı nedir?
Tuz
karışım
x
x
4
.100 ⇒
.100 = .x
100
100 − x
3
⇒ 300 x = 4 x .(100 − x)
⇒ 300 = 400 − 4x
⇒ 4x = 100
⇒ x = 25 gr tuz vardır.
MATEMATĐK’ĐM
ÇÖZÜM:
Tuz oranı %20 olan 300 gr tuzluda
20
300.
= 60 gr tuz var
100
100 gr lık ikinci karışımın içinde x gr tuz
olsun
60 + x
60 + x
.1 00 = 25
.100 = 25 ⇒
300 + 100
4 00
60+x = 100
x = 40 gr
100 gr lık karışımda 40 gr tuz demek %40 tuz
demektir.
Örnek ( 4) Tuz oranı %30 olan x kg ve tuz
oranı %60 olan y kg karıştırılıyor karışımın tuz
oranı %50 ise y/x=?
eski karışım
Örnek ( 6) Alkol oranı %40 olan 60 lt
kolonyaya kaç lt saf alkol ilave edelim ki
karışımın alkol oranı %50 olsun?
ÇÖZÜM:
Alkol oranı %40 olan 60 lt kolonyada
40
60.
= 24 lt saf alkol vardır.
100
Bu karışıma x lt saf alkol ekleyelim
alkol
1
24
24 + x 2
.100 =
.100 = 50
60
60 + x
kolonya
⇒ 2x + 48 = x + 60
⇒ x = 12 lt saf alkol ilave etmek
ÇÖZÜM:
gerekir.
Tuz oranı %30 olan x kg karışımda
30 3x
x.
=
gr tuz var
100 10
Tuz oranı %60 olan y kg karışımda
60 6y
y.
=
gr tuz var
100 10
ikisini karıştıralım
3x 6y
+
10 10 .100 = 50 ⇒ 3x + 6y . 1 = 50
x+y
10
x + y 100
Örnek ( 7) Şeker oranı %40 olan 80lt şekerli
suyun ne kadarı buharlaştırılmalıdır ki şeker
oranı %50 olsun
ÇÖZÜM:
Şeker oranı %40 olan 80lt şekerli suda
40
80.
= 32 gr şeker vardır.
100
X gr su buharlaştıralım
2
.
www.globalders.com
84
MATEMATĐK’ĐM
şe ker
2
1
32
32
.100 =
. 100 = 50
80
80 − x
karışım
Karışım Problemleri
20 40 − x
=
lt sirke vardır.
100
5
40 − x
40 − x
5 .100 ⇒
5
.100 = 5
40 − x
40 − x + x
(40 − x).
⇒ 64 = 80 − x
⇒ x = 16 gr su buharlaştırmalıdır
sirke
Örnek ( 8) %30 lık 40lt karşıma %60 lık
karışımdan kaç lt katalım ki son karışım %50 lik
olsun
karışım
40 − x
= 5.40
5
⇒ 100 (40 − x) = 10 00
⇒ 40 − x = 10
⇒ x = 30 lt su ilave edilmiştir.
⇒ 100.
ÇÖZÜM:
%30 lık 40lt karşımda:
30
40.
= 12 lt saf madde var
100
%60 lık x lt karışımda
60 3x
x.
=
lt saf madde olsun
100 5
ikisini karıştıralım,
3x
12 +
2
1
5 . 100 = 50 ⇒ 24 + 6x = x + 40
40 + x
5
⇒ 120 + 6x = 5x + 200
⇒ x = 80 lt katılmalıdır.
MATEMATĐK’ĐM
Örnek ( 11)
Bir A kabında %80 lik tuzlu su
vardır. Aynı hacimdeki B kabında da %60 lık
tuzlu su vardır. Önce A kabının yarısı B kabına
sonrada B kabının yarısı A ya boşaltılıyor. Son
durumda A kabındaki tuz yüzdesi?
Örnek ( 9) Şeker oranı %20 olan 10 kg unŞeker karışımına 6kg un ve 4 kg şeker
karıştırılırsa seker oranı % kaç olur?
ÇÖZÜM:
Aynı hacim dediğinden ikisini de 100 gr
alalım
A kabında %80 tuzlu su vardır. Yani 80 gr Tuz
B kabında %60 tuzlu su vardır .Yani 60 gr Tuz
ÇÖZÜM:
Aktarımları tuz ve karışım olarak yapacağız
Şeker
oranı
%20 olan 10 kg un-Şeker
20
karışımında : 10.
= 2 gr şeker vardır.
100
şe ker
2
2+4
6
.100 =
.100 = .100 = 30
10 + 4 + 6
20
karışım10
o halde şeker oranı %30 olur.
Örnek ( 10)
%20 si sirke olan 40lt lik bir
karışımın belli bir miktarı dökülüp yerine aynı
miktarda saf su ilave edilerek sirke oranı %5 e
düşürülüyor. ilave edilen su miktarı kaç lt dir?
Tuz
Karışım
B
60
100
A’nın yarısı B’ye gitsin;
Tuz
Karışım
A
80-40=40 100-50=50 B
60+40=100
100+50=150
Şimdi de B’nin yarısı A’ya gitsin
ÇÖZÜM:
x litre döküldüğünü kabul edelim. O zaman
karışım (40 – x) kalır
A
80
100
Tuz
Karışım
A
B
40+50=90 100-50=50
50+75=125 150-75=75
Đşlem tamam.
%20 si sirke olan (40 – x)lt lik bir karışımda:
.
www.globalders.com
85
MATEMATĐK’ĐM
Şu anda A kabında 90gr’ı tuz olan 125 gr tuzlu
su var.
A kabının tuz oranı:
Saf Madde
90
.100 =
.100 = 72
Toplam Karışım
125
yani tuz oranı %72 olur.
Karışım Problemleri
60 gramlık karışımın %30’u tuz ise %70’i
sudur.
70
= 42
Karışımdaki su miktarı: 60.
100
Kesrimiz:
Su
42
42
42
.100 = 42
.100 =
.100 =
60
60
+
40
100
karışım
Örnek ( 12)
%20 lik alkol çözeltisine
hacminin 3 katı kadar saf su ekleniyor. Alkol
yüzdesi?
O halde karışımın %42’si sudur.
(karışımın su oranı sorulduğundan saf maddeyi
su kabul ettik. Dolayısıyla eklenen tuz, suyu
arttırmayacağından pay(yani su hanesi) artmadı)
ÇÖZÜM:
Örnek ( 14)
Bir satıcı kilogramı 3 TL olan
40 kg pirinç ile kg’ı 4,8 TL olan pirinçten 20 kg
karıştırıyor. Satıcının zarar etmemesi için
karışımın 1 kg’ını kaçtan satmalıdır.
Çözeltimiz 100lt olsun
%20 alkol demek 100 lt’de 20 lt demek
şimdi kesrimizi yazıp çözeltinin 3 katı yani 300
lt su ekleyelim:
Alkol
20
20
20
.100 =
.100 =
.100 = 5
100
100 + 300
400
Çözelti
demek ki yeni çözeltinin alkol yüzdesi %5 tir.
MATEMATĐK’ĐM
Örnek ( 13)
%30’u tuz olan 60 gr tuzlu
suya 40 gr tuz ilave edersek karışımın su oranı
ne olur?
ÇÖZÜM:
Bu tür ters sorulara dikkat etmeliyiz verilen
saf madde oranı ile istenen saf madde oranı
birbirinden farklı (tuz oranı vermiş su oranı
istiyor). Bu soruları iki yolla yapabiliriz.
Hangisi kolaysa onu seçin
ÇÖZÜM:
Önce elimizde nekadarlık pirinç var onu
bulalım,
Harcanan tutar: 40.3+20.(4,8)=120+96=216
TL
Toplam pirinç miktarı : 40+20 = 60 kg
216
= 3, 6 TL’ye
60
mal olmuştur. O zaman satıcı kg’ını 3,6 dan
satarsa zarar etmez.
Bu durumda pirincin kg’ı :
Örnek ( 15)
Kilogramı 5 lira olan yağ ile,
kilogramı 8 lira olan yağ hangi oranda
karıştırılmalıdır ki
kilogramı 7 lira olsun
1.yol:
ÇÖZÜM:
önce tuz oranını bulur 100’den çıkararak su
oranını buluruz
%30’u tuz olan 60 gr tuzlu suda :
30
60.
= 18 gr tuz vardır.
100
Kesrimiz:
Tuz
18
18 + 40
58
.100 = 58
.100 =
.100 =
+
60
60
40
100
karışım
Kilosu 5 lira olan yağdan a kg, kilosu 8 lira olan
yağdan da b kg alalım
Harcadığımız para 5a+8b olur
Elimizdeki yağ miktarı a+b
5a + 8b
Oranlarsak :
= 7 ⇒ 5a + 8b = 7a + 7b
a+b
⇒ 2a = b
a 1
⇒ =
oranında
b 2
karıştırmalıdır.
Karışım %100 Tuz ve su’dan oluştuğu için:
%58’i tuz ise 100-58=42 %42’si su olur.
2.yol
.
www.globalders.com
86
MATEMATĐK’ĐM
Örnek ( 16)
Asit oranı %20 olan bir
karışımın 2/5 i alınıp yerine aynı miktarda saf su
konuyor. Yeni karışımın Asit oranı?
Karışım Problemleri
yükseltilmesi isteniyor Bunun için ne kadar su
buharlaştırılmalıdır?
ÇÖZÜM:
Miktar belirtilmediğinden 100 gr alalım
Dökülme sorularında işe dökme ile başlıyorduk
2
100. = 40 gr dökülürse 60 gr kalır.
5
Kalan karışımın asit oranı değişmeyeceğinden
20
60.
= 12 gr asit var
100
kesrimizi yazıp döktüğümüz 40gr karışım
yerine 40 gr su ekleyelim:
Asit
12
12
.100 ⇒
.100 = 12
60
60 + 40
Karışım
demek ki yeni karışımın asit oranı %12 olur.
Örnek ( 17)
Kilogramı 3,5 lira olan pirinçten
10kg, kilogramı 2 lira olan pirinçten 20kg,
karıştırılıyor. kilogramı 3 lira olan pirinçten ne
kadar karıştıralım ki kilogramının fiyatı 2,6 lira
olsun
ÇÖZÜM:
Kilosu 3 lira olan pirinçten a kilo katalım.
Önce cepten çıkan parayı bulalım:
10.(3,5)+20.2+a.3 = 35+40+3a = 3a + 75 lira
şimdi de elimizdeki pirinç miktarına bakalım:
10+20+a = a+30
bu verileri oranlayıp ortalamamızı bulalım ve
2,6 liraya eşitleyelim
3a + 75
26 13
= 2, 6 =
=
a + 30
10 5
5(3a+75) = 13(a+30)
15a + 375 = 13a + 390
2a = 15
a = 7,5 kg karıştırmak gerekir.
ÇÖZÜM:
Önce karışımdaki tuzu bulup kesrimizi yazalım
Tuz
20
24
120.
= 24 gr tuz var .100
100
120
Karışım
şimdi buharlaştırılacak miktar x gr olsun. Bu
durumda karışım eksilir. Tuz yerinde kalır.
Tuz
2
1
24
24
.100 ⇒
.100 = 50
120
120 − x
Karışım
⇒ 48 = 120 − x
⇒ x = 72 gr su
buharlaştırılmalıdır.
Örnek ( 20)
A
ve
B
karışımlarından eşit
miktarlarda alınırsa
yeni karışımın % kaçı
şeker olur?
ÇÖZÜM:
A ve B maddelerinde 60’ar gr alalım
A maddesinin grafiğine bakılırsa 40 gr un için
20 gram şeker vardır yani 60 gr’da 20 gram
şeker var.
B maddesinin grafiğine bakılırsa 50 gr un için
10 gr şeker var. Yani 60 gramda 10 gr şeker var
Đkisini karıştıralım:
A 'dan gelen
20 + 10 B'den gelen
.100
60 + 60
30
.100 = 25
120
yani %25 şeker olur.
Örnek ( 18)
120 gr tuzlu su karışımında tuz
oranı %20 dir Bu karışımın tuz oranının %50 ye
.
www.globalders.com
87
MATEMATĐK’ĐM
Örnek ( 21) A musluğu bir havuzu 10 saatte ,
B musluğu aynı havuzu 6 saatte dolduruyor. A
musluğu %60’lık, B musluğu % 40’lık tuzlu su
akıtıyor. Havuz dolduğunda tuz oranı ne olur?
Karışım Problemleri
Saf madde
.24 =
Toplam karışım
Saf Altın
Karışım
33
.24
36
Saf Altının ayarı
Saf altının ayarı gümüş katılarak azaltılır.
(tuzlu sudaki su misali)
karışımımıza x gr gümüş ekleyelim
4
3
33
. 24 = 18 ⇒ 3x + 108 = 132
36 + x
⇒ 3x = 24
⇒ x = 8 gr
gümüş
eklemeliyiz
ÇÖZÜM:
Bu iki musluğun birim zamanda akıttıkları su
miktarı havuzu doldurma süreleriyle ters orantılı
oluğundan
A MUSLUĞU
B MUSLUĞU
Süre :
10 sa
6 sa
Miktar :
6 lt
10 lt
Şeklinde akıttıkları su miktarlarını belirleriz
Şimdi bu miktarlarla tuz oranlarını kullanarak
ne kadar tuz akıttıklarını bulalım:
Örnek ( 23) Saf altın 24 ayardır. 20 gr 18
ayar altın ile 60 gr 22 ayar altın beraber eritilirse
kaç ayar altın elde edilir?
60
= 3, 6 tuz
100
40
= 4 tuz
B musluğu : 10.
100
Şimdi de bu iki karışımı tek havuzda
birleştirelim
3, 6 + 4
7, 6
.100 =
.100 = 47,5
6 + 10
16
demek ki havuzdaki suyun tuz oranı %47,5
tir.
ÇÖZÜM:
MATEMATĐK’ĐM
A musluğu : 6.
Örnek ( 22) Saf altın 24 ayardır. 36 gr’lık 22
ayar altına kaç gram gümüş ilave edelim ki 18
ayar altın elde edilsin?
ÇÖZÜM:
NOT:
Altın-gümüş sorularıyla çözelti sorularının
saflık hesabı aynı mantıkla yapılır tek bir farkla
; çözeltilerde saflık derecesi 100 iken, altında
saflık derecesi 24, gümüşte ise 925 tir.
Altın ve gümüşteki saf madde yüzdesi ayar
olarak ifade edilir
Bu yüzden çözeltilerdeki 100’lerin yerini altında
24, gümüşte 925 alır.
Şimdi sorumuza dönelim.
36 gr’lık 22 ayar altındaki saf altını bulalım
22
36. = 33 gr saf altın var
24
şimdi kesrimizi yazalım:
Diğer sorularda yaptığımız gibi önce saf
maddeyi ayrıştıralım:
18
20 gr 18 ayar altında : 20. = 15 gr saf altın
24
22
30 gr 22 ayar altında : 60. = 55 gr saf altın
24
ikisini eriterek karıştıralım
15 + 55
70
.24 = .24 = 21 ayar altın olur.
20 + 60
80
Örnek ( 24) %30’u su olan a litrelik bir
karışıma 20 litre daha su ilave ediliyor. Elde
edilen yani karışımın % 50’si su olduğuna göre ,
a kaçtır?
(ÖSS 2003)
ÇÖZÜM:
%30’u su olan a litrelik karışımdaki su:
30 3a
a.
=
gramdır
100 10
Su
3a
3a
+ 20
10 .100 = 10
.10 0 = 5 0
kesrimiz:
a
a + 20
karışım
3a
+ 10.20 = 5(a + 20)
10
⇒ 3a + 200 = 5a + 100
⇒ 2a = 100
⇒ a = 50 olur.
⇒ 10.
.
www.globalders.com
88
MATEMATĐK’ĐM
Karışım Problemleri
Örnek ( 25) A kg şeker , B kg un ile
karıştırılıyor. Bu karışımın ağırlıkça yüzde kaçı
şekerdir?
(ÖSS-2001)
ÇÖZÜM:
Konumuzun en başında verdiğimiz kesri
yazalım:
(hangi madenin yüzdesi sorulursa saf madde o
kabul edilir)
Saf Madde
A
100A
.100 =
.100 =
A+B
A+B
Toplam karışım
Örnek ( 26) Ağırlıkça % 70 ‘i şeker olan unşeker karışımından x kg, % 45’i şeker olan
başka bir un-şeker karışımından ise y kg
alınarak % 65’i şeker olan yeni bir karışım elde
ediliyor.
Buna göre x,y’nin kaç katıdır?
(ÖSSMATEMATĐK’ĐM
2000)
ÇÖZÜM:
Yine karışımlardaki saf maddeleri bulup tek
kesirde yazalım:
% 70 ‘i şeker olan x kg karışımda:
70 7x
x.
=
gr şeker
100 10
% 45’i şeker olan y kg karışımda:
45 9y
y.
=
gr şeker
100 20
ikisini karıştıralım:
7x 9y
+
10 20 .100 = 65 ⇒ 100.  7x + 9y  = 65(x + y)


x+y
 10 20 
7x
9y
⇒ 100. + 100. = 65x + 65y
10
20
⇒ 70x + 45y = 65x + 65y
⇒ 5x = 20y
⇒ x = 4y
yani x, y’nin 4 katıdır.
HAZIRLAYAN
ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU
Matematik Öğretmeni
www.globalders.com
e-mail:
[email protected]
.
www.globalders.com
89