Öğrenciler icin

ÜSLÜ SAYILAR
15.12.2011
İlköğretim matematik öğretmenliği grup5
ANTALYA
İÇİNDEKİLER
ÜNİTE HAKKINDA GENEL BİLGİ .......................................................................................................... 4
ÜSLÜ SAYILAR.................................................................................................................................... 6
Üslü Sayıların Tanımı : ................................................................................................................... 6
Üslü Sayıların Özellikleri: ............................................................................................................... 8
ÜSLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM .......................................................................................................... 9
Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma: ............................................................................................ 9
Üslü İfadelerde Çarpma: ...............................................................................................................10
Üslü İfadelerde Bölme: ............................................................................................................12
ÜSLÜ SAYILARDA SIRALAMA ............................................................................................................14
KAYNAKLAR......................................................................................................................................15
2
AÇIKLAMA
Üslü sayılar
Üslü sayılar tanımı
Üslü sayıların özellikleri
Üslü sayılarda dört işlem
Üslü sayılarda toplama işlemi
Üslü sayılarda çıkarma işlemi
Üslü sayılarda çarpma işlemi
Üslü sayılarda bölme işlemi
Üslü sayılarda sıralama
3
ÜNİTE HAKKINDA GENEL BİLGİ
Üslü olarak verilen bazı ifadelerin gerçek değerlerini, doğrudan doğruya bulmak,
matematik yönünden yapılması zor bir işlemdir. Kaynaklar, bu tür, birtakım
hesaplamaları, kolaylıkla yapılmasını sağlayan, logaritmayı ilk kullananı, John Napier
(1550 - 1617) olduğunu göstermekte.
John Napier tarafından, bu konuda "Minifici Logaritmorum Canonis Descripto" (bir
logaritma cetveli tanımı ve iki ayrı trigonometri ile bütün matematik hesaplarında kolay
ve çabuk kullanılmasına genel açıklaması) adlı, zamanın bilim dili olan Latince olarak
kaleme alınmış eser, ilk kez 1614 yılında Edinburg şehrinde yayınlandı. Böylece logaritma
adını da John Napier koymuştur.
Bir logaritma çizelgesinin hazırlanmasında, taban olarak 1 den büyük sayı seçilebilir.
Napier, çizelgesini (e) tabanına göre hazırlamıştır. Fakat çizelgeyi tamamladıktan sonra,
(e) sayısını almakla, zor bir sistem ortaya koyduğunu, uygulaması sırasında farkına vardı.
Daha sonraki yıllarda, 10 tabanlı, yeni bir logaritma sisteminin hesaplama işlerinde büyük
kolaylıklar sağlayabileceğini düşündü. Fakat, bu yeni sisteme ait, düşündüğü temel
ilkeleri, bizzat ortaya koyamadan öldü. Ömrünün son günlerinde, arkadaşı olan, İngiliz
matematikçi ve astronom Henri Briggs'ten (1551 - 1630) düşüncelerinin tamamlanmasını
istedi.
Henri Biggs, bu isteğe uyarak, 10 tabanına göre, bir logaritma cetveli hazırlayarak, 1617
yılında yayımlamıştır. Bu eser, 1'den 1000'e kadar olan sayıların 14 ondalıklı
logaritmalarını gösterir. Henri Briggs, ilk logaritma cetvellerinin yayımından 7 yıl sonra,
yani 1624 yılında; önceleri, 1'den 20.000'e daha sonra da, 90.000'den 100.000'e kadar
olan sayıların 14 ondalıklı logaritmalarını kapsayan Logaritmik Aritmetik adlı bir eser daha
yayımladı.
Daha sonra, Hollandalı matematikçi Adrien Vlacq, Henry Briggs'ten eksik kalan,
20.000'den 90.000'a kadar olan sayıların logaritmik değerlerini hesap etti ve cetvellerini
1626 yılında, Briggs' in adı altında, Goude'de yayımladı. Bu yeni çizelgeler, 10 ondalıklı
olup, 1'den 1.000.000'a kadar sayılan , ve 0 dereceden 90 dereceye kadar olan açıların,
1'er açı dakikası aralıklı olarak, için sinüs, tanjant ve sekantın logaritma değerlerini
kapsıyordu. Ayrıca, her biri 10" için, sinüs ve tanjantın logaritmalarına ilişkin bir çizelge
yayımlandı. Logaritma cetvelleri üzerine eser hazırlayanlar, Adrien Vlacq' ın bu eserini
temel kabul ederler.1
1
http://www.trabzonum.org/forum/showthread.php?t=17099
4
PROGRAM
KATEGORİLER
PROGRAM İÇERİĞİ
ÜSLÜ
SAYILAR
KAZANIMLAR
Üslü sayılarla
Üslü sayılarla
yapılan işlemleri
yapılan işlemler.
uygulayabilmeleri;
Üslü sayılar da
Üslü sayıları
kare kök alma
okuyabilmeleri;
işlemi.
Üslü sayılarla
Üslü sayı
yapılan çarpma ve
işlemlerinde pratik
bölme işlemleri
kazanma.
yapabilmeleri;
5
ÜSLÜ SAYILAR
Üslü Sayıların Tanımı :
a,b,n birer doğal sayı olmak üzere;
an = b üslü niceliğinde a’ya taban,
kaç tane a’nın çarpıldığını belirten sayı olan n’ye kuvvet veya üs, b’ye de
değer adı verilir.
an ifadesi (a üssü n) veya (a’nın n. kuvveti) olarak okunur.
Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımı, o sayının kuvveti olarak
adlandırılır.Bu tekrarlı çarpımın sonucunu bulmaya kuvvet alma işlemi
denir.Kuvvet kelimesi ile üs kelimesi eşdeğerdir.
a.a.a.a.a…..a=an (n tane a’nın çarpımı)
3x3x3x3x3=35 (5 tane 3’ün yan yana yazılıp çarpılmasıdır.)
2x2x2x2x2x2x2x2x2=29
Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.Sıfırın sıfırıncı kuvveti
tanımsızdır.
70=1
00=tanımsız
101=10
102=100
103=1000
104=10000
6
(17)2 = 17.17=289
34= 3.3.3.3=81
7
Üslü Sayıların Özellikleri:
1. a
0 ise, a0 = 1 dir.
2. 00 tanımsızdır.
3. n
IR ise, 1n = 1 dir.
4.
5. (am)n = (an)m = am . n
6.
7.
8. Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
9. Negatif sayıların; çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.
10. n bir tam sayı ve a bir gerçel (reel) sayı olmak üzere,
a. (– a)2n = a2n ifadesi daima pozitiftir.
b. (– a2n) = – a2n ifadesi daima negatiftir.
c. (– a)2n + 1 = – a2n + 1 ifadesi
a pozitif ise negatif, a negatif ise pozitiftir.
11.
12.
8
ÜSLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM
Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma:
Tanım Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için benzer terimlerin üs
ve tabanlarının aynı olması gerekir.
a.xn+b.xn=xn(a+b)
a.xn-b.xn=xn(a-b)
9
Üslü İfadelerde Çarpma:
Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler çarpılırken ortak taban, taban
olarak alınır. Üsler toplanıp üs olarak yazılır.
am . an = am+n
Tabanları farklı üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpılırken tabanlar çarpılıp taban
olarak yazılır ortak üs, üs olarak yazılır.
am . bm = (a+b)m
Tabanları ve üsleri farklı molan üslü ifadeler çarpılırken, önce kuvvetler alınır
sonra çarpma işlemi yapılır.
Örnek: 23 . 52 = 8 . 25 = 200
10
11
Üslü İfadelerde Bölme:
Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken ortak taban, taban
olarak alınır, üsler çıkarılıp üs olarak yazılır.
am = am – n
an
Örnekler: 28 = 28-5 = 23 = 8
25
Tabanları farklı üsleri aynı üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünüp taban
olarak alınır. Ortak üs üs olarak yazılır.
Örnekler: ( 81 )4 = 34 = 81
27
Tabanları ve üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken tabanlar bölünüp önce
kuvvetler açılır sonra bölme işlemi yapılır.
12
13
ÜSLÜ SAYILARDA SIRALAMA
1 den büyük üslü doğal sayılarda sıralama yapılırken,
Tabanlar eşitse; üssü küçük olan daha küçüktür.
Üsler eşitse; tabanı küçük olan daha küçüktür.
14
KAYNAKLAR
1. http://www.trabzonum.org/forum/showthread.php?t=17099
2. http://www.matematikcifatih.com/6-sinif-matematik/uslu-sayilar
3. http://matematikk.blogcu.com/uslu-sayilar-konu-ozeti/2606166
4. http://bilgiyelpazesi.net/egitim_ogretim/konu_anlatimli_dersler/matematik_dersi_ile_ilgili_
konu_anlatimlar/uslu_sayilar_ozellikleri_4.asp
5. http://www.ossmat.com/index.php/matematik-testleri/lise-1-testleri/92-uslu-sayilar/1489uslu-sayilar-cozumlu-test-01.html
6. http://www.ossmat.com/index.php/matematik-testleri/lise-1-testleri/92-uslu-sayilar/1490uslu-sayilar-cozumlu-test-02.html
7. http://www.ossmat.com/index.php/matematik-testleri/lise-1-testleri/92-uslu-sayilar/3411uslu-sayilar-cozumlu-test-05.html
8. http://www.webhatti.com/matematik/623966-uslu-sayilarda-toplama-ve-cikarmaislemi.html
15