İstatistik Dersi Çalışma Soruları Final(Matematik Müh. Bölümü

İstatistik Dersi Çalışma Soruları Final(Matematik Müh.
Bölümü-2014)
S-1) Standart normal dağılıma sahip 𝑍 değişkeni için aşağıda istenilen olasılıkları
hesaplayınız.
S-2) 50 müşteriye yeni bir ürün tattırılır. 15 kişi beğenmiştir. Yeni yemeği beğenenler için
Yüzde 80 güven aralığını hesaplayınız: ( 𝑍0.10 = 1.28).
S-3) İki metottan hangisinin daha verimli olduguna dair calisanlar ile bir anket yapilmakta ve
Birinci method icin 78 kisiden 63 kisisi olumlu buldugunu soylerken, Method 2 icin 82
kisiden 49 u olumlu buldugunu soylemekte. Yuzde 99 guven araliginda yapacaginiz tes icen
Z-kritik degerini kac buldunuz? Ve iki method arasinda siz ce bir fark varmidir?
S-4) Bir araştırmacı yaptığı çalışmada ürününün ortalama aralığının %90 güven aralığında 2
gram olmasını hedeflemekte. Çalışmaya ait standart sapma 35 ise bu çalışma için
kullanılması gereken örnek kitle eleman sayısı ne olmalıdır?
S-5) Fakültedeki kız öğrencilerin ortalama ağırlığının 54.4 kg olduğu iddia edilmektedir. Bu iddaya
inanmayan Prof. A. Kız öğrencilerden 100 tanesini rasgele seçmiş ve ortalama ağırlıklarını 53.75 kg
olarak bulmuştur. Standart sapmayı 5.4 kg olarak bulan Prof.A. nın iddiasını 𝛼 = 0.05’te araştırınız.
S-6) Bir fabrikada çalışan işçilerin ortalama ücretlerin dağılımı normal dağılıma uygun olup, işçilerin
aylık ücretleri 200 TL ve standart sapması 32 TL olarak belirlenmiştir. Bu fabrikada aylık ortalama
ücreti 176 TL ve 240 TL arasında olan işçi sayısı 82 olduğuna göre, toplam işçi sayısı kaçtır.
S-7) İstatistik dersini ilk defa alan 1200 öğrenciden 852’sinin başarılı olduğu tespit edilmiştir. İstatistik
dersini ilk defa öğrencilerin başarı oranı %95 güvenle hangi aralıktadır.
S-8) Bir işletmede üretilen ürünlerin ortalama ağırlığının 95 gr ve standart sapmasının 2 gr olduğu ve
normal dağılış gösterdiği bilinmektedir. Paketleme ünitesinde meydana gelen arıza giderildikten
sonra deneme üretimi yapılmış ve 16 adet ürün rasgele seçilerek ağırlıkları ölçülmüş ortalama ağırlık
94 gr olarak saptanmıştır. Paketleme ünitesinin ayarı bozulmuş mudur.(𝛼 = 0.05)
S-9) Bir işletmede A teknolojisi kullanılarak üretim yapılmakta ve günlük ortalama 120 gr ürün
üretilmektedir. Standart sapma ise 6.4 olarak saptanmıştır. Ancak şirket B teknolojisi kullanmayı
düşünmektedir ve B teknolojisi ile bir test üretimi yapılmıştır. 12 test üretiminde günlük ortalama
üretim 135 birime çıkmıştır. 𝛼 = 0.10 da B teknolojisinin üretimi artırıp artırmadığını test ediniz.
S-10) Öğrencilerin en az %35 inin kütüphaneye gittiği iddia edilmektedir. Bu iddiayı
araştırmak üzere 250 kişilik bir öğrenci grubu rasgele seçilmiş ve 95’inin kütüphaneye gittiği
saptanmıştır. %5 güven seviyesinde iddiayı araştırınız.
1
S-11) Bir hastanede belli bir hastalıkla ilgili bulunan hastaların tansiyonlarının ortalaması 15
ve varyansı 9 olan normal dağılıma sahip oldukları bilinmektedir. Bu hastalar içinden rasgele
seçilen bir hastanın tansiyonunun,
a) 10 den küçük
b) 13 den büyük
c) 10 ile 16 arasında
olması olasılıklarını hesaplayınız.
S-12) Bir doğumevinde doğan bebeklerin ağırlıklarının ortalamasının 3.2 kg ve standart
sapmasının ise 0.3 kg olan bir normal dağılım gösterdiği bilinmektedir. Buna göre;
a) Bu doğumevinde doğan bebeklerin 3.2 kg ile 3.9 kg arasında olması olasılığı nedir?
b) Bu doğumevinde doğan bebeklerin 3.2 kg'dan daha hafif olması olasılığı nedir?
c) Bu doğumevinde doğan bebeklerin 2.8 kg ile 3.6 kg arasında olması olasılığı nedir?
d) Bir günde ortalama 200 bebeğin doğduğu kabul edilirse bu bebeklerden kaç tanesinin
ağırlığı 4 kg’ dan daha fazladır?
e) Bebeklerden en ağır %2.5’ i hangi ağırlığın üzerindedir?
f) Bebeklerden en hafif %5’ i hangi ağırlıktan daha düşüktür?
S-13) Örnek olarak alınan suda organik kirlilik olma olasılığı %10’dur. 50 adet alınan örnekte
iki veya daha az örneğin kirlilik içerme olasılığı kaçtır?
S-14) 𝑋 ~ 𝑁 (𝜇 = 12, 𝜎 2 = 5) dağılımında 𝑃(8 < 𝑋 < 10) olasılığı kaçtır.
S-15) Bir kutu mısır gevreğinin ağırlığının 368 gr’dan fazla olduğu iddia edilmektedir. Ayrıca σ =
15 gram olduğunu belirtmiştir. n= 25 kutuluk bir örnek alınmış ve X̅ = 372. 𝟓 gr. olarak
bulunmuştur. 0.05 seviyesinde test ediniz.
S-16) Bu sene Gümüşhane Üniversitesi.İİBF İktisat bölümünden mezun olacak öğrencilerin mezuniyet
not ortalamalarının 70 olduğu iddia edilmektedir. Bu amaçla mezuniyet sonrası 36 öğrencilik bir
örnek alınmış ve mezuniyet ortalamalarının 66, standart sapmasının 12 olduğu bulunmuştur. Bu
veriler ışığında iddiayı =0.01 için test ediniz
S-17) Bir fabrikada üretilmekte olan vidaların boylarının ortalaması 100 mm, ve standart sapması 2
mm olan normal dağılım gösterdikleri bilinmektedir. Makinalarda olan bir arıza giderildikten sonra
üretilen vidalardan alınan 9 vidalık bir örneğin boy ortalaması 102 mm olarak bulunmuştur.
Makinalardaki arıza giderilirken vidaların boyunun ayarı bozulmuş mudur? =0.05 için test ediniz ve
yorumlayınız.
2
S-18)Bir süpermarketler zinciri sahibi müşterilerinin %95’ten fazlasının süpermarketlerindeki
fiyatlardan memnun olduğunu söylemektedir. Tesadüfi olarak seçilen 200 müşteriden 184’ü
fiyatlardan memnun olduğunu bildirmektedir.%1 önem düzeyinde, süpermarketteki fiyatlardan
memnun olanların oranının %95’e eşit olmadığını söyleyebilir miyiz?
S-19) Bir toplumda erkekler arasında akciğer hastalığı oranının %30 olduğu bilinmektedir. Sigara
içenlerde akciğer hastalıklarına daha sık rastlanıp rastlanmadığı araştırılmak isteniyor. Bu amaçla
sigara içen erkekler arasından rasgele seçilen 200 erkekten 80’inin bir akciğer hastalığı
geçirdiği/geçirmekte olduğu saptanıyor. Sigara içenlerde akciğer hastalığına yakalanma oranının daha
fazla olduğu söylenebilir mi?
S-20) Bir konserve fabrikasının imal ettiği konservelerin üzerinde brüt 455 gr yazmaktadır. Bu
konservelerin brüt ağırlıkları ile ilgili bir karar vermek üzere rasgele seçilen 17 kutunun ortalama
ağırlığı 450 gr ve standart sapması 13 gr bulunmuştur. Brüt ağırlığın 455 gr olmadığını 0.05 önem
seviyesinde söyleyebilir misiniz?
S-21) . Ortalaması 400 ve standart sapması 25 olan ve normal olarak dağıldığı kabul edilen bir
kitleden değeri 500’den büyük bir birimin rastgele çekilme olasılığı kaçtır?
S-22) Bir fabrikada imal edilen belli bir tip çelik bilyelerin çaplarının ortalama 5 mm olamsı
gerekmektedir. Bu fabrikanın imalatından rastgele alınan 50 bilyenin çap ortalaması 4,8 mm ve
standart sapması 0,4 mm bulunmuştur. Buna göre, bu fabrikanın imal ettiği çelik bilyelerin ortalama
çapının 5 mm olduğunu, 0,01 önem seviyesinde, söyleyebilir miyiz?
S-23) 3500 aile ile ilgili araştırmada bunlar arasından 200 aile rastgele seçilerek, bunların yıllık
ortalama gelirinin 5100 TL, standart sapmanın ise 420 TL olduğu belirlenmiştir. Buna göre, bu 3500
aile için yıllık ortalama gelirin 5000 TL üstünde olduğu söylenebilir mi? (α=0,05)
S-24) Bir konserve fabrikasının imal ettiği konservelerin üzerinde brüt 400 gram yazılmaktadır. Bu
konservelerin brüt ağırlıklarıyla ilgili bir karar vermek amacıyla, rastgele seçilen 81 kutunun ağırlıkları
ortalamasının 398 gr ve standart sapmasının 12 gr olduğu görülmüştür. Buna göre, %1 önem seviyesi
için, bu fabrikanın imal ettiği konservelerin, üzerinde yazılan ağırlığın 400 gr ın altında olduğu
söylenebilir mi?
S-25) A lisesi son sınıfta okuyan 1000 öğrenci özel dersaneler birliğinin düzenlediği
sınava girmiştir. Okul yöneticileri sınav öncesinde öğrencilerinin bu sınavdaki;
1. Fen puanı ortalamasının 160 puan,
2. Sosyal puan ortalamasının en az 150 puan,
olacağını iddia etmişlerdir. Bu hipotezleri (iddiaları) test etmek amacıyla bu okulun sınava giren
öğrencilerin arasında rassal olarak 36 öğrenci seçilmiş ve bunların fen puan ortalamasının 150 puan,
standart sapmasının 15 puan; sosyal puan ortalamasının 145 puan ve standart sapmasının 22 puan,
olduğu hesaplanmıştır. Yukarıdaki iki hipotezin doğruluğunu α = 0.05 değerini seçmek suretiyle ayrı
ayrı araştırınız.
3
S-26) Ortalama üretimi günde 880 kg. olan bir ilaç firmasında uygulanan yeni bir yöntemin üretimi
arttırdığı öne sürülmektedir. İddiayı incelemek amacıyla 81 günün üretimi incelenmiş ve ortalama
üretimin 892 kg. standart sapmanın ise 21 kg. olduğu görülmüştür. Yeni yöntemin üretimi arttırdığı
söylenebilir mi? α = 0,01
S-27) 11 kişilik bir hasta grubunda plazmadaki yağ asidi aşağıdaki şekilde ölçülmüştür. 160, 168, 154,
156, 172, 163, 166, 169, 150, 170, 167;bu hastaların geldiği popülasyon için %90 güven aralığını
hesaplayınız.
S-28) Normal değerin 205 olduğu bilinen bir enzimin belli bir tip diyet sonucunda değişip
değişmediğini merak eden bir diyetisyen diyeti uygulayan 10 kişide aşağıdaki değerleri ölçmüştür.
239,176, 235, 217, 234, 216, 318, 190, 181,225, =0.05 için test ediniz ve yorumlayınız.
S-29) Bir depodaki piller arasından seçilen 25 pilin voltajının standart sapması 0.5 volt olarak
bulunmuştur. Böyle pillerin voltajının varyansları için %90,%95 ve %99 luk güven aralıkları
bulunuz.
S-30) 𝜇 ortalamalı 𝜎 2 = 10 varyanslı normal dağılıma sahip bir kitleden 𝑛 = 5 birimlik bir
örneklem seçilmiştir(1, 1, 0.7, 2.3, 1.7, 1). 𝜇 için %99 luk güven aralığı belirleyiniz.
S-31) Belli bir mahalledeki erkeklerin boylarının normal dağılıma sahip olduğu kabul ediliyor.
𝑛 = 20 olan bir örneklemin boy ortalaması𝑥̅ = 167 ve standart sapması 6 bulunuyor.
Kitlenin boy ortalaması için %95 lik güven aralığı hesaplayınız.
S-32) Futbol hakemleri tarafından kuralların yeniden yorumlanması sonucunda maç başına
düşen sarı kart sayısında bir artış olması bekleniyor. Şimdiye kadar maç başına düşen
ortalama sarı kart sayısı 4, standart sapması da 0,5 olsun. 121 maçlık bir örneklemden elde
edilen verilere göre maç başına ortalama 4,7 sarı kart çıktığı hesaplanmıştır. %5’lik anlamlılık
seviyesinde, gerçekten sarı kartlarda artış olmuş mudur?
S-33) iki ilacın karşılaştırıldığını kabul edelim. A ilacını kullanan 200 kişiden 70’inde ilaç ters
etki yapmıştır. B ilacını kullanan 50 kişiden 10’unda ters tepki görülmüştür. İki ilacın
etkilerindeki fark için %95’lik güven aralığını hesaplayınız.
S-34) Spor malzemeleri üreten bir firma, ürettiği olta iplerinin dayanma mukavemeti
ortalamasının 15 𝑘𝑔/𝑚𝑚2, standart sapmasının 0.5𝑘𝑔/𝑚𝑚2 olduğunu açıklamıştır.
Firmanın bu iddiasını test etmek isteyen bir tüketici örgütü firmanın üretiminden rastgele 50
olta ipi almış ve ortalamasını 14.8𝑘𝑔/𝑚𝑚2 olarak belirlemiştir. %1 hata seviyesinde olta
İpleri mukavemetinin 15kg/mm2’ye eşit olup olmadığını test ediniz.
S-35) Bir belediyenin sular idaresi 50.000 abonesinin ortalama aylık su tüketim miktarını
tahmin etmek istiyor. Bu amaçla araştırmacı rastgele olarak n = 100 abonelik örneklem
oluşturuyor ve bu abonelerin ortalama aylık su tüketim miktarının 35 𝑚3 ., standart
4
sapmasının da 5 𝑚3 . olduğunu hesaplıyor. İstenen tahmini nokta tahmini olarak yapınız. Bu
tahmini yaparken işlediğiniz hatanın büyüklüğünü hesaplayınız.
S-36) Bir bölgedeki sigara içen insanların arasında kanser hastası olanların oranının
belirlenmesi amaçlanmaktadır. Bu amaçla rasgele seçimle 1500 kişilik bir örneklem
oluşturuluyor ve 1500 kişinin içinde 375 kişinin kanser hastası olduğu belirleniyor. Bu
bölgedeki sigara içen insanların içindeki kanserli hasta oranını 1- α = 0.95 güven düzeyinde
tahmin ediniz.
S-37) İki farklı un fabrikasında paketlenen standart 1 kg’lık un paketleri test edilmiş ve birinci
fabrikadan alınan 100 paketin ortalaması 1.03 kg, standart sapması 0.04kg; ikinci fabrikadan
alınan 120 paketin ortalaması 0.99 kg, standart sapması 0.05 kg bulunmuştur. Anakütle
standart sapmaları bilinmediği için örnek standart sapmalarından hareketle ortalamalar arası
farkın standart hatası,
S-38) Bir fabrikada üretilen 100 mamulün ortalama ağırlığı 1040 gr standart sapması 25 gr
bulunmuştur. Bu imalat prosesinde üretilen mamullerin ortalama ağırlığı %95 güvenle hangi
aralıktadır?
S-39) n = 25 hacimli bir şans örneğinin ortalaması 𝑋̅ = 50 dir. Populasyonun standart
sapmasının 𝜎𝑋 = 10 olduğu bilindiğine göre 𝜇𝑋 için 95% ‘lik güven aralığını oluşturunuz.
S-40) 400 lise öğrencisinden oluşan bir örnekte 32 öğrenci üniversite sınavını kazanmıştır.
Üniversite öğrencilerinin sınavı kazanma oranı için %95’lik güven aralığını bulunuz.
S-41) Bir yabancı dil kursunun A sınıfında bilgisayar destekli ve B sınıfında klasik yöntemlerle
eğitim verilmektedir. Kursun başlangıcından 6 hafta sonra her iki sınıfa da aynı test
uygulanarak sonuçlar karşılaştırılmıştır. A sınıfından rasgele olarak seçilen 40 öğrencinin test
sonucunda elde ettiği ortalama başarı notu 86 ve standart sapması 12, B sınıfından rasgele
olarak seçilen 35 öğrencinin ortalama başarı notu 72 ve standart sapması 14’tür. Her iki
sınıftaki öğrencilerin ortalama başarı notları arasındaki farkın güven aralığını %99 olasılıkla
belirleyiniz.
S-42) İki farklı ilacın bir hastalığı tedavi etme oranlarının farklı olup olmadığı kontrol edilmek
istenmektedir. Bu amaçla 1000’er adet hasta üzerinde A ve B ilaçları denensin. Tedavi
sonunda A ve B ilaçlarının uygulandığı hastaların sırasıyla 825 ve 760’ının iyileştiği
gözlendiğine göre ilaçların hastalığı tedavi etme oranlarının farkının %95’lik güven aralığını
bulunuz.
S-43) Bir makinada, bir hafta içerisinde yapılan 200 bilyeli yatağın çapları ölçülmüş ve
ortalama 2.09 cm, standart sapma ise 0.11 cm bulunmuştur. Bütün bilyeli yatakların
çaplarına ait standart sapmanın güven sınırlarını bulunuz.
5
S-44) Bir sanayii kuruluşunda çalışanların gündelikleri μ=800.000TL ortalama ve σ=90.000TL
standart sapmalıdır. Rasgele seçilen 81 işçinin gündeliklerinin ortalamasının 810.000 TL ve
825.000 TL arasında bulunma olasılığı nedir?
S-45) Rasgele seçilen 100 öğrenciden 40 tanesinin sigara içtiği gözlenmiştir. Sigara içenlerin kitledeki
oranı p için 1    %95 güven katsayılı bir güven aralığı bulunuz.
S-46) Türkiye’nin 81 ili içinden rastgele seçilen 12 il için devletin yaptığı kişi başına düşen sağlık
harcaması aşağıdaki gibi belirlenmiştir.
Bursa
3259
Eskişehir
3133
Adana
3465
Konya
2963
Malatya
3295
İzmir
4410
Manisa
6540
İstanbul
5460
Yalova
4396
Muğla
4320
Maraş
5490
Ağrı
2700
a. Gerçek ortalama için yansız nokta tahmini nedir?
b. Örnek ortalamasının standart hatasını tahmin ediniz.
c. %95 güven seviyesinde gerçek ortalama için güven aralığı kurarak, ortalama harcamanın
üst sınırını belirtiniz.
d. %95 güven seviyesinde gerçek varyans ve standart sapma için güven aralığının sınırlarını
hesaplayınız.
S-47) Bir araştırma raporu, dakikada solunan oksijen miktarının kalp krizi üzerine etkisini araştıran bir
rapor yayınlamış ve rastgele seçilen 12 kişinin soluduğu oksijen miktarını aşağıdaki gibi belirlemiştir.
9.7, 21.0, 14.3, 15.2, 12.8, 8.6, 10.9, 8.3, 19.1, 7.0, 19.5, 12.5
6
a. Tüm yığın için oksijen miktarının aritmetik ortalaması için nokta tahmini nedir?
b. Örnek ortalamasının standart hatasının tahmini kaçtır?
c. 0.99 güven seviyesinde gerçek ortalama için bulunacak güven sınırları nedir?
d. Güven seviyesi 0.95 için güven aralığı boyu ve tahminin maksimum hatası ne olur?
e. %90 güven seviyesinde yığın standart sapmasının güven sınırlarını hesaplayınız.
S-48) Bir endüstri mühendisi üretilen bataryaların ortalama ömrünü tahmin etmek istemektedir.
Üretimden rastgele aldığı 50 batarya için ortalama ömür, 262 saat, standart sapma 15.2 saat
hesaplanmıştır.
a. Tüm üretim için ortalama ömüre ilişkin % 99 güven seviyesinde alt/üst sınırları tahmin
ediniz.
b. Tahminin maksimum hatası ne olur?
S-49) Bir toplulukta evlilik oranı % 40 olarak verilmektedir. Topluluktan rastgele oluşturulacak 50
kişilik bir örnekte evli olma oranının hangi sınırlar içinde kalma olasılığı 0.954 olur. ( Chebysev
teoremini kullanınız. )
S-50) Geçmiş çalışmalara göre kalabalık bir grubun başarı ortalaması 75 puan olarak kayıtlıdır. Bir
eğitimci gruptan rastgele belirlediği 20 öğrenci için başarı puanlarını aşağıdaki gibi belirlemiştir.
80 68 72 73 76 81 71 71 65 50
63 71 70 70 76 75 69 70 72 74
Yukardaki örnek değerlerini kullanarak 0.01 anlamlılık düzeyinde anılan ortalamanın geçerliliği
konusunda ne söyleyebilirsiniz?
S-51) BM örgütü tarafından yaptırılan bir araştırmaya göre yeni keşfedilen bir adada yaşayan bir
kabileden alınan 116 kişi içinde 74 kişinin A grubu kan taşıdığı belirlenmiştir.
a. Tüm ada halkı için A gurubu kan taşıyan kişi oranının yansız nokta tahmini nedir ? Neden ?
b. Anılan orana ilişkin standart hata tahmini kaçtır.?
c. %90 güven seviyesinde tüm ada için A gurubuna sahip kişi oranı için güven aralığı kurunuz.
d. Tahminin maksimum hatasını yarıya indirmek için, aynı güven seviyesi için alınması gerekli
minimum örnek hacmi ne olmalıdır.?
S-52) İki farklı paketleme makinesinde yapılan tartım işleminin varyanslarının farkı için (varyans
oranları) bir araştırma yapılıyor. Bu makinelerde 1000 gr. lık paketleme işlemi yapılmaktadır. 1.
makinenin tarttığı 12 paket rasgele olarak alınıp tartılıyor ve varyansının 𝑠12 = 16, 2. makinenin
7
tarttığı 10 paket rassal olarak seçilip tartılıyor varyansının 𝑠22 = 36 olduğu görülüyor. Varyans
oranlarının %95 güven aralığını oluşturarak sonucu yorumlayınız.
𝑋
S-53) Binom dağılımı için 𝑛’nin 𝑝’nin yansız tahmin edicisi olduğunu ve
𝑋2
’nin
𝑛2
𝑝2 ’nin yanlı (yansız
olmayan) tahmin edicisi olduğunu gösteriniz.
S-54) Belli bir tür pil için dayanma süresinin 𝑁(𝜇 = 30(𝑠𝑎𝑎𝑡), 𝜎 2 = 15 dağılımına sahip
olduğu bilinmektedir. Rasgele seçilen bir pilin dayanma süresinin 40 saatten çok olması
olasılığı nedir?
S-55) Bir işletmede üretilen vidaların çaplarının uzunluğunun ortalaması, 10 𝑚𝑚 ve standart
sapması 2 𝑚𝑚 normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir.Buna göre rastgele seçilen bir
vidanın uzunluğunun 8.8 𝑚𝑚’den az olması olasılığını hesaplayınız.
S-56) Standart normal dağılım verildiğinde
a) 𝑃(𝑍 ≥ 1.85)
b) 𝑃(0.55 ≤ 𝑍 ≤ 2.17)
c) 𝑃(−1.95 ≤ 𝑍 ≤ −1.08)
olasılıklarını hesaplayınız.
S-57) Bir firma cam kavanozlar için teneke kapaklar imal etmektedir. Çaplarının ortalaması
10 cm ve standart sapması 0.01cm olan bu kapakların normal dağıldığı kabul ediliyor. Bu
kapaklar içerisinden seçilen bir kapağın çapının 10.03 ve 10.29 cm arasında olma olasılığı
kaçtır?
8
9
10
11
Yrd.Doç.Dr. Mehmet MERDAN
Matematik Mühendisliği Bölümü
12