Açı Modülasyonu

4.2. Açı Modülasyonu
Yüksek frekanslı bir işaret ile bilgi taşımak, işaretin genliğinin, frekansının veya fazının bir
mesaj işareti ile modüle edilmesi ile gerçekleştirilebilir. Bu üç farklı modülasyon yöntemi
sırasıyla, Genlik Modülasyonu (Amplitude Modulation-AM), Frekans Modülasyonu
(Frequency Modulation - FM) ve Faz Modülasyonu (Phase Modulation - PM) olarak
adlandırılır. Pratik uygulamalarda farklı modülasyon yöntemlerinin birleşimleri kullanılabilir.
Örneğin televizyon haberleşmesinde parlaklık bilgisi AM, ses bilgisi FM ve renk tonu bilgisi
PM yöntemleri kullanılarak iletilmektedirler.
Açı modülasyonunun en önemli avantajı gürültü ve diğer bozucu etkilerin azalmasıdır. Ayrıca
açı modülasyonunu gerçekleştiren aygıtların karmaşıklığı fazla değildir. Bu iyileştirmenin bir
bedeli olarak modüle edilmiş işaretin bant genişliği mesaj işaretinin bant genişliğine göre çok
artmıştır. Eğer taşıyıcının frekansı bilgi işaretine göre değişiyorsa FM, taşıyıcının fazı bilgi
işaretine göre değişiyorsa PM olarak adlandırılır. Açı modülasyonunda, genliği sabit tutulan
bir sinüzoidal taşıyıcı işaretin açısı, bir mesaj işareti genliği ile modüle edilmektedir.
Sabit A genliği, θ ( t ) ani ya da genelleştirilmiş açılı sinüzoidal işaret
Φ ( t ) = Acos (θ ( t ) )
(4.9)
ile verilir.
İşaretin ani (ansal) frekansı
wi ( t ) =
dθ ( t )
dt
(4.10)
şeklinde tanımlanır.
Eğer θ ( t ) zamana göre lineer değişiyorsa θ ( t ) = w0t + θ 0 ise bu durumda sinüzoidal frekansı
w0 olup ansal frekansı sabittir.
4.2.1. Faz Modülasyonu (Phase Modulation, PM)
A genlikli, μ frekansında salınım yapan
x ( t ) = Acos ( μ t )
(4.11)
biçimindeki sinüzoidal bir mesaj işareti ile, Ac genlikli ve wc açısal frekanslı
c ( t ) = Ac cos (ωc t )
(4.12)
biçimindeki bir taşıyıcı sinyalin fazının modüle edildiği düşünülsün. Burada , μ = 2πf ve
ωc = 2π f c ’ dir. Modülasyon sonucunda oluşan sinyal
1
m
xc ( t ) = Ac cos (ωc t + ϕ ( t ) )
(4.13)
şeklinde olacaktır. Burada φ(t) anlık faz sapması olarak adlandırılır. PM’de anlık faz sapması
ϕ ( t ) = k p cos ( μ t )
(4.14)
biçiminde mesaj işareti ile doğru orantılıdır. Burada k p modülatör sabitidir. Böylelikle
modüle edilmiş işaretin Φ(t) ile gösterilen toplam açısı, mesaj işaretinin bir fonksiyonu haline
gelir:
Φ ( t ) = ωc t + k p cos ( μ t )
(4.15)
Burada “k cos(μt)” faz sapması, k p ise maksimum faz sapmasına eşit olup A ile doğru
p
orantılıdır. PM için modülasyon indeksi k p ’ye eşittir. PM için anlık frekans wA ( t ) , toplam
açının zamana göre türevine eşittir:
d Φ ( t ) d ( wc t + k p cos ( μ t ) )
=
dt
dt
wA ( t ) = wc − μ k p sin ( μ t )
(4.16)
wA ( t ) =
4.2.2. Frekans Modülasyonu (Frequency Modulation, FM)
Denklem (4.11)’ deki mesaj işaretinin, Denklem (4.12)’ dteki taşıyıcı işaretin frekansını
modüle ettiği düşünülsün. Frekans modülasyonunda, taşıyıcı işaretin anlık frekansı ω A ( t )
ω A ( t ) = ωc + k f cos ( μt )
(4.17)
biçiminde doğrudan mesaj işareti ile değiştirilmektedir (mesaj işaretinin bir fonksiyonu
olmaktadır). Burada “ k f cos ( μ t ) ” frekans sapması, k modülatör sabitidir. k aynı zamanda
f
f
maksimum frekans sapması’na eşit olup A ile doğru orantılıdır. Toplam açı Φ(t), anlık
frekansın integrasyonuyla elde edilir:
Φ ( t ) = ωc t + (k f / μ ) sin ( μ t )
(4.18)
Δf Hz cinsinden maksimum frekans sapması olmak üzere
k f = 2πΔf
(4.19)
şeklinde yazılabilir. Frekans modülasyonlu işaret (FM işareti) aşağıdaki şekilde gösterilir:
(
xc ( t ) = Ac cos ωc t +
(k
f
/ μ ) sin ( μ t )
)
(4.20)
FM’de β ile gösterilen modülasyon indeksi,
2
β = kf / μ
(4.21)
= 2πΔf / 2π f m
= Δf / f m
şeklindedir. Mesaj işaretinin frekansı artarsa
• β azalır.
• Frekans spektrumundaki bileşenlerin bazılarının genlikleri artarken bazılarınınki azalır.
• Bileşenler arasındaki frekans farkı artar ancak bant genişliğinin değişmediği kabul
edilir. Çünkü küçük β değerlerinde, yüksek frekans bileşenlerinin genlikleri göz
önüne alınmayacak kadar küçük olurlar.
Şekil 4.16’ da örnek olarak modüle eden sinüzoidal mesaj işareti, modüle edilmemiş taşıyıcı
işaret, FM işareti ve PM işareti gösterilmektedir. Burada dikey eksen genliği, yatay eksen ise
zamanı göstermektedir.
Şekil 4.16: (a) Modüle eden mesaj işareti, (b) Modüle edilmemiş taşıyıcı, (c) FM işareti, (d) PM
işareti.
3
FM İşaretin Spektrumu
x ( t ) ≤ 1 kabul edildiğine göre x ( t ) max = 1 olur. O halde k f x ( t ) için
1. k f <<1 ise modülasyon lineerdir. Modüle edilmiş işaretin bant genişliği x ( t ) ’ nin bant
genişliğinin yaklaşık iki katı olur. Yani bant genişliğini x ( t ) belirler.
2. k f >>2 ise modüle edilmiş işaretin bant genişliği yaklaşık 2k f olur. Bant genişliğini
modülasyon sabiti belirler.
3. k f 1’den çok büyük değilse bu durum ayrıca incelenecektir.
Bir FM işaretinin Fourier dönüşümünü bulmak zordur. Ancak modülasyon nedeni ile tepe
frekans kaymasının küçük olduğu durumlarda (Δw) herhangi bir x ( t ) mesaj işaretinin
modüle edilmiş halinin spektrumu bulunabilir. Bu durumda k f çok küçük olur ki β’ nın <0.2
ya da β<0.5 olduğu duruma karşılık gelir. Böylece FM lineer bir modülasyon olur. Bu tip
modülasyon Dar Bant Frekans Modülasyonu (NBFM) olarak adlandırılır. Eğer β yeteri kadar
küçük ise modüle edilen dalganın Fourier dönüşümü modüle eden mesaj işaretinin
spektrumu X ( w ) ’ dan bulunabilir. Ancak β küçük değil ise herhangi bir x ( t ) fonksiyonunun
FM modülasyonlu dalga biçiminin Fourier dönüşümünü Fourier integrali ile bulmak mümkün
değildir. Sadece özel durumlar için integrasyon nümerik olarak hesaplanabilir. FM işaretinin
bant genişliğinin modülasyon indeksi β ile arttığı bilinmektedir. β ’nın artması modüle eden
işaretin genliğinin artmasına karşı düşer. O halde işaretin genliğinde olan artış modüle edilmiş
işaretin bant genişliğini arttırmaktadır. Oysa GM’ de böyle bir durum söz konusu değildi.
GM’lu işaretin bant genişliği modülasyon indeksi β’ ya bağlı değildi.
Frekans Modülasyonlu İşaretlerin Üretimi
FM dalga biçiminin üretim yöntemleri başlıca iki başlık altında toplanabilir.
1. Dolaylı FM: Bu yöntemde önce mesaj işareti f ( t ) ’ nin integrali alınır. Bununla
taşıyıcının açısı modüle edilerek bir dar bant FM (NBFM) dalga biçimli işaret üretilir.
Daha sonra dar bant FM’de frekans çarpması yöntemi ile istenilen geniş bant FM
işaret elde edilir. Bu metot Armstrong yöntemi olarak adlandırılır.
2. Doğrudan FM: Bu yöntemde taşıyıcı oluşturulurken taşıyıcı frekansı doğrudan
modüle eden işarete bağlı olarak değiştirilir.
Frekans Modülasyonlu İşaretlerin Demodülasyonu
Demodülasyonda amaç modüle edilmiş işaretten mesaj işaretini elde etmektir. FM dalga
biçimi için demodülasyondan amaç, giriş işaretinin ani frekansı ile lineer olarak genliği
değişen bir çıkış işareti üretmektir. Tüm bu demodülatörleri iki sınıfa ayırmak mümkündür.
a) Diskriminatörler
b) Faz kilitleme çevrimli (PLL) demodülatörler
4
temel bantta
indirgeme işlemi
sinyalin
fazı bulunur
türev işlemi
ve genlik ayarlaması
m ( t ) = A cos ( 2π f mt ) işareti için FM modüleli bir yapıda
φ = 2π k f
t
∫ m(τ )dτ =
kf A
−∞
fm
sin(2 π f m t ) şeklinde bulunabilir. Buradan modüleli işaret
u (t ) = Ac cos(2 π f c t + β sin(2 π f m t )) olarak yazılır. β ’ya modülasyon indisi denir.
t
Örnekte verilen u(t) işareti için faz bilgisi 2 pi k f
∫ m (λ ) d λ
şeklinde bulunur. Buradan çıkan
−∞
sonucun türevi alınıp 2 π k f ile çarpılırsa m(t ) elde edilebilir.
Şekil 4.17: FM İşaretlerin Demodülasyonu
4.2.3. Açı Modüleli Sinyallerin Bant genişliği
Genel olarak açı modüleli bir işaretin efektif bant genişliği sinyalin gücünün yaklaşık %98
‘ini içermektedir. Bant genişliği ifadesi
Bc = 2( β + 1) f m
(4.22)
şeklinde verilmektedir.
5