hakey çuval

Fizik 101: Ders 18
Ajanda
Özet
 Çoklu parçacıkların dinamiği
 Makara örneği
 Yuvarlanma ve kayma örneği
 Verilen bir eksen etrafında dönme: hokey topu
 Eğik düzlemde aşağı yuvarlanma
 Bowling topu: kayan ve yuvarlanan
 Makaralı Atwood makinesi

Özet: Yön & Sağ El Kuralı

Rotasyon vektörünün hangi yöne doğru
olduğunu bulmak için sağ elinizin
parmaklarını cismin döndüğü yönde
kıvırın. Baş parmak rotasyonun yönünü
yönünü gösterecektir!
y
x
z


Genelde z-eksenini rotasyon ekseni
olarak seçeriz. (şekildeki gibi)
 = z
 = z
 = z
Gerekmediği sürece kolaylık olsun diye
indisleri kullanmayız..
y
x
z
Özet: Tork ve Açısal İvme
NET = I

 FNET = ma için rotasyon analoğu.
 Tork kuvvetin rotasyon analoğu:
 Kuvvetçe sağlanan “burulma” miktarı.
 Eylemsizlik momenti I, kütlenin rotasyon analoğu.
 Eğer I büyükse istenen ivmeye ulaşmak için daha büyük
tork gereklidir.
Ders 18, Soru 1
Rotasyon


Şekildeki verilen 2 teker merkezlerindeki eksen
etrafında serbestçe dönebilmektedir. Tekerlerin
kütleleri eşitken birinin yarıçapı diğerininkinin
yarısı kadardır.
Şekilde gösterildiği gibi F1 ve F2 kuvvetleri uygulanıyor.
Tekerlerin açısal ivmeleri aynı ise F2 / F1 nedir?
(a) 1
(b) 2
(c) 4
F1
F2
Ders 18, Soru 1
Çözüm
Tork:
ama
  I
  FR
 FR  mR 2
F  mR
Zira R2 = 2 R1
ve
I  mR 2
F2 mR2 R2


F1 mR1 R1
F2
2
F1
F2
F1
Özet: İş & Enerji

Tork  etkisinde  yer değiştirmesi için yapılan
iş:
W  

Sabit bir tork’un gücü:
P
dW
d

 
dt
dt
Düşen Kütle & makara

m kütleli bir cisim bir ip ile bir makaraya
asılıyor. İp R yarıçaplı makaranın etrafında

sarılı olup makara merkezindeki bir bilye
yardımıyla rahatlıkla dönebilmektedir. Makara
ve bilye sisteminin eylemsizlik momenti I`dır.
İp makarada kaymamaktadır.
I
R
T
m

Makara durgunken dönmeye başlar. Kütlenin
L kadar düşmesi için ne kadar süre
gereklidir.
a
mg
L
Düşen Kütle & makara...

Asılı kütle için F = ma



mg - T = ma

Makara ve bilye için  = I
  = TR = I
a
TR  I
Anımsatma: a = R
R
I
R
T
m

Yukarıdakileri kullanarak a yı çekersek. a
 mR 
a
g
2
 mR  I 
2
mg
L
Düşen Kütle & makara...

1-D kinematik kullanarak L kadar
yol almak için gerekli zamanı
bulabiliriz:

I
R
1 2
L  at
2
t
2L
a
 mR 2 
g
burada a  
2
 mR  I 
T
m
a
mg
L
Hareketli eksen etrafında dönme.

M kütleli ve R yarıçaplı bir diskin etrafına ip
sarılır. Başlangıçta disk sürtünmesiz yatay bir
düzlem üzerinde durgundur. İp bir F kuvveti
ile çekilir ve kaymadan çözülür.

Disk D kadar hareket ederse çözülen ip uzunluğu L
nedir?
M
R
F
Tepeden bakış
Hareketli eksen etrafında dönme...

Kütle merkezinin hareketi F = MA

KM’nin aldığı mesafe
D

Disk KM etrafında  = I
ya göre dönecek.

Açısal yer değiştirme

1
I  MR 2
2

M
=

A
1 2
F 2
At 
t
2
2M

RF
2F
=
=
I 1
MR
MR 2
2
1 2
F 2
t 
t
2
MR
A
R
F
F
M
Hareketli eksen etrafında dönme...

KMnin aldığı mesafe ve KM etrafında dönme
zamanın bir fonksiyonudur:
D
F 2
t
2M
(b) yi (a)ya bölersek:
(a)
 2

D R

F 2
t
MR
R  2 D
(b)
İpin uzunluğu L = R:
L  2D

F
F
D
L
Yuvarlanma


Yatay ile  açısı yapan bir eğik düzlemde kütlesi M
yarıçapı R ve eylemsizlik momenti I olan bir cisim
kaymadan aşağı yuvarlanıyor. Cismin ivmesi nedir?
Öncekinde olduğu gibi burada da KM hareketini ve KM
etrafındaki dönme hareketini birbirinden ayrı dikkate
almamız gerek.
I
M

R
Yuvarlanma...



Yuvarlanma statik sürtünmeden dolayıdır. Statik
sürtünme bilinmiyor, ilk onu bulmalıyız.
KM için serbest cisim diyagramı FNET = MAKM :
x yönünde Mg sin  - f = MA
2. adımda KM etrafındaki rotasyona bakalım ve
 = I kullanalım. bilinenler
M
 = Rf ve A = R
R
Rf  I
A
R
f I
A
R
2

Mg
f
Yuvarlanma...
Mg sin  - f = MA

2 denklemimiz var:

İkisinden f yi çekersek:
f I
A
R2
MR 2 sin 
A=g
MR 2 + I
I
A
Küre için
MR 2 sin 
A=g
2
2
MR + MR 2
5
5
= gsin 
7

M
R
Ders 18, Soru 2
Rotasyon

İki adet katı alüminyumdan yapılmış silindirden
büyüğünün yarıçapı küçüğünün 2 katı kadardır.

İkisi de bir rampanın tepesinden serbest bırakılırsa
hangisi önce aşağı iner?
(a) büyük
(b) küçük
(c) aynı
Ders 18, Soru 2
Çözüm

Önce birini dikkate alalım. Yarıçapı R, kütlsi M eğim
yüksekliği H olsun.
Enerji korunumundan:- DU = DK
ama
1
I  MR 2
2
ve
MgH 

1
1
I  2  MV 2
2
2
V
R
2
1 1
1
2 V
MgH   MR  2  MV 2
R
2 2
2
MgH 
H
1
1
3
MV 2  MV 2  MV 2
4
2
4
Ders 18, Soru 2
Çözüm
yani:
MgH 
3
MV 2
4
3
gH  V 2
4
V
4
gH
3
(c) büyüklükten ve kütleden bağımsız,
Şekilleri aynı olduğu sürece!!
H
Ders 18, Soru 3
Rotasyon

Bir bowling topu (düzgün küre) yerde kaymadan yuvarlanıyor.

Rotasyon kinetik enerjisinin translasyon (yerdeğiştirme) kinetik
enerjisine oranı nedir?
(a)
anımsatma
I
1
5
2
MR 2
5
(b)
2
5
(c)
1
2
küre için KM`nden geçen eksene göre:
Ders 18, Soru 3
Çözüm

Toplam KE kısmi olarak rotasyondan ve kısmi
olarakta KM translasyonundan.
K=
1
1
I  2  MV 2
2
2
rotasyonal
translasyonal
K
K
Ders 18, Soru 3
Çözüm
K=
1
1
I  2  MV 2
2
2
Kaymadan yuvarlandığından:  
rotasyonal
translasyonal
K
K
1 2
2
2 V
I
 MR  2
5
R  2
 2

2
1
2
5
MV
MV
2
2
K ROT
KTRANS
V
R
Makaralı Atwood Makinesi :

Şekilde görüldüğü gibi 1 çift kütle
disk şeklindeki bir makara
üzerinden asılmıştır.
 Kütlelerin ivmesi nedir?


Asılı kütleler için F = ma
 m1g - T1 = -m1a
 -m2g + T2 = m2a
a

I
Makara için  = I
R

a 1
 MRa
 T1R - T2R  I
R 2
(çünkü I 
1
MR 2 dik için)
2
y
x
M

R
T2
T1
m2
m1
a
m1g
m2g
a
Makaralı Atwood Makinesi...

3 bilinmeyenli (T1, T2, a) 3 denklem
den a yı çekeriz:
-m1g + T1 = -m1a
(1)
-m2g + T2 = m2a
(2)
T1 - T2

1
Ma
2
(3)


m1  m 2
a
g
 m1  m 2  M 2 
y
x
M

R
T2
T1
m2
m1
a
m1g
m2g
a
Özet








Özet
Çoklu parçacıkların dinamiği
Makara örneği
Yuvarlanma ve kayma örneği
verilen bir eksen etrafında dönme: hokey topu
Eğik düzlemde aşağı yuvarlanma
Bowling topu: kayan ve yuvarlanan
Makaralı Atwood makinası