Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler

Transkript

4.Konu
Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler
1.
2.
3.
Elementer matrisler
Ters matrisi bulmak
Denk matrisler
1.Elementer matrisler
1.Tanım:
tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. ‘ te olan bir elementer
matris, sırasıyla Tip I., Tip II. veya Tip III. bir tek elementer satır veya sütun
işlemleri uygulanarak
ösdeşlik matrisinden elde edilen bir matristir.
1.Ö.:
[
]
[
]
[
[
]
]
matrisi I tiptendir,
matrisi II. tiptendir,
ve
III. tiptendir.
1.Teorem:
tipinde bir matris olsun. A matris üzerinde Tip I., Tip II.
veya Tip III. elementer satır (veya sütun) işlemleri uygulanarak elde edilen
matrisi de B olarak tanımlayalım. Eğer A matrisi üzerinde yapıldığı gibi aynı
elementer satır (veya sütun) işlemleri
birim matris üzerinde de yapılarak
elde edilen elementer matris E ise, bu takdirde B=EA (B=AE) dır.
2.Ö.:
[
]
B, A’nın 1.satırına, 3.satırın (-2) katı eklenerek elde edilen matris olsun
[
E,
]
’nın 1.satırına, 3.satırın (-2) katı eklenerek elde edilen matris olsun
[
]
B=EA
1
2.Teorem: A ve B mxn tipinde matrisler olsun. A’nın B’ ye satırca (sütunca)
denk olması için gerek ve yeter şart
(
)
İspat: Eğer A satırca B’ye denk ise, B, A’dan elementer işlemleri ile elde edilir.
Buda
olacak şekilde
elementer
matrislerin varlığını gösterir. Tersine
ise,
’ ler
elementer matris olmak üzere B, A’dan bir dizi elementer işlemleriyle elde
edilir. Buda A’nın B’ye satırca denk olduğunu gösterir.
3.Teorem: E elementer matrisi sinğüler değildir ve tersi aynı tipte bir elementer
matristir.
Lemma: A, nxn tipinde bir matris ve Ax=O homogen sistemi tek X=O aşıkar
çözümüne sahip olsun. O zaman A, matrisine satırca denktir.
İspat: B satırca eşelon biçime indirgenmiş bir matris yani, A matrisine satırca
denk olsun. O zaman, AX=o ve BX=O homogen sistemler denktir. Böylece
BX=O sistemi de, tek aşikar çözüme sahiptir. Eğer B’nin sıfırdan farklı
satırlarının sayısı r ise; BX=O homogen sistemi, katsayılar matrisi B’bin sıfırdan
farklı satırlarından oluşan homogen sisteme denktir. Böylece sistemin boyutu
rxn olur. Bu sistem sadece aşikar çözüme sahip olduğundan,
elde edilir.
B, nxn tipinde olduğundan
olur. Böylece r=n elde edilir. r=n olduğu B
matrisinin sıfır satırlarının olmadığına getirir. O halde
olur.
4.Teorem: A matrisinin singüler olmaması için gerek ve yeter şart A’nın
elementer matrislerin çarpımı olarak yazılmasıdır.
İspat: Eğer A matrisi
elementer matrislerin çarpımına eşit
ise, o zaman
herbir elementer matris sinğüler omadığında
ve singüler olmayan matrislerin çarpımı da singüler olmayacağı için A singüler
değildir.
Tersine olarak eğer A singüler değilse ise AX=O iken
olur. Buradan
ise X=O elde edilir. O halde AX=O tek aşikar çözüme
sahiptir. Lemmadan A’nın
birim matrisine satırca denk olduğu görülür. Bu
matrislerin
olacak şekilde var olması
demektir. O halde
elde
edilir. Böylece elementer matrislerin tersinin de bir elementer matris olduğu
sonucu elde edilir.
Sonuç: A’ nın snğüler olmayan bir matris olması için gere ve yeter şart
matrisine satırca denk olmasıdır.
birim
5.Teorem: n bilinmeyenli ve n lineer denklemli homogen sistemin aşikar
olmayan bir çözüme sahip olması için gerek ve yeter şart A’nın singüler
olmasıdır.
2
3.Ö.:
[
] singüler olmayan bir matris olsun. AX=O sistemi göz
önüne alalım. Yani [
][ ]
[ ].
İlaveli matrisin eşelon forma indirgenmiş hali [
] olur. O halde bir
çözüm
biçimindedir. Böylece homogen sistem bir aşikar
olmayan çözüme sahiptir.
nxn tipindeki bir A matrisi için aşağıdaki ifadeler denktir:
1.A sngüler olmayan bir matristir.
2. AX=O sistemi sadece aşikar çözüme sahiptir.
3. A, birim matrisine satırca denktir.
4. AX=B lineer sistemi nx1 tipinde her B matrisi için tek çözüme sahiptir.
5. A elementer matrislerin çarpımıdır.
2. Ters matrisi bulmak
4.teoreme
göre
Buradan
olur.
(
)
Bu bize
’in bulunması için bir algoritma sağlar. Bunun için
birim
matrisini elde edene kadar A üzerinde elementer satır işlemlerini uygularız. O
zaman,
matrislerinin çarpımı
matrisini verir. Hesaplamanın
] parçalanmış matrisini yazmaktır. Daha sonra
uygun bir yöntemi [
[
] [
] elde edilir.
] parçalanmış matrisini satırca eşelon biçimine indirgeyerek
Böylece [
[
] matrisi elde ederiz.
4.Ö.:
[
] singüler olmayan matristir.
[
A
]
[
|
]
İşlem
1.satırın (-5) katını 3.satıra ekleyelim
2.satırı ( ) ile çarpalım
3.satırı (
3
) ile çarpalım
3.satırın ( ) katını 2.satıra,
3. satırın (-1) katını 1.satıra ekleyelim
2.satırın (-1) katını 1.satıra ekleyelim
olduğunu gösterebiliriz.
olur.
[
]
6.Teorem: Bir nxn tipindeki A matrisinin singüler olması için gerek ve yeter
şart A nın bir satırı sıfır olan bir B matrisine satırca denk olmasıdır.
Bu da
’in bulunması için önceden hesaplamalara karar vermek zorunda
olmadığımızı gösterir. Biz sadece
’in hesabına başlarız. Eğer hesabın herhangi bir
noktasında bir satırın her elemanı sıfır olan ve A’ya satırca denk olan bir matris
bulursak, o zaman
yoktur.
5.Ö.:
[
] singüler matristir. Bu matris
[
]
matrisine satırca denktir.
7.Teorem: A ve B, AB=
AB= olur. Böylece, B=
olacak şekilde nxn tipinde matrisler ise, o zaman
olur.
3. Denk matrisler
2.Tanım: A ve B, mxn tipinde matrisler ise olmak üzere, eğer B matrisi sonlu
sayıda elementer satır veya sütün işlemleri ile A matrisinden elde ediliyorsa, A
matrisi B’ye denktir denir.
4
8.Teorem: A sıfırdan farklı herhangi bir mxn tipinde matris ise o zaman A
matrisi
[
]
biçiminde yazılan bir bölünmüş matrise denktir.
İspat: A matrisi, satırca indirgenmiş biçimde bir matris olan B matrisine satırca
denktir. I.tip sütun işlemleri uygulanarak, B matrisinin
[
]
biçimindeki bir C matrisine denk olduğu elde edilir. Burada r, B’nin sıfır
olmayan satırlarının sayıdır. III.tipte elementer sütun işlemlerini kullanarak ta C
matrisinin
[
]
biçimindeki bir D matrisine denk olduğu görülür. A matrisi D’ye denktir.
[
6.Ö.:
] matrisine denk olan
ve sıfır matrislerden
yazılan bölünmüş matrisi bulunuz.
A matrisine denk matrisler
[
İşlemler
3.satıra ilk satırı ekleyelim
]
İlk satırın (-1) katını 4.satıra ekleyelim
[
]
[
]
3.satırı
[
ile çarpalım
]
[
]
5
[
]
[
]
1.sütunun
ekleyelim
(-3)
katını
3.sütuna
1.sütunun 2 katını 4.sütuna ekleyelim
[
]
2.sütunu 3.sütuna ekleyelim
[
[
]
]
2.sütunun
ekleyelim
(-1)
katını
4.sütuna
Bu da istenen matristir.
[
]
9.Teorem: A ve B gibi mxn tipindeki iki matrisin denk olması için gerek ve
yeter şart P ve Q singüler olmayan matrisler olmak üzere B=PAQ olmasıdır.
10.Teorem: nxn tipindeki A matrisinin singüler olmaması için gerek ve yeter
şart A’ nın birim matrisine denk olmasıdır.
İspat: Eğer A, birim matrisine denk ise A’dan bir dizi elementer satır veya
sütun işlemleriyle elde edilir. Böylece,
olacak şekilde
elementer matrisleri vardır.
olsun. P ve Q singüler olmamak üzere
olur.
singüler olmadığından A
ve
olur. Buradan
singüler değildir.
Tersine olarak A singüler değil ise A matrisi
Böylece, A, ’e denktir.
6
matrisine satırca denktir.
Ödevler:
4.1.
[
] matrisin tersini elementer satır işlemleri kullanarak bulunuz.
4.2. Aşağıdaki matrislerin hangileri singülerdir? Singüler olmayanların tersini bulunuz.
(i) [
], (ii) [
]
4.3. Aşağıdaki matrislerin eğer varsa tersini bulunuz.
(i) [
], (ii) [
]
4.4. mxn tipindeki A ve B matrislerin satırca denk olması için gerek ve yeter şartın
B=PA olacak biçimde singüler olmayan bir P matrisinin varolması olduğunu ispat
ediniz.
4.5. nxn tipindeki A ve B matrisleri satırca denk olsun. A’nın sigüler olmaması için
gerek ve yeter şart B2nin singüler olmaması olduğunu gösteriniz.
4.6.
[
ve sıfır matrislerden
yazılan bölünmüş matrisi bulunuz.
4.7.
[
ve sıfır matrislerden yazılan
bölünmüş matrisi bulunuz.
4.8. B matrisi A’ya denk ise A matrisinin B’ye denk olduğunu gösteriniz.
4.9. C matrisi B’ye denk ve B matrisi A’ya denk ise C matrisinin de A’ya denk
olduğunu gösteriniz.
4.10. A ve B mxn tipinde matrisler olsun. A’nın B’ye denk olması için gerek ve yeter
şart ’ nın ’ ye sütunca denk olması olduğunu gösteriniz.
7

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler

Transkript

Benzer belgeler

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin