BACA DİNAMİĞİ Prof. Dr. Hikmet Hüseyin ÇATAL BACA DİNAMİĞİ

BACA DİNAMİĞİ Prof. Dr. Hikmet Hüseyin ÇATAL BACA DİNAMİĞİ

BACA
BACA DİNAMİĞİ
DİNAMİĞİ
Prof.
Prof. Dr.
Dr. Hikmet
Hikmet Hüseyin
Hüseyin ÇATAL
ÇATAL
1. GİRİŞ
Sanayi yapılarında kullanılan yüksek bacalar, kullanım süreleri
boyunca, diğer yüklerin yanısıra dinamik olarak deprem ve rüzgar
yüklerinin de etkisi altında kalırlar. Yüksek sanayi bacaları,tuğla yada
çelik malzemesinin yanında, yaygın olarak sabit veya yüksekliği
boyunca daralan halka kesitli ve betonarme taşıyıcılı olarak imal
edilmektedirler. Sanayi bacalarının dinamik analizinde, sistemin
dinamik hesap modeli ve bacanın mesnetlendiği zemin koşulları önem
kazanmaktadır.
Bacaların dinamik hesabına esas teşkil edecek hesap modeli, diğer
taşıyıcı sistemlerin dinamik hesabında olduğu gibi iki ana gruba
ayrılmaktadır. Bu gruplardan ilki yayılı kütleli, ikincisi ise
topaklanmış kütleli dinamik hesap modelidir. Analiz, paket bilgisayar
programları kullanılarak sonlu elemanlar yöntemi ile de
gerçekleştirilebilmektedir.
Geçmişte bazı araştırmacılar, sismik yükler altında, bacaların serbest
titreşimine ait açısal frekans ve periyotlarının pratik olarak
hesaplanmasına olanak veren çalışmalar ile, analatik çalışmalar
neticesinde elde edilen bağıntıları sunmuşlardır [1],[2],[3].
2. KABULLER
Bu çalışmada, aşağıda sunulan hesapları kolaylaştırcı kabuller
yapılmıştır.
1.
Malzeme davranışı doğrusal-elastiktir.
2.
İkinci mertebe tesirler terk edilmiştir.
3.
Bacanın en kesiti sabittir.
4.
Küçük deplasmanlar teorisi geçerlidir.
3. DİNAMİK HESAP MODELİ
Bacanın dinamik hesap modeli, sürekli kütleli veya topaklanmış
kütleli olarak kurulabilir. Her iki modelde de, bacanın temelinin
dairesel en kesitli olduğu ve elastik zemin üzerine mesnetlendirildiği
düşünülmüştür. Sürekli ve topaklanmış (ayrık kütleli) hesap modelleri
sırasıyla (Şekil1- a) ve(Şekil1-b)’de sunulmuştur.
(a)
(b)
Şekil 1. a: Sürekli kütleli hesap modeli
b: Ayrık kütleli hesap model
3.1 Sürekli Kütleli Dinamik Hesap Modeli
Bacanın sürekli kütleli ve sadece eğilme tesirleri dikkate alınarak
modellenmesi halinde, bacanın serbest titreşimine ait hareket
denklemi, sönüm ihmal edilerek aşağıdaki gibi yazılır [9].
m
 2 u ( y, t )
t 2
 EI
 4 u ( y, t )
y 4
0
(8)
Bir ucu serbest, diğer ucu ankastre mesnetlendirilmiş bacanın sınır
koşulları dikkate alınıp, (8) numaralı diferansiyel denklem
çözüldüğünde, bacanın serbest titreşimine ait sonsuz adet açısal
frekansları hesaplanır. İlk dört moda göre hesaplanmış açısal frekans
değerleri aşağıdaki gibidir.
3.516  EI 
ω1 
 
h m
0 .5
22.03  EI 
ω2 
 
h m
0 .5
(9)
ω3 
61.7  EI 
 
h m
0 .5
120 .9  EI 
ω4 
 
h m
0.5
Burada, m, bacanın yayılı kütlesini; u(y,t), deplasman fonksiyonunu; t
ve y sırasıyla zaman ve konum değişkenlerini; EI bacanın eğilme
rijitliğini; ωi, i inci moda ait açısal frekans değerlerini; h, baca
yüksekliğini göstermektedir.
3.2 Topaklanmış Kütleli Dinamik Hesap Modeli
Kütlenin, baca yüksekliği boyunca belirli noktalarda topaklandığı
kabulüne dayanan dinamik hesap modelinde, hareket denklemi, sönüm
ihmal edilerek, aşağıdaki matris denklem olarak yazılır.
[ M ]{y}  [ K ]{y}  {0}
(10)
Burada, [M], kütle matrisini; [K], sistem rijitlik matrisini; {y},
deplasman vektörünü; {y} , ivme vektörünü göstermektedir. (10)
numaralı matris-diferansiyel denkleminin çözümü özdeğer-özvektör
probleminin çözümüne indirgenerek, bacanın serbest titreşimine ait
açısal frekans değerleri ve mod vektörleri hesaplanır.
3.2 Yönetmelikler
Depreme dayanıklı yapı tasarımı ve üretimi konusunda kullanılan
yönetmeliklerden bazıları, yüksek sanayi bacaları için de
kullanılmaktadır. Amerikan Beton Enstitüsü’nün yönetmeliği (ACI307 ), Üniform Yapı Yönetmeliği (UBC) ve Avrupa Yönetmeliği (EC
8-3) bu yönetmeliklere örnek olarak verilebilir. Ayrıca Alman
yönetmeliği, bacalara etkiyen rüzgar yüklerinin belirlenmesinde
kullanılmaktadır (DIN-1056) [10],[11],[12],[13].
5. PRATİK AMAÇLI
DENKLEMLERİ
YAKLAŞIK
AÇISAL
FREKANS
Yayılı kütleli olarak modellenmiş, eğilme tesiri altındaki bacanın
serbest titreşimine ait açısal frekans ve periyotlarının pratik amaçlı
olarak yaklaşık hesabına ilişkin literatürdeki yöntem aşağıda
sunulmuştur [1].
Yöntemde bacanın temelinin mesnetlendiği elastik zeminin davranışı,
Kx ve Kθ yay katsayıları ile temsil edilmektedir. Yöntemde, bacanın
birinci moduna ait açısal frekansı aşağıdaki bağıntı kullanılarak
hesaplanmaktadır.
A 12
ω1  2
h
 EI 
 
m
0 .5
(11)
İkinci moda ait açısal frekans denklemi aşağıdaki bağıntı kullanılarak
hesaplanmaktadır.
 A2 

 2  1 
 A1 
2
(12)
Burada A1 ve A2 değerleri, Sx ve Sθ boyutsuz katsayılarına bağlı olarak
sırasıyla (Şekil-2) ve (Şekil-3)’de sunulan grafikler kullanılarak
belirlenmektedir. Sx ve Sθ boyutsuz katsayıları aşağıdaki bağıntılar ile
hesaplanmaktadır.
h3
Sx  K x
EI
(13)
h
Sθ  K θ
EI
(14)
Şekil 2. Sx ve Sθ değerlerine bağlı olarak A1 katsayıları
Şekil 3. Sx ve Sθ değerlerine bağlı olarak A2 katsayıları
Sanayi yapılarında kullanılan yüksek bacaların dinamik analizinde,
serbest titreşime ait açısal frekansların belirlenmesi önemli bir yer
tutmaktadır.
Bacanın mesnetlendiği elastik zeminin özelliklerine bağlı olarak,
zemin davranışı, bağıntıları literatürde verilen ötelenme ve dönmeye
karşı elastik yaylar ile temsil edilebilmektedir.
Elastik zemine oturan, mesnet koşullarına bağlı, sürekli kütleli veya
topaklanmış kütleli hesap modelleri ile dinamik çözüm yapmak
olasıdır.
Pratik yaklaşımlar için, elastik zemine mesnetlendirilmiş bacanın
birinci ve ikinci modlarına ait serbest titreşim açısal frekansları ve
buna bağlı olarak periyodları çalışmada sunulan grafikler yardımıyla
kolaylıkla hesaplanabilmektedir.
(Şekil-5)’de görüldüğü gibi,yaklaşık bağıntılar kullanılarak
hesaplanan, bacanın birinci moduna ait açısal frekans değerleri,
özellikle kayma modülü düşük olan zeminlerde, aynı bacanın kütleleri
sık noktalarda topaklanmış olan hesap modeli ve SAP2000 programı
kullanılarak elde edilen açısal frekans değerlerine oldukça yakındır.
Çalışmada sunulan,elastik zemine oturan bacanın, serbest titreşimine
ait birinci ve ikinci mod açısal frekanslarının pratik amaçlar için
hesaplanmasına yönelik bağıntılar, SAP2000 paket programı
kullanılarak elde edilen sonuçlara oldukça yaklaşmakta olup, açısal
frekansların yaklaşık değerlerin hesaplanması açısından faydalıdır.
Öte yandan (Çizelge-3)’de görüldüğü gibi, bacanın zemine ankastre
olarak mesnetlendiği durumda, baca boyunca topaklanmış kütle adedi
arttıkça elde edilen açısal frekans değerleri, sürekli kütleli model için
analatik bağıntılar kullanılmak suretiyle hesaplanan açısal frekans
değerlerine yaklaşmaktadır.
(Şekil-5), (Şekil-6) ve (Çizelge-2)’de görüldüğü gibi, zeminin kayma
modülü değerleri arttıkça, hem birinci moda hem de ikinci moda ait
serbest titreşim açısal frekans değerlerinde artış meydana gelmektedir.
7. TOPAKLANMIŞ KÜTLELİ DİNAMİK HESAP MODELİNİN
ANALİTİK ÇÖZÜMÜ
Zemine ankastre mesnetle bağlı, sürekli kütle olan bacanın, kütlesinin
belirli noktalarda topaklanmasıyla çok serbestlik dereceli hesap modeli
aşağıdaki gibi elde edilir (Şekil-7).
(19) ve (20) numaralı bağıntılar, (15) numaralı hareket denkleminde
yerine yazılırsa aşağıdaki bağıntı elde edilir.
1


D  2  I  a  0
(21)
Burada [D], rijitlik matrisi ve [I], birim matris olmak üzere aşağıdaki
bağıntılar ile hesaplanırlar.
D  K   M  F  M
1
(22)
1 0 0 . . 0
0 1 0 . . 0 


0 0 1 . . . 
I  

. . . . . .
. . . . 1 .


0 . . . . 1
(23)
(21) numaralı bağıntının sıfır olmayan çözümünün bulunabilmesi için
a  0
olup, aşağıdaki determinant elde edilir.
8. SAYISAL UYGULAMA
Sayısal uygulama kapsamında 50 metre yüksekliğinde, 1.6 metre
çapında, 60 cm et kalınlığında ve sabit kesitli (Şekil-9)’da verilen bir
sanayi bacasının kütlelerinin baca yüksekliği boyunca 10 metrede bir
(5 kütleli) , 5 metrede bir (10 kütleli) ve 2.5 metrede bir (20 kütleli)
topaklandığı varsayılarak bacanın serbest titreşim analizine ait açısal
frekans değerleri hesaplanmış ve mod şekilleri çizilmiştir. 5 kütleli
model (Şekil-10)’da, 10 kütleli model (Şekil-11)’de ve 20 kütleli
model (Şekil-12)’de gösterilmiştir.
Şekil 9. Baca boykesit ve en kesiti
Şekil 10. (5)
( kütleli model
Şekil 11. (10)
kütleli model
(
Şekil 12. (20)
kütleli model
(
5 kütleli topaklanmış sisteme ait kütle matrisi, fleksibilite matrisi ve
dinamik matris aşağıda sunulmuştur.
5 kütleli topaklanmış sistem için, (24) numaralı bağıntı ile tanımlanan
özdeğer probleminin çözümünden açısal frekans değerleri aşağıdaki
gibi elde edilmiştir.
ω1= 4,88 rad/sn
ω2= 28,32 rad/sn
ω3= 70,07 rad/sn
ω4= 122,94 rad/sn
ω5= 190,72 rad/sn
Benzer şekilde 10 ve 20 kütleli topaklanmış modele ait ilk 5 mod için
elde edilen açısal frekans değerleri; 5 kütleli topaklanmış sisteme ait
açısal frekans değerleri ve sürekli kütleli modellenmiş sistemin ilk 5
moduna ait açısal frekans değerleriyle karşılaştırmalı olarak (Çizelge4)’de sunulmuştur.
Çizelge-4. Karşılaştırmalı açısal frekans değerleri
Açısal
Frekans
Değerleri
(rad/sn)
5 Kütleli
10 Kütleli
20 Kütleli
Topaklanmış Topaklanmış Topaklanmış
Model
Model
Model
Sürekli
Kütleli
Model
ω1
4,88
4,11
4,12
4,02
ω2
28,32
25,03
25,34
25,19
ω3
70,07
66,97
69,04
70,51
ω4
122,94
122,74
128,77
138,17
ω5
190,72
194,76
203,66
228,40
Topaklanmış kütleli modelden elde edilen açısal frekans değerleri,
sürekli hesap modelinden elde edilen açısal frekans değerleri ile
kıyaslandığında; topaklanmış kütleli modele ait açısal frekans
değerlerinin, sürekli kütleli modele ait açısal frekans değerlerine
yakınsadığı, ancak topaklanmış kütle sayısının yetersiz kaldığı
gözlenmiştir.
Bu nedenle daha güvenilir sonuçlar elde etmek için ya topaklanmış
kütle sayısı artırılmalıdır ya da gerçek model olan sürekli kütleli
dinamik hesap modeli dikkate alınarak çözüm yapılmalıdır.
KAYNAKLAR
[1] Güven, N.,”Televizyon
I,1982,İstanbul.
kuleleri
ve
sanayi
bacaları”,Cilt
[2] Fernandez,V.I., Dunner, R.A., et al, “Simplified method for
seismic analsis of industrial chimneys”,ACI Structural Journal,
May.,2005.
[3]
Beriow ,B.,Schrot,G.Osterrieder,P.,”Dynamic diagnostic of
transmission towers”, Second International Conference,Structural
Dynamic Modelling,1996,Glasgow.
[4]
Kausel,E.,
Res.Rep.
Engineering,MIT,1974,USA.
,R74-11,Department
of
Civil
[5]
ASCE 4-98,”Seismic Analysis of safety-related nuclear
structures and commentary”,American Society of Civil Engineers,
1998,USA.
[6]
Gorbunov-Posadov,M.I.,Serebrjanyi,R.V.,”Design
of
structures on elastic foundation”, Proc. 5th.Int.Conf.Soil
Mech.Found.Eng.,Vol. 1,1961,pp643-648.
[7]
Castelani,A.,”Construzioni in zona sismica”,Milano,Mason
Italia Editori,1983,Italy.
[8]
Lambe,T.W.,Whitman,R.V.,”Soil Mechanics” ,Jhon Wiley
and Sons,1969,p. 553, USA.
[9]
Chopra,A.K.,”
Hall.Inc.,1995,USA.
Dynamics
of
Structures”,Prentice-
[10] ACI-307,” Standart practice fort he design and construction of
cast in place reinforced concrete chimneys”,American Concrete
Institute,1998,Michigan.
[11] International Conference of Building Officials, Uniform Building
Code, Chapter 23: Earthquake Design, 1997.
[12] Eurocode 8-1:”Design provisions for earthquake resistance of
structures”, Part I: General Rules,1996,Beussels.
[13] DIN1056,Solid Construction, free-standingchimneys,Deutsches
Intitut fur Normung e.V.,1984,p.28,Berlin.
[14] CICIND,”Model code for concrete chimneys”, part A:The shell,
International Committee on Industrial Chimneys,2000, Switzerland.
[15] SAP2000 v.12,Structural Analysis Programme,version 12,
Computers and Structures Inc., Berkeley.
BACA
BACA DİNAMİĞİ
DİNAMİĞİ
Prof.
Prof. Dr.
Dr. Hikmet
Hikmet Hüseyin
Hüseyin ÇATAL
ÇATAL