MANELAUS TEOREMİ

ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ
SALİH ZEKİ V. MATEMATİK
ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI -2014
PROJENİN ADI
PTOLEMY TEOREMİ VE UYGULAMALARI
PROJEYİ HAZIRLAYANLAR
HALİL İBRAHİM YAZICI
MUHAMMED ENİS ŞEN
PROJE DANIŞMANI
ABDULGAFUR TAŞKIN
ÖZEL MÜRÜVVET EVYAP KOLEJİ VE FEN LİSESİ
İSTANBUL 201
1
İçindekiler
GİRİŞ: ..................................................................................................................................................... 3
AMAÇ: .................................................................................................................................................... 3
YÖNTEM: ............................................................................................................................................... 3
Ptolemy (Batlamyus) Teoremi : .......................................................................................................... 4
Ptolemy Teoreminin Karşıtı: ............................................................................................................... 4
Teorem 1: ............................................................................................................................................ 5
Teorem 2: ............................................................................................................................................ 6
Teorem 3: ............................................................................................................................................ 8
Teorem 4: .......................................................................................................................................... 10
Varignon Teoremi: ............................................................................................................................ 13
Teorem 5: .......................................................................................................................................... 15
Teorem 6: .......................................................................................................................................... 20
Teorem 7: .......................................................................................................................................... 23
Teorem 8: .......................................................................................................................................... 27
Teorem 9: .......................................................................................................................................... 29
Teorem 10: ........................................................................................................................................ 31
BİLGİSAYAR UYGULAMALARI:: ........................................................................................................ 313
SONUÇLAR: ...................................................................................................................................... 345
KAYNAKLAR:................................................................................................................................... 366
2
GİRİŞ:
Cladius Ptolemaeus İskenderiyeli Yunan gökbilimci, matematikçi ve coğrafyacıdır. Yaklaşık
olarak 85 ile 165 yılları arasında yaşadığı kabul edilir. İki önemli yapıtın yazarıdır: Almagest
ve Coğrafya. Bu yapıtlar Avrupa’nın orta çağın karanlığını Arapça çevirileri ile
aşabilmişlerdir. Almagest adlı yapıtında Dünya merkezli bir Güneş Sistemi modeli önerilir.
Bu model Kopernik’in Güneş merkezli modeline dek Batı ve İslam dünyalarında geçerli
model olarak kabul edilmiştir. Geç İskenderiye Dönemi’nde yaşamış ünlü bilim
adamlarından biridir. Bu bilim adamının bilime önemli katkılarından biri de geometride sık
kullanılan Ptolemy teoremidir. Bu projede bu teoremi ve uygulamalarını ele aldık.
AMAÇ:
Bu projede amacımız Ptolemy Teoreminden yola çıkarak kirişler dörtgeninde orijinal
bağıntılar elde etmektir. Ayrıca Ptolemy Teoreminden hareketle bir çembere içten ya da
dıştan teğet olan dört çemberin aralarındaki teğetlerinin uzunlukları arasında çok sade bir
bağıntının olduğunu göstermek ve bunu ispat etmek, bulduğumuz formüllerin uygulamasını
The Geometer’s Sketchpad 5 programında göstermektir.
YÖNTEM:
Ptolemy teoremi ile ilgili çalışma yaparken bilgisayar ortamını matematiksel ispat için bir
laboratuvar gibi kullandık. Bulduğumuz 10 teoremin her birini ispat etmeden önce The
Geometer’s Sketchpad 5 programında çizimini yapıp formülün çalışıp çalışmadığını deneysel
olarak ortaya koyduk. Başarılı olduğumuz ifadeleri bir teorem kabul ederek ispatımızı
gerçekleştirdik. Bunun yanında kendimizden emin yola çıktığımız halde yaptığımız
programda başarısız olan iddialarımızdan vazgeçtik. [5] numaralı referansımızda belirtilen altı
farklı genellemeden yola çıkarak bilgisayar ortamında öngördüğümüz eşitlikleri denedik ve
bu eşitlikleri ispatladık. İspatlarımızı yaparken lise düzeyinde gördüğümüz bilinen Kosinüs,
Pisagor ve Ptolemy teoremlerini kullandık. Bu teoremlere ek olarak Varignon Teoremini de
kullandık. Raporumuzdaki tüm çizim ve grafikleri Microsoft Visio 2010 programıyla çizdik.
3
D
C
Ptolemy (Batlamyus) Teoremi :
Bir ABCD dörtgeni ancak ve ancak
AB  CD  AD  BC  AC  BD olduğunda kirişler dörtgenidir.
İspat:
B
A
[BD] üzerinde m( DCA)  m( EBC ) olacak şekilde bir E noktası
Şekil 1
alırsak m( DAC )  m( DBC ) ( yay eşitliği olduğundan )
BEC olur.
ADC
AD
BE
=
AC
BC
=
Ayrıca ABC
AB
DE
=
AC
DC
=
DC
EC
 AC  BE = AD  BC
(1)
D
DEC
BC
EC
 AC  DE = AB  DC
C
(2)
E
(1) ve (2) eşitlikleri kullanılarak
AC   BE  DE  = AD  BC  AB  DC
AC  BD = AD  BC  AB  DC
A
B
bulunur.
Şekil 2
Ptolemy Teoreminin Karşıtı:
Bir dışbükey (konveks) dörtgende, karşılıklı kenarların çarpımlarının toplamı, köşegenlerin
çarpımına eşit ise, bu dörtgen bir kirişler dörtgenidir.
İspat:
D
ABCD dörtgeninde, AB  CD  AD  BC  AC  BD
C
Bu bağıntıyı sağlayan bir dörtgenin kirişler dörtgeni olmadığını
kabul edelim. Bu durumda
E
m( ADE )  m( BDC ) ve m( DAE )  m( DBC ) eşitliklerini
sağlayacak biçimde alınan E noktası için, (A.A) benzerlik
A
teoremi gereğince, DAE
DBC olur ve buradan,
B
Şekil 3
4
DA
DB
=
AE
BC
=
DE
(3) ; diğer taraftan
DC
DA
DB
(K.A.K) benzerlik teoremi gereğince, ADB
Buradan da
DB
DC
=
AB
EC
=
DE
DC
ve m( ADB)  m( EDC ) olduğundan
EDC ‘dir.
(4) elde edilir.
(3) ve (4) ‘ten AB  CD  AD  BC  AC  BD dir.
Dolayısıyla , AE  EC  AC olur. Yani E noktası  AC  üzerindedir.
Bu nedenle; m( DAC )  m( DBC ) olur.
 DC  doğru parçasını gören eş açıların köşeleri oldukları için de A, B noktaları D ve C’den
geçen bir çember yayı üzerinde bulunur.
Öyleyse, AB  CD  AD  BC  AC  BD bağıntısını sağlayan bir dışbükey dörtgen, kirişler
dörtgenidir.
Teorem 1:
ABCD kirişler dörtgeni ve O çemberin merkezi; P,Q,R ve S sırasıyla merkezden  AB  ,
 BC  , CD ve  DA kenarlarına indirilen dikme ayakları olsun. O noktası ABCD
dörtgeninin iç kısmında kalsın. Buna göre ;
AB  CD  BC  AD  4  ( OP  OR  OQ  OS ) olur.
İspat:
ABCD kirişler dörtgeni olduğundan AB  CD  AD  BC  AC  BD olur.
P, Q, R ve S, ABCD dörtgeninin dikme ayakları ( [AB], [BC], [CD] ve [AD] kirişlerinin orta
noktaları) olduğundan PQRS bir paralelkenardır.
Bu durumda PS  QR 
BD
2
ve QP  RS 
A
CA
S
2
D
(Varignon teoreminin ispatı Teorem 4 ten sonra verilmiştir.
P
Sayfa 13 e bakınız.)
O
m(OPA)  m(OSA)  180 ve m(OQC )  m(CRO)  180
olduğundan APOS ve CQOR dörtgenleri kirişler dörtgenidir.
APOS ve CQOR dörtgenleri kirişler dörtgeni olduğundan;
R
B
Q
C
Şekil 4
5
m(QOR)  m( POS )  180 dir.
[PS] kenarının diğer tarafından OQR  KPS olacak şekilde bir K noktası alalım.
m( RQP)  m(QPS ) = m(OQP)  m(QPK )  180
öyleyse QOKP paralelkenardır.
Benzer şekilde OKSR paralelkenardır.
Açıkça görülüyor ki QP  OK  RS dir.
m( PKS )  m( POS ) = 180
olduğundan POSK dörtgeni bir kirişler dörtgenidir.
POSK kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak
A
PK  OS  SK  OP  OK  PS
K
S
OQ  OS  OR  OP  PQ  PS
D

CA
2

BD
2
P
,
O
4  ( OQ  OS  OR  OP )  CA  BD
R
ABCD kirişler dörtgenine Ptolemy teoremini tekrar
B
Q
uygularsak,
C
4  ( OQ  OS  OR  OP )  ( AB  CD  BC  DA )
Şekil 5
Bu ifade teoremin ispatının bittiğini gösterir.
Teorem 2:
ABCD kirişler dörtgeni , O çemberin merkezi P,Q,R ve S sırasıyla merkezden  AB  ,  BC  ,
CD ve  DA kenarlarına indirilen dikme ayakları olsun.
AB  a, BC  b, CD  c, DA  d , OP  p, OQ  q, OR  r , OS  s ise,
ca pr
ac pr
ve
olur.


bd sq
bd sq
A
İspat:
S
Çemberin merkezi O, ABCD dörtgeninin içinde olsun
n
PQ  RS 
AC
2
m
RQ  PS 
BD
2
D
s
PQRS’nin paralelkenar olduğunu biliyoruz.
P
O
p
 n olsun.
q
m
r
R
B
Q
C
Şekil 6
6
Ayrıca OP   AB ve OS   AD dir.
Dolayısıyla OPAS dörtgeni kirişler dörtgenidir.
O merkezli çemberin yarıçapı R olsun.
Ptolemy teoreminden
a
d
s   p  n R
2
2
(1)
Benzer şekilde OSDR, ORCQ, OQBP kirişler dörtgenlerinde Ptolemy teoremini uygularsak
c
d
 s  r  m R
2
2
(2)
c
b
q  r  n R
2
2
(3)
a
b
q   p  m R
2
2
(4) eşitliklerini elde ederiz. (1) ve (2) , (3) ve (4) eşitliklerini
taraf tarafa toplarsak,
a
d
c
d
c
b
a
b
 s   p   s  r  n R  m R  q  r  q   p
2
2
2
2
2
2
2
2
s(
ac d
ac b
)   ( p  r)  q  (
)   (r  p)
2
2
2
2
( s  q)  (
ac
bd
)  ( p  r)  (
)
2
2
(a  c)  (s  q)  ( p  r )  (b  d )
ac pr
elde edilir.

bd sq
Aynı şekilde (1) ve (4) , (2) ve (3) eşitliklerini taraf tarafa toplarsak,
a
d
a
b
c
d
c
b
 s   p  q   p  n R  m R   s  r  q  r
2
2
2
2
2
2
2
2
p(
bd a
bd c
)   ( s  q)  r  (
)   ( p  s)
2
2
2
2
( p  r)  (
bd
ca
)  ( s  q)  (
)
2
2
( p  r )  (d  b)  (s  q)  (c  a)
ca pr

bd sq
elde edilir ve ispat biter.
7
Teorem 3:
ABCD kirişler dörtgeni O çemberin merkezi; P, Q, R, S sırasıyla merkezden  AB  ,  BC  ,
CD ve  DA kenarlarına indirilen dikme ayakları olsun.
AB  a, BC  b, CD  c, DA  d , OP  p, OQ  q, OR  r , OS  s dir.
a) O merkezi kirişler dörtgeninin iç bölgesinde kalıyorsa
b) O merkezi kirişler dörtgeninin dış bölgesinde ise
qr  s p pq  r s 1

 .
a  d  b c a b  c  d 2
qr  s p pq  r s 1

 .
a  d  b c a b  c  d 2
İspat:
a) O merkezi kirişler dörtgenin iç bölgesinde kalıyorsa;
Şekilde de görüldüğü gibi OP    AB ve OS    AD olduğundan APOS dörtgeni kirişler
dörtgenidir.
A
Aynı şekilde PBQO, QCRO, SDRO dörtgenleri kirişler dörtgenidir.
S


sin   m( BCD)   sin( BAD)  sin( POS )  sin(QOR)  sin C
sin   m( ABC )  sin(CDA)  sin( ROS )  sin(QOP)  sin B
D
P
O
Diğer taraftan
R
A( ABCD)  A( BCA)  A( ACD)  A( ABD)  A(CBD)
B
Q
C
Şekil 7
1
1
1
1
  a  b  sin B   c  d  sin D   a  d  sin A   b  c  sin C
2
2
2
2
1
1
  sin B  (a  b  c  d )   sin C (a  d  b  c)
2
2
sin B
sin C

ad  bc
a b  c  d
(1)
bulunur.
ABCD dörtgenindeki ABC ve BCD üçgenlerine sinüs teoremini uygularsak
AC

sin B
BD
sin C
 2R
olduğu açıktır.
Bu iki eşitlikten ;
AC
sin B

BD
sin C

sin B
sin C

AC
BD
(2) elde edilir.
8
(1) ve (2) eşitlikleri kullanılarak ;
sin B
sin C

Ayrıca;
a  d  b  c AC

elde edilir.
a  b  c  d BD
A( ABCD)
 A( PQRS )  A(OPQ)  A(OQR)  A(ORS )  A(OSP)
2
1 1
   sin B  a  b  c  d 
2 2
1
1
1
1
  sin B  p  q   sin C  q  r   sin D  r  s   sin A  s  p
2
2
2
2
1
1
1
1
  sin B  p  q   sin C  q  r   sin B  r  s   sin C  s  p
2
2
2
2
1
1
  sin B   p  q  r  s    sin C   q  r  s  p 
2
2
1
 a b  c  d
 1
 sin B  
  p  q  r  s     sin C   q  r  s  p 
2
2

 2
sin B
sin C

2q  r  s  p
a d  bc

a b  c  d  2 p  q  r  s a b  c  d
2   q  r  s  p   a  b  c  d   a  d  b  c  a  b  c  d   2   p  q  r  s   a  d  b  c 
2   q  r  s  p    a  b  c  d    p  q  r  s    a  d  b  c    a  d  b  c    a  b  c  d 
qr  s p pq  r s 1


a  d  b c a b  c  d 2
b) O merkezi kirişler dörtgeninin dış bölgesinde kalıyorsa;
A
P
B
p
n
m
S
q
Q
s
O
r
C
R
D
Şekil 8
9
A  ABCD   A ( ABC ) A ( ACD)  A ( ABD) A ( BCD)
ABC , ACD , ABD ve BCD üçgenlerine sinüs teoremini uygularsak
1
1
1
1
sin B a  d  b  c
 a  b  sin B   c  d  sin D   a  d  sin A   b  c  sin C 

2
2
2
2
sin C a  b  c  d
A  ABCD 
 A  PQRS   A(OPQ)  A(OQR)  A(OSP)  A(ORS )
2
1 1
1
1
1
1
   sin B  a  b  c  d   sin B  p  q  sin C  q  r  sin( POS )  p  s  sin(SOR)  s  r
2 2
2
2
2
2
1 1
1
1
1
1
   sin B  a  b  c  d   sin B  p  q  sin C  q  r  sin A  p  s  sin D  s  r
2 2
2
2
2
2
1 1
1
1
1
1
   sin B  a  b  c  d   sin B  p  q   sin C  q  r  sin C  p  s  sin B  s  r
2 2
2
2
2
2
a b  c  d 
 1
1
sin B  
  p  q  s  r     sin C   q  r  s  p 
2
2

 2
sin B
sin C

2 q  r  s  p
a  d  c b

a b  c  d   2 p  q  r  s a b  c  d
2   q  r  s  p  a  b  c  d   a  d  b  c  a  b  c  d   2  p  q  r  s   a  d  b  c 
2   q  r  s  p    a  b  c  d    p  q  r  s    a  d  b  c    a  d  b  c    a  b  c  d 
qr  s p pq  r s 1
bulunur.


a  d  b c a b  c  d 2
Teorem 4:
ABCD kirişler dörtgeni ve O çemberin merkezi olmak üzere  AC  ve  BD  nin kesim noktası
P olsun. O1 , O2 , O3 ve O4 sırasıyla ABP , BCP , CDP ve DAP üçgenlerinin çevrel
çemberlerinin merkezi R1 , R2 , R3 ve R4 sırasıyla bu çemberlerin yarıçapları olsun. O dan
 AB  ye ;  BC  ye ; CD ye ;  DA
ya indirilen dikmelerin ayakları sırasıyla K,L,M ve N
olsun.
a) R1  R2  R3  R4  OO1  OO2  OO3  OO4
b) R1  R3  R2  R4  O1O2  O1O4  O2O3  O3O4  OO1  OO3  OO2  OO4
10
İspat:
A
O4
O1
O
P
B
D
O3
O2
C
Şekil 9
a)
O1O2    BD ve O3O4    BD olduğundan O1O2  // O3O4 
ve
O2O3  AC  ve O1O4  AC  olduğundan O2O3  // O1O4  böylece
O1O2O3O4 ‘ün bir paralel kenar olduğunu gördük.
180  m( ABC)  m(CDA)  m(BAP)  m(BCA)
OO1    AB ve OO2    BC  olduğundan OKBL bir kirişler dörtgenindir.
OO4    AD ve OO3   CD olduğundan OMDN bir kirişler dörtgenindir.
ABCD bir kirişler dörtgeni olduğundan m( ABC )  m(CDA)  180
m(O1OO2 )  m(O3OO4 )  180
ABP üçgeninde m( BAP)  m(O2O1P)
BCP üçgeninde m( BCP)  m(O1O2 P)




m( ABC )  180  m( BAP)  m( BCP)  180  m(O2O1P)  m(O1O2 P)  m(O1PO2 )
Benzer şekilde
m( BCD)  m(O2 PO3 )
11
m(CDA)  m(O3 PO4 )
m( DAB)  m(O1PO4 ) olduğunu buluruz..
sin(O3OO4 )  sin( ABC )  sin(CDA)
O noktası O1O2O3O4 paralelkenarının içindedir. Dolayısıyla
1
A(O1PO2 )  A(O3 PO4 )  A(O1OO2 )  A(O4OO3 )   A(O1O2O3O4 )
2
1
1
 sin( ABC )   PO1  PO2  PO3  PO4    sin(CDA)   OO1  OO2  OO3  OO4
2
2

PO1  PO2  PO3  PO4  OO1  OO2  OO3  OO4
R1  R2  R3  R4  OO1  OO2  OO3  OO4 bulunur.
b) İspatın a kısmında m( BCD)  m(O2 PO3 ) ve m( DAB)  m(O1PO4 ) olarak bulmuştuk.
Buradan m( BCD)  m( DAB)  m(O2 PO3 )  m(O1PO 4 )  180
O1O4 ’ün diğer tarafında bir P noktası alalım.
O1 PO 4  O2 PO3 olacak şekilde ,
m(O3O2O1 )  m(O2O1O4 )  m( PO2O1 )  m(O2O1P)  180 olduğundan O2O1PP bir
paralelkenardır.
m(O2O3O4 )  m(O3O4O1 )  m( PO3O4 )  m(O3O4 P)  180 olduğundan O3O4 PP bir
paralelkenardır.
O1P  O2 P , PO4  PO3 ve O1O2  PP  O3O4
m(O1PO4 )  m(O1PO4 )  180 olduğundan O1PO4 P kirişler dörtgenidir.
O1PO4 P dörtgenine Ptolemy teoremi uygularsak,
O1P  O4 P  O1P  O4 P  O1O2  O1O4
R1R3  R4 R2  O1O2  O1O4
(1)
O1O4  ün diğer tarafından O noktası alalım.
O1OO4  O2OO3 olacak şekilde aynı yöntemi kullanarak
OO1  OO3  OO2  OO4  O1O2  O1O4
(2)
12
(1) ve (2) yi kullanarak
R1  R3  R2  R4  O1O2  O1O4  O2O3  O3O4  OO1  OO3  OO2  OO4 bulunur.
Varignon Teoremi:
A
S
D
P
R
B
Q
C
Şekil 10
Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir paralelkenar belirtir ve bu paralelkenarın kenarları
köşegenlere paraleldir.
İspat:
ABCD dörtgenimizin [AB],[BC],[CD] ve [DA] kenarlarının orta noktaları sırasıyla P, Q, R
ve S olsun. P ve S orta noktalar olduğundan ABD üçgeninde [PS] orta tabandır. Benzer
şekilde [PQ],[QR] ve [RS]’nin de orta taban olduğunu buluruz. Orta tabanlar ilgili tabanlara
paralel olacağından PQRS dörtgeni bir paralel kenardır.
Varignon Teoremi sadece dışbükey dörtgenler için değil, tüm dörtgenler için geçerlidir.
Dörtgenin içbükey, çapraz ya da aykırı olması önermenin doğruluğunu bozmaz.
Dışbükeye yapılan kanıtın işlemleri aynen uygulanırsa bu görülür.
Aşağıdaki şekilleri inceleyeniz.
13
A
P
B
S
Q
C
R
D
Şekil 11
D
N
K
C
M
A
L
B
Şekil 12
14
[5] numaralı referansımızda belirtilen altı farklı genellemeden yola çıkarak bilgisayar
ortamında eşitlikleri denedik ve bu eşitlikleri ispatladık. Altı farklı durum için elde
ettiğimiz teoremlerimiz aşağıdadır.
15
Teorem 5:
O merkezli çemberin içine O1 , O2 , O3 , O4 merkezli çemberler içten teğet olsun.
O1 ve O2 merkezli çemberlerinin teğetleri t1 , O2 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t2 ,
O3 ve O4 merkezli çemberlerin teğetleri t3 , O4 ve O1 merkezli çemberlerin teğetleri t4 ,
O1 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t5 , O2 ve O4 merkezli çemberlerin teğetleri t6 olsun.
Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır.
t1 . t3 + t2 . t4 = t5 . t6
Q
B
t1
C
A
O2
t2
P
O1
K
H
N
O
D
t4
t6
O3
t5
R
E
O4
G
M
t3
L
F
S
Şekil 13
16
İspat :
Q
a
P
r2-r1
O2
O1
T
t1
r2
R-r2

r1
R-r1
O
A
t1
Şekil 14
B
O çemberinin yarıçapı R , O1 , O2 , O3 veO4 çemberlerinin yarıçapları sırasıyla r1 , r2 , r3 ve r4 ;
O1 , O2 , O3 veO4 çemberlerinin O merkezli çembere teğet olduğu noktalar sırasıyla P,Q,R ve S;
PQ , QR , RS ve SP sırasıyla a, d, c ve b ; O1 ' den BO2 ' ye indirilen dikmenin ayağı T ;
O1 ' den MO3 ' e indirilen dikmenin ayağı V ; O1 , O2 , O3 veO4 çemberlerinin arasındaki teğet
noktaları sırasıyla A,B,C,D,E,F,G ve H ; O1 veO3 çemberlerinin arasındaki teğet noktaları N
ve M; O2 veO4 çemberlerinin arasındaki teğet noktaları K ve L; AB , CD , EF , GH ,




NM ve KL sırasıyla t1 , t2 , t3 , t4 , t5 ve t6 ; m POQ   ve m POR   ; PR ve QS sırasıyla
e ve f olsun. Şekilde görüldüğü gibi POQ üçgeninde kosinüs teoremi uygularsak;
PQ  a 2  R 2  R 2  2  R  R  cos 
2
a 2  2  R2  2  R2  cos 
a 2  2  R2 (1  cos  )
(1)
a2
cos  ' yı çekersek ; cos   1 
2  R2
(2)
O1TO2 üçgenine Pisagor teoremi uygularsak; O1O2  t12  (r2  r1 )2
2
(3)
O1OO2 üçgenine kosinüs teoremi uygularsak;
O1O2  ( R  r1 )2  ( R  r2 )2  2  ( R  r1 )  ( R  r2 )  cos 
2
17
(2) de bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak;

a2 
2
O1O2  ( R  r1 )2  ( R  r2 ) 2  2  ( R  r1 )  ( R  r2 )  1  2 
 2R 
 R 2  2 Rr1  r12  R 2  2 Rr2  r2 2  2R 2  2Rr1  2 Rr2  2r1r2  2  ( R  r1 )  ( R  r2 ) 
a2
2R2
Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında,
 a2 
2
O1O2  (r1  r2 )2  2  ( R  r1 )  ( R  r2 )   2 
 2R 
(3) ifadesinde yerine yazarsak,
 a2 
t12  2  ( R  r1 )  ( R  r2 )   2 
 2R 
Buradan,
a2 
t12  R 2
( R  r1 )  ( R  r2 )
Benzer biçimde, b2 
(4)
t4 2  R 2
( R  r1 )  ( R  r4 )
c2 
t32  R 2
( R  r3 )  ( R  r4 )
(6)
d2 
t2 2  R 2
( R  r2 )  ( R  r3 )
(7)
olarak bulunur.
(5)
olarak bulunur.
Aynı yöntemi kullanarak,
OVO
1
3 üçgeninde Pisagor teoremini uygularsak,
O1O3  t52  (r3  r1 )2
2
(8)
POR üçgenine kosinüs teoremi uygularsak,
PR  e2  R2  R2  2  R  R  cos 
2
e2  2  R2  2  R2  cos 
e2  2  R2 (1  cos  )
(9)
cos  ' yı çekersek; cos   1 
e2
2  R2
(10)
O3OO1 üçgenine kosinüs teoremi uygularsak;
O3O1  ( R  r1 )2  ( R  r3 )2  2  ( R  r1 )  ( R  r3 )  cos 
2
(10) da bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak;
18
O3O1
2

e2 
 ( R  r1 )  ( R  r3 )  2  ( R  r1 )  ( R  r3 )  1  2 
 2R 
2
2
 R 2  2 Rr1  r12  R 2  2 Rr3  r32  2 R 2  2 Rr1  2 Rr3  2r1r3  2  ( R  r1 )  ( R  r3 ) 
e2
2R2
Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında,
 e2 
2
O3O1  (r1  r3 )2  2  ( R  r1 )  ( R  r3 )   2 
 2R 
(8) ifadesinde yerine yazarsak,
 e2 
t52  2  ( R  r1 )  ( R  r3 )   2 
 2R 
Buradan,
e2 
t5 2  R 2
( R  r1 )  ( R  r3 )
olarak bulunur.
(11)
Benzer şekilde aynı yöntemi t6 için de uygularsak,
f2
t6 2  R 2
( R  r2 )  ( R  r4 )
(12)
PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak,
ac  bd  e f
ise,
a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak,
t32  R 2
t12  R 2


( R  r1 )  ( R  r2 )
( R  r3 )  ( R  r4 )
t4 2  R 2
t2 2  R 2

( R  r1 )  ( R  r4 )
( R  r2 )  ( R  r3 )

t5 2  R 2
t6 2  R 2

( R  r1 )  ( R  r3 )
( R  r2 )  ( R  r4 )

t3  R
t1  R


( R  r1 )  ( R  r2 )
( R  r3 )  ( R  r4 )

t5  R
t6  R

( R  r1 )  ( R  r3 )
( R  r2 )  ( R  r4 )

t1  R  t3  R

( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )

t5  R  t6  R
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )

R 2 (t1  t3  t2  t4 )

( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
t4  R
t2  R

( R  r1 )  ( R  r4 )
( R  r2 )  ( R  r3 )
t4  R  t2  R
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
R 2 (t5t6 )
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
19
Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında ,
t1  t3  t2  t4  t5  t6
Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir.
Teorem 6:
O merkezli çemberin içine O1 , O2 , O3 , O4 merkezli çemberler dıştan teğet olsun. O1 ve O2
çemberlerin teğetleri t1 , O2 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t2 , O3 ve O4 merkezli
çemberlerin teğetleri t3 , O4 ve O1 merkezli çemberlerin teğetleri t4 , O1 ve O3 merkezli
çemberlerin teğetleri t5 , O2 ve O4 merkezli çemberlerin teğetleri t6 olsun.
Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır.
t1 . t3 + t2 . t4 = t5 . t6
B
t1
K
C
A
N
O2
O1
H
Q
P
t6
t5
t2
O
t4
M
D
R
O3
S
L
O4
E
G
t3
Şekil 15
F
20
İspat :
B
t1
r2
A
T
r2-r1
r1
t1
O2
O1
Q
a
P
R+r2
R+r1

O
Şekil 16
Şekil 16
Şekil 15’te olduğu gibi O1 , O2 , O3 veO4 merkezli çemberleri dış teğet olarak alalım.
Şekilde görüldüğü gibi
POQ üçgeninde kosinüs teoremi uygularsak;
PQ  a 2  R 2  R 2  2  R  R  cos 
2
a 2  2  R2  2  R2  cos 
a 2  2  R2 (1  cos  )
(1)
cos  ' yı çekersek ;
a2
cos   1 
2  R2
(2)
O1TO2 üçgenine Pisagor teoremi uygularsak;
O1O2  t12  (r2  r1 )2
2
(3)
O1OO2 üçgenine kosinüs teoremi uygularsak;
O1O2  ( R  r1 )2  ( R  r2 )2  2  ( R  r1 )  ( R  r2 )  cos 
2
21
(2) de bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak;

a2 
2
O1O2  ( R  r1 )2  ( R  r2 ) 2  2  ( R  r1 )  ( R  r2 )  1  2 
 2R 
 R 2  2 Rr1  r12  R 2  2 Rr2  r2 2  2 R 2  2 Rr1  2 Rr2  2r1r2  2  ( R  r1 )  ( R  r2 ) 
a2
2R2
Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında,
 a2 
2
O1O2  (r1  r2 )2  2  ( R  r1 )  ( R  r2 )   2 
 2R 
(3) ifadesinde yerine yazarsak,
 a2 
t12  2  ( R  r1 )  ( R  r2 )   2 
 2R 
Buradan,
a2 
t12  R 2
( R  r1 )  ( R  r2 )
(4)
olarak bulunur.
Benzer biçimde,
t4 2  R 2
( R  r1 )  ( R  r4 )
(5)
t32  R 2
c 
( R  r3 )  ( R  r4 )
(6)
t2 2  R 2
( R  r2 )  ( R  r3 )
(7)
b2 
2
d2 
olarak bulunur.
Benzer yöntemler kullanılarak;
e2 
t52  R 2
( R  r1 )  ( R  r3 )
(8)
f2
t6 2  R 2
( R  r2 )  ( R  r4 )
(9) olarak bulunur.
PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak;
a  c  b  d  e  f ise;
a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak,
22
t32  R 2
t12  R 2


( R  r1 )  ( R  r2 )
( R  r3 )  ( R  r4 )
t4 2  R 2
t2 2  R 2

( R  r1 )  ( R  r4 )
( R  r2 )  ( R  r3 )

t5 2  R 2
t6 2  R 2

( R  r1 )  ( R  r3 )
( R  r2 )  ( R  r4 )

t3  R
t1  R


( R  r1 )  ( R  r2 )
( R  r3 )  ( R  r4 )

t5  R
t6  R

( R  r1 )  ( R  r3 )
( R  r2 )  ( R  r4 )

t1  R  t3  R

( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )

t5  R  t6  R
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )

R 2 (t1  t3  t2  t4 )

( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
t4  R
t2  R

( R  r1 )  ( R  r4 )
( R  r2 )  ( R  r3 )
t4  R  t2  R
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
R 2 (t5t6 )
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında ,
t1  t3  t2  t4  t5  t6
Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir.
Teorem 7:
O merkezli çemberin içine çizilen O1 , O2 , O3 merkezli çemberler içten teğet ve O4 merkezli
çember dıştan teğet olsun. O1 ve O2 merkezli çemberlerin teğetleri t1 , O2 ve O3 merkezli
çemberlerin teğetleri t2 , O3 ve O4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t3 , O4 ve O1
merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t4 , O1 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t5 ,
O2 ve O4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t6 olsun.
Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır.
t1 . t3 + t2 . t4 = t5 . t6
23
Q
B
t1
C
A
O2
t2
P
O1
K
N
H
O
D
t6
O3
t5
R
t4
E
M
t3
S
F
L
G
O4
Şekil
Şekil
1717
İspat :
P
O4
r4
H
t4
S
b
r1
G
O1
r4+r1
t4
R+r4
.
R-r1
T

O
Şekil 18
Şekil 18
24
O1 , O2 , O3 veO4 merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 17’de olduğu gibi çizelim.
Şekilde görüldüğü gibi
SOP üçgeninde kosinüs teoremi uygularsak;
SP  b2  R 2  R2  2  R  R  cos 
2
b2  2  R2  2  R2  cos 
b2  2  R2 (1  cos  )
(1)
cos  ' yı çekersek ;
cos   1 
b2
2  R2
(2)
O1TO4 üçgenine Pisagor teoremi uygularsak;
O1O4  t4 2  (r4  r1 )2
2
(3)
O1OO4 üçgenine kosinüs teoremi uygularsak;
O1O4  ( R  r1 )2  ( R  r4 )2  2  ( R  r1 )  ( R  r4 )  cos 
2
(2) de bulduğumuz değeri bu denklemde yerine yazarsak;

b2 
2
O1O4  ( R  r1 )2  ( R  r4 ) 2  2  ( R  r1 )  ( R  r4 )  1  2 
 2R 
 R 2  2 Rr1  r12  R 2  2 Rr4  r4 2  2 R 2  2 Rr1  2 Rr4  2r1r4  2  ( R  r1 )  ( R  r4 ) 
b2
2R2
Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında,
 b2 
2
O1O4  (r1  r4 )2  2  ( R  r1 )  ( R  r4 )   2 
 2R 
(3) ifadesinde yerine yazarsak,
 b2 
t4 2  2  ( R  r1 )  ( R  r4 )   2 
 2R 
Buradan,
t4 2  R 2
b 
( R  r1 )  ( R  r4 )
2
(4)
olarak bulunur.
Şekil 15 ‘in ispatında kullandığımız ve b 2 yi bulmak için kullandığımız yöntemleri
uygularsak;
a2 
t12  R 2
( R  r1 )  ( R  r2 )
(5)
25
c2 
t32  R 2
( R  r3 )  ( R  r4 )
(6)
d2 
t2 2  R 2
( R  r2 )  ( R  r3 )
(7)
olarak bulunur.
Benzer biçimde,
e2 
t5 2  R 2
( R  r1 )  ( R  r3 )
f2
t6 2  R 2
( R  r2 )  ( R  r4 )
(8)
(9)
olarak bulunur.
PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak;
a  c  b  d  e  f ise;
a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak,
t32  R 2
t12  R 2


( R  r1 )  ( R  r2 )
( R  r3 )  ( R  r4 )
t2 2  R 2
t4 2  R 2

( R  r2 )  ( R  r3 )
( R  r1 )  ( R  r4 )

t5 2  R 2
t6 2  R 2

( R  r1 )  ( R  r3 )
( R  r2 )  ( R  r4 )

t3  R
t1  R


( R  r1 )  ( R  r2 )
( R  r3 )  ( R  r4 )

t5  R
t6  R

( R  r1 )  ( R  r3 )
( R  r2 )  ( R  r4 )

t1  R  t3  R

( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )

t5  R  t6  R
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )

R 2 (t1  t3  t2  t4 )

( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
t4  R
t2  R

( R  r1 )  ( R  r4 )
( R  r2 )  ( R  r3 )
t4  R  t2  R
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
R 2 (t5t6 )
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında ,
t1  t3  t2  t4  t5  t6
Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir.
26
Teorem 8:
O merkezli çemberin içine çizilen O1 , O3 merkezli çemberler dıştan teğet ve O2 , O4 merkezli
çemberler içten teğet olsun. O1 ve O2 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t1 , O2 ve O3
merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t2 , O3 ve O4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t3 ,
O4 ve O1 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t4 , O1 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t5
, O2 ve O4 merkezli çemberlerin teğetleri t6 olsun.
Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır.
t1 . t3 + t2 . t4 = t5 . t6
Q
O1
B
H
t1
P
A
N
O2
K
C
t5
t2
t6
D
t4
O
F
R
G
O4
t3
O3
L
M
E
S
Şekil 19
İspat :
O1 , O2 , O3 veO4 merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 19’da olduğu gibi çizelim.
Şekil 15 ve şekil 17 ‘nin ispatında kullandığımız yöntemleri uygularsak;
a2 
t12  R 2
( R  r1 )  ( R  r2 )
(1)
olarak bulunur.
Benzer biçimde;
b2 
t4 2  R 2
( R  r1 )  ( R  r4 )
(2)
27
c2 
t32  R 2
( R  r3 )  ( R  r4 )
(3)
d2 
t2 2  R 2
( R  r3 )  ( R  r2 )
(4)
olarak bulunur.
Benzer yöntemleri kullanarak;
e2 
t52  R 2
( R  r1 )  ( R  r3 )
f2
t6 2  R 2
( R  r2 )  ( R  r4 )
(5)
(6)
olarak bulunur.
PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak;
a  c  b  d  e  f ise;
a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak,
t32  R 2
t12  R 2


( R  r1 )  ( R  r2 )
( R  r3 )  ( R  r4 )
t2 2  R 2
t4 2  R 2

( R  r2 )  ( R  r3 )
( R  r1 )  ( R  r4 )

t5 2  R 2
t6 2  R 2

( R  r1 )  ( R  r3 )
( R  r2 )  ( R  r4 )

t3  R
t1  R


( R  r1 )  ( R  r2 )
( R  r3 )  ( R  r4 )

t5  R
t6  R

( R  r1 )  ( R  r3 )
( R  r2 )  ( R  r4 )

t1  R  t3  R

( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )

t5  R  t6  R
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )

R 2 (t1  t3  t2  t4 )

( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
t4  R
t2  R

( R  r1 )  ( R  r4 )
( R  r2 )  ( R  r3 )
t4  R  t2  R
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
R 2 (t5t6 )
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında ,
t1  t3  t2  t4  t5  t6
Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir.
28
Teorem 9:
O merkezli çemberin içine çizilen O1 , O2 merkezli çemberler dıştan teğet ve O3 , O4 merkezli
çemberler içten teğet olsun. O1 ve O2 merkezli çemberlerin teğetleri t1 , O2 ve O3 merkezli
çemberlerin çapraz teğetleri t2 , O3 ve O4 merkezli çemberlerin teğetleri t3 , O4 ve O1
merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t4 , O1 ve O3 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t5 ,
O2 ve O4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t6 olsun.
Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır.
t1 . t3 + t2 . t4 = t5 . t6
B
t1
O2
A
K
N
C
Q
O1
H
t6
P
t2
t5
t4
D
O
O3
R
M
E
t3
G
O4
L
F
S
Şekil 20
29
İspat :
O1 , O2 , O3 veO4 merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 20’de olduğu gibi çizelim.
Şekil 15 ve şekil 17’nin ispatında kullandığımız yöntemleri uygularsak;
t12  R 2
a 
( R  r1 )  ( R  r2 )
(1)
t4 2  R 2
( R  r1 )  ( R  r4 )
(2)
t32  R 2
c 
( R  r3 )  ( R  r4 )
(3)
t2 2  R 2
( R  r2 )  ( R  r3 )
(4)
2
b2 
2
d2 
Benzer biçimde, e2 
f2
t6 2  R 2
( R  r2 )  ( R  r4 )
olarak bulunur.
t52  R 2
( R  r1 )  ( R  r3 )
(6)
(5)
olarak bulunur.
PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak;
a  c  b  d  e  f ise;
a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak,
t32  R 2
t12  R 2


( R  r1 )  ( R  r2 )
( R  r3 )  ( R  r4 )
t2 2  R 2
t4 2  R 2

( R  r2 )  ( R  r3 )
( R  r1 )  ( R  r4 )

t5 2  R 2
t6 2  R 2

( R  r1 )  ( R  r3 )
( R  r2 )  ( R  r4 )

t3  R
t1  R


( R  r1 )  ( R  r2 )
( R  r3 )  ( R  r4 )

t5  R
t6  R

( R  r1 )  ( R  r3 )
( R  r2 )  ( R  r4 )

t1  R  t3  R

( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )

t5  R  t6  R
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )

R 2 (t1  t3  t2  t4 )

( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
t4  R
t2  R

( R  r1 )  ( R  r4 )
( R  r2 )  ( R  r3 )
t4  R  t2  R
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
R 2 (t5t6 )
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
30
Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında ,
t1  t3  t2  t4  t5  t6
Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir.
Teorem 10:
O merkezli çemberin içine çizilen O1 , O2 , O3 merkezli çemberler dıştan teğet ve O4 merkezli
çember içten teğet olsun. O1 ve O2 merkezli çemberlerin teğetleri t1 , O2 ve O3 merkezli
çemberlerin teğetleri t2 , O3 ve O4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t3 , O4 ve O1
merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t4 , O1 ve O3 merkezli çemberlerin teğetleri t5 ,
O2 ve O4 merkezli çemberlerin çapraz teğetleri t6 olsun.
Bu durumda teğetler arasında aşağıdaki ilişki vardır.
t1 . t3 + t2 . t4 = t5 . t6
B
t1
C
A
N
O2
O1
H
Q
K
P
t5
t2
t6
t4
O
F
L
M
D
G
R
t3
O4
O3
S
E
Şekil 21
31
İspat :
O1 , O2 , O3 veO4 merkezli çemberlerin teğetlerini şekil 21’de olduğu gibi çizelim.
Önceki ispatlarda kullandığımız yöntemlerden faydalanarak;
t12  R 2
a 
( R  r1 )  ( R  r2 )
2
(1)
t4 2  R 2
( R  r1 )  ( R  r4 )
(2)
t32  R 2
c 
( R  r3 )  ( R  r4 )
(3)
t2 2  R 2
( R  r2 )  ( R  r3 )
(4)
b2 
2
d2 
olarak bulunur.
Benzer biçimde,
e2 
t52  R 2
( R  r1 )  ( R  r3 )
t6 2  R 2
f 
( R  r2 )  ( R  r4 )
2
(5)
(6)
olarak bulunur.
PQRS kirişler dörtgeninde Ptolemy teoremini uygularsak;
a  c  b  d  e  f ise;
a,b,c,d,e ve f değerlerini yerine yazarsak,
t32  R 2
t12  R 2


( R  r1 )  ( R  r2 )
( R  r3 )  ( R  r4 )
t2 2  R 2
t4 2  R 2

( R  r2 )  ( R  r3 )
( R  r1 )  ( R  r4 )

t5 2  R 2
t6 2  R 2

( R  r1 )  ( R  r3 )
( R  r2 )  ( R  r4 )

t3  R
t1  R


( R  r1 )  ( R  r2 )
( R  r3 )  ( R  r4 )

t5  R
t6  R

( R  r1 )  ( R  r3 )
( R  r2 )  ( R  r4 )

t1  R  t3  R

( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )

t5  R  t6  R
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )

R 2 (t1  t3  t2  t4 )

( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
t4  R
t2  R

( R  r1 )  ( R  r4 )
( R  r2 )  ( R  r3 )
t4  R  t2  R
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
R 2 (t5t6 )
( R  r1 )  ( R  r2 )( R  r3 )  ( R  r4 )
32
Gerekli sadeleştirmeler yapıldığında ,
t1  t3  t2  t4  t5  t6
Sonucu elde edilir. Bu da ispatın bittiğini gösterir.
BİLGİSAYAR UYGULAMALARI:
Teorem 1 Sketchpad Uygulaması
Teorem 2 Sketchpad Uygulaması
33
Teorem 3 Sketchpad Uygulaması
Teorem 4 a Sketchpad Uygulaması
34
Teorem 4 b Sketchpad Uygulaması
Teorem 5 Sketchpad Uygulaması
SONUÇLAR:
Projemizde Ptolemy Teoreminden faydalanarak herhangi bir ABCD kirişler dörtgeni üzerinde
orijinal bağıntılar elde ettik. Bunun yanında bir çembere içten ya da dıştan teğet olan dört
çemberin aralarındaki teğetlerinin uzunlukları arasında çok sade bir bağıntının olduğunu
gösterdik ve bunu ispat ettik.
35
KAYNAKLAR:
1. Komisyon, 10.sınıf Geometri Ders Kitabı, MEB yayınları, Ankara,2011.
2. Küpeli, S. 100 Yılın Olimpiyat Sorularıyla Geometri, Altın Nokta Yayınları, İzmir, 2010.
3. Coxeter H.S.M. and S.L. Greitzer, Geometry Revisited, New York 1967.
4. Bencze, Mihaly, Journal of Science and Arts, National College Aprily Lajos, 500026,
Brasov, Romania, No. 1(14) , 2011, pp. 45-48.
5. Gueron, Shay, Two Applications of the Generalized Ptolemy Theorem, The American
Mathematical Monthly ,109. sayı,2002,sf. 362-370.
6. Shirali, S. On The Generalized Ptolemy Theorem Rishi Valley School INDIA.
7. Gonzales L. Casey’s Theorem and its Applications Maracaibo, Venezuella 2011.
8. Kin Y. Li, Olympiad Corner, Casey's Theorem, Mathematical Excalibur, Volume 16,
Number 5, March-April 2012.
36