proses (süreç) kontrolü - TOK2013

Transkript

Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya
PROSES (SÜREÇ) KONTROLÜ
868
U-Tüp Buhar Jeneratörü Seviye Kontrolü İçin Gözleyici-Temelli
Kontrolör Tasarımı
Günyaz Ablay
Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü
Abdullah Gül Üniversitesi, Kayseri
[email protected]
avantajı, indirgenmiş-mertebeli sistem modeli ve minimum
sayıda parametre kullanılarak ve de buhar jeneratörünün sahip
olduğu pratik kısıtlamalar göz önünde bulundurularak,
arzulanan kararlılık, sistem yanıtı ve dayanıklılık
karakteristiklerini sağlamasıdır.
Bu çalışma aşağıdaki gibi planlanmıştır. Buhar jeneratörü
ve problem formülasyonu Bölüm 2’de tanımlanmıştır. Bölüm
3 önerilen gözleyici-temelli kontrol yaklaşımını sunmaktadır.
Bölüm 4’te nümerik sonuçlar verilmiştir ve Bölüm 5’te bu
çalışmadan çıkarılabilecek sonuçlar özetlenmiştir.
Özetçe
Nükleer güç santrallerindeki buhar jeneratörü seviye kontrol
sistemi sıklıkla başlangıç ve düşük güç seviyelerinde yetersiz
kalmaktadır. Bu problemin çözümü için, basit, dayanıklı ve
gözleyici-temelli bir kontrolör tasarlandı. Önerilen kontrol
yöntemi yalnızca indirgenmiş-mertebeli sistem modelinden
faydalanmakta ve nükleer reaktörün bütün güç aralığında
kararlılık, iyi performans ve dayanıklılığı garanti etmektedir.
Önerilen gözleyici-temelli kontrol dizaynının nümerik
sonuçları sistemdeki parametre belirsizliklerine rağmen
oldukça yüksek seviyeli kontrol performansı elde
edilebileceğini gösteriyor.
2. Buhar Jeneratörü ve Problem Formülasyonu
U-tüp buhar jeneratörleri, çoğu nükleer elektrik santrallerinin,
örneğin basınçlı-su reaktörleri ve ağır-su reaktörleri gibi,
temel bir bileşenidir. Nükleer reaktörde üretilen ısı enerjisi
buhar jeneratörleri tarafından buhar enerjisine dönüştürülerek
buhar türbinleri tahrik edilmekte ve elektrik üretilmektedir.
Buhar jeneratörünün su seviyesi, sistemi istenmeyen
zararlardan korumak amacıyla belirlenen üst ve alt limitler
içerisinde kontrol sistemi tarafından tutulmalıdır. Nükleer
reaktörlerin geniş çalışma aralığı, değişken buhar veya güç
talebi ve suyun buhar jeneratöründe iki-fazlı olması nedeniyle,
su seviyesinin kontrolü oldukça zordur.
1. Giriş
Gittikçe artan enerji talebi, büyük çaplı elektrik enerjisi
üretiminde nükleer santralleri önemli bir kaynak haline
getirmektedir. Zamanla-değişen güç talepleri karşısında,
santralin etkin çalışma zamanını, güvenirliğini ve güvenliğini
garanti etmek için nükleer santralin en önemli bileşenlerinden
biri olan U-tüp buhar jeneratörünün su seviye kontrolünün
daha etkin ve dayanıklı kontrol metotlarıyla denetlenmesi
gereklidir.
Buhar jeneratörü oldukça karmaşık, parametreleri
zamanla-değişen ve nonlineer bir sistemdir. Reaktörün geçici
olarak kapanmasının nedenlerini araştıran pek çok çalışma,
buhar jeneratörü su seviye kontrol sistemindeki yetersizliğin
bu durumun en önemli sebebi (% 25 civarında) olduğunu
göstermektedir [1]–[3]. Bu nedenle, literatürde buhar
jeneratörü için geliştirilmiş pek çok klasik ve modern kontrol
metotları görülmektedir. Bu kontrol yaklaşımları çoğunlukla
PID kontrolöründen [4]–[9] oluşmakla beraber, adaptif kontrol
[3], H∞ kontrol [10], L2 kontrol [11], model tahmin-edici
kontrol [12]–[14], lineer kuadratik kontrol [15], bulanık
mantık temelli kontrol [16] ve kayan kipli kontrol [17]–[19]
metotlarını da içerlemektedir. Literatürdeki bu kontrol
tasarımları belli bir seviyede iyi performans sağlamasına
rağmen ya lokal çalışma bölgeleri için (özellikle düşük güç
çalışma bölgesi) ya da parça-parça lineer bölgeler için
kontrolör tasarımı verilmiştir. Fakat kontrol tasarımlarında
kullanılan akışkan ölçümleri pratikte sorunludur ve parçaparça lineer bölgeler için tasarlanan kontrolörler uygulama
zorluklarından dolayı pek pratik değildir.
Bu çalışmanın amacı, tek bir dayanıklı kontrol tasarımıyla
buhar jeneratörü su seviyesi denetimini, nükleer reaktörün
bütün çalışma aralığında ve yüksek bir kontrol performansla
başarmaktır. Tasarlanan gözleyici-temelli kontrolün temel
2.1. Buhar Jeneratörünün Matematiksel Modeli
Kontrol sistemi tasarımında ve simülasyonlarda yaygın olarak
kullanılan buhar jeneratörü modeli s-bölgesinde aşağıdaki gibi
verilebilir [3]
Y ( s ) = Y1 ( s ) + Y2 ( s ) + Y3 ( s )
Y1 ( s ) =
K1
s
Y2 ( s ) = −
Y3 ( s ) =
(1)
(u − q )
K2
1 + τ 2s
(2)
(u − K 4 q )
(3)
K3
s + 2τ 1 s + τ 1 + 4π T
2
−1
−2
2
−2
u
(4)
burada sistem çıkışı olarak su seviyesi 𝑌 (mm cinsinden) ile,
kontrol girişi olarak besleme suyu 𝑢 (kg/s cinsinden), ve buhar
akışı 𝑞 (kg/s cinsinden) olarak verilmiştir. Sistem
parametreleri 𝜏! (𝑝) , 𝜏! (𝑝) sönüm sabiteleri, 𝑇(𝑝) mekanik
salınım periyodu, ve 𝐾! , 𝐾! (𝑝) ve 𝐾! (𝑝) ise genlik
869
parametreleridir. Burada 𝑝 (% cinsinden) reaktörün gücünü
temsil etmektedir ve bütün sistem parametreleri (𝐾! hariç)
gücün birer fonksiyonudur. Deneysel olarak elde edilmiş
sistem parametreleri Tablo 1’de verilmiştir [3].
akışı ölçümlerinden faydalanarak su seviyesini kontrol
etmektedir.
uHP = k ph ( ( y − r ) + Ah (u q−) )
Tablo 1: Buhar jeneratörü parametre değerleri.
Güç
Deneysel Parametreler
Düzeyi
K1
K2
K3
K 4 T τ1 τ2
(s) (s) (s)
(%p) (mm/kg) (mm-s/kg) (mm/kg)
%5
%15
%30
%50
%100
0.058
0.058
0.058
0.058
0.058
9.63
4.46
1.83
1.05
0.47
0.181
0.226
0.310
0.215
0.105
1.60
1.90
2.25
2.80
4.82
119.6 41.9 48.4
60.5 26.3 21.5
17.7 43.4 4.5
14.2 34.8 3.6
11.7 28.6 3.4
Geleneksel kontrol sistemi iyi bir kontrol yaklaşımı
olmasına rağmen, başlangıçta ve düşük güçlerde yeteri kadar
güvenilir değildir ve sistemi kararsızlaştırabilmektedir [1]–[4].
Bu durum operatörlerin sıklıkla su seviyesini manuel yollarla
kontrol etmesine ve düşük performansa neden açmaktadır.
q
(kg/s)
57.4
180.8
381.8
660.0
1434.7
3. Gözleyici-Temelli Pratik Bir Kontrolör
Buhar jeneratörü için Bölüm 2.1’de verilen matematiksel
model, mekanik salınım etkisinin ihmal edilmesiyle, durumuzay formunda aşağıdaki model ile tanımlanabilir,
Denklem (2) su seviyesinin buhar jeneratöründeki
hacimsel dengesinden elde edilmiştir ve sürekli-hal su
seviyesini tanımlar.
Denklem (3) buhar jeneratöründeki suyun genleşme–
büzülme etkisini temsil etmektedir. Bu etki sistem üzerinde
negatif termodinamik etkiye sahiptir, yani buhar talebi
arttığında iki-fazlı akışkandaki köpüklerin genleşmesi sonucu
su seviyesi azalmak yerine artmaktadır ve bunun tersi de
doğrudur. Bu durum özellikle düşük güçteki çalışma
şartlarında kontrol sisteminin yanılmasına neden olmaktadır.
Denklem
(4)
ise
mekanik
salınım
etkisini
modellemektedir. Buhar jeneratörüne gelen besleme suyu, su
seviyesinde sönümlü salınımlara neden olmaktadır. Mekanik
salınımın genellikle sistem üzerine etkisi küçüktür ve bundan
dolayı, kontrol tasarımında ihmal edilebilir [20].
" x = K u − q
1
$ 1
$
1
K ( p)
x2 − 2
u − K 4 ( p)q
# x2 = −
τ 2 ( p)
τ 2 ( p)
$
$ y = x1 + x2
%
(
Seviye
Sensörü
Güç
Sensörü
Reaktör
Buhar
Jeneratörü
Basınç
Denetleyici
e1 = r − x1
(7)
(8)
Denklem (8)’de verilen referans takip hatasını sıfıra götürmek
ve yüksek kontrol performansı elde etmek amacıyla, bu
çalışmada denklem (9)’daki kontrolör önerilmektedir
Türbin
(
!k e +k e $
*u(x, ξ ) = U max sat # 0 0 1 1 &
" U max %
*
*e1 = r − x1 + ξ
)
*e0 = e1
*
*ξ = − 1 ξ + 1 u − q
+
τ
τ
Yoğuşturucu
Besleme
Valfleri
(
Şekil 1: Buhar jeneratörü su seviyesi kontrol mekanizması.
(9)
)
burada 𝑘! ve 𝑘! geribeslemeli kontrol kazançlarıdır, 𝑈!"#
maksimum kontrol sinyalidir, 𝜉 ileribeslemeli kontrol
sinyalidir ve 𝜏 da ileribeslemeli kontrol parametresidir. Buhar
akışı ile besleme suyu arasındaki fark kontrol sistemi
tarafından dikkate alınarak su seviyesi kontrol performansının
artırılması hedeflenmektedir. Denklem (9)’daki sat(∙)
fonksiyonu aşağıda tanımlanan doyum (veya saturasyon)
fonksiyonudur.
Nükleer reaktörün gücü %2’den düşükse, su seviyesi manuel
yöntemle kontrol edilmektedir. Nükleer reaktörün gücü
%2’den yukarı ise, iki seviyeli otomatik kontrol sistemi
devreye girmektedir. Düşük güçlerde (%15’ten aşağı), PI
kontrolör (tek-elemanlı kontrol) su seviyesi ölçümünü
kullanarak besleme suyu için kontrol sinyali üretmektedir.
u = k pl (r − y ) + kil ∫ (r− y )dt
)
burada su kütlesinin hacimsel dengesi 𝑥! (mm cinsinden) ile
ve suyun genleşme–büzülme etkisi 𝑥! (mm cinsinden) ile
gösterilmiştir.
Su kütlesinin hacimsel dengesi 𝑥! sistemin sürekli-hal su
seviyesini belirlediğinden, bu durum değişkeni kontrol
sisteminin tasarlanmasında referans su seviyesi 𝑟’yi takip etme
probleminde kullanılabilir, yani
Geleneksel kontrol yöntemi PI kontrol sistemlerinden
oluşmaktadır [9], [21]–[23] ve Şekil 1’de resimlenmektedir.
Su Seviyesi
Kontrolörü
)
(
2.2. Geleneksel Su Seviyesi Kontrol Sistemi
Akış
Sensörleri
(6)
+ kih ∫ ( ( y − r ) + Ah (u q−) ) dt
(5)
⎧ 1
⎪
sat(γ / U max ) = ⎨γ / U max
⎪ −1
⎩
Yüksek güçlerde (%15 ile %100 arası) ise, PI kontrolör (üçelemanlı kontrol) su seviyesi, buhar akışı ve besleme suyu
870
,
γ / U max > 1
,
γ / U max ≤ 1
,
γ / U max < 1
(10)
−
Denklem (15)’te, eğer gözleyici kazancı 𝛿 yeterince büyük
burada 𝛾 𝑒 = 𝑘! 𝑒! + 𝑘! 𝑒! . Denklem (9)’daki maksimum
kontrol sinyalinin, 𝑈!"# , yeterince büyük olduğu varsayılırsa,
kontrol sinyali 𝑢 = 𝛾 𝑒 ’ye indirger. Böylece, kapalı çevrimli
sistem, denklem (7) ve (9) kullanılarak şu şekilde yazılabilir
(
)
x = A − BK x
! !)
+ !! (!!!)
, 𝑉(𝑒) ’nin
seçilirse, yani 𝛿 > −!!!! + !!!! − !! (!!!
!!
!!
türevi negatif tanımlı olur 𝑉 𝑒 < 0. Bu nedenle nonlineer
gözleyicinin kazancı 𝛿 yeterince büyük seçilerek gözleyici
hatasının sıfıra gitmesi sağlanır. Buradaki kararlılık
analizinde, indirgenmiş-mertebeli model yerine özgün sistem
modelinin kullanılması sonucu etkilemeyecektir, çünkü
gözleyici kazancının değeri istenildiği kadar büyük seçilebilir.
Nonlineer gözleyici (13)’ün tahmin ettiği durum
değişkeni 𝑥! online olarak kullanılabilir olduğundan, önerilen
kontrolör (9) pratik olarak uygulanabilir. Bu çalışmada
önerilen buhar jeneratörü su seviyesi kontrol sistemi Şekil
2’de gösterilmiştir.
(11)
burada
⎡0 0
⎡ x1 ⎤
⎢
x = ⎢ x2 ⎥ , A = ⎢0 − τ1
⎢ ⎥
⎢⎣1 0
⎢⎣ e0 ⎥⎦
0⎤
⎡ K1
⎥
⎢ K
0⎥ , B = ⎢− τ
⎢⎣ 0
0 ⎥⎦
2
2
2
⎤
⎡ k1 ⎤
⎥ T ⎢ ⎥
⎥,K = ⎢ 0 ⎥
⎥⎦
⎢⎣ k0 ⎥⎦
Kontroledilebilirlik matrisi (𝐴, 𝐵)’nin kontroledilebilir olduğu
açıktır. Yani kontrol kazançları 𝐾 = [𝑘! 0 𝑘! ] uygun ş ekilde
tasarlanarak 𝐴 − 𝐵𝐾’nin Hurwitz olması sağlanabilir, ya da
kapalı çevrimli sistemin özdeğeleri
𝜉 𝑥!!
1
K1 k1 ± −
2
2
2
2
K1 k1
4 K1 k 0
(12)
" x̂ = K u − q + δ sat(e)
1
$ 1
$ ̂
1
K̂
# x2 = − x̂2 − 2 u − q
τˆ2
τˆ2
$
$ ŷ = x̂1 + x̂2
%
Buhar
Jeneratörü
Önerilen gözleyici-temelli kontrolün performansı
MATLAB ortamında nümerik sonuçlar elde edilerek
değerlendirilmiştir.
Kontrol
parametreleri 𝑘! = 0.3 ,
𝑘! = 0.0034 , 𝜏 = 200 ve 𝛿 = 2 olarak seçilmiştir. Kontrol
sisteminin performansı Şekil 3 ve 4’te sunulmuştur.
150
)
(13)
Su Seviyesi (mm)
100
/ 2 , e = y yˆ
−
0
-100
Referans
%5
%15
%30
%50
%100
0
200
400
600
800
1000 1200
Zaman (s)
1400
1600
1800
2000
(14)
Şekil 3: Buhar jeneratörü su seviyesi kontrol sisteminin
referans su seviyesindeki step değişime verdiği yanıt.
Şekil 3, kontrol sisteminin step referans sinyaline verdiği
yanıtı %5, %15, %30, %50 ve %100 reaktör güç seviyeleri
için göstermektedir. Görüldüğü gibi, referans su seviyesi step
(adım) değişime sahip olduğunda önerilen kontrol sistemi
oldukça yüksek seviyeli bir performans göstermektedir.
Özellikle reaktör güç seviyesinin %15’ten daha düşük olduğu
V (e) = ee
'
K
K̂
1
1
x2 + x̂2 − 2 ( u−K 4 q )+ 2 ( u−q ) −δ )
τ2
τˆ2
τ2
τˆ2
(
50
-50
olarak seçilirse, denklem (7) ve (13) kullanılarak 𝑉(𝑒)’nin
türevi aşağıdaki gibi yazılabilir
$
%
r Seviye
Sensoru
4. Nümerik Sonuçlar
Tahmin edilen durum değişkenleri (𝑥! , 𝑥! , 𝑦) ile, gözleyici
hatası 𝑒 = 𝑦 − 𝑦 ile, gözleyici kazancı 𝛿 ile tanımlanmıştır.
Parametreler 𝐾! ve 𝜏! ise Tablo 1’deki %5 güç düzeyine
karşılık gelen ilgili parametrelerin değerleri olarak seçilmiştir.
Böyle bir seçimdeki amaç, buhar jeneratörünün sahip olduğu
negatif termodinamik etki (yani genleşme–büzülme etkisi) ile
başa çıkabilmektir.
Nonlineer gözleyicinin asimptotik kararlılığı Lyapunov
kararlılık teoremi ile incelenebilir. Aday Lyapunov fonksiyonu
≤ e ⋅& −
Akış
Sensoru
Şekil 2: Buhar jeneratörü su seviyesi kontrol mekanizması.
)
(
2
u
Geribeslemeli
Kontrol
y
her zaman negatif reel değerlere sahip olabilir 𝑅𝑒 𝜆! < 0.
Pratikte, önerilen kontrolör (9)’un gerçekleştirilebilmesi
için durum değişkeni 𝑥! ’in ölçülmesi gerekmektedir, fakat
sistem çıkışı bütün durum değişkenlerinin toplamı olduğundan
bu mümkün değildir. Bundan dolayı, uygun bir gözleyici
tasarlanarak bu durum değişkeni tahmin edilmelidir. Bu
çalışmada, ölçülemeyen durum değişkeni 𝑥! ’i tahmin etmek
için indirgenmiş-mertebeli sistem dinamikleri (7) kullanılarak
aşağıdaki nonlineer gözleyici tasarlanmıştır
V ( e) = e
𝑒!
Akış
Sensoru
q u
Nonlineer
Gözleyici
1
(
-+
+
λ1 = −1 / τ 2
λ2,3 = −
-+
İleribeslemeli
Kontrol
(15)
871
Kaynakça
Besleme Suyu (kg/s)
Güç Talebi (%)
durumlarda genleşme–büzülme etkisi sistem yanıtında daha
belirgin olarak görülmektedir. Yüksek güç seviyelerinde ise
sistem yanıtı neredeyse tamamen birinci mertebeden bir
sistemin yanıtı gibi olmaktadır, yani referansı aşmayan bir
yanıt elde edilmektedir.
Şekil 4, kontrol sisteminin değişen güç talebi karşısındaki
dayanıklılığını ve performansını göstermektedir. Reaktör gücü
%5 ile %100 arasında değişirken, görüldüğü gibi besleme
suyu (kontrol sinyali) buhar akışını oldukça iyi bir şekilde
takip etmekte ve su seviyesi de belirlenen referans sinyalini
etkin bir şekilde takip etmektedir. Dolayısıyla, önerilen
gözleyici-temelli kontrol sistemi, buhar jeneratörü su
seviyesini sistem parametrelerindeki belirsizliklere rağmen
arzulanan düzeyde dayanıklı bir şekilde tutmaktadır.
100
[1] L.S. Tong, Principles of Design Improvement for Light
Water Reactors. Springer, 1988.
[2] S.K. Menon ve A.G. Parlos, “Gain-scheduled nonlinear
control of U-tube steam generator water level,” Nucl. Sci.
Eng., vol. 111, pp. 294–308, 1992.
[3] M. Irving, C. Miossec ve J. Tassart, “Towards efficient
full automatic operation of the PWR steam generator
with water level adaptive control,” in Proc. 2nd Int. Conf.
Boiler Dynamics and Control in Nuclear Power Stations,
Bournemouth, U.K., 1979.
[4] J.I. Choi, E. Meyer ve D.D. Lanning, “Automatic
controller for SG water level during low power
operation,” Nucl. Eng. Des., vol. 117, pp. 263–274, 1989.
[5] W. Dong, J.M. Doster ve C.W. Mayo, “Steam generator
control in nuclear power plants by water mass inventory,”
Nucl. Eng. Des., vol. 238, p. 859, 2008.
[6] Z. Futao, D. Wei, X. Yiheng ve H. Zhiren,
“Programmable logic controller applied in steam
generators water levels,” in IEEE Industry Applications
Conference, San Diego, CA, USA, 1996.
[7] C. Liu, F. Zhao, P. Hu, S. Hou ve C. Li, “P controller
with partial feed forward compensation and decoupling
control for the steam generator water level,” Nucl. Eng.
Des., vol. 240, no. 1, pp. 181–190, 2010.
[8] F. Zhao, J. Ou ve W. Du, “Simulation modeling of
nuclear steam generator water level process - a case
study,” Isa Trans., vol. 39, pp. 143–151, 2000.
[9] M.G. Na, “Auto-tuned PID controller using a model
predictive control method for the steam generator water
level,” Ieee Trans. Nucl. Sci., vol. 48, no. 5, pp. 1664–
1671, 2001.
[10] A.G. Parlos ve O.T. Rais, “Nonlinear control of U-tube
steam generators via Hinf control,” Control Eng. Pr., vol.
8, pp. 921–936, 2000.
[11] M. Kim, M. Shin ve M. Chung, “A gain-scheduled L2
control to nuclear steam generator water level,” Ann.
Nucl. Energy, vol. 26, pp. 905–916, 1999.
[12] K. Hu ve J. Yuan, “Multi-model predictive control
method for nuclear steam generator water level,” Energy
Convers. Manag., vol. 49, pp. 1167–1174, 2008.
[13] M.V. Kothare, B. Mettler, M. Morari ve P. Bendotti,
“Level control in the steam generator of a nuclear power
plant,” Ieee Trans. Control Syst. Technol., vol. 8, no. 1,
pp. 55–69, 2000.
[14] Y.J. Lee, S.J. Oh, W. Chun ve N.J. Kim, “The model
predictive controller for the feedwater and level control
of a nuclear steam generator,” Nucl. Eng. Technol., vol.
44, no. 8, pp. 911–918, Dec. 2012.
[15] A.M.H. Basher ve J. March-Leuba, “Development of a
robust model-based water level controller for U-tube
steam generator,” Oak Ridge National Laboratory
Report, ORNL/TM-2001/166, 2001.
[16] S.R. Munasinghe, M. Kim ve J. Lee, “Adaptive
neurofuzzy controller to regulate UTSG water level in
nuclear power plants,” Ieee Trans. Nucl. Sci., vol. 52, no.
1, pp. 421–429, 2005.
[17] G. Ablay, “Sliding mode approaches for robust control,
state estimation, secure communication, and fault
diagnosis in nuclear systems,” PhD Dissertation, The
Ohio State University, Columbus, OH, 2012.
[18] G.R. Ansarifar, H.A. Talebi ve H. Davilu, “Adaptive
estimator-based dynamic sliding mode control for the
Güç Talebi
50
0
0
50
100
(a)
150
200
250
Zaman (dk)
300
350
400
1500
Buhar akisi
Besleme suyu
1000
500
0
0
50
100
(b)
150
200
250
Zaman (dk)
300
350
400
Su Seviyesi (mm)
600
400
200
0
Referans
Su seviyesi
0
50
100
(c)
150
200
250
Zaman (dk)
300
350
400
Şekil 4: Buhar jeneratörü su seviyesi kontrol sisteminin
değişen güç talepleri karşısında dayanıklılık ve performansının
incelenmesi: (a) Güç talebi (%), (b) kontrol sinyali (besleme
suyu) (kg/s), buhar akışı (kg/s) ve (c) su seviyesi yanıtı (mm).
4. Sonuçlar
Bu çalışmada nonlineer gözleyici-temelli bir pratik kontrol
sistemi buhar jeneratörü su seviyesi denetimi için önerilmiştir.
Önerilen kontrol stratejisi, nükleer reaktörün bütün güç
aralığında (%0 ile %100 aralığı) buhar jeneratörüne tam
otomatik kontrol mekanizması sağlayabilmektedir. Elde edilen
sonuçlar gösteriyor ki, tasarlanan kontrol metodu sistemdeki
parametre belirsizliklerine rağmen oldukça iyi ve dayanıklı
kontrol performansı sağlamaktadır. Ayrıca, düşük sayıda
kontrol ekipmanı kullanılarak sistemin güvenirliği ve
güvenliği artırılmaktadır.
Teşekkür
Buhar jeneratörü geleneksel kontrol sistemi ve sorunları ile
ilgili katkılarından dolayı Ohio State Üniversitesi, Nükleer
Mühendisliği Bölümü başkanı Prof. Dr. Tunc Aldemir’e
teşekkür etmek istiyorum.
872
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
water level of nuclear steam generators,” Prog. Nucl.
Energy, vol. 56, no. 0, pp. 61–70, Apr. 2012.
H. Moradi, M. Saffar-Avval ve F. Bakhtiari-Nejad,
“Sliding mode control of drum water level in an
industrial boiler unit with time varying parameters: A
comparison with H∞-robust control approach,” J.
Process Control, vol. 22, no. 10, pp. 1844–1855, Dec.
2012.
M.G. Na ve H.C. No, “Quantitative evaluation of
swelling or shrinking level contributions in steam
generators using spectrum analysis,” Ann. Nucl. Energy,
vol. 20, no. 10, pp. 659–666, Oct. 1993.
T. Aldemir, S. Guarro, J. Kirschenbaum, D. Mandelli, L.
A. Mangan, P. Bucci, M. Yau, B. Johnson, C. Elks, E.
Ekici, M. P. Strovsky, D. W. Miller, X. Sun, S. A. Arndt,
Q. Nguyen ve J. Dion, “A benchmark implementation of
two dynamic methodologies for the reliability modeling
of digital instrumentation and control systems,” U.S.
Nuclear Regulatory Commission, , NUREG/CR-6985,
2009.
T.L. Chu, G. Martinez-Guridi, M. Yue, J. Lehner, P.
Samanta ve A. Kuritzky, “Traditional probabilistic risk
assessment methods for digital systems,” U.S. Nuclear
Regulatory Commission, NUREG/CR-6962, 2008.
S. Guarro, M. Yau ve M. Motamed, “Development of
tools for safety analysis of control software in advanced
reactors,” U.S. Nuclear Regulatory Commission,
NUREG/CR-6465, 1996.
873
Görüntü İşleme İle PID Kararlılık Bölgesi Kontrolör Performansı Haritalaması
F. Nur Deniz, Cemal Keleş, B. Baykant Alagöz, Nusret Tan
1
İnönü Üniversitesi, Malatya
[email protected]
(k p ( w), ki ( w)) eğrilerini belli bir frekans aralığı için veren bu
Özetçe
yöntem, PID tasarımında uygulanmıştır [10].
Bu makalede, PID katsayılarının kontrol performansının,
(k p ( w), ki ( w)) eğrileri ile belirlenen kararlılık bölgesi içinde
Bu çalışmada, PID kontrolör için kararlılık bölgesi performans
haritalaması yapılmıştır. Performans ölçütü olarak birim
basamak cevabının ortalama karesel hatası kullanılmıştır.
Kapalı çevrim PID kontrol sisteminin performans haritasının
çıkarılabilmesi için, (k p , ki ) düzleminde kararlık bölgesi,
hesaplanmasına yönelik bir çalışma yapılmıştır. Kararlılık
bölgesi, görüntü işleme alanında kullanılan bölge büyütmesi
yöntemi ile elde edilmiştir. Bölge büyütmesi ile bölütleme
görüntü işlemede yaygın olarak kullanılan bir yöntemdir [11].
Bölütlenen kararlılık bölgesi ile temsil edilen PID
tasarımlarının performansı, birim basamak cevaplarının
karesel hatası ile ölçütlendirilmiştir. Hesaplanan hata değerleri
kullanılarak kararlılık bölgesi içinde performans haritalaması
gerçekleştirilmiştir.
Makale şu şekilde düzenlenmiştir: 2. Bölümde PID
kararlılık bölgesinin elde edilmesi özetlenmiş ve kararlılık
bölgesinde performans haritasının çıkarılması için bir yöntem
önerilmiştir. 3. Bölümde uygulama örnekleri sunulmuştur. 4.
Bölümde ise sonuçlar verilmiştir.
görüntü işlemede kullanılan bölge büyümesi yöntemi ile
bölütlenmiştir. Kararlılık bölgesini temsil eden bölüt için
performans haritası çıkarılmıştır. Kararlı PID katsayılarının
elde edilmesi ve birim basamak cevabı performansının
haritalanması, optimal ve dayanıklı PID tasarımına önemli
katkılar sağlayacaktır.
1. Giriş
PID kontrolörler; basit yapıları ve dayanıklı performansları
nedeniyle endüstride sıkça kullanılmaktadır [1]. Bu
kontrolörlerin üç parametresi vardır. Bunlar oransal kazanç
(kp), integral kazanç (ki) ve türev kazanç (kd) parametreleridir.
Kontrol edilecek sistem için bu parametrelerin uygun şekilde
ayarlanması; PID kontrolörlerin tasarımı için gereklidir. PID
kontrolörlerin tasarımı için geliştirilmiş birçok yöntem
mevcuttur [2, 3]. Bu yöntemlerin avantajları arasında, (i)
sistemlerin PID ile kolayca ve yeterli performans ile kontrol
edilebilmeleri, (ii) PID kontrolör kullanımında sadece üç
parametrenin bulunması, (iii) PID’nin iyi bilinen bir kontrolör
yapısına sahip olması, (iv) tipik sistem transfer fonksiyonları
için basit testler sonucunda etkin ve hızlı kontrolör ayarına
imkân vermesi sayılabilir [4]. Diğer taraftan bu basitlik ve
kullanışlılık özelliklerinin yanında zayıf yanları da vardır.
PID kontrolör günümüzde karmaşık yapıda her çeşit sisteme
uygulanamamaktadır. PID kontrolör daha çok doğrusal ve
basit
yapıda
tek
döngülü
sistemlerde
kolaylıkla
uygulanabilmektedir. Buna karşılık doğrusal olmayan,
özellikle ölü zaman gecikmesi sistem zaman gecikmesine göre
çok yüksek olan sistemlerde uygulanması zordur [5].
Dolayısıyla, PID kontrolör tasarım alanı halen aktif bir
çalışma konusudur [6]. Bu nedenle, PID kontrolörün
performansının artırılması ve kararlılık analizlerinin
yapılmasına yönelik birçok çalışma yapılmıştır. PID ayar ve
uyarlamalı PID tasarımı için önerilen bir çok gerekirci
(deterministik), tahmini (stokastik) ve bulgusal (heuristic)
optimizasyon yöntemleri, PID kontrol sisteminin kararlılık
bölgesinin bilinmesi ile daha da iyileştirilebilecektir.
PID
kararlılık
bölgesinin
bulunmasına
yönelik
çalışmalarda ayrık çok yüzeyli kümeler kullanılarak sabit bir
kp değeri için kararlı PID bölgesinin hızlı bir şekilde
hesaplanabileceği gösterilmiştir [7]. Ayrıca kararlılık bölgesi
sınırlarının hesaplanması için frekansa bağlı bir analiz yöntemi
önerilmiştir [8, 9]. Kararlılık bölgesini sınırlayan
2. Yöntem
2.1. PID Kararlılık Bölgesi Analizi
PID kontrolörler için kararlılık bölgesinin hesaplanması
çalışmalarının başlangıç noktası, Denklem (1)’de verilen
ikinci derece sistemin geri besleme kontrol döngüsünün
kararlılığını sağlayan PID kontrolörün parametrelerinin
belirlenmesidir [10]. Şekil 1’deki kontrol sistem yapısını ele
alalım. G(s) ikinci dereceden bir sistem, C(s) ise PID
kontrolör olsun.
C(s)
+-
G(s)
Şekil 1: Kontrol sistemi.
İkinci dereceden bir sistem fonksiyonunu en genel formda
Denklem (1) ile ifade edelim.
G( s ) =
B( s ) b2 s 2 + b1 s + b0
=
A( s ) a 2 s 2 + a1 s + a 0
(1)
Klasik PID kontrolör yapısını da Denklem (2)’de ifade
edelim.
C ( s) = k p +
874
ki
+ kd s
s
(2)
Sistemin karakteristik
gösterildiği gibi elde edilir.
polinomu
Denklem
∆(s) = b2kd s4 + (b2k p + b1kd + a2 )s3
2
(3)’de
P1 ( w) = − w 2 BT ( − w 2 )
P2 ( w) = BÇ (− w 2 )
P3 ( w) = wBÇ (− w 2 )
(3)
+ (b2ki + b1k p + b0kd + a1)s + (b1ki + b0k p + a0)s + b0ki = 0
P5 ( w) = w 2 AT (− w 2 ) + w 2 BÇ ( − w 2 )k d
Karakteristik polinomda, ci, i=0,1,2,…….,n katsayıları,
B(s) ve A(s)’in derecelerine bağımlı olan kp, ki ve kd nin
fonksiyonları olacak şekilde Denklem (4)’te yeniden
düzenlenmiştir.
∆(s) = cn s n + cn−1s n−1 + ........+ c1s + c0 = 0
P6 ( w) = − wAÇ (− w 2 ) + w 2 BT (− w 2 )k d
Elde edilen (k p ( w), ki ( w)) eğrisi (k p , ki ) düzleminde
kararlı ve kararsız bölgeleri birbirinden ayırmaktadır.
Kararlılık sınır eğrisi ile k i = 0 ve k d = 0 eksenleri önceden
(4)
belirlenmiş k d değeri için kararlılık bölgesini tanımlar. kd nin
Parametre uzayı yaklaşımında kararlı bir polinomun bir
kökünün sanal eksen üzerinden geçmesi için üç durum söz
konusudur [12, 13]. i) Gerçek kök sınırı: s=0’da bir reel kök
sanal eksenden geçer ve Denklem (4)’te c0=0 olur. ii) Sonsuz
kök sınırı: s=∞’da bir reel kök sanal eksenden geçer ve
Denklem (4)’te cn=0 olur. iii) Kompleks kök sınırı: s=jw de
Denklem (4)’ün hem reel hem de sanal kökleri eşzamanlı sıfır
olursa Denklem (4) kararsız olur. Kompleks kök sınırını elde
etmek için öncelikle, Denklem (1)’de verilen sistemin transfer
fonksiyonunda s=jw dönüşümü uygulanır. Elde edilen transfer
fonksiyonun pay ve paydası tek ve çift bileşenlerine göre
Denklem (5)'te belirtildiği gibi gruplanırsa Denklem (6)’daki
sistem elde edilir. Böylece kararlılık bölgesi sınırları,
(k p ( w), ki ( w)) eğrileri ile belirlenebilmektedir [8-10].
farklı değerleri için, elde edilen kararlılık bölgeleri, PID
kontrolörün
AT (− w 2 ) = a1
G( jw ) =
AÇ ( − w 2 ) + jwAT ( − w 2 )
P5 ( w )P4 ( w ) + P6 ( w )P2 ( w )
P1 ( w )P4 ( w ) + P2 ( w )P3 ( w )
k i ( w, k d ) =
P6 ( w )P1 ( w ) + P5 ( w )P3 ( w )
P1 ( w )P4 ( w ) + P2 ( w )P3 ( w )
için
kararlılık
a2
doğruları kararlılık
b2
bölgesini tanımlar. Şekil 2’de ikinci dereceden sistem için elde
edilen kararlılık bölgeleri gösterilmiştir.
6
5
Kararsız
Bölge
Kararlı
Bölge
4
ki
(5)
3
G( s ) =
2
− 4 s + 10
4 s + 18 s + 20
2
1
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
kp
(6)
Şekil 2: kd =0 için kararlılık bölgesi.
Daha sonra kapalı döngü sistemin karakteristik
polinomunun reel ve sanal kısımları sıfıra eşitlenerek Denklem
(7)’de ifade olunan oransal ve integral kazanç bağıntıları elde
edilmiştir.
k p ( w, k d ) =
parametreleri
k i = 0 ve k p = −
sınır eğrisi ile
AÇ (− w 2 ) = a 2 (− w 2 ) + a0
BÇ ( − w 2 ) + jwBT ( − w 2 )
( k p , ki , k d )
bölgelerini oluşturur. Eğer k d = 0 ise bu durumda kararlılık
BT (− w 2 ) = b1
BÇ (− w 2 ) = b2 (− w 2 ) + b0
(8)
P4 ( w) = wBT (− w 2 )
2.2. Kararlılık
Çıkarılması
Bölgesinde
Performans
Haritasının
Bir önceki bölümde Denklem (7) yardımı ile kararlık
bölgesinin sınırları, (k p ( w), ki ( w)) eğrisi ve
k p ekseni
arasında kalan kapalı bölgeyi elde etmiştik. Bu bölümde,
bölge büyümesi yöntemi ile kapalı kararlılık bölgesinin,
(k p , ki ) düzleminde bölütlenmesi için önerilen yöntem
(7)
gösterilecektir.
Bu yöntemin temel işlem adımları aşağıda özetlenmiştir:
1- (k p , ki ) düzleminde, k d ’nin bir sabit değeri için
Burada Pi (i=1,…,6) ifadeleri Denklem (8) ile ifade
olunmuştur [9].
Denklem (7)’nın eşzamanlı çözümü ile elde edilen
değerleri içeren (k p , ki ) düzlemi için çizilen bölge, kararlılık
(k p ( w), ki ( w)) eğrisi Denklem (7) yardımı ile elde edilir.
2- Bu düzlemde, (k p (0), ki (0)) noktası merkeze gelecek
sınırlarını belirler. Denklem (8)’in son iki teriminden de
görüldüğü üzere k p ve k i değerleri, önceden belirlenmiş kd
şekilde (k p , ki ) düzlemini konumsal olarak örnekleyen
değerine göre hesaplanmaktadır.
oluşturulur ve bu matrisin elemanlarına başlangıç değeri
M 0 = ( k P ( h x i ), k i ( h y j )) = 0
875
karesel
ızgara
matrisi
kararlılık bölgesi için kullanılmıştır. Şekil 4’te gösterilen
temsili örnekte, üç adet komşulukta 0 etiketli ve yukarı
komşulukta 4 etiketi verilmiştir. Bu durumda merkezdeki 1
etiketi, 0 etiketi olan komşuluklara yayılır. 4 etiketli üst
komşuluğa yayılım yapılamaz.
olarak sıfır değeri atanır. (Burada hx ve h y düzlemsel
örnekleme aralığıdır.)
3- Bu ızgara matrisi üzerinde, (k p ( w), ki ( w)) eğrisine en
yakın örnekleme noktalarına ‘4’ etiketi atanır. ‘4’ etiketi,
bölgeleri ayıran sınırların kodu olarak kullanılmıştır.
M 0 (i, j ) = {4, | K P (h x i ) − k p ( w) |< ε ∧
(9)
| K I (h y j ) − k i ( w)) |< ε ; ε < h x / 2 ∧ ε < h y / 2}
(i-1,j)
4
ki = 0 doğrusuna ‘4’ etiket ataması yapılarak, kararlılık
4-
bölgesi M 0 ızgarası içinde kapalı bir eğri ile belirlenmiştir.
(i,j-1)
M 0 (i, j ) = {4, ( K P (h x i ) − 0) < ε ; ε < h x / 2}
(10)
0
5- Bu bölütleme, M 0 içinde üç bölüt oluşturur. Her bir bölüt
içinde bir tohum noktası seçilerek, bu tohum noktasından
bölge büyütmesi yolu ile üç bölgenin etiketlenmesi
tamamlanır. Her bir elemanı 1, 2 ve 3 ile etiketlenmiş üç
bölgeli M matrisi elde edilir. 3 ile etiketlenmiş bölge
kararlılık bölgesini verir.
6- Bu bölgenin temsil ettiği k p , k d ve ki değerleri için
∑ e (t )
Yöntemin en önemli yapısal yetersizliği şu noktada
görülmüştür. Üç adımda (k p ( w), ki ( w)) kararlılık eğrisine
göre M 0 ızgara matrisinde 4 etiketi yapılırken, ayrık ızgara
yapısı nedeni ile eğriye en yakın ızgara noktaları 4 ile
etiketlenmektedir. Burada kuantalama hatası sisteme
girmektedir. Bu hata iki noktada yöntemin başarısını olumsuz
etkilemiştir:
1. (k p ( w), ki ( w)) kararlılık eğrisinin doğruluğu kuantalama
(11)
n =1
hatalarına bağımlı kalmaktadır.
2. Bazı durumlarda kuantalama hatası nedeni ile ızgara
üstünde (k p ( w), ki ( w)) kararlılık eğrisi etiketlemesinde kırık
yapılarak, E (k p , k i ) performans haritası tamamlanır.
M0
1
3
0
Şekil 4: Bölge büyütme gerçekleşen düşey ve yatay
komşuluklar.
7- Adım 6 da önerilen işlem, 3 ile etiketli bütün noktalara
karşılık gelen kararlılık noktası ( k p , ki ) noktaları için
i
1
0
m
2
(i,j+1)
(i+1,j)
kapalı çevrim PID kontrol sisteminin birim basamak cevapları
Matlab’da elde edilir ve ortalama karesel hata hesaplanır ve
hata değeri ( k p , ki ) noktası için performans haritasına yazılır.
1
E (k p , k i ) =
m
(i,j)
eğri noktaları oluşabilmekte, bu noktalar bölge büyümesi
bölütlemesini başarısızlığa uğratabilmektedir. Başarısız
bölütme durumunu gösterir bir örnek uygulama bölümde
incelenmiştir.
2
3. Uygulama Örnekleri
Bu bölümde, önerilen yöntem ile kararlılık bölgesinin,
performans haritasını elde edebilmek için birinci dereceden
zaman gecikmeli bir sistemin transfer fonksiyonu üzerinde
farklı iki uygulama yapılmıştır.
j
Şekil 3: M 0 ızgara matrisi ve 1, 2 ve 3 etiketli bölütler. 3 ile
etiketli bölüt kararlılık bölgesidir.
Örnek 1: Birinci dereceden zaman gecikmeli bir sistemin
transfer fonksiyonu
Adım 5’de kullanılan bölge büyütme işlemi, dikey ve
yatay komşuluklar olmak üzere Şekil 3’de görülen 4 komşuluk
üzerinde yürütülmüştür. Bir (i, j ) noktasının düşey veya
yatay komşu noktaları sıfır etiketli ise bu komşuluklar M (i, j )
etiketi ile etiketlenmiştir. Bu işlem iteratif olarak sürdürülerek
M 0 matrisindeki bütün sıfır değerlerinin 1, 2 ve 3
etiketlenmesi ile bölge büyütme ile bölütleme tamamlanır. 4
etiketi bölge sınırları için rezerve edilmiştir. 3 etiketli bölge
G( s ) =
1 −s
e
s+1
(12)
şeklinde olsun. Öncelikle, sistemde bulunan zaman gecikmesi
için yaklaşık eşdeğerin bulunmasında birinci dereceden Pade
yaklaşımı kullanılmıştır. Buna göre, gecikme terimi için,
876
−
e
−θs
≈
θ
2
θ
2
Denklem (11)’da verilen ortalama karesel hata hesaplanması
ile Şekil 7’de görülen logaritmik ölçeklenmiş performans
haritası elde edilmiştir. Burada karalılık bölgesinin sağ yanına
ait bölgenin temsil ettiği PID kontrollerinin karesel hata
performansının düşük olduğu açıkça görülebilmektedir.
s+1
(13)
s +1
yaklaşık ifadesi kullanılırsa ve ölü zaman gecikmesi 1 s
alınılırsa (θ=1), sistemin transfer fonksiyonu için Denklem
(14) elde edilir.
−s + 2
(14)
s 2 + 3s + 2
-4
25
-2
20
0
15
kp
G (s) ≅
30
Önerilen yöntem ile Denklem (14) ile ifade olunan
sistemin PID kontrol performans haritasını Matlab’da elde
etmek için Örnek 1’de frekans ( w ) örneklemesi, 28.4x10-4
den 28.4x10-3 e kadar 28.4x10-4 örnekleme adımı ile
gerçekleştirilmiştir (w=örnekleme aralığı*i ve i=1:1000 ). Bu
frekans bölgesinde, kd=0 için elde edilen (k p , ki ) düzlemi
10
2
5
4
üzerinde kararlılık bölgesi incelemesi yapılmıştır. Elde edilen
kararlılık bölgesi Şekil 5’te gösterildiği gibi ( k p ( w), ki ( w))
-4
-2
0
ki
2
4
Şekil 7: Örnek 1 için kararlılık bölgesi performans haritası.
eğrisi altında kalan alanla sınırlıdır.
Bu performans haritasını kullanarak seçtiğimiz farklı kp ve ki
değerleri için sistemin birim basamak cevapları elde edilmiştir.
Görüldüğü üzere performans haritasındaki koyu mavi renkle
elde edilen bölgelerde karesel hata oldukça düşüktür ve bu
bölgelerden seçilen herhangi bir kp ve ki değeri için elde edilen
sistem cevabı Şekil 8’de gösterilmiştir. Benzer şekilde
performans haritasında koyu kırmızı bölgelere doğru
gidildikçe karasel hata yükselmektedir. Bu bölgelerden seçilen
herhangi bir kp ve ki değeri için elde edilen sistem cevabı Şekil
9’da gösterilmiştir.
3
2
Ki
ki 1
0
1.5
-1
-2
-1
0
1
2
3
4
1
kp
y(t)
Şekil 5: Örnek 1 için kararlılık bölgesi (kd=0).
Kararlılık bölgesi elde edildikten sonra görüntü bölütleme
yöntemi kullanılarak kararlılık bölgesi ve dışında kalan alanlar
etiketlenerek Şekil 6’da görülen bölütler elde edilmiştir.
0.5
0
-0.5
4
0
10
20
30
t
40
50
60
Şekil 8: kp= 0.3874, ki= 0.6095.
-4
3
2.5
-2
kp
2
2
0
2
1
4
0
y(t)
1.5
1
0.5
-4
-2
0
ki
2
4
0
Şekil 6: Örnek 1 için kararlılık bölgesi bölütlemesi.
-0.5
‘3’ etiketli (Turuncu) kapalı kararlılık bölgesi için, sisteminin
birim basamak cevapları Matlab’da elde edildikten sonra
0
100
200
t
300
Şekil 9: kp= 2.2019, ki= 1.4159.
877
400
Örnek 2: Aynı sistem aynı frekans bölgesinde, daha düşük
hx ve h y düzlemsel örnekleme adımı ile bölütlensin.
Kaynakça
Sistemin kararlılık bölgesi değişmediği halde, kırık eğri
noktaları nedeni ile bölge büyütme bölütlemesinin başarısız
olduğu görülmüştür. Çünkü eğri örneklerinin ve ızgaraya
noktalarına kaydırılmasında (k p ( w), ki ( w)) kararlılık eğrisi
[1] C. Knospe, “PID Control”, IEEE Control System
Magazine, Cilt: 26, s:30-31, 2006.
[2] K. J. Åström, T. Hägglund, PID Controllers: Theory,
Design and Tuning, Instrument Society of America,
USA, 1995.
[3] A. O‘Dwyer, Handbook of PI and PID Controller
Tuning Rules, Imperial College Press, London, UK,
2003.
[4] A.F. Boz, Y. Sarı, “İki Sıfırlı Standart Formlar ve
Optimal PID-PD Denetleyici Tasarımı”, 5. Uluslararası
İleri Teknolojiler Sempozyumu (IATS’09), Karabük,
Türkiye, 2009.
[5] İ. Yüksel, Otomatik Kontrol Sistem Dinamiği ve Denetim
Sistemleri, Nobel, 5. baskı, Ankara, 2006.
[6] F. Yıkan, “Dayanıklı PID Kontrolör Tasarım
Metotlarının Araştırılması ve Geliştirilmesi”, Yüksek
Lisans Tezi, İnönü Üniversitesi, Malatya, 2005.
[7] M.T. Söylemez, N. Munro, H. Baki, “Fast calculation of
stabilizing PID controllers”, Automatica, Vol. 39, No. 1,
2003, pp. 121-126.
[8] N. Tan, I. Kaya, “Computation of stabilizing PI
controllers for interval systems”, Proc. of the 11th
Mediterranean Conference on Control and Automation,
Rhodes, Greece, 2003.
[9] N. Tan, I. Kaya, C. Yeroglu, D.P. Atherton,
“Computation of stabilizing PI and PID controllers using
the stability boundary locus”, Energy Conversion and
Management, Cilt: 47, No. 18-19, s:3045-3058, 2006.
[10] R. Matusu, “Computation of Stability Regions for PID
Controllers”, Proc. of Recent Researches in
Communications, Automation, Signal Processing,
Nanotechnology, Astronomy and Nuclear Physics, s:210213, 2011.
[11] F.N. Deniz, B.B. Alagoz, M.E. Tagluk, “An alternative
approach for medical image segmentation”, IEEE 18th
Signal Processing and Communications Applications
Conference (SIU), s:886–889, 2010.
[12] J. Ackermann, D. Kaesbauer, “Design of robust PID
controllers,” Proc. of European Control Conference,
s:522–527, 2001.
[13] Nusret Tan, “Computation of Stabilizing PI-PD
Controllers”, International Journal of Control,
Automation and Systems, Cilt: 7, No: 2, s:175-184, 2009.
üzerinde kırık eğri noktaları oluşmuştur ve ‘2’ etiketli bölge
büyüme buradan ‘3’ etiketli bölgeye sızmıştır. Sonuçta, Şekil
10’da gösterildiği gibi kararlılık bölgesi ‘3’ ile değil ‘2’ ile
etiketlenmiştir.
4
-4
3
kp
-2
0
2
2
1
4
-4
-2
0
2
4
0
ki
Şekil 10: Örnek 2 için kararlılık bölgesi bölütlemesi.
Doğru etiketlenme ile sonuçlanmayan bölütlerden ötürü Şekil
11’de
görüldüğü
üzere
ortalama
karesel
hata
hesaplanamamıştır.
24
-4
23.5
kp
-2
0
23
2
22.5
4
-4
-2
0
2
4
ki
Şekil 11: Örnek 2 için kararlılık bölgesi performans haritası.
4. Sonuçlar
Bu çalışmada, kararlılık bölgesi performans haritasının
görüntü işleme teknikleri yardımı ile elde edilmesi
gösterilmiştir. Bu yöntem ile sadece kararlık bölgesi içinde
tanımlı PID kontrol yapıları için birim basamak cevabı karesel
hata hesaplamasına dayalı performans haritası elde edilebilmiş
ve kararsız PID yapıları için performans simülasyonları
yapılmadığı için işlem maliyetinde kazanç sağlanmıştır.
Kararlılık bölgesi performans haritaları, optimal PID tasarımı
için önemli bir adım teşkil etmektedir.
878
Genetik Algoritma ile Eşzamanlı Kaskad Denetleyici
Tasarımı
İbrahim Kaya1, Mustafa Nalbantoğlu2
1
Dicle Üniversitesi, Diyarbakır
[email protected]
2
[email protected]
Özetçe
Kaskad kontrol yapısındaki denetleyicilerin ayar
parametreleri genellikle içten dışa doğru bir prosedür
izlenerek bulunur. Yani, önce iç döngü denetleyicinin
parametreleri belirlenir, bulunan parametreler iç döngüde
yerine konduktan sonra dış döngüdeki denetleyicinin
parametreleri elde edilir. Bu prosedür, literatürde genellikle
takip edilen yöntemdir [2] ve [3]. Yazarların bilgileri
dahilinde, sadece Tan v.d. [4] Kaskad kontrol yapısındaki
iki denetleyicinin ayar parametrelerini eş zamanlı
hesaplayan bir yöntem sunmuşlardır. Dolayısıyla, bu
çalışmada da, Kaskad kontrol yapısındaki iki denetleyicinin
ayar parametrelerini tek bir aşamada belirlemeye yönelik
bir yaklaşım sunulmuştur.
İç ve dış döngü ayar parametreleri maksimum aşım ve
minimum oturma zamanı kullanılarak elde edilmiştir.
İstenilen yüzde aşım ve oturma zamanının elde edilip
edilmediğinin belirlenmesinde Genetik Algoritma (GA)
kullanılmıştır [5]. Kapalı çevrim cevabında, yüzde aşması
daha az ve oturma zamanı daha kısa olan Kontrol
parametreleri araştırılmıştır. Dolayısıyla, bu bildiride,
Kaskad denetleyicinin ayar parametreleri, yüzde aşması ve
oturma zamanı minimum yapacak şekilde GA ile
belirlenmiştir.
Makalenin devamı şu şekilde düzenlenmiştir: İkinci
bölümde Kaskad denetleyici içeren kontrol yapısı kısaca
tanıtılmış ve Kaskad yapısının niçin daha iyi kapalı çevrim
cevabı ortaya koyduğu basitçe verilmiştir. Üçüncü bölümde
Kaskad denetleyicinin ayar parametrelerinin bulunmasında
kullanılan GA kısaca tanıtılmıştır. Bu bölümde ayrıca GA
ile Kaskad denetleyicinin ayar parametrelerinin nasıl elde
edildiği anlatılmıştır.
Benzetim sonuçları dördünce
bölümde, sonuçlar ise beşinci bölümde yer almaktadır.
Standart geri beslemeli kontrol sistemleri, güçlü
bozucular karşısında iyi performans verememektedirler.
Kaskad kontrol, özellikle öngörülmeyen bozucuların
varlığında, bir kontrol sisteminin performansını arttırmak
için klasik tek geri-beslemeli kontrol sistemlerinin bir
alternatifidir. Klasik sistemler bozucular karşısında iyi
cevap veremeyebilirler. Bu durumlarda kaskad sistemlerin
çok daha iyi sonuçlar verdiği literatürdeki yayınlarda
gösterilmiştir. Ancak, bu çalışmalarda, genellikle, iç
döngüden dış döngüye doğru iki aşamalı bir tasarım
prosedürü izlenmektedir. Bu çalışmada, kaskad kontrol
yapısında yer alan iç ve dış döngü denetleyicilerin ayar
parametrelerinin eşzamanlı elde edilmesi verilmiştir.
Denetleyicilerin ayar parametreleri genetik algoritma
yöntemi kullanılarak bulunmuştur.
1.Giriş
Kaskad kontrol yapısı endüstriyel uygulamalarda sıkça
kullanılmaktadır. Bunun nedenleri olarak: 1) Birincil
değişkenin daha iyi kontrol edilebilir olması ve
bozuculardan daha az etkilenmesi 2) Kaskad sistemin
bozuklukları daha hızlı bir şekilde yok etmesi ve sistemin
dinamik performansını arttırması 3) Sistemin doğal
frekansını arttırması
4) Zaman
gecikmesinden
kaynaklanan etkileri azaltması, sayılabilir.
Kaskad kontrol bundan yıllar önce Franks ve Worley
tarafından önerilmiştir [1]. Klasik geri-beslemeli kontrol
yapısında, kontrol edilen değişken referans değerden
sapmadıkça, bozucu girişler için kontrol hareketi
gerçekleştirilmez. Eğer, sistemde ikincil bir ölçüm noktası
mevcut ise (Şekil. 1), iç döngüde kullanılacak ikincil bir
denetleyici (Gc2) ile, sistemin kapalı çevrim cevabı
bozucu sinyaller için iyileştirilebilir.
D2
D1
+
+
+
y
y1
2
+
r
Gp1
Gc2 Gp2
Gc1
_
__
2. Kaskad Kontrol
Kaskad kontrol yapısının sıklıkla kullanıldığı alanlardan
biri de sıcaklık denetimidir. Şekil.2’de verilen sıcaklık
denetiminde,
sıcak yağdaki sıcaklık değişiminde
geleneksel geri-beslemeli kontrol yapısı hemen bir kontrol
işlemi gerçekleştirir. Ancak, gaz akışındaki bir değişimden
kaynaklanan bir bozucu girişte, geleneksel geri-beslemeli
kontrol yapısı bu değişim sıcaklık ölçüm elemanına
Şekil.1: Kaskad kontrol blok diyagramı
879
çiftleşerek yeni bir nesil meydana getirir böylece doğal
üreme gerçekleşir. Bu süreçte bireylerin genleri, başka
bireyin genleri ile birleşip yeni genleri oluştururlar.
Genetik algoritmalar, hayatın bu iki olgusunu
birleştirerek optimal noktayı arama yöntemidir. GA,
karmaşık ve çok boyutlu arama uzayında daha iyinin
hayatta kalması ilkesine dayanan bir arama yöntemidir ve
arama uzayının bir çok noktasında aynı anda optimal
çözümü arar [7], [8]. Bir GA, bizim kendi
DNA(deoxyribonucleic acid) yapımızdaki genetik kodlara
benzeyen, birçok genden oluşturulan kodlanmış
kromozoma (birey) dayandırılır. GA’lar, karakter veya sayı
dizileri ile temsil edilen bireylere ait bir nesil gerektirir [5].
Genetik algoritmaların temel özellikleri, aşağıdaki
gibi sıralanabilir:
 GA parametrelerin kendilerini değil parametrelerin
kodlanmış karşılıklarını kullanır.
 GA arama işlemini tek bir nokta ile değil noktalar
topluluğu ile yürütür.
 GA, türev ve daha farklı bilgileri değil sadece çıkış ilşe
ilişkilendirilen bir uygunluk fonksiyonunu kullanır.
 Çok fazla sayıda değişkenle en iyiyi arama işlemi
yapabilir.
 Paralel hesaplamalara uygundur.
 GA deterministik kurallı değil, olasılık kurallıdır.
Ancak
Genetik
algoritmalar
geniş
arama
algoritmalarının aksine, en iyiyi seçmek için tüm farklı
durumları üretmez. Bundan dolayı, mükemmel çözüme
ulaşamayabilir. Fakat zaman kısıtlamalarını hesaba katan en
yakın çözümlerden biridir.
GA’nın kullanım alanlarından bazıları: Atölye
Çizelgeleme, Yapay Sinir Ağları,
Tasarım, Görüntü
Kontrolü, Elektronik Devre Tasarımı, Optimizasyon,
Uzman Sistemler, Paketleme Problemleri, Makine ve Robot
Öğrenmesi, Ekonomik Model Çıkarma v.b sayılabilir [8],
[9].
ulaşıncaya kadar bir işlem yapmaz. Bu ise oldukça önemli
bir gecikmeye neden olur. Oysa Kaskad kontrol
yapısında, Şekil.3’te görüleceği gibi, gaz akışındaki bir
değişiklik ikincil bir ölçüm elemanı ile hemen tespit edilir
ve yine ikincil bir denetleyici ile bu bozucu etki yok
edilir.
TC
Sıkışmış gaz
TT
Sıcak yağ
Soğuk yağ
Gaz
Fırın
Şekil.2: Geleneksel geri-beslemeli sıcaklık denetimi
TC
Sıkışmış gaz
FC
TT
FT
Sıcak yağ
Soğuk yağ
Fırın
Gaz
Şekil.3: Kaskad kontrol sıcaklık denetimi
Kaskad kontrol yapısı, geleneksel tek girişli tek çıkışlı
bir sistem ile karşılaştırıldığında aşağıdaki avantajlara
sahiptir [6]:
1) İç döngüde yer alan ikincil denetleyici, iç döngüde
meydana gelen bir bozucunun etkisini, kontrol
edilen değişken bundan etkilenmeden yok edebilir.
2) İç döngüdeki süreç transfer fonksiyonunda
oluşabilecek parametre değişimleri, iç döngüdeki
ikincil denetleyici ile düzeltilebilir.
3) İkincil döngüdeki süreç transfer fonksiyonundaki
herhangi bir faz gecikmesi, ikincil döngü ile
azaltılabilir. Bu da sistemin cevap hızını artırabilir.
Dolayısıyla, ikincil bir ölçüm ölçüm noktası mevcut
ise, Kaskad kontrol faydalı olabilir. Ancak, Kaskad
kontrolün faydalı olabilmesi için, bozucuların daha çok iç
döngüde meydana gelmesi ve iç döngünün dış döngüden
daha
hızlı
cevap
veriyor
olması
gerektiği
unutulmamalıdır.



Sınırlar
Uygunluk fonk.
Parametrelerin
Tanımlanması
İlk Nesli Oluştur
Uygunluk Testi
Yeni Nesil Oluşumu
Mutasyon
Çaprazlama
Yakınsama Testi
Doğal Seçim
DUR
Şekil 4: Temel genetik algoritma döngüsü
3. Genetik Algoritma
Bir GA’nın temel akış diyagramı şekil 4’de verilmiştir.
Öncelikle arama uzayının sınırları, bireylerin çözüm için
uygunluk seviyesinin belirleneceği uygunluk fonksiyonu ve
optimize edilecek parametreler tanımlanır. Ardından, ilk
nesil rastgele olarak üretilir. Nesildeki her birey için
uygunluk testi sonrasında, programın yakınsama testine
Genetik algoritmalar (GA), gerçek yaşamdaki doğal
seçim ve doğal üreme kurallarına dayanır. Doğanın zorlu
koşullarına uyum sağlayabilen türün yaşamlarını
sürdürmesi ve uyum sağlayamamış olan türlerin ise
elenmesi bir doğal seçimdir [7]. Seçilen bu türün bireyleri
880
göre
yeni
nesil
işlemine
veya
programın
sonlandırılmasına geçilmektedir.
Yeni nesil oluşturulması için farklı uygulamalarda
farklı operatörler kullanılmakla birlikte genel olarak 3
standart operatör kullanılır. Bunlar:
- Doğal Seçim (Natural Selection)
- Çaprazlama (Crossover)
- Mutasyon (Mutation)
olarak ifade edilebilir [5].
Nesli oluşturan her bireyin problemin çözümündeki
seviyesi bir uygunluk fonksiyonu ile belirlenmektedir.
Uygunluk fonksiyonu yüksek değere sahip olan bireylere,
nüfustaki diğer bireylere göre bir sonraki nesile geçiş ve
çaprazlanma şansları yüksek tutulur. Yapılan çalışmada
kullanılan uygunluk fonksiyonu çıkış sinyalinin
maksimum aşım MA ve oturma zamanı ST değeri ile
aşağıdaki gibi ilişkilendirilmiştir.
f 
1
1   .TS   .MA
Tablo.1: Örnek 1 için parametre arama uzayı
Parametre
Minimum
0.1
0.3
0.1
0.01
1
1
Kc
Ti
Td
Tn
Kc
Ti
Dış Döngü
İç Döngü
Maksimum
3
10
3
3
15
15
Tablo.2: Örnek 1 için denetleyici ayar parametreleri
Dış döngü
İç Döngü
IAE
Kc
Ti
Td
Tn
Kc
Ti
Önerilen Metot
1.1330
2.405
0.5669
10
1.9144
0.9936
2.8363
Song
0.6592
1.8643
2.2841
1.4392
0.6030
0.4378
3.8553
Tan
0.3900
1.4400
-
-
0.5300
0.17
4.6460
Şekil 5’te tasarlanan Kaskad kontrol yapılarının birim
basamak giriş cevapları ile genliği -1 olan ve sisteme t=25
s’de giren basamak şeklindeki bozucuya karşı verdikleri
cevapları verilmiştir. Bütün tasarım metotları için elde
edilen cevaplarda yaklaşık olarak aynı aşma miktarları elde
edilmesine rağmen önerilen metot daha hızlı bir şekilde
kalıcı durum değerine oturmaktadır. Ayrıca, önerilen
tasarım metodu az da olsa daha iyi bir şekilde bozucu
sinyalleri yok etmektedir.
(1)
Denklemde
f
uygunluk
fonksiyonu
olarak
tanımlanmıştır. Yapılan çalışmada, iç ve dış döngü
denetleyicilerine ait ayar parametrelerinin optimizasyonu
için çözüm uzayı benzetim çalışmaları bölümünde her bir
örnek için tablo halinde verilmiştir. Kullanılan
algoritmada tek noktalı çaprazlama oranı (crossover rate)
0,9 olarak, mutasyon oranı (mutation rate) 0,09 olarak ve
nüfus büyüklüğü (population size) 40 olarak seçilmiştir.
1.4
1.2
1
4. Benzetim Çalışmaları
Çıkış
0.8
Örnek 1: Bu örnekte, daha önce Song v.d. [10] tarafından
çalışılan, dış ve iç döngü süreç transfer fonksiyonları
aşağıda verilen kaskad bir sistemin denetimi verilmiştir.
0.6
0.4
e s
e0.1s
G p1 ( s) 
G
(
s
)

,
p2
( s  1)2
(0.1s  1)
0.2
0
0
10
20
30
40
Önerilen
Song
Tan
50
zaman (s)
Şekil 5: Birim basamak giriş cevapları ve bozucu sinyal
cevapları
Önerilen metot ile tasarım hem Song v.d. [10] hem de
Tan v.d. [4] tarafından yapılan tasarım metotları ile
karşılaştırılmıştır. Song v.d. [10], iç döngüde PI dış
döngüde ise PID denetleyici kullanmıştır. Tan v.d. [4] ise
hem iç hem de dış döngülerde PI denetleyici kullanmıştır.
Önerilen tasarım metodunda ise iç döngüde PI, dış
döngüde PID olacak şekilde tasarım yapılmıştır. Ayrıca,
Song v.d. [10]’de olduğu gibi dış döngüdeki PID
denetleyicide türev teriminde filtre kullanılmıştır.
Tablo.1’de önerilen metotta kullanılan parametreler için
çözüm uzayı aralıkları verilmiştir. Tabloda yer alan Tn
türev teriminde yer alan filtre zaman sabitidir. Hem
önerilen metot, hem de Song v.d. [10] ve Tan v.d. [4]
tarafından önerilen metotlar için denetleyici ayar
parametreleri
Tablo.2’de
özetlenmiştir.
Tabloda,
karşılaştırma için kullanılan kontrol sistemlerinin hem
referans hem de bozucu giriş için elde edilen IAE
değerleri de verilmiştir. Görüleceği gibi önerilen tasarım
metodu ile elde edilen IAE düşük çıkmaktadır. Bu ise elde
edilecek kapalı çevrim cevaplarında önerilen metot ile
daha iyi sonuçlar elde edileceğini ifade etmektedir.
Örnek 2: Bu örnekte, yine Song v.d. [10] tarafından
çalışılan, dış ve iç döngü süreç transfer fonksiyonları
aşağıda verilen kaskad bir sistemin denetimi verilmiştir.
G p1 ( s )  0.19
e 20 s
(1  50s )
, G p 2 ( s )  0.57
e 8 s
(1  20s )
Bu örnek için kullanılan çözüm uzayı parametre aralıkları
Tablo.3’de verilmiştir. Kullanılan bu çözüm uzayı ile elde
edilen denetleyici ayar parametreleri ise Tablo.4’de
özetlenmiştir. Yine tabloda verilen IAE değerlerine göre
önerilen metodun daha iyi kapalı çevrim cevabı vermesi
beklenir.
881
[2] I. Kaya, “Improving performance using cascade control
and
Smith predictor,” ISA Transactions, Cilt: 40, s:
223-234, 2001.
[3] I. Kaya, N. Tan ve D.P. Atherton, “Improved Cascade
Control Structure for Enhanced Performance,” J.
Process Control, Cilt: 17, s: 3-16, 2007.
[4] K.K. Tan, T.H. Lee ve R. Ferdous, “Simultaneous
online automatic tuning of cascade control for open loop
stable processes,” ISA Transactions, Cilt: 39, s:233242, 2000.
[5] D.E. Goldenberg, Genetic Algorithms in Search,
Optimization and Machine Learning, Addison-Wesley
Longman, 1989.
[6] Shinskey F.G. Process Control Systems, McGraw Hill,
1967.
[7] J.H. Holland, Adaptation in Natural and Artificial
System Ann Arbor, The Universty of Michigan, USA,
1975.
[8] C.L. Karr, ve M. Freeman, Industrial Applications of
Genetic Algorithms, CRC Pres, New York, 1999
[9] J.T. Alander, “An indexed bibliography of genetic
algoritms in control”, Report Series No. 94-1CONTROL, ftp.uwasa.fi directory cs/report94-1 file
gaCONTROLbib.pdf, 2008.
[10] S. Song, W. Cai, Y.G. Wang, “Auto-tuning of cascade
control systems,” ISA Transactions, Cilt: 42, s: 63-72,
2003.
Tablo.3: Örnek 2 için parametre arama uzayı
Parametre
Minimum
-7
-100
-10
0.1
0.01
0.05
Kc
Ti
Td
Tn
Kc
Ti
Dış Döngü
İç Döngü
Maksimum
7
100
10
1
60
10
Tablo.4: Örnek 1 için denetleyici ayar parametreleri
Dış döngü
İç Döngü
IAE
Kc
Ti
Önerilen
Metot
-7
65.7895
Song
-4.9225
44.5475
Td
Tn
Kc
Ti
10
1
3.1191
29.3255
52.2807
10.3850
6.4596
2.895
19.6939
65.3998
Şekil 6’dan görüleceği gibi bu örnekte önerilen tasarım
metodu ile çok daha iyi bir birim basamak cevabı elde
edilmektedir. Ancak, önerilen tasarım metodu ile Song.
v.d. [10] tarafından önerilen tasarım metodunun bozucu
sinyal cevapları hemen hemen aynı olmaktadır.
1.4
1.2
1
Çıkış
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
100
200
300
400
500
Zaman (s)
600
Önerilen
Song
700
800
Şekil 6: Birim basamak giriş cevapları ve bozucu sinyal
cevapları
5. Sonuç
Kaskad kontrol sistemlerinin denetiminde genellikle iç
döngüden dış döngüye doğru iki adımlı tasarım
yaklaşımları kullanılır. Bu çalışmada bu dezavantajı yok
etmek için genetik algoritma kullanılarak kaskad
denetleyicide yer alan iç ve dış döngü denetleyicilerinin
eş zamanlı tasarımı verilmiştir. Sunulan benzetim
çalışmaları ile önerilen tasarım metodunun iyi kapalı
çevrim cevapları verdiği gösterilmiştir.
6. Kaynakça
[1] R.G. Franks ve C.W. Worley, “Quantitive Analysis of
Cascade Control,” Ind. Eng. Chem., Cilt: 48, Sayı: 6,
s: 1074-1079, 1956. 1956,48(6),1074-1079
882
Düz Dişli Çarkların Yüzey Hatası Teşhisinde Titreşim ile Yağ Sıcaklığı
İlişkisinin İstatistiksel Proses Kontrolü
Sinan Maraş1, Hakan Arslan2
1
Makine Mühendisliği Bölümü
Bayburt Üniversitesi, Dede Korkut Yerleşkesi
[email protected]
2
Makine Mühendisliği Bölümü
Kırıkkale Üniversitesi, Merkez Yerleşkesi
[email protected]
olumsuzlukları önleme amacıyla kullanılmaktadır. Bu
tekniklerden dişli hasar tespitinde, titreşim analizi, yağ
analizi, sıcaklık analizi, akıntı ve sızıntı kontrolü, basınç
kontrolü, akustik emisyon ve gürültü analizi yöntemleri
kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden titreşim analizi,
makinelerin içyapısında oluşan olayları en iyi gösteren
parametrelerden biri olduğu için günümüzde yaygın
olarak kullanılmaktadır. Dişlilerde hata teşhisi, titreşim
ölçümü ve analizi ile gerçekleştirilmektedir. Titreşim
analizi sonucu elde edilen veriler sinyal işleme, yapay
zeka, istatistiksel analiz yöntemleriyle işlenerek
dişlilerde hata tespiti yapılmaktadır.
Sinyal işleme yönteminde, sağlam durumdaki
dişlilerden alınan titreşim verileri genlik-zaman
grafiklerinde kaydedilerek
referans ölçümler elde
edilmektedir. Dişlilerin çalışması sonucu zaman
içerisinde hata frekanslarının genlik-zaman grafiklerinde
oluşması ve sağlam durumda alınan referans titreşim
değerleriyle
karşılaştırılarak
dişli hata
tespiti
yapılmaktadır.
Yapay zeka yönteminde, sağlam durumdaki bir
dişlinin normal şartlarda gösterebileceği çalışma
koşullarını, titreşim verilerini bilgisayar ortamına
aktarmak için grafik kullanıcı ara yüzlü bir yazılım
kullanılmaktadır. Bu çalışma koşulları yazılıma
eklenerek titreşim verilerindeki değişimin takip edilmesi
ile herhangi bir arıza oluştuğu zaman yazılım hata
vererek kullanıcı uyarmakta ve ne tür bir arıza olduğu
hakkında nedenleriyle beraber bilgi verilmektedir.
İstatistiksel analiz yönteminde ilk çalışma şartlarında,
sağlam dişlilerden alınan titreşim verilerinin ortalama ve
standart sapma değerleri kullanılarak alt ve üst kontrol
limitleri belirlenmektedir. Süreç içerisinde dişlilerden
alınan titreşim verileriyle beraber çeşitli parametreler,
oluşturulan kalite kontrol grafiklerinde analiz edilerek,
verilerin bu sınırların dışında çıkması veya belirli bir
eğilim izlemesi sonucu dişlide hata tespiti
yapılabilmekte
ve
parametrelerin
buna
etkisi
incelenebilmektedir.
Özetçe
Dişli çarklar endüstrinin her alanında, değişik ortam ve
koşullarda güç ve hareket iletimi için kullanılan makine
elemanlarıdır. Önemli makine elemanlarından olan
dişlilerin zorlayıcı şartlarda çalışması sonucu kusurlar
meydana gelmektedir ve ileride daha büyük hasarların
meydana gelmemesi için bu hasarların tespit edilmesi
ve gerekli tedbirlerin alınması gerekmektedir. Titreşim,
makinelerin içyapısında oluşan olaylar hakkında bilgi
veren en iyi parametrelerden biridir. Bu yüzden
dişlilerde hata teşhisi genellikle titreşim ölçümü ve
analizi ile gerçekleştirilmektedir. Titreşim analizi
sonucu elde edilen veriler sinyal işleme, yapay zeka,
istatistiksel analiz yöntemleriyle işlenerek dişlilerde
hata tespiti yapılabilmektedir. Bu çalışmada amaç, düz
dişli çarklarda yüzey hatası tespitinde titreşim verileri
ile yağ sıcaklığının etkisinin istatistiksel proses kontrol
metodunda analiz edilerek, bu yöntemin hata tespitinde
kullanılabilirliğini ortaya koymaktır. Bu yöntemde
sağlam dişlilerden, ilk çalışma şartlarından alınan
titreşim verilerinin ortalama ve standart sapma değerleri
kullanılarak alt ve üst kontrol sınırları belirlenmektedir.
Süreç içerisinde çalışma sıcaklığının artmasıyla beraber
dişlilerden alınan titreşim verileriyle oluşturulan kalite
kontrol grafiklerinde verilerin bu sınırların dışında
çıkması veya belirli bir eğilim izlemesi sonucu düz
dişlide hata tespiti yapılabilmektedir.
1. Giriş
Dişli çarklar endüstrinin her alanında, hemen hemen her
makinede, miller arasında mekanik güç ve hareket
iletimini gerçekleştirmek amacıyla kullanılmaktadır.
Dişlilerde çalışma sonucu, çeşitli etkenler neticesinde
aşınma,
yorulma,
kırılma
şeklinde
hasarlar
oluşmaktadır. Bu hasarlar sonucu makinelerde
istenmeyen, ani durmalar söz konusu olmaktadır.
İlerleyen aşamada bu hasarlar daha büyük arızalara
neden olmaktadır. Sonuç olarak zaman, maliyet, ürün
kalitesi, süreç güvenirliği açısından olumsuzluklara
sebebiyet vermektedir. Böyle bir durumda, dişli
çarklardaki hasarların erken teşhisi büyük bir önem arz
etmektedir[1].
1.1. Literatür Özetleri
Dişli hata tespitinde titreşim verilerinin istatistiksel
analiz yöntemlerinde kullanılması ile ilgili çalışmalardan
bazılarını özetlemek gerekirse:
Makine durum izleme teknikleri olarak çeşitli
parametreler, hasarları tespit etmede ve böylelikle
883
Andrade vd., Kolmogorov-Simirnov testi ile yük
altındaki düz dişlilerin normal, hatalı, aşınmış, çatlak
ilerlemesi gibi durumlarını tespit etmişlerdir[2]. Baydar
vd., çok değişkenli istatistiksel yöntemlerden Temel
Bileşenler Analizini kullanarak helisel dişlilerdeki diş
kusurlarının tespitini gerçekleştirmişlerdir[3]. Birgören
ve Koçer, istatistiksel proses kontrol çizelgelerinde hata
teşhisinde geleneksel tek değişkenli kontrol çizelgeleri,
yapay sinir ağı uygulamaları ve çok değişkenli kontrol
çizelgelerinin kullanılabilirliğini ortaya koymuşlardır[4].
Zhan ve Mechefske, dişli kutusundaki dişli arızalarının
tespiti için değişen yük koşulları altında zamanla
değişen özbağlanımlı modeli kurmuş ve dişli durumunun
bir ölçüsü olarak K-S goodness-of-fit test istatistiğini
uygulamışlardır [5]. Zhan vd., sağlam bir dişlinin hata
tespiti için değişik yük koşullarında çalıştırılması sonucu
Kolmogorov-Smirnov testi ile istatistiksel olarak
analizini gerçekleştirmişlerdir [6]. Wang vd., faz ve
genlik modülasyonu, beta basıklık ve dalga dönüşümü
tekniklerinin
hassasiyet
ve
güvenilirliklerini
incelemişlerdir. Bunun için deneylerinde sağlam,
aşınmış, çatlak ve kırık dişlileri kullanmışlardır [7].
Djeddou and Zegadi, geliştirdikleri iki istatistiksel
metodun, küçük adımlı dişli çiftlerin güvenilirlik ve
yaşam süresi tahmininde önemli bir uyum gösterdiğini
tespit etmişlerdir [8]. Raad vd., istatistik değerleri bazı
genel değişkenler açısından periyodik olarak değişen
titreşim sinyallerinin sınıflandırılması için periyodikliğin
yeni ve basit göstergeleri üzerinde çalışmışlardır. Dişli
hata teşhisi için bu göstergelerin nasıl kullanılacağını
yaptıkları uygulamalarla göstermişlerdir [9]. Yimin vd.,
dişli durum izlenmesinde, değişik yük koşullarında elde
edilen titreşim verilerine Kolmogorov-Smirnov testini
uygulamışlardır [10].
sinyallerinin ultrasonik cihazlarla tespit edilerek akıntı
ve sızıntıların kontrolü mümkün olmaktadır.
2.4. Basınç Kontrolü
Makinelerin çeşitli kısımlarına manometre vb. türde
analog ya da dijital okuyucular yerleştirilerek yağ, hava,
soğutma suyu gibi akışkanların basınç ölçümleri ile
makinelerde hata tespiti yapılabilmektedir[11].
2.5. Gürültü Kontrolü
Makine ve elemanlarında titreşim sebebiyle oluşan
gürültü sinyallerinin frekansları ölçülerek ve normal
çalışma
şartlarındaki
referans
değerleriyle
karşılaştırılarak makinelerde oluşan hasar türlerini
belirleyebilmek mümkündür.
2.6. Titreşim Kontrolü
Titreşim, makinelerin içyapısında oluşan olayları en iyi
yansıtan parametrelerden biri olduğu için günümüzde
kestirimci bakım, titreşim ölçümü ve analizi ile
gerçekleştirilmektedir [12]. Bu yöntemde ilk olarak
yatak v.b. makine elemanları üzerine ivme ölçerler
yerleştirilmektedir. Sistemin ilk çalışma koşullarındaki
referans ölçümler veri toplama cihazları ile alınmakta ve
dijital analog çevirici ile bilgisayara kaydedilmektedir.
Çalışma esnasında oluşan titreşim verileri periyodik
veya sürekli olarak ölçülmektedir ve bilgisayar
programlarında dalgaform (genlik-zaman) ve spektrum
(genlik-frekans) grafikleri ile takip edilmektedir. Makine
elemanlarında arıza meydana gelmeye başladığı zaman,
artan titreşim genlikleri ile referans ölçümler
karşılaştırılmaktadır. Titreşim verileri kabul edilebilir
sınırlar içerisinde olup olmadığı ve arıza frekansları
seviyesine gelip gelmediği analiz edilerek makinelerde
oluşan hasarların tehlikeli bir hal almadan önce
belirlenmesi mümkün olmaktadır. Dişli çarklarda
frekans analizinde, hasar türlerine (aşınma, dengesizlik,
gevşeklik, kırılma v.b.) özgün belirgin titreşimler
oluşmaktadır. Bu nedenle dişlilerde titreşim analizi ile
DKF, DKF ’nin yan bantları ve yan bantların aralıkları,
referans hata frekansları ile yorumlanarak hangi dişlide,
ne tür bir arıza oluştuğu tespit edilebilmektedir.
2. Makine Performanslarının İzlenmesi ve
Hata Teşhis Yöntemleri
Makinelerin çalışma şartlarının ve oluşabilecek
hasarların
tespitinde
çeşitli
parametrelerden
faydalanılmaktadır. Bu parametreler;
1. Sıcaklık, 2. Yağ Analizi, 3. Akıntı ve Sızıntılar, 4.
Basınç, 5. Gürültü, 6. Titreşim olup, bunların analiz
edilmesi ile makine performansı ve durumu hakkında
değerlendirme yapılabilmektedir [11].
3. Sürtünme, Viskozite ve Yağlar
Dişli çarklarda birbirine temas eden yüzeyler arasında
harekete
karşı
gösterilen
dirence
sürtünme
denilmektedir. Çalışma esnasında temas yüzeylerine etki
eden büyük basınçlar neticesinde yüzeyden malzeme
ayrılarak kopar ve bir yüzeyden diğerine malzeme
transferi meydana gelerek yüzeylerde hasar meydana
gelir.
Viskozite ise akışkanın akmaya karşı gösterdiği
dirençtir ve akışkanların önemli bir özelliğini temsil
etmektedir. Hareket halindeki sıvı tabakanın sonraki
tabakaya hareketi iletmesi şeklinde tanımlanmaktadır.
Viskozite ile sıcaklık arasındaki ilişki çok önemlidir ve
sıcaklık değişimlerinden mümkün olduğunca az
etkilenmesi istenilmektedir.
Dişli çarklarda çalışma esnasında kullanılan yağların
başlıca amacı, temas yüzeylerinde yağ filmi oluşturarak
sürtünmeleri azaltarak aşınmayı önlemek ve çalışma
esnasında oluşan ısıyı çevreye ileterek ısı miktarını
azaltmak ve böylece soğutucu işlevini yerine
getirmektir. [13].
2.1. Sıcaklık Kontrolü
Makine üzerinde önceden tespit edilen önemli
noktalarda örneğin yataklar üzerinde yağ sıcaklığı ya da
soğutma suyu sıcaklıklarından alınan ölçümlerin,
başlangıçta normal çalışma koşullarında yapılan
ölçümlerden
alınan
referans
sinyallerinin
karşılaştırılmasına dayanmaktadır.
2.2. Yağ Analizi
Makinelerde oluşan hasarlar yağ ve filtre kontrolü ile
tespit edilebilmektedir. Metalden koparak yağın içerisine
dökülen parçacıkların miktarı, tane büyüklüğünün
analizi, yağın renginin koyuluğu, köpüklenmesi, su
karışık olması makinelerin çalışma şartları hakkında
bilgi vermektedir.
2.3. Akıntı ve Sızıntıların Kontrolü
Makinelerde
sızıntı
sebebiyle
oluşan
basınç
düşmelerinin neden olduğu
yüksek frekanslı ses
884
3. İstatistiksel olarak bir sürecin kontrol edilip
edilemeyeceğinin belirlenmesi,
4. İstatistiksel Proses Kontrol
İstatistiksel proses kontrol, bir ürünün üretim sürecinde
(proses) istenilen kalite şartlarında üretimi sağlamak,
süreç içerisinde ürünlerde meydana gelebilecek hataları
tespit etmek ve süreci iyileştirmek amacıyla kullanılan
istatistiksel yöntemleri içermektedir. İstatistiksel proses
kontrol yönteminde ürünlerin çap, boy, ağırlık, açı,
titreşim genliği gibi kalite göstergesi olan parametreler
İPK grafiklerinde analiz edilerek sürecin izlenilmektedir.
4. Kararlı yapıda olmayan bir süreci belirlemek ve
süreçte olumsuz bir değişiklik olduğunda, gerekli
önlemleri alarak erken uyarı sağlamak amacıyla
kullanılır.
İstatistiksel proses kontrol grafiği genel olarak,
prosesin ortalama değerini gösteren bir merkezi çizgi ile
beraber proseste ölçülen verilerin alt ve üst limitini
gösteren çizgi hatlarından oluşur. Merkez çizgisi ölçülen
karakteristiğin ortalama olarak hedef değerini, limitlerle
sınırlanmış alan ise müsaade edilebilir kontrollü bölgeyi
göstermektedir. Süreç devam ettikçe elde edilen değerler
çizelgeye işlenmektedir.
Kontrol çizelgelerinin kullanım amaçları şunlardır;
1. Bir üretim sürecinin hangi sınırlar içerisinde kontrol
edilebilirliğinin (yeterliliğinin) tespit edilmesi,
2. Süreç içerisindeki farklılığının gözlemlenmesi,
Şekil 1: Örnek Süreç Kontrol Grafiği [14]
mümkünse süreç durdurularak hataya yol açan nedenler
araştırılır, hata kaynağı saptanır ve gerekli önlemler
alınır[15]. Bu şekilde süreç, istatistiksel ve görsel bir
şekilde sunulmuş olmaktadır. Bu işlemle beraber proses
sürecinde operatörün denetimi kolaylaşmakta ve aynı
zamanda çizelgelerin analizi ile sürekli bir iyileştirme
imkanı sağlanmaktadır.
Süreç içerisinde ürünlerden alınan ölçüm değerleri veya
bu değerlerden hesaplanan istatistiksel sonuçlar
çizelgelerde kullanılmaktadır. Bu değerler, kontrol
bölgesi olarak ifade edilen bir alan içerisindeyse süreç
kontrol altındadır. Ölçüm değerleri kontrol bölgesi
dışında ise bu durum bir kontrol-dışı uyarı sinyali olarak
algılanır ve proseste hataya neden olan bir özel durumun
(hata kaynağının) var olduğu kabul edilir. Bu durumda,
Şekil 2: İPK Uygulamasında Kullanılan Klasik Kontrol Sistemi [16]
Sürecin Kontrol Altında Olduğu Durumlar;
1.
2.
3.
Limit değerler dışında noktanın olmaması,
Noktaların çoğunun proses merkez çizgisi
etrafında bulunması,
4.
885
Proses ortalama çizgisinin altında ve üstünde eşit
sayıda noktanın bulunması,
Noktalar rasgele olarak sıralanmış ve şüpheli bir
davranış gözükmüyor ise süreç kontrol altında
demektir.
Sürecin Kontrol Dışına Çıktığı Durumlar;
1.
2.
3.
4.
5.
kontrol grafikleri tercih edilir. X -S kontrol grafikleri;
çok sayıda örnek hacmi içeren süreçlerde süreç
değişkenliğini daha verimli ve etkili bir şekilde
göstermektedir. Grafikte S değeri her bir grubun standart
sapmasını gösterirken merkezi çizgi değeri S ise her
grubun
standart
sapmalarının
ortalamasını
belirtmektedir. Üst ve alt kontrol sınır değerleri; ÜKS=
Bir veya daha fazla noktanın kontrol sınırları
dışına çıkması,
Peş peşe gelen 7 noktanın hepsinin merkez
çizginin altında ya da üstünde bulunması,
Peş peşe gelen 7 noktanın artan veya azalan bir
şekilde trend göstermesi,
3σ çizgisi etrafındaki her 3 noktadan 2 sinin 2σ
çizgisinin dışına çıkması,
Noktaların periyodik olarak bir eğilim içersinde
bulunması.
X + A3 S ve AKS= X - A3 S ifadeleri ile bulunmaktadır.
4.2. Ölçülemeyen Veriler için Kontrol Grafikleri
Örneklerin kırık, çatlak, bozuk, lekeli, kusurlu v.s. gibi
duyu organlarımız aracılığıyla değerlendirilebilen,
değişimleri sayısal olarak ölçüm aletleriyle ölçülemeyen
özelliklerin üretim süreci bu tür kontrol grafikleri
izlenebilmektedir. Bu grafikler örnekteki kusurlu oranını
baz alan p ve örnekteki kusur sayısını baz alan c kontrol
grafikleridir.
4.1. Ölçülebilir Veriler için Kontrol Grafikleri
Çap, boy, ağırlık, sertlik, açı, uzunluk, hacim, titreşim
genliği gibi alet ve cihaz yardımıyla ölçülebilen ve
rakamsal olarak gösterilebilen özelliklerdir. Bu tip
parametreler için süreç ortalamasındaki değişimleri
ölçen X , değişkenlikteki farklılıkları ölçen R ve süreç
standart sapmasını ölçen S grafikleri kullanılmaktadır.
5. Titreşim ve Yağ Sıcaklığı
Parametrelerinin İPK Analizi ile Düz
Dişlilerde Hata Tespiti
4.1.1. X ve R Grafikleri
Örnekleme hacminin çok fazla olmadığı (n ≤ 10)
süreçlerde, ortalama ile birlikte değişkenlik farkı
grafikleri kullanılır. Bu uygulama ile hem ortalama hem
de değişkenlik açısından sürecin kontrol altında olup
olmadığı gözlemlenebilmektedir.
X grafiği süreçteki her bir grubun ortalama değerleri
Düz dişlilerdeki çalışma esnasında yağ sıcaklığının
artması sonucu meydana gelen hataların oluşturduğu
titreşim değişkenlikleri istatistiksel proses kontrol
grafiklerinde analiz edilerek farklı tipteki dişli kusurları
tespit edilebilmektedir. Bu yöntemde, dişli test
düzenekleri vasıtasıyla elde edilen titreşim genlikleri
istatistiksel proses kontrol grafiklerinden süreç
ortalamasındaki farklılıkları ölçen
, değişkenlikteki
farklılıkları ölçen R ve süreç standart sapmasını ölçen S
grafiklerinde işaretlenmektedir. Alt ve üst kontrol
limitleri, sağlam dişlinin ilk çalışma şartlarında yani
yağ sıcaklığının etkisinin sürece etki etmediği durumda
elde edilen titreşim verilerinin ortalama ve standart
sapma
değerleri
kullanılarak
belirlenmektedir.
Titreşimlerdeki bu değişimler, MINITAB programı ile
belirlenen örnekleme hacmine göre
ve S
grafiklerinde analiz edilmektedir. Deney verilerinin
süreç içerisinde rasgele davranış gösterip göstermediği,
kontrol sınırları arasında olup olmadıkları kontrol
edilmektedir. Dişliler, uygulanan burulma momentiyle
hataya zorlamalı bir şekilde çalıştırılmaları ve kullanılan
yağın sıcaklığındaki artış sonucu sürtünmeye karşı
direnç ve soğutma görevlerini yerine getirememesi
sebebiyle süreç içerisinde aşınmaya maruz kalmakta ve
neticesinde titreşim genliklerinde artış görülmektedir.
Kontrol grafiklerinde süreç analiz edilerek bu durum
tespit edilmekte ve böylelikle sağlam dişlinin ne zaman
aşındığının veya ileri safhalarda kırılma gibi daha büyük
hasarların teşhisi gerçek zamanlı deneysel çalışma ile
grafiksel olarak gösterilebilmektedir.
kullanılarak oluşturulmaktadır. X ifadesi ise merkez
çizgiyi tanımlamaktadır ve grup ortalamalarının
ortalaması şeklinde bulunmaktadır. R grafiği ise her bir
gruptaki ölçümlerden, en büyük ve en küçük değerler
arasındaki fark bulunarak oluşturulmaktadır. R ifadesi
ise merkez çizgiyi ifade etmektedir ve R değerlerinin
ortalaması ile bulunmaktadır. X ve R kontrol
çizelgelerinde alt kontrol limiti ve üst kontrol limiti
bulunurken örnekleme hacmine göre kontrol grafiklerini
düzenlemede kullanılan katsayılar standart tablosundan
seçilerek belirlenmektedir.
X grafiğinde bu değerler ÜKS= X + A 2 R ve AKS=
X - A 2 R şeklinde bulunmaktadır. R grafiğinde ise
ÜKS= D4 R ve AKS= D3 R şeklinde hesaplanmaktadır.
4.1.2. X ve S Grafikleri
X ve S kontrol grafikleri de X ve R kontrol grafikleri
gibi alt grup ortalamalarıyla beraber ve alt grup standart
sapmalarını gösteren iki grafikten oluşmaktadır. Orta
büyüklükte örnek hacmine (n>10) sahip süreçlerde
veya örnek hacminin örnekten örneğe farklılık gösterdiği
durumlarda X ve R kontrol grafikleri yerine X ve S
886
X Bar - S Grafiği
Ö r nekleme O r talaması
U C L=0,0644
0,050
0,025
_
_
X=0,0036
0,000
-0,025
-0,050
LC L=-0,0571
1
Dakika
Standar t Sapma
0,500
U C L=0,4955
0,475
_
S =0,4525
0,450
0,425
LC L=0,4096
0,400
1
Dakika
Şekil 3: Sağlam dişli X - S Grafiği
Şekil 3’ de bir dakikalık çalışma sonucunda, sağlam
durumdaki bir düz dişliden elde edilen titreşim
verilerinin kullanılması ile çizilen X-bar ve S grafiği
görülmektedir. İlk çalışma şartlarında, yağ sıcaklığının
sisteme henüz etki etmediği durumdaki referans
genlikleri
yani
kontrol
limitleri
böylelikle
belirlenmektedir. Bu grafik sonucunda ortalama değer
0,0036 ve standart sapma değeri 0,4525 olarak
bulunmuştur. Örnekleme ortalaması ve standart sapma
grafiklerinin alt ve üst kontrol limitleri de bu grafikten
belirlenmektedir.
Ö r nekleme O r tlaması
X Bar - S Grafiği
0,10
U B=0,0644
0,05
_
_
X=0,0036
0,00
-0,05
LB=-0,0571
-0,10
1
11
21
31
41
51
Sıcaklık
Standar t Sapma
0,8
61
71
1
0,6
81
1
1 1
1
1
1
1
91
1
1
1
1
0,4
0,2
1
0,0
1
U B=0,4955
_
S =0,4514
LB=0,4096
1
1
1
11 1 1
11 11 11 1 1
1 111 11 11 11 1 11 1 11 11 1
11 11 11 1 1 11 11 1
1 1
11
21
31
41
51
Sıcaklık
61
71
81
91
Şekil 4: X - S Grafiği
Şekil 4’ de ilk çalışma şartlarında, sağlam durumdaki
dişliden elde edilen ortalama, standart sapma ve kontrol
limitleri kullanılarak çalışma sonucu yağ sıcaklığı ile
dişli titreşim verilerinin değişimini gösteren X-bar ve S
grafiği görülmektedir. Örnekleme hacmi, her bir sıcaklık
değerinde 500 veri alınarak oluşturulmuştur.
Örnekleme ortalaması ve standart sapma grafiklerine
Çalışma sonucu yağ sıcaklığının artması ile beraber
kullanılan yağ soğutma ve yağ filminin zayıflaması
neticesinde de sürtünmeyi önleme görevlerini yerine
getirememektedir. Sıcaklık arttıkça yağ vizkozitesi
düşmekte ve yağın basınç altındaki dayanımı
azalmaktadır. Böylelikle yüzeyler arasındaki yağ filmi
yırtılarak, dişli yüzeylerinde malzeme kaybı olmakta ve
aşınma hasarı meydana gelmektedir.
beraber bakıldığında yağ sıcaklığının 50 o C’ ye
ulaşıncaya kadar dişli frekans verilerinin merkez çizgi
etrafında dağıldığını ve ortalamadan sapma gibi süreç
içerisinde anormal bir davranış görülmemektedir.
887
statistics”, Mechanical Systems and Signal Processing, 15 (2),
pp. 303-321, 2001.
Grafiklerde bu durum kendisini 51 o C sıcaklık değerinden
itibaren titreşim genliklerinin örnekleme ortalaması
değerlerinde artış ve alt kontrol ve üst kontrol sınırlarının
ihlali ile beraber noktaların istikrarlı bir şekilde artış ve azalış
göstererek bir trend izlemesi şeklinde göstermektedir. Standart
sapma grafiğinde ise bu durum, ani bir artış ve anormal
davranış olarak rasgele bir eğilim içerisinde olmadığı şeklinde
kendisini göstermektedir. X-bar grafiğinde 51, 58, 60, 64, 73,
90 ve 95
o
C
[4] Birgören, B. ve Koçer B., “İstatistiksel proses kontrol
çizelgelerinde hata teşhisine yönelik yaklaşımlar”, G. Ü. Fen
Bilimleri Dergisi, 17 (4), pp. 59-69, 2004.
[5] Zhan, Y. M., Mechefske, C.K., “Load-independent
condition assessment of gears using Kolmogorov-Smirnov
goodness-of-fit test and autoregressıve modeling”, Word
Congress on Engineering Asset Management, Australia, 11-14
July 2006.
sıcaklıklarında verilerin kontrol limitlerinin
dışına çıkması ve özelliklede 95 o C’ den itibaren kontrol
limitlerinden sapma miktarında artış olduğu görülmektedir. Bu
durumda proseste bir hata oluştuğu anlaşılmaktadır. Hata
tespiti için istatistiksel proses kontrol grafikleriyle beraber
dişlilerin durumlarının gözlemlenmesi gerekmektedir.
Grafiklerden süreç içerisinde sağlam durumdaki dişlide
çalışma sonucu yağ sıcaklığının artması ile yüzeylerde
malzeme kayıplarının oluşması ve böylelikle en temel hasar
olan aşınmanın gerçekleşmeye başladığı anlaşılmaktadır.
İlerleyen çalışmalarda yağ sıcaklığının artması ile beraber,
dişli yüzeylerindeki bu aşınmalar ilerleyerek maksimum
çekme gerilmelerini meydana getirecektir. Bu gerilmeler
malzemenin mukavemet sınırlarına ulaşmasına ve böylelikle
yorulma çatlaklarının oluşmasına neden olacaktır. Çalışma ile
beraber bu çatlaklar dişin çark gövdesinden ayrılmasına kadar
ilerleyecektir. Bu durum istatistiksel proses kontrol
grafiklerinde, yağ sıcaklığının artması ile beraber titreşim
verilerinin de giderek artması sonucu kontrol sınırlarının
ihlalinin sürekli bir hale gelmesi ve rasgele olmayan bir
sürecin gözlemlenmesi şeklinde kendini gösterecektir.
[6] Zhan, Y., Makis, V., Jardine, A. K .S., “Adaptive state
detection of gearbox under varying load conditions based on
parametric modelling”, Mechanical Systems and Signal
Processing, 20 (1), pp. 188-221, 2006.
[7] Wang, W. Q., Ismail, F., Golnaraghi, M. F., “Assessment
of gear damage monitoring techniques using vibrations
measurements”, Mechanical Systems and Signal Processing,
15 (5), pp. 905-922, 2001.
[8] Djeddou, F., Zegadi, R., “Practical statistical methods for
predicting life reliability of fine pitch gear pairs”, Journal of
Engineering and Applied Sciences, 2 (3), pp. 494-500, 2007.
[9] Raad, A., Antoni, J., Sidahmed, M., “Indicators of
cyclostationarity: Theory and application to gear fault
monitoring”, Mechanical Systems and Signal Processing, 22
(3), pp. 74–587, 2008.
6. Sonuçlar
[10] Yimin, S., Mechefske, C. K., “Gearbox vibration
monitoring using extended kalman filters and hypothesis
tests”, Journal of Sound and Vibration, Vol: 325, pp. 629–
648, 2009.
Bu çalışmada, düz dişlilerde çalışma esnasında kaydedilen
titreşim verileriyle, yağ sıcaklığının ilişkisi istatistiksel proses
kontrol metotu ile analiz edilerek düz dişlilerde görülen en
temel hasarlardan olan aşınma hatasının tespit edilebilirliği
ortaya konulmuştur. Sağlam durumdaki bir dişlide yağ
sıcaklığının sisteme olan etkisi sonucu oluşabilecek hasarların
ne zaman meydana geldiği istatistiksel proses kontrol metodu
ile grafiksel olarak gösterilebilmektedir. Böylelikle arızanın
başlangıç aşamasında tespit edilmesi ile gerçek zamanlı
çalışan bir erken uyarı sistemi gerçekleştirilebilir. Yağın
fonksiyonunu ne zaman yerine getiremeyeceği ve dolayısıyla
arızanın ne zaman sistemi işlemez hale getireceğinin
belirlenmesi ve
bu zaman dilimi içerisinde tedbirlerin
alınarak, arızanın en az maddi ve zaman kaybıyla aşılması,
ekonomik bir katkı sağlayacaktır.
[11] Sipahi, C. V., Dişli çark hata ve hasarlarının titreşim
analizi ile belirlenmesi, Yüksek Lisans Tezi, İstanbul Teknik
Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 1995.
[12] Orhan, S., Rulmanlarla yataklanmış dinamik sistemlerin
titreşim analizi ile kestirimci bakımı, Doktora Tezi, Kırıkkale
[13] İşel, B., Dişliler için yüzey yorulması test cihazı
geliştirilmesi ve yağ sıcaklığının etkisinin incelenmesi, Yüksek
Lisans Tezi, Afyonkarahisar Kocatepe Üniversitesi, Fen
Bilimleri Enstitüsü, 2007.
7. Kaynakça
[14] Örümlü, M., Üretim sürecinde istatistiksel proses kontrol
ve işletme uygulamaları, Yüksek Lisans Tezi, Celal Bayar
[1] Maraş, S., Duman, Ö., Arslan, H., Yüzükırmızı, M.,
“Dişlilerden elde edilen titreşim sinyallerinde istatistiksel
proses kontrol uygulaması” 32. Yöneylem Araştırması ve
Endüstri Mühendisliği Kongresi, İstanbul, 20-22 Haziran
2012.
[15] Birgören, B., ve Koçer, B., “İstatistiksel proses kontrol
çizelgelerinde hata teşhisine yönelik yaklaşımlar”, G. Ü. Fen
Bilimleri Dergisi, 17 (4), pp. 59-69, 2004.
[2] Andrade, F. A., Esat, L. L., Badi, M. M., “Gear condition
monitoring by a new application of the Kolmogorov-Smirnov
test”, Journal of Mechanical Engineering Science, Vol:215,
pp. 653-661, 2001.
[16] Çolak, T., İstatistiksel süreç kontrolü ve uygulamalar,
Yüksek Lisans Tezi, Çukurova Üniversitesi, Fen Bilimleri
Enstitüsü, 2007.
[3] Baydar, N., Chen, Q., Ball, A., Kruger, U. “Detection of
incipient tooth defect in helical gears using multivariate
888
Smith Öngörücüsü Yapıları İçin Kararlılık Bölgesi Analizi
F. Nur Deniz1, Nusret Tan1, Serdar E. Hamamcı1, İbrahim Kaya2
1
İnönü Üniversitesi, Malatya
2
[email protected]
Kararlılık bölgesi, PI için (kp, ki) düzleminde kararlı olacağı
bütün parametre değerleri ile, PID için ise (kp, ki) ve (kp, kd)
düzlemlerinde kararlı olacağı bütün parametre değerleri ile
tanımlanır [12, 13]. Zaman gecikmeli sistemlerde kullanılan
Pade yaklaşımından ötürü oluşan hatalar, kararlılık bölgesi
hesaplarında zaman gecikmesi parametresi doğrudan hesaba
katıldığından dolayı ortadan kalkmıştır. Kararlılık bölgesi ile PI
ya da PID’nin kararlı olacağı bütün parametre değerleri elde
edilir. Kararlılık bölgesi kullanılarak bir kontrolörün en iyi
performans sağlayan parametre değerleri ve dayanıklı çalışma
aralığı hesaplanabilir.
Bu çalışmada mükemmel olmayan model hesaba katılarak
Smith öngörücüsü yapısının transfer fonksiyonu yeniden
hesaplanmıştır. Elde edilen transfer fonksiyonundan yola
çıkarak sistemin karakteristik denklemi elde edilmiş ve
mükemmel olan ya da olmayan bütün modeller için
kullanılabilecek genelleştirilmiş bir kararlılık bölgesi analizi
yapılmıştır.
Özetçe
Bu çalışmada, Smith öngörücüsü yapılarında kontrol edilen
sistemin farklı modellleri için kararlılık bölgesi analizleri
yapılmıştır. Smith öngörücüsünde sırasıyla mükemmel model ve
mükemmel olmayan model (FOPDT (First Order Plus Dead
Time) model ve SOPDT (Second Order Plus Dead Time)
model) yapıları kullanılmış, her bir model için sistemin
karakteristik denklemi elde edilerek kararlılık bölgeleri
incelenmiştir. Yüksek dereceli, büyük zaman gecikmeli bir
örnek üzerinde uygulamalar yapılmıştır. Bu çalışmanın
yapılmasındaki amaç kararlılık bölgelerinin analizinden yola
çıkarak daha iyi bir model tahmininin (mükemmel modele
yakın) yapılabilmesi için matematiksel derivasyonlar
geliştirmektir.
1. Giriş
PI, PID kontrolörler günümüz endüstrisinde hala yaygın bir
şekilde kullanılmaktadır. Endüstride bu kadar çok tercih
edilmesinin sebebi dayanıklı performansı ve kullanım kolaylığı
avantajlarından kaynaklanmaktadır [1, 2]. Fakat zaman
gecikmesinin büyük olduğu durumlarda klasik yöntemler ile
tasarlanan PI, PID kontrolörler yetersiz kalmaktadır [1, 3].
Örnekleme zamanı hataları, kullanılan elemanların
birbirinden ayrı olması ve iletişimin geç olması gibi nedenlerden
endüstride kullanılan hemen hemen bütün sistemlerde zaman
gecikmesi görülmektedir [4]. Uzun zaman gecikmesinin olduğu
durumlarda faz gecikmesinin de artması, kapalı çevrim sistemi
kararsızlığa götürmektedir [5]. Bu durumda kontrolör tasarımı
için başka yöntemler kullanmak gerekmektedir.
Zaman gecikmesinin uzun olduğu bir kontrol sisteminin
kararlı olabilmesi için kontrolörün türev kısmı dışında başka bir
öngörü parametresi daha olması gerekmektedir [6]. Smith
öngörücüsü uzun zaman gecikmesinin olduğu sistemlerde
kararlı bir yapının elde edilebilmesi için kullanılan etkili bir ölü
zaman kompanzatörüdür [7]. Smith öngörücüsünde kullanılan
kontrolör, kontrol edilen sistemin modelinin parametrelerine
bağımlı olacak şekilde PI ya da PID olarak tanımlanır.
Smith öngörücüsünün performansı, Şekil 1’de görüldüğü
üzere kontrol edilen sistemin modeline bağlıdır. Tahmin edilen
model ne kadar gerçek sisteme benzerse Smith öngörücüsünün
performansı o ölçüde artar [8]. Model parametrelerinin
tahmininde çeşitli yöntemler mevcuttur [5, 9-11].
2. Smith Öngörücüsü Yapısı
Şekil 1’de Smith öngörücüsü yapısı gösterilmiştir.
+_
+_
Gc(s)
G(s)
e-Ls
Gm(s)
)
e-Lms
+_
Şekil 1: Smith Öngörücüsü Kontrol Şeması.
Şekil 1’deki sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu
Denklem (1)’de verilmiştir.
T ( s) 
889
G( s)Gc ( s)e  Ls
1  (G( s)e  Ls  Gm ( s)e  Ls  Gm ( s))Gc ( s)
(1)
Smith öngörücüsü yapısında G(s) = Gm(s) (mükemmel
model) olursa sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu
Denklem (2)’ de gösterildiği gibi elde edilmiştir.
G( s) 
Tm
K m Lm
ve
Ti  Tm
C ( s)  k p 
Denklem (7)’de
denklemi verilmiştir.
G( jw) 
2’deki
sistemin
karakteristik
(7)
N e ( w 2 )  jwNo ( w 2 )
De ( w 2 )  jwDo ( w 2 )
(8)
Karakteristik denklem yeniden yazılırsa Denklem (9) elde
edilir.
( jw)  [(ki N e  k p w 2 N o ) cos(w )  w(ki N o
 k p N e ) sin(w )  w 2 Do ]  j[ w(ki N o
 k p N e ) cos(w )  (ki N e
(9)
 w 2 k p N o ) sin(w )  wDe ]
T1m  T2m
K m Lm
Denklem (9)’da reel ve sanal kısımlar ayrı ayrı sıfıra
eşitlenip çözüm yapılırsa Denklem (10)’da verilen kp ve
Denklem (11)’de verilen ki değerleri hesaplanmış olur.
(4)
T1mT2m
T1m  T2m
Sistemin kapalı çevrim cevabının daha hızlı olabilmesi için
Kp hesaplanırken 0.2< α<1 olacak şekilde bir 1/α sabiti ile
çarpılır [5].
X( w)U( w)- Y( w)R( w)
Q( w)U( w)- R( w)S( w)
(10)
ki ( w)=
Y( w)Q( w)- X( w)S( w)
Q( w)U( w)- R( w)S( w)
(11)
Q( w) wN e sin(w )  w 2 N o cos(w )
Şekil 2’de gösterilen bir kontrol sistem yapısını ele alalım.
C(s)
k p ( w)=
Denklem (10) ve (11)’deki Q(w), R(w), X(w), S(w), U(w) ve
Y(w) değerleri Denklem (12)’de verilmiştir.
3. Kararlı PI Kontrolörün Hesaplanması
+-
Şekil
(6)
Denklem (5)’te s=jw dönüşümü yapılıp, transfer
fonksiyonun pay ve paydası tek ve çift bileşenlerine ayrılırsa
Denklem (8) elde edilir.
(3)
Ti  T1m  T2m
Td 
ki k p s  ki

s
s
(s)  sD(s)  (k p s  k i ) N (s)e Ts
Sistemin modeli SOPDT olarak varsayılıp, gerekli
hesaplamaların yapılması neticesinde elde edilen değerler Smith
öngörücüsünde kullanılan kontrolörün PID olduğunu gösterir.
PID’nin parametreleri Denklem (4)’te verilmiştir. ISE
kriterlerine göre gerekli hesaplamalar yapılırsa filtrenin zaman
sabiti, Lm zaman gecikmesine eşit olacaktır [5].
Kp 
(5)
C(s), Denklem (6)’daki gibi klasik bir PI kontrolör olsun.
G ( s)Gm ( s)e  Lm s
(2)
T ( s)  c
1  Gc ( s)Gm ( s)
Smith öngörücüsü yapısı internal model kontrol yapısı
olarak da tasarlanabildiği için internal model kontrol yapısının
özellikleri Smith öngörücüsü yapısı için de geçerlidir [14].
Smith öngörücüsü yapısı internal model kontrol yapısı şeklinde
yeniden tasarlanır. Modelin transfer fonksiyonu (zaman
gecikmesi parametrelerinden ve sağ yarı düzlemdeki sıfırlardan
geriye kalan kısmı) kazancı bir olan alçak geçiren bir filtre ile
çarpılır. Elde edilen model mükemmel model varsayılarak
sistemin transfer fonksiyonunda yerine yazılırsa sistemin
transfer fonksiyonunun sadece alçak geçiren filtre
parametrelerine bağlı olduğu görülür [3,5].
Sistemin modeli FOPDT olarak varsayılıp gereken
hesaplamalar yapılırsa Smith öngörücünde kullanılan
kontrolörün, PI kontrolör olduğu ve parametrelerinin Denklem
(3)’deki gibi olduğu görülür.
Kp 
N ( s) Ts
e
D( s )
R( w)  N e cos(w )  wN o sin(w )
X ( w)  w 2 Do
G(s)
(12)
S ( w)  wN e cos(w )  w 2 N o sin(w )
U ( w)  wN o cos(w )  N e sin(w )
Y ( w)   wDe
Şekil 2: Kararlılık Bölgesi Analizi için Kontrol Şeması.
Denklem (11) ve Denklem (12) çözümlendikten sonra
(k p , ki ) düzleminde (k p (w), ki (w)) eğrisi ile çizilen bölge,
Buna göre G(s), Denklem (5)’te gösterildiği üzere zaman
gecikmeli bir sistem olsun.
kararlılık bölgesini belirler [12,13].
890
4. Smith Öngörücüsü için Kararlılık Bölgesi
Hesabı
U( w)= wDme N o cos( Lw)+ wDmo N e cos( Lw)
- wDe N mo cos( Lm w) - wDo N me cos( Lm w)
- Dme N e sin( Lw)+ w 2 Dmo N o sin( Lw)
Denklem (1)’de verilen Smith öngörücüsü yapısının
mükemmel model olmayan transfer fonksiyonu ile Denklem
(6)’da verilen klasik PI kontrolör yapısı ele alındığında Şekil
1’deki kontrol şemasının karakteristik denklemi Denklem
(13)’deki gibi elde edilmiştir.
+ De N me sin( Lm w) - w Do N mo sin( Lm w)
+ wDe N mo + wDo N me
Y(w)= -wDe Dme + w3 Do Dmo
( s)  sD( s) Dm ( s)
 ( Dm ( s) N ( s)e
 Ls
 D( s) N m ( s )e  Lms
kullanılan bütün modeller için
(14)
(s)  sD(s)  N (s)(k p s  ki )
Denklem (14) reel ve sanal kısımlarına ayrılıp sıfıra
eşitlendiği takdirde kp(w) ve ki(w) değerleri Denklem (10) ve
Denklem (11)’de elde edildiği gibi olacaktır. Buradaki Q(w),
R(w), X(w), S(w), U(w) ve Y(w) değerleri de aşağıdaki
denklemlerde elde edilmiştir.
2
( jw)  [(ki N e  k p w 2 N o )  w 2 Do ]  j[ w(ki N o
 k p N e )  wDe ]
Q( w)= -w Dme N o cos( Lw)- w Dmo N e cos( Lw)
+ w 2 De N mo cos( Lm w) + w 2 Do N me cos( Lm w)
+ wDme N e sin( Lw)- w Dmo N o sin( Lw)
(15)
- wDe N me sin( Lm w) + w Do N mo sin( Lm w)
- w 2 De N mo - w 2 Do N me
Q( w)  w 2 N o
R ( w)  N e
R( w)= Dme N e cos( Lw)- w 2 Dmo N o cos( Lw)
X ( w)  w 2 Do
- De N me cos( Lm w) + w 2 Do N mo cos( Lm w)
S ( w)  wN e
(16)
Y ( w)   wDe
+ De N me - w 2 Do N mo
Denklem (23)’teki değerler Denklem (10) ve Denklem
(11)’de yerine yazılacak olursa mükemmel modelin uygulandığı
Smith öngörücüsü yapısının kararlılık bölgesi bulunmuş olur.
(17)
S( w)= wDme N e cos( Lw)- w 3 Dmo N o cos( Lw)
5. Uygulama
- wDe N me cos( Lm w) + w 3 Do N mo cos( Lm w)
+ w 2 Dme N o sin( Lw)+ w 2 Dmo N e sin( Lw)
(23)
U ( w)  wN o
- wDe N mo sin( Lm w) - wDo N me sin( Lm w)
X(w)= w2 De Dmo + w2 Do Dme
(22)
Denklem (22)’de de reel ve sanal kısımlar sıfıra eşitlenirse
kp(w) ve ki(w) değerleri Denklem (10) ve Denklem (11)’deki
gibi olacaktır. Buradaki Q(w), R(w), X(w), S(w), U(w) ve Y(w)
değerleri de Denklem (23)’te gösterildiği gibi elde edilmiştir.
3
+ wDme N o sin( Lw)+ wDmo N e sin( Lw)
(21)
Burada görüldüğü üzere karakteristik denklem zaman
gecikmesinden bağımsızdır. Denklem (21)’de s=jw dönüşümü
yapılırsa Denklem (22)’deki karakteristik denklem elde edilir.
2
3
(k p (w), ki (w)) eğrisi ile
belirlenen kararlılık bölgeleri bulunmuş olur.
Denklem (1)’de verilen Smith öngörücüsü yapısında
mükemmel model yani G(s)e  Ls  Gm (s)e  Lms olduğu takdirde
Denklem (2)’deki transfer fonksiyonu elde edilir. Bu durumda
Smith öngörücüsü yapısının karakteristik denklemi Denklem
(21)’deki gibi olacaktır.
Denklem (13)’de s=jw dönüşümü yapılırsa Denklem (14)’te
verilen karakteristik denklem elde edilmiş olur.
 ( De  jwD o )(N me  jwN mo )(cos(Lm w)  j sin( Lm w)
 ( De  jwD o )(N me  jwN mo ))(k p jw  ki )
(20)
Bulunan bu değerler Denklem (10) ve Denklem (11)’de
yerine yazılırsa (k p , ki ) düzleminde Smith öngörücüsünde
(13)
 D( s) N m ( s))(k p s  ki )
 ( jw)  jw( De  jwD o )(Dme  jwD mo )
((Dme  jwDmo )(Ne  jwN o )(cos(Lw ) j sin( Lw ))
(19)
2
Bu bölümde [5]’te örnek olarak verilen yüksek mertebeli bir
sistem üzerinde uygulamalar yapılmıştır. Verilen yüksek
mertebeli sistemin kararlılık bölgesi analizleri [15, 16]’daki
önerilen metot ile elde edilen FOPDT ve SOPDT modelleri
kullanılarak yapılmıştır.
Yüksek mertebeli sistemin transfer fonksiyonu Denklem
(24)’te verilmiştir.
(18)
- w 2 De N mo sin( Lm w) - w 2 Do N me sin( Lm w)
+ wDe N me - w 3 Do N mo
891
G(s) =
e -20s
(3s  1)(2s  1)(s  1)(0.5s 1)
(24)
Smith öngörücüsü yapısındaki model, SOPDT model
olduğu takdirde Gm(s), Denklem (26)’daki gibidir.
1. Smith öngörücüsü yapısındaki modelin mükemmel
model olduğunu kabul edelim. Yani Gm(s)=G(s) olsun. Denklem
(2)’deki transfer fonksiyonundan görüldüğü üzere sistemin
karakteristik denklemi zaman gecikmesinden bağımsızdır.
Denklem (12)’deki işlemler yapılıp Denklem (10) ve (11)’de
yerine konulursa bu durumda kararlılık bölgesi Şekil 3’teki gibi
olur.
G m (s) 
e -21.01s
(26)
(2.77s  1)2
14
zaman gecikmeli
pade yaklaşımı
12
1.2
10
1
ki
8
0.8
6
0.6
ki
4
0.4
2
0.2
0
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
kp
0
-0.2
-1
0
1
2
3
kp
4
5
6
Şekil 5: Gm(s)=SOPDT Model Durumunda
Kararlılık Bölgesi.
7
Smith öngörücüsü yapısında SOPDT model söz konusu
olduğunda elde edilen kararlılık bölgesi Şekil 5’te verilmiştir.
Bu örnekte zaman gecikmesi yerine 1. dereceden Pade
yaklaşımı kullanılarak da sistem kararlılık bölgesi analizi
yapılmış ve zaman gecikmeli sistem ile elde edilen sonuçlar ile
kıyaslanmıştır. Şekil 4’te ve Şekil 5’te görüldüğü üzere, Pade
yaklaşımından kaynaklanan hatalar, zaman gecikmesini
doğrudan hesaba katarak yapılan analizlerde ortadan kalkmıştır.
Farklı kp, ki değerleri için sistemin birim basamak cevapları
neticesinde Şekil 4’te ve Şekil 5’te Pade yaklaşımı ile elde
edilen eğrinin sağ tarafı kararlı bölge, sol tarafı ise kararsız
bölge olduğu tespit edilmiştir.
Elde edilen spiralimsi yapının ise sağ tarafında kalan bölge
kararlı, sol tarafında kalan bölge ve spiralimsi yapının içinin
kararsız bölge olduğu tespit edilmiştir.
Şekil 6’da ise bütün modeller için kararlılık bölgeleri elde
edilmiştir. Görüldüğü üzere SOPDT model, FOPDT modele
göre kararlılık bölgesini kısmen daraltarak mükemmel modele
biraz daha yaklaşmıştır. Her iki modelin kararlılık bölgesinin,
mükemmel modelin kullanıldığı sistemdeki kararlılık bölgesine
yaklaşması durumunda sistem daha kararlı ve dayanıklı
olacaktır.
Smith öngörücüsünde sistem ile model eşit olmadığı zaman
karakteristik denklemde farklı zaman gecikmeleri içeren terimler
karşımıza çıkmaktadır. Bu tür sistemlerin karakteristik analizleri
ile ilgili çalışmalar mevcut olmakla birlikte [17] bu konuda daha
fazla çalışmaya ihtiyaç vardır. Şekil 7’de ise aynı kp, ki
değerlerinde her bir model için birim basamak cevapları
verilmiştir.
Şekil 3: Gm(s)=G(s) Durumunda Kararlılık Bölgesi.
2. Mükemmel olmayan modellerde Denklem(1)’deki
transfer fonksiyonunda görüldüğü üzere sistemde farklı iki
zaman gecikmesi söz konusudur. Bu durumda Denklem (15),
(16), (17), (18), (19) ve (20)’deki işlemler yapılıp Denklem (10)
ve Denklem (11)’de yerine konulursa kararlılık bölgeleri elde
edilir.
Smith öngörücüsü yapısındaki modelin FOPDT model
olduğunu kabul edelim. Bu durum için Gm(s), Denklem (25)’te
verilmiştir.
G m (s) 
e -23.28s
(3.67s  1)
(25)
Smith öngörücüsü yapısında FOPDT model söz konusu
olduğunda elde edilen kararlılık bölgesi Şekil 4’te verilmiştir.
3
zaman gecikmeli
pade yaklaşımı
2.5
ki
2
1.5
1
0.5
0
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
kp
0
0.5
1
1.5
Şekil 4: Gm(s)=FOPDT Model Durumunda
Kararlılık Bölgesi.
892
8
7
6
[5] Ibrahim Kaya, “IMC bades automatic tuning method for
PID controllers in Smith predictor configuration”,
Computers & Chemical Engineering, Volume 28, Issue 3,
15 March 2004, Pages 281–290.
[6] Palm W. J., Control Systems Engineering, John
Willey&Sons,1986.
[7] Siva R. Veermachaneni,Jon Watkins,Tooran Emami
“Robust Stabilization Of Time Delay Systems Using PID
Controller With A Smith Predictor”, 2013 IEEE Multiconference on Systems and Control Hyderabad, India
August 28-30, 2013.
[8] Weidong Zhang, Xiaomi Xu, “Analytical design and
analysis of mismatched Smith predictor”, ISA
Transactions, Volume 40, Issue 2, April 2001, Pages 133–
138.
[9] Benouarets, M., & Atherton, D. P., “Autotuning design
methods fora Smith predictor control scheme”, In UKACC
International Conferenceon Control’94 (pp. 795–800),
1994.
[10] Hang, C. C., Wang, Q. G., & Cao, L. S., “Self-tuning
Smithpredictors for processes with long dead time” ,
International Journal of Adaptive Control and Signal
Processing, 9, 255–270 ,1995.
[11] Palmor, Z. J., & Blan, M., An auto-tuner for Smith dead
time compensator. International Journal of Control, 60(1),
117–135, 1994.
[12] Tan, N, “Computation of Stabilizing PI and PID controllers
for processes with time delay”, ISA Transactions,
Vol.44,No.2,pp, 2009.
[13] Nusret Tan, “Computation of stabilizing PI-PD
controllers”, International Journal of Control, Automation
and Systems Volume 7, Issue 2 , pp 175-184, 2005.
[14] N. Abe, K. Yamanaka, “Smith Predictor Control and
Internal Model Control –A Tutorial”, SICE Annual
Conference in Fukui, Japan, August 4-6, 2003.
[15] Kaya, I., & Atherton, D. P., “A new PI-PD Smith predictor
for control of processes with long dead time”, In
Proceedings of the 14th IFAC World Congress IFAC’99
(pp. 283–288), 1999.
[16] Kaya, I., & Atherton, D. P., “Parameter estimation from
relay autotuning with asymmetric limit cycle data”, Journal
of Process Control,11(4), 429–439, 2001.
[17] Serdar E. Hamamcı, “PI and PId stabilization of neutral
and retarded systems with time delay”,Turkish Journal of
Electrical Engineering&Computer Sciences, TUBİTAK
Volume 20, pp 1189-1205, 2012.
5
ki
4
3
PLANT
FOPDT
SOPDT
2
1
0
-1
-4
-2
0
2
kp
4
6
8
Şekil 6: Bütün Modeller İçin Kararlılık Bölgeleri
1.4
FOPDT
SOPDT
PLANT
1.2
1
(y(t)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
200
t
250
300
350
400
Şekil 7: Bütün modellerde, kp=0.4, ki=0.1 için birim
basamak cevabı.(Sisteme 150.sn’de step gürültü verilmiştir.)
6. Sonuçlar
Bu çalışmada, uzun zaman gecikmesinin olduğu
durumlarda kullanılan Smith öngörücüsü yapılarında kontrol
edilen sistemin hem mükemmel modeli için hem de FOPDT ve
SOPDT modelleri için kararlılık bölgesi analizleri yapılmıştır.
Görüldüğü üzere mükemmel model ve FOPDT, SOPDT model
yapılarında elde edilen kararlılık bölgeleri arasında oldukça
farklılıklar vardır. İlerleyen çalışmalarda bu modellerin kararlılık
bölgeleri
mükemmel
modelin
kararlılık
bölgesine
yaklaştırılabilirse o bölgede elde edilecek modelin
kullanılmasıyla daha kararlı ve dayanıklı bir kontrolör
tasarlanması mümkün olacaktır.
Kaynakça
[1] Astrom, K. J. and Hagglund, T., “The future of PID
control”. Control Eng. Pract. 9, 1163-1175 ,2001.
[2] Astrom, K. J. and Hagglund, T., PID Controllers:Theory,
Design, and Tuning, Instrument Society of America,
Research Triangle Park, NC, 1995.
[3] Ibrahim Kaya, “Autotuning of a new PI-PD Smith
predictor based on time domain specifications”, ISA
Transactions, Volume 42, Issue 4, October 2003, Pages
559–575.
[4] D’Azzo J. J., Houps C. H., Linear Control System Analysis
and Design, McGraw-Hill Book Company, 1981.
893
İntegratör ve Ölü Zaman Etkili Sistemler İçin Bir Seri Ardışıl
Kontrol Yapısı
Osman Çakıroğlu1, Müjde Güzelkaya2, İbrahim Eksin3
Kontrol Mühendisliği Bölümü Elektrik-Elektronik Fakültesi
İstanbul Teknik Üniversitesi, 34469, Maslak, İstanbul
1
2
3
[email protected], [email protected], [email protected]
Özetçe
Bu çalışmada integratör etkili ve ölü zaman içeren süreçlerin
seri ardışıl kontrol yapısı içinde daha etkin bir biçimde ve
daha az sayıda parametreye bağlı olarak kontrol edilmesini
sağlayacak yeni bir yöntem sunulmaktadır. İç çevrimde
birinci mertebeden ölü zamanlı sistem olduğu varsayılmakta;
dış çevrimde ise önce tek integratör ve ölü zaman etkili
sistem ele alınmakta, daha sonra ise çift integratör ve ölü
zaman etkili sisteme yer verilmektedir. İç ve dış çevrimde ölü
zaman etkili sistemlerin bulunduğu varsayıldığından her bir
çevrim için farklı klasik Smith öngörücüleri kullanılmıştır.
Ayrıca her çevrimiçi sistem için kendi dinamikleri üzerinden
farklı kontrolörler tasarlanmıştır. Önerilen yöntemin etkinliği
benzetim çalışmaları ile karşılaştırmalı olarak sunulmuştur.
yer alan ölü zamansız model üzerinden tasarlanacaktır. Bu
kontrolör tasarlanırken çift integratör içeren model iki parçaya
ayrılıp, bu parçalara ayrı ayrı çevrimlerde kontrolörler
tasarlanacaktır.
Bildirinin bir sonraki bölümünde ölü zamanlı sistemlerin
kontrolünde yaygın olarak kullanılan Smith öngörücüsünün
çalışma prensibine değinilmiştir. Üçüncü bölümde önerilen
kontrol yapısı, kontrolörlerin tasarımı ve kullanılan
parametrelerin seçimi içerilirken, dördüncü bölümde benzetim
çalışmalarına yer verilmiştir. Beşinci bölümde ise elde edilen
sonuçlar tartışılacak ve önerilen yöntemin başarımı
değerlendirilecektir.
1. Giriş
2. Seri Ardışıl Kontrol Yapısı
Seri ardışıl kontrol yapısı çok çevrim içeren ve kimya
endüstrisinde sıklıkla kullanılan bir kontrol stratejisidir. Bu
yapı, büyük değerli bozucular ve yük değişimi nedeniyle
kontrolü zor olan durumlarda ve kontrol kalitesinin yüksek
olması istendiğinde kullanılmaktadır[1]. Literatürde farklı
süreçler üzerine tasarlanmış çeşitli ardışıl kontrol uygulamaları
bulunmaktadır [2,3,4,5]. İntegral etkili sistemler üzerine
yapılan çalışmalarda modifiye edilmiş Smith öngörücüsüne
dayalı ardışıl kontrol yapılarına rastlanmaktadır [1,6,7]. Ancak
bu yapıların çok fazla parametreye ve işlem yüküne dayandığı
görülmektedir.
Bu çalışmada integratör etkili ve ölü zaman içeren süreçlerin
ardışıl kontrol yapısı içinde daha etkin bir biçimde ve daha az
sayıda parametreye bağlı olarak kontrol edilmesini sağlayacak
yeni bir yöntem sunulmaktadır. Önerilen yöntemde, iç
çevrimde birinci mertebeden ölü zamanlı sistem olduğu
varsayılmakta; dış çevrimde ise önce tek integratör ve ölü
zaman etkili sistem ele alınmakta, daha sonra ise çift
integratör ve ölü zaman etkili sisteme yer verilmektedir. İç ve
dış çevrimde ölü zaman etkili sistemlerin bulunduğu
varsayıldığından her bir çevrim için farklı klasik Smith
öngörücüleri kullanılmıştır. Ayrıca her çevrimiçi sistem için
kendi dinamikleri üzerinden farklı kontrolörler tasarlanmıştır.
İç çevrimin tasarlanmasında bu çevrimdeki sistemin ölü
zaman içermeyen modelinden yararlanılmış, dış çevrim
tasarımında ise ölü zamana sahip iç çevrim transfer
fonksiyonu, ölü zaman içermeyen birinci mertebeden bir
transfer fonksiyonu ile temsil edilmiştir.
Dış çevrimde çift integratör ve ölü zaman etkili sistemin
bulunması durumunda, kontrolör Smith öngörücüsü üzerinde
Seri ardışıl kontrol yapısında iç çevrim ve dış çevrim olarak
adlandırılan iki çevrim bulunur. İç çevrimin çıkışı doğrudan
dış çevrimde bulunan sisteme etkir. Ardışıl kontrol yapılarında
iç çevrimin, gelen bozucuları dış çevrime daha az etkimesi
açısından, dış çevrime göre daha hızlı cevap verecek şekilde
tasarlanması gerekmektedir. Bu şeklin dışındaki tasarlamalar
da kontrol kalitesi bozulur hatta kararsızlık durumuna
gelinebilir.
Şekil1:Seri ardışıl kontrol yapısı
3.Önerilen Seri Ardışıl Kontrol Yapısı
Bu bölümde integratör etkili ve ölü zaman içeren süreçlerin
ardışıl kontrol yapısı yeni bir yöntem önerilecektir. İç
çevrimde birinci mertebeden ölü zamanlı bir sistem ve dış
çevrimde ise birinci veya ikinci mertebeden integratör etkili
sistemlere yer verilmiştir. Her bir çevrim için farklı klasik
894
Smith öngörücüleri kullanılacak ve tüm model üzerinde t e k
bir kontrolör tasarımı yerine her sistem için kendi
dinamikleri üzerinden farklı kontrolörler tasarlanacaktır.
K1m
T1m s 1
Gm11 ( s )
(3.3)
Bu sistemin ölü zaman içermeyen modeli olan (3.3)
ifadesinden yararlanılarak bu sistem için kutup-sıfır götürme
yöntemi ile
3.1 Klasik Smith Öngörücüsü
Şekil2'de Smith öngörücüsü bulunan bir kontrol sistemi
görülmektedir. Bu yapı, sistemin zaman gecikmeli yanıtını
öngörebilmekte
ve
zaman
gecikmesini
kompanze
edebilmektedir. Smith öngörücüsü, temel olarak, kontrolöre
sürecin dinamik yanıtı ile öngörücülü yanıtının toplamını
gönderir. Bu sayede zaman gecikmesinden kaynaklanan
gecikmeyi gidererek kontrol kalitesini artırmayı hedefler.
Smith Öngörücüsü yapısı gerçek süreçle modelin özdeş
olması prensibine dayanır. Model belli bir hata içerdiği
takdirde kontrol kalitesinin düşeceği açıktır. Gerçek sürecin
kazancı genellikle lineer olmayan bir özellik göstereceğinden
kontrol edilecek sürecin kazancı zaman içinde modelin aksine
değişiklik gösterir [8].
C1 ( s)
K c1
T1m s 1
s
(3.4)
yapısında bir kontrolör tasarlanabilir. Tasarlanan bu kontrolör
ile birlikte iç çevrimin kapalı çevrim transfer fonksiyonu
C1 ( s)Gm11 ( s)
1 C1 ( s)Gm11 ( s )
Tic1 ( s)
(3.5)
olarak bulunur. (3.5) ifadesi (3.4) ve (3.3) ifadeleri
yardımıyla yeniden düzenlenirse
(3.6)
1
1
s
K c1 K1m
Tic1 ( s )
1
ifadesine ulaşılır. Bu transfer fonksiyonunun sistemin içerdiği
ölü zaman ile birlikte ifade edilmesi sonucu
1
e
1
1s
Tiç1 ( s )
Şekil2:Klasik Smith öngörücüsü
3.2 Seri Ardışıl Yapının İç Çevrim Kontrolü
L1 m s
yapısında olması gerekmektedir.
parametre olmak üzere
(3.7)
1 zaman
sabiti,
1
L
1
(3.8)
1 1
şeklinde ifade edilirse kontrolör kazancı
1
K c1
1
olarak hesaplanır.
(3.7) ifadesi ile belirlenen iç çevrim transfer fonksiyonunun
içerdiği ölü zamanın tasarımın ileri aşamalarında zorluk
yaratmaması amacıyla (3.7) ifadesi ölü zaman içermeyen
birinci mertebeden bir transfer fonksiyonu ile temsil
edilecektir. Bu amaçla
Şekil3: Önerilen iç çevrim kontrol yapısı
İç çevrimde yer alan sistem transfer fonksiyonu denklem
(3.1) , karşı düşen model yapıları (3.2) ve (3.3) denklemleri
ile verilen sistemdir.
K1
(3.1)
Gp1 ( s )
e L1s
T1s 1
Gm1 ( s )
K1m
e
T1m s 1
L1 m s
(3.9)
L1m K1m
11
1
L
2 1
L1 (
1
2
)
(3.10)
olmak üzere
Ta
iç
( s)
1
s
1
11
transfer fonksiyonu kullanılacaktır. Burada
(3.2)
ayarlanabilir tasarım parametreleridir.
895
(3.11)
1
ve
2
elde edilir. İkinci mertebeden bir sisteme ilişkin genel transfer
fonksiyonu
3.3 Seri Ardışıl Yapının Dış Çevrim Kontrolü
Tgenel ( s)
3.3.1 Tek İntegratör ve Ölü Zaman Etkili Sistem
Ref
+_
Tiç(s)
C2(s)
Gp2(s)
++
Gm2(s)
_+
y
(3.18)
olarak ifade edilebileceğinden (3.17) ve (3.18) denklemlerinin
eşitlenmesi sonucu
T
2
(3.19)
11
ve C2(s) kontrolörü olarak
++
Gm21(s)
1
2 Ts 1
T 2s2
Kc 2
Şekil4: İç çevrim hesaplandıktan sonra önerilen yapı
1
2
4
(3.20)
11 K 2 m
bulunur.
Uygun kontrolör ile iç çevrim transfer fonksiyonunun
belirlenmesinden sonra elde edilen ardışıl kontrol yapısı
Şekil4 de görülmektedir. Dış sistemde yer alan tek integratör
içeren ölü zamanlı sisteme ilişkin transfer fonksiyonu
3.3.2 Çift İntegratör ve Ölü Zaman Etkili Sistem
d3
K2
e
s
Gp2 ( s )
Ref
(3.12)
L2 s
+_
+_
C3(s)
Tiç(s)
C2(s)
şeklindedir. Bu transfer fonksiyonuna ilişkin modeller
Gm2 ( s)
K2m
e
s
Gm21 ( s )
K2m
s
Gp2(s)
++
Gm2(s)
_+
y
(3.13)
L2 m s
Gm21(s)
Gm22(s)
++
(3.14)
Şekil5:çift integratörlü sistem için önerilen yapı
Şekil5’de dış çevrimde çift integratöre sahip bir sisteme
yönelik önerilen ardışıl kontrol yapısını bulunmaktadır. Bu
durumda kontrolör Smith öngörücüsü üzerinde yer alan ölü
zamansız model üzerinden tasarlanacaktır. Bu kontrolör
tasarlanırken çift integratör içeren model iki parçaya ayrılıp,
bu parçalara ayrı ayrı çevrimlerde kontrolörler tasarlanacaktır.
Çift integratörlü sistem,
olarak ifade edilir. C2(s) kontrolörünün (3.15) ile verilen
C2 ( s )
(3.15)
Kc2
P tipi bir kontrolör yapısında şeçilmesi sonucu referans giriş
ve sistem çıkışı arasındaki Tdış(s) transfer fonksiyonu ikinci
mertebeden bir transfer fonksiyonu olarak elde edilir.
(3.15) kontrolörünün tasarımı amacıyla Tiç(s) transfer
fonksiyonu yerine ölü zaman içermeyen (3.14) transfer
fonksiyonu kullanılacaktır. Bu durumda Tdış(s)
transfer
fonksiyonu
Tdış1 ( s )
C2 ( s )Ta
1
iç
( s )Gm21 ( s )
C2 ( s )Ta
iç ( s )
Gp2 ( s )
11
s2
(3.21)
K2m
e
s2
Gm2 ( s )
K2m
s2
L2 m s
(3.22)
ve
Gm21( s )
1
s
Kc 2 K2m
Gm2 ( s )
(3.16)
(3.23)
olarak kabul edilecektir.
Model üzerinden ayrılan ilk integratörün kontrolü için tıpkı iç
çevrimde önerildiği gibi bir oransal kontrolör önerilebilir.
Aynı işlemler uygulanarak (3.20) denklemindeki ifade benzer
olarak
(3.17)
1
Kc 2 K2m
L2 s
şeklinde ifade edilirken ilişkin modeller
ifadesinden hesaplanır. (3.10) ve (3.14) ifadelerinin (3.15) de
yerine konulması ile
Tdış1 ( s )
K2
e
s2
1
Kc2
896
1
4
(3.24)
2
11
tasarlanmıştır. Bu nedenle birinci mertebeden bir transfer
fonksiyonu ile temsil edilebilir.
olarak hesaplanır. Bu hesaplamanın ardından en son çevrimin
kontrolörünün tasarlanmasına geçilirken hesaplamalarda
kolaylık sağlaması açısından ara çevrimde hesaplanan ikinci
mertebeden transfer fonksiyonu birinci mertebeden bir transfer
fonksiyonu olan
Tara ( s )
3
1
Ts 1
Bu temsili sistemin (3.30) denklemindeki gibi bir yerleşme
zamanına sahip olabilmesi için zaman sabiti
En dıştaki çevrime ilişkin transfer fonksiyonunun iki adet
kutup içermesi amacıyla
Kc3
4
8
1
K2m
olarak alınabilir.
Kararlılık açsından λ2 parametresinin, iç çevrimin ölü zaman
sabiti L1’den büyük olması gerekmektedir. Bu nedenle 1 ve
(3.26)
2
parametrelerinin seçimine aşağıdaki denklemlerdeki gibi
bir kısıt getirilmiştir. Aşımsız bir sistem yanıtı için (3.32)
ifadesinden
(3.27)
3
(3.32)
T
2
şeklinde bir P kontrolör tasarlanması yeterli olacaktır.
Yapılan hesaplamalar iç çevrimde yapılan hesaplamalar ile
benzer şekildedir. Bu durumda kontrolör kazancı
Kc3
(3.31)
(3.25)
ifadesi ile temsil edilecektir.
C3 ( s )
1
1
2s
Tdış1 ( s)
2
2
2
11
L1 (
1
2
(3.33)
)
elde edilir. (3.33) ifadesi yeniden düzenlendiğinde
olarak bulunur.
3.4 Parametrelerin etkisi ve seçimleri
2
3.4.1
parametresinin seçimi
Bu parametre iç çevrimdeki kontrolör kazancına doğrudan
etkimektedir. Bu sebeple sistemin hızını ve bozucu bastırma
performansını ayarlar. Bu parametre değerinin düşük seçilmesi
sistem referans izleme başarımını yükseltirken, yüksek
seçilmesi başarımı düşürür. Ancak izleme başarımının
arttırılması, sistem parametre değişikliklerine karşı
dayanıklılığın azalması sonucunu yaratır.
eşitsizliğine
1
ulaşılır.
belirlenmiş bir
3.4.2
Bu parametre sistemin kararlılığı üzerinde oldukça etkilidir.
parametresinin değerine göre seçilmelidir. İkinci
mertebeden sistemin aşım yapmaması için
>1 olarak
seçilmelidir. .Bu durumda yerleşme zamanı
ts
(
1
2
)
(3.34)
1
(3.34) bağıntısı
değeri için uygun
2
ışığında önceden
değeri matematiksel
olarak hesaplanır. Bu hesaplama yapılırken dikkat edilmesi
gereken kural (3.34) bağıntısındaki eşitsizliğin sol tarafı 1’e
yaklaştıkça sistemin salınımının artacak ve dayanıklılığının
düşecek olmasıdır.
3.4.3
4.5
2
2
L1
3
parametresinin kararlılıktan çok salınımlar üzerinde etkisi
vardır. Düşük seçilmesi durumunda sistemin aşımı olacaktır,
yüksek seçilmesi durumunda ise aşımsız bir cevap elde
edilecektir.
4. Benzetim Çalışmaları
Bu bölümde önerilen yöntemin etkinliğini göstermek amacıyla
Matlab/Simulink ortamında yapılan benzetim çalışmlarına yer
veilmiştir.
(3.28)
n
İfadesinden hesaplanır. (3.18) denkleminden
n
1
T
4.1 Tek İntegratör ve Ölü Zaman Etkili Sistem
Bu örnekte verilen ardışıl kontrol sistemi [1] nolu referansta
verilen sistem parametreleri ile oluşturulmuştur. Önerilen
yöntem için 1 0.1 ve 2 0.6 parametreleri seçilmiştir.
(3.29)
Bu parametrelerin seçilmesiyle
olarak bulunur ve yerleşme zamanı da
ts
4.5 T
(3.30)
s
1
C1 ( s)
2.5
C2 ( s )
0.1786
(4.1)
s
ve
halini alır.
Tdış1(s) ikinci mertebeden bir transfer fonksiyonu olmasına
rağmen sönüm oranı 1 den büyük olacak şekilde
897
(4.2)
kullanılmamıştır. Benzetim çalışması önce ideal durumda daha
sonra dış sistem parametrelerinin +%35 değişmesi durumunda
yapılmıştır.
olarak bulunmaktadır. Bu benzetim çalışmasında sisteme 20.,
50. Ve 80. saniyelerde -0.1 genlikli bozucular etkimiştir.
Önerilen yöntem, modifiye edilmiş Smith öngörücüsü
kullanılmış olan [1] no’lu referansta kullanılan yöntem ve tüm
sistem modeli üzerinden uygulanan klasik Smith öngörücülü
kontrol yapısı ile karşılaştırılmıştır.
Daha sonra dış çevrim sistem parametrelerinde +%20 değişimi
yapılmış ve kontrol yapılarının parametre değişimlerine karşı
dayanıklılığı irdelenmiştir..
Şekil8: Kontrol yapılarının basamak giriş ive bozucu
işaretlerine yanıtları
Şekil6: Kontrol yapılarının basamak giriş ive bozucu
işaretlerine yanıtları
Şekil9: Parametrelerin +%35 değişmesi durumunda kontrol
yapılarının basamak giriş ive bozucu işaretlerine yanıtları
Önerilen yöntem hem geçici hal yanıtı hem de bozucu hal
başarımları
açısından daha üstündür. Ayrıca parametre
değişimlerine karşı daha dayanıklı bir yapıya sahiptir.
Şekil7: Parametrelerin %20 değişmesi durumunda kontrol
yapılarının basamak giriş ive bozucu işaretlerine yanıtları
Şekil6’te görüldüğü gibi önerilen yöntem karşılaştırılan diğer
yöntemlere göre daha yavaş referans takibi yapmasına karşın
çok daha etkili bir bozucu bastırma etkisine sahiptir.
5. Sonuç
Bu bildiride integratör etkili ve ölü zaman içeren süreçlerin
seri ardışıl kontrol yapısı için etkili bir yöntem sunulmaktadır.
Önerilen yöntem literatürde aynı türdeki sistemler için
önerilmiş olan seri ardışıl kontrol yapılarına göre çok daha az
sayıda tasarım parametresine gerek duymaktadır. Yöntemde
tek integratör ve ölü zaman etkili sistem için sadece iki
parametre belirlenmektedir. Oysa karşılaştırma yapılan
referans [1] deki yapıda aynı sistemler için 10 civarında
parametrenin seçilmesi gerekmektedir. Çift integratör ve ölü
zaman etkili sistem için ise önerilen yöntem sadece üç
parametreye gereksinim duyarken referans [1] deki yapıda 15
civarında parametrenin seçilmektedir.
Ayrıca referans takibinde [1] deki yapıya çok yakın yanıtlar
elde edilmekle birlikte parametre değişimlerine karşı çok
daha dayanıklı olduğu gözlenmektedir.
Karşılaştırma yapılan diğer yapı olan tüm sistem modeli
üzerinden uygulanan klasik Smith öngörücülü yapı ise
referans takibinde çok hızlı olmasına rağmen parametre
değişimlerine aşırı duyarlılık göstermekte ve hatta
kararsızlığa giden sonuçlar verebilmektedir.
Önerilen
yöntemimn
bozucu
bastırma
özelliğinin
karşılaştırıldığı diğer yöntemlere kıyasla çok daha başarılı
olduğu gözlenmektedir.
4.2 Çift İntegratör ve Ölü Zaman Etkili Sistem
Bu bölümdeki benzetimler gene [1] nolu referansta bulunan
sistem parametreleri kullanılarak yapılmıştır. Benzetim
çalışmasında sisteme 25. ve 50. saniyelerde -0.05 genlikli
bozucular etkimiştir. Önerilen parametreler 1 1 , 2 0 ve
3
1.25 olarak seçilmiş ve kontrolörler
s 1
s
(4.3)
C1 ( s )
3.33
C2 ( s )
0.8333
(4.4)
C3 ( s )
0.333
(4.5)
olarak hesaplanmıştır.
Bu benzetim örneğinde karşılaştırma sadece referans [1] de
verilen yöntem ve önerilen yöntem arasında yapılmıştır.
Klasik Smith öngörücüsü ile tasarlanan kontrolörün kontrol
işaretinin aşırı yüksek olması sebebiyle bu karşılaştırma da
898
Kaynakça
[1] Padhan D.G., Majhi S.2012. Enhanced Cascade Control
for a Class of Integrating Processes with Time Delay,
Indian Institute of Technology Guwahati, India
[2] Huang HP, Chien IL, Lee YC. Simple method for tuning
cascade control systems. Chemical Engineering
Communications 1998;165:89–121.
[3] Lee Y, Oh S, Park S. Enhanced control with a general
cascade control structure. Industrial and Engineering
Chemistry Research 2002;41:2679–88.
[4] Tan KK, Lee TH, Ferdous R. Simultaneous online
automatic tuning of cascade control for open loop stable
processes. ISA Transactions 2000;39:233–42.
[5] Lee YH, Park SW, Lee MY. PID controller tuning to
obtain desired closed loop responses for cascade control
systems. Industrial and Engineering Chemistry Research
1998;37(5):1859–65.
[6] Uma S,Chidambaram M,Rao AS,Yoo CK.Enhanced
control of integrating cascade processes with time delays
using modified smith predictor.Chemical Engineering
Science 2010;65:1065–75.
[7] Kaya I,Atherton DP.Use of Smith predictor in the outer
loop for cascaded control of unstable and integrating
processes.Industrial and Engineering Chemistry Research
2008;47:1981–7.
[8] Sun Y.S., Xu C., and Yu H. 2010. Research of Adjusted
Smith Predictor Based on Immune Feedback, Shangai
University of Electric Power, China,1072
899

proses (süreç) kontrolü - TOK2013

Transkript

Benzer belgeler

Ders Notu-1

lisans eğitim proğramı tablosu

TENSION GERGİ DENETİM ELEKTRONİĞİ Rulodan boşaltma ve

8.2.3. Doğrusal Denklem Sistemleri

lineer denklem sistemleri

Hafif Ticari Aracın Devrilme Kontrolünde Farklı Kontrolör Uygulamaları

EBEVEYNLE GÖRÜŞME FORMU SORU ALANLARI Problem

PID ve Bulanık Mantık ile DC Motorun Gerçek Zamanda STM32F407