Kitabın Adı : 9. Sınıf Geometri Soru Bankası Yazarlar : Özkan Güner

Transkript

© Bu kitabýn tamamýnýn
ya da bir kýsmýnýn,
yazarlarýn izni olmaksýzýn
elektronik, mekanik,
fotokopi ya da herhangi
bir kayýt sistemi ile çoðaltýlmasý,
yayýnlanmasý yasaktýr.
Bu kitabýn tüm
haklarý yazarlarýna aittir.
Kitabýn Adý
: 9. Sýnýf Geometri Soru Bankasý
Yazarlar
: Özkan Güner
Erhan Nemutlu
Tarýk Þahin
Baský
: Kanyýlmaz Matbaasý
Temmuz - 2011
Kapak
: Model Ajans
Dizgi
: Aynur Sarýbüyük
[email protected]
ISBN
: 978 - 605 - 89824 - 9 - 9
Ege Yayýncýlýk Eðitim Hizmetleri
Turizm Ýnþaat San. ve Tic. Ltd. Þti.
Merkez mah. Aligalip cad. Ekþioðlu iþhaný No : 16/9
Gaziosmanpaþa / ÝSTANBUL
Tel : 0 (212) 563 95 52
web : www.egeyayincilik.com
Özkan Güner
0505 221 70 06
[email protected]
Ali Kocabýyýk
0505 215 83 24
[email protected]
Erhan Nemutlu
0505 405 38 12
[email protected]
SUNUÞ
Her þeyi içine alan ve ayný zamanda içinde olan Geometri, aslýnda son derece zevkli bir derstir. Kiþinin beyin gücünü ve
görüþ yeteneðini, estetik ve düzen anlayýþýný geliþtiren bir alandýr. “Çocuklara verilecek eðitim, þiir ve geometriden ibaret
olmalý” diyen filozof da ayný kanaati taþýyor olsa gerek.
Fakat öðrencilerde Geometri dersine ait yersiz korku ve endiþe hakimdir. Bunun temel nedeni de kiþinin bilmediðinin
düþmaný olmasýndandýr. Ýþte bu kitap, çeþitli okul ve dershanelerde çalýþmýþ eðitimcilerin tecrübe ve bilgi birikimlerinden
yararlanýlarak hazýrlandý. Hedefi ise bu yersiz korku ve endiþeleri, ortaya koyduðu yeni anlayýþla ortadan kaldýrmak, bu dersi
kolay ve zevkli hale getirmektir. Öncelikli hedefi geometriyi sevdirmek, sonra da geometriyi adým adým öðretmektir. Ýþte bu
nedenle "Adým Adým Serisi (AAS)"nin 9. Sýnýf Geometri kitabý yazýldý.
Sevgili Meslektaþýmýz,
Bu kitaplarý; Matematik kitaplarýnda kullandýðýmýz HÜCRELEME SÝSTEMÝ SERÝSÝ (HSS)'nin biraz daha geliþtirilmiþi
olan ADIM ADIM SERÝSÝ (AAS) dediðimiz yeni bir anlayýþla sunuyoruz. Buna göre;
•
•
•
•
•
•
•
Konular bir veya iki saatte anlatýlabilecek alt baþlýklara bölündü. Böylelikle her dersin sonunda ödev verip takibinin
yapýlabilmesi amaçlandý.
Bu sistemde her öðrencinin bir þeyler öðrendiðini hissetmesini, kendine güveninin ve motivasyonunun artmasýný
saðlayabilmek için öðreticilik ön planda tutuldu.
Ayný tip sorular kolaydan zora doðru alt alta sýralandý. Böylelikle zorluk basamaklarý daha kolay çýkýlýr hale getirildi.
ÖSS - ÖYS (YGS - LYS) sorularýnýn benzeri bütün sorular, testlere konularak konu bütünlüðünün yakalanmasý amaçlandý.
Alýþtýrma Testleri öncesindeki kýsa konu bilgileriyle konularýn daha iyi öðrenilmesi ve öðrenilen konularýn öðrenciler
tarafýndan Alýþtýrma ve Konu Kavrama Testlerinin çözülerek pekiþtirilmesi hedeflendi.
Alt baþlýklara ayrýlmýþ testler, karma testler ile takviye edilerek öðrencilerin özelde öðrenilmiþ olan bilgileri genelde de
uygulayýp baþarýlý olmalarý amaçlandý.
Karma Testlerin arkasýna ÖSS - ÖYS (YGS - LYS) sorularý eklenerek öðrencinin kendisini ÖSS - ÖYS (YGS - LYS)
sorularý ile sýnamasý amaçlandý.
Sevgili Öðrencilerimiz,
Geometri müfredatý tamamýyla yeni bir anlayýþla ele alýnmaktadýr. Buna göre, üst sýnýflarda geometri dersi almayacak
olan öðrenciler için gerekli olan temel bilgi ve becerileri kazandýracak; 10, 11 ve 12. sýnýflarda Geometri dersi alacak öðrenciler için de alt yapý oluþturucak biçimde yapýlandýrýlmýþtýr.
Geometri ile ilgili temel kavramlar sentetik yaklaþýmla verildikten sonra koordinat doðrusu ve buna baðlý olarak analitik düzlem tanýmlanmýþtýr. Noktalarýn koordinatlarýndan yararlanarak da vektör kurgusu yapýlmýþtýr.
Biz bu yapýlandýrmayý esas alarak elinizdeki eseri hazýrladýk. Ayný zamanda, sizleri sýkýcý bir çalýþma ortamýndan kurtarýp; günlük, düzenli ve planlý ders çalýþma ve ödev yapma alýþkanlýðý kazandýrmak için hazýrladýk.
Özellikle Alýþtýrma Testleri Geometriye bakýþýnýzý deðiþtirecek sizi ders çalýþma masasýna oturtmayý baþaracaktýr.
Deðiþen sýnav sistemi YGS - LYS’de 9. Sýnýf Geometri dersinden soru sorulmaktadýr. Ayrýca 9. Sýnýf Geometri dersinin
10. Sýnýf Geometri, 11. Sýnýf Geometri ve 12. Sýnýf Geometri derslerinin de temelini oluþturduðunu akýldan çýkartmamak
gerekir. Bir anlamda 9. Sýnýf Geometri, Geometri binasýnýn temelini oluþturmaktadýr.
Üniversiteye giriþ sýnavlarýnda çýkan sorular karþýsýnda rahat olabilmenin yolu; sistemli, düzenli çalýþmanýza ve çok soru
çözmenize baðlýdýr. Bu da öðrencilerin konularý kavrayarak öðrenip; Alýþtýrma, Konu Kavrama, Karma ve ÖSYM sorularý ile
pekiþtirmesiyle mümkündür.
Bu kitabýn oluþmasýnda fikirleriyle bizi destekleyen, maddi ve manevi yardýmlarýný esirgemeyen Ali KOCABIYIK'a ve
kitabýn tashihinde yardýmcý olan Öðretmen arkadaþlarýmýz Kenan AKARBULUT, Cumhur CENGÝZ’e ve deðerli öðrencilerimize teþekkür ediyoruz.
Kitabýmýzýn sizlere yararlý olmasý dileðiyle...
YAZARLAR
9. Sýnýf Geometri Dersi Öðretim Programýnda Yaklaþýmlar
Program, üst sýnýflarda geometri dersi almayacak öðrenciler için gerekli olan temel bilgi ve becerileri
kazandýracak; 10, 11 ve 12. sýnýflarda geometri dersi alacak öðrenciler içinde alt yapý oluþturacak biçimde yapýlandýrýlmýþtýr.
Geometri ile ilgili temel kavramlar sentetik yaklaþýmla verildikten sonra koordinat doðrusu ve buna baðlý analitik düzlem tanýmlanmýþtýr. Noktalarýn koordinatlarýndan yararlanarak da vektör kurgusu yapýlmýþtýr.
Bunlar kullanýlarak 9. sýnýf Geometri Dersi Öðretim Programý;
a. Kavramlarýn anlaþýlmasýnýn, kullanýlmasý kadar önemli olduðunu,
b. Kavramlarýn oluþmasýndan sonra iþlem becerisinin devreye girmesi ve bunlarýn ayrýlmaz parçalar olarak
devam etmesi gerektiðini,
c. Öðrencinin sadece bilgi ve beceri kazanmýþ olmasýnýn yanýnda bunlarý nasýl, nerede, ne zaman ve niçin
uygulayacaðýna karar verebilecek duruma gelmesini,
ç. Düzlemde sentetik, vektörel ve analitik yaklaþýmlarý kullanmayý,
d. Uzayda sadece sentetik yaklaþýmý kullanmayý,
e. Teorem ispatlarýndan mümkün olduðunca kaçýnmayý,
f. Teoremleri ve kavramlarý günlük hayattaki modelleri yardýmýyla pekiþtirmeyi,
g. Dönüþümlerin sentetik olarak iþlenmesini ve uygulanmasýný,
ð. Düzlem geometrideki kavramlarýn özelliklerini sorgulamayý öngörmektedir.
GEOMETRÝYE YAKLAÞIM BÝLEÞENLER
Geometriye Sentetik Yaklaþým
Belli postulatlar kullanýlarak yapýlan geometriye sentetik (aksiyomatik) yaklaþým diyoruz.
“Ýki noktadan bir doðru geçer.”
A
B
A
B
d
Geometriye Vektörel Yaklaþým
Vektör cebirinden yararlanarak yapýlan geometriye vektörel yaklaþým diyoruz.
A
B
A
B
uuur uuur
uuur uuur
OX = OA + λ(OB − OA)
O noktasý koordinat sisteminin orijini alýnýrsa
X = A + λ(B – A) yazýlabilir.
Bulunan ifade doðrunun vektörel yaklaþýmýna örnektir.
A
B
uuur
OA
X
uuur
OX
O
Geometriye Analitik Yaklaþým
Bir koordinat sisteminden yararlanarak yapýlan geometriye analitik yaklaþým diyoruz.
A = (a1, a2) B = (b1, b2) ve X = (x, y) olmak üzere
x − a1
y − a2
=
b1 − a1 b2 − a 2
Y
B
b2
ax + by + c = 0
a2
A
a1
b1
X
Bulunan ifade doðrunun analitik yaklaþýmýna örnektir. Ancak vektörel yaklaþýmda bir koordinat sistemi seçilerek verilen noktalarýn koordinatlarý
X = A + λ(B – A) da yerine yazýlýr ve
(x, y) = (a 1, a 2 ) + λ(b1 − a 1, b 2 − a 2 )
x = a1 + λ(b1 − a1)
y = a 2 + λ(b2 − a 2 )
x − a1
y − a2
=
=λ
b1 − a1 b2 − a 2
ax + by + c = 0
denklemi bulunur. Buradan da görüldüðü gibi analitik yaklaþým, vektörel yaklaþýmdan koordinat sistemi seçilerek de elde edilebilir.
ÝÇÝNDEKÝLER
1. ÜNÝTE
Temel Geometrik Kavramlar ve Koordinat Geometriye
Giriþ
Alýþtýrma 1, 2, 3, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Test 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Alýþtýrma 5, 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Test 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Alýþtýrma 7, 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Test 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Alýþtýrma 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Test 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Alýþtýrma 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Test 5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Alýþtýrma 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Test 6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Alýþtýrma 12, 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Test 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Alýþtýrma 14, 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Test 8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Alýþtýrma 16, 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Test 9, 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Alýþtýrma 18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Test 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Alýþtýrma 19, 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Test 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Alýþtýrma 21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Test 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Alýþtýrma 22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Test 14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Alýþtýrma 23, 24, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Test 15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Alýþtýrma 26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Test 16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Test (Karma) 17, 18, 19, 20, 21, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Test (ÖSYM Sorularý) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2. ÜNÝTE
Çokgenler ve Düzlemde Kaplamalar
Alýþtýrma 27, 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Test 22, 23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Alýþtýrma 29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Test 24, 25
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Alýþtýrma 30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Test 26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Alýþtýrma 31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Test 27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Alýþtýrma 32, 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Test 28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Alýþtýrma 34, 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Test 29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Alýþtýrma 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Test 30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Alýþtýrma 37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Test 31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Alýþtýrma 38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Test 32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Alýþtýrma 39, 40, 41, 42, 43, 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Test 33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Alýþtýrma 45, 46, 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Test 34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Alýþtýrma 48, 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Test 35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Alýþtýrma 50
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Test 36
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Alýþtýrma 51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Test 37
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3. ÜNÝTE
Dik Prizmalar ve Piramitler
Alýþtýrma 52
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Test 38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Alýþtýrma 53, 54, 55, 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Test 39
Alýþtýrma 57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Test 40, 41, 42, 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Alýþtýrma 58, 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Test 44
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Alýþtýrma 60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Test 45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Kareli ve Ýzometrik Kâðýt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Bazý Katý Cisimlerin Açýnýmlarý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
4. ÜNÝTE
Çember ve Daire
Alýþtýrma 61, 62, 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Test 46
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Alýþtýrma 64
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Test 47
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Alýþtýrma 65, 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Test 48
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Alýþtýrma 67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Test 49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Test (Karma) 50, 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5. ÜNÝTE
Dik Dairesel Silindir, Koni ve Küre
Alýþtýrma 68, 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Test 52, 53
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Alýþtýrma 70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Test 54, 55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Alýþtýrma 71, 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Test 56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Alýþtýrma 73
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Test 57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Alýþtýrma 74
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Test 58
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Alýþtýrma 75
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Test 59
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Test (Karma) 60, 61, 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
.
1. ÜNITE
.
TEMEL GEOMETRIK
KaVRAMLAR ve
.
.
KOORDINAT GEOMETRIYE
. .
GIRIS.
ALIÞTIRMA : 01
Geometrik Kavramlar
2.
Aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz.
a)
K
……………. denir.
b)
A
D
d1
E
F
G
Tanýmlar ve aksiyomlar yardýmýyla doðruluðu
d2
ispatlanan önermelere ……………. denir.
ç)
C
B
Doðruluðu ispatsýz kabul edilen önermelere
……………. denir.
c)
N
Doðru yada yanlýþ hüküm bildiren ifadelere
d3
Yukarýdaki þekle göre, aþaðýdaki boþluklarý
doldurunuz.
Nokta, doðru ve düzlem ……………. terimlerdir.
a)
…,…,…
noktalarý doðrusaldýr.
belirten ize ……………. denir.
b)
…,…,…
noktalarý doðrusaldýr.
e)
•, n, ¡, Ä gibi þekiller ……………. modelidir.
c)
…,…,…
doðrularý yazýlýr.
f)
Düz ve uzunluðu sürekli iki yöne uzatýlabilen,
d)
…,…,…
doðru parçalarý yazýlýr.
e)
…,…,…
ýþýnlarý yazýlýr.
d)
Herhangi bir büyüklüðü olmayan ve yer
kalýnlýðý bulunmayan geometrik terimlere
……………. denir.
g)
A
B
d
……………. doðrusu veya ……………. doðrusu
þeklinde gösterilir.
h)
,
,
,
gibi
þekiller ……………. modelleridir.
ý)
Ayný
doðru
üzerinde
olan
3.
E g e Ya y ý n c ý l ý k
1.
noktalara
a)
tilebilen fakat kalýnlýðý bulunmayan geometrik
terimlere ……………. denir.
b)
……………. denir.
i)
Uzunluðu ve geniþliði, düz sýnýrsýz geniþle-
Defter yüzeyi, masa yüzeyi, yazý tahtasý gibi
cisimler ……………. modelidir.
Farklý 5 nokta doðrusal ise, bu noktalardan
……………. adet doðru geçer.
j)
Bir
doðrunun
herhangi
bir
parçasýna
……………. denir.
k)
A
c)
B
,
gibi þekiller ……………. modelidir.
AB doðru parçasý ……………. þeklinde gösterilir.
ç)
l)
Bir doðrunun belirli bir yerinden baþlayýp düz
noktalar denir.
sürekli olarak tek yöne uzatýlabilen, uzunluðu
sýnýrsýz, kalýnlýðý bulunmayan geometrik teri-
d)
me ……………. denir.
m)
A
Ayný düzlemde olan noktalara …………….
Doðrusal olmayan farklý üç nokta daima
……………. dir. (Düzlem belirtir.)
B
e)
d
Baþlangýç noktasý A olan ýþýn …………….
E
9
E
…………….
okunur.
diye
4.
6.
a)
Uzunluðu, geniþliði ve yüksekliði düz sýnýrsýz
geniþletilebilen
b)
geometrik
Aþaðýdakilerden doðru olanlara D, yanlýþ olanlara Y yazýnýz.
( ) Noktada; derinlik vardýr.
terimlere
……………. denir.
( ) Doðruda; uzunluk sýnýrsýzdýr.
Bina, defter, silgi, kapý, top gibi cisimler
( ) Doðruda; geniþlik sýnýrsýzdýr.
……………. modelidir.
( ) Düzlemde; uzunluk ve geniþlik sýnýrsýzdýr.
c)
( ) Uzayda; uzunluk, geniþlik ve derinlik sonsuzdur.
7.
T
,
D
A
C
B
gibi þekiller ……………. modelidir.
Nokta ……………. dur. Doðru …………….,
düzlem …………., uzay…………. boyutludur.
5.
Dý
Cý
Yukarýdaki piramidin köþeleri þekildeki gibi isimlendirilmiþtir.
ç)
Buna göre, aþaðýdakilerden doðru olanlarýna D,
yanlýþ olanlarýna Y yazýnýz.
( ) A, B, C doðrusaldýr.
C
D
( ) A, T, C doðrusaldýr.
Aý
P
A
Bý
( ) A, B, C düzlemseldir.
B
( ) A, B, C, D düzlemseldir.
( ) B, T, C düzlemseldir.
Yukarýdaki þekilde kibrit kutusunun köþeleri isimlendirilmiþtir.
Buna göre, aþaðýdakilerden doðru olanlarýna D,
yanlýþ olanlarýna Y yazýnýz.
8.
Bir yüzeye býrakýlan; ize ……………., düz çizgiye
……………., bu yüzeye ……………. denir.
9.
Sizde farklý þekillerde nokta, doðru, düzlem, uzay
modellerini yazýnýz.
( ) Þekil bir uzay modelidir.
( ) A, D, C noktalarý doðrusaldýr.
( ) A, B, Bý noktalarý düzlemseldir.
……………. , ……………. , ……………. nokta
( ) D, C, Cý, Dý noktalarý düzlemseldir.
……………. , ……………. , ……………. doðru
( ) Aý, Bý, C, D noktalarý düzlemseldir.
……………. , ……………. , ……………. düzlem
( ) A, B, C, Dý noktalarý düzlemseldir.
( )
P3
……………. , ……………. , ……………. uzay modelleridir.
uzayý þeklinde isimlendirilir.
10
ALIÞTIRMA : 02
Nokta, Doðru ve Düzlem Belirtme Sayýlarý
5.
* Herhangi üçü doðrusal olmayan n nokta en çok;
C(n, 2) =
Bir düzlemin üzerindeki 5 farklý nokta ile
düzlemin dýþýndaki 2 farklý noktalarýn birleþtirilmesiyle en çok kaç doðru çizilir?
n!
(n − 2)! . 2!
C : 21
adet doðru oluþturur.
1.
Düzlemde herhangi üçü doðrusal olmayan 6
nokta en çok kaç doðru belirtir?
C : 15
* Bir noktalar kümesinin tüm elemanlarý ayný düzleme ait ise; bu kümeye düzlemsel noktalar kümesi denir.
* Herhangi üçü doðrusal olmayan n nokta en çok
C(n, 3) =
Düzlemde 7 nokta en az ve en çok kaç doðru
belirtir?
C : 1 ve 21
farklý düzlem belirtir.
2.
6.
3.
n!
(n − 3)! . 3!
Beþi d doðrusu üzerinde olan 8 nokta en çok
kaç doðru belirtir?
Herhangi üçü doðrusal olmayan 10 nokta en çok
kaç düzlem belirtir?
C : 120
C : 19
4.
D
C
B
G
A
d
E
Þekildeki 7 noktanýn birleþtirilmesiyle en çok kaç
doðru çizilir?
7.
F
En çok ikisi doðrusal olan, düzlemsel 7 nokta ve
bu noktalar düzleminin dýþýnda bulunan sekizinci nokta ile kaç düzlem oluþturulur?
C : 22
C : 16
11
8.
11. Bir düzlemin içindeki n farklý doðru en çok 28
Herhangi üçü doðrusal olmayan, düzlemsel 6 nokta
ile bu düzlemin dýþýnda bulunan iki nokta daha veriliyor.
noktada kesiþtiðine göre, n kaçtýr?
C:8
Bu 8 nokta, en çok kaç düzlem belirtir?
C : 37
12. Beþi paralel olan 7 doðrunun kesiþmesiyle en
9.
Kendi aralarýnda paralel 4 doðru ile kendi
aralarýnda paralel 3 doðru kesiþirse, düzlem kaç
bölgeye ayrýlýr?
çok kaç nokta oluþur?
C : 11
C : 20
13. Dördü bir A noktasýndan geçen 9 doðrunun,
* Farklý iki doðrunun bir ortak noktasý varsa, bu
doðrulara kesiþen doðrular denir.
ikiþer ikiþer en çok kaç kesim noktasý vardýr?
C : 31
* Farklý n doðru en çok
C(n, 2) =
n!
(n − 2)! . 2!
farklý noktada kesiþir.
14. 4 ü paralel, 3 ü bir A noktasýndan geçen 12
10. Bir düzlem içindeki 10 farklý doðru en çok kaç
doðrunun kesiþmesiyle en çok kaç nokta
oluþur?
farklý noktada kesiþir?
C : 45
C : 58
12
ALIÞTIRMA : 03
Koordinat Doðrusu ve Mutlak Deðer
1.
Bir doðru üzerinde bir baþlangýç noktasý ve bir yön
seçilip bütün reel sayýlarýn konumlarý belirlenerek
oluþturulan doðruya sayý doðrusu, baþlangýç noktasýna orjin denir.
x gerçek sayýsýnýn, koordinat doðrusu üzerinde
eþlendiði noktanýn baþlangýç noktasýna olan uzaklýðýna x sayýsýnýn mutlak deðeri denir ve |x| ile gösterilir.
Baþlangýç noktasýnýn sol tarafý negatif yön, sað
tarafý pozitif yöndür. Herhangi bir noktaya karþýlýk
gelen gerçek (reel) sayýya bu noktanýn koordinatý
denir.
x, y ∈ R olmak üzere,
B
O
A
–3
0
2
a)
daima |x| ≥ 0 olur.
b)
x ≥ 0 ise; |x| = x
x < 0 ise; |x| = –x
d
c)
|x – y| = |y – x| dir.
4.
A(–2), B(3), C(0), D(-4)
|5| + |–3| + |0|
iþleminin sonucu kaçtýr?
noktalarýný sayý doðrusu üzerinde gösteriniz.
C:8
2.
5.
|2 – ñ3| + |1 – ñ3|
toplamýnýn sonucu kaçtýr?
3
K(2), L  −  , M(ò10)
 2
C:1
6.
Mutlak deðerce eþit ve baþlangýç noktasýna uzaklýklarý çarpýmý 16 olan sayýlarýn farklarýnýn mutlak deðeri kaçtýr?
C:8
7.
3.
A(2 + ñ5), B(3 – ñ2), C(1 – ñ7)
x > 0 olmak üzere
|x| + 3 – 2 |–x|
C:3–x
13
8.
a, b ∈ R ve c ∉ R– olmak üzere |ax + b| = c denkleminin çözümü ax + b = c veya ax + b = –c denklemlerinin çözümüdür.
x < 0 < y olmak üzere
|–x| + |y| – |x – y| + |x|
NOT : c negatif reel sayý olursa çözüm kümesi boþ
küme olur.
C : –x
12.
|x – 3| = 5
denklemini saðlayan x deðerleri toplamý kaçtýr?
C:6
9.
|a| = –a olmak üzere
|2 – a| – |a| + |–2a|
13.
2x − 1
=5
3
C : 2 – 2a
denklemini saðlayan x deðerleri çarpýmý kaçtýr?
C : –56
10. a < b < c olmak üzere
14.
|x| + |–x| + |2x| = 12
olduðuna göre, x deðerleri çarpýmý kaçtýr?
C : –9
a−c − a−b + b− c
b−c
C:2
15.
A(–1) , B(2) ve C(a)
noktalarýna göre, |AC| + |BC| toplamýnýn en
küçük deðeri kaçtýr?
C:3
11. x < 2 < y olmak üzere
2−x + y−2
16. 5 ile 13 arasýnda bir sayýnýn 5 e uzaklýðý ile 13 e
x−y
uzaklýklarý toplamý kaçtýr?
(Yani |x – 5| + |13 – x| toplamýnýn deðeri)
C:1
C:8
14
ALIÞTIRMA : 04
Koordinat Doðrusunda Ýki Nokta Arasý Uzaklýk
3.
A
B
x
y
Meteorolojinin verilerine göre, Erzurum’un kýþýnki
sýcaklýk ortalamasý –8 °C, yazýnki sýcaklýk ortalamasý 18 °C dir.
Buna göre Erzurum’ un yaz kýþ sýcaklýk farký kaç
derecedir?
* Bir sayý doðrusu üzerindeki A(x) ve B(y) noktalarý
arasýndaki uzaklýk;
d(A, B) = |y – x| = |x – y|
C : 26
þeklinde yazýlýr.
Uzunluðu eþit olan doðru parçalarýna eþ doðru
parçalarý denir.
[AB] ~
= [CD] yani [AB] ve [CD] eþ doðru parçalarý
ise
d(A, B) = d(C, D) veya |AB| = |CD| þeklinde yazýlýr.
4.
 9
7
A  −  , B 
 4
4
noktalarý arasýndaki uzaklýk
kaç birimdir?
C:4
Sayý doðrusu üzerinde verilen A(–2) ve B(5) noktalarý arasýndaki uzaklýk kaç birimdir?
C:7
1.
5.
M(ñ2 + 1) , N(ñ2 – 3)
noktalarý arasýndaki uzaklýk kaç birimdir?
C:4
2.
A
B
C
O
D
E
F
G
–3 –2 –1
0
1
2
3
4
x
Aþaðýdaki tabloyu yukarýdaki koordinat doðrusuna göre doldurunuz.
Doðru Parçasý
Uzunluk (br)
|DF|
2
|OG|
...
|BO|
...
|AE|
...
|CD|
...
6.
A(2) ve B(x + 4)
noktalarý arasýndaki uzaklýk 5 olduðuna göre, x
deðerleri kaçtýr?
C : 3 veya –7
15
7.
Sayý doðrusu üzerinde K noktasýnýn koordinatý 3 tür.
|KM| = 8 br olduðuna göre, M noktasýnýn koordinatlarý toplamý kaçtýr?
A
B
C
x
y
z
* Yukarýdaki A(x), B(y), C(z) noktalarý için B noktasý
A ile C noktalarý arasýnda ise;
C:6
x<y<z
sýralamasý vardýr.
* Yukarýdaki eþitsizliði
AB + BC = AC
þeklinde de gösterebiliriz.
8.
Sayý doðrusu üzerinde verilen A(3x – 1) ve
B(x + 7) noktalarý arasýndaki uzaklýk 12 birim
olduðuna göre, x in negatif deðeri kaçtýr?
11. Koordinat doðrusunda K(4x – 1) ve L(x + 3) nokta-
C : –2
larý arasýndaki uzaklýk 5 br dir. (x ∈ Z+)
M(2x + 4) olduðuna göre |KM| kaç br dir?
9.
Sayý doðrusu üzerinde A(–8), B(3), C(6) ve D(x)
noktalarý veriliyor.
C:1
|AB| = |CD|
12. Sayý doðrusu üzerinde alýnan A(3x + 2) noktasý
olduðuna göre, x in alabileceði deðerler toplamý
kaçtýr?
B(2x – 1) noktasýndan küçük olduðuna göre, x in
en büyük tam sayý deðeri kaçtýr?
C : 12
C : –4
10. A(2), B(–4), C(k + 1) ve D(–3) noktalarý veriliyor.
13. Koordinat doðrusu üzerinde alýnan K(3x – 1) nok-
~ [CD]
[AB] =
tasý L(–4) ve M(2) noktalarýnýn arasýndadýr.
x
olduðuna göre, k kaçtýr?
Î
Z olduðuna göre, |KL| – |KM| farký kaçtýr?
C:0
C : –10 veya 2
16
TEST : 01
Geometrik Kavramlar - Koordinat Doðrusu
1.
5.
Aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
A)
Ayný doðru üzerinde bulunan noktalar doðrusal noktalardýr.
B)
AB ýþýný [AB] þeklinde gösterilir.
C)
Güneþten çýkan ýþýk demetinin elemanlarý ýþýn
modelidir.
D)
Uzunluðu, geniþliði ve yüksekliði sýnýrsýz olan
terimlere uzay denir.
E)
Ýki noktanýn koordinatlarý farkýnýn mutlak
deðeri, bu iki nokta arasýndaki uzaklýktýr.
|x – 3| = 7
eþitliðini saðlayan x deðerleri toplamý kaçtýr?
A) 4
6.
B) 6
C) 7
D) 10
E) 11
A(2) , B(8) ve P(x) noktalarý veriliyor.
Buna göre,
2.
A
B
C
D
E
F
G
H
x
K
AB
AP + BP
Yukarýdaki doðru üzerinde noktalar verilmiþtir.
ifadesinin en büyük deðeri kaçtýr?
Aþaðýdakilerden hangisi [CG]
eþittir?
A) 1
3.
B) [EG]
C) [DG]
[BF] kesiþimine
D) [CF]
E) [FG]
x < 0 olmak üzere,
7.
|x – 2| + |–x| – |3x|
4.
B) 2 – x
C) x – 2
C) 3
D) 4
E) 5
A(5) , B(14)
iþleminin sonucu nedir?
A) x + 2
B) 2
A) [AB]
Ç
A) 4
D) x
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
E) 2x
a < 0 < b olmak üzere,
a + b − a−b
b−a − a
8.
iþleminin sonucu nedir?
A) 0
B) b
C) a
D) –a
E) 1
Sayý doðrusu üzerindeki A(2x + 3) ve B(7 + 2x)
A) 2
17
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
9.
13. A(3) , B(–7) , C(x – 1) ve D(2) noktalarý veriliyor.
Sayý doðrusu üzerinde A(3) noktasýna 5 birim
uzaklýktaki noktalarýn koordinatlarý toplamý
kaçtýr?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 4
[AB] ≅ [CD]
olduðuna göre, x deðerleri toplamý kaçtýr?
E) 3
A) 16
B) 15
C) 10
D) 6
E) 5
10. Sayý doðrusu üzerinde verilen A(x) ve B(12) nok14. Sayý doðrusu üzerinde farklý A(–6), B(2x – 4) ve
talarý arasýndaki uzaklýk 5 birim olduðuna göre,
x in alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?
A) 20
B) 22
C) 24
D) 26
C(10) noktalarý veriliyor.
E) 28
|AB| + |BC| = |AC|
olduðuna göre, x kaç tamsayý deðeri alýr?
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
EEggee Ya
Yayyýýnnccýýllýýkk
A) 5
11. Sayý doðrusunda A(–2) ve B(2x – 1) noktalarý
arasýndaki uzaklýk 7 birim olduðuna göre, x in
alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
15. Sayý doðrusu üzerinde alýnan A(2k–1) noktasý
B(–12) ve C(4) noktalarýnýn arasýnda olduðuna
göre, k kaç tamsayý deðeri alýr?
E) 3
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
12. Sayý doðrusunda A(–4), B(3), C(6) ve D(x) noktalarý
veriliyor.
16. A(4), B(2x – 1) ve C(x + 7) noktalarý veriliyor.
|AC| = |BD|
kaçtýr?
B noktasý A ve C noktalarý arasýnda olduðuna
göre, x kaç tamsayý deðeri alýr?
A) 4
A) 1
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
18
1.B
2.D
3.A
4.A
5.B
6.A
7.E
8.B
9.C
10.C
11.B
12.C
13.D
14.C
15.A
16.E
ALIÞTIRMA : 05
Koordinat Doðrusunda Vektör
2.
Yönlü Doðru Parçasý :
Uç noktalarýndan biri baþlangýç noktasý, diðeri bitim
noktasý olarak belirlenen doðru parçasýna yönlü
doðru parçasý denir.
B
A
B
,
d
uuur
, BA
þeklinde ifade edilir.
Bir yönlü doðru parçasýnýn üzerinde bulunduðu
doðruya o yönlü doðru parçasýnýn taþýyýcýsý
uuur yada
doðrultusu (doðrultman doðrusu) denir. AB nin
taþýyýcýsý d doðrusudur.
d1
A
d2
3.
Baþlangýç ve bitim noktasý ayný A noktasý olan
uuur
yönlü doðru parçasý AA
biçiminde gösterilir.
deðildir.
uuur ur
AA = O ile gösterilir.
A
B
yanlýþ
x
Baþlangýç noktasý
.....................
Bitim noktasý
.....................
Doðrultusu
.....................
Taþýyýcýsý
.....................
4.
Bir yönlü doðru parçasýnýn baþlangýç ve bitim noktalarý arasýndaki uzaklýða yönlü doðru parçasýnýn
uuur
uzunluðu (büyüklüðü) ya da normu denir ve AB
uuur
veya AB þeklinde gösterilir.
K
L
M
N
x
Yukarýdaki þekil için;
uuur
uuur
AB ve CD doðru parçalarýna ..................... denir.
uuur
AA = 0 dýr.
1.
da
Yukarýdaki doðru parçasý için;
d3
uuur
AA nýn taþýyýcýsý d1, d2, d3... doðrularý olabilir.
uuur
Bundan dolayý AA nýn taþýyýcýsý ve yönü belli
ya
( ) Taþýyýcýlarý ayný veya paralel olan yönlü doðru
parçalarýna, paralel yönlü doðru parçalarý
denir.
uuur
( ) AA yönlü doðru parçasýnýn yönü ve doðrultusu belirlidir.
uuur
AB
d
doðru
uuur
( ) A ve B noktalarý arasýndaki uzaklýða AB nýn
uzunluðu denir.
uuur
( ) AA = 1
Baþlangýç noktasý
uuur A, bitim noktasý B olan yönlü
doðru parçasý AB biçiminde gösterilir.
A
Aþaðýdaki ifadelerin
olduðunu belirleyiniz.
5.
A
B
C
O
D
E
F
K
L
–3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
x
x doðrusu üzerindeki noktalara göre, aþaðýdaki
boþluklarý doldurunuz.
A
B
C
x
Baþlangýç Bitim
Uzunluðu
Gösterimi
Noktasý Noktasý
(br)
uuur
a) AB yönlü doðru parçasýnda A .....................
noktasý, B ..................... noktasýdýr.
uuur
b) CA yönlü doðru parçasýnda C ....................
noktasý, A ..................... noktasýdýr.
uuur uuur uuur
c) x doðrusuna AB, AC, CB yönlü doðru
parçalarýnýn ..................... denir.
19
2
C
uuur
OE
uuur
EC
B
F
...
...
F
A
...
...
K
B
...
...
O
E
E
3
Uyarý :
Birim Vektör:
Yönlü doðruuuurparçasýnýn eþliði; uzunluklarý sýfýrdan
uuur
farklý olan AB ve CD yönlü doðru parçalarý için
uuur
aþaðýdaki önermelerin ikisi de doðru ise AB ve
uuur
CD yönlü doðru parçalarý eþtir, denir.
uuur uuur
AB ∼ CD þeklinde gösterilir.
Uzunluðu 1 br olan vektörlere birim vektör denir.
i)
uuur
uuur
AB = CD
ii)
uuur
uuur
AB ve CD ayný yönlüdür.
A(a) ve B(b) noktalarý için
uuur
AB birim vektör ise;
|a – b| = 1 dir.
7.
2a + b = 8 olduðuna göre, a . b çarpýmý kaçtýr?
A
K
L
B
C
D
M
N
P
d1
C:6
d2
Þekilde d1 // d2 ve
|AB| = |BC| = |MN| = 2 birim
|CD| = |KL| = |NP| = 1 birim
6.
Koordinat uuu
doðrusu
üzerinde A(a) ve B(b) noktalarý
r
veriliyor. AB birim vektördür. (a, b ∈ Z+)
Verilenlere göre;
Eþ yönlü doðru parçalarý ..........
Zýt yönlü doðru parçalarý ..........
8.
Koordinat doðrusu üzerinde A(x) ve B(y) noktalarý
veriliyor. (x, y ∈ Z+) A ve B noktalarýnýn belirttiði vektör birim vektör ve
3x – 2y = 7
olduðuna göre, x kaçtýr?
C:5
Taným: Koordinat doðrusu üzerinde eþ yönlü doðru
parçalarýnýn kümesine vektör denir.
Sýfýr Vektörü:
Uzunluðu sýfýr olan yönlü doðru parçalarýnýn roluþturduðu denklik sýnýfýna sýfýr vektörü denir. 0 ile
gösterilir.
uuur
AA sýfýr vektörüdür.
uuur r uuur
AA = 0, AA = 0 dýr.
9.
B
A
B
,
d
uuur
, BA
ya
da
yanlýþ
( ) Doðrultularý ayný, yönleri zýt olan vektörlere eþ
vektörler denir.
uuur
( ) A ve B noktalarý için AB vektörü birim vektör
uuur
ise, BA vektörüde birim vektördür.
uuur
AB
d
doðru
( ) Baþlangýç ve bitim noktasý ayný olan vektörlere birim vektör denir.
uuur
uuur
uuur
( ) AB vektörünün normu AB veya AB ile
gösterilir.
Ters (zýt) vektörler:
uuur
uuur
AB ve BA ters vektörlerdir.
uuur
uuur
BA = − AB dýr.
A
Aþaðýdaki ifadelerin
olduðunu belirleyiniz.
20
ALIÞTIRMA : 06
Bir Doðruyu Bölen Nokta
3.
Koordinat doðrusu üzerindeki baþlangýç noktasý
uuur
orjinde olan OA ne A noktasýnýn yer vektörü denir.
uuur
OA vektörü
0
A
B(4)
C(x)
x
A(8)
A(a), B(b), C(c) olmak üzere [AB] ný
AC
CB
A köþesinden B köþesine yem götüren karýnca C
noktasýndan geçecektir.
=k ,
AB
(k > 0, k ≠ 1) olacak biçimde;
AC
=
4
3
Ýçten bölen C noktasýnýn koordinatý
C : –1
a +k .b
C=
1+ k
Dýþtan bölen C noktasýnýn koordinatý
4.
a − k . b dýr.
C=
1− k
K(3)
1.
M(m)
x
Düz bir yol üzerinde K, L, M noktalarý veriliyor.
NOT : Yukarýdaki vektörel bölmelerle bulunan
sonuçlar orantý yoluyla da bulunabilir.
L(7)
|LM| = 2|KL|
olduðuna göre m kaçtýr?
C : 15
Sayý doðrusu üzerinde alýnan A(–14) ve B(10)
noktalarýný
AC
CB
=
1
oranýnda bölen C Î [AB] nok2
5.
tasýnýn koordinatý kaçtýr?
A(2), B(6) ve C(x) noktalarý veriliyor.
C ∉ AB ve |BC| = 2|AB|
C : –6
olduðuna göre, x in deðerleri toplamý kaçtýr?
C : 12
2.
A(–4) , B(7) ve C(x) noktalarý veriliyor.
6.
C ∈ [AB ] ve
K(2) , M(a) ve N(–8) noktalarý veriliyor.
AC
2
=
BC 3
M ∉ [KN] ve
KM
MN
=
9
4
C:
olduðuna göre, a deðeri kaçtýr?
2
5
C : –16
21
7.
9.
A(3)
E(2)
A(2) ve B(8)
noktalarýndan oluþan AB doðru parçasýnýn orta
noktasýný bulunuz.
C
C:5
B(9)
D(x)
d1
d2
Yukarýdaki þekilde A, B, C, D, E noktalarý için
|BC| = 2|AC| ve |DC| = |EC|
eþitlikleri veriliyor.
Buna göre, D noktasýnýn koordinatý (x) kaçtýr?
C:4
10. Uç noktalarý K(–3) ve M(5) noktalarý olan KM
doðru parçasýnýn orta noktasý kaçtýr?
C:1
8.
B(1)
D(5)
C
A(2)
E
G(1)
F(x)
11.
A(4) , B(2) , C(–3) ve D(7)
Yukarýdaki doðrular üzerinde noktalar verilmiþtir.
AC
AB
= 3 ve
EC
ED
=
FG
FE
=
[AB] ve [CD] doðru parçalarýnýn orta noktalarý
arasýndaki uzaklýk kaçtýr?
3
4
C:1
olduðuna göre x kaçtýr?
C:5
A
C
B
12.
a
x
b
* C, A ile B nin orta noktasý olmak üzere
|AC| = |CB| ise x =
C(x + 2) ile D(2x – 1)
noktalarýnýn oluþturduðu CD doðru parçasýnýn
orta noktasý E(x + 5) olduðuna göre, x kaçtýr?
a+b
yazýlýr.
2
C:9
22
TEST : 02
Vektörler - Bir Doðruyu Bölen Nokta
C)
E)
2.
D
O
E
F
G
K
–4 –3 –2 –1
A
B
C
0
1
2
3
4
K
M
N
1
x
7
Koordinat doðrusu üzerinde K, M, N noktalarý veriliyor.
Baþlangýç ve bitim noktasý ayný olan vektörlere sýfýr vektörü denir.
uuur
uuur
AB birim vektör ise, AB = 1 dir.
uuur
uuur
AB vektörünün uzunluðu AB þeklinde gösterilir.
D)
|MN| = 2|KM|
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
x
x doðrusu üzerindeki noktalara göre, aþaðýdaki
Baþlangýç Bitim
Uzunluðu
Gösterimi
Noktasý Noktasý
(br)
3.
4.
Aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
uuur
A)
AB yönlü doðru parçasýnda A baþlangýç, B
bitim noktasýdýr.
uuur
AA = 0
B)
1.
5.
A(–11), B(14) ve C(x) noktalarý veriliyor.
C ∈ [AB] ve
C
F
...
...
F
K
...
...
A
C
...
...
A) –3
F
B
...
...
G
C
...
...
B) –1
IABI 5
=
IBCI 3
C) 1
D) 3
E) 5
Koordinat doðrusu üzerinde A(x) ve B(y) noktalarý
uuur
veriliyor. AB birim vektördür. (x, y ∈ Z–)
6.
x – 2y = 7
Uç noktalarý A(–5) ve B(9) olan AB doðru parçasýnýn orta noktasý kaçtýr?
olduðuna göre, x + y kaçtýr?
A) –1
A) –2
B) –3
C) –5
D) –6
E) –11
23
B) −
1
2
C) 0
D) 1
E) 2
7.
10.
A, B ve C noktalarý doðrusaldýr. B noktasý A ile C nin
arasýndadýr. |AC| – |AB| = 24 cm dir.
A(2)
E(5)
[BC] nin orta noktasý K olduðuna göre, [BK] kaç
cm dir?
A) 12
B) 10
C) 9
D) 8
B
D(x)
E) 6
C(8)
A, B, C, D, E noktalarý için
|AB| = |BC| ve |DB| = 2|BE|
A) 25
B) 20
11.
C) 18
D(2)
D) 15
E) 14
C(x)
B
8.
–2
Kütahya
9
x
Bilecik
Ýstanbul
E(7)
A(3)
Kütahya - Bilecik 110 km
Bilecik - Ýstanbul 250 km dir.
Bu illerimizi sayý doðrusu üzerinde yukarýdaki
gibi yerleþtirirsek Ýstanbul’un olduðu x noktasý
kaçtýr?
A) 25
B) 28
C) 30
D) 32
E) 34
A, B, C, D, E noktalarý için
IDEI IABI 3
=
=
IBEI IBCI 2
olduðuna göre x kaçtýr?
2
A) –2
B) –1
C) −
3
D) −
12.
1
2
E) −
1
3
G(10)
E(1)
D
F(x)
B
A(2)
9.
Yukarýdaki þekilde noktalar ve koordinatlarý verilmiþtir. |AB| = |BC|, |BD| = 2|DG|
A(–2), B(4) ve C(x) noktalarý veriliyor.
C ∉ [AB] ve
IACI 3
=
IBCI 2
IDFI 4
=
IDEI 3
A) 10
B) 11
C) 12
C(6)
D) 14
A) –4
E) 16
B) –5
C) –6
D) –7
E) –8
10.A
11.E
12.A
24
1.D
2.–
3.E
4.D
5.B
6.E
7.A
8.E
9.E
ALIÞTIRMA : 07
Analitik Düzlemde Vektör
Analitik Düzlem:
3.
Bir düzlem üzerinde dik kesiþen iki sayý doðrusunun
oluþturduðu sisteme dik koordinat sistemi, koordinat sisteminin üzerinde bulunduðu düzleme de analitik düzlem veya koordinat düzlemi denir.
m ∈ Z olmak üzere, B(m + 3, 2m) noktasý düzlemin
4. bölgesinde olduðuna göre, (m, m – 1) noktasý
hangi bölgededir?
C:3
y (ordinat)
A(a, b)
b
x (apsis)
a
O(0, 0)
4.
x e yatay eksen, apsis veya ox ekseni,
y ye düþey eksen, ordinat veya oy ekseni,
A(3x – 12, 2x + 6) þeklindeki A noktasýnýn
2. bölgede olmasý için x in alabileceði tam sayýlarý
bulunuz?
C : {–2, ... , 3}
bu eksenlerin kesiþtikleri noktaya ise baþlangýç
noktasý (orjin) denir.
Koordinat sistemini olusturan eksenler analitik düzlemi 4 bölgeye ayýrýr.
1.
I. bölge
x<0
x>0
y>0
y>0
y
II. bölge
x
x<0
x>0
y<0
y<0
III. bölge
IV. bölge
5.
A(2x – 8, 3x + 9) noktasýnýn ll. bölgede olmasý
için farklý x tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr?
C:3
A(1, 4), B(2, –3), C(3, –4), D(–2, –1) noktalarýný
düzlemde gösterelim.
6.
4
3
2
C : –2 < a < 3
1
6 5 4 3 2 1
1
A(2, –3) ve B(a + 2, a – 3) noktalarý analitik
düzlemde ayný bölgede olduðuna göre, a nýn
deðeri nedir?
1
2
3
4
5
6
2
3
4
7.
2.
a, b, c, d ∈ R olmak üzere A(a, b) noktasý analitik
düzlemde 3. bölgede B(c, d) noktasý ise 4.
bölgededir.
A(–2a, 3b) noktasý analitik düzlemin 3. bölgesinde
olduðuna göre, (a, –4b) hangi bölgededir?
Buna göre, C(c – a, b + 2d) noktasý analitik
düzlemde hangi bölgededir?
C:1
C:4
25
8.
a, b ∈ R olmak üzere, A(2, a + 3) noktasý x ekseni
üzerinde ve B(b – 7, –3) noktasý y ekseni üzerinde
bulunduðuna göre, a + b kaçtýr?
10. Yukarýdaki analitik düzlemde verilenlere göre
aþaðýdaki tabloyu doldurunuz.
Vektör
Áa
Áb
Bileþenler (2, 3) (–3, –1)
C:4
Ác
Ád
Áe
11. Aþaðýdaki tabloyu yukarýdaki verilenlere göre
doldurunuz.
9.
Vektör
Áf
Bileþenler (1, 3) (–2, 2) (–4, –2) (–3, –1) (2, 3)
y
x
12. Þekil eþ karelerden oluþmuþtur.
B
Analitik düzlemdeki A(3, 4), B(–4, 2) ve C(2, –2)
noktalarý için AÿBC nin alaný kaç birim karedir?
C : 20
G
A
K
L
H
P
Y
D
R
T
F
V
E
C
M
N
uuur uuur uuur
a) AB ~ CD ~ EF
uuur uuur
c) PR ~ TV
Z
uuur uuur
b) KL ~ MN
uuur uuur
d) GH ~ YZ
ifadelerinin doðruluklarýný irdeleyiniz.
10. ve 11. sorularýn cevaplarýný aþaðýdaki analitik
düzlemdeki verilere göre bulunuz.
Áb
6
Ák
5
13.
4
Ác
Áf
3
D
Áa
C
ABCD paralelkenarýnda,
E
2
1
A
6 5 4 3 2 1
Áe
1
2
1
2
3
4
5
B
6
eþ vektörler .......................................
Ád
zýt vektörler .......................................
3
olarak yazýlýr.
26
ALIÞTIRMA : 08
Vektör - Bir Noktayý Bölen Doðru
C noktasý [AB] nýn elemaný ise, yani bir doðru
parçasýný belli oranda içten bölen noktanýn koordinatlarýný bulalým.
Dik koordinat düzleminde
x eksenindeki 1 br uzunluðundaki vektöre e1,
y eksenindeki 1 br uzunluðundaki vektöre e2 denir.
y
Buna göre koordinat sistemi
y
2
{0, e1, e2}
1
e1 ve e2 temel
vektörleri i ve j
temel vektörleri
þeklinde de gösterilebilir.
e1
1
O
2
1
3
x
1
C
y0
ile gösterilir.
e2
B
y2
y1
A
x1
x0
AC
A(x1, y1) ve B(x2, y2) ve
CB
x2
x
= k için, içten bölen
C noktasýnýn koordinatlarý
x0 =
x1 + kx 2
1+ k
ve y0 =
y1 + ky 2
1+ k
C(x0, y0) bulunur.
1.
Aþaðýdaki tabloyu ve analitik düzlemi eþleþtirerek doldurunuz.
Adý
Nokta
Vektör
e1 ve e2 eþleþtirmesi
A
Not : Yukarýdaki vektörel bölmelerle bulunan sonuçlar benzerlik veya orantý yoluyla bulunabilir.
2.
B(–2, 0)
uuur
OC
uuur
OD
C
[AB] doðru parçasýný
AC
BC
–3e2
E
F
A(4, 1) ve B(–3, 8) ve C(x, y) noktalarý veriliyor.
=
2
5
oranýnda içten
bölen C noktasýný bulunuz.
3e1 + 4e2
C : (2, 3)
F(–3, 2)
y
4
3
2
1
1
2
3
4
x
3.
A(–2, 3) ve B(4, 6) noktalarý ve C ∈ [AB] veriliyor.
|AC| = 2|BC| olduðuna göre, C noktasýnýn koordinatlarýný bulunuz.
C
C : (2, 5)
27
4.
A(0, 3) ve B(6, 1) noktalarý veriliyor. C ∈ [AB] olup,
|AC| = 3|BC| olduðuna göre, C noktasýnýn koordinatlarýný bulunuz.
C :  9 , 3 
2 2
Orta Nokta:
Bir [AB] doðru parçasý verilmiþ olsun, C ∈ [AB] olacak þekilde |AC| = |BC| eþitliði varsa C noktasýna
[AB] nin orta noktasý denir.
y
B(x2,y2)
y2
y0
C(x0,y0)
A(x1,y1)
y1
5.
A(2, –4)
B(2, –7)
x1
C(x, y)
x0
x2
x
Uç noktalarý A(x1 , y1) , B(x2 , y2) olan [AB] nin orta
noktasý
Þekilde verilenlere göre, AC = 5 olduðuna göre,
BC 2
C(x0 , y0) ve |AC| = |BC| olduðuna göre,
C noktasýnýn koordinatlarý toplamý kaçtýr?
x0 =
C : –7
x1 + x 2
,
2
y0 =
y1 + y 2
dir.
2
6.
 x + x 2 y1 + y 2 
dir.
C(x 0 , y 0 ) = C  1
,
2 
 2
8.
A(–3, 4), B(7, 9) ve C(x, y) noktalarý veriliyor.
Uç noktalarý A(6, 4), B(8, 2) olan [AB] nin orta
noktasýnýn koordinatlarýný bulunuz.
C : (7, 3)
C ∈ [AB] ve AC = 2 olduðuna göre, C noktasýnýn
BC 3
koordinatlarý nedir?
C : (1, 6)
9.
Uç noktalarý A(5, 2), B(–1, 6) olan [AB] nin orta
C : (2, 4)
7.
A(1, 6), B(7, 0) noktalarý veriliyor. [AB] üzerinde bir
C(x, y) noktasý alýnýyor. CA = 1 olduðuna göre, C
CB 2
10. A(–2, 5) ve C(1, 4) noktalarý veriliyor. [AB] nin orta
noktasýnýn koordinatlarý nedir?
noktasý C olduðuna göre, B noktasýný bulunuz.
C : (3, 4)
C : (4, 3)
28
TEST : 03
Analitik Düzlem - Vektör
A(x, y) noktasý koordinat düzleminde 2. bölgede
bulunduðuna göre, (x, y) iliþkisi aþaðýdakilerden
hangisi olabilir?
A) (1, –2)
B) (3, 1)
D) (–2, –3)
2.
3.
B) 3
E) (–2, 4)
C) 4
D) 5
A) l
E) 6
A(x, y) noktasý analitik düzlemin 3. bölgesinde olduðuna göre, B(x + y, –2xy) noktasý analitik düzlemin kaçýncý bölgesindedir?
A) l
B) ll
C) lll
D) lV
m

A  , n − m  noktasý koordinat düzleminin 3. böln


gesinde olduðuna göre, B(n, m) noktasý hangi bölgesidir?
C) (0, 2)
A(x – 4, 2x + 2) noktasýnýn 2. bölgede olmasý için
farklý x tamsayýlarýnýn toplamý kaçtýr?
A) 2
4.
1.
5.
D) lV
B) 2. bölge
D) 4. bölge
E) Orjinde
C) 3. bölge
E) ox ekseni üzerinde
a ∈ R olmak üzere, K(–2, a2 – 16) noktasý, x ekseni
üzerinde bulunduðuna göre, a nýn alabileceði
deðerler toplamý kaçtýr?
A) –16
29
C) lll
Analitik düzlemde A(|a|, a + 2) noktasý 4. bölgede
olduðuna göre, B(a, 1 – a) noktasý hangi bölgedir?
A) 1. bölge
6.
E) y ekseninde
B) ll
B) –8
C) 0
D) 8
E) 16
7.
A(a2 – 3a + 2, 5) noktasý y ekseni üzerinde bulunduðuna göre, a nýn alabileceði deðerlerden biri
aþaðýdakilerden hangisidir?
A) –2
B) –1
8.
C) 0
D) 2
10. Aþaðýdaki tablo ve analitik düzleme göre a, b, c,
d, e harflerinin sýralanýþý hangi þýkta doðru verilmiþtir?
E) 3
y
Adý
Nokta
Vektör
e1 ve e2
eþleþtirmesi
A
A(2, 3)
uuur
OA
a
B
b
uuur
OB
–e1 + 2e2
C
c
uuur
OC
–
D
–
uuur
OD
d
e
uuur
OE
–
E
y
e
4
a
3
x
2
1
1
Analitik düzlemdeki A(–3, 3), B(–4, –3) ve C(3, 1)
noktalarý için AÿBC nin alaný kaç birim karedir?
A) 18
B) 19
C) 20
D) 21
E) 23
c
2
3
4
x
d
A) b → B(–1, 2) B) e → E(–1, 3) C) c → C(–3, 2)
D) d → e1 – 2e2
E) a → A
11. Uç noktalarýnýn koordinatlarý A(7, –4), B(3, 6)
9.
olan AB doðru parçasýnýn orta noktasýnýn koordinatlarý nedir?
y
A) (5, 1)
B) (1, 4)
D) (4, 2)
C) (2, 5)
E) (5, 2)
x
12.
A
C
B
Analitik düzlemde iki kenarý Áu = (4, 3) ve
Áv = (2, –3) olan paralelkenarýn alaný kaç br2 dir?
A(–4, 6) ve C(3, 2) olduðuna göre, B noktasýnýn
koordinatlarý toplamý kaçtýr?
A) 20
A) 6
B) 18
C) 16
D) 14
E) 12
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
30
1.E
2.E
3.C
4.B
5.B
6.C
7.D
8.B
9.A
10.B
11.A
12.C
ALIÞTIRMA : 09
Bir Doðruyu Bölen Nokta
1.
NOT : C ∉ [AB] verilsin. C(x0, y0) noktasý [AB] ný
A(3, x) ve B(y, 5) noktalarýnýn orta noktasý C(2, –2)
olduðuna göre, x . y çarpýmý kaçtýr?
AC
= k oranýnda dýþtan bölerse,
BC
C : –9
A(x1, y1)
x0 =
2.
A(a, 3) ve B(a – 2, 2b + 1) noktalarý veriliyor. [AB]
nin orta noktasý C(3, –1) noktasý olduðuna göre,
a + b kaçtýr?
5.
x1 − k . x 2
1− k
B(x2, y2)
C(x0, y0)
ve y0 =
y1 − k . y 2
bulunur.
1− k
A(9, –2) ve B(3, 4) noktalarý veriliyor.
[AB] doðru parçasýný
C:1
AC
BC
=
5
2
oranýnda dýþtan
bölen C(x0,y0) noktasýný bulunuz.
C : (–1, 8)
3.
Uç noktalarý A(4, m – 1) ve B(6, m + 3) olan AB
doðru parçasýnýn orta noktasý x ekseni üzerinde
olduðuna göre, m kaçtýr?
6.
A(–2, 5) ve B(4, 7) noktalarý veriliyor.
AB doðrusunu CA = 1 oranýnda dýþtan bölen C
CB 3
C : –1
C : (–5, 4)
7.
4.
A(3, a), B(b – 2, 4) noktalarýnýn orta noktasý
3−c

C
,a − 1 ise, a + b + c toplamý kaçtýr?
2


A(10, 2) ve B(1, 8) noktalarý ve C ∉ [AB] veriliyor. A,
B, C doðrusal olup, 4|AB| = 3|AC| olduðuna göre,
C noktasýnýn koordinatlarýný bulunuz.
C : (–2, 10)
veya
C:8
(22, –6)
31
8.
Paralelkenarýn Köþe Noktalarýnýn
Koordinatlarý
Analitik düzlemde, A(–2, 4), B(6, 8) noktalarý veriliyor. C ∉ [AB] ve 3|AB| = 4|BC| olduðuna göre, C
Köþegenleri birbirini ortalayan dörtgenlerde (kare,
dikdörtgen, paralelkenar, eþkenar dörtgen) karþýlýklý
köþelerin koordinatlarý toplamý birbirine eþittir.
C : (12, 11)
ABCD paralelkenar olduðundan, [AC] nin ve [BD]
nin orta noktasý E(x0 , y0) dýr.
D(x4, y4)
9.
C(x3, y3)
B(b, 8)
E(x0, y0)
C(2, 2)
A(2, a)
A(x1, y1)
B(x2, y2)
Paralelkenarda |AE| = |EC| ve |BE| = |ED| eþitlikleri
vardýr.
Þekildeki |AC| = 2|BC| olduðuna göre, a + b
toplamý kaçtýr?
Orta nokta formülünden
C : –6
x1 + x 3 = x 2 + x 4 ve
10.
y1 + y3 = y2 + y 4 bulunur.
Þekilde;
C(7, 4)
|AD| = |DE|
|CE| = 2|BE|
A(1, 2)
D(1, 0)
olduðuna göre,
E
B noktasýnýn koordinatlarýný bulunuz.
12. Köþelerinin koordinatlarý A(2, 3), B(5, 5), C(x, y) ve
D(3, 1) olan ABCD paralelkenarýnýn C köþesinin koordinatlarýný bulunuz.
C : (6, 3)
13.
B
y
C : (1, –5)
D(0, 4)
A(6, 0)
C(3, 0)
x
B(x, y)
11.
D(3, 9)
Yukarýdaki þekilde ABCD dikdörtgeninin B köþesinin koordinatlarýný bulunuz.
E
A(1, 2)
C(a, b)
C : (–3, –4)
B(7, 6)
Þekilde 3|AC| = |CB| ve E noktasý [DC] nin orta noktasýdýr.
Buna göre,
bulunuz.
E
noktasýnýn
14. Analitik düzlemde verilen ABCD dikdörtgeninin aðýr-
koordinatlarýný
lýk merkezinin koordinatlarý E(1, 3) olduðuna göre,
A, B, C, D noktalarýnýn koordinatlarý toplamýný
bulunuz.
C : (2, 6)
C : 16
32
TEST : 04
Vektör - Bir Noktayý Bölen Nokta
1.
4.
Uç noktalarý A(3 – 2m, 4) ve B(m + 2, 8) olan AB
doðru parçasýnýn orta noktasý y ekseni üzerinde
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
A(2, 3)
B(6, 9)
Þekildeki [AB] doðru parçasýnýn üzerinde bir P noktasý alýnýyor. 3|AP| = |BP| olduðuna göre, P noktasýnýn koordinatlarýný bulunuz.
E) 4
A) (1, 3)
B) (3, –3)
D) (4, 3)
5.
2.
B) 8
C) 9
D) 10
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
E) 12
A) 6
E) (3, 0)
A(–2, 4), B(1, 10) noktalarýný birleþtiren doðru
parçasýný |AC| = 2|BC| oranýnda içten bölen C
noktasýnýn koordinatlar toplamý kaçtýr?
A) 4
Uç noktalarý A(2 – a, 3b +2), B(a + 5, 7 – 3b) olan
[AB] nýn orta noktasýnýn koordinatlarý toplamý
kaçtýr?
C) (–3, 2)
6.
A(5, –4) ve B(1, 4) noktalarý ile verilen AB doðru
parçasý üzerinde bir C noktasý veriliyor.
| AC |
= 3 olduðuna göre, C noktasýnýn koordi| BC |
natlarý nedir?
3.
A) (1, 2)
y
d
B) (2, 1)
D) (–2, 2)
C) (2, 2)
E) (–2, –2)
C
B
x
3
4
A
7.
Þekildeki koordinat sisteminde |AC| =10 br olduðuna göre, C noktasýnýn koordinatlarý aþaðýdakilerden hangisidir?
A) (–5, 2)
B) (–4, 4)
D) (–6, 4)
C) (–5, 3)
A(–2, 5) ve B(6, –3) AB doðru parçasýnýn uç noktalarýdýr. C ∈ [AB] olup |AB| = 4 |CB| ise C noktasýnýn
koordinatlarý aþaðýdakilerden hangisidir?
A) (–2, 3)
E) (–6, 3)
B) (4, –1)
D) (4, 0)
33
E) (3, 4)
C) (–1, 4)
8.
11. ABCD paralelkenarýnýn köþe noktalarýnýn koordinat-
A(9, 2) ve B(4, 3) noktalarý veriliyor.
C ∉ [AB] olup
larý A(5, 3), B(6, 4), C(–2, 4) ve D(x, y) olduðuna
göre, x + y kaçtýr?
AC
3 oranýnda bölen C(x, y)
=
BC 2
A) 0
A) (–6, 5)
B) (–6, 3)
D) (–4, 1)
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
C) (–2, 5)
E) (–2, 6)
12. A(–1, 3), B(2, 3), C(2,6) ve D(x, y) noktalarý bir karenin köþeleri olduðuna göre, x + y kaçtýr?
9.
A) 5
ABC üçgeninde [AD]
kenarortay
A(2, 7)
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
|AG| = 2|GD|
|BD| = |DC|
B(2, 3)
D
C(4, 5)
olduðuna göre, G noktasýnýn koordinatlarý toplamý kaçtýr?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
G
13.
D(x, y)
C(4, 3)
E
A(1, 2)
B(2, 4)
ABCD paralelkenarýnda 2.|DE| = |EC| olduðuna göre, E noktasýnýn koordinatlarý nedir?
A) (1, 2)
10.
B) (2, 3)
D) (–2, 1)
A(4, 4)
C) (2, 7)
E) (–1, 4)
E
B(2, 3)
D(x, y)
C(4, 0)
Þekilde |DC| = 2|BD| ve E noktasý [AD] nin orta noktasýdýr.
14. A(8, 3) ve B(2, 9) noktalarý veriliyor. C ∉ [AB] ve A,
B, C noktalarý doðrusaldýr. 2|AB| = 3|AC| olduðuna
göre, C noktasýnýn koordinatlarý toplamý aþaðýdakilerden hangisidir?
Buna göre, E noktasýnýn koordinatlarý nedir?
A) (2, 4)
B) (1, 3)
D) (1, 5)
C) (5, 2)
E) (2, 3)
A) 6
B) 8
C) 9
D) 11
E) 15
34
1.D
2.B
3.D
4.E
5.E
6.C
7.B
8.A
9.B
10.E
11.A
12.A
13.C
14.D
ALIÞTIRMA : 10
Konum Vektörü - Uzunluðu - Eþitliði
4.
ur
Analitik düzlemde baþlangýç noktasý O(0,0) olan
vektörlere konum (yer) vektörü denir.
Analitik düzlemde verilen vektörlerin konum
(yer) vektörlerini çiziniz.
y
y
B(x2, y2)
Áa
Áb
P(a, b)
Ác
A(x1, y1)
x
O
x
Ád
Düzlemde A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarý verilsin.
uuur
uuur
AB vektörü; AB vektörüne eþit ve baþlangýç nokuuur
tasý orjinde olan OP konum vektörü haline getir-
Áe
ilebilir.
uuur ur ur uuur
AB = B − A = OP dir.
uuur
uuur
AB = (x 2 − x1, y 2 − y1) = OP
Bir Vektörün Uzunluðu :
uuur
A(–1, 3) ve B(2, 1) noktalarý veriliyor. AB konum
vektörünü bulunuz.
1.
ÁP(a, b)
y
a = x2 – x1,
b = y2 – y1
uuur
OP = (a, b) vektörü bulunur.
b
O
a
H
x
ur
P = (a,b)
C : (3, –2)
OPH dik üçgeninde
|OP|2 = |OH|2 + |PH|2
|P|2 = a2 + b2
ur
P = a2 + b2 bulunur.
2.
uuur
A(4, –2) ve B(3, 6) noktalarý veriliyor. BA konum
vektörünü bulunuz.
C : (1, –8)
5.
ur
A = (6, −8) vektörünün uzunluðunu bulunuz.
C : 10
3.
A(4 –uuu
a,r 3 + b) ve B(–2 – a, b – 1) noktalarý veriliyor. AB konum vektörünü bulunuz.
6.
ur
A = (−5,10) vektörünün uzunluðu kaçtýr?
C : 5ñ5
C : (–6, –4)
35
7.
Ýki Vektörün Eþitliði :
ur
ur
A = (a,b) ve B = (x,y) vektörleri verilsin.
uuur
A(4, 1) ve B(1, –3) noktalarý veriliyor. AB konum
vektörünün uzunluðu kaçtýr?
C:5
ur ur
A =B

 ⇔ a = x ve b = y ddir.
(a,b) = (x, y) 
ur
ur
10. A = (4, x) , B = (y, −3)
vektörleri birbirine eþit
olduðuna göre, x + y toplamý kaçtýr?
8.
C:1
A(3, –1) ve B(k, 11) noktalarý veriliyor.
uuur
AB = 13 birim ise k kaçtýr?
C : 8 ve –2
9.
ur
y
ur
11. A = (x − 3, −6) , B = (2,y + 1) vektörleri birbirine eþit
olduðuna göre, x . y çarpýmý kaçtýr?
C : –35
Áa
Ác
Áf
x
12.
Áb
ur
ur
A = (x + y, x − 1) , B = (4,0)
vektörleri birbirine eþit olduðuna göre, x . y nin
deðeri kaçtýr?
Áe
C:3
Ád
Aþaðýdaki tabloyu yukarýdaki analitik düzlemdeki verilere göre doldurunuz.
Vektör
Áa
Áb
Ác
Ád
Áe
Áf
13. A(x
uuur – 3, 1) ve B(–2, y – 2) noktalarý veriliyor.
AB = (3,5) olduðuna göre, x + y toplamý kaçtýr?
Uzunluðu (br)
C:6
36
TEST : 05
Konum Vektörü - Vektörün Uzunluðu
1.
A(3, –5) ve B(–4, 2)
5.
uuur
ise, AB nün konum (yer) vektörü aþaðýdakilerden hangisidir?
A) (–7, 7)
B) (–6, –3)
D) (1, –3)
olduðuna göre, x . y kaçtýr?
A) 12
C) (–7, 3)
B) 18
C) 20
D) 32
E) 35
E) (7, –3)
6.
2.
ur
ur
ur ur
A = (x + y − 4,6) , B = (8, x − 2y + 9) ve A = B
ur
ur
ur ur
A = (3 x −2 ,8) , B = (27,2 2y +1) ve A = B
ur
ur
A = (x − y, −1) , B = (3, x + 2y) noktalarý verilsin.
uuur
uuur
AB konum vektörü AB = (4, 3) ise, (x, y) ikilisini
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
bulunuz.
A) (1, 2)
B) (0, 2)
E) (1, 0)
D) (0, 1)
C) (2, 0)
3.
7.
A(3, 2) ve B(–6, –1)
uuur
ise, BA nün konum vektörü aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) (3, 3)
B) (9, 3)
D) (–9, –3)
A) –7
D) 3
E) 6
uuur
A(–3, 5) ve AB = (8, −6)
olmasýný saðlayan B noktasýnýn koordinatlarý
nedir?
A) (1, 5)
göre, a + b kaçtýr?
B) 10
C) –3
E) (–3, 6)
ur
ur
ur ur
A = (a + 2,7) , B = (8,b + 3) ve A = B olduðuna
A) 8
B) –5
C) (–3, 9)
8.
4.
A(5, 3), B(–2, 4), C(1, –2) ve D(x, y) noktalarý veriliyor.
uuur uuur
AC = BD
C) 11
D) 13
B) (3, –4)
D) (–4, 4)
E) 15
37
E) (5, –1)
C) (5, –3)
9.
13.
uuur
A = (8, 5), B = (a, b) ve AB = (−3,6)
olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr?
A) 5
B) 9
C) 11
D) 13
A) 4
E) 16
D)
11
2
C) ñ22
D) 5
E) 2ñ7
uuur
A(–3, x), B(5, 4) ve AB = 10
kaçtýr?
E) 7
A) –2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
vektörünün uzunluðu kaçtýr?
9
A) 4
B)
C) 5
2
B) 2ñ5
14.
ur
A = (3,4)
10.
A(4, –3) ve B(6, –7)
uuur
ise, BA vektörünün uzunluðu kaçtýr?
11.
olduðuna göre, x in pozitif deðeri kaçtýr?
vektörünün normu kaçtýr?
A) 13
12.
B) 15
C) 16
A) 10
D) 18
B) 4
C) 5
D) 6
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
E) 20
A(–2, 7) ve B(1, 3)
uuur
ise, AB vektörünün uzunluðu kaçtýr?
A) 3
uuur
A(4, 5), B(–4, x) ve AB = 17
15.
ur
O = (9,12)
uuur
16. A(x, –2), B(–2, x) dir. AB vektörünün boyu 5ñ2
olduðuna göre, x in pozitif deðeri kaçtýr?
E) 7
A) 8
B) 6
C) 5
D) 3
E) 1
38
1.A
2.D
3.B
4.B
5.E
6.C
7.A
8.E
9.E
10.C
11.B
12.C
13.B
14.D
15.E
16.D
ALIÞTIRMA : 11
Vektörlerde Ýþlemler
y
4.
Ýki Vektörün Toplamý ve Farký :
ur
ur
Analitik düzlemde A = (a,b) , B = (x,y) vektörleri
verilsin.
ur ur
A + B = (a + x, b + y)
ur ur
A − B = (a − x, b − y) dir.
A
x
ur
ur
A = (3,1) ve B = (2,5)
1.
Nehrin akýþ doðrultusu, yönüve hýzý Áa = (2, –3) vektörü ile temsil edilen nehrin kýyýsýnda duran Kayýk
A(6, 6) noktasýndadýr.
ur ur
vektörleri verilsin. Buna göre, A + B vektörünü
bulunuz.
C : (5, 6)
Kayýðýn hareketinin doðrultusu, yönü ve hýzý
Áb = (–3, –3) olduðuna göre, kayýk karþý kýyýya
vardýðýnda hangi noktadadýr?
Aþaðýdaki boþluklarý uygun þekilde doldurunuz.
a)
Bir vektörün yer vektörünün baþlangýç noktasý
……………. noktasýdýr.
b)
Vektörlerde toplama iþleminin …………….,
……………., ……………. özellikleri vardýr.
c)
Vektörlerde toplama iþleminin birim elemaný
……………. vektörüdür.
r
ÁU + ÁV = 0 verilsin. ÁU, ÁV nün toplamaya göre
……………. vektörüdür.
d)
C : (5, 0)
Bir Vektörün Bir Reel Sayý Ýle Çarpýmý :
ur
A = (a,b) ve k ∈ R olmak üzere;
ur
kA = k(a,b) = (ka,kb)
2.
þeklinde tanýmlanýyor.
*
*
*
y
3.
*
ur
ur
k ≠ 0 ise A vektörü ile k . A vektörünün
doðrultularý aynýdýr.
ur
k = 0 ise orijin noktasýdýr. ( k . A = (0,0) )
ur
ur
k > 0 ise A vektörü ile k . A vektörü ayný
yönlüdür.
ur
ur
k < 0 ise A vektörü ile k . A vektörü zýt
(ters) yönlüdür.
A
x
5.
ur
ur
A = (3, −2) vektörü veriliyor. 3A vektörü nedir?
C : (9, –6)
A(4, 4) noktasýndaki bir motorlunun doðrultusu, hýzý
ve yönü ÁV = (2, –2) dir.
Akýntýnýn doðrultusu, yönü ve hýzý ÁU = (–3, 3) olduðuna göre, motorun son durumda bulunduðu
nokta nedir?
6.
C : (3, 5)
ur
ur
A = (−3,5) vektörü veriliyor. −4A vektörü nedir?
C : (12, –20)
39
7.
A(3, –1) ve B(6, 4) noktalarý veriliyor.
törü nedir?
11. A(3, 2), B(–1, 3), C(2,
uuur 3)uuuve
r D(–2, –1) noktalarý veri-
uuur
3AB vek-
liyor. Buna göre, AB + DC vektörü nedir?
C : (0, 5)
C : (9, 15)
8.
12. A(0, 2), B(2, –4), C(1,
D(–2, 4) noktalarý veriuuur 3),uuur
liyor. Buna göre, AB − 2.CD iþleminin sonucunu
bulunuz.
ur
ur
A = (2,3) ve B = ( −1,4) vektörleri verildiðine göre
ur
ur
2A − 3B vektörünü bulunuz.
C : (8, –8)
C : (7, –6)
ur
ur
13. A = (−3,5) ve B = ( −6, −2)
vektörleri veriliyor.
ur
eþitliðini doðrulayan C vektörü
ur ur
ur
3A − C = 2B
9.
nedir?
ur
U(3, 1) ve V(–2, 5) noktalarý, K = (1,4) vektörü veriuuur ur
liyor. UV + K vektörünü bulunuz.
C : (3, 19)
C : (–4, 8)
ur
ur
ur
14. A = (1, −2) , B = (3,2) , C = ( −5, −14) vektörleri veur
ur ur
rilsin. xA + y B = C ise, x ve y reel sayýlarýný bu-
ur
10. A(2, 3) ve B(–4, 1) noktalarý ile C = ( −4,3) vektörü
uuur
ur
veriliyor. BA + 2C vektörünü bulunuz.
lunuz.
C:x=4
C : (–2, 8)
y = –3
40
TEST : 06
Vektörlerde Ýþlemler
1.
r
r
a = (3,5) , b = ( −2,7)
r r
olduðuna göre, a + b toplamý nedir?
A) (5, 2)
B) (5, –2)
D) (1, 12)
2.
ur
A = (2,4)
4.
vektörünün 3 katý aþaðýdakilerden hangisidir?
ur
ur
ur
A) A = (3,2)
B) A = (12,6)
C) A = (6,12)
ur
ur
D) A = (1,1)
E) A = (2,3)
C) (1, –2)
E) (–5, 2)
y
5.
A(–2, –3) ve B(–4, 2) noktalarý veriliyor.
vektörü nedir?
A) (8, –20)
A
x
B) (4, –20)
D) (4, –4)
uuur
−4AB
C) (8, –24)
E) (4, –8)
A(2, 0) nokasýndaki aracýn doðrultusu, yönü ve hýzý
ÁV = (6, 0) dýr.
A) (7, 2)
B) (7, 0)
D) (9, 0)
Rüzgarýn doðrultusu, yönü ve hýzý Áu = (1, 0) olduðuna göre, aracýn durduðu yerdeki noktasýnýn
koordinatlarý nedir?
C) (8, 0)
E) (10, 0)
6.
3.
y
ur
A = (3,a + 2)
ur
vektörünün 2 katý B = (b + 1,b − 1) olduðuna göre,
a . b kaçtýr?
A) 42
B) 35
C) 0
D) –35
E) –42
A
x
A(2, 7) noktasýndaki kayýðýn hýzý ÁV = (3, –4) ve akýntýnýn doðrultusu, yönü ve hýzý Áu = (3, 2) dir.
7.
Kayýk karþý kýyýya geçtiðinde bulunduðu noktanýn koordinatlarý kaçtýr?
A) (5, 8)
B) (4, 8)
D) (5, 6)
ur
ur
ur
ur
A = (3,4) ve B = (1,2) vektörleri için A − 2B vektörü nedir?
A) (0, 1)
C) (8, 5)
B) (1, 0)
D) (2, 0)
E) (8, 6)
41
E) (1, 2)
C) (0, 2)
8.
ur
ur
A = (6, −1) ve B = ( −4,5)
ise
ur
ur
A + 2B
12. A(2,
4),r B(3, –1), C(–3, 4) noktalarý veriliyor.
uuur uuu
toplamý
AB + BC toplam vektörünün bileþenleri nedir?
nedir?
A) (3, 1)
B) (–2, 7)
D) (1, 7)
A) (4, 5)
C) (–1, 9)
D) (0, –5)
E) (–2, 9)
ur
C) (–5, 4)
E) (–5, 0)
ur
ur
13. A = (3,4) , B = ( −4, −2) , C = (3, −6)
ur
ur
A = (−2,4) ve B = (1,2)
9.
B) (2, –5)
ur
ur
vektörleri veriliyor. Buna göre, 2A + 3B toplamý
nedir?
A) (–1, 14)
B) (–1, 10)
ur
ur
ur
C = x. A + y.B
olduðuna göre, x + y kaçtýr?
C) (0, 12)
A) –6
B) –4
C) 0
D) 3
E) 5
E) (12, 14)
D) (0, 14)
ur
ur
ur
14. A = (−4,2) , B = (2,3) , C = (0,2) vektörleri verili10.
ur
ur
A = (2,0) ve B = (3, −2)
ur
ur
vektörleri için, 2A + 3B toplamý nedir?
A) (10, –4)
B) (9, –6)
D) (13, –6)
ur
ur
ur
yor. A = k.B + m .C olduðuna göre, k . m çarpýmý
kaçtýr?
C) (13, 2)
A) –8
B) –6
r
r r
a − b = (4, −3)
ur
olduðuna göre, A vektörü nedir?
olduðuna göre, k + n kaçtýr?
B) 2
E) –1
ur
ur
A − 3B = (6,9)
ur
ur
2A + 3B = (3, −12)
11. a = (k, −4) , b = (3,n + 4) vektörleri veriliyor.
A) –2
D) –2
E) (–6, 13)
15.
r
C) –4
C) 7
A) (2, 3)
D) 12
E) 15
B) (2, –1)
D) (3, –2)
C) (–3, 1)
E) (3, –1)
42
1.D
2.D
3.C
4.C
5.A
6.C
7.B
8.E
9.A
10.D
11.B
12.E
13.A
14.A
15.E
ALIÞTIRMA : 12
Birim Çember ve Yönlü Açýlar
Düzlemde sabit bir noktadan eþit uzaklýkta bulunan
noktalarýn geometrik yerine çember denir.
Düzlemde sabit bir noktadan 1 br uzaklýktaki noktalarýn geometrik yerine birim çember denir.
y
y
1
r
r
M(a, b)
1
1
O
x
x
1
Çemberin merkezi M(a, b) ve yarýçapý r dir.
A
Aþaðýda merkezleri ve yarýçaplarý verilen çemberleri analitik düzlemde çiziniz.
O
M1(3, 4) ve r1 = 2 br
M2(–4, 2) ve r2 = 1 br
B
M3(–2, –2) ve r3 = 3 br
1.
O(0, 0) ve r = 1 br
M4(4, 1) ve r4 = 2 br
M5(0, 2) ve r5 = 3 br
M6(–1, 0) ve r6 = 4 br
Düzlemde uç noktalarý ortak olan iki ýþýnýn birleþimine açý denir.
Açýyý oluþturan ýþýnlardan herbirine açýnýn kenarlarý
denir.
Iþýnlarýn ortak noktasýna da açýnýn köþesi denir.
y
Þekildeki açý AéOB, BéOA veya ëO þeklinde gösterilir.
6
Bir açýnýn kendisi ile iç bölgesinin birleþim kümesine
açýsal bölge denir.
5
4
AOB açýsýnýn açýsal bölgeleri (AéOB) þeklinde gösterilir. Ölçüleri eþit olan açýlara eþit açýlar denir.
3
2
1
1
2
3
4
5
6
x
2.
Yandaki þekilde verilenlere
göre, A BC Ç d kümesi
nedir?
A
é
K
B
L
C
d
C : {K, L}
43
3.
Baþlangýç kenarýndan itibaren saat istikametinin
tersi yönündeki açýlara pozitif yönlü açýlar ve saat
istikameti yönündeki açýlara ise negatif yönlü açýlar
denir.
göre, (A BC) Ç d kümesi
nedir?
A
é
K
B
A
L
K
C
C : [KL]
O
L
B
M
BOA Pozitif yönlüdür.
KLM Negatif yönlüdür.
ë
4.
Yandaki þekilde verilenlere göre,
K
A
C
(MKL)
nedir?
é
M
L
Ç
7.
[AB] kümesi
ë
Aþaðýdaki yönlü açýlarýn sembolleri hangisinde
doðrudur?
l.
ll.
A
C
E
B
C : [BC]
O
5.
Yandaki þekilde
rilenlere göre,
A
K
ve-
B
l
A BC Ç K LM kümesi
nedir?
P
é
R
é
D
Yön
ll
Yön
A) AëDB
+
CëDE
+
B) AëOB
+
CëDE
–
C) AëOB
–
EëDC
+
D) BëOA
–
EëDC
–
E) BëOA
+
EëDC
–
C:C
C
B
L
C : {P, R}
M
8.
y
y
1
1
a
1
O
1
x
O
1
1
6.
(ABC)
nedir?
é
L
M
Þekil - ll
é
A) (50°, 60°)
B
B) (70°, 110°)
D) (75°, –130°)
C
x
Yukarýdaki þekillerde verilen açýlarýn deðerleri
aþaðýdaki (a, b) sýralý ikilisinden hangisi olabilir?
KLM) kümesi
Ç (
1
1
Þekil - l
A
K
b
C) (80°, –50°)
E) (95°, 240°)
C:D
C : (AéLM)
44
ALIÞTIRMA : 13
Açý Ölçü Çeþitleri
O
A
r=1
1°
C
B
1.
r=4
O
60°
A
C
B
Birim çemberin çevre uzunluðunu 360 eþ parçaya
ayýrarak her bir parçayý
gören
merkez
açýsýnýn
ölçüsüne 1 derece denir ve
1° þeklinde gösterilir.
Bir açýnýn, derece cinsinden ölçüsü D, radyan
cinsinden ölçüsü R olmak üzere,
D
R
=
180° π
orantýsý yazýlýr.
Yarýçapý r = 4 cm olan bir
çemberin 60° lik açýsýna
karþýlýk gelen AùCB yay
uzunluðunun ölçüsü kaç
radyandýr?
3.
120° nin radyan cinsinden deðeri nedir?
C : 2π
3
C : 4π
3
A
O
r=1
a
Köþesi birim çemberin merkezinde olan açýnýn, çember
üzerinde 1 br uzunluðunda
1 br
ayýrdýðý yaya 1 radyan denir.
4.
3 π radyanlýk açýnýn derece cisninden deðeri
2
C : 270°
B
1 br lik AïB yayýnýn uzunluðuna açýnýn radyan cinsinden ölçüsü denir.
5.
Aþaðýdaki boþluklarý derece - radyan olarak doldurunuz.
2p
3
90°
p
4
150°
2.
r=3
O
A
C
B
Yarýçapý r = 3 cm olan yandaki þekildeki çemberde
AOB açýsýnýn radyan cin-
0°
p
sinden ölçüsü π
3
11p
6
225°
300°
olduðuna göre, AùCB nýn uzunluðunu bulunuz.
3p
4
C:π
45
6.
C
x
D
O
9.
Yandaki þekilde verilenlere göre, x açýsý
kaç derecedir?
B
5p
9
p
6
48465'' lik açý kaç derece, kaç dakika, kaç
saniyedir?
C : 13° 27' 45"
A
C : 50
10.
m(ëA) = 34° 42' 37''
m(ëB) = 62° 39' 46''
olduðuna göre, m(A) + m(B) toplamý nedir?
ë
7.
ë
–200°
C : 97° 22' 23"
açýsýnýn radyan cinsinden deðeri nedir?
C : 8π
9
11.
1 derece 60 dakikaya,
olduðuna göre, 3.m(A) açýsý nedir?
1 dakika 60 saniyeye eþittir.
Yani;
m(ëA) = 17° 38' 43''
ë
C : 52° 56' 9"
1° = 60’ ve 1’ = 60’’
veya 1° = 60' = 3600'' dir.
12.
m(ëA) = 76° 42'
m(ëB) = 19° 56' 25''
8.
7° 12' 22'' lik açý kaç saniyedir?
olduðuna göre, m(A) – m(B) farký nedir?
ë
C : 25942"
ë
C : 56° 45' 35"
46
TEST : 07
Açý ve Ölçü Çeþitleri
1.
Þekilde verilenlere
göre, aþaðýdakilerden hangisi veya
hangileri doðrudur?
A
O
F
4.
2 π radyan kaç derecedir?
3
A) 60
B) 90
C) 100
D) 120
E) 150
B
E
C
D
l.
AéOC, pozitif yönlüdür.
ll.
AùFE, pozitif yönlüdür.
lll. CùDE, negatif yönlüdür.
A) l, ll
B) ll, lll
2.
E) Yalnýz lll
Aþaðýdaki yönlü açýlara göre hangisi doðru olabilir?
ll.
l.
A
O
O
D
B
D) Yalnýz ll
C) l, lll
5.
–30° kaç radyandýr?
A)
5π
6
B)
7π
6
C)
3π
2
D)
11π
6
E)
11π
8
C
l
ll
A) 120°
240°
B) –120°
240°
C) –180°
140°
D) –200°
200°
E) –300°
200°
6.
3.
180° nin radyan cinsinden deðeri nedir?
A)
π
3
B)
π
2
C) π
D)
2π
3
E)
3π
2
Aþaðýda radyan cinsinden ölçüsü verilen yaylardan hangisinin birim çember üzerindeki bitim
noktasý A(0, –1) dir?
A) 2π
47
B)
3π
2
C) π
D)
π
2
E)
4π
3
7.
11.
Toplamlarý 1320° olan iki açýdan biri 7 π olduðu3
L = 25° 54' 18''
olduðuna göre, K + L toplamý aþaðýdakilerden
hangisidir?
na göre, diðer açý kaç derecedir?
A) 1000
B) 900
C) 800
D) 700
K = 142° 32' 24''
E) 600
A) 167° 26' 42'' B) 168° 30' 42'' C) 168° 38' 42''
D) 168° 26' 40''
8.
r=
4
A
O
Yarýçapý 4 cm olan yandaki
þekildeki çemberde AùCB
8π
nýn uzunluðu
olduðuna
C
3
göre,
α = 51° 47' 34''
12.
β = 26° 32' 13''
olduðuna göre, 2a +
B
A) 130° 7' 21''
AOB açýsýnýn ölçüsü kaç radyandýr?
π
B)
3
5π
C)
12
b
açýsý nedir?
B) 130° 7' 22''
D) 130° 8' 21''
π
D)
2
C) 131° 7' 21''
E) 131° 8' 21''
2π
E)
3
π
A)
6
E) 168° 26' 42''
9.
13.
40° 20' 18''
m(ëA) = 221° 32' 19''
m(ëB) = 182° 45' 37''
açýsýnýn saniye olarak eþiti aþaðýdakilerden
hangisidir?
olduðuna göre,m(A) – m(B) farký nedir?
A) 145218''
A) 48° 46' 42''
B) 145208''
D) 144208''
ë
C) 144318''
E) 144018''
B) 38° 46' 40''
D) 39° 46' 42''
C) 38° 46' 42''
E) 39° 47' 42''
α = 17° 21' 32''
14.
10.
ë
β = 15° 32' 43''
A = 12° 46' 53''
açýsýnýn 5 katý aþaðýdakilerden hangisidir?
olduðuna göre, 3a – 2b açýsý nedir?
A) 60° 54' 25''
A) 22° 00' 00''
B) 63° 54' 25''
D) 63° 45' 45''
C) 63° 45' 25''
E) 63° 45' 25''
B) 22° 59' 10''
D) 22° 00' 10''
C) 21° 00' 10''
E) 20° 59' 10''
48
1.B
2.C
3.C
4.D
5.D
6.B
7.B
8.E
9.A
10.B
11.B
12.A
13.C
14.E
ALIÞTIRMA : 14
Açý ve Özellikleri
4.
Köþeleri ve birer kenarlarý ortak olan, fakat hiç ortak
iç noktalarý olmayan iki açýya komþu açýlar denir.
E
D
F
C
70°
Komþu iki açýnýn, ortak olamayan kenarlarý zýt ýþýnlar ise bu açýlara doðru açý denir.
O
A
A, O, B doðrusal ve
[OC ve [OF açýortaydýr.
m(EëOD) = 70°
B
olduðuna göre, COF açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
Doðru Açý : Ölçüsü 180° olan açýya denir.
Tam Açý
: Ölçüsü 360° olan açýya denir.
Dik Açý
: Ölçüsü 90° olan açýya denir.
Dar Açý
denir.
: Ölçüsü 0 ile 90° arasýnda olan açýya
C : 125
Geniþ Açý : Ölçüsü 90 ile 180° arasýnda olan
açýya denir.
5.
5a
1.
Þekilde verilenlere göre,
açýsý kaç derecedir?
A
a
80°
C
B
20°
10°
3x
2x +
A
O
C : 56
B
C : 38
Þekilde verilenlere göre, x açýsý kaç derecedir?
6.
m(AëOB) = m(BëOC)
A
[OA ⊥ [OC
2.
O
C
4x
A
3x
O
B
2x
olduðuna
göre,
AOB
açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
B
C : 135
Þekilde verilenlere göre, x açýsý kaç derecedir?
C : 20
7.
3.
D
O
D
m(CëOB) = 4m(AëOD)
C
B
m(AëOE) = 3x + 10°
m(DëOB) = 5x – 40°
[OD ⊥ [OC
A
E
A
olduðuna göre, COB
C
C : 72
B
O
F
m(CëOF) = x + 30°
Verilenlere göre, AOC
açýsýnýn ölçüsü kaç
derecedir?
C : 60
49
8.
[OA ⊥ [OB
A
12.
AOB açýsý bir dar açý olduðuna
göre, a açýsýnýn en büyük tamsayý deðeri nedir?
A
m(AëOC) = 7x
C
m(CëOB) = 3x
7x
O
3x
O
3a + 30°
B
B
olduðuna göre, x açýsý kaç derecedir?
C : 19
C:9
13.
9.
AOB açýsý bir dar açý olduðuna
göre, a açýsýnýn alabileceði kaç
farklý tamsayý deðeri vardýr?
A
[OA ⊥ [OB
A
m(CëOB) = 27° 32' 43''
C
olduðuna göre, m(AOC) =
açýsý nedir?
a
ë
27° 32' 43''
O
B
a
O
5a - 30°
C : 62° 27' 17''
C : 17
B
10.
A
[OA ⊥ [OB
E
C
14.
[OE ve [OD
D açýortay olmak üzere, EOD
4a + 18°
açýsýnýn ölçüsü kaç dereB
cedir?
O
AOB açýsý bir geniþ açý
olduðuna
göre,
a
açýsýnýn en küçük tamsayý deðeri kaçtýr?
A
O
B
C : 19
C : 45
11.
A
[OA ⊥ [OB
D
m(AëOC) = 56°
15.
C
z
y
x
O
AOB açýsý bir geniþ açý
olduðuna
göre,
a
açýsýnýn aralýðý nedir?
A
m(BëOD) = 63°
B
olduðuna göre, m(DOC) = y
3a - 12°
ë
O
B
C : 34° < α < 64°
C : 29
50
ALIÞTIRMA : 15
Açý Çeþitleri (Tümler ve Bütünler Açý)
Tümler Açý
denir.
1.
: Ölçüleri toplamý 90° olan iki açýya
Tümler iki açýnýn ölçüleri oraný 4
5
Bütünler Açý : Ölçüleri toplamý 180° olan iki açýya
denir.
5.
olduðuna
α ve β bütünler iki açýdýr.
m(α) = 3x – 17° , m(β) = 2x + 2°
göre, büyük olan açý kaç derecedir?
olduðuna göre, a açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
C : 50
C : 100
C : 15
3.
6.
Tümler iki açýdan birinin ölçüsü, diðerinin
ölçüsünün 3 katýndan 30° fazla olduðuna göre,
küçük açýnýn ölçüsü kaç derecedir?
Tümler iki açýnýn ölçüleri farký 36° olduðuna
göre, büyüðünün ölçüsü kaç derecedir?
Bütünler iki açýdan birinin ölçüsü, diðerinin
ölçüsünün 5 katýndan 27° eksiktir.
Bu açýlardan dar açý olanýn ölçüsü kaç derecedir?
2.
C : 34,5
7.
Bütünler iki açýnýn ölçüleri farký 40° olduðuna
göre, küçük açýnýn ölçüsü kaç derecedir?
C : 63
4.
C : 70
8.
Herhangi bir açýnýn ölçüsünün 3 katý ile, tümlerinin ölçüsünün toplamý 134° olduðuna göre,
bu açý kaç derecedir?
Bütünler iki açýnýn ölçülerinin birbirine oraný
11
25
olduðuna göre, bu açýlardan küçük olanýn
ölçüsü kaç derecedir?
C : 22
C : 55
51
9.
13.
Bir açýnýn tümleyeni ile bütünleyenin ölçüleri
toplamý 218° olduðuna göre, bu açý kaç derecedir?
Yanda verilen þekle göre,
kaç tane komþu açý vardýr?
A
B
C
D
C : 26
O
E
F
C : 20
10. Bir açýnýn tümleyenin ölçüsünün 2 katýnýn 20°
fazlasý olan açý, bütünleyenin ölçüsüne eþitse,
bu açý kaç derecedir?
14. Saat 7 : 00 da akreple yelkovan arasýndaki açý
C : 20
kaç derecedir?
C : 150
11. Bir açýnýn tümleyenin ölçüsü, bütünleyenin
ölçüsüne oraný 4
9
olduðuna göre, bu açýnýn
15. Saat 5 : 12 de akreple yelkovan arasýndaki dar
C : 18
açý kaç derecedir?
C : 84
12. Herhangi bir açýnýn bütünlerinin ölçüsüyle, tümlerinin ölçüsünün kareleri farký 16200° olduðuna
göre, bu açýnýn ölçüsü kaç derecedir?
16. Saat 6 yý kaç geçe akreple yelkovan arasýndaki
C : 45
C : 20
dar açý 70° olur?
52
TEST : 08
Açý Çeþitleri
1.
D
E
F
C
4.
[OC ve [OF açýortaylar,
F
A, O, D ve B, O, F
noktalarý doðrusal
E
D
m(DëOE) = 28°
m(EëOD) = m(CëOD)
a
O
A
A) 94
Verilenlere
göre,
COF açýsýnýn ölçüsü
kaç derecedir?
O
B
B) 98
C) 102
D) 104
E) 106
b
58°
A
C
m(AëOB) = 58°
B
Verilenlere göre, b – a farký kaç derecedir?
A) 58
B) 60
C) 62
D) 64
E) 68
5.
2.
A, O, B doðrusal
C
D
C
y
z
x
A
O
B
olduðuna göre, x açýsý kaç derecedir?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 50
E) 70
A
O
Þekilde; COB ile AOB açýlarýnýn açýortaylarý
arasýndaki açý 50° ve m(AëOB) = 30° olduðuna
göre, COB açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
A) 70
3.
E
A, O, B doðrusal
D
69°
C
B) 60
6.
C) 55
D) 50
E) 45
m(AëOC) = a
D
A
m(DëOC) = 2m(BëOC)
F
B
x y z
= =
3 7 8
m(BëOD) = b
C
m(AëOF) = 2m(EëOF)
m(AëOB) = c
x
A
O
B
m(DëOE) = 69°
m(CëOD) = x
O
olduðuna göre, x aþaðýdakilerden hangisidir?
Verilenlere göre, m(EëOF) + m(BëOC) toplamý kaç
derecedir?
A) 43
B) 39
C) 37
D) 31
B
A) a + b
E) 27
B) a – c
D) a + c – b
53
C) a + b – c
E) a + c
7.
11. Bir a açýsýnýn tümleri x + 50°, a – x açýsýnýn tüm-
Bütünler iki açýdan birinin ölçüsü diðerinin 10 katýndan 7 eksiktir.
leri 4x + a olduðuna göre, a açýsý kaç derecedir?
Bu açýlarýn küçüðü kaç derecedir?
A) 14
8.
B) 17
C) 19
A) 10
D) 21
B) 70
C) 50
D) 40
12. Ölçüleri oraný
B) 31
4
tür.
3
C) 50
D) 40
E) 30
B) 60
13. Bütünlerinin ölçüsü, tümlerinin ölçüsünün 6
y
= 82
3
katýndan 20° fazla olan açýnýn ölçüsü kaç derecedir?
olduðuna göre, x kaç derecedir?
A) 27
E) 50
Buna göre, büyük açýnýn ölçüsü kaç derecedir?
E) 30
x ve y bütünler iki açýnýn ölçüleridir.
x+
D) 40
5
olan iki açýnýn tümleyenleri olan
6
açýlarýn ölçüleri oraný
A) 70
9.
C) 30
E) 23
Bir açýnýn bütünleyeni ve tümleyeni olan açýlarýn
ölçüleri toplamý 190° olduðuna göre, bu açýnýn
A) 80
B) 20
C) 33
A) 76
D) 35
B) 74
C) 72
D) 68
E) 66
E) 37
10. Herhangi bir x açýsýnýn tümlerinin ölçüsünün,
bütünlerinin ölçüsüne oraný
7
olduðuna göre,
17
14. Saat 5 : 36 olduðunda akrep ile yelkovan arasýn-
x açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
A) 71
B) 67
C) 51
daki dar açý kaç derecedir?
D) 33
E) 27
A) 36
B) 40
C) 42
D) 48
E) 52
54
1.D
2.C
3.C
4.D
5.A
6.C
7.B
8.D
9.C
10.E
11.C
12.B
13.A
14.D
ALIÞTIRMA : 16
Paralel Doðrularýn Oluþturduðu Açýlar
1.
b
c
y
z
4.
a
d1
d
x
d1 // d2
A) Paralel iki doðru, üçüncü bir doðru ile
kesildiðinde oluþan iç ters açýlar birbirine .........
tir.
d2
t
B) Paralel iki doðru, üçüncü bir doðru ile
kesildiðinde oluþan .......... açýlar eþittir.
C) Paralel iki doðru, üçüncü bir doðru ile
kesildiðinde oluþan karþý durumlu açýlar ..........
dir.
Þekilde verilenlere göre, aþaðýdaki boþluklarý
doldurunuz.
a ile c .................... d ile y ....................
D) Ýki doðru üçüncü bir doðruya dik ise bu iki doðru
birbirine .......... dir.
a ile x .................... a ile t ....................
c ile x .................... b ile t ....................
y ile t ...................
b ile d ....................
a ile z .................... x ile z ....................
b ile y .................... d ile t ....................
d ile x .................... b ile z ....................
5.
A
E
80°
d1 // d2
d3
m(AëBC) = 60°
D
d1
A
x
60°
B
d2
C
150°
2.
d1
D
C
B
d2
Yukarýdaki þekilde,
d1 // d2 , m(AëBD) = 150° ve m(EëAC) = 80°
olduðuna göre, m(BAC) açýsýnýn ölçüsü kaç
derecedir?
ë
C : 70
Verilenlere göre, x kaç derecedir?
C : 60
6.
B
3.
a
d1
b
m(AëBC) = 37°
60°
D
B 37°
c
C
d1
d1 // d2
d3
A
45° C
d2
Verilenlere göre, a + b + c
recedir?
x
A
d2
Yukarýdaki þekilde,
d1 // d2 , m(BëAD) = 60° ve m(BëCA) = 45°
toplamý kaç de-
olduðuna göre, m(BAC) = x deðeri kaçtýr?
ë
C : 217
C : 75
55
7.
11.
d1 // d2
2x + 40
3x
d1
3x
d1
göre, x kaç derecedir?
Þekilde
verilenlere
d2
7x
d2
d3
d1 // d2
C : 40
C : 18
12.
8.
Þekilde;
A
d1 // d2
d1
14x 25
E
m(AëBC) = 80°
B
7x + 45
C
D
m(BëAC) = 50°
olduðuna göre, ACD açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
d2
d3
[AB] // [CE,
C : 10
C : 130
9.
13.
A
d1
a
d1 // d2
d1
2x + 12
P
d1 // d2
Þekilde
verilenlere
göre,
m(A PB) = a
derecedir?
ë
d2
B
C : 90
5x + 28
d2
d3
C : 20
14.
Yandaki þekilde,
E
A, O, B noktalarý
doðrusaldýr.
D
F
10.
4x 13
d1 // d2
d1
50°
A
O
C
m(DëOE) = 50°
B
[OC ve [OF ýþýnlarý sýrasýyla DOB ve AOE
açýlarýnýn açýortaylarý olduðuna göre, m(COF)
ë
d2
d3
6x + 33
C : 115
C : 16
56
ALIÞTIRMA : 17
Kenarlarý Paralel ve Dik Açýlar
1.
a)
2.
Kenarlarý ayný veya zýt yönde paralel olan açýlar
eþittir.
d3 // d4
B
d4
C
[AB // [DE  ⇒ α = β
F
b
m(ëA) = 3α + 24
m(ëB) = 5α + 12

[AC //[DF 
D
a
d1 // d2
d1
d3
A
E
A
d2
B
Verilenlere göre, m(A) açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
ë
b)
D
C
b
[AB // [CD  ⇒ α = β
C : 42

[AD //[CB 
A
a
B
3.
2.
3x
d2
D
E
d3
b
Þekilde verilenlere göre, y kaçtýr?
A
d3 // d4
d1
y
7x
Kenarlardan biri ayný yönde, diðeri zýt yönde
paralel olan açýlar bütünlerdir.
C
d1 // d2
d4
a
B
[AC // [DB  ⇒ α + β = 180°

[AB //[DE 
C : 54
4.
[BA // [DC
B
A
E
30°
[BC // [DE
a
C
m(AëBC) = 30°
D
Verilenlere göre, m(CDE) =
ë
a
kaç derecedir?
C : 150
5.
1.
d1
[AB // [DE
A
D
[BC // [EF
x + 40
m(AëBC) = x + 95
E
F
d1 // d2
d3 // d4
d3
A
B
d2
3x20
d4
m(DëEF) = 2x + 62
B
C
Þekilde verilenlere göre, B açýsýnýn ölçüsü kaç
derecedir?
Yukarýda verilenlere göre, x kaç derecedir?
C : 100
C : 33
57
1.
A
d1
x
a
Kenarlarý Dik Açýlar :
d1 // d2
1.
Açýlardan birinin köþesi diðerinin dýþ bölgesinde
ise eþtir.
B
y
A
d2
C
a
α=x+y
2.
a
α=β
x
b
d1 // d2
d1
B
y
b
z
c
d2
2.
Açýlardan birinin köþesi diðerinin içinde ise
bütünlerdir.
a+b+c=x+y+z
3.
d1
d1 // d2
x
y
b
a
A
B
α + β = 180°
z
d2
4.
d1
x + y + z =360°
d1 // d2
a1
a2
an
8.
m(ëA) = 3α – 20°
A
m(ëD) = 2β + 30°
B
d2
C
D
α1 + α2 + ... + αn =(n – 1).180°
6.
d1
20°
30°
40°
x
α + β = 25°
E
Verilenlere göre, A açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
d1 // d2
C : 40
50°
d2
Þekilde verilenlere göre, x kaç derecedir?
[AB ⊥ [DB
9.
C : 80
B
7.
d1 // d2
d1
130°
x
110°
150°
A
[AC ⊥ [DC
D
70°
m(BëAC) = 70°
x
C
x kaç derecedir?
d2
C : 70
C : 150
58
TEST : 09
Kenarlarý Paralel Açýlar
A
d1
a
B) 60
2.
C) 70
10°
d1
c
a
E) 85
B) 35
3.
C) 30
D) 25
B) 70
C) 80
E) 20
Verilenlere göre, c
kaç derecedir?
D) 90
E) 100
d1 // d2
A
D
Þekilde
verilenlere
göre, a kaç derecedir?
d1
45°
A) 60
d2
5.
d2
A) 40
b
d1 // d2
a
130°
D) 80
d1 // d2
a + b + c = 140°
olduðuna göre, m(ëA) =
açýsý kaç derecedir ?
B
A) 50
d1
a
m(ëB) = 110°
110°
d2
4.
d1 // d2
d1
m(BëAD) = 120°
120°
x
C
d2
E
Verilenlere göre, x açýsý kaç derecedir?
A) 30
6.
d1 // d2
m(AëBC) = 100°
B
100°
1.
B) 35
C) 40
A
d1
D) 45
E) 50
d1 // d2
m(AëDB) = 50°
x
a
25°
d2
Buna göre,
a
C) 60
D) 65
m(AëCB) = x
Þekilde, [AD] ve [BD] açýortay olduðuna göre, x
kaç derecedir?
B) 55
D
d2
B
Birbirine paralel iki düzlem aynada ýþýðýn gelip yansýma yolu yukarýdaki þekilde verilmiþtir.
A) 50
C
E) 70
A) 75
59
B) 80
C) 90
D) 95
E) 100
7.
10.
d1 // d2
d1
20°
32°
54°
E
[AE // [BF // [CG
A
[DB] açýortaydýr.
67°
x
d2
B
F
C
G
m(ëA) = 55°
m(ëC) = 135°
D
Verilenlere göre, x açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
olduðuna göre, m(DBF) = x kaç derecedir?
ë
8.
B) 47
A
E
B
a
F
C) 32
d1
E) 25
d1 // d2
11.
30°
H
D
d2
m(FëGH) = 50°,
m(GëHD) =30° dir.
olduðuna göre, b – a farký kaç derecedir?
9.
B) 20
E
D
C) 25
123°
132°
D) 30
C
E
E) 150
m(BëAD) = 120°
m(BëCE) = 95°
95°
m(AëBC) = x
B
A) 25
B) 35
12.
C) 40
D) 45
E) 50
m(AëBC) = 132°
10° 80°
C
m(BëCD) = 162°
60°
20°
F
A
D) 113
D
E
m(CëDF) = x
C) 119
Yandaki
þekilde
verilenlere göre, A
derecedir?
B
D
B) 121
D) 145
[AD // [CE
A
x
E) 35
m(EëAB) = 123°
B
162°
C
x
A) 123
C) 140
[AE // [DF
A
F
B) 135
120°
m(EëFG) = b,
G
50°
A) 15
A) 130
m(AëEF) = a,
b
C
D) 27
A) 61
E) 107
A) 80
B) 75
C) 70
D) 65
E) 60
9.A
10.A
11.B
12.A
60
1.C
2.A
3.E
4.B
5.C
6.E
7.E
8.B
TEST : 10
Kenarlarý Paralel ve Dik Açýlar
1.
4.
[CE // [BD
A
E
A
[AB // [DE
B
M
m(AëBD) = 70°
[AC] ⊥ [KM
C
m(AëCE) = 130°
B
m(BëAC) = x
D
m(MëKN) = 60°
N
A) 40
B) 50
C) 60
D
D) 65
E)70
F
[EF // [AB // [DC
G
[AD] açýortaydýr.
E
D
C
ë
B) 110
5.
C) 120
m(FëEG) = x
A) 47
B) 43
C) 37
D) 31
E) 27
B
C
m(AëBC) = 3x – 9°
m(EëDF) = 2x + 21°
Verilenlere göre, ADC açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
A) 81
B) 89
C) 91
6.
3.
A
E
B
d1
C
H
d2
B) 70
C) 80
B
m(BëCD) = x
D) 90
E) 99
G
F
D
E
[FK ⊥ [AG
[FH ⊥ [AB]
[BD] açýortaydýr.
C
m(BëDE) = 152°
olduðuna göre, HFK açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
A) 60
K
m(BëAD) = 40°
m(CëBE) = 30°
D
D) 95
[AG // [BC // [DE
A
d1 // d2
[DC] açýortaydýr.
[BA ⊥ [AD]
F
[BC ⊥ [DC]
A
E) 140
[BC // [DF
D
B
D) 130
[BA // [DE
E
A
m(AëDC) = 145°
m(AëEG) = 43°
m(CëDE) = 130°
E
olduðuna göre, m(BAC) = x kaç derecedir?
A) 100
2.
[DC] ⊥ [KN
K
C
E) 100
A) 124
61
B) 102
C) 86
D) 62
E) 56
G
d1
B
A
x
d2
O
G ve F noktalarýnýn
doðrularýndan ýþýklar, sývý kabýnýn içinde kýrýldýktan sonra C noktasýnda
kesiþmektedirler.
F
13
°
A
10.
d1 // d2
120°
3x
+
145°
2x + 7°
7.
80°
B
D
[BG // [DF
C
Þekilde verilenlere göre, x açýsýnýn ölçüsü kaç
derecedir?
m(AëBG) = 2x + 7
A) 65
m(AëCE) = 80°
B) 70
C) 75
D) 80
m(EëDF) = 3x + 13
E) 85
A) 10
8.
d1 // d2
A
B
d1
C
11.
D
m(BëCO) = 38°
m(OëBC) = x
d2
A) 78
B) 82
C
C) 88
D) 92
A
70
a
B
C
[AE // [DF
F
[CD, BDF
açýortayýdýr.
açýsýnýn
m(EëCD) = 55°
olduðuna göre, ABD açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
E)94
B) 40
C) 45
B
A
35°
d1 // d2
110
d1
D
E
E) 18
m(BëAE) = 65°
12.
9.
D) 16
B
A) 35
50
C) 14
m(AëOB) = m(BëOC)
m(BëAO) = 42°
O
A
B) 12
F
E) 55
[AB // [EF
m(BëAC) = 35°
70°
E
D) 50
C
m(AëCD) = 70°
m(DëEF) = 40°
40°
a
m(CëDE) = α
D
d2
O
A) 80
B) 85
a
kaç derecedir?
C) 90
D) 100
olduðuna göre, a açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
E) 105
A) 5
B) 7
C) 10
D) 13
E) 15
62
1.C
2.E
3.E
4.B
5.E
6.E
7.E
8.D
9.C
10.B
11.C
12.A
ALIÞTIRMA : 18
Bir Açýnýn Trigonometrik Oranlarý
C
cosα =
a
a
A
c
tanα =
B
cotα =
1.
Karþý dik kenar
=
Hipotenüs
Komþu dik kenar
Hipotenüs
Karþý dik kenar
Komþu dik kenar
Komþu dik kenar
Karþý dik kenar
=
=
=
a
A
c
2
b
2
B
c
a
1
7
H
1
C
B
1
C
Aþaðýdaki tabloyu yukarýdaki üçgenlerde verilenlere göre doldurunuz.
sin
cos
tan
cot
Açýlar
30°
|AB| = 7 cm
|BC| = 3 cm
a
45°
60°
c
m(BéAC) = α
3
ñ2
1
ñ3
a
ABC bir üçgen
C
A
A
b
°
30
b
sinα =
60°
45°
B
Verilenlere göre, tanα nedir?
2.
ABC eþkenar üçgen
A
[AH] ⊥ [BC]
|AC| = 2 cm
2
UYARI :
3
7
tan0° = 0,
tan90° = tanýmsýzdýr.
C:
60°
B
H
4.
C
C: 4 3
3
Verilenlere göre, cos(HéAC) kaçtýr?
C:
3.
tan30° + cot30° toplamý kaçtýr?
3
2
ABC bir üçgen
A
|AB| = |AC| = 13 cm
|BC| = 10 cm
E
m(EéBC) = α
a
B
D
5.
C
cos 30 ° . sin45 °
ifadesinin deðeri nedir?
sin30 ° + cos 60 °
Verilenlere göre, tanα nedir?
C:
5
12
C:
63
6
4
sinüs ekseni
y
9.
tanjant ekseni
y
A(3, 6)
cotanjant
ekseni
s
a
x
180a
a
a
c
cosinüs
x ekseni
Verilenlere göre, tanα kaçtýr?
tan(180 − α) = − tan α
C:2
90° ile 180° arasýndaki açýlarýn tanjantý negatiftir.
tan120° = tan(180 ° − 60 °) = − tan60 ° = − 3
tan135° = tan(180 ° − 45 °) = − tan 45 ° = −1
tan150° = tan(180 ° − 30 °) = − tan30 ° = −
3
3
tan180° = 0
10.
tan120° + tan150° toplamý kaçtýr?
60°
C : −4 3
3
6.
y
a
x
7.
C: − 3
3
tan135° + tan150°
tan120° + tan135°
C :− 3
3
11.
y
A(2, 5)
sin
8.
B(3, 0)
π
π
2π
− cos . tan
6
6
3
5π
cot
6
C: −
x
2
3
C:1
64
TEST : 11
Bir Açýnýn Trigonometrik Oranlarý
1.
ABC bir üçgen
C
4.
m(BéAC) = α
tan30° + tan 45°
tan 45° + tan60°
|AB| = 4 cm
A)
|BC| = 3 cm
3
2
2
B) 1
C)
3
3
D) 2
E) ñ3
a
A
4
B
olduðuna göre, sinα kaçtýr?
A)
1
5
4
5
B)
C)
4
3
D)
3
4
E)
3
5
5.
ABC bir üçgen
A
m(AéCB) = 30°
ABC bir üçgen
A
2.
m(AéCB) = α
|AC| = 10 cm
10
cosα =
3
5
x
30°
B
a
B
|AC| = 8 cm
8
C
olduðuna göre, |AB| = x kaç cm dir?
C
A) 6
B) 4ñ3
C) 5ñ3
D) 4
E) 3
olduðuna göre, |AB| kaç cm dir?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
6.
3.
sin30° + cos60° – cot45°
B) 1
C)
2
2
D) 0
tan45° + 2 . sin45 °
3
2
A) 1
B)
C)
2
3
A) 2
3 . cot 30 ° − cos 60 °
E) –1
65
D)
5
4
E)
4
5
10.
π
π
+ cot
6
3
π
3 sin + 2 cos 0
2
y
cos
7.
A(2, 4)
A)
3
6
B) 2 3
5
C)
a
3
5
D)
3
4
E)
x
3
2
Analitik düzlemdeki verilenlere göre, tanα
kaçtýr?
1
1
A)
B)
C) 1
D) 2
E) 4
4
2
11.
y
A(2, 5)
a
8.
tan150° − tan120 °
tan135° − tan180 °
A) −
6
3
4
B) −
3
C) −
2
D) −
3
1
3
E) –ñ3
x
kaçtýr?
1
2
5
2
5
A) −
B) −
C) −
D)
E)
2
5
2
5
2
12.
y
A(1, 3)
a
x
3
π
3π
− tan
4
4
5π
π
tan
− tan
6
6
tan
9.
kaçtýr?
−2
−3
1
3
2
A)
B)
C)
D)
E)
3
2
3
2
3
A) ñ3
B) 2ñ3
C) 3ñ3
D) –2ñ3
E) –ñ3
66
1.E
2.A
3.D
4.C
5.D
6.D
7.A
8.C
9.E
10.D
11.C
12.B
ALIÞTIRMA : 19
Vektörel Doðru Denklemi - Eðim ve Eðim Açýsý
3.
y
y
B(x, y)
Düzlemde bir doðrunun parametrik denklemi,
x = 2k – 3 ve y = 3k + 4
olduðuna göre, doðrunun vektörel denklemini
ve doðrultman vektörünü bulunuz.
y1
A(x1, y1)
u2
C : (x + 3, y – 4) = k(2, 3)
Áu = (2, 3)
Áu
O
u1
x1
x
x
Genel olarak düzlemde bir A(x1, y1) noktasýndan
geçen ve yer vektörü Áu = (u1, u2) olan doðrunun,
vektörel denklemi : (x – x1, y – y1) = k . (u1, u2)
doðrultman denklemi : Áu = (u1, u2)
4.
Düzlemde bir doðrunun parametrik denklemi
x = k + 1 ve y = 2k + 5
parametrik denklemi : x = x1 + u1 . k
olduðuna göre, doðrunun kapalý denklemini
bulunuz.
y = y1 + u2 . k
þeklinde verilir. Parametrik denklemden elde edilen
k deðerleri eþitlenerek doðrunun kapalý formdaki
denklemi a, b, c ∈ R olmak üzere
ax + by + c = 0
biçiminde yazýlýr.
1.
C : 2x – y + 3 = 0
Düzlemde A(–1, 3) noktasýndan geçen doðrunun
vektörel denklemi
5.
Düzlemde kapalý denklemi
x – 2y + 4 = 0
(x + 1, y – 3) = k(-2, 1)
olan doðrunun, k ya baðlý parametrik denklemini ve doðrultman vektörünü bulunuz.
olarak verilmiþtir.
C : Áu = (2, 1)
Buna göre, k parametresine baðlý olarak parametrik denklemini bulunuz.
x + 4 = 2k
C : x = –1 – 2k
y=k
y=3+k
2.
Düzlemdeki bir doðrunun vektörel denklemi
(x – 3, y – 2) = k(1, 2)
olarak verilmiþtir.
6.
Buna göre, doðrultman vektörünü ve doðrunun
kapalý denklemini yazýnýz.
Düzlemde kapalý denklemi
3x + 2y – 6 = 0
C : Áu = (1, 2)
olan doðrunun, vektörel denklemi nedir?
C : (x – 2, y) = k(–2, 3)
2x – y – 4 = 0
67
9.
Eðim ve Eðim Açýsý :
y
Yandaki þekilde grafikleri verilen d1 ve d2
doðrularýnýn eðimleri
toplamý kaçtýr?
d
1
Analitik düzlemde bir doðrunun ox ekseni ile pozitif
yönde yapmýþ olduðu açýya eðim açýsý, eðim açýsýnýn tanjantýna ise bu doðrunun eðimi denir.
y
d
A(0, 1)
y
C(2, 0)
B(4, 0)
d
O
x
d
2
a
q
•
x
C: −
x
Þekildeki d doðrusunun
eðimi m = tanθ dýr.
eðimi m = tanα dýr.
Doðrunun ox ekseni ile yaptýðý açý dar açý ise eðim
pozitif (Doðru saða yatýk durumda), geniþ açý ise
eðim negatiftir. (Doðru sola yatýk durumdadýr.)
•
Doðru ox eksenine paralel ise eðim sýfýrdýr.
•
Doðru ox eksenine dik ise eðimi yoktur, denir.
7.
d
1
2
45°
30°
10. x ekseninin pozitif yönü ile 60° lik açý yapan
doðrunun eðimi kaçtýr?
C : ñ3
y
d
x
1
4
11.
2x – my + 3 = 0
doðrusu x ekseni ile pozitif yönde 135° lik açý yaptýðýna göre, m kaçtýr?
C : –2
Yukarýdaki þekilde grafikleri verilen d1 ve d2
doðrularýnýn eðimleri çarpýmý kaçtýr?
C: − 3
3
8.
y
12.
d
A(0, 4)
B
45°
x
Okan' ýn boyu 150 cm dir. Zeytin aðacýnýn boyu 250
cm dir.
Yukarýdaki þekilde verilen d doðrusu üzerindeki B
noktasýnýn apsisi kaçtýr?
Okan Zeytin aðacýna 20 mt, kavak aðacýna 80 mt
uzaklýkta olduðuna göre kavak aðacýnýn boyu
kaç cm dir?
C : –4
C : 550
68
Eðim - Ýki Noktasý Bilinen Doðrunun Eðimi - Ýki Doðrunun Paralel Olma Þartý
A)
y = mx + n þeklindeki doðrularýn eðimi m dir.
B)
ax + by + c = 0
y
y
by = – ax – c
y=−
a
c
x − olduðundan eðim
b
b
m=−
a
b
ALIÞTIRMA : 20
d
B(x , y )
2
2
y y
2
dir.
A(x , y )
y
1
C
1
x x
Görüldüðü gibi y yalnýz býrakýldýðýnda x in katsayýsý
eðimdir.
1
q
x
1
m = tan θ =
3
y = mx +
2
doðrusunun eðimi –2 olduðuna göre, m kaçtýr?
C : –2
2.
1
q
1
2
1.
2
x
x
2
y2 − y1
x2 − x1
5.
A(3, 2) ve B(–2, 5) noktalarýndan geçen doðrunun eðimi kaçtýr?
3
C: −
5
6.
A(2, a – 1) ve B(3a, –4) noktalarýndan geçen doð-
3x – 4y + 1 = 0
3
C:
4
x y
+ =1
2 3
3.
runun eðimi
doðrusunun eðimi kaçtýr?
2
oduðuna göre, a nýn deðeri kaçtýr?
5
C : –1
7.
A(3, –2) ve B(x, 4) noktalarýndan geçen doðru, x
ekseni ile pozitif yönde 45° lik açý yaptýðýna göre, x
kaçtýr?
C:9
C: −
3
2
8.
4.
Yanda d1 ve d2
doðrularýnýn gra-fikleri verilmiþtir.
y
d2
1
A
y = 3x
O
B
3
Dik koordinat düzleminde A(2k – 3, 2) ve B(5, 3)
noktalarýndan geçen doðru oy eksenine paralel ise
k nýn deðeri kaçtýr?
C:4
x
d1
9.
Buna göre d1 ve d2 doðrularýnýn eðimleri çarpýmý
kaçtýr?
C : –1
Dik koordinat düzleminde A(4, a – 2) ve B(–2, 7)
noktalarýndan geçen doðru ox eksenin paralel ise a
nýn deðeri kaçtýr?
C:9
69
A(x1, y2), B(x2, y2), C(x3, y3) noktalarýnýn doðrusal olabilmesi için ikiþer ikiþer eðimlerinin eþit
olmasý gerekmektedir.
Teorem : d1 ve d2 düþey olmayan farklý iki doðru ise
d1 // d2 ⇔ m1 = m2
dir.
C
B
A
10. y = ax + 2 doðrusu ile 3x – 5y + 7 = 0 doðrularýnýn
d1
Bu üç nokta
üzerindedir. Yani
ayný
doðru
mAB = mBC olmalýdýr.
birbirine paralel olmasý için a kaç olmalýdýr?
C:
3
5
14. A(1, 2), B(–2, 3) ve C(x, –2) noktalarý ayný doðru
üzerinde olduðuna göre, x in deðeri kaçtýr?
C : 13
11. A(a – 2, 3) ve B(4, a) noktalarýndan geçen doðrunun 2x – y + 5 = 0 doðrusuna paralel olmasý için, a
kaç olmalýdýr?
C:5
12.
15. A(3, 4), B(2, –2), C(5, 3), D(3, k) noktalarý verili-yor.
(a + 2)x + 3y + 5 = 0
AB // CD olmasý için, k kaç olmalýdýr?
C : –9
3x + 4y + 1 = 0
16. A(2, 1), B(0, 4), C(3, a + 2) noktalarý doðrusal ise,
Þekildeki iki cadde paralel olduðuna göre, a
kaçtýr?
1
C:
4
a kaçtýr?
C: −
5
2
17. Analitik düzlemde A(2, 5), B(5, –3) ve x ekseni
üzerinde deðiþken bir P(k, 0) noktasý veriliyor.
13. Düzlemde A(3, 5), B(–1, 1), C(–2, 4), D(2, k) nokta-
|AP| + |PB| toplamýnýn en küçük olmasý için k
kaçtýr?
31
C:
8
larý veriliyor.
AB // CD olduðuna göre, k nýn deðeri kaçtýr?
C:8
70
TEST : 12
Eðim - Eðim Açýsý - Ýki Doðrunun Paralel Olma Þartý
1.
6.
y = 6 – 4x
A) –6
B) –4
2.
doðrusunun eðim açýsý kaç derecedir?
C) 2
D) 4
E) 6
A) 30
C) 6
D) 4
A) 30
E) 2
B) −
3
2
C) −
2
3
D) −
2
5
E)
2
5
5
2
E) 135
B) 45
C) 60
D) 75
E) 150
4x + 4y – k + 3 = 0
2x + 5y + 3 = 0
A) −
D) 75
–ñ3x + 3y – 4 = 0
8.
3.
C) 60
doðrusunun eðimi 12 olduðuna göre, m kaçtýr?
B) 9
B) 45
7.
y = 2mx + k – 3
A) 15
y=x+6
A) 75
9.
B) 120
C) 135
D) 150
E) 175
(m + 1)x + (2m + 5)y + 6 = 0
doðrusunun eðim açýsýnýn 45° olmasý için m
kaçtýr?
4.
A) −
36x – 12y + 5 = 0
5
3
B) –2
C) –1
D)
3
5
E)
5
3
A) 4
B) 3
C) 2
D) –2
E) –3
ñ3x + (2m – 1) y + 4 = 0
10.
5.
doðrusunun eðim açýsý 150° olduðuna göre, m
kaçtýr?
2mx – (m + 4)y + 6 = 0
doðrusunun eðimi 4 olduðuna göre, m kaçtýr?
A) 16
B) 8
C) 3
D) –4
A) –2
E) –8
71
B) –1
C) 1
D)
3
2
E) 2
11.
y
15. A(4, 2a + 1) ve B(a –1, 5) noktalarýndan geçen
d2
doðrunun eðimi –1 ise, a nýn deðeri kaçtýr?
A) 3
45°
60°
B) 2
C) 1
D) –1
E) –2
x
d1
Þekildeki verilenlere göre, d1 ve d2 doðrularýnýn
eðimleri toplamý kaçtýr?
A) 1 + ñ3
12.
doðrunun eðim açýsý 135° olduðuna göre, k kaçtýr?
C) − 4 3
3
B) 2ñ3
D) 1 – ñ3
16. A(5, 3k – 2) ve B(k – 2, 3) noktalarýndan geçen
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
E) 2
y
d2
17. y = mx – 4 doðrusunun eðimi ile 2y + 4x – 5 = 0
A(0, 3)
B(6, 0)
doðrusunun eðimi birbirine eþit olduðuna göre, m
kaçtýr?
x
d1
Þekildeki evin çatýsýnýn uç noktasý A olduðuna
göre d1 ve d2 doðrularýnýn eðimleri toplamý
kaçtýr?
A) 1
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
C(2, 0)
A) –4
B) –3
C) –2
D) 2
E) 3
E) 3
18. Analitik düzlemde,
d1 : (a + 3)x + 5y + 3 = 0
d2 : 4x + 3y – 6 = 0
doðrularý paralel ise, a kaçtýr?
A)
13. A(–2, 3) ve B(–3, 4) noktalarýndan geçen doðrunun eðimi kaçtýr?
A) –2
B) –1
C) –
3
3
C) 150
7
3
C)
10
3
D)
11
3
E)
13
3
19. A(3, 4), B(2, –2), C(5, 8), D(4, k) noktalarý veriliyor.
nun eðim açýsý kaç derecedir?
B) 135
B)
E) ñ3
D) 1
14. A(–4, 3) ve B(–3, 2) noktalarýndan geçen doðruA) 120
5
3
AB // CD olmasý için, k kaç olmalýdýr?
D) 175
E) 180
A) 4
B) 2
C) 1
D) –1
E) –2
72
1.B
2.C
3.D
4.B
5.E
6.B
7.A
8.C
9.B
10.E
11.D
12.A
13.B
14.B
15.D
16.B
17.C
18.D
19.B
Ýki Doðrunun Dikliði - Doðru Denkleminin Yazýlmasý
Teorem: d1 ve d2 eksenlere paralel olmayan ikidoðru olsun.
ALIÞTIRMA : 21
DOÐRUNUN DENKLEMÝ
Bir d doðrusu üzerindeki herhangi bir nokta P(x, y)
olsun. Buradaki x ve y arasýndaki baðýntýya bu d
doðrusunun denklemi denir.
d1 ⊥ d2 ⇔ m1 . m2 = –1 dir.
a, b, c ∈ R ve a ile b ayný anda sýfýr olmamak üzere
bir doðrunun genel denklemi ax + by + c = 0 veya
y = mx + n biçiminde gösterilir.
1.
A(–2, 6), B(1, 4), C(3, 5), D(p, 3) noktalarý veriliyor.
AB
^
Bir doðrunun denkleminin yazýlabilmesi için eðimi
ve bir noktasý veya herhangi iki noktasýnýn bilinmesi
gerekir.
CD olmasý için p kaç olmalýdýr?
C:
5
3
Eðimi ve Bir Noktasý Bilinen Doðru Denklemi
A(x1, y1) bilinen sabit
bir nokta, B(x, y) de
doðru üzerinde herhangi bir noktadýr.
y
d
B(x, y)
A(x , y )
2.
1
A(–1, 1), B(2, 3) ve C(a, 5) noktalarý veriliyor.
AB
^
x
BC olmasý için, a kaç olmalýdýr?
2
3
Buradan doðrunun eðimi m =
C:
3.
3x + 5y + 6 = 0
y − y1
dir.
x − x1
Ýçler dýþlar çarpýmý yapýldýðýnda
y – y1 = m(x – x1) denklemi elde edilir.
5.
A(–2, 3) noktasýndan geçen ve eðimi m = 4 olan
doðrunun denklemini bulunuz.
C : y = 4x + 11
4x (b + 1)y 2 = 0
6.
Yukarýdaki iki cadde birbirine dik olduðuna
göre, b kaçtýr?
C:
4.
1
A(–2, 4) noktasýndan geçen ve eðimi −
3
olan
4
doðrunun denklemi nedir?
7
5
C : 3x + 4y – 10 = 0
Dik koordinat düzleminde
7.
ax + y – 3 = 0 ve 3x + 2y – 5 = 0
doðrularý birbirine dik ise, a nýn deðeri kaçtýr?
C:a= −
2
3
Dik koordinat düzleminde eðim açýsý 45° olan ve
A(2, 5) noktasýndan geçen doðrunun denklemini
bulunuz.
C:y=x+3
73
8.
Uyarý : Herhangi bir nokta doðru üzerinde ise doðru
denklemini saðlar.
A(1, –ñ3) noktasýndan geçen ve x ekseni ile pozitif
yönde 150° lik açý yapan doðrunun denklemi nedir?
C : x + yñ3 + 2 = 0
12. A(p, 3) noktasýnýn 2x – y – 5 = 0 doðrusunun
üzerinde olmasý için p kaç olmalýdýr?
C:4
9.
Yandaki þekilde verilen d doðrusunun
denklemini bulunuz.
y
A
4
135°
13. A(5, 2) noktasý, x + my – 7 = 0 doðrusunun üzerinde
x
1
d
C:1
C:x+y–3=0
10.
11.
2x – 3y + 4 = 0
doðrusuna paralel olan ve A(1, 2) noktasýndangeçen doðrunun denklemini bulunuz.
14. A(3, a) noktasý, 2x – 3y – 12 = 0 doðrusunun
üzerinde olduðuna göre, a kaçtýr?
C : 2x – 3y + 4 = 0
C : –2
x – 2y + 5 = 0
doðrusuna dik olan ve A(–2, 3) nokasýndan geçen
doðrunun denklemini bulunuz.
15. Dik koordinat düzleminde, y = x + 2 doðrusu
üzerinde apsisi 3 olan bir A noktasýnýn ox eksenine
olan uzaklýðý kaçtýr?
C : 2x + y + 1 = 0
C:5
74
TEST : 13
Bir Noktasý ve Eðimi Belli Doðru Denklemi
1.
Eðimi –2 olan ve A(3, –2) noktasýndan geçendoðrunun denklemi nedir?
5.
3x – 2y – 12 = 0
A) 2x + 3y – 3 = 0
B) x + 2y – 4 = 0
doðrusuna paralel olan ve A(–2, 3) noktasýndan
geçen doðrunun denklemini nedir?
C) x + y – 4 = 0
D) 2x + y – 4 = 0
A) 3x – 2y + 12 = 0
B) x – 2y + 8 = 0
C) 3x + 2y + 8 = 0
D) x – 3y + 4 = 0
E) x – 2y + 4 = 0
E) 3x – 2y + 8 = 0
2.
A(1, 2) noktasýndan geçen ve eðimi 2 olan
A) y = 2x
B) y = x
D) y = –x
C) y = –2x
6.
E) y = –3x
Dik koordinat düzleminde A(2, –1) noktasýndan
geçen ve 3x – 5y + 2 = 0 doðrusuna paralel olan
A) 3x + 5y – 1 = 0
B) 3x – 5y – 11 = 0
C) x – 3y + 4 = 0
D) x + 2y – 6 = 0
3.
göre, d doðrusunun
denklemi nedir?
y
E) 3x + 5y – 1 = 0
A(1, 3)
7.
45°
x
2x – 4y – 8 = 0
doðrusuna dik olan ve A(–2, –4) noktasýndan
geçen doðrunun denklemi nedir?
d
A) x + y + 3 = 0
B) x + y – 6 = 0
C) x + y – 4 = 0
D) x – y – 4 = 0
A) 2x + y – 4 = 0
B) 2x – y + 6 = 0
C) 2x + y + 8 = 0
D) 2x – 2y + 3 = 0
E) x – 2y + 8 = 0
E) x + 2y – 4 = 0
8.
4.
y = 2x + 4 doðrusuna paralel olan ve A(2, 1)
nokasýndan geçen doðrunun denklemi nedir?
Dik koordinat düzleminde A(1, 3) noktasýndan
geçen ve 2x + y + 4 = 0 doðrusuna dik olan
A) y – x + 3 = 0
B) x – 2y + 4 = 0
A) x – y + 5 = 0
B) x + y + 3 = 0
C) x – y + 5 = 0
D) x + 3y – 4 = 0
C) x + 2y – 1 = 0
D) x – 2y + 3 = 0
E) x – 2y + 5 = 0
E) y – 2x + 3 = 0
75
9.
Eðimi 5 olan doðru P(3, 5) noktasýndan
geçtiðine göre, bu doðru x eksenini hangi noktada keser?
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
12. A(1, 3) ve B(3, –7) noktalarý veriliyor.
[AB] nin orta dikmesinin denklemi nedir?
A) 5y + x – 1 = 0
B) 5y – x + 3 = 0
C) x – 3y + 12 = 0
D) 5y – x + 12 = 0
E) –1
E) x – 5y + 4 = 0
13. A(–2, 4) ve B(4, 2) noktalarý veriliyor.
[AB] nin orta dikmesinin denklemi nedir?
A) y = x
10. Eðimi −
3
4
B) y = 2x
C) y = 3x
D) y = –2x
olan doðru P(–4, 9) noktasýndan
E) y = –4x
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
geçtiðine göre, bu doðru y eksenini hangi noktada keser?
14. Köþelerinin koordinatlarý A(3, 1), B(–1, 2) ve
C(2, –1) olan ABC üçgeninin [BC] kenarýna ait
yüksekliðin denklemi nedir?
A) y = x + 1
B) y = x – 2
D) y = 2x – 1
11.
y
C) y = x – 3
E) y = x
Yukarýdaki þekilde
grafiði verilen doðrunun denklemi nedir?
d
A(0, 3)
60°
x
C(3, 0) olan ABC üçgeninin BC kenarýna ait yüksekliðin denklemi nedir?
A) y = ñ3x + 3
B) y = x + 3
C) y = –x + ñ3
D) y = –ñ3x + 1
A) y = 4x – 1
E) y = ñ3x – 3
B) y = 4x + 1
D) y = x – 4
C) y = 2x – 3
E) y = 3 – 4x
76
1.D
2.A
3.C
4.E
5.A
6.B
7.C
8.E
9.C
10.A
11.A
12.D
13.C
14.B
15.A
ALIÞTIRMA : 22
Ýki Noktasý Bilinen Doðrunun Denklemi
3.
Farklý iki noktasý A(x1, y1) ve B(x2, y2) olan d doðrusu üzerinde herhangi bir nokta P(x, y) olsun.
A(–3, 4) ve B(2, –6) noktalarýndan geçen doðru
denklemi nedir?
C : 2x + y + 2 = 0
d
y
P(x, y)
B(x , y )
2 2
A(x , y )
1 1
x
mAB = mAP ⇒
y 2 − y1 y − y1
=
x 2 − x1 x − x1
A(x1, y1) ve B(x2 , y2) noktalarýndan geçen doðrunun denklemi,
y − y1
x − x1
=
y1 − y 2 x1 − x 2
Eðer d doðrusunun iki nokasýnýn koordinatlarý verilmiþ ise önce eðimini bulur, daha sonra da noktalardan herhangi birini kullanarak eðimi ve bir noktasý
bilinen doðru denklemini elde ederiz. Bunun için
ayrý bir formül geliþtirmeye gerek yoktur.
4.
Orjinden ve A(3, 5) noktasýndan geçen doðru
denklemi nedir?
C : 5x – 3y = 0
•
olur.
1.
A(3, 1) ve B(6, –2) oktalarýndan geçen doðrunun
denklemini bulunuz.
C:x+y–4=0
5.
y
A
3
2
4
B
2.
x
3
A(2, 4) ve B(3, 6) noktalarýndan geçen doðru
denklemi nedir?
A ve B noktalarýndan geçen doðrunun denklemi
nedir?
C : 2x – y = 0
C:y=x–1
77
6.
10. Köþelerinin koordinatlarý A(2, 4), B(–1,5) ve
C(3, 1) olan ABC üçgeninin Va kenarortay
doðrusunun denklemini yazýnýz.
y
A
3
C:x–y+2=0
x
2
B 4
A ve B noktalarýndan geçen doðrunun denklemi
nedir?
C : 7x + 2y + 8 = 0
C(3, –2) olan ABC üçgeninde Va kenarortayýnýn
denklemi nedir?
7.
A(3, 4) ve B(7, –2) noktalarýnýn orta noktasý ile
C(–2, 3) noktasýndan geçen doðrunun denklemi
nedir?
C : 2x + 7y = 17
C : y = 4x – 3
12. Dik koordinat düzleminde A(3t – 1, 6t + 2) noktalarýnýn geometrik yerinin denklemi nedir. (t Î R)
Çözüm : (Yol gösterme)
8.
Bu tip sorularda t ye farklý iki deðer verilerek iki
nokta elde edilir. Ýki noktadan geçen doðru denlemi
þeklinde soru çözülür.
P(–a, 2a) noktasý A(3, 2) ve B(–1, –2) noktalarýndan
geçen doðru üzerinde ise, a kaçtýr?
C : y = 2x + 4
1
C: −
3
9.
13. Dik koordinat düzleminde A(k – 2, 2k + 1) noktalarýnýn geometrik yerinin denklemi nedir?
A(a, 2a – 1) noktasý, B(3, –1) ve C(–2, 4)noktalarýndan geçen doðru üzerinde olduðuna göre, a nedir?
(k ∈ R)
C:1
C : y – 2x – 5 = 0
78
TEST : 14
Ýki Noktasý Bilinen Doðrunun Denklemi
1.
A(2, 5) ve B( 1, 3) noktalarýndan geçen doðrunun
denklemi nedir?
5.
A) x + 8y – 9 = 0
Düzlemde A(–3, 0) ve B(b, 4) noktalarýndan geçen
doðrunun denklemi y = 2x + k olduðuna göre, b nin
deðeri kaçtýr?
B) x – 2y = 0
A) –2
B) –1
C) 0
D) 4
E) 5
C) 2x – y + 1 = 0
D) 8x + y – 9 = 0
E) 2x – y – 1 = 0
6.
2.
A(–3, 5) ve B(4, –1) noktalarýndan geçen doðrunun
denklemi nedir?
Düzlemde A(4, 2) ve B(a, 3) noktalarýndan geçen
doðrunun denklemi x + 6y = k olduðuna göre,
a
kaçtýr?
A) –4
B) –2
C) 2
D) 3
E) 4
A) 6x + 7y = 17
B) 6x – y = 12
C) 6x – 7y = 10
D) 7x – 6y = 16
E) 6x + 5y = 17
7.
3.
C noktasý AB doðrusu üzerinde olduðuna göre, a
kaçtýr?
Analitik düzlemde
A) 12
Q(–2, b) noktasý, A(1, 4) ve B(–2, 3) nokalarýndan
geçen doðrunun üzerinde ise, b nin deðeri kaçtýr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
A(k, 2k) noktasý B(3, –2) ve C(4,1) nokalarýndan
geçen doðrunun üzerinde ise, k nýn deðeri kaçtýr?
A)
11
2
B) 7
C) 9
D) 10
B) –8
C) 0
D) –20
E) –26
E) 5
8.
4.
A(–4, 5), B(a, 3), C(6, 0) noktalarý veriliyor.
Analitik düzlemde, t ∈ R ve A(3 + t, 2t) noktasý verilmiþtir. t parametresine göre, bu noktalarýn oluþturduðu doðrunun denklemi nedir?
A) y = x + 2
E) 11
B) y = x + 1
D) y = 2x – 6
79
C) y = 2x – 1
E) y = x – 3
9.
Analitik düzlemde, t ∈ R olmak üzere t deðiþtikçe
A(t – 3, 2t + 1) noktasýnýn çizdiði doðrunun denklemi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) y = x – 1
B) y = x + 3
D) y = x – 3
13. Analitik düzlemde A(–2, 4), B(6, 1) ve C(0, k) noktalarý veriliyor. |AC| + |BC| toplamýnýn en küçük
olmasý için k kaç olmalýdýr?
C) y = 2x + 7
(Yol gösterme: C noktasý AB doðrusu üzerinde
olmalýdýr.)
E) y = 2x + 1
A)
13
4
B)
9
4
C) 2
E) −
D) 1
3
4
A(3p – 1, 3) ve B(5, –2p)
noktalarýndan geçen doðrunun eðimi 3 ise, p nin
deðeri kaçtýr?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
14. A(2, 5), B(3, 1) ve C(–1, k) noktalarý veriliyor.
|AC| + |BC| toplamý k nýn hangi deðeri için en
küçük olur?
E) 6
B) 15
C) 12
D) 9
E) 7
A) 17
11. A(2, 5), B(–4, 3) ve C(8, 5) noktalarý ABC üçgeninin
köþeleri olduðuna göre, Va kenarortayýnýn
üzerinde olduðu doðrunun denklemi nedir?
15. A(5, 6) ve B(9, –4) noktalarýnýn orta noktalarýndan ve orjinden geçen doðrunun denklemi
nedir?
A) x + y = 1
B) x – 2 = 0
A) x = 5y
C) y – 5 = 0
B) x = 7y
D) 5x = y
D) x + 2y = 0
C) x = 3y
E) –7x = y
E) x – y = 0
16. A(3, 0) ve B(0, 6) noktalarýndan geçen doðrunun
denklemi nedir?
12. A(a – 3, 4) ve B(6, a + 1) noktalarýndan geçen
doðrunun y = 2x – 5 doðrusuna paralel olmasý için
a kaç olmalýdýr?
A) –2
B) 3
C) 4
D) 6
A) x + y = 6
B) x – y = 3
D) 2x + y = 6
E) 7
C) 2x – y = 3
E) x + 2y = 6
80
1.C
2.A
3.C
4.E
5.B
6.B
7.C
8.D
9.C
10.B
11.B
12.E
13.A
14.A
15.B
16.D
ALIÞTIRMA : 23
Eksenleri Kestiði Noktalarý Bilinen Doðru Denklemi
d doðrusu ox eksenini A(a, 0) ve oy eksenini B(0, b)
noktalarýndan kesmiþ olsun.
3.
d
y
y
d
b
B
C
B
O
A
a
x
A
x
Yukarýdaki þekilde d doðrusunun denklemi
x y
+ = 1 dir.
3 3
x y
+ =1
a b
Buna göre, ABCD dikdörtgeninin çevresi kaç
birimdir?
denklemi elde edilir.
C:6
1.
y
4.
d
y
3
2
x
Þekilde grafiði verilen doðrunun denklemini
bulunuz.
6
C
O
B
x
A 3
Þekilde verilenlere göre, OABC karesinin alaný
kaç birimkaredir?
C : 3x – 2y + 6 = 0
C:4
5.
2.
y
d
y
2
A
d1
E
2
x
O
C
D
B
6
x
3
Yukarýdaki þekilde d doðrusunun grafiði verilmiþtir.
Þekilde verilen d1 doðrusunun denklemi nedir?
|EC| = 3|CD| olduðuna göre, ODCE dikdörtgeninin
alaný kaç br2 dir?
C : 3x – 2y = 6
C:3
81
6.
9.
y
d
y
4
C
B
4
6
A
x
O
A(2, a)
3
B(1, 0)
d doðrusunun grafiði verilmiþir.
|AO| = 3.|OB| olduðuna göre,
x
C(2, 0)
Verilenlere göre, ABC üçgeninin alaný kaçtýr?
AOBC dikdörtgeninin alaný kaçtýr?
C:2
48
C:
9
10.
enflasyon (%)
45
7.
y
15
A(1, k)
2000
2
4
x
3
2010
yýl
Yukarýdaki grafikte enflasyonun yýllara göre
yüzdeliði verilmiþtir.
Buna göre, 2013 yýlýnda enflasyon yüzde kaçtýr?
C:6
Þekilde verilenlere göre, A(ABC) kaç birimkaredir?
C : 15
11.
8.
yýl
4
y
A
10
kâr (milyon TL)
135°
O
x
B
Yukarýdaki grafikte bir þirketin yýllara göre kâr oraný
gösterilmektedir.
d
10. yýlda þirketin kârý kaç milyon TL dir?
Yukarýdaki taralý alan 8 birimkare olduðuna göre, d
doðrusunun denklemi nedir?
(Kârýn negatif olmasý zararý göstermektedir.)
C:x+y=4
C : 15
82
ALIÞTIRMA : 24
Denklemi Verilen Doðrunun Grafiði
A = { (x, y) | y = mx + n ; m, n ∈ R, (x, y) ∈ R x R }
kümesi analitik düzlemde bir doðru belirtir.
3.
Analitik düzlemde 2x – y = 0 doðrusunun grafiðini çiziniz.
4.
y = x + 2 doðrusunun grafiðini çiziniz.
Denklemi verilen bir doðrunun grafiðini çizebilmek
için doðruya ait farklý iki nokta bulunur.
Bu noktalar analitik düzlemde belirlenerek grafik
çizilir.
Çünkü farklý iki noktadan bir doðru geçer. Genellikle bulunmasý gereken iki noktanýn kolaylýk olmasý
açýsýndan eksenleri kestiði noktalar olmasýna dikkat
edilir.
d
y
A(0, y)
B(x, 0)
O
x
y
2
x = 0 için oy eksenini kestiði nokta A(0, y)
y = 0 için ox eksenini kestiði nokta B(x, 0) bulunur.
1.
Analitik düzlemde y = 2x + 6 doðrusunun grafiðini çiziniz.
1
Bu nokta analitik düzlemde belirlenir ve sonra da
birleþtirilirse grafik çizilmiþ olur.
Analitik düzlemde 2x – y – 4 = 0 doðrusunun
grafiðini çiziniz.
0 1 2
x
2
5.
2.
1
2 1
y = 2x – 4 doðrusunun grafiðini çiziniz.
y
x
83
6.
Denklemi 2x + 3y = 6 olan doðrunun grafiðini
çiziniz.
9.
2x – 3y + 6 = 0
doðrusu ile eksenler arasýnda kalan kapalý bölgenin alaný kaç br2 dir?
y
C:3
x
7.
Denklemi x – 2y + 1 = 0 olan doðrunun grafiðini
çiziniz.
x
8.
y
10. Dik koordinat düzleminde y = 2x – 4 doðrusu
üzerinde bulunan ve koordinat eksenlerine eþit uzaklýkta olan noktalarýn, apsisler toplamý kaçtýr?
C:
16
3
4x – 3y = 0 doðrusunun grafiðini çiziniz.
y
11.
x
x y
x y
+ = 1 ve
+ =1
2 4
a 4
doðrularý ile x ekseni arasýnda kalan bölgenin alaný
10 birimkare olduðuna göre, a nýn negatif deðeri
kaçtýr?
C : –3
84
ALIÞTIRMA : 25
Özel Doðru Denklemleri ve Grafikleri
B)
y
Oy eksenine paralel doðrular Ox eksenine diktir,
yani Ox ekseni ile yaptýðý açý 90° dir. Dolayýsýyla
eðimleri tanýmsýzdýr.
x = 0 doðrusu
y = 0 doðrusu
Oy eksenine paralel olan doðrularýn denklemi ve
grafiði :
x
m=
A)
Ox eksenine paralel olan doðrularýn denklemi ve
grafiði :
y−a
ifadesinin tanýmsýz olabilmesi için
x−a
kesrin paydasýnýn sýfýr olmasý gerekir.
Dolayýsýyla x – a = 0 ise x = a elde edilir.
y
b
d
x
Ox eksenine paralel doðrularýn eðimleri sýfýr
olduðundan
y – y1 = 0 . (x – x1)
3.
y – y1 = 0
y = y1 yani y = b þeklindeki doðrulardýr.
y = –2 ve y = 3 doðrularýnýn grafikleri aþaðýdaki
gibidir.
gibidir.
y
1.
x = 2 ve x = –3 doðrularýnýn grafikleri aþaðýdaki
x
y
3
x = 3
y=3
x=2
x
2
2.
y = 2
y= –4, y = 0, y = 6 doðrularýnýn grafiklerini çiziniz.
4.
y
x = –2, x = 0 ve x = 7 doðrularýnýn grafiklerini çiziniz.
y
x
x
85
C)
Orijinden geçen doðrunun denklemi ve grafiði :
9.
y
x= –3 ve 2y = 1 doðrularýnýn grafiklerini çiziniz.
y
d
O
x
x
O(0, 0) noktasýndan geçtiði için denklem
y – 0 = m(x – 0) ⇒ y = mx þeklindedir.
10. 2y + 5 = 0 ile y = 3 doðrularý arasýnda kalan bölgeyi
koordinat düzleminde gösteriniz.
5.
y = 2x ve y = –3x doðrularýnýn grafiklerini çiziniz.
y
y
x
x
6.
x = 5, y = 2 ve y = x doðrularýnn sýnýrladýðý alan kaç
br2 dir?
11. Analitik düzlemde x = –2, x = 3, y = 3 ve y = –1
doðrularýnýn oluþturduðu kapalý bölgenin alaný kaç
br2 dir?
9
C:
2
C : 20
7.
y = x , x = –2 , y = 3
doðrularý arasýnda kalan bölgenin alaný kaç birimkaredir?
C:
8.
12. x – 3y = 0 , 2x + y = 4 , y = 0
doðrularý ile sýnýrlý bölgeyi gösteriniz.
25
2
y
x
y = x, y = –x, y = 2 ve y = –2
C:8
86
TEST : 15
Doðrunun Grafiði - Özel Doðru Denklemleri
1.
6.
x + y + 2 = 0 , x = 3 , y = –1
A) 4
2.
B) 6
C) 8
D) 10
A) 4
7.
doðrularý ile sýnýrlanan bölgenin alaný kaç birimkaredir?
C) 16
D)12
x–y–6=0,x+y+4=0,y=0
doðrularý ile sýnýrlý bölgenin alaný kaç br2 dir?
A) 25
B) 21
C) 20
D) 18
E) 16
8.
B) 9
D) 9
C) 10
D) 11
y
A
3
E
D
O
A)
4.
C) 8
E) 12
Analitik düzlemde y = 2x + 6 doðrusunun ve
eksenlerin oluþturduðu kapalý bölgenin alaný
kaç br2 dir?
A) 8
E) 10
3.
B) 20
B) 6
E) 12
2x + y = 4 , x – y = 2 , y = 4
A) 24
y = 0, x = 3 ve 2x – y = 0 doðrularýnýn belirttiði
bölgenin alaný kaç br2 dir?
2x – 3y + 6 = 0 , x + y – 2 = 0 , x = 2
4
5
C
B)
5
8
x
5
C)
8
15
E) 12
Yanda d doðrusunun
eksenleri kestiði noktalar A(0, 3) B(5, 0)
ve OCDE bir kare
olduðuna göre, E
noktasýnýn ordinatý
kaçtýr?
D)
15
8
E)
15
9
doðrularý ile belirtilen bölgenin alaný kaç br2 dir?
11
10
7
A)
B)
C) 3
D)
E) 2
3
3
3
9.
5.
x = –2 , x = 4 , y = 2 , y = 0
doðrularý ile sýnýrlanan bölgenin alaný kaç
dir?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
4x – 3y = 6
doðrusu ile eksenler arasýnda kalan alan kaç br2
dir?
2
4
3
A) 1
B) 2
C)
D)
E)
3
3
2
br2
E) 12
87
10.
Yanda d doðrusunun
denklemi
y
d
13. Dik koordinat düzleminde 2x – y + 6 = 0 doðrusu
ile eksenler arasýnda kalan kapalý bölgenin alaný
kaç br2 dir?
y = –2x + 6 dýr.
B
C
O
x
A
A) 6
OABC dikdörtgeninin çevresi 9 birim
olduðuna göre,
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
B noktasýnýn ordinatý kaçtýr?
3
2
A)
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
y = 2x + 12 ve y = x + 6
Yandaki
OABC
karesinin
alaný
kaç br2 dir?
y
d
2
B
C
4
O
A)
12
7
14
5
A) 20
B) 18
C) 17
D) 16
E) 15
x
A
B)
11.
doðrularý ile y ekseni arasýnda kalan bölgenin
C)
15
8
D)
16
9
E)
20
9
15. Analitik düzlemde
y = –x
y = –2
12.
x = –2
x y
x y
+ = 1 ve
− = 1 doðrularý ile oy ekseni
5 4
5 2
arasýnda kalan alan kaç birimkaredir?
doðrularý arasýnda kalan kapalý bölgenin alaný
kaç birimkaredir?
A) 12
A) 6
B) 15
C) 17
D) 18
E) 20
B) 8
C) 10
D) 14
E) 16
88
1.C
2.D
3.A
4.B
5.E
6.D
7.B
8.D
9.E
10.D
11.D
12.B
13.D
14.B
15.B
ALIÞTIRMA : 26
Ýki Doðrunun Birbirine Göre Durumu ve Kesiþme Noktasýnýn Koordinatlarý
Analitik düzlemde,
4.
d1 : a1x + b1y + c1 = 0
(a – 1)x – y + 4 = 0
3y – 2x + 6 = 0
d2 : a2x + b2y + c2 = 0 doðrularý verilmiþ olsun.
doðrularý paralel ise a nýn deðeri kaçtýr?
C:
i)
a1 b1 c1
=
=
a2 b2 c2
5
3
ise d1 ve d2
doðrularý çakýþýktýr. Yani bu iki doðru ayný doðrulardýr. Doðru üzerinde alýnan her nokta bu iki doðru
denklemini de saðlar. (Ç.K. = R)
ii)
a1 b1 c1
=
≠
a2 b2 c 2
5.
ise d1 ve d2
3x + y – 2 = 0
doðrularý paralel olduðuna göre, a kaçtýr?
doðrularý birbirine paraleldir. Kesiþmezler
dolayýsýyla ortak noktalarý yoktur. (Ç.K. = ∅)
1.
(a – 2)x – (a + 2)y + 3 = 0
C : –1
ax – 2y + 3 = 0
doðrularý çakýþýk (ayný doðru) olduðuna göre, a . c
nin deðeri kaçtýr?
C : 12
4x + 3y + c = 0
6.
x + ay + 2 = 0
ax + 4y – 2 = 0
paralel doðrularýný çiziniz.
y
2.
x + 2y + 1 = 0
x
ax + by + 2 = 0
doðrularý çakýþýk olduðuna göre, a + b kaçtýr?
C:6
3.
7.
2x + 3y = c
mx – y = 11
ax – by = 3
16x + (m + 8)y = –4
doðrularý çakýþýk olduðuna göre, a.c çarpýmý
kaçtýr? (a, b, c ∈ Z)
denklemleriyle verilen doðrular paralel olduðuna
göre, m kaçtýr?
C:6
C : –4
89
11.
a1 b1
≠
a2 b2
iii)
2x + y – 2 = 0
ise d1 ve d2
x–y+5=0
doðrularýnýn kesim noktasýndan ve orjinden
geçen doðrunun denklemi nedir?
doðrularý bir A noktasýnda kesiþirler. Kesiþ-tikleri
bu nokta iki doðrunun oluþturduðu denklem sisteminin çözüm kümesidir. (Ç.K. = {(x, y)})
C : y = –4x
Bu nokta; doðru denklemleri ortak çözüm yapý-larak
bulunur.
Doðrularýn ortak çözümü iki þekilde yapýlýr.
12.
1. Yok etme metodu
d1 :
x y
y
+ = 1 ve d2 : x − = 1
3 4
4
doðrularý ile oy ekseni arasýnda kalan kapalý bölgenin alaný kaç br2 dir?
2. Yerine koyma metodu
C:6
8.
x–y+5=0
2x + y + 1 = 0
13.
doðrularýnýn kesim noktasýný bulunuz.
d2 : x + y + 1 = 0
C : (–2, 3)
doðrularý ve ox ekseni arasýnda kalan kapalý bölgenin alaný kaç br2 dir?
4
C:
3
9.
d1 : 2x – y + 6 = 0
x – 2y + 4 = 0
14.
x+y–2=0
2x – y + 3 = 0
x+y–9=0
doðrularýnýn kesim noktasýný bulunuz.
doðrularýnýn kesim noktasýndan geçen ve
C : (0, 2)
y = 3x – 4 doðrusuna paralel olan doðrunun denklemini bulunuz.
C : –3x + y – 1 = 0
10.
Grafikleri verilen d1 ve
d2 doðrularýnýn A
kesim noktasýný bulunuz.
y
d1
d
2
A
15.
2x – y = 4
3x + 2y = 6
1
doðrularýnýn kesim noktasýndan geçen
2
3
2x – 3y + 4 = 0 doðrusuna dik olan doðrunun
denklemini bulunuz.
x
C :  6 , 10 
7 7 
C : 3x + 2y – 6 = 0
90
TEST : 16
Ýki Doðrunun Birbirine Göre Durumu ve Kesiþme Noktasýnýn Koordinatlarý
1.
x + 2y – 1 = 0 ve x – 2y – 5 = 0
5.
doðrularýnýn kesim nokasý nedir?
A) (3, –1)
d1
2
B) (2, –2)
D) (–1, 3)
y
d2
C) (1, 3)
A
1
E) (3, 1)
1
3
x
C
B
Yukarýdaki þekilde d1 ve d2 doðrularýnýn grafikleri
verilmiþir.
Buna göre, A(ABC) kaçtýr?
2.
y
A) 2
14
5
B)
2
D)
16
5
E) 4
A(x, y)
1
1
x
2
d2
d1
6.
Þekilde verilenlere göre, A noktasýnýn koordinatlarý toplamý kaçtýr?
A) 1
C) 3
B) 2
C) 3
D) 4
A
E) 5
Yandaki þekle göre ABC
üçgeninin alaný kaç br2
dir?
y
d1
4
C
3.
3
2
x
D
2
A)
x – y – 4 = 0 ve 3x + y + 8 = 0
d2
B
54
7
B)
51
7
C) 7
D)
39
7
E)
31
7
doðrularýnýn kesim nokasý ile A(2, 3) noktasýndan geçen doðrunun denklemi nedir?
A) x – 3y – 7 = 0
B) x + y + 1 = 0
C) 2x – 5y – 8 = 0
D) 8x – 3y – 7 = 0
E) 8x + 3y – 5 = 0
7.
x + y = 1 ve x – y = 3
doðrularý ile eksenler arasýnda kalan bölgenin
alaný kaç birimkaredir?
11
9
7
A)
B) 5
C)
D) 4
E)
2
2
2
4.
y
Yandaki þekle göre,
taralý alan kaç birimkaredir?
y=x+1
6
8.
4
A) 10
B) 9
x
C) 7
2x + y = 4 ve x + y = 6
doðrularý ile eksenler arasýnda kalan bölgenin
D) 6
E) 5
A) 14
91
B) 12
C) 10
D) 8
E) 7
9.
Analitik düzlemde
13.
x y
x y
+ = 1 , + = 1 doðru−2 4
2 3
Yanda d1 ve d2
doðrusunun kesim
noktasý A(4, 3) olduðuna göre,
y
d1
A(4, 3)
larý ile ox ekseni arasýnda kalan kapalý bölgenin
43
51
48
A)
B)
C) 7
D)
E) 8
7
7
7
A(AOB) kaçtýr?
O
d2
y
B) 9
75
8
C)
D)
77
8
E) 10
Þekle göre, ABOC
dörtgeninin alaný 10
br2 olduðuna göre,
d1
A
B
x
d2
A) 8
10.
B
2
E
1
C
O
x
4 D
14.
y
E noktasýnýn apsisi kaçtýr?
7
3
A)
5
4
B)
C) −
4
5
D) −
3
2
E) −
1
2
3
11.
2
2x + 3y – 6 = 0
O
B) x – y + 3 = 0
C) 3x + y – 2 = 0
D) x – 2y + 4 = 0
x
d2
d1
Yukarýdaki þekle göre, taralý alanlar toplamý kaç
birimkaredir?
6
8
11
A) 1
B)
C)
D) 2
E)
5
5
5
doðrusuna dik olan ve x + y + 2 = 0 doðrusu ile x
ekseni üzerinde kesiþen, doðrunun denklemi
nedir?
A) 3x – 2y + 6 = 0
3
2
E) 3x + 2y – 1 = 0
12.
Yandaki þekilde
y
d1
d2
5
4
E
15.
d1 ⊥ d2
A
y
d doðrusunun denklemi
d
A
A(0, 5), B(1, 4)
B
S
x y
+ = 1 dir.
a b
a.b = −72
C
F
O
x
1
S
B
x
D
Buna göre, A(EOF) kaç br2 dir?
A) 3
B)
7
2
C) 4
D)
olduðuna göre, taralý bölgenin alaný kaç br2 dir?
9
2
E) 5
A) 24
B) 20
C) 16
D) 12
E) 8
92
1.A
2.B
3.D
4.C
5.D
6.A
7.E
8.A
9.B
10.C
11.A
12.D
13.C
14.B
15.D
TEST(KARMA) : 17
l. Ünite ile ilgili Sorular
1.
4.
Bir x açýsýnýn tümleri y + 10, y açýsýnýn tümleri 3x
d1
d1 // d2 // d3
A
C
140°
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
d2
x
80°
d3
B
Yukarýdaki þekilde verilen açý ölçülerine göre, x
kaç derecedir?
A) 160
2.
d1 // d2
A
d1
5.
130°
B) 150
C) 140
[BA // [EF
A
20°
B
C
x
d2
E
D
Yukarýdaki verilen açý ölçülerine göre, m(CDE) = x
kaç derecedir?
ë
B) 120
C) 135
D) 140
80°
C
a
E
D
A
F
B) 105
C) 110
A
d1
E) 130
B
d1 // d2
[AD] ve
açýortay
55°
D
[BD]
F
m(AëDB) = 55°
m(DëOE) = 80°
O
D) 120
E) 150
[OF] ve [OC] açýortay
80°
ë
A, O, B doðrusal
E
C
m(CDE) = a kaç derecedir?
D
50°
A) 100
6.
3.
E) 120
B
100°
A) 110
D) 130
B
C
E
d2
Yukarýdaki verilenlere göre, m(COF) kaç derecedir?
Yukarýdaki verilenlere göre, BCE açýsýnýn ölçüsü
kaç derecedir?
A) 100
A) 100
ë
B) 110
C) 130
D) 140
E) 150
93
B) 105
C) 110
D) 115
E) 120
7.
A
B
[AE] // [DC]
E
A
40°
[DE] açýortay
120°
C
10.
[AE] // [DF]
E
a
50°
m(AëBC) = 50°
|BD| = |DC|
m(EëAB) = 40°
B
70°
x
m(BëCD) = 120°
D
m(AëBD) = 70°
C
D
F
m(DëBC) = x
Yukarýda verilenlere göre, m(AED) = a kaç derecedir?
Yukarýda verilenlere göre, m(DBC) = x kaç derecedir?
A) 45
B) 50
A) 70
B
A
ë
D) 70
E) 75
B) 72,5
11.
[BA] // [DE]
30°
A
m(CëED) = 25°
D
E
Yukarýda verilenlere göre, CDE açýsýnýn ölçüsü
kaç derecedir?
A) 90
B) 100
C) 105
D) 110
C
[BA // [DE, m(AëBC) = 130°, m(BëCD) = 55°
Yukarýda verilenlere göre, m(CDE) = x kaç derecedir?
ë
E) 115
12.
[BA // [CD
B
100°
C) 115
D) 105
E) 95
d1 // d2
B
70°
D
x
50°
80°
m(AëBC) = 100°
D
C
B) 120
A
d1
|BC| = |CD|
x
E
D
55°
A) 125
A
E) 80
x
m(BëAC) = 30°
25°
D) 77,5
B
[CE] açýortay
C
9.
C) 75
130°
8.
C) 55
ë
C
E
F
d2
m(BëDC) = x
Yukarýda verilen açý ölçülerine göre,
Yukarýda verilenlere göre, m(BDC) = x kaç derecedir?
ë
A) 35
B) 40
C) 45
D) 50
m(BCD) = x kaç derecedir?
ë
A) 25
E) 60
B) 30
C) 40
D) 45
E) 50
9.B
10.C
11.D
12.C
94
1.A
2.E
3.C
4.E
5.D
6.C
7.C
8.B
TEST(KARMA) : 18
1.
A) 1
2.
5.
Aþaðýdaki eþitliklerden kaç tanesi doðrudur?
ur
r
r
A = 3e1 + 5e2 = (3,5)
ur r
r
B = e1 − 2e2 = (2, −2)
ur
r
C = 3e2 = (0,3)
ur r r
D = e1 − e2 = (1, −1)
ur
r
r
U = (−2,4) = 2e1 + 4e 2
ur
r
r
V = (1, −3) = e1 − 3e 2
ur
r
K = (0, −5) = −5e 2
B) 2
C) 3
D) 4
lik açýnýn derece, dakika ve saniye eþiti aþaðýdakilerden hangisidir?
A) 34° 20' 30''
E) 33° 10' 03''
6.
r
r
vektörünün e1 ve e2 vektörlerinin
lineer birleþimi olarak yazýlýmý nedir?
r
r
r
r
r
r
A) −2e1 + 3e2
B) −2e1 + 4e2
C) 4e1 − 2e2
r
r
D) 4e1 − 2
E) 4 − 2e2
7.
ur
r
r
A = 5e1 + 12e2
Aþaðýdaki vektörleri temel birim vektörler
cinsinden yazýnýz.
ur
A = (4, −2)
ur uuur
olduðuna göre, B − AB kaçtýr?
A) 5
B) 9
Aþaðýda verilen temel birim vektörlerin eþitini
karþýsýna yazýnýz.
C) 12
D) 13
E) 15
ur
r
r
A = 4e1 − 3e2
ur
r r
B = k.e1 + e2
8.
uuur
AB = 5
olduðuna göre, k
deðerleri toplamý kaçtýr?
A) 12
9.
A = 261° 12' 58''
B = 40° 45' 33''
açý ölçülerine göre, A – B nin eþiti kaçtýr?
A) 220° 27' 25'' B) 220° 27' 35'' C) 220° 25' 25''
D) 220° 20' 25''
C) 34° 17' 30''
E) 5
ur
r
r
A = 3e1 + 7e2 = (3,7)
ur
r
r
B = −2e1 + 3e2 = .................
ur
r
r
C = −3e1 − 6e2 = .................
ur
r
D = 6e2 = .................
ur
r
E = −5e1 = .................
r
r
r
F = 4e2 − 3e1 = .................
4.
B) 34° 17' 03''
D) 34° 10' 03''
ur
r
r
A = (2,5) = 2e1 + 5e 2
ur
B = (3, −4) = .................
ur
C = (−2, −5) = .................
ur
D = (3,0) = .................
ur
E = (0, −4) = .................
3.
123450''
E) 221° 25' 25''
C) 7
D) 6
E) 5
ur
A = e1 − e2
ur
B = 2e1 + e2
ur
C = 5e1 + 4e 2
ur
ur ur
vektörleri veriliyor. x. A + y.B = C olduðuna göre,
x . y kaçtýr?
A) 6
95
B) 8
B) 3
C) –2
D) –3
E) –6
ur
ur
14. Aþaðýdakilerden kaç tanesi doðrudur?
r
10. A = (2, −1) vektörünün K = (−2,4) ve L = (0,1)
vektörler cinsinden yazýlýmý nedir?
ur
r
ur
r
ur r
A) K − 3L
B) K + 3L
C) 3K − L
ur
r
ur r
D) −K + 3L
E) −3K + L
l.
0 < α < 90° için, tanα > 0 dýr.
ll.
90° < α < 180° için, tanα < 0 dýr.
lll. tanα = − 3 ise, α = 150° dir.
3
lV. cosα =
V.
tan90° = tanýmsýzdýr.
A) 5
ur
ur
1
ise, α = 60° dir.
2
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
ur
11. A = (1,2) , B = (3,11) , C = (1, −3)
vektörleri verili-
15. Denizaltýlarýn koordinatlarýnýn apsisleri toplamý,
yor.
ur
ur
ur
B vektörünün A ve C vektörleri þeklinde
yazýlmýþ hali aþaðýdakilerden hangisidir?
ur ur
ur ur
ur
ur
A) 4A − C
B) 3A + 2C
C) 4A + C
ur ur
ur
ur
D) 3A + C
E) −2A + 3C
ordinatlarý toplamýndan kaç fazladýr?
y
B
A
x
l.
π = 180°
ll. 4π = 720°
lll.
3π
= 270°
2
lV.
π
= 90°
2
V.
2π
= 120°
3
Vl.
π
= 45°
4
5π
Vll.
= 300°
3
A) 8
C) 6
D
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
16.
π
Vlll.
= 15°
12
B) 7
C
D) 5
E) 4
60°
l.
tan60 ° = 3
lll.
cos120 ° = −
1
2
lV. cot150 ° = − 3
V.
sin135 ° = −
2
2
VI. tan180 ° = 0
A) 1
B) 2
ll.
C) 3
sin 45 ° = 1
D) 4
100 m
Yukarýdaki verilere göre, binadaki cep telefonu
vericisinin yerden yüksekliði kaç m dir?
E) 5
A) 100
B) 100ñ2
C) 100ñ3
D) 120
E) 150
96
1.E
4.A
5.C
6.C
7.D
8.B
9.D
10.D
11.A
12.A
13.E
14.A
15.A
16.C
TEST(KARMA) : 19
1.
Denklemi 3x – y + 5 = 0 olan doðrunun eðimi
kaçtýr?
A) 1
B) 2
−
2.
C) 3
D) 4
5.
|AK| + |KB| toplamýnýn en küçük olmasý için x
kaç olmalýdýr?
5
8
16
A) 2
B) 3
C)
D)
E)
2
3
5
E) 5
x y
2x y
+ = 1 ve
+ = −1
4 2
3 3
6.
doðrularýnýn kesim noktasý aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) (1, 2)
B) (–1, 2)
D) (3, 2)
A(4, 2), B(2, –3) ve K(x, 0) noktalarý veriliyor.
C) (–2, 1)
a
E) (–3, 2)
1
2x – y + 1 = 0 , px + y - 6 = 0
doðrularý dik kesiþmektedir.
Buna göre doðrularýn kesim nokasýnýn koordinatlarý toplamý kaçtýr?
B) 4
C) 5
D) 6
b
B) 3
x
C) 4
D) 5
E) 6
Analitik düzlemde,
A) 3
d1
4
A) 2
3.
d1 doðrusunun eðimi
m1 = 3 ve d2 doðrusunun eðimi m2 = –2 ise,
a + b nin deðeri
kaçtýr?
y
d2
7.
E) 7
Analitik düzlemde,
d1 : x + 2y + 6 = 0
d2 : 2x + (k – 2)y – (k + 2) = 0
doðrularý birbirine paralel ise, d2 doðrusunun ox
eksenini kestiði noktanýn apsisi kaçtýr?
4.
A) 7
5
8.
Gergin iplerin eðimleri toplamý kaçtýr?
B)
8
5
D) 4
E) 3
2
Þekildeki aðacýn dallarýna süsleme yapýlacaktýr.
10
3
C) 5
4
3
A)
B) 6
C)
6
5
D)
8
3
E)
−1
6
A(–2, 3) , B(x – y, 2x + y) noktalarý için
uuur
AB = (3,2) olduðuna göre, x . y kaçtýr?
A) –3
97
B) –2
C) 2
D) 3
E) 4
9.
Analitik düzlemde
13.
A(a, 1) , B(4, 2) ve C(–5, –1) noktalarý veriliyor.
|AB| + |BC| toplamýnýn en küçük olabilmesi için, a
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
d1 : x + y – 3 = 0
doðrusu ile baþka bir d2 doðrusu ox ekseni üzerinde
dik kesiþmektedir.
d2 doðrusunun oy eksenini kestiði noktanýn
ordinatý kaçtýr?
E) 5
A) –3
B) –2
C) 1
D) 2
E) 3
14. AB doðru parçasýnýn uç noktalarý A(3, c), B(–2, 4)
1
ve AB doðrusunun eðimi
ise, c nin deðeri
5
kaçtýr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
10. Analitik düzlemde A(–3, 1) , B(p, 4) ve C(6, 7) noktalarý doðrusal olduðuna göre, p nin deðeri kaçtýr?
A) 3
B) 12
C)
4
3
D)
3
2
E)
1
2
15. a , b ∈ R+ olmak üzere,
ax + by + 2 = 0
doðrusunun eksenleri kestiði noktalar A ve B olsun.
Buna göre AOB üçgeninin alaný 20 br2 ise,
a . b nin deðeri kaçtýr?
11.
ur
ur
A = ( −2,3) , B = (3, −4)
ur ur
ur
olduðuna göre, 2A + C = 3B eþitliðini saðlayan C
vektörü aþaðýdakilerden hangisidir?
A) (5, –6)
B) (4, 6)
D) (6, 5)
A)
1
20
B)
1
10
C)
1
9
D) 10
E) 20
16.
y
T
C) (–5, 6)
E) (13, –18)
x
O
B
Tolga bulunduðu T noktasýndan 3 br saða, 4 br
aþaðýya gidiyor. Berkan bulunduðu B noktasýndan
2 br sola, 5 br yukarýya gidiyor.
12. A(x + 3, 2), B(4, 3) noktalarý veriliyor.
uuur
AB = 17
olduðuna göre, x in deðerleri toplamý kaçtýr?
Buna göre, ikisi arasýndaki uzaklýk kaç br dir?
A) –3
A) 4ñ2
B) –2
C) 2
D) 3
E) 5
B) 5
C) 5ñ2
D) 8
E) 12
98
1.C
2.C
3.E
4.A
5.E
6.D
7.D
8.C
9.A
10.D
11.E
12.C
13.A
14.E
15.B
16.B
TEST(KARMA) : 20
1.
Þekilde grafiði verilen d doðrusunun
eðimi kaçtýr?
y
d
3
5.
x
2
5x – 3y + 2 = 0
A)
1
3
B) −
3
2
3
2
C)
D)
2
3
E) −
10x + my + 3 = 0
2
3
Nehrin iki kýyýsý paralel olduðuna göre, m
kaçtýr?
A) 5
2.
B) 2
C) –1
D) –4
E) –6
Ýki aracýn yakýt deposundaki benzin miktarlarýnýn
denklemleri 2x + y – 5 = 0 ve x + y + 3 = 0 doðrularýdýr.
Depolarýndaki benzin miktarý eþit olduðundaki
koordinatlar toplamý kaçtýr?
B) –2
C) –1
D) 0
E) 3
6.
A) –3
3.
A(a, 2) , B(-3, 4) ve C(2, 6) noktalarý doðrusal ise, a
A) –2
B) –1
C) 0
D) –6
E) –8
x = 3t – 2
y = 2t – 3
7.
parametrik denklemiyle verilen doðrularýn eðimi
kaçtýr?
A)
7
3
B) 2
3
2
C)
D) 1
E)
A(3, 4) nokasýndan geçen ve ox ekseni ile pozitif yönde 45 derecelik açý yapan doðrunun denklemi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) x – y + 1 = 0
2
3
B) x + y + 2 = 0
C) y = –x + 1
D) y = 2x
E) x + y = 1
4.
ax + y – 1 = 0 doðrusu ile 3x + 2y – 6 = 0 doðrusu
birbirine dik ise, a nýn deðeri kaçtýr?
A) 1
B)
2
3
C)
3
2
D) −
2
3
E) −
8.
3
2
A(–4, a + 2) ve B(3, 1) noktalarýndan geçen doðru x
eksenine paralel ise, a nýn deðeri kaçtýr?
A) 2
99
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
9.
Eðimi –3 olan ve ox eksenini A(3, 0) noktasýnda
kesen doðrunun y eksenini kesiði noktanýn ordinatý kaçtýr?
A) 3
B) 5
C) 6
D) 8
13. A(–2, 6) , B(1, 4) , C(3, 5) , D(p, 3) noktalarý veriliyor.
[AB] // [CD] olmasý için, p nin deðeri kaçtýr?
E) 9
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
14. ÁA=(–2, k) ve ÁB=(3, –4) vektörleri veriliyor.
d
C(x, 6)
Yanda A(3, 0), B(0, 2)
C(x, 6) noktasý d
doðrusu üzerindedir.
y
B(0, 2)
x
Buna göre C noktasýnýn orjine uzaklýðý kaç birimdir?
B) 4ñ3
C) 2ñ6
A(3, 0)
A) 3ñ5
Yandaki þekilde
y = ax
y=4
O
x
B) 2
B)
8
3
C)
4
3
D) −
2
3
E) −
4
3
E) 6ñ2
y
A) 1
baðýntýsýnýn olmasý için, k kaç olmalýdýr?
A) 12
D) 5ñ2
11.
ur
ur
m, n ∈ R olmak üzere; A ile B vektörleri arasýnda
ur
ur r
m. A + n.B = 0
10.
C)
15.
doðrularý ile oy ekseni arasýnda kalan
alan 12 br2 ise, a nýn
deðeri kaçtýr?
D)
3
2
E)
Buna göre, 200 TL ye
alýnan bir mal kaç TL
4 Alýþ (TL) ye satýlýr?
1
y = ax ve y = 4
1
2
Yandaki grafikte bir
malýn alýþ ve kâr grafiði
verilmiþtir.
Kâr (TL)
A) 40
B) 45
C) 50
D) 60
E) 80
2
3
16.
3x + 10
A
ur
r
r
A = 2e1 − 3e2
ur
r
r
B = −4e1 + 3e2
12.
2x 30
ur ur
vektörleri veriliyor. Buna göre, 3A + B vektörünün
uzunluðu nedir?
A) 2ñ5
B) 3ñ5
C) 2ò10
D) 4ñ3
B
Yukarýdaki verilere göre, x kaç derecedir? (A // B)
E) 5ñ2
A) 40
B) 45
C) 50
D) 60
E) 80
100
1.D
2.A
3.E
4.D
5.E
6.E
7.A
8.D
9.E
10.E
11.E
12.D
13.D
14.B
15.C
16.A
TEST(KARMA) : 21
1.
4.
Yanda A noktasý d
doðrusu üzerindedir.
y
d
20°
8
x
A(4, 2)
[OA] ⊥ [AB] olduðuna göre,
O
6
B
A) 6
Bilardo oyununda top duvara geldiði açý ile çarparak
gider.
B) 5
OAB
üçgeninin
x
C) 4
D) 3
E) 2
Buna göre, x açýsý kaç derecedir?
A) 30
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
5.
Koordinat doðrusu üzerindeki K(–2) noktasýna 3 br
uzaklýkta bulunan noktalar ile L(6) noktasýna 2 br
uzaklýkta bulunan noktalar arasýndaki uzaklýk en az
m br ve en fazla n br dir.
Buna göre, m + n kaçtýr?
2.
Yandaki þekilde bir
malýn alýþ - satýþ grafiði
verilmiþtir.
Satýþ (TL)
3
500 TL ye alýnan bir
maldan kaç TL kâr
Alýþ (TL) edilir?
2
A) 250
B) 300
C) 350
D) 400
A) 13
B) 14
C) 16
6.
D) 19
E) 20
Kuzey
E) 450
Batý
Doðu
B
C
Güney
3.
y
Büþra bulunduðu noktadan 2 br kuzeye, 3 br batýya
gidiyor.
grafiði verilmiþtir.
d
A(x, 6)
Cemre hangi yönde kaç br giderse Büþra ile
ayný noktaya gelirler?
3
A) 4 br doðu, 5 br kuzey
2
x
B) 4 br doðu, 2 br kuzey
C) 4 br batý, 2 br güney
D) 3 br doðu, 4 br kuzey
Buna göre A noktasýnýn apsisi kaçtýr?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 5 br doðu, 4 br kuzey
E) 1
101
7.
Yandaki þekilde binanýn çatýsýnýn ucu
A olduðuna göre, A
noktasýnýn ordinatý
kaçtýr?
y
d2
d1
A
2
1
3
ax + 3y + 4 = 0
2x – by + 2 = 0
doðrularý ayný doðruyu gösterdiðine göre, a + b nin
deðeri kaçtýr?
x
1
A)
A) 1
B) 7
C) 8
D) 9
A) 2x – y + 1 = 0
B) y = 2x + 3
C) y = –2x – 1
D) 2x + y – 3 = 0
3
2
C)
D) 1
E) 3
A(–1 ,3) , B(5, 2) ve C(1, b)
E) 10
Düzlemde 2x – 4y – 3 = 0 doðrusuna dik olan ve
A( 2, –1) noktasýndan geçen doðrunun denklemi
4
3
A(3, 1) noktasýndan geçen ve eðimi –3 olan
doðrunun oy eksenini kestiði noktanýn ordinatý
kaçtýr?
A) 6
9.
C) 3
3
E) −
5
B)
|CA| + |CB| toplamýnýn en küçük olmasý için b
nin deðeri kaçtýr?
4
5
A) 1
B) 2
C) 3
D)
E)
3
3
8.
B) 2
8
D)
5
5
2
13. x + 3y – 5 = 0 ile 2x – y – 3 = 0 doðrularýnýn kesim
noktasýnýn koordinatlar toplamý kaçtýr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) x + y + 3 = 0
14.
10.
A
B
C
D
E
F
5
1
2
6
8
10
d
Yandaki þekilde verilen d doðrusunun
eðimi kaçtýr?
y
x
A(2, 5)
Koordinat doðrusunda verilenlere göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
~ [BD]
A) [AC] =
~ [BF]
C) [AD] =
B
~ [DF]
B) [CD] =
~ [DF]
D) [BC] =
3
~ [DF]
E) [AB] =
A) –1
B) –2
x
C) –3
D) 2
E) 3
102
1.C
2.A
3.D
4.B
5.C
6.A
7.D
8.E
9.D
10.D
11.A
12.D
13.C
14.A
l. Ünite ile ilgili ÖSYM Sorularý
1.
5.
ÁV = 3Á i – 4Áj vektörünün boyu kaç birimdir?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
D, B, E doðrusal
A
[AC] // [DE]
E) 1
D
(1970 – ÜSS)
|AN| = |NC|
?
AN açýortay
B 25° N
C
m(EëBN) = 25°
E
2.
Þekle göre,
A
Yukarýdaki verilere göre, DBA açýsýnýn ölçüsü
kaç derecedir?
A(2, 3)
D
B(1, –3)
E
A) 30
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
C(3, 4)
(1990 - ÖYS)
B
C
|BD| = 2|DA|
|DE| = |EC|
olursa, E noktasýnýn ordinatý ne olur?
5
3
A) 0
B)
C)
D) 3
2
2
E)
7
2
(1985 –ÖYS)
3.
229632 saniyelik bir açý kaç derece, kaç dakika
ve kaç saniyedir?
A) 62° 47' 12''
B) 63° 46' 22''
D) 63° 47' 22''
C) 63° 46' 12''
E) 63° 47' 12''
6.
A(1, 3), B(4, 0) noktalarý veriliyor. [AB] üzerinde bir
C(x, y) noktasý alýnýyor.
CA
CB
=
1 olduðuna göre, C noktasýnýn apsisi
2
kaçtýr?
A) 2
B) 2,5
C) 3
A
E
E) 4
(1991 – ÖSS)
(1986 - ÖYS)
4.
D) 3,5
B
a
a
?
b
C
G
b
F
D
7.
m(BëEG) = m(GëEF) = a
y
Yandaki
þekilde
grafiði verilen
y = f(x)
A(2,5)
m(EëFG) = m(GëFD) = b
B(0,3)
Yukarýdaki þekilde AB // CD olduðuna göre,
m(FGE) kaç derecedir?
ë
K(x,0)
a+b
A)
2
B) 2(a + b)
D) 60
O
x
C) 45
E) 90
A) –1
(1988 - ÖSS)
B) –2
C) –3
y=f(x) doðrusu x eksenini K(x,0) noktasýnda kestiðine göre,
K noktasýnýn apsisi
(x) kaçtýr?
D) –4
E) –5
(1991 – ÖSS)
103
8.
11.
A, B, C, D, E noktalarý düzlemseldir.
[AE ⊥ [BD
E
OABC bir kare
y
2
D(1, 0)
E
E(0, 2)
m(CëAE) = 118°
C
118°
B
m(CëBD) = α
A
a
B
C
D
O
x
1
A
D
Yukarýdaki verilere göre, m(CDB) =
cedir?
A) 152
B) 150
C) 148
Yukarýdaki þekilde, OABC karesinin ED doðrusu üzerindeki B köþesi, aþaðýdakilerin hangisinde verilen doðru çiftinin kesim noktasýdýr?
a
kaç dere-
D) 146
E) 144
A) x + y = 1 ve y + x = 0
(1994 - ÖYS)
B) x – y = 1 ve y + x = 0
2
ë
C) x + y = 1 ve y – x = 0
2
D) x – y = 1 ve y + x = 0
2
Denklemleri 2x + 3y – 8 = 0 ve
7x + 2y + 16 = 0 olan doðrularýn kesim noktasýndan ve koordinat baþlangýcýndan geçen doðrunun denklemi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) 11x + 8y = 0
B) 8x – 11y = 0
C) x – 6y = 0
D) 6x – y = 0
E) 9x – 5y = 0
(2000 – ÖSS)
9.
E) x + y = 1 ve y – x = 0
2
(1995 – ÖSS)
12. (x + 3) (y – 1) = x.y baðýntýsýnýn grafiði aþaðýdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y
3
1
3
x
O
10.
E
A
EB // MD
B
5a°+10°
C)
|AC| = |BC|
x
M
D
C 3a°+10°
D)
y
m(EëAC) = 5α + 10°
3
m(FëCD) = 3α + 10°
O
x
1
3
m(AëCB) = x
E)
ë
O
C) 50
D) 40
E) 30
O
3
x
y
Yukarýdaki þekilde |AC| = |BC| olduðuna göre,
m(ACB) = x kaç derecedir?
B) 60
y
3
1
3
F
A) 70
x
O
3
3
1
3
x
(2000 – ÖSS)
(1997 - ÖYS)
104
1.A
2.B
3.E
4.E
5.E
6.A
7.C
8.A
9.A
10.D
11.C-E
12.A
l. Ünite ile ilgili ÖSYM Sorularý
13.
ax – y = 6
16.
d2
y
d1
4x + (a + 4)y = –6
A(x,y)
denklemleriyle verilen doðrular paralel olduðuna göre, a kaçtýr?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
2
1
45°
O
E) 2
(2001 – ÖSS)
x
3
Þekilde d1 doðrusuyla d2 doðrusunun kesim
noktasý A(x,y) olduðuna göre, x + y toplamý
kaçtýr?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
(2005 – ÖSS)
14.
y
C(2,8)
A
O
x
17.
Þekilde, |OB| = |OA| ve C(2,8) noktasý AB doðrusu
üzerinde olduðuna göre, AOB dik üçgeninin alaný
kaç birimkaredir?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 21
E) 24
(2001 – ÖSS)
B
AB // DC
A
110°
30°
D
DE // CF
E
m(BëAE) = 110°
x
B
C
m(AëED) = 30°
F
m(DëCF) = x
Yukarýdaki verilere göre, x kaç derecedir?
A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80
(2006 - ÖSS 1)
15.
18. XOY dik koordinat sistemiyle verilen düzlemde
A0(–1,2) noktasýndan baþlayýp her seferinde x koordinatýný 1 birim y koordinatýný 2 birim artýrarak A1, A2
........... An noktalarý iþaretleniyor.
x + 4y = 4
9
mx + y =
5
doðrularý y = x doðrusu üzerinde kesiþtiklerine
göre, m kaçtýr?
1
1
1
3
5
A)
B)
C)
C) –
D) –
4
2
4
4
4
An noktasý y = 3x doðrusu üzerinde olduðuna
göre, n kaçtýr?
A) 8
(2002 – ÖSS)
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
(2007 – ÖSS 1)
105
19.
y
22. Köþeleri A(3, 1), B(5, 3), C(2, 5) ve D(a, b) köþe-
B
genleri [AC] ve [BD] olan paralelkenarýn [BD]
C(2, ñ3)
köþegeninin uzunluðu kaç birimdir?
A) 1
30°
O
A
B) 2
C) 3
D) 4
x
E) 5
(2010 – YGS)
Dik koordinat düzleminde verilen þekildeki AOB
üçgeninin alaný kaç birim karedir?
A) 7 2 B) 10 2 C) 7 3 D) 25 2 E) 25 3
6
6
3
3
3
(2010 – LYS)
23. Aþaðýdaki doðrusal grafiklerden birincisinde kabuk-
20. Tecrübeli bir aþçý pastanýn kývamýnda olabilmesi için
un ve þekerin aþaðýdaki doðrusal grafikte verilen
miktarlarda kullanýlmasý gerektiðini belirtmiþtir.
lu fýndýktan elde edilen iç fýndýk miktarý, ikincisinde
ise iç fýndýktan elde edilen fýndýk yaðý miktarý gösterilmiþtir.
Un (kg)
iç fýndýk (kg)
10
fýndýk yaðý (litre)
8
4
3
4
1
2
3
4
Þeker (kg)
Buna göre, un ve þekerin toplam miktarýnýn 23
kilogram olduðu kývamlý bir pastada kaç kilogram þeker vardýr?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
6
kabuklu
fýndýk (kg)
5
6
iç
fýndýk (kg)
Buna göre, 5 kg kabuklu fýndýktan kaç litre fýndýk
yaðý elde edilir?
A) 2,5
B) 3
C) 2
D) 1,5
E) 1
(2011 – YGS)
E) 11
(2010 – LYS)
21.
24.
Satýþ fiyatý (TL)
DE // AB // CF
E
D
m(DéBC) = 110°
y
c
A
b
B
a
m(FéCG) = 30°
110°
m(AéBC) = x
x
5
20
50
F
Birim
C
m(EéDB) = y
30°
G
Bir malýn miktara baðlý olarak deðiþen birim satýþ
fiyatý yukarýdaki doðrusal grafikte gösterilmiþtir.
Yukarýdaki verilere göre, x – y farký kaç derecedir?
c – a = 24 olduðuna göre, c – b kaçtýr?
A) 6
B) 8
C) 12
D) 14
A) 30
E) 16
B) 35
C) 40
(2010 – LYS)
D) 45
E) 50
(2011 – LYS)
106
13.A
14.C
15.C
16.E
17.A
18.D
19.E
20.A
21.B
22.E
23.C
24.E
.
2. ÜNITE
COKGENLER
ve DÜZLEMDE
.
KAPLAMALAR
ALIÞTIRMA : 27
Çokgenin Tanýmý - Dýþ Bükey Çokgenler
2.
Aþaðýdaki boþluklarý uygun kelimelerle doldurunuz.
a)
n ∈ N+ ve n≥3 olmak üzere, ayný düzlemdeki
n farklý doðru parçasýnýn birbirini kesmeyecek
ve doðrusal olmayacak þekilde uçlarýnýn birleþtirilmesiyle oluþan düzlemsel tek bir kapalý
bölgeye ................ denir.
b)
Çokgenler ................ sayýlarýna göre isimlendirilirler. ..............., ................, ...............
gibi.
c)
Bir çokgenin ardýþýk iki kenarýnýn oluþturduðu
açýlara ................ denir.
d)
Bir çokgenin ayný köþeden geçen bir kenarýnýn uzantýsýyla ardýþýk kenarlarýnýn oluþturduðu açýlara ................ denir.
e)
Bir çokgen içinde bulunduðu düzlemi; çokgenin kendisi, ................, ................ olarak
üçe ayýrýr.
f)
Bir çokgenin içindeki herhangi iki noktayý birleþtiren doðru parçasý tamamen çokgenin iç
bölgesinde kalýyorsa bu çokgen ...............
(konveks) çokgen, dýþ bükey olmayan çokgene ................ (konkav) çokgen denir.
g)
Bir çokgenin ardýþýk olmayan iki köþesini birleþtiren her doðru parçasýna çokgenin
................ denir.
h)
Tüm kenar uzunluklarý ve iç açýlarýnýn ölçüleri
eþit olan çokgenlere .............. ............... denir.
ý)
Ýç açýlardan en az birisi 180° den büyük olan
çokgene ................ çokgen denir.
Aþaðýdaki þekillerden çokgen olanlarýný iþaretleyiniz.
I
II
IV
3.
1.
V
I
II
III
IV
4.
Ýç açýlarýnýn hepside 180° den küçük olan çokgene ................ çokgen denir.
VI
Aþaðýdaki þekillerden hangileri dýþbükey çokgendir?
V
Aþaðýdaki çokgenlerden kaç tanesi içbükey çokgen olabilir?
I. Üçgen
j)
III
II. Dörtgen
IV. Altýgen
III. Beþgen
V. Sekizgen
C:4
109
5.
c
b)
c)
d)
a)
Bütün açýlarý dar açý olan üçgenlere
.......... üçgen denir.
b)
Bir açýnýn ölçüsü 90° olan üçgenlere ..........
üçgen denir. 90° lik açýnýn karþýsýndaki kenara
..........., diðer kenarlara da üçgenin..........
kenarlarý denir.
b
a
B
a)
9.
Aþaðýdaki boþluklarý þekilden
yararlanarak doldurunuz.
A
C
Þekildeki A,B ve C noktalarýna üçgenin ..........
denir.
c)
A
Þekildeki [AB], [AC] ve [BC] ye üçgenin ..........
denir.
c
Þekildeki IABI = c, IACI = b ve IBCI = a ya
üçgenin .......... .......... denir.
B
Þekildeki BëAC, AëCB, CëBA açýlarý üçgenin
.........., iç açýlarýn komþu bütünleri olan açýlarda
.......... .......... olarak adlandýrýlýr.
d
D
E
B
C
C : {D, E}
7.
A
d
D
E
B
C
a
Bir açýsý geniþ açý olan üçgenlere .......... ..........
üçgen denir.
göre, AÿBC ∩ d kümesi
nedir?
A
b
Þekle göre, m(ëA) = 90° ise ABC üçgeni ...........
üçgendir. [BC] kenarý üçgenin ..........., [AB] ve
[AC] kenarlarý da üçgenin ............ kenarlarýdýr.
d)
6.
göre, (AÿBC) ∩ d kümesi
nedir?
10. Aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz.
a)
Kenar uzunluklarý farklý olan üçgenlere ..........
üçgen denir.
b)
Bütün kenarlarý birbirine eþ olan üçgenlere
......... üçgen denir.
c)
Herhangi iki kenarý eþ olan üçgenlere ..........
üçgen denir. Eþ olan kenarlara üçgenin .........
kenarlarý, diðer kenara ise ........... denir. Eþ
kenarlarýn karþýsýndaki açýlara üçgenin .........
açýlarý, taban kenarýn karþýsýndaki açýya da
.......... açýsý denir.
C
d)
A
C : [DE]
Þekle göre,
IABI = IACI ≠ IBCI ise
ABC
üçgeni
üçgendir.
8.
Yandaki þekilde
rilenlere göre,
K
A
T
L
B
..........
S
M
(AÿBC) ∩ (KÿLM)
nedir?
veB
[AB] ve
C kenarlarý.
[AC]
.............
.............
kümesi
[BC] kenarý .............. dýr.
C
BëAC açýsý .............. açýsý,
AëBC ve AëCB açýlarý da .......... açýlarýdýr.
C : (TÿLS)
110
ALIÞTIRMA : 28
Üçgende Temel Kavramlar
1.
4.
Aþaðýda iç açýlarýnýn ölçüleri verilen üçgenleri
açýlarýna göre adlandýrýnýz.
a)
b)
A
Aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz ve çiziniz.
a)
Bir üçgenin bir açýsýný iki eþit parçaya bölen
ýþýnýn, köþe ile kenar arasýnda kalan parçasýna,
üçgenin o köþesine ait .......... denir.
b)
ABC üçgeninin a, b, c kenarlarýna ait açýortay
uzunluklarý sýrasýyla........, ........., .......... ile gösterir.
c)
Bir üçgenin üç iç açýortayý her zaman bir noktada kesiþir. Kesiþtikleri bu noktaya üçgenin
.......... çemberinin merkezi denir.
d)
Bir üçgende herhangi iki dýþ açýortay ile diðer
köþedeki iç açýortay bir noktada kesiþirler.
Kesiþtikleri bu noktaya üçgenin ............. ..........
çemberinin merkezi denir.
A
80°
45°
55°
B
70°
C
c)
20°
B
C
d)
A
A
60°
100°
50°
30°
B
2.
60°
C
60°
B
C
Aþaðýda kenar uzunluklarý verilen üçgenleri
kenarlarýna göre adlandýrýnýz.
A
b)
A
6
5
6
6
7
B
a)
C
c)
B
4
C
d)
A
7
5.
a)
Bir üçgende, bir köþeden karþý kenara çizilen
dik doðru parçasýna, üçgenin bu kenarýna ait
.......... denir.
b)
ABC üçgeninin a, b, c kenarlarýna ait yüksekliklerin uzunluklarý sýrasýyla........, ........., .......... ile
gösterir.
c)
Bir üçgenin üç yüksekliði her zaman bir noktada kesiþir. Kesiþtikleri bu noktaya üçgenin
.......... .......... denir.
A
8
7
B
7
8
B
3.
7
C
C
a)
Bir üçgenin bir köþesini karþý kenarýn orta noktasýna birleþtiren doðru parçasýna o kenara ait
.......... denir.
b)
ABC üçgeninin a, b, c kenarlarýna ait kenarortay uzunluklarý sýrasýyla........, ........., .......... ile
gösterir.
c)
6.
Bir üçgenin üç kenarortayý her zaman bir noktada kesiþir. Kesiþtikleri bu noktaya üçgenin
.......... .......... denir.
111
a)
Bir üçgenin kenarlarýna, orta noktalarýnda dik
olan doðrulara, üçgenin ................ denir.
b)
Bir üçgenin üç kenar orta dikmesi her zaman bir
noktada kesiþir. Kesiþtikleri bu noktaya üçgenin
.......... çemberin merkezi denir.
*
Bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri toplamý 180°
dir.
*
Bir üçgende eþit iç açýlar karþýsýndaki
kenarlar da eþittir.
*
Bir üçgenin dýþ açýlarýnýn ölçüleri toplamý 360°
dir.
11.
7.
A
ABC üçgeninde verilenlere
göre, x açýsý kaç derecedir?
A
7x
Yandaki
þekilde
verilenlere göre, a
derecedir?
2a
3a
C
B
7a
C : 30
6x
5x
B
C
C : 10
12.
8.
A
Yandaki þekilde verilenlere göre, ACB
derecedir?
5x+12°
Bir üçgenin iç açýlarýnýn ölçüleri ardýþýk üç çift tamsayýdýr.
4x+36°
3x
Buna göre, büyük açýnýn ölçüsü kaç derecedir?
C
B
C : 62
C : 66
9.
Þekilde verilenlere göre, x
A
x
36°
13.
göre, BAC açýsýnýn ölçüsü
kaç derecedir?
A
42°
D
B
A
103°
C
a
B
olduðuna göre,
a
C : 50°
A, B, C, D noktalarý
düzlemseldir.
14.
[BA ⊥ [CD
A
m(AëBC) = 103°
D
C
100°
C : 66
10.
130°
B
C
D
m(BëCD) = α
x
a
y
kaç derecedir?
C : 13
E
b
k
B
x + y + a + b + k + m
toplamý kaç derecedir?
m
F
C
C : 360
112
TEST : 22
Üçgende Açýlar
1.
E
4.
A
ABC bir üçgen
60°
m(BëAC) = 60°
D
m(AëBD) = m(DëCB)
m(BëED) = 55°
142°
m(BëDC) = 142°
55°
ABC bir üçgen
A
75°
B
D
m(EëDB) = 75°
C
B
Yukarýda verilenlere göre, m(ABC)
cedir?
ë
Verilenlere göre, m(ACB) = x kaç derecedir?
ë
A) 60
B) 65
C) 70
D) 75
C
E) 80
A) 42
B) 38
5.
ABC üçgen
A
µ
µ m(C)
µ
m(A)
m(B)
=
=
4
5
3
a
B
C
Yukarýda verilenlere göre, m(B) =
derecedir?
ë
A) 55
B) 65
C) 70
a
açýsý kaç
D) 75
E) 80
D) 34
E) 32
A
ABC bir üçgen
4x
m(BëAE) = 4x
m(DëBA) = 7x
2.
C) 36
kaç dere-
D
7x
m(DëCE) = 5x
C
B
5x
E
Yukarýda verilenlere göre, BAC açýsýnýn ölçüsü
kaç derecedir?
A) 62,5
B) 67,5
6.
C) 70
D) 80
E) 90
A
a
3.
3x
Bir ABC üçgeninin iç açýlarýnýn ölçüleri x + 25,
2x – 10 ve 3x – 27 olarak veriliyor.
4x
Buna göre, en büyük dýþ açý kaç derecedir?
A) 126
A) 44
B) 124
C) 120
D) 114
E) 108
113
B) 48
6x
C
B
a
C) 52
D
D) 54
E) 56
7.
10.
BAC bir ikizkenar üçgen
A
ADC bir üçgen
E
A
B, C ve D doðrusal
[AB] dýþ açýortay
110° < m(AëCD) < 135°
m(EëCB) = 25°
|AB| = |AC|
20°
25°
B
B
C
D
C
m(AëBC) = 20°
D
Yukarýda verilenlere göre, BAC açýsýnýn alabileceði en büyük tamsayý deðeri kaç derecedir?
Yukarýdaki verilenlere göre, ADB açýsýnýn ölçüsü
kaç derecedir?
A) 61
A) 95
B) 70
C) 88
D) 89
E) 91
11.
A
ABC bir üçgen
50° 20°
|AB| = |AD|
m(BëAD) = 50°
a
B
D
m(DëAC) = 20°
C
Yukarýda verilenlere göre, m(ACB) = a kaç derecedir?
ë
A) 55
B) 50
9.
C) 45
|BD| = |CD|
m(BëAC) = 32°
D
B
C
olduðuna göre, ABC açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
E) 35
A) 100
B) 114
12.
C) 120
E, A ve B doðrusal
|AC| = |DC| = |AB|
B
Þekilde
verilenlere
C
A) 10
B) 15
C) 20
D
C
m(BëAD) = 45°
Yukarýdaki verilere göre, m(EAC) =
cedir?
ë
D) 25
E) 132
45°
m(BëAD) = 2x
D
D) 124
ABC bir üçgen
E
A a
m(AëBD) = 3x
B
E) 115
m(AëDB) = 48°
m(CëAE) = 100°
100°
D) 110
ABC bir üçgen
A
48°
ABC bir üçgen
E
A
D) 40
C) 105
32°
EEggee Ya
Yayyýýnnccýýllýýkk
8.
B) 100
E) 30
A) 45
a
kaç dere-
B) 50
C) 55
D) 60
E) 65
9.C
10.E
11.D
12.D
114
1.C
2.D
3.A
4.B
5.E
6.D
7.D
8.C
TEST : 23
Üçgende Açýlar
1.
4.
ABC bir üçgen
A
E
ABC bir üçgen
A
|AE| = |DE|
[AD] açýortay
m(DëEC) = 90°
|AD| = |AE|
m(AëBC) = 50°
D
70°
50°
B
a
B
a
D
m(AëBC) = 50°
C
C
Verilenlere göre, m(AëCB) =
A) 85
B) 80
a
Yukarýdaki verilenlere göre, m(EëDC) =
derecedir?
kaç derecedir?
C) 75
D) 70
E) 65
A) 5
5.
2.
B) 10
|AB| = |AD|
C
Yukarýdaki verilenlere göre, m(ADB) = x
derecedir?
kaç
ë
3.
C) 80
D) 82
x
B) 75
m(DëAC) = 30°
B
D
C
Yukarýdaki verilenlere göre, BAC açýsýnýn ölçüsü
kaç derecedir?
A) 60
B) 70
C) 80
6.
|AD| = |BD|
30°
|AE| = |EC|
E) 105
A
ABC bir üçgen
a
m(AëBD) = 2m(DëBC)
m(DëAE) = 30°
E
olduðuna göre,
D
C
B
A) 85
A) 20
C) 95
m(B AC) =
derecedir?
ë
Yukarýdaki verilenlere göre, BAC açýsýnýn ölçüsü
kaç derecedir?
B) 90
D) 90
E) 85
ABC bir üçgen
A
D
E) 20
2m(AëCB) = m(BëAD)
m(BëAC) = 100°
D
D) 15
kaç
30°
|AD| = |DC|
B
a
ABC bir üçgen
A
|AB| = |AC|
A) 70
C) 12,5
ABC bir üçgen
A
B
m(AëED) = 70°
E
D) 100
E) 105
115
a
açýsý kaç
C
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
7.
10.
ABC bir üçgen
A
A
|EB| = |ED|
55°
m(BëED) = m(AëCB)
E
D
m(BëAC) = 55°
B
D
20°
C
A) 80
40°
B
Yukarýdaki verilenlere göre, ACB açýsýnýn ölçüsü
kaç derecedir?
B) 70
C) 65
D) 60
C
A) 100
8.
ABC bir üçgen
A
D
70°
a
m (AëCD) = 50°
C
olduðuna göre,
A) 20
a
m(BëDC) = α
B) 30
C) 35
D) 40
A
ABC bir üçgen
a
|BE| = |EC| = |DE|
olduðuna
göre,
m(B AC) = a açýsý
kaç derecedir?
42°
34°
ë
B
E
C
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
E) 45
12.
|AE| = |BF|
96°
A
Þekilde;
a
m(AëBE) = 24°
m(AëFC) = 96°
E
x
D
m(AëCD) = 47°
E
D
m(EëDF) = 18°
F
C
Yukarýdaki verilenlere göre, m(FëCB) = x
derecedir?
A) 28
m(AëCD) = 42°
D
|AF| = |ED| = |DC|
B
E) 130
ADB ve BFC birer üçgen
A
F
D) 125
m(AëBD) = 34°
B
C) 120
|AB| = |BC| = |CD|
m(BëAC) = 70°
50°
B) 110
E) 50
11.
9.
göre, ADC açýsýnýn
130°
B) 30
C) 32
D) 36
C
B
kaç
Verilenlere göre, m(BëAC) =
A) 58
E) 38
B) 56
C) 52
m(DëEF) = 35°
a
kaç derecedir?
D) 50
E) 48
11.B
12.B
116
1.A
2.C
3.E
4.E
5.D
6.C
7.B
8.B
9.C
10.B
ALIÞTIRMA : 29
Çokgende Açý Özellikleri
*
n kenarlý dýþbükey çokgende, bir köþeden
(n – 3) tane köþegen çizilir.
*
Bir köþeden çizilen köþegenler çokgeni (n – 2)
üçgensel bölgeye ayýrdýðýndan; çokgenin iç
açýlarýnýn ölçüsü toplamý,
4.
Konveks bir sekizgenin iç açýlarý toplamý kaç
derecedir?
C : 1080°
(n − 2).180 ° dir.
*
Dýþbükey herhangi bir çokgenin dýþ açýlarýnýn
ölçüleri toplamý
360° dir.
5.
Ýç açýlarý toplamý 1800° olan konveks çokgenin
kenar sayýsý kaçtýr?
C : 12
1.
Dýþbükey altýgenin bir köþesinden çizilen köþegen sayýsý kaçtýr?
C:3
6.
Bir köþesinden çizilen köþegen sayýsý 4 olan
çokgen kaç kenarlýdýr?
C : 14
2.
Ýç açýlarý toplamý dýþ açýlarý toplamýnýn 6 katýna
eþit olan konveks çokgen kaç kenarlýdýr?
C:7
7.
Ýç açýlarý toplamý 6 tane dik açýya eþit olan konveks çokgenin köþegen sayýsý kaçtýr?
C:5
8.
3.
Dýþbükey bir çokgende bir köþesinden çizilen
köþegenlerin oluþturduðu üçgen sayýsýnýn ke2
nar sayýsýna oraný
olan çokgen kaç kenarlý3
dýr?
120°
70°
B
ABCD bir dörtgen
D
A
x
Verilere göre, x kaç
derecedir?
80°
C
C : 90°
C:9
117
9.
ABCDE
beþgen
A
100°
B
E
120°
bir
12.
konveks
ABCDE bir konveks
çokgen
A
B
x
derecedir?
F 84°
K
derecedir?
E
80°
105°
C
x
C
D
D
C : 125°
A
121°
B
ABCDEF konveks altýgen
F
x
130°
130°
124°
E derecedir?
98°
C
D
C : 117°
10.
C : 148°
13. Konveks bir altýgenin üç tane iç açýsýnýn ölçüleri
142°, 137° ve 111° dir.
Geri kalan açýlarýn ölçüleri eþit olduðuna göre,
bu açýlardan bir tanesi kaç derecedir?
C : 110°
11.
ABCDE
beþgen
A
B
70°
100°
E
bir
konveks
derecedir?
14. Konveks bir çokgenin iki açýsýnýn ölçüsü 110° ve
140° dir.
F
110°
C
Geri kalan açýlarýn ölçüleri eþit ve 130° olduðuna göre, çokgenin kenar sayýsý kaçtýr?
x
D
C:7
C : 110°
118
TEST : 24
1.
4.
Bir dokuzgenin iç açýlarý toplamý kaç derecedir?
A) 840
B) 900
C) 1080
D) 1120
E) 1260
Dýþ açýlar toplamý iç açýlar toplamýnýn yarýsý olan
konveks çokgen kaç kenarlýdýr?
A) 3
Konveks binyüzonbirgenin dýþ açýlar toplamý
kaç derecedir?
A) 90
3.
B) 180
C) 270
D) 360
E) 1111 x 80
5.
2.
C) 5
D) 6
E) 8
Dýþbükey bir çokgende bir köþesinden çizilen
köþegen sayýsý ile oluþan üçgen sayýlarý toplamý
kenar sayýsýna eþit olduðuna göre, çokgenin
A) 3
6.
Bir konveks beþgenin iç açýlarý toplamýnýn dýþ
açýlarý toplamýna oraný kaçtýr?
B) 4
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
Bir dörtgenin iç açýlarý 2, 4, 6, 8 sayýlarý ile orantýlýdýr.
Bu dörtgenin en küçük dýþ açýsý kaç derecedir?
A) 1
1
B)
2
2
C)
3
3
D)
4
3
E)
2
A) 36
119
B) 44
C) 56
D) 60
E) 72
7.
10. Ýç açýlarý ardýþýk tamsayý olan konveks bir çokgenin
Kenar sayýsý, bir köþesinden çizilebilen köþegen
sayýsýnýn 4 katý olan konveks çokgenin iç açýlarý
toplamý kaç dik açýdýr?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
iç açýlarý toplamý 540° dir.
Bu çokgenin en küçük dýþ açýsýnýn ölçüsü kaç
derecedir?
E) 2
A) 69
Konveks bir çokgenin iç açýlarý ölçüleri 110, 120,
130, 140 ve diðer açýlarý 170 er derece ise bu
A) 14
9.
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
C) 71
D) 72
E) 74
11. Bir konveks beþgenin iç açýlarý 2 den baþlayarak
devam eden ardýþýk sayýlarla orantýlýdýr.
8.
B) 70
Bu çokgenin en büyük iç açýsý kaç derecedir?
A) 144
B) 152
C) 158
D) 162
E) 180
Dýþbükey bir çokgenin kenar sayýsý 2 arttýrýldýðýnda iç ve dýþ açýlarý toplamýndaki deðiþiklik
nasýl olur?
iç açýlarý toplamý
dýþ açýlarý toplamý
A)
Deðiþmez
Deðiþmez
B)
180° artar
Deðiþmez
C)
360° artar
180° azalýr
D)
360° artar
Deðiþmez
geniþ açý olduðuna göre, bu çokgenin iç açýlarý
toplamý kaç derecedir?
E)
Deðiþmez
360° artar
A) 180
12. Konveks bir çokgenin tüm dýþ açýlarý eþit ve
B) 360
C) 540
D) 720
E) 900
9.D
10.B
11.D
12.A
120
1.E
2.D
3.E
4.D
5.C
6.A
7.C
8.D
TEST : 25
1.
80°
58°
B
4.
Þekildeki beþgen üzerindeki verilenlere göre,
x kaç derecedir?
A
E
C x
A) 70
E
B
70°
ABCDE beþgeninin açýlarýnýn
ölçüleri ardýþýk çift doðal
sayýlar olduðuna göre, en
küçük açýsý kaç derecedir?
A
82°
D
C
B) 60
C) 55
D) 50
D
A) 98
E) 40
5.
2.
ABCD konveks bir
dörtgen
C
x
B) 100
A
B
x
120°
F 110°
73° D
Þekilde verilen açý ölçülerine göre, m(BëCD) açýsý
kaç derecedir?
B) 28
C) 36
D) 46
A
A) 26
E) 106
x – y = 10°
C
130° 140°
E
72°
D) 104
ABCDEF altýgen
y
71°
B
C) 102
D
A) 95
B) 100
C) 105
D) 110
E) 115
E) 48
6.
A
ABCDEFG konveks bir
yedigen
64°
G
x
3.
A
E
120°
B 114°
x
F
D
B
70°
100°
73°
C 128°
y
60°
51°
C
E
D
Þekildeki verilere göre, m(AëED) = x kaç derecedir?
Þekilde verilen açý ölçülerine göre, x + y toplamý
kaçtýr?
A) 80
A) 298
B) 90
C) 100
D) 110
E) 120
121
B) 296
C) 306
D) 316
E) 318
7.
10.
F
A
40°
90°
ABCDE beþgen
A
D
E
G
[EF] açýortay
108°
120°
30°
B
[EF] ⊥ [BC]
F
K
40°
a
E
140°
|BF| = |FC|
C
a
B
m(EëAB) = 108°
C
|AB| = |AE| = |ED|
D
Yukarýdaki verilere göre, m(BëCD) = α kaç derecedir?
A) 150
B) 140
C) 130
D) 120
|ED| = |DC| = |BC|
Yukarýdaki verilere göre, m(EëKD) = α kaç derecedir?
E) 110
A) 50
A
ABCDE beþgen
B
110°
G
a
100°
11.
C
B
120°
m(EëDC) = 120°
D
Yukarýdaki verilere göre, m(EëFG) = α kaç derecedir?
B) 35
C) 40
D) 45
L
K
m(AëBC) = 100°
y
75°
E
m(AëKF) = 85°
m(CëLD) = 75°
C
D
Yukarýdaki verilere göre, x + y toplamý kaç derecedir?
E) 50
A) 320
B) 315
C) 310
12.
A
9.
A
140°
B
G
150°
B 175°
C
x
F
100° E
60°
50°
D
85°
C
H
x
40°
N
E) 300
120°
[DN] ve [NF] açýortaydýr.
F
D) 305
ABCDEFG konveks bir yedigen
30°
Þekildeki yedigende
G
E) 62
[AK], [KF], [CE], [DL]
açýortaylar
85°
x
D) 60
ABCDEFG konveks bir
altýgen
A
F
m(EëAB) = 110°
F
E
A) 30
C) 54
[EF] ve [CG açýortay
8.
B) 52
E
D
55°
Yukarýdaki verilere göre, m(DëNF) = x kaç derecedir?
Þekilde verilenlere göre, m(BéCH) = x kaç derecedir?
A) 135
A) 50
B) 130
C) 125
D) 120
E) 110
B) 55
C) 60
D) 65
E) 70
9.A
10.C
11.A
12.D
122
1.A
2.C
3.B
4.D
5.E
6.C
7.B
8.D
ALIÞTIRMA : 30
Kare ve Dikdörtgenin Tanýmý ve Açý Özellikleri
a
D
C
a
3.
* Kenar uzunluklarý eþit
ve birbirine dik olan
dörtgene kare denir.
D
ABCD bir kare
C
|AE| = |AB|
a
a
E
m(EëBC) = 40°
°
40
a
A
A
B
B
olduðuna göre, m(AED) = α açýsýnýn ölçüsü kaç
derecedir?
ë
C : 85
1.
D
C
ABCD bir kare
BEC eþkenar üçgen
a
4.
m(AëDE) = α
D
C
E
ABCD bir kare
DEC eþkenar üçgen
B
olduðuna göre, α açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
C : 15
2.
D
[AC] köþegen
A
A
B
C : 30
D
ABCD bir kare
C
|DB| = |AE|
E
m(CëAE) = α
E
olduðuna göre, α açýsý kaç derecedir?
5.
ABCD bir kare
C
a
a
m(EëAB) = α
a
A
A
B
B
E
olduðuna göre, m(BéCE) = α açýsý kaç derecedir?
C : 15
C : 22,5
123
a
D
°
45
45
°
45
°
a
°
45
°
a
b
b
E
b
°
45
°
a
A
C
a
* Köþegenler açýortay
olup birbirini dik
ortalar.
45
°
45
D
|AC| = |BD|
a
O
45
* Karenin köþegen
uzunluklarý birbirine
eþittir.
C
B
* [AC] ve [BD] köþegenleri eþittir.
b
a
a
A
* Köþe açýlarý dik olan
paralelkenara dikdörtgen
denir.
B
AC = BD
[AC] ⊥ [BD]
*
|OA| = |OC| = |OB| = |OD|
6.
9.
D
ABCD bir kare
C
E noktasý dikdörtgenin aðýrlýk merkezidir.
D
C
ABCD bir dikdörtgen
[BD] köþegen
x
[AC] köþegen
|DE| = |DC|
|AC| = | BF|
E
A
a
A
B
m(AëBD) = 28°
E
m(AëFD) = α
F
B
Yukarýdaki verilere göre, m(EëCB) = x kaç derecedir?
Verilenlere göre, α açýsý kaç derecedir?
C : 22,5
7.
ABCD bir kare
E
[AC] köþegen
|AC| = |DE|
F
D
C
a
C : 14
10.
D
C
30°
x
|CE| = |AC|
m(DëCA) = 30°
m(AëKB) = α
m(BëAE) = 42°
A
K
42°
B
E
A
B
C : 24
C : 67,5
11.
8.
D
a
F
A
C
F
|FE| = |EB|
[DE] ⊥ [AC]
E
m(FëEA) = 80°
80°
|AE| = 5ñ3 cm
A
|DF| = 10 cm
B
[AC] ∩ [BD]= {F}
[AC] köþegen
10
5ñ3
D
ABCD bir kare
C
E
B
Yukarýdaki verilere göre, m(AëFE) kaç derecedir?
olduðuna göre, m(CDF) = α kaç derecedir?
ë
C : 15
C : 60
124
TEST : 26
Kare ve Dikdörtgenin Tanýmý ve Açý Özellikleri
1.
D
C
70°
4.
D
C
x
|AB| = |EC|
m(EëDC) = 70°
12°
x
A
A
B
E
B) 40
C) 45
D) 50
E) 55
A) 24
2.
D
C
5.
B) 36
E
C) 38
D
20°
70°
|FC| = |AB|
60°
x
3.
B) 15
C) 17,5
D
C
D) 20
A
A) 35
6.
B) 40
D
C) 45
C
A
D) 50
E) 55
[AC] ve [BD] köþegenler
K
|AK| = 3x
m(DëAE) = 80°
E
m(AëCB) = x
|AD| = |DE|
80°
C
B
E) 22,5
x
|DC| = |CE|
x
ACDE bir dikdörtgen
m(EëDA) = 20°
B
Yukarýdaki verilere göre, m(AëDE) = x kaç derecedir?
A) 7,5
E) 42
m(BëED) = 70°
F
E
D) 40
|EB| = |AD|
m(FëCB) = 60°
A
E
ABCD dikdörtgen, |AC| = |BE|, m(AëED) = 12°
A) 35
B
|BK| = 5x – 6
B
A
B
Yukarýdaki verilere göre, dikdörtgenin köþegen
uzunluklarý toplamý kaç cm dir?
A) 30
A) 45
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
125
B) 36
C) 32
D) 27
E) 24
7.
D
C
10.
ABCD kare
D
ABCD kare
C
AÿEB eþkenar üçgen
A, B, E doðrusal
|AE| = |DB|
F
A
a
B
a
A
E
B
Yukarýdaki verilere göre, m(AëEC) = α kaç derecedir?
A) 55
E
B) 60
C) 62,5
D) 65
E) 67,5
Yukarýdaki verilere göre, m(AëFE) = α kaç derecedir?
A) 60
8.
B) 62,5
D
C
C) 65
D) 70°
E) 75
11.
ABCD kare
x
B
Yukarýdaki verilere göre, m(EëBC) = α kaç derecedir?
B) 15°
D
C
30°
C) 20°
D) 25°
F
a
A
ABCD kare
ABE eþkenar üçgen
E
m(CëDE) = 10°
9.
C
|AE| = |AB|
E
A) 10°
D
A
B
Yukarýdaki verilere göre, m(AëEF) = x kaç derecedir?
E) 35°
A) 45
12.
ABCD kare
D
B) 35
C) 25
E) 5
ABCD kare
C
|DE| = |BC|
m(EëDC) = 30°
E
D) 15
a
E
x
A
A
B
B
Yukarýdaki verilere göre, m(EëBC) = x kaç derecedir?
Yukarýdaki verilere göre, m(AëED) = α kaç derecedir?
A) 10
A) 45
B) 12
C) 15
D) 18
E) 25
B) 40
C) 35
D) 30
E) 25
10.E
11.A
12.D
126
1.B
2.B
3.E
4.A
5.C
6.B
7.E
8.E
9.C
ALIÞTIRMA : 31
Paralelkenar ve Eþkenar Dörtgende Açý Özellikleri
4.
C * Karþýlýklý kenarlarý
D
D
C ABCD
E
paralel olan dörtgenlere, paralelkenar denir.
a
84°
bir
paralel-
kenar
F
m(EFA) = 84°
m(FëAB) = 15°
15°
A
B
A
B
m(CëEF) = α
Yukarýdaki verilere göre, α kaç derecedir?
|AB| = |DC| ve |AD| = |BC|
C : 69°
m(ëA) = m(ëC) ve m(ëB) = m(ëD)
m(ëA) + m(ëB) = 180°
5.
1
C ABCD bir
D
C ABCD
D
76°
E
paralelke30°
m(DëCB) = 76°
m(DëAB) = 3 x + 10°
x
A
m(CëBA) = 4 x + 30°
3x + 10°
paralel-
|AB| = |AE|
nar
A
bir
kenar
B
m(DëAE) = 30°
4x + 30°
Yukarýdaki verilere göre, m(EBA) = x kaç dere-
B
ë
cedir?
Yukarýdaki verilenlere göre, x kaç derecedir?
C : 67°
2.
C ABCD bir paralelkenar
D
3x + 10°
m(DëAB) = x + 56°
C : 20°
6.
C ABCD bir
D
107°
m(CëDE) = 42°
E
32°
m(DëEB) = 107°
a
m(DëCB) = 3 x + 10°
A
x + 56°
A
paralelke-
nar
42°
B
m(EëBC) = 32°
Yukarýdaki verilere göre m(DAB) = α kaç derecedir?
ë
B
Verilenlere göre, DCB açýsý kaç derecedir?
C : 33°
C : 79°
7.
C ABCD
D
50°
10°
b
3
C ABCD
kenar
D
b
bir
m(DëCF) = 50°
F
A
paralel-
|AB| = |FC|
paralel-
m(CëDA) = β
bir
kenar
a
E
B
m(FëCB) = 10°
m(AëDE) = β°
m(DëAB) = α
a
A
m(DëEB) = α°
B
Yukarýdaki þekilde 2β – 3α = 70° olduðuna göre,
CBA açýsý kaç derecedir?
Yukarýdaki verilere göre, a + b toplamý kaç derecedir?
C : 122°
C : 170°
127
D
* Kenar uzunluklarý birbirlerine eþit olan paralelkenara, eþkenar dörtgen denir.
C
a
a
a
D
C
* Köþegenler, köþelerdeki açýlarýn açýortaylarýdýr.
* Paralelkenarýn tüm
özelliklerini taþýr.
A
8.
A
B
a
D
11.
ABCD bir eþkenar dörtgen
C
B
D
* Köþegenler birbirine
diktir.
C
20°
[AC] köþegen
E
[AC] ∩ [BD] = {E}
E
m(AëCD) = 20°
|AE| = |EB|
70°
* Eþkenar dörtgende
köþegenler birbirini ortalar.
m(BëEC) = 70°
A
A
B
B
Yukarýdaki verilere göre, ABD açýsýnýn ölçüsü
kaç derecedir?
Yukarýdaki verilere göre, m(AëDC) kaç derecedir?
C : 110°
9.
D
C
10°
E
m(DëCE) = 10°
x
A
C : 70
12.
D
C
[DE] ve [AE] açýortaylar
a
E
B
A
Yukarýdaki verilere göre, m(DëAE) = x kaç derecedir?
B
Buna göre, m(DëEA) =
a
kaç derecedir?
C : 90°
C : 5°
10.
D
C
a
13.
ABCD eþkenar dörtgen
D
C
[AC] ∩ [BD] = {K}
m(AëDH) = m(HëDB)
K
[DH] ⊥ [AB]
|AC| = 24 cm
|BD| = 10 cm
A
H
B
A
B
Yukarýdaki verilere göre, m(DëCB) kaç derecedir?
Yukarýdaki verilere göre, Çevre(ABCD) kaç cm
dir?
C : 60°
C : 52
128
TEST : 27
Paralelkenar ve Eþkenar Dörtgende Açý Özellikleri
1.
4.
C ABCD paralelkenar
D
4x 40°
a
ABCD paralelkenar
E
m(AëDC) = 4x – 40°
A, F, E doðrusal
D
m(AëBC) = 3x + 10°
F
C
|FC| = |FE|
a
m(BëAE) = 82°
3x + 10°
A
B
82°
Yukarýdaki verilere göre, m(BëCD) = α kaç derecedir?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
A
B
Yukarýdaki verilere göre, m(AëDC) = α kaç derecedir?
E) 30
A) 49
2.
D
5.
C ABCD paralelkenar
E
B) 50
C) 51
11°
m(BëED) = 111°
E
40°
m(CëBE) = 40°
B
Yukarýdaki verilere göre, m(EëAD) = α kaç derecedir?
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
111°
|AE| = |DC|
A
D
A
25°
Yukarýdaki verilere göre, m(AëBE) = α kaç derecedir?
A) 93
E) 70
B) 91
C) 83
D) 81
E) 80
C ABCD paralelkenar
D
a
|DE| = |BC|
m(AëBC) = 120°
m(DëEF) = 30°
120°
E
K
A
m(FëKC) = 25°
A
m(EëFK) = α
B
B) 55
C) 60
D) 65
E
B
Yukarýdaki verilere göre, m(EëDC) = α kaç derecedir?
Yukarýdaki verilere göre, α kaç derecedir?
A) 50
B
nar
a
30°
m(EëBC) = 21°
a
C ABCD bir paralelke-
F
m(EëDC) = 11°
21°
6.
3.
E) 53
C ABCD paralelkenar
D
|AD| = |BE|
a
D) 52
E) 70
A) 30
129
B) 45
C) 60
D) 70
E) 80
7.
C ABCD
D
10.
paralel-
D
C
kenar
m(AëDE) = 2m(EëDB)
E, F, C doðrusal
m(DëEA) = 84°
a
A
B
F
a
84°
A
Yukarýdaki verilere göre, m(DëAE) = α kaç derecedir?
E
|EF| = |FD| = |FB| = |BC|
Yukarýdaki verilere göre, m(DëFC) = α kaç derecedir?
A) 36
B) 54
C) 72
D) 78
A) 42
D
C
B) 48
C) 54
D
H
C
a
B
Yukarýdaki verilere göre, m(DëAE) = α kaç derecedir?
A) 70
9.
B) 65
C) 60
D
C
D) 55
A
ABCD eþkenar
dörtgen
|DH| = |HC|
m(EëCB) = 10°
E
a
E) 64
[BH] ⊥ [HC]
DEC eþkenar üçgen
10°
D) 58
E) 96
11.
8.
B
E
A
B
Yukarýdaki verilere göre, m(AëDC) = α kaç derecedir?
A) 60
B) 75
C) 105
D) 120
E) 135
E) 50
12.
D
C
115°
|AD| = |EC|
a
F
[AC] ∩ [BD] = {E}
[DF] açýortay
E
m(DëEB) = 162°
m(DëFC) = 115°
E
a
A
A
B
B
Yukarýdaki verilere göre, m(DëAB) = α kaç derecedir?
Yukarýdaki verilere göre, m(AëCB) = α kaç derecedir?
A) 32
A) 20
B) 36
C) 54
D) 60
E) 72
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
9.B
10.C
11.D
12.C
130
1.C
2.B
3.B
4.A
5.E
6.C
7.C
8.B
ALIÞTIRMA : 32
Ýkizkenar ve Dik Yamuðun Açý Özellikleri
D
C
c
b
b
3.
* Paralel olmayan kenarlarýnýn uzunluklarý eþit
olan yamuða ikizkenar
yamuk denir.
D
ABCD
yamuk
C
|AD| = |BC|
|AE| = |AB|
36°
B
a
ikizkenar
E
x
A
bir
A
Yukarýdaki þekle göre, BC = AD dir.
B
m(EëAB) = 36°
Verilenlere göre, m(DëAE) = x kaç derecedir?
m(DëAB) = m(CëBA)
C : 36°
m(AëDC) = m(BëCD)
m(DëAB) + m(AëDC) = 180°
1.
D
ABCD
yamuk
C
x
E
bir
4.
ikizkenar
D
110°
[AE] ⊥ [BC]
C : 120°
D
ABCD
yamuk
C
a
bir
B
Verilenlere göre, m(AëDC) = x kaç derecedir?
2.
ikizkenar
bir
ikizkenar
|AD| = |BC|
A
B
Verilenlere göre, m(DëAE) kaç derecedir?
C : 50°
5.
D
ABCD
yamuk
C
x
|AD| = |BC|
bir
ikizkenar
E
|AD| = |BC|
|AE| = |AB|
b
A
E
90°
[AE] açýortay
A
ABCD
yamuk
C
y
B
A
Verilenlere göre, α + β toplamý kaç derecedir?
B
x – y = 74°
Verilenlere göre, m(CëAB) = y kaç derecedir?
C : 180°
C : 32°
131
D
h
h
c
3.
* Paralel olmayan kenarlardan biri tabanlara
dik olan yamuða, dik
yamuk denir.
C
c
b
D
ABCD bir dik yamuk
C
3
[AB] ⊥ [AD]
x
|AB| = 8 cm
13
ac
A
|BC| = 13 cm
B
|DC| = 3 cm
a
A
B
8
Verilenlere göre, |AD| = x kaç cm dir?
C : 12
1.
D
ABCD bir dik yamuk
C
4
|AB| = 14 cm
5
x
|DC| = 4 cm
|AD| = 5 cm
A
4.
B
14
D
ABCD bir dik yamuk
C
2
Verilenlere göre, |BC| = x kaç cm dir?
|AB| = |BC| = x cm
5
C : 5ñ5
x
|AD| = 5 cm
|DC| = 2 cm
x
A
B
Verilenlere göre, |BC| = x kaç cm dir?
C:
2.
D
5.
ABCD bir dik yamuk
C
D
C
45°
ABCD bir dik yamuk
|BC| = |DC|
m(CëBA) = 45°
6ñ2
29
4
6ñ2
|AB| = 10 cm
|AB| = 12 cm
|AD| = 6ñ2 cm
|BC| = 6ñ2 cm
A
A
B
10
Verilenlere göre, |AD| + |DC| kaç cm dir?
12
B
Verilenlere göre, |BC| kaç cm dir?
C : 10
C:6
132
ALIÞTIRMA : 33
Düzgün Çokgenin Açý Özellikleri
*
Tüm kenar uzunluklarý ve iç açýlarýnýn ölçüleri
eþit olan çokgene, düzgün çokgen denir.
*
Düzgün çokgenlerin köþeleri daima bir çember üzerindedir.
*
n kenarlý bir düzgün dýþbükey çokgenin bir
açýsýnýn ölçüsü,
*
n kenarlý bir düzgün çokgenin bir dýþ açýsýnýn
ölçüsü,
360°
n
dir.
(n − 2).180 °
n
dir.
1.
4.
Düzgün ongenin bir iç açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
C : 144°
Düzgün dokuzgenin bir dýþ açýsýnýn ölçüsü kaç
derecedir?
C : 40°
2.
5.
Düzgün otuzgenin bir iç açýsý kaç derecedir?
C : 168°
3.
Düzgün beþgenin bir dýþ açýsýnýn düzgün yirmigenin bir dýþ açýsýna oraný kaçtýr?
C:4
6.
Düzgün ongenin bir köþesinden çizilen iki köþegenin arasýndaki açýnýn en küçük deðeri kaç
derecedir?
Düzgün bir çokgenin bir köþesinden çizilen
köþegen sayýsý 12 olduðuna göre bu düzgün
çokgenin bir dýþ açýsýnýn iç açýsýna oraný kaçtýr?
C:
C : 18°
133
2
13
7.
10.
ABCDE bir düzgün beþgen
A
x
B
D
N
E
KLMDN düzgün beþgen
M
K
C
ABCD kare
C
A
L
B
D
K, A, L doðrusal olduðuna göre, m(AëDM) kaç derecedir?
Verilere göre, m(CAD) = x kaç derecedir?
ë
C : 36°
C : 54°
11.
8.
E
A
T
CDFK bir kare
x
F
F
C
a
K
ABCDEF düzgün altýgen
C
E
|ET| = |TE|
K
B
ABCK eþkenar dörtgen
D
D
Verilere göre, m(ABK) = x kaç derecedir?
ë
A
B
Buna göre, m(TëKA) = α kaç derecedir?
C : 90
C : 27°
12.
9.
E
x
A
ABMLK bir düzgün beþK
M
ABCDE ve AEFGH
birer beþgen
G
m(EëDF) = x
ABCDE bir düzgün altýgen
D
L
F
H
F
E
B
C gen
x
A
C
B
Verilere göre, m(EFK) = x kaç derecedir?
D
Yukarýdaki verilere göre x kaç derecedir?
ë
C : 36°
C : 18°
134
TEST : 28
Düzgün Çokgenin Açý Özellikleri
1.
4.
Düzgün bir yirmidörtgenin bir dýþ açýsýnýn bir iç
açýsýna oraný kaçtýr?
A
FED bir eþkenar üçgen
x
B
A)
1
7
B)
1
9
C)
1
10
D)
1
11
E)
E
F
1
12
C
D
Verilere göre, x kaç derecedir?
A) 42
5.
B) 40
C) 38
D) 36
E) 34
A
[AH] ⊥ [CD]
B
Bir iç açýsý bir dýþ açýsýnýn beþ katý olan düzgün
A) 18
B) 16
C) 14
D) 12
E) 10
a
2.
E
C
H
D
Verilere göre, α kaç derecedir?
A) 36
6.
B) 42
C) 46
D) 54
E) 60
A
[AF] ve [CF] açýortay
B
E
F
3.
C
D
Düzgün bir çokgenin bir iç açýsý bir dýþ açýsýnýn
üç katýndan 20° fazla olduðuna göre, çokgenin
Verilere göre, m(AFC) kaç derecedir?
A) 9
A) 108
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
135
B) 112
C) 124
D) 136
E) 144
7.
A
B
10.
ABCDEF bir düzgün
altýgen
F
EDLK bir kare
E
A
ABCDEF bir düzgün altýgen
F
E
B
x
K
EKLMD bir düzgün
beþgen
K
C
C
D
D
x
L
L
M
A) 9
B) 12
C) 14
D) 15
E) 17
A) 10
E
ABCDEF bir düzgün
altýgen
D
x
K
A
F
C) 75
D) 82
C
D
Verilere göre, FCD açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
E) 90
A) 32
9.
E) 36
BCF eþkenar üçgen
E
B
B
B) 68
D) 24
ABCDE düzgün beþgen
A
KLBA bir kare
C
Verilere göre, m(DëMF) = α kaç derecedir?
A) 60
C) 20
M
L
F
11.
8.
B) 16
F
A
ABCDE
beþgen
bir
B) 40
C) 48
D) 52
E) 56
düzgün
12.
A
AEF bir eþkenar üçgen
E
B
x
E
B
x
C
C
D
A) 4
B) 6
D
C) 8
Verilere göre, m(AëFC) = x kaç derecedir?
D) 10
E) 12
A) 24
B) 36
C) 54
D) 72
E) 82
10.D
11.C
12.B
136
1.D
2.D
3.A
4.A
5.D
6.E
7.D
8.C
9.B
ALIÞTIRMA : 34
Kare ve Dikdörtgenin Alan Özellikleri
D
a
C
5.
* Karenin alaný, bir kenar uzunluðunun karesine eþittir.
D
|AE| = 7 cm
|CE| = 17 cm
17
A(ABCD) = a2
e
ABCD bir kare
C
olduðuna göre,
Ç(ABCD) = 4a
A
1.
a
B
A
e=a 2
7
A(AECD) kaç cm2 dir?
B
E
C : 165
6.
Çevresi 48 cm olan bir karenin alaný kaç cm2
dir?
D
C
ABCD bir kare
ADE eþkenar üçgen
C : 144
E
|AB| = 12 cm
olduðuna göre, taralý alan
kaç cm2 dir?
A
B
12
2.
Çevresinin uzunluðu, alanýna eþit olan karenin
köþegen uzunluðu kaç cm dir?
C : 4ñ2
C : 144 – 36ñ3
7.
D
C
EFGH bir kare
G
H
|AB| = x cm
F
|EF| = y cm
E
A
3.
ABCD bir kare
B
Taralý alan 48 cm2 ve bu iki karenin çevreleri
toplamý 32ñ3 cm olduðuna göre, büyük karenin
bir kenarý kaç cm dir?
Köþegen uzunluðu 6ñ2 cm olan karenin alaný
kaç cm2 dir?
C : 5ñ3
C : 36
8.
D
ABCD bir kare
C
BEFG bir kare
4.
Köþegen uzunluðu 4ñ7 birim olan karenin alaný
kaç br2 dir?
G
F
A(ABCD) = x
A(BEFG) = y
C : 56
A
B
E
|AG| = 5ñ3 cm
olduðuna göre, x+y toplamý kaç cm2 dir?
C : 75
137
D
C
12.
* ABCD dikdörtgen
olmak üzere,
D
A(ABCD) = a.b olur.
ABCD dikdörtgen
E
F
C
[AE] ⊥ [EC]
|EB| = |DC|
b
|EC| = |AD|
A
|DF| = 4 cm
B
a
A
B
Verilenlere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?
9.
D
ABCD dikdörtgen
C
2
|CE| = 2 cm
E
|EB| = 4 cm
4
A
F
3
|FB| = 5 cm
B
5
C : 48ñ3
|AF| = 3 cm
Verilenlere göre, A(DFE) kaç cm2 dir?
13.
D
C
C : 21
7
E
10.
D
L
C
6
3
5
E
K
2
A
10
B
Verilenlere göre, taralý bölgenin çevresi kaç cm
dir?
C : 34
1
A
F
4
B
4
Verilere göre, EFKL dörtgeninin alaný kaç cm2
dir?
C : 22
14. Çevresi 25 cm olan bir dikdörtgenin kenar uzunluklarý 4 cm artýrýlýrsa alaný kaç cm2 artar?
C : 66
11.
D
C
ABCD dikdörtgen
[DE] ve [CF] açýortay
|EB| = 2 cm
A
6
15. Bir dikdörtgenin kýsa kenarý %10 azaltýlýp, uzun
|AE| = 6 cm
F
E 2
kenarý % 30 artýrýlýyor.
B
Buna göre dikdörtgenin alanýnda nasýl bir
deðiþme olur?
Verilenlere göre, A(BCFE) kaç cm2 dir?
C : % 17 artar
C : 14
138
ALIÞTIRMA : 35
Paralelkenar ve Eþkenar Dörtgende Alan Özellikleri
D
hb
b
E
3.
* ABCD paralelkenarýnda
C
C ABCD
D
5
|AB| = a
ha
|HC| = ha
F
8
B
a
H
paralel-
[DE] ⊥ [AC]
E
[BF] ⊥ [AC]
|AD| = b
A
bir
kenar
A
13
|DE| = 5 cm
B
|DE| = hb
|AB| = 13 cm
olmak üzere,
|FC| = 8 cm
A(ABCD) = a.ha = b.hb olarak bulunur.
C : 100
1.
D
ABCD
kenar
C
bir
paralel-
[CH] ⊥ [AH]
13
4.
|CB| = 13 cm
C
ABCD
kenar
bir
paralel-
|BH| = 5 cm
B 5 H
15
|AB| = 15 cm
C : 180
m(DëAB) = 45°
8ñ2
A
D
|AD| = 8ñ2 cm
45°
A
10
|AB| = 10 cm
B
C : 80
5.
2.
D
15
C
x
12
A
bir
paralelD
45°
C
K
B
[CE] ⊥ [AE]
|AB| = 8ñ2 cm
|DH| = 10 cm
10
H
ABCD
kenar
ABCD bir paralelkenar
E
7
|AD| = 7 cm
|DC| = 15 cm
|AD| = 12 cm
A
Verilenlere göre, x kaç cm2 dir?
8ñ2
B
25
C:
2
C : 56
139
*
Eþkenar dörtgen paralelkenarýn alan özelliklerinin
hepsini saðlar.
D
6.
E
Alan(ABCD) = a . h
A
D E
C
9.
8
AC . BD
2
C ABCD bir eþkenar dörtgen
D
[AE], [BE] açýortay
Çevre(ABCD) = 52 cm
E
8
|EH| = 8 cm
H
B
A(ABCD) =
B
a
A
C
C
h
A
D
|AE| = 8 cm
5
|EB| = 5 cm
B
A
B
C : 104
7.
D 3 E
C
C : 80
10.
D
C
E
[DH] ⊥ [AB]
|HB| = 2 cm
A
|DE| = 3 cm
A
8
|BD| = 12 cm
B
H
|AC| = 16 cm
|AH| = 8 cm
H 2 B
Verilenlere göre, |DH| kaç cm dir?
Verilenlere göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
C:
C : 50ñ3
8.
D
C
11.
D
C
|AC|2 + |BD|2 = 200 cm2
|BD| = 12 cm
A
[DH] ⊥ [AB]
E
Ç(ABCD) = 40 cm
48
5
A
B
Verilenlere göre, eþkenar dörtgenin yüksekliði
kaç cm dir?
48
C:
5
H
B
|DH| = 6 cm
Verilenlere göre, A(BEC) kaç cm2 dir?
C : 15 2
2
140
TEST : 29
Özel Dörtgenlerin Alan Özellikleri
1.
D
C
2
E
4.
ABCD kare
D
C
|AE| = 10 cm
ABCD dikdörtgen
|AC| = 8 cm
8
|EC| = 2 cm
m(CëAB) = 30°
10
30°
A
A
B
B
Yukarýdaki verilere göre A(AECD) kaç cm2 dir?
Buna göre, A(ABC) kaç cm2 dir?
A) 24
A) 8
B) 32
C) 36
D) 40
E) 64
5.
D
B) 8ñ3
C) 16
C
F
D) 16ñ3
E) 32
ABCD dikdörtgen,
EBCF kare
D
ABCD ve BEFG birer
kare
C
G
F
A, B, E doðrusal noktalar
|BG| = |GC|
A
B
E
2.|AE| = |EB|
2.
|AF| = 4ñ5 cm
A
B
E
olduðuna göre, A(AEFD) kaç cm2 dir?
A) 16
|DF| = 5ñ2 cm
B) 32
C) 36
D) 40
E) 32ñ5
Yukarýdaki verilere göre karelerin alanlarý
toplamý kaç cm2 dir?
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
E) 50
6.
D
6
F
C
ABCD dikdörtgen,
3
|AE| = |ED| = 3 cm
E
|DF| = 6 cm
3
|FC| = 4 cm
A
3.
4
B
Alaný 64 cm2 olan karenin köþegen uzunluðu
kaç cm dir?
Yukarýdaki verilere göre, AEC üçgeninin alaný
kaç cm2 dir?
A) 4ñ2
A) 20
B) 6
C) 8
D) 8ñ2
E) 10
141
B) 24
C) 28
D) 30
E) 36
7.
D
10.
C ABCD paralelkenar
H
D
[BH] ⊥ [DC]
C
[EF] ⊥ [BC]
E
4
|AB| = 4 cm
|EF| = 4 cm
F
|BH| = 3 cm
A
|AB| = 6 cm
B
A
B
6
Yukarýdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 6
A) 12
8.
B) 8
C) 10
D) 12
E) 16
11.
|AB| = 12 cm
L
D) 24
E) 26
B
K
Yukarýdaki verilere göre, |DL| kaç cm dir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
D
E
|AB| = 2ò13 cm
A
B
E) 18
A) 56
D
C
|AC| = 12 cm
|DK| = 6 cm
|BC| = 9 cm
9.
C) 18
C ABCD paralelkenar
D
A
B) 16
B) 48
C) 36
D) 24ò13
E) 12ò13
C ABCD paralelkenar
E
ABE eþkenar üçgeninin çevresi 18 cm
olduðuna göre,
A
B
12. Alaný sayýca çevresine eþit olan eþkenar dört-
A(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 18
B) 18ñ2
genin yüksekliði kaç birimdir?
C) 18ñ3
D) 24
E) 24ñ2
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
10.D
11.B
12.B
142
1.D
2.A
3.B
4.D
5.B
6.B
7.D
8.B
9.C
ALIÞTIRMA : 36
Üçgende Alan Formülleri
* ABC dik üçgen
A
A(ABC) =
b
|AB| = c
a.c b.hb
=
2
2
ha
F
H
c
* ABC bir üçgen
A
hb
|AC| = b
E
|BC| = a
hc
hb
B
B
C
a
D
C
A(ABC) =
1.
9
B
4.
ABC bir dik üçgen
A
ABC bir üçgen
A
[AB] ⊥ [BC]
[AH] ⊥ [BC]
|AB| = 9 cm
|BC| = 18 cm
|BC| = 12 cm
|AH| = 9 cm
C
12
a.ha b.hb c.h c
=
=
2
2
2
B
olduðuna göre, A(ABC) kaç cm2 dir?
H
C
C : 54
2.
ABC bir dik üçgen
A
[AB] ⊥ [BC]
x
C : 81
5.
[BH] ⊥ [AC]
|BC| = 20 cm
|AC| = 24 cm
H
A(ABC) = 140 cm2
B
ABC bir üçgen
A
x
A(ABC) = 96 cm2
C
20
B
C
olduðuna göre, |BH| = x kaç cm dir?
C : 14
C:8
3.
ABC bir dik üçgen
A
6.
[AH] ⊥ [BC]
(a+b+c) . (a+c–b) = 112
b
c
ABC bir üçgen
A
m(ëB) = 90°
|AB| = 13 cm
13
|BH| = 5 cm
B
a
C
B 5
olduðuna göre, ABC üçgeninin alaný kaç cm2
dir?
H
11
C
|HC| = 11 cm
C : 96
C : 28
143
* ABC geniþ açýlý bir
A
b
ha
* ABC bir eþkenar üçgen
A
üçgen
H, B, C doðrusal
c
hb
H
A, B, K doðrusal
B
C
aa
B
hc
C
K
A(ABC) =
A(ABC) =
a.ha b.hb c.h c
=
=
2
2
2
a2 3
4
10. Bir kenarý 6 cm olan eþkenar üçgenin alaný kaç
7.
cm2 dir?
ABC geniþ açýlý bir
üçgen
A
C : 9ñ3
[AH] ⊥ [HC]
7
|AH| = 7 cm
H
B
16
C
|BC| = 16 cm
11. Alaný 48ñ3 cm2 olan bir eþkenar üçgenin yük-
sekliði kaç cm dir?
8.
H
B
x
C
C : 56
ABC bir üçgen
C : 12
12.
ABC bir üçgen
A
|AB| = |AC| = 15 cm
[AH] ⊥ [HC]
15
|BC| = 18 cm
15
|AH| = 21 cm
A(ABC) = 84 cm2
B
C
18
A
olduðuna göre, |BC| = x kaç cm dir?
dir?
C : 108
C:8
13.
9.
ABC bir üçgen
A
ABC bir üçgen
A
|AB| = |AC| = 10 cm
[AH] ⊥ [HC]
10
|BD| = 4 cm
10
m(AëBC) = 135°
|AB| = 8ñ2 cm
135°
H
B
|DE| = 7 cm
B 4 D
C
|BC| = 10 cm
olduðuna göre, A(ABC) kaç
cm2
7
E 5
C
|EC| = 5 cm
olduðuna göre, A(ABD) + A(AEC) toplamý kaç
cm2 dir?
dir?
C : 40
C : 27
144
TEST : 30
Üçgende Alan Formülleri
1.
4.
ABC bir üçgen
A
ABC bir üçgen
A
[AD] ⊥ [BC]
[DE] ⊥ [AB]
|AB| = 5 cm
5
E
|BD| = 3 cm
B 3
D
7
C
|CD| = 7 cm
B) 18
C) 20
D) 24
|AB| = |BC| = 24 cm
B
B) 98
5.
ABC bir üçgen
A
C) 102
26
D
C
|BD| = 9 cm
A) 120
B) 130
C) 140
D) 150
E) 180
B
D 8
12
dir?
6.
B) 56
x
C
H
B) 14
[BD] ⊥ [AC]
D
|AH| = 10 cm
|BC| = 6 cm
B
H
|BD| = 12 cm
C
|BC| = 16 cm
|CD| = 3 cm
Yukarýdaki verilere göre, |AC| kaç cm dir?
olduðuna göre, |AH| = x kaç cm dir?
A) 12
C) 16
D) 18
E) 96
[AH] ⊥ [BC]
|AB| = 24 cm
6
D) 84
ABC bir üçgen
A
[AH] ⊥ [BH]
B
C) 64
ABC bir üçgen
A
D
C
olduðuna göre, ADC üçgeninin alaný kaç cm2
A) 48
3.
|BD| = 12 cm
26
|DC| = 8 cm
|AC| = 20 cm
B 9
E) 112
|AB| = |AC| = 26 cm
|AB| = 15 cm
20
D) 108
ABC bir üçgen
A
[AD] ⊥ [BC]
15
|DE| + |DF| = 9 cm
C
dir?
E) 28
A) 96
2.
F
A) 15
[DF] ⊥ [BC]
D
E) 20
A) 10
145
B) 12
C)
40
3
D) 15
E)
49
3
7.
10.
ABC bir üçgen
A
10
ABC eþkenar üçgen
A
m(AëBC) = 60°
[AH] ⊥ [BC]
|AB| = 10 cm
|AH| = 8ñ3 cm
|BC| = 14 cm
60°
14
B
C
B
olduðuna göre, A(ABC) kaç
A) 35
B) 40
C) 35ñ3
cm2
dir?
H
C
D) 40ñ3
E) 45
dir?
A) 64ñ3
8.
11.
ABC bir üçgen
A
B) 64
C) 48ñ3
|BC| = 10 cm
C
10
A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
E) 28
H
B
C
8
dir?
12.
B) 15
C) 12ñ3
8
H
[BH] ⊥ [AC]
H
[AH] ⊥ [BC]
C
E) 20ñ3
[AB] ⊥ [BC]
m(AëCB) = 15°
|AB| = 6 cm
B
D) 16
ABC dik üçgen
A
[BA] ⊥ [AC]
6
|BC| = 8 cm
BAC dik üçgen
A
|AB| = 6 cm
120°
A) 12
9.
[AH] ⊥ [HC]
6
B
m(AëBC) = 120°
|AC| = 8 cm
30°
E) 36ñ3
ABC bir üçgen
A
m(AëCB) = 30°
8
D) 45
x
A(ABC) = 50 cm2
15°
|AC| = 8 cm
B
C
olduðuna göre, |AH| kaç cm dir?
Yukarýdaki verilere göre, |BH| = x kaç cm dir?
12
A)
5
24
B)
5
26
C)
5
32
D)
5
36
E)
5
A) 3
B) 5
C) 6
D) 8
E) 10
10.A
11.C
12.B
146
1.C
2.D
3.A
4.D
5.E
6.C
7.C
8.B
9.B
ALIÞTIRMA : 37
Üçgende Alan Özellikleri
S1
S2
B x
D
4.
* Yükseklikleri eþit iki
üçgenin alanlarýnýn
oraný bu yüksekliklere
ait taban uzunluklarý
oranýna eþittir.
A
4|DC| = 5|BD|
E
A(ABD) = S1
C
y
ABC bir üçgen
A
B
|DE| = 4|AE|
D
C
A(ADC) = S2
1.
C:4
5.
ABC bir üçgen
A
A(ABD)
oraný kaçtýr?
A(AEC)
olduðuna göre,
S1 x
=
S2 y
ABC bir üçgen
A
2|BC| = 5|DC|
E
A(ABD) = 48 cm2
7|AE| = 2|AC|
|BD| = 8 cm
|DC| = 6 cm
B
D 6
8
B
C
D
C
DEC üçgeninin alaný 24 cm2 olduðuna göre,
ABC üçgeninin alaný kaç cm2 dir?
olduðuna göre, A(ADC) kaç cm2 dir?
C : 36
2.
ABC bir üçgen
A
C : 84
|AE| = 3|EC|
6.
E
EF =
B
E
H
D
12
F
|CD| = 12 cm
B
C
olduðuna göre, A(DEC) kaç cm2 dir?
AC
8
2
AD = BD
3
D
|AH| = 14 cm
14
ABC bir üçgen
A
C
A(DEF) = 5 cm2
olduðuna göre, ABC üçgeninin alaný kaç cm2 dir?
C : 21
C : 100
7.
3.
ABC bir üçgen
A
BAC dik üçgen
A
2|BD| = 5|AD|
[BA] ⊥ [CA]
E
D
10|AE| = 3|AC|
E
|BD| = |DC|
|EC| = 6 cm
B
D
C
B
|AB| = 10 cm
olduðuna göre,
olduðuna göre, EBD üçgeninin alaný kaç cm2
dir?
C
A(BEC)
oraný kaçtýr?
A(BDE)
C:
C : 15
147
49
15
A
D
h1
h2
B
H
C
* Taban uzunluk
larý eþit iki üçgenin alanlarý oraný yükseklikleri
oranýna eþittir.
C
A
K
B
d2
A(CAB) = A(DAB) = A(EAB)
A(ABC) h1
=
A(BDC) h2
* Tabanlarý ve yükseklikleri ayný olan üçgenlerin alanlarý birbirine eþittir.
11.
ABC bir üçgen
ABC bir üçgen
A
BDC bir üçgen
A
d1
* d1 // d2 olduðunda
|DK| = h2
D
E
h
|AH| = h1
8.
D
[DE] // [BC]
|AH| = 7 cm
A(DEC) = 12 cm2
D
E
|DK| = 12 cm
A(ABC) = 28 cm2
B
H
C
K
K
B
cm2
olduðuna göre, BDC üçgeninin alaný kaç
C
olduðuna göre, A(DEK) kaç cm2 dir?
C : 48
9.
ABC bir üçgen
A
BDC bir üçgen
dir?
C : 12
12.
F
12
[DE] // [AC]
D
|DK| = 5 cm
D
ABC bir üçgen
A
|AD| = 12 cm
|BE| = 14 cm
A(ABC) = 63 cm2
B
K
H
C
B
A(BDC) = 35 cm2
E
14
C
olduðuna göre, A(DEF) kaç cm2 dir?
C : 84
C:9
10.
D
[DE] // [BC]
|BF| = 2|FE|
E
D
K
[BA] ⊥ [AC]
E
F
|EC| = 18 cm
|AD| = 3 cm
|BD| = 6 cm
B
BAC dik üçgen
A
[DE] // [BC]
3
6
13.
ABC bir üçgen
A
B
C
F
C
|AD| = 6 cm
|DK| = |KE|
A(CEF) = 18 cm2
olduðuna göre, DKF üçgeninin alaný kaç cm2
olduðuna göre, BDE üçgeninin alaný kaç cm2
dir?
dir?
C : 27
C : 18
148
TEST : 31
Üçgende Alan Özellikleri
1.
4.
ABC bir üçgen
A
ABC bir üçgen
A
2|BD| = 3|DC|
2|BD| = 3|AD|
A(ABC) = 75 cm2
B
D
D
C
B
olduðuna göre, A(ABD) kaç
cm2
C
dir?
olduðuna göre,
A) 45
B) 40
C) 39
D) 36
E) 30
A)
2.
D
C) 50
A
D) 48
K
d1
K
B
E) 40
1
5
E)
N
A(BDC) = 20 cm2
olduðuna göre,
AN
oraný kaçtýr?
DK
5
4
B)
4
3
C)
3
2
D)
4
5
E)
6.
|KD| = |DN|
ABC bir üçgen
A
|AE| = |EC|
E
|DC| = 12 cm
x
d2
A(ADE) = 48 cm2
B
DBC üçgeninin alaný kaç cm2 dir?
Yukarýdaki verilere göre, |AH| = x kaç cm dir?
B) 20
C) 18
3
5
d1 // d2
ABC üçgeninin alaný 24 cm2 olduðuna göre,
A) 24
3
7
D
[BN] ⊥ [KN]
C
C
N
[AK] ⊥ [NK]
D
B
D)
[AN] ⊥ [BC]
A
A)
3.
1
4
A(ABC) = 25 cm2
C
B) 54
C)
|BC| = 16 cm
olduðuna göre, A(ABDC) kaç cm2 dir?
A) 60
2
3
[DK] ⊥ [BC]
H
B)
A(ADE)
oraný kaçtýr?
A(BDEC)
[AH] ⊥ [BC]
|AD| = 5 cm
B
1
2
5.
ABC bir üçgen
A
|AE| = |EC|
E
D) 12
A) 12
E) 10
149
H
D
B) 14
12 C
C) 16
D) 18
E) 20
7.
10.
ABC dik üçgen
A
[BH] ⊥ [DH]
A
[AB] ⊥ [BC]
D
[AB] // [DC]
D
[DE] // [AC]
|DH| = 4 cm
F
|AD| = 6 cm
E
B
|BE| = 9 cm
C
cm2
olduðuna göre, A(DEF) kaç
A) 21
B) 24
8.
C) 26
B
E) 30
A) 20
BAC dik üçgen
A
C
11
B) 22
11.
C) 24
D) 26
E) 30
ABC bir üçgen
A
[BA] ⊥ [AC]
|BC| = 5|BD|
|DC| = 3|BD|
|AD| = 4|ED|
E
12
H
olduðuna göre, A(ACD) kaç cm2 dir?
dir?
D) 27
|BC| = 11 cm
4
8
|AB| = 12 cm
D
|EC| = 8 cm
C
olduðuna göre, A(DEC) kaç
A) 48
B) 42
C) 40
cm2
dir?
D) 38
E) 36
B
E
B
[AH] ⊥ [BC]
D
K
5
2
B)
A(ABC)
oraný kaçtýr?
A(ABCE)
5
3
C) 2
D)
4
3
E)
5
4
ABC bir üçgen
A
B
C
olduðuna göre,
A)
9.
D
H
C
12.
A
AE
[DK] ⊥ [BC]
EC
|AH| = 10 cm
BD
DC
E
|DK| = 4 cm
|BC| = 16 cm
B
D
C
=
7
3
=1
A(ABC) = 100 cm2
olduðuna göre, ADC üçgeninin alaný kaç cm2
olduðuna göre, DEC üçgeninin alaný kaç cm2
dir?
dir?
A) 48
B) 42
C) 40
D) 36
E) 32
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
11.A
12.B
150
1.A
2.E
3.D
4.C
5.A
6.C
7.D
8.E
9.A
10.B
ALIÞTIRMA : 38
Yamuk ve Düzgün Çokgende Alan Özellikleri
D
ABCD ikizkenar yamuk
C
c
D
C
c
|AD| = |BC|
ABCD dik yamuk
h
A(ABCD) =
h
(a + c)h
2
yazýlýr.
A
a
E
A
F
D
B
a
B
4.
ABCD dik yamuk
C
D
A(ABCD) =
(a + c)h
2
yazýlýr.
D
1.
|AE| = |FB|
h
C
ABCD bir yamuk
C
4
|AB| = 9 cm
|AD| = |BC| = 10 cm
10
|DC| = 5 cm
10
|AB| = 4|DC| = 16 cm
|AD| = 6 cm
A
A
B
B
16
Verilenlere göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
C : 80
2.
D
C : 42
ABCD dik yamuk
C
|BC| = 10 cm
|CD| = 11 cm
5.
D
C
|AH = 6 cm
4
|CH| = 4 cm
|AB| = 5 cm
A
A
6
H
B
B
C : 24
C : 64
3.
D
C
6.
|AD| = |DC|
120°
A
ABCD dik yamuk
D
C
30°
|BC| = 4ñ3 cm
|AD| = |BC|
m(AëDC) = 120°
m(AëDC) = 30°
|BD| = 8 cm
B
A
B
C : 40ñ3
C : 16ñ3
151
A
a
* Düzgün altýgen, altý
tane eþkenar üçgenden
oluþtuðundan
F
a
a
B
10.
O
A(ABCDEF) = 6.
C
D
a
F
|DE| = 4ñ2
E
2
A
B
E
3
4ñ2
4
C
yazýlýr.
D
Yukarýdaki verilere göre, Alan(ACE) kaç cm2 dir?
7.
A
C : 24ñ3
F
|CF| = 12 cm
12
B
E
11.
A
F
K
C
2ñ6
D
B
Yukarýdaki verilere göre, düzgün altýgenin alaný
kaç cm2 dir?
K ∈ [AB|
E
|FE| = 2ñ6
C : 54ñ3
C
D
8.
A
K
F
|BC| = 4ñ3 cm
B
E
Yukarýdaki verilere göre, taralý alanlarýn toplamý
kaç cm2 dir?
C : 18ñ3
D
4ñ3
C
E
D
C
O
* Köþeleri O merkezli
çember üzerinde olan
düzgün beþgenin alaný
A(ABCDE) = 5.A(ABO)
ÿ
Yukarýdaki verilere göre, Alan(CDK) kaç cm2
dir?
A
B
C : 24ñ3
9.
A
F
B
12.
E
ABCDE bir düzgün beeþgen
D
E
C
O
Ç(ABCDE) = 40 cm
|OE| = 5 cm
C
D
Yukarýdaki verilere göre,
kaçtýr?
Alan(DEF)
Alan(DFAC)
A
B
oraný
Köþeleri O merkezli çember üzerindeki düzgün
beþgenin alaný kaç cm2 dir?
C: 1
4
C : 60
152
TEST : 32
Yamukta Alan Özellikleri
1.
D
4.
ABCD bir yamuk
C
4
13
D
C
[AD] ⊥ [AB]
m(BëDA) = 90°
|AB| = 9 cm
|BD| = 3ñ3 cm
|BC| = 13 cm
A
A
B
9
|DC| = 4 cm
27
A) 54ñ3 B) 27ñ3 C) 27 3 D) 27 3 E)
4
2
4
A) 65
2.
B) 78
C) 81
D) 91
E) 103
5.
D
D
ABCD bir dik yamuk
C
2
B
|AD| = |DC| = |BC| = 4 cm
m(AëBC) = 45°
45°
A
4
|DC| = 2 cm
B
A) 48
3.
B) 44
D
1
C) 38
D) 36
E) 24
A
B
A) 12
B) 12ñ3
C) 24
6.
D
3
|AD| = |BC|
E
m(CëAB) = 45°
|AF| = 8 cm
F
x
E) 36
C
|EC| = 2 cm
8
D) 24ñ3
ABCD yamuk
E 2 C
[EF] ⊥ [AB]
A
m(BëCD) = 120°
|BC| = 8ñ2 cm
8ñ2
C
120°
B
|DC| = 3 cm
|DE| = 1 cm
A
7
B
|AB| = 7 cm
Yukarýdaki þekilde A(AFED) = A(FBCE) olduðuna göre, |FB| = x kaç cm dir?
A) 8
A) 15
B) 7
C) 6
D) 5
E) 3
153
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
7.
10.
Bir kenarýnýn uzunluðu 3 cm olan düzgün altýgenin alaný kaç cm2 dir?
B) 27 3
2
A) 27ñ3
D) 9 3
2
D
K
R
ABCD dikdörtgen
C
KLMNPR düzgün altýgen
C) 9ñ3
L
P
E) 6ñ3
A
M
N
B
Düzgün altýgenin alaný 6ñ3 cm2 olduðuna göre,
dikdörtgenin alaný kaç cm2 dir?
A) 12ñ3
8.
A
F
B) 12
C) 8ñ3
11.
A(AFE) = 4 cm2
l
E
ll
D
Yukarýdaki verilere göre, A(ACE) kaç cm2 dir?
A) 24
9.
B) 16
A
C) 12
D) 8
E) 6
C
I, II ve III alanlarýnýn oranlarý hangi þýkta doðru
verilmiþtir?
F
I
II
III
A) 1
2
3
B) 1
1,5
2
C) 1
1,5
2,5
D) 1
1
2
E) 2
3
5
12.
A
F
|CD| = 4 cm
B
B, K, E doðrusal
E
C
K
B
D
C
Yukarýdaki verilere göre, A(ABE) kaç
A) 16ñ3
B) 16
E) 4
Þekilde bir düzgün altýgen
verilmiþtir.
lll
B
D) 8
C) 8ñ3
D) 8
cm2
E
A(ABCDEF) = 24ñ3 cm2
D
dir?
Yukarýdaki verilere göre, A(KCD) kaç cm2 dir?
E) 4ñ3
A) 8
B) 6ñ3
C) 6
D) 4ñ3
10.C
11.A
E) 4
154
1.B
2.A
3.B
4.D
5.B
6.C
7.B
8.C
9.C
12.D
ALIÞTIRMA : 39
Eþlik - Eþlik Aksiyomu ve Teoremleri
ABC üçgeni ile DEF üçgeni verilsin. ëA ile ëD, ëB ile ëE,
ëC ile ëF açýlarý eþit ve [AB] ile [DE], [AC] ile [DF], [BC]
ile [EF] kenarlarý eþit ise;
2.
m(BëLM) = 35°
L
''ABC üçgeni ile DEF üçgeni eþittir'' denir.
AÿBC ≅ DÿEF
AÿCB ≅ LÿKM
A
K
35°
80°
x
B
* Eþ iki üçgenin; karþýlýklý kenarortayarýnýn uzunluklarý, karþýlýklý açýortaylarýnýn uzunluklarý ve karþýlýklý
yüksekliklerinin uzunluklarý birbirine eþittir.
m(LëBC) = 80°
C
M
olduðuna göre, m(KëMC) = x kaç derecedir?
C : 35°
Kenar Açý Kenar (K.A.K) Eþlik Aksiyomu:
A
B
D
C E
3.
F
ABC ve DEC birer eþkenar üçgen
A
ABC ve DEF üçgenlerinde;
|AE| = 7 cm
7


△
△

ë = m(E)
ë  ise; A B C ≅ DEF yaz ýlýr.
m(B)
BC = EF 

(Yani ABC üçgeni ile DEF üçgeni eþtir)
AB = DE
|BD| = (3x – 5) cm
E
B
C
olduðuna göre, x kaç
cm dir?
3x - 5
D
C:4
 m(A)
ë = m(D)
ë

Buna göre  AC = DF

ë = m(F)
ë bulunur.
 m(C)
1.
A
4.
P
EBD ve ABC birer
ikizkenar diküçgen
A
x
D
E
50°
B
C
R
[EB] ⊥ [BD]
8
x
[AB] ⊥ [BC]
S
|EB| = |BD|
B
C
|AB| = |BC|
BÿAC ≅ PÿRS
|DC| = 8 cm
olduðuna göre ABC açýsýnýn x türünden eþiti
nedir?
olduðuna göre, |AE| = x kaç cm dir?
C:8
C :130° – x
155
5.
C
D
ABD eþkenar üçgen
Kenar Kenar Kenar (K.K.K) Eþlik Teoremi:
[DC] // [AB]
Herhangi iki üçgenin üçer kenarlarýda eþit ise; bu iki
üçgen eþtir. Üçgenlerdeki diðer eþitliklerde bulunabilir.
|DC| = |EB|
E
m(EëAB) = 28°
A
28°
D
B
A
C : 92°
S
S
olduðuna göre, DCB açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
B
C
AB = DE 

AC = DF  ise;

BC = EF 
6.
E
F
 △
 A BC
ˆ
 m(A)

ˆ
 m(B)

ˆ
 m(C)
△
≅ DEF
ˆ
= m(D)
ˆ
= m(E)
ˆ
= m(F) bulunur.
ABC ve ADE eþkenar
üçgen
A
|BD| = 2 cm
E
B
2
D
C
olduðuna göre, |CE| = x kaç cm dir?
C:2
8.
x
A
3
5
ABC üçgen
H
[FH] ⊥ [AC]
E
F
[ED] ⊥ [BC]
5
|AF| = |EC| = 5
B
D
4
C
|AH| = 3
|DC| = 4
olduðuna göre AFH üçgeninin eþ üçgeni nedir?
C : EÿCD
7.
A
D
E
9.
45°
45°
B
C
8
B
4
C
6
m(AëEB) = m(CëED) = 90°
4
|AB| = |CE| = 8
|BC| = |DE| = 6
|AC| = |CD| = 4
8
D
m(AëBE) = m(EëCD) = 45°
AC
olduðuna göre,
oraný kaçtýr?
BD
Þekilde
A
6
E
olduðuna
üçgeninin
nedir?
göre
ABC
eþ
üçgeni
C : CÿED
C :1
156
ALIÞTIRMA : 40
Eþlik - Eþlik Teoremleri
3.
Açý Kenar Açý (A.K.A) Eþlik Teoremi:
ABC üçgen
C
Herhangi iki üçgenin ikiþer açýsý ile bu açýlarýn ortak
olan kenarý eþit ise; bu iki üçgen eþtir. Üçgenlerdeki
diðer eþitliklerde bulunabilir.
m(AëDE) = m(BëFD)
E
F
x
m(AëED) = m(BëDF)
4
|AD| = |FB| = 4
A
A
D
D
4
6
B
|BD| = 6
olduðuna göre, |AE| kaçtýr?
C:6
B
C E
F
△
 △
 A BC ≅ DEF
 AC = DF

µ = m(F)
ɵ
 m(C)

 BC = EF bulunur.
µ = m(D)
µ 
m(A)

ɵ = m(E)
ɵ  ise;
m(B)

AB = DE 

4.
ABC bir üçgen
A
|AD| = |AE|
|AC| = 4x
1.
A
m(ëA) = m(ëL)
K
2y - 4
3x + 1
12
m(ëB) = m(ëM)
|AB| = |LM|
C
7
B
4x
|EC| = x + 1
B 2x 1 D
E x+1 C
|BD| = 2x – 1
C:8
M
L
olduðuna göre, x + y toplamý kaç cm dir?
C : 10
5.
2.
m(AëBC) = 90°
A
B, C ve D doðrusal
E
m(CëED) = m(AëCB)
A
10
|AB| = |BC|
x
D
|CD| = 8 cm
B
|ED| = 7 cm
7
3
E
B
|ED| = 10 cm
|CD| = 3 cm
C
C
8
D
m(BëAC) + m(EëCB) = 180°
olduðuna göre, x
kaç cm dir?
olduðuna göre, |BD| kaç cm dir?
C : 10
C : 18
157
6.
9.
m(AëCB) = m(EëDC)
A
D
m(EëCD) = m(AëBC)
D
ABCD kare
C
|FE| = 2 cm
x
|DC| = |BC|
|BE| = 3 cm
E
2
|AB| + |AC| = 21 cm
E
|ED| = 9 cm
B
3
F
A
B
olduðuna göre, |DE| = x kaç cm dir?
C
C : ò29
olduðuna göre, |EC| kaç cm dir?
C : 12
10.
7.
D
A
ABCD kare
D
ABCD bir kare
C
[DE] ⊥ [DF]
|EA| = |FB|
F
B
olduðuna göre,
a
kaç derecedir?
C : 90°
8.
A
ABCD kare
D
|BC| = 12 cm
3
E
A
|EB| = 3 cm
E
a
B
K
C
12
F
olduðuna göre, |CF| kaç cm dir?
C:9
11.
A
ABCD kare
D
[AE] ⊥ [AK]
m(AëED) = m(DëFC)
a
K
E
K
|EK| = 2ñ3 cm
F
B
F
C
E
olduðuna göre, m(AKD) =
ë
a
kaç derecedir?
B
C
olduðuna göre, |AK| kaç cm dir?
C : ñ6
C : 90°
158
Çokgenler Kullanýlarak Yapýlan Motifler, Kaplamalar ve Escher Þekilleri
Çok eski zamanlardan beri insanlar þekiller çizerek
süsleme ve motifler yapmaya baþlamýþ M.Ö. 400
yýlýndan önce Mezopotamya ve Sümer uygarlýklarý
geometrik þekilleri kullanmýþlardýr.
ALIÞTIRMA : 41
3. Sonra eðriyi pozitif yönde 90° döndürerek diðer
kenara çizilip benzer þekilde diðer kenar üzerine
taþýyalým.
4. Oluþan þekli eþ karelere çizip farklý renklere þekildeki gibi boyayalým.
Maurits Cornelis Escher (1898-1972, Laren,
Hollanda) ile þekille süslemeler farklý bir boyut
kazanmýþ ve ESCHER þekillerini dünyaya tanýtmýþtýr.
Daha sonraki zamanlarda mimaride ve günlük yaþamda süslemelerde geometrik þekiller vazgeçilmez olmuþtur.
Ve aþaðýdaki son süslemeyle bir Escher þekli ortaya
çýkar.
Escher þekillerine bir iki örnek verecek olursak:
1. Kare þeklinin bir kenarýna þekildeki gibi bir eðri
çizelim.
Escher þekilleri özellikle düzgün çokgenler içinde
birbirini tamamlayan þekiller alýnarak bunlarýn tekrar
çizimleri ile oluþur. Aþaðýda bu þekillere birkaç figür
verilmiþtir.
2. Sonra ayný eðriyi diðer kenar üzerine çizelim.
(öteleme)
159
Escher süslemesine bir örnek daha verelim.
6. Bu þekli eþkenar üçgenlerden oluþan þablona
tekrar tekrar çizilip aþaðýdaki þekli oluþturalým.
1. Bir eþkenar üçgenin kenarý üzerine þekildeki
eðriyi çizelim.
2. Sonra pozitif yönde 60° döndürerek bu eðriyi
diðer kenar üzerine taþýyalým.
3. Sonra boþ kalan kenarýn orta noktasýna kadar
bir köþesinden bir eðri çizelim .
Ve daire þekli halinde keselim iþte ESCHER þeklimiz.
4. Daha sonra bununda orta noktaya göre simetrik
þeklini çizelim.
5. Þekli süsledikten sonra üst köþe etrafýnda 120°
döndürerek aþaðýdaki þekli oluþturalým.
160
ESCHER ÞEKLÝLLERÝNE BAÞKA ÖRNEKLER
4. adým
Yine bir çizimin nasýl yapýldýðýný gösterdikten sonra
benzer çizim yöntemleri ile yapýlmýþ birkaç örneði
verelim.
1. adým
5. adým
2. adým
6. adým
3. adým
161
ALIÞTIRMA : 42
7. adým
8. adým
162
Sonuç
163
ALIÞTIRMA : 43
164
ALIÞTIRMA : 44
Benzerlik - K.A.K. Benzerlik Aksiyomu
1.
Ýki üçgen arasýndaki bire bir eþlemede, karþýlýklý
açýlarý eþ ve karþýlýklý kenar uzunluklarý orantýlý ise;
bu üçgenlere benzer üçgenler denir.
D
A
6
2
4
C
x
A
3
4
E
D
B
B
C
E
C:8
F
AÿBC ile DÿEF benzer ise; AÿBC ~ DÿEF þeklinde gösterilir.
2.
A
x
B
Bu benzerliðin sonucu olarak,
6
12
m(ëA) = m(ëD), m(ëB) = m(ëE), m(ëC) = m(ëF),
C
3
eþitlikleri ve
6
D
AB
DE
=
BC
EF
=
AC
DF
4
= k oraný yazýlýr.
E
Benzer üçgenlerin karþýlýklý kenarlarý uzunluklarý
oranýna benzerlik oraný denir. Benzerlik oraný k ile
gösterilir ve pozitif bir reel sayýlýr.
C:8
Eþ üçgenlerde benzerlik oraný k = 1 dir.
3.
A
5
3
6
B
Kenar Açý Kenar (K.A.K) Benzerlik Aksiyomu:
D
x
10
Ýki üçgenin karþýlýklý ikiþer kenarlarýnýn uzunluklarý
orantýlý ve bu kenarlarýn arasýnda kalan açýlar eþ ise
bu iki üçgen benzerdir.
C
A
C : 12
D
B
4.
C
E
D
F
6
4
△
 △
 A B C ∼ DEF


m(B)
ë = m(E)
ë
m(A)
ë = m(D)
ë


AB
BC
 ise m(C)
ë
=
= k
 ë = m(F)
DE
EF

 AB
BC
AC
=
=
=k

DE
EF
DF

8
A
12
C
x
B
olduðuna göre, |BC| = x kaçtýr?
yazýlýr.
C : 16
165
5.
8.
C
ABC bir üçgen
A
x
4
F
8
4
10
4
x
2
|AF| = |EC| = 4 cm
E
6
5
B
A
|BF| = |AE| = 5 cm
5
D
D
|FD| = 6 cm
C
10
B
5
|BD| = 2 cm
|DC| = 10 cm
C : 16
olduðuna göre, |DE| kaç cm dir?
C : 12
9.
6.
A
F
ABC bir üçgen
C
|AD| = 15 cm
6
A
B
|DC| = 6 cm
|BC| = 10 cm
[BC] // [DF], [AC] // [DE]
3
|BC| = |DF| = 3
8
3
|BD| = 5 cm
10
D 5
15
x
|AC| = 1, |DE| = 9
x
ABC ve DEF üçgenlerinde
C
1
B
9
D
|EF| = 8
E
olduðuna göre, |AB| = x kaçtýr?
C:
8
3
C : 12
10.
7.
8
D
Þekilde,
D
[AD] // [BC]
|AD| = |CD| = 6
6
4
A
Yandaki þekilde
C
x
6
5
|AD| = 4
|CE| = 8
|CD| = 5
6
|EB| = 1
12
B
E
1
A
x
9
C
|BC| = 9
|DE| = 12
|AC| = 6
B
C:
C : 18
166
15
2
TEST : 33
K.A.K. Benzerlik Aksiyomu
1.
m(AëBD) = m(BëCD)
3
x
3|EB| = |DC| = 12 cm
D
|DC| = 2|AB| = 6 cm
x
5
B
|AE| = 5 cm
6
A
ABCD dörtgen
A
2|AD| = |DE| = 6 cm
12
3
4.
ABC bir üçgen
C
4
E
D
12
24
B
6
C
A) 15
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
olduðuna göre, |AD| = x kaç cm dir?
A) 4
2.
B) 6
C) 8
D) 9
5.
2|DE| = |AD| = 8 cm
8
ABC üçgen
A
m(ëA) = m(DëBE)
|EC| = 7 cm
D
4
|DC| = 6 cm
6
|BE| = 5 cm
E
C
7
A) 12
B) 10
C) 8
D) 7
B
|BD| = 3 cm
9
12
x
5
E) 12
ABC bir üçgen
A
B
|BC| = 2|BD| = 24 cm
D
|BE| = 4 cm
3
x
4
E
|AB| = 12 cm
C
11
|EC| = 11 cm
|AC| = 9
E) 6
A) 3
3.
ABC bir üçgen
A
3
C) 5
E)
13
2
D
8
A
|BD| = 17 cm
E
D) 6
6.
|BC| = 16 cm
5
D
B) 4
12
17
|EC| = 7 cm
7
6
4
|AE| = 5 cm
B
16
C
B
|AD| = 3 cm
olduðuna göre, |DE| kaç cm dir?
A) 3
B) 4
C) 5
x
C
D) 6
E) 7
A) 3
167
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
7.
10.
ABC bir üçgen
A
4
D
2|DC| = |AC| = 12 cm
12
[AB] // [CD]
2
5
2|AD| = |BD| = 18 cm
9
Þekilde
C
x
F
|AD| = 5 cm
4
|EB| = 1 cm
A
B
D
18
6
E
8
B
1
C
|AF| = |CD| = 4 cm
A) 10
B) 11
C) 13
|AE| = 4|FC| = 8 cm
D) 16
E) 18
A) 7
8.
E
2
15
2
B)
C) 8
|AE| = |BD| = 2 cm
6
11.
B) 1
6
C)
1
4
D)
1
3
F
C
22
|DC| = |EB| = 2 cm
|DC| = 22 cm
olduðuna göre, DE oraný kaçtýr?
AC
E)
|AE| = 2|AF| = 6 cm
A
E
|AD| = 5 cm
B
|FC| = 1 cm
olduðuna göre, |BC| kaç cm dir?
1
2
A) 12
B) 10
12.
C) 9
D 4
[AB] // [DC]
C
12
8
10
4
25
|BD| = 3
B
3
D
5
C
B) 20
|CD| = 5
|AC| = 12
B
olduðuna göre, |AD| kaç cm dir?
A) 24
|BE| = 4
x
|BD| = 10 cm
|AB| = 25 cm
A
E) 6
|AE| = 2
E
2|DC| = |BC| = 8 cm
D) 8
Yandaki þekilde
A
2
9.
E) 9
[CD] // [AB]
C
D
|BE| = 6 cm
A) 1
8
17
2
ABC bir üçgen
A
B 2 D
D)
C) 18
D) 16
A) 4
E) 12
B) 5
C) 6
9.B
10.B
D) 7
E) 8
168
1.C
2.C
3.B
4.B
5.C
6.A
7.E
8.C
11.B
12.C
ALIÞTIRMA : 45
Temel Orantý Teoremi
3.
Temel Orantý Teoremi:
[DE] // [BC]
C
Bir üçgenin bir kenarýna paralel olan ve diðer iki
kenarýný kesen bir doðru, kestiði kenarlarý orantýlý
parçalara ayýrýr. (K.A.K. aksiyomuna göre)
x

1
|AD| = x
D
|CD| = x–1
x
|AE| = 2x
[DE] // [BC] ise
A
2x
A
AD
D
DB
E
B
=
AE
EC
E x+2
|EB| = x + 2
B
bulunur.
C:4
C
Buna göre AÿBC ~ AÿDE olduðundan
AD
AB
=
AE
AC
=
DE
BC
= k baðýntýsý yazýlýr.
4.
x+1
Þekilde,
A
[DE] // [BC]
12
8
|AD| = 8
E
D
x
4
B
|DB| = 4
|AE| = 12
C
[AB] // [DE]
D
|AD| = |EC| = x + 1
1.
Þekilde,
A
x+3
|DC| = x + 3
|BE| = x
B
x
E
x+1
C
olduðuna göre, |AC| kaçtýr?
olduðuna göre, |EC| = x kaçtýr?
C:6
C:6
2.
5.
4
[DE] // [BC]
[AB] // [DE]
D
Þekilde,
A
Þekilde,
A
x+2
|AD| = 4
D
6
x+3
|AD| = x + 2
E
|BD| = x–1
|DC| = 6
x1
2
|BE| = 3
B
C
|AE| = x + 3
B 3 E
x
C
|EC| = 2
olduðuna göre, |EC| = x kaçtýr?
C:
9
2
C :T ñ7
169
6.
9.
Þekilde,
A
6
40°
|AD| = 6
D
Þekilde, [DC], ABC açýsýnýn
açýortayýdýr.
A
6
[DE] // [BC]
|DC| = 9
9
D
E
|AE| = 2|DE|
|BE| = 2
B
2
E
C
3
|AD| = 6
|EC| = 3
B
olduðuna göre, m(EDC) kaçtýr?
C
ë
olduðuna göre, |BD| kaçtýr?
C : 40°
C:3
Þekilde,
A
9
G
D
|AE| = 6
|EB| = 4
B
C
|AG| = 9
olduðuna göre, |GD| = x kaçtýr?
[EF] //[AC]
8
6
F
4
[DE] // [BC]
D
[FG] //[CD]
x
Þekilde,
C
4
[EF] // [BC]
6
E
10.
7.
|AD| = 6
F
A
E
|DC| = 4,
B
|DE| = 8
olduðuna göre, |BF| kaçtýr?
C:6
8.
C:
16
3
Þekilde,
B
11.
[EF] // [AB]
ABC üçgen
A
A
4
[FG] //[BC]
F
10
C
E
|AE| = 10
D
6
G
x
8
D
[DE] // [BC]
F
[DF] // [BE]
E
2|AD| = 3|DB|
|DG| = 8,
B
|GC| = 6
C
|AF| = 4
olduðuna göre, |EC| kaçtýr?
olduðuna göre, |ED| = x kaçtýr?
C:
40
3
C:
170
40
9
ALIÞTIRMA : 46
A.A.A. Benzerlik Teoremi
3.
Açý Açý Açý (A.A.A) Benzerlik Teoremi:
Ýki üçgenin karþýlýklý açýlarý eþ ise, bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.
ABC ve DEF dik üçgen
A
m(AëCB) = 50°
D
m(EëFC) = 60°
E
A
AÿBC ~ FÿED
D
60°
a
B
50°
F
C
olduðuna göre, m(BFD) =
ë
E
B
a
kaç derecedir?
F
C : 80°
C
△
µ = m(D)
µ
 △
m (A)
A B C ∼ DEF


ɵ = m(E)
ɵ ise 
m(B)

 AB
BC
AC
=
=
=k

µ = m(F)
ɵ 
m(C)
EF
DF
 DE

4.
ABC üçgen
C
3
4
m(AëBC) = m(CëDE)
E
yazýlýr
|AD| = 2, |DC| = 4
x
D
|EC| = 3
2
A
B
olduðuna göre, |EB| = x kaçtýr?
C:5
1.
L
52°
48°
80°
52°
A
B K
M
C
5.
ABC üçgen
A
3
E
m(BëAC) = m(BëDE)
4
5
ABC ve KLM üçgenlerinin benzerlik yazýlýþlarýný
bulunuz.
|AE| = 3, |DE| = 2
2
|BD| = |AC| = 4
4
B
C : ABC
ÿ
ÿ
~ LMK
x
D
C
|BE| = 5
C:6
2.
F
A
8
70°
6
9
6.
D
70°
B
C
ABC üçgen
A
4
x
9
E
m(ëA) = m(ëC)
E
m(AëBE) = m(EëDC)
6
ABC ve DEF üçgen
|AB| = 9 cm
B
m(ëB) = 70°, m(ëF) = 70°, m(ëC) = m(ëD)
|AB| = 8, |AC| = 6, |EF| = 9
D
x
C
|AE| = 4 cm
|EC| = 6 cm
olduðuna göre, |DE| = x kaçtýr?
olduðuna göre, |DC| = x kaçtýr?
27
C:
4
C:
171
27
2
7.
10.
BAC dik üçgen
A
[DE] ⊥ [BC]
D
9
[AC] ⊥ [CE]
|DC| = 10
10
6
x
|AB| = 9
E
B
ABC ve CDE dik
üçgen
A
C
E
|DE| = 6
2
|ED| = 2 cm
|CD| = 3 cm
|BC| = 6 cm
olduðuna göre, |BC| kaçtýr?
B
C : 15
C
6
3
D
C:9
11.
Þekilde
B
4
[AE] ⊥ [BD]
3
ABC ve ADE dik üçgen
A
[AB] ⊥ [BC]
E
|AE| = 10 cm
D
10
[BC] ⊥ [DC]
|EB| = 2 cm
6
E
|ED| = 6 cm
2
B
x
8.
A
C
olduðuna göre, |DC| kaç cm dir?
|AB| = 4 cm
D
8
|EB| = 3 cm
C
|DC| = 8 cm
olduðuna göre, |DE| = x kaçtýr?
C:7
C:
12.
9.
ABC ve BDE
dik üçgen
E
ABC dik üçgen
C
4
DECF kare
3
4
F
|AF| = 3 cm
x
D
|FC| = 3 cm
3
|FD| = 9 cm
9
|DF| = 4 cm
A
|EC| = 4 cm
C
E
F
23
3
B
A
olduðuna göre, |EB| = x kaçtýr?
D
B
olduðuna göre, |AC| kaçtýr?
16
C:
3
C : 18
172
ALIÞTIRMA : 47
A.A.A. Benzerlik Teoremi
1.
4.
Þekilde
A
Þekilde
A
E
[AB] ⊥ [BC]
3
E
[BC] ⊥ [CD]
C
8
B x
D
4
[AB] // [CD]
6
9
|AB| = 3 cm
4
[ED] // [BC]
|AB| = 8 cm, |CD| = 6 cm
B
|CD| = 4 cm
C |DE| = 4 cm, |CE| = 9 cm
olduðuna göre, BC oraný kaçtýr?
AE
|BC| = 21 cm
D
C:
olduðuna göre, |BE| = x kaçtýr?
16
9
C:9
5.
ABC ve
üçgen
A
B
6
8
D
|BD| = 5 cm
E
5
|BC| = 8 cm
B
8
C
2
F
|CF| = 2 cm
olduðuna göre, |AD| = x kaçtýr?
|AC| = 6 cm
C
m(ëA) = m(ëF)
x
Þekilde
[AB] // [DE]
BDF
x
2.
A
|BC| = 8 cm
4
|CE| = 4 cm
D
E
olduðuna göre, x kaç cm dir?
C:
C : 11
6.
Þekilde
A
E
3.
ABC ve ADE dik
üçgen
A
2
3
B
[AB] // [EC]
|KC| = 2|AK|
K
|AB| = 2
D
16
3
|DF| = |FK|
F
4
|AD| = 3
F
E
D
|BE| = 4
C
B
olduðuna göre,
C
DB
oraný kaçtýr?
BC
olduðuna göre, |DC| kaçtýr?
C:1
C:
173
1
3
7.
10.
Þekilde
A
ABC bir üçgen
A
[DF] // [AC]
|AB| = |AD|
D
|DE| = |EF|
|BD| = 3 cm
8
2|KC| = 3|EK|
B
E
K
|DC| = 5 cm
C
olduðuna göre,
oraný kaçtýr?
F
|AC| = 8 cm
BE
B
D
3
C
5
EK
C:5
C : 2ñ6
E
A
D
20
Þekilde
11.
C
|CD| = |DF|
m(BëAC) = 125°
|BC| = 12 cm
12
|DE| = 3 cm
G
|EF| = 4 cm
B
m(DëAE) = 70°
70°
4
F
ABC bir üçgen
A
[AB] // [EG]
3
|AD| = |AE|
8.
B 4
D
E
7
C
|BD| = 4 cm
|EC| = 7 cm
C : 15
9.
C : 2ñ7
12.
ABC üçgen
A
ABC bir üçgen
A
[BD] ⊥ [AC]
[DE] // [BL]
3
D
E
[AH] ⊥ [BC]
|FK| = |KL|
D
2
F
E
|DF| = |CL| = 2 cm
K
|DE| = 3 cm
B
C 2
|EH| = 2 cm
2
B
L
5
H
|HC| = 4 cm
4
C
|BH| = 5 cm
olduðuna göre, |AE| kaç cm dir?
C:8
C : 10
174
TEST : 34
Benzerlik Teoremleri
1.
D
E
6
B
A) 9
D
B) 10
2|BD| = |AD|
|AD| = 4 cm
2|AK| = |KC|
B 4
C) 12
D) 15
E
E) 18
olduðuna göre, |EF| kaç cm dir?
|EC| = 2 cm
3.
C
|BF| = 3 cm
|FC| = 7 cm
olduðuna göre,
A)
11
10
6.
D
x
E
5
7
|BD| = 2 cm
7
F
|AD| = 5 cm
E) 13
3
[KF] // [BC]
F
4
B
E
AK
EC
B) 15
14
oraný kaçtýr?
C) 18
17
D)
19
18
E) 21
20
ABC ve ADC birer
üçgen
A
K
[DE] // [BC]
K
B 3
|AK| = 5 cm
11
A) 3
B) 10
C)
D) 4
3
3
E) 8
ABC bir üçgen
2
|BK| = 3 cm
C
B
D) 10
[FK] // [AB]
E
2
3
C) 11
D
[FE] // [AD]
F
K
5
[KF] // [BC]
x
5
B) 12
A
ABC ve ADC birer
üçgen
D
|BE| = 4 cm
|FC| = 10 cm
5.
A
10 C
F
A) 13
2.
[DE] // [KF]
K
|AE| = |BD| = 6 cm
olduðuna göre, |AC| kaç
cm dir?
C
ABC bir üçgen
A
[DE] // [BC]
6
4
4.
ABC bir üçgen
A
C
ABC bir üçgen
A
[AD] // [FE]
[AD] // [KF]
K
|KF| = 4 cm
[AB] // [KE]
|BC| = 7 cm
B 2
D
E1 F
C
|CE| = 5 cm
20
A)
B) 19
C) 6
D) 5
3
3
|EF| = 1 cm
|BD| = 2 cm
olduðuna göre, |FC| - |DE| farký kaç cm dir?
E) 14
3
A) 1
175
B) 3
2
C) 2
D) 3
E) 4
7.
10.
ABC bir üçgen
A
[DF] // [BE]
3
F
E
D
8
x
K
4
D
[DE] // [BC]
2
Þekilde,
A
6
[BK] ve [KC]
açýortay
E
[DE] // [BC]
|AF| = 3 cm
x
B
|FE| = 2 cm
C
B
C
A) 8
olduðuna göre, |EC| = x kaç cm dir?
13
10
A)
B) 11
C) 4
D)
3
3
3
B)
16
3
8
3
C)
Þekilde,
A
3
|DC| = 15 cm
C
15
|BD| = 5 cm
m(EëBD) + m(BëED) = m(BëAC)
olduðuna göre, |EC| kaç cm dir?
A) 10
B) 11
9.
A
C) 12
x
B
D) 15
|BD| = 2
2
B
C
E
|AF| = 3
olduðuna göre, |FC| = x kaçtýr?
A) 7
B) 8
C) 9
Þekilde
12.
[ED] // [FK] // [CB]
F
|EC| = |ED| = 10 cm
G
C
|EF| = 2|AE|
E
|AC| = 5 cm
|DG| = 3 |GC|
10
|CD| = 12 cm
D
A
10
K
E
olduðuna göre,
A)
20
3
B) 7
C)
22
3
D) 8
E)12
ABC üçgen
C
[AB] ⊥ [AE]
D
D) 10
E)18
5
12
|AD| = 6
D
D
5
[AC] // [DE]
x
|DE| = 9 cm
9
B
6
|AB| = 12 cm
E
12
[AB] // [EF]
F
ABC bir üçgen
A
E) 3
E) 14
3
11.
8.
D) 4
E) 25
3
A)
18
11
B)
27
11
AD
AB
B
+
DK
KB
C)
28
11
toplamý kaçtýr?
D)
36
11
E)
48
11
176
1.D
2.B
3.A
4.A
5.E
6.A
7.A
8.D
9.A
10.B
11.C
12.D
ALIÞTIRMA : 48
K.K.K. Benzerlik Teoremi
3.
Kenar Kenar Kenar (K.K.K) Benzerlik Teoremi :
ABC üçgen
B
|DE| = |FC| = 6 cm
Ýki üçgenin karþýlýk kenarlarý orantýlý ise bu iki üçgen
benzerdir
E
8
|AE| = 8 cm
12
9
6
|AD| = 4 cm
A
D
A
D
4
F
|BF| = 9 cm
C
6
|BC| = 12
B
C
E
olduðuna göre, benzer üçgenler nedir ve benzerlik oraný k kaçtýr?
3
2
veya k =
C : AÿDE ~ CÿFB k =
2
3
F
| AB | | BC | | AC |
=
=
= k ise;
| DE | | EF | | DF |
△
△
A BC ∼ DEF
µ = m(D),
µ m(B)
ɵ = m(E),
ɵ m(C)
µ = m(F)
ɵ
ve m(A)
bulunur.
4.
A
4
6
8
B
4
2
3
C D
[DH] ⊥ [AB]
F
ABC ve DEF üçgen
[EF] ⊥ [AC]
H
F
8
6
|BH| = 6 cm
4
5
D E
B
|AB| = 4, |AC| = 6, |BC| = 8, |DE| = 4, |DF| = 3
µ
olduðuna göre, m(C) oraný kaçtýr?
µ
m(D)
C:1
2.
ABC üçgen
A
E
1.
C
|EC| = 5 cm
|HD| = 2|EF| = 8 cm
olduðuna göre, BHD üçgeninin benzer üçgeni
nedir?
C : CÿFE
Þekilde
A
6
|AC| = 9
D
8
9
6
C
6
E
4
5.
ABC bir üçgen
A
|BE| = 4
|AB| = |AC| = 6 cm
6
|ED| = 8
6
|AD| = |BD| = 4 cm
4
B
|DC| = 5 cm
|AD| = |BD| = |BC| = 6
B
D
5
C
olduðuna göre, benzer üçgenler hangileridir?
olduðuna göre benzer üçgenler hangileridir?
△
4
△
△
△
C : A DB ∼ B A C
C : A B C ∼ DEB
177
6.
9.
ABC bir üçgen
A
ABC ve DEF birer üçgen
A
|AB| = 12 cm
m(BëDE) = 65°
14
m(AëCB) = 55°
18
E
9
D
B
C
|AC| = 10 cm
|BC| = 8 cm
5
|DF| = 4 cm
2|ED| = |AB| = 14 cm
55°
E
4
|BD| = |DC|
a
7
65°
6
D
B
2|BE| = |AC| = 18 cm
C |FE| = 5 cm, |DE| = 6 cm
F
ɵ
olduðuna göre, m(ABC) oraný kaçtýr?
µ
m(EDF)
olduðuna göre, m(BëED) = α açýsý kaç derecedir?
C:1
C : 60
7.
ABC bir üçgen
A
10.
ABC bir üçgen
A
m(AëCB) = α
D
6
4
|DC| = 2|AD|
E
|BC| = 3|AE| = 18 cm
a
B
12
2α + β = 90°
C
18
|AB| = 3|ED| = 12 cm
|AB| = 12 cm
27
9
|DC| = 32 cm
12
|AC| = 27 cm
b
a
m(AëDE) = α + β
|BD| = 4 cm
4
B
32
D
C
|AD| = 9 cm
olduðuna göre, m(ADB) açýsýnýn ölçüsünün
ve b cinsinden eþiti nedir?
ë
C : 108
8.
C:α+β
11.
ABC ve DEF birer üçgen
A
D
D
7
B
E
|AC| = 12 cm
b
|BC| = 14 cm, |DE| = 5 cm
6
|FE| = 6 cm, |DF| = 7 cm
5
F
5
a
A
ile
b
|AB| = 16 cm
C
|DC| = 4 cm
8
10
b
C
olduðuna göre,
vardýr?
4
a
|AB| = 10 cm
a
a
|BC| = 10 cm
|AC| = 8 cm
16
B
|AD| = 5 cm
olduðuna göre, CAB açýsýnýn ve
den eþiti nedir?
arasýnda nasýl bir baðýntý
C:α=β
a
ve
b
cinsin-
C : 180 – (α + β)
178
ALIÞTIRMA : 49
Tales Teoremleri
I. Tales Teoremi :
II. Tales Teoremi :
En az üç parelel doðru, iki farklý doðruyla kesiþirse;
kesenler üzerinde ayrýlan karþýlýklý doðru
parçalarýnýn uzunluklarý orantýlýdýr.
Kesiþen iki doðru, paralel iki doðru ile kesiþtiðinde;
oluþan iki üçgenin karþýlýklý kenar uzunluklarý orantýlýdýr.
k
d1
A
d2
D
B
d3
d1 // d2 // d3 ve k, l kesenler
olmak üzere; temel orantý
teoreminden
l
baðýntýsý yazýlýr.
△
C
D
d2
F
C
B
d1
| AB | | DE |
=
| BC | | EF |
E
d1 // d2 ve k ∩ l = {A}
olduðunda
A
E
k
△
A BC ∼ A DE ve
AB
AD
l
=
AC
AE
=
BC
DE
baðýntýsý yazýlýr.
1.
k
d1
Þekilde
l
A
6
d2
d1 // d2 // d3
D
8
B
E
4
d3
ABC üçgen
A
[DE] // [BC]
2
|BC| = 4 cm
x
C
4.
|AB| = 6 cm
D
|AD| = 2
E
6
|DE| = 8 cm
F
|DB| = 3
3
olduðuna göre |EF| = x kaçtýr?
2.
k
d1
Þekilde
l
A
d1 // d2 // d3 // d4
E
8
d2
10
B
C
|DE| = 6
B
C
C : 15
5.
Þekilde
A
[AC] // [DE]
|BC| = 4 cm
y
K
x
d4
|AB| = 8 cm
F
4
d3
16
3
C:
|EF| = 10 cm
|AC| = 15 cm
15
D
6
D
|DE| = 6 cm
6
|KL| = 6 cm
L
|BE| = 8 cm
8
B
x
E
C
olduðuna göre x + y toplamý kaçtýr?
C:
3.
A
B
3
2
E
F
olduðuna göre, |EC| = x kaç cm dir?
49
5
C : 12
6.
Þekilde
ABC üçgen
A
[AB] // [EF] // [DC]
5
D
|AE| = 3
[DE] // [BC]
E
[DC] açýortay
4
5
|AE| = 5 cm
|BF| = 2
D
C
B
|ED| = 5
x
C
|EC| = 4 cm
olduðuna göre, |FC| kaçtýr?
10
C:
3
C:
179
36
5
7.
D
10.
Þekilde
C
[DF] // [BC]
A
E
|BK| = 4|DK|
3
5
F
F
K
|AF| = 3 cm
6
[AB] // [EF] // [DC]
6
K
E
Þekilde
B
A
4
D
C
|BF| = 5 cm
B
|BK| = 2 |DK|
|AC| = 6 cm
|FC| = 4 cm
|EF| = 6 cm
olduðuna göre, |ED| + |BF| kaçtýr?
olduðuna göre, |DE| kaçtýr?
C : 11
C:4
8.
ABC üçgen
C
[ED] // [FK] // [BC]
F
2
A
D
Þekilde
A
[DE] // [BC]
|AE| = 2 |EF|
L
2|KB| = 3|DK|
K
B
|ED| = 2 cm
C:
9
2
D
E
11.
E
|BF| = 3|FE|
|BD| = 8 cm
F
B
C
olduðuna göre, |AD| kaçtýr?
C:4
9.
ABC üçgen
A
4
D
12.
[DE] // [BC]
ABC üçgen
A
E
K
4
|BE| = 3|KE|
8
[AF] ve [BF] açýrtay
E
[AB] // [DE]
|AE| = 4 cm
B
F
2
C
|AE| = |DC| = 4 cm
F
|EC| = 8 cm
|FC| = 2 cm
B 2
D
4
C
|BD| = 2 cm
olduðuna göre, |AB| kaçtýr?
olduðuna göre, |DE| kaçtýr?
C:9
C:2
180
TEST : 35
Tales Teoremleri
1.
D
[AB] // [EF] // [CD]
C
3
4
E
[DF] // [BC]
|CF| = 4
x
3
D
2
E
1
|AE| = 7
A
ABC bir üçgen
A
|DE| = 3
F
7
4.
B, K ve F doðrusal
F
|DE| = 3 cm
K
B
|EF| = 2 cm
B
C
4
olduðuna göre, |BF| = x kaç cm dir?
A) 26
3
C) 28
3
B) 9
D) 29
3
|EK| = 1 cm
E) 10
|BC| = 4 cm
olduðuna göre, |AC| kaç cm dir?
A) 12
2.
5.
[DE] // [BC]
E
|DE| = 4
4
E) 16
[BF] // [DE]
E
C
olduðuna göre,
EC
oraný kaçtýr?
AE
B) 3
4
C) 4
5
D) 5
4
E) 6
5
x
9
A) 1
4
D) 14
ABC ve DEC birer
üçgen
A
|BC| = 9
B
C) 13
ABC bir üçgen
A
D
B) 12,5
2|BK| = |AK|
F
K
|KE| = 10 cm
B
D
C
|BD| = |BC|
olduðuna göre, |DK| = x kaç cm dir?
A) 24
6.
B) 22
C) 21
D) 20
E) 15
ABC bir üçgen
A
[FE] // [BC]
3.
ABC bir üçgen
A
4|ED| = |BE|
[DE] // [BC]
8
F
[BE] açýortay
D
D
2|DC| = |AD|
E
E
|BD| = 6 cm
6
B
|AD| = 8 cm
B
C
olduðuna göre, BF oraný kaçtýr?
AF
C
A) 9
B) 19
2
C) 10
D) 21
2
A) 2
5
E) 11
181
B) 3
5
C) 3
7
D) 3
11
E) 4
11
7.
10.
ABC bir üçgen
A
ABC bir dik üçgen
A
B,K ve E doðrusal
E
D
8
[DL] // [KF] // [BC]
L
C
2
B
|AD| = |BD|
B) 10
C) 11
C
8
olduðuna göre, |DL| + |KF| toplamý kaç cm dir?
A) 9
|BD| = 2 cm
x
D
|AE| = |EF| = |FC|
12
D) 12
A) 4
B) 5
A 3 F
2
4
E
|EF| = 9 cm
F
|AB| = 13 cm
A
B
13
D) 3ñ3
E) 3ñ5
A,F,K doðrusal
A,K,B,E doðrusal
|KB| = |BE| = 3 cm
3
|DC| = 4 cm
9
C
B
[AB] // [EF] // [DC]
C
x
K
3
D
C) 4ñ2
E) 18
11.
8.
|AD| = |BC| = 8 cm
E
[BC] = 12 cm
F
K
|AE| = |EC|
|AF| = 3 cm
D
E
|AK| = 2 cm
olduðuna göre, |FC| = x kaç cm dir?
A) 9
B) 10
C) 12
D) 14
E) 15
olduðuna göre, AE oraný kaçtýr?
ED
A) 2
5
C) 4
5
B) 3
4
D) 5
6
E) 6
7
12.
Þekilde
C
y
D
E
9.
D
6
[AB] // [EF] // [DC]
C
5
F
4
[FK] // [CD]
3
K
|EF| = 5 cm
2
E
|DC| = 6 cm
F
9
x
A
|FK| = 4 cm
B
|EF| = 9 cm
|BK| = 2 cm
3|DE| = 2|AE|
A
|DK| = 3 cm
B
x
olduðuna göre,
kaçtýr?
y
B) 23
2
A) 10
C) 12
[AB] // [EF]
D) 13
A) 2
3
E) 27
2
B) 3
2
C) 6
5
D) 5
6
E) 1
182
1.C
2.D
3.D
4.A
5.D
6.E
7.A
8.C
9.E
10.B
11.C
12.D
ALIÞTIRMA : 50
Benzerlik ve Alan Ýliþkisi
* Benzer iki üçgenin; alanlarý oraný, benzerlik
* Yükseklikleri eþit olan iki üçgenin alanlarý oraný,
üçgenlerin tabanlarýnýn uzunluklarý oranýna eþittir.
oranýnýn karesine eþittir
A
AÿBC ile DÿEF için benzerlik oraný k olduðunda,
A (ABC )
A (DEF )
=k
2
D
ha
olur.
ha
B
1.
4.
ABC üçgen
A
C E
F
d2
ABC üçgen
A
AÿBC ~ EÿBD
d1
[DE] // [BC]
3
A(BDE) = 6 cm2
D
| BC | 3
=
| BD | 2
B
E
C
D
E
|AD| = 3 cm
2
|BD| = 2 cm
A(BDE) = 8 cm2
B
C: 18
C
2.
C: 25
Þekilde
D
[EF] // [DC]
C
[FK] // [BC]
E
F
A(DCFE) = 15
6
3
A
A(AFK) = 2
K
B
cm2
5.
ABC üçgen
A
[DE] // [BC]
4
|BF| ve |CF| açýortay
2
D
cm2
F 4
E
|AD| = |FE| = 4 cm
|FK| = 3 cm
|DF| = 2 cm
B
C
|BC| = 6 cm
A(ADE) = 3ñ15 cm2
olduðuna göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?
C: 27 15
4
C: 28
6.
3.
ABC dik üçgen
C
E
[ED] ⊥ [AC]
D
[AB] // [CD]
A
6
B
6
C
|BE| = 2 cm
|EC| = 6 cm
2
|AE| = 5 cm
A(ABE) = 5 cm2
|EB| = 3 cm
A
5
E
3
B
|BC| = 6 cm
D
olduðuna göre, ADE üçgeninin alaný kaç cm2
dir?
olduðuna göre, A(DEC) kaç cm2 dir?
C: 45
C: 6
183
7.
A
10.
Þekilde
B
[AB] // [DC]
E
ABD ve BEC birer
üçgen
A
E
F
|BD| = |DC|
A(BEF) = 2 cm2
B
K
D
2|AE| = |BE|
F
|AE| = |FC| = 2 |EF|
C
D
C
olduðuna göre, A(AEF)
A(ABD)
olduðuna göre, A(DKFE) kaç cm2 dir?
C:
19
3
C:
11.
F
ABC üçgen
A
[FE] // [DC]
5
[DE] // [BC]
6
4
m(AëBC) = m(AëED)
D
|AD| = |EC| = 4 cm
E
11
|AE| = 6 cm
4
|BD| = 11 cm
B
C
D
6
1
6
ABC üçgen
A
3
8.
oraný kaçtýr?
E
A(AFE) = 2 cm2
|AF| = 3 cm
|FD| = 6 cm
C
B
|AE| = 5 cm
olduðuna göre, ABC üçgeninin alanýnýn ADE
üçgeninin alanýna oraný kaçtýr?
25
C:
4
C: 54
12.
9.
4
[AD] // [BC]
D
ABC üçgen
A
6
A
D
|AD| = 4 cm
m(AëBD) = m(BëCD)
|BC| = 12 cm
E
9
A(ABE) = 6 cm2
|AB| = 6 cm, |DC| = 9 cm
B
C
A(ABD) = 9 cm2
B
olduðuna göre, A(BCD) kaç cm2 dir?
12
C
olduðuna göre, þeklin alaný kaç cm2 dir?
C: 27
C : 32
184
TEST : 36
Benzerlik ve Alan Ýliþkisi
1.
Benzerlik oraný
4.
2
olan iki üçgenin alanlarý toplamý
3
ABC bir üçgen
A
39 cm2 dir.
[FK] // [ED]
E
F
|AE| = |EC|
Bu üçgenlerin alanlarý farký kaç cm2 dir?
A) 12
B) 13
C) 15
A(EDC) = S cm2
D) 16
E) 18
B
D
K
C
A(FBK) = 2S cm2
A(AFKDE) = 5S cm2
olduðuna göre, AF oraný kaçtýr?
FB
B) ñ2 – 1
A) 1
2
2.
E) 2 – ñ2
2 −1
2
D)
C) ñ2
ABC bir üçgen
A
[DE] // [BC]
|DE| = 4 cm
D
E
|BC| = 5 cm
4
5.
5
olduðuna göre,
A) 9
4
[DE] ⊥ [AC]
C
B) 12
7
A(ADE)
oraný kaçtýr?
A (BCED )
C) 16
9
D) 25
9
E) 16
25
B
ABC bir diküçgen
A
x
D
B
6.
B) 4ñ3
C) 8
E
E) 12ñ2
[FK] // [DE] // [BC]
F
[ED] // [AB]
C
D) 8ñ2
ABC bir üçgen
A
ABC bir üçgen
A
A(EDC) = 25 cm2
K
|AF| = |BD|
D
E
B
C
3|AF| = |FD|
A(ABDE) = 11 cm2
D
B
olduðuna göre, A (FKED ) oraný kaçtýr?
A (ABC)
olduðuna göre, BD oraný kaçtýr?
DC
A) 1
6
A(DEC) = A(ABDE)
C
A) 4ñ2
3.
|DE| = 4 cm
E
4
B) 1
5
C) 1
4
D) 1
3
E) 1
2
A) 1
3
185
B) 2
3
C) 3
4
D) 1
4
E) 3
5
7.
10.
ABC bir üçgen
A
D
A
[AB] // [DK] // [FE]
[BD] ∩ [AC] = {E}
K
E
6
|AK| = |KF|
B
D
B
E
C
B) 2
A(EDC) = 72 cm2
C
F
A(ABDK) = 32 cm2
|EF| = 6 cm
olduðuna göre, A(FCE) kaç cm2 dir?
A) 1
A(ABE) = 18 cm2
2|FC| = |KF|
F
C) 4
olduðuna göre, |AB| + |DC| toplamý kaç cm dir?
D) 5
E) 6
A) 21
B) 24
11.
8.
A
D
B
C) 25
D) 30
E) 35
A(ADE) = 4
E
|BD| = 5 cm
D) 2ñ5
E) 3 5
2
BAC ve DBC birer ikizkenar
üçgen
|AB| = |AC|
D
|BD| = |BC|
cm2
A(DBC) 1
=
A(ABD) 3
A(BEC) = 3 cm2
B
C) 2 5
3
A
[DE] // [BC]
D
B) ñ5
5
9
A)
ABC bir üçgen
A
C
12.
9.
D
5
A(ADC) 1
=
A(ABD) 3
C
B) 20
ABC bir üçgen
A
m(DëAC) = m(AëBC)
A) 15
E) 36
[DE] // [EF]
A(EFC) = 4 cm2
F
D) 30
[BA] ⊥ [AD]
A(ADE) = 9 cm2
B
C) 27
ABC bir üçgen
[AB] // [EF]
E
[AB] // [EF] // [DC]
B
C
C
olduðuna göre,
AD
oraný kaçtýr?
BD
olduðuna göre, A(DEB) kaç cm2 dir?
3
A) 1
B)
C) 2
D) 3
2
E)
7
2
A) 1
B) 2
C) 3
2
D)
2
3
E) 3
186
1.C
2.C
3.B
4.B
5.A
6.E
7.B
8.C
9.C
10.C
11.D
12.C
ALIÞTIRMA : 51
Öklit Baðýntýlarý
4.
BAC dik üçgen
olduðuna göre, x kaç
birimdir?
B
[AH] ⊥ [BC]
A
[AB] ⊥ [AC]
c
b
1) h2 = k.p
h
A
E
8
2) b2 = p.a
B
k
H
C
p
a
3)
c2
C
2
x
= k.a
D
C:1
4) 1 = 1 + 1
h2 b2 c 2
5.
5) b.c = a.h
ABC dik üçgen
B
[AB] ⊥ [BC]
2
[BC] ⊥ [CD]
1.
E
A
ABC dik üçgen
B
C
[BD] ⊥ [AC]
8
|EB| = 2 cm
[AB] ⊥ [BC]
|DE| = 8 cm
[BH] ⊥ [AC]
x
D
|AH| = 9 cm
A
H
9
C
16
olduðuna göre, |AE| kaç cm dir?
|HC| = 16 cm
C:1
C : 12
2.
ABC dik üçgen
A
6.
A
8
[AB] ⊥ [BC]
5
B
[BH] ⊥ [AC]
B
7
E
F
C
|BH| = 3ñ5 cm
H
3ñ5
4
D
|AH| = 5 cm
x
Þekildeki verilere göre, |ED| kaç birimdir?
C
C:6
olduðuna göre, |HC| = x kaç cm dir?
C:9
3.
7.
A
D
[BE] ⊥ [AC]
E
|BE| = 6 cm
x
A
|EC| = 6ñ3 cm
B
Yandaki
þekilde
verilenlere göre, x
kaçtýr?
B
ABCD dikdörtgen
3
E
12
F
C
C
olduðuna göre, |AE| = x kaç cm dir?
D
C : 45
C : 2ñ3
187
8.
12.
ABC dik üçgen
B
ABC dik üçgen
B
[AB] ⊥ [BC]
x
[AB] ⊥ [BC]
6
[BH] ⊥ [AC]
8
[BH] ⊥ [AC]
x
|AH| = 3 cm
A
H
3
9
C
|AB| = 6 cm
A
|HC| = 9 cm
H
C
|BC| = 8 cm
C:6
9.
C : 4,8
13.
ABC dik üçgen
B
[AB] ⊥ [BC]
[AB] ⊥ [BC]
x
ABC dik üçgen
B
15
20
[BH] ⊥ [AC]
x
[BH] ⊥ [AC]
|AB| = 15 cm
|AH| = 4 cm
A
H
4
12
C
A
H
C
|BC| = 20 cm
|HC| = 12 cm
C : 12
10.
ABC dik üçgen
A
[AB] ⊥ [BC]
9
14.
[AB] ⊥ [BC]
[BH] ⊥ [AC]
4
x
|AB| = 4 cm
|AH| = 9 cm
6
B
|HC| = 6 cm
C
8
|BC| = 8 cm
C
x
ABC dik üçgen
A
H
[BH] ⊥ [AC]
H
B
C:8
C: 8
5
C : 3ò10
11.
C
15.
ABC dik üçgen
C
[AB] ⊥ [BC]
[AB] ⊥ [BC]
8
x
4
A
[BH] ⊥ [AC]
[BH] ⊥ [AC]
H
ABC dik üçgen
15
|AH| = 4 cm
H
|BC| = 15 cm
x
|HC| = 8 cm
A
B
8
|AB| = 8 cm
B
|BH| = x cm
olduðuna göre, x kaç cm dir?
C : 120
17
C : 4ñ6
188
TEST : 37
Öklit Baðýntýlarý
1.
4.
BAC dik üçgen
A
BAC dik üçgen
A
[AH] ⊥ [BC]
[AH] ⊥ [BC]
|BH| = 4 cm
B 4
|AC| = 8 cm
C
B
B) 2ñ7
C) 4ñ2
H
D) 4ñ3
E) 8
A) 2
3
2.
5.
BAC dik üçgen
A
C
olduðuna göre, BH kaç cm dir?
HC
A) ñ7
|AB| = 6 cm
|HC| = 7 cm
7
H
8
6
B) 4
9
C) 3
4
[AB] ⊥ [BC]
D
12
|BD| = |BC|
|AC| = 12 cm
H
8
4ñ5
|HC| = 8 cm
C
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 18
2|BC| = |AB| = 4ñ5 cm
x
B
B
2ñ5
BAC dik üçgen
A
C
A) 2ñ2
3.
6.
B) 2ñ3
C) 2ñ5
6
5
|AB| = 12 cm
|AB| = 5 cm
|AC| = 16 cm
B
H
|AC| = 6 cm
C
B
olduðuna göre, |AH| = x kaç cm dir?
A) 24
5
B) 28
5
C) 36
5
D) 42
5
E) 6
[AH] ⊥ [BC]
16
x
D) 4
BAC dik üçgen
A
[AH] ⊥ [BC]
12
E) 3
14
ABC dik üçgen
A
[AH] ⊥ [BC]
D) 9
16
H
C
olduðuna göre, |BH| . |HC| çarpýmý kaçtýr?
E) 48
5
A) 250
61
189
B) 300
61
C) 400
61
D) 625
61
E) 900
61
7.
10.
ABC dik üçgen
A
[BH] ⊥ [AC]
5
D
B
B
|AD| = 5 cm
C
A)
B)
8
5
8.
|AB| = 7ñ2 cm
H
D
C
|BD| = |DC|
olduðuna göre, |BE| = x kaç cm dir?
olduðuna göre, |HC| = x kaç cm dir?
5
[AH] ⊥ [BC]
E
x
|BH| = 6 cm
x
6
7ñ2
[HD] ⊥ [AB]
H
BAC ve BED birer
dik üçgen
A
5
C) 12
5
D) 18
5
A) 7
2
E) 24
5
BAC dik üçgen
A
11.
C) 21
4
B) 7
D) 21
5
ABC ve BDC birer
dik üçgen
D
A
[AB] ⊥ [AC]
E
4ñ5
|BD| = 4 cm
C
12
|DC| = 12 cm
A) 4ñ3
B) 7
C) 5ñ2
D) ò51
E) 2ò14
|BC| = 8 cm
4
B4 D
|AB| = |BE| = 4 cm
4
|AB| = 4ñ5 cm
B
C
8
2
B)
3
C)
5
6
5
D) 2 5
3
E) 3 5
2
BAC ve BDC birer
dik üçgen
A
12.
[AE] ⊥ [BC]
6
H1
4
E
C
[AB] ⊥ [AC]
[DH] ⊥ [BC]
15
20
x
B
D
olduðuna göre, |AD| = x kaç cm dir?
olduðuna göre, |HD| kaç cm dir?
C) 4
C
Ç(ABD) = Ç(ADC)
|HC| = 1 cm
B) 2ñ3
|AB| = 15 cm
|AC| = 20 cm
|BE| = 4 cm
D
BAC dik üçgen
A
|AE| = 6 cm
A) 2ñ2
oraný kaçtýr?
ED
5
B
AE
olduðuna göre,
A)
9.
E) 28
5
D) 3ñ2
A) 4ò13
E) 3ñ3
B) 3ò13
C) 8ñ5
D) 7ñ5
10.B
11.D
E) 6ñ5
190
1.B
2.B
3.E
4.D
5.E
6.E
7.C
8.E
9.B
12.E
ll. Ünite ile ilgili ÖSYM Sorularý
1.
4.
Bir onbeþgenin ayný köþesinden diðer köþelere
çizilen köþegenler bu çokgeni kaç üçgene
böler?
A) 13
B) 14
C) 16
D) 18
E) 24
Bir dikdörtgenin bir kenarý % 25 uzatýldýðýnda,
alanýn degiþmemesi için diðer kenarý yüzde kaç
kýsaltýlmalýdýr?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
(1995 - ÖSS)
2.
(1995 - ÖYS)
m(BëAC) = 90°
A
5.
|AB| = 7 cm
E
7
|EC| = 4 cm
4
C
olduðuna göre, EBD üçgenin alaný kaç cm2 dir?
A) 3
B) 4
C) 7
D) 9
E) 11
(1995 - ÖYS)
D
Bir eþkenar üçgenin çevresi, alaný 81 cm2 olan bir
karenin çevresine eþittir.
Bu eþkenar üçgenin alaný kaç cm2 dir?
|BD| = |DC|
B
E) 30
A) 9ñ3
B) 18ñ3
C) 24ñ3
D) 36ñ3
E) 48ñ3
(1996 - ÖSS)
6.
D
C
ABCD bir kare
m(BëEC) = 90°
E
A
3.
B
3
Bir dikdörtgenin kenar uzunluklarýnýn oraný
tir.
5
Bu dikdörtgenin çevresi 192 cm olduðuna göre
alaný kaç cm2 dir?
Þekildeki ABCD karesinin çevresi 32 cm, BEC dik
üçgeninin çevresi 18 cm dir.
A) 2140
A) 54
B) 2160
C) 2170
D) 2180
Buna göre taralý ABECD alaný kaç cm2 dir?
E) 2190
(1995 - ÖSS)
B) 55
C) 56
D) 57
E) 58
(1996 - ÖSS)
191
7.
10.
m(BëAC) = 120°
A
m(DëCA) = 15°
A
m(BëDC) = α
|AB| = |AC|
120°
D
|DB| = |BE|
x
Þekilde |AB| = |AC| ve
|BD| = |BC| olduðuna
göre, m(BDC) = a kaç
derecedir?
a
F
m(AëFD) = x
15°
ë
B
E
C
B
C
A) 35
D
B) 40
C) 45
D) 50
E) 55
(1998 - ÖSS)
Yukarýdaki þekilde |AB| = |AC| olduðuna göre,
m(AFD) = x kaç derecedir?
ë
A) 30
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
(1997 - ÖSS)
8.
E
D
11. 12 kenarlý bir düzgün çokgenin bir iç açýsý kaç
derecedir?
C
A
B
Þekildeki ABCDEF düzgün altýgeninindeki taralý
alan 720ñ3 cm2 olduðuna göre, düzgün altýgenin
bir kenarýnýn uzunluðu kaç cm dir?
A) 12
B) 14
C) 20
D) 22
F
A) 150
B) 140
C) 130
D) 120
E) 110
(1998 - ÖSS)
E) 24
(1997 - ÖSS)
9.
12.
|EC| = |CD|
A
ABC bir üçgen
A
m(AëFE) = α
F
|BD| = 2 cm
a
|DC| = 8 cm
E
B
C
B2 D
D
C
8
Yukarýdaki þekilde ABC bir eþkenar üçgen
olduðuna göre, m(AFE) = a kaç derecedir?
Yukarýdaki þekilde ABD üçgeninin alaný 6 cm2
dir?
A) 110
A) 24
ë
B) 105
C) 100
D) 95
E) 90
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
(1998 - ÖSS)
(1997 - ÖYS)
192
1.A
2.C
3.B
4.C
5.D
6.B
7.D
8.E
9.D
10.E
11.A
12.D
13. Düzgün bir çokgenin bir iç açýsý bir dýþ açýsý-nýn
16.
D
2
A) 12
B) 11
C) 10
D) 9
ABCD bir dik yamuk
C
4 katý olduðuna göre, bu çokgenin kenar sayýsý
kaçtýr?
m(AëDC) = 90°
4
E
E) 8
m(DëAB) = 90°
4
(1998 - ÖYS)
A
8
K
m(EëKB) = 90°
|BE| = |CE| = 4 cm
B
|DC| = 2 cm
|AB| = 8 cm
Yukarýdaki verilenlere göre, AKE üçgeninin alaný
kaç cm2 dir?
A)
14.
D
C
F
7
2
B) 3 7
2
C) 5 7
2
D) 5 11
2
E) 7 11
2
(1999 - ÖSS iptal)
|AB| = 5 |AE|
|BC| = 3 |CF|
17.
K
A
B
E
90°
O
Yukarýdaki þekilde AEFC dörtgenin alaný 35 cm2
olduðuna göre, ABCD dikdörtgeninin alaný kaç
cm2 dir?
A) 105
B) 120
C) 135
D) 150
E) 175
(1998 - ÖYS)
M
L
90°
O merkezli çember içine çizilen yukarýdaki
düzgün altýgende K, L ve M bölgelerinin alanlarý
hangi sayýlarla orantýlýdýr?
K
L
M
A)
1
3
6
B)
1
5
6
C)
2
3
6
D)
3
4
5
E)
3
5
6
(1999 - ÖSS Ýptal)
15.
|AB| = 6|AE|
|BC| = 4|BF|
|BD| = 4 cm
15
F
|DA| = 16 cm
4
B
C ABCD paralelkenar
D
m(BëED) = 90°
16
D
18.
m(BëAC) = 90°
A
x
E
C
A
|AC| = 15 cm
E
B
Yukarýdaki þekilde EBF üçgeninin alaný 5 cm2
olduðuna göre, ABCD paralelkenarýnýn alaný kaç
cm2 dir?
|BE| = x
olduðuna göre, |BE| = x kaç cm dir?
16
A)
B) 13
C) 5
D) 4
E) 3
5
5
(1998 - ÖSS)
A) 96
B) 84
C) 72
D) 60
E) 48
(1999 - ÖSS iptal)
193
19.
11
x
|AD| = |DC|
|BC| = 6|BD| ve
m(AëBC) = 60°
|AD| = 5|ED| dir.
E
|BC| = 10 cm
1 60°
10
C
|AE| = 11 cm
B
|BE| = 1 cm
Buna göre, taralý ABCE dörtgeninin alanýnýn
ABC üçgeninin alanýna oraný kaçtýr?
|DE| = x
Yukarýdaki verilere göre, |DE| = x kaç cm dir?
A) 5ñ3
B) 6ñ3
Yandaki þekilde
A
D
E
B
22.
ABC bir üçgen
A
C) 7ñ3
D) 3
D
1
3
A)
E) 4
C
B)
2
3
1
4
C)
D)
3
4
E)
1
5
(1999 - ÖSS)
23.
m(BëAC) = 90°
A
m(AëBC) = 40°
20.
30°
B
|AD| = |BD|
C
olduðuna göre, m(ADB) =
ë
A) 95
B) 100
a
kaç derecedir?
C) 105
D) 110
E) 115
(1999 - ÖSS)
B
D
m(AëEF) = α
C
Yukarýdaki þekilde, DEF dik üçgeninin köþeleri ABC
dik üçgeninin kenarlarý üzerindedir.
|AB| = |AC|
m(BëDF) = 30°
40° 30°
Yandaki þekilde ABC ve ABD
birer ikizkenar üçgendir.
D
m(FëDE) = 90°
F
m(DëBC) = 30°
a
E
a
m(AëDB) = α
A
ABC üçgeni DEF üçgenine benzer
(AÿBC ~ DÿEF) olduðuna göre, m(AëEF) =
derecedir?
A) 50
B) 70
C) 75
D) 80
a
kaç
E) 85
(1999 - ÖSS)
21.
24.
ABC bir üçgen
A
D
E
A
H
F
E
|CF| = 2 cm
B
C
|AE| > |EB|
C) 4,5
D) 4,6
Alan(EBF)
Alan(AED)
oraný
kaçtýr?
|AH| = 8 cm ve |BC| = 12 cm olduðuna göre
|DE| = x kaç cm dir?
B) 4,4
|AD| = 3 cm
|OC| = 4 cm
DEFG karesinin köþeleri, þekildeki gibi ABC
üçgeninin kenarlarý üzerindedir.
A) 4,3
F
|DE| = x
x
B
3
[AH] ⊥ [BC]
G
m(DëEF) = 90°
2
DEFG bir kare
D
C
4
A)
E) 4,8
3
2
B) 1
2
C) 1
3
(1999 - ÖSS)
D) 4
9
E) 1
9
(2000 - ÖSS)
194
13.C
14.D
15.A
16.C
17.D
18.E
19.A
20.B
21.E
22.A
23.B
24.E
25.
28.
C ABCD paralelkenar
D
[DH] ⊥ [AB]
A
|DE| = |EA|
E
|BC| = 12 cm
8
F
|AF| = |FB|
|AE| = 8 cm
E
A
B
F
B
Alan(AFE)
Alan(ABCD)
oraný
1
D)
5
1
E)
4
Yukarýdaki þekilde ABC eþkenar üçgen oldu-
kaçtýr?
1
A)
8
1
B)
7
1
C)
6
D
C
12
A(ECD)
oraný kaçtýr?
A(AFE)
ðuna göre,
A)
(2000 - ÖSS)
1
3
1
2
B)
1
C)
3
D)
3
3
4
E)
3
(2003 - ÖSS)
26.
E
D
C
A
B
Þekildeki ABCDEF bir düzgün altýgendir.
A(EAB) = 32ñ3 cm2 olduðuna göre, altýgenin bir
kenarýnýn uzunluðu kaç cm dir?
A) 2ñ3
B) 4ñ3
C) 8ñ3
D) 4
29.
F
ABCDE
beþgen
D
E
C
F
bir
düzgün
FBC bir eþkenar üçgen
m(FAB) = x
x
A
B
E) 8
A) 60
(2002 - ÖSS)
B) 62
C) 66
D) 72
E) 74
(2003 - ÖSS)
27.
K 2
D
2|AE| = 6|EF| = 3|FC|
E
|KE| = 2 cm
H
[BA] // [GD]
A
LD // HF // KE // BC
D
L
30.
|AL| = |LH| = |HK| = |KB|
A
olduðuna göre,
F
F
|BC| = x
E
B
A) 14
x
C
B) 18
B
Yukarýdaki verilere göre, x
kaç cm dir?
C) 22
A)
D) 24
E) 26
(2002 - ÖSS)
C
G
5
6
B)
3
4
DF oraný kaçtýr?
FG
C) 2
3
D) 1
E) 2
(2004 - ÖSS)
195
31.
D
K
E
ABC bir üçgen
A
[BC] ⊥ [AD]
|HA| = 4 cm
|BE| = |EF| = |FD|
F
H 4
34.
ABCD ve HAFE birer
kare
C
|AB| = 12 cm
A
E
B
12
|CD| = x
Þekilde taralý bölgelerin
alanlarý toplamý 12 cm2
ve |BC| = 8 cm olduðuna
göre, x kaç cm dir?
C
F
B
x
Yukarýdaki verilere göre, taralý alanlarýnýn
A) 36
B) 40
C) 42
D) 50
D
A) ñ2
E) 56
B) ñ3
C) 2
D) 3
(2006 - ÖSS 1)
(2004 - ÖSS)
35.
32.
C ABCD paralelkenar
D
F
ABC bir üçgen
A
|DF| = |FE|
E
[AE] açýortay
|AG| = |GE|
14
6
D noktasý
C
x
E
G
[AB] üzerinde
A
|AE| ⊥ |BC|
Þekildeki ABCD paralelkenarýnýn alaný 72 cm2 dir.
F
D
|AD| = 6 cm
B
E) 4
|AC| = 14 cm
|FE| = x
B
Buna göre, taralý EFG üçgeninin alaný kaç cm2
dir?
A) 9
B) 10
C) 12
D) 16
E) 18
(2007 - ÖSS 1)
Yukarýdaki þekilde |DF| = |FC| olduðuna göre, x
kaç cm dir?
5
7
A)
B)
C) 2
D) 3
E) 4
2
2
(2005 - ÖSS)
36. Basamak yüksekliði 20 cm, basamak geniþliði 50
33.
D
C
2
cm olan aþaðýdaki merdivenin yan yüzü, boyutlarý
25 cm ve 10 cm dikdörtgen biçimindeki fayanslarla
kaplanacaktýr.
ABCD bir dik yamuk
DC // AB, AB ⊥ CB
E
6
BE ⊥ AD, |DC| = 2 cm
|CB| = 6 cm
A
50
B
10
|AB| = 10 cm
20
10
25
Yukarýdaki verilenlere göre, taralý üçgeninin
Bu iþ için kaç fayans kullanýlýr?
A) 16
A) 40
B) 18
C) 20
D) 24
E) 28
B) 38
C) 36
(2005 - ÖSS)
D) 32
E) 28
(2007 - ÖSS 2)
196
25.A
26.E
27.D
28.B
29.C
30.D
31.B
32.E
33.D
34.D
35.A
36.A
37.
B
E
70°
D
[DE] // [BC]
m(BëAD) = 60°
F
|DE| = 8 cm
m(AëDB) = 70°
50°
D
8
C) 20
12
B
B) 15
E
|BC| = 12 cm
C m(AëCB) = 50°
m(AëBF) = x
A) 10
ABC bir üçgen
A
|AE| = |AF|
60°
x
40.
ABC bir üçgen
A
C
Þekildeki BCED dörtgeninin alaný 60 cm2 olduðuna
göre, ADE üçgeninin alaný kaç cm2 dir?
D) 25
E) 30
(2008 - ÖSS 1)
A) 42
B) 44
C) 46
D) 48
E) 50
(2009 - ÖSS 1)
38.
D
C
ABCD bir kare
|AE| = |EB|
10
41.
|FC| = 10 cm
D
140°
F
E
E
Yukarýdaki verilere göre, EBC üçgeninin alaný
kaç cm2 dir?
A) 25
m(AéBC) = 120°
110°
100°
m(BéCD) = 110°
B
B) 30
C) 40
D) 45
E) 50
(2008 - ÖSS 1)
120°
m(CéDE) = 140°
B
m(DéEA) = 100°
A
ABCDE bir beþgen
C
x
m(EéAB) = x
A
A) 85
B) 80
C) 75
D) 70
E) 65
(2010 - LYS)
39. Aþaðýdaki þekilde, eni 40 m ve boyu 100 m olan
dikdörtgen biçimindeki bir park, parkýn içinden
geçen paralelkenar biçiminde iki yol ve bu yollar
dýþýnda kalan yamuksal K, L ve üçgensel M yeþil
alanlarý gösterilmiþtir.
100
42.
M
40
K
ABC bir ikizkenar üçgen
A
L
[AD] açýortay
35
m(AéCB) = 40°
55
x
Parkýn K ve L bölgelerinin alt kenar uzunluklarý
sýrasýyla 35 m ve 55 m olduðuna göre, toplam
yeþil alan kaç m2 dir?
A) 3200
B) 3400
D) 3600
B
D
40°
m(AéDC) = x
C
Yukarýdaki ABC ikizkenar üçgeninde |AC| = |BC|
C) 3500
E) 3800
A) 105
(2008 - ÖSS 2)
B) 110
C) 115
D) 120
E) 125
(2011 - YGS)
197
43.
D
E
4
tir.
DAF bir üçgen
6
A
46. Aþaðýda ABCDEFGHK düzgün dokuzgeni verilmiþ-
C
F
G
|CE| = 4 cm
B
x
F |EB| = 6 cm
E
H
Yukarýdaki verilere göre, x kaç cm’dir?
A) 10
B) 12
C) 14
D
O
|BF| = x
K
D) 9
E) 15
C
A
B
(2011 - YGS)
O noktasý dokuzgenin köþelerinden geçen çemberin merkezi olduðuna göre, EOC açýsýnýn
A) 60
44. Aþaðýda verilen ABCD dikdörtgeni biçimindeki bir
B) 72
C) 75
D) 80
kâðýt, B ve D köþeleri çakýþacak þekilde katlanýyor.
[AB] kenarý üzerindeki katlanma noktasý E olmak
üzere |AE| = 1 birim oluyor.
C
D
F
A
B
A 1 E
(2011 - LYS)
C
B
Katlama sonucunda, kâðýdýn üst üste gelen kýsýmlarý koyu renkli DEF eþkenar üçgensel bölgesini
oluþturuyor.
D
E) 90
Buna göre, kâðýdýn alaný kaç birim karedir?
A) 6ñ2
B) 2ñ2
C) 4ñ3
D) 3ñ3
E) 4ñ2
(2011 - YGS)
45.
A
C
AB ⊥ AC
AE ⊥ BC
AC ⊥ CE
D
|AB| = 20 cm
x
20
E
|AC| = 15 cm
|DE| = x
B
Yukarýdaki verilere göre, x kaç cm’dir?
15
25
32
27
36
A)
B)
C)
D)
E)
2
3
3
4
5
(2011 - LYS)
198
37.C
38.D
39.D
40.D
41.D
42.A
43.E
44.D
45.D
46.D
.
3. ÜNITE
.
.
DIK PRIZMALAR ve
.
.
PIRAMITLER
ALIÞTIRMA : 52
Ýzometrik ve Ortografik Çizimler
1.
4.
Üç boyutlu cisimlerin izometrik kaðýt üzerindeki çizimlerine izometrik çizim denir.
Yanda izometrik çizimi
verilen þeklin önden,
üstten ve sað yandan
ortografik çizimlerini yapýnýz.
Bu çizimde kenarlarý taþýyan doðrular birbirlerine
paraleldir.
Kenarlarý taþýyan doðrularýn kesiþir gibi göründüðü
çizime perspektif çizim dendiðini ilköðretimde görmüþtük.
C:
üst
sað
yan
önden
görünüm
ön
izometrik çizim
2.
sað yandan
görünüm
perspektif çizim
Üç boyutlu cisimlere tek bir yönden bakarak
görünümlerin iki boyutlu çizilmesine ortografik (dik
görüntü) çizimi denir.
5.
Yanda izometrik çizimi verilen þeklin önden, sað yandan ve
üstten ortografik çizimlerini yapýnýz.
Ýzdüþüm çiziminde görünmeyen düzlemler kesik
çizgi ile gösterilir.
önden görünüm
Bu çizimde cismin iki boyutlu görüntüsüne ortografik izdüþüm adý verilir.
C:
görünmeyen
ayrýt
sað yandan görünüm
sol yandan görünüm
alttan görünüm
üstten görünüm
3.
üstten
görünüm
önden
görünüm
6.
sað yandan
görünüm
üstten
görünüm
Yanda
izometrik
çizimi verilen þeklin
önden, üstten ve
sað yandan dik
görüntü çizimlerini
yapýnýz.
Yanda izometrik çizimi verilen þeklin önden, üstten
ve sað yandan ortografik
çizimlerini yapýnýz.
C:
C:
önden
görünüm
üstten
görünüm
önden ve sað yandan
görünüm
sað yandan
görünüm
201
üstten
görünüm
7.
10. Aþaðýda verilen birim küplerden oluþmuþ cismin hacmi kaç birimküptür?
önden
görünüm
sað yandan
görünüm
üstten
görünüm
Üstte ortografik çizimi verilen yapýnýn izometrik çizimini yapýnýz.
C : 35
C:
8.
11. Aþaðýda verilen birim küplerden oluþmuþ cisönden görünüm
min hacmi kaç birimküptür?
sað yandan görünüm
C:
üstten görünüm
C : 27
9.
önden
görünüm
sað yandan
görünüm
12. Aþaðýda verilen birim küplerden oluþmuþ cis-
üstten
görünüm
min hacmi kaç birimküptür?
C:
C : 45
202
TEST : 38
Ýzometrik ve Ortografik Çizimler
sað yandan ve üstten
2.
4.
5.
6.
1.
3.
203
10.
7, 8, 9, 10, 11 ve 12. sorularda sýrasýyla önden
(1), sað yandan (2) ve üstten (3) ortografik dik
izdüþümleri verilen yapýlarýn izometrik çizimlerini yapýnýz.
(1)
(2)
(3)
7.
(1)
(2)
(3)
11.
(1)
(2)
(3)
8.
(1)
(2)
(3)
12.
9.
(1)
(2)
(3)
(1)
204
(2)
(3)
ALIÞTIRMA : 53
Prizmanýn Tanýmý ve Özellikleri
1.
Aþaðýdaki þekilden yararlanarak boþluklarý
uygun kelimelerle doldurunuz.
d
d)
Ýki yanal ayrýt arasýnda kalan ve bir tabanýn
kenar sayýsý kadar olan paralelkenarsal bölgelere ……………. denir.
e)
Ýki taban arasýnda kalan uzaklýða prizmanýn
……………. denir.
f)
Yanal ayrýtlarý taban düzlemine dik olan prizmaya ……………., dik olmayan prizmaya da
……………. denir.
g)
Tabanlarý düzgün çokgen olan dik prizmaya
……………. denir.
h)
Prizmalar tabanlarýn biçimlerine ve dik olup
olmamalarýna göre adlandýrýlýrlar. Tabaný
üçgen, yanal ayrýtlarý tabana dik prizmaya
……………. denir.
D
A
C
B
E
2.
Uzayda E düzlemi üzerinde bir çokgen ve E
düzlemi üzerinde bulunmayan bir d doðrusu
verilsin. Çokgenin üzerindeki noktalardan
geçen ve d’ye paralel olan doðrularýn oluþturduðu yüzeye ……………. denir.
b)
Prizmatik yüzeyin belirlediði uzay parçasýna
……………. denir.
c)
Ýki paralel düzlem ile sýnýrlanan kapalý prizmatik bölgeye ……………. denir.
d)
Ýki paralel düzlem ile sýnýrlanan kapalý prizmatik yüzey parçasýna ……………. denir.
e)
d doðrusuna prizmatik yüzeyin …………….
denir.
3.
Aþaðýdaki katý cisimleri isimlendiriniz.
a)
a)
...........................
b)
Aý
...........................
üst taban
c)
Bý
Cý
yanal yüz
A
yükseklik
B
yanal alan
...........................
C
alt taban
a)
Prizmanýn altýný ve üstünü oluþturan çokgensel bölgelere ……………. denir.
b)
Prizmanýn taban kenarlarýna …………….
denir.
c)
Tabanlarýn karþýlýklý köþe noktalarýný birleþtiren doðru parçalarýna ……………. denir.
d)
...........................
205
5.
Aþaðýdaki katý cisimleri isimlendiriniz.
a)
Bir dikdörtgenler prizmasýnýn,
a)
kaç yüzü vardýr?
b)
kaç ayrýtý vardýr?
c)
kaç köþesi vardýr?
d)
KÖÞE - AYRIT + YÜZ = ?
...........................
6.
b)
Bir üçgen prizmanýn,
a)
b)
c)
d)
...........................
c)
7.
4.
...........................
d)
8.
...........................
Bir düzgün altýgen dik prizmanýn,
a)
b)
c)
d)
Bir düzgün beþgen dik prizmanýn,
a)
b)
c)
d)
e)
SONUÇ :
Bir prizmanýn;
• yüz sayýsý F,
...........................
• ayrýt sayýsý E,
f)
• köþe sayýsý V olmak üzere
V–E+F=2
baðýntýsý her dik prizma için vardýr.
...........................
206
ALIÞTIRMA : 54
Prizmanýn Açýnýmý
4.
Yukarýda verilen üçgen dik prizmanýn açýnýmýný
inceleyerek aþaðýdaki dik prizmalarýn açýnýmlarýný çiziniz.
1.
5.
2.
6.
3.
2
1
3
207
7.
10.
5
3
30°
4
8.
6
11.
4
3
9.
12.
Yanda bir zarýn açýnýmý
verilmiþtir.
Zarýn alt yüzüne gelen
ifade altý noktalý ise üst
yüzüne gelecek ifade
kaç noktalýdýr?
C:3
208
ALIÞTIRMA : 55
Prizmanýn Alaný
4.
A
K
L
B
C
Bý
Cý
N
Yandaki resimde kare dik
prizma þeklinde bir süt
kutusu verilmiþtir.
Taban ayrýtý 10 cm yüksekliði 20 cm olan bu kutunun yapýmý için kaç
cm2 karton kullanýlmýþtýr?
M
Aý
C : 1000
Prizmanýn yüzey alaný:
2 . A(ABC) + Ç(ABC) . |KL|
SONUÇ : Prizmanýn alaný
S = 2 . TA + TÇ . h
TA = Taban alaný
TÇ = Taban çevresi
h = yükseklik
Prizmanýn yanal alaný:
YA = TÇ . h
1.
5.
Tabaný düzgün beþgen olan bir dik prizmanýn taban
ayrýtý 3 cm, yüksekliði 8 cm dir.
Buna göre cismin yanal alaný kaç cm2 dir?
C : 120
Bir ayrýtýnýn uzunluðu 1 cm olan küpün alaný
kaç cm2 dir?
C:6
2.
Bütün ayrýt uzunluklarý eþit ve 1 cm olan eþkenar üçgen dik prizmanýn yanal alaný kaç cm2
dir?
C:3
6.
3.
Taban ayrýtý 2 cm yüksekliði 9
cm olan düzgün altýgen dik prizma þeklindeki dik prizmanýn
yüzey alaný kaç cm2 dir?
Taban çevresi 12 cm yüksekliði 3 cm olan bir
dik prizmanýn yanal alaný kaç cm2 dir?
C : 108 + 12ñ3
C : 36
209
7.
10.
N
2,5 m
A 3 cm
5 cm
E
D
F
4m
5m
5 cm
K
B
Yukarýda ayrýtlarý verilen odanýn duvarlarý boyanacaktýr.
L
C
Kaç m2 boya kullanýlmalýdýr?
M
C : 45
Yukarýda açýlmýþ þekli verilen cismin yüzey
C : 72
11.
Aý
A
Cý
Bý
C
B
Birim küplerden oluþan yandaki þekil tabaný hariç kumaþla kaplanacaktýr.
Kaç m2 kumaþ gerekir?
8.
K
L
12 m
M
Yukarýdaki binanýn çatýsýnýn 4 yüzeyi kýrmýzýya
boyanacaktýr.
ABC eþkenar üçgen olduðuna göre kaç m2 boya kullanýlýr?
C : 26
C : 288 + 72ñ3
12.
9.
2
4
Birim küplerden oluþan
yandaki þeklin yüzey
5
Yukarýdaki aðzý açýk kutunun ayrýtlarý 2 cm, 4 cm
ve 5 cm dir. Kutunun içi ve dýþý boyanacaktýr.
Kaç cm2 boya kullanýlýr?
C : 44
C : 112
210
ALIÞTIRMA : 56
Prizmanýn Özellikleri ve Alaný
1.
4.
Bir düzgün altýgen prizmanýn kaç ayrýtý vardýr?
C : 18
Yanda uzunluklarý verilen dikdörtgenler priz4 masýnda |BL| uzunluðu
C kaç birimdir?
L
K
E
F
D
3
5
A
2.
B
C : 5ñ2
Bir eþkenar üçgen dik prizmanýn köþe sayýsý
kaçtýr?
C:6
5.
3.
C
A
C : 10
Yandaki
þekilde
bir
dikdörtgenler prizmasý
verilmiþtir.
K
D
Kenar uzunluklarý 7, 1 ve 5ñ2 birim olan dikdörtgenler prizmasýnýn cisim köþegeni kaç birimdir?
B
Buna göre aþaðýdaki
açýlardan hangileri 90°
dir?
a) m(DéCK)
b) m(AéCK)
6.
G
F
c) m(DéCA)
H
d) m(AéCB)
E
D
|DE| = 5 br,
C
e) m(KéCB)
A
ABCDEFGH dikdörtgenler prizmasýnda
B
|BF| = 1 br
veriliyor.
uzunluklarý
f) m(DéCB)
Buna göre lABl uzunlugu kaç birimdir?
g) m(DéAB)
C : a, b, e, f ve g
C : 2ñ6
211
7.
10.
Kenar uzunluklarý 6, 8 ve 10 birim olan dikdörtgenler prizmasýnýn cisim köþegenlerinin kesim
noktasýnýn yüzeylere olan uzaklýklarý toplamý
kaç birimdir?
L
ABCDEFKL yamuk dik prizmasýnda
K
E
F
lABl = 6 cm,
lBCl = 5 cm,
C : 24
D
C
A
lDCl = 2 cm,
B
lADl = 3 cm,
lAEl = 4 cm ise yanal alaný kaç cm2 dir?
C : 64
11. Taban ayrýtý 4 cm ve yüksekliði 4ñ3 cm olan
Taban çevresi 10 cm, yüksekliði 4 cm olan dik
prizmanýn yanal alaný kaç cm2 dir?
C : 40
8.
eþkenar üçgen dik prizmanýn tüm alaný kaç cm2
dir?
C : 56ñ3
12.
Yandaki þekilde taban
ayrýtlarý 4 cm ve 6 cm olan
dikdörtgenler
prizmasý
biçiminde kapaksýz bir
kutu verilmiþtir.
4
6
9.
Kutunun dýþ yüzey alaný 54 cm2 ise yüksekliði
kaç cm dir?
3
C:
cm
2
Taban ayrýtý 3 cm, yüksekliði 5 cm olan düzgün
altýgen dik prizmanýn yanal alaný kaç cm2 dir?
C : 90
212
TEST : 39
Prizmanýn Özellikleri ve Alaný
1.
4.
Taban þekli düzgün sekizgen olan dik prizmaya
ne ad verilir?
A) Düzgün sekizyüzlü
Bir dikdörtgenler prizmasýnýn kaç farklý yüzeyi
vardýr?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
B) Düzgün sekizgen dik prizma
C) Sekizyüzlü
D) Sekizgen
E) Onyüzlü
5.
H
E
G
Bir prizmanýn en az kaç yüzeyi vardýr?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
B
Buna göre hangisi cisim köþegeni deðildir?
A) [AG]
B) [DF]
D) [GD]
3.
Kibrit çöplerini parçalamadan bir dik prizma yapýlmak isteniyor.
6.
Buna göre en az kaç kibrit çöpü gerekir?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
213
C) [HB]
E) [CE]
Bir altýgen prizmadaki ayrýt ve cisim köþegenlerinin sayýsýnýn toplamý kaçtýr?
A) 6
E) 12
dikdört-
C
A
2.
ABCDEFGH
genler prizma
F
D
Þekilde
B) 12
C) 18
D) 24
E) 30
7.
10.
Ayrýtlarý 2 cm, 3 cm ve 6 cm olan dikdörtgenler
prizmasýnýn yüzey alaný kaç cm2 dir?
A) 36
B) 42
C) 48
D) 72
Yanda bir ayrýtý 1 m olan
küplerden oluþan bir madalya platformu verilmiþtir.
Platformun tabaný hariç
her yüzeyi boyanýyor.
E) 108
Boyalý alan kaç m2 dir?
A) 36
B) 38
11.
Farklý yüzey alanlarý 10 cm2, 12 cm2 ve 20 cm2
olan dikdörtgenler prizmasýnýn bütün alaný kaç
cm2 dir?
A) 84
B) 63
C) 48
D) 42
E) 24
Taban ayýtý 6 cm olan bir
küpün köþesinden taban
ayrýtý 1 cm olan bir küp
þekildeki gibi çýkarýlýyor.
Kalan cismin alaný kaç cm2 dir?
A) 196
B) 80
C) 64
D) 16
B) 205
C) 211
D) 216
E) 222
Yandaki þekilde küpün
A, B ve C köþeleri birleþtirilerek oluþturulan
B ABC üçgeninin alaný
9ñ3 cm2 olduðuna göre
küpün alaný kaç cm2
dir?
C
Yüzey alaný 80 cm2 olan dikdörtgenler prizmasýnýn ayrýtlarý toplamý 48 cm ise cisim köþegeni kaç cm dir?
A) 144
E) 54
6
12.
9.
D) 52
1
8.
C) 42
A
A) 72
E) 8
B) 78
C) 96
D) 102
E) 108
214
1.B
2.C
3.C
4.B
5.D
6.D
7.D
8.A
9.E
10.C
11.D
12.E
ALIÞTIRMA : 57
Prizmanýn Hacmi
Bir dik prizmanýn hacmi :
4.
V = TA . h
baðýntýsýyla hesaplanýr.
Taban ayrýtýnýn uzunluðu 4ñ3 cm, yüksekliði 4
cm olan eþkenar üçgen dik prizmanýn hacmi kaç
cm3 tür?
C : 48ñ3
TA : taban alaný
h : yükseklik
1.
Taban alaný 8 cm2 ve yüksekliði 3 cm olan dik
prizmanýn hacmi kaç cm3 tür?
C : 24
5.
Farklý ayrýt uzunluklarý 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan
yukarýdaki prizmanýn hacmi kaç cm3 tür?
2.
Alaný 96 cm2 olan rubik küpün hacmi kaç cm3
tür?
C : 60
C : 64
3.
6
4
6.
Yandaki küpte,
5
L
Yukarýda uzunluklarý verilen dik üçgen dik prizmanýn hacmi kaç br3 tür?
K
C : 36
|KL| = 4ñ3 cm dir.
Buna göre küpün hacmi
kaç cm3 tür?
C : 64
215
7.
Taban ayrýtý 2 cm, yüksekliði 5 cm olan düzgün
altýgen dik prizmanýn hacmi kaç cm3 tür?
10. Yanal alaný 36 cm2, yüksekliði 4 cm olan eþkenar
C : 30ñ3
C : 9ñ3
8.
T
Yandaki dik yamuk dik
prizmada;
P
S
üçgen dik prizmanýn hacmi kaç cm3 tür?
R
|KL| = 6 cm
|NM| = 2 cm
N
M
11.
|NK| = 3 cm
Yanda uzunluklarý verilen ikizkenar yamuk dik
prizmanýn hacmi kaç br3
tür?
L
Buna göre dik yamuk dik prizmanýn hacmi kaç
cm3 tür?
C : 60
|TN| = 5 cm dir.
K
4
8
8
C : 96ñ3
9.
12. Taban ayrýtý, yüksekliðinin 2 katý olan kare prizmanýn taban ayrýtý a ise sayýca hacminin alanýna
oraný kaçtýr?
Taban ayrýtý 5ñ3 cm yüksekliði 8 cm olan kare
dik prizmanýn hacmi kaç cm3 tür?
C:
C : 600
216
a
8
TEST : 40
Prizmanýn Hacmi
1.
Taban alaný 15 cm2 olan düzgün sekizgen dik prizmanýn yüksekliði 2ñ3 cm dir.
4.
B) 30
C) 15ñ3
K
D) 30ñ3
F
D
E) 60ñ3
C
A
B)
Cisim köþegeni 6 cm olan küpün hacmi kaç
tür?
A) 36
B) 24ñ3
C) 24
D) 12ñ3
E) 12
5.
2.
A) 12ñ2
B) 36ñ2
C) 36ñ3
D) 72
E) 72ñ2
1
3
D)
2
3
E)
3
4
12
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
prizmasýnýn hacmi kaç cm3 tür?
A) 120
217
C)
Yandaki þekilde dik üçgen
dik prizmasýnda verilen
uzunluklara göre yanal
alanýn, hacime sayýca oraný
kaçtýr?
10
6.
Taban ayrýtý 6 cm, yüksekliði 2ñ2 cm olan kare
dik prizmanýn hacmi kaç cm3 tür?
1
2
13
A) 5
3.
Buna göre küpün hacminin alanýna sayýca oraný
kaçtýr?
B
A) 1
cm3
ABCDEFKL küpünde
|EC| = 3ñ3 cm veriliyor.
E
Buna göre hacmi kaç cm3 tür?
A) 15
L
B) 180
C) 240
D) 280
E) 360
7.
Farklý yüzeylerinin alanlarý 8 cm2, 12 cm2 ve 6
cm2 olan dikdörtgenler prizmasýnýn hacmi kaç
cm3 tür?
A) 576
B) 144
C) 72
D) 48
10.
E) 24
2m
3m
4m
Yukarýda ayrýtlarý verilen dikdörtgenler prizmasý
þeklindeki bir odanýn içine ayrýtlarý 50 cm olan
küplerden kaç adet konulabilir?
A) 108
11.
B) 96
C) 48
B
8.
C
cm3
Hacmi 240
olan kare prizmanýn yüksekliði
15 cm ise yanal alaný kaç cm2 dir?
B) 160
C) 120
D) 80
|AD| = 2 cm
M |BC| = 6 cm
K
L
|AB| = |DC| = 2ñ2 cm
E) 60
|BK| = 4 cm
A) 240
E) 20
Yandaki þekilde iki
dik prizma üst üste
konulmuþtur.
D
A
D) 24
|LM| = 5 cm dir.
Buna göre cismin hacmi kaç cm3 tür?
A) 200
B) 180
C) 160
12.
D
D) 150
E) 130
Yandaki þekilde
|AB| = 8 cm
C
A
9.
|BC| = 3 cm
|DC| = 3 cm dir.
B
Taralý cisim köþeden kesip çkartýldýðýnda kalan
cismin alaný ve hacmindeki deðiþim aþaðýdaki
þýklardan hangisinde doðru verilmiþtir?
4 cm
3 cm
5 cm
Hacim
Alan
4 cm
A) 18 cm2 artar.
18 cm3 azalýr.
B) 18 cm2 azalýr.
18 cm3 artar.
Yukarýda açýnýmý verilen dik prizmanýn hacmi
kaç cm3 tür?
C) 18 cm2 azalýr.
18 cm3 azalýr.
D) 15 cm2 artar.
36 cm3 azalýr.
A) 12
E) 33 cm2 artar.
36 cm3 azalýr.
B) 15
C) 20
D) 24
E) 36
218
1.D
2.B
3.E
4.B
5.E
6.A
7.E
8.A
9.D
10.B
11.C
12.C
TEST : 41
Dikdörtgenler Prizmasý
1.
4.
Ayrýtlarýnýn uzunluklarý 5 cm, 6 cm ve 8 cm olan
dikdörtgenler prizmasýnýn yüzey alaný kaç cm2
dir?
A) 118
B) 120
C) 144
D) 216
E) 236
Ayrýtlarý 2, 3 ve 4 ile orantýlý dikdörtgenler prizmasýnýn farklý yüzeylerinin alanlarý toplamý 104
cm2 ise hacmi kaç cm3 tür?
A) 24
B) 48
5.
prizmasýnýn hacmi kaç cm3 tür?
A) 240
B) 180
C) 120
D) 60
E) 40
G
D) 144
E) 192
Þekildeki dikdörtgenler
prizmasýnda 2 tanesi bir
3 yüzeyi ortak olacak þekC ilde yapýþtýrýlýp bir dikdörtgenler prizmasý oluþturuluyor.
F
2.
C) 72
D
H
E
5
A
4
B
Oluþan yeni prizmanýn alaný en fazla kaç cm2
olur?
A) 138
3.
B) 148
C) 152
D) 158
E) 164
prizmasý, ayrýtlarý 1 cm, 1 cm ve 2 cm olan dikdörtgenler prizmalarýna ayrýlýyor.
6.
Buna göre yeni oluþan prizma sayýsý kaç
tanedir?
A) 640
B) 480
C) 360
D) 320
Taban ayrýtý 4 cm, yüksekliði 7 olan kare prizmanýn hacmi kaç cm3 tür?
A) 102
E) 160
219
B) 112
C) 122
D) 130
E) 140
10. Hacmi 125 cm3 olan küpün ayrýtlarý toplamý kaç
Yüksekliði 4 cm, taban ayrýtý 9 cm olan kare prizmanýn bütün alaný kaç cm2 dir?
A) 153
B) 256
8.
C) 300
D) 306
E) 400
Þekilde kare prizmasý biçimindeki binanýn yanal yüzeyi boyanmak istenmektedir.
10 m
5m
5m
Bir kutu boya ile 20 m2 boyanabildiðine göre kaç
kutu boya gerekir?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 16
cm dir?
A) 72
7.
B) 60
C) 30
D) 15
E) 5
11. Bir kenarý 24 cm olan küp þeklindeki peynir kalýbý,
bir kenarý 3 cm olan küp þeklindeki kalýplar bölünüyor.
Buna göre kaç tane küp olur?
A) 128
B) 256
C) 384
D) 448
E) 512
E) 20
12. Hacmi 64 cm3 olan küpün yüzey alanýnýn 294
9.
Taban alaný yanal alanýnýn yarýsý olan kare prizmanýn yüksekliði 3 cm ise hacmi kaç cm3 tür?
cm2 olmasý için bütün ayrýtlarýný kaç cm arttýrmalýdýr?
A) 72
A) 2
B) 96
C) 108
D) 126
E) 144
B) 3
C) 4
9.C
10.B
D) 6
E) 7
220
1.E
2.C
3.B
4.D
5.E
6.B
7.D
8.B
11.E
12.B
TEST : 42
Prizmanýn Alan ve Hacimleri
1.
4.
Bir ayrýtý 3 cm olan düzgün onikigen tabanlý dik
prizmanýn yüksekliði 5 cm ise yanal alaný kaç
cm2 dir?
A) 36
B) 72
C) 180
D) 216
Taban alaný 80 cm2 olan dik prizmanýn hacmi
360 cm3 ise yüksekliði kaç cm dir?
A) 4
E) 360
5.
9
2
B)
C) 5
D) 6
E) 9
Þekildeki dik üçgen
dik prizmasýnda
F
|BC| = 13 cm
Yanal alaný 120 cm2 olan düzgün sekizgen tabanlý
prizmanýn yüksekliði 5 cm’dir.
Buna göre tabanýn bir ayrýtýnýn uzunluðu kaç
cm’dir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
|AD| = 9 cm’dir.
A
A) 40ñ3
B) 48ñ3
D) 80ñ3
B
Buna göre prizmanýn hacmi kaç cm3 tür?
6.
Bir taban ayrýtýnýn uzunluðu 4 cm ve yüksekliði
6ñ3 cm olan eþkenar üçgen prizmanýn yüzey
|DE| = 12 cm
C
A) 180
3.
E
D
2.
B) 210
C) 270
D) 360
E) 540
Düzgün altýgen prizmasýnýn taban ayrýtý 2 cm ve
yüksekliði 6 cm dir.
Buna göre, hacmi kaç cm3 tür?
A) 6ñ3
C) 72ñ3
B) 12ñ3
D) 36ñ3
E) 96ñ3
221
C) 18ñ3
E) 72ñ3
A) 1
B) 2
D) 8
8.
prizmasýnýn cisim köþegeni kaç cm dir?
C) 4
A) 5
B) 5
C) ò29
D) 4ñ2
E) 6
C) 6
D) 8
E) 9
11. Ayrýtlarý 3, 4 ve 12 ile orantýlý olan dikdörtgenler
prizmasýnýn cisim köþegeni 52 cm ise, en uzun
ayrýtý kaç cm dir?
A) 4
B) 28
C) 42
D) 48
B) 12
C) 16
D) 24
E) 48
12. Cisim köþegenleri toplamý 20 cm olan dikdörtgenler
prizmasýnýn içindeki bir noktadan yüzeylere
çizilen dikmeler toplamý kaç cm dir?
A) 26
B) 2ñ7
E) sonsuz çoklukta
Bir kenarýnýn uzunluðu 1 birim olan küplerden
(birim küp) 100 tanesi ile oluþturulacak küplerin
sayýsý en az kaçtýr?
A) 4
9.
10. Ayrýtlar 2 cm, 3 cm ve 4 cm olan dikdörtgenler
Bir dik silindirin kaç tane cisim köþegeni vardýr?
7.
prizmasýnýn iki farklý ayrýtý 2 cm ve 3 cm dir.
Buna göre diðer ayrýt kaç cm dir?
E) 52
A) ñ5
B) ñ7
C) 2ñ3
8.A
9.A
10.C
D) ò17
E) 2ñ5
11.E
12.C
222
1.C
2.A
3.D
4.B
5.C
6.D
7.E
TEST : 43
Prizmanýn Alan ve Hacimleri
1.
4.
Taban ayrýtý 5 cm olan kare prizmanýn yüksekliði
6 cm ise hacmi kaç cm3 tür?
A) 100
B) 125
C) 150
D) 200
N
M
K
E) 250
L
Þekilde tabaný ikizkenar
yamuk olan bir prizma verilmiþtir.
[CD] // [AB]
|AB| = 8 cm
D
C
|CD| = 4 cm
A
B
|AD| = |BC| = 3 cm
|AK| = 2ñ5 cm
Yukarýdaki verilere göre, prizmanýn yüzey alaný
kaç cm2 dir?
A) 48ñ5
H
E
G
F
D
B
|HF| = 4ñ2 cm
Yukarýdaki verilere göre |HB| kaç cm dir?
A) ò76
B) ò52
C) 4ñ3
D) ò39
E) ò38
5.
E) 12
Bir usta ayrýtlarý 1 m, 2 m ve 3 m olan çukuru 8 saatte kazýyor.
Buna göre, ayný usta ayný çalýþma kapasitesiyle
ayrýtlarý 3 m, 8 m ve 10 m olan çukuru kaç saatte kazar?
A) 360
3.
D) 30ñ5
|AF| = 2ñ5 cm
C
|BG| = 2ñ6 cm
A
C) 36ñ5
Þekildeki dikdörtgenler
prizmasýnda
2.
B) 42ñ5
B) 320
C) 300
D) 250
E) 180
Farklý ayrýtlarýnýn çarpýmý 6 cm2, 16 cm2 ve
24 cm2 olan dikdörtgenler prizmasýnýn cisim
köþegeninin uzunluðu kaç cm dir?
A) 8ñ6
B) 2ò17
D) ò77
6.
C) 6ñ2
Bir kenarý 2 cm olan küpün alaný kaç cm2 dir?
A) 4
E) 8
223
B) 12
C) 16
D) 24
E) 36
7.
Cisim köþegeni 6 cm olan küpün hacmi kaç cm3
tür?
A) 24
B) 24ñ3
C) 8ñ3
D) 12
10. 12 tane birim küpten oluþturulacak dikdörtgenler prizmasýnýn cisim köþegeni en az kaç birimdir?
E) 6ñ6
A) 2ñ3
B) ò17
C) ò26
D) ò41
E) ó146
11. Yüzey köþegenleri toplamý 36ñ2 cm olan küpün
cisim köþegeni kaç cm dir?
A) 3
8.
B) 3ñ2
C) 3ñ3
D) 3ñ6
E) 4ñ2
Yüzey alaný 48 cm2 olan küpün cisim köþegeni
kaç cm dir?
B) 2ñ3
C) 3ñ2
D) 2ñ6
E) 3ñ6
A) 2ñ2
12.
9.
H
E
G
F
D
Özdeþ küplerden oluþan yukarýdaki cisme þekildeki gibi bakan birinin gördüðü þekil aþaðýdakilerden hangisidir?
Þekildeki küpte
BK
KC
=
= 2 cm
2
3
A)
B)
C)
C
K
A
B
D)
E)
Yukarýdaki verilere göre, |EK| kaç cm dir?
A) 6ñ6
B) 4ñ6
C) 6ñ3
D) 10ñ2
E) 6ñ2
224
1.C
2.E
3.D
4.A
5.B
6.D
7.B
8.D
9.A
10.B
11.C
12.E
Prizma Ýle Ýlgili ÖSYM Sorularý
1.
4.
1
2
3
4
5
6
Þekildeki küplerin yalnýz çizimde görünen yüzleri boyalý olduðuna göre, dört yüzü boyasýz
diðer yüzleri boyalý olan kaç küp vardýr?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
Yukarýda açýlýmý verilmiþ ve yüzleri numaralanmýþ küp kapalý duruma getirildiðinde, ikiþerli
olarak birbirinin karþýsýna gelen dört yüz aþaðýdakilerden hangisidir?
E) 1
(1977)
A) 3 – 5
B) 2 – 4
C) 3 – 6
1–6
3–6
3–5
D) 1 – 6
E) 1 – 4
2–5
3–5
(1978)
K
K
Sarý
D
C
Mavi
A
F
C
Sarý
C
B
Yeþil
Mavi
F
B
D
B
Mavi
A
D
A
Siyah
E
L
Yeþil
F
E
Yukarýdaki deðiþik konumlarý verilmiþ olan küpün bir
yüzü de beyazdýr.
Beyaz yüz, hangi renkteki yüzün karþýsýndadýr?
A) Mavi
B) Kýrmýzý
D) Yeþil
C) Siyah
E) Sarý
L
Kýrmýzý
2.
5.
Kenarlarý 3 cm, 6 cm ve 12 cm olan bir dikdörtgenler prizmasýnýn hacmine, eþit hacimde olan
küpün bir kenarý kaç cm dir?
A) 2
B) 3
C) 4
(1977)
D) 5
E) 6
(1995 - ÖSS)
3.
A
6.
Bir dikdörtgenler prizmasýnýn x, y, z boyutlarý 2, 3, 4
sayýlarý ile doðru orantýlýdýr.
Yukarýdaki þekilden, A ile ayný boyutlarda olan
(A dahil) kaç küp elde edilir?
Bu prizmanýn hacmi 3000 cm3 olduðuna göre,
A) 23
A) 1100
B) 21
C) 17
D) 14
E) 12
(1977)
B) 1200
C) 1300
D) 1400
E) 1500
(1996 - ÖYS)
225
7.
10.
Þekildeki gibi 6 bölümlü ve tabaný kare olan
kapaklý bir karton kutu
yapýlacaktýr.
a
b
c
a
da
e
Bu
liði
bir
luðu 20 cm olacaðýna göre,
gereklidir?
kutunun yüksek5 cm, tabanýnýn
kenarýnýn uzunkaç cm2 karton
Yukarýda bir küpün açýnýmý verilmiþtir.
A) 1000
D) 1400
A) a
B) 1100
C) 1200
Küpün üst yüzeyinde siyah kare bulunduðunda
alt yüzeyindeki karede hangi harf bulunur?
E) 1500
B) b
C) c
D) d
(2003 - ÖSS)
Kenar uzunluklarý 1 er birim olan 6 küple oluþturulan aþaðýdaki kürsünün tabaný hariç tüm yüzeyi, bir
madalya töreni için kumaþla kaplanacaktýr.
Bu kaplama iþi için kaç birim kare kumaþ gereklidir?
A) 18
B) 20
C) 21
D) 25
E) 32
(2005 - ÖSS)
"
"
"
"
9.
(2010 YGS)
8.
E) e
Bir kenar uzunluðu 16 cm
olan kare þeklindeki kartonun köþelerinden bir kenar
uzunluðu 3 cm olan birer
kare kesilerek çýkartýlýyor
ve kalan karton parçasý
kývrýlarak þekildeki gibi
üstü açýk bir kutu yapýlýyor.
Bu kutunun hacmi kaç
cm3 tür?
A) 200
B) 240
C) 250
D) 300
E) 360
(2006 - ÖSS - I)
226
1.D
2.A
3.B
4.A
5.E
6.C
7.E
8.C
9.D
10.A
ALIÞTIRMA : 58
Piramitin Tanýmý ve Özellikleri
1.
T
b)
Dýþýndaki noktaya piramidin …………. denir.
c)
Çokgenin bir köþesi ile, T nin belirttiði doðru
parçasýna piramitin ……………. denir.
d)
T den çokgensel bölgenin bulunduðu düzleme
indirilen
dikme
parçasýna
piramidin
……………. denir.
T
piramidal yüzey
piramidal bölge
3.
T
T
a)
2.
piramit
piramit yüzeyi
Bir çokgenin düzlemin dýþýndaki sabit bir T
noktasý ile çokgenin noktalarýndan geçen
doðrularýn oluþturduðu yüzeye …………….
denir.
b)
Bu yüzeyin sýnýrladýðý bölgeye …………….
denir.
c)
Çokgenin düzlemine paralel bir düzlem ve T
arasýndaki piramidal bölgeye …………….
denir.
D
T
C
H
piramidal bölge
A
B
a)
Tabaný düzgün çokgen olan ve yükseklik
ayaðý, tabanýn merkezinde bulunan piramide
……………. denir.
b)
Piramitler düzgün olup olmadýklarýna ve
tabanlarýna göre isimlendirilir. Örneðin; tabaný
kare olan düzgün piramite ……………. denir.
c)
Düzgün piramitte yanal yüzler birbirlerine eþ
……………. üçgensel bölgelerdir.
d)
Yanal ayrýtlarý birbirlerine ……………. tir.
Tepe noktasý
Yükseklik
A
D
e) Yanal yüzlerinin yükseklikleri birbirlerine
……………. tir.
Yanal ayrýt
H
Taban
B
a)
ABCD çokgensel
……………. denir.
f)
C
bölgesine
piramidin
227
Tepe noktasý ve çokgenin aðýrlýk merkezinden
geçen doðru, çokgenin düzlemine dik ise
piramide dik piramit denir. Her düzgün piramit
……………. piramittir.
4.
Aþaðýda günlük yaþamdan örnekleri verilmiþ
piramitleri isimlendiriniz.
b)
T
a)
D
C
H
A
B
c)
......................
T
...........................
b)
E
A
D
H
B
......................
C
d)
T
...........................
c)
E
A
D
B
...........................
5.
6.
e)
Etrafýnýzda gördüðünüz nesnelerden piramit
tanýmýna uyan 5 örnek veriniz.
a)
...........................
b)
...........................
c)
...........................
d)
...........................
e)
...........................
T
D
C
A
B
f)
D
C
A
B
g)
......................
T
D
C
......................
T
A
A
......................
T
Aþaðýdaki piramitleri isimlendiriniz.
a)
......................
C
C
7.
V–E+F=2
B
baðýntýsýný 6. sorudaki þekiller
için uygulayýp prizmadaki sonuçlarýyla karB
......................
þýlaþtýrarak yorumlayýnýz.
228
ALIÞTIRMA : 59
Piramitlerin Açýnýmý ve Alaný
4.
Kare düzgün piramitin açýnýmý :
Yandaki kare düzgün piramitte
T
A
|TH| = 4 cm
T
A
|HK| = 3 cm dir.
D
D
D
T
a
B
A
C
C
H
B
A
Düzgün kare piramitin alaný :
Buna göre cismin yüzey
K
A
hy
B
C
C : 96
B
SONUÇ :
a2 + 2ahy
dir.
T
hy
Düzgün piramitlerin yüzey alaný :
S = TA +
2
D
TÇ . hy
2
h
H
C
2
2
 a
(hy ) =   + h
2
K
a
2
TA : taban alaný
A
B
TÇ : taban çevresi
hy : yan yüz yüksekliði
Yanal alaný :
5.
1.
YA =
Açýnýmý verilen eþkenar üçgen düzgün piramitin taban ayrýtý 10 cm
yanal ayrýtý 13 cm dir.
TÇ . hy
2
Buna göre yüzey
C : 80 + 25ñ3
Taban çevresi 12 cm, yan yüz yüksekliði 4 cm
olan düzgün piramitin yanal alaný kaç cm2 dir?
C : 24
6.
K
T
2.
Taban çevresi 12 cm, yan yüz yüksekliði 4 cm
olan kare düzgün piramitin alaný kaç cm2 dir?
A
B
A
B
C : 33
C
L
C
M
KLM eþkenar üçgeni A, B, C noktalarýndan katlanarak
þekildeki gibi bir düzgün dörtyüzlü elde ediliyor.
3.
Taban çevresi 16 cm olan kare düzgün piramitin yan
yüzeyleri eþkenar üçgendir.
Eþkenar üçgenin bir kenar uzunluðu 6 cm olduðuna göre düzgün dörtyüzlünün yüzey alaný kaç
cm2 dir?
Buna göre yüzey alaný kaç cm2 dir?
C : 16 + 16ñ3
C : 9ñ3
229
e)
Aþaðýdaki cisimlerin açýnýmlarýný yapýnýz. Alan
baðýntýlarýný irdeleyiniz.
a)
Dikdörtgen dik piramit
b)
Eþkenar üçgen dik piramit
Düzgün sekizyüzlü
NOT : Düzgün dörtyüzlü, küp, düzgün sekiz yüzlü,
düzgün onikiyüzlü ve düzgün yirmiyüzlü cisimlere
platonik cisimler denir.
(Her bir köþesinde buluþan yüzey sayýsý aynýdýr.)
8.
Bir ayrýtý 3 cm olan düzgün sekizyüzlünün alaný
kaç cm2 dir?
C : 18ñ3
c)
Düzgün beþgen dik piramit
7.
9.
Yandaki düzgün kare
piramitte
T
|TH| = 4 cm
|AC| = 6ñ2 cm dir.
A
Buna göre cismin
yüzey alaný kaç cm2
dir?
D
H
B
d)
C
C : 96
Düzgün altýgen dik piramit
10.
Þekildeki cisim bir
düzgün piramit ile
küpün birleþtirilmeC siyle elde edilmiþtir.
T
D
|TA| = 10 cm
A
B
Buna göre cismin
alaný kaç
cm2 dir?
N
K
230
|AB| = 16 cm
M yüzey
L
C : 1472
TEST : 44
Piramitlerin Özellikleri ve Alaný
1.
|BC| = 16 cm
Tabanýnýn bir köþegeninin uzunluðu 6ñ2 cm ve
yüksekliði 4 cm olan düzgün kare piramidin
|TC| = 10 cm dir.
A) 96
(T, ABCD) düzgün kare
piramidinde
T
4.
10
C
D
B) 84
C) 72
D) 68
E) 54ñ2
16
A
B
Buna göre düzgün kare piramidin yanal alaný
kaç cm2 dir?
A) 104
B) 128
2.
C) 192
D) 216
E) 256
(T, KLMN) düzgün kare
piramidinde
T
|KL| = 12 cm,
piramitin yüksekliði 8 cm
dir.
M
K
L
kaç cm2 dir?
A) 120
B) 160
3.
C) 240
D) 280
5.
N
Yan yüz yüksekliði 13 cm ve cisim yüksekliði 12
cm olan düzgün kare piramidin taban alaný kaç
cm2 dir?
A) 16
B) 25
C) 50
D) 100
E) 260
E) 320
piramidinde
T
|TH| = 3ñ3 cm
C
D
A(ABCD) = 36 cm2 dir.
H
A
B
6.
kaç cm2 dir?
A) 36
B) 54
C) 68
D) 72
Taban çevresi 17 cm yan yüz yüksekliði 12 cm
olan düzgün piramidin yanal alaný kaç cm2 dir?
A) 68
E) 84
231
B) 92
C) 102
D) 112
E) 204
7.
10. Bir kenar uzunluðu 3 cm olan düzgün altýgeni taban
piramidinde
T
kabul eden düzgün piramidin yan yüz yüksekliði 2
cm dir.
[TH] yükseklik,
A
Buna göre bu piramidin yanal alaný kaç cm2 dir?
K ve L bulunduklarý ayrýtlarýn orta noktalarýdýr.
C
D
H
L
A) 72
B) 48
C) 36
D) 24
E) 18
B
K
Buna göre aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
A) m(TéHL)=90° B) m(TéHK)=90° C) m(HéLB)=90°
D) m(TéLC)=90°
E) m(TéBL)=90°
11.
(T, ABCD) düzgün
kare piramidinde
T
|TA| = 25 cm
A
(T, ABC) düzgün
eþkenar
üçgen
piramitinde,
T
C
ise düzgün piramidin alaný kaç cm2
dir?
8.
|BC| = 14 cm
D
B
A) 742
C
B) 756
C) 768
D) 868
E) 878
A
H
B
|TA| = |TB| = |TC| = 5 cm, |AB| = |AC| = |BC| = 6 cm
ise piramidin yanal alaný kaç cm2 dir?
A) 30
B) 36
C) 38
D) 42
E) 46
12.
(T, ABCD) dikdörtgen
piramit.
[TH] ⊥ ABCD
T
D
C
H
A
L
|AB| = 18 cm,
B
K
K ve L bulunduklarý
ayrýtlarýn orta noktalarý
|BC| = 10 cm,
9.
|TH| = 12 cm
Taban çevresi 15 cm ve yan yüz yüksekliði 4 cm
olan düzgün piramidin yanal alaný kaç cm2 dir?
ise dikdörtgen piramidin yanal alaný kaç cm2 dir?
A) 60
A) 384
B) 45
C) 30
D) 15
E) 10
B) 342
C) 328
D) 268
E) 242
10.E
11.D
12.A
232
1.C
2.C
3.D
4.A
5.D
6.C
7.E
8.B
9.C
ALIÞTIRMA : 60
Piramitin Hacmi
3.
Bir piramitin hacmi
A
T
A
C
T
D
C
B
D
H
B
A
Yanda açýnýmý verilen kare piramitin taban ayrýtý 4
cm yanal ayrýtý 3 cm dir.
C : 16
3
Bir piramitin hacmi :
V=
A
B
a
TA . h
3
TA : taban alaný
h : cisim yüksekliði
4.
Örneðin kare düzgün piramitin hacmi
Yandaki düzgün
piramitte ABCD kare,
|AB| = 10 cm
|TH| = 13 cm dir.
T
2
V=
a .h
3
1.
Taban ayrýtý 4 cm yüksekliði 3 cm olan kare
düzgün piramitin hacmi kaç cm3 tür?
D
C
H
A
B
C : 400
C : 16
5.
(T, ABCD) düzgün
kare piramidin
T
m(TéHK) = 60°
A
|AB| = 4 cm
D
ise düzgün kare
piramidinin hacmi
kaç cm3 tür?
60°
H
K
B
C
C : 32 3
3
2.
6.
Taban alaný 8 cm2 yüksekliði 5 cm olan bir
piramitin hacmi kaç cm3 tür?
C : 40
3
Taban alaný 64 cm2 ve yan yüz yüksekliði 2ñ5 cm
olan düzgün kare piramidin hacmi kaç cm3 tür?
C:
233
128
3
7.
10.
(T, ABC) dik üçgen piramidinde
T
piramidinde
T
[TA] ⊥ (AÿBC)
m(AéTC) = 90°
|CA| = 4 cm
C
D
C
|TC| = 6ñ2 cm dir.
|TA| = |AB| = 8 cm
A
B
A
ise piramidin hacmi kaç cm3 tür?
Buna göre düzgün kare piramidin hacmi kaç
cm3 tür?
128
C:
3
C : 144
Taban ayrýtý 2 cm ve yüksekliði 2ñ3 cm olan
eþkenar üçgen piramitin hacmi kaç cm3 tür?
C:2
9.
8.
B
piramidin hacmi 243 cm3 olduðuna göre yanal
C : 81ñ5
piramidinde
T
12.
TAC eþkenar üçgen,
D
A
11. Yüksekliði taban kenarýna eþit olan düzgün kare
C
A(TÿAC) = 9ñ3
liyor.
cm2
N
M
veriK
L
Cisim köþegenin uzunluðu
6ñ3 cm olan bir küpün içinden þekildeki gibi bir düzgün
piramit çýkartýlýyor.
C
D
T
A
B
B
Buna göre düzgün kare piramidin hacmi kaç
cm3 tür?
T noktasý taban düzlemi üzerinde olduðuna göre
kalan cismin hacmi kaç cm3 tür?
C : 18ñ3
C : 144
234
TEST : 45
Piramitin Hacmi
1.
[PC] ⊥ [AC]
P
4.
P(P, ABCD) piramidi
dik kare piramittir.
P
[PC] ⊥ [BC]
|PA| = 10 cm
[AC] ⊥ [BC]
|PC| = 2|BC| = 10 cm
C
A
B
D
B) 100
A
C) 150
D) 300
Buna göre hacmi kaç
A) 300ñ3
cm3
tür?
B) 300
D) 200
C) 200ñ3
Tabaný eþkenar üçgen olan dik piramidin yüksekliði
12 cm ve taban çevresi 30ñ3 cm dir.
5.
B) 108
C) 200
D) 256
E) 324
B) 3ñ6
C) 4ñ6
D) 6ñ6
E) 54
E) 150ñ3
Taban ayrýtý 8 cm ve yüksekliði 3 cm olan dik
kare piramidin yüzey alaný kaç cm2 dir?
A) 144
B) 144
Hacmi 72 cm3 olan kare piramidin yüksekliði 4
cm ise taban ayrýtý kaç cm dir?
A) 2ñ6
6.
3.
B
Buna göre, kare piramidin hacmi kaç cm3 tür?
E) 400
A) 100
2.
|AD| = 8ñ2 cm
|AC| = 12 cm
Þekildeki piramidin hacmi kaç cm3 tür?
A) 90
C
C) 80
D) 72
Yan yüzeyleri ile taban düzlemi arasýnda 60° lik
açý bulunan kare piramidin taban ayrýtýnýn yüksekliðine oraný kaçtýr?
A) 4 3
3
E) 60
235
B) 2 3
3
C) 2
D) ñ3
E)
3
2
7.
Taban alaný 64 cm2 olan kare piramidin yanal
yüksekliði 5 cm ise hacmi kaç cm3 tür?
A) 64
B) 48
C) 32
D) 20
10. Bir ayrýtý 12 cm olan düzgün sekizyüzlünün alaný
kaç cm2 dir?
E) 16
A) 144ñ3
B) 288ñ3
D) 324ñ3
C) 300ñ3
E) 400ñ3
11. Cisim yüksekliði 2ñ6 cm olan düzgün sekizyüzlünün hacmi kaç cm3 tür?
8.
Bir ayrýtý 6 cm olan düzgün dörtyüzlünün hacmi
kaç cm3 tür?
A) 9ñ2
B) 10ñ2
D) 15ñ2
C) 12ñ2
E) 18ñ2
B) 4ñ6
C) 8ñ6
D) 20
E) 24
A) 2ñ6
12.
Þekildeki üçgen piramitte
P
|AC| = |BC| = 10 cm
|PC| = ò41 cm
C
9.
A
Bir ayrýtý 4 cm olan düzgün dörtyüzlünün alaný
kaç cm2 dir?
A) 10ñ3
B) 12ñ3
D) 18ñ3
B
|AB| = 16 cm olduðuna göre piramidin hacmi kaç
cm3 tür?
C) 16ñ3
E) 32ñ3
A) 160
B) 120
C) 90
D) 80
E) 60
236
1.B
2.A
3.A
4.D
5.B
6.B
7.A
8.E
9.C
10.B
11.C
12.D
Piramit Ýle Ýlgili ÖSYM Sorularý
1.
4.
Tabanýnýn bir kenarý 8 cm, yüksekliði 3 cm olan
düzgün kare piramidin bütün alaný aþaðýdakilerden hangisi olabilir?
A) 224 cm2
B) 144 cm2
D) 80 cm2
Taban kenarý 10 cm olan bir
düzgün kare piramidin bütün
alaný 360 cm2 dir.
h
C) 112 cm2
Buna göre, piramidin yüksekliði kaç cm dir?
E) 64 cm2
(1969)
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
(1987 - ÖYS)
Bir kenarý a = 2ñ2 cm olan bir düzgün dörtyüzlünün hacmi aþaðýdakilerden hangisidir?
3
3
2 2
3
3
3
cm
cm
A)
B)
C)
cm
2
2
3
8
D)
8
3
cm
3
E)
8 3
3
cm
3
(1971)
5.
Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alaný 256ñ3 birim
karedir.
Bu dörtyüzlünün yanal yüz yüksekliði kaç birimdir?
2.
A) 6ñ3
B) 7ñ3
D) 9ñ3
C) 8ñ3
E) 10ñ3
(1995 - ÖYS)
6.
Dý
Bý
Aý
D
3.
A
Bir kenarý a = 3 cm olan bir düzgün sekizyüzlünün hacmi aþaðýdakilerden hangisidir?
11
2
A) 8ñ2
B) 8ñ3
C)
2
16
2
D)
3
ABCD kare tabanlý ABC
DAýBýCýDý dikdörtgenler
prizmasýnda D noktasý
A ve B ile, D noktasý da
B ile birleþtirilirse, hacmi
C
300 cm3 olan (D, ABD)
piramidi elde ediliyor.
Cý
B
ABCDAýBýCýDý prizmasýnýn yüksekliði 15 cm
olduðuna göre, tabanýnýn bir kenarý kaç cm dir?
A) ò15
E) 9ñ2
B) 2ò15
D) 2ò30
(1972)
C) 3ò15
E) 3ò30
(1998 - ÖYS)
237
7.
K
M
N
A
C
B
P
P düzlemi üzerinde bir ABC üçgeni ve bu düzlemin
dýlýnda bir K noktasý alýnýyor. A, B, C noktalarý K
noktasý ile birleþtiriliyor. [KB] ve [KC] üzerinde K, B
ve C’den farklý olacak þekilde M ve N noktalarý
iþaretleniyor ve MN doðrusu çiziliyor.
MN doðrusunun P düzlemini kestiði bilindiðine
göre, kesim noktasý neresidir?
A) AB doðrusu üzerinde bir nokta
B) AC doðrusu üzerinde bir nokta
D) BC doðrusu üzerinde bir nokta
E) ABC üçgeninin aðýrlýk merkezi
(2010 - LYS)
C) AK doðrusu üzerinde bir nokta
238
1.B
2.D
3.E
4.B
5.C
6.D
7.D
Kareli Kaðýt
1 birim
1 birim
239
Ýzometrik Kaðýt
1 birim
1 birim
1 birim
240
Eþkenar Üçgen Dik Prizma
4
1
2
5
241
3
Dikdörtgenler Prizmasý
1
5
2
3
4
242
6
Küp
1
5
2
3
4
243
6
Kare Piramit
1
2
3
4
5
244
.
4. ÜNITE
.
. ve DAIRE
ÇEMBER
ALIÞTIRMA : 61
Çember ve Çemberde Açý
Bu alýþtýrma testinde çember ile ilgili ilköðretimde öðrendiklerimiz arasýnda bað kurmaya
çalýþacaðýz.
2.
Merkezi O ve yarýçapý 3 cm olan çemberi pergel
yardýmýyla çiziniz.
5.
Aþaðýdaki boþluklarý þekilden yararlanarak
doldurunuz.
Çevrenizde çembere model olacak 3 farklý
örneði aþaðýdaki boþluða yazýnýz.
a)
......................
b)
......................
c)
......................
Aþaðýdakilerden hangileri bir çember belirtir,
kutularý iþaretleyiniz.
o
Bisiklet tekerleðinin jantý
o
Bir su bardaðýnýn üst kýsmý
o
Araç lastiði
o
Bir tepsi baklava
o
Futbol topu
o
Oya iþlemek için kullanýlan kasnak
o
1 TL (madenî para)
1.
4.
A
r
O
3.
Aþaðýdaki þekillerden hangisi sabit bir noktadan
eþit uzaklýktaki noktalar kümesidir?
o
o
r
C
r
B
o
a)
Düzlemde sabit bir noktadan eþit uzaklýkta
bulunan noktalarýn kümesine .............. denir.
b)
Buradaki sabit noktaya ................ .............. ,
sabit uzaklýða da ................ ................ denir.
c)
Çemberin ................. r harfiyle gösterilir.
o
|OA| = |OB| = |OC| = r
d)
247
Çemberin ................. 2r harfiyle gösterilir.
A
a
O
C
Köþesi çemberin merkezinde olan açýya merkez
açý denir.
B
AOB merkez açýsý
8.
Aþaðýdakilerden hangileri bir merkez açýdýr?
o
o
ABC çevre açýsý
C
B
6.
Köþesi çemberin üzerinde
olan açýya çevre açý denir.
A
Aþaðýdakilerden hangileri bir çevre açýdýr?
o
o
a
a
a
a
o
o
o
a
O
o
a
a
o
O
o
O
o
o
O
O
a
a
7.
9.
F
K
A
E
A
L
B
O
O
K
C
D
B
D
C
E
F
O çemberin merkezi
O çemberin merkezi
Yukarýdaki þekilden yararlanarak 4 tane merkez
açý yazýnýz.
Yukarýdaki þekilden yararlanarak 4 tane çevre
açý yazýnýz.
1) .....................
2) .....................
1) .....................
2) .....................
3) .....................
4) .....................
3) .....................
4) .....................
248
ALIÞTIRMA : 62
Merkez Açý
4.
O
A
m(AïB) + m(CïD) = 128°
* Bir merkez açýnýn ölçüsü
C
gördüðü yayýn ölçüsüne
eþittir.
a
O çemberin merkezi
C
m(AëOB) = α
A
O
m(AëOC) = x
m(BëOD) = y
D
B
m(AëOB) = m(AùCB)
B
olduðuna göre, x + y toplamý kaç derecedir?
C : 232
1.
O çemberin merkezi
A
m(AëOB) = α
a
O
C
5.
m(AùCB) = 75°
O çemberin merkezi
A
m(AëOB) = 3α – 20°
B
O
C
m(AùCB) = 2α + 10°
B
C : 75
olduðuna göre, AOB açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
2.
C : 70
O çemberin merkezi
A
m(AëOB) = α
a
O
C
m(AùCB) = 50°
6.
O çemberin merkezi
A
m(AùCB) = 300°
B
C
O
a
m(AëOB) = α
B
C : 50
C : 60
3.
O çemberin merkezi
C
D
A
y
z
E
7.
O çemberin merkezi
A
m(CïD) = 17°
x
O
m(AïB) = 24°
B
m(AùCB) = 11x
C
m(EïF) = 19°
F
O
a
D
B
olduðuna göre, x + y + z toplamý kaç derecedir?
m(AùDB) = 7x
m(AëOB) = α
C : 60
C : 140
249
8.
O çemberin merkezi
A
*
C
m(OëAB) = 60°
O
B
a
D
m(OëCB) = 50°
Bir çemberde veya eþ
çemberlerde, eþit kiriþlerin yaylarý eþittir.
O
m(AëOC) = α
B
C
A
|AB| = |CD| ⇒ m(AïB) = m(CïD)
*
C : 140
Bir çemberde veya eþ çemberlerde eþit yaylarýn
kiriþleri de eþittir.
m(AïB) = m(CïD) ⇒ |AB| = |CD|
9.
O çeyrek çemberin merkezi
A
a
m(OëBC) = 58°
C
12.
O çemberin merkezi
C
m(OëAC) = α
|AB| = |CD|
58°
O
O
m(CïD) = 35°
D
B
m(AëOB) = α
A
B
C : 77
10.
A
C : 35
13.
m(OëAC) = 50°
50°
C
D
C
11.
A, O, B doðrusal
O
m(OëBC) = α
a
O
O çemberin merkezi
A
|AD| = |BC|
m(BïC) = 80°
B
B
olduðuna göre, DC yayýnýn ölçüsü kaç derecedir?
C : 85
C : 20
B
x
14.
m(OëBC) = x
C
O çemberin merkezi
A
m(AïB) = m(BïD) = 120°
100°
E
O
m(OëAC) = y
m(BëAC) = 100°
m(AëCB) = α
a
y
O
B
A
olduðuna göre, x ile y arasýndaki baðýntý nedir?
D
C
C : x + y = 135°
C : 20
250
ALIÞTIRMA : 63
Çevre Açý
ABC çevre açý
a
B
* Bir çemberde ayný yayý
gören çevre açýlarýn ölçüleri
eþittir.
E
A
A
m(AëBC) = α
B
D
C
C
* Çevre açýnýn ölçüsü, gördüðü yayýn ölçüsünün
yarýsýna eþittir.
»
m(AC)
·
m(A
BC) =
2
1.
· = m(EBD)
· = m(ECD)
· =α
m(EAD)
O çemberin merkezi
A
a
m(BëOC) = 160°
O
m(BëAC) = α
160°
B
m(EïD) = 2α ise
4.
C
D
O çemberin merkezi
C : 38
5.
A
100° a
C
m(BëAC) = m(CëAD)
D
45°
m(AëOB) = 100°
O
m(BëAD) = α
38°
C
C : 80
A
A, B, C, D noktalarý çemberin
üzerinde
B
a
m(BëCD) = 38°
2.
A
m(AëBD) = 65°
a
m(AëCB) = α
m(AëDB) = 45°
65°
B
m(BëDC) = α
C
B
C : 130
C : 35
6.
3.
8x
B
2x
a
A
D
2x
6x
C
Þekildeki çemberde kesiþen [AD] ve [BC] kiriþlerinin oluþturduðu dört
yayýn derece türünden
ölçüleri verildiðine göre, α
m(BëAC) = 35°
B
D
95°
a
35°
F
E
A
m(BëFC) = 95°
m(AëCD) = α
C
C : 30
C : 20
251
C
* Bir çemberde çapý gören
D
çevre açýnýn ölçüsü 90° dir.
A
* Bir çemberde, paralel iki
doðru
parçasýnýn arasýnda
B
kalan yay parçalarý birbirine
eþittir.
C
D
[AB] çap
A
B
O
µ B) = m(A D
µB) = 90 °
m(AC
C
A
» = m(BD)
»
[AB] // [CD] ⇔ m(AC)
* Ýki veya daha fazla dik üç-
D
B
O
genin hipotenüsleri ayný ise
bu üçgenlerin köþelerinden
bir çember geçer.
10.
[AB] çap
D
O
yarým
merkezi
C
E
[DC] // [AB]
a
A
7.
E
A
O
B
O çemberin merkezi
C
a
D
ë
B
O
|AD| = |DC|
olduðuna göre, m(BAD) =
derecedir?
|AC| = |CE|
çemberin
a
m(AïC) = 60°
C : 60
C : 15
8.
O çemberin merkezi
B
A
m(BëAD) = α
11.
C
D
E
A
|AB| = 12 cm
O
O
yarým
merkezi
D
O
B
çemberin
[CD] // [AE]
m(BëOE) = 45°
m(CïD) = 65°
|OD| = 6 cm
olduðuna göre, AC yayýnýn ölçüsü kaç derecedir?
C
C : 35
olduðuna göre, ODC açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
C : 90
9.
12.
ABC bir üçgen
A
°
24
[BE] ⊥ [AC]
x
D
D
[DE] // [BC]
E
O
C
m(CëAE) = 28°
m(BëAC) = α
m(AëBE) = 24°
B
B
a
°
E
O çemberin merkezi
28
[AD] ⊥ [BC]
A
C
m(AëDE) = x
C : 34
C : 24
252
TEST : 46
Merkez ve Çevre Açý
1.
4.
O çemberin merkezi
A
m(AëOB) = x + 4
x+4
O
A, B, C, D, E noktalarý
çemberin üzerindedir.
D
E
m(EëBD) = 30°
m(AïB) = 80°
y
B
A
A) 84
B) 80
2.
C) 76
D) 44
m(EëCD) = y
B
Yukarýdaki verilere göre, x + y kaç derecedir?
E) 36
A) 30
O çemberin merkezi
A
m(EëAD) = x
C
30
°
x
B) 35
5.
C) 45
m(AëCD) = 60°
m(AëCO) = 20°
C
Yukarýdaki verilere göre, BC yayýnýn ölçüsü kaç
derecedir?
A) 45
B) 50
C) 90
3.
D) 100
a
A
B
E) 75
O çemberin merkezi
D
m(AëBO) = 25°
O
D) 60
B
O
60°
C
Yukarýdaki verilere göre, m(DOB) =
cedir?
ë
E) 110
A) 50
B) 60
C) 70
a
kaç dere-
D) 80
E) 90
O çemberin merkezi
C
O
a
m(AëCB) = 25°
6.
A
25°
m(AëCB) = α + 5°
C
A
O çemberin merkezi
a + 5°
B
O
60°
m(AëOB) = 60°
B
Yukarýdaki verilere göre, m(AOB) =
cedir?
ë
A) 25
B) 30
C) 40
a
D) 45
kaç dereYukarýdaki verilere göre, α kaç derecedir?
A) 115
E) 50
253
B) 100
C) 50
D) 30
E) 25
7.
10.
O çemberin merkezi
A, B, C, D noktalarý çember üzerinde
A
C
[AB] çemberin çapý
a
A
B
O
m(AïC) = 130°
|DC| = |CA|
C
a
B
m(AïB) = 100°
m(BëAD) = 60°
D
Yukarýdaki verilere göre, m(CAB) =
cedir?
ë
A) 60
B) 50
C) 40
a
kaç dereYukarýdaki verilere göre, m(ABC) =
cedir?
ë
D) 35
E) 25
A) 45
8.
C
D) 30
E) 25
11.
x
60°
40°
B
O
D
ë
B) 85
C) 90
D) 95
E) 100
A
Yukarýdaki verilere göre, m(DOC) = x kaç derecedir?
A) 80
O çemberin merkezi
m(DëAB) = 60°
m(CëOB) = 40°
x
C
B
[DC] // [AB]
m(BëCD) = x
m(BëDC) = y
Yukarýdaki verilere göre, x – y kaç derecedir?
12.
O çemberin merkezi
A
y
O
A) 70
9.
C) 35
kaç dere-
O çemberin merkezi
D
A
B) 40
a
B) 80
C) 90
O
40°
[AB] ⊥ [BC]
[KH] ⊥ [AC]
[BD] ⊥ [OC]
H
m(AëBD) = 40°
m(AëCK) = 20°
K
C
B
B
Yukarýdaki verilere göre, m(CAB) =
cedir?
ë
A) 20
E) 110
ABC dik üçgen
A
D
D) 100
B) 25
C) 30
a
D) 35
kaç dere-
C
Verilere göre, ABH açýsýnýn ölçüsü kaç derecedir?
E) 40
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
9.B
10.C
11.C
12.B
254
1.C
2.C
3.E
4.D
5.B
6.E
7.E
8.A
ALIÞTIRMA : 64
Çemberin Çevresi ve Yay Uzunluðu
* Bir çemberin çevresi
A
Ç = 2π r
O
r
A
O
a
Eðer α radyan ise
B
1.
Yarýçap uzunluðu 9 cm olan çemberin çevresi
nedir?
» |= α .2 π r
* | AB
360
r
» |= r . α
* | AB
5.
C : 18π
A
C
D
B
Yukarýdaki þekilde bir traktörün arka tekerleði A
noktasýndan, ön tekerleði C noktasýndan harekete
baþlýyor. Þekildeki D ve B noktalarýnda duruyor.
2.
|AD| = 36π m ve traktörün arka tekerleðinin çapý
3 m olduðuna göre, traktör bu yolu tamamladýðýnda arka tekerler kaç tam tur atar?
Çap uzunluðu 15 cm olan çemberin çevresi
nedir?
C : 15π
C : 12
3.
Çevresi 20π cm olan bir çemberin yarýçap uzunluðu kaç cm dir?
6.
D
C
ABCD karesinin etrafýna
yarým çemberler eklenerek bir bisiklet yarýþ pisti
tasarlanýyor.
A
B
Karenin bir kenarý 120
metre olduðuna göre,
bu pistin çevresi nedir?
C : 10
C : 240π
4.
Þekildeki çemberlerin yarýçaplarý x, y, z ve çevreleri
Ç1, Ç2, Ç3 tür.
7.
D
C
E
O1
x
O2
y
O3
z
Ç1
2x
b=
Ç2
2y
c=
A, B, C ve D merkezli
çeyrek çemberlerin oluþturduðu go-kart pistinin krokisi
yanda verilmiþtir.
A noktasýndan yarýþa baþA
B
layan yarýþçý önce C noktasýna, C noktasýndan E
noktasýna, E noktasýndan D noktasýna, D noktasýndan B noktasýna, B noktasýndan E noktasýna ve E
noktasýndan A noktasýna giderek yarýþý tamamlýyor.
Ç1 < Ç2 < Ç3
a=
ABCD bir kare
Ç3
2z
|AB| = 10 metre olduðuna göre, bu pistin uzunluðu nedir?
olduðuna göre, a, b ve c arasýndaki iliþki nedir?
C : 20π
C:a=b=c
255
8.
14.
Çapý 24 cm olan bir çemberde 60° lik merkez
açýnýn gördüðü yayýn uzunluðu kaç π dir?
O çemberin merkezi
A
m(AëOB) = 20°
a
O
C:4
C
|AùCB| =
π
3
B
9.
olduðuna göre, çemberin yarýçap uzunluðu
kaçtýr?
Bir çemberde 72° lik merkez açýnýn gördüðü
yayýn uzunluðu 12π cm olduðuna göre, bu çemberin yarýçapý kaç cm dir?
C:3
C : 30
10. Yarýçapý 12 cm olan bir çemberde α derecelik
merkez açýnýn gördüðü yayýn uzunluðu 5π cm
15.
O çemberin merkezi
O
|DïC| = 5x
r1
C : 75
|AïB| = 9x
D
C
|OD| = r1
π
radyanlýk
3
yayýn uzunluðu
11. Yarýçapý 15 cm olan bir çemberde
merkez
açýnýn
gördüðü
nedir?
r2
A
B
|AD| = r2
r1
oraný kaçtýr?
r2
C:
C : 5π
5
4
12. Bir saat kulesindeki saatin akrebinin uzunluðu 36
cm dir.
Bu akrebin ucu 2 saatte kaç cm yol alýr?
C : 12π
16.
13.
12
O
6
O çemberin merkezi
A
D
|OA| = 12 cm
m(AëOB) = 60°
C
3
120°
m(AëOB) = 120°
A
K
B
Yandaki þekilde 6 cm ve 9 cm
yarýçaplý ve O merkezli iki
çemberin bir kýsmý verilmiþtir.
O
B
olduðuna göre, AKB
yayýnýn uzunluðu kaç
cm dir?
Verilere göre, ABCD kapalý bölgesinin çevre
uzunluðu nedir?
C : 8π
C : 6 + 5π
256
TEST : 47
Çemberin Çevresi ve Yay Uzunluðu
1.
C
4.
O çemberin merkezi
Þekildeki
üç
çemberin
merkezi de O noktasýdýr.
m(AëOB) = 80°
O
B C
O
|OB| = 9 cm
D
|OB| = |BC| = |CD|
80° 9
A
B
Verilere göre, en içteki çemberin çevresinin en
dýþtaki çemberin çevresine oraný nedir?
Yukarýdaki verilere göre, AùCB yayýnýn uzunluðu
kaç cm dir?
A) 7 π
B) 8 π
C) 9 π
D) 12 π
A)
E) 14 π
1
2
1
3
B)
5.
C)
A
1
6
D)
200
40
Buna göre, çemberin yarýçapý kaç cm dir?
A) 3
B) 4
C) 4
D) 6
2
3
40
O2
Yukarýdaki þekilde atletizm sahasýnýn krokisi
görülmektedir.
Bir çemberde 60° lik çevre açýnýn gördüðü yayýn
uzunluðu 2π cm dir.
E)
B
O1
2.
1
9
|AB| = 200 m, |O1A| = 40 m, |O2B| = 40 m
Verilere göre, atletizm sahasýnýn çevresinin
uzunluðu nedir?
E) 8
A) 200 + 40π
B) 200 + 80π
D) 560 + 80π
C) 400 + 40π
E) 400 + 80π
6.
A
3.
B
πr
uzunluðundaki yayý gören
2
çevre açýnýn ölçüsü kaç derecedir?
Yukarýdaki þekilde tekerlek 72π birim uzunluðundaki AB yolunu 6 tur atarak tamamladýðýna
göre, tekerleðin yarýçapý kaç birimdir?
A) 90
A) 8
Bir çemberde
B) 60
C) 45
D) 30
E) 15
257
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
7.
10.
D
ABCD kare
C
BïD, A merkezli çember
yayý
E
O
2
A
AïC, B merkezli çember
yayý
B
Þekildeki çember A noktasýndan [AB üzerinde
çevrilerek duvara deðecek þekle kadar geliyor.
A
|AB| = 14 π cm
Yukarýdaki verilere göre, |BïE| kaç cm dir?
|OA| = 2 cm
A)
Yukarýdaki verilere göre, çember A noktasýndan
duvara deðecek kadar ki yolu kaç tam turda
alýr?
A) 3
B) 3,5
C) 4
D) 4,5
π
2
B) π
C)
O
B
|AùCB| =
E
D
C
5π
cm
8
m(AëOB) = 135°
9.
5
4
B)
6
5
C)
D
H
3
4
C
1
5
6
D)
A
B
5π
2
B
E
|AïD| = |CïE| = 72 cm
E)
olduðuna göre, AB yayýnýn uzunluðu kaç cm
dir?
A) 20
B) 22
C) 24
D) 28
E) 30
2
3
ABCD dikdörtgen,
12.
K, [AD] çaplý yarým
çember üzerinde bir
4
nokta
K
E)
C
olduðuna göre, çemberin yarýçap uzunluðu
kaçtýr?
A)
D
A
T
D) 2 π
Þekilde eþ merkezli iki
çemberden içtekinin yarýçapý 24 cm ve dýþtakinin
yarýçapý 36 cm dir.
O
O çemberin merkezi
A
3π
2
E) 5
11.
8.
|AB| = 3 cm
B
T
A
O
E
O, iki çemberinde ortak
merkezi
T, teðet noktasý
D
C
[KH] ⊥ [AD]
B
|OE| = |EB| = 1 cm
|KH| = 1 cm
»
TD
|BC| = 4 cm
»
AC
oraný kaçtýr?
Yukarýdaki verilere göre, |KïD| kaç cm dir?
A)
π
6
B)
π
3
C)
π
2
D)
3π
4
E) π
A)
1
3
B)
2
3
C) 1
D)
4
3
E)
5
3
258
1.E
2.D
3.A
4.B
5.E
6.B
7.B
8.D
9.B
10.B
11.C
12.C
Çemberde Açý Ýle Ýlgili ÖSYM Sorularý
1.
O
A
C
E
B
D
Þekilde ayný (eþ) merkezli iki
çemberden içtekinin yarýçapý
R = 100 m, dýþtakinin yarýçapý
R = 101 m dir. AC ve DE yaylarýnýn uzunluklarý eþit ve
404 m dir.
4.
B) 6
C) 8
m(CëBO) = 80°
55°
A
m(DëAO) = 55°
C
x
80°
O
|OB| = 5 birim
B
5
|CD| = x birim
Þekildeki O merkezli ve [AB] çaplý yarý çember
üzerinde C ve D noktalarý alýnmýþtýr.
AB yayýnýn uzunluðu kaç m dir?
A) 4
D
D) 12
E) 14
Buna göre, |CD| = x kaç birimdir?
(1981 - ÖSS)
A) 3
B) 4
C) 5
D) 5ñ2
E) 5ñ3
(1992 - ÖSS)
2.
Þekildeki dört çember ayný
merkezlidir. Bu çemberlerin, O
merkezinden geçen bir doðru
üzerinde ayýrdýðý parçalar birbirine eþittir.
A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
E) 16
(1982 - ÖSS)
Þekildeki çemberde kesiþen [AB] ve [CD] kiriþlerinin oluþturduðu dört
yayýn derece türünden
ölçüleri verildiðine göre, α
A
4x
2x
a
Buna göre, en dýþtaki çemberin çevresi, en
içtekinin çevresinin kaç katýdýr?
5.
C
D
3x
A) 32
x
B
B) 35
C) 36
D) 40
E) 45
(1992 - ÖSS)
3.
r1
r2
r3
6.
D
Þekildeki çemberlerin yarýçaplarý r1, r2, r3 çevreleri
Ç1, Ç2, Ç3 tür.
a=
Ç1
,
2r1
b=
Ç2
,
2r2
c=
olduðuna
göre,
doðrudur?
A) c < b < a
A
m(BëCD) = 100°
100°
a
O
B
m(AëBC) = α
Ç3
2r3
aþaðýdakilerden
B) b < c < a
D) a < b < c
|CB| = |CD|
C
hangisi
Þekilde, O merkezli çemberin [AB] çapý ile birbirine
eþit [BC] ve [CD] kiriþleri çizilmiþtir.
Buna göre, m(ABC) = α kaç derecedir?
C) a < c < b
ë
E) a = b = c
A) 40
(1987 - ÖSS)
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80
(1994 - ÖSS)
259
7.
D
a
10.
O merkezli [AB] çaplý yarým
çemberde,
C
C ∈ AïB, D ∈ AïB
20°
A
O
B
B
O
D, C çember üzerinde
[OC] ⊥ [AD]
m(DëBC) = α
m(DëAB) = 20°
|AD| = a cm
m(OëCB) = α
|AB| = 2a cm
olduðuna göre, m(DBC) = α kaç derecedir?
ë
B) 35
a
A
Yukarýdaki verilere göre m(OCB) = α kaç derecedir?
A) 30
O merkezli [AB] çaplý çember
C
D
C) 40
D) 45
ë
A) 120
B) 110
C) 100
E) 50
D) 90
E) 80
(1998 - ÖSS)
(1994 - ÖYS)
11.
8.
Yeryüzündeki denizlerin alanlarý toplamýnýn karalarýn alanlarý toplamýna oraný
7
olarak veriliyor.
3
?
Karalar
Buna göre, yeryüzünün toplam alanýnda denizlerle karalarýn payýný gösteren bir dairesel
grafikte karalarýn alaný kaç derecelik merkez açý
ile gösterilir?
A) 95
B) 100
C) 105
D) 106
r
r
A
240 p
Aý
A noktasýndan yuvarlanmaya baþlayan r yarýçaplý
bir çember 5 tam dönme yaparak þekildeki gibi Aý
noktasýnda durmuþtur. |AAý| = 240π cm olduðuna
göre, çemberin yarýçapý r kaç cm dir?
Denizler
A) 30
B) 28
C) 24
D) 20
E) 18
(1998 - ÖSS)
E) 108
(1995 - ÖSS)
9.
O merkezli, [AB] çaplý yarým çember, D, C çember
üzerinde
12.
D
m(DïC) = 2α
C
2a
x
O
m(BëMD) = 124°
a
m(BëOC) = 90°
E
A
[CD] çap
C
A
O
m(DëEC) = x
M
B
m(OëAB) = α
124°
B
D
Yukarýdaki verilere göre, m(DëEC) = x derece
türünden aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
Þekideki M ve O merkezli çemberler B noktasýnda
dýþtan teðet ve [AO] // [CD] dýr.
A) α
Buna göre, m(OAB) = α kaç derecedir?
C) α + 45°
B) 2α
ë
D) α + 90°
E) 2α + 45°
A) 33
B) 30
C) 28
(1997 - ÖSS)
D) 26
E) 21
(1999 - ÖSS iptal)
260
1.A
2.A
3.E
4.D
5.C
6.B
7.B
8.E
9.C
10.A
11.C
12.C
Çemberde Açý ve Çemberin Çevresi Ýle Ýlgili ÖSYM Sorularý
13.
16.
P
D
D
m(EëCB) = x
x
E
Þekildeki E noktasý, A ve B
merkezli |AB| yarýçaplý
çember yaylarýnýn kesim
noktasýdýr.
a
18°
A
O
B
C
O merkezli [BC] çaplý yarým çemberin PD keseni,
BC doðrusunu þekildeki gibi A noktasýnda kesmektedir. |AD| = |BO| ve m(PëAC) = 18° olduðuna göre,
m(ACP) = α kaç derecedir?
A
B) 54
C) 57
D) 60
B
Buna göre, x kaç derecedir?
A) 55
ë
A) 51
ABCD bir kare
C
B) 60
C) 65
E) 63
D) 70
E) 75
(2001 - ÖSS)
(1999 - ÖSS)
17.
D
14. Bir saat kulesindeki saatin akrebinin uzunluðu
[AC], O merkezli çemberin çapý
C
x
72 cm dir.
O
Bu akrebin ucu 1 saatte kaç cm yol alýr?
m(DëBA) = 40°
B
40°
m(CëAB) = 25°
25°
B) 10π
C) 8π
D) 6π
E) 4π
(1999 - ÖSS)
15.
A
A) 12π
m(OëDB) = x
A) 25
B) 22
C) 20
D) 18
E) 15
(2003 - ÖSS)
A
°
30
D
x
B
C
18.
A, B, C noktalarý O
merkezli
çemberin
üzerinde
A, B, C, D noktalarý çember üzerinde
C
O
m(AëBD) = m(AëDB) = m(CëAD)
x
m(BëAC) = 30°
70°
B
A
m(AëCD) = x
D
A, B, D doðrusal
m(CëBD) = 70°
m(OëAC) = x
Yukarýdaki verilere göre, m(ACD) = x kaç derecedir?
A) 40
A) 10
ë
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80
(2000 - ÖSS)
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
(2005 - ÖSS)
261
19.
22.
m(BëDC) = 30°
D
m(AëBD) = 45°
30°
C
x
m(DéCB) = 25°
D
m(DéAB) = 40°
E
m(DëEC) = x
x
40°
C
E
25°
A
B
O
m(DéBE) = x
45°
A
B
Þekildeki A, B, D ve E noktalarý O merkezli [AB]
çaðlý çember üzerindedir.
A) 95
B) 100
C) 105
D) 110
Buna göre, x kaç derecedir?
E) 115
A) 25
(2006 - ÖSS 1)
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
(2011 - LYS)
20.
a
A
23. Aþaðýdaki þekilde ABC üçgeninin [AD] yüksekliðini
A, B, C noktalarý O merkezli
çemberin üzerinde
B
a
C
çap kabul eden çember verilmiþtir. Bu çember ile
üçgenin [AB] kenarýnýn kesim noktasý E, [AC]
kenarýnýn kesim noktasý ise F’dir.
m(AëBC) = m(AëOC) = a
O
m(AéBC) = 48°
Yukarýdaki verilere göre, a kaç derecedir?
A) 105
B) 110
C) 115
D) 120
E) 135
(2008 - ÖSS 1)
A
m(AéCB) = 70°
m(AéKF) = x
E
x
K
F
48°
70°
B
D
C
21.
A) 112
|OM| = 2 birim
y
B) 114
C) 116
D) 118
E) 120
(2011 - LYS)
M
A(x, y)
2
x
O
Dik koordinat düzleminde merkezi M noktasý olan
yarým çember ile merkezi orijin olan çeyrek çember
þekildeki gibi A noktasýnda kesiþmektedir.
Buna göre, A noktasýnýn x koordinatý kaçtýr?
5
3
A)
B) ñ2
C) 3
D)
E) ñ3
3
2
2
(2011 - YGS)
262
13.E
14.A
15.B
16.E
17.E
18.C
19.C
20.D
21.E
22.C
23.A
ALIÞTIRMA : 65
Daire ve Daire Dilimi
4.
Alýþtýrma testinin bu kýsmýnda daire ile ilgili
ilköðretimde öðrendiklerimizle bað kurmaya
çalýþacaðýz.
1.
..................................................................
Çevrenizden daireye model olacak 3 adet örnek
yazýnýz.
1)
......................
2)
......................
3)
......................
5.
Aþaðýdakilerden hangileri bir daire belirtir.
Kutucuklara iþaretleyiniz.
o
Plates topu
o
DVD
o
Alyans yüzük
o
1 TL (madeni para)
o
Yuvarlak bir trafik levhasý
o
Silindir biçimindeki varilin alt tabaný
o
Simit
2.
6.
3.
Çember ve daire arasýndaki fark nedir?
Merkezi O ve yarýçapý 3 cm olan çember ve
daireyi pergel yardýmýyla çiziniz.
263
Aþaðýdaki boþluklarý uygun þekilde doldurunuz.
•
.............. sabit bir noktadan eþit uzaklýkta bulunan noktalarýn kümesine çember denir.
•
Bir çember ile iç bölgesinin birleþimine ..............
denir.
•
.............. alaný yoktur.
•
Dairenin alaný .............. .
Düzlemdeki sabit bir noktadan eþit uzaklýktaki
noktalar kümesi ile uzaydaki sabit bir noktadan
eþit uzaklýktaki noktalar kümesi arasýndaki farký
aþaðýdaki boþluða yazýnýz.
3.
Bu alýþtýrma testinde çember ile ilgili ilköðretimde öðrendiklerimiz arasýnda bað kurmaya
çalýþacaðýz.
Aþaðýdaki örnekleri dikkatle inceleyiniz.
daireyi 16 eþ dilime ayýralým.
1.
Dairenin dilimlerini yarýsý üst, yarýsý alt taban
olacak þekilde yerleþtirelim.
daireyi altý eþ dilime ayýralým.
r
daire çevre uzunluðunun yarýsý
•
Dilim sayýsý arttýkça þeklin git gide paralelkenarsal bölgeye dönüþtüðünü farkedebildik mi?
•
Önce paralelkenarýn alan formülünü hatýrlayalým.
daire çevre uzunluðunun yarýsý
r
2.
Alan = Yükseklik . Taban uzunluðu
S = ha. a
•
daireyi sekiz eþ dilime ayýralým.
Dilim sayýsý arttýkça yarýçap uzunluðunun
paralelkenardaki hangi uzunluða yaklaþtýðýný yorumlamaya çalýþýnýz.
Sonuç olarak;
Paralelkenarda alan
Dairede alan
Taban uzunluðu (a) = Daire çevre uzunluðunun yarýsý(πr)
Yükseklik (ha)
r
S= a . ha
=
Yarýçap (r)
S = πr . r
S = πr2
dairenin çevre uzunluðunun yarýsý
264
ALIÞTIRMA : 66
Daire ve Daire Diliminin Alaný
* Bir çember ile iç bölger
O
* Bir dairenin iki yarýçap
sinin bileþimine daire
denir.
O
A
a
A = π r2
A
1.
Yarýçapý 6 cm olan dairenin alaný kaç
cm2
B
* Yarýçap r, merkez açýsýnýn ölçüsü α olan bir daire
diliminin alaný;
dir?
AD =
C : 36π
6.
A
6
2.
ve bu yarýçaplarýn uç
noktalarý arasýnda kalan çember yayýnýn sýnýrladýðý bölgeye daire
dilimi denir.
Çapý 18 cm olan dairenin alaný kaç cm2 dir?
O
α
π r2
360°
daire diliminin alaný kaç
cm2 dir?
30°
C : 81π
6
B
C : 3π
7.
Alaný 27p olan dairenin yarýçapý kaç cm dir?
C : 3ñ3
3.
A
8
O
daire diliminin alaný kaç π
dir?
120°
8
B
4.
Çevresi 12p olan dairenin alaný kaç cm2 dir?
8.
C : 36π
C:
64
3
Yarýçapý 5 cm olan bir dairede, alaný 15 π olan
2
bir daire diliminin merkez açýsý kaç derecedir?
C : 108
5.
A
B
C
Þekilde B ve C merkezli
daireler A noktasýnda içten
teðettirler.
9.
C
O dairenin merkezi
m(BëAC) = 30°
Küçük dairenin yarýçapý
5 cm olduðuna göre, bu
iki daire arasýnda kalan
bölgenin alaný kaç cm2
dir?
A
30°
O
B |AB| = 16 cm
nedir?
C : 16 3 +
C : 75π
265
32 π
3
10.
O dairenin merkezi
C
A
m(AëBC) = 45°
45°
A
ölçüsü α olan bir daire diliminin çemberden ayýrdýðý yay AïB ise daire diliminin alaný,
r
O
B |AB| = 12 cm
O
a
nedir?
* Yarýçapý r merkez açýsýnýn
r
B
AD =
C : 18 + 9π
11.
A
A
O dairenin merkezi
B
O
O
m(BëOD) = 150°
150°
* Yarýçapý r ve merkez açýsýnýn ölçüsü θ radyan olan
bir daire diliminin alaný;
r
[AD] ve [BC] çap
» |.r
| AB
2
q
AD =
r
|AO| = 6 cm
1 2
.r . θ
2
B
C
D
olduðuna göre, taralý alanlarýn toplamý nedir?
C : 6π
12.
B merkezli dörtte bir daire
dilimi veriliyor.
A
E
m(AëBE) = 18°
14.
A
16
O çemberin merkezi
|OA| = 16 cm
O
|AïB| = 20 cm
16
B
m(DëBC) = 12°
B
olduðuna göre, taralý alan kaç cm2 dir?
D
18°
|BC| = 12 cm
12°
12
C : 160
C
C : 24π
13.
O
yarým
merkezi
C
15.
çemberin
A
O
m(BëOC) = 45°
9
|OA| = 9 cm
2p
3
m(AëOB) = 2 π
3
45°
A
O
B
O çemberin merkezi
|OA| = 2ñ3 cm
B
olduðuna göre, taralý alanlarýn toplamý kaç cm2
dir?
C : 3π
2
C : 27π
266
TEST : 48
Daire ve Daire Diliminin Alaný
1.
Çevresi 8 π cm olan dairenin alaný kaç π cm2
dir?
A) 16
B) 24
C) 36
D) 48
4.
[AB], [AC] ve [CB]
çaplý yarým çemberler
veriliyor.
E) 64
|AC| = 4 cm
A
C
4
B
2
|CB| = 2 cm
Yukarýdaki verilere göre, taralý alan kaç cm2 dir?
A) π
5.
2.
B) 2 π
C) 3 π
45°
S
S ve K teðet noktalarý
O2
|SO2| = 2 cm
B
Yukarýdaki verilere göre, çemberin yarýçapý kaç
cm dir?
A) 12
B) 8
C) 6
D) 5
E) 4
A
T
m(AëOB) = 45°
9
Taralý alan π cm2
2
E) 5 π
O1 merkezli çeyrek
çember, O2 merkezli
çembere T noktasýnda
teðet,
A
O, çemberin merkezi
O
D) 4 π
K
O1
B
Yukarýdaki verilere göre, taralý alan kaç π cm2
dir?
A) 2ñ2 – 1
B) 4ñ2 + 2
D) 8ñ2 – 4
6.
3.
E) 8ñ2 + 4
[AB] ve [AC]
yarým dairelerin
çapý
A
O, çemberin merkezi
C) 4ñ2 + 4
|AïB| = 12 cm
[AB] ⊥ [AC]
O
|OA| = 4 cm
|BC| = 4ñ2 cm
A
B
B
Yukarýdaki verilere göre, yarým dairelerin alanlarý toplamý kaç π cm2 dir?
A) 12
B) 18
C) 24
D) 36
C
4ñ2
E) 48
A) 3
267
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
7.
D
10.
ABCD kare
C
A
[AB] ve [CD] çaplý yarým
çemberler T noktasýnda
teðet
T
B
8.
Buna göre, m(AëBC) = α açýsý kaç derecedir?
C) 8(2 + π)
B) 8(π – 2)
D
A) 120
E) 8(π – 2)
ABCD bir kenarý 12 metre olan
bir meradýr. O noktasý bu meranýn orta noktasýdýr.
C
F
Yukarýdaki çemberlerden küçükðünün yarýçapý r,
büyüðünün yarýçapý 3r dir. Þekildeki taralý alanlar
birbirine eþit ve m(DëEF) = 10° dir.
Yukarýdaki verilere göre, taralý bölgelerin alaný
kaç cm2 dir?
D) 4(4 – π)
11.
B) 100
C) 90
D) 75
E) 60
O merkezli çeyrek çember yayý
A
O
4
[AB], T noktasýnda teðet
T
[OA] ⊥ [OB]
B
6 metrelik bir iple O noktasýna baðlanan bir
ineðin meradaki yetiþemeyeceði alan aþaðýdakilerden hangisinde doðru verilmiþtir?
A) 100 – 18π
B) 121 – 24π
D) 144 – 36π
C) 144 – 18π
E) 144 – 24π
|AT| = 4 cm
9
A
10°
C
B
A) 16(π + 1)
E
a
|BC| = 4 cm
A
D
O
B
|TB| = 9 cm
A) 36 – 6 π
B) 39 – 6 π
E) 39 – 3 π
D) 39 – 9π
9.
C) 36 – 8 π
C
12.
A
H
Yarýçaplarý 3 cm olan
üç çember birbirine
teðettir.
B
O
A
D
B
E
[AB], O merkezli çemberin çapý
DEBH dikdörtgen
C
[CD] ⊥ [AB]
|AH| = |HO| = |HD|
A(DEBH) = 27
Bu çemberler arasýndaki alan kaç cm2 dir?
cm2
A) 6 3 −
Yukarýdaki verilere göre, taralý alan kaç π cm2
dir?
A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
3π
2
B) 9 3 −
D) 6π – 6ñ3
E) 21
9π
2
C) 9π – 9ñ3
E) 12ñ3 – 6π
268
1.A
2.C
3.C
4.B
5.A
6.B
7.D
8.D
9.B
10.C
11.D
12.B
ALIÞTIRMA : 67
Daire Parçasý ve Halkasýnýn Alaný
* Yarýçapý r ve AB yayýný
A
r
O
a
r
B
4.
gören merkez açýsý α
olan, [AB] kiriþinin çemberden ayýrdýðý daire
parçasýnýn alaný;
AP =
O yarým
merkezi
C
|OB| = 4ñ2 cm
45°
A
O
B
m(BëAC) = 45°
α
1
. π r 2 − r 2 .sin α
360°
2
C : 8π – 16
5.
1.
çemberin
m(AëBC) = 30°
A
O çemberin merkezi
|AC| = 9 cm
9
|OA| = |OB| = 4 cm
O
B
30°
C
m(AëOB) = 90°
4
4
A
B
C : 54 π − 81 3
4
2.
O çemberin merkezi
|OA| = |OB| = 12 cm
O
12
60°
A
C : 4π – 8
6.
D
C
A
B
ABCD bir kare
m(AëOB) = 60°
12
B
olduðuna göre, taralý alan kaç
cm2
B ve D merkezli 12 cm yarýçaplý çemberlerin
sýnýrladýðý bölgenin alaný kaç cm2 dir?
dir?
C : 72(π – 2)
C : 24π – 36ñ3
7.
3.
O yarým çemberin merkezi
A
O çemberin merkezi
|AB| = |BC| = 12 cm
|OA| = |OB| = 6 cm
D
O
O
m(AëOB) = 30°
30°
A
B
B
olduðuna göre, taralý alan kaç
cm2
12
C
olduðuna göre, taralý alanlar toplamý kaç cm2
dir?
dir?
C : 36
C : 3π – 9
269
* Merkezleri ayný ve yarýçap
R
O
* O her iki çemberin merke-
uzunluklarý farklý olan iki
dairenin arasýnda kalan
bölgeye, daire halkasý denir.
r
K
A
B
kiriþi ve küçük çembere K
O
noktasýnda teðet ise halkanýn alaný;
* Daire halkasýnýn alaný;
2
 | AB |
AH = π 

 2 
2
AH = π (R − r )
8.
Merkezleri ayný ve yarýçap uzunluklarý 12 cm ve
8 cm olan iki dairenin arasýnda kalan kýsmýn
12.
A
C : 2ñ6
10.
Yandaki þekilde verilen
ayný merkezli iki çemberin
çevreleri toplamý 12π ve
aralarýndaki halkanýn alaný
24π cm2 olduðuna göre,
dýþtaki çemberin yarýçapý
kaç cm dir?
O
B
[AB], K noktasýnda küçük daireye teðet olduðuna göre, halkanýn alaný kaç cm2 dir?
C : 36π
13.
O her iki dairenin merkezi
C
A
B
O
C:8
14.
Yandaki þekilde O her iki
çemberin merkezidir.
O
A 6
B
F
A
|OA| = |OC| = 4 cm
C
O
4
C
[AB], C noktasýnda küçük
daireye teðettir.
Bu halkanýn alaný 16π cm olduðuna göre, [AB]
doðru parçasýnýn uzunluðu kaç cm dir?
C:5
11.
|AB| = 12 cm
O
Yarýçap uzunluklarý r1 = 6 cm ve r2 = x cm olan,
ayný merkezli iki dairenin oluþturduðu daire
halkasýnýn alaný 12π cm2 olduðuna göre, x
kaçtýr?
2
K
C : 80π
9.
zidir. [AB] büyük çemberin
D
|AB| = 6 cm
[AB], [BC] ve [CA] sýrasýyla
D, E, F noktalarýnda teðettir.
E
B
olduðuna göre, iki çember arasýnda kalan halkanýn alaný kaç cm2 dir?
Bu halkanýn alaný 108π cm olduðuna göre, taralý
alan kaç cm2 dir?
C : 84π
C : 36(3ñ3 – π)
270
TEST : 49
Daire Parçasý ve Halkasýnýn Alaný
1.
4.
O, iki çemberin ortak
merkezi
O
|AB| = 2|OA|
B
A
D
m(DëAB) = 45°
C
Taralý halkanýn alaný 16
π cm2
B) 2
C) 2ñ2
D) 4
[AB] ⊥ [BD]
|AO| = 3 cm
Yukarýdaki verilere göre, |OA| kaç cm dir?
A) ñ2
O, [AB] çaplý yarým çemberin merkezi
45°
A
E) 3ñ2
O
B
kaç cm2 dir?
A) 9 π
2.
A
D
D) 8π
E) 9
C) 6π – 9ñ3
kaç cm2 dir?
A) 6 π
A, B, C çemberin üzerinde
olan noktalar
T
O
D) 15 π
E) 18 π
O, [AB] çaplý çemberin
merkezi
A ve T teðet noktasý
B
|CD| = 8ñ3 cm
|OB| = 8 cm
kaç cm2 dir?
|BC| = 4 cm
B
A)
D) 8 π – 1
C) 12 π
D
m(BëAC) = 45°
B) 4(π – 1)
B) 9 π
C
A
C
ortak
|DC| = 4 cm
B
E) 8π – 4ñ3
3.
çemberin
|OD| = 2 cm
6.
A) 2(π – 2)
D) 12
|AïB| = |BïC| = |CïA|
O
B) 6π – 6ñ3
O, iki
merkezi
C
|AB| = r = 6 cm
O
45°
C) 18
5.
r çemberin yarýçapý
A
A
9π
−4
2
O, çember merkezi
B
A) 6π
B)
C) 4 π – 2
52 π
− 16 3
3
B) 18 π –16ñ3 C) 16(2 π – ñ3)
D) 24 π – 12ñ3
E) 8 π – 2
271
4

E) 18  π − 
3

7.
D
10.
ABCD kare
C
O, [AB] çaplý yarým
çemberin merkezi
C
[AB] ve [AD] yarým çemberlerin çapý
m(CëAB) = 20°
|AB| = 6 cm
|OB| = 6 cm
20°
A
A
6
B
B
kaç cm2 dir?
kaç cm2 dir?
1

A) 36
B) 18  π − 
C) 18
2

D
A) 14 π + 3
2
11.
[AB] ve [AD] yarým çemberlerin çapý
A, daire dilimlerinin merkezi
O
m(BëAC) = 30°
6 30°
|AB| = 4 cm
|AD| = |DB| = 6 cm
kaç cm2 dir?
B) 10
D
B
A) 8
E
6
B
C
C) 8(π – 1)
π 
D) 8  − 1
2 
A) 6π
B) 7π
D
6
m(DïC) = 90°
|AB| = 12 cm
O
8
B
C
|AB| = 6 cm
|AC| = 8 cm
1

B) 18  π − 
2

D) 9 π + 9
E) 10π
[AB] ⊥ [AC]
B


A) 18  π − 2 


2


D) 9π
[AB], [AC] ve [BC]
yarým çemberlerin
çaplarý
A
[AB], O merkezli çemberin çapý
C
A
C) 8π
E) 4(π – 3)
12.
9.
E) 18 π + 3
2
ABCD kare
C
A
C) 14 π − 3
2
B) 14 π
D) 18 π
1

E) 9  π − 
2

D) 9(π – 1)
8.
O
kaç cm2 dir?
C) 9 π + 18
A) 24
2

B) 25  π − 
3

1

D) 41 π − 
2



E) 9  π − 2 

2 

3

C) 17  π − 
2

1

E) 25  π − 
2

272
1.A
2.C
3.A
4.E
5.C
6.A
7.C
8.A
9.C
10.B
11.D
12.A
TEST(KARMA) : 50
Dairede Alan
1.
4.
Þekildeki radar göstergesinin çap uzunluðu
12 cm olduðuna göre,
göstergenin alaný kaç
cm2 dir?
O
yarým
merkezi
E
çemberlerin
|OA| = 1 cm
D
C
O 1 A 2 B
|AB| = 2 cm
Taralý alanlar birbirine eþit
Yukarýdaki verilere göre, m(EOB) açýnýn ölçüsü
kaç derecedir?
ë
A) 25π
B) 30π
C) 36π
D) 40π
E) 42π
A) 15
2.
B) 20
C) 25
E) 45
O merkezli çeyrek çemberin
içine þekildeki gibi OABC
dikdörtgeni çiziliyor.
E
B
C
5.
|OC| = 5 cm
D büyük çemberin, C
ve E içteki küçük çemberlerin merkezleridir.
|CE| = 8 cm
A D
Yukarýdaki verilere göre, taralý alanlar toplamý
kaç cm2 dir?
169 π
− 30
4
B) 36π – 30
D) 36π – 60
C)
169 π
− 60
4
E) 72π – 60
A
O
A)
D) 30
6
6
D
6
E
B
|AC| = |CD| = |DE| = |EB| = 6 cm olduðuna göre,
taralý alan kaç cm2 dir?
A) 144π
3.
6
C
B) 108π
C) 84π
D) 72π
E) 64π
m(AëOB) = 90°
A
|OB| = 4 cm
6.
O
B
S1
A
Verilenlere göre, taralý alan aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) 4π
B) 4π – 4
D) 4(π – 2)
O merkezli çemberlerde S1
ve S2 içinde bulunduklarý
taralý bölgelerin alanlarýný
göstermektedir.
O
a
B
S2
C
C) 8(π – 1)
D
S1 = S2
|AC| = 3|OA|
olduðuna göre, α kaç derecedir?
E) 4π – 12
A) 15
273
B) 22,5
C) 30
D) 45
E) 60
7.
10.
Çevre uzunluðu 80π olan daire biçimindeki bir
tarlanýn alaný kaç cm2 dir?
A) 2000π
B) 1800π
D) 1200π
Þekilde O noktasýna yerleþtirilmiþ bir tankýn etkili ve
sorumlu tutulduðu alan gösterilmiþtir.
O
C) 1600π
ülke
topraklarý
C
E) 900π
D
m(AëOB) = 45°
düþman
topraklarý
A
B
|OC| = 2 km
|AC| = 6 km
Yukarýdaki verilere göre, bu tankýn düþman
topraklarý üzerinde sorumlu ve etkili olduðu alan
kaç km2 dir?
A) 8π
8.
B)
15 π
2
C) 7π
D)
13 π
2
E) 6π
O çemberin merkezi
D
C
O
|BC| = 48 cm
A
11.
B
AïB ve CïD O merkezli
çember yaylarý
D
|DC| = 64 cm
kaç cm2 dir?
B) 1600π – 1536
C) 6400π – 3072
D) 1600π – 2792
E) 3072π – 1600
a
a
D
16
C
A
O1
1
2
B)
12.
E
|DC| = 16 cm
C
D
A
B
A
kaç cm2 dir?
A) 256 – 32π
1
3
C)
1
4
D)
2
9
E)
1
5
ABCD bir kare
O2
8
S1
oraný kaçtýr?
S2
O1 ve O2 çemberlerin
merkezleri
8
S1
O
A)
9.
m(AëOB) = m(CëOD)
|OB| = |BC|
B
A) 1600π – 3072
C
S2
B) 128 – 64π
D) 512 – 128π
Þekilde verilen 16 cm uzunluðundaki
DE kurdelasý gergin durumda tutularak, alaný 16 cm2 olan ABCD karesi
biçimindeki çerçevenin etrafýna saat
yönünde döndürülereksarýlýyor.
B
Kurdelanýn E ucu kare çerçevenin D köþesine
geldiðinde kurdelanýn taradýðý alan kaç cm2 dir?
C) 256 – 16π
A) 100π
E) 256 – 64π
B) 110π
C) 120π
D) 124π
E) 132π
9.E
10.B
11.C
12.C
274
1.C
2.A
3.D
4.B
5.D
6.B
7.C
8.A
TEST(KARMA) : 51
Dairede Alan
1.
O çeyrek
merkezi
A
4.
çemberin
O her iki çemberin merkezi
A
|AB| = 7 cm
B
|OA| = 8 cm
O
O
A) 91π
B) 32π – 64
D) 64π – 64
B) 86π
O
B
kaç cm2 dir?
C) 5π
D) 4π
O1
B
A) 27π – 81
a
O
C
O1
B
O2
Yukarýdaki verilere göre, taralý bölgelerin alanlarý oraný kaç cm2 dir?
1
3
B)
4
7
C)
1
7
D)
4
9
E) 54π – 9ñ3
AB doðrusu iki çemberin
ortak teðetidir.
D
2|BD| = |OB|
A)
C) 54π – 81ñ3
O1 ve O2 merkezli çemberler eþtir ve C noktasýnda birbirlerine dýþtan teðettir.
B
A
m(CëOD) = m(AëOC)
a
B) 54π – 27ñ3
D) 27π – 27ñ3
E) 2π
AïB ve CïD O merkezli
çember yaylarýdýr.
C
|O1A| = 9 cm
kaç cm2 dir?
6.
A
O2
|O2B| = 9 cm
|AO| = |OB| = 4 cm
3.
E) 64π
O1 ve O2 çemberlerin
merkezi
A
O yarým dairenin
merkezidir.
B) 6π
D) 72π
E) 32π – 32
2.
A) 8π
C) 81π
C) 16π – 32
5.
A
|OC| = 3 cm
C
B
A) 16π – 64
3
E)
Yarýçaplarý 2 cm olduðuna göre, taralý alan
4
5
A) 8
D) π – 4ñ3
275
C) 4 – π
B) 8π
E) 8 – 2π
7.
O
S1
10.
Þekildeki O merkezli daire
diliminde,
A
C
S2
O çemberlerin merkezi
C
|OC| = 2|AC|
D
S1
60°
O
S1 = 24 cm2
B
A
|OD| = |DB|
S2
D
m(AëOB) = 60°
B
olduðuna göre, S2 ile gösterilen taralý bölgenin
A) 24
B) 30
C) 32
D) 36
E) 40
A) 2
8.
D
Bir kenarý 12 cm olan ABCD
karesinin içine þekilde
görüldüðü gibi 4 tane yarým
daire çiziliyor.
C
11.
E
C)
O
4
3
D) 1
E)
2
3
Yarýçapý 12 cm olan O
merkezli çemberin içine
ABCDEF düzgün altýgeni çiziliyor.
D
12
F
C
B
Oluþan þekildeki taralý alanlar toplamý kaç cm2
dir?
A) 72(π – 3)
B) 36(π – 2)
D) 72(π – 1)
C) 72(π – ñ3)
E) 72(π – 2)
A
5
3
B)
S1
oraný kaçtýr?
S2
A
B
Buna göre, þekilde gösterilen taralý alanlarýn
A) 72(π – 2)
B) 27(2π – 3)
D) 72(2π – 3)
9.
E) 36(2π – 3)
ABC dik üçgen
A
O1
O2
B
C) 36(2π – 1)
O3
O1 merkezli yarým
dairenin alaný S1,
O2 merkezli yarým
dairenin alaný S2
C
olduðuna göre,
12.
[BC], O merkezli çemberin çapý
B
A
O
BùEC, A merkezli çember
yayý
E
C
O3 merkezli yarým dairenin alaný aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
A) S1 + 2S2
C) S12 + S22
B) 3S2
D) S1 + S2
Yukarýdaki verilere göre, taralý alan A¿BC nin
alanýnýn kaç katýdýr?
A)
E) S2 – S1
2
9
B)
4
9
C)
1
4
D) 1
E)
3
2
276
1.C
2.D
3.D
4.A
5.C
6.E
7.B
8.E
9.D
10.B
11.D
12.D
Dairede Alan Ýle Ýlgili ÖSYM Sorularý
1.
D
r
B
A) ñ2
B) ñ3
C) 2
D) 3
D
ABCD bir kare
C
K
Çevrel çemberinin alanýnýn
iç teðet çemberin alanýna
oraný kaçtýr?
R
A
4.
Þekildeki O merkezli iki çember, ABCD karesinin iç teðet
ve çevrel çemberidir.
C
A
B
Yukarýdaki þekilde, K noktasý A merkezli, |AB|
yarýçaplý çember ve [AC] köþegeni üzerindedir.
E) 4
(1997 - ÖYS)
ABCD karesinin alaný 64 cm2 olduðuna göre,
BKD üçgeninin alaný kaç cm2 dir?
A) 18
B) 16
C) 12
D) 32(ñ2 – 1)
E) 16(ñ2 – 1)
(2003 - ÖSS)
2.
D
E
F2 C
4
|FC| = 2 cm
|AB| = 8 cm
5.
Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alaný kaç cm2
dir?
A) 32
B) 32ñ3
C) 16ñ3
D) 16ñ2
E) 8ñ6
(2001 - ÖSS)
Þekildeki [AB] çaplý
A
B
8
yarým çember, ABCD
dikdörtgeninin [DC] kenarýný E ve F noktalarýnda
kesmektedir.
Þekildeki [AB] çaplý yarým
çemberin içine [AC] ve
P
[CB] çaplý yarým çemberA
B lerin dýþýnda kalan taralý P
C
K
bölgesinin alaný p cm2,
kenar uzunluklarý |CB| cm
D
ve |CD| cm olan dikdörtgensel bölge K nýn alaný k cm2 dir.
|AC| = |CD| olduðuna göre,
A)
π
4
B)
π
3
C)
p
oraný kaçtýr?
k
π
2
D) π
E) 2π
(2003 - ÖSS)
3.
D
3
F
3
6.
|FC| = |FD| = 3 cm
C
A, H, E doðrusal
G
E
Aþaðýdaki þekilde çapý [AB] olan yarým daire
üzerinde [DC] kiriþi gösterilmiþtir.
D
B, H, G doðrusal
C
Yandaki ABCD karesinde D
H
ve C merkezli çemberler F
A
B
noktasýnda birbirine teðet
ise, taralý bölgenin alaný kaç cm2 dir?
A)
3
(5 − π)
2
B)
D)
7
(3 − π)
2
5
(7 − π)
2
C)
A
B
|AB| = 2|DC| = 12 cm olduðuna göre, taralý bölgenin alaný kaç cm2 dir?
5
(9 − π)
2
A) 9π
E)
12
9
(5 − π)
2
B) 12π
D) 9π – 24ñ3
(2001 - ÖSS)
C) 18π – ñ3
E) 12π + 9ñ3
(2005 - ÖSS)
277
7.
Þekilde verilen 8 cm uzunluðundaki
DE ipi gergin durumda tutularak,
çevre uzunluðu 8 cm olan ABCD
karesi biçimindeki çerçevenin etrafýna
saat yönünde döndürülerek sarýlýyor.
E
C
D
A
B
Ýpin E ucu karenin D köþesine
geldiðinde ipin taradýðý alan kaç cm2 dir?
A) 20π
B) 22π
C) 24π
D) 28π
E) 30π
(2006 - ÖSS 1)
8.
D
ABCD bir kare
C
|OB| = |OC|
M
T
K
TO // AB
O
|AB| = 2 cm
A
B
2
Buna göre, taralý bölgenin alaný kaç cm2 dir?
A) 2 −
3π
8
B) 2 −
D) 4 −
5π
8
3π
8
C) 2 −
E) 4 −
3π
7
5π
7
Þekildeki M merkezli çember [AD] kenarýna T noktasýnda ve O merkezli, [BC] çaplý yarý çembere K
noktasýnda teðettir.
(2007 - ÖSS 2)
9.
|AïD| = a birim
O
|BïC| = b birim
|DïC| = c birim
A
D
c
a
B
C
b
Yukarýda O merkezli OAD ve OBC daire dilimleri
verilmiþtir.
Buna göre, taralý bölgenin alaný a, b ve c türünden aþaðýdakilerin hangisine eþittir?
A)
(a + b) . c
2
B)
(b − a) . c
2
D)
2(b − a)
c
E)
C)
2(a + b)
c
a.b.c
2
(2011 - YGS)
278
1.B
2.C
3.E
4.D
5.A
6.E
7.E
8.A
9.A
.
5. ÜNITE
.
.
. . .
DIK DAIRESEL SILINDIR,
.
KONI VE KÜRE
ALIÞTIRMA : 68
Dik Dairesel Silindir Tanýmý
3.
Bu alýþtýrma testinde dik dairesel silindir
konusu ile ilgili ilköðretimde öðrendiklerimiz
arasýnda bað kurmaya çalýþacaðýz.
dayanak
eðrisi
k
silindirik yüzey
1.
silindirik bölge
Aþaðýda verilen þekilleri inceleyerek benzer yanlarýný tartýþýnýz.
silindirik bölge
silindir
silindir yüzeyi
Yukarýdaki þekillerinde yardýmýyla aþaðýdaki
Verilen bir düzlemsel eðriyi (k) kesen ve eðri
düzlemine paralel olmayan bir doðrultuya
paralel kalan doðrularýn oluþturduðu yüzeye
..................... denir.
b)
Verilen eðriye (k) bu yüzeyin .....................
..................... denir.
c)
Yüzeyi oluþturan her bir doðruya yüzeyin
..................... ..................... denir.
d)
Dayanak eðrisinin düzlemine paralel iki düzlem
ile sýnýrlanan kapalý silindirik yüzey parçasýna
.................... ..................... denir.
e)
Belirli bir alaný sýnýrlandýran ve kendini
kesmeyen dayanak eðrisine sahip olan silindir
yüzeyinin sýnýrladýðý bölgeye .....................
..................... denir.
f)
Bu bölgenin paralel iki düzlem ile sýnýrlý kesitine ..................... denir.
g)
Bu düzlemlerin sýnýrladýðý ana doðru parçasýna
.................... ..................... denir.
Çevremizde dik silindire 3 farklý örneði aþaðýdaki boþluða yazýnýz.
h)
Bu düzlemler arasýndaki dikme parçasýna
..................... ..................... denir.
a) ......................
k)
Silindirin altýnda ve üstünde oluþan kesitlerine
alt ve üst ..................... ..................... denir.
l)
Silindirik
yüzey
parçasýna
..................... ..................... denir.
a)
2.
b) ......................
c) ......................
281
silindirin
m)
Silindirin taban yüzeylerinin merkezlerini birleþtiren doðruya silindirin ..................... denir.
n)
Ana doðrularý dayanak eðrisinin bulunduðu
düzleme dik olan silindire .................. denir.
o)
5.
Aþaðýda verilen silindirin adým adým açýnýmýný
inceleyiniz.
Bý
B
Alt ve üst tabanlarý daire olan dik silindire
.................. denir.
Aý
A
O
4.
B
A
r
O
3. Örnekte yapýlan tanýmlamalarý aþaðýdaki
þekiller üzerinde gösteriniz.
r
r
(........................)
Bý
Aý
(........................)
B
A
r
(........................)
(........................)
(........................)
6.
Yukarýdaki açýnýmdan yararlanarak aþaðýda verilen dik silindirin açýnýmýný boþluða çizin.
O 6 cm
10 cm
(........................)
(........................)
(........................)
282
ALIÞTIRMA : 69
Dik Diresel Silindirin Alaný
3.
O
r
O
r
Yarýçap uzunluðu 5 cm ve yüksekliði 4 cm olan
dik silindirin yanal alaný kaç cm2 dir?
C : 40π
h
h
2pr
O
r
Dik Dairesel Silindirin Alaný (S)
4.
S = Yanal alan + alt taban + üst taban
Taban çevresi 12 cm ve yüksekliði 3ñ2 cm olan
dik silindirin yanal alaný kaç cm2 dir?
S = 2πr.h + πr2 + πr2
C : 36ñ2
S = 2πr.h + 2πr2 baðýntýsý ile bulunur.
Uyarý : Bu kitapta dik dairesel silindir yerine dik
silindir terimini kullanacaðýz.
5.
Yanal alaný 24π cm2 ve yarýcap uzunluðu 3 cm
olan dik silindirin yuksekliði kaç cm dir?
C:4
1.
5 cm
Taban yüzeyi yukarýdaki gibi olan silindirin
yanal yüzeyin bir kenarý kaç cm dir?
6.
Yanal alaný 32π cm2 ve yukseklidi 8 cm olan dik
silindirin yarýcap uzunluðu kac cm dir?
C : 10π
2.
C:2
7.
28p cm
O 6 cm
10 cm
10p cm
Yanal yüzeyi yukarýdaki gibi 28π cm ve 10π cm
olan dik silindir biçimindeki bir tankýn tabanýndaki dairenin yarýcapý kaç cm olabilir?
Yukarýda yarýçap uzunluðu ve yüksekliði verilen
dik silindirin alanýný bulunuz.
C : 5 cm veya 14 cm
C : 192π
283
8.
11. Mesut, taban yarýçapý 8 cm ve uzunluðu 300 cm
Taban yarýçapý 7 cm ve yüksekliði 4 cm olan dik
silindirin alaný kaç cm2 dir?
olan dik silindir þeklindeki su borusunun çürümemesi için boyayacaktýr.
C : 154π
Mesut’un boyayacaðý alan kaç cm2 dir?
C : 4928π
12.
D
ABCD dikdörtgeninde
C
|DC| = 2 cm
|AD| = 5 cm veriliyor.
A
9.
B
Bu dikdörtgenin [BC] etrafýnda 360° döndürülmesiyle oluþan silindirin alaný kaç cm2 dir?
Taban alaný 9π cm2 ve yüksekliði 3 cm olan dik
silindirin alaný kaç cm2 dir?
C : 28π
C : 36π
13.
100
5m
Çapý 5 m, uzunluðu 100 m ve kalýnlýðý 1 m olan
kanalizasyon borusunun yüzey alaný kaç m2
dir?
10.
C : 808π
14. Vahit, kenar uzunluklarý 80 cm ve 120 cm olan dikdörtgen biçimindeki alüminyum levhayý katlayarak
tabanlarý açýk dik silindir yapacaktýr.
Taban yarýçapý 30 cm ve yüksekliði 110 cm olan
dik silindir biçimindeki petrol varilinin alaný kaç
cm2 dir?
Bu silindirin yanal alaný en fazla kaç cm2 olur?
C : 8400π
C : 9600
284
TEST : 52
Dik Silindirin Alaný
1.
4.
Taban yarýçapý 5 cm ve yüksekliði 10 cm olan silindirin
yanal alaný kaç cm2 dir?
5 cm
Taban
çapýnýn yüksekli2
ðine oraný
olan silindi3
rin yanal alanýnýn, yüzey
alanýna oraný kaçtýr?
10 cm
O
A
A) 50π
B) 100π
D) 200π
C) 150π
A)
5 cm
A) 132π
B) 114π
D) 72π
3.
6 cm
B)
3
4
C) 1
D)
4
3
E) 2
E) 250π
5.
2.
1
2
B
Taban yarýçapý 4 cm olan dik silindirin yüksekliði 7 cm ise yanal alaný kaç cm2 dir?
A) 24π
B) 28π
C) 36π
D) 56π
E) 112π
C) 96π
E) 36π
3
’i olan silindirin
5
yarý çapýnýn yüksekliðine oraný kaçtýr?
Yanal alaný, bütün alanýnýn
A)
1
3
B)
2
3
C) 1
D)
4
3
6.
E) 2
Yanal alaný 216π cm2 olan dik silindirin yüksekliði 18 cm ise taban çapý kaç cm dir?
A) 6
285
B) 9
C) 12
D) 15
E) 24
7.
10.
Taban yarýçapý 8 cm olan
silindirin içinden þekildeki gibi
taban yarýçapý 3 cm olan
baþka bir silindir çýkartýlýyor.
ABCD dikdörtgen
D
C
|AT| = |TB| = 3 cm
|BC| = 2 cm
T
A
B
Silindirin yüksekliði 5 cm ise oluþan yeni prizmanýn yüzey alaný kaç π cm2 dir?
ABCD dikdörtgeni d doðrusu etrafýnda 180°
döndürülmesiyle oluþan þeklin yüzey alaný kaç
cm2 dir? (π = 3 alýnýz.)
A) 220π
A) 72
B) 110π
8.
4 cm
3 cm
silindirin içine þekildeki gibi
taban yarýçapý 1 cm olan
silindir biçiminde bir oyuk
açýlýyor. Kalan cismin tamamý
kumaþla kaplanýyor.
Buna göre kaç cm2 kumaþ gerekir?
A) 56π
B) 64π
9
B) 84
C) 90
D) 100
E) 120
E) 30π
C) 72π
D) 80π
11. Yüksekliði 20 cm olan dik silindir biçimindeki konserve kutusunun yanal alaný 200π cm2 dir.
Konserve kutusunu yan yatýrarak yuvarlayan
Ömer 10 tur attýrdýðýnda konserve kutusu
Omer’den ne kadar uzaklaþmýþ olur?
D) 40π
C) 80π
A) 80π
B) 90π
C) 100π
D) 110π
E) 120π
E) 96π
12. Bir dik silindirin düzlemle kesiti hangisi olamaz?
4 cm silindirin 4 cm lik kýsmý kesilip
atýlýyor.
A)
B)
elips
çember
C)
Buna göre yüzey alanýndaki deðiþim için aþaðýdakilerden hangisi söylenemez? (π = 3 alýnýz)
A) 144 cm2 artar
B) 360 cm2 artar
C) 360 cm2 azalýr
D) 144 cm2 azalýr
D)
dikdörtgen
doðru
parçasý
E)
yamuk
E) 180 cm2 azalýr
286
1.B
2.A
3.B
4.B
5.D
6.C
7.A
8.E
9.D
10.C
11.C
12.E
TEST : 53
Dik Silindirin Alaný
1.
4.
Þekildeki su deposunun tamamý koruyucu boya ile boyanacaktýr. Bu su deposunun
taban yarýçapý 60 cm ve uzunluðu 2 metre olduðuna göre,
bu iþlem için kaç cm2 boya
gerekir?
A) 30000π
B) 31100π
D) 32400π
Taban yarýçapý 6 cm ve yüksekliði 4 cm olan dik
silindir þeklindeki yaþ pastanýn görünen kýsýmlarýnýn
tamamý krema ile süslenecektir.
Bu iþlem kaç cm2 lik bir alana uygulanacaktýr?
A) 36π
B) 48π
C) 64π
D) 72π
E) 84π
C) 31200π
E) 32600π
5.
Bir ayrýtýnýn uzunluðu 8 cm olan küpten ayrýtlarýndan birini çap kabul eden yarým silindir þeklinde bir
parça kesilerek çýkartýlýyor.
Buna göre, kalan parçanýn alaný kaç cm2 dir?
Tabanýnýn bir kenarý 20 cm ve yükseklik uzunluðu 26 cm olan kare prizmanýn içine çizilebilecek en büyük silindirin alaný kaç cm2 dir?
A) 720π
B) 700π
D) 660π
C) 680π
E) 640π
(π = 3 alýnýz)
2.
A) 320
B) 338
C) 254
r=8 br
180°
|AB| = 10 cm
D
10 br
|BC| = 24 cm
A
B
r=8
180°
3.
br
6.
C
D) 368
E) 372
Bir makine için yandaki
þekilden 1 adet kullanýlacaktýr. Kullanýlmadan önce
tüm yüzeyler özel bir
madde ile kaplanacaktýr.
Verilere göre, bu iþlem
için özel maddeden kaç
br2 gerekmektedir?
24 br
Yukarýdaki þekilde dik silindirin yarýsý verilmiþtir.
Verilere göre, dik silindirin alaný kaç cm2 dir?
A) 170π
B) 240 + 150π
D) 240 + 130π
A) 600 + 132π
C) 120 + 120π
B) 580 + 242π
D) 640 + 256π
E) 240 + 145π
287
C) 480 + 384π
E) 600 + 250π
7.
10.
Taban yarýçapý 12 cm, yüksekliði 10 cm olan doðum günü
pastasý þekilde görüldüðü gibi
6 eþ parçaya bölünüyor.
32p
Dik silindir biçimindeki pastanýn bir parçasýnýn
A) 72π
B) 80π
C) 88π
D) 96π
A
Buna göre, karýncanýn aldýðý en kýsa yol kaç cm
dir?
E) 100π
A) 40π
11.
K
Bu dikdörtgen uzun kenarý etrafýnda 45° döndürüldüðünde oluþan þeklin alaný kaç cm2 dir?
A
A) 72 + 18π
B) 144 + 27π
D) 72 + 27π
B) 42π
O
D
Bir dikdörtgenin kenar uzunluklarý 6 cm ve 12 cm
dir.
C) 46π
D) 48π
E) 50π
Yarýçapý 3 cm ve yüksekliði
8π cm olan dik silindir biçimindeki makaranýn B noktasýndan hareket eden bir örümcek silindir yuzeyi üzerindeki
K orta noktasýna uðrayýp B
noktasýna en kýsa yolu alarak
gelmiþtir.
C
B
C) 108 + 18π
Buna göre, örümceðin aldýðý en kýsa yol kaç cm
dir?
8.
Yarýçapý 12 cm, yüksekliði
32π cm olan dik silindir biçimindeki bir kutunun alt tabaný
üzerindeki A noktasýndan
hareket eden bir karýnca silindirin yüzeyinde yürüyerek B
noktasýna gitmektedir.
12
B
E) 144 + 18π
A) 5π
B) 8π
C) 10π
D) 12π
E) 15π
12.
9.
A
B
40 m
C
4m
60°
1m
1m
2m
60°
6m
Yukarýdaki þekilde tasarlanan rampanýn iç kýsmý
özel bir maddeyle kaplanacaktýr.
O
Yukarýdaki resimde bir spor salonu çatýsý görülmektedir.
Þekilde verilenlere göre kaç m2 lik bir alana bu
iþlem uygulanacaktýr?
|OA| = |OB| = 15 m, |AC| = 40 m ve
A) 24 +
m(AéOB) = 60° olduðuna göre, bu spor salonunun
çatýsý kaç m2 dir?
A) 180π
B) 200π
2m
C) 210π
D) 220π
π
3
B) 24 +
D) 24 +
E) 240π
11π
12
π
4
C) 48 +
E) 24 +
7π
6
10π
11
288
1.C
2.A
3.E
4.E
5.D
6.D
7.C
8.B
9.B
10.A
11.C
12.D
ALIÞTIRMA : 70
Dik Dairesel Silindirin Hacmi
Bu parçalarý aþaðýdaki gibi dizelim.
Bu alýþtýrma testinde dik dairesel silindirinhacim hesaplarýný daha önceki bilgilerimizin
üzerine inþa edeceðiz.
1.
Bir dik dairesel silindiri önce 6 parçaya bölelim.
Birbirine yakýnlaþtýrarak prizmaya benzer aþaðýdaki
þekli elde edelim.
þekli elde edelim.
Bir dik dairesel silindiri þimdi 12 parçaya bölelim.
3.
2.
Bir dik dairesel silindiri þimdi 8 parçaya bölelim.
þekli elde edelim.
289
Bu dik dairesel silindiri daha fazla dilimler haline
getirip benzer çalýþmayý yaptýðýmýzda cismin prizmaya benzeyeceðini görebildik mi?
Bir dik dairesel silindiri þimdi de ayný dik dairesel
silindiri 16 parçaya bölelim.
D
K
C
h
Dý
Cý
r
h
A
H
B
Bý
Aý
Prizmanýn hacminin daha önceki bilgilerimizden
biliyorduk.
Hacim = Taban Alaný x Yükseklik
þekli elde edelim.
4.
idi.
ABCD paralelkenarsal bölgenin taban uzunluðu
π . r ve yüksekliði de r olur.
O halde, Taban Alaný = π.r2 ve yüksekliðinde h
olduðunu düþünürsek bu þeklin hacmi
Dik dairesel silindirin her bir yarýsýndan kesilerek
V = π . r2 . h
olur.
Sonuç olarak dik dairesel silindirin hacmi
V = π . r2 . h
þeklinde dilimler sýralandýkça oluþan aþaðýdaki þekli
dikkatlice inceleyiniz.
D
K
C
h
Dý
Cý
r
h
A
Aý
H
B
Bý
ABCD ve AýBýCýDý yüzeylerinin paralelkenarsal bölgeye benzediðini görelim.
290
baðýntýsý ile bulunur.
TEST : 54
Dik Silindirin Hacmi
1.
4.
hacmi kaç cm3 tür?
Yanal alaný 18π cm2 ve yüksekliði 3 cm olan dik
silindirin hacminin, alanýna sayýca oraný kaçtýr?
A)
A) 192π
B) 216π
D) 324π
3
4
B)
2
3
B) 100π
4
3
E)
1
2
C) 50π
D) 20π
Dýþ taban yarýçapý 6 cm, iç taban
yarýçapý 2 cm olan silindirik borunun yüksekliði 8 cm dir.
Buna göre borunun hacmi kaç cm3 tür?
A) 128π
B) 192π
D) 256π
C) 216π
E) 298π
E) 10π
6.
Yandaki þekilde yarýçap uzunluklarý 2 cm ve 4 cm, yükseklikleri 5
cm olan iki silindir iç içe yerleþtirilmiþtir.
5
3.
D)
E) 400π
Taban yarýçapý 5 cm olan dik silindirin yüksekliði 4 cm ise hacmi kaç cm3 tür?
A) 150π
3
5
C) 256π
5.
2.
C)
Hacmi 144π cm3 olan silindirin yüksekliði 6 cm
dir. Buna göre, taban yarýçapý kaç cm dir?
Bu iki silindir arasýndaki parçanýn hacmi kaç π
cm3 tür?
A) 2ñ6
A) 40
B) 2ñ3
C) 2ñ2
D) 4
E) 3
291
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
7.
Hacmi 60π cm3 ve yüksekliði 15 cm olan
silindirin içine sýðacak en uzun doðru
parçasýnýn uzunluðu kaç cm dir?
A) 10ñ2
C) ó229
B) 15
D) ó241
10.
3 cm
E) 17
10 cm
Yandaki þekilde taban yarý
çaplarý 2 cm ve 5 cm olan
silindirlerin
birleþmesiyle
oluþan bir süt þiþesi verilmiþtir.
Yukarýdaki verilere göre, þiþe en fazla kaç cm3
süt alýr?
A) 262π
B) 250π
D) 180π
8.
Taban yarýçapý 5 cm yüksekliði 12 cm olan silindirin
içine çizilebilecek üçgenin
alaný en fazla kaç cm2 dir?
5 cm
12 cm
C) 242π
E) 150π
11. Boyutlarý 18 cm ve 10 cm olan dikdörtgenin kýsa
kenarlarý birleþtirilerek silindir yapýlýyor.
B) 45
C) 60
D) 72
E) 90
A) 30
Oluþan silindirin hacmi kaç cm3 tür?
(π = 3 alýnýz)
A) 27
12.
9.
D
A
B) 81
C) 210
|AB| = 6π cm
12
E
|BC| = 12 cm
A
6p
D
B
|AB| = |BC| = 8 cm
|FE| = |ED| = 4 cm
[AD] ve [BC] kenarlarý birleþtirilerek bir silindir oluþturuluyor.
B
B) 36π
D) 96π
C
Þeklin hacmi kaç cm3 tür?
Oluþan silindirin hacmi kaç cm3 tür?
A) 18π
E) 270
Þekilde [AF] ve [CD]
çaplý silindir parçalarý
birleþtirilmiþ hali verilmiþtir.
F
ABCD dikdörtgen
C
D) 243
A) 36π
C) 72π
B) 48π
D) 72π
E) 108π
C) 60π
E) 90π
292
1.A
2.B
3.A
4.A
5.D
6.E
7.D
8.C
9.E
10.A
11.E
12.B
TEST : 55
Dik Silindirin Hacmi
1.
4.
Dik silindir biçimindeki su tankýnýn taban
yarýçapý 3 m ve hacmi 54π m3 olduðuna göre,
yükseklik uzunluðu kaç metredir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
Taban yarýçapý 6 cm ve yeterince yüksekliðe sahip
dik silindirin içinde bir miktar su vardýr.
Bir kenarý 2 cm olan küp atýldýðýnda tamamen
suya battýðýna göre su kaç cm yükselmiþtir?
(π = 3 alýnýz)
E) 6
A)
2.
27
2
B)
9
2
C)
2
9
2
27
E)
2
3
ABCD dikdörtgen
F
D
C
d ⊥ [AB]
5.
Taban yarýçapý 4 cm ve
yüksekliði 10 cm olan
silindir þeklindeki sürahinin içindeki boya taban yarýçapý ve yüksekliði 2 cm olan silindir
þeklindeki kaplara konuyor.
|AE| = 2 cm,
E
|EB| = 4 cm,
B
10
2
d
Bu dikdörtgenin d doðrusu etrafýnda 180° dönmesiyle oluþan cismin hacmi kaç cm3 tür?
A) 26π
B) 30π
D) 36π
C) 32π
E) 40π
2
A
4
Buna göre kaç tane kap gerekir?
A) 32
6.
3.
D)
D
C
B) 20
C) 16
B
|BC| = 2|AB|
D
|AB| = 6 cm
E) 8
Þekildeki silindir yatayla 45° açý yapacak þekilde eðiliyor.
C
D) 10
A
4
A
6
B
45°
E
Sýrasýyla uzun ve kýsa kenarlar etrafýnda
döndürülmesiyle oluþan silindirlerin hacimler
oraný kaçtýr?
A)
3
4
B)
1
2
C)
3
5
D)
2
3
E)
Taban yarýçapý 4 cm ise silindirin içindeki suyun
A) 64π
2
5
B) 80π
D) 144π
293
C) 128π
E) 160π
7.
10.
Yandaki resimde görülen
dolabýn kapaðýnýn eni 60
cm ve boyu 150 cm dir.
60°
Kapaðýn 90° açýlmasýyla
oluþan cismin hacmi kaç
m3 tür?
A) 120
B) 125
C) 130
D) 135
Yarýçapý 12 cm ve yüksekliði 8 cm olan dik silindir
biçimindeki pastadan 60°lik merkez açýya sahip bir
dilim kesilip çýkarýlýyor.
E) 140
Kalan pastanýn hacmi kaç cm3 tür?
A) 900π
B) 924π
C) 960π
D) 980π
8.
E) 966π
6
120°
11.
4 br
24
2 br
Verilenlere göre, bu odun kütüðü parçasýnýn
hacmi kaç birim küptür?
A) 272π
B) 264π
D) 282π
Yukarýdaki þekilde dik silindir biçimindeki odun
kütüðünün bir kýsmý görülmektedir.
Yukarýdaki þekilde dik silindir biçiminde tasarlanan anti tank mayýnýnýn hacmi kaç birim küptür?
C) 272π
E) 288π
A) 432π
B) 428π
D) 412π
12.
9.
B) 48π
C) 54π
D) 64π
E) 408π
20 br
2 br
2 br 1 br 2 br
2 br 1 br 2 br
2 br
2 br
2 br 1 br 2 br
2 br 1 br 2 br
2 br
Yukarýdaki þekilde tasarlanan motor aksamýnýn
hacmi verilenlere göre kaç birim küptür?
Silindirin yüksekliði 18 cm ise kesilen kaþarýn
A) 36π
C) 420π
18 br
silindir þeklindeki kaþar
peynirinin 30° lik dilimi
alýnýyor.
30°
4 br
6 br
A) 540 – 120π B) 5040 – 240π C) 2720 – 120π
D) 4080 – 120π
E) 72π
E) 5040 – 480π
294
1.E
2.B
3.D
4.D
5.B
6.C
7.D
8.E
9.C
10.C
11.A
12.B
ALIÞTIRMA : 71
Dik Dairesel Koni Tanýmý
2.
ln
l1
l2
l3
K
d
O
K
s
P
A
(s)
P
a)
Herhangi bir P düzlemindeki verilen düzlemsel
eðriyi (s) kesen ve eðri düzleminde olmayan
sabit bir noktadan (K) geçen doðrularýn oluþturduðu yüzeye .................. .................. denir.
b)
Bu eðriye (s) yüzeyin .................. ..................
denir.
a)
1.
3.
Dayanak eðrisi (s) kapalý olan konisel yüzeyin;
tepe noktasý ve dayanak eðrisinin merkezinden geçen doðruya konisel yüzeyin
...................... denir.
K
sý
E
c)
Konisel yüzey oluþturulurken belirlenen ilk
doðruya (d) konisel yüzeyin ......................
denir.
d)
Her bir doðruya (l1, l2, l3, ..., ln) da konisel
yüzeyin ...................... denir.
e)
k sabit noktasýna konisel yüzeyin ..................
.................. denir.
f)
P
Tepe noktasýnýn altýnda ve üstünde oluþan
konisel yüzey parçalarýna konisel yüzeyin
...................... denir.
295
s
a)
Dayanak eðrisi (s) kapalý olan konisel yüzeyin
bir kanadýnýn sýnýrladýðý bölgenin, dayanak
eðrisinin düzlemine paralel ve tepe noktasýndan (K) geçmeyen bir E düzlemi ile sýnýrlý
parçasýna .................. .................. denir.
b)
E düzlemi ile konisel yüzeyin kesiþiminden
elde edilen kesite (sý) koni yüzeyinin
...................... denir.
c)
Konisel yüzeyin diðer kýsmýna da ...............
................ denir.
4.
6.
Bir önceki tanýmlardan yararlanarak aþaðýdaki
þekillerdeki oklarýn karþýlarýndaki boþluklarý
doldurunuz.
Aþaðýda dik dairesel koninin açýnýmý verilmiþtir.
Dikkatlice inceleyiniz.
A
A
K
l
(...............)
F
B
l
l
F F
C
C C
B
D
D
E
[AD] ve [AE] doðru parçalarýndan tutarak açtýðýmýzda aþaðýdaki þekil oluþur. C noktasýnýn arada
kaldýðýna dikkat ediniz.
s
K
A
a
Yanal
alaný
D
l
l
l
E
C
B
K
(...............)
7.
Aþaðýda verilen dik dairesel koninin açýnýmýný
aþaðýdaki boþluða çiziniz.
a
10 cm
O
B
C
Taban alaný
s
5.
r
O
6 cm
A
s
P
a)
Koni yüzeyi ile sýnýrlý bölgeye .....................
denir.
b)
Koninin tabanýnýn merkezi ve tepe noktasýndan (K) geçen doðruya koninin .....................
denir.
c)
Eðer koninin ekseni taban düzlemine dik ise bu
koniye ..................... koni denir.
d)
Dik koninin tepe noktasý (K) ile taban düzlemi
arasýndaki dikme parçasýna ([KO]) dik koninin
..................... denir.
e)
Tabaný daire olan dik koniye ..................... ise
..................... ..................... denir.
Uyarý : Bundan sonra “dik dairesel koni” yerine “dik
koni” ifadesini kullanacaðýz.
296
ALIÞTIRMA : 72
Dik Dairesel Koni Alaný
T
Dik Koninin;
A
Tepe Noktasý
Yükseklik
Ana Doðru
Yanal Yüzey
Yanal Yüzey Alaný = π.r.l
l
h
Taban Alaný = π.r2
Yanal Yarýçapý
O
r
r
B
Taban Yüzeyi
B olduðundan tüm yüzey alaný
S = π.r.l + π.r2
D
bulunur.
Dik Koni
1.
4.
Yarýçapý 3 cm ve yüksekliði 4 cm olan dik koninin ana doðrusunun uzunluðu kaç cm dir?
baðýntýsýyla
Ana doðrusu 5 cm ve yüksekliði 3 cm olan dik
koninin taban alaný kaç cm2 dir?
C:5
C : 16π
5.
6 cm
A
2.
Yandaki þekilde yarýçapý 2 cm ve ana doðrusu 6 cm olan dik dairesel koni verilmiþtir.
T
Yüksekliði 15 cm ve ana doðrusunun uzunluðu
17 cm olan dik koninin tabanýndaki dairenin
yarýçap uzunluðu kaç cm dir?
2 cm
O
B
Bu koninin yanal alaný kaç cm2 dir?
C:8
C : 12π
6.
Yandaki
konide;
T
dik
dairesel
m(TëBO) = 60°
3.
|TB| = 6ñ2 cm ise
Yarýçap uzunluðu 18 cm ve ana doðrusunun
uzunluðu 30 cm olan dik koni biçimindeki yýlbaþý þapkasýnýn yüksekliði kaç cm dir?
A
O
60°
B
koninin yanal alaný kaç
cm2 dir?
C : 36π
C : 24
297
7.
Yarýçapý 6 cm ve yüksekliði 8 cm olan koninin
Ayrýca dik koninin açýnýmýndaki yanal yüzeyi oluþturan yandaki daire diliminde merkez açýnýn ölçüsü α° ise,
A
a
C : 96π
l
l
2pr
2π r =
α
. 2 π . l baðýntýsýndan hareketle
360
α
r
= baðýntýsý bulunur.
360 l
8.
Ana doðrusu 39 cm ve çapý 30 cm olan dik
koninin alaný kaç cm2 dir?
11.
Yanda açýnýmý verilen
dik konide
A
C : 810π
a
24
B
|AC| = 24 cm
C
|OD| = 6 cm
m(BéAC) = α
O 6 D
9.
Yandaki
konide;
T
dik
dairesel
|OB| = 3 cm
4
A
|OT| = 4 cm
3
O
ise koninin alaný kaç
cm2 dir?
B
C : 90
12.
O merkezli ve yarýçapý 18 cm olan
120° lik daire dilimi kývrýlarak bir
koninin yan yüzeyi elde ediliyor.
A
18
C : 24π
O
120°
Elde edilen koninin taban alaný
kaç cm2 dir?
B
10.
O merkezli bir dik dairesel
koninin yarýçapý 4 cm, ana
doðrusu 8 cm dir.
T
13.
O
A
C : 36π
L
B
K
A
O
8
B
O merkezli ve yarýçapý 8 cm
olan 180° lik daire dilimi
kývrýlarak bir koninin yan
yüzeyi elde ediliyor.
Elde edilen koninin taban alaný kaç cm2 dir?
Buna göre TKL üçgeninin alaný kaç cm2 dir?
C : 16π
C : 16ñ3
298
TEST : 56
Dik Dairesel Koni Alaný
1.
M
A
K
4.
Yandaki þekilde bir dik
dairesel koni verilmiþtir.
T
A
B
Þekildeki koninin taban
çapý 10 cm ve ana doðrusu
13 cm dir.
T
B
O
L
Buna göre, koninin yanal alaný kaç cm2 dir?
Buna göre [AT], [KT] ve [MT] doðru parçalarýnýn
uzunluklarý arasýndaki iliþki aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) 65π
B) 60π
C) 65
D) 60
E) 30
A) |KT| > |AT| > |MT|
B) |KT| > |AT| = |MT|
C) |MT| > |AT| > |KT|
D) |AT| > |KT| > |MT|
E) |AT| = |KT| = |MT|
5.
Þekildeki dik konide
T
|TB| = 6 cm
|OB| = 4 cm
2.
Ana doðrusunun uzunluðu 10 cm ve çapý 12 cm
olan dik dairesel koninin yüksekliði kaç cm dir?
A) 4
3.
B) 5
C) 6
D) 7
6
4
O
B
Buna göre, koninin bütün alaný kaç cm2 dir?
(π = 3 alýnýz.)
E) 8
A) 120
6.
Yandaki konide
T
A
B) 90
C) 72
|TB| = 17 cm
|OB| = 5 cm
O
17 cm
A
B
Buna göre, koninin yanal alaný kaç cm2 dir?
A) 40π
B) 30π
D) 15π
E) 30
Þekildeki dik koninin taban
yarýçapý 8 cm
T
|TB| = 8 cm
A
D) 48
O
B
Yukarýdaki verilere göre, koninin yüzey alaný kaç
cm2 dir?
C) 20π
A) 64π
E) 10π
299
B) 136π
C) 144π
D) 200π
E) 216π
7.
Tabanlarý ayný olan iki koni
þekildeki gibi birleþtirilmiþtir.
C
10.
A, O, B doðrusal
O
B
A
O merkezli AïB yayý
kývrýlarak bir dik koni
oluþturuluyor.
O
120°
12 cm
|AB| = 16 cm
m(AïB) = 120° ve
|OC| = 6 cm
|OB| = 12 cm
A
|OD| = 15 cm
B
ise oluþan dik koninin yüksekliði kaç cm dir?
D
A) 10ñ2
Buna göre, oluþan þeklin alaný kaç π cm2 dir?
A) 154
8.
B) 180
C) 204
D) 216
11.
10
O
6
C)
D) 6ñ2
E) 4ñ2
D)
Yandaki þekilde taban yarýçaplarý 6 cm olan dik koni ile
dik silindir birbirine yapýþtýrýlmýþtýr.
oluþturulan bu þeklin yüzey alaný kaç cm2 dir?
B)
A)
C) 10
E) 360
Yandaki koni þeklindeki
cisme kuþbakýþý bakan bir
kiþi aþaðýdaki þekillerden
hangisini görür?
T
B) 8ñ2
12
A) 230π
B) 240π
C) 242π
D) 248π
E) 250π
E)
12.
M
MPN , dik üçgen
m(NëPM) = 90°
|MP| = 6 cm
O merkezli ve yarýçapý 15
cm olan 240° lik daire dilimi
kývrýlarak bir koninin yan
yüzeyi elde ediliyor.
15
cm
9.
O
|PN| = 8 cm
N
P
Elde edilen koninin taban alaný kaç cm2 dir?
Yukarýdaki verilere göre, MPN üçgeninin [NP]
etrafýnda 360° çevrilmesiyle oluþan þeklin alaný
kaç cm2 dir?
A) 64π
A) 60π
B) 72π
C) 81π
D) 100π
E) 108π
B) 72π
C) 84π
D) 96π
E) 108π
300
1.E
2.E
3.A
4.A
5.A
6.D
7.D
8.C
9.D
10.B
11.B
12.D
ALIÞTIRMA : 73
Dik Dairesel Koninin Hacmi
3.
Bu alýþtýrma testinde dik dairesel konininhacmini daha önceki bilgilerimizle izah etmeye
çalýþacaðýz.
Hacmi 18 π cm3 ve yüksekliði yarýçapýnýn iki katý
olan dik dairesel koninin ana doðrusu kaç cm
dir?
C : 3ñ5
A
r
O
B
h
h
T
r
O
A
h
D
T
B
h
r
C
Yukarýdaki þekilde plastik koni ve silindirin her
ikisinin yarýçap uzunluklarý r birim ve yükseklik
uzunluðu h birimdir. Koni biçimindeki kap kullanýlarak silindir biçimindeki kap su ile 3 defa da
doldurulabilir.
4.
Silindirin hacim formülünü daha önceden biliyorduk.
V = π r2 . h
Sonuç olarak dik koninin hacmini;
A
V=
1.
C : 27π
l
h
C
Buna göre koninin alaný kaç cm2 dir?
O halde; dik koninin hacmi silindirin hacminin üçte
biri olmalý deðil midir?
Hacmi 9ñ3 π cm3 olan dik dairesel koninin taban
r
B
1 2
πr . h baðýntýsý ile hesaplarýz.
3
Taban alaný 14 cm2 ve yüksekliði 6 cm olan
dairesel koninin hacmi kaç cm3 tür?
5.
C : 28
5
9
2.
Taban dairesinin yarýçapý 4 cm ve yüksekliði
9 cm olan dik dairesel koninin hacmi kac π cm3
tür?
Þekilde verilen dik koni biçimindeki bardaðýn aðzýnýn
yarýçap uzunluðu 5 cm ve
yüksekliði 9 cm olduðuna
göre, bu bardak kaç cm3
limonata alýr?
C : 75π
C : 48
301
6.
8
9.
Þekilde dik koni biçiminde verilen dondurma külahýnýn çapý
6 cm ve uzunluðu 8 cm olduðuna göre, dondurma külahýnýn
Yandaki
konide;
T
|AT| = 4 cm
B
O
C : 24π
10.
Yandaki þekilde dik koni biçiminde tasarlanan yýlbaþý þapkasý görülmektedir. Bu þapkanýn taban yarýçapý 6 cm ve
ana doðrusunun uzunluðu 10
cm olduðuna göre, þapkanýn
dairesel
m(AëTB) = 90°
A
7.
dik
ise koninin hacminin,
yanal alanýna sayýca
oraný kaçtýr?
2
C:
3
T
A
O
B
K
M
L
Yukarýdaki þekilde yükseklikleri eþit taban
yarýçaplarý 2r ve r olan dik dairesel koni ile dik
silindir verilmiþtir.
C : 96π
Hacimleri oraný kaçtýr?
C:
8.
60°
11.
Yandaki dik konide verilenlere
göre, bu koninin hacmi kaç
cm3 tür?
içi boþ
koni
4
3
Bir kenarý 12 cm olan küp þeklindeki oyun hamurundan þekildeki
gibi koni biçiminde bir parça
çýkartýlýyor.
Buna göre, kalan þeklin hacmi
kaç cm3 tür?
4ñ3 br
(π = 3 alýnýz.)
C : 64π
C : 129
302
TEST : 57
Dik Dairesel Koninin Hacmi
1.
Yüksekliði 6 cm olan dik koninin taban yarýçapý
cm ise hacmi kaç cm3 tür?
A) 60π
B) 50π
C) 30π
D) 25π
4.
5
E) 15π
Yanal alaný 60π cm2 olan dik koninin taban alaný
36π cm2 ise, hacmi kaç cm3 tür?
A) 24π
B) 48π
D) 96π
2.
C) 72π
E) 108π
Þekilde
T
|OB| = 6 cm
|TB| = 10 cm
O
B
Yukarýdaki verilere göre koninin hacmi kaç π
cm3 tür?
A) 120
3.
B) 100
C) 96
D) 84
E) 72
A
5.
5
katý olan koninin
4
hacmi 128π cm3 ise yüksekliði kaç cm dir?
Yanal alaný, taban alanýnýn
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Dik konide
A
|AC| = 13 cm
|OC| = 5 cm
B
O
C
6.
Yukarýdaki verilere göre dik koninin hacmi kaç π
cm3 tür?
A) 90π
B) 100π
D) 240π
Taban alanýnýn, yanal alanýna oraný
1
olan dik
2
koninin hacmi 72ñ3 π cm3 tür.
C) 200π
Taban çevresi kaç cm dir?
E) 300π
A) 18π
303
B) 12π
C) 9π
D) 6π
E) 3π
7.
10.
Þekilde T merkezli
AB yayý verilmiþtir.
T
120°
ABC ikizkenar üçgen
A
|AB| = |AC| = 15 cm
m(AëTB) = 120°
15 cm
|BC| = 18 cm
|TB| = 15 cm
A
B
B
Buna göre ABC ikizkenar üçgeninin simetri
ekseni etrafýnda 180° çevrilmesiyle oluþan þeklin hacmi kaç cm3 tür?
Buna göre, daire diliminin kývrýlmasýyla oluþan
koninin hacmi kaç π cm3 tür?
B) 250 2
3
A) 250ñ2
D) 250 3
3
C) 225ñ2
E)
C
A) 144π
B) 150π
A
O1
O2
C
B
15 cm
C
O2
9.
B) 150π
C) 200π
D) 250π
|AD| = 26 cm
|O1A| = 5 cm
D
|O2D| = 15 cm
Kesik koninin hacmi kaç π cm3 tür?
A) 1300π
B) 1800π
D) 3000π
Buna göre þeklin hacmi kaç cm3 tür?
A) 100π
A
O1
26 cm
D
E) 324π
Þekildeki kesik
konide;
5 cm
B
Þekilde taban yarýçapý 5 cm ve
yüksekliði 8 cm olan silindirin
üstüne taban yarýçapý 5 cm ve
ana doðrusu 13 cm olan koni
yerleþtiriliyor.
E
D) 300π
125 2
2
11.
8.
C) 162π
C) 2600π
E) 3600π
E) 300π
ABC dik üçgen
A
m(AëBC) = 90°
12.
|AB| = 4 cm
X cisminin üç düzlem üzerine düþen gölgeleri çizilmiþtir.
|AC| = 5 cm
B
Buna göre, bu X cismi
C
Buna göre, ABC dik üçgeninin [AB] etrafýnda
360° döndürülmesiyle oluþan þeklin hacmi kaç
cm3 tür?
A) 9π
B) 12π
C) 15π
D) 16π
A) Silindir
B) Üçgen Piramit
D) Üçgen Prizma
E) 18π
C) Koni
E) Küre
304
1.B
2.C
3.B
4.D
5.E
6.B
7.B
8.E
9.B
10.E
11.C
12.C
ALIÞTIRMA : 74
Kürenin Tanýmý ve Hacmi
Bu alýþtýrma testinde kürenin hacminin
hesaplamasýný, silindirin hacminin hesaplanmasýnýn üzerine inþa edeceðiz.
Aþaðýdaki boþluklarý uygun kelimelerle doldurunuz.
B
r
O
r
A
r
r
r
O1
a)
Uzayda sabit bir noktaya eþit uzaklýktaki nok-
r
O1
2r
r
r
r
talarýn kümesine ......................ve bu yüzeyle
sýnýrlanan katý cisme ...................... denir.
b)
1. Þekil
2. Þekil
Yarýçap uzunluðu r olan küre biçimindeki bir kap
tam ortadan kesilerek eþ yarým kürelere ayrýlýyor.
Bu sabit noktaya ...................... ..................
denir.
c)
Sabit uzaklýða da ...................... uzunluðu
denir.
d)
Kürenin farklý iki noktasýný birleþtiren doðru
parçasýna ...................... ...................... denir.
e)
1.
Merkezden geçen kiriþe kürenin ......................
Yarým kürelerden birinin içini su ile doldurarak 1.
þekildeki r yarýçaplý yükseklik uzunluðu 2r olan
silindir kaba boþaltalým.
denir.
f)
Bir
kürenin
bir
düzlemle
arakesiti
3. Þekil
bir
...................... dir.
g)
Küre yüzeyinin bir düzlemle arakesiti bir
...................... dir.
h)
Küre yüzeyinin, kürenin merkezinden geçen
bir
düzlemle
arakesitine
kürenin
bir
r
...................... denir.
O1
4. Þekil
i)
Kürenin yarýçapý büyük çemberin yarýçapýna
Silindir biçimindeki kabýn kaç tane yarým küre biçimindeki kap ile dolduðunu deneyiniz.
...................... tir.
305
r
O
r
5.
Sonuç olarak; O merkezli r yarýçaplý kürenin
(V) hacmini
B
A
Büyük çemberin çapý 10 cm olan kürenin yüzey
C : 100π
4
V = πr 3 baðýntýsý ile
3
hesaplarýz.
6.
1.
Yarýçapý 9 cm olan kürenin hacmi kaç cm3 tür?
Yarýçapý 12 cm olan kurþun bilye eritilerek yarýçapý
3 cm olan küçük bilyeler elde edilecektir.
Kaç tane küçük bilye elde edilir?
C : 972π
C : 64
7.
Yarýçapý 24 cm olan küre biçimindeki deniz topunun içinde kaç cm3 hava vardýr?
C : 18432π
3.
2.
Yandaki þekilde silindire teðet
küre verilmiþtir.
Silindirin yüksekliði 4 cm ise silindir ile küre
arasýnda kalan cismin hacmi kaç π cm3 tür?
16
C:
3
Hacmi 36π cm3 olan küre biçimindeki pinpon
topunun yarýçap uzunluðu kaç cm dir?
C:3
8.
Yarýçapý 1 cm yüksekliði 12 cm
olan silindirin içine þekildeki gibi
yarýçapý 1 cm olan küreler konuluyor.
Silindir en fazla kaç küre alýr?
4.
Çaplarý oraný
3
olan iki kürenin hacimleri oraný
5
kaçtýr?
C:
27
125
C:6
306
TEST : 58
Kürenin Hacmi
1.
Yarýçapý 6 cm olan kürenin hacmi kaç cm3 tür?
A) 288π
B) 144π
D) 72π
4.
C) 108π
Yarýçapý 6 cm olan küre tabanýndan 3 ve 5 cm uzaklýkta düzlemlerle kesiliyor.
Oluþan kesit alanlarýnýn oraný kaçtýr?
E) 36π
2.
Hacmi 288π cm3 olan kürenin en uzak iki noktasý
arasý uzaklýk kaç cm dir?
A) 3
B) 6
C) 9
D) 11
E) 12
A)
11
3
Yarýçapý 12 cm olan küre þeklindeki bilye eritilip
hacmi 2π cm3 den küre þeklindeki bilye yapýlýyor.
A) 1152
B) 726
C) 656
D) 576
307
11
27
D)
11
36
E)
11
81
Oluþan kesit alaný 24π cm2 ise kürenin yarýçapý
kaç cm dir?
B) 6
C) 2ñ6
D) 2ñ5
E) 4
Yarýçapý 6 cm olan küreyi içine alan en küçük
hacimli silindir ile küre arasýnda kalan hacim
kaç cm3 tür?
A) 144
E) 476
C)
lemle kesiliyor.
6.
Kaç tane bilye oluþur?
11
9
5. Bir küre merkezinden 2ñ3 cm uzaklýkta bir düz-
A) 8
3.
B)
B) 216
C) 72π
D) 144π
E) 432π
7.
10.
Küre þeklindeki bir balonun içi su ile doludur.
Kürenin yarý çapý 6 cm olup içindeki su taban
yarýçapý 2 cm olan silindirin içine boþaltýlýyor.
B) 18
C) 36
D) 48
4
Yandaki çeyrek daire [OB]
etrafýnda 360° döndürüldüðünde meydana gelen cismin hacmi kaç cm3 tür?
A
4
Suyun silindirdeki yüksekliði kaç cm dir?
A) 9
O
E) 72
B
A)
64 π
3
D)
8.
B)
128 π
3
164 π
3
C)
E)
132 π
3
172 π
3
Dik silindirin tabanlarý
yarým kürelerle birleþtirilerek yandaki þekil elde
ediliyor.
B
|AB| = 10 cm
O
6
A
A) 360π
11.
|AO| = 6 cm
Verilere göre, þeklin
hacmi kaç cm3 olur?
B) 388π
D) 512π
C) 448π
Yandaki þekilde çapý 6 cm
olan yarým küre þeklindeki
limon merkezinden 90° dilimlere ayrýldýðýna göre, her
bir dilimin hacmi kaç cm3
tür?
10
E) 648π
A)
5π
2
B) 3π
12.
9.
C)
7π
2
D) 4π
E)
9π
2
Çapý 30 cm olan küre þeklindeki bir karpuz merkezinden 60° lik açýlarla paylaþtýrýlacaktýr.
4
olan iki küreden küçüðünün
5
içi tamamen su ile doludur.
Yarýçaplarý oraný
Her bir parçanýn hacmi
kaç cm3 olur?
Boþ olan büyük küreye bu su boþaltýlýnca dolu
kýsmýn hacminin, boþ kýsmýn hacmine oraný
kaçtýr?
64
9
4
64
16
A)
B)
C)
D)
E)
61
9
125
25
5
A) 600π
B) 650π
D) 750π
C) 700π
E) 800π
308
1.A
2.E
3.A
4.C
5.B
6.D
7.E
8.E
9.B
10.B
11.E
12.D
ALIÞTIRMA : 75
Kürenin Alaný
1.
Bu alýþtýrma testinde kürenin alanýný daha
önceki bilgilerimizin üzerine inþa edeceðiz.
Yarýçap uzunluðu 2 cm olan kürenin yüzey alaný
kaç cm2 dir?
C : 16π
C
S1 S2
S3 S 4
r
D
r
B
A
O
O
2.
Büyük çemberin çapý 10 cm olan kürenin yüzey
2. Þekil
1. Þekil
C : 100π
Yukarýda 1. þekilde verilen O merkezli r yarýçaplý bir
küre 2. þekilde görüldüðü gibi tabaný ABCD yüzeyi
yüksekliði r olan küre dilimlerinden oluþur.
Küre dilimindeki ABCD yüzeyi küçüldükçe kürenin
yarýçapýnýn piramitin yüksekliði haline geldiðini
farkedebildik mi?
1. þekildeki S1, S2, S3, ..., Sk piramitlerin taban alanlarý olmak üzere, k. piramitin taban alaný Sk ile ifade
edildiðinde her bir piramidin hacminin
V=
Küre dilimindeki ABCD yüzeyinin küçüldükçe
piramite benzediðini farkedebildik mi?
3.
Yandaki þekilde [BC] çaplý
küre verilmiþtir.
A
O
B
C
1
r . Sk
3
|AC| = 2|AB| = 4 cm ise kürenin alaný kaç cm2
dir?
þekline dönüþtüðünü görürürüz.
n tane piramidin hacimler toplamýnýn
C : 20π
1
V = r . (S1 + S2 + S3 + ... + Sk )
3
olduðu sonucuna varýrýz.
Sonuç olarak piramit sayýsý yeterince çok seçildiðinde toplam hacmin kürenin yaklaþýk hacmine,
piramitlerin taban alanlarý toplamýnýn da kürenin
yaklaþýk yüzey alanýna dönüþtüðünü görürürüz.
O merkezli r yarýçaplý
küre yüzeyinin alaný
B
r
O
r
4.
A
S = 4 πr 2 baðýntýsý
A
Yarýçapý 4 cm olan yarým
küre þeklinde bir pasta verilmiþtir.
O
B
r=4 cm
ile hesaplarýz.
Pastanýn yüzey alaný kaç cm2 dir?
C : 48π
309
5.
8.
Yarýçap uzunluklarý 2 cm ve 3 cm olan kürelerin
alanlarý oraný kaçtýr?
4
C:
9
D
C
6 cm
A
Çapýnýn ve yüksekliðinin
uzunluðu 6 cm olan dik dairesel silindire içten teðet olacak
þekilde küre yerleþtiriliyor.
B
Küre ile silindirin alanlarý oraný kaçtýr?
C:
Hacmi, alanýna sayýca eþit olan kürenin yarýçapý
kaç birimdir?
C:3
Hacmi 144π cm3 olan
þekildeki yarým kürenin
9.
6.
C : 144π
10.
7.
Yarýçap uzunluðu 6 cm yüksekliði 10 cm olan dik dairesel
silindirin içine konulabilecek en
büyük hacimli kürenin alaný kaç
cm2 dir?
2
3
Yarýçapý 9 cm yüksekliði
24 cm olan dik silindir biçimindeki aðaç kütüðünün
her iki yaný da yarým küre
þeklinde oyulmuþtur.
Buna göre, yeni oluþan
þeklin alaný kaç cm2 dir?
9
C : 144π
C : 756π
310
TEST : 59
Kürenin Alaný
1.
Yarýçapý 4 cm olan kürenin yüzey alaný kaç cm2
dir?
A) 16π
2.
B) 32π
C) 48π
D) 64π
C) 124π
D) 120π
5.
Yarýçapý 2 cm olan kürenin hacminin sayýca
yüzey alanýna oraný kaçtýr?
E) 114π
B) 144π
Yüzey alaný 100π cm2 olan kürenin hacmi kaç
cm3 tür?
25 π
125 π
500 π
A) 25π B)
C) 75π D)
E)
3
3
3
E) 96π
Yarýçapý 6 cm olan kürenin yüzey alaný kaç cm2
tür?
A) 148π
4.
A)
2
3
B) 1
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
3.
C
O
3
D
6.
Yarýçapý 3ñ2 cm olan kürenin yüzey alanýna eþit
alanlý küpün hacmi kaç cm3 tür?
Yarýçapý 3 cm olan yarým kürenin bütün alaný
kaç cm2 tür?
(π = 3 alýnýz)
A) 9π
A) 216
B) 12π
C) 18π
D) 27π
E) 36π
311
B) 144
C) 64
D) 36
E) 27
7.
10.
Hacminin sayýca alanýna oraný 3 olan kürenin
yüzey alaný kaç π cm2 dir?
A) 162
B) 243
C) 324
D) 405
Yandaki þekilde üç bilye üst üste
konarak silindir biçimindeki cam tüpün tüm yüzeylerine deðecek þekilde
yerleþtiriliyor.
E) 648
Bilyelerin kapladýðý hacmin, cam
tüpün hacmine oraný kaçtýr?
A)
8.
Hacmi sayýca alanýnýn 4 katýna eþit olan kürenin
çapý kaç birimdir?
B) 24
C) 18
D) 12
A
B)
2
3
C)
B
M
E) 6
A) 36
11.
1
3
3
4
D)
1
2
E)
3
5
Þekildeki O merkezli küre,
merkezinden 5 cm uzaklýkta bir düzlemle kesiliyor.
O
Kesit alan 144 π cm2 olduðuna göre, kürenin
A) 676π
B) 658π
12.
9.
64
olan iki kürenin yüzey alan27
larý oraný kaç olabilir?
C) 646π
D) 632π
E) 618π
Yarýçapý 5 cm olan yarým
küreden yarýçapý 3 cm olan
yarým küre çýkartýlýyor.
Hacimleri oraný
4
A)
3
3
B)
4
2
C)
3
4
D)
9
Oluþan cismin yüzey alaný kaç cm2 dir?
9
E)
16
A) 86π
B) 84π
C) 68π
D) 66π
E) 50π
10.B
11.A
12.B
312
1.D
2.B
3.D
4.E
5.A
6.A
7.C
8.B
9.E
TEST(KARMA) : 60
Katý Cisimlerin Alan ve Hacimleri
1.
Yanda verilen küpün bir ayrýtý
10 cm ise yüzey alaný kaç cm2
dir?
4.
Tabanýnýn bir kenarýnýn uzunluðu 2ñ2 cm, yüksekliði 2ñ3 cm olan dik kare prizmanýn hacmi
kaç cm3 tür?
A) 16ñ2
B) 16ñ3
C) 16ñ6
D) 32
E) 32ñ3
10 cm
A) 200
B) 400
C) 600
2.
D) 800
E) 1000
Yandaki þekil birim küplerden oluþmuþtur. Cismin
yüzeyi kumaþla kaplanacaktýr.
5.
A) 25
Kaç br2 kumaþa ihtiyaç vardýr?
B) 21
C) 23
D) 24
B) 35
C) 50
D) 70
E) 140
E) 26
A) 20
Yan yüz yüksekliði 7 cm, tabanýnýn bir kenarýnýn
uzunluðu 5 cm olan düzgün kare piramidin
3.
L
K
F
E
D
L
6.
A
D
C
piramidinde,
T
E
C
K
|TH| = 2ñ3 cm dir.
A
B
B
Þekil - 1
F
H
ABCDEFKL dikdörtgenler prizmasýnda
A
|AB| = 4 cm , |BC| = 3 cm ve |KC| = 6 cm dir.
Bu prizma þekil-2 deki gibi yan yatýrýlýyor. Yanal
alanlarý oraný kaçtýr?
A)
7
6
B)
3
2
C)
4
3
D)
C
D
Þekil - 2
7
3
E)
B
Piramidin yanal alaný 32 cm2 olduðuna göre
16
32
A) 12 B) 16ñ3 C)
D) 32ñ3 E)
3
3
4
7
313
7.
D
C
10.
|AB| = 7 cm,
D
2 cm
|BC| = 3 cm dir.
A
3 cm
B
A
Dikdörtgenin [AB] kenarý etrafýnda döndürülmesiyle oluþan silindirin hacmi kaç cm3 tür?
A) 21π
B) 42π
C) 54π
D) 63π
E) 71π
A) 360
B) 320
9.
4 cm
6 cm
C) 280
D) 260
E) 240
Ana doðrusunun uzunluðu 17 cm, yüksekliði
15 cm olan dik koninin hacmi kaç π cm3 tür?
B
B) 28π
C) 26π
D) 24π
E) 12π
11. Bir kürenin çapýný 3 kat arttýrýrsak hacmi kaç kat
artar?
A) 3
B) 3ñ3
C) 9
D) 27
E) 81
Yandaki þekilde eþ tabanlý
bir dik silindir ile dik koni üst
üste konularak cisim elde
edil-miþtir.
Bu cismin yüzey alaný kaç
cm2 dir?
12. Bir büyük çemberinin çapý 6ñ3 cm olan kürenin
r=3 cm
A) 60π
4 cm
Yukarýda uzunluklarý verilen dik yamuk [BC]
kenarý etrafýnda 360° döndürülmesiyle elde
edilen kesik koninin hacmi kaç cm3 tür?
A) 32π
8.
C
B) 54π
C) 48π
D) 36π
A) 72ñ3π
E) 24π
B) 86π
C) 88π
9.A
10.B
D) 96π
E) 108π
11.D
12.E
314
1.C
2.E
3.A
4.B
5.D
6.E
7.D
8.B
TEST(KARMA) : 61
1.
4.
Aþaðýdaki cisimlerin hangisinin çiziminde iki
nokta perspektifi kullanýlmýþtýr? (2009 SBS–8)
A)
Yandaki þeklin saðdan
görünüþü aþaðýdakilerden hangisidir?
B)
C)
A) 1 1 1
B) 1 1 1
C) 1 1 1
2 2 2
1 2 3
1 2 3
3 3 3
3 3 3
3 2 3
D)
5.
D) 1 1 1
E) 1 1 1
2 2 3
2 2 3
3 2 3
3 3 3
D
|AB| = 6 cm
C
2.
Farklý yüzey alanlarý 12 cm2, 21 cm2 ve 28 cm2
olan dikdörtgenler pirizmasýnýn hacmi kaç cm3
tür?
A) 42
B) 74
C) 84
D) 94
2 cm
A
Bu silindirin hacmi kaç cm3 tür? (π = 3 alýnýz)
A) 2
E) 144
Hacmi 54ñ2 cm3 olan küpün cisim köþegeninin
uzunluðu kaç cm dir?
A) 3ñ2
B) 3ñ3
C) 3
D) 3ñ6
B
[AD] kenarý, [BC] kenarý üstüne getirilerek bir silindir
elde ediliyor.
6.
3.
6 cm
B) 4
C) 6
l
ll
lll
lV
B) Yalnýz III
D) I, III ve IV
315
D) 8
E) 12
Aþaðýdakilerden hangileri piramittir?
A) Yalnýz II
E) 6ñ2
|BC| = 2 cm
C) I,II
E) Hepsi
7.
Taban alaný 100 cm2 ve hacmi 400 cm3 olan
düzgün kare piramidin yüzey alaný kaç cm2 dir?
A) 220
B) 240
C) 260
D) 320
10.
Bir kenarýnýn uzunluðu 6 cm
olan eþkenar üçgen bir kenarý
etrafýnda 360° döndürülüyor.
A
E) 360
B
C
Oluþan cismin yüzey alaný kaç cm2 dir?
A) 36π
8.
B) 36ñ3π
C) 45π
D) 45ñ3π
E) 63π
D
C
2 cm
|AB| = 5 cm
11. Bir küpün içine en büyük hacimli silindir, bu silindirin
|BC| = 2 cm
içine de en büyük hacimli küre çiziliyor. Bu cisimlerin hacimleri oranlarý aþaðýdakilerden
hangisinde doðru olarak verilmiþtir?
B
[BC] etrafýnda 360° döndürülmesiyle oluþan cismin hacmi kaç cm3 tür?
A) 10π
B) 15π
9.
6 cm
T
C) 25π
D) 50π
E) 75π
(π = 3 alýnýz.)
5 cm
A
KÜP
KÜRE
A)
4V
3V
2V
B)
4V
2V
V
C)
8V
6V
5V
D)
8V
4V
3V
E)
4V
2V
V
Taban yarýçapýnýn uzunluðu 3
cm, yüksekliði 6 cm olan bir
silindirden þekildeki gibi iki koni
çýkartýlýyor.
Kalan cismin hacmi kaç cm3
tür?
12. Uzayda sabit bir M noktasýna uzaklýðý |MA| ≤ 3
cm olan A noktalarýnýn oluþturduðu cismin
r = 3 cm
A) 18π
SÝLÝNDÝR
B) 27π
C) 32π
D) 34π
E) 36π
A) 24π
B) 28π
C) 36π
D) 38π
E) 42π
9.E
10.B
11.A
12.C
316
1.A
2.C
3.D
4.D
5.C
6.D
7.E
8.D
TEST(KARMA) : 62
1.
4.
2
olan iki küpün yüzey alanlarý
3
Kenarlarý oraný
oraný kaçtýr?
A)
2
3
B)
3
2
C)
2.
4
9
D)
8
3
E)
8
27
Bir kenarý a birim olan küpün içine çizilebilecek
en büyük düzgün kare piramidin hacmi kaç br3
tür?
A)
Þekildeki
uzunluklarý
verilen
dikdörtgenler
prizmasýnýn köþesinden
10 cm
kenar uzunluðu 1 cm
olan bir küp kesilip atýlýyor.
C
a3
3
B)
a3
2
C)
a3
3
D)
a3
4
E)
a
3
E
D
5.
Taban yarýçapý 6 cm, yüksekliði 8 cm olan koninin üst kýsmý
kesilip þekildeki gibi içeri
çevriliyor.
3 cm
8 cm
B
Alan ve hacimdeki deðiþim için aþaðýdakilerden
hangisi doðrudur?
ALAN
HACÝM
A) Artar
Azalýr
B) Azalýr
Deðiþmez
C) Azalýr
Azalýr
Kesik koninin yanal alaný kaç cm2 dir?
A
A) 24π
B) 36π
C) 45π
D) 48π
E) 64π
D) Deðiþmez Azalýr
E) Deðiþmez Artar
6.
3.
Kenar uzunluklarý 1 cm, 7 cm ve 5ñ2 cm olan
dikdörtgenler prizmasý þeklindeki kutunun içine bir
köþeye bir sinek býrakýlýyor.
A) Silindir
B) Silindir + Koni
C) Silindir + 2 tane eþ koni
Bulunduðu köþeden en uzak baþka bir köþeye
gitmek için alacaðý en kýsa yol kaç cm dir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
Bir düzgün altýgenin en büyük köþegeni etrafýnda 180° döndürülmesiyle aþaðýdakilerden
hangisi oluþur?
D) Silindir – Koni
E) 10
E) Silindir –2 tane eþ koni
317
7.
10.
Þekildeki bir dik silindir bir
düzlemle kesilmiþtir.
D
4
|AD| = 4 cm
C
O
r=9 cm O
|BC| = 2 cm
2
A
Þekilde yarýçapý 9 cm
olan yarým çember verilmiþtir.
Çemberin çapý etrafýnda 360° dönmesiyle
oluþan küre yüzeyinin alaný kaç cm2 dir?
|OB| = r = 2 cm dir.
B
r=2 cm
A) 324π
B) 318π
C) 264π
D) 243π
E) 162π
Yukarýdaki verilere göre dik silindirin hacmi kaç
cm3 tür?
A) 16π
8.
B) 15π
D
C) 14π
8
D) 13π
E) 12π
ABCD dik yamuk
C
|AB| = 11 cm
4
|BC| = 4 cm
11. Bir kenarýnýn uzunluðu 8 cm olan kübün içine kenarlarýna teðet olacak þekilde küre yerleþtiriliyor.
Arada kalan kýsým su ile dolduruluyor. Kaç cm3 su
kullanýlmýþtýr? (π = 3 alýnýz.)
11
B
Buna göre dik yamuðun [AB] etrafýnda 360°
döndürülmesiyle meydana gelen cismin hacmi
kaç cm3 tür?
A) 152π
9.
B
B) 144π
D) 128π
A) 128
B) 132
C) 196
D) 246
E) 256
E) 116π
Yandaki þekilde iç içe geçmiþ iki
dik silindir verilmiþtir.
C
A
C) 134π
|DC| = 8 cm dir.
A
D
|DE| = h = 6 cm,
h
|AB| = |BC| = |CD| = 4 cm dir.
12. Taban yarýçapý 10 cm, yüksekliði 6 cm olan dik
2
ü su doludur. Suyu
3
taþýrmamak koþulu ile yarýçapý 2 cm olan demir
E
silindir þeklindeki bidonun
Buna göre iki silindir arasýnda kalan hacim kaç
π cm3 tür?
A) 128
B) 164
C) 182
D) 192
kürelerden bidona en fazla kaç tane atýlabilir?
E) 196
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
10.A
11.E
12.C
318
1.C
2.D
3.E
4.A
5.C
6.C
7.E
8.B
9.D
Silindir - Koni - Küre Ýle Ýlgili ÖSYM Sorularý
1.
4.
Güneþ yarýçapý yer yarýçapýnýn 108 katýdýr.
Bu iki cismin hacimleri oraný aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) 1083/2
B) 1083/3
D) 1083
10 cm
C) 109,212
20 cm
E) 2083
(1970)
Yukarýdaki düzenekte, dikey doðrultudaki kalýn
silindirik borularýn kesitleri s, sað kola eklenmiþ olan
s
ince silindirik borunun kesiti ise
tür.
4
Piston 20 cm aþaðý indirildiðinde, öteki kolda su
yüzeyi kaç cm yükselir?
A) 52
B) 50
C) 46
D) 42
E) 38
(1982 - ÖSS)
5.
x
Bir kürenin merkezinden 4 cm uzaklýktaki kesitlerin çevresi 6π olduðuna göre, bu kürenin yarýçapý kaç cm dir?
A) 5
B) ò22
C) 6
D) ò52
10 cm
h
E) 8
(1977)
45°
2.
4 cm
l
ll
Yukarýdaki I. þekil taban çapý 4 cm, yüksekliði 10 cm
olan bir silindirdir. Bu silindirdeki suyun yüksekliði h
dir. Bu kap II. þekilde görüldüðü gibi yatayla 45° lik
açý yapacak biçimde eðildiðinde su düzeyi þekildeki
gibi kabýn aðzýna dayanmaktadýr.
Buna göre, h kaç cm dir?
A) 9
3.
20 cm
Taban çapý 2R = 20 cm
olan silindir biçimindeki
bir kapta, baþlangýçta
200 π cm3 su vardýr. Bu
kaba yeniden su konh cm makta ve kaptaki suyun
h yüksekliði, t zamanýna
göre, h = at + b baðýntýsý
ile deðiþmektedir.
B) 23
C) 19
D) 17
C) 7
D) 6
E) 5
(1982 - ÖYS)
6.
Bu kaba su konmaya baþladýktan 2 saniye
sonra, suyun yüksekliði 8 cm olduðuna göre, 3
sn sonra (beþinci saniye sonunda) suyun yüksekliði kaç cm olur?
A) 32
B) 8
Ýç içe geçirilmiþ ve yükseklikleri
eþit, dik silindir biçimindeki iki kaptan dýþtakinin çapý içtekinin
h
çapýnýn iki katýdýr. Ýçteki kap aðzýna kadar su ile dolu iken tabanýna
çok yakýn bir delik açýlýrsa, ikisi
r
arasýndaki boþlukta su hangi
yüksekliðe çýkar? (Ýçteki kabýn kalýnlýðý önemsenmeyecektir.)
A)
E) 14
(1981 - ÖSS)
h
2
B)
h
4
C)
h
3
D)
2h
3
E)
3h
4
(1983 - ÖSS)
319
7.
−x y
+ = 1 olan doðru ve koordinat ek3 a
senleriyle sýnýrlý bölgenin x ekseni etrafýnda döndürülmesiyle oluþan koninin hacmi 16 π birim küptür.
10. Denklemi
Buna göre, a nýn deðeri aþaðýdakilerden hangisidir?
A) –3
Yukarýdaki þekilde küre içine yerleþtirilmiþ silindirin
yüksekliði 8 cm ve hacmi 72 π cm3 olduðuna göre,
kürenin yarýçapý kaç cm dir?
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
B) –2
C) 0
D) 2
E) 4
(1998 - ÖSS)
E) 3
(1983 - ÖSS)
11.
A
B
a
a
O
216°
Kenarlarý 60 cm ve 80 cm olan dikdörtgen biçimindeki karton, bükülerek dik silindir biçiminde boru
haline getirilecektir.
Bükme iþlemi uzun ve kýsa kenar üzerine
yapýldýðýnda elde edilecek iki farklý boru
silindirin, yan alanlarý oraný kaçtýr?
A) 1
B)
1
2
C)
2
3
D)
3
4
E)
8.
Yukarýdaki þekil, ana doðrusunun uzunluðu a cm
olan bir dik koninin açýlýmýdýr. Dik koninin hacmi
96 π cm3 ve m(AéOB) = 216° olduðuna göre,
|OA| = |OB| = a kaç cm dir?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
(1998 - ÖYS
4
5
12.
(1995 - ÖSS)
T
O
A
9.
Þekilde, taban yarýçapý 6 cm olan bir dik koninin
tepe noktasý ve taban çemberi, O merkezli kürenin
yüzeyindedir.
Yanal alaný 135 cm2 olan bir dik koninin taban
Dik koninin hacmi 216 π cm3 olduðuna göre,
kürenin yarýçapý kaç cm dir?
Bu koninin hacmi kaç cm3 tür?
A) 282π
B) 292π
C) 302π
D) 312π
B
E) 324π
A) 9
B) 10
C) 12
(1998 - ÖSS)
D) 13
E) 15
320
1.D
2.A
3.D
4.B
5.B
6.B
7.C
8.A
9.E
10.E
11.D
12.B
Silindir - Koni - Küre Ýle Ýlgili ÖSYM Sorularý
13.
5
B
24p
16. Yarýçapý 3 cm olan O merkezli küre içine, ekseni
Yarýçapý 5 cm, yüksekliði 24π
cm olan dik silindir biçimindeki
bir
kutunun
alt
tabaný
üzerindeki A noktasý ile üst
tabaný üzerindeki B noktasý
ayný düþey doðru üzerindedir.
küre merkezinden geçen ve 1 cm yarýçaplý dik
dairesel silindir aþaðýdaki gibi yerleþtiriliyor.
A
O
Þekildeki gibi, A dan hareket edip kutunun yalnýzca yanal yüzeyi üzerinde tek bir dolaným
yaparak en kýsa yoldan B ye giden bir karýncanýn aldýðý yol kaç cm dir?
A) 26π
B) 25π
D) 25ñ3
Bu silindir hacmi kaç cm3 tür?
A)
C) 24ñ2π
3π
2
B) 3π
C) 3ñ3π
E) 25ñ2
D) 4ñ2π
E) 9π
(2000 - ÖSS)
14.
3
12
Þekildeki gibi, koni biçiminde bir
kapak ile koni biçiminde bir gövdeden oluþan kapaklý bir cisim oluþturulacaktýr. Kapak koninin yanal
ayrýtý 3 cm, yanal alaný 24 cm2 dir.
(2008 - ÖSS 2)
Gövde koninin yanal ayrýtý 12 cm olduðuna göre
A) 96
B) 108
C) 116
D) 150
E) 384
17.
(2003 - ÖSS)
A1 A2
A1
6
O
A2
O
15. Yüksekliði 10 cm olan dik silindir biçimindeki bir su
Yarýçap uzunluðu 6 cm olan yarým daire biçimindeki kaðýt parçasý, A1 ve A2 noktalarý þekildeki gibi
çakýþacak biçimde bükülerek tepesi O noktasý olan
bir dik koni oluþturuluyor.
bardaðý tümüyle su doludur. Suyun 25 cm3 ü
boþaltýldýðýnda, su yüksekliði 2 cm azalmaktadýr.
Buna göre, tümüyle dolu bardakta kaç cm3 su
bulunmaktadýr?
A) 125
B) 135
C) 150
D) 225
Bu koninin taban alaný kaç cm2 dir?
E) 250
A) 6π
(2005 - ÖSS)
B) 7π
C) 8π
D) 9π
E) 10π
(2009 - ÖSS 1)
321
18.
21.
m(DéBE) = 30
3
C
D
A
|OA| = 6 birim
|AC| = 3 cm
C
|BD| = 15 cm
15
OABC bir dikdörtgen
y
B
|AB| = 3 birim
3
30°
E
B
O
Yatay düzlem
Dik dairesel silindir biçiminde tamamý suyla dolu
olan bir bardak, yatay düzlemle 30° lik açý yapacak
biçimde þekildeki gibi eðildiðinde bardaktan bir miktar su dökülüyor. Bardakta kalan su C ve D noktalarýnda dengeleniyor.
B) 68π
C) 72π
D) 74π
x
A
Dik koordinat düzleminde verilen þekildeki
OABC dikdörtgeninin x ekseni etrafýnda 360°
döndürülmesiyle elde edilen silindirin hacmi Vx,
y ekseni etrafýnda 360° döndürülmesiyle elde
edilen silindirin hacmi de Vy olduðuna göre,
Vx
oraný kaçtýr?
Vy
Buna göre, bardaktan kaç cm3 su dökülmüþtür?
A) 66π
6
E) 76π
(2010 LYS)
A)
1
2
B)
1
3
C)
2
3
D) 2
E) 3
(2011 LYS)
19. K1 ve K2 dairesel konilerinin taban yarýçaplarý
sýrasýyla r1, r2 birim, yükseklikleri h1, h2 birim ve
hacimleri V1, V2 birim küptür.
h1
= b olduðuna göre,
h2
V1
V2
oraný
kaçtýr?
A)
2
B) a
b
a
b
D) a2b
C) ab2
E) a2b2
r1
= a ve
r2
(2010 LYS)
20. Bir dik dairesel koni, tabana paralel bir düzlemle
kesiliyor.
T
r1=3
12
A
B
r2=12
Elde edilen kesik koninin yüksekliði 12 cm, taban
yarýçaplarý ise 3 cm ve 12 cm’dir.
Buna göre, koninin [TA] yanal ayrýtýnýn uzunluðu
kaç cm’dir?
A) 15
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
(2011 LYS)
322
13.A
14.A
15.A
16.D
17.D
18.C
19.D
20.D
21.A

Kitabın Adı : 9. Sınıf Geometri Soru Bankası Yazarlar : Özkan Güner

Transkript

Benzer belgeler

matematik ödevim - Kartanelerim.com

022hacim ölçmeye bakış-3

5 eksiği 13 olan sayının yarısı kaçtır

bölme sınav - Kartanelerim.com