g(t)

2011-12 Güz
Haberleşme Sistemlerinde
Temel Bilgiler
Güz 2011-12
Tuncay ERTAŞ
1. Hafta
Temel Bilgiler
Bölüm I
Sinyaller ve Sistemler
Temel Bilgiler 1
•
•
•
•
•
Sinyaller ve Sınıflandırılması
Güç ve Enerji
Fourier Serileri
Fourier Transformu ve Özellikleri
Dirac Delta Fonksiyonu
1-1
2011-12 Güz
Sinyaller
z
Bir g(t) sinyali zamanın bir fonksiyonudur
Temel Bilgiler
‹
z
Gerilim v(t) veya akım i(t) olabilir
Bir sinyalin fiziksel olarak gerçeklenebilmesi için,
sinyal :
‹
‹
‹
‹
‹
Zamanda sınırlı olmalıdır.
Bant genişliği sonlu olmalıdır.
Zamanda sürekli olmalıdır.
Aldığı değerler sonlu olmalıdır.
Gerçel değerli olmalıdır.
Periyodik ve Aperiyodik Sinyaller
Temel Bilgiler
g (t) = g (t +To) , ∀t
Temel Bilgiler 1
Şeklinde ifade edilebilen sinyallere periyodik sinyal
denir.
Aksi takdirde g(t) aperiyodiktir.
z Yukarıdaki bağıntıyı sağlayan en küçük T0
değerine sinyalin temel periyodu denir.
z
1-2
2011-12 Güz
Temel Bilgiler
Güç: Anlık ve Normalize
z
Bir devrede Anlık Güç :
p (t ) = v(t )i (t )
z
Ohm kanunundan,
p (t ) =
z
Anlık normalize güç R=1 Ohm alınarak bulunur:
v 2 (t ) 2
= i (t ) R
R
p (t ) = v 2 (t ) = i 2 (t )
z
g(t) bir gerilim veya bir akım olabileceğinden g(t)
sinyalinin anlık normalize gücü:
p (t ) = g 2 (t )
olarak yazılır.
Ortalama Normalize Güç
Temel Bilgiler
z
Bir sinyalin ortalama normalize gücü anlık
normalize gücünün zaman ortalaması alınarak
bulunur:
T /2
1
P = g (t ) = lim
g 2 (t )dt
∫
T →∞ T
−T / 2
2
‹
Temel Bilgiler 1
burada ⋅ zaman ortalaması operatörüdür.
1-3
2011-12 Güz
Güç Sinyalleri
Temel Bilgiler
z
Ortalama normalize gücü sıfırdan farklı ve sonlu
olan sinyale güç sinyali denir
0< P<∞
z
Güç sinyalleri fiziksel olarak gerçeklenemez!
‹
z
Çünkü bu sinyaller ya sonsuza kadar devam eder ya da
bir anda sonsuz bir değer alırlar. Dolayısı ile enerjileri
sonsuzdur!
Güç sinyalleri periyodik veya aperiyodik olabilirler.
Enerji Sinyalleri
z
Bir sinyalin normalize enerjisi
Temel Bilgiler
T /2
E = lim
T →∞
∫g
2
(t ) dt
−T / 2
olarak tanımlanır.
z
Enerjisi sıfırdan farklı ve sonlu olan sinyallere
enerji sinyali denir. Öyle ki,
0< E <∞
z
Temel Bilgiler 1
Dikkat: Enerji sinyallerinin ortalama gücü sıfırdır!
1-4
2011-12 Güz
Sinyallerin Sınıflandırılması
z
Bir sinyal güç veya enerji sinyali olarak sınıflandırılır
Temel Bilgiler
‹
‹
Güç Sinyali:
Enerji Sinyali:
0< P<∞
0< E <∞
z
Güç sinyalleri periyodik veya aperiyodik olabilir
z
Enerji sinyalleri daima aperiyodiktir.
Sinyaller
Güç
Periyodik
Enerji
Aperiyodik
Periyodik Sinyallerin Gücü
Temel Bilgiler
z
Temel Bilgiler 1
Periyodik bir sinyalin ortalama normalize gücü,
bir periyot boyunca anlık normalize gücünün
ortalamasıdır.
1
P=
To
z
To / 2
∫g
2
(t )dt
−To / 2
Dikkat: Limit operatörüne gerek olmadığını fark
ediniz!
1-5
2011-12 Güz
Örnek
z
Aşağıdaki g(t) sinyalinin ortalama normalize gücünü bulunuz.
Temel Bilgiler
1
− 2
−1
P=
z
1
2
∫
0
1
1
dt = 1 Watt
1
−1
2
A cos(2πf 0t ) sinyalinin ortalama normalize gücünü bulunuz.
T
P=
=
1
A 2 cos 2 ( 2πf 0t ) dt
∫
T 0
A2
T
T
∫
0
T = 1 / f0
1 + cos( 4πf 0 t )
A2
dt =
Watt
2
2
Temel Bilgiler
Bazı Önemli Sinyaller
⎧
1
⎛ t ⎞
⎛ t ⎞ ⎪
Π ⎜ ⎟ = rect ⎜ ⎟ = ⎨
⎝T ⎠
⎝ T ⎠ ⎪0
⎩
t
⎧
⎛ t ⎞ ⎪1 −
Λ⎜ ⎟ = ⎨
T
⎝T ⎠ ⎪ 0
⎩
Π(t/T)
T
2
T
if t >
2
1
if t ≤
t
-T/2
T/2
Λ(t/T)
1
if t ≤ T
if t > T
-T
t
T
0
sinc(x)
1
sinc ( x ) =
sin( π x )
πx
-5 -4
Temel Bilgiler 1
-3 -2
-1
0
1
2
3
4
5
x
1-6
2011-12 Güz
Fourier Serisi
Temel Bilgiler
Periyodu T0 olan bir g p (t ) sinyali için,
∞
⎡
∑ ⎢⎣a
g p (t ) = ao + 2
n =1
a0 =
1
T0
∫
T0 / 2
an =
1
T0
∫
T0 / 2
bn =
1
T0
∫
−T0 / 2
−T0 / 2
T0 / 2
−T0 / 2
⎛ 2πnt ⎞
⎛ 2πnt ⎞⎤
⎟⎟ + bn sin ⎜⎜
⎟⎟⎥
⎝ To ⎠
⎝ To ⎠⎦
n cos ⎜
⎜
g p (t ) dt
⎛ 2πnt ⎞
⎟⎟ dt ,
g p (t ) cos ⎜⎜
⎝ T0 ⎠
n = 1, 2, 3, .L
⎛ 2πnt ⎞
⎟⎟ dt ,
g p (t ) sin ⎜⎜
⎝ T0 ⎠
n = 1, 2, 3, .L
Kompleks Fourier Serisi
g p (t ) = ao +
∞
⎡
∑ ⎢⎣⎢(a
n
Temel Bilgiler
n =1
g p (t ) =
∞
∑c
n= −∞
⎛ j 2πnt ⎞⎤
⎛ j 2πnt ⎞
⎟⎥
⎟⎟ + (a n + jbn )exp⎜⎜ −
− jbn )exp⎜⎜
To ⎟⎠⎦⎥
⎝
⎝ To ⎠
⎛ j 2πnt ⎞
⎟⎟
⎝ To ⎠
n exp⎜
⎜
cn =
1
T0
∫
T0 / 2
− T0 / 2
⎛ j 2πnt ⎞
⎟ dt , n = 0, ± 1, ± 2,L
g p (t ) exp ⎜⎜ −
T0 ⎟⎠
⎝
⎧a n − jbn , n > 0
⎪
cn = ⎨ ao
, n=0
⎪a + jb , n < 0
n
⎩ n
Genel olarak,
c n katsayıları komplekstir. Dolayısı ile, cn = cn exp[ j arg( cn ) ]
Gerçel Değerli Sinyaller için, c − n = c n , dolayısı ile de
*
c− n = cn
Temel Bilgiler 1
( )
( )
ve arg c− n = − arg cn
1-7
2011-12 Güz
Örnek
Temel Bilgiler
T
T
⎧
⎪ A,
− ≤t ≤
g p (t ) = ⎨
2
2
⎪⎩ 0, periyodun kalanı için
cn
AT / T0
T
= 0. 2
T0
g p (t )
A
−
− T0
1
cn =
T0
−
∫
T
2
T0 / 2
−T0 / 2
T
2
3
T
−
2
T
1
T
t
2
T
1 / T0
açı(cn )
⎛ j 2πnt ⎞
⎟ dt
A exp ⎜⎜ −
T0 ⎟⎠
⎝
⎛ nT ⎞
TA
⎟⎟
sinc⎜⎜
To
⎝ To ⎠
1
T
0
T0
3
T
n / T0
Genlik
spektrumu
π
n / T0
⎛ nπT ⎞
A
⎟⎟, n = 0,±1,±2,....
=
sin⎜⎜
nπ
⎝ To ⎠
=
−
−π
Faz
spektrumu
DİKKAT!
Spektrum ayrık
Darbe parametrelerinin etkisi
Faz tek, genlik ise çift simetriye sahip
Sinyal ve Frekans Spektrumu
Genlik
Temel Bilgiler
s
kan
Fr e
Za
m
Za
ma
n
Temel Bilgiler 1
Or
tam
ı
an
Fourier Dönüşümü
ı
rtam
O
s
kan
Fre
1-8
2011-12 Güz
Fourier Transformu
z
Bir aperiyodik g(t) sinyali için
Temel Bilgiler
G( f ) =
g (t ) =
∞
∫− ∞ g (t ) exp (− j 2πft )dt
Fourier Transformu
∞
∫− ∞ G( f ) exp ( j 2πft )df
Ters Fourier Transformu
[
F [ g ( t ) ] = G( f )
g( t ) ← G( f )
→
]
F −1 G( f ) = g( t )
g(t) nin Fourier transformuna g(t) nin Spektrumu da denir.
Fourier Transformu genellikle komplekstir: G( f ) = G( f ) exp[ jθ ( f ) ]
Gerçel değerli bir sinyal için: G( f ) = G * ( − f )
Dolayısı ile,
G( − f ) = G( f ) çift simetri
θ ( − f ) = −θ ( f ) tek simetri
Örnek
Temel Bilgiler
⎛t⎞
A rect⎜ ⎟ ⇔ AT sinc( fT )
⎝T ⎠
|G(f)|
g(t)
AT
A
-T/2
t
T/2
⎛t⎞
⎛t⎞
g (t ) = A rect ⎜ ⎟ = A ∏ ⎜ ⎟
⎝T ⎠
⎝T ⎠
−
2
3
1
−
−
T T
T
G( f ) =
0
1
T
2
T
3
T
f
T /2
∫−T / 2 A exp (− j 2πft )dt
⎡ sin (πfT ) ⎤
= AT ⎢
⎥
⎣ πfT ⎦
= ATsinc( fT )
Temel Bilgiler 1
1-9
2011-12 Güz
Örnek
g(t)
g(t)
Temel Bilgiler
1
1
t
0
0
g( t ) = exp( − t ) u( t )
G( f ) =
t
g( t ) = exp( t ) u( − t )
∞
∫− ∞ exp(−t ) exp (− j 2πft )dt
G( f ) =
∞
∞
∫− ∞ exp(t ) exp (− j 2πft )dt
=
∫0 exp[− (1 + j 2πf )t ]dt
=
∫ −∞ exp[(1 − j 2πf )t ]dt
=
1
1 + j 2πf
=
1
1 − j 2πf
exp( − t ) u( t ) ⇔
1
1 + j 2πf
0
exp( t ) u( −t ) ⇔
1
1 − j 2πf
Doğrusallık Özelliği
ag1 ( t ) + bg 2 ( t ) ⇔ aG1 ( f ) + bG2 ( f )
Temel Bilgiler
g(t)=exp(-|t|)
1
g1 (t ) = exp (− t ) u (t )
g 2 (t ) = exp (t )u (− t )
g (t ) = exp(− t ) = g1 (t ) + g 2 (t )
G( f ) =
1
1 + j 2πf
1
g 2 (t ) ⇔
1 − j 2πf
g1 (t ) ⇔
1
1
+
1 + j 2πf 1 − j 2πf
exp( − t ) ⇔
Temel Bilgiler 1
t
0
2
1 + ( 2 fπ )
2
1-10
2011-12 Güz
Genleştirme Özelliği
Temel Bilgiler
g (at ) ⇔
F [g ( at )] =
1 ⎛f ⎞
G⎜ ⎟
a ⎝a⎠
∞
∫− ∞ g (at ) exp (− j 2πft )dt
τ = at yazarak
F [g ( at )] =
=
Örnek
1
a
⎛
∞
⎛f⎞ ⎞
∫− ∞ g (τ ) exp ⎜⎜⎝ − j 2π ⎜⎝ a ⎟⎠τ ⎟⎟⎠ dt
1 ⎛f ⎞
G⎜ ⎟
a ⎝a⎠
⎧exp( − at ) , t > 0
⎪
1
g( t ) = ⎨
t=0
,
2
⎪
t<0
0
,
⎩
G( f ) =
1
a( 1 + j 2πf / a )
Dualite Özelliği
Temel Bilgiler
G (t ) ⇔ g (− f )
g ( −t ) =
∞
∫− ∞ G( f ) exp(− j 2πft )df
g (− f ) = ∫
∞
−∞
ve t ile f birbirinin yerine yazılırsa,
G (t ) exp (− j 2πft ) dt
g (t ) = Asinc(Wt ) ⇔
Örnek
A
⎛ f ⎞
rect⎜ ⎟
W
⎝W ⎠
g(t)
G( f )
A
A/W
t
−
Temel Bilgiler 1
3
2
1
−
−
W W
W
1
W
2
W
3
W
f
-W/2
W/2
1-11
2011-12 Güz
Zamanda Öteleme Özelliği
Temel Bilgiler
g( t − t o ) ⇔ G( f ) exp( − j 2πft o )
τ = t − t 0 yazılırsa,
F [g (t − t o )] = exp(− j 2πft o )
∞
∫− ∞ g (τ ) exp (− j 2πfτ ) dτ = exp (− j 2πfto ) G( f )
g a (t )
Örnek
A
Ga ( f ) = ATsinc( fT ) exp(− jπfT )
t
0
T
g b (t )
A
Gb ( f ) = ATsinc( fT ) exp( jπfT )
t
-T
0
Frekansta Öteleme Özelliği
Temel Bilgiler
exp( j 2πf c t ) g( t ) ⇔ G( f − f c )
F [exp( j 2πf c t )g (t )] = ∫
∞
−∞
Örnek
g (t ) exp[− j 2πt ( f − f c )] dt = G ( f − f c )
⎛t⎞
g( t ) = A rect⎜ ⎟ cos( 2πf c t )
⎝T ⎠
cos( 2πf c t ) =
G( f ) =
[
1
exp( j 2πf c t ) + exp( − j 2πf c t )
2
A
t
]
T
AT
{sinc [( f − f c )T ] + sinc [( f + f c )T ]}
2
⎧ AT
sinc [( f − f c ) T ],
⎪⎪
G( f ) ≈ ⎨ 2
⎪ AT sinc [( f + f ) T ],
c
⎪⎩ 2
Temel Bilgiler 1
f cT >> 1
1
fc
g(t)
| G( f ) |
AT/2
f >0
f <0
− fc
f
fc
2
T
1-12
2011-12 Güz
g(t) ve G(f) Altında Kalan Alan
∞
Temel Bilgiler
∫−∞
Örnek
g (t ) dt = G(0)
Asinc(2Wt ) ⇔
g (0) = ∫
∞
−∞
G( f ) df
A
⎛ f ⎞
rect⎜
⎟
2W
⎝ 2W ⎠
f=0 yazılırsa,
∞
∫ − ∞ Asinc (2Wt ) dt = 2W
A
∞
Ayrıca, özel olarak A=1 ve 2W=1 alınırsa,
∫ − ∞ sinc (t) dt = 1
Zamanda Türev Özelliği
Temel Bilgiler
d
g (t ) ⇔ j 2πfG ( f )
dt
Temel Bilgiler 1
n. türev için ise,
dn
n
( )
n g t ⇔ ( j 2πf ) G ( f )
dt
1-13
2011-12 Güz
Zamanda İntegral Özelliği
∫
t
Temel Bilgiler
−∞
g (t ) =
g(t)
d ⎡
dt ⎢⎣
kullanılırsa,
g (τ ) dτ ⇔
⎤
t
∫ − ∞ g (τ ) dτ ⎥⎦
1
G( f )
j 2πf
G(0)=0 için
şeklinde ifade edilip, türev özelliği
⎧ ⎡
G ( f ) = j 2πf ⎨ F ⎢
⎩ ⎣
t
⎤⎫
∫ − ∞ g (τ ) dτ ⎥⎦ ⎬⎭
G (0) ≠ 0 için ise,
t
∫ − ∞ g (τ ) dτ ⇔ j 2πf G( f ) +
1
G ( 0)
δ( f )
2
Örnek
g (t )
g(t) üçgen darbesinin Fourier transformunu
bulunuz.
Temel Bilgiler
AT
-T
0
T
t
g1 (t )
A
G1 ( f ) = AT sinc ( fT )[exp( jπfT ) − exp(− jπfT )]
= 2 jAT sinc( fT )sin(πfT )
T
-T
0
t
-A
g(t), g1(t) nin integrali olduğundan,
G( f ) =
1
G1 ( f )
j 2πf
= AT
sin(πfT )
sinc( fT )
πf
= AT 2 sinc 2 ( fT )
Temel Bilgiler 1
1-14
2011-12 Güz
Kompleks Eşlenik Özelliği
Temel Bilgiler
g * (t ) ⇔ G * (− f )
g (t ) =
∞
∫− ∞
G( f )exp( j 2πft )df
g * (t ) =
∞
∫ − ∞ G ( f )exp(− j 2πft )df
= −∫
−∞
∞
=
∞
*
G * (− f )exp( j 2πft )df
∫− ∞ G (− f )exp( j 2πft )df
*
Örnek
Temel Bilgiler
g( t ) = Re[ g( t ) ] + j Im[ g( t ) ]
Temel Bilgiler 1
Re[g (t )] =
Re[g (t )] ⇔
[
]
Im[g (t )] =
1
g (t ) + g * (t )
2
[
g * ( t ) = Re[ g( t ) ] − j Im[ g( t ) ]
]
1
G ( f ) + G * (− f )
2
[
]
1
g (t ) − g * (t )
2j
Im[g (t )] ⇔
[
]
1
G ( f ) − G * (− f )
2j
1-15
2011-12 Güz
Çarpma ve Konvolüsyon Özelliği
Temel Bilgiler
g1 ( t ) g 2 ( t ) ⇔
∞
∫−∞ G1 (λ ) G2 ( f − λ ) dλ
g1 (t )g 2 (t ) ⇔ G1 ( f ) ⊗ G2 ( f )
Zamanda
Çarpma
∞
∫ − ∞ g1(τ ) g 2 (t − τ ) dτ ⇔ G1( f ) G2 ( f )
g1 ( t ) ⊗ g 2 ( t ) ⇔ G1 ( f ) G2 ( f )
Zamanda
Konvolüsyon
Dirac Delta Fonksiyonu
z
Dirac delta fonksiyonunun tanımı:
Temel Bilgiler
δ ( t ) = 0 , t ≠ 0 için , ve
∞
∫ δ (t ) dt = 1
−∞
z
İmpuls olarak da bilinir.
z
Özellikleri:
δ ( − t ) = δ (t )
δ(at ) =
1
δ(t )
|a|
g (t )δ (t − t0 ) = g (t0 )δ (t − t0 )
∞
∫ g (t ) δ (t )dt = g (0)
−∞
∞
∫ g ( t )δ ( t − t
0
) dt = g ( t 0 )
−∞
∞
∫ g (τ )δ (t − τ )dτ = g (t )
−∞
g( t ) ⊗ δ ( t ) = g( t )
Temel Bilgiler 1
1-16
2011-12 Güz
Dirac Delta Fonksiyonu
Temel Bilgiler
z
Dirac delta fonksiyonunun Fourier transformu:
F [δ (t ) ] =
∫
∞
−∞
δ (t ) exp (− j 2π ft ) dt = 1
δ (t) ⇔ 1
g(t)
|G( f )|
1
t
0
f
0
δ(t) Uygulamaları
z
1⇔δ ( f )
DC Sinyal
g( t )
Temel Bilgiler
t
0
f
0
z
Kompleks Exponansiyel
z
Sinüsoidal Sinyal
cos( 2πf c t ) =
G( f )
∞
∫ − ∞ exp (− j 2πft )dt = δ ( f )
1
exp( j 2πf c t ) ⇔ δ ( f − f c )
cos( 2πf c t ) ⇔
[
1
exp( j 2πf c t ) + exp( − j 2πf c t )
2
[
1
δ ( f − fc ) + δ ( f + fc )
2
]
]
1/ f c
|G( f )|
g(t)
t
− fc
f
0
fc
0
Temel Bilgiler 1
1-17
2011-12 Güz
δ(t) Uygulamaları
z
Sinüsoidal Sinyal
1
[δ ( f − f c ) − δ ( f + f c )]
2j
Temel Bilgiler
sin (2πf c t ) ⇔
sin (2πf c t ) =
1
[exp( j 2πf c t ) − exp(− j 2πf c t )]
2j
1/ fc
j G( f )
g(t)
t
− fc
f
0
fc
0
δ(t) Uygulamaları
z
Birim Basamak Sinyali
t
Temel Bilgiler
∫ − ∞ δ (τ ) dτ = j 2πf +
u (t ) =
1
t
∫ − ∞ δ (τ ) dτ
u( t ) ⇔
δ( f )
2
1
1
+ δ( f)
j 2πf 2
|G(f )|
g(t)
1
0
Temel Bilgiler 1
t
0
f
1-18
2011-12 Güz
δ(t) Uygulamaları
z
İşaret Fonksiyonu
Temel Bilgiler
sgn( t ) ⇔
⎧ 1, t > 0
⎪
sgn( t ) = ⎨ 0, t = 0
⎪ −1 t < 0
⎩
1
jπf
sgn( t ) = 2u( t ) − 1
j G(f)
g(t)
1
t
0
f
0
-1
Periyodik Sinyallerin Fourier
Transformu
Temel Bilgiler
g p (t )
−
3T0
2
−
g p (t ) =
3T0
2
− T0 / 2
T0 / 2
t
∞
∑ g (t − mTo )
m =−∞
g p (t ) ⇔
Temel Bilgiler 1
t
T0
2
T0
2
g(t)
1
To
∞
⎛n⎞ ⎛
n⎞
⎟⎟ δ ⎜⎜ f − ⎟⎟
To ⎠
o ⎠ ⎝
∑ G⎜⎜⎝ T
n = −∞
1-19
2011-12 Güz
Örnek
z
g p (t ) sinyalinin Fourier transformunu bulunuz.
g p (t )
Temel Bilgiler
1
−T
−
T
4
T
4
T
t
Çözüm
z
g(t) sinyalinin Fourier transformu G ( f ) = T sinc⎛⎜ f T ⎞⎟
2
⎝ 2 ⎠
g (t )
g (t )
p
Temel Bilgiler
1
−T
−
T
g p (t ) ⇔
1
To
Gp ( f ) =
Temel Bilgiler 1
t
T T
4 2
T
T
−
2
4
∞
T0 = T
⎛ n⎞ ⎛
n⎞
⎟⎟ δ ⎜⎜ f − ⎟⎟
T
o ⎠ ⎝
o ⎠
∑ G⎜⎜⎝ T
n = −∞
1 ∞
n⎞
⎛n⎞ ⎛
sinc⎜ ⎟ δ ⎜ f − ⎟
2 n = −∞
T⎠
⎝2⎠ ⎝
∑
1-20
2011-12 Güz
Örnek
x(t )
Temel Bilgiler
4
Temel Bilgiler 1
⎛t −2⎞
3Π⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ t ⎞
Π⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
-5
0 1
3
5
⎛t −2⎞
⎛ t ⎞
x(t ) = 3Π⎜
⎟ + Π⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 10 ⎠
t
X ( f ) = 6 sinc(2 f ) e − j 4πf + 10 sinc(10 f )
1-21