"ekstrem" 11.sınıf geometri konu anlatımlı soru bankası

Transkript

Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulu Bakanlığı'nın 30.12.2010
tarih ve 330 sayılı kararı ile kabul edilen ve 2011–2012 Öğretim Yılından
itibaren uygulanacak program göz önüne alınarak hazırlanmıştır.
Bu kitab›n her hakk› sakl›d›r ve Ekstrem Yay›nc›l›k’a aittir. Kitaba ait metin
ve sorular, kaynak gösterilerek de olsa kullan›lamaz. Kitab›n haz›rlan›fl
yöntemi taklit edilemez.
ISBN: 978 – 605 – 4169 – 92 – 4
‹steme Adresi
Ekstrem Yayıncılık
Tlf: (0322) 235 64 65
Belgeç : (0322) 232 86 27
www.ekstrem.com.tr
Katk›lar›ndan dolay›
TMOZ
(Türkiye Matematik Ö€retmenleri Zümresi)
ö€retmenlerine teflekkür ederiz.
Grafik Tasar›m – Dizgi
Ekstrem Yay›nc›l›k
BASKI
Özkan Matbaac›l›k Gazetecilik San. ve Tic. Ltd. fiti.
Güleryüz Sanayi Sitesi 30. Cad. 538 Sk. No: 60-62-64
‹vedik / ANKARA
Tel: (312) 395 48 91 - 92
‹yi bir bafllang›ç yar› yar›ya baflar› demektir.
Andre Gide
ÖN SÖZ
Sevgili Öğrenciler,
Üniversite sınavlarında başarılı olmak, dilediğiniz fakülteyi kazanmak; bilinçli hazırlanmanıza, düzenli bir çalışma programı uygulamanıza, iyi bir yayın seçmenize ve bu yayınlar ışığında derste
öğretmeninizi iyi dinlemenize bağlıdır.
2009 – 2010 eğitim - öğretim yılından itibaren uygulanmaya başlanan YGS ve LYS ile üniversite
sınavını kazanmak, istenilen bir bölüme girmek oldukça zorlaştı. "Kaliteli eğitim, kaliteli doküman"
felsefesiyle yola çıkan "Ekstrem Yayınları" tüm branşlardaki kitaplarında hücreleme sistemi ile konu
alt başlıklarında fazla sayıda yer vererek öğrencinin konuyu kavramasını kolaylaştıracak nitelikte yayınlar hazırladı. Elinizdeki "11. Sınıf Geometri" konu anlat›ml› kitab›m›z 11. sınıfları kapsayacak şekilde haz›rlanm›flt›r.
Bu kitapta konular› görsel olarak kavrayabilmeniz için fazla say›da çözümlü örnek ve etkinliklere
yer verilmiştir. Piyasadaki di€er kitaplardan bu yönüyle farkl›l›k arz eden konu anlat›ml› kitab›m›zla
geometri sizler için s›k›c› nitelik tafl›yan zor bir ders olmaktan ç›kacakt›r.
Geometri konu anlat›ml› kitab›m›z›n başarılarınıza katkısının büyük olacağı kanaatiyle tüm üniversite adaylarına YGS ve LYS'de başarılar diliyorum. Katk›lar›ndan dolay› değerli üstadım Murat
Çelikkaya ve zümre öğretmenlerim; Zeynep Çiğdem Bal, Demet Peçetek, Selin Korkmazlar, Gökhan Y›lmaz, öğrencilerim; Hasan Demir, Beyza Erdem, Ekstrem Yay›nlar› dizgi biriminden Birgül
Arslantafl ve vaktinden çald›€›m eflim Fatma ‹flbilir'e teflekkür ediyorum.
Geometrinin Keflif Dolu Dünyas›nda Keyif Dolu Bir Gezinti Diliyorum.
Celal ‹fiB‹L‹R
[email protected]
‹Ç‹NDEK‹LER
1. BÖLÜM : DÖRTGENLER
................................................................................................
5 - 36
Dörtgenin Temel Elemanlar›
Bir Dörtgenin Orta Taban›
D›fl Bükey Dörtgen, ‹ç Bükey Dörtgen
Dörtgensel Bölgenin Alan Hesab›
Bir Dörtgensel Bölgenin Alan›n›n Vektörel ‹fadesi
PICK Teoremi
2. BÖLÜM : ÖZEL DÖRTGENLER
......................................................................................
37 - 144
Yamuk
Paralelkenar
Dikdörtgen
Eflkenar Dörtgen
Kare
Deltoid
3. BÖLÜM : ÇOKGENLER
..................................................................................................
145 - 168
Düzgün Beflgen
Düzgün Alt›gen
4. BÖLÜM : ÇEMBER
.........................................................................................................
169 - 272
Çemberin Temel Elemanlar›
Çemberin Vektörel Denklemi
Çemberin Genel Denklemi
Çemberin Parametrik Denklemi
Bir Çember ‹le Do€runun Birbirine Göre Durumlar›
Çemberde Aç›
Denklemi Verilen ‹ki Çemberin Birbirine Göre Konumlar›
Çemberde Kirifl ve Kesenler ‹le ‹lgili Özellikler
Bir Çemberin Kuvvet Fonksiyonu
Kuvvet Ekseni
Te€etler Dörtgeni
Batlamyüs Teoremi
Çemberin Çevre Uzunlu€u ve Dairenin Alan Ba€›nt›lar›
5. BÖLÜM : KON‹KLER
.......................................................................................................
273 - 332
Bir Koni€in Denklemi
Koni€in Ekseni ve Tepe Noktalar›
Koniklerin S›n›fland›r›lmas›
Elips
Elipsin Eksen Uzunluklar›
Elipsin Parametrik Denklemi
Merkezcil Olmayan Elipsler
Hiperbol
Hiperbolün Eksen Uzunluklar›
Hiperbolün D›fl Merkezli€i ve Do€rultmanlar›
Hiperbolün Asimptotlar›
Parabol
Parabolün Do€rultman› ve Denklemi
6. ETK‹NL‹KLER‹N CEVAP ANAHTARLARI :.....................................................
333 - 336
DÖRTGENLER
ÜN‹TE – 1
ü
Dörtgenin Temel Elemanlar›
ü
ü
D›fl Bükey Dörtgen, ‹ç Bükey Dörtgen
ü
Dörtgensel Bölgenin Alan Hesab›
ü
Bir Dörtgensel Bölgenin Alan›n›n Vektörel ‹fadesi
ü
PICK Teoremi
Bilinmeyeni simgelemek için kullan›lan x harfi nereden geliyor?
Bu harfin kökeni arapça "fley" kelimesine dayan›yor. Daha sonra
‹spanyolcaya çevrilen cebir kaynaklar›nda xey olarak gözüken ifade x
olarak k›salt›ld› ve cebirin bilinmeyeni simgelemede kullan›lan en popüler harf haline geldi.
DÖRTGENLER
Tan›m : Herhangi üçü do€rusal olmayan dört
noktay› birlefltiren, dört do€ru parças› ile oluflturulan
kapal› flekillere dörtgen denir.
ÖRNEK – 1
y
D
D
C
A(1, 5)
B(–2, 3)
B
A
C
B
x
O
A
D(7, –3)
[AB] ∪ [BC] ∪ [CD] ∪ [DA] = ABCD dörtgeni
C(–4, –3)
Yukar›da köflelerinin koordinatlar› verilen
ABCD dörtgeninin orta taban uzunluklar›n›n toplam›n› bulal›m.
Dörtgenin Temel ve Yardımcı Elemanlar›
Bir dörtgenin temel elemanlar› aç›lar, köfleler ve
kenarlard›r.
D
iç
aç›
A
d›fl
aç›
ÇÖZÜM
C
B
-:
[AB] n›n orta noktas› E d
–2 + 1 3 + 5
1
,
n = d– , 4n
2
2
2
[BC] n›n orta noktas› F d
–2 – 4 3 – 3
,
n = (–3, 0)
2
2
Dörtgenin yardımcı elemanları köşegen ve orta
tabandır.
[CD] n›n orta noktas› K d
Bir dörtgenin komflu olmayan iki kenar›n›n orta noktalar›n› birlefltiren do€ru parças›na orta taban denir.
C
D
[AD] n›n orta noktas› L d
F
EK =
E
B
A
A
A
7+1 5–3
,
n = (4, 1)
2
2
C
E
D
–4 + 7 –3 – 3
3
,
n = d , –3 n
2
2
2
F
FL =
B
E
d–
1 3 2
– n + (4 + 3) 2 & EK = 53 br
2 2
(–3 – 4) 2 + (0 – 1) 2 & FL = 5 2 br dir.
Dolay›s›yla sonuç, ( 53 + 5 2) birim dir.
D
F
B
C
[EF] orta taban
7
11.S›n›f Geometri Konu Anlatımlı Soru Bankası
DÖRTGENLER
D›flbükey Dörtgen
ÖRNEK – 2
B(–3, 7)
Tüm iç aç›lar›nın ölçüleri 180° den küçük olan
dörtgene d›flbükey dörtgen denir.
y
A(5, 2)
x
O
D(3, –2)
C(–5, –3)
Yukar›da köflelerinin koordinatlar› verilen
ABCD dörtgeninin orta tabanlar›n›n kesim noktas›n›n koordinatlar›n› bulal›m.
ÇÖZÜM
‹çbükey Dörtgen
Herhangi bir iç aç›s›n›n ölçüsü 180° den büyük
olan dörtgene iç bükey dörtgen denir.
-:
Bir dörtgende orta tabanların kesim noktası, bir
orta tabanın orta noktasıdır.
O halde,
[AB] n›n orta noktas› E d
[CD] n›n orta noktas› F d
–3 + 5 7 + 2
9
,
n = d 1, n
2
2
2
–5 + 3 –3 – 2
5
,
n = d –1, – n
2
2
2
J
9 5 N
– O
K
K 1– 1 2 2 O
[EF] n›n orta noktas› K K
,
O
2 P
L 2
NOT :
Böylece, K _ 0, 1i bulunur.
Dörtgen denilince d›flbükey oldu€u anlafl›lacakt›r.
HATIRLATMA
Bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360°,
dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.
A
›
ABCD dörtgeninde
B
›
D
x›
8
x
x + α + β + θ = 360°
xı + αı + βı + θı = 360° dir.
αı + θı = x + β
›
C
βı + xı = α + θ
DÖRTGENLER
UYARI
Teorem :
Verilen teorem aşağıdaki şekildede ifade edilebilir.
Bir ABCD dörtgeninde komşu iki açının açıortay
doğrularının kesişmesi ile oluşan açının ölçüsü diğer
iki açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir.
C
D
/
/
a=
C
m ( D) + m (C)
2
D
dir.
E
E
B
A
B
/
o
a = 180 –
A
/
m (D) + m (A)
2
Yukar›daki teoremi paragraf ispat biçimini kullanarak ispatlayal›m.
‹spat :
C
ÖRNEK – 1
D
E
y
y
C
B
ABCD dörtgen
x x
[CE] aç›ortay
[DE] aç›ortay
D
A
m(DAE) = x ve m(CBE) = y diyelim.
80º
E
EAB üçgeninde,
124º
x + y + α = 180°. . . À
A
m(DAB) = 124°
B
m(ABC) = 80°
Buna göre, DEC aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
ABCD dörtgeninde,
/
/
2x + 2y + m (D) + m (C) = 360°. . . Á
ÇÖZÜM
À. denklemde α = 180° – x – y yazılabilir.
Bu ifade Á. denklemde yerine yazılırsa,
a=
/
m(DEC) =
/
/
m ( D) + m (C)
2
-:
=
bulunur.
/
m (A) + m ( B)
2
124 o + 80 o
2
= 102° bulunur.
9
olup,
DÖRTGENLER
Teorem :
ÖRNEK – 2
C
Bir ABCD dörtgeninde karşılıklı iki iç açının açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü diğer iki açının
ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir.
ABCD dörtgen
[DE] aç›ortay
D
[AE] aç›ortay
E
[CF] aç›ortay
F
D
[BF] aç›ortay
B
ABCD dörtgen
[CE] açıortay
[AE] açıortay
A
E
A
/
Buna göre, m(DEA) + m(CFB) toplam›n› bulal›m.
ÇÖZÜM
a=
C
/
m (B) – m (D)
2
dir.
B
-:
/
m(DEA) =
2
/
m(CFB) =
/
m ( C) + m (B)
/
m (A ) + m ( D )
2
‹spat :
eflitlikleri taraf tarafa toplan›rsa,
/
m(DEA) + m(CFB) =
/
/
/
m (A) + m (B) + m (C) + m (D)
D
2
360 o
=
= 180° bulunur.
2
x
x
A
E
180º–
SONUÇ :
C
y
y
B
+ = 180º
D
ABCD dörtgeninde,
/
/
2x + 2y + m ( B) + m ( D) = 360°. . . À
B
A
ABCE dörtgeninde,
/
x + y + m ( B) + 180° – α = 360°. . . Á
C
+ = 180º
D
olup, À. ve Á. denklemlerden
B
/
a=
A
10
/
m ( B) – m ( D )
2
bulunur.
C
DÖRTGENLER
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 1
-:
D
C
ABCD dörtgen
[CF] aç›ortay
E
70º
B
A
[AE] aç›ortay
70º
15º
E
C
K 100º
m(ADC) = 108°
F
D
T
108º
B
m(CBA) = 70°
ABCD dörtgeninde karfl›l›kl› D ve B köflelerinin iç
aç›ortaylar› çizilirse,
A
m(DKT) =
Buna göre, AEC aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
100 o – 70 o
= 15 o bulunur.
2
Böylece, m(DKB) = 165° olup,
m(KDE) = m(KBE) = 90° oldu€undan,
ÇÖZÜM
-
:
m(AEF) =
BEDK dörtgeninde iç aç›lar toplam›ndan,
m(BED) = 15° bulunur.
108 o – 70 o
eflitli€inden
2
m(AEF) = 19° olup
DİKKAT ! :
C
Böylece,
/
m(AEC) = 180° – 19° = 161° bulunur.
a=
D
/
m (D) – m ( B)
2
B
A
ÖRNEK – 2
C
D
A
70º
100º
C
E
B
D
E
/
A
a=
/
m (B) – m ( D)
2
B
ARASTIRMA
ABCD dörtgen, [DE] aç›ortay, [BE] aç›ortay
m(DCB) = 100° ve m(DAB) = 70°
D›flbükey dörtgenlerde kullan›lan teoremlerin iç bükey dörtgenlerde de kullan›l›p kullan›lmayaca€›n› arkadafllar›n›zla tart›fl›p, ö€retmeninizle de€erlendirin.
Buna göre, BED aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
11
DÖRTGENLER
Teorem :
Teorem :
A
C
ABC üçgen
[AH] ⊥ [BC]
d
b
ABCD dörtgen
[AC] ⊥ [BD]
c
b
a2 + b2 = c2 + d2
E
B
a
c
H
a2 + c2 = b2 + d2 dir.
D
C
B
d
a
Yukar›daki teoremi pisagor teoremini kullanarak
ispatlayal›m.
A
Yukar›daki teoremi pisagor teoremini kullanarak
ispatlayal›m.
‹spat :
‹spat :
C
A
D
c
d
D
a
B
H
c
C
ABH nde
|AH|2 + a2 = d2
AHC nde
|AH|
+
+
x
E
c2
=
y
d
y
B
A
d2 + y2 = x2 + a2
x2 + b2 = y2 + c2
b2
a2 + b2 = c2 + d2
E
a
x2 + b2 = y2 + c2
Pisagor teoremi ile,
2
b
b
x
+ d2 + y2 = x2 + a2
b2 + d2 = a2 + c2
elde edilir.
bulunur.
Bu teoremi "Birbirine en uzak parçaların uzunluklar›n›n kareleri toplamı eşittir." şeklinde aklımızda
tutabiliriz.
Yukar›daki teoremi : "Birbirine en uzak parçaların
uzunluklar›n›n kareleri toplamı eşittir." şeklinde
aklımızda tutabiliriz.
ÿ
Şimdi bu özelliği köşegenleri dik kesişen dörtgenlere (dikgen dörtgen) uygulayalım.
12
B
DÖRTGENLER
UYARI
ÖRNEK – 1
Aşağıdaki formüllerin birbirinden elde edildiklerini
anlamaya çalışınız.
A
ABC üçgen
[AH] ⊥ [BC]
d
d
x
b
D
b
5
4
a
a
c
B
c
a2 + b2 = c2 + d2
|AC| = 6 birim
|CD| = 5 birim
|DB| = 4 birim
6
a2 + b2 = c2 + d2
H
C
Buna göre, |AB| = x uzunluğunu bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
DBC nin [BC] na göre yatay yansıması alınırsa,
d
b
d
c
a
a
a2 + b2 = c2 + d2
b
A
c
ABDıC dörtgeninde,
x2 + 52 = 62 + 42
x2 + 25 = 52
a2 + b2 = c2 + d2
6
x
x2 = 27
x = 3 3 birim
e
d
c D
F
c
f
a
Cebreyleme cebr ile ilim köprüsünden geçemezsin, cebirsiz bir bakışla koca taşı bile seçemezsin.
İhsan IRK
e
F
P
d
a
R
a
b
c
Q
f
c
PQ // RT
a2 + b2 = c2 + d2
5
D›
a2 + b2 = c2 + d2
b
d
C
4
d
a
b
a2 + c2 + e2 = b2 + d2 + f2
H
B
E b
bulunur.
T
ÖRNEK – 2
a2 + b2 + c2 + d2 = e2 + f2
A
ABC dik üçgen
[AE] ∩ [CD] = {F}
d
c
c
a
b
a2 + d2 = c2 + (a + b)2
c
a
a
d
|AC| = 10 birim
|DE| = 4 birim
10
D
F
4
b
B
a2 + d2 = c2 + (a + b)2
E
C
Buna göre, |AE|2 + |CD|2 toplamını bulal›m.
13
DÖRTGENLER
ÇÖZÜM
-:
ÖRNEK – 3
A
Analitik düzlemde l1 ve
rulmuş ABCD dörtgeninde,
10
D
y
1
4
E›
l2 doğruları üzerine ku-
B
E
D
6
C
|AD| = 3 birim
|AB| = 7 birim
|DC| = 5 birim
C
5
3
ABE nin [AB] na göre dikey yansımasını çizelim.
A
2
A
7
B
12
–1
D
x
O
10
2
4
E›
B
Buna göre, |BC| uzunluğunu bulal›m.
C
Şimdide DEıC üçgenin [EıC] na göre yatay yansımasını çizelim.
A
D
E›
ÇÖZÜM
l1 doğrusu eksenleri (–1, 0) ve (0, 2) noktalarında
kestiğinden eğimi m = 2
10
l1
l2 doğrusu eksenleri (12, 0) ve (0, 6) noktalarında
C
B
-:
kestiğinden eğimi m
l2 =
4
–
1
bulunur.
2
D›
Dolayısıyla m . m = –1 olduğundan doğrular
l1 l2
dik kesişmektedir.
Yansıma dönüflümü uzunlukları koruduğundan,
|E›D| = |E›D›|, |CD| = |CDı | olur.
O halde ABCD dörtgeni köşegenleri dik kesişen
bir dörtgendir.
A
10
C
5
D
E›
B
C
3
4
A
D›
7
B
Son durumda köşegenleri dik kesişen bir dörtgen
elde edilir.
Böylece, "Birbirine en uzak parçaların uzunluklar›n›n
kareleri toplamı eşit olduğundan"
Böylece, "Birbirine en uzak parçaların uzunluklar›n›n kareleri toplamı eşit olduğundan"
32 + |BC|2 = 52 + 72 eşitliği ile
|AE|2 + |DC|2 = 42 + 102
|BC| =
= 116 br2 bulunur.
14
65 birim bulunur.
DÖRTGENLER
c) 10. sınıftan A =
lım.
ÖRNEK – 4
1 A, A 2 olduğunu hatırlaya-
y
C
Köşe noktalarının koordinatları,
B
ü
A(4, 1)
ü
B(12, 9)
ü
C(5, 12)
ü
D(1, 5)
olduğundan,
D
ABCD dörtgeninin çevre uzunlu€u :
Ç(ABCD) = |AB| + |BC| + |CD| + |DA| olup,
A
x
O
|AB| =
AB =
1 AB, AB 2
Yukar›da köşe koordinatlar› verilen dörtgen için,
|BC| =
BC =
1 BC, BC 2
a) Dörtgenin özellikleri için ne söyleyebiliriz.
|CD| =
CD =
1 CD, CD 2
b) Kenarlara ait herbir doğru parçasının eğimini bulalım.
|DA| =
DA =
1 DA, DA 2
c) Dörtgensel bölgenin çevresini bulalım.
AB = B – A = (8, 8)
& AB = 64 + 64 = 8 2 birim
BC = C – B = (–7, 3) & BC = 49 + 9 = 58 birim
ÇÖZÜM
-:
CD = D – C = (–4, –7) & CD = 16 + 49 = 65 birim
a) Dörtgeninin herbir iç açıs› 180° den küçük olduğu
için dışbükey dörtgendir.
DA = A – D = (3, –4) & DA = 9 + 16 = 5 birim
b) Köşe noktalarının koordinatları,
ü
A(4, 1)
O halde,
ü
B(12, 9)
Ç(ABCD) = 8 2 + 58 + 65 + 5 birim bulunur.
ü
C(5, 12)
ü
D(1, 5)
olduğundan,
[AB] nın eğimi mAB =
9–1
=1
12 – 4
[BC] nın eğimi mBC =
12 – 9
3
=–
7
5 – 12
[CD] nın eğimi mCD =
5 – 12
7
=
1– 5
4
[AD] nın eğimi mAD =
5–1
4
=–
1– 4
3
ARASTIRMA
Açıları birbirinden ve 90° den farklı olan
bir dörtgenin kenarlarına ait herbir doğru parçasının eğimleri çarpımı her zaman pozitif bir reel sayıya eşit midir acaba?
Arkadaşlarınızla tartışıp öğretmeninizle karara
bağlayınız.
15
DÖRTGENLER
ÖRNEK – 5
ÖRNEK – 6
y
y
B
A
A
D
x
O
B
x
O
C
C
D
Yukar›daki koordinatlar› verilen dörtgenin hangi köşesindeki açının ölçüsünün 90° olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
Yukar›daki koordinat sistemindeki dörtgenin
kenar uzunluklar› aras›ndaki ba€›nt›y› bulalım.
-:
ÇÖZÜM
Eğer bir köşedeki açı 90° ise dörtgenin O köşesindeki doğru parçalarının dik olması ve dolayısıylada bu doğru parçalarını taşıyan vektörlerin skaler
çarpımlarının sıfır olması gerekir.
ABCD dörtgeninin köşe koordinatları,
ü
A(2, 6)
ü
B(–6, 0)
ü
C(3, –4)
ü
D(5, 2) olup,
ü
A(2, 3)
ü
B(–5, 6)
ü
C(–6, –5)
ü
D(8, –7)
olup, AC ve BD köflegen vektörlerini bulal›m.
_
b
b
` bulunur.
b
BD = D – B = (13, –13) b
a
AC = C – A = (–8, –8)
_
b
AB = B – A = (–8, –6) b
b
b
BC = C – B = (9, –4) b
b
` bulunur.
b
CD = D – C = (2, 6)
b
b
b
DA = A – D = (–3, 4) b
b
a
Böylece, AC ve BD köflegen vektörleri aras›ndaki aç›y› bulal›m.
1 AC, BD 2= –8 . 13 + (–8) . (–13)
=0
olduğundan, AC = BD olur.
1 AB, DA 2= (–3) . (–8) + 4 . (–6)
= 24 – 24
O halde ABCD dörtgeni köflegenleri dik kesiflen
dörtgendir.
=0
Böylece, "Birbirine en uzak parçaların uzunluklar›n›n kareleri toplamı eşit olduğundan"
olduğundan, AB = DA olur.
Böylece dörtgenin A köşesindeki açının ölçüsü
90° dir.
|AB|2 + |CD|2 = |AD|2 + |BC|2 ba€›nt›s› vard›r.
16
-:
DÖRTGENLER
Afla€›da flekiller alt›nda istenen ölçümleri bulunuz.
Etkinlik Zaman› – 1
1.
4.
C
E
C
D
140º
100º
E
D
120º
B
A
10º
E
A
B
m(BAD) = ....................
m(ADC) = ....................
2.
5.
m(ABC) < 90º
D
y = 2x + 3
A
E
º
20
F
C
120º
E
A
D
20º
B
y = –3x + 9
C
B
m(DAB) = ....................
m(AEC) = ....................
3.
6.
2x + 3y – 7 = 0
3x – 2y + 5 = 0
E
D
A
120º
E
D
140º
A
C
B
F
C
160º
B
m(AEB) = ....................
m(CEF) = ....................
17
DÖRTGENLER
1.
4.
2
D
1
C
8
1
K
7
A
AB = 19 br
2 = {K}
DE = 4 br
19
9
BE = 16 br
E
4
A
y = –x + m
B
B y=x+n
AB =...........................
D
C
AD =...........................
2.
5.
[BE]
A
[CF] = {H}
A
AC = 10 br
BH = 6 br
F
HC = 4 br
E
H
D
[DE] // [AC]
AB = 8 br
4
AH = 4 br
H
CH = 6 br
6
6
4
B
C
B
E
AB =...........................
C
BC =...........................
3.
6.
1
A
D
6
D
16
5
13
ax + by + c = 0
E
15
x
B
A
H
B
C
BD =...........................
C
bx – ay + d = 0
DC =...........................
18
15
2
DÖRTGENLER
DÖRTGENSEL BÖLGENİN ALAN HESABI
‹spat 2 :
Teorem :
C
Dışbükey bir dörtgensel bölgenin alanı köşegen
uzunlukları ile köşegenler arasındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşittir.
H
D
C
B
f
B
n
m
›
m . sin e H
ABCD dörtgen
|AC| = e
|BD| = f
e
D
n . sin
E
A(ABCD) =
A
f = m + n diyelim.
1
. e . f . sinα
2
[BH] ⊥ [AC] dikmesi ile BEH üçgeninde,
|BH| = n . sinα
A
ve
[DHı] ⊥ [AC] dikmesi ile DEHı üçgeninde,
|DHı| = m . sinα bulunur. O halde,
‹spat 1 :
C
C
e=p+r
p
E
m
D
n
B
B
E
f = m + n diyelim.
D
r
A
A
C
A(ABCD) = A(ABE) + A(BEC) + A(CED) + A(AED)
=
1
1
1
1
.n.r.sinα+ .p.n.sinα+ .p.m.sinα+ .m.r.sinα
2
2
2
2
n . sin
D m . sin
=
1
1
.r.sinα(m+n)+ .p.sinα(n+m)
2
2
=
1
1
(p+r).(n+m).sinα ⇒ e.f.sinα bulunur.
2
2
C
H›
e
A
H
e
A
A(ABCD) = A(ADC) + A(ABC)
HATIRLATMA
A
c
B
A(ABC) =
b
1
. b . c . sinα
2
m . sina . e n . sina . e
+
2
2
=
1
. e . sina . (m + n)
2
f = m + n oldu€undan,
1
=
. e . f . sina bulunur.
2
C
19
=
B
DÖRTGENLER
ÖRNEK – 3
ÖRNEK – 1
D
C
ABCD dörtgen
C
120º
[AC] köşegen
[AC] köşegen
A
[BD] köşegen
10
[BD] köşegen
|BC| = 10 birim
|BE| = 10 birim
|EC| = 12 birim
|ED| = 4 birim
|EA| = 8 birim
12
|AC| = 12 birim
|BD| = 8 birim
E
ABCD dörtgen
4
D
m(DEA) = 120°
E
B
10
8
B
A
Buna göre, ABCD dörtgensel bölgesinin alanını bulalım.
ÇÖZÜM
-:
A(ABCD) =
=
ÇÖZÜM
1
. |DB| . |AC| . sin120°
2
-:
C
3
1
. 8 . 12 .
2
2
6
10
H
= 24 3 br 2 bulunur.
8
6
D
4
B
10
E
8
ÖRNEK – 2
C
D
4
3
A
ABCD dörtgen
BEC eşkenar üçgen
ABCD dörtgeninde [BH] ⊥ [AC] ile 6 – 8 – 10 dik
üçgeni elde edilir.
8
4
olup,
O halde, sinα =
=
5
10
[AC] köşegen
E
[BD] köşegen
6
A
B
A(ABCD) =
4
1
. 20 . 14 .
= 112 br2 bulunur.
5
2
ÇÖZÜM
-:
Teorem :
C
D
4
3
6
E
60º
60º
4
A
BEC eşkenar üçgen
B
|BE| = 4 birim
|BC| = 4 birim
D
B
ve
m(BEC) = 60°
E
F
olur.
A
3
1
Böylece, A(ABCD) =
. 7 . 10 .
2
2
=
G
H
olduğundan,
4
60º
C
ABCD dörtgen E, F, G, H orta noktalar ise
35 3 2
br bulunur.
2
A(EFGH) =
20
A (ABCD)
2
dir.
DÖRTGENLER
‹spat :
Bu durumda tüm flekiller gözönünde bulundurulursa,
C
C
A
H
G
A
H
G
3A
D
B
B
S+A+B+C
C
D
B
3S
E
F
S
E
A
A
1
olan CHG ve
2
[DB] köşegeni ile benzerlik oran›
F
S
A(ABCD) = 4A + 4S = 4B + 4C
A + S = B + C olur.
CDB üçgenleri elde edilir.
1
O halde, A(CHG) =
olur.
4
A(CDB)
Böylece, A(EFGH) =
A (ABCD)
2
bulunur.
1
Ayn› flekilde, AEF ile ADB benzerlik oran›
olan
2
benzer iki üçgendir.
SONUÇ :
1
O halde, A(AEF) =
olur.
4
A(ADB)
1.
C
S1
H
fiimdi ayn› ifllemleri yanlardan yapal›m.
G
C
D
C
B
3B
3C
S5
E
B
B
F
S3
ABCD dörtgeninde E, F, G, H orta noktalar ise
S1 + S3 = S2 + S4 olup, S5 = S1 + S2 + S3 + S4 ve
A
A(EFGH) =
1
[CA] köşegeni ile benzerlik oran›
olan BGF ve
2
BCA üçgenleri elde edilir.
A (ABCD)
2
dir.
2.
1
olur.
O halde, A(BGF) =
4
A(BCA)
A
E
F
1
Ayn› flekilde, DEH ile DAC benzerlik oran›
olan
2
benzer iki üçgendir.
D
B
1
O halde, A(DEH) =
olur.
4
A(DAC)
G
H
C
ABCD dörtgeninde E, F, G, H orta noktalar ise



A(EFGH) =
21
S2
A
F
E
S4
D
G
H
A (ABCD)
2
dir.
DÖRTGENLER
Bir Dörtgensel Bölgenin Alan›n›n
Vektörel ‹fadesi
ÖRNEK – 1
D
G
ABCD dörtgen
C
Teorem :
E, F, G, H orta noktalar
A(DHG) = 4 br2
H
F
Köflegen vektörleri e ve f olan bir dörtgensel
bölgenin alan›;
A(GFC) = 2 br2
C
A(FEB) = 6 br2
A
B
E
f
D
Buna göre, AEFGH beflgensel bölgesinin alanını bulalım.
ÇÖZÜM
B
e
-:
D
G
4
A
C
2
DB = e, CA = f ise
H
F
e
A(ABCD) =
2
. f
2
– 1 e, f 2 2
2
ile hesaplan›r.
6
A
E
B
E, F , G, H orta noktalar ise,
‹spat :
A(AHE) + A(GCF) = A(FEB) + A(DHG) olup,
e ve f bir dörtgenin köflegen vektörleri ve bu vektörler aras›ndaki aç› α olsun.
A(AHE) + 2 = 6 + 4
A(AHE) = 8 br2 bulunur.
C
A(EFGH) = 8 + 6 + 2 + 4 = 20 br2 olur.
f
Böylece, A(AEFGH) = 28 br2 bulunur.
D
B
e
A
D›flbükey bir dörtgensel bölgenin alan›, köflegen
uzunluklar› ile köflegenler aras›ndaki aç›n›n sinüsünün çarp›m›n›n yar›s›na eflit oldu€undan,
S = A(ABCD) =
e . f . sina
2
dir.
Her iki yan›n karesi al›n›rsa,

(Matematik Dünyas› Dergisi–www.matematikdunyasi.org)
22


DÖRTGENLER
S2 =
S2 =
S2 =
e
2
. f
2
ÖRNEK – 1
. sin 2 a
4
e
2
. f
2
y
C
. (1– cos 2 a)
4
e
2
. f
2
– e
2
. f
2
. cos 2 a
B
4
x
1 e, f 2 = e . f . cosa oldu¤undan,
2
1 e, f 2 2 = e
S2 =
S =
e
2
. f
2
. f
2
O
D
. cos 2 a olup,
– 1 e, f 2 2
A
4
e
2
. f
2
– 1 e, f 2 2
2
Yukar›da köflelerinin koordinatlar› verilen dörtgenin köflegen uzunluklar›n› bulalım.
bulunur.
ÇÖZÜM
-:
NOT :
y
C
Yukardaki teorem konkav bir dörtgen
içinde geçerlidir.
f
e
O
D
SONUÇ :
Bir dörtgensel bölgenin alan›, köflegenleri üzerine kurulan paralelkenarsal bölgenin alan›n›n yar›s›na
eflittir.
A
fiöyleki;
C
f
f
D
E
B
e
B
S
ü
A(1, –5)
ü
B(6, 1)
ü
C(–2, 5)
ü
D(–6, –2) olup,
e = DB = B – D = (12, 3)
e =
f = AC = C – A = (–3, 10)
e
A
f =
A(ABCD) =
S
1
=
. e . f . sina
2
2
bulunur.
23
1 e, e 2 = 144 + 9 = 153 birim
1 f , f 2 = 9 + 100 = 109 birim
x
DÖRTGENLER
HATIRLATMA
ÖRNEK – 2
10. sınıftan A = (a, b) ve B = (c, d) vektörleri üzeriy
C
ne kurulan üçgensel bölgenin alanının,
bc – ad
A(OAB)=
oldu€unu hatırlayalım.
2
D
A = (a, b)
x
O
B
B = (c, d)
O
A
Yukar›da köflelerinin koordinatlar› verilen dörtgensel bölgenin alanını bulalım.
¸
Pratik Bilgi
C
ÇÖZÜM
Köşegen vektörleri,
-:
D
ü
A(–2, – 4)
ü
B(3, –1)
ü
C(3, 5)
ü
D(–5, 3) olup, köşegen vektörleri
e = (a, b)
f
e
B
f = (c, d)
olan ABCD dörtgensel bölgesinin alanı
A
A(ABCD) =
e = AC = C – A = (5, 9)
1
. |bc – ad|
2
ile bulunabilir.
f = BD = D – B = (–8, 4) olur.
ABCD dörtgensel bölgesinin alanı köşegenleri
üzerine kurulan üçgensel bölgenin alanına eşit idi.
ÖRNEK – 3
O halde,
y
C
e = (5, 9)
D
B
x
O
O
f = (–8, 4)
Yukarıdaki taralı alan ABCD dörtgensel bölgesinin alanına eşittir.
Yani, A(ABCD) =
A
1
. | (–8) . 9 – 4 . 5 |
2
Yukar›da köflelerinin koordinatlar› verilen ABCD
dörtgensel bölgesinin alanını bulalım.
= 46 br2 bulunur.
24
DÖRTGENLER
ÇÖZÜM
-:
ÿ
Bir dörtgenin kenar orta noktalarının birleştirilmesi ile elde edilen dörtgen paralelkenardır.
ü
A(1, –4)
ü
B(6, 1)
ü
C(2, 5)
ü
D(–4, 2) olup,
C
G
H
D
B
ABCD dörtgeninin köşegen vektörleri,
F
E
e = AC = C – A = (1, 9)
A
f = BD = D – B = (–10, 1) olup,
A(ABCD) =
1
91 2
. |9(–10) – 1 . 1| =
br bulunur.
2
2
F
ÿ
ÖRNEK – 4
E, F, G, H orta noktalar ise
EFGH paralelkenardır.
Bir dörtgenin kenar orta noktalarının birleştirilmesi ile elde edilen paralelkenarsal bölgenin çevresi
dörtgenin köşegen uzunlukları toplamına eşittir.
y
C
C
G
H
D
x
O
D
B
B
F
E
A
A
F
E, F, G, H orta noktalar ise,
Ç(EFGH) = |AC| + |BD| dir.
Yukar›da köflelerinin koordinatlar› verilen dörtgensel bölgenin alanını bulalım.
ÇÖZÜM
-:
ÖRNEK – 5
ü
A(1, –4)
ü
B(6, –1)
ü
C(2, 4)
ü
D(–4, 1) olup,
D
H
C
ABCD dörtgen
E, F, G, H orta
noktalar
|HG| = 4 birim
|GF| = 3 birim
B
f = BD = D – B = (–10, 2) olup,
1
. |8(–10) – 1 . 2| = 41 br2 bulunur.
2
Buna göre, ABCD dörtgeninin köşegen uzunlukları toplamını bulalım.
25
F
E
e = AC = C – A = (1, 8)
G
3
A
ABCD dörtgeninin köşegen vektörleri,
A(ABCD) =
4
DÖRTGENLER
ÇÖZÜM
-:
ÖRNEK – 7
Ç(EFGH) = |AC| + |BD| olduğundan,
A
ABCD dörtgen
|AC| + |BD| = 2(3 + 4)
[AC] köfleen
9
6
= 14 birim bulunur.
B
[BD] köflegen
D [AC] ∩ [BD] = {F}
F
8
A(ABF) = 6 br2
A(AFD) = 9 br2
A(BFC) = 8 br2
C
ÖRNEK – 6
Buna göre, CDF üçgensel bölgesinin alan›n›
bulalım.
C
ABCD dörtgen
E, F, G, H orta
noktalar
[HK] açıortay
G
3
D
K1
F
|GK| = 3 birim
|KF| = 1 birim
H
AF
FC
AF
ACD nde
Buna göre, ABCD dörtgeninin köşegen uzunlukları toplamını bulalım.
ÇÖZÜM
-:
ABC nde
B
E
A
ÇÖZÜM
Böylece,
-:
FC
6
=
8
=
6
ve
8
9
=
yaz›labilir.
A(FCD)
9
eflitli€inden
A(FCD)
6 . A(FCD) = 8 . 9 ⇒ A(FCD) = 12 br2 bulunur.
E, F , G, H orta noktalar olduğundan,
EKGH bir paralelkenardır.
G
3
K
3
1
F
H
¸
Pratik Bilgi
A
E
[HE] // [GF] olup,
B
m(GKH) = m(KHE) (iç ters açılar) olduğundan,
|HG| = |GK| = 3 birim
S4
E
S1
dir.
S3
D
S4 E
S2
S1
Böylece, ABCD dörtgeninde köşegen uzunluklarının toplamı,
S2
C
S1 . S3 = S2 . S4
Ç(EFGH) = |AC| + |BD| = 14 birim bulunur.
26
S3
S1 . S3 = S2 . S4
DÖRTGENLER
PICK TEOREM‹
ÖRNEK – 2
Birim karelerden oluflan bir düzlem düflünelim.
Bu düzlem üzerinde karelerin köflelerini kullanarak
herhangi bir çokgen oluflturdu€umuzda bu çokgenin
alan›n› bulmak uzun zaman alabilir.
George Pick 1899 da bu hesab›n kolay bir yolunu
keflfetmifl ve ad›na "Pick Teoremi" demifl.
Teorem flöyle,
S : Çokgenin s›n›rlar›ndaki nokta say›s›
‹ : Çokgenin içindeki nokta say›s›
Yukar›da birim kareler üzerinde kurulmufl çokgensel bölgenin alan›n› bulal›m.
olmak üzere;
Çokgenin alan› =
S
+ ‹ – 1 fleklindedir.
2
ÇÖZÜM
-:
S : Çokgenin s›n›rlar›ndaki nokta say›s› = 10
‹ : Çokgenin içindeki nokta say›s› = 17 olup,
SONUÇ :
Alan =
Pick teoremine göre,
S›n›rdaki nokta say›s›
2
Çokgensel bölgenin alan› =
+ ‹ç bölgedeki nokta say›s› – 1
10
+ 17 – 1
2
= 21 br2 bulunur.
ÖRNEK – 1
ÖRNEK – 3
ÇÖZÜM
-:
ÇÖZÜM
-:
6
+ 13 – 1
2
= 15 br2 bulunur.
= 27 br2 bulunur.
27
8
+ 24 – 1
2
DÖRTGENLER
1.
4.
D
E
C
K
A
C
H
6br2
A
G
E, F, G, H orta
noktalar
A(CEH) = 9 br2
F
AC = 16 birim
H
E
9br2
BD = 12 birim
F
2.
D
E, F, G, H orta
noktalar
A(AFG) = 6 br2
G
B
B
Ç(EFGH) = ..................
A(EFGH) = ..................
5.
y = –x
D
E
C
y=x
D
E, F, G, H orta
noktalar
E
C
K
H
AC = 12 birim
F
K
A
G
1
B
F
BD = 16 birim
H
1:
y=x
2:
y = –x
E, F, G, H orta
noktalar
Ç(EFGH) = 18 br
A
G
B
2
EG =...........................
AC + BD =..................
3.
6.
A
D
F
A
E, F, G, H orta
noktalar
F
D
EH = 5 birim
K
G
B
H
E
GH = 6 birim
G
B
C
H
E
C
A(ABCD) = ..................
AC + BD =..................
28
15 br2
E, F, G, H orta
noktalar
A(EFGH) = 15 br2
DÖRTGENLER
1.
4.
B
G
D
E, F, G, H orta
noktalar
A
K
A(CEH) = 7 br2
H
E
G
A(AFG) = ......................
2.
5.
9
B
D
A
CE = 2 EA
ABCD dörtgen
3 br2
E
E
12
A(GBH) = 13 br2
B
D
AC =.............................
C
A(DEF) = 5 br2
13br2
A
C
E, F, G, H orta
noktalar
7br2
F
Ç(EFGH) = 24 br
F
C
5br2
BD = 10 birim
H
E
A(AED) = 3 br2
12 br2
A(DEC) = 12 br2
A(BEC) = 24 br2
24
C
A
D
B
A(ABCD) = ..................
A(ABCD) = ..................
3.
6.
D
E
C
F
H
8
A
br2
B
D
BD = 16 birim
m(AKD) = 60º
E
B
C
A(ABCD) = ..................
FE =.............................
29
E, F orta noktalar
AC = 6 birim
K 60º
FE, BD = 0
FG = 8 br
GH = 7 br
7
G
A
F
E, F, G, H orta
noktalar
DÖRTGENLER
1.
4.
D
E
C
F
E, F, G, H orta
noktalar
A(ABCD) = 60 br2
A(BGH) = 9
H
9
br2
G
A(CEB) = 16 br2
E
br2
A(AED) = 9 br2
16 br2
A(AEB) = A(DEC)
A
9 br2
A
C
D
B
B
A(DFE) = ......................
A(ABCD) = ..................
2.
5.
D
2
E
y= 3x
C
F
H
1
G
y= 3x
8
A
G
6.
C
9 br2
H
8 br2
A
B
D
A
E, F, G, H orta
noktalar
A(ECH) = 9 br2
F
m(EHG) = 60º
A(ABCD) = ..................
3.
E
GH = 5 br
5
EG =...........................
D
E, F, G, H orta
noktalar
FG = 8 br
C
60º H
2 : y=0
B
y=0
E
F
AC = 6 birim
1:
A
D
E, F, G, H orta
noktalar
BD = 16 birim
16 br2
A(FAG) = 8 br2
A(AED) = 12 br2
12 br2
A(AEB) = 16 br2
E
A(BEC) = 24 br2
24 br2
C
G
B
B
A(ABCD) = ..................
A(DEC) = ......................
30
DÖRTGENLER
Afla€›da köşelerinin koordinatları verilen dörtgensel
bölgelerin alanlarını hesaplayalım.
1.
y
C
y
4.
C
D
B
x
x
O
O
D
A
B
A
A(ABCD) = ............ br2
A(ABCD) = ............ br2
2.
y
5.
C
y
C
D
x
x
O
O
B
D
A
B
A
A(ABCD) = ............ br2
y
3.
A(ABCD) = ............ br2
y
6.
C
D
D
C
B
x
x
O
O
B
A
A
A(ABCD) = ............ br2
A(ABCD) = ............ br2
31
DÖRTGENLER
Afla€›da verilen dörtgenlerin kenar orta noktalarının (E, F, G, H) birleştirilmesi ile elde edilen dörtgenin çevre uzunluğunu bulalım.
y
1.
B
y
4.
C
C
D
B
x
O
x
O
D
A
A
Ç(EFGH) = ........... birim
2.
Ç(EFGH) = ........... birim
5.
y
y
D
D
C
x
x
O
O
C
B
B
A
A
Ç(EFGH) = ........... birim
Ç(EFGH) = ........... birim
y
3.
y
6.
D
C
C
D
A
A
x
x
O
O
B
B
Ç(EFGH) = ........... birim
Ç(EFGH) = ........... birim
32
TEST
DÖRTGENLER
1.
D
4.
ABCD dörtgen
D
E
102º
C
[BE] açıortay
m(DAB) = 62°
F
[AC] köşegen
3
E
5
F
ABCD dörtgen
C
[DF] açıortay
[BD] köşegen
3
G
[AC] ⊥ [BD]
|AF| = 5 birim
|FE| = 5 birim
|EG| = 3 birim
|GC| = 3 birim
|AB| = 5 5 birim
5
m(DCB) = 102°
62°
A
B
1
A
B
Buna göre, BEF açısının ölçüsü kaç derecedir?
Buna göre, |DC| uzunluğu kaç birimdir?
A) 20
A)
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
10
2.
D
A
5.
ABCD dörtgen
E
olduğuna göre, A(AED) kaç
6
3.
C) 2 2
dir?
D) 3
B
A) 38
E) 2 3
6.
C
B) 45
C) 52
D
A
4
C
10 3 br2 olduğuna göre, ABCD
25
2
C) 13
BD = 10 birim
AC = 12 birim
D)
27
2
C
m(BEC) = 150°
Buna göre, ABCD dörtgensel bölgesinin alanı
kaç br2 dir?
dörtgensel bölgesinin alanı kaç birim karedir?
B)
[BD] köşegen
B
D
|AC| . |ED| =
E) 56
[AC] köşegen
150º
|EB| = 3 birim
|BC| = 4 birim
F
D) 54
ABCD dörtgen
E
[AB] ⊥ [BC]
60º
A) 12
H
[AC] köşegen
E
A(DFE) = 8 br2
kaç br2 dir?
ABCD bir dörtgen
A
3
br2
E
A(GBH)= 6 br2
Yukarıdaki şekilde A(AEB) . A(DEC) = 36 br4
B)
ABCD dörtgen
B
A) 2
D
G
|BE| = 5 birim
|EC| = 6 birim
|BC| = 7 birim
C
7
C) 2 3
21
E)
[BD] köşegen
6
5
B
13
F
A
[AC] köşegen
11
B)
D)
E) 15
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
33
1. A
2. B
3. D
4. B
5. E
6. C
TEST
DÖRTGENLER
7.
D
10. D
ABCD dörtgen
E
C
ABCD dörtgen
E
C
[AC] köşegen
[AC] köşegen
[BD] köşegen
[BD] köşegen
F
[BD] ⊥ [AC]
A
B
2
8.
3
B)
10
D)
G
B
Buna göre, FEHG dörtgeninin çevresi kaç birimdir?
C)
5
A) 24
17
E)
C
A
BD = (8, k)
|DC| = 4 birim
|AD| = 8 birim
|BC| = 3 birim
9.
C) 18
C
8
D) 17
51
12.
ABCD dörtgen
C
55
C)
E)
65
ABCD dörtgen
[AC] köşegen
[BD] köşegen
S1
|DC| = 8 birim
|AB| = 6 birim
A
S3
E
S2
S3 = 12 br2
B
B
C) 16
[AC] ∩ [BD] = {E}
S1 = 6 br2
S2 = 8 br2
Buna göre, DEC üçgensel bölgesinin alanı
kaç br2 dir?
Buna göre, A(DEC) kaç birim karedir?
B) 14
53
57
D
m(DCE) = m(ECB)
E
B)
D)
E) 16
m(ADE) = m(EDC)
D
B
Buna göre, |AB| uzunluğu kaç birimdir?
A)
B) 20
[BD] köşegen
[BD] ⊥ [AC]
3
kaç br2 dir?
A) 12
C
8
AC = (3, –4)
B
E) 32
[AC] köşegen
4
AC = BD
A
D) 30
ABCD dörtgen
[AC] köşegen
K
A
C) 28
D
[BD] köşegen
A) 25
B) 26
11.
ABCD dörtgen
D
|AC| = 14 birim
|BD| = 18 birim
A
Buna göre, |FE| uzunluğu kaç birimdir?
A)
H
|BD| = 6 birim
|AC| = 3 birim
|EC| = 2|DE|
|AF| = 2|FB|
F
1
D) 18
A) 11
E) 20
B) 10
C) 9
D) 8
E) 7
34
7. E
8. A
9. A
10. E
11. D
12. C
TEST
DÖRTGENLER
A
1.
4.
ABC üçgen
ABCD dörtgen
A
E, F, G orta noktalar
BFDE dikdörtgen
6
D
F
G
|EF| = 8 birim
|AC| = 6 birim
|DC| = 2 birim
2
C
E(2, 2)
A, D, F doğrusal
E
B
F(4, 1)
C
G(5, 6)
E
F
B
A) 4 5
B) 2 21
D) 4 6
2.
E
C
5
D
D
kaç br2 dir?
C) 3 10
E) 10
A) 18
B) 20
C) 21
A
5.
ABCD dörtgen
F
G
A
10
B
D) 22
E) 23
ABCD dörtgen
[AC] köşegen
[AC] ve [BD] köşegen
H
2
[BD] köşegen
B
|DE| = |EA|
|CG| = |GB|
|AH| = |HC|
|DF| = FB|
|AB| = 10 birim
|DC| = 5 birim
E
3
D
|CF| = |FD|
|EF| = 3 birim
F
C
Şekildeki ABCD dörtgensel bölgesinin alanı
en büyük değerini aldığında, |CD| uzunluğu
kaç birim olur?
Buna göre, Ç(EFGH) kaç birimdir?
A) 15
3.
B) 14
C) 13
D) 12
E) 11
A) 10
6.
Köflegen vektörleri e = (1, 3) ve f = (10, 2) olan
B) 9
C) 8
C
B) 12
C) 14
D) 16
D
E) 18
E) 6
ABCD dörtgen
bir dörtgensel bölgenin alan› kaç br2 dir?
A) 10
D) 7
4
3
2
|AD| = 2 birim
|DE| = 3 birim
|EC| = 4 birim
m(ADE) = m(EDC)
E
B
A
m(DCE) = m(ECB)
m(DAB) = m(ABC)
Buna göre, |EB| uzunluğu kaç birimdir?
A)
14
5
B)
12
5
C)
11
5
D)
11
7
E)
8
3
35
1. D
2. A
3. C
4. D
5. E
6. E
TEST
DÖRTGENLER
7.
10. Köşegen vektörleri dik kesişen ve köşegenleri top-
Bir dörtgenin ardışık üç kenarının orta noktaları
sırasıyla, E(–1, 5), F(2, 6), G(4, 3) tür.
lamı 14 birim olan bir ABCD dörtgeninin kenar orta
noktaları birleştirilerek KLMN dörtgeni elde ediliyor.
Buna göre, dördüncü kenarın orta noktasının
koordinatları nedir?
A) (–3, 2)
B) (2, 3)
D) (1, –3)
2
Buna göre, KLMN dörtgeni için,
I.
II.
III.
IV.
C) (–1, 3)
E) (1, 2)
KLMN bir paralelkenardır.
Ç(KLMN) = 14 birimdir.
A(KLMN) = 28 birim karedir.
KLMN bir dikdörtgendir.
yargılarından hangileri söylenemez?
A) Yalnız III
B) I, II ve V
C) I, III ve IV
D) III, IV ve V
E) III ve IV
8.
D
y
R2 de
11.
ABCD dörtgen
15
A
14
B
E
4
3
C(12, 0)
B
|CD| = 14 birim
|DA| = 15 birim
x
C
5
D
A(0, 5)
" "
BF ⊥ CK
K
F
C
[DE] // [BC]
|BD| = 4 birim
|EC| = 3 birim
|DE| = 5 birim
kaç br2 dir?
Buna göre, DBCE dörtgensel bölgenin alanı
kaç br2 dir?
A) 124
A) 12
B) 114
9.
C) 104
C
D) 94
E) 84
12.
ABCD dörtgen
D
B) 16
C) 18
C
N
m(AEB) = 70°
70º
D
E) 24
ABCD dörtgen
K, M ve N noktaları
[AE] ve [BE] açıortay
E
D) 20
M
K
bulundukları kenarların orta noktaları
m(ADC) – m(DCB) = 40°
NK = (2, 4)
A
A
B
B
NM = (–1,5)
Buna göre, ADC açısının ölçüsü kaç derecedir?
kaç br2 dir?
A) 70
A) 28
B) 75
C) 80
D) 90
E) 95
B) 26
C) 24
D) 22
E) 20
36
7. E
8. B
9. D
10. A
11. C
12. A
ÖZEL DÖRTGENLER
ÜN‹TE – 2
ü
Yamuk
ü
Paralelkenar
ü
Dikdörtgen
ü
Eflkenar Dörtgen
ü
Kare
ü
Deltoid
"Dünyadaki en masum u€rafl matematiktir."
(G.H. HARDY)
YAMUK
YAMUK
Yamu€un Tabanlar›
Kenarlar›ndan yaln›z ikisi paralel olan dörtgene
yamuk denir.
Yamu€un paralel kenarlar›na tabanlar denir.
D
C
[AB] ve [DC]
yamu€un tabanlar›
A
B
Yamu€un Yan Kenarları (Ayaklar›)
Yamu€un paralel olmayan kenarlar›na yan kenarlar (ayaklar) denir.
D
C
[AD] ve [BC]
yamu€un yan
kenarları
A
B
Yamu€un Orta Taban›
Bir yamukta paralel olmayan kenarlar›n orta noktalar›n› birlefltiren do€ru parças›na orta taban denir.
D
E
C
[EF] orta taban
F
|EF| =
AB + CD
2
ile bulunur.
A
ÿ
39
B
Orta taban yamuğun tabanlarına paraleldir.
YAMUK
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 1
D
C
4
A
D
|DE| = |EA|
|AB| = 16 birim
|CD| = 4 birim
|CE| = 8 birim
8
E
70º
D
4
Dolay›s›yla m(DEB) = 140° ve |DE| = |AE| olur.
6
AED ikizkenar üçgeninde m(DAB) = 70° bulunur.
F
10
A
B
E
[BC] ye paralel olacak flekilde [DE] çizilir ve DEBC
paralelkenar› oluflturulur.
C
8
E
140º
40º
A
Buna göre, |BC| uzunlu€unu bulal›m.
-:
C
140º
70º
B
16
ÇÖZÜM
-:
6
B
16
[EF] orta taban› çizilirse,
16 + 4 ⇒ |EF| = 10 birim olur.
2
6 – 8 – 10 dik üçgeninden |CF| = 6 birim dir.
|EF| =
ÖRNEK – 2
D
C
ABCD yamuk
Dolay›s›yla |BC| = 12 birim bulunur.
|CE| = |EB|
|AD| = |AB|
55º
Yamukta Aç›
A
Bir yamukta bir yan kenarla tabanlar›n oluflturdu€u iç aç›lar›n ölçüleri toplam› 180° dir.
D
x
[AE] ⊥ [BC]
E
Buna göre, DAE aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
ÇÖZÜM
C
-:
D
α + β = 180°
C
70º
70º
x + y = 180°
55º
E
y
A
m(ABC) = 55°
B
40º 35º
B
35º
55º
A
B
[AC] çizilirse, ABC ikizkenar üçgeni elde edilir.
ÖRNEK – 1
Dolay›s›yla,
D
C
ABCD yamuk
140º
m(CAB) = 70° ve [DC] // [AB]
|AB| = |BC| + |CD|
oldu€undan m(DCA) = 70° bulunur.
m(DCB) = 140°
DAC ikizkenar üçgen oldu€undan,
A
B
m(DAC) = 40° olur ve m(DAE) = 75° bulunur.
Buna göre, BAD aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
40
YAMUK
Teorem :
À. ve Á. eflitliklerden |EK| = |LF| olur.
Bir yamukta orta taban›n köflegenler aras›nda
kalan parças›n›n uzunlu€u taban uzunlukları farkının
yar›s›na eflittir.
D
|KL| = |EF| – (|EK| + |KF|)
C
O
E
|KL| =
ABCD yamuk
F
K L
|KL| =
2
KL =
B
KL =
– 2 EK
2
AB – DC
ile bulunur.
A
AB + DC
AB + DC
– DC
2
AB – DC
bulunur.
2
Yukar›daki teoremi tales teoremini kullanarak ispatlayal›m.
ÖRNEK – 3
‹spat :
6
D
C
ABCD yamuk
[AC] köşegen
O
D
E
C
O
E
K L
A
F
[BD] köşegen
F
K L
[EF] orta taban
|AB| = 8 birim
|DC| = 6 birim
B
8
Buna göre, |KL| uzunluğunu bulal›m.
A
B
ÇÖZÜM
BDC üçgeninde tales teoremi ile
BF
BC
=
LF
1
=
2
DC
LF
DC
1. Yol :
eflitli€inden,
|KL| =
& |DC| = 2|LF|. . . À
|KL| =
AD
=
EK
1
=
2
DC
AB – DC
2
8–6
2
⇒ |KL| = 1 birim bulunur.
D
EK
DC
eşitliğinden,
2. Yol :
ADC üçgeninde tales teoremi ile,
AE
-:
6
C
eflitli€inden,
E
3
O
K L
3
F
& |DC| = 2|EK|. . . Á
A



B
ADC, BDC, CAB üçgenlerinde Tales teoremi yaz›l›rsa |KL| = 1 birim bulunur.
41
8
YAMUK
ÿ
Bir yamukta bir yan kenarın tabanlarla yaptığı
açıların açıortay doğruları orta taban üzerinde ya
da uzant›s›na dik olarak kesişir.
D
C
D
C
ÖRNEK – 5
D
C
ABCD yamuk
D C
[DC] // [AB]
[CE] aç›ortay
E
[BE] aç›ortay
|AD| = 16 birim
A
B A
B
A
A
B
B
Buna göre, |DE| uzunluğunu bulal›m.
ÖRNEK – 4
ÇÖZÜM
6
D
ABCD yamuk
C
[CE] ve [BE] aç›ortaylar›n›n kesim noktas› orta taban üzerindedir.
[CF], [DE], [AE], [BF]
aç›ortay
6
4
|AB| = 12 birim
|BC| = 6 birim
|CD| = 6 birim
|DA| = 4 birim
E F
A
-:
B
12
D
C
F
E
Buna göre, |EF| uzunluğunu bulal›m.
ÇÖZÜM
A
-:
6
D
C
O halde, [EF] orta taban› çizilirse,
3
2
K
3
2
E F
2
L
|DE| = |EA|
ve |CF| = |FB| olur.
3
Bu durumda, |DE| =
A
B
B
12
16
= 8 birim bulunur.
2
EF do€rusu yamu€un orta taban› üzerinde olup,
|KL| =
12 + 6
= 9 birim bulunur.
2
Böylece, |EF| = 9 – (3 + 2) = 4 birim olur.
¸
¸
Pratik Bilgi
D
d
A
Pratik Bilgi
c
D
C
C
ABCD yamuk ise
|BC| = a + c ve
|DE| = |EA| dır.
ABCD yamuk
|EF| =
b
E F
a
c
a+c–b–d
2
E
A
B
42
a
B
YAMUK
‹kizkenar Yamuk
ÖRNEK – 6
6
D
Paralel olmayan kenarlar› eflit uzunlukta olan yamu€a ikizkenar yamuk denir.
ABCD yamuk
C
[CF] aç›ortay
E
4
F
A
B
10
D
[BF] aç›ortay
C
|AE| = |ED|
|AB| = 10 birim
|DC| = 6 birim
|BC| = 4 birim
A
B
|AD| = |BC| ise ABCD ikizkenar yamuktur.
ÇÖZÜM
-:
[CF] ve [BF] açıortayları orta taban üzerinde dik
olarak kesiflir.
D
6
ÿ
Bir ikizkenar yamukta taban aç›lar›n ölçüleri eflittir.
C
D
C
2
E
A
2
F
10
K
2
B
A
B
[EK] orta taban olup,
|CK| = |KB| = |FK| = 2 birim olur.
|EK| orta taban uzunluğu,
|EK| =
ÿ
Bir ikizkenar yamukta köflegen uzunluklar› eflittir.
10 + 6
= 8 birim olduğundan,
2
D
C
ABCD ikizkenar
yamuk
|EF| = 8 – 2 = 6 birim bulunur.
O
|AC| = |BD|
A
ÿ
B
ADC
Bir ikizkenar yamukta köflegenler yamu€un simetri ekseni üzerinde kesiflir.
Simetri (yans›ma)
ekseni
D
C
x
y
A
43
≅ BCD
x
y
B
YAMUK
ÖRNEK – 1
ÇÖZÜM
E
D
C
65º
-:
ABCD ikizkenar
1. Yol :
yamuk
D köflesinden [AB] taban›na dikme inilirse,
A, D, E, do€rusal
D
6–x
C
m(EDC) = 65°
m(CAB) = 15°
A
4
|AD| = |BC|
|AC| = |BE|
15º
B
A x E
Buna göre, EBC aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
ÇÖZÜM
4
6–x
Hx B
DEA ve CHB üçgenlerinin efl oldu€u görülür.
-:
O halde, |AE| = |HB| = x diyelim.
E
D
80º
65º
15º
Bu durumda, |EH| = |DC| = 6 – x olsun.
C
Böylece yamuksal bölgenin alan›,
A(ABCD) = d
30º
º
20
15º
15º
A
6+x+6– x
n 4 = 24 br 2 bulunur.
2
2. Yol :
B
E
D
C
ABCD ikizkenar yamuk oldu€undan,
|BD| = |AC| = |BE| dir.
4
Yani, DBE ikizkenar üçgen olur.
m(ABD) = m(CDB) = 15° ve
A
H
6
B
m(DEB) = 80° bulunur.
[AE] ⊥ DC olacak flekilde E ∈ DC seçelim.
[DC] // [AB] oldu€undan,
Böylece, AED ile CHB üçgenleri efl olup,
m(DAB) = m(ABC) = 65° ve
A(AED) = A(CHB) diyebiliriz.
m(EBC) = 30° bulunur.
O halde, A(ABCD) = A(AHCE) dir.
Yani yamu€un alan› AHCE dikdörtgeninin alan›na
eflittir.
¸
ÖRNEK – 2
D
C
ABCD ikizkenar
Pratik Bilgi
Bir ABCD ikizkenar yamuğunda,
yamuk
D
|CH| = 4 birim
|AH| = 6 birim
4
C
[CH] ⊥ [AB]
A
6
H
[CH] ⊥ [AB]
|AH| = x
|HC| = y
y
B
A(ABCD) = x . y
Buna göre, ABCD yamuksal bölgesinin alan›n›
bulal›m.
A
44
ise
x
H
B
YAMUK
ÖRNEK – 3
ÖRNEK – 4
D
C
D
ABCD ikizkenar
yamuk
8
C
4
ABCD ikizkenar
yamuk
E
|AC| = 8 birim
[AC] ⊥ [BD]
m(CAB) = 15°
|DC| = 4 birim
|AB| = 8 birim
15º
A
B
A
bulal›m.
bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
ÇÖZÜM
O halde, [BD] köflegeni çizilirse,
O halde, |EC| = |ED| ve |EA| = |EB| diyebiliriz.
C
E
-:
‹kizkenar yamukta köflegenler flekli simetrik olarak böler.
‹kizkenar yamukta köflegen uzunluklar› eflittir.
D
B
8
D 2 K 2 C
30º
2
E
15º
15º
A
4
B
A
|AC| = |BD| = 8 birim ve
m(CAB) = m(ABD) = 15° olup,
meler indirilirse, |KF| = 6 birim bulunur.
Böylece, ABCD dörtgeni köflegen uzunluklar› ve
köflegenler aras›ndaki aç›s› bilinen bir dörtgen olup,
Böylece, A(ABCD) = d
8+4
n . 6 = 36 br 2 bulunur.
2
1
. 8 . 8 . sin30° = 16 br2 bulunur.
2
¸
¸
B
4
E noktas›ndan yamu€un paralel kenarlarına dik-
m(CEB) = 30° dir.
A(ABCD) =
F
4
Pratik Bilgi
Bir ikizkenar yamukta köflegenler dik kesiflirse yükseklik, orta taban uzunlu€una eflit olup, yamu€un
alan› yüksekli€in karesine eflittir.
Pratik Bilgi
D
C
D
c
C
h
e
A
A(ABCD) =
B
A
1
. e2 . sin2α dir.
2
45
a
B
a+c
h=
ve A(ABCD) = h2
2
YAMUK
ÖRNEK – 5
ÖRNEK – 6
D
C
3
D 4
ABCD ikizkenar
F 2C
ABCD ikizkenar
yamuk
yamuk
5
5
A
B
7
[FE] ⊥ [AB]
|AD| = 5 birim
|BC| = 5 birim
|AB| = 7 birim
|DC| = 3 birim
A
Buna göre, |AC| uzunlu€unu bulal›m.
ÇÖZÜM
Buna göre, |EB| uzunluğunu bulal›m.
-:
D ve C köflelerinden [AB] taban›na dikmeler indirilirse,
D
3
5
ÇÖZÜM
-:
D ve C köşelerinden [AB] tabanına dikmeler indirilirse,
C
21
A 2 E
A 4
=
H 4
E 2K
B
DHA ve CKB üçgenlerinin eş olduğu görülür.
FBC nde pisagor ba€›nt›s› ile
52
F 2C
F 2 B
3
O halde,
2
D 4
5
AED ve CEB üçgenlerinin efl oldu€u görülür.
|FC|
B
E
8
|DF| = 4 birim
|AE| = 8 birim
|FC| = 2 birim
–
22
⇒ |FC| =
O halde, |KB| = |HA| = 4 birim olup,
21 birim olup,
|EB| = 2 + 4 = 6 birim bulunur.
AFC nde pisagor ba€›nt›s› ile
|AC|2 = 52 + (
¸
21) 2 ⇒ |AC| =
46 birim bulunur.
Pratik Bilgi
Bir ikizkenar yamukta karfl›l›kl› kenarlar›n çarp›m›n›n
toplam› bir köflegen uzunlu€unun karesine eflittir.
¸
Yani,
c
D
Pratik Bilgi
Bir ABCD ikizkenar yamuğunda,
C
d
D
b
A
e
a
[EF] ⊥ [AB]
b
|AF| = a
|FB| = b
|CE| = c
|ED| = d
B
A
e2 = ac + b2
46
Ec C
a
F
b
B
ise
a+c=b+d
YAMUK
ÖZET
¸
D
D
C
a
h
A
H›
a
C
6
ABCD yamuk
|AB| = 9 birim
|DC| = 6 birim
|AC| = 8 birim
|BD| = 7 birim
ADH ≅ BCH›
h
H
ÖRNEK – 7
B
A
B
9
Yukar›da taslak çizimi yap›lan yamu€un çizilip çizilemeyece€ini inceleyelim.
¸
c
D
C
-:
ÇÖZÜM
2
h2 =
h
a –c
4
2
[DB] // [CE] olacak flekilde E ∈ AB seçelim.
D
H›
A
C
6
B
a
A
¸
D
C
|DH| = x birim
C
y
7
8
B
A
D
y
h
A(ABCD) = (t + y) . h
¸
x+z=y+t
z
t
H
B
Pratik Bilgi
Köflegen uzunluklar› e ve f, paralel olan kenar uzunluklar› a ve c olan bir yamu€un çizilebilmesi için,
D
¸
D
c
C
h=
H
e
A
B
a
|e – f| < a + c < e + f
a
47
C
c
f
a+c
ve
2
A(ABCD) = h2
h
A
E
15
CAE nde kenar uzunluklar› üçgen eflitsizli€ini
sa€lamad›€›ndan böyle bir yamuk çizilemez.
K x C
A(ABCD) = (x + z) . h
A
E
A(ABCD) = x . y
H
¸
6
Böylece, |DB| = |CE| = 7 birim olup,
|HB| = y birim
x
A
B
9
B
olmal›d›r.
YAMUK
Taslak çizimleri yap›lan yamuklar›n çizilip – çizilemeyece€ini belirtiniz.
1.
D
5.
C
5
D
ABCD yamuk
E
C
4
E
CD = 4 birim
AC = 6 birim
BD = 5 birim
A
Çizilebilir
D
6
B
10
2.
ABCD yamuk
A
Çizilemez
Çizilebilir
6.
C
4
B
8
D
ABCD yamuk
Çizilemez
C
4
ABCD yamuk
E
8
A
A
B
9
Çizilebilir
Çizilemez
3.
7.
D
9
B
Çizilebilir
Çizilemez
D
ABCD yamuk
C
4
3
5
ABCD yamuk
E
AC = 8 birim
BD = 15 birim
B
10
A
Çizilebilir
6
C
E
Çizilebilir
Çizilebilir
D
ABCD yamuk
[AC]
3
[BC]
A
7
Çizilebilir
Çizilemez
48
C
ABCD yamuk
H
4
B
Çizilemez
8.
7
9
B
12
Çizilemez
D
A
C
3
A
4.
AE = 3 ED
7
6
B
Çizilemez
YAMUK
Dik Yamuk
ÖRNEK – 2
Yan kenarlarından biri tabanlarına dik olan yamuğa dik yamuk denir.
D
C
5
ABCD dik yamuk
[CE] açıortay
7
D
|AE| = 2 birim
|BC| = 7 birim
|CD| = 5 birim
C
C
D
A
2 E
B
Buna göre, |CE| uzunluğunu bulal›m.
A
B
A
ÇÖZÜM
B
-:
D
C
5
7
33
A
2 E
3
H
B
4
7
ÖRNEK – 1
D
2
Şekilde AHCD dikdörtgeni oluşturulursa,
C
|EH|
ABCD dik yamuk
|AB| = 7 birim
|AD| = 5 birim
|DC| = 2 birim
5
= 3 birim ve |HB| = 4 birim olup.
CHB dik üçgeninde, pisagor teoremi ile,
33 birim bulunur.
|CH|2 + 42 = 72 ⇒ |CH| =
Böylece, CEH dik üçgeninde pisagor teoremi ile
A
|CE|2 = (
B
7
Buna göre, ABC açısının ölçüsünü bulal›m.
ÇÖZÜM
33 ) 2 + 32 ⇒ |CE| =
ÖRNEK – 3
-:
D
D
2
4
C
ABCD dik yamuk
C
6
45º
5
5
42 birim bulunur.
A
9
|AB| = 9 birim
|BC| = 6 birim
|CD| = 4 birim
B
45º
A
2
H
5
Buna göre, yamu€un köflegenleri aras›ndaki
aç›n›n ölçüsünü bulal›m.
B
ABCD yamuğunda,
ÇÖZÜM
-:
[CH] ⊥ [AB] dikmesi ile AHCD dikdörtgeni ve
AC = (9, 6)
CHB dik üçgeni elde edilir.
BD = (–4, 6) olur.
Böylece, |CH| = |HB| olduğundan,
1 AC, BD 2= 9(–4) + 6 . 6 = 0 oldu¤undan,
m(ABC) = 45° bulunur.
AC = BD olup, aranan aç› 90° dir.
49
YAMUK
Teorem :
‹spat 2 :
D
Köşegenleri dik kesişen bir dik yamukta yükseklik
(h) ile taban uzunlukları (a ve c) arasında h2 = a . c
bağıntısı vardır.
c
C
h
D
c
C
c
E
h
A
B
a
[CA] // [DE] olacak şekilde E ∈ AB alalım.
O halde, ACDE paralelkenarında ,
A
B
a
[AC] // [DE] olduğundan,
[ED] ⊥ [DB] olup,
[AC] ⊥ [BD] ise h2 = a . c
DEB dik üçgeninde öklid bağıntısı ile,
D
h2 = a . c bulunur.
h
‹spat 1 :
E
D
c
C
c
A
‹spat 3 :
D
h
A
a
c
C
h
B
ADC üçgeni ile BAD üçgenlerinde açılar aynı olduğundan bu üçgenler benzerdir.
Yani, ADC
B
a
A
a
B
ABCD dik yamuğunda,
~ BAD olup. (A.A.A)
AC vektörü ile DB vektörü dik iki vektör olup,
AD
BA
=
DC
AD
1 AC, DB 2= 0 d›r.
eflitli¤inden
AC = (c, h) (A noktası koordinat başlangıcı olsun.)
DB = (a, –h) (D noktası koordinat başlangıcı olsun.)
h
c
=
& h 2 = a . c bulunur.
a
h
1 AC, DB 2= ac – h 2 = 0 olup.
h 2 = a . c bulunur.
50
YAMUK
ÖRNEK – 4
ÖRNEK – 5
y
2
D
y = 2x
A
C
2
ABCD dik yamuk
[AC] ⊥ [BD]
C
|AB| = 8 birim
|DC| = 2 birim
O
x
B
A
2y + x – 8 = 0
1
Buna göre, |AD| uzunluğunu bulal›m.
Yukar›da l1 , l2 ve eksenler üzerine kurulan
AOBC yamu€unun C köflesinin koordinatlar› toplam›n› bulal›m.
ÇÖZÜM
B
8
ÇÖZÜM
-:
D
C
2
-:
ml1 = 2, ml2 = –
1
ve ml1 . ml2 = –1
2
A
B
8
oldu€undan, l1 ⊥ l2 dir.
ABCD dik yamuğunda köşegenler dik olduğundan,
2y + x – 8 = 0 do€rusunda x = 0 için y = 4 ve
|AD|2 = 8 . 2
⇒ |AD| = 4 birim bulunur.
y = 0 için x = 8 olup,
|AO| = 4 birim ve |OB| = 8 birim bulunur.
ÖRNEK – 6
A
C
D
E
C
9
ABCD dikdörtgen
[CF] ⊥ [BE]
4
O
8
|EC| = 9 birim
|FB| = 4 birim
B
A
F
4
B
Dik yamukta köflegenler dik kesiflti€inden,
Buna göre, |AD| uzunluğunu bulal›m.
42 = 8 . |AC|
|AC| = 2 birim bulunur.
ÇÖZÜM
-:
D
Dolay›s›yla C köflesinin koordinatlar›,
E
C
9
C(2, 4) bulunur.
Böylece,
C köflesinin koordinatlar› toplam› 2 + 4 = 6 d›r.
A
F
4
B
FBCE köflegenleri dik kesiflen, dik yamuk oldu€undan,
|CB|2 = 9 . 4
51
⇒ |AD| = 6 birim bulunur.
YAMUK
Teorem :
ÖRNEK – 7
olmak üzere, köşelerin kesim noktasından tabanlara
D
C
C
O
E
paralel olarak çizilen doğru parçasının uzunluğu 2ac
a+c
ile bulunur.
c
4
D
Bir yamukta paralel olan kenar uzunlukları a ve c
ABCD yamuk
[AC] köşegen
F
[BD] köşegen
[EF] // [AB]
ABCD yamuk
12
A
|AB| = 12 birim
|DC| = 4 birim
B
[EF] // [AB] ise
E
F
O
|EF| =
A
|EO| = |OF| ve
2ac dir.
a+c
ÇÖZÜM
B
a
-:
|EF| =
2 . 12 . 4
= 6 birim bulunur.
12 + 4
‹spat :
D
c
C
O
E
A
F
DOC ve BOA benzer üçgenlerinde,
Teorem :
B
a
CO
OA
=
c
ck
=
a
ak
Bir ABCD yamuğunu paralel olan kenar uzunlukları
a, c ve |EF| = h ise
CAB üçgeninde tales teoremi ile,
CO
CA
=
OF
a
eşitliğinden,
OF
c.k
=
a
ck + ak
|OF| =
D
c
E
C
O
yazılabilir.
a.c
a.c
ve aynı mantıkla |OE| =
olup,
a+c
a+c
|EF| = |OF| + |OE| =
A
2a . c bulunur.
a+c
c.h
a+c
|OF| =
a .h
a+c
B
52
F
a
|OE| =
YAMUK
Teorem :
‹spat :
E
D
Pozitif iki reel say›n›n aritmetik ortalamas› harmonik ortalamas›ndan büyük ya da eflittir.
C
ck
O
Yani; a, c pozitif reel say› ise,
a+c
2a . c
dir.
$
a+c
2
ak
A
B
F
DOC ile BOA üçgenleri benzer olup benzer iki üçgende yükseklikler oran› benzerlik oran›na eflit oldu€undan,
OE
=
OF
‹spat :
c
ck
yazılabilir.
=
a
ak
h
olup.
a+c
|OE| = ck = c . h ⇒ |OF| = ak = a . h bulunur.
a+c
a+c
|EF| = ck + ak = h
|CD| < |AB| olacak flekilde ABCD yamu€u çizelim.
oldu€undan, k =
D
K
c
O
C
L
F
E
A
ÖRNEK – 8
E
D
ABCD yamuk
|AB| = 5 birim
|DC| = 3 birim
|EF| = 16 birim
F
E
2ac
dir.
a+c
C
Yani, ABCD dörtgeninin,
O
ü
ü
ü
ü
5x
A
OF
|KL| =
Eflitlik durumu ise a = c olmas› ile mümkündür.
3x
=
a+c
ve
2
a+c
2ac
bulunur.
>
a
+c
2
-:
D
OE
|EF| =
|EF| > |KL| oldu€undan,
B
Buna göre, |OF| uzunluğunu bulal›m.
ÇÖZÜM
B
[EF] orta taban olup,
C
O
A
a
F
B
olmas› ile mümkündür.
3x
olup, 3x + 5x = 16 birim
5x
Çünkü bu durumda,
KL ile EF çak›fl›k (ayn›) iki do€ru olur.
x = 2 birim ve OF = 5x = 10 birim bulunur.
53
paralelkenar
dikdörtgen
kare
eflkenar dörtgen
YAMUK
Yamuksal Bölgenin Alan›
ÖRNEK – 1
5
D
Teorem :
C
C
B
10
Buna göre, ABCD yamuksal bölgesinin alanını bulal›m.
h
ÇÖZÜM
-:
D
A
H
|AB| = 10 birim
|BC| = 8 birim
|CD| = 5 birim
60º
A
c
m(ABC) = 60°
8
Bir yamuksal bölgenin alan› paralel olan kenarlar›n
uzunluklar› toplam›n›n yar›s› ile yüksekli€in çarp›m›na
eflittir.
D
ABCD yamuk
5
C
B
4 3
30º
a
a+c
A(ABCD) = d
n . h = (orta taban) . h
2
8
60º
H
A
B
10
[CH] ⊥ [AB] dikmesi çizilirse,
CHB, 30°, 60°, 90° üçgeninde,
‹spat :
|CH| =
D
c
h
C
Yamuksal bölgenin alanı,
A(ABCD) = d
h
A
H
4 3 birim olup,
10 + 5
2
n . 4 3 ⇒ 30 3 br bulunur.
2
B
a
ABCD yamuğunda [AC] köşegeni çizilirse,
yükseklikleri eşit ABC ve ADC üçgenleri elde edilir.
A(ABCD) = A(ABC) + A(ADC) yazılabilir.
=
h.a h.c
+
2
2
=d
a+c
n . h bulunur.
2
54
YAMUK
ÖRNEK – 2
ÖRNEK – 3
Bir hız – zaman grafiğnde grafik parçaları ile zaman ekseni arasında kalan bölgenin alanı cismin yerdeğiştirmesini verir.
İvme – zaman grafiklerinde grafik parçaları ile
zaman ekseni arasında kalan bölge cismin hız değişimini verir.
H›z (m/s)
‹vme (m/s2)
2
4
1
2
0
3 4
Zaman
(s)
8
0
Buna göre, yukarıda grafiği verilen hareketlinin
yer değiştirmesinin kaç metre oldu€unu bulal›m.
1
2
Zaman
(s)
3
Buna göre, 0 – 3 saniye zaman aralığında cismin hızın›n kaç m/s oldu€unu bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
‹vme (m/s2)
ÇÖZÜM
-:
2
1
H›z (m/s)
0
4
A
B
1
C
2
Zaman
(s)
3
2
0
A
B
C
3 4
Zaman
(s)
8
2
A
A bölgesinin alan› = 1
=
(1 + 2) . 1
2
=
3 2
br
2
1
A bölgesinin alan› =
2
A
=2.3=6
br2
3
B bölgesinin alan› = 2 B
4
=
(2 + 4) . 1
1
2
2
C
= 4 . 4 = 16 br2
C
=
2.1
= 1 br2
2
1
4
Toplam alan, A + B + C = 6 + 3 + 16
Toplam alan, A + B + C =
= 25 br2 bulunur.
3
+2+1
2
= 9 br2 bulunur.
2
Dolay›s›yla, hareketli 25 m yol alm›flt›r.
Dolay›s›yla, cismin h›z›
55
= 2 . 1 = 2 br2
1
= 3 br2
C bölgesinin alan› =
C bölgesinin alan› = 4
2
B
B bölgesinin alan› =
9
m/s dir
2
YAMUK
Bir Yamuksal Bölgenin Alanının Parçalanması
D
ÖRNEK – 4
D
C
C
ABCD yamuk
H
S
A
ÿ
|EH| = 8 birim
|BC| = 5 birim
8
E
S
E
A
B
[EH] ⊥ [BC]
B
Buna göre, ABCD yamuksal bölgesinin alanını bulal›m.
ABCD yamuk ise, A(ADE) = A(BEC)
(ABC, ABD, ADC, BDC yükseklikleri eşit olan üçgenler)
ÇÖZÜM
-:
E noktas› B ve C noktalar› ile birlefltirilirse,
D
Teorem :
C
H
D
C
ABCD yamuk
S
[BD] köflegen
E
A
A(AEB) = M
M
B
A(ADE) = S
A(BEC) = S
ABCD yamuk ise;
S2
B
Oluflan BEC üçgensel bölgesinin alan› ABCD yamuksal bölgesinin alan›n›n yar›s›na eflit olup,
A(DEC) = L
A
ÿ
8
[AC] köflegen
L
S
E
A(EBC) = 8 . 5 = 20 br2
2
= L . M dir.
Böylece,
A(ABCD) = 20 . 2 = 40 br2 bulunur.
‹spat :
ABD üçgeninde,
BCD üçgeninde,
DE
EB
DE
EB
=
S
ve
M
=
L
olup.
S
Bu iki eflitlik birlikte düflünülürse,
S
L
eflitli€inden S2 = L . M bulunur.
=
M
S
56
YAMUK
Teorem :
ÖRNEK – 5
D
y
C
l1 ∩ l2 = {E}
A
B(0, 2)
C(3, 0)
E
D(5,0)
B
E
O
C
D
A
B
A(ABE) = A(ECD)
x
1
2
ÿ
ABCD yamuk, |DE| = |EA| ise
A(BEC) =
Buna göre, A noktas›n›n ordinat›n› bulal›m.
A (ABCD)
ÇÖZÜM
2
-:
[BC] ile [AD] çizildi€inde,
A(ABE) = A(ECD) oldu€undan,
ABCD dörtgeni bir yamuk olup, [BC] // [AD] dir.
y
‹spat :
A
F
D
C
B
E
O
C
D
x
1
E
2
O halde, paralel doğruların eğimi eşit olduğundan,
A
mBC = mAD yaz›labilir. A(0, k) diyelim.
B
K
mBC =
[BC] // [FK] olacak flakilde,
–
F , E, K do€rusal›n› çizelim.
2–0
k–0
, mAD =
ise
0–3
0–5
10
2
k
bulunur.
= – eflitli€inden, k =
5
3
3
Böylece,
¸
DEF ve AEK nin efl oldu€u görülür.
Pratik Bilgi
A
Böylece,
a
A(AEK) = A(DEF) yaz›labilir.
E
O halde,
S
F
b
A(ABCD) = A(KFCB) olup,
S
B
A(BEC) =
A (KFCB)
2
=
A (ABCD)
2
bulunur.
D
d
A(AEF) = A(DFC) ise
57
c
C
b
c
=
dir.
a
d
YAMUK
ÖRNEK – 7
ÖRNEK – 6
D
D
ABCD yamuk
C
[BE] // [CD]
E
A
3
B
A(ECB) = 15 br2
A
C
4
B
Buna göre, ABCD yamuksal bölgesinin alan›n› bulal›m.
Buna göre, ABDE dörtgensel bölgesinin alan›n› bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
ÇÖZÜM
EBCD yamu€unda, [EC] köflegenini çizelim.
-:
D
D
E
4
3k
15
A
3
B
C
9A
E
15
5k
F
5
25A
A
A
3|BE| = 5|ED|
E
|BE| = 5 birim
|AB| = 3 birim
|BC| = 4 birim
5
ABCD yamuk
A
B
C
4
[DC] // [AB] oldu€undan,
Böylece, [BE] // [DC] oldu€undan,
A(DEC)
A(DEF) = A(BCF) = A diyebiliriz.
A(AEB)
O halde, A(ABDE) = A(AEC) oldu€u görülür.
Bu durumda, A(ABDE) = A(AEC) =
=d
4.7
2
A(DEC)
3 2
9
=
n ise
5
25
A(AEB)
A(DEC) = 9A, A(AEB) = 25A bulunur.
A(AEC) = 14 br2 bulunur.
A(ADE)
Teorem :
A(AEB)
D
H
C
E
=
3
oldu€undan,
5
A(ADE) = 15A bulunur.
A(ADE) = A(BEC) oldu€undan,
G
A(ABCD) = 64A bulunur.
A
ÿ
ABCD yamuk, A(EFGH) =
‹spat :
A(ECD) = 15 yani, 15A = 15 ise,
B
F
A (ABCD)
A = 1 ve A(ABCD) = 64 br2 bulunur.
2
Dörtgenler bölümünde yapıldı.
58
YAMUK
ÖRNEK – 8
ÖRNEK – 9
D
C
6
|DE| = |EA|
|CF| = |FB|
|DC| = 6 birim
|AB| = 10 birim
F
E
A
ÇÖZÜM
A(EFCD)
A(ABCD)
C
ABCD yamuk
|AC| = 6 birim
|DB| = 8 birim
|DC| + |AB| = 10 birim
E
B
10
Buna göre,
D
ABCD yamuk
A
oran›n› bulal›m.
B
bulal›m.
-:
D
6
C
ÇÖZÜM
-:
h
D
E
F
8
C
E
h
8
A
B
10
[EF] orta taban oldu€undan yüksekli€i ortalar.
A
DC
K
10
|EF| = 8 birim bulunur.
[DB] ye paralel olacak flekilde [CK] çizilirse,
O halde,
DBKC paralelkenar› bulunur.
(8 + 6) . h
A (EFCD)
A (ABCD)
=
|AC| = 6 birim
7
2
dir.
=
16
(10 + 6) . 2h
|CK| = 8 birim
2
|AK| = 10 birim
¸
A(DBC) = A(ADC) oldu€undan,
c
C
b
A(ACK) = A(ABCD) dir.
[AB] // [EF] // [DC] ise
S1
E
_
b
b
b
` bulunur.
b
b
b
a
Pratik Bilgi
D
S1
F
S2
=
b2 – c2
2
a –b
Dolay›s›yla,
2
A(ABCD) =
S2
A
B
AB
|EF| = 10 + 6
2
a
S1 = S2 ise b2 =
B
a2 + c2
olur ki
2
Buna da "a ile c nin karesel ortalaması b dir" denir.
59
6.8
= 24 br2 bulunur.
2
YAMUK
ÖRNEK – 10
ÖRNEK – 11
D
5
C
12
B
-:
D
E
5
K
8
10
H
F
4
8
6
A
C
C
6
12
|CF| = |FB|
|EF| = 7 birim
|EH| = 4 birim
bulal›m.
ÇÖZÜM
5
[EF] // [AB]
F
A H
-:
D
ABCD yamuk
4
bulal›m.
ÇÖZÜM
7
E
B
15
C
[EH] ⊥ [EF]
|AD| = 12 birim
|CB| = 10 birim
|DC| = 5 birim
|AB| = 15 birim
10
A
D
ABCD yamuk
A H K
10
B
EH
DK
[CK] n› [AD] na paralel olacak şekilde çizersek
AKCD paralelkenar› ve KBC ikizkenar üçgeni elde
edilir.
=
AE
AD
B
oldu€undan,
ABCD yamu€unun yüksekli€i,
|DK| = 8 birim bulunur.
KBC nde [BH] yüksekli€i çizilirse,
A(ABCD) = Orta taban . h oldu€undan,
|CH| = |HK| = 6 birim
A(ABCD) = 7 . 8 = 56 br2 bulunur.
|BH| = 8 birim
A(KBC) =
12 . 8
2
Yani, A(KBC) = 48 br2 bulunur.
A(AKC) =
A(KBC)
AK
KB
oldu€undan,
A(AKC) = 24 br2 ve A(ADC) = 24 br2 bulunur.
Dolay›s›yla,
A(ABCD) = 96 br2 bulunur.
60
YAMUK
¸
ÖRNEK – 12
D
C
Pratik Bilgi
D d
c S1
ABCD yamuk
|CE| = |EB|
3|AB| = 4|CD|
E
E
S2
A
B
Örnek – 1:
6S
D 3k
2m S1
E
24S
4S
D 2a C
23S
2n S1
E
n
S3
F
t
E
15S
t
A
A(ABCD)
=
3n
B
4k
ABCD yamuk
S1 = 2a . 2n = 4S
S2 = 3n . 5a = 15S
S1 + S2 + S3 = 7a . 6n = 42S
S2
A
B
5a
_ AB + DC i . BC
AB . EB
A(ABE)
=
B
8k
Örnek – 2:
C
3k
ABCD yamuk
S1 = 2m . 3k = 6S
S2 = 3m . 8k = 24S
S1 +S2 +S3 =11k.5m=55S
25S
S2
A
-:
C
S3
3m
D
B
a
bulal›m.
ÇÖZÜM
ABCD yamuk
S1 = c . dS
S2 = a . bS
S1 + S2 + S3 = (a + d) . (b + c)S
S3
b
A(ABE) = 32 br2
A
C
(4k + 3k) . 2t
4k . t
⇒
Bir Dörtgensel Bölgenin Ağırlık Merkezi
A (ABCD)
32
=
14
4
Bir dörtgensel bölgenin köşegenlerinin meydana
getirdiği dört üçgenin ağırlık merkezlerinin oluşturduğu
dörtgenin köşegenlerinin kesiştiği noktaya dörtgensel
bölgenin ağırlık merkezi denir.
Yani, A(ABCD) = 112 br2 bulunur.
C
¸
Pratik Bilgi
G3
D
S1
c
S2
a
E
G4
E
S3
A
D
C
d
b
G2
B
G
G1
A
G1 : (ABE) nin ağırlık merkezi
B
ABCD yamuk
G2 : (BEC) nin ağırlık merkezi
S1 = c . d . S
G3 : (DEC) nin ağırlık merkezi
S2 = a . b . S
G4 : (ADE) nin ağırlık merkezi ise
S1 + S2 + S3 = (a + d) . (b + c) . S
G : ABCD dörtgensel bölgesinin ağırlık merkezidir.
61
YAMUK
1.
5.
D
C
D
ABCD yamuk
4x
140º
A
x
A
B
m – n = .........................
m(DAB) = .....................
2.
6.
C
ABCD yamuk
nx
B
D
C
mx
D
ABCD yamuk
C
ABCD yamuk
124º
E
74º
A
A
B
B
m(BCD) = .....................
m(ACD) = .....................
3.
7.
D
C
D
ABCD yamuk
AB = 12 birim
E
B
m(BAD) = .....................
4.
8.
C
E
D
ABCD yamuk
120º
BE, AD = 0
A
B
BC =...........................
D
ABCD yamuk
E
5
A
C
140º
C
ABCD yamuk
130º
[CE] // [KF]
F
4
A
K
A
B
FK =...........................
m(ADB) = .....................
62
B
YAMUK
1.
5.
D
C
D
ABCD yamuk
AC = (2, 7)
E
F
A
A
B
EF =...........................
m(ABE) = .....................
2.
6.
C
5
D
ABCD yamuk
8
C
8
K
E
AB =...........................
3.
7.
H
C
1
ABCD yamuk
120º
D
C
A
ABCD yamuk
B
14
HE =...........................
8.
D
ABCD dik yamuk
C
12
E
C
E
HE =...........................
4.
6
13
B
12
D
H
E
A
F
B
AD =...........................
6
[AB] // [EF] // [DC]
A
B
15
D
ABCD yamuk
5
E
A
ABCD dik yamuk
E
BD = (–8, 7)
B
D
C
E
10
2
ABCD yamuk
H
12
13
A
A
B
B
DC =...........................
AB + DC =...................
63
18
YAMUK
1.
5.
C 3 D
D
ABCD yamuk
7
E
B
2
B
AB =...........................
2.
6.
C
9
9
A
BC =...........................
D
ABCD yamuk
E F
A
11
C
4
D
ABCD yamuk
C
6
ABCD yamuk
O
12
F
E
E
A
KL =...........................
3.
7.
C
B
10
FE =...........................
D
D
ABCD yamuk
C
ABCD yamuk
[EF] orta taban
[AB] // [FE] // [DC]
5
8
F
A
E
E
K 3
A
B
8.
C
A
F
C
ABCD yamuk
4
E
F
D
ABCD yamuk
[DC] // [FK] // [AB]
4
2
AB + DC =...................
4.
5
L
B
AB + DC =...................
D
E
K
A
B
B
AD =...........................
AB =...........................
64
[BD] = {O}
F
K L
A
B
14
[AC]
YAMUK
1.
5.
D
4
C
6
E
D
ABCD yamuk
ABCD yamuk
3
[DC] // [EF] // [AB]
F
C
9
FB = 2 CF
K 4
6
E
[DC] // [EF] // [AB]
F
AB = (–6, n)
A
B
A
B
n =.......... ya da ............
AB =...........................
2.
6.
D
C
D
ABCD yamuk
CF = 3 FB
14
A
K
F
D
5
KL – EF =...................
7.
C
F
A
C
ABCD yamuk
E
E
10
D
[DC] // [EF] // [AB]
7
E
AB + DC = 21 br
ABCD yamuk
[DC] // [EF] // [AB]
2 AE = 3 DE
9
A
B
12
B
EC =...........................
AB – DC =...................
65
C
F
5
A
[DC] // [EF] // [AB]
AB =...........................
ABCD yamuk
F
E
A
8.
4
ABCD yamuk
3
B
4.
C
D
2 CF = 3 FB
EF =...........................
D
8
9
F
DC ile EF
lineer ba¤›ml›
B
15
6 CF = 4 FL = 3 LB
B
14
DC =...........................
3.
[DC] // [EF] // [KL] // [AB]
L
A
B
16
ABCD yamuk
F
E
[DC] // [EF]
E
C
5
YAMUK
1.
5.
D
C
4
[AC]
F
E
D
ABCD yamuk
[BD] = {E}
S2
[DC] // [EF] // [AB]
A
S1
E
ABCD yamuk
[AC]
F
7
A
B
12
C
3
[BD] = {E}
[DC] // [EF] // [AB]
B
S1
=................................
S2
EF =...........................
2.
6.
D
E
C
2
A
[AC]
F
K
D
ABCD yamuk
[BD] = {K}
7.
E
C
K
D
ABCD yamuk
[AC]
F
B
a.c
=..............................
a+c
3.
6
[BD] = {F}
[DC] // [EF] // [AB]
a
A
DC =...........................
D
ABCD yamuk
[AC]
F
EK = 2 birim
B
8
4
E
C
c
[BD] = {K}
C
K
ABCD yamuk
[AC]
F
[DC] // [KF] // [AB]
E
EF = 9 birim
[BD] = {E}
FB = 3 CF
KF = 8 birim
A
A
B
B
AB + DC =...................
AB =...........................
4.
8.
D
F
C
4
D
ABCD yamuk
[DC] // [EF] // [AB]
E
F
ABCD yamuk
[AC]
E
[BD] = {K}
[DC] // [FE] // [AB]
1+1= 1
a b 8
A
B
a
B
FE =...........................
AB =...........................
66
C
K
AF = 2 FD
A
b
YAMUK
5.
1.
D
C
D
ABCD ikizkenar
yamuk
C
ABCD ikizkenar
yamuk
2
E
6
6
A
B
A
B
BC =...........................
BE =...........................
6.
2.
D
C
D
ABCD ikizkenar
yamuk
E 2C
ABCD ikizkenar
yamuk
AD nün AB üzerindeki izdüflüm uzunlu¤u 2 birimdir.
A
A
B
9
7.
3.
C
H
A
D2E
ABCD ikizkenar
yamuk
4
HB = 7 birim
ABCD ikizkenar
yamuk
B
7
A(ABCD) = ....................
8.
4.
C
C
H
A
A(ABCD) = ....................
D
B
8
B
7
4
DE =...........................
DC =...........................
D
H
8
D
ABCD ikizkenar
yamuk
C
ABCD ikizkenar
yamuk
8
AC = AB
15º
A
A
B
AC
=...........................
CD
A(ABCD) = ....................
67
B
YAMUK
1.
5.
D
C
D
ABCD ikizkenar
yamuk
C
ABCD ikizkenar
yamuk
2
AC = (2 , 2 3 )
45º
E
DE = 2 birim
EA = 4 birim
4
22,5º
A
B
A
B
A(ABCD) = ....................
A(ABCD) = ....................
2.
6.
D
C
D
ABCD ikizkenar
yamuk
3
C
ABCD ikizkenar
yamuk
DC = 4 birim
AB = 10 birim
A
5
A
B
B
BC =...........................
A(ABCD) = ....................
3.
7.
D
C
4
A
B
7
D
=................................
A
8.
C
3
D
ABCD ikizkenar
yamuk
3
6
ABCD ikizkenar
yamuk
B
DC =...........................
4.
C
130º
BH = 7 birim
5
H
A
D
ABCD ikizkenar
yamuk
A
ABCD ikizkenar
yamuk
CE = EF
F
B
15
E 9 B
FD =...........................
m(DCB) = .....................
68
C
YAMUK
5.
1.
D
C
D
ABCD ikizkenar
yamuk
C
ABCD ikizkenar
yamuk
6
8
30º
A
12
A
B
DC =...........................
A(ABCD) = ....................
6.
2.
D
C
B
D
ABCD ikizkenar
yamuk
C
AC, BD = 0
ABCD ikizkenar
yamuk
4
AB + DC = 12 br
45º
A
A
B
Yamu¤un yüksekli¤i = .................
A(ABCD) = ....................
7.
3.
D
C
D
ABCD ikizkenar
yamuk
124º
E
B
4
C
ABCD ikizkenar
yamuk
70º
m(DCE) = m(EBC)
35º
A
A
B
B
m(DAC) = .....................
m(CEB) = .....................
8.
4.
D
C
D
ABCD ikizkenar
yamuk
C
ABCD ikizkenar
yamuk
AC = AB
DC = CB
A
A
B
B
BD =...........................
=................................
69
8
YAMUK
1.
D
5.
C
4
D
ABCD dik yamuk
C
2 3
ABCD dik yamuk
AC, BD = 0
A
A
B
6
BC =...........................
BC =...........................
2.
C
6.
D
4
B
3 3
D
ABCD dik yamuk
C
4
ABCD dik yamuk
BE = 2 EC
E
12
3 3
10
B
A
E A
8
B
BE =...........................
AE =...........................
7.
3.
D
4
C
D
ABCD dik yamuk
C
ABCD dik yamuk
4
E
8
6
6
A
B
A
B
DC =...........................
AB =...........................
4.
C
6
8.
D
E
C
ABCD dik yamuk
BE = 3 EC
15
B
D
ABCD dik yamuk
25
12
A
A
B
DC =...........................
AB =...........................
70
20
YAMUK
1.
D
5
5.
C
D
ABCD dik yamuk
C
ABCD dik yamuk
6
4 3
H
E
2
A
A
B
9
B
A(ABCD) = ...................
m(ADC) = .....................
2.
6.
D
D 1 C
ABCD dik yamuk
ABCD dik yamuk
H
C
8
5
2
A
E
A
B
E
ED =...........................
AE =...........................
7.
3.
D
C
B
7
C
ABCD dik yamuk
B
8
K
3
ABCD dik yamuk
6
CB = 8 birim
E
BE = 6 birim
75º
A
O
E B
A
A(ABCD) = ...................
AE + DC =.................
4.
D
C
8.
D
ABCD dik yamuk
2
C
ABCD dik yamuk
[BE] aç›ortay
D, F, B do¤rusal
E
F
10
E
DE = DC
EC = CB
AB = 2 DC
A
A
B
B
EA =...........................
m(DEC) = .....................
71
8
YAMUK
1.
D
5.
C
D
ABCD yamuk
C
AB = 6 DC
S2
S3
A
B
A
B
S1
=...............................
S2
S 1 + S2
=..........................
S3
6.
C
D
D
ABCD yamuk
S1
C
8 DC = 3 AB
E
DE = EF = FA
AB = 5 DC
F
S2
S2
A
B
A
B
S1
=...............................
S2
D
C
S1
ABCD yamuk
S1
CE = EB
E
3.
2 AB = 5 DC
F
S2
2.
CE = FB = 2 EF
E
DE = 2 EA
S1
E
ABCD yamuk
S1
S1
=...............................
S2
7.
D
ABCD yamuk
C
ABCD yamuk
CE = EB
AB = 4 DC
E
6 FE = 3 ED = 2 FA
S2
S1
2 AT = 3 DC
E
S2
5 AT = 3 TB
F
S3
A
T
A
B
S 1 + S2
=..........................
S3
S1
=...............................
S2
4.
D
8.
C
D
ABCD yamuk
S1
C
ABCD yamuk
DE = AE
AB = 4 DC
E
E
AT = DC
S2
F
3 AT = 2 TB
S1
S2
A
B
A
B
B
S1
=...............................
S2
S1
=...............................
S2
72
T
TEST
YAMUK
1.
D
8
C
4.
ABCD yamuk
120º
C
|AD| = 6 3 birim
|AB| = 14 birim
|DC| = 8 birim
6 3
D
6
ABCD dik yamuk
[AH] ⊥ [BC]
H
|CH| = |HB|
|AD| = 8 birim
|DC| = 6 birim
8
m(ADC) = 120°
A
B
14
1
B
A
Buna göre, A(ABCD) kaç birim karedir?
A) 99
A) 64
2.
B) 98
D
3
C) 88
D) 77
E) 66
5.
ABCD yamuk
C
B) 62
C) 60
D) 56
D 2 C
ABCD dik yamuk
1 AC, BC 2= 0
m(ADC) = 2m(ABC)
5
A
|DC| = 2 birim
|AB| = 10 birim
|DC| = 3 birim
|CB| = 5 birim
|BA| = 11 birim
A
Buna göre, Ç(ABCD) kaç birimdir?
y
3.
C
B) 27
B
10
B
11
A) 26
C) 28
D) 29
A) 16
E) 30
6.
OABC yamuk
B
B) 18
D
C) 20
C
m(DAB) = 60°
D(4, 2)
m(ABC) = 45°
60º
A
x
45º
A
B
Buna göre, |CB| uzunluğu kaç birimdir?
Buna göre, A(ABCD) kaç br2 dir?
A) 4 6
A) 20
B) 19
C) 18
D) 17
E) 26
|AD| = 6 birim
6
|AD| = |DB|
D(4, 2)
D) 24
ABCD yamuk
[OD] ⊥ [AB]
O
E) 54
E) 16
B) 6 2
D) 3 6
C) 3 7
E) 2 6
73
1. A
2. B
3. E
4. A
5. D
6. D
TEST
YAMUK
7.
D
C
10.
ABCD yamuk
3
D
[AC] köşegen
E
C
ABCD yamuk
[AC] köşegen
E
[BD] köşegen
K
F
3|BE| = 5|ED|
L
[BD] köşegen
G
[FG] orta taban
A(ECB) = 15 br2
A
B
A
1
B
7
|DC| = 3 birim
|AB| = 7 birim
Buna göre, |KL| uzunluğu kaç birimdir?
A) 56
A) 1
8.
B) 64
D
C) 72
D) 80
C
E) 128
D
11.
ABCD yamuk
B) 2
C) 3
C
[DC] // [EF] // [AB]
[BD] köşegen
F
E
|EF| = |FB|
A(DEC) = 5 br2
A
B
E) 5
ABCD yamuk
[AC] köşegen
E
D) 4
A
A(AEF) = 10 br2
|DE| = 2|EA|
|EF| = 4|DC|
|AC| = 12 birim
F
B
12
Buna göre, |DC| uzunluğu kaç birimdir?
A) 45
A)
9.
B) 40
D
C) 35
C
5
D) 30
E) 25
16
11
12.
ABCD yamuk
B)
18
11
D
3
C)
C
|DC| = 5 birim
|CB| = 9 birim
130º
9
24
11
A
B
27
11
E)
[AF] ⊥ [CB]
F
5|CF| = 2|FB|
|DC| = 3 birim
m(DAF) = m(FAB)
A
m(DCB) = 130°
B
Buna göre, |AD| uzunluğu kaç birimdir?
A) 18
A) 3
B) 17
C) 16
D) 15
28
11
ABCD yamuk
m(BAD) = 65°
65º
D)
E) 14
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
74
7. B
8. A
9. E
10. B
11. C
12. E
TEST
YAMUK
D
1.
C
5
4.
ABCD yamuk
D
ABCD yamuk
C
4
[FE] // [AB]
E
F
[EF] // [AB]
E
aç›ortay
A
|AB| = 10 birim
|DC| = 5 birim
|CB| = 7 birim
B
10
B) 3
D
2.
5
C) 4
C
12
A) 8
E) 6
B) 7
D
5.
|AD| = 12 birim
|DC| = 5 birim
|CB| = 10 birim
|BA| = 15 birim
13
2
C)
C
4
3
E
D) 6
E)
ABCD yamuk
[AC] köşegen
F
[BD] köşegen
A
B
|DC| = 4 birim
|EF| = 3 birim
A) 64
A) 12
B) 72
D
3.
C) 78
C
E) 96
6.
ABCD yamuğunda
köşegenler birbirine
E
A
D) 84
D
C) 14
C
D) 15
E) 16
ABCD yamuk
DEC üçgen
5|DC| = 2|AB|
|AC| = 21 birim
|DB| = 20 birim
A(ABCD) = 49 br2
A
Buna göre, |DC| + |AB| toplamı kaç birimdir?
B) 12 5
D) 29
B) 13
diktir
B
A) 12 3
11
2
[EF] // [AB]
B
15
B
9
Buna göre, |EF| uzunluğu kaç birimdir?
ABCD yamuk
10
A
D) 5
F
A
Buna göre, |FE| uzunluğu kaç birimdir?
A) 1
2|CF| = 3|FB|
|DC| = 4 birim
|AB| = 9 birim
[CE] ve [BE]
7
2
E
B
Buna göre, A(DEC) kaç birim karedir?
C) 16 3
A) 14
E) 17 3
B) 15
C) 18
D) 24
E) 35
75
1. C
2. E
3. D
4. B
5. A
6. A
TEST
YAMUK
7.
D
5
C
D
10.
ABCD yamuk
C
5
[AC] köşegen
ABCD yamuk
[AF] aç›ortay
F
[BD] köşegen
3|CF| = 2|FB|
|AD| = 9 birim
|DC| = 5 birim
9
[AB] // [DC]
A
B
9
|DC| = 5 birim
|AB| = 9 birim
2
A
B
|AC| + |BD| toplamının en küçük tamsayı değeri kaçtır?
A) 20
A) 6
8.
B) 18
D
5
C) 16
C
D) 15
E) 14
ABCD yamuk
11.
|AD| = 5 birim
|DC| = 5 birim
120º
5
C) 9
D
B
D) 12
C
E) 15
ABCD ikizkenar yamuk
[CE] ⊥ [AB]
|AD| = |BC|
|AE| = 12 birim
|EC| = 7 birim
7
m(ADC) = 120°
75º
A
B) 8
m(ABC) = 75°
A
E
12
B
A) 4 3
B) 5 3
D) 3 6
D
9.
8
C) 4 6
E) 2 6
A) 42
D
12.
C
A
10
18
B
A
C) 10
D) 11
A)
E) 12
B)
E) 84
|DE| = |EA|
|CF| = |FB|
|DC| = 6 birim
|AB| = 10 birim
F
B
10
3
16
D) 72
ABCD yamuk
E
|DE| = |EA|
|AB| = 18 birim
|BC| = 10 birim
|CD| = 8 birim
Buna göre, |EC| uzunluğu kaç birimdir?
B) 9
C
6
Buna göre,
A) 8
C) 64
ABCD yamuk
[EC] ⊥ [CB]
E
B) 48
A(EFCD)
A(ABCD)
1
4
oranı kaça eşittir?
C)
5
16
D)
7
16
E)
8
16
76
7. D
8. B
9. E
10. A
11. E
12. D
TEST
YAMUK
D
1.
C
4.
ABCD yamuk
D
ABCD yamuk
C
[DB] köşegen
F
[AC] ∩ [BD] = {K}
[DA] // [EC]
E
B
K
E
3|CF| = |FE|
A
3
[EF] orta taban
F
|AC| = 8 birim
|DB| = 10 birim
A(EFB) = 27 br2
A
B
Buna göre, |EF| nin en büyük tamsayı değeri
kaçtır?
A) 72
A) 8
2.
B) 70
C) 66
D 2 C
D) 64
E) 60
5.
ABCD yamuk
|AD| = 5 birim
|DC| = 2 birim
|CB| = 12 birim
12
5
B) 7
C) 6
D) 5
y
E) 4
OABC yamuk
[OB] ⊥ [BA]
B
C(0, 6)
l : 2y – 3x = 0
m(DAB) + m(CBA) = 90°
A
B
x
A
O
Buna göre, |OA| uzunluğu kaç birimdir?
A) 23
A) 6
B) 19
C) 17
D) 15
y
3.
D
E) 11
ABCD ikizkenar
6.
yamuk
C
B) 7
D
C) 10
2 C
A
O
B
3
|AD| = 3 birim
|DC| = 2 birim
|CB| = 4 birim
|BA| = 7 birim
B) 40
C) 42
D) 44
B
7
Buna göre, yamu€un yüksekli€i kaç birimdir?
Buna göre, A(ABCD) kaç br2 dir?
A) 36
4
x
A
E) 13
ABCD yamuk
|AD| = |BC|
DB : 3x + 4y = 24
D) 12
A) 1,2
E) 48
B) 2,4
C) 3,6
D) 4,8
E) 5,6
77
1. E
2. D
3. E
4. A
5. E
6. B
TEST
YAMUK
D
7.
C
F
C
[BD] aç›ortay
[EF] // [AB]
H
B
|AD| = 5 birim
|BC| = 5 birim
|AB| = 11 birim
5
5
|CF| = |FB|
|EF| = 7 birim
|EH| = 4 birim
4
A
D
[EH] ⊥ [EF]
7
E
10.
ABCD yamuk
3
A
B
11
Buna göre, yamu€un yüksekli€i kaç birimdir?
A) 42
A) 4
B) 49
8.
C) 56
D) 63
11.
A
4
E
C
D
B) 5
3
C) 6
7
12
A
D
E) 8
|AD| = 7 birim
|DC| = 3 birim
|BC| = 12 birim
[AB] // [CE]
|BC| = 4 birim
|ED| = 6 birim
D) 7
ABCD yamuk
C
[ED] ⊥ [DB]
6
B
E) 70
B
2m(ABC) + m(DAB) = 180°
Buna göre, A(ACE) kaç birim karedir?
A) 12
9.
D
B) 14
3
C) 16
C
D) 18
oldu€una göre, Ç(ABCD) kaç birimdir?
E) 20
A) 34
12.
ABCD dik yamuk
B) 32
D
C) 30
C
|AB| = |BC|
|DC| = 3 birim
|AD| = 7 birim
7
D) 28
E) 26
ABCD yamuk
|CE| = |EB|
3|AB| = 4|CD|
E
EA = (–6, –4)
EB = (2, –4)
A
B
A
A)
88
3
B)
88
5
C)
88
7
D)
88
9
B
E)
88
13
A) 48
B) 50
C) 52
D) 54
E) 56
78
7. C
8. A
9. A
10. A
11. B
12. E
PARALELKENAR
Paralelkenar
‹spat :
Bir ABCD dörtgeninde AB // CD ve AD // BC ise
ABCD bir paralelkenardır.
D
D
C
C
ABCD paralelkenar
[DC] // [AB]
[AD] // [BC]
A
A
H
B
K
B
[DH] ⊥ AB ve [CK] ⊥ AB olacak flekilde H ve K noktalar› seçelim,
DC // AB oldu€undan |DH| = |CK| ve
AD // BC oldu€undan m(DAB) = m(CBK) olup,
Böylece, DAH ve CBK efl üçgenleri elde edilir.
Böylece, |AD| = |BC| dir.
(Paralelkenar modelinden esinlenerek yapılmış bir eser)
ÿ
Bir paralelkenarda köflegenler birbirini ortalar.
D
ÿ
C
ABCD paralelkenar
Bir paralelkenarda karşılıklı kenarların uzunlukları eşittir.
D
C
|AB| = |DC|
|AD| = |BC|
A
|AO| = |OC|
|BO| = |OD|
O
A
B
B
‹spat :
|DC| = |AB| ve
ARASTIRMA
DC // AB oldu€undan
DOC ve BOA efl üçgenler olup.
Bir paralelkenar›n ikizkenar yamuk
olup olmayaca€›n› arkadafllar›n›zla tart›fl›p, ö€retmeninizle de€erlendirin.
Böylece, |DO| = |OB| ve |AO| = |OC| bulunur.
79
PARALELKENAR
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 1
E
D
C
20º
-:
E
D
|AE| = |DC|
3
m(AED) = 20°
A
C
ABCD paralelkenar
F
O
9
A
B
6
B
ABCD paralelkenar›nda köflegenler birbirini ortalad›€›ndan |DO| = |OB| dir.
Buna göre, BEC aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
ÇÖZÜM
-
DBC nde [CO] ve [BE] kenarortay oldu€undan F
noktas› BDC üçgeninin a€›rl›k merkezi olur.
:
D
E
20º
C
Dolay›s›yla,
80º
80º
|FC| = 6 birim ve |AC| = 18 birim bulunur.
80º
20º
A
B
ÿ
ABCD paralelkenar oldu€undan,
Bir paralelkenarda komflu iki aç›n›n aç›ortay
do€rular› dik kesiflir.
|AB| = |DC| = |AE| dir.
ABE ikizkenar üçgeninde,
D
C A
m(ABE) = m(AEB) = 80° olur.
D
E
E
Dolay›s›yla m(BEC) = 80° bulunur.
A
B B
C
‹spat :
ÖRNEK – 2
m(ABC) + m(BCD) = 180° (karşı durumlu açılar.)
E
D
3
C
2m(ECB) + 2m(EBA) =180°
[AC] köflegen
F
O
A
ABCD paralelkenar
[BD] köflegen
m(ECB) + m(EBA) = 90°
|DE| = |EC|
|OF| = 3 birim
BEC üçgeninde,
m(BEC) + m(ECB) + m(EBC) = 180° olup,
B
m(BEC) = 90°
Buna göre, |AC| uzunlu€unu bulal›m.
80
bulunur.
PARALELKENAR
UYARI
Paralelkenarsal Bölgenin Alan›
1.
Bir paralelkenarda komflu iki aç›n›n aç›ortaylar›n›n
kesiflti€i noktadan paralelkenar›n orta taban› geçer.
D
C D
C
Bir paralelkenarsal bölgenin alan› paralel olan
herhangi iki kenar› aras›daki uzakl›k ile bu kenarlarından birinin çarp›m›na eflittir.
E
D
E
C
hb
A
ÿ
B A
b
ha
B
A
Herhangi bir dörtgende kenar orta noktalar›n›n
birlefltirilmesi ile elde edilen dörtgen paralelkenard›r.
H
B
a
D
A(ABCD) = a . ha = b . hb
K
L
C
A
2.
F
E
B
Bir paralelkenarsal bölgenin alan› paralelkenar›n
ard›fl›k iki kenar uzunlu€unun çarp›m› ile bu iki
kenar aras›nda kalan aç›n›n sinüs de€erinin
çarp›m›na eflittir.
D
E, F , K, L orta noktalar ise EFKL paralelkenard›r.
C
b
a
a
‹spat :
A
D
K
L
B
b
A(ABCD) = a . b . sinα
C
A
Yukar›daki eşitliği afla€›daki gibi vektörel olarak da
ifade edebiliriz.
F
E
D
C
B
[AC] ve [BD] köşegenleri çizilirse,
FK // BD ve BD // LE
LK // AC ve EF // AC olup
A
Böylece EFKL dörtgeninin kenarlar›n›n karşılıklı paralel olduğu görülür.
B
A(ABCD) =
AB
2
. AD
2
– 1 AB, AD 2 2
O halde, EFKL bir paralelkenardır.
= AB . AD . sini
81
PARALELKENAR
¸
Pratik Bilgi
A = (a, b) ve B = (c, d) vektörleri üzerine kurulan
paralelkenarsal bölgenin alan›n›n
A(a, b)
B(c, d)
S = | b . c – a . d|
oldu€unu daha önceki derslerimizden biliyoruz.
ÖRNEK – 1
ÖRNEK – 2
D
C
D
ABCD paralelkenar
C
[DE] aç›ortay
3
A
E
[BH] ⊥ [AC]
|AD| = 2|BH|
B
4
[AC] köflegen
H
|CB| = 3 birim
|BE| = 4 birim
ABCD paralelkenar
50º
A
Buna göre, |DC| uzunlu€unu bulal›m.
m(ABH) = 50°
B
Buna göre, ADC aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
ÇÖZÜM
D
C
7
3
-:
|BH| = k birim, |AD| = 2k birim diyelim.
3
D
C
110º
A
3
E
4
H
B
2k
2k
DC // AB oldu€undan,
k
m(CDE) = m(DEA) olur. (iç ters aç›lar.)
50º
A
60º
B
Bu durumda,
Böylece, |AD| = |BC| = 2k birim olup,
ADE ikizkenar üçgen olup,
BHC üçgeni 30° – 60° – 90° bulunur.
|AD| = |AE| = 3 birim dir.
ABCD paralelkenar›nda,
Böylece,
|DC| = 7 birim
m(ABC) = m(ADC) oldu€undan,
bulunur.
m(ADC) = 110° bulunur.
82
PARALELKENAR
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 3
-:
ABCD paralelkenar›n›n köşe koordinatları,
D
C
E
F
A
8
ü
A(–5, –1)
[CE] aç›ortay
ü
B(5, –2)
[BE] aç›ortay
ü
C(8, 2)
ü
D(–2, 3)
|DF| = |FA|
|AB| = 12 birim
|BC| = 8 birim
B
12
ABCD paralelkenar
olup, bu paralelkenar AD ve AB vektörleri üzerine kurulmufltur.
AD = D – A = (3, 4)
Buna göre, |FE| uzunlu€unu bulal›m.
AB = B – A = (10, –1) olup,
ÇÖZÜM
-:
A(ABCD) = 4 . 10 – 3 . (–1) = 43 br2 bulunur.
[CE] ve [BE] aç›ortay oldu€undan
D
C
E
F
4
4
4
A
12
ÖRNEK – 5
B
Bir paralelkenarsal bölgenin alan›n› bir doğru parçası ile kaç farkl› flekilde iki eflit alana bölebilece€imizi bulal›m.
Böylece, |FE| = 12 – 4 = 8 birim bulunur.
ÇÖZÜM
-:
C D
D
C D
S
S
S
S
S
B A
A
D
C
S
B A
C D
B
C D
C
S
S
S
ÖRNEK – 4
A
B A
S
S
B
A
S
B
y
D
C
x
O
A
NOT :
B
5. örnekteki 6 flekilde de alan› bölmek için kullan›lan ek çizginin orta noktas› köflegenlerin kesim
noktas›d›r.
Buna göre, köflelerinin koordinatlar› ile verilen paralelkenar›n alan›n› bulal›m.
83
PARALELKENAR
değerlerini şekle yerleştirelim.
ÖRNEK – 6
D
Bir paralelkenarsal bölgenin alan›n› dört eflit
alana bölebilecek şekilde ek çizimler yapalım.
E
2k
3k
C
6A
2n
6A
13A
F
ÇÖZÜM
5A
-:
A
C D
D
S
C D
S
S
S
Böylece, 13A = 13 ⇒ A = 1 olup,
S S
S
B A
B
C
S
S
S
A
S
B A
S
A(ABCD) = 30A = 30 br2 bulunur.
B
ÖRNEK – 8
ÖRNEK – 7
D
E
C
D
ABCD paralelkenar
C
[AC] ∩ [DE] = {F}
|CF| = 2|FB|
F
A
A(ABCD) = 48 br2
A(AEF) = 13 br2
A
B
Buna göre, ABEF dörtgensel bölgesinin alanını bulalım.
Buna göre, paralelkenarsal bölgenin alanını
bulalım.
ÇÖZÜM
:
-:
∼ ECF
[AD] // [CE] olduğundan, DAF
AD
m(ABC), m(ABC), m(ABC), karşılaştırılırsa bu
açılardan herhangi ikisinin ölçülerinin sinüs de€erleri
eflittir .
CE
DF
O halde,
FE
D
2k
E
= 2 ve A(ADF) = 4 yazılabilir.
A(FEC)
C
3k
D
3n
C
4A
F
2k
2n
n
5k
dir.
= 2 olduğundan,
2n
A
|CE| = |EB|
E
B
-
ABCD paralelkenar
F
3|DE| = 2|EC|
ÇÖZÜM
n
n
2A
F k
A
E
B
A
1
. 5k . n . sinα = 5A
2
1
A(FEC) =
. 2n . 3k . sinβ = 6A
2
1
A(ADE) =
. 3n . 2k . sinα = 6A
2
AF
A(ABF) =
FC
= 2 ⇒ A(DFC) = 2A dır.
[AC] köşegeni paralelkenarı ortaladığından,
A(ABEF) = 5A olur.
Böylece 12A = 48 ⇒ A = 4 ve
A(ABCD) = 2(3n . 5k . sinα) = 30A
A(ABEF) = 20 br2 bulunur.
84
B
PARALELKENAR
SONUÇLAR :
5.
D
C
A
3A
A
3A
Aşağıdaki alan parçalanmalarını inceleyip anlamaya çalışınız.
4A
A
3A
3A
1.
E
D
S1
A
A
C
B
S2
S1 + S2
A
B
6.
F
D
C
S
K
2.
D
L
P
S
C
S1
P
S4
E
A
S3
B
[KL] // [DC], [FE] // [BC] ve
A, P, C doğrusal ⇒ A(KPFD) = A(EBLP)
S2
A
B
S1 + S2 = S3 + S4
7.
D
C
E
2A
3.
D
C
3A
5A
4A
S
4A
E S
2A
4A
A
A
F
B
(444 3 252)
B
[AC] köflgen ⇒ A(DEC) = A(CEB)
4.
E
D
8.
C
C
A
2A
S
2S
F
3A
S
A
E
D
F
2A
A
B
85
B
PARALELKENAR
ÖRNEK – 1
ÖRNEK – 2
D
C
5
30º
D
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
[BD] köflegen
[AC] köflgen
E
[AC] köflegen
K
C
KC = 5 birim
4
E, orta nokta
G
A(AEG) = 6 br2
KB = 4 birim
A
B
A
m(AKD) = 30°
Buna göre, ABCD paralelkenarsal bölgesinin
alan›n› bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
ÇÖZÜM
D
-:
C
4
D
5
k
4
B
EAG
EG
|AK| = |KC| = 5 birim
ve
GB
|DK| = |KB| = 4 birim
olur.
EG
GB
Dolay›s›yla, ABCD paralelkenarı köşegen uzunlukları ve köşegenler arasındaki açısının ölçüsü belli olan
bir dörtgen olduğundan alanı,
6
12
2z
AG
2
GC
1
2
2k
B
~ BCG oldu€undan,
=
=
AG
GC
=
EA
BC
=
1
dir.
2
1 ise A(AEG) = 1
2
2
A(ABG)
yani,
=
1 ise A(ABG) = 1
2
2
A(GBC)
yani,
A(GBC) = 24 br2 dir.
2
[AC] köflegeni A(ABCD) yi iki eflit parçaya böldü€ünden,
= 20 br2 bulunur.
A(ABCD) = 2 . A(ABC)
= 2 . 36
= 72 br2 bulunur.
86
24
A(ABG) = 12 br2 dir.
AC . BD . sin30 o
10 . 8 .
2t
G
A
Paralelkenarda köflegenler birbirini ortalad›€›ndan,
=
z
t
A
A(ABCD) =
30
E
K
C
k
5
30º
E, G, B do€rusal
B
PARALELKENAR
ÖRNEK – 4
ÖRNEK – 3
D
C
D
ABCD paralelkenar
C
ABCD paralelkenar
[AC] köflgen
E
|AE| = 3|EC|
2|AE| = 3|EB|
F
|BF| = 2|FC|
A(ABCD) = 48 br2
A
A(ABCD) = 240 br2
B
A
Buna göre, DEC üçgensel bölgesinin alan›n›
bulal›m.
ÇÖZÜM
Buna göre, BEF üçgensel bölgesinin alan›n›
bulal›m.
-:
ÇÖZÜM
D
-:
C
A
3k
D
C
k
E
3A
B
E
F
3t
11A
4A
A
t
15A
4A
B
3k
A
E
2k
B
5k
EC
AE
=
A(DEC)
A(ADE)
1 oldu€undan,
3
=
1
3
[AC] köflegeni çizilirse,
A(EBF)
yani,
=
A(ABC)
EB . BF
AB . BC
= 2k . 2t = 4 olup.
5k . 3t 15
A(DEC) = A , A(ADE) = 3A bulunur.
A(EBF) = 4A , A(ABC) = 15A
[AC] köflegen oldu€undan,
Dolay›s›yla,
A(ABCD) = 2 . A(ADC)
A(ABCD) = 30A olur.
= 2 . 4A
30A = 240 ise A = 8 br2 ve
= 8A olur.
A(BEF) = 4A oldu€undan,
8A = 48 ise A = 6 br2 bulunur.
A(BEF) = 32 br2 bulunur.
87
2t
PARALELKENAR
ÖRNEK – 5
ÖRNEK – 6
D
C
D
ABCD paralelkenar
C
ABCD paralelkenar
[CF] açıortay
E
2
A
A(DFC) = 24 br2
[EF] ⊥ [FC]
3
F
|DE| = |EA|
|EF| = 2 birim
|FC| = 3 birim
B
A(AFB) = 10 br2
F
A
B
ÇÖZÜM
-:
F noktas› ABCD paralelkenar›n›n içinde herhangi
bir nokta oldu€undan,
ÇÖZÜM
-:
A(ABF) + A(DFC) = A(ADF) + A(FBC) =
k
K
D
C
3k
E
A
10 + 24 =
k
2k
3
2
k
F
2k
B
dir.
A (ABCD)
2
⇒ A(ABCD) = 68 br2 bulunur.
ÖRNEK – 7
D
[FK ve [CK uzat›l›rsa,
KDE
2
Dolay›s›yla,
k
2
A (ABCD)
C
≅ FAE bulunur.
ABCD paralelkenar
A, E, C do€rusal
E
A(BFC) = 4 br2
Dolay›s›yla,
|KE| = |EF| = 2 birim
F
ve
A(AEF) = 6 br2
A
B
A(KDE) = A(FAE) olur.
Buna göre, A(DEC) de€erini bulal›m.
A(FCK) = A(AFCD) olup,
A(AFCD) =
A(CFK)
A(FBC)
ÇÖZÜM
4.3
⇒ A(AFCD) = 6 br2
2
-:
Köşegen paralelkenarın alanını ortalar.
D
4k
=
= 2 eşitliği ile
2k
S
A(FBC) = 3 br2 dir.
E
A(ADE) = S diyelim.
6
F
Dolay›s›yla,
A
A(ABCD) = 6 + 3
=9
C
br2
B
A(ADF) + A(FBC) =
bulunur.
A(ADC) =
4
A (ABCD)
2
A (ABCD)
2
ve
olduğundan,
S + 10 = S + A(DEC) ⇒ A(DEC) = 10 br2 bulunur.
88
PARALELKENAR
ÖRNEK – 8
ÖRNEK – 9
E
ABCD paralelkenar
Köflegen uzunluklar› e, f ve kenar uzunluklar›
a, b olan bir paralelkenarda,
[DB] ∩ [AE] = {K}
D
F
C
2
4
|AK| = 4 birim
|KF| = 2 birim
e2 + f2 = 2(a2 + b2)
oldu€unu gösterelim.
K
A
ÇÖZÜM
B
-:
Buna göre, |FE| uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM
a
D
-:
C
b
[DF] // [AB] olduğundan,
b
Tales teoremi gereği |AB| = 2|DF| yazılabilir.
|AB| = 2k olup |FC| = k olur.
k
F
a
D
k
C
C
2
A
e2 = a2 + b2 – 2ab . cosα . . . Å
b
K
4
B
ABC nde kosinüs teoremi ile,
E
D
a
A
O halde |DF| = k dersek,
b
B
2k
A
a
B
[FC] // [AB] olduğundan, EAB nde,
Tales teoreminden
FE
FE + 6
=
k
2k
BDC nde kosinüs teoremi ile
f2 = a2 + b2 – 2ab . cosβ . . . Ç
|FE| = 6 birim bulunur.
α + β = 180° oldu€undan,
cosα = –cosβ d›r.
¸
Böylece,
Pratik Bilgi
Å. ve Ç. denklemler toplan›rsa,
E
z
D
F
C
y
x
A
e2 + f2 = 2(a2 + b2) bulunur.
ABCD paralelkenar
x2 = y(y + z)
K
B
89
olup,
PARALELKENAR
1.
5.
E
D
E
D
C(–2, 3)
ABCD
paralelkenar
C
ABCD paralelkenar
A, F, E do¤rusal
4
AB = 4 EC
F
AE = 12 birim
A
A
B(1, –1)
8
B
EC =...........................
A(ABCD) =.....................
2.
6.
E
D
C
74º
D
ABCD paralelkenar
[AE] aç›ortay
ABCD paralelkenar
DE, AC = 0
DC = AE
A
C
75º
BC = 2 DE
E
A
B
B
m(ABC) = .....................
m(ADC) = .....................
3.
7.
D
C
D
ABCD paralelkenar
E
C
4
A(BGC) = 6 br2
E
F
T
G
ABCD paralelkenar
[AF]
[BE] = {T}
8
A
A
B
B
10
Ç(ABCD) =.....................
A(ABCD) =.....................
4.
8.
E
D
C
D
[AE]
F
12
ABCD paralelkenar
C
ABCD paralelkenar
[BD] = {F}
CE = 3 ED
BD = 20 birim
A
A
B
BC =...........................
DF =...........................
90
E4 B
PARALELKENAR
5.
1.
F
D
C
C
[BD] köflegen
E
DF = 2 FA
F
DF = FC
AC = 24 birim
B
ABCD paralelkenar
CE = 2 ED
[AC] köflegen
K
A
E
D
ABCD paralelkenar
A(ABCD) = 180 br2
A
B
A(ABCEF) =....................
EK =...........................
6.
2.
D
C
D
ABCD paralelkenar
C
6
60º
4
ABCD paralelkenar
E
E
2
A
F
A
B
H
B
AB =...........................
AB =...........................
7.
3.
D
C
6
D
ABCD paralelkenar
C
[AC] köflegen
10
E
[DE]
33º
[AC]
ABCD paralelkenar
C, F, E do¤rusal
F
AE = EF
CE = EB
A
A
B
E
B
m(ADF) = .....................
A(AEB) = .....................
8.
4.
D
C
4
D
C
ABCD paralelkenar
H
8
A
6
16
A
B
E
m(CDB) = m(ADE)
B
Ç(ABCD) =.....................
HC =...........................
91
4
ABCD paralelkenar
PARALELKENAR
1.
5.
F
D
E 3 C
D
ABCD paralelkenar
[KC]
P
6
K
C
5
[BF] = {P}
F
A
B
ABCD paralelkenar
[AC]
[BD] = {F}
[BE]
[DC]
BE = 6 birim
A
B
PC =...........................
AB =...........................
2.
6.
D
C
10
F
8
F
K
7.
D
ABCD paralelkenar
C
ABCD paralelkenar
E
13
5
A
[AD] // [EK]
KE =...........................
3.
C
[BD] = {K}
AD = 6 birim
B
FE =...........................
10
ABCD paralelkenar
[AF]
DE = 2 EC
A
B
D 1 E
C
6
E
A
E
D
ABCD paralelkenar
30º
8
A
B
B
A(ABCD) = ....................
A(ABCD) =.....................
4.
8.
D
C
105º
D
ABCD paralelkenar
C
K
DE = EB
3
E
A
ABCD paralelkenar
4
E
92º
2
A
B
AC =...........................
m(ABE) = .....................
92
B
PARALELKENAR
5.
1.
D
C
E
D
ABCD paralelkenar
AE = DC
C
ABCD paralelkenar
[DE]
F
K
A(DKF) = 4 br2
38º
32º
A
A
B
[CF] = {K}
E
A(KEC) = 10 br2
B
A(ABCD) = ....................
m(BCD) = .....................
6.
2.
D
C
E
6
B
K
A
K
[AC]
[BE] = {K}
FK =...........................
7.
3.
C
ABCD paralelkenar
[FK] // [AB]
B
FK =...........................
D
C
8
F
F
4
A
D 4 E
ABCD paralelkenar
[AC] [DK] = {F}
D
ABCD paralelkenar
C
[DE]
8
11
ABCD paralelkenar
[CF]
E
60º
A
E
5
A 2 F
B
DE =...........................
Ç(ABCD) = ....................
8.
4.
D
C
K
B
D
ABCD paralelkenar
4
H 1C
ABCD paralelkenar
B, E, K do¤rusal
124º
E
40º
A
A
B
AH =...........................
m(AKB) = .....................
93
B
PARALELKENAR
5.
1.
D
D
C
L
4
3
H
ABCD
paralelkenar
C
ABCD
paralelkenar
2
F
E
K
F
B
A
A
A(ABCD) = .....................
A(EFKL) = .....................
6.
2.
D
C
B
7
E
ABCD
paralelkenar
K
C
AD = (5, –2)
9
F
ABCD
paralelkenar
D
4
5
AB = (4, 8)
A
12
B
B
FK =...........................
A(ABCD) = .....................
3.
A
7.
D
C
5
8
30°
D
C
ABCD
paralelkenar
K
24
F
DK = 5 birim
ABCD
paralelkenar
A(ABCD) = 82 br2
KC = 8 birim
B
A
B
A
A(AFB) = ......................
A(ABCD) = .....................
4.
8.
y
D
C
ABCD
paralelkenar
C
D
D(0, 3)
E S1
B(5, 0)
O
A
B
S2
x
B
A
P
S1
=...............................
S2
Paralelkenar›n köfle koordinatlar› toplam› = ............
94
ABCD
paralelkenar
TEST
PARALELKENAR
1.
4.
Bir ABCD paralelkenar›nda bir kenar ve bir köflegen
D
E
C
vektörleri DA = (–2, 3) ve BD = (4, 7) dir.
B) 23
C) 24
D) 25
D
E
C
|AB| = 10 birim
|BC| = 8 birim
8
A
E) 26
B
10
Buna göre, |EC| uzunlu€u kaç birimdir?
A) 1
2.
5.
ABCD paralelkenar
B) 2
D
C) 3
F
D) 4
C
A
K
[BD] köşegen
12
ABCD paralelkenar
B, K, F doğrusal
D(2, 3)
|FB| = 12 birim
|CE| = 2|DE|
B
E) 5
[AC] köşegen
A, F, E doğrusal
F
ABCD paralelkenar
[AE] açıortay
Buna göre, paralelkenarsal bölgenin alan› kaç
br2 dir?
A) 22
1
A
F(3, n)
B
C(4, k)
|AC| = 24 birim
Buna göre, |DB| uzunlu€u kaç birimdir?
Buna göre, |AK| uzunlu€u kaç birimdir?
A) 13
A) 18
3.
B) 14
A
C) 15
K
D
6
4
5
L
5
B
6
E
D) 16
E) 17
6.
ABCD paralelkenar
A) 6
D
E
|BE| = |KD| = 6 birim
|KL| = |LC| = 5 birim
|DL| = 4 birim
C
D) 15
E) 14
ABCD paralelkenar
[AF] aç›ortay
[BE] açıortay
6
A
17
D)
2
F
K
C
15
C)
2
C) 16
3
Buna göre, |AE| uzunlu€u kaç birimdir?
13
B)
2
B) 17
|AB| = 10 birim
|BK| = 6 birim
|KE| = 3 birim
B
10
E) 9
A) 35
B) 30
C) 25
D) 20
E) 15
95
1. E
2. D
3. C
4. B
5. C
6. A
TEST
PARALELKENAR
7.
C
D
10.
ABCD paralelkenar
D
C
[BE] ⊥ [AC]
E
[AC] köşegen
6
|AD| = 10 birim
|BE| = 6 birim
m(ABE) = 70°
70º
B
A
A
ABCD paralelkenar
[BE] ⊥ [AC]
E
10
|AD| = 2|BE|
1
B
Buna göre, ADC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
Buna göre, DEC üçgensel bölgesinin alanı
kaç br2 dir?
A) 100
A) 16
8.
B) 105
D
E 2
C) 110
F
C
D) 120
E) 130
11. C
ABCD paralelkenar
B) 18
E
C) 20
D
A
[AE] açıortay
|DC| = |AE|
[BE] açıortay
m(DCB) = 64°
|BC| = 6 birim
|EF| = 2 birim
B
E) 28
ABCD paralelkenar
64º
[AF] açıortay
6
D) 24
B
A
Buna göre, |AB| uzunlu€u kaç birimdir?
Buna göre, EBC aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
A) 15
A) 38
9.
B) 13
C) 10
D
C
D) 9
E) 7
12.
ABCD paralelkenar
C) 40
E
AD = (2, 5)
D
AB = (8, 2)
A
B) 39
D) 41
E) 42
ABCD paralelkenar
2
C
F
[DE] aç›ortay
[BE] açıortay
|CF| = 2|FD|
|EF| = 2 birim
B
A
B
Buna göre, |FB| uzunlu€u kaç birimdir?
A) 24
A) 8
B) 28
C) 32
D) 36
E) 40
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
96
7. E
8. C
9. D
10. D
11. E
12. A
TEST
PARALELKENAR
1.
D
C
4.
ABCD paralelkenar
D
C
A(DFC) = 14 br2
F
F
A(AFB) = 6 br2
2
ABCD paralelkenar
2|AE| = 3|EB|
|BF| = 2|FC|
A(ABCD) = 240 br2
A
A
B
E
B
Buna göre, A(BEF) kaç birim karedir?
A) 40
A) 44
2.
B) 44
C) 46
D
C
D) 48
E) 52
ABCD paralelkenar
5.
B) 42
D
C
[CE] açıortay
3
A
E
|CE| = 12 birim
|BF| = 3 birim
B
E) 28
ABCD paralelkenar
[AC] köşegen
K
3|AE| = |EB|
D) 32
[BD] köflegen
135º
[BF] açıortay
F
C) 40
A
KC = (4, 8)
B
KD = (2, k)
m(DKC) = 135°
A) 46
A) 68
3.
D
B) 48
C) 50
E
C
F
D) 52
E) 54
ABCD paralelkenar
6.
|DE| = |EC|
|CF| = |FB|
B) 72
C
D
D) 80
E) 84
ABCD paralelkenar
[AC] köşegen
H
F
B
B
E ve F bulundukları
G
A(AEF) = 24 br2
A
C) 76
kenarların orta nok-
E
A
talarıdır.
A(DGH) = 8 br2
Buna göre, A(CGEB) kaç birim karedir?
A) 60
A) 18
B) 62
C) 64
D) 68
E) 70
B) 20
C) 22
D) 24
E) 32
97
1. A
2. B
3. C
4. D
5. D
6. B
TEST
PARALELKENAR
7.
8
D
C
D
10.
ABCD paralelkenar
C
[DE] aç›ortay
E
6
A(AEG) = 6 br2
|AD| = 6 birim
|DC| = 8 birim
B
A
8.
B) 4
C
C) 5
E
D) 6
D
B
Buna göre, |EF| uzunlu€u kaç birimdir?
A) 3
A) 46
E) 7
B) 58
11.
ABCD paralelkenar
x
3
B
|BF| = 3 birim
|AF| = 6 birim
|AE| = 2 birim
|EC| = x
E
F
A
D
C
Buna göre, |EC| = x kaç birimdir?
A) 118
A)
9.
B) 120
C) 122
D
C
A1
F
A4
A3
A
D) 124
E) 126
5
2
C)
F
7
2
A2 = 6 br2
E)
9
2
[DE] ∩ [BF] = {G}
|DF| = |FC|
|BE| = |EC|
E
A4 = 13 br2
B
B
D) 4
ABCD paralelkenar
D
G
A1 = 7 br2
A2
B) 3
12. C
ABCD paralelkenar
E) 80
AFDE paralelkenar
2
A(AEF) = 55 br2
D) 72
ABC üçgen
6
|CF| = 2|FB|
B
C)66
A
3|DE| = |EC|
F
E orta nokta
G
[DC] // [EF] // [AB]
A
ABCD paralelkenar
[AC] köşegen
E
[AE] açıortay
F
2
A
Yukarıdaki verilenlere göre, A3 alanı kaç br2
dir?
Şekildeki ABCD paralelkenarsal bölgesinin alanının GEB üçgensel bölgesinin alanına oranı
kaçtır?
A) 10
A) 36
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
B) 30
C) 24
D) 20
E) 12
98
7. C
8. B
9. C
10. D
11. D
12. E
DİKDÖRTGEN
DİKDÖRTGEN
ÖRNEK – 1
Aç›lar›ndan biri dik olan paralelkenara dikdörtgen
denir.
D
D
C
C
ABCD dikdörtgen
[AC] köflegen
E
[BD] köflgen
|EB| = |AD|
O
A
A
B
ü
ABCD dikdörtgen.
ü
Köflegenler birbirine eflittir.
ü
B
Buna göre, ADB aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
-:
|AC| = |BD|
ÇÖZÜM
Köflegenler birbirini ortalar.
Dikdörtgenin köflegen uzunluklar› eflit ve birbirini
ortalad›€›nda,
|AO| = |OC| = |DO| = |OB|
D
Paralelkenar ve Dikdörtgen Aras›ndaki
Farkl›l›klar ve Benzerlikler
ÿ
‹kisinde de köflegenler birbirini ortalar.
ÿ
Dikdörtgende köflegen uzunluklar› birbirine eflit,
Paralelkenarda köflegen uzunluklar› farkl›d›r.
ÿ
Dikdörtgenin 2 tane simetri ekseni vard›r,
Paralelkenar›n simetri ekseni yoktur.
ÿ
‹kisinde de köflegenlerin kesim noktas› a€›rl›k
merkezidir.
E
A
C
A
B
A(ABCD) =
AB
2
. AD
2
dolay›s›yla m(ADB) = 60° bulunur.
– 1 AB, AD 2 2
= AB . AD
99
B
AED üçgeni eflkenar üçgen olup,
Bir Dikdörtgensel Bölgenin Alan›
D
C
DİKDÖRTGEN
ÖRNEK – 2
ÖRNEK – 3
F
D
D
C
C
ABCD dikdörtgen
ABCD dikdörtgen
|AC| = |BE|
[AC] köflegen
24º
F
m(AED) = 20°
[BD] köflegen
E
20º
|BE| = |DF|
A
A
B
E
m(FEC) = 24°
B
Buna göre, AFD aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
Buna göre, BDC aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
-:
-:
[BD] köflegeni çizilirse, dikdörtgenin köflegen
uzunluklar› eflit oldu€undan, |AC| = |DB| dir.
Dikdörtgende köflegen uzunluklar› eflit ve birbirini
ortalad›€›ndan |DE| = |EB| = |EC| = |EA| olur.
D
F
D
C
F
20º
C
O
24º
40º
A
E
A
40º
20º
B
|AC| = |BE| oldu€undan,
B
|DB| = |BE| oldu€u görülür.
m(BDC) = α diyelim.
O halde,
D
F
C
m(BDE) = 20° ve
24º +
24º +
24º
m(DBA) = 40° bulunur.
E
|OA| = |OB| oldu€undan,
‹ç aç›lar› toplam›ndan,
m(CAB) = 40° olup,
3α + 48° = 180°
FAE nde d›fl aç›dan,
m(AFD) = 40° + 20°
3α = 132°
= 60° bulunur.
α = 44° bulunur.
100
E
DİKDÖRTGEN
ÖRNEK – 4
ÖRNEK – 5
D
C
D
ABCD dikdörtgen
C
ABCD dikdörtgen
[AC] köflegen
E
[AC] köflegen
F
[BD] köflegen
[DH] ⊥ [AC]
H
[EF] ⊥ [BD]
|AE| = 2 birim
|EB| = 6 birim
[DH] aç›ortay
A
B
A
Buna göre, BAC aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
ÇÖZÜM
[BD] köflegen
2
E
Buna göre, dikdörtgensel bölgenin alan›n›n
bulal›m.
-:
ÇÖZÜM
-:
D
Dikdörtgende köflegen uzunluklar› eflit ve birbirini
ortalar.
C
F
O halde |AE| = |EB| = |EC| = |ED| olup,
D
B
6
C
A 2
E 2 H
4
B
E
Dikdörtgende köflegen uzunluklar birbirine eflit
oldu€undan,
H
A
DHE
B
|AF| = |FB| olup,
≅ DHA oldu€undan,
[FH] ⊥ [AB] olacak flekilde H noktas› [AB] n› eflit iki
parçaya böler.
|DE| = |DA| dir.
ADE üçgeninin eflkenar üçgen oldu€u anlafl›l›r.
FEB nde öklid ba€›nt›s› ile,
Böylece, m(DAE) = 60° olup,
|FH|2 = 2 . 4
m(BAC) = 30° bulunur.
⇒ |FH| = 2 2 birim dir.
Böylece,
A(ABCD) = 4 . A(AFB)
=4.
2 2 .8
= 32 2 br 2 bulunur.
2
1
1
Alt›n dikdörtgen
101
=1+
1
DİKDÖRTGEN
ÖRNEK – 6
ÖRNEK – 7
D
C
ABCD dikdörtgen
D
|AE| = 8 birim
|EB| = 5 birim
C
ABCD dikdörtgen
[AC] köflegen
C, B, F do€rusal
E
A
E
8
5
B
|AC| = |BF|
|FC| = |FE|
B
A
D›
DAC üçgeninin yans›mas› D›AC üçgenidir.
F
Buna göre, DFC aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
ÇÖZÜM
Yans›ma dönüflümü uzunluk ve aç›lar› de€ifltirmez.
-:
[DB] köflegenini çizelim.
O halde, |AD| = |AD›| ve |CD| = |CD›| dür.
D
D
C
C
O
E
8
2
2
2
A
A
E 5
8
B
B
D›
F
‹ç ters aç›lardan,
|AC| = |DB| ve |AC| = |BF| oldu€undan,
m(DCA) = m(CAB) = α oldu€undan,
|DB| = |BF| bulunur. m(DFC) = α diyelim.
|AE| = |EC| = 8 birim bulunur.
Böylece, m(BDF) = α olup,
Böylece,
d›fl aç›dan m(DBC) = 2α ve
BEC nde pisagor bag›nt›s› ile,
|BC|2 + 52 = 82
⇒ |BC| =
|OB| = |OC| oldu€undan, m(ACF) = 2α d›r.
39 birim bulunur.
|FC| = |FE| oldu€undan, m(CEF) = 2α d›r.
FEC nde iç aç›lar toplam›ndan,
5α = 180° ⇒ α = 36° bulunur.
102
DİKDÖRTGEN
ÖRNEK – 8
ÖRNEK – 9
D
C
E
4
[DB] köflegen
|AD| = |EC|
F
m(EFC) = m(ABD)
B
A
|FC| = 8 birim
B
Buna göre, dikdörtgensel bölgenin alan›n› bulal›m.
Buna göre, |DE| uzunlu€unu bulal›m.
ÇÖZÜM
-
ABCD dikdörtgen
8
|BE| = 6 birim
|EC| = 4 birim
A
C
[BE] ⊥ [AC]
6
ÇÖZÜM
E
D
ABCD dikdörtgen
-:
:
a
E
D
C
[DH] ⊥ [AC] olacak flekilde H ∈ [AC] belirleyelim.
8
D
a
C
E
6
4
b
A
5
4
F
H
B
6
m(DBA) = α diyelim.
A
B
Böylece iç ters aç›dan m(CDB) = α olup,
BEC
|CE| = |AD| = a
∼ DHA olup,
FCE
|BC| = |DA| oldu€undan,
BEC
FC
DC
≅ DHA d›r. O halde,
ve |AB| = b olsun.
∼ DCF oldu€undan,
=
CE
CF
8
a
eflitli¤i ile
=
8
b
&
a . b = 64 bulunur.
|BE| = |DH| = 6 birim ve
Böylece, A(ABCD) = a . b = 64 br2 bulunur.
|EC| = |HA| = 4 birim olur.
BAC nde öklid ba€›nt›s› ile
|BE|2 = |AE| . |EC|
Geometrik –– Cebirsel
⇒ 62 = |AE| . 4 eflitli€inden,
a
x
|AE| = 9 birim bulunur.
x
Böylece, DHE nde pisagor ba€›nt›s› ile
x
x
x2 + ax
cebirsel
|DE|2 = 62 + 55
⇒ |DE| =
61 birim bulunur.
x
geometrik
103
a
DİKDÖRTGEN
ÖRNEK – 10
ÖRNEK – 11
D
E
C
D
ABCD dikdörtgen
6
[AH] ⊥ [BE]
H
C
A(ABCD) = 24 br2
4
B
A
Buna göre, |AH| uzunlu€unu bulal›m.
ÇÖZÜM
|PD| = 6 birim
|PB| = 4 birim
|PC| = 3 birim
3
P
|BE| = 12 birim
A
ABCD dikdörtgen
B
Buna göre, |AP| uzunlu€unu bulal›m.
-:
ÇÖZÜM
1. Yol :
-:
P noktas›ndan [AB] ve [DC] na dikmeler indirelim.
fiekilde gerekli aç›lar› isimlendirelim.
D
E
D
C
a
b
P
6
H
A
b
a
A
A(ABCD) = 24 br2 ⇒ a . b = 24 ve
CEB
=
BA
CB
HA
&
4
a
b
B
Böylece;
∼ HBA (A.A.A)
EB
3
x
B
C
"Birbirine en uzak parçaların uzunluklar›n›n kareleri toplamı eşit." olduğundan,
12
b
=
a
AH
x2 + b2 = a2 + 42
‹çler – d›fllar çarp›m› ile 12 . |AH| = a . b
PAB nde
12 . |AH| = 24 ⇒ |AH| = 2 birim bulunur.
PDC nde + a2 + 32 = b2 + 62
x2 + 9 = 16 + 36
x=
43 birim bulunur.
2. Yol :
A ile E noktalar›n› birlefltirelim.
D
E
C
¸
H
A
Pratik Bilgi
D
c
B
a
A(ACBD) = 2A(AEB) oldu€undan,
24 = 2 .
AH . 12
2
A
⇒ |AH| = 2 birim bulunur.
b
P
d
B
P noktas› nerede olursa olsun a2 + b2 = c2 + d2 dir.
104
C
DİKDÖRTGEN
1.
5.
D
C
D
ABCD dikdörtgen
[AC] köflegen
20º
E
C
2
[BD] köflegen
[BD] köflegen
6
DE = FB
A
ABCD dikdörtgen
E
F
B
A
B
CE =...........................
m(AEF) = .....................
2.
6.
D
4
E
C
9
D
ABCD dikdörtgen
F 3
C
5
4
F
4
E
A
A
B
ABCD dikdörtgen
B
DC =...........................
A(ABCD) = ....................
3.
7.
D
D
ABCD dikdörtgen
C
C
ABCD dikdörtgen
3
E
4
F
7
A
E
2
A
B
B
A(ABCD) = ....................
A(ABCD) = ....................
4.
8.
D
C
D
ABCD dikdörtgen
F
A
B
Ç(ABCD) = ....................
ABCD dikdörtgen
[BD]
H
B
A(ADK) = .....................
105
C
4
2
E
3
K
3
A
E
6
[AE] = {K}
DİKDÖRTGEN
1.
5.
D
C
D
ABCD dikdörtgen
C
ABCD dikdörtgen
60º
15º
4
4
A
E
B
6
E
8
A
B
DE =...........................
A(ABCD) = ....................
2.
6.
D
C
60º
A
E
F
D
ABCD dikdörtgen
[AC] [BD] = {E}
C
60º
ABCD dikdörtgen
[AC] köflegen
F
FB = 8 birim
H
4 3
E
8
A
B
[DE]
[AC]
[BF]
[AC]
B
EF =...........................
A(ABCD) = ....................
3.
7.
D
C
4
N
C
15
ABCD dikdörtgen
EC = 15 birim
K FK = 6 birim
F
E
A
E
NL = 4 birim
6
L
D
ABCD dikdörtgen
12
B
A
B
AC =...........................
A(EFL) = ......................
4.
8.
E
D
C
4
12
[AC]
F
D
ABCD dikdörtgen
C
[DF]
A(EFC) = 4 br2
3
F
A(ADE) = 12 br2
A
A
B
4
E
4
B
DF =...........................
A(ABCD) = ....................
106
ABCD dikdörtgen
[BE] = {F}
[EC]
DİKDÖRTGEN
1.
5.
D
C
16
A(BEC) = 20
50
E
E
DE = EB
B
A
6.
C
B
9
Ç(ABCD) = ....................
2.
K
ABCD dikdörtgen
br2
BE =...........................
D
C
4
A(AECD) = 50 br2
20
A
D
ABCD dikdörtgen
ABCD dikdörtgen
E
D
A(ABCD) = 24 br2
F
ABCD dikdörtgen
C A(ABCD) = 48 br2
3
[CE]
8
N
L
M
A
[EA]
AF = 8 birim
A
B
B
DF
=...........................
FC
A(KLMN) = ....................
3.
7.
D
C
D
ABCD dikdörtgen
Ç(ABCD) = 40 birim
E
C
[AE]
5
9
F
12
A
ABCD dikdörtgen
A
B
[BD] = {F}
DF = 5 birim
B
EC =...........................
A(ABCD) = ....................
4.
8.
D
C
D
ABCD dikdörtgen
[BE]
ABCD dikdörtgen
[CF]
E
6
C
12
67,5º
A 3
F
A
B
A(ABCD) = ....................
DC =...........................
107
B
DİKDÖRTGEN
1.
5.
D
C
D
ABCD dikdörtgen
y
ABCD dikdörtgen
D(0, 2) ve A(–1, 0)
[AC] köflegen
8
2 5
[DE]
x
A
E
A
C
O
[AC]
B
B
A(BEC) = ......................
B köflesinin koordinatlar› = ..................
2.
6.
D
C
D
ABCD dikdörtgen
[BD] köflegen
6
ABCD dikdörtgen
[AE]
6
E
[EC]
CE = 12 birim
m(DBC) = 2m(ADE)
A
DE = EB
A
C
F
3
B
B
E
AB =...........................
A(ABCD) = ....................
3.
7.
D
C
F
4
D
ABCD dikdörtgen
C
5 2
KDC üçgen
[AC] köflegen
2
ABCD dikdörtgen
4
E
E
A
A
F
B
K
B
EF =...........................
EF =...........................
4.
8.
D
C
F
K
D
ABCD dikdörtgen
BEF üçgen
6
ABCD dikdörtgen
24
F
45
E
8
A
C
E
60º
A
B
AB =...........................
A(BEF) = ......................
108
B
DİKDÖRTGEN
5.
1.
K
D
M
C
2
E
F
6
N
ABCD dikdörtgen
F
A, F, E do¤rusal
18
L
A
C
A(ABCD) = 60 br2
[KL] // [MN] // [BC]
[EF] // [AB]
12
E
D
ABCD dikdörtgen
B, G, F do¤rusal
G
A
B
B
A(FEG) = ......................
A(ABCD) = ....................
6.
2.
A
B
10
D
ABCD dikdörtgen
4
[EF] // [AB]
E
F
C
4
ABCD dikdörtgen
G
[AE]
F
60º
D
A
C
[DF] = {G}
A(DEG) = 4 br2
12
4
4
E
4
A(AGF) = 12 br2
B
AB =...........................
AD =...........................
7.
3.
D
C
D
ABCD dikdörtgen
C
[AC] köflegen
E
E
73
4
[BD] köflegen
F
5
A
ABCD dikdörtgen
CF = 4 birim
2
A
B
F
G
FB = 2 birim
B
EF =...........................
CE =...........................
8.
4.
D
E
C
F
C
A
B
B
A(AFE) = ......................
m(BKC) = .....................
109
E
6
m(DKE) = 60º
K
ABCD dikdörtgen
2
CE = EK
60º
A
D
ABCD dikdörtgen
DİKDÖRTGEN
5.
1.
D
C
6
12
B
ABCD dikdörtgen
K 2 A
ABCD dikdörtgen
EC = CK
A
F
2
C
B
E D
A(ABCD) = ....................
A(ABCD) = ....................
6.
2.
D
C
D
ABCD dikdörtgen
E
4
C
6
ABCD dikdörtgen
4 6
A
A
F 2 3 B
B
A(ABCD) = ....................
A(ABCD) = ....................
7.
3.
D
C
60°
D
C
ABCD dikdörtgen
[DE] [AC]
ABCD dikdörtgen
[DF] [FB]
6
6
E
DE = 6 birim
A
A
B
E
B
F
3
A(ABCD) = ....................
A(ABCD) = ....................
8.
4.
D
C
[CH]
O
4
D
ABCD dikdörtgen
A
ABCD dikdörtgen
5
[BD]
4
L
N
6
K
H
A
C
B
B
A(MBKN) = ....................
A(ABCD) = ....................
110
M
TEST
DİKDÖRTGEN
1.
D
4.
ABCD dikdörtgen
C
10
D
C
|AD| = 8 birim
|DC| = 10 birim
|AE| = 6 birim
H
A
E
6
2
E
A
B
Buna göre, |HE| uzunluğu kaç birimdir?
Buna göre, |EC| uzunluğu kaç birimdir?
A) 2
A) 2 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
C
5.
ABCD dikdörtgen
D
10
D
[DF] ⊥ [FC]
B)
13
6
F
2
B
E
A
B) 5
C) 6
D
C
D) 7
A) 6
E) 8
6.
ABCD dikdörtgen
M
[FE] ⊥ [EB]
|DF| = |FA|
|FE| = 3 birim
|DE| + |DC| = 10 br
B
B) 8
C) 9
D
C
L
B
D) 10
m(DEC) = m(BEC)
60º
L ve M noktaları bu-
4
lundukları kenarların
m(ADE) = 60°
|BC| = 4 cm
|DB| = 12 birim
A
E
B
Buna göre, |LM| uzunluğu kaç birimdir?
Buna göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 8
A) 36
B) 6
C) 5
D) 4
E) 11
ABCD dikdörtgen
orta noktaları
A
ABCD dikdörtgen
[DB] köşege
E
C
A
Buna göre, A(EBCF) kaç birim karedir?
A) 4
E
F
|AE| > |EB|
|DC| = 10 birim
|AD| = 6 birim
|FE| = 2 birim
15
C)
E) 4 3
3
[FE] ⊥ [AB]
3.
|BC| = 2 birim
|AB| = 3 3 birim
B
3 3
D) 3 3
2.
ABCD dikdörtgen
ADE eşkenar üçgen
[CH] ⊥ [DE]
8
1
E) 3
B) 34
C) 32
D) 30
E) 38
111
1. C
2. E
3. B
4. B
5. B
6. C
TEST
DİKDÖRTGEN
7.
CF
D
T
G
B
a–b
A) 12
B) 13
8.
C) 14
D) 15
a
B
B
Buna göre, a . b çarpımı kaça eşittir?
E) 16
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
11. Uzun kenar› a birim, k›sa kenar› b birim olan
bir dikdörtgenin çevresi a – b fark›n›n 4 kat›na
eflittir.
ABCD dikdörtgen
A
5
A
Buna göre, A(AEFG) kaç birim karedir?
ABCD dikdörtgen
|EC| = 3 birim
|EB| = 5 birim
|DE| = a – b birim
|AE| = a + b birim
3
a+b
A
8
C
E
|AT| = 4 birim
|AB| = 8 birim
4
E
10. D
ABCD dikdörtgen
AEFG dikdörtgen
1
|AB| = |BE| = a
|AD| = b
b
a
D
C
F
Buna göre,
oran› afla€›dakilerden hangisib
dir?
a
A) 3
B) 2
5
4
C)
E
D)
6
5
E)
7
6
Buna göre, |FC| uzunlu€u afla€›dakilerden
hangisidir?
A) a – b
9.
B)
D
E
b
a
C)
a
b
C
a+b
2
E)
12. F
ABCD dikdörtgen
[BD] köflegen
5
A
D
C
ABCD dikdörtgen
F, E, B doğrusal
E
|DE| = |EC|
|AD| = 9 birim
|DF| = 5 birim
F
9
D) b
|FC| = 10 birim
|AE| = 5 birim
5
A
B
B
Buna göre, |AB| uzunlu€u kaç birimdir?
Buna göre, dikdörtgensel bölgenin alanı kaç
br2 dir?
A) 8
A) 20
B) 10
C) 12
D) 15
E) 18
B) 25
C) 36
D) 48
E) 50
112
7. E
8. A
9. C
10. C
11. A
12. E
EŞKENAR DÖRTGEN
EŞKENAR DÖRTGEN
Bir Eflkenar Dörtgenin Pergel
ve
Cetvelle Çizimi
Kenar uzunluklar› eflit olan paralelkenara eflkenar
dörtgen denir.
a
D
C
1. Ad›m : Bir [AB] do€ru parças› çizelim.
A
a
B
a
0
A
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. Ad›m : Pergeli AB kadar aç›p A merkezli bir yay
çizip bir D noktas› belirleyelim.
B
ABCD eflkenar dörtgen
D
A
0
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. Ad›m : Pergelin aç›kl›€›n› bozmadan D ve B merkezli yaylar çizerek C noktası belirleyelim.
Yukar›da bir düzgün alt›genin eflkenar dörtgenlerle düzgün kaplanmas› görülmektedir.
D
A
B
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
D
A
Baz› yap›larda eflkenar dörtgen modeli kullan›lmaktad›r.
0
113
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
EŞKENAR DÖRTGEN
4. Ad›m : Elde edilen A, B, C, D noktalar› s›rayla
birlefltirirerek ABCD eflkenar dörtgeni çizilmifl olur.
‹spat :
D
D
C
C
A
A
B
B
ABCD eflkenar dörtgen oldu€undan |AD| = |DC| dir.
O halde, m(DAC) = m(DCA) = α diyelim.
D
A
C
B
AD // BC oldu€undan, m(DAC) = m(ACB) = α ve
DC // AB oldu€undan, m(DCA) = m(CAB) = α olur.
O halde [AC] açıortaydır.
Bir yüzeyin eflkenar dörtgen fleklindeki fayanslarla döflenmifl hali.
Aynı mantıkla, [BD] de açıortaydır.
Teorem :
Teorem :
Bir eflkenar dörtgende köflegenler dik kesiflir.
D
Bir eflkenar dörtgende köflegenler aç›ortayd›r.
D
C
C
[AC] aç›ortay
[BD] aç›ortay
A
A
B
ABCD eflkenar dörtgen ve [AC] ⊥ [BD] dir.
114
B
EŞKENAR DÖRTGEN
Bir Eflkenar Dörtgensel Bölgenin Alan›
‹spat :
a
D
D
C
C
p
a
q
a
E
a
A
A
B
B
_
b
AC = q b
` olmak üzere, A(ABCD) =
BD = p b
b
a
Bir önceki teoremde köflegenlerin aç›ortay oldu€u
ispatlanm›flt›.
p . q
2
O halde, [AC] aç›ortayd›r.
Bu durumda ABD ile CBD efl iki üçgendir. (K.A.K)
O halde, m(CED) = m(CEB) olur.
Bu ancak m(CED) = m(CEB) = 90° olmas› ile mümkündür.
ÖRNEK – 1
Köfle koordinatlar› A(–3, 0), B(–8, 0), C(a, b) ve
D(1, 3) olan ABCD eflkenar dörtgensel bölgesinin
NOT :
ÇÖZÜM
Bir paralelkenar›n köflegenlerinin kesim noktas›
dik ise bu paralelkenara eflkenar dörtgen denir.
-:
Bir eflkenar dörtgensel bölgenin alan›n› hesaplamak için köflegen vektör uzunluklar›n›n bilinmesi ya
da en az üç köşesinin koordinatlarının bilinmesi yeterlidir.
ÿ
Bir eflkenar dörtgenin yükseklikleri birbirine eflittir.
D
O halde AB ve AD köflegen vektörlerini bulal›m.
C
h
AB = B – A
= (–5 , 0 ) olup,
F
AD = D – A
h
= ( 4 ,3 ) olup,
A
E
B
A(ABD) =
ABCD eflkenar dörtgen ise |DE| = |DF| dir.
115
15 2
1
–5 . 3 – 4 . 0 =
br ve
2
2
EŞKENAR DÖRTGEN
ÖRNEK – 2
ÖRNEK – 3
D
C
2
D
ABCD eşkenar
C
ABCD eşkenar
dörtgen
dörtgen
H
[AC] köşegen
O
8
A, B, F doğrusal
12
[BD] köşegen
D, E, F doğrusal
E
|AD| = 12 birim
|BF| = 6 birim
[OH] ⊥ [AD]
A
|DH| = 2 birim
|AH| = 8 birim
B
A
Buna göre, |AC| uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM
B
ÇÖZÜM
-:
C
D
2
H
F
Buna göre, |BE| uzunluğunu bulalım.
-:
D
6
C
4 5
12
O
8
E
4 5
A
4
B
A
Bir eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik or-
12
B
6
F
Bir eşkenar dörtgende karşılıklı kenarlar birbirine paralel ve tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
taladığından,
[AC] ⊥ [BD] ve
|AB| = 12 birim ve
|AO| = |OC| dir.
[BC] // [AD] oldu€undan,
[AC] ⊥ [BD] olduğundan AOD nde,
AFD nde temel orantı benzerliğinden,
BF
|AO|2 = |AH| . |AD| (Öklid bağıntısı)
|AO|2 = 8 . 10
|AO| = 4
AF
5 birim bulunur.
5 birim ve
dolayısıyla |AC| = 8 5 birim bulunur.
116
BE
AD
BE
6
=
18
12
eşitliğinden
|AO| = |OC| olduğundan,
|OC| = 4
=
⇒ |BE| = 4 birim bulunur.
EŞKENAR DÖRTGEN
ÖRNEK – 4
ÖRNEK – 5
D
C
D
ABCD eşkenar
dörtgen
x
C
10
ABCD eşkenar
dörtgen
E
E; eşkenar dörtgen
m(DAB) = 2x + 20°
içinde herhangi bir
m(DEC) = 20°
2x + 20º
B 20º
A
nokta
m(BCE) = x
A
E
E noktasının kenarlara uzaklıkları toplamı 12
birim olduğuna göre, ABCD eşkenar dörtgensel
bölgesinin alanını bulalım.
Buna göre, x in kaç derece olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
-:
-:
D
D
C
F
K
C
x + 20º
|DC| = 10 birim
B
E
2x + 20º
M
x
x+
A
20º
2x + 20º
A
B 20º
B
L
E noktasının kenarlara uzaklıkları toplamı iki tane
yüksekliğin uzunluğuna eşittir.
E
2h = 12 ise h = 6 birim olur.
A(ABCD) = |AB| . h
ABCD eşkenar dörtgen olduğundan,
|AB| . h
|DC| = |BC| dir.
= 10 . 6 ⇒ A(ABCD) = 60 br2 bulunur.
Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan
iki iç açının ölçüleri toplamına eşit olduğundan,
BEC nde m(DBC) = x + 20° ve
|DC| = |BC| olduğundan,
ÖRNEK – 6
m(CDB) = x + 20° bulunur.
D
Bir eşkenar dörtgende karşılıklı açıların ölçüleri
birbirine eşit olduğundan,
C
ABCD eşkenar
dörtgen
[AC] köşegen
15
m(DCB) = 2x + 20° olur.
[EF] ⊥ [AB]
E
DBC nde (x + 20°) + (x + 20°) + (2x + 20°) = 180°
[EK] ⊥ [BC]
6
3
A
x = 30° bulunur.
F
K
B
|EF| = 3 birim
|EK| = 6 birim
|AD| = 15 birim
Buna göre, ABCD eşkenar dörtgensel bölgesinin alanını bulalım.
117
EŞKENAR DÖRTGEN
ÇÖZÜM
-:
D
Bir eşkenar dörtgende köflegenler birbirini dik ortaladığından,
C
[AC] ⊥ [BE] ve |BH| = |HD| = 6 birim olur.
H
3
Pisagor teoremi ile,
E
6
3
A
ABH nde |AH| = 8 birim ve
K
F
B
AHE nde |AE| = 8 2 birim bulunur.
Bir eşkenar dörtgende köşegenler açıortay olduğundan [AC] açıortay ve açıortay üzerindeki herhangi
bir noktadan açının kollarına indirilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşit olduğundan |EH| = 3 birim bulunur.
Dolayısıyla ABCD eşkenar dörtgenin yüksekliği,
h = |HK| = 9 birim olur.
A(ABCD) = |AD| . h
= 15 . 9 ⇒ A(ABCD) = 135 br2 bulunur.
ÖRNEK – 8
Bir eşkenar dörtgenin köşegen vektörleri, e ve f
olsun.
ÖRNEK – 7
1
A
ABCD eşkenar
+
e
1
=
f
2
ve
3
e + f = 12 birim
dörtgen
B, D, E doğrusal
B
D 2E
12
10
olduğuna göre, bu eşkenar dörtgensel bölgenin alanını bulalım.
|BC| = 10 birim
|BD| = 12 birim
|DE| = 2 birim
ÇÖZÜM
1
C
+
e
Buna göre, ABCD eşkenar dörtgensel bölgesinin alanını bulalım.
ÇÖZÜM
-:
1
=
f
e + f
=
e . f
-:
B
10
12
8 2
8
6
H
2
ve
3
e + f = 12 birim oldu¤undan,
A
10
2
eşitliğinde paydalar eşitlenirse,
3
6
=
e . f
2
eflitli¤inden,
3
e . f = 18 olup,
D 2E
8
A(ABCD) =
C
118
e . f
2
= 9 br 2 bulunur.
EŞKENAR DÖRTGEN
1.
D
5.
C
D
C
ABCD eflkenar
dörtgen
2
ABCD eflkenar
dörtgen
E
H
5
A
B
A
B
AE =...........................
2.
D
m(ABC) = .....................
6.
C
D
H
ABCD eflkenar
dörtgen
C
5
ABCD eflkenar
dörtgen
E
B, E, D do¤rusal
Ç(ABCD) = 40 br
A 1 E
A
B
4
B
DE =...........................
3.
D
A(ADE) = ......................
7.
C
E
D
C
ABCD eflkenar
dörtgen
2
ABCD eflkenar
dörtgen
69º
E
35
m(ADC) = 4m(EBC)
F
3
A
A
B
B
FC =...........................
m(BAD) = .....................
4.
D
8.
C
D
C
ABCD eflkenar
dörtgen
ABCD eflkenar
dörtgen
63º
E
[BD] köflegen
A, B, E do¤rusal
H
6
60º
A
A
B
E
CE =...........................
m(ABD) = .....................
119
B
EŞKENAR DÖRTGEN
1.
D
5.
C
36º
D
C
ABCD eflkenar
dörtgen
ABCD eflkenar
dörtgen
7
A, E, C do¤rusal
E
E
3
35º
A
B
A
B
BE =...........................
m(BED) = .....................
2.
D
6.
C
3
D 3
E
C
4
ABCD eflkenar
dörtgen
[BD] köflegen
E
5
A
A
B
B
A(ABCD) = ....................
BE =...........................
3.
D
7.
C
D
C
ABCD eflkenar
dörtgen
70º
E
A
A(ABCD) = ....................
m(BED) = .....................
D
8.
C
y
ABCD eflkenar
dörtgen
2 3
C(3, 6)
D
[BC] // Oy
: 3y = x
B
A
60º
O
B
x
Ç(ABCD) = ....................
CE =...........................
120
ABCD eflkenar
dörtgen
3y = x
3 3
E
10
H 2 B
A
B
4.
ABCD eflkenar
dörtgen
E
AEB eflkenar
üçgen
A
F
ABCD eflkenar
dörtgen
60º
TEST
EŞKENAR DÖRTGEN
1.
4.
Bir ABCD eflkenar dörtgeninde BC ve BD nin konum vektörleri s›ras›yla (5, 12) ve (–8, 12) dir.
D
B) 152
C) 148
D) 144
ABCD eşkenar dörtgen
[AC] köşegen
12
Buna göre, eflkenar dörtgensel bölgenin alan›
kaç br2 dir?
A) 156
C
1
[CB] açıortay
[CE] ⊥ [AE]
|AC| = 12 birim
A
E) 136
B
E
A) 20 3
B) 24 3
D) 27 3
D
2.
C
7
B
A
F
dörtgen
F
A
5.
ABCD eşkenar
K
E
8
[AC] köşegen
K
|KE| = 2|KF|
|AE| = 8 birim
|FD| = 7 birim
B
ACEF eşkenar dörtgen
75º
[AC] köşegen
C
C) 25 3
E) 32 3
[CF] köşegen
m(AKF) = 75°
DE
Buna göre, ACD açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 5
A) 70
3.
B) 4
C) 3
D
D) 2
C
E) 1
6.
ABCD eşkenar
B) 60
C) 55
D
C
dörtgen
3
6
A
24
Ç(ABCD) = 52 birim
|AC| = 24 birim
[CE] açıortay
|EC| = 6 birim
|DE| = 3 birim
B
E) 40
[AC] köşegen
[DE] açıortay
E
D) 50
A
B
Buna göre, eşkenar dörtgenin köşegenlerinin
uzunlukları toplamı kaç birimdir?
A) 30
A) 34
B) 34
C) 36
D) 40
E) 48
B) 38
C) 42
D) 44
E) 48
121
1. A
2. C
3. C
4. B
5. D
6. A
TEST
EŞKENAR DÖRTGEN
7.
C
H
16
D
10.
ABCD eşkenar
D
C
dörtgen
E
[EH] ⊥ [DC]
A
B) 146
|HC| = 16 birim
|BC| = 17 birim
8.
C) 136
D) 126
A
A) 25 3
E) 116
F
11. C
B
D
F
C) 45 3
E) 56 3
[AC] köşegen
[EF] ⊥ [DC]
8
E
C
10
D
3
|AF| = 6 birim
|DC| = 10 birim
E
B) 32 3
D) 48 3
dörtgen
6
B
Buna göre, eşkenar dörtgensel bölgenin alanı
kaç br2 dir?
BDEF eşkenar
A
3
7
A) 156
|DE| = 5 birim
|EB| = 3 birim
|AE| = 7 birim
E
[DB] köşegen
B
[DB] köşegen
5
[AC] köflegen
17
1
B
A
|AE| = |EC|
|EF| = 3 birim
|BC| = 8 birim
Buna göre, Ç(BDEF) kaç birimdir?
kaç br2 dir?
B) 8 15
C) 12 15
A) 7 15
D) 24 15
E) 36 15
A) 48
9.
D
C
2x–
3
[DF] ⊥ [BC]
A
E
F
[DE] ⊥ [AB]
A)
|DF| = (2x – 3) birim
|DE| = (x + 1) birim
|AB| = 8 birim
B
C) 44
D) 42
E) 40
12. Bir eflkenar dörtgende B(1, 2) ve D(3, –4)
oldu€una göre, [AC] köflegenini tafl›yan do€runun e€imi kaçt›r?
ABCD eşkenar
dörtgen
x+1
B) 46
1
3
B)
2
3
C) 1
D)
4
3
E) 2
kaç br2 dir?
A) 70
B) 60
C) 50
D) 40
E) 30
122
7. C
8. B
9. D
10. B
11. A
12. A
KARE
KARE
ÖRNEK – 1
Kenar uzunluklar› eflit olan dikdörtgene kare denir.
D
a
C
C
a
D
a
x y
t
a
A
B
z
u
A
Yukar›daki zeminde ABCD karesi çizilirse B
köflesinin hangi nokta ile çak›flaca€›n› bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
1. Yol : (Öteleme dönüflümü ile)
C noktas› B noktas›n›n u = (6, 2) do€rultusunda
ötelenmiflidir. Bu nedenle A noktas›n›n u = (6, 2)
do€rultusunda ötelenmifli arad›€›m›z noktad›r. Böylece, A noktas›ndan 6 birim sa€a ve 2 birim yukar›ya
gitti€imizde y noktas›na ulafl›r›z.
fiekildeki kavflak kare modelinden esinlenerek
yap›lm›flt›r.
2. Yol : (Yans›ma dönüflümü ile)
ÿ
Karenin köflegenleri aç›ortay olup eflit uzunluktad›r.
D
fieklin AC do€rusuna göre yans›mas› karenin di€er parças›n› verir. O halde D noktas›n›n AC
do€rusuna göre simetrisi B köflesi ile çak›fl›rki bu nokta y noktas›ndad›r.
C
45º
45º
45º
45º
O
45º
45º
45º
45º
A
3. Yol :
B
Karenin karş›lıkl› kenarları paralel oldu€undan
1
1
mDC =
olup, A noktas›ndan geçen ve e€imi
3
3
olan do€runun y noktas›ndan geçti€i görülür.
|AC| = |BD|
ÿ
Köflegenler birbirini dik ortalar.
[AC] ⊥ [BD] ve
|AO| = |OC| = |OB| = |OD|
123
KARE
ÖRNEK – 2
ÖRNEK – 3
E
D
ABCD kare
D
C
C
ABCD kare
[CE] ⊥ [EA]
F
[AC] ∩ [DE] = {F}
m(DAE) = 15°
|AC| = |BE|
15º
A(ABCD) = 64 br2
A
A
B
E
B
Buna göre, AFD açısının ölçüsünü bulalım.
Buna göre, |EC| uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM
-:
ÇÖZÜM
A(ABCD) = 64 br2 ⇒ |AB| = 8 birim ve
-:
Karenin köşegen uzunlukları eşit olduğundan,
karenin köşegenleri açıortay olduğundan,
[AC] köşegeni çizilirse,
[BD] köşegeni çizilirse,
E
|AC| = |BE| olduğundan,
D
C
15º
|AC| = |BD| = |BE| olur.
D
8
8 2
30º
A
F
8
B
45º
45º
m(EAC) = 30° olup, |AC| = 8 2 birim olduğundan,
45º
45º
A
30°, 60°, 90° üçgeninden,
|EC| =
C
8 2
= 4 2 birim bulunur.
2
B
m(BDE) = α dersek,
m(DEA) = α olup,
DBE nde 45° dış açı olup,
2α = 45° ⇒ α = 22,5° dir.
Böylece FAE nde,
m(AFD)= 45° + 22,5° = 67,5° bulunur.
124
E
KARE
ÖRNEK – 4
D
ÖRNEK – 5
E
D
C
4
C
ABCD kare
ABCD kare
67,5º
F köşegenlerin
kesişme noktası
F
[AC] köşegen
5 2
|CE| = 5 2 birim
|CB| = 17 birim
E
17
m(FEC) = 67,5°
|EC| = 4 birim
A
A
B
Buna göre, |DE| uzunluğunu bulalım.
Buna göre, karesel bölgenin alanını bulalım.
ÇÖZÜM
-:
ÇÖZÜM
[AC] köşegeni çizildiğinde,
E
67,5º
m(ACD) = m(ACB) = 45° dir.
D
C
4
67,5º
-:
Karede köşegen açıortay olduğundan,
Karenin köşegenleri açıortay olduğundan,
D
B
H 5 C
12
45º
45º
5
5 2
E
4
17
F
4
A
A
B
B
[EH] ⊥ [DC] olacak şekilde [EH] çizilirse,
EFC nde iç açılar toplamından,
|HC| = |HE| = 5 birim bulunur.
m(EFC) = 67,5° olur.
|DH| = 17 – 5 = 12 birim olup,
O halde,
DHE dik üçgeninde pisagor teoremi ile
|CE| = |CF| = 4 birim dir.
|DE|2 = 122 + 52 eflitli€inden,
F noktası köşegenlerin kesim noktası olduğundan,
|DE| = 13 birim bulunur.
|FA| = 4 birim dir.
Böylece,
Karesel bölgenin alanı;
A(ABCD) =
8.8
= 32 br 2 bulunur.
2
5
2
1
1
2
125
O
1
2
KARE
ÖRNEK – 6
ÖRNEK – 7
D
D
C
C
ABCD kare
E
1 ED, EC 2= 0
6
[BF] ⊥ [AE]
[DE] ⊥ [EA]
3
|EC| = 6 birim
E
ABCD kare
F
|AF| = 2 birim
|FE| = 3 birim
2
A
A
B
B
Buna göre, |AB| uzunluğunu bulalım.
Buna göre, BEC üçgensel bölgesinin alanını
bulalım.
ÇÖZÜM
-:
Şekilde gerekli açıları isimlendirelim.
D
ÇÖZÜM
C
-:
E
1 ED, EC 2= 0 ise ED = EC dir.
3
F
O halde,
2
A
[BH] ⊥ [EC] olacak şekilde [BH] çizelim.
D
C
B
ADE ile BAF benzerdir. (A.A.A)
6
|AB| = |AD| olduğundan,
H
E
5
6
ADE ≅ BAF olduğu anlaşılır.
O halde, |AE| = |BF| = 5 birim olup,
A
B
AFB nde pisagor teoremi ile
Gerekli açılar yazılırsa,
|AB|2 = 22 + 52 ⇒ |AB| =
29 birim bulunur.
DEC ile CHB nin benzer olduğu görülür.
|DC| = |CB| olduğundan,
DEC ≅ CHB ve dolayısıyla,
|EC| = |HB| = 6 birim olup,
(BEC) nin alanı
A(BEC) =
6.6
= 18 br 2 bulunur.
2
126
KARE
ÖRNEK – 8
ÖRNEK – 9
D
E
F
C
D
ABCD kare
1
[CF] ⊥ [FB]
2
|CF| = 1 birim
|FB| = 2 birim
|AF| = 4 birim
4
A
B
Buna göre, |DE| uzunluğunu bulalım.
Buna göre, α ve β arasındaki bağıntıyı bulalım.
ÇÖZÜM
AEB eşkenar üçgen
[BD] köşgen
m(FCB) = β
B
ABCD kare
F
m(AFB) = α
A
C
E
-:
ÇÖZÜM
-:
Karede köşegen açıortay oldu€undan,
[AH] ⊥ [BF] olacak şekilde, H ∈ [FB] seçelim.
m(ABD) = m(ADB) = 45° dir.
D
E
C
D
1
F
2 45º
1
H
H
2 3
B
2
60º
F
30º 4
60º
45º
A
B
[FH] ⊥ [AD] olacak şekilde, H ∈ [AD] seçelim.
Böylece, AHB ve BFC nin benzer olduğu ve
O halde, 30°, 60°, 90° üçgeninide,
|AB| = |BC| olduğu içinde,
AFH nde |HF| = 2 birim dir.
AHB ≅ BFC olduğu anlaşılır.
Gerekli açılar yazılıp,
O halde,
|AD| = |AE| eşitliğinden,
|FC| = |HB| = 1 birim dir.
|DF| = |DE| olur.
Ayrıca, FHA ≅ BHA olduğundan,
DHF nde |DF| = 2 2 birim ise
m(ABF) = α olup,
|DE| = 2
Böylece α = β bulunur.
127
75º
75º
E
º
15
1
A
C
30º
2 birim bulunur.
KARE
ÖRNEK – 10
ÖRNEK – 11
D
C
D
ABCD kare
E
C
ABCD kare
[AC] köşegen
E
[AF] ∩ [BE] = {K}
|BF| = |CE|
|AK| = 8 birim
|KF| = 2 birim
[BE] açıortay
F
2
[BK] açıortay
K
|KE| . |KC| = 12 br2
A
K
8
B
F
A
B
Buna göre, |EK| uzunluğunu bulalım.
Buna göre, |BK| uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM
-:
|EC| = |FB| = a
ÇÖZÜM
-:
ve |CF| = b diyelim.
D
E
a
C
b
m(CBE) = α , m(ABK) = β diyelim.
2
2α + 2β = 90° olduğundan, α + β = 45° olup,
8
m(EBK) = 45° bulunur.
A
D
a
B
a+b
Böylece,
C
E
45º
E
F
K
a
C
F
a
F
K
A
B
a+b
45º
A
a+b
B
B
fiekiller dikkatlice incelenirse,
ABF ≅ BCE olduğu görülür. (K.A.K)
Karenin köşegeni açıortay olduğundan,
m(FAB) = α diyelim.
C
O halde, m(EBC) = α olup,
E
45º
D
45º
K
B
8
BKE ∼ CKB dir.
KB
=
BK
CK
C
m(AKB) = 90° olup,
ABF nde öklid bağıntısı ile
K
KE
E
A
ve |BK|2 = |KE| . |KC|
|BK|2 = 12 ⇒ |BK| = 2
2
F
4
|BK|2 = 8 . 2 ise
|BK| = 4 birim olup,
B
ABF ≅ BCE olduğundan,
|AF| = |BE| = 10 birim dir.
Böylece, |KE| = 10 – 4
3 birim bulunur.
= 6 birim bulunur.
128
KARE
1.
5.
D
C
D
ABCD kare
F
DKC eflkenar üçgen
ADF eflkenar üçgen
F
2
C
ABCD kare
A, F, C do¤rusal
8
K
A
B
A
B
FB =...........................
m(AFK) = .....................
2.
D
6.
C
F
A 2 E
ABCD kare
[DF]
[FC]
[FE]
[AB]
BEFG kare
B, C, K do¤rusal
K
B
8
D
7.
C
5
H
F
G
B
E
6
D
A
A(ABCD) + A(BEFG) = ...................
FE =...........................
3.
C
ABCD kare
D
C
ABCD kare
ABCD kare
[DB] köflegen
DEC eflkenar üçgen
FB = 3 2 birim
F
E
3 2
A
A
B
B
DC =...........................
4.
C
m(EBA) = .....................
8.
D
E
D
C
ABCD kare
ABCD kare
[DE] [FE]
CE = BD
C, D, E do¤rusal
F
B
4
A
E 2 A
DF =...........................
m(AEC) = .....................
129
B
KARE
1.
C
5.
D
E 8 D
ABCD kare
BKEF kare
E
K
F
KC = 8 birim
F
T 6
ABCD kare
DEFK kare
K
ED = 8 birim
DT = 6 birim
B
A
A
A(ABCD) + A(KBFE) = ...................
2.
C
D
B
KA =...........................
6.
C
D
C
ABCD kare
[AE]
ABCD kare
[EB]
15º
AE = 4 birim
E
4
A
E
EB = 2 birim
2
A
DE =...........................
D
F
30º
B
3.
B
A(FBC) = ......................
7.
C
D
ABCD kare
25º
A(DEC) = 8 br2
C
CE = 2 CD
AED eflkenar
üçgen
E
E
A
A
B
D
B
–
m(DAE) = .....................
4.
8.
C
ABCD kare
= .........................
D
C
º
25
ABCD kare
ABCD kare
AE = 8 birim
DC = DK
[DB]
E
E
K
5º
A
A
B
m(EAB) = .....................
A(ABCD) = ....................
130
B
[AE] = {K}
KARE
1.
D
5.
C
D
C
ABCD kare
[AE]
CE, EA = 0
E
F
15º
6
6
A
B
D
6.
B
E
D
C
ABCD kare
ABCD kare
EFGD kare
8
H
DC = 3 ED
E
A(EFC) = 12 br2
F
8,5
A
F
A
B
3.
7.
A
D
C
FKLE ve BDET
efl keralerdir.
F
K
BC = 4 birim
D
2
L
C
T
A
B
E
B
BE =...........................
AK =...........................
4.
8.
A
D
E
6 2
C
ABCD kare
ABCD kare
13
7
D, B, E do¤rusal
F
D
B
ABCD kare
E, A, C do¤rusal
12
AB = 3 birim
E
B
A(ABCD) = ....................
BH =...........................
E
CF = FB
A(ABCD) = ....................
C
G
[DF]
EB = 6 birim
A
BC =...........................
2.
ABCD kare
E
10
C
A
EC =...........................
A(ABCD) = ....................
131
B
KARE
1.
D
5.
C
D
C
ABCD kare
ABCD kare
[DB] köflegen
CD, CE = CB, CE
10
A(FAB) = 15º
8 2
4
15º
A
B
A
B
CE =........ ya da .........
2.
FB = 4 birim
F
E
6.
C
D
ABCD kare
2
C, A, E do¤rusal
E
C
ABCD kare
135º
10
10º
D
AB =...........................
F
A
B
A
E
B
FE =...........................
m(DEA) = .....................
3.
D
7.
C
D
ABCD kare
A
E
F
E
E
A
FD =...........................
4.
8.
C
E
2
L
3
F
D, L, F do¤rusal
ABCD kare
[BE]
[CF
[AF]
[CF]
8
B
A
B
A(ABCD) = ....................
DE =...........................
132
C
E
D, C, E do¤rusal
F
D
ABCD kare
4
A
B
4
B
AE =...........................
D
ABCD kare
C, F, E do¤rusal
5
6
3
C
TEST
KARE
1.
D
C
y = – 3x
4.
ABCD kare
D, F, B doğrusal
1
F
D
ABCD kare
|AO| = 2 birim
C
|DF| = 1 birim
|FB| = 9 birim
1
9
y=0
A
B
A
B
O
2
Buna göre, |FC| uzunluğu kaç birimdir?
A)
26
33
B)
51
D)
C)
E)
41
A) 3 – 3
53
5.
2.
D
C
B) 2 –
D
C
G
|DC| = |CF|
m(DCF) = 30°
8
B
A
Buna göre, karesel bölgelerin alanları toplamı
kaç br2 dir?
A) 35
3.
B) 40
D
C) 42
C
D) 45
|FE| = 8 birim
F
C(9, 4)
A
E
B
Buna göre, |DF| uzunluğu kaç birimdir?
A) 4
E) 50
6.
ABCD kare
D
[DF] ⊥ [FE]
B) 5
C) 6
E
|EB| = 4 birim
|AE| = 2 birim
A
2
E
4
L
Buna göre, |CF| uzunluğu kaç birimdir?
A)
5
B) 2 5
D) 4 5
F
3
A
B
E) 8
2|CE| = 3|DE|
K 10
2
D) 7
ABCD kare
C
[DF] açıortay
F
2
ABCD kare
30º
ABCD kare
F(3, 1)
E
C) 3 –
E) 1
AEFG kare
F
2
3
D)
2
A(BFL) = 3 br2
A(KLF) = 2 br2
A(CEKF) = 10 br2
B
Buna göre, A(ADKL) kaç br2 dir?
C) 3 5
A) 18
E) 5 5
B) 20
C) 23
D) 26
E) 30
133
1. C
2. D
3. B
4. A
5. E
6. C
TEST
KARE
7.
D
C
10. D
ABCD kare
C
ABCD kare
E
[BD] köflegen
[BE] ⊥ [EC]
|DC| = |AE|
|BC| = 10 birim
[BD] ∩ [EC] = {F}
10
|AE| = |EB|
|FE| = 5 birim
F
1
5
A
E
A
B
Buna göre, A(BEC) kaç br2 dir?
A) 50
8.
D
B) 45
C) 40
C
E
Buna göre, A(AEB) kaç birim karedir?
D) 30
E) 25
A) 40
ABCD kare
B) 35
C) 30
D) 25
E) 20
11. Bir eflkenar üçgeninin çevre uzunlu€u, alan› 81
br2 olan bir karenin çevresine eflittir.
|DF| = |FA|
F
B
Buna göre, bu eflkenar üçgenin alan› kaç br2
dir?
L
A) 9 3
A
B
B) 18 3
D) 36 3
C) 24 3
E) 48 3
fiekildeki AFL üçgeninin alan› 2 br2, LEB üçgeninin alan› 10 br2 oldu€una göre, karenin
bir kenar›n›n uzunlu€u kaç birimdir?
A) 8
9.
C) 2 5
B) 7
F
C
D) 4 2
E) 6
fiekildeki ABCD karesinin iki kenar› üzerinde
BEC ve DCF eflkenar
üçgenleri çizilmifltir.
D
|EF| =
12.
D
F
K
A
A
B) 3
ADF eşkenar üçgen
P
6 birim
C) 2
D)
3
E)
B
Buna göre, DPF açısının ölçüsü kaç derecedir?
Buna göre, |EB| uzunlu€u kaç birimdir?
A) 4
ABCD kare
DKC eşkenar üçgen
E
B
C
2
A) 30
B) 45
C) 55
D) 60
E) 75
134
7. B
8. D
9. D
10. A
11. D
12. E
DELTOİD
Deltoid
ÖRNEK – 1
Köflegenlerinden biri, iki ikizkenar üçgenin taban›
olan dörtgene deltoid denir.
A
A
ABCD deltoid
AB = AD
BC = CD
B
D
10
A
D
ABCD deltoid
10
|AD| = 10 birim
|DC| = 10 birim
|AC| = 12 birim
|BC| = 13 birim
C
H
C
13
B
B
D
C
Buna göre, |BD| uzunlu€unu bulal›m.
ÿ
Bir deltoidde köflegenler dik kesiflir ve tepeleri
birlefltiren köflegen aç›ortayd›r.
A
A
[AC]
B
ÇÖZÜM
-:
[BD]
D
D
10
C
A
B
6
10
H
C
6
D
H
13
C
13
B
ÿ
Bir deltoidin köflegen vektörleri e ve f ise deltoidsel bölgenin alan›,
A
ADC ikizkenar üçgen ve [DH] ⊥ [AC] oldu€undan,
A
|AH| = |HC| = 6 birim olur.
DHC nde pisagor teoremi ile
B
D
B
|HD| = 8 birim ve
C
BHC nde pisagor teoremi ile
D
H
|BH| =
C
_
AC = e b
b
BD = f ` oludu¤undan A(ABCD) =
b
e= f b
a
ÿ
e . f
2
Böylece, |BD| = 8 +
dir.
Kare ve eflkenar dörtgen birer deltoiddir.
135
169 – 36 = 133 birim olup.
133 birim bulunur.
DELTOİD
Deltoid Çizimi
Noktalar s›rayla birlefltirilerek ABCD deltoidi elde
edilir.
Bir [BD] do€ru parças›n› alal›m.
B
A
D
B
Pergelin aras›n›
D
BD
den büyük olacak flekilde
2
aç›p [BD] nin üst k›sm›nda B ve D merkezli yaylar çizilerek bir A noktas› belirlenir.
C
A
Bir Deltoidin Dönüflüm Uygulanarak
Elde Edilmesi
D
B
Bir ABC üçgeninin bir kenar› üzerinden yans›tal›m.
A
c
Pergelin aras›n›
BD
B
den büyük olacak flekilde
2
b
önceki ad›mdakinden farkl› aç›l›r ve [BD] nin alt k›s-
C
Yukar›daki ABC üçgeninin [BC] boyunca yatay
yans›tal›m.
m›nda B ve D merkezli yaylar çizilerek bir C noktas›
belirlenir.
A
c
A
b
C
B
b
c
A›
B
D
Yans›ma dönüflümü uzunluklar› ve aç›lar› korudu€undan,
m(ABC) = m(CBA›), m(ACB) = m(BCA›)
|AB| = |BA›|
C
ABA›C bir deltoid olur.
136
ve |AC| = |CA›| olup,
DELTOİD
ÖRNEK – 1
ÖRNEK – 2
A
6
6
D
|AD| = 6 birim
|AE| = 6 birim
|DB| = 4 birim
|BF| = 5 birim
|EC| = 3 birim
|DF| = |FE|
E
3
4
5
B
D
ABC üçgen
C
F
E
m(BCD) = 40°
A
40º
C
m(ADC) = 124°
|DC| = |CB|
|AB| = |BE|
B
Buna göre, |FC| uzunlu€unu bulal›m.
ÇÖZÜM
ABCD deltoid
124º
Buna göre, EBC aç›s›n› bulal›m.
-:
|AD| = |AE| ve |DF| = |FE| oldu€undan,
ÇÖZÜM
ADFE dörtgeni deltoid olup, deltoidde tepe noktalar›n› birlefltiren köflegen aç›ortay oldu€undan,
-:
[DB] köflegeni çizilirse,
A
D
6
6
D
A
3
4
54º 70º
E
E
40º
C
40º
C
70º
B
5
C
F
B
ABC nde iç aç›ortay teoreminden,
m(BDC) = m(DBC) = 70° olur.
AB
BF
=
Böylece,
AC
FC
yaz›labilir.
10
9
=
5
FC
⇒ |FC| =
|AB| = |AD| oldu€undan,
m(ABD) = 54° ve
9
birim bulunur.
2
m(BAD) = 72° dir.
Böylece gerekli aç›lar yaz›l›rsa,
D
54º 70º
E
A
72º
72º
18º
36
º
70º
B
m(EBC) = 70° + 18°
Uçurtma yap›m›nda genellikle deltoid modeli kullan›l›r.
= 88° bulunur.
137
DELTOİD
ÖRNEK – 3
ÖRNEK – 4
D
C
A
ABCD yamuk
|AD| = |AE|
|CD| = |CE|
|AB| – |CE| = 4 birim
E
A
B
Buna göre, |BE| uzunlu€unu bulal›m.
[ED] ⊥ [AC]
D
11
B
ÇÖZÜM
ABC üçgen
5
[DC] // [AB]
E
6
Buna göre, |DC| uzunlu€unu bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
-:
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına eşit olduğundan,
Deltoidde tepe noktalarını birleştiren köşegen
açıortay olduğundan,
A
5
A ile C noktalarını birleştirirsek,
D
11
m(DCA) = m(ACE) ve m(DAC) = m(CAE) olur.
D
C
10
|AB| = 11 birim
|BE| = 6 birim
|EC| = 10 birim
|AD| = 5 birim
C
B
α
α
6
E
5
F
5
C
|EF| = |FC| = |FD| = 5 birim dir.
E
Böylece, ABFD deltoid olup,
α
A
[BD] köşegeni açıortay olduğundan,
B
iç açıortay teoremi ile
11
16
=
5
DC
m(DCA) = α diyelim,
& DC =
80
birim bulunur.
11
[DC] // [AB] oluğundan,
iç ters açıdan m(CAB) = α olur.
Böylece, |AB| = |BC| olup,
|AB| = |BE| + |EC| eşitliği ile
|BE| = |AB| – |EC| = 4 birim bulunur.
NOT :
Eflkenar dörtgen ve kare birer deltoiddir.
138
DELTOİD
ÖRNEK – 5
ÖRNEK – 6
D
A
[AD] açıortay
C
4
5
ÇÖZÜM
AC
10
C
F
10
D
B
AB
Buna göre,
Buna göre, |BF| uzunluğunu bulal›m.
oranını bulal›m.
-:
ÇÖZÜM
[AD] yansıma ekseni olacak şekilde, ACD üçgenini yansıtalım.
-:
Deltoidde köşegenler birbirini dik keser.
[BD] köşegeni çizilirse,
C›
D
E
A
5
A
B
4
C
5
|DC| = 10 birim
|CB| = 10 birim
|CF| = 10 birim
|DE| = |EA|
10
8
A
|BC| = 4 birim
|CD| = 5 birim
B
ABCD deltoid
E
ABC üçgen
8
6
4
F
D
10
8
C
K
8
10
B
Yansıma dönüşümü uzunluk ve açıları değiştirmediğinden CACıD deltoid olup,
[AC] açıortay olduğundan,
|DK| = |KB| ve [AC] ⊥ [BD] dir.
m(BDA) = m(ADCı) ve
Böylece,
|CD| = |DCı| = 5 birim olduğu görülür.
(ABD) nde F noktası ağırlık merkezi olur.
Böylece, BCıD nde iç açıortay teoremiden,
|AF| = 8 birim ⇒ |FK| = 4 birim ve
AB
AC
›
=
9
bulunur.
5
|KC| = 6 birim dir.
BKC nde pisagor teoremi ile,
|BK|2 + 62 = 102
⇒ |BK| = 8 birim ve
FKB nde pisagor teoremi ile
|FB|2 = 42 + 82
139
⇒ |FB| = 4 5 birim bulunur.
DELTOİD
ÖRNEK – 7
ÖRNEK – 9
A
C
ABCD deltoid
|AF| = |FD|
|BC| = |CD|
|AK| = |EC|
F
K
ABCD deltoid
F
E
D
K
[BD] köşegen
L
B
[AC] ∩ [BD] = {E}
B
D
E
|DE| = |EC|
|CF| = |FB|
|DB| = 24 birim
A(ABCD) = 90 br2
A
C
Buna göre, |KL| uzunluğunu bulalım.
Buna göre, DEKF dörtgensel bölgesinin alanını
bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
ÇÖZÜM
-:
[AC] köşegeni çizilirse,
Deltoidde |BE| = |ED| dir.
Böylece K noktası (ABD) nin ağırlık merkezi olup,
C
A
2k
T S
S
K
B
S
2S E
K
2x
H
x
y
L
2y
B
S
S
k
D
A(DEKF) = 18 br2 bulunur.
F
F
E
10S = 90 ve S = 9 br2
S
A
D
2S
2k
|CH| = |HA| olacağından,
C
K ve L noktalarının sırasıyla,
ADC ve ABC
ÖRNEK – 8
üçgensel bölgelerinin ağırlık merkezleri olduğu
görülür.
AB = (–1, 3) ve AD = (2, –4) olan ABCD deltoidsel bölgesinin alan›n› bulal›m.
ÇÖZÜM
Böylece,
-:
|KH| = x ⇒ |DK| = 2x
A
|HL| = y ⇒ |LB| = 2y olup,
B
3x + 3y = 24 birim olduğundan,
D
|KL| = x + y = 8 birim bulunur.
C
A(ABD) =
1
6 – 4 = 1br 2 olup,
2
140
DELTOİD
1.
5.
A
D
ABCD deltoid
E
C
AB = AD
K
4
D
F
1
F
A
C
E
B
AE
=...........................
EB
Ç(ABCD) =....................
2.
AD = DF
1,5
5
B
AEFD deltoid
6.
D
A
ABEC dörtgen
ABCD deltoid
[AE]
AB = AD
C
A
DA = (3, –4)
52º
B
DC = (–1, 2)
C
m(ADC) = 40º
E
40º
m(AEB) = .....................
A(ABCD) =....................
3.
7.
D
5
E
F
E
GF = 5 birim
F
B
C
A(ABCD) =....................
AB =...........................
8.
A
A
ABCD deltoid
BD = 16 birim
ADEF deltoid
17
AF = AD
F
D
E, F, G orta noktalar
D
EF = 4 birim
AF = FB
3
ABCD deltoid
B
[DE] // [AB]
G
A
G
ABED dörtgen
DEGF deltoid
5
4.
m(ACB) = 52º
D
B
A
17
K
B
5
3
D
10
B
6
[BC]
E
7
C
C
A(ABCD) =....................
Ç(ABC) =.......................
141
DELTOİD
1.
5.
A
A
ABCD deltoid
ABCD deltoid
D
AD = DC
B
D
K
BC = CE
E
AC = (4, 6)
BD = (–3, n)
48º
65º
B
C
C
A(ABCD) =....................
2.
m(ADC) = .....................
6.
A
y
B
OABC deltoid
ABC üçgen
4
BE = BD
E
4
C
EF = FD
F
A(–4, 3)
3
O
D
B
2
do¤rusunun e¤imi = ...........
AE =...........................
3.
7.
A
5
ABCD dörtgen
8
D
ABCD deltoid
[BF]
12
A, E, C do¤rusal
4
B
F
CD = DE
8
E
x
C
E
A
C
[AD]
BC = CD
D
4
B
C
EB =...........................
DC =...........................
4.
8.
D
7
C
F
3
5
G
ABCD deltoid
[EF]
[BD]
[FG]
B
8
A E
B
3
E
2
K
D
m(DBC) = m(BCE)
AC =...........................
142
[AC] = {K}
AB = BC
C
AE =...........................
A
ABCD dikdörtgen
ÖZEL DÖRTGENLER
Dörtgenlerin S›n›fland›r›lmas›
DÖRTGEN
YAMUK
D‹K
YAMUK
‹K‹ZKENAR
YAMUK
PARALELKENAR
DELTO‹D
D‹KDÖRTGEN
EfiKENAR
DÖRTGEN
KARE
143
ÖZEL DÖRTGENLER
1.
Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerleri
uygun dörtgenlerle doldurunuz.
Karfl›l›kl› kenar uzunluklar› eflit olan dörtgenler :
...............................................................................................................................................................
2.
Bütün kenar uzunluklar› eflit olan dörtgenler :
...............................................................................................................................................................
3.
Karfl›l›kl› kenarlar› paralel olan dörtgenler :
...............................................................................................................................................................
4.
Karfl›l›kl› aç›lar›n›n ölçüleri eflit olan dörtgenler :
...............................................................................................................................................................
5.
Tüm aç›lar›n›n ölçüleri 90° olan dörtgenler :
...............................................................................................................................................................
6.
Köflegenleri birbirini ortalayan dörtgenler :
...............................................................................................................................................................
7.
Köflegen uzunluklar› eflit olan dörtgenler :
...............................................................................................................................................................
8.
Köflegenleri dik kesiflen dörtgenler :
...............................................................................................................................................................
9.
Ard›fl›k aç›lar› bütünler olan dörtgenler :
...............................................................................................................................................................
10.
Yaln›z iki kenar› paralel olan dörtgenler :
...............................................................................................................................................................
11.
Köflegenleri aç›ortay olan dörtgenler :
...............................................................................................................................................................
144
ÇOKGENLER
ÜN‹TE – 3
ü
Düzgün Beflgen
ü
Düzgün Alt›gen
Matematik sözcü€ünün, Antik Yunancadaki "matesis" sözcü€ünden geldi€ini ve anlam›n›n "ben bilirim" demek oldu€unu biliyormuydunuz?
DÜZGÜN BEŞGEN
Düzgün Beflgen
Bir Düzgün Beflgenin Çizimi
‹ç aç›lar›n›n ölçüleri ve kenar uzunluklar› eflit olan
beflgene düzgün beflgen denir.
1. Yol : Bir çemberi 5 efl parçaya ay›racak flekilde
noktalar belirleyelim.
D
A
A
108º
B
E
E 108º
108º
C
D
108º
B
E
C
C
D
108º
Bu noktalar›n birlefltirilmesi ile oluflan çokgen
düzgün beflgendir.
A
B
ABCDE düzgün beflgen
2. Yol : Yar› düzlem kaplama ile
36º
36º
36º
36º 36º
36º
108º
108º
108º
108º
36º
36º
36º
72º
72º
36º
72º
72º
Yukar›daki gibi 3 tane alt›n üçgenin birlefltirilmesi
ile düzgün beflgen elde edilebilir.
ARASTIRMA
Beş kenar uzunluğu eşit olan bir
beşgen düzgün beşgen midir?
Bunu bir örnekle gösterebilir miyiz?
3. Yol : Yar›çaplar› düzgün beflgenin bir kenar›n›n
uzunlu€u eflit olacak flekilde iki yar›m çember
çizilir.
Bir Düzgün Beflgenin Merkezi
Bir düzgün beflgende kenar orta dikmelerinin kesim noktas› düzgün beflgenin merkezidir.
D
a
A
a
B
a
C
D
Yar›m çember yaylar› befl efl parçaya ayr›l›r.
E
F
C
K
D
A
B
A
a
B
a
C
A ile F ve B ile E noktalar› birleflecek flekilde
do€ru parçalar› çizilir.
K noktas› ABCDE düzgün beflgenin merkezidir.
147
a
E
DÜZGÜN BEŞGEN
E
F
a
D
a
Teorem :
a
A
a
B
a
Bir düzgün beflgenin bir köflegen uzunlu€unun
bir kenar uzunlu€una oran› alt›n oran› verir.
C
Pergelin uçlar› yar›çap kadar aç›l›r. Sivri uç F ve
E noktalar›na konularak K noktas› belirlenir.
‹spat :
K
a
D
a
a
E
F
a
D
a
E 108º
a
A
a
B
36º
36º
ABCDE düzgün
36º
e
e
a
a
36º
C
36º
a
A
B
Bu durumda,
D
D
36º
36º
e
Düzgün Beflgensel Bölgenin Alan›
A köflesinin
aç›ortay› çizilirse
e
C
e–a
36º
72º
72º
A
a
ABC nde aç›ortay teoremi ile,
C
72º
36º
B
D
G
e
a
a
Bir kenar uzunlu€u a birim ve iç merkezin herhangi
bir kenara uzakl›€› h birim olan beflgensel bölgenin alan›;
E
|AB| = a
|DA| = e
|DB| = e
olsun
72º
72º
K noktas› F ve E ile birlefltirilirse ABEKF düzgün
beflgeni elde edilir.
C
108º
a
a
beflgen
A
a
B
a
e
yaz›labilir.
=
e–a
a
a2 = e2 – ae
a2 + ae = e2
h
(Her iki yana
A
A(ABCDE) =
a
B
olur.)
Ç.h
5.a .h
=
2
2
a2 + ae +
e2
e2
= e2 +
4
4
e 2 5e 2
n =
2
4
e 5
e
a+ =
2
2
e ( 5 – 1)
olup
a=
2
5 +1
e
=
bulunur.
a
2
Ç : Düzgün beflgenin çevre uzunlu€u
da +
ARASTIRMA
Alt›n üçgenleri kullanarak sin18° say›s›n› hesaplamaya çal›fl›n›z.
148
e2
eklersek eflitli€in sol yan› tamkare
4
DÜZGÜN BEŞGEN
ARASTIRMA
HATIRLATMA
Acaba sadece düzgün beflgende mi
alt›n oran vard›r?
5 +1
2
ϕ=
Alt›n oran →
Cevab›n›z hay›r ise baflka hangi düzgün çokgenlerde alt›n oran olabilir? Araflt›r›n›z.
SONUÇ :
ÿ
2
108º
36º
Bir düzgün beflgende bir köfleden karfl› kenara
inilen dikme düzgün beflgeni ortalar.
2
D
36º
5 +1
54º 54º
2
5 +1
2
2
E
5 +1
72º
72º
2
Alt›n
üçgenler
36º
2
5 +1
5 +1
2
5 +1 36º
36º
A
2
108º
2
NOT :
A
ABCDE düzgün beflgen
B
E
F
C
ϕ=
5 +1
(Alt›n oran)
2
D
AF
AE
= {,
CE
EF
C
= { ve
AB
AF
={
Düzgün beflgende köflegenler çizildi€inde çok
miktarda alt›n üçgenler olduğu görülür.
149
H
B
DÜZGÜN BEŞGEN
ÖRNEK – 1
ÖRNEK – 2
D
D
ABCDE düzgün
beflgen
ABCDE düzgün
E
C
F
E
beflgen
C
[DK] aç›ortay
K
[DH] ⊥ [AB]
m(KAF) = α
|AF| = |DC|
A
H
m(KFA) = β
A
B
Buna göre, AFH aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
ÇÖZÜM
B
F
|AK| = |BF|
Buna göre, α ile β aras›ndaki ba€›nt›y› bulal›m.
-:
ÇÖZÜM
-:
D
D
2a
E
C
K
30º
2a
A
E
C
F
a
H
a
A
B
H
B
Yukar›daki düzgün beflgende,
ABCDE düzgün beflgen oldu€undan,
[DH] ⊥ [AB] oldu€undan,
[DK] uzat›l›rsa,
|AH| = |HB| = a diyelim.
[DH] ⊥ [AF] ve |AH| = |HB| olup.
Bu durumda,
Bundan dolay›,
|DC| = |AF| = 2a olur.
AKB ikizkenar üçgen olur.
Dolay›s›yla,
|AK| = |KB| = |BF| oldu€undan,
AHF nde kenar uzunluklar›ndan,
m(AFH) = 30°
α = 2β bulunur.
bulunur.
150
F
DÜZGÜN BEŞGEN
ÖRNEK – 3
ÖRNEK – 4
D
D
ABCDE düzgün
beflgen
E
C
beflgen
K
E
|AH| = |HB|
2|FC| = 3|DF|
C
[AC] köflegen
[DB] köflegen
F
|AF| = 6 birim
6
A
H
A
B
Buna göre, düzgün beflgenin çevre uzunlu€unu bulal›m.
ÇÖZÜM
ABCDE düzgün
F
B
Buna göre, (DEK) nin alan›n›n (DKF) nin alan›na oran›n› bulal›m.
-:
ÇÖZÜM
-:
D
D
E
C
72º
F
K
E
3k
C
36º
72º
36º
A
F
72º 36º
72º
6
2k
5k
36º
6
B
A
H
B
ABCDE düzgün beflgen oldu€undan,
m(ABC) = 108° ve
[DH] aç›ortayd›r.
|AB| = |BC| oldu€undan,
Verilen oranlar yerlefltirildi€inde ve
m(CAB) = m(ACB) = 36° bulunur.
[DK] aç›ortay oldu€undan ,
DBC nde de ayn› flekilde,
DEF nde aç›ortay teoreminden,
m(BDC) = 36° , m(DFC) = 72°
bulunur.
ED
Dolay›s›yla,
DF
ABF ikizkenar üçgen olur.
Ç(ABCDE) = 6 . 5 = 30 birim bulunur.
151
=
EK
KF
=
A(DEK)
A(DKF)
=
5
bulunur.
2
DÜZGÜN BEŞGEN
ÖRNEK – 5
ÖRNEK – 6
A
D
ABC dik üçgen
ABCDE düzgün
1
|AE| = |ED| = 2|DB|
E
m(AED) = m(EDB)
beşgen
E
|DC| = 1 birim
|DF| = sinα + sinβ
C
(α, β dar açı)
B
D
C
A
Buna göre, CED aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
F
B
Buna göre, α + β toplamını bulal›m.
|BD| = a diyelim.
ÇÖZÜM
Bu durumda, |AE| = |ED| = 2a olup,
-:
D
A
2a
1
sin36º
E
F
D
sin72º
C
C
H
sin72º
1
1
º
72
B a
36º
E
2a
K a
1
54º
K
ABDE dörtgeninin [AB] na göre dikey yans›mas›n› al›rsak,
A
1
2
F
1
2
B
EDH nde |DH| = sin36°
A
54º 54º
F
AKE nde |EK| = sin72° olup,
2a
108º
E
|DF| = sinα + sinβ
72º
α = 36° ve β = 72° alınabilir.
2a
K a
B a
D
⇒ sin36° + sin72°
Böylece α + β = 108° bulunur.
C
AFKDE düzgün beflgeni elde edilir.
Dolay›s›yla,
m(AED) = 108° ve m(DEC) = 72° bulunur.
ARASTIRMA
Beş kenarının uzunluğu birbirine eşit ve
dört iç açısının ölçüsü birbirine eş olan bir beşgen
daima bir düzgün beşgen midir? Arkadaşlarınızla
tartışıp öğretmeninizle değerlendirin.
152
DÜZGÜN BEŞGEN
1.
5.
A
B
E
F T
ABCDE düzgün
beflgen
FCD eflkenar üçgen
A
B
ABCDE düzgün
beflgen
E
B, F, T do¤rusal
F
38º
C
D
C
D
m(TFD) = .....................
2.
m(FBA) = .....................
6.
D
A
F
C
E
52º
B
ABCDE
düzgün beflgen
K
E
T
TE = CD
C
B
7.
A
8
B
ABCDE düzgün
beflgen
A, E, P do¤rusal
E
D
A
12
B
C, D, P do¤rusal
C
E
C
P
8.
A
B
E
F
C
ABCDE düzgün
beflgen
D
F
A
B
‹pucu :
A noktas›ndan
[CD] na
dikme indir.
E
K
ABCDE düzgün
beflgen
E, K, H do¤rusal
H
C
D
D
m(EKC) = .....................
m(FAE) = .....................
153
ABCDE düzgün
beflgen
CF =...........................
PE =...........................
4.
D
m(ETD) = .....................
m(AFC) = .....................
3.
E, T, F do¤rusal
BF = FC
F
A, K, F do¤rusal
A
ABCDE düzgün
beflgen
DÜZGÜN BEŞGEN
1.
5.
A
B
F
24º
E
C
ABCDE düzgün
beflgen
D
E
D
A
m(AEF) = .....................
6.
A
F
B
K
E
D
ABCDE düzgün
beflgen
[AH]
F
[BF] = {K}
ABCDE düzgün
beflgen
E
C
K(4, 4)
F(6, m)
D
H
A
AB
=...........................
AF
3.
S
A
P
7.
ABCDE düzgün
beflgen
E
C
E
A
PQRS kare
D
F
8.
7
F
C
E
ABCDE düzgün
beflgen
[AD]
C
A
B
[BE] = {F}
E
8
C
D
ABCDE düzgün
beflgen
D
BA, BE = ...................
Ç(BCDF) = ....................
154
ABCD düzgün
beflgen
EFKD kare
m(AEK) = .....................
A
B
K
B
D Q
m(ABS) = .....................
4.
B
m(AFC) = .....................
R
B
AF = EC
C, E, F do¤rusal
B(1, 3)
C
[FB] // [EA]
B
m(FAE) = .....................
2.
C
F
ABCDE düzgün
beflgen
DÜZGÜN BEŞGEN
1.
5.
D
E
C
F
A
ABCDE düzgün
beflgen
D
K
E
DEF eflkenar üçgen
C
F
B
A
m(AKD) = .....................
6.
D
E
C
F
F, DEA üçgeninin
iç merkezidir.
B
m(EFB) = .....................
2.
ABCDE düzgün
beflgen
A
F
ABCDE düzgün
beflgen
B
DEF eflkenar üçgen
E
T
ABCDE düzgün
beflgen
12
114º
A
C
B
AT =...........................
m(BAF) = .....................
3.
7.
D
63º
E
C
ABCDE düzgün
beflgen
A
F
B
B, P, F do¤rusal
P
A
4.
C
B
[BE] köflegen
8.
F
E
D
m(BFC) = .....................
A
26º
ABCDE düzgün
beflgen
[AD] köflegen
m(AFB) = .....................
B
E
18
º
F
D
K
ABCDE düzgün
beflgen
A
E
B
DF = BE
ABCDE düzgün
beflgen
m(FBE) = 26º
64º
C
C
D
D
m(FAE) = .....................
m(FDE) = .....................
155
F
DÜZGÜN BEŞGEN
1.
5.
A
A
ABCDE düzgün
beflgen
E
B
F
E
B
AEF ve DEK
eflkenar üçgen
K
ABCDE düzgün
beflgen
DEK eflkenar
üçgen
K
D
D
C
m(AKC) = .....................
m(FKD) = .....................
2.
6.
D
F
C
E
A
ABCDE düzgün
beflgen
B
DH = FL
K
C
DF = FC
ABCDE düzgün
beflgen
E
F
E, F, H do¤rusal
130º
H
F, K, L do¤rusal
A
B
H
C
L
m(ABF) = .....................
m(LFC) = .....................
3.
7.
A
E
B
D
D
F
20º
ABCDE düzgün
beflgen
C
E
AD = DF
F
C
A
D
8.
A
E
K
P
D
B
T
B
m(CBF) = .....................
m(AFD) = .....................
4.
ABCDE düzgün
beflgen
ABCDE düzgün
beflgen
D
E
B
AEF eflkenar üçgen
DKC eflkenar üçgen
ABCDE düzgün
beflgen
A, B, P do¤rusal
F
m(FAP) = 2m(APF)
F
A
C
B
b
P
Ç(ABF) = .....................
m(ATC) = .....................
156
a
DÜZGÜN BEŞGEN
1.
5.
A
ABCDE düzgün
beflgen
E
B
108º
C
A
B
P
C
D
D
6.
E
K
ABCDE düzgün
beflgen
A
2
H
4
L
S1
S3
C
D
S1 + S2
= .........................
S3
7.
A
L
K
B
E
E
ABCDE düzgün
beflgen
D
m(KAH) = .....................
3.
K
B S
2
AKLE kare
L
C
[BE] = {F}
AB =...........................
A
B
[AC]
AF . BE = 8 br2
m(EPC) = .....................
2.
E
F
ABCDE düzgün
beflgen
ABCDE düzgün
beflgen
CDKL dikdörtgen
A
B
E
L
ABCDE düzgün
beflgen
[AF]
[EK] = {L}
BK = CF
K
C
C
D
F D
m(KLF) = .....................
m(DKE) = .....................
4.
8.
A
L
B
E
F
A
ABCDE düzgün
beflgen
AFKL dikdörtgen
E
B
F
BK = DE
AF . EP = 12 br2
B, F, K do¤rusal
K
C
ABCDE düzgün
beflgen
ACP üçgen
D
C
AB =...........................
m(ALF) = .....................
157
D
P
DÜZGÜN BEŞGEN
1.
5.
L
A
B
ABCDE düzgün
beflgen
AFKL kare
E
K
D
E
ABCDE düzgün
beflgen
D, F, L do¤rusal
A, K, B, L do¤rusal
C
F
AEL eflkenar üçgen
F
C
D
A 2 K
6.
A
E
B
ABCDE düzgün
beflgen
D
c
E
DEK eflkenar
üçgen
F
b
A
C
a = ...............................
7.
A
H
D
ABCDE düzgün
beflgen
E [AF] [AD]
F
B
C
4
E
C
K
D
A
[EH]
[HC]
B
EF =...........................
8.
D
E
C
F
K
8
F
ABCDE düzgün
beflgen
[AC]
ABCDE düzgün
beflgen
D
C
E
[EK] = {F}
FKL dik üçgen
Ç(ABCDE) = 35 br
AF = 8 birim
K
A
ABCDE düzgün
beflgen
F
m(DFC) = .....................
4.
a2 + b2 + c2 = 24
B
m(AKB) = .....................
3.
C
ABCDE düzgün
beflgen
a
K
D
L
FC =...........................
m(AFB) = .....................
2.
B
A
B
L
B
AK =...........................
Ç(ABCDE) = ..................
158
DÜZGÜN ALTIGEN
Düzgün Alt›gen
Bu ifllemler çemberi kesen yay üzerinde her nokta
için tekrarlan›p çember üzerinde noktalar birlefltirilir.
Tan›m : ‹ç aç›lar›n›n ölçüleri ve kenar uzunluklar› eflit
olan alt›genlere düzgün alt›gen denir.
E
F
a
120º
a
120º
120º
a
a
O
D
A
120º
a
120º
C
120º
B
a
2. Yol : Bir eşkenar üçgen çizelim.
Bu eşkenar üçgenin tüm kenarlarını üç eş parçaya ayıralım.
Düzgün Alt›genin Çizimi
1. Yol : Pergel ile O merkezli bir çember çizelim.
E
kalem
i¤ne
D
F
C
A
O
A
B
Noktaların ardışık olarak birleştirilmesi ile düzgün
altıgen oluşur.
Pergel aç›kl›€›n› de€ifltirmeden pergelin i€nesini
A noktas›na getirip çemberden geçen bir yay çizelim.
Düzgün alt›gen
E
O
D
F
A
C
A
159
E
B
D
C
F
A
B
DÜZGÜN ALTIGEN
ÿ
Bir düzgün alt›gende bir köfleden ç›kan aç›ortay
flekli ortalar.
E
ÖRNEK – 6
D
60º
D
ABCDEF düzgün
60º
alt›gen
K
F
C
60º
2
E
F
|DK| = |KC|
|DE| = 2 birim
C
60º
A
B
A
B
Buna göre, |AK| uzunlu€unu bulal›m.
ÿ
Tüm köfleler için ayn› çizimle 6 tane eflkenar üçgen oluflturulur.
E
60º
F
60º
60º
60º
60º
2
E
D
1
K
60º
1
60º
60º
A
bilir.
-:
D
60º
60º
60º
ÇÖZÜM
F
C
C
2 3
30º
60º
A
B
30º
120º
2
2
B
|DK| = |KC| = 1 birim olup,
6 . a2 3
O halde, A(ABCDEF) =
ile hesaplana4
A ile C birlefltirilirse,
120° – 30° – 30° üçgeni elde edilir.
|AC| = 2
3 birim bulunur.
[AC] ⊥ [DC] oldu€undan,
ACK nde, pisagor ba€›nt›s› ile,
|AK|2 = (2
|AK| =
NOT :
a
a
a
ile
a
120º
3) 2 + 1 2 ⇒ |AK|2 = 13
13 birim bulunur.
a
yukarıdaki iki üçgensel bölgenin alanlar›n›n eflit oldu€una dikkat edelim.
A
Böylece
5A
yazılabilir.
Arı peteklerinin altıgen yapıda olduğunu biliyormuydunuz?
160
DÜZGÜN ALTIGEN
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 7
E
D
-:
E
2 3
30º
120º
ABCDEF düzgün
alt›gen
2 3
|AB| = 2 birim
F
30º
C
D
4
K
2
F
C
4
2 3
A
B
2
A
Buna göre, FBD üçgeninin çevre uzunlu€unu
bulal›m.
EFD üçgeni 120° – 30° – 30° üçgeni oldu€undan,
|EF| = |ED| = 2
ÇÖZÜM
-:
E
2
30º
120º
|AK|2 = 22 + (2
30º 2
2 3
30º
F
2 3 120º
2
2 3
30º
120º
A
3 birim olur.
AFK nde pisagor ba€›nt›s› ile,
D
2
B
|AK| = 4 birim
3) 2
bulunur.
C
30º 2
30º
B
2
Düzlemde Çokgenlerden Yararlanarak
Desen, Fraktal Görüntüsü Oluflturma
Düzgün alt›genin bir iç aç›s›n›n ölçüsü 120° oldu€undan ABF , DBC ve EFD üçgenleri 120 – 30° – 30°
üçgenleri olur.
Dolay›s›yla,
K
|BF| = |FD| = |DB| = 2
D90º
3 birim bulunur.
Ç(FBD) = 2 3 . 3
Kendi
görüntüsü
D180º
Saat yönünün
tersine 90º
dönme
Saat yönünün
tersine 180º
dönme
YD
ÖRNEK – 8
D270º
E
K
F
D
ABCDEF düzgün
Yatay yans›ma
(Yatay eksene göre)
Dikey yans›ma
(Dikey eksene göre)
[FD] köflegen
2
C
A
Saat yönünün
tersine 270º
dönme
alt›gen
4
YY
|FK| = 2 birim
|KD| = 4 birim
+
(YK
)
B
Sa¤ üst köfleden
sol alt köfleye çizilen
köflegene göre
yans›ma
Buna göre, |AK| uzunlu€unu bulal›m.
161
–
)
(YK
Sol üst köfleden
sa¤ alt köfleye çizilen
köflegene göre
yans›ma
DÜZGÜN ALTIGEN
1.
E
5.
D
E
D
ABCDEF düzgün
alt›gen
L
K
F
C
M
ABKL kare
F
B
L
A
E
m(AND) = .....................
6.
D
y
ABCDEF düzgün
alt›gen
F
E
C
C
O
do¤rusunun e¤imi = ................
3.
7.
E
D
E
F
C
C
2
K
45º
A
2
A
B
E
B
DK =...........................
m(KEF) = .....................
4.
D
ABCDEF düzgün
alt›gen
ABCDEF düzgün
alt›gen
D, F, K do¤rusal
F
x
B
A
B
m(ABK) = .....................
K
ABCDEF düzgün
alt›gen
D
F
K
A
A, K, N do¤rusal
B
m(DCK) = .....................
2.
8.
D
E
2
D
ABCDEF düzgün
alt›gen
ABCDEF düzgün
alt›gen
F
K
L
C
EFKLM düzgün
beflgen
C
K
A
ABCDEF düzgün
alt›gen
N
KLDE kare
F
C
P
A
A
B
A(PDC) = ......................
m(ECL) = .....................
162
B
DÜZGÜN ALTIGEN
1.
E
5.
D
K
4
ABCDEF düzgün
alt›gen
K
C
F
D
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
C
F
6 3
6
A
B
A
B
FK =...........................
2.
E
BK =...........................
6.
D
y = 3x – 5
ABCDEF düzgün
alt›gen
6
D
E
F
C
C
F
ABCDEF düzgün
alt›gen
y=x+1
2
K
A
A
B
B
y = mx + n
AK =...........................
3.
m + n =.........................
7.
y
E
C
F
x
B
E
D, E, F do¤rusal
FE = EC
B
m(AFD) = .....................
8.
D
D
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
ABCDEF düzgün
alt›gen
K
C
F
C
F
C
A
do¤rusunun e¤imi = ................
4.
ABCDEF düzgün
alt›gen
K
O
A
D
E
F
ABCDEF düzgün
alt›gen
D
2
P
4
A
A2L 4
B
KL =...........................
A(PEDC) = ....................
163
B
DÜZGÜN ALTIGEN
1.
D
5.
E
E
D
ABCDEF düzgün
alt›gen
C
F
P
40º
[AC] köflegen
F
ABCDEF düzgün
alt›gen
P
A, C, P do¤rusal
C
4
B
A
A
PE =...........................
2.
m(PED) = .....................
6.
y
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
D(a, 6)
D(a, 6)
P
F
x
B
C
B
A(ABCDEF) = ...............
7.
D
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
[AD] köflegen
3
A
C köflesinin koordinatlar› = ................
3.
D
2 3
O
A
E
K
C
F
B
D
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
E, C, K do¤rusal
ABCDEF düzgün
alt›gen
T
F
5
C
[FC] köflegen
C
F
6
21
A
A
B
E
6
B
8.
D
E
D
ABCDEF düzgün
alt›gen
T
C
F
K
EA =...........................
FT =...........................
4.
A, B, K do¤rusal
ABCDEF düzgün
alt›gen
4
[EB] köflegen
F
C
P
P
A
A
B
A(AFP) + A(PDC) =.................
A(AFP) + A(TDC) =..................
164
B
DÜZGÜN ALTIGEN
1.
E
5.
D
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
ABCDEF düzgün
alt›gen
L
P 2 K
F
C
F
D
C
ABKL kare
A, P, D do¤rusal
4
A
A
B
ED =...........................
A(BCDF) = ....................
2.
E
2 3
6.
D
E
C
F
A
B
K
P
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
L
D
ABCDEF düzgün
alt›gen
T
K, P, L do¤rusal
KAB eflkenar üçgen
K
F
C
F
B
A(PAB) = ......................
7.
D
ABCDEF düzgün
alt›gen
P
A(ADC) = ......................
3.
D
8
C
A
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
F
B
C
6
A
A
B
m(BKT) = .....................
A(PAB) = ......................
4.
A
8.
F
ABCDEF düzgün
alt›gen
4
K
T
B
2
[BE]
D
C
K
P
[CK] = {T}
E
E
A
ABCDEF düzgün
alt›gen
ALKC kare
B
F
C
B
E, P, K do¤rusal
L
D
BT =...........................
m(APE) = .....................
165
DÜZGÜN ALTIGEN
1.
E
5.
D
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
P
ABCDEF düzgün
alt›gen
L
[FD] köflegen
C
F
D
K
[AC] köflegen
ABMK kare
M
F
C
F, K, L do¤rusal
B, M, L do¤rusal
8
A
A(KLM) = 4 br2
B
A
B
KL =...........................
A(PAC) = ......................
2.
E
6.
D
6
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
45º
[AD] köflegen
F
C
F
E
7.
D
T
E
EL = 6 birim
D
ABCDEF düzgün
alt›gen
[FK]
5
2
T
K
8
A
B
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
K
B
AT =...........................
8.
D
135º
D
ABCDEF düzgün
alt›gen
A, B, K do¤rusal
8
C
F
C
F
T
A
[AD] = {T}
C
F
FT =...........................
4.
m(FEK) = 45º
[FK] = {T}
C
K
A
[EK] = {L}
K B
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
[AD]
F
[AD]
C
AF =...........................
A(PBC) = ......................
3.
6
A
B
ABCDEF düzgün
alt›gen
L
P
A
D
A
B
2
K
BT
=...........................
TC
FK
=...........................
KE
166
B
E, T, K do¤rusal
DÜZGÜN ALTIGEN
1.
D
C
5.
K
T 3
7
[BC]
E
E
45º
L
B
K
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
E
KC = 12 birim
D
ABCDEF düzgün
alt›gen
A, C, K do¤rusal
C
F
F E, D, K do¤rusal
B
B
A
A
C
75º
8
D
L
2
D
10
C
K
K
A
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
10
[EK]
K
F
BK = 2 birim
2
B
K
D
ABCDEF düzgün
alt›gen
4
L
[KL]
[AD]
C
F
[EK] // [LB]
6
B
A
A
KL =...........................
B
A(ABL) = ......................
167
[BE] = {K}
DK =...........................
8.
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
C
F
E
L
D
[AC]
m(BCK) = 75º
A(KEL) = ......................
4.
B
E
ABCDEF düzgün
alt›gen
F
A(EAC) = 4 3 br2
AB =...........................
7.
A
C
4 3 br2
A(BCK) = ......................
3.
m(BCK) = 45º
A(DKC) = ......................
6.
D
DKC üçgen
K
A
BT
=...........................
TC
12
D, F, K do¤rusal
F
C
A
2.
ABCDEF düzgün
alt›gen
[KE] = {T}
A, B, K do¤rusal
B
F
D
ABCDEF düzgün
alt›gen
[BK] = {L}
MATEMAT‹⁄E EME⁄‹ GEÇEN B‹L‹M İNSANLARINDAN BAZILARI
BOOLE 1815 – 1864
ABEL 1802 – 1829
FERMAT 1601 – 1665
CANTOR 1845 – 1918
(Sonsuzu zapteden adam)
CAUCHY 1789 – 1857
CAH‹T ARF 1910 – 1997
CRAMER 1704 – 1752
AL‹ NES‹N 1956 –
FOURIER 1768 – 1830
EULER 1707 – 1783
168
GAUSS 1777 – 1855
LAPLACE 1749 – 1827
GALOIS 1811 – 1832
eksTRem
ÇEMBER
ÜN‹TE – 4
ü
ü
Çemberin Vektörel Denklemi
ü
ü
Çemberin Parametrik Denklemi
ü
Bir Çember ‹le Bir Do€runun Birbirine Göre Durumu
ü
Çemberde Aç›
ü
Denklemi Verilen ‹ki Çemberin Birbirine Göre Konumlar›
ü
Çemberde Kirifl ve Kesenler ‹le ‹lgili Özellikler
ü
ü
Kuvvet Ekseni
ü
Te€etler Dörtgeni, Kirifller Dörtgeni
ü
Batlamyüs (Ptolemy) Teoremi
ü
Çemberin Çevre Uzunlu€u ve Dairenin Alan Ba€›nt›lar›
"Matematiksel olarak gösterilemeyen hiçbir araflt›rma gerçek bilim
say›lamaz."
(Leonardo da Vinci)
ÇEMBER
ÿ
Çemberin Yard›mc› Elemanlar›
Bir düzgün çokgenin kenar say›s› istenildi€i kadar art›r›ld›€›nda yaklafl›k olarak bir çember elde
edilebilir.
ü
ü
ü
Kirifl
Kesen
Yay
Kirifl
A
Düzgün
onikigen
Düzgün
yirmigen
M
Yay
Düzgün
yirmidörtgen
Kesen
B
Kirifl
Düzgün
otuzgen
Düzgün
k›rkgen
Çemberin farklı iki noktas›n› birlefltiren do€ru parças›d›r.
Düzgün
seksengen
.................
[AB] kirifl
A
B
Çember
Kesen
Çemberin iki noktas›ndan geçen do€rudur.
Tanım : Düzlemde sabit bir M noktas›ndan sabit bir r
uzakl›€›nda bulunan noktalar›n geometrik yerine çember denir.
B
l : kesen
A
ü
ü
Çap
Yar›çap
Merkez
Çemberin merkezinden geçen kiriflidir.
Yar›çap
M
r
B
A
O
Merkez
A
Merkezi M, yarıçap uzunluğu r olan çember Ç(M, r)
ile gösterilir.
Bir çemberde en uzun kiriş çaptır.
171
[AB] çap
ÇEMBER
Yay
Efl Yaylar – Komflu Yaylar
Çemberin bir parças›d›r.
Bir çemberde ölçüleri ayn› olan iki yaya efl yaylar
denir.
E
AB : AB yay›
A
A
D
m(AB) : AB yay›n›n
ölçüsü
O
B
O
|AB| : AB yay›n›n
B
C
uzunlu€u
F
ÿ
Bir tam çember yay›n›n ölçüsü derece cinsinden
360° dir.
O
ÿ
AB ve CD efl yaylard›r.
ÿ
ED ve DC komflu yaylard›r.
Teorem :
360º
Bir çemberin merkezinden kirifle indirilen dikme
kirifli ve kirişin ayırdığı yayı ortalar.
O, merkez ve
[OD] ⊥ [AB] ise
O
Efl Çember
|AH| = |HB|
Yar›çap uzunluklar› eflit olan çemberlerdir.
A
B
H
m(AD) = m(DB)
D
O1
O2
r
r
A
Teorem :
B
Bir çemberin herhangi bir kiriflinin orta dikmesi
çemberin merkezinden geçer.
NOT :
A
Efl olmayan çemberlere benzer çemberler denir.
H
O
O
B
O
r
R
Yukar›daki çemberin merkezi AB kiriflinin orta
dikmesi olan l do€rusunun üzerindedir.
‹ki çember ya benzer ya da efltir.
172
ÇEMBER
O halde; bir çemberde herhangi iki kiriflin orta dikmelerinin kesim noktas› merkezi belirler.
SONUÇ :
Merkezi M(a, b) noktas› ve yar›çap r uzunlu€u
olan çemberin üzerindeki de€iflken nokta P(x, y) olsun.
1
A
B
O
l1 ∩ l2 = {O}
C
r
P(x, y)
M(a, b)
D
2
Yukar›daki çemberde l1 ve l2 do€rular›n›n kesim
noktas› çemberin merkezidir.
Bu durumda;
¸ Çemberin vektörel denklemi : MP = r
¸ Çemberin standart denklemi : (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Çemberin Vektörel Deklemi
ÖRNEK – 1
Merkezi M(2, 3) ve 4 birim yar›çapl› çemberin
vektörel ve standart denklemlerini bulal›m.
M
r
P
ÇÖZÜM
-:
P(x, y) çember üzerindeki de€iflken nokta olsun.
P çember üzerinde de€iflken bir nokta ise,
P(x, y)
MP = r ifadesi çemberin vektörel denklemidir.
4
M(2, 3)
M(a, b) sabit nokta ve çember üzerinde de€iflken
bir nokta P(x, y) olsun.
Bu durumda,
MP = P – M = (x – a, y – b) olup,
MP = 4 çemberin vektörel denklemidir.
MP = r vektörel denklemi,
MP = P – M = (x – 2, y – 3) olup,
MP = 4 eflitli€inden,
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 16
standart denklem haline getirilebilir.
standart denklem elde edilir.
173
ÇEMBER
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 2
-:
y
y
P(x, y)
2
4
M
M(5, 2)
O
O
x
T
M(2, 4) ve r = 2 birim olan çember üzerinde de€iflken bir nokta P(x, y) olsun
Ox eksenine T noktas›nda te€et olan M(5, 2)
merkezli çemberin vektörel ve standart denklemini bulal›m.
ÇÖZÜM
-
x
2
MP = 2 vektörel denklem ve
(x – 2)2 + (y – 4)2 = 22
:
standart denklemi elde edilir.
Çemberin yar›çap uzunlu€u r = MT = 2 birimdir.
y
P(x, y)
ÖRNEK – 4
M
2
T
O
5
y
x
O halde çember üzerinde de€iflken bir nokta,
P(x, y) olmak üzere,
2
O
2
(x – 5) + (y – 2) = 2
(x – 5)2 + (y – 2)2 = 4
x
T
Yukarıda I. bölgede eksenlere te€et olup yar›çap uzunlu€u 4 birim olan çemberlerin vektörel ve
standart denklemini bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
ÖRNEK – 3
y
P(x, y)
y
4
4 M
M
T
4
O
O
2
x
M(4, 4) ve r = 4 birim oldu€undan,
MP = 4 vektörel denklem,
Yukar›da y eksenine T noktas›nda te€et olan M
merkezli çemberin vektörel ve standart denklemini
bulal›m.
(x – 4)2 + (y – 4)2 = 42
174
T
x
ÇEMBER
ÖRNEK – 5
Kapal› Denklemi ;
Merkezinin koordinatlar› M(–3, 2) olan ve
l : 3x + 4y + 16 = 0 do€rusuna te€et olan çemberin
vektörel ve standart denklemini bulal›m.
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 olan ifade,
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
ÇÖZÜM
-:
fleklinde yaz›labilir.
P(x, y)
Bu denklemde,
M
–2a = D, –2b = E ve a2 + b2 – r2 = F al›narak,
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
T
denklemi elde edilir ve bu denkleme çemberin
genel denklemi denir.
M noktas›n›n 3x + 4y + 16 = 0 do€rusuna uzakl›€›,
MT = r =
3 . (–3) + 4 . 2 + 16
O halde,
32 + 42
r = 3 birim bulunur.
Kapal› Denklemi :
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
(x + 3)2 + (y – 2)2 = 32 standart denklem elde edilir.
olan çemberin merkezinin koordinatlar›,
M d–
D E
, – n ve
2
2
yar›çap uzunlu€u,
ÖRNEK – 6
r=
Merkezinin koordinatlar› M(4, –6) olan ve
K(–1, 6) noktas›ndan geçen çemberin vektörel ve
standart denklemini bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
D 2 + E 2 – 4F ile bulunur.
NOT :
K(–1, 6)
a)
r
P(x, y)
MK = r =
1
2
Denkleminin çember belirtmesi için,
M(4, –6)
2
(4 + 1) + (–6 – 6)
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
2
MP = 13 vektörel denklem
(x – 4)2 + (y + 6)2 = 132 standart denklem elde edilir.
175
1.
A=C≠0
2.
B=0
3.
D2 + E2 – 4F > 0 olmal›d›r.
b)
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 denklemi
1.
D2 + E2 – 4F = 0 ise nokta
2.
D2 + E2 – 4F < 0 ise bofl küme belirtir.
ÇEMBER
ÖRNEK – 1
ÖRNEK – 3
Genel denklemi, x2 + y2 – 2x + 6y – 5 = 0 olan
çemberin merkezinin koondinatlar›nı ve yar›çap
uzunlu€unu bulal›m.
-
ÇÖZÜM
y
4
6
O
:
x
Çemberin kapal› denkleminde,
Yukar›daki çemberin genel denklemini bulal›m.
D = –2, E = 6, F = –5 oldu€undan,
M d–
D E
–2 –6
, – n = Md ,
n = M (1, –3)
2
2
–2 2
1
r=
2
r=
1
2
ÇÖZÜM
-:
D 2 + E 2 – 4F eflitli¤inden
y
(–2) 2 + 6 2 – 4 . (–5) ve
(0, 4)
r
4
O
Md
M
r
6
(6, 0)
0+6 4+0
,
n = M (3, 2) ve
2
2
Pisagor ba€›nt›s› ile 4r2 = 42 + 62
r=
13 birim bulunur.
ÖRNEK – 2
O halde genel denklem,
Genel denklemi x 2 + y 2 + 8x – 1 = 0 olan
çemberin merkezinin koordinatlar›nı ve yar›çap
uzunlu€unu bulal›m.
(x – 3)2 + (y – 2)2 = 13 ten
x2 + y2 – 6x – 4y = 0 bulunur.
ÇÖZÜM
-:
Çemberin kapal› denkleminde,
D = 8, E = 0, F = –1 oldu€undan,
Md
8 0
,
n & M (–4, 0) ve
–2 –2
r=
1
2
8 2 + 0 2 – 4 . (–1) eflitli¤inden
176
x
ÇEMBER
Koordinat Düzleminde (do€rusal olmayan)
Herhangi Üç Noktadan Geçen
Çemberlerin Denklemi
ÖRNEK – 4
x 2 + y 2 + 8x – 6y – 9 = 0 çemberinin Ox ekseni
üzerinde ay›rd›€› kiriflin uzunlu€unu bulal›m.
Verilen noktalar A, B, C olsun,
A
ÇÖZÜM
-:
1 Yol :
B
Ox ekseni üzerinde ay›rd›€› kiriflin uç noktalar›n›
bulmak için y = 0 al›n›r.
C
A, B, C noktalar›ndan geçen çember için, [AB] ve
[AC] birer kirifl olur.
x2 + 8x – 9 = 0 ⇒ (x + 9) . (x – 1) = 0
Yani, Ox eksenini (–9, 0) ve (1, 0) noktalar›nda
kesiyor.
A
Dolay›s›yla kirifl uzunlu€u,
1 – (–9) = 10 birim bulunur.
B
C
2 Yol :
Kirifllerin orta dikme do€rular› merkezde kesiflti€inden,
O(–4, 3)
34
3
x
A
2
y
10 birim
–9
1
F
1
B
x
E
M
C
1 ME, AC 2 = 0 ve 1 MF, AB 2 = 0
eflitliklerinden elde edilen l1 ve
ara kesiti ile M noktas› bulunur.
l2 do€rular›n›n
Böylece, merkezi M ve üzerindeki bir noktas›,
(A, B, C den biri) bilinen çember denklemi bulunmufl
olur.
177
ÇEMBER
-:
ÇÖZÜM – 2
ÖRNEK – 1
A(0, 0), B(0, 6) ve C(8, 0) noktalar›ndan geçen
çemberin vektörel ve standart denklemini bulal›m.
y
6 B
-:
ÇÖZÜM – 1
[AB] nin orta noktas› d
3
0+0 0+6
,
n = D (0, 3)
2
2
4
M
3
0+8 0+0
[AC] nin orta noktas› d
,
n = E (4, 0) olup,
2
2
O
3
C
4
x
8
A(0, 0)
m(BOC) = 90° oludu€undan [BC] çapt›r.
E( 4, 0)
D(0, 3)
M(4, 3) olup, r = 5 birim bulunur.
Böylece,
C(8, 0)
B(0, 6)
Vektörel denklemi, MP = 5 ve
Standart denklem, (x – 4)2 + (y – 3)2 = 25 bulunur.
[AB] ve [AC] nin kenar orta dikmeleri çemberin
merkezi üzerinde kesiflece€inden,
A
D(0, 3)
E( 4, 0)
C
M(a, b)
B
1 AC, ME 2 = 0 ve 1 MD, AB 2 = 0 olmal›d›r.
AC = C – A = (8, 0)
ME = E – M = (4 – a, –b)
MD = D – M = (–a, 3 – b)
AB = B – A = (0, 6)
Merkezil Çember
_
1 AC, ME 2 = 0 & 8(4 – a) – b . 0 = 0 b a = 4
`
b=3
1 MD, AB 2 = 0 & a . 0 + 6(3 – b) = 0 b
a
Merkezi koordinat bafllang›cı olan çemberdir.
y
r
Böylece, M(4, 3) olur.
P
Dolay›s›yla çemberin
vektörel denklemi,
B
M(4, 3)
r
O
MB = 5 bulunur.
x
–r
Standart denklemi,
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 25 olarak yaz›labilir.
OP = r ya da x2 + y2 = r2 ile gösterilir.
178
r
–r
ÇEMBER
ÖRNEK – 1
ÖRNEK – 1
x2 + y2 = 12 çemberinin parametrik denklemini
yazal›m.
Vektörel denklemi OP = 4 olan çemberi koordinat düzleminde çizelim.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
-:
-:
r = 2 3 birim olup,
P(x, y) diyelim.
Parametrik denklemi,
OP = (x – 0, y – 0) olup,
0 ≤ α < 2π olmak üzere,
OP =
x = 2 3 . cosα
x 2 + y 2 = 4 eflitli¤inden,
y = 2 3 . sinα fleklinde yaz›labilir.
x 2 + y 2 = 16 denklemi elde edilir
ve grafi¤i afla¤›daki gibidir.
ÖRNEK – 2
y
4
P(x, y)
0 ≤ α < 2π
4
4
–4
O
x = 6 . cosθ
x
y = 6 . sinθ
fleklinde verilen çemberin vektörel ve standart denklemlerini yazal›m.
–4
ÇÖZÜM
-:
Merkezi M(0, 0) ve yar›çap› r = 6 birim oldu€undan,
Vektörel denklemi;
OP = 6
Standart denklemi; x2 + y2 = 36 bulunur.
Merkezil Çemberin Parametrik Denklemi
y
P(x, y)
r
r . sin
O r . cos
x
x = r . cosα
y = r . sinα
denklemlerine çemberin parametrik denklemi denir.
179
ÇEMBER
Merkezil Olmayan Çemberin
Parametrik Denklemi
ÖRNEK – 2
y
Standart denklemi,
(x –a)2 + (y – b)2 = r2 olan çember
M
x2 + y2 = r2 çemberinin v = (a, b) do€rultusunda
ötelenmifli oldu€undan,
2
5
x
Yukar›daki çemberin parametrik denklemini
yazal›m.
x = a + r . cosα
ÇÖZÜM
y = b + r . sinα biçiminde yaz›labilir.
-:
M(2, 0) ve r = 3 birim olup,
NOT :
x = 2 + 3cosα ve y = 3sinα fleklindedir.
Merkezil olmayan çember, merkezil çemberin
ötelenmiş halidir.
ÖRNEK – 3
y
M 4
ÖRNEK – 1
2
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 12 çemberinin parametrik
denklemini bulal›m.
ÇÖZÜM
O
-:
x
yazal›m.
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 12 çemberi,
x2 + y2 = 12 çemberinin u = (2, –3) do€rultusunda
ötelenmiflidir.
ÇÖZÜM
M(0, 4) ve r = 2 birim olup,
Böylece, M(2, –3) ve r = 2 3 birim oldu€undan,
0 ≤ θ < 2π olmak üzere,
x = 2 + 2 3 . cosα
y = –3 + 2 3 . sinα
x = 2 cosθ ve y = 4 + 2sinθ fleklindedir.
parametrik denklemi elde edilir.
180
-:
ÇEMBER
Yar›m Çember Denklemleri
ÖRNEK – 4
y
1.
y
y=x
M(5, k)
r = 3 birim
M
–r
O
y = r2 – x2
+
+
+
+
x
r
O
x
ÿ
Yukarıdaki çember yayının tüm noktalarında,
y ≥ 0 dır.
yazal›m.
ÇÖZÜM
2.
y
r
-:
M(5, k) noktas› y = x doğrusu üzerinde bulundu€undan denklemi sa€lar. O halde, k = 5 tir.
– – – –
x
O
Dolay›s›yla, M(5, 5) ve r = 3 birim olan çemberin,
x = – r2 – y2
–r
Parametrik denklemi, 0 ≤ α < 2π olmak üzere,
x = 5 + 3cosα ⇒ y = 5 + 3sinα fleklindedir.
ÿ
x ≤ 0 dır.
y
3.
ÖRNEK – 5
y
O
–r
Ç
ÿ
y + 2x = 12
y ≤ 0 dır.
Yukar›da l doğrusu eksenlere teğet Ç çemberinin merkezinden geçmektedir.
4.
y
r
Buna göre, çemberin yarıçap uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM
x
–
–
–
–
y = – r2 – x2
x
r
O
-:
x = r2 – y2
+ + + +
O
Çember eksenlere teğet olduğundan,
x
merkezi O(r, r) şeklinde yazılabilir.
–r
O halde,
O noktası doğru denklemini sağlayacağından,
ÿ
r + 2r = 12 ⇒ r = 4 birim bulunur.
x ≥ 0 dır.
181
ÇEMBER
Bir Çember ‹le Bir Do€runun
Birbirine Göre Durumu
ÖRNEK – 1
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 çemberi ile y = mx + n
do€rusu veriliyor.
ÿ
Çember ile do€runun ortak çözümü hesaplan›r.
ÿ
Elde edilen ikinci dereceden denklemin diskriminantı bulunur.
ÿ
Δ > 0 ise do€ru çemberin bir kesenidir.
(x – 1)2 + (y + 2)2 = 1 çemberi ile y = x doğrusu
için ne söylenebilir?
ÇÖZÜM
-:
1. Yol :
Çember ile do€ru denklemini ortak çözelim;
Çember denkleminde y yerine x yaz›l›rsa,
(x – 1)2 + (x + 2)2 = 1 olup,
x2
Buradan, x2 + x + 2 = 0 denklemi elde edilir.
x1
Δ = 1 – 4 . 1 . 2 = –7 < 0 oldu€undan,
do€ru çemberi kesmez.
2. Yol :
ÿ
Δ = 0 ise do€ru çemberin bir te€etidir.
Merkezi M(1, –2) ve yar›çap› r = 1 birim dir.
Merkezin y – x = 0 do€rusuna uzakl›€›,
h=
–2 – 1
2
1 + (–1)
=
2
3
2
birim olup,
h > r oldu€undan do€ru çemberi kesmez.
ÿ
Δ < 0 ise do€ru çemberi kesmez.
ÖRNEK – 2
M(0, 0) olmak üzere, MX = 5 çemberi ile
3x + 4y – 24 = 0 doğrusu için ne söylenebilir?
ÇÖZÜM
-:
Merkezi M(0, 0) ve yar›çap› r = 5 birim dir.
Merkezinin 3x + 4y – 24 = 0 do€rusuna uzakl›€›,
NOT :
h=
Verilen çemberde merkezin do€ruya uzakl›€› hesaplanarak da yukar›daki üç durumdan hangisinin
oldu€u tespit edilebilir.
2
3 +4
2
=
24
birim olup,
5
h < r oldu€undan do€ru çemberi iki farkl› noktada
keser.
182
3 . 0 + 4 . 0 – 24
ÇEMBER
Bir çemberde yer vektörünü doğrultman kabul
eden doğruya normal doğrusu denir.
ÖRNEK – 3
(x – 3)2 + (y – 5)2 = 25 çemberi 5x + 12y – k = 0
doğrusunu farklı iki noktada kestiğine göre, k nin
alabileceği değerleri bulalım.
A
O
ÇÖZÜM
-:
Merkezi M(3, 5) ve yar›çap› r = 5 birim dir.
Merkezin do€ruya uzakl›€› h olsun.
OA vektörünü doğrultman vektörü kabul eden ve
A noktasından geçen doğru normal doğrusudur.
Bu durumda, h < r olmas› gerekir.
h=
5 . 3 + 12 . 5 – k
75 – k
13
5 2 + 12 2
=
75 – k
13
< 5 ise 75 – k < 65
ÖRNEK – 1
–65 < k – 75 < 65
10 < k < 140 ⇒ k ∈ (10, 140) bulunur.
x2 + y2 = 25 çemberinde A(–3, 4) noktasından
çizilen teğet doğrusunun denklemini bulalım.
ÇÖZÜM
Bir Çemberin Herhangi Bir Noktasındaki
Teğet ve Normal Denklemleri
-:
A(–3, 4)
N
O(0, 0)
B(x, y)
O
l doğrusu üzerinde B(x, y) seçelim.
OA ⊥ l olup,
Çemberin herhangi bir noktasının yer vektörüne
dik olan doğrusuna bu noktadaki teğet doğrusu denir.
1 OA, AB 2= 0 olmalıdır.
OA = A – O = (–3, 4)
A
AB = B – A = (x + 3, y – 4)
O
1 OA, AB 2= 0 eşitliği ile
l doğrusunun denklemi,
OA ⊥ l ise
–3(x + 3) + 4(y – 4) = 0
l : O merkezli çemberin A noktasındaki teğetidir.
–3x + 4y = 25 bulunur.
183
ÇEMBER
ÖRNEK – 2
ÖRNEK – 3
(x – 1)2 + (y + 3)2 = 90 çemberinin A(4, 6) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini bulalım.
x2 + y2 = 40 çemberine A(6, 2) noktasında çizilen teğet doğrusunun denklemini bulalım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
-:
-:
6x + 2y = 40
3x + y = 20 bulunur.
A(4, 6)
B(x, y)
ÖRNEK – 4
O(1, –3)
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 5 çemberine A(–2, 1) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini bulalım.
ÇÖZÜM
Çembere A noktasından çizilen teğet A noktasının yer vektörüne diktir.
A(–2, 1) noktası çember denklemini sağladığından çember üzerindedir.
A noktasının yer vektörü,
OA = A – O = (3, 9), AB = (x – 4, y – 6) ve
O halde, A noktas›ndan geçen te€et do€rusunun
denklemi,
OA = AB olduğundan,
(–2 + 1) . (x + 1) + (1 – 3) . (y – 3) = 5
1 OA, AB 2= 0 olmalıdır.
O halde,
-:
–x – 1 – 2y + 6 = 5
l doğrusunun denklemi
2y + x = 0 bulunur.
3(x – 4) + 9(y – 6) = 0
3x + 9y – 66 = 0
ÿ
x + 3y – 22 = 0 bulunur.
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet
parçalarının uzunlukları eşittir.
A
¸
Pratik Bilgi
O
1. x2 + y2 = r2 çemberine üzerindeki A(x0, y0) noktasından çizilen teğetin denklemi :
P
x0 . x + y0 . y = r2 dir.
ÿ
2. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 çemberine üzerindeki
A(x0, y0) noktasından çizilen teğetin denklemi :
|PA| = |PB|
B
Bir çemberin herhangi bir teğeti değme noktasındaki yarıçapa diktir.
(x0 – a) . (x – a) + (y0 – b) . (y – b) = r2 dir.
3.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 çemberine üzerindeki
A(x0, y0) noktasından çizilen teğetin denklemi :
O
D
E
x0. x + y0 . y +
(x + x0) +
(y + y0) + F = 0
2
2
şeklinde yazılabilir.
A
184
[OA] ⊥ l
ÇEMBER
ÿ
İki çemberin ortak dış teğet parçalarının uzunlukları eşittir.
ÇÖZÜM
-:
Bir çemberde iki teğetin kesim noktasını çemberin merkezine birleştiren doğru açıortaydır.
B
A
O halde,
|AB| = |CD|
A
C
D
O
12
30º
30º
ÿ
B
İki çemberin ortak dış teğetlerinin kesim noktası
ile merkezleri aynı doğru üzerindedir.
60º
C
12
[BO] açıortay olup,
B
m(ABO) = m(OBC) = 30° ve
A
P
O1
[OC] ⊥ [BC] olduğundan,
O2
C
m(BOC) = 60° dir.
D
Böylece BOC nde,
Yukar›da O2 merkezli çember O1 merkezli çemberin P merkezli ve k =
PB
PA
12
|OC| = r =
oranl› homoteti€idir.
3
A
ÿ
O
D
B
C
NOT :
Bir çember dik açısı olan bir çokgene içten teğet ise dik olan köşeden çizilen teğet parçalarının
uzunlukları yarıçap uzunluğuna eşittir.
C
r
r
O
O
r
r
ÖRNEK – 5
r
[BA ve [BC çem-
A
B
r
berlere teğettir.
12
|AB| = 12 birim
60º
m(ABC) = 60°
O
C
r
r
185
r
ÇEMBER
Dik Üçgenin İç Teğet Çemberi
Dik Üçgenin Bir Dik Kenar›na Ait
Dış Teğet Çemberi
A
c
O
T
O
b
E
a
c
r
r
B
A
E
C
B
C
b
a
r=u–a
r=u–b
(r = yarı çevre – hipotenüs uzunluğu)
(r = yarı çevre – teğet olmadığı dik kenarın uzunluğu)
Dik Üçgenin Hipotenüse Ait Dış Teğet Çemberi
O
E
r
A
P
c
b
B
C
F
a
r=u
(r = yarı çevre)
186
ÇEMBER
Dik Üçgenin Dış Teğet Çemberlerinin Yarıçap Uzunlukları Toplamı
r1
E
O1
A
O2
c
r2
b
a
K
C
B
L
F
r3
O3
r1 + r2 + r3 = u + b
(r1 + r2 + r3 = yarı çevre + hipotenüs uzunluğu)
187
ÇEMBER
Dik Üçgenin İç ve Dış Teğet Çemberlerinin Yarıçap Uzunlukları Toplamı
A
(2u = a + b + c)
b
c
B
a
C
r1
E
O1
A
O2
O4
r2
r4
C
B
K
L
r3
O3
r1 + r2 + r3 + r4 = 2u
188
F
ÇEMBER
ÖRNEK – 6
ÖRNEK – 7
Aşağıda l doğrusu birbirine teğet A ve B merkezli
çemberlere C ve D noktalarında teğettir.
ABC üçgeninin dış
D
8
teğet çemberi çizil-
A
|AC| = 8 birim
|BD| = 3 birim
miştir.
F
D, E, F teğet nok-
A
talardır.
C
B
E
B
8
|BD| = 8 birim
3
C
Buna göre, Ç(ABC) nin kaç birim olduğunu
bulalım.
ÇÖZÜM
D
Buna göre, |CD| uzunluğunu bulalım.
-:
ÇÖZÜM
-:
Teğet iki çemberin merkezleri birleştirildiğinde
elde edilen doğru teğet değme noktasından geçer.
uzunlukları eşit olduğundan,
|AD| = |AF| = a diyelim.
|CF| = |CE| = b diyelim.
A
8
3
8
A
a
C
F
8–b
A
C b E
11
5
|BD| = 8 birim
|BC| = 8 – b
D
Yarıçap teğete dik olduğundan ABDC dik yamuk
olup,
b
B
3
D
a
8–a
B
⇒ |BE| = 8 birim olup,
8
B
H
x
3
ve |BA| = 8 – a dır.
x
C
Böylece Ç(ABC) = 16 birim bulunur.
3
D
[BH] dikmesi ve AHB nde pisagor teoremi ile
x2 + 52 = 112 ⇒ x = 4 6 birim bulunur.
¸
¸
Pratik Bilgi
Pratik Bilgi
D
A
O1
F
B
C
R
A
E
O2
r
B
O1 ve O2 merkezli çemberler birbirine C noktasında, l doğrusuna A ve B noktalarında teğet ise,
D, F, E teğet değme noktaları ve |BD| = x ise
|AB| = 2
Ç(ABC) = 2x tir.
189
C
R . r dir.
ÇEMBER
ÖRNEK – 8
ÖRNEK – 9
A
ABC üçgeninin O
E
D
B
merkezli dış teğet
A
M
çemberi çizilmiştir.
O
1
m(ABC) = 40°
F
L
40º
C
F
K
2
D
C
B
l1 ve l2 doğruları çemberlere A, B, C, D noktalarında, EFK üçgenine M ve L noktalarında teğettir.
E
Buna göre, AOC açısının ölçüsünü bulalım.
|AB| = 12 birim ise, EFK üçgeninin çevre uzun-
ÇÖZÜM
-:
luğunu bulalım.
ÇÖZÜM
-:
x
A
O
x
uzunlukları eşit olduğundan,
Özelliğini verilen şekilde uygulayalım.
a
E 12 – a
B
–
12
a
a
M
D
A
1
x
x
L
b
c
F y
2
C b F 12 – b – c K c D
40º
y
C
B
|AE| = |EM|, |MF| = |FC|, |LK| = |KD|,
|EL| = |EB| ve |AB| = |CD| diyebiliriz.
O
E
AOC merkez açı olduğundan,
m(AOC) = x + y dir.
O halde,
2x + 2y = 140° dir.
Ç(EFK) = a + b + 12 – b – c + 12 – a + c = 24 birim
O halde, m(AOC) = x + y = 70° bulunur.
bulunur.
¸
¸
Pratik Bilgi
A
Pratik Bilgi
D
E
A
B
M
C
F
O
L
K
B
D
/
α = 90° –
Ç(EFK) = 2|AB| dir.
190
E
ABC nin O merkezli dış teğet çemberi çizilmiştir.
A, B, C, D, M, L teğet değme noktaları ise,
|AB| = |CD| olup
C
m (B)
2
dir.
ÇEMBER
ÖRNEK – 10
ÖRNEK – 11
Yarıçap uzunlukları 2 birim ve 6 birim olan çemberlerin ortak dış teğetleri l1 ve l2 doğrularıdır.
A
A, F merkez
60º
1
m(BAC) = 60°
E
D
A
D, E, K teğet değme
F
D
F
noktalarıdır.
C
B
K
B
E
2
C
Buna göre, çemberlerin yarıçapları oranını
bulalım.
Buna göre, ABC açısının ölçüsünü bulalım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
-:
-:
Teğet iki çemberin merkezleri birleştirildiğinde
elde edilen doğru teğet değme noktasından geçer.
İki çemberin ortak dış teğetlerinin kesim noktası
ile merkezleri aynı doğru üzerindedir (doğrudaştır).
O halde A, F , K doğrusaldır.
O halde,
1
30º
A
D
B
A
30º
r
O2
D
O1
r
F
E
2
C
B
E
r
r
C
K
B, O1, O2 doğrusal ve [BO1] açıortay olup,
|FE| = r dersek,
[O1E] ⊥ [BC] ve [O2C] ⊥ [BC] olduğundan,
[FE] ⊥ [AC] olduğundan,
1
30°, 60°, 90° üçgeninden,
A
D
B
30º
6
O1 2
|AF| = 2r olup,
O2
30º
2
E
4
2
H
6
C
çemberlerin yarıçapları oranı
2
O1ECO2 dik yamuğunda,
[O1H] dikmesi ile m(O2O1H) = 30° ve
[O1H] // [BC olduğundan, m(O1BC) = 30° olup,
[BO1 açıortay olduğundan, m(ABC) = 60° bulunur.
191
3r
= 3 bulunur.
r
ÇEMBER
ÖRNEK – 12
ÖRNEK – 13
D
A, B, C teğet
değme noktalarıdır.
A
E 2 C
L
F
O
ABC üçgen
B
|EC| = 2 birim
4
|LB| = 4 birim
C
A
Buna göre, BAC açısının ölçüsünü bulalım.
ÇÖZÜM
ABCD yamuğu O
merkezli çemberin
teğetler dörtgenidir.
K
B
-:
ÇÖZÜM
A noktasından çemberlere teğet olacak şekilde
[AD] çizelim.
-:
[CO] ve [BO] çizilirse,
D
E 2 C
2
F
A
B
D
L
r
O
C
A
4
K
B
[BD], [DA] ve [DC] çembere teğet olduğundan,
[CO] ve [BO] açıortay olduğundan,
|BD| = |DA| = |DC| olup,
m(BOC) = 90° dir.
m(BAC) = 90° bulunur.
[OL] ⊥ [BC] olduğundan,
BOC nde öklid bağıntısı ile
r2 = 2 . 4 ⇒ r = 2 2 birim bulunur.
¸
¸
Pratik Bilgi
Pratik Bilgi
D
E
a
x
L
F
A
C
y
b
B
C
A
K
B
A, B, C teğet değme noktaları ise,
ABCD yamuk ise
m(BAC) = 90° dir.
a . b = x . y ve r = x . y dir.
192
ÇEMBER
ÖRNEK – 14
ÖRNEK – 15
D, E, B teğet değme noktalarıdır.
B, E, F teğet noktalarıdır.
D
E
F
6
A
H
|FK| = 4 birim
|EH| = 6 birim
4
B
K
E
A
C
F
9
4
B
H
|AF| = 9 birim
|FB| = 4 birim
C
Buna göre, |HC| uzunluğunu bulalım.
Buna göre, |EF| uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
[AB], [BC] çap
[AB], [BC] çap
-:
-:
D
K
E
Çemberlerin B noktasından geçen ortak teğetini
çizelim.
E
A
D
6
A
H
F
K
B
H
C
[DE] alalım.
Böylece |DK| = |KB| = |KE| olup, [KB] çemberlerin kesim noktasından geçen teğeti olup, [AC] ⊥ [BK]
dır.
C
O halde DEHF bir dik yamuk olup [KB] bu dik yamuğun orta tabanıdır.
|BD| = |DE| = |DF| ve
yarıçap teğete dik olduğundan,
D
K
4+6
= 5 birim ⇒ |EF| = 10 birim bulunur.
2
F
4
Şimdi ADB ve BEC üçgenlerini oluşturalım.
E
[DB] : HKFE dik yamuğunun orta tabanı olup,
|BD| =
4
|KB| = |KE| olacak şekilde K ∈
4
B
F
9
B 4 H
D
K
E
6
A
9
F
4
B
4
H
C
m(ADB) = m(BEC) = 90° olup, (çapı gören çevre açı)
¸
Pratik Bilgi
DAB nde öklid bağıntısı ile
|DF|2 = 9 . 4 ⇒ |DF| = 6 birim
D
E
y
A
F
DFB
~ BHE (A.A.A) benzerliğinden,
x
B
H
4
C
HE
[AB], [BC] çap, D, E, B teğet noktaları ise
6
8
⇒ |HE| =
birim ve
4
3
BEC nde öklid bağıntısı ile
|DE| = x + y dir.
d
193
=
8 2
n = 4 . HC
3
⇒ |HC| =
16
birim bulunur.
9
ÇEMBER
¸
Pratik Bilgi
E
D
H
A
F
B
C
[AB], [BC] çap, B, E, D teğet noktaları ise
|HB| = |BF| ve
|HB|2 = |AH| . |FC| dir.
ÖRNEK – 17
E 4
12
C
D
B
[AB] yarım çemberin
çapı
E teğet noktası
|CD| = |AB|
|CE| = 12 birim
|ED| = 4 birim
ÖRNEK – 16
[AB] çap
F
A
[BC] çap
E
B, E, F te€et
A2H 4 B
C
Buna göre, büyük dairenin alanını bulalım.
noktalar›
|BH| = 4 birim
|AH| = 2 birim
ÇÖZÜM
-:
H 4 E
Buna göre, |BC| uzunlu€unu bulalım.
C
8
H 4 E 4
x
ÇÖZÜM
-:
O
[FK] ⊥ [AC] olacak flekilde [FK] çizelim.
F
K
x
K
O
8
O›
8–x
x
4
x
K
8–x
O›
8
A
E
A2H 4 B 4
x
4
x
D
B
Çemberlerin merkezlerinden kirişe ve teğete dikmeler indirilirse, elde edilen OOıK dik üçgeninde pisagor bağıntısı ile,
C
x2 = 42 + (8 – x)2 eşitliğinden,
Böylece, |HB| = |BK| = 4 birim olup,
x = 5 birim bulunur.
|HB|
2
= |AH| . |KC| eflitli€inden,
Büyük dairenin yarıçapı,
42 = 2 . |KC| ⇒ |KC| = 8 birim bulunur.
|OC| pisagor bağıntısı ile
194
89 birim bulunur.
ÇEMBER
Teorem :
Teorem :
A
u=
a+b+c
olmak üzere,
2
Kenar uzunluklar› a birim, b birim, c birim ve
iç te€et çemberinin yar›çap uzunlu€u r birim olan
bir üçgensel bölgenin alan›n›n u . r oldu€unu gösterelim.
A(ABC) = u (u – a) . (u – b) . (u – c)
c
b
B
a
C
‹spat :
‹spat :
ABC üçgeninin O merkezli iç teğet çemberini çizelim.
ABC üçgeninin iç teğet çemberini çizelim.
A
u–a
F
u–a
r
u–b
E
r
O
A
u–a
r
B
u–b
C
F
r
B
K
A(AFOE)
u–c
r
u–b
r
u–a
E
r
O
u–b
Şimdide AC kenarına ait dış teğet çemberini çizelim.
A(DCEO) r
u–c
u–c
D
C
A(ABC) = 2 . A(AOE) + 2 . A(BOF) + 2 . A(EOC) olup,
R
u–c
A
O›
r
2 . A(AOE) =
u–a
u–
u–a
A(BDOF)
u–b
u–c
D
r
u–c
u–a
a
F
r
u–b
O
E
r
R
r
B u–b
D
r
2 . A(BOF) =
u–c
u–b
u–c C
u–a
P
Tales teoreminden,
r
2 . A(EOC) =
KBO› nde [OF] // [OıK] olup,
r
u–b
=
. . . (1)
u
R
+
DOC ve PCO› benzer üçgenlerinden,
u–c
A(ABC) = r
r
u–c
=
. . . (2)
u–a
R
=u.r
u–a
u–b
u
(1). ve (2). denklemlerden
r=
(u – a) (u – b) (u – c)
A(ABC) =
u
A(ABC) = u . r elde edilir.
eşitliği ile,
u(u – a) . (u – b) . (u – c) bulunur.
195
u–c
ÇEMBER
1.
5.
O merkez
D
35º
O
A
C
60º
[AB] çap
C
[AB] // [DC]
A
B
B
m(DC) = .......................
m(ACB) = .....................
2.
6.
A
A te¤et noktas›
B te¤et
noktas›
65º
A
84º
C
C
E
50º
B
B
D
m(EAB) = .....................
m(ABD) = .....................
3.
7.
A
[AB] çap
C
110º
D
B
O merkez
C
25º
O
A
B
m(ADC) = .....................
m(BAC) = .....................
4.
8.
A
ABC üçgen
A
[BC] çap
D
A te¤et noktas›
ABC üçgen
AD = DC
80º 36º
B
D
27º
E
C
C
m(ABE) = .....................
m(ABC) = .....................
196
B
E, B, C do¤rusal
ÇEMBER
1.
5.
D
C
E
A
O merkez
O
DC = CE
B
O
O merkez
A, E, C do¤rusal
A
55º
70º
C
B
m(ABC) = .....................
m(CDO) = .....................
2.
6.
E
D
AB çap
D
C
[AC] çap
O
41º
B
24º
40º
A
O merkez
C
[BD] //
A
B
m(ODB) = .....................
m(DCE) = .....................
3.
7.
ABC üçgen
A
ABD üçgen
A
A te¤et noktas›
O merkez
128º
20º
D
C
B
C
D
O
B
m(BD) = .......................
m(ABD) = .....................
4.
8.
O merkez
[AB] çap
C
D
125º
A
O
80º
B
B
C
E
m(ODB) = .....................
m(ABD) = .....................
197
B, C, E do¤rusal
D
ÇEMBER
1.
5.
A
A
B, C, D do¤rusal
B
[BC]
A te¤et noktas›
E
D
F
C
D
m(ACB) = .....................
m(ABD) = .....................
2.
[AD] = {E}
m(BD) = m(DF)
115º
B
C
6.
A
A
ABC üçgen
ABC üçgen
70º
[BC] çap
AK = KC
F
D
K
AF = FD
D
50º
B
B
C
C
m(BCD) = .....................
m(ACB) = .....................
3.
A te¤et noktas›
7.
A
D
D
[AC]
ABC üçgen
40º
C
[BD] = {E}
34º
m(BD) = m(DC)
E
A
B
C
42º
B
m(BAC) = .....................
m(DEC) = .....................
4.
8.
A
B
48º
52º
A, C te¤et
noktalar›
[AC] [BE] = {D}
B
O merkez
A
D
O
E
C
C
=................................
m(BEC) = .....................
198
ÇEMBER
1.
A
5.
60º
[AB] çap
C
D
B
C
6
70º
D
120º
65º
A
B
10
AB =...........................
DC =...........................
2.
6.
A
[CD] çap
m(AB) = 60º
[AB] çap
C
4
D
140º
B
80º
C
A
D
10
B
AB =...........................
AB =...........................
3.
7.
A
O merkez
O merkez
55º
12
O
O
25º
4
A
45º
B
B
AB =...........................
OC =...........................
4.
8.
D
60º
C
D
[AB] çap
C
2
4
A merkez
C
6 2
60º
A
B
A
AB =...........................
DC =...........................
199
B
ÇEMBER
1.
5.
[AB] çap
C
D
4
A
[AB] çap
C
4
H
A
B
2
3
AH =...........................
E
F
5
B
DE =...........................
2.
6.
[AB] çap
C
[AB] çap
C
D
6
30º
A
A 2 E
B
AD
=...........................
BC
AB =...........................
3.
7.
C
[AB] çap
2
A
E
F
F 3 B
4
[AB] çap
C
D
B
4
4
H
A
D
CF =...........................
4.
2
B
DC =...........................
8.
A
ABC üçgen
[AB] çap
C
[BC] çap
E
O merkez
E
D
4
A
B
10
O
H
B
C
BE
=...........................
BC
AE =...........................
200
ÇEMBER
1.
5.
E
E, T, K te¤et
noktalar›
A
A
K
B
2
E
E, T, K te¤et
noktalar›
K
3
C
T
B
C
8
T
6
Ç(CAB) = .....................
Ç(CAB) = .....................
2.
6.
B, C te¤et
noktalar›
O, merkez
B
D
A
30º
6
O
E
E, T, K te¤et
noktalar›
A
Ç(CAB) = 24 br
9
C
K
B
AB = 9 birim
C
OB =...........................
T
AE =...........................
3.
7.
D
E, D, K te¤et
noktalar›
A
D
E
6
K
O1
2
E
B
D, B, E te¤et noktalar›
O1 ve O2 merkez
6
C
O2
K
A
B
4
F
DE =...........................
Ç(CAB) = .....................
4.
8.
10
B
O
T
C
A
D, T, E te¤et
noktalar›
D
A2
O ve O›
merkez
P, B, C te¤et
noktalar›
B
6
E
O
P
C
O› 2 E
PT =...........................
TC =............ ya da...............
201
C
T
ÇEMBER
1.
K
3
A
4
A
C
C, T te¤et
noktalar›
O
B
C N
B
4
6
S
T
M
L
5.
K, L, M, N, T, S
te¤et noktalar›
T
AT =...........................
Ç(ABC) = .....................
2.
6.
D
D, E, K te¤et
noktalar›
O, merkez
A
5
K
O
E
A
B
A, B te¤et
noktalar›
D
E
O
30º
2
3
C
C
B
EB =...........................
Ç(ABC) = .....................
3.
7.
A
A, T te¤et
noktalar›
E
[BA] aç›ortay
A, B te¤et
noktalar›
A
8
5
D
T 2 B
B
C
AB =...........................
4.
D
C
E
A
O
8.
O, merkez
C
x
E
T
Ç(DEC) = 15 br
A
B
r =...............................
O
65º
D
B, C, T te¤et
noktalar›
O, merkez
B
m(C x B) = .....................
202
D
7
ED =...........................
A, B, F te¤et
noktalar›
ABCD kare
F
C
9
ÇEMBER
1.
5.
B, C te¤et
noktalar›
B
D
O, merkez
D
A
32º
O
K
C
[DC] // [AB]
T, E, K, F
te¤et noktalar›
4
F
m(DAC) = 32º
E
h
9
C
A
T
h = ..............,.................
m(BOD) = .....................
2.
B
T 40º
O
6.
B, C, T te¤et
noktalar›
O, merkez
D
B
D 3 K
C
F
A
[DC] // [AB]
T, E, K, F
te¤et noktalar›
E
E
C
A
8
T
B
6
CE =...........................
m(DOE) = .....................
3.
7.
D
C
E
F
72º
O
B, C, T te¤et
noktalar›
O, merkez
C
2
E
F
O
T
A
K
8
D
B
A
T
= ........................
[DC] // [AB]
T, E, K, F
te¤et noktalar›
O, merkez
B
A(COB) = .....................
4.
8.
D
K 2 C
E
F
D
[DC] // [AB]
T, E, K, F
te¤et noktalar›
K
C
4
F
[DC] // [AB]
T, E, K, F
te¤et noktalar›
O, merkez
E
O
6
A
T
6
B
A
r = ................................
B
DK =...........................
203
T
ÇEMBER
ÿ
ÇEMBERDE AÇI
Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün
yarısına eşittir.
Merkez Açı :
A
2
Köşesi çemberin merkezinde olan ve ışınları
çemberi iki noktada kesen açıya merkez açı denir.
ABC çevre açı
B
C
m(ABC) =
m(AC)
2
O merkez ise
O
AOB merkez açı
A
B
NOT – 1 :
Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne
eşittir.
Bir çemberde aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir.
Eğer merkez açının ölçüsü radyan olarak
verilmişse,
Z
T
Y
Merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın uzunluğunun yarıçap uzunluğu oranına eşittir.
X
K
O merkez ve
m(AOB) = α
O
A
m(AXB) = m(AYB) ............... = m(AKB)
α = m(AB) ya da
α=
A
B
B
ise
|AB|
r
NOT – 2 :
Bir çemberde çapı gören çevre açının ölçüsü 90°
dir. (Bir çemberde çapın uç noktalarından çıkan iki
doğru parçası eğer çember üzerinde kesişirse oluşan açı 90° dir.)
Çevre Açı :
Köşesi çember üzerinde olan ve ışınları çemberi
diğer iki noktada kesen açıya çevre açı denir.
E
D
F
A
C
A
BAC çevre açı
B
K
C
204
B
O
T
ÇEMBER
Teğet – kiriş açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsü-
ÖRNEK – 1
2:
A
nün yarısına eşittir.
y = 3x + 7
A
x
2
B
1:
2
y = –x + 5
B
l1 ve l2 do€rular› aras›ndaki aç›n›n ölçüsü α
oldu€una göre, AxB yay›n›n ölçüsünü bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
l1 : y = 3 x + 7 do€rusunun e€imi m1 = 3 olup,
e€im aç›s› 60° ve
ÖRNEK – 2
l2 : y = –x + 5 do€rusunun e€imi m2 = –1 olup,
e€im aç›s› 135° dir.
B
2:
O halde, α = 135° – 60° = 75° olup,
A
2
A
1:
C
x
75º
y = 3x + 7
y =x – 9
l1 do€rusu çembere C noktas›nda te€et ve l1
ile l2 do€rular› aras›ndaki aç›n›n ölçüsü α oldu€una
göre, ABC aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
B
1
Çevre aç›dan m(AxB) = 150° bulunur.
ÇÖZÜM
Teğet – Kiriş Açı :
l1 do€rusunun e€imi 1 olup e€im aç›s› 45° ve
l2 do€rusunun e€imi 3 olup e€im aç›s› 60° dir.
Köşesi çember üzerinde olan ve bir kiriş ile bir
teğetin belirlediği açıya teğet kiriş açı denir.
D
-:
O halde α = 60° – 45° = 15° olup,
B
B
C
2
A
15º
15º
A
C
30º
D
1
l doğrusu çembere B noktasında teğet ise,
ABC te€et kirifl aç› olup, m(AC) = 30° ve
ABC ile ABD teğet – kiriş açılardır.
ayn› yay› gören çevre aç›n›n ölçüsü te€et kirifl aç›n›n ölçüsüne eflit oldu€undan m(ABC) = 15° bulunur.
205
ÇEMBER
İç Açı :
ÇÖZÜM
-:
y – 2x + 3 = 0
İki kesenin çember içinde kesişmesi ile oluşan
do€rusunun do€rultman vektörü u = (1, 2) ve
açıya iç açı denir.
B
y + 3x – 5 = 0
A
do€rusunun do€rultman vektörü v = (1, –3) olup,
l1 ve l2 do€rular› aras›ndaki aç› bu do€rular›n
E
do€rultman vektörleri ( u ve v) aras›ndaki aç›d›r.
C
D
O halde, 1 u, v 2 = u . v . cosi
[AC] ∩ [BD] = {E} ise
1– 6 = 5 . 10 . cosi
AED ve AEB iç açılardır.
ÿ
cosi = –
Bir iç aç›n›n ölçüsü gördü€ü yayların ölçüleri top-
1
2
olup,
lam›n›n yar›s›na eflittir.
θ = 135° ve α = 180° – 135° = 45° dir.
A
B
A
B
E
1
45º
C
C
D
D
2
α=
m(BC) + m(AD)
O halde,
2
iç aç› tan›m›ndan, 45° =
β=
m(AB) + m(CD)
m(AB) + m(CD)
olup,
2
m(AB) + m(CD) = 90° bulunur.
2
ÖRNEK – 3
B
A
1:
D›fl Aç› :
y – 2x + 3 = 0
Bir çemberde farklı iki kesenin çember d›fl›nda
ke-siflmesi ile oluflan aç›ya d›fl aç› denir.
C
A
B
D
2:
y + 3x – 5 = 0
E
D
C
l1 ve l2 do€rular› aras›ndaki aç›n›n ölçüsü α
oldu€una göre, m(AB) + m(CD) toplam›n› bulal›m.
AB ∩ DC = {E} ise AEC dış açıdır.
206
ÇEMBER
Bir d›fl aç›n›n ölçüsü, gördü€ü yaylar›n ölçüleri
¸
fark›n›n yar›s›na eflittir.
Pratik Bilgi
A
A
B
E
C
D
P
α=
B
m(AC) – m(BD)
2
A, B te€et noktalar› ise α + β = 180°
A
P
C
ÖRNEK – 4
1:
y = 2x + k
150º
B
C
A, B, C te€et noktalar› ise α + β + θ = 360°
60º
2:
y = mx + n
A
B
P
A
PC do€rusu çembere C noktas›nda te€et oldu€una göre, m nin de€erlerini bulal›m.
ÇÖZÜM
P
-:
B
x
D›fl aç› tan›m›ndan,
m(APC) =
150 o – 60 o
= 45° olur.
2
C
A, B, C te€et noktalar› ise
l1 do€rusunun do€rultman vektörü u = (1, 2)
x + α + β . . . . θ = (Çember say›s› .180°)
l2 do€rusunun do€rultman vektörü v = (1, m)
T
olup, u ve v aras›ndaki aç› 45° dir.
O halde, 1 u, v 2= u . v cos45 o
1 + 2m =
5 . 1 + m2 .
2
2
O
T te€et noktas› ise α + β = 90°
her iki yan›n karesi al›n›rsa,
3m2 + 8m – 3 = 0
(3m – 1) . (m + 3) = 0 ise m1 =
1
, m2 = –3 bulunur.
3
207
ÇEMBER
ÖRNEK – 5
ÖRNEK – 6
1:
x+y–9=0
C
60º
O merkez
A
[DB] ⊥ [BA]
B
m(CB) = 60°
D
O
P
2:
B
x – 7y + 5 = 0
2
m(AB) = 30°
|AB| = 2 birim
O
O merkezli çemberde, A, B te€et de€me noktalar›d›r.
30º
A
Buna göre, |BD| uzunluğunu bulalım.
Buna göre, l do€rusunun e€imini bulal›m.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
-:
1
-:
Çapı gören çevre açının ölçüsü 90° olduğundan,
flekil yar›m çembere tamamlan›rsa,
A
C
60º
O
B
D
P
K
PO aç›ortay olup, l do€rusu l1 ve l2 do€rular›n›n
aç›ortay do€rusudur.
30º
2
2
B
A
O
BKA çevre açı olduğundan,
l1 do€rusunun do€rultman vektörü u = (1, –1)
l2 do€rusunun do€rultman vektörü v = (7, 1)
m(AKB) = 15° ve |AO| = |OK| olup,
l do€rusunun do€rultman vektörü d = (1, m)
A ve D noktalar›n› birlefltirelim.
C
u = (1, –1)
60º
B
d = (1, m)
15º
v = (7, 1)
P
d vektörü
D
K
u . v + v . u ile lineer ba€›ml›d›r.
30º
15º
O
2 30º
60º
A
Böylece,
u . v + v . u = 2 . (7, 1) + 5 2 . (1, –1)
ABD dik üçgenininde, (30°, 60°, 90°)
u . v + v . u = (12 2 , –4 2) olup,
|BD| = 2
d vektörü ile
u . v + v . u nün lineer bağımlılığından,
u . v + v . u = k . d eflitli€i ile
(12 2 , –4 2 ) = k (1, m) & m = –
1
bulunur.
3
208
3 birim bulunur.
ÇEMBER
1.
5.
A, B te¤et
noktalar›
A
E te¤et noktas›
[BD] çap
A
E
T
P
120º
B
B
m(APB) = .....................
2.
m(EBC) = .....................
6.
A
B, C, D te¤et
noktalar›
C, D, F do¤rusal
D
B
A
O
D
m(CAB) = .....................
A, B, C te¤et
noktalar›
B, D, C te¤et
noktalar›
100º
A
C
C
B
D
B
m(BDC) = .....................
m(BAC) = .....................
8.
A
A
B, D, E, F
te¤et noktalar›
150º
B
O merkez
7.
A
4.
m(BD) = 100º
C
= ..............................
3.
B, C te¤et
noktalar›
B
100º
C
F
C
D
12º
F
150º 140º
D
B, C, D te¤et
noktalar›
D
m(BAF) = .....................
m(DBC) = .....................
209
C
B
E
ÇEMBER
‹spat :
SONUÇLAR :
1.
Ayn› yay› gören çevre aç›n›n ölçüsü, merkez
aç›n›n ölçüsünün yar›s›na eflittir.
1. Yol :
A
A
O merkez
O
B
β=
a
dir.
2
O
180º
x
C
H
2.
Ayn› yay› gören çevre aç›n›n ölçüsü te€et – kirifl
aç›n›n ölçüsüne eflittir.
B
[AH] çap olup, m(AxH) = 180° ve
AHB te€et – kirifl aç› oldu€undan,
y
A
m(AHB) = 90° olur.
A te€et noktas›
α=β
x
B
2. Yol :
x=y
C
O
3.
Ayn› yay› gören merkez aç›n›n ölçüsü te€et – kirifl
aç›n›n ölçüsünün iki kat›na eflittir.
A B C DH E F K L
A
O merkez
O noktasından
l doğrusuna giden yollardan en
kısa olanı |OH| olacağından [OH] ⊥ l dir.
β=2α
O
B
5.
4.
Bir çemberde iki küçük yay›n efl olmas› için gerek
ve yeter koflul bu yaylar›n merkez aç›lar›n›n efl
olmas›d›r.
Bir çemberin merkezini te€et de€me noktas›na
bilefltiren yar›çap te€ete diktir.
A
B
O
O
C
D
H
l do€rusu çembere H noktas›nda te€et ise
[OH] ⊥ l dir.
m(AB) = m(CD) ise
[AD] ∩ [BC] = O olmal›d›r.
210
ÇEMBER
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 1
A
m(AD) = 70° ve m(BC) = 110°
ABC üçgen
O, merkez
B
m(CEB) =
m(CB) + m(AD)
2
m(ABC) = 54°
O
54º
-:
m(CEB) =
C
olduğundan,
70 o + 110 o
= 90° çıkar.
2
m(AEC) ve m(CEB) bütünler iki açı olduğundan,
ACO açısının ölçüsünü bulalım.
m(AEC) + m(CEB) = 180°
ÇÖZÜM
-:
α + 90° = 180°
A
α = 90° bulunur.
r
B
O
54º
108º
108º
r
ÖRNEK – 3
C
A te€et noktas›
m(ABC) = 54°
A
m(AC) = 2 . m(ABC) (Çevre açı)
65º
m(AC) = 108° dir.
m(BAC) = 65°
C
O
m(AOC) = m(AC) (Merkez açı)
m(AOC) = 108° olur.
|OA| = |OC| = r
B
olduğundan,
AOC ikizkenar üçgendir.
OBA açısının ölçüsünü bulalım.
Bundan dolayı m(OAC) = m(OCA) dır.
ÇÖZÜM
Böylece,
-:
108° + α + α = 180°
A
2α = 72°
r
α = 36° bulunur.
25º 65º
C
O
r
ÖRNEK – 2
B
A
C
[AB] ∩ [CD] = {E}
l doğrusu çembere A noktasında teğettir.
m(BC) = 110°
E
70º
110º
Bundan dolayı, m(OAB) = 25°
m(AD) = 70°
olup,
|OA| = |OB| olduğundan AOB ikizkenar üçgen olur.
D
Böylece, m(OBA) = m(OAB) dır.
B
α = 25° olur.
AEC açısının ölçüsünü bulalım.
211
ÇEMBER
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 4
-:
A
A
ABC üçgen
60º
25º
m(BAC) = 60°
|BC| = 4 birim
E
F
B
C
4
50º
25º
33º
B
D
C
Çevre açıdan dolayı,
Çemberin yarıçap uzunluğunu bulalım.
2 . m(DAE) = 2 . m(ECD) = m(ED) olur.
ÇÖZÜM
-:
Buradan, m(DAE) = 25° çıkar.
A
m(AFC) = α diyelim.
60º
O
r
B
30º
120º
m(DAE) + m(ECB) + m(ABC) = α
\
\
\
25° +
25° +
33° = α
r
30º
4
α = 83° bulunur.
C
120º
2 . m(BAC) = m(BC) olduğundan,
m(BC) = 120° çıkar.
ÖRNEK – 6
m(BC) = m(BOC) olduğundan,
C
m(BOC) = 120° olur.
m(CFA) = 92°
BOC ikizkenar üçgen olduğundan,
D
120° – 30° – 30° üçgeninden,
r 3 =4 ⇒ r=
4
3
B
birim bulunur.
m(CBA) = 43°
F 92º
43º
E
A
BCE açısının ölçüsünü bulalım.
ÖRNEK – 5
ÇÖZÜM
A
Çevre açıdan dolayı,
ABD üçgen
E
F
C
25º
-:
2 . m(BCE) = 2 . m(DAB) = m(DE) olur.
ECB üçgen
33º
D
Bu durumdan, m(DAB) = m(BCE) = α olmal›d›r.
m(ABC) = 33°
B m(ECB) = 25°
m(BCE) + m(BAD) + m(CBA) = 92°
\
\
\
α
α
43°
49 o
2α = 49° ⇒ a = d
n bulunur.
2
AFC açısının ölçüsünü bulalım.
212
ÇEMBER
ÖRNEK – 7
ÖRNEK – 9
A
A
O merkez
60º
O merkez
[AO] ⊥ [OC]
B
[AO] ⊥ [OC]
B
m(OCB) = 70°
[DB] ⊥ [BC]
D
m(BAO) = 60°
70º
C
O
C
ADB açısının ölçüsünü bulalım.
OBA açısının ölçüsünü bulalım.
ÇÖZÜM
-:
O
ÇÖZÜM
-:
A
m(ABC) = 135° dir.
m(ABD) = m(ABC) – m(CBD)
r
B
70º
m(ABD) = 135° – 90°
r
70º
C
r
40º
50º
m(ABD) = 45° dir.
O
ABD nde iç açılar toplamından,
|OB| = |OC| = r
olduğundan,
m(ABD) + m(ADB) + m(BAD) = 180° olup,
BOC ikizkenar üçgen olup,
m(ADB) = 75° bulunur.
m(CBO) = m(BCO) = 70°
Buradan, m(BOC) = 40° olur.
m(BOC) + m(AOB) = 90°
ÖRNEK – 8
Buradan, m(AOB) = 50° dir.
|OB| = |OA| = r
olduğundan,
ABO ikizkenar üçgeninde,
P
40º
102º
B
α + α + 50° = 180°
2α = 130° ⇒ α = 65° bulunur.
D
CPD açısının ölçüsünü bulalım.
Pratik Bilgi
A
ÇÖZÜM
B
O merkezli çeyrek
çemberde
213
m(CD) – m(AB)
2
olduğundan,
a=
102 o – 40 o
2
a=
62 o
⇒ α = 31° bulunur.
2
C
-:
m(CPD) =
α = 135° dir.
O
m(AB) = 40°
A
m(ABO) + m(BAO) + m(BOA) = 180°
¸
m(CD) = 102°
C
ÇEMBER
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 10
-:
A
m(FD) = m(DC)
A
B
P
45º
A te€et noktas›
m(ABC) = 30°
35º 45º
E
30º
C
C
F
B
D
m(BCP) = m(PAC) = 45° (Teğet – kirifl açıdan)
AEC açısının ölçüsünü bulalım.
ÇÖZÜM
ACP nde iç aç›lar› toplam›ndan,
-:
m(PAC) + m(ACP) + m(APC) = 180°
A
y
45° + 80° + α = 180°
xx
E
30º
B
α = 55° bulunur.
y
C
F
ÖRNEK – 12
D
A
m(AD) = m(DC)
Çevre açıdan, m(FAD) = m(DAC) = x diyelim.
m(AxC) = 198°
x
Aynı yayı gördüklerinden,
C te€et noktas›
D
m(BAF) = m(ACB) = y olur.
Buradan, 30° + y + x + x + y = 180°
B
2x + 2y = 150° ⇒ x + y = 75° çıkar.
C
ABC açısının ölçüsünü bulalım.
AEC nin iç aç›lar› toplam›ndan,
ÇÖZÜM
m(AEC) = 105° bulunur.
-:
A
198º
x
D
ÖRNEK – 11
A
B
P
45º
B
C
APC üçgen
Tüm yay›n ölçüsü 360° olduğundan,
m(PAC) = 45°
35º
m(AD) + m(DC) + m(AxC) = 360°
\
\
\
α
+ α + 198° = 360°
m(ACB) = 35°
C
C te€et noktas›
2α = 162° ⇒ α = 81° olup,
198 o – 81 o
117 o
m(ABC) =
=d
n bulunur.
2
2
APC açısının ölçüsünü bulalım.
214
ÇEMBER
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 13
-:
A
D
A
A, B te€et
C
de€me noktas›
24º
B
D
m(DBC) = 24°
20º
20º
B
ABD açısının ölçüsünü bulalım.
ÇÖZÜM
-
C
Çapı gören çevre açı 90° olduğundan,
:
m(BDC) = 90° bulunur.
A K D
x y
x
24º
|AD| = |DC|
C
y
ve [BD] ⊥ [AC] olduğundan,
ABC ikizkenar üçgendir.
B
[BD] aç›ortay oldu€undan,
m(ABD) = m(DBC) = 20° olur.
m(CAB) = m(ABK) = x (Aynı yayı gördükleri için)
DBC nde m(DBC) + m(DCB) = 90°
m(KBD) = m(ACB) = y (Aynı yayı gördükleri için)
20° + α = 90°
ABC üçgeninde,
α = 70° bulunur.
m(ABC) + m(BAC) + m(ACB) = 180°
x + y + 24° + x + y = 180°
x + y = 78°
Buradan, m(ABD) = x + y = 78° bulunur.
ÖRNEK – 14
ÖRNEK – 15
A
[BC] çap
A
ABC üçgen
B
100º
|AB| = |BC|
C te€et noktas›
|AD| = |DC|
D
P
m(ABC) = 100°
m(ABC) = 40°
C
40º
B
C
ACB açısının ölçüsünü bulalım.
APC açısının ölçüsünü bulalım.
215
ÇEMBER
ÇÖZÜM
-:
ÇÖZÜM
-:
A
84º
x
A
B
84º
P
42º
100º
x
E
42º
6º
B
D
C
2 . m(ABC) = m(AED) (Çevre açıdan)
C
200º
m(AED) = 96°, m(BAD) = 180° ve
|AB| = |AE| olduğundan,
m(AB) = m(AE) = 84° çıkar.
2 . m(ABC) = m(AC)
ABE ikizkenar üçgeninden,
2 . 100° = m(AC) = 200° bulunur.
|AB| = |BC|
α + 42° + 42° = 180°
⇒ m(AB) = m(BC)
α + 84° = 180° ⇒ α = 96° bulunur.
200° + m(AB) + m(BC) = 360°
200° + 2x = 360°
ÖRNEK – 17
2x = 160° ⇒ x = 80°
m(APC) =
α=
m(AC) – m(BC)
2
A
olduğundan,
105º
200 o – 80 o
⇒ α = 60° çıkar.
2
B
E
D
O
C
ABC üçgen, O merkez,
|AB| = |OD|
ve m(BAC) = 105°
AE yayının ölçüsünü bulalım.
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 16
-:
A
A
r
E
60º 45º
r
D
B
B
C
E
60º
60º
48º
45º
r
r
O
r
D
C
ABO oluşturursak, ABO eşkenar üçgen olur.
ABC üçgen, [BD] çap,
|AB| = |AE|
ve m(ABC) = 48°
AOE oluşturursak, AOE ikizkenar dik üçgen olur.
BAC açısının ölçüsünü bulalım.
Buradan, m(AE) = 90° bulunur. (Merkez açıdan)
216
ÇEMBER
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 18
A
-:
A
[BD] çap
E
E te€et
noktas›
B
34º
68º
44º
D
n m
22º
E
C
|BE| = |EC|
B
D
C
F
BE yayının ölçüsünü bulalım.
Aynı yayı (AE yayını) gördükleri için,
m(AFE) = m(ABC) = 34° ⇒ m = 34° olup,
ÇÖZÜM
Aynı yayı (AD yayını) gördükleri için,
-:
m(DFA) = m(ACB) = 22° ⇒ n = 22° dir.
A
4
α = m + n = 34° + 22° = 56° bulunur.
E
2
2
B
O
ÖRNEK – 20
C
D
A
m(ED) = 2 . m(EBC) (Çevre açı)
E
39º
m(ED) = 2α
D
B
m(AEB) = 2α (D›fl açı)
C
ABC üçgen, A te€et noktas›, [BD] çap,
m(EB) = 4α
[BE] aç›ortay ve m(AEB) = 39°
6α = 180° ⇒ α = 30° olup.
ACB açısının ölçüsünü bulalım.
O halde m(BE) = 120° bulunur.
ÇÖZÜM
-:
A
E
39º
90º – 4
B
D
C
ÖRNEK – 19
m(AD) = 4α (Çevre açı)
m(ACB) + m(AD) = 90° olup,
ABC üçgen
A
m(ACB) = 90° – m(AD) ⇒ m(ACB) = 90° – 4α
m(ABC) = 34°
B
34º
E
D
22º
BEC üçgeninde, iki iç açının ölçüleri toplamı bir
C m(ACB) = 22°
dış açın›n ölçüsüne eşit olduğundan,
m(EBD) + m(ACB) = 39° dir.
F
α + 90° – 4α = 39° ⇒ α = 17° bulunur.
DFE açısının ölçüsünü bulalım.
m(ACB) = 90° – 4α ⇒ 90° – 68° = 22° bulunur.
217
ÇEMBER
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 21
-:
60º
A
ABC üçgen
E
D
[BE] aç›ortay
60º
B
C
D
r
r
[BD] çap
E te€et de€-
A
me noktas›
C
60º
60º
r
30º
r
O
B
2 . m(CBD) = m(DC) = 60° (Çevre açıdan)
BAC açısının ölçüsünü bulalım.
m(DOC) = m(DC) = 60° (Merkez açıdan)
Buradan, DOC eşkenar üçgen çıkar.
ÇÖZÜM
-:
|DC| = r
olur.
A
Buradan,
E
DC
OB
=
r
= 1 bulunur.
r
2x
x
x
B
C
D
ÖRNEK – 23
C
m(ED) = 2x (Çevre açı)
BDC üçgen
m(ACB) + m(ED) = 90° olduğundan,
m(BDC) = 45°
45º
D
m(ACB) + 2x = 90° ⇒ m(ACB) = 90° – 2x olup.
A
ABC üçgeninde,
m(BAC) + m(ABC) + m(ACB) = 180°
B
O
O merkezli yarım çemberde
α + 2x + 90° – 2x = 180° ⇒ α = 90° bulunur.
ÇÖZÜM
AB
yi bulalım.
BC
-:
C
90º
D
ÖRNEK – 22
A
r
r
O
B
BCD üçgen
D
m(COB) = m(BC) = 90° (Merkez açıdan)
m(DBC) = 30°
Buradan, COB üçgeni ikizkenar üçgen bulunur.
30º
O
r
45º
2 . m(CDB) = m(BC) = 90° (Çevre açıdan)
C
A
r 2
B
O merkezli yarım çemberde
45° – 45° – 90° üçgeninden |BC| = r 2 olup.
DC
OB
yi bulalım.
Buradan,
218
AB
BC
=
2r
r 2
=
2
2
= 2 bulunur.
ÇEMBER
ÇÖZÜM
ÖRNEK – 24
-:
C
A
E
D, A, C te€et
100º
noktalar›
F
D
r
D
r
15º
60º
30º
30º
m(EDF) = 100°
60º
E
A
r
15º
r
O
B
O ile D yi birleştirirsek DOB ikizkenar üçgeni elde
edilir.
B
Buradan m(DOE) = 30° bulunur.
C
m(DOE) ile m(DOC) tümler iki açıdan,
ABC açısının ölçüsünü bulalım.
m(DOC) = 60° olup.
ÇÖZÜM
-:
Buradan, DOC eşkenar üçgen ç›kar.
A
EOC dik üçgeninde, m(ECO) + m(CEB) = 90°
E
x = 80º
80º 100º
D
100º
100º
80º
60° + m(CEB) =90° ⇒ m(CEB) = 30° bulunur.
F
ÖRNEK – 26
100º y = 80º
B
C
A
ABC üçgen
A, çemberlerin teğet
x = 80° (Aynı yayı gördükleri için)
noktası
B
y = 80° (Aynı yayı gördükleri için)
C
D
D, teğet noktası
m(EDF) = m(ADC) = 100° (Ters aç›)
ABCD dörtgeninde iç aç›lar toplam›ndan,
Buna göre,
α + 100° + 100° + 100° = 360°
m(BAD)
oranını bulalım.
m(DAC)
α + 300° = 360° ⇒ α = 60° bulunur.
ÇÖZÜM
-:
A noktasından geçen teğet doğrusunu çizelim.
E
A
F
ÖRNEK – 25
B
C
[AB] çap
D
D
C
O merkez
[CO] ⊥ [EB]
E
A
O
15º
B m(DBE) = 15°
Büyük çembere bakalım.
Aynı yayı gören çevre açı, teğet – kiriş açıya eşit
CEB açısının ölçüsünü bulalım.
olduğundan, m(BAE) = α diyelim.
219
ÇEMBER
Böylece, m(ACB) = α olur.
ÖRNEK – 27
Aynı şekilde, m(ABC) = β diyelim.
A
A, D te€et noktas›
Böylece, m(CAF) = β olur.
[BC] çap
fiimdi küçük çembere bakalım.
B
E
|AB| = 5 birim
C
D
|AC| = 12 birim
A
K
F
L
B
Buna göre, |BD| uzunlu€unu bulalım.
C
D
ÇÖZÜM
-:
Çap› gören çevre aç› 90° ve [AD] aç›ortay oldu€undan,
Aynı yayı gören çevre açı, teğet – kiriş açıya eşit
olduğundan,m(BAE) = m(ADK) = α ve
A
m(CAF) = m(ADL) = β olup,
45º 45º
5
12
m(BAD) = θ dersek,
B
Ayn› mant›kla m(BDK) = θ olur.
E
B
F
L
C
Aç›ortay teoremi ile,
5
12
65
=
& x=
birim bulunur.
x
13 – x
17
C
D
13 – x
|BC| uzunlu€u pisagor ba€›nt›s› ile 13 birim olup,
A
K
D
x
ADC nde bir dış açı kendisine komşu olmayan iki
iç açının toplamına eşit olduğunudan,
NOT :
α + θ = m(DAC) + α ⇒ m(DAC) = θ bulunur.
Tüm düzgün çokgenlerin köflelerinden çember
geçer.
Böylece [AD] nın açıortay olduğu görülür.
O halde,
m(BAD)
. . . ABCDE . . . düzgün çokgen
= 1 dir.
m(DAC)
D
¸
2
E
Pratik Bilgi
A
2
F
ABC üçgen
(n – 3)
C
(n – 4)
B
4
A
A ve D te€et noktalar› ise
B
D
C
m(BAD) = m(DAC) d›r.
G
Bir kenar› gören aç› α ise d›fl aç› 2α d›r.
220
ÇEMBER
ÖRNEK – 29
F
G
. . . ABCDE . . . düz-
E
gün çokgen
45º
D
C
B
A
Buna göre, GDE aç›s›n›n ölçüsünü bulalım.
ÖRNEK – 28
ÇÖZÜM
A
B
-:
[GB] köflegenini çizip, m(GBF) = α diyelim.
. . . ABCDE . . .
düzgün çokgen
C
Bu durumda, m(BGD) = 2α olur.
D
F
G
20º
E
K
2
E
45º
G
F
C
Buna göre, FDC aç›s›n›n ölçüsünü bulalım.
ÇÖZÜM
D
A
-:
B
BGK nde 45° bir d›fl aç› olup,
B ile D noktas› birlefltirilirse, DFB ile DBF aç›lar›
ayn› say›da kenar gördü€ünden, efl ölçülüdür.
3α = 45° ⇒ α = 15° dir.
Böylece,
O halde,
A
B
C
GDE aç›s› 2 kenar gördü€ünden,
20º
m(GDE) = 2 . 15° = 30° bulunur.
D
20º
E
F
G
m(DBF) = 20° olup, m(BDF) = 140° ise
O halde, m(CDB) = m(EDF) = 10° olup,
m(FDC) = 150° bulunur.
221
ÇEMBER
ÖRNEK – 30
ÖRNEK – 31
A
B
. . . ABCDE . . .
F
G
. . . ABCDE . . .
E
düzgün çokgen
düzgün çokgen
C
D
D
108º
20º C
E
G
F
Buna göre, ABD aç›s›n›n ölçüsünü bulalım.
ÇÖZÜM
B
A
Buna göre, BEF aç›s›n›n ölçüsünü bulalım.
-:
ÇÖZÜM
-:
[BF] köflegeni çizilirse, m(DBF) = m(DFB) olur.
[BF] köflegeni çizilirse, m(EBC) = 20° oldu€undan,
m(DBF) = α diyelim.
m(FBE) = 10° ve m(EFB) = 30° olur.
A
B
G
C
E
30º
D
108º
20º
10º
D
F
E
F
G
A
C
B
Böylece, DBF nde
Böylece, BEF nde,
2α + 108° = 180° eflitli€inden,
30° + 10° + m(BEF) = 180° olup,
α = 36° olur.
m(BEF) = 140° bulunur.
Böylece,
m(CBD) = 18° dir.
Bu durumda,
Bir iç aç› 144° olup,
m(ABD) = 144° – 18° = 136° bulunur.
222
ÇEMBER
ÖRNEK – 32
ÖRNEK – 33
(2011 – LYS)
. . . ABCDE . . . düz-
G
gün çokgen
F
F
A
E
G
15º
H
E
B
C
D
O
D
K
C
ÇÖZÜM
B
A
Buna göre, ABF aç›s›n›n ölçüsünü bulalım.
-:
Yukar›da O noktas› ABCDEFGHK düzgün dokuzgeninin köflelerinden geçen çemberin merkezi
oldu€una göre, FOD aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
[AF] köflegeni çizelim.
Üç kenar› gören çevre aç› 15° oldu€undan,
-:
bir kenarı gören m(AFB) = 5° ve
ÇÖZÜM
m(BAF) = 20° olup,
Düzgün dokuzgenin köflelerinden geçecek flekilde çember çizersek, tüm kenarlar eflit uzunlukta
oldu€u için çember yay›n› 9 efl parçaya ay›r›r.
G
A
5º
20º
O halde her bir yay›n ölçüsü
F
15º
F
E
B
C
360 o
= 40° olup,
9
G
40º
D
E
40º
H
D
O
Böylece, ABF nde iç aç›lar toplam›ndan,
K
m(ABF) = 155° bulunur.
C
A
B
FOD aç›s› merkez aç› olup ölçüsü FED yay›n›n
ölçüsüne eflittir.
O halde, m(FOD) = 80° bulunur.
223
ÇEMBER
1.
P
E
F
D
5.
A
. . . ABCDE . . .
düzgün sekizgen
B
. . . ABCDE . . .
düzgün otuzgen
C
C
D
B
E
A
m(FPB) = .....................
G
F
m(BDF) = .....................
2.
6.
E
F
. . . ABCDE . . .
düzgün dokuzgen
D
E
F
P
P
F, E, P do¤rusal
C
C
B
B
A
A
m(FPA) = .....................
3.
m(AEP) = .....................
7.
F
E
H
E
F
G
FH =...........................
m(APF) = .....................
F
. . . ABCDE . . .
düzgün onikigen
D
P
B
3
C
C
A
A
B
. . . ABCDE . . .
düzgün ongen
D
4.
. . . ABCDE . . .
düzgün dokuzgen
D
8.
E
D
. . . ABCDE . . .
düzgün dokuzgen
D
E
C
F
B
C
. . . ABCDE . . .
düzgün onikigen
B
12
A
G
A
DB =...........................
m(FDA) = .....................
224
ÇEMBER
1.
5.
B
C
. . . ABCDE . . .
düzgün çokgen
A
D
D
E
P, D, B do¤rusal
C
160º
. . . ABCDE . . .
düzgün çokgen
F
B
G
A
P, E, L do¤rusal
P
E
F
L
K
=...............................
2.
m(FGD) = .....................
6.
F
E
D
C
. . . ABCDE . . .
düzgün çokgen
F
B
G
A
+
m(FPA) = .....................
3.
7.
A
G
C
. . . ABCDE . . .
düzgün çokgen
[AE]
K
B
C
P
B
A
D
E
. . . ABCDE . . .
düzgün dokuzgen
B
=............................
D
72º
. . . ABCDE . . .
düzgün
E
[GC] = {K}
A
F
F
160º
C
E
D
G
Kenar say›s› =................
m(BAE) = .....................
4.
8.
A
B
D
. . . ABCDE . . .
düzgün otuzgen
C
E
C
30º
. . . ABCDE . . .
düzgün
B
[AE]
K
D
A
F
E
F
+
G
G
=............................
Kenar say›s› =................
225
[FC] = {K}
ÇEMBER
1.
5.
H te¤et noktas›
O merkez
A
2
O
B
O1
O2
E
C
A 3
H
O1, O2 merkez
A, B te¤et
noktalar›
3
B
12
EB =...........................
AB =...........................
2.
6.
H te¤et noktas›
D
7
O merkez
T
O
A 6
14
E
8 2
F
T te¤et
noktas›
O merkez
H
O
A
B
AF =...........................
P
B
AT =...........................
3.
7.
C
A te¤et noktas›
O merkez
O
4
K
Çemberin çaplar›
[AD] ve [ED] dir.
B ve D te¤et
B
B
noktalar›
60º
A
A
2
BC
E
4
B
=............................
8.
A , B merkez
C
D
6
AB
AB =...........................
4.
E
O1, O2 merkez
D, C te¤et
noktalar›
CD = 12 br
B
2
B te¤et
noktas›
C
A
5
A
D
AB =...........................
O2
D
AB =...........................
226
O1
ÇEMBER
1.
5.
[BC] çapl› yar›m
çemberde
D
A te¤et noktas›
O merkez
O merkez
T, D te¤et noktas›
O
O
C
B
8
T
2 C
A
OT =...........................
5
B
5 3
OC =...........................
2.
6.
D
4
A
[AB] çap
[BC] çap,
C te¤et de¤me
noktas›
6
B
C
ABC üçgen
12
45º
A
C
B
DB =...........................
3.
7.
A
ABC üçgen
D
ABC üçgen
2
[BC] çap
E
[BC] çap,
C te¤et de¤me
noktas›
6
CD = 12 birim
20
BC =...........................
A
C, D, B do¤rusal
D
D
m(ED) = m(DC)
8
30º
B
C
B
AD =...........................
C
EC =...........................
4.
8.
B
A
C
16
D
T
8
E
A
[CD], [DE] çap,
T te¤et de¤me
noktas›,
[AT] // [CE]
E
D
[BC] çapl› yar›m
çemberde
6
B
5
O
C
AB =...........................
BT =...........................
227
ABC üçgen
6
ÇEMBER
1.
D
5.
[AB] çap
B
A, B te¤et
noktalar›
O merkez
A
T
3
O1 E
C
30º
45º
C
A
AD
B
=............................
AC
2.
6.
[AB] çap
E
D
EC =...........................
D
C
ABCD kare
B merkez
F
E
15º
30º
A
B
A
BE
=............................
BD
B
m(AFE) = .....................
3.
7.
A te¤et noktas›
[BC] çap
E
O
D
12
3
C
15º
15º
HC
B
A
DH =...........................
4.
BC =...........................
8.
C
D
15
B
4
A
[AB] ve [BC] çap
[BC] te¤et
D
3
T
O merkez
[OB] çap
2
DE = 2 birim
E
A
20
B
B
OB =...........................
DB =...........................
228
O
ÇEMBER
1.
5.
[AC] çap
D
3
B
A
D
[BD] = {E}
24º
B
A
BE
=.............................
EC
AD =...........................
2.
6.
E
[AB], DB çap
O merkez
B te¤et noktas›
DO
EC = 4 birim
4
[AC]
E
36º
H 1 C
C
[AB] çap
C
H çeyrek çemberin merkezi
A
ABC üçgen
[BC] çap
D
E
m(ACB) = 65º
AD = 5 birim
A
5
B
B
OD =...........................
C
m(ACD) = .....................
3.
7.
C
C
[AE], [AB] çap
O merkez
A te¤et noktas›
F
O merkez
D
90º
2
O1 E
A
B
O
A
CF + EB =...........................
E
B
m(DEB) = .....................
4.
8.
A, B te¤et
noktas›
O1O2 = 10 br
A
O2
r1
r2
B
O2
F
4 2
AB = 8 br
A 4
C
D 4
B
x = ...............................
r1 + r2 =........................
229
[AB] çap
E
x
ÇEMBER
3.
Denklemleri Verilen ‹ki Çemberin
Birbirine Göre Konumlar›
M1 M2
= |r1 – r2| ise çemberler içten te€ettir.
Merkezi M1, yar›çap uzunlu€u r1 ve
Merkezi M2, yar›çap uzunlu€u r2 olan
M1
iki çember düflünelim.
r1
M2
Ç(M1, r1)
4.
Ç(M2, r2)
M1 M2
= r1 + r2 ise çemberler d›fltan te€ettir.
M1
M1 M2
r1
r2
M1
1.
M2 r2
r1
r2
> r1 + r2 ise çemberler ayr›kt›r.
M1
r2
r1
Ç(M1, r1)
M2
5.
M1 M2
< r1 < r2 ise çemberler kesiflmez.
Ç(M2, r2) = Ø
M1
M2
2.
M1 M2
M2
2
= r 21 + r 22 – 2r1 . r2 . cosθ ise çemberle-
rin θ aç›s› alt›nda iki noktalar› ortakt›r.
r2
r1
M2
M1
Özel olarak θ = 90° olursa bu iki çember dik
kesişiyor denir.
230
ÇEMBER
ÖRNEK – 1
ÖRNEK – 3
Denklemleri,
(x –
2)2
+ (y –
Denklemleri,
3)2
= r ve (x –
8)2
+ (y +
5)2
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 9 ve (x + 4)2 + (y – 9)2 = 16
= 16
olan çemberler d›fltan te€et oldu€una göre, r
nin kaç birim oldu€unu bulal›m.
ÇÖZÜM
olan iki çember aras›ndaki en k›sa uzakl›€›n
kaç birim oldu€unu bulal›m.
-:
ÇÖZÜM
-:
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 9
r
4
M1(2, 3)
(x + 4)2 + (y – 9)2 = 16 ⇒ M1(–4, 9), r2 = 4 birim
M2(8, –5)
(4 + 4) 2 + (3 – 9) 2 = 10 birim
M1 M2 =
r1 + r2 = 3 + 4 = 7 birim
|M1M2| = r1 + r2 ise
(2 – 8) 2 + (3 + 5) 2 = r + 4
M 1 M 2 > r1 + r2 oldu€undan çemberler ayr›kt›r.
10 = r + 4
Bu durumda aralar›ndaki en k›sa uzakl›k,
10 – 7 = 3 birim dir.
ÖRNEK – 2
ÖRNEK – 4
Denklemleri,
(x –
4)2
+ (y +
Denklemleri,
1)2
= 49 ve (x –
a)2
+ (y –
3)2
(x – 1)2 + y2 = r2 ve (x + 3)2 + (y – r)2 = 4
=4
olan çemberler içten te€et oldu€una göre, a
n›n alabilece€i de€erleri bulal›m.
ÇÖZÜM
olan çemberlerin farkl› iki noktada kesiflmeleri
için r nin aral›€›n›n ne olmas› gerekti€ini bulal›m.
-:
ÇÖZÜM
(x –
+ (y +
1)2
= 49 ⇒ M1(4, –1), r1 = 7 ve
(x – 1)2 + y2 = r2
(x – a)2 + (y – 3)2 = 4 ⇒ M2(a, 3), r2 = 2
=
(x +
(4 – a) 2 + (–1– 3) 2
M1 M2 =
-:
M 1 M 2 < r1 + r2 olmal›d›r.
|M1M2| = r1 – r2 olmal›d›r.
4)2
⇒ M1(4, 3), r1 = 3 birim
3)2
+ (y –
M1 M2
(4 – a) 2 + 16
r)2
⇒ M1(1, 0), r1 = r ve
= 4 ⇒ M2(–3, r), r2 = 2
< r1 + r2
(1 + 3) 2 + r 2 < r + 2
Dolay›s›yla,
(4 – a) 2 + 16 = 7 – 2
r 2 + 16 < r 2 + 4r + 4
(4 – a) 2 + 16 = 25
12 < 4r
2
(4 – a) = 9
3<r
4 – a = 3 veya 4 – a = –3
Dolay›s›yla, r ∈ (3, ∞) olmal›d›r.
a = 1 veya a = 7 olabilir.
231
ÇEMBER
Çemberde Kirifl ve Kesenler
‹le ‹lgili Özellikler
ÿ
ÖRNEK – 1
D
Bir çemberde ya da eş çemberlerde eflit uzunluktaki kirifller, arkasında efl yaylar ay›rır.
O : merkez
E
15º
l1 : y + x – 5 = 0
l2 : y – x + 9 = 0
A
|AB| = |CD| ise
1
A
m(AB) = m(CD) dir.
B
O
B
m(BEC) = 15°
O
C
C
2
Buna göre, AC yay›n›n ölçüsünü bulal›m.
D
Küçük yay küçük yaya, büyük yay büyük yaya
eşittir. Bu önermenin karşıtıda doğrudur.
ÇÖZÜM
-:
l1 do€rusunun do€rultman vektörü u = (1, –1)
l2 do€rusunun do€rultman vektörü v = (1, 1)
ÿ
Bir çemberde ya da eş çemberlerde eş kirifllerin
merkeze olan uzakl›klar› eflittir.
E
A
1 u, v 2= 1– 1 = 0 oldu€undan,
u = v ve dolayısıyla l1 ⊥ l2 dir.
B
O merkez ve
|AB| = |CD| ⇒
|OE| = |OF| dir.
O
D
E
D
15º
F
O
C
Bu önermenin karşıtıda doğrudur.
1
|OE| = |OF| ⇒ |AB| = |CD| dir.
A
B
C
2
Merkezden kirifle inilen dikme kirifli ve kiriflin yaÿ
Bir çemberde kirifle dik olan bir çap kirifli ve bu
kiriflin yaylarını iki eflit parçaya böler.
y›n› ikiye böldü€ünden m(AC) = m(CB) = 30° olur.
D
D
[DC] çap ve
15º
[DC] ⊥ [AB] ise
|AH| = |HB| ve
O
E
O
m(AC) = m(CB) ,
A
H
B
1
m(AD) = m(DB) dir.
A
B
30º
C
C
2
232
30º
ÇEMBER
ÖRNEK – 2
ÖRNEK – 3
ü
A(1, 3)
ü
B(–5, 7)
ü
C(–1, 9)
noktalar›ndan geçen çemberin merkezinin
koordinatlar›n› bulal›m.
ÇÖZÜM
E
D
6
C
4
3
A
B
F
Çemberler E ve F noktalar›nda kesiflmektedir.
-:
[DC] // [AB] oldu€una göre, |AF| uzunlu€unu bulal›m.
1
D
A(1, 3)
B(–5, 7)
E
O
ÇÖZÜM
2
-:
Merkezden kirişe inilen dikme kirişi eşit iki parçaya ayırır.
C(–1, 9)
O halde,
[AB] ve [BC] do€ru parçalar›n›n kenar orta dikmelerinin kesim noktas› çemberin merkezini belirler.
D
[AB] n›n orta noktas› D(–2, 5) ve
3
[BC] n›n orta noktas› E(–3, 8)
7–3
2
3
=–
& m, 1 =
[AB] n›n e€imi mAB =
–5 – 1
3
2
[BC] n›n e€imi mBC =
A
9–7
1
= & m, 2 = –2 dir.
–1 + 5
2
E
N
3
2
O1
x
2
2
C
O2
x
2
K
M
1,5
1,5
L
F
B
KLMN dikdörtgeninde,
3
l1 do€rusu D(–2, 5) noktas›ndan geçip e€imi
2
oldu€undan denklemi;
3
l1 : y – 5 = (x – (–2)) eflitli€inden
2
l1 : 2y – 3x – 16 = 0 ve
|MN| = |KL| olup,
3+2=
x
+ 1,5 ⇒ x = 7 birim bulunur.
2
l2 do€rusu E(–3, 8) noktas›ndan geçip e€imi –2
oldu€undan denklemi;
l2 : y – 8 = –2 (x – (–3)) eflitli€inden
l2 : y + 2x – 2 = 0 bulunur.
O halde l1 ve l2 do€rular›n›n kesim
noktas›n›
¸
bulal›m.
2y – 3x = 16
–2 / y + 2x = 2
–7x = 12 ⇒ x = –
D
12
38
ve y =
olup,
7
7
A
12 38
,
n noktas›d›r.
7 7
233
E
x
y
a
b
C
D, E, C doğrusal
A, F , B doğrusal ve
[DC] // [AB] ise
Çemberin merkezi,
M d–
Pratik Bilgi
F
B
x + y = a + b dir.
ÇEMBER
1.
5.
O merkez
[AB]
O
[OC]
A
B, C, A do¤rusal
O merkez
4 2
9
O
B
6
A
3
C
B
4
C
AB =...........................
r =.................................
2.
6.
A
ABC üçgen
B
4
C
3
D
E
D
O merkezli
çember yay›
çizilmifltir.
10
A
4
B
7.
C
A
O çeyrek çemberin merkezi
E
O merkezli
çember yay›
çizilmifltir.
O
B
A
A, B, C do¤rusal
9
[AB] // [DC]
DE =...........................
OD =...........................
3
C
F
O
3.
6
T ve E orta
noktalar
B
T
C
O
r =..................................
m(EOT) = .....................
4.
8.
E
D
A
9
11
7
H
C
[AB] çapl› yar›m
çemberde
E
[AB] // [DC]
10
B
A
BH =...........................
B
3
C
r =.................................
234
m(AE) – m(BD) = 90º
D
ÇEMBER
1.
5.
C
[AB] çapl› yar›m
çemberde
D
3
A te¤et noktas›
DE = 6 birim
B, D, C do¤rusal
O
A
[AB] çap
F
O merkez
11
5
E
6
D
B
B
4
O
AB =...........................
2.
A
FE =...........................
6.
A
E
ABC üçgen
8
[AB] çap
O merkez
6
E, D, C do¤rusal
D
D
2
45º
5
O
AB =...........................
BC =...........................
3.
7.
O
A
O merkez
[AB]
13
7
A
C
B
A
C
B
17
D
O merkez
ABCD dikdörtgen
[OC] = {E}
O
6
E
B
E
4
C
B
EC =...........................
C
OE =...........................
4.
8.
C
O merkez
H
E
DC = 10 birim
OE = 4 birim
45º
D
A
O merkez
ABC üçgen
A
4
13
O
B
B
OH =...........................
C
AC =...........................
235
O
ÇEMBER
2.
X0 noktas› çember üzerinde ise K(X0) = 0 d›r.
M merkezli ve r yar›çapl› çember S(M, r) olsun.
X0
S(M, r)
M
M
r
SONUÇ :
K : R2 → R,
ÿ
K(X) = MX
2
K(X0) de€eri X0 noktas›ndan geçen do€rular›n
oluflturdu€u çember, kirifllerinin seçiminden ba€›ms›zd›r.
– r 2 dönüflümü S(M, r) çemberine
göre kuvvet fonksiyonudur.
ÿ
K(X0) =
MX 0
2
– r2
de€erine X0 noktas›n›n
Bir Çemberin ‹çindeki Bir Noktadan
Geçen En K›sa Kiriflin Uzunlu€u
S(M, r) çemberine göre kuvveti denir.
1.
Bir çemberin içindeki X0 noktas›ndan geçen en
k›sa kiriflin uzunlu€u,
X0 noktas› çemberin d›fl›nda ise, K(X0), X0 dan
S(M, r) çemberine çizilen te€etin uzunlu€unun
karesine eflittir. K(X0) = TX 0
2
2
KX 0
d›r.
T
r
ÖZET
X0
M
å
P
Demekki K fonksiyonu çemberin d›fl›nda pozitif
tan›ml›d›r.
2.
M
X0 noktas› çemberin içinde ise K(X0), X0 dan geçen kiriflin X0 taraf›ndan belirlenen parçalar›n›n
uzunluklar› çarp›m›n›n ters iflaretlisine eflittir.
B
K(X0) = MX 0
X0
M
2
T
P noktas›n›n çembere göre kuvveti |PT|2 dir.
ç
– r2
A
P
B
K(X0) = –|AX0| . |BX0|
A
Demekki K fonksiyonu çemberin içinde negatif
tan›ml›d›r.
P noktas›n›n çembere göre kuvveti –|PA| . |PB| dir.
236
ÇEMBER
é
ÖRNEK – 2
P
x2 + y2 + 2x – 3y – 5 = 0 çemberi ile A(1, 2)
noktas›n›n konumu hakk›nda yorum yapal›m.
ÇÖZÜM
P noktas›n›n çembere göre kuvveti s›f›rd›r.
-:
A(1, 2) noktas›n›n çembere göre kuvvetini bulal›m.
K(A) = 12 + 22 + 2 . 1 – 3 . 2 – 5
K(A) = –4 ve K(A) < 0 oldu€undan
Özetin Özeti
A(1, 2) noktas› çemberin iç bölgesindedir.
Demek ki herhangi bir noktan›n koordinatlar›n›
s›f›ra eflitlenmifl bir çember denkleminde yerine
yazd›€›m›zda elde edilen say›ya noktan›n çembere
göre kuvveti diyoruz.
A(1, 2)
¸ E€er kuvvet pozitif ise bu bize noktan›n çemberin
d›fl›nda seçilmifl oldu€unu gösterir ve kuvvetin
karekökü de bu noktadan çembere çizilen te€et
parças›n›n uzunlu€unu verir.
x2 + y2 + 2x – 3y – 5 = 0
¸ E€er kuvvet negatif ise bu bize noktan›n çemberin içinde seçilmifl oldu€unu gösterir ve kuvvetin
mutlak de€erce karekökünün iki kat› da bu noktadan geçen en k›sa kiriflin uzunlu€unu verir.
¸ E€er kuvvet s›f›r ise bu bize noktan›n çember
yay› üzerinde seçilmifl oldu€unu gösterir.
ÖRNEK – 3
ÖRNEK – 1
M(0, 0) olmak üzere MX = 5 çemberi ile
A(3, –4) noktas›n›n konumu hakk›nda yorum yapal›m.
(x – 1)2 + (y + 3)2 = 9 çemberi ile P(4, 6) noktas›n›n konumu hakk›nda yorum yapal›m.
ÇÖZÜM
-:
ÇÖZÜM
P(4, 6) noktas›n›n (x – 1)2 + (y + 3)2 = 9 çemberine göre kuvvetini bulal›m.
-:
MX = 5 ise x2 + y2 = 25 olup,
K(P) = (4 – 1)2 + (6 + 3)2 – 9
A(3, –4) noktas›n›n çembere göre kuvvetini bulal›m.
K(P) = 9 + 81 – 9 ⇒ K(P) = 81
K(A) = 32 + (–4)2 – 25
K(A) = 9 + 16 – 25 ve K(A) = 0 oldu€undan
K(P) > 0 oldu€undan P(4, 6) noktas› çember düzleminin d›fl bölgesinde bir noktad›r.
A(3, –4) noktas› çember yay› üzerindedir.
A(3, –4)
P(4, 6)
(x – 1)2 + (y + 3)2 = 9
x2 + y2 = 25
237
ÇEMBER
ÖRNEK – 4
ÖRNEK – 6
x2 + y2 – 2x + 5y – m = 0 çemberinin d›fl›ndaki
bir nokta A(1, 2) oldu€una göre, m nin en büyük
tamsay› de€erini bulal›m.
ÇÖZÜM
x2 + y2 – 5x – 4y + m = 0 çemberinin üzerindeki bir nokta A(–1, 3) oldu€una göre, m de€erini
bulal›m.
-:
ÇÖZÜM
A(1, 2) noktas›n›n çembere göre kuvveti, K(A) > 0
olmal›d›r.
A(–1, 3) noktas›n›n çembere göre kuvveti K(A) = 0
olmal›d›r.
O halde,
K(A) =
12
-:
O halde,
+
22
K(A) = (–1)2 + 32 – 5(–1) – 4 . 3 + m
–2.1+5.2–m
K(A) = 1 + 4 – 2 + 10 – m
K(A) = 1 + 9 + 5 – 12 + m
K(A) = 13 – m
K(A) = 3 + m
K(A) > 0 olaca€›ndan,
K(A) = 0 olaca€›ndan,
13 – m > 0
3+m=0
m < 13 olup,
m = –3 bulunur.
m nin en büyük tamsay› de€eri 12 dir.
ÖRNEK – 5
ÖRNEK – 7
x2 + y2 – 3x + 2y – n = 0 çemberinin iç bölgesindeki bir nokta A(1, 2) oldu€una göre, n nin en
küçük tamsay› de€erini bulal›m.
ÇÖZÜM
A(1, 4) noktas›ndan x2 + y2 + 3x + 2y – 1 = 0
çemberine çizilen te€et parças›n›n uzunlu€unu
bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
-:
Bir çembere d›fl›ndaki bir noktadan çizilen te€et
parças›n›n uzunlu€u bu noktan›n çembere göre kuvvetinin kareköküne eflittir.
A(1, 2) noktas›n›n çembere göre kuvveti K(A) < 0
olmal›d›r.
O halde,
O halde,
K(A) = 12 + 42 + 3 . 1 + 2 . 4 – 1
K(A) = 12 + 22 – 3 . 1 + 2 . 2 – n
K(A) = 20 + 8 – 1 ve K(A) = 27 olup,
K(A) = 1 + 4 – 3 + 4 – n
Te€et parças›n›n uzunlu€u,
K(A) = 6 – n
K (A) = 27 = 3 3 birim dir.
K(A) < 0 olaca€›ndan,
6–n<0
P
n > 6 olup
PA = K (A)
3 3
n nin en küçük tamsay› de€eri 7 dir.
A(1, 4)
x2 + y2 + 3x + 2y – 1 = 0
238
ÇEMBER
ÖRNEK – 8
Kuvvet Özellikleri :
x2
y2
A(3, 4) noktas›ndan + – 2x + n = 0 çemberine çizilen te€et parças›n›n uzunlu€u 4 birim ise
n de€erini bulal›m.
ÇÖZÜM
-
1.
A
P
:
C
B
T
4
ü
A, te€et noktas› ise PA
2
= PB . PC dir.
A(3, 4)
x2 + y2 – 2x + n = 0
K (A) = 4 olmal›d›r.
O halde,
9 + 16 – 6 + n = 4
25 – 6 + n = 16
2.
B
n = – 3 bulunur.
A
P
C
D
ÖRNEK – 9
ü
PA . PB = PC . PD
x2 + y2 = 25 çemberinin içindeki P(2, 1)
noktas›ndan geçen en k›sa kiriflinin uzunlu€unu
bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
K(P) = 22 + 12 – 25
K(P) = –20 olup,
3.
2
D
A
P noktas›ndan geçen en k›sa kiriflinin uzunlu€u,
K (P) = 2 20 = 4 5 birim bulunur.
P
A
AB = 2
K (P)
B
P(2, 1)
ü
B
[AC] ∩ [BD] = {P} ise
PA . PC = PB . PD dir.
x2 + y2 = 25
239
C
ÇEMBER
ÖRNEK – 10
ÖRNEK – 12
A
A te€et noktas›
6
P
4
C
B
A, P , B do€rusal
|PA| = 6 birim
|PB| = 4 birim
A
4
|AP| = 4 birim
|PB| = 9 birim
P
9
B
Buna göre, P noktas›ndan geçen en k›sa
kiriflin uzunlu€unu bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
ÇÖZÜM
Kuvvet ba€›nt›s›ndan,
-:
P noktas›ndan geçen en k›sa kirifl [CD] olsun.
|PA|2 = |PB| . |PC| eflitli€i ile
C
62 = 4(4 + |BC|)
A
9 = 4 + |BC|
4
P
|BC| = 5 birim bulunur.
9
D
B
Bu durumda kuvvet ba€›nt›s›ndan,
|PC| . |PD| = 4 . 9 = 36 olup,
|PC| + |PD| toplam›n›n en küçük de€eri istendi€inden,
|PC| = |PD| = 6 birim seçilerek
|CD| = 12 birim bulunur.
ÖRNEK – 11
A
6
D
C
4
5
P
|PD| = 4 birim
|DA| = 6 birim
|PC| = 5 birim
¸
Pratik Bilgi
Bir çemberin iç bölgesindeki bir P noktas›ndan
geçen en k›sa kirifl P noktas›n›n eflit iki parçaya
ay›rd›€› kirifltir.
B
B
ÇÖZÜM
-:
P
|PD| . |PA| = |PC| . |PB| eflitli€i ile
4 . 10 = 5(5 + |BC|)
8 = 5 + |BC|
A
A , P , B do€rusal ve |PA| = |PB| ise
P noktas›ndan geçen en k›sa kirifl [AB] d›r.
240
ÇEMBER
¸
ÖRNEK – 13
D
D
H
A
Pratik Bilgi
[AC] ∩ [BD] = {H}
4
[AC] ⊥ [BD]
C
6
a
A
12
C
H c
d
|DH| = 4 birim
|HC| = 6 birim
|HB| = 12 birim
b
B
B
[AC] ∩ [BD] = {H} ve R : Çap uzunlu€u ise
Buna göre, çemberin yar›çap uzunlu€unu bulal›m.
ÇÖZÜM
R2 = a2 + b2 + c2 + d2 dir.
-:
|HD| . |HB| = |HA| . |HC| eflitli€i ile
4 . 12 = |HA| . 6
ÖRNEK – 14
|HA| = 8 birim olup,
A
D
H
A
4
6
8
A, D te€et noktas›
C
x
D 2
C
12
Merkezden [AC] ve [BD] kirifllerine inilen dikmeler
kiriflleri eflit iki parçaya ay›raca€›ndan,
ÇÖZÜM
A
r
4
-:
Büyük çemberde,
C
A
4
K
O 1
6
B
8
2+x
B
AOT dik üçgeninde pisagor teoremi ile,
r2 = 42 + 72 ⇒ r =
62 = 4(6 + x) eflitli€i ile
65 birim bulunur.
x = 3 birim bulunur.
241
P
|PA| = |PD| oldu€undan, |PA| = 6 birim olup,
D
4
T1 H 6
4
Buna göre, |BD| uzunlu€unu bulal›m.
B
7
|PC| = 4 birim
|CD| = 2 birim
|BD| = x
B
C
4
P
ÇEMBER
ÖRNEK – 14
(x + y)2 = x(x + y + z) eflitli€i ile
ABC üçgen
A
x2 + 2xy + y2 = x2 + xy + xz
A te€et noktas›
m(BD) = m(DC)
E
P
x
y
B
y2 = xz – xy ⇒ y2 = x(z – y) bulunur.
C
z
D
Buna göre, x, y, z aras›nda nas›l bir ba€›nt›
oldu€unu bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
Ayn› yay› gören çevre aç›lar›n ölçüleri eflit oldu€undan,
ÖRNEK – 15
A
[BC] ⊥ [PA]
A
P
x
y
B
|PC| = 6 birim
|CA| = 4 birim
4
E
z
C
C
D
6
D
P
B
Buna göre, |CD| uzunlu€unu bulal›m.
m(BAD) = m(DAC) = α ve
m(PAB) = m(ACP) = β olup,
ÇÖZÜM
AEC nde m(AEP) = α + β d›r. Böylece,
|PA| = |PB| = 10 birim olup,
PBC nde pisagor teoremi ile,
A
x+y
P
x
-:
+
y
B
E
z
A
C
4
C
D
D
|PA| = |PE| = x + y olup,
B
A
x+y
|CA|2 = |CD| . |CB| eflitli€i ile
P
x
B
y+z
C
42 = |CD| . 8 ⇒ |CD| = 2 birim bulunur.
242
ÇEMBER
1.
5.
A te¤et noktas›
A, D te¤et noktas›
A
A
E
6
D
C
4
B
C
4
D
2
P
CD =...........................
DE =...........................
2.
6.
A te¤et noktas›
C
A, te¤et noktas›
CD = 9 birim
F
9
2
E
D
1
D
B
6
A
C
3
A
BD =...........................
B
DE =...........................
3.
7.
A te¤et noktas›
E
A
B
BD = 10 birim
5
30°
A
2 15
4
D
C
B
P
r =................................
D
C
3
CD =...........................
4.
8.
O merkez
A te¤et noktas›
O merkez
3
O
O
C
A
H
8
12
A
4
2
B
B
OC =...........................
6
r =................................
243
D
C
ÇEMBER
1.
5.
B
K, L, M, N te¤et noktalar›
K
KL = 2 35 birim
4
A
4
L
P
K
D
C
6
P
4
T
N
M
PT =...........................
Ç(KAB) nin en küçük tamsay› de¤eri = ..................
6.
2.
A, T te¤et noktalar›
A
A, B te¤et noktalar›
A
2
AD = 3 birim
D
E
3
C
3
D
B
T 2 B
C
AC =...........................
EB =...........................
7.
3.
A
C, T te¤et noktalar›
CE = 6 birim
C
12
D
6
E
B
H
8
B
C
T
r =................................
r =................................
8.
4.
B
C, T te¤et noktalar›
C
AB = 6 birim
m(BC) = m(ADB)
12
A
D
D
6
B
12
E
H
A 1
10
T
C
DH =...........................
AD =...........................
244
ÇEMBER
Kuvvet Ekseni
ÖRNEK – 1
x2 + y2 – 2x + 3y – 5 = 0
Tanım : İki çembere göre aynı kuvvette olan noktaların oluşturduğu doğruya kuvvet ekseni denir.
x2 + y2 + x – y – 1 = 0
çemberlerinin kuvvet ekseninin denklemini
bulal›m.
(‹ki çemberin kuvvet ekseni öyle bir do€rudurki
üzerinde al›nan herhangi bir noktadan çemberlere çizilen te€et uzunluklar› eflittir.)
-:
ÇÖZÜM
Kuvvet ekseni bir do€ru oldu€undan x2 ve y2 li
terimleri yok edelim.
a) Kesiflen iki çemberin kuvvet ekseni
–1/ x2 + y2 – 2x + 3y – 5 = 0
P
A
+
B
x2 + y2 + x – y – 1 = 0
3x – 4y + 4 = 0
denklemi kuvvet ekseninin denklemidir.
Yani, 3x – 4y + 4 = 0 do€rusu üzerinde al›nan
herhangi bir noktadan çemberlere çizilen te€et uzunluklar› eflittir.
(kuvvet ekseni)
ÖRNEK – 2
b) Dıştan te€et iki çemberin kuvvet ekseni
l do€rusu Ç1 ve Ç2 çemberlerinin kuvvet eksenidir.
A
Ç2
B
Ç1
B
A
3
P
6
K
(kuvvet ekseni)
K te€et noktas›, |PK| = 6 birim ve |PB| = 3 birim dir.
Buna göre, |AB| uzunlu€unu bulal›m.
c) Ayr›k iki çemberin kuvvet ekseni
-:
ÇÖZÜM
P noktas›ndan Ç1 ve Ç2 çemberlerine çizilen te€et uzunluklar› eflittir. O halde,
A
6
B
(kuvvet ekseni)
Ç1
3
P
6
K
|PT| = 6 birim olup, Ç1 çemberinde kuvvet ba€›nt›s›ndan |PT|2 = |PB| . |PA| eflitli€i ile,
62 = 3 . |PA| ⇒ |PA| = 12 birim olup,
|AB| = 12 – 3 = 9 birim bulunur.
NOT :
Kuvvet ekseni merkezleri birleştiren doğruya
diktir.
245
Ç2
T
B
A
ÇEMBER
ÿ
Te€etler Dörtgeni
Bir te€etler dörtgeninin alan›, çevre uzunlu€u
ile iç te€et çemberinin yar›çap uzunlu€unun
çarp›m›n›n yar›s›na eflittir.
Kenarlar› bir çembere te€et olan bir dörtgene
te€etler dörtgeni denir.
C
u=
C
AB + BC + CD + DA
2
A(ABCD) = u . r dir.
D
B
O
B
D
A
A
ÿ
ABCD te€etler dörtgeni
ÿ
Kare, eflkenar dörtgen ve deltoid birer te€etler
dörtgenidir.
Bir te€etler dörtgeninde karfl›l›kl› kenarlar›n uzunluklar› toplam› eflittir.
C
D
B
Kirifller Dörtgeni
A
Köfle noktalar› bir çember üzerinde bulunan dörtgene kirifller dörtgeni denir.
ABCD te€etler dörtgeni ise
|AB| + |DC| = |AD| + |BC|
dir.
D
C
D
C
A
NOT :
O
Kare, eflkenar dörtgen ve deltoid birer te€etler
dörtgenidir.
B
B
A
A
ÿ
O
D
B
C
B
C
Bir te€etler dörtgeninde iç aç›ortaylar›n kesim
noktas› iç te€et çemberin merkezini belirler.
D
C
A
O
O
D
O
NOT :
B
Kare, dikdörtgen, ikizkenar yamuk birer kirifller
dörtgenidir.
A
246
ÇEMBER
ÿ
Kirifller dörtgeninde karfl›l›kl› aç›lar›n ölçüleri toplam› 180° dir. Ayr›ca bir iç açın›n ölçüsü karşısındaki köşenin dış açısın›n ölçüsüne eşittir.
C
D
+
ÇÖZÜM
ABED kirifller dörtgeni oldu€undan,
m(ABC) = α dersek,
C
= 180º
-:
m(EDC) = α olur.
D
A
B
A
ÿ
D
5
B
A
6
C
E
B
O halde, ABC
Kirifller dörtgeninde kenar orta dikmeler merkezde kesiflir.
BC
5
=
3
6
~ EDC olup, benzerlik yaz›l›rsa,
⇒ |BC| = 10 birim bulunur.
ÖRNEK – 2
O
O
3
D
ABCD dörtgen
[AD] ⊥ [DC]
[AB] ⊥ [BC]
A
20º
C
m(DAC) = 20°
B
SONUÇ :
Buna göre, ABD aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
Kenar orta dikmeleri bir noktada kesiflen çokgen
kirifller çokgenidir.
ÇÖZÜM
-:
m(ABC) + m(ADC) = 180° oldu€undan,
ABCD kirifller dörtgenidir. O halde,
D
40º
ÖRNEK – 1
A
A
5
B
20º
C
ABC üçgen
D
3
E
6
C
|AB| = 5 birim
|DC| = 6 birim
|DE| = 3 birim
B
Ayn› yay› gören çevre aç›lar›n ölçüleri eflit oldu€undan,
m(DBC) = 20° olup, m(ABD) = 70° bulunur.
247
ÇEMBER
ÖRNEK – 3
ÖRNEK – 4
E
A
D
A
ABCD dörtgen
124º
ABC eşkenar üçgen
A, B, D doğrusal
m(ADC) = 124°
A, C, F doğrusal
B
F
C
6
E
D
Buna göre, BAD aç›s›n›n ölçüsünü bulal›m.
ÇÖZÜM
C
B
2
|BD| = 2 birim
|CF| = 6 birim
F
-:
E ve F noktaları birleştirilirse,
E
A
Buna göre, |BC| uzunluğunu bulalım.
D
124º
ÇÖZÜM
B
ABEC kirişler dörtgeni olup, m(BEC) = 120° dir.
C
F
-:
A
ABFE ve EFCD dörtgenlerinin kirişler dörtgeni olduğu görülür.
60º
x
Kirişler dörtgeninde karşılıklı açılar toplamı 180°
olduğundan,
E
A
B
60º
2
D
x
x 60º
β
E
D
124º
C
60º
6
β
F
56º
B
F
C
m(ADC) = α ve m(BCD) = β dersek,
m(EFC) = 180° – 124° = 56° dolayısıyla,
BCD nde α + β = 60°
m(BAD) = 56° bulunur.
CEF nde 60° + β = 60° + m(AFE) olup,
m(AFE) = β dır.
O halde m(CBF) = α olmalıdır.
¸
Pratik Bilgi
Böylece CBD ~ FCB olup,
A
D
Benzerlik yazılırsa,
x
2
=
& x = 2 3 birim bulunur.
x
6
B
C
[AB] // [DC] dir.
248
ÇEMBER
¸
Pratik Bilgi
ÖRNEK – 7
A
D
C
ABCD paralelkenar
6
x
x
n
K
A
C
m
a
E, K, F , C doğrusal
4
x
B
EBCD kirişler dörtgeni
F
b
F
B
|KF| = 4 birim
|DF| = 6 birim
E
D
Buna göre, |EK| uzunluğunu bulalım.
E
ÇÖZÜM
ABC eşkenar üçgen, A, B, D doğrusal
-:
A, C, E doğrusal ⇒ x2 = a . b = m.(m+n) dir.
D
C
6
F
4
x
ÖRNEK – 5
B
E
B
C
K
A
3 H
Şekildeki A, B, C, D
A
9
EBCD kirişler dörtgeni olduğundan,
çemberseldir.
[BH] ⊥ [AC]
D
m(DBC) = m(DEC) olur.
m(AB) = m(BD)
ABCD paralelkenar olduğundan
|AH| = 9 birim
|HC| = 3 birim
m(CBD) = m(ADB) olur.
DFK
Buna göre, |DC| uzunluğunu bulalım.
~ EFD olup,
Benzerlik yazılırsa,
ÇÖZÜM
62 = 4 . (4 + x) denklemi elde edilir.
-:
Buradan x = 5 birim bulunur.
B
K 6 C
3
H
9
A
D
P
Verilen yay eşitliğinden [PB] nin açıortay olduğu
anlaşılır.
Böylece PAK bir ikizkenar üçgen olur.
PACD bir kirişler dörtgeni olduğu için,
m(PAK) = m(KDC) dir.
|DC| uzunluğu 6 birim bulunur.
249
ÇEMBER
Batlamyüs (Ptolemy) Teoremi
ÖRNEK – 8
A
4
[BE] açıortay
K
D
Bir kirifller dörtgeninde köflegen uzunluklar›n›n
çarp›m› dörtgenin karfl›l›kl› kenar uzunluklar›n›n çarp›m›n›n toplam›na eflittir.
ABC üçgen
[CD] açıortay
|KF| = 2 birim
|AK| = 4 birim
E
2
60º
F
D
ABCD kirifller dörtgeni
d
[AC] köflegen
c
m(EFC) = 60°
[BD] köflegen
A
B
C
C
a
b
Buna göre, DEF üçgensel bölgesinin alanını
bulalım.
ÇÖZÜM
|AC| = e
|BD| = f
ise
B
e . f = a . c + b . d yaz›labilir.
-:
A
30º
30º
‹spat :
4
K
D
E
2
30º
F
30º
m(ABC) = α ve m(ADC) = β olsun.
60º
B
α + β = 180° oldu€undan cosα = –cosβ olup,
C
cosα + cosβ = 0 yaz›labilir.
O halde, ABC ve ADC üçgenlerinde cos teoremi ile
m(BAC) = m(EFC) = 60° olduğundan,
ADFE bir kirişler dörtgenidir.
a2 + b2 – e2 c2 + d2 – e2
+
= 0 eflitli€inden,
2ab
2cd
m(EDF) = m(DEB) = 30° olup,
e2 =
AFE ∼ DFK benzerli€inden,
Ayn› flekilde, m(BAD) = θ ve m(DCB) = γ olsun.
6
EF
=
EF
2
(ac + bd) . (ad + bc)
ab + cd
elde edilir.
θ + γ = 180° oldu€undan cosθ = –cosγ olup,
& EF = 2 3 birim ve
cosθ + cosγ = 0 yaz›labilir.
O halde, BAD ve BCD üçgenlerinde cos teoreminden,
a2 + d2 – f2 c2 + b2 – f2
+
= 0 eflitli€inden,
2ad
2bc
ADF ∼ RKF benzerli€inden,
6
DF
=
DF
2
& DF = 2 3 birim olur.
f2 =
ad + bc
elde edilir.
e2 ve f2 li denklemler taraf tarafa çarp›l›rsa,
Böylece,
|DF| = |FE| = 2
A(DEF) =
(ab + cd) . (ac + bd)
e2 . f2 = (ac + bd)2 olup,
3 birim olur.
e . f = ac + bd elde edilir.
3
1
= 3 3 br 2 bulunur.
.2 3 .2 3 .
2
2
"Sentetik ispat›da benzerlik kullanarak siz yapmaya
çal›fl›n›z."
250
ÇEMBER
Batlamyüs teoreminin bazı uygulamaları :
ÖRNEK – 3
A
ÖRNEK – 1
D
C
4
|BD| = 3 birim
|DC| = 4 birim
|AB| = 7 birim
|BC| = 6 birim
|DC| = 4 birim
6
A
B
3
4
C
D
B
7
Buna göre, AC nün uzunlu€unu bulal›m.
ÇÖZÜM
ABC eşkenar üçgen
Buna göre, |AD| uzunlu€unu bulal›m.
-:
ÇÖZÜM
ikizkenar yamuk bir kirifller dörtgeni oldu€undan,
Batlamyüs teoremi uygulanabilir.
-:
ABDC kirişler dörtgeni olduğundan,
Batlamyüs teoreminden,
AC = BD = e diyelim.
e.e=6.6+7.4
|AD| . |BC| = 3 . |AC| + 4 . |AB|
|AB| = |AC| = |BC| = a diyelim.
e2 = 36 + 28
Böylece,
O halde,
e=
|AD| . a = 3 . a + 4 . a
|AD| = 7 birim bulunur.
64 = 8 birim bulunur.
ÖRNEK – 2
ARASTIRMA
Bir düzgün yedigende bir kenar uzunlu€u a,
en k›sa köflegen uzunlu€u b, en uzun köflegen
uzunlu€u c olsun.
Batlamyüs (Ptolemy) teoreminin hangi
özel dörtgenlerde uygulanabilece€ini araflt›r›n›z?
Buna göre, a, b, c aras›ndaki iliflkiyi bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
a
F
a
E
b
a
D
a
c
C
K
a
a
A
a
B
[FD] ve [FC] köflegenleri çizilirse,
FCDE dörtgeni bir ikizkenar yamuk olur.
‹kizkenar yamuk bir kirifller dörtgeni oldu€undan,
Batlamyüs teoremi ile,
Batlamyüs
b2 = a2 + ac yaz›labilir.
251
ÇEMBER
1.
5.
K
A
E
A
D
78º
ABCD dörtgen
D
125º
B
C
m(BCD) = .....................
2.
m(BKE) = .....................
6.
K
A
A
2
O merkez
20º
O
B
C
m(AKC) = .....................
3.
C
D
D
B
C
F
B
m(BAD) = .....................
7.
D
A
ABC eflkenar
üçgen
C
E 102º
AE = EC
E
D
112º
A
B
B
m(EDC) = .....................
m(ADE) = .....................
4.
8.
E
A
C
D
ABCD dörtgen
D
C
77º
74º
B
F
[AE]
E
126º
B
F
C
K
A
m(BCD) = .....................
m(BKA) = .....................
252
[BC] = {F}
ÇEMBER
1.
5.
A
D
B
A
ABC üçgen
84º
O merkez
D
O merkez
O
140º
O
B
C
C
= ........................
m(ACB) = .....................
2.
6.
B
C
A
ABD üçgen
FBC üçgen
F
46º
30º
46º
D
D
A
E
120º
B
BE
4
=
3
CD
D
C
A(ADC)
A
ABC üçgen
BCED kirifller
dörtgeni
F
8
C
A
BD =...........................
8.
A
º
26
E
D
5
=...........................
4.
C
m(BAD) = .....................
7.
B
A(ADE)
42º
B
m(DAB) = .....................
3.
E
143º
ABC üçgen
DFC üçgen
D
ADE eflkenar üçgen
ACE üçgen
A
D
3
C
48º
F
B
C
B
E
A(DCB) = .....................
m(DFC) = .....................
253
12
ÇEMBER
1.
5.
A
D
B
O merkez
O ve O› merkez
A
A,D,B do¤rusal
O
B
O›
O
E
73º
C
C
m(ABC) = .....................
m(AOE) = .....................
2.
6.
A
7
ABC üçgen
5
D
ABCD dörtgen
E
A
D
3
B
6
Ç(ABC) = ......................
3.
A
m(ADC) = .....................
7.
y
ABCD dörtgen
D
H
4
C
x
m(BCD) = .....................
A
ABCD dörtgen
ABC üçgen
25
º
m(BK) = m(KCD)
D
B
A
8.
A
C
140º
DC =...........................
4.
[AB] çap
E
D
9
C
F
B
C
B
108º
20º
E
E
3
C
H
B
B
K
BH – HC =...................
C
m(BED) = .....................
254
D
[BE]
[AC]
[AD]
[BC]
ÇEMBER
1.
D
5.
C
ABCD kare
F
E
D
C
ABCD kare
[BC] çap
6
B merkez
[DC] çap
E
15º
A
B
A
AB =...........................
2.
D
DE =...........................
6.
C
13
B
10
ABCD kare
D
C
8
ABCD kare
C merkez
C merkez
8
[AE] çap
E
F
A
T
A
B
3.
7.
E
B
AE =...........................
AE =...........................
F
E
D
C
ABCD kare
CDEF kare
C merkez
[AB] çap
[AD] çap
4
E
A
C
D
F
B
2
A
AB =...........................
AC =...........................
4.
8.
F
O
E
D
D
ABCD kare
D merkez
[DB] köflegen
ODEF kare
E
B
A
B
DE
=..............................
EB
AF =...........................
255
C
O merkezli
yar›m çember
2
A
B
ÇEMBER
1.
O
D
5.
C
E
ABCD kare
E
B merkez
D
O merkez
2 5
B merkez
F
A
F
B
FB =...........................
2.
C
ABCD kare
L
D
6.
C
E
ABCD kare
M
4
B
m(CDE) = .....................
L, E, F, M te¤et
de¤me noktalar›d›r.
E
A
3
D
C
ABCD kare
B merkez
EK = 4 birim
K
A
F
F
B
L
C
B
CE =...........................
AB =...........................
3.
A
7.
D
ABCD kare
H
M
E
[EH]
ABCD dikdörtgen
C
D
L, E, F, M te¤et
de¤me noktalar›d›r.
E
[BL]
F
A
A
C
D
8.
ABCD kare
D
[AB] çap
B
4
O
ABCD kare
[AB] çap
m(FB) = 30º
A
A
B
AB =...........................
Ç(DEC) = ......................
256
C
F
F te¤et noktas›
E
E
15
O merkez
F
B
F
CE =...........................
EH =...........................
4.
AB = 9 birim
AD = 8 birim
6
B
E ve F te¤et de¤me
noktalar›
ÇEMBER
´
Çemberin Çevre Uzunlu€u ve
Dairenin Alan Bağıntıları
Daire Dilimi
Oran orantı ile
π : Bir çemberin çevre uzunluğunun çap uzunlur
r
O
O
α°
r
A
r
πr2
360°
O
ğuna oranıdır.
Taralı alan
B
r . r2 . a
Taralı alan =
360 o
Alan = . r2
Çevre = 2 r
´
Daire Dilimi
O
r
r
A
B
r
Taralı alan =
r
´
r . |AB|
2
(üçgenin alanı gibi)
Yay Uzunlu€u
Oran orantı ile
r
ÿ
|AB|
α°
r
A
2πr
360°
O
|AB|
B
=
2rra
360 o
1 radyan : Yar›çap uzunlu€unda yay› gören merkez aç›n›n ölçüsüne 1 radyan denir.
´
Daire Kesmesi
O
O
r
r
r
r
A
A
|AB|
B
Taralı alan =
= r ⇒ α = 1 radyan d›r.
257
B
r . r2 . a
360
o
–
1 2
. r . sina
2
ÇEMBER
´
´
Daire Halkas›
O merkez
R
C
A
Taralı alan = πR2 – πr2 = π(R2 – r2)
´
x
x
T
A x
a D
y
S
B
b
x
a
=
(yayl› tales)
x+y
b
Daire Halkas›
A
|AB| = b
|CD| = a
|OD| = x
|DB| = y
O
O r
S=
a+b
. y (yayl› yamuk)
2
A=
x.a
2
B
A
x 2
=d
n
x+y
A+S
O
Taralı alan = πx2
´
´
S1
S2
O1
y
T
x
r1
O2
r2
A
B
C
[AB], [BC], [AC] çap, Taralı alan = π .
TB
r1
2
r2
4
´
A
y
r1
B te€et noktas›
S1
O1
B
x
O2
r2
S2
y
x
=
r1
r2
ve
S1
S2
=d
y
x
2
n
yaz›labilir.
258
=
S1
x
x 2
=d
ve
n yaz›labilir.
x+y
x+y
S1 + S2
ÇEMBER
1.
5.
C
O merkez
OB = 5 birim
O
ABC dik üçgen
2
E
A merkez
D
D te¤et de¤me
noktas›
AB = 6 birim
6
A
B
A
F
taral› alan =.........................
2.
B
taral› alan =.........................
6.
A
O merkez
O merkez
D
S1
BC = 8 birim
S2
B
D
B te¤et noktas›
O
OB = 12 birim
O
15º
m(ADB) = 15º
12
S1 = S2
A
C
AB =...........................
B
taral› alan =.........................
3.
7.
2
A
B ve C merkez
6
F
K
A
D te¤et noktas›
E
O
10
10
B
AB = 8 birim
taral› alan =.........................
taral› alan =.........................
8.
A
D
C
ABCD kare
ABC bir üçgen
30º
[AD] ve [DC] çapl›
daireler E noktas›nda
kesiflmektedir.
BC = 6 birim
E
m(BAC) = 30º
B
O çemberlerin
merkezi
K te¤et de¤me
noktas›
C
D
4.
B
6
C
A
B
taral› alan =.........................
taral› alan =.........................
259
6
ÇEMBER
1.
5.
A
O merkez
O merkez
OB = 6 birim
O
m(AOB) = 120º
6
6
120º
A
B te¤et noktas›
D
S1
B
O
taral› alan =.........................
6.
A
O merkez
A
C
BC =...........................
2.
D
C
ABC eflkenar üçgen
DC = 6 birim
AO = 4 birim
4
45º
S1 = S2
( = 3 al›n›z.)
B
O
AB = 6 birim
S2
6
m(ACB) = 45º
2
BE = 2 birim
E
C
B
B
taral› alan =.........................
taral› alan =.........................
3.
7.
C
O merkez
O
A, C, O do¤rusal
4
4
[AB] çap
S1
B te¤et noktas›
S2
A
120º
O
C
O merkez
B
AB = 6 birim
m(COB) = 120º
A
B
S1 + S2 =.........................
taral› alan =.........................
4.
8.
D
CD = 12 birim
C
A
O çemberlerin
ortak merkezi
AB = AD
12
3
8
2
A
B
C
B
taral› alan =.........................
A(ABC) = ......................
260
A, B ve C do¤rusal
O
A(ADC) = 18 br2
ÇEMBER
1.
5.
A
D
[AB] çap
S2 = 2S1
S1
144º
C
O merkez
B
O 72º
D
m(AOD) = 144º
6
S2
m(BOC) = 72º
S2
A
C
6
S1 = S2
B
S1 + S2 =.......................
m(AOB) = .....................
2.
6.
C
B te¤et de¤me
noktas›
S1
O merkez
A
[BC] çap
8
B te¤et de¤me
noktas›
D
O
AB = BC
AC = 8 birim
8 2
A
B
B
C
taral› alan =.........................
taral› alan =.........................
3.
7.
O merkez
[AB] çap
C
m(AC) = 5m(BC)
T te¤et noktas›
O
[AO]
AB = 12 birim
A
AT = 4 birim
TB = 9 birim
B
12
A
4
taral› alan =.........................
8.
O
B
9
A
fiekildeki çemberin
çevresi 8 birimdir.
[AB] çap
4
O merkez
36º
A
T
taral› alan =.........................
4.
C
B
AB = 20 birim
4 3
B
AB = 4 birim
CD = 4 2 birim
D
C
taral› alan =.........................
taral› alan =.........................
261
[OB]
ÇEMBER
1.
5.
8
4
O çemberlerin
ortak merkezi
[AB] çap
O merkez
T
CD = 4 birim
O
T te¤et noktas›
AB = 8 birim
C
D
A
AO = BC = 6 br
DB = 3 birim
3
A
B
O
taral› alan =.........................
6.
T
B
A
O çemberlerin
ortak merkezi
fiekildeki çemberler
birbirine B noktas›nda te¤ettir.
S1
T te¤et noktas›
O
C
taral› alan =.........................
2.
A
B
B
AB = 12 birim
2 AB = 3 BC
S2
C
S1
=................................
S2
taral› alan =.........................
3.
7.
O ortak merkez
B
A
4
C
[AB] çap
A, B, C do¤rusal
5
D
AB = 4 birim
O
C
AE = AC
E
m(BAC) = 36º
BC = 5 birim
AO = 5 birim
A
C
8.
B
O merkez
[BH]
D
[OA]
AD = 3 DE
14 br2
S
BH = 6 3 birim
A
H
[AB] ve [AC] çapl›
çembeler A noktas›nda içten te¤ettir.
E
OH = HA
O
B
taral› alan =.........................
taral› alan =.........................
4.
O
5
B
C
A
S =................................
taral› alan =.........................
262
ÇEMBER
1.
E
5.
S2
D
S1
A
B
C
D
[AB] ve [BC] çapl›
S1 ve S2 içinde
bulunduklar› kapal›
bölgelerin alanlar›d›r.
S1
S2 = 2S1
E
6.
C
D merkezli çeyrek
çember ve ABCD
dikdörtgeni çizilmifltir.
2
AD = 2 DE
B
AD = 2 birim
S
A
A
DC = 6 birim
B
D
[AB] ve [AC] çapl›
çemberler A noktas›nda içten te¤ettir.
D
BC = 3 birim
S1 – S2 =............................
2.
S1
[DC] çap
3
S2
AE
=...........................
DC
E
ABCD dikdörtgen
B merkez
A
S2
C
6
B
F
S
C
E
S1
=................................
S2
DC =...........................
3.
7.
O2
O1
A
ABC eflkenar üçgen
fiekildeki efl
dairenin yar›çap
uzunlu¤u 6 birimdir.
8
[DC] çap
AE = 8 birim
E
BD = 6 birim
B
D
6
C
taral› alan =.........................
taral› alan =.........................
4.
8.
C
AB çap
O merkez
m(ABC) = 15º
C
15º
8
DC = 20 birim
20
AB = 8 birim
A
[AB] çap
AD = 4 birim
B
A 4
O
B
taral› alan =.........................
taral› alan =.........................
263
D
[CO]
[AB]
ÇEMBER
1.
5.
A
[OD]
O
3
B
A
Taral› alan = 4 br2
[BC]
O›
OH = HD = 3 br
H
C
3
O
B
D
AB =...........................
taral› alan =.........................
2.
6.
C
H 3
9
D
[AB] çap
[CH]
A
O, O› merkez
O merkez
O merkez
[AB]
C
4
AH = 9 birim
B
O
HB = 3 birim
B
A
taral› alanlar toplam› =..................
taral› alan =.........................
3.
D
7.
C
4
ABCD karesinin
kenarlar› yar›m
çemberlerin çap›d›r.
O merkez
C
m(AC) = 40º
6
A
A
O
B
B
taral› alanlar toplam› =..................
taral› alan =.........................
4.
8.
OCDE dikdörtgen
O merkez
D
[AB] çap
6
C
E
A
O1, O2 merkez
D
2
4
O
A
B
O2
B
taral› alan =.........................
taral› alan =.........................
264
O1 H
TEST
ÇEMBER
1.
4.
ABC üçgen
A
ABC üçgen
A
[CA te€et
ADC üçgen
fiekilde A, B, C, D
çemberseldir.
C
25º
D
B) 80
Buna göre, DAC açısının ölçüsü kaç derecedir?
C) 75
D) 70
A) 15
E) 60
Merkezinin koordinatları M(2, – 3) olmak üzere MX = 4 çemberinin denklemi nedir?
A)
B)
C)
D)
E)
3.
A
4
C) 25
6.
C, teğet noktası
D) 30
[BC] çap
D
12
O, merkez
E
|AC| = 8 birim
|AD| = 4 birim
E) 35
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 9
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 16
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 30
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 34
[BC] çap
8
B) 20
Merkezinin koordinatları M(3, 4) ve x eksenine
teğet olan çemberin denklemi nedir?
A)
B)
C)
D)
E)
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 15
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 14
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 13
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 12
D
D
m(ABC) = 25°
5.
2.
m(ABC) = 15°
B
Buna göre, BAC açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 85
C
15º
m(ADB) = 70°
70º
B
1
B
[OE] ⊥ [BD]
O
15
C
ED = 12 birim
OC = 15 birim
C
B
Buna göre, çemberin yarıçapı kaç birimdir?
Yukarıdaki verilere göre, |EO| kaç birimdir?
A) 2 3
A) 7
B) 3 3
C) 4 3
D) 5 3
E) 6 3
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
265
1. A
2. A
3. C
4. A
5. B.
6. C
TEST
ÇEMBER
7.
E
80º
F
30º
D
C
8.
11. F
ABD üçgen
A
B
4
E
6
D
1
B, teğet noktası
EBC üçgen
O merkez
m(AFC) = 80°
|FE| = 4 birim
|ED| = 6 birim
m(ABC) = 30°
B
C
O
Buna göre, BAD açısının ölçüsü kaç derecedir?
Yukarıdaki verilere göre, |BC| kaç birimdir?
A) 30
A) 10
B) 25
C) 20
D) 15
E) 10
Denklemi (x – 2)2 + (y – 5)2 = 33 olan çember ile
denklemi (x + 2)2 + (y + 3)2 = 27 olan çemberin
merkezleri arası uzaklık kaç birimdir?
A) 2 3
B) 3 3
C) 4 5
D) 9
12.
B) 11
D
E) 10
C) 12
E) 14
[AB] çap
C
46º
D) 13
E
[AC] ∩ [DB] = {E}
m(AED) = 46°
A
B
Buna göre, m(DC) kaç derecedir?
A) 80
9.
B) 82
C) 84
D) 86
E) 88
P(3, 5) noktas›na 2 birim uzakl›kta bulunan
noktaların geometrik yerinin denklemi nedir?
A)
B)
C)
D)
E)
( x – 3)2 + (y – 5)2 = 6
(x – 5)2 + (y – 3)2 = 8
(x – 3)2 + (y – 5)2 = 4
(x – 3)2 + (y – 5)2 = 16
(x – 3)2 + (y – 5)2 = 20
13. Merkezinin koordinatları M(–1, 6) olan çember 3x + 4y + 4 = 0 doğrusuna teğet olduğuna
göre, denklemi nedir?
10. x2 + y2 – 8 + 6y –9 = 0 denklemi ile verilen çemberin merkezinin koordinatları nedir?
A)
B)
C)
D)
E)
A) (4, 3)
B) (– 4, 3)
C) (– 4, – 3)
D) (4, – 3)
E) (3, – 4)
(x + 1)2 + (y – 6)2 = 25
(x + 1)2 + (y – 6)2 = 37
(x + 1)2 + (y – 6)2 = 39
(x + 1)2 + (y – 6)2 = 41
(x + 1)2 + (y – 6)2 = 4
266
7. B
8. C
9. C
10. D
11. E
12. E
13. A
TEST
ÇEMBER
1.
C
F
5.
[AB] çap
[AC] ∩ [EF] = {D}
D
E
fiekilde DAB aç›s›n›n ölçüsü 30°, BCD üçgeninin iç
aç›lar› x, y ve z dir.
m(FEB) = 134°
134º
D
A
B
z
B) 40
C) 44
D) 48
E) 52
C
Buna göre, afla€›daki sonuçlardan hangisi
ç›kar›lamaz?
B) 2x + z > 180°
C) x > y
D) x > 30°
E) y + z < 150°
Merkezi M(– 1, 4) olan x eksenini K(3, 0) noktasında kesen çemberin yarıçap uzunluğu kaç
birimdir?
A) 2 2
B) 2 3
C) 4 2
D) 4 3
E) 7
6.
3.
y
B
A
A) x > z
2.
x
30º
Buna göre, ADF aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
A) 36
2
A)
B)
C)
D)
E)
x2 – 6y + y2 = 7 denklemi ile verilen çemberin
çapının uzunluğu kaç birimdir?
A) 8
4.
B) 7
C) 6
D) 5
C
MX = 2
(x – 2)2 + (y – 2)2 = 2
(x – 2)2 + (y – 2)2 = 4
(x – 2)2 + (y – 2)2 = 6
(x – 2)2 + (y – 2)2 = 8
(x – 2)2 + (y – 2)2 = 10
E) 4
O merkez
7.
A te€et noktas›
[OB] ∩ [CD] = {E}
12
O
A
D
A)
B)
C)
D)
E)
B
Yukarıdaki verilere göre, |ED| kaç birimdir?
B) 4
C) 5
D) 6
A(– 1, 2) ve B(– 7, 10) noktaları veriliyor.
AB nü çap kabul eden çemberin denklemi
nedir?
|AD| = |DB|
|CE| = 12 birim
E
A) 3
I. Bölgede eksenlere teğet olan
çemberinin denklemi nedir?
E) 7
(x + 4)2 + (y – 6)2 = 25
(x – 4)2 + (y + 6)2 = 25
(x – 6)2 + (y – 4)2 = 25
(x + 6)2 + (y – 4)2 = 25
(x + 6)2 + (y + 4)2 = 25
267
1. C
2. C
3. A
4. D
5. A
6. B
7. A
TEST
ÇEMBER
8.
11.
O çemberin merkezidir. P noktas›ndan geçen iki
do€ru çemberi E, A ve F , B noktalar›nda kesiyor.
TEA aç›s›n›n ölçüsü 77°, ABF aç›s›n›n ölçüsü 55°
dir.
B, A, F do€rusal
º
25
|BD| = |DC|
E m(AEF) = 25°
B
E 77º
B, D, C do€rusal
A
T
P
F
2
D
A, C te€et
noktalar›
C
A
O
B
Buna göre, m(ADC) kaç derecedir?
55º
F
A) 25
B) 40
C) 50
D) 55
E) 60
Buna göre, APF aç›s›n›n ölçüsü kaç derecedir?
A) 43
B) 42
C) 41
D) 40
E) 37
12. (x – 1)2 + (y + 5)2 = 12
(x + 3)2 + (y – 7)2 = 21
çemberlerinin merkezlerinden geçen doğrunun denklemi nedir?
9.
A) y + 3x – 1 = 0
B) y – 3x – 2 = 0
C) y + 3x – 5 = 0
D) y – 3x + 1 = 0
E) y + 3x + 2 = 0
Merkezi y = x + 1 doğrusu üzerinde olup,
A(– 1, 2) ve B(1, 1) noktalarından geçen çemberin denklemi nedir?
A)
B)
C)
D)
E)
x2 + y2 + x – y + 2 = 0
x2 + y2 – x – y – 2 = 0
x2 + y2 + x – y – 2 = 0
x2 + y2 + x + y + 1 = 0
x2 + y2 – x – y – 1 = 0
13.
x2 + y2 + ax + by = 0
çemberi A(0,5) ve B(7,0) noktalarından geçtiğine göre, merkezinin koordinatları toplamı
kaçtır?
A) 4
10.
D
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
m(AC) = m(BD)
C
[AB] çap
[DH] ⊥ [AB]
A
3
H
12
B
14.
|BH| = 12 birim
|AH| = 3 birim
çemberi ile A(1, – 6) noktası arasındaki en kısa
uzaklık kaç birimdir?
A) 89 – 3
Yukarıdaki verilere göre, |BC| kaç birimdir?
A) 2 5
B) 3 5
C) 4 5
D) 4 7
(x + 4)2 + (y – 2)2 = 25
B) 89 – 4
D) 89 – 6
E) 6 7
C) 89 – 5
E) 89 – 7
268
8. B
9. C
10. B
11. C
12. E
13. C
14. C
TEST
ÇEMBER
1.
4.
ABCD dörtgen
D
20º
P
40º
çembersel
A
O merkez
A, B, C, D çembersel
A te€et noktas›
D
E
B
m(BCD) = 20°
B
C
ABP üçgen
A
A, B, C, D
O
3
|AE| = |EB|
m(BC) = m(CD)
C
m(APB) = 40°
Buna göre, BAD açısının ölçüsü kaç derecedir?
Buna göre, BAC açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 60
A) 30
B) 65
C) 70
D) 75
E) 80
5.
2.
B) 32
A
B O
x
–1
C
x2 + y2 – 5x – y – 6
x2 + y2 – 5x – y – 4
x2 + y2 – 5x – y – 3
x2 + y2 – 5x – y – 2
x2 + y2 – 5x – y – 1
Şekildeki Ox ve OA doğrularına teğet olan
çemberin vektörel denklemi nedir?
=0
=0
=0
=0
=0
O
A) M (2 3, 3),
MX = 4
B) M (4 3, 4),
MX = 4
C) M (4 3, 1),
MX = 21
D) M (4 3, 1),
MX = 2 5
E) M (2 3, 4),
MX = 21
6.
A(0, 3)
y
1
ABCD dikdörtgen
B(0, 1)
A
B
|AB| = 24 birim
|OB| = 7 birim
|BC| = 11 birim
D
A
24
x
C
Ox eksenine C noktasında teğet olan çemberin yarıçapı kaç birimdir?
3
2
O merkez
F
O
A)
x
O
Yukar›daki A, B, C noktalar›ndan geçen çemberin denklemi nedir?
3
A( 2 3 , 6)
A
C(0, – 2)
3
3.
E) 35
y
B( – 1, 0)
A)
B)
C)
D)
E)
D) 34
A(0, 3)
y
–2
C) 33
B) 2
C)
5
2
D) 3
E)
7
B
C E
11
Yukarıdaki verilere göre, |AF| kaç birimdir?
7
2
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
269
1. E
2. A
3. B
4. E
5. B
6. A
TEST
ÇEMBER
7.
A
10.
[DC] çap
B
D
D
[DC] ⊥ [CB]
m(BED) = 25°
[CB] ⊥ [BA]
25
º
B
|CB| = 8 birim
|DC| + |BA| = 16 br
8
C
E
O
A
Yukarıdaki verilere göre, |OA| kaç birimdir?
Buna göre, m(AB) kaç derecedir?
A) 80
O merkezli
çeyrek çember
[AB] // [CD]
C
3
B) 75
C) 70
8.
D) 65
A) 9
E) 60
B) 6 3
11.
y
C) 5 6
D) 4 10
E) 8 3
y
A(– 10, 0)
B( – 4, 0)
B
B
A
x
O
–4
–10
A(4, –2)
Şekildeki [OB] çaplı çemberde A(4, – 2) noktası çember yayının üzerinde olduğuna göre
çemberin denklemi nedir?
Şekilde x eksenini A ve B noktalarında kesen çemberin yarıçapı 5 birim olduğuna göre,
denklemi nedir?
A)
B)
C)
D)
E)
A) x2 + y2 – 6x = 0
B) x2 + y2 – 5x = 0
C) x2 + y2 – 4x = 0
D) x2 + y2 – 3x = 0
E) x2 + y2 – 2x = 0
(x + 4)2 + (y – 5)2 = 25
(x + 7)2 + (y – 4)2 = 25
(x + 5)2 + (y – 7)2 = 25
(x + 4)2 + (y – 4)2 = 25
(x + 4)2 + (y – 6)2 = 25
12.
9.
fiekildeki çemberde
A
Denklemleri,
2y + 3x + 18 = 0 ve
B) (1, 0)
D) (3, 0)
A te€et noktas›
|AC| = |CD|
2x – 3y – 12 = 0
olan doğrular ile Ox ekseninin oluşturduğu
üçgenin çevrel çemberinin merkezinin koordinatları nedir?
A) (0, 0)
x
O
m(ABD) = 45°
45º
B
D
C
Buna göre, ACD açısının ölçüsü kaç derecedir?
C) (2, 0)
E) (4, 0)
A) 65
B) 70
C) 75
D) 80
E) 90
270
7. A
8. B
9. A
10. D
11. B
12. E
TEST
ÇEMBER
1.
4.
fiekilde A, B, E,D
K
A
C
A, te€et de€me
B
D
E
C
noktası
D
6
noktas›
40º
A, D, F teğet
A
çembersel
4
E
8
B
|CD| = 6 birim
|EB| = 8 birim
m(BAE) = m(EAD)
F
m(ACB) = 40°
Buna göre, EAC açısının ölçüsü kaç derecedir?
Yukarıdaki verilere göre, |AB| kaç birimdir?
A) 15
A) 10
B) 30
2.
C) 45
D) 60
E) 70
B) 12
C) 14
5.
y
D) 16
y
A( – 8 , 0)
B(– 2, 0)
A(1, 0)
B(9, 0)
C
C
A
B
O 1
9
A
MX = 4
B) M (5, 2),
MX = 5
C) M (5, 3),
MX = 5
D) M (5, 3),
MX = 34
E) M (–5, 2),
Oy eksenine C noktasında teğet olan çemberin denklemi nedir?
A)
B)
C)
D)
E)
4
5
C) – 1
D) –
6
5
E) –
x2 + y2 – 2x + 3y – 13 = 0
çemberine A(– 1, 2) noktasından çizilen normal doğrusunun eğimi kaçtır?
çemberine K(3, 5) noktasından çizilen teğet
doğrusunun eğimi kaçtır?
B) –
(x + 5)2 + (y – 4)2 = 25
(x + 5)2 + (y – 4)2 = 24
(x + 5)2 + (y – 4)2 = 20
(x + 5)2 + (y – 4)2 = 16
(x + 5)2 + (y – 4)2 = 9
6.
x2 + y2 = 34
3
5
x
–2 O
MX = 2 10
3.
A) –
B
–8
x
Oy eksenine C noktasında teğet olan çemberin denklemi nedir?
A) M (5, 2),
E) 18
7
5
A) – 2
B) –
7
4
C) –
1. E
2. C
3
2
D) –
5
4
E) – 1
271
3. A
4. B
5. A
6. B
TEST
ÇEMBER
7.
12.
(x + 2)2 + (y – 4)2 = 50
(x – 3)2 + (y – 5)2 = 27
çemberini 120° lik açı altında gören teğetlerin
kesim noktalarının geometrik yerinin denklemi nedir?
çemberine A(5, 5) noktasından çizilen teğet
doğrusunun denklemi nedir?
A) 8x + y – 45 = 0
B) 7x + y – 36 = 0
C) 7x + y + 40 = 0
D) 7x + y – 40 = 0
E) 7x – y – 36 = 0
8.
4
A)
B)
C)
D)
E)
(x – 3)2 + (y – 5)2 = 36
(x – 3)2 + (y – 5)2 = 34
(x – 3)2 + (y – 5)2 = 32
(x – 3)2 + (y – 5)2 = 30
(x – 3)2 + (y – 5)2 = 27
x2 + y2 + 5x + y – 38 = 0
çemberine A(– 1, 6) noktasından çizilen normal doğrusunun denklemi nedir?
A) 13x – 3y + 31 = 0
B) 13x + 3y + 4 = 0
C) 13x + 3y + 12 = 0
D) 12x + 3y + 1 = 0
E) 12x + 3y – 1 = 0
13.
x2 + y2 + 3x – 5y + 2 = 0
çemberine orijinden çizilen teğet parçalarının
uzunlukları toplamı kaçtır?
A) 1
9.
B) 2
C) 2 2
D) 2 3
E) 4
x2 + y2 – x + 2y – m = 0
çemberinin dışındaki bir nokta A(3, 2) olduğuna
göre, m nin en büyük tamsayı değeri kaçtır?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
14.
E) 16
y
K
M
1
10.
O
–2
x2 + y2 – 2x + 3y – n = 0
x
T
l do€-
çemberinin iç bölgesindeki bir nokta A(1, 2)
olduğuna göre, n nin en küçük tamsayı değeri
kaçtır?
Eksenlere te€et olan çemberin merkezi
rusunun üzerindedir.
A) 6
çemberin denklemi afla€›dakilerden hangisidir?
B) 7
C) 8
D) 9
l do€rusu eksenleri –2 ve 1 de kesti€ine göre
E) 10
A) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9
B) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4
11. A(1, – 1) noktasının M(–4, 5) olmak üzere
C) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5
MX = 2 10 çemberine göre kuvveti kaçtır?
A) 14
B) 16
C) 21
D) 27
D) (x – 4)2 + (y + 2)2 = 12
E) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4
E) 32
272
7. D
8. A
9. B
10. E
11. C
12. A
13. C
14. B
KON‹KLER
ÜN‹TE – 5
ü
Bir Koni€in Denklemi
ü
Koni€in Ekseni ve Tepe Noktalar›
ü
Koniklerin S›n›fland›r›lmas›
ü
Elips
ü
ü
Elipsin D›fl Merkezli€i ve Do€rultmanlar›
ü
ü
ü
Hiperbol
ü
Hiperbolün Eksen Uzunluklar›
ü
Hiperbolün D›fl Merkezli€i ve Do€rultmanlar›
ü
Hiperbolün Asimptotlar›
ü
Parabol
ü
Parabolün Do€rultman› ve Denklemi
Matematikçiler ço€u zaman birçoklar›n›n gereksiz gördü€ü ifllerle u€rafl›rlar ve yüzy›llar
sonra bu gereksiz san›lan ifllerin asl›nda çok gerekli oldu€u anlafl›l›r.
Matematikçiler bu "gereksiz" ifllere sadece güzelliklerinden dolay› ilgi duyarlar. Nedeni
pek bilinmez ama matematikçilere güzel görünen bir zaman sonra insano€luna ve k›z›na
hep gerekli ve yararl›, hatta vazgeçilmez olmufltur. Güzellikle yararl›l›k aras›nda tam dile
getiremedi€imiz bir ba€ olmal› . . .
Eski Yunanl›lar›n toplu olarak konik diye adland›rd›klar› elips, parabol, hiperbol
e€rileri birçoklar› taraf›ndan gereksiz görülen ama daha sonra insanl›€a çok yararl› olan
çal›flmalardand›r.
Konikler ilk olarak Eflatun'un bir ö€rencisi olan Perge'li Apollonyus taraf›ndan M.Ö. 3.
yüzy›lda dikkate al›n›p incelenmifllerdir. Perge bilindi€i gibi Antalya yak›nlar›ndad›r. Yani
Apollonyus bu co€rafyan›n insan›d›r.
Apollonyus, taban› bir çember olan bir dik koniyi afla€›daki gibi düzlemlerle kesifltirmifl
ve düzlemin e€imine göre de€iflen bir flekil elde edece€ini görüp ortada hiçbir neden yokken bu flekilleri inceleyip bu konuda insanl›€›n ilk eserini yazm›flt›r : KON‹KLER.
y
6
2
O
5
y
x
1. Tek nokta
1
3
x
2. Tek do¤ru
y
O
x
3. Bir çift do¤ru
y
y
O
7
x
O
6
O
y
O
x
x
4
4. Parabol
5. Elips
6. Hiperbol
KON‹KLER
Tanım : Düzlemde sabit bir noktaya olan uzaklığın,
sabit bir doğruya olan uzaklığa oranı sabit olan noktaların geometrik yerine konik denir.
¸
Sabit doğruya koni€in doğrultmanı (l) denir.
¸
Sabit noktaya koniğin odağı (F) denir.
¸
Sabit orana da koniğin dış merkezliği (e) denir.
ÖRNEK – 1
Düzlemde A(1, 0) noktas›na uzakl›€› x = –1
do€rusuna uzakl›€›na eflit olan noktalarla elde
edilecek koni€in denklemini bulal›m.
ÇÖZÜM
-:
Konik üzerinde de€iflken bir nokta P(x, y) olsun.
¸ l, F , e koniğin temel elemanlarıdır.
A(1, 0)
F
P(x, y)
P
H
H
Konik tan›m›ndan,
l : Koniğin doğrultmanı
PA
F : Koniğin odağı
PH
P : Konik üzerindeki herhangi bir nokta
PF
e =
=
d (P, A)
d (P, ,)
(x – 1) 2 + y 2
: Koniğin dış merkezli€i
PH
x+1
= d›fl merkezlik = 1
=1
(x – 1) 2 + y 2 = x + 1
Bir Koniğin Denklemi
Her iki yan›n karesini alal›m.
Konik üzerindeki herhangi bir nokta P olmak üze-
x2 + y2 – 2x + 1 = x2 + 2x + 1
re P den geçen ve l doğrultmanını dik kesen doğru ile
y2 = 4x bulunur.
l nin kesim noktası H olmak üzere koniğin denklemi;
PF
PH
= e ile bulunur.
F
SONUÇ :
P
y2 = 4x ifadesi,
H
e=
=
PF
PH
=
¸ Odak noktas› : A(1, 0)
¸ Do€rultman› : x = –1 do€rusu
d (P, F)
iki nokta aras› uzakl›k
=
noktan›n do¤ruya uzakl›¤›
d (P, ,)
¸ D›fl merkezli€i : e = 1
1 PF, PF 2
olan bir koniktir.
d (P, ,)
275
x = –1
KON‹KLER
ÖRNEK – 3
ÖRNEK – 2
25
4
4
do€rusuna uzakl›€›na oran› olan noktalarla elde
5
Düzlemde A(4,0) noktas›na uzakl›€›nın x =
Düzlemde A(1, –2) noktas›na uzakl›€› y = x + 1
do€rusuna uzakl›€›nın iki kat› olan noktalarla elde
ÇÖZÜM
-:
-:
ÇÖZÜM
A(4, 0)
A(1, –2)
P(x, y)
P(x, y)
y–x–1=0
H
PH
=
d (P, A)
d (P, ,)
PA
= d›fl merkezlik = 2
(x – 1) 2 + (y + 2) 2
y – x –1
PH
= 2 eflitli€i düzenlenirse,
x–
olup,
d (P, ,)
25
4
= d›fl merkezlik =
=
4
5
4
olup,
5
25(x2 + y2 – 8x + 16) = 16x2 – 200x + 625
2
2(x2 + y2 – 2x + 4y + 5 = 4
9x2 + 25y2 = 225
(
x2 + y2 + 1 + 2(–xy –y + x)
2
x2 y
+
= 1 elde edilir.
25
9
x2 + y2 –4xy + 6x – 8y – 3 = 0 bulunur.
SONUÇ :
SONUÇ :
+
d (P, A)
5 (x – 4) 2 + y 2 = 4x – 25
2 . (x – 1) 2 + (y + 2) 2 = 2 y – x – 1
y2
=
(x – 4) 2 + y 2
2
x2
25
4
PA
x=
H
2
x2 y
+
= 1 ifadesi,
25
9
–4xy + 6x – 8y – 3 = 0 ifadesi,
¸ Odak noktas› : A(1, –2)
¸ Odak noktas› : A(4, 0)
¸ Do€rultman› : y = x + 1 do€rusu
¸ Do€rultman› : x = 4 do€rusu
25
4
olan bir koniktir.
olan bir koniktir.
276
KON‹KLER
Koniklerin Sınıflandırılması
Koniğin Ekseni
Bir koniğin dış merkezli€i e olsun.
Koniğin odağından geçen ve doğrultmana dik
olan doğruya koniğin ekseni denir.
Bu konik;
¸
Koniğin ekseni ile doğrultmanının kesiştiği nokta
D ile gösterilir.
F (odak)
P
e < 1 ise elips
ü
e > 1 ise hiperbol
ü
e = 1 ise paraboldür.
Konik üzerinde
de¤iflken bir nokta
e=
1
2
e=1
(do¤rultman)
H
D
ü
M
F
(koni¤in ekseni)
¸
e=2
M›
Her konik kendi eksenine göre simetriktir.
: koni¤in ekseni
Elips (e < 1)
Düzlemde, sabit iki noktaya uzaklıkları toplamı
sabit olan noktaların geometrik yerine elips denir.
Koniğin Tepe Noktaları
Bir koniğin ekseni ile kesiştiği noktalara koniğin
tepe noktaları denir.
¸
Bir koniğin T tepe noktası ya DF (eksen) üzerinde ya da dışındadır.
(Bu nokta parabolde üzerinde, elips ve hiperbolde
d›fl›ndad›r.)
F1
odak odak
F1
asal
eksen
F
P
D
T=
H
F + e .D
F – e .D
ya da T =
1+e
1– e
(e ! 1)
277
¸
Sabit noktalara elipsin odakları denir.
¸
Sabit noktalar F1 ve F2 ise [F1F2] nin orta noktasına elipsin merkezi denir.
¸
Sabit uzaklık 2a dır.
ELİPS
Yatay Elips
Elipsin Eksenleri Arasındaki Bağıntılar
F1 ve F2 sabit noktalar olmak üzere;
Ox eksenini A(a, 0), Aı(–a, 0) ve
|PF1| + |PF2| = 2a olacak şekilde P noktalarının
Oy eksenini B(0, b), Bı(0, –b)
geometrik yeri aşağıdaki yatay elipstir.
noktalarında kesen elipsin odakları,
F1(c, 0), F2(–c, 0) olmak üzere a, b, c arasında,
y
a2 = b2 + c2 bağıntısı vardır.
a>b
b
(–c, 0)
–a
P(x, y)
O
F1
‹spat :
(c, 0)
F2
a
x
y
–b
B b
A›
–a
–c
F2
c
F1
O
A
a
x
B› –b
|BF1| + |BF2| = 2a ve |F1O| = |F2O| olduğundan,
|BF1| = |BF2| = a dır.
B
Böylece BOF1 dik üçgeninde
pisagor teoremi ile,
a
b
a2 = b2 + c2 bulunur.
O
c
Düşey Elips
F1 ve F2 sabit noktalar olmak üzere;
Yatay Elipsin Denklemi
|PF1| + |PF2| = 2b olacak şekilde P noktalarının
geometrik yeri aşağıdaki gibi düşey elipstir.
y
y
b
a<b
b
–c
–a
F1 c
–a
O
a
F2 –c
a
x
–b
x
P
Elipsin denklemi;
–b
278
F2
c
F1
O
x2
a2
+
y2
b2
= 1 fleklindedir.
F1
ELİPS
Düfley Elipsin Denklemi
‹spat :
y
y
b
b
P(x, y)
–c
–a
c
F1
O
F2
c F1
a
x
O
–a
x
a
–c F2
–b
–b
PF1 = PF1 =
1 PF1, PF1 2
PF2 = PF2 =
1 PF2, PF2 2
Yukar›daki düfley elipsin denklemi,
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a < b) dir.
PF1 ve PF2 vektörlerinin konum vektörleri.
PF1 = F1 – P = (c – x, –y)
PF2 = F2 – P = (–c – x, –y) olup,
2
Yatay elipste;
2
PF1 =
(c – x) + y
PF2 =
(–c – x) 2 + y 2
y
x2 + y2 = 1
a 2 b2
b
PF1 + PF2 = 2a oldu€undan,
–a
(– c – x) 2 + y 2 + (c – x) 2 + y 2 = 2a
(–c – x) 2 + y 2 = 2a –
a
O
(c – x) 2 + y 2
x
–b
eflitli€inde her iki taraf›n karesi al›n›rsa ve
a2 = b2 + c2 oldu€u gözönüne alınırsa,
2
x2 y
b2x2 + a2y2 = a2b2 veya
+
= 1 bulunur.
a2 b2
Bu denkleme elipsin standart denklemi denir.
2a : Elipsin büyük eksen uzunlu€u
2b : Elipsin küçük eksen uzunlu€u
Düfley elipste;
y
b
–a
O
a
P
F2
F1
–b
2a : Elipsin küçük eksen uzunlu€u
2b : Elipsin büyük eksen uzunlu€u
279
x
ELİPS
ÖRNEK – 1
ÖRNEK – 3
2
y
x2
+
= 1 elipsinin grafiğini çizerek eksen
25 16
uzunluklarını bulalım.
ÇÖZÜM
2x2 + y2 = 40 elipsinin grafiğini çizelim.
-:
ÇÖZÜM
a2 = 25 ⇒ a = ±5 ve
b2
= 16 ⇒ b = ±4 olup,
Denklem düzenlenirse,
a > b olduğundan elips yatay elipstir.
y2
x2
+
= 1 şeklinde yazılabilir.
20 40
y
4
Böylece,
a2 = 20 ⇒ a = ± 2 5 ve
x
5
O
–5
-:
b2 = 40 ⇒ b = ± 2 10 olup,
–4
b > a olduğundan elips düşey elipstir.
Büyük eksen uzunluğu : 10 birim
b2 = a2 + c2 eşitliğinden,
Küçük eksen uzunluğu : 8 birim dir.
40 = 20 + c2 ⇒ c = ± 2 5 tir.
O halde elipsin grafiği aşağıdaki gibi olur.
ÖRNEK – 2
2
y
x2
+
= 1 elipsinin grafiğini çizerek eksen
12 28
uzunluklarını bulalım.
ÇÖZÜM
y
2 10
F1 2 5
-:
a2 = 12 ⇒ a = ± 2 3 ve
2 5
O
–2 5
x
b2 = 28 ⇒ b = ± 2 7 olup,
F2 –2 5
y
–2 10
2 7
–2 3
O
2 3
x
NOT :
–2 7
Elipsin odaklar› uzun eksen üzerinde bulunur.
Büyük eksen uzunluğu : 4 7 birim
Küçük eksen uzunluğu : 4 3 birim dir.
280
ELİPS
Elipsin D›fl Merkezli€i
ÖRNEK – 4
Elipste sabit bir noktaya (F) olan uzakl›€›n sabit
bir do€ruya (l) olan uzakl›€a oran› olan d›fl merkezli€i,
odaklar aras› uzakl›€›n büyük eksen uzunlu€una oran›
olarakta ifade edebiliriz.
2
x2 y
+
= 1 elipsinin grafiğini çizelim.
4
16
ÇÖZÜM
-:
O halde,
2
x2 y
+
= 1 elipsinde,
16
4
Yatay elipste;
y
a2 = 16 ⇒ a = ± 4 ve
b2 = 4 ⇒ b = ± 2 olup,
b
–c
a2 = b2 + c2 eşitliğinden,
16 = 4 +
c2
–a
F2
⇒ c = ± 2 3 tür.
c
F1
O
x
a
–b
O halde elipsin grafiği aşağıdaki gibi olur.
y
d›fl merkezlik e =
2
–2 3
–4
F2
2 3
O
F1
x
4
2c
c
= <1
a
2a
Düfley elipste;
y
–2
b
c F1
–a
NOT :
O
a
–c F2
Düzlemde bir çemberin içindeki bir noktadan
geçen ve çembere te€et olacak flekilde çizilen çemberlerin merkezlerinin geometrik yeri bir elipstir.
–b
d›fl merkezlik e =
Ç
E
P
Yukar›da Ç çemberine içten te€et olup, P noktas›ndan geçen çemberlerin merkezleri birlefltirilirse,
E elipsi elde edilir.
281
2c
c
=
<1
2b
b
x
ELİPS
ÖRNEK – 1
ÖRNEK – 2
9x2 + 16y2 = 144 elipsinin dış merkezliğini bulalım.
ÇÖZÜM
8x2 + 3y2 = 24 elipsinin dış merkezliğini bulalım.
-:
ÇÖZÜM
Eşitliğin her iki yanı 144'e bölünürse,
2
-:
y2
x
+
= 1 elde edilir.
16
9
2
x2 y
+
3
8
Böylece,
a2 = 16 ⇒ a = ±4 ve
Böylece,
b2 = 9 ⇒ b = ±3 olup,
a2 = 3 ⇒ a = ± 3 ve
b2 = 8 ⇒ b = ± 2 2 olup,
a2 = b2 + c2 eşitliğinden,
7 dir.
16 = 9 + c2 ⇒ c = ±
O halde elipsin grafiği;
8 = 3 + c2 ⇒ c = ± 5 tir.
y
3
– 7
–4
F2
O halde elipsin grafiği;
7
O
F1
4
x
y
2 2
–3
F1
e = d›fl merkezlik =
– 3
odaklar aras› uzakl›k
c
=
a
büyük eksen uzunlu¤u
5
O
3
x
F2 – 5
7
c
bulunur.
e=
& e=
a
4
–2 2
d›fl merkezlik =
e=
282
büyük eksen uzunlu¤u
5
c
=
& e=
b
2 2
10
bulunur.
4
ELİPS
Elipsin Do€rultmanlar›
O halde, elipsin bir do€rultman› x =
Hat›rlayal›m; Bir konikte sabit bir noktaya olan
uzakl›€›n, sabit bir do€ruya olan uzakl›€a oran›na d›fl
merkezlik (e) demifltik.
Ayn› flekilde di€er do€rultman›nda,
x=–
(Sabit nokta F : odak, sabit do€ru : do€rultman,
sabit oran : e d›fl merkezlik)
a2
oldu€u bulunabilir.
c
y
b
–c
y
–a
F2
–a
a2
–
c
O
F1
a
a2
c
H
c
F1
O
c
F2
–b
P
–c
1
2
O halde yatay elips için do€rultmanlar› bulal›m.
b
a2
bulunur.
c
x=–
x
a
a2
c
x=
l1 ve l2 : elipsin do€rultmanlar›
–b
d (P, F1)
d (P, H)
=e=
c
a
olacak flekilde l do€rusunu ar›yoruz.
Bu oran nas›l olsa de€iflmeyecek.
Düşey Elipsin Doğrultmanları
O halde de€iflken P noktas›n› özel bir noktaya
öteleyerek do€rultman›n denklemini bulal›m.
1
y
x0
b K
–c
F2
c
F1
O
a
x0
y
x
–a
a
x
F2 –c
–b
2
–
KF1
c
=e=
olaca€›ndan,
a
KH
a2
y=–
c
l1 ve l2 : elipsin do€rultmanlar›
a
c
a2
=
eflitli€i ile x 0 =
bulunur.
x0
a
c
283
b2
c
F1 c
–b
Böylece,
y=
b
H
a
–a
a2
c
b2
c
a2
c
x
ELİPS
ÖRNEK – 1
ÖRNEK – 2
2
x2 y
+
= 1 elipsinin doğrultmanlarını bulup
25
9
grafikte gösterelim.
ÇÖZÜM
9x2 + 4y2 = 36 elipsinin doğrultmanlarını bulup
grafikte gösterelim.
-:
ÇÖZÜM
-:
2
x2 y
+
= 1 elipsinde,
25
9
2
x2 y
+
4
9
a2 = 25 ⇒ a = ± 5 ve
b2 = 9
⇒ b = ± 3 olup,
Böylece,
a2 = 4 ⇒ a = ± 2 ve
a2
+
c2
25 = 9 +
c2
=
b2
eşitliğinden,
b2 = 9 ⇒ b = ± 3 olup,
⇒ c = ± 4 tür.
O halde elipsin doğrultmanları,
a2
25
x=±
⇒ x=±
doğrularıdır.
c
4
9 = 4 + c2 ⇒ c = ± 5 tir.
Tüm bunları şekle aktaralım.
y
do¤rultman
O halde elipsin doğrultmanları,
do¤rultman
y=±
3
–5
x
5
O
9
b2
⇒ y=±
doğrularıdır.
c
5
Tüm bunları şekle aktaralım.
–3
x=–
25
4
x=
y
do¤rultman
25
4
y=
3
F1
–2
9
5
5
O
2
x
F2 – 5
do¤rultman
Elips modelinden esinlenerek yap›lm›fl bir mimari.
284
–3
y=–
9
5
ELİPS
ÖRNEK – 2
x2
+
a2
y2
b2
0 ≤ θ < 2π olmak üzere parametrik denklemi,
= 1 elipsinin parametrik denklemi,
x = 4cosθ
y = 5sinθ
x = acosα
olan elipsin standart denklemini bulal›m.
y = bsinα fleklinde yaz›labilir.
ÇÖZÜM
-:
x = 4cosθ ⇒ cosθ =
y = 5sinθ ⇒
sinθ =
x
4
y
4
ve
cos2θ + sin2θ = 1 oldu€undan,
y2
x2
+
= 1 elips denklemi elde edilir.
16 25
ÖRNEK – 1
y
A
A ∈ Oy
2
B ∈ Ox
|AP| = 2 birim
|PB| = 3 birim
P(x, y)
3
O
B
x
ÖRNEK – 3
Buna göre, P(x, y) noktalar›n›n oluflturaca€›
fleklin denklemini bulal›m.
0 ≤ θ < 2π olmak üzere parametrik denklemi,
x = 2 – 3cosθ
y = 5 + 4sinθ
-
ÇÖZÜM
olan elipsin standart denklemini bulal›m.
:
y
cosα =
A
2
y
O
sinα =
P(x, y)
x
y
x
2
y
ÇÖZÜM
x = 2 – 3cosθ ⇒ cosθ =
3
3
x
-:
y = 5 + 4sinθ ⇒ sinθ =
B
x
y–5
4
ve
cos2θ + sin2θ = 1 oldu€undan,
(x – 2) 2
cos2α + sin2α = 1 oldu€undan,
9
2
x2 y
+
4
9
285
x–2
–3
+
(y – 5) 2
16
ELİPS
1.
4.
y
y
3
x
5
F2
–3
O
x
F1
–4
Elipsin denklemi =.......................
2.
TF1 + TF2 = 14
T
4
O
–5
F1, F2 odak
5.
y
y
F1, F2 odak
6
F1
6
O
–4
4
O
x
4
x
F2
–6
3.
y
F
6.
y
F odak
O
x
F2 O
F1, F2 odak
3
5
F1
y = 2x + 6
286
x
ELİPS
1.
4.
y
y
F odak
4y + 3x – 12 = 0
O
x
F
x
O
y + 3x – 3 = 0
2.
5.
y
y
F1, F2 odak
F odak
Ç(PF1F2) = 14 br
P
5
F2 O
x
F1
6.
y
y
F1, F2 odak
TF2 – TF1 = 8
F2
F1
O
7
x
F1, F2 odak
9
F2
x
F1
O
–15
P
T
–9
Ç(PF1F2) =.....................
TF2 =...........................
287
4
F
3.
3
O
15
x
ELİPS
1.
4.
y
y
F1, F2 odak
AC = CD
A
A
O
F2
x
B
F1
B
O
9x2 + 25y2 = 225
2x2 + ay2 = 128
BC =...........................
A(AF1B) =.......................
2.
5.
y
y
F1, F2 odak
A 15
6
B
–17
F2
x
D
C
O
F1
–10
F2
KF1 =...........................
A(ABF1) =.......................
6.
y
y
F1, F2 odak
B
F1
O
F1, F2 odak
13
F1
F2
x
10
F1
–6
–15
3.
K
O
x
17
F1, F2 odak
K
O
x
–5
5
F2
9x2 + y2 = 81
–13
KF1 =...........................
BF1 =...........................
288
x
ELİPS
1.
4.
y
A
y
F1 odak
5
K
O
F1
ABCD dikdörtgen
D
B
C
O
x
–5
x
A
B
4x2 + 5y2 = 40
Taral› alan = ......................
A(KAB) = ......................
2.
5.
y
y
F odak
5y + 4x – 20 = 0
K
A
O
B
F
x
x
O
3x2 + 4y2 = 12
Taral› alan = ......................
A(KAF) = .......................
3.
y
6.
F odak
y
A
x2 y2
=1
+
9 25
B
A›
A
O
F
B›
B
x
x2
y2
=1
+
100 64
D
C
Taral› alan = ......................
cos = .........................
289
O
x
ELİPS
1.
4.
y
y
5
6
O
–10
O
x
10
–3
3
x
–6
–5
Elipsin do¤rultmanlar› = .................
Elipsin d›fl merkezli¤i = ..................
2.
5.
y
y
F1, F2 odak
F1, F2 odak
Ç(TF1F2) = 26 br
T
F1
6
F2
O
3
x
F1
O
F2
y
8
3.
x
6.
y
: (x, y) = (4, –6) + k(3, –4)
F1, F2 odak
F odak
F
O
F2
O
F1
x
290
2
3
x
TEST
ELİPS
2
x2 y
+
=1
25 16
1.
A) 8
B) 9
2
x2 y
+
=1
36 25
5.
Elipsinin asal eksen uzunluğu kaç birimdir?
C) 10
D) 11
Elipsine ait en en uzak iki nokta arasındaki
uzaklık kaç birimdir?
E) 12
A) 12
2
x2 y
+
=1
36
9
2.
6.
Elipsinin yedek eksen uzunluğu kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
B) 2 19
D) 2 15
4.
16x2
+
9y2
E) 8
9x2 + y2 = 36
Elipsinin odağından geçen en uzun kirişi kaç
birimdir?
C) 70
E) 2 77
A) 8
8.
= 144
B) 7
D) 2 7
D) 9
16x2 + 25y2 = 400
7.
(x – 5) 2
3
B) 10
+
(y + 2) 2
433
C) 12
D) 14
E) 16
=1
Elipsinin merkezinin koordinatları toplamı
kaçtır?
Elipsinin odaklar arası uzaklığı kaç birimdir?
A) 6
C) 10
A) (± 1, 0)
B) (± 2, 0)
C) (± 3, 0)
D) (0, ± 4)
E) (± 4, 0)
E) 7
Elipsinin odaklar arası uzaklığı kaç birimdir?
A) 77
B) 11
Elipsinin odaklarının koordinatları nedir?
2
x2 y
+
=1
4
81
3.
1
C) 2 6
A) 3
E) 4 2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
291
1. C
2. D
3. E
4. D
5. A
6. A
7. C
8. A
TEST
ELİPS
(x – 8) 2
9.
25
+
(y – 17) 2
16
12.
=1
y
B) 40
C) 44
D) 48
|BF1| = 4 birim
|AF1| = 3 birim
B
Elipsinin odaklarının koordinatları toplamı
kaçtır?
A) 36
1
4
A›
E) 50
3
F2
O
A
F1
x
B›
Odakları F1 ve F2 olan şekildeki merkezil elipsin denklemi nedir?
10.
[KF2] ⊥ [AA›]
y
B
K
A›ı
|KF2| = 2 birim
|AA›| = 8 birim
F2
O
F1
x
A
A)
2
x2 y
+
=1
16 15
B)
2
x2 y
+
=1
12
8
C)
2
x2 y
+
=1
16 14
D)
2
x2 y
+
=1
16 10
E)
B›
2
x2 y
+
=1
16 13
Yukarıda odak noktaları F1 ve F2 olan merkezil
elips çizilmiştir.
Buna göre, odaklar arası uzaklık kaç birimdir?
A) 2 3
B) 2 5
C) 2 6
11.
D) 4 2
E) 6
13. Odak noktaları F1(2, – 9) , F2(3, – 5) olan elips
K(– 3, 3) noktasından geçtiğine göre bu elipsin asal eksen uzunluğu kaç birimdir?
y
B
A) 23
A›
A
B) 24
C) 25
D) 26
E) 27
x
O
B›
Denklemi,
2
x2 y
+
= 1 olan elips ve elipsin A ve
9
16
B köşelerinden geçen l doğrusu çizilmiştir.
14. Merkezi M(– 3, 4) ve bir odağı F(1, 1) olan elipsin yedek eksen uzunluğu 24 birim olduğuna
göre, asal eksen uzunluğu kaç birimdir?
Buna göre, orijinin bu doğruya uzaklığı kaç
birimdir?
A)
4
5
B)
6
5
C)
8
5
D)
12
5
E)
24
5
A) 24
B) 25
C) 26
D) 28
E) 30
292
9. E
10. D
11. D
12. A
13. A
14. C
TEST
ELİPS
1.
y
B
A›
4.
ax + y – 4 = 0
2
9x2 + 16y2 = 144
Elipsinin doğrultman doğrularından birinin
denklemi nedir?
C
A
O
F
A) x =
x
14
B) x =
7
15
7
D) 7
B›
C) x =
16
7
E) 2 6
Yukarıda denklemi, ax + y – 4 = 0 olan do€ru
odaklar›ndan birisi F noktas› olan elipsin A›
ve B köflelerinden geçti€ine göre, ACA› üçgensel bölgesinin alan› kaç birimkaredir?
A) 4
B) 6
C) 8
D)12
5.
E) 16
b2x2 + a2y2 = a2b2 elipsinde F(± c, 0) odak noktasıdır.
c
3
ve a – b = 2 olduğuna göre, a kaçtır?
=
a
5
A) 6
( x – 4) 2
2.
16
+
( y – 2) 2
49
B) 20
C) 22
C) 8
D) 9
E) 10
=1
Elipsinin köşelerinin koordinatları toplamı
kaçtır?
A) 18
B) 7
D) 24
6.
E) 26
x = 4sinα
y = 6cosα
Eşitlikleri ile ifade edilen elipsin denklemi nedir?
A) 2x2 + 3y2 = 36
C)
9x2
+
4y2
B) 5x2 + 4y2 = 72
D) 4x2 + 9y2 = 144
= 144
E) 4x2 + 9y2 = 148
3.
F1(– 3, 0) ve F2(3, 0) noktalarına uzaklıkları
toplamı 10 birim olan noktaların geometrik yerinin denklemi nedir?
7.
A) 16x2 + 25y2 = 400
B) 25x2 + 16y2 = 360
C) 16x2 + 25y2 = 320
Denklemi 16y2 + 49x2 = 784 olan elips yayı üzerinde herhangi iki nokta A ve B olsun.
|AB| en fazla kaç birim olur?
D) 25x2 + 16y2 = 320
A) 2 3
E) 12x2 + 25y2 = 360
B) 4 3
C) 12
D) 14
E) 16
293
1. E
2. D
3. A
4. C
5. E
6. C
7. D
TEST
ELİPS
8.
11. Köşeleri 2x2 + 3y2 = 10 elips yayı üzerinde
bulunan karenin bir kenar uzunluğu kaç birimdir?
y
B
B) 2
A) 1
A›ı
2
F2ı O
A
F1
C) 2 2
D) 2 3
E) 4
x
B›
x 2 y2
+
=1
a
36
12. Köşeleri
F1 ve F2 odak noktaları olduğuna 1 BO, BF2 2
kaçtır?
2
x2 y
+
= 1 elips yayının üzerinde
25 16
bulunan bir ABC üçgensel bölgesinin alanı en
fazla kaç br2 dir?
A) 6
B) 12
C) 24
D) 36
E) 42
A) 15 3
B) 18 3
D) 2 3
9.
E) 22 3
13.
y
y
1
B
B
D
C) 20 3
2
A›
O
F2
E
F1
A
x
A ›ı
O
B›ı
B›
Yukarıda odak noktaları F1 ve F2 ve
denklemi 9x2 + 25y2 = 225 olan elips çizilmiştir.
Yukarıda denklemi 4x2 + y2 = 16 olan elipste
köşelerden geçen l1 ve l2 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Buna göre, DF1EF2 dörtgeninin çevresi kaç
birimdir?
A) 14
B) 15
C) 17
D) 18
E) 20
A) 3 5
B)
D)
10.
x
A
x2 – xy + 3y2 – x + 5y + 1 = 0
14.
fleklinde verilen ikinci dereceden denklem
afla€›dakilerden hangisidir?
A) Hiperbol
B) Çember
C) Elips
D) Paralel iki do€ru
11 5
C) 2 5
5
9 5
E)
5
8 5
5
x2 + xy + 5y2 + x – 4y + 3 = 0
fleklinde verilen ikinci dereceden denklem
afla€›dakilerden hangisidir?
A) Hiperbol
C) Elips
E) Kesiflen iki do€ru
B) Parabol
D) Çember
E) Nokta
294
8. D
9. E
10. C
11. C
12. A
13. E
14. C
ELİPS
Bir Elipse Üzerindeki Bir Noktadan Çizilen
Teğet Doğrusunun Denklemi
x2
a
2
+
y
ÖRNEK – 2
3x2 + 4y2 = 16 elipsine A(2, –1) noktasından
çizilen teğet doğrusunun denklemini bulalım.
2
b2
= 1 elipsine üzerindeki A(x0, y0) nokta-
sından çizilen teğet doğrusu l olsun.
ÇÖZÜM
A(x0, y0)
-:
(2, –1) noktas› 3x2 + 4y2 = 16 elipsin denkleminde yerine yaz›ld›€›nda eflitlik sa€lanaca€›ndan nokta
elips yayı üzerindedir.
x2 y2
+
=1
a2 b2
y
3x2 + 4y2 = 16
l doğrusunun denklemi,
3x – 2y = 8
x 0 .x
a
2
+
y 0 .y
b
2
=1
x
O
A(2, –1)
ya da
b2 . x0 . x + a2 . y0 . y = a2b2
O halde, teğet doğrusunun denklemi,
3 . 2 . x + 4(–1) . y = 16 ⇒ 3x – 2y = 8 bulunur.
yazılabilir.
ÖRNEK – 3
ÖRNEK – 1
x2 + 2y2 = 34 elipsine üzerine A(4, k) noktasından çizilen teğet doğrularının denklemini bulalım.
4x2 + 5y2 = 24 elipsine üzerindeki A(1, 2)
noktas›ndan çizilen te€et do€rusunun denklemini
bulal›m.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
-:
-:
A(4, k) noktası denklemi sağlayacağından,
4 . 1 . x + 5 . 2 . y = 24 → 2x + 5y = 12
42 + 2 . k2 = 34 ⇒ k = ±3 bulunur.
y
O halde,
A(1, 2)
x2 + 2y2 = 34 elipsine A(4, ±3) noktalarından çizilen teğetlerin denklemleri,
2x + 5y = 12
O
x
4x + 2(±3)y = 34 eşitliğinden,
2x + 3y = 17 ve 2x – 3y = 17 denklemleridir.
295
ELİPS
x2
+
a2
y2
= 1 elipsini v = (p, q) doğrultusunda
b2
ötelersek merkezcil olmayan,
merkezi M(p, q) olan,
(x – p) 2
a2
+
(y – q) 2
= 1 elipsini elde ederiz.
b2
(p, q + b)
y
(p – a, q)
q
M
(p, q)
b
–a
(a + p, q)
(p, q – b)
a
O
p
ÖRNEK – 2
x
(x – 2) 2
–b
25
+
(y + 4) 2
9
= 1 elipsinin,
a)
Merkezinin koordinatlarını
b)
Odaklarının koordinatlarını
bulalım.
ÇÖZÜM
a)
ÖRNEK – 1
b)
2
2
y
x
+
= 1 elipsinin u = (2, 1) doğrultusun25 16
-:
x–2=0 & x=2
y + 4 = 0 & y = –4
(x – 2) 2
25
+
(y + 4) 2
9
4 Merkezi M (2, –4)
= 1 elipsi
2
x2 y
+
=1
25
9
elipsin v = (2, –4) doğrultusunda ötelenmişidir.
da ötelenmişinin denklemini bulalım.
O halde,
2
x2 y
+
= 1 elipsinin odaklarının koor25
9
dinatlarını v = (2, –4) doğrultusunda öteleyelim.
ÇÖZÜM
-:
a = 5, b = 3 olup a2 = b2 + c2 eşitliğinden,
2
y
x2
+
= 1 elipsinin u = (2, 1) doğrultusunda
25 16
52 = 32 + c2 ⇒ c = ±4 ve a > b olduğundan elips
yatay elipstir.
ötelenmişi elipsin 2 birim sağa (→) ve 1 birim yukarıya (↑)
ötelenmişidir.
Bu durumda odaklar F1(4, 0) ve F2(–4, 0) olup,
O halde,
(x – 2) 2
25
+
(y – 1) 2
16
v = (2, –4) doğrultusunda ötelersek,
= 1 denklemi elde edilir.
F 1› = (6, –4) ve F 2› = (–2, –4) bulunur.
296
HİPERBOL
Hiperbol
Düşey hiperbolde ;
y
Düzlemde sabit iki noktaya uzakl›klar› fark›n›n
sabit oldu€u noktalar›n geometrik yerine hiperbol denir.
c F1
Sabit noktalar hiperbolün odaklar›d›r. (F1, F2)
P(x, y)
b
[F1F2] nin orta noktas›na hiperbolün merkezi denir.
O
–a
Sabit uzakl›k 2a olarak seçilir.
x
a
–b
–c F2
d (P, F2) – d (P, F1) = 2b eşitliğinden,
gerekli düzenlemeler yapılırsa,
y2
b2
–
x2
a2
= 1 eşitliği elde edilir.
(Buradan c2 = a2 + b2 dir.)
Yatay hiperbol ;
y
P(x, y)
–c
F2
c
–a
O
a
F1
x
Hiperbolün Eksen Uzunlukları
d (P, F2) – d (P, F1) = 2a eşitliğinden,
x2
a2
–
y2
b2
Yatay hiperbolde;
y
b
(Burada c2 = a2 + b2 dir.)
–c
F2
c
–a
O
a
–b
x2
a2
–
y2
b2
= 1 (c 2 = a 2 + b 2)
2a : Asal eksen uzunlu€u
2b : Yedek eksen uzunlu€u
297
F1
x
HİPERBOL
Düşey Hiperbolde ;
Böylece hiperbolün ekseni y ekseni olduğundan
grafiği aşağıdaki gibidir.
y
y
F1 c
F1 4
b
O
–a
a
10
x
– 6
–b
b2
x2
–
a2
x
– 10
F2 –4
F2 –c
y2
6
O
Yukarıdaki hiperbolün,
2
2
2
= 1 (c = a + b )
Asal eksen uzunluğu : 2 10 birim ve
Yedek eksen uzunluğu : 2 6 birim dir.
2b : Asal eksen uzunlu€u
2a : Yedek eksen uzunlu€u
ÖRNEK – 2
y2
x2
–
= 1 hiperbolünün grafiğini çizelim.
16
9
NOT :
Odakların bulunduğu eksen asal eksendir.
ÇÖZÜM
-:
y2
x2
= 1 hiperbolünde,
–
16
9
a2 = 16 ⇒ a = ±4 ve
b2 = 9 ⇒ b = ±3 olup,
ÖRNEK – 1
c2 = a2 + b2 eşitliğinden,
c2 = 16 + 9 ⇒ c = ±5 tir.
3y2
ÇÖZÜM
–
5x2
= 30 hiperbolünün grafiğini çizelim.
Böylece hiperbolün grafiği aşağıdaki gibidir.
y
-:
3
y
2
10
–
F2
x2
6
–5
–4
4
O
F1
5
–3
Böylece,
a2 = 6 ⇒ a = ±
b2 = 10 ⇒ b = ±
6 ve
Yukarıdaki hiperbolün,
10 olup,
Asal eksen uzunluğu : 8 birim ve
c2 = 6 + 10 ⇒ c = ± 4 tür.
Yedek eksen uzunluğu : 6 birim dir.
298
x
HİPERBOL
Hiperbolün Dış Merkezliği
Örneğin ;
y
Yatay Hiperbolde;
y
F1
b
c
–c
O
–a
F2
a
O
x
F1
A1
x.y=a
x
A2
–b
F2
x2
a2
e=
y2
–
b2
= 1 hiperbolünde d›fl merkezlik
e=
c
odaklar aras›ı
uzakl›k
2c
= > 1 dir.
=
a
2a
asal eksen uzunlu¤u
d (F1, F2)
d (A 1, A 2)
dir.
Düşey Hiperbolde;
y
F1 c
b
–a
O
a
x
ÖRNEK – 1
–b
y2
x2
–
= 1 hiperbolünün dış merkezliğini
5
20
F2 –c
bulalım.
y2
b2
–
x2
a2
= 1 hiperbolün d›fl merkezli¤i
ÇÖZÜM
2c
c
e=
=
> 1 dir.
2b
b
-:
a2 = 20 ⇒ a = ± 2 5 ve
b2 = 5 ⇒ b = ±
5 olup,
NOT :
c2 = 20 + 5 ⇒ c = ± 5 tir.
Hiperbolün şekli nasıl olursa olsun,
dış merkezlik = e =
Böylece hiperbolün ekseni x ekseni olduğundan
dış merkezlik,
>1
asal eksen uzunlu¤u
e=
olduğu unutulmamalıdır.
299
c
5
bulunur.
=
a
2 5
HİPERBOL
O halde P noktas›n› özel (yeri bilinen) bir noktaya
öteleyelim.
ÖRNEK – 2
3y2 – 2x2 = 36 hiperbolünün dış merkezliğini
bulalım.
ÇÖZÜM
y
-:
b
y
2
12
–
x0 P
a
–c
2
x
18
O
–a
F2
c
F1
x
–b
Buna göre,
do¤rultman
a2 = 18 ⇒ a = ± 3 2 ve
b2 = 12 ⇒ b = ± 2 3 olup,
Böylece
d (P, F1)
d (P, ,)
=
c
olacağından,
a
c–a
c
=
eşitliği ile
a – x0
a
c2 = 18 + 12 ⇒ c = ± 30 dur.
Böylece hiperbolün asal ekseni y ekseni olduğundan,
e=
30
c
& e=
=
b
2 3
ac – cx0 = ac – a2 ⇒ x 0 =
a2
bulunur.
c
a2
doğO halde hiperbolün bir doğrultmanı x =
c
rusudur.
10
bulunur.
2
Aynı şekilde diğer doğrultmanında,
x= –
Hiperbolün Doğrultmanları
a2
olduğu bulunabilir.
c
Hatırlayalım :
Bir konikte sabit bir noktaya olan uzaklığın sabit
bir doğruya olan uzaklığa oranına dış merkezlik (e)
demiştik.
y
2
Sabit nokta : F (odak)
1
c
–c
Sabit doğru : l (doğrultman)
F2
O
–a
a
F1
Sabit oran : e (dış merkezlik)
O halde, yatay hiperbol için doğrultmanları bulalım.
y
b
x=–
c
–c
F2
–a
O
a
F1
x=
a2
c
l1 ve l2 : hiperbolün do€rultmanlar›
P(x, y)
H
a2
c
x
–b
d (P, F1)
d (P, H)
=e=
c
a
NOT :
olacak şekilde l doğrusunu arıyoruz.
x . y = k denklemi bir hiperbol belirtir.
Bu oran nas›l olsa de€iflmeyecek!
300
x
HİPERBOL
Düşey hiperbolün doğrultmanları;
ÖRNEK – 2
y
3y2 – 2x2 = 24 hiperbolünün doğrultmanlarını
bulalım.
b
y=
2
–a
1
y=–
–b
-:
ÇÖZÜM
x
a
O
b2
c
y2
b2
c
8
–
x2
12
Buna göre,
a2 = 12 ⇒ a = ± 2 3 ve
b2
l1 : y =
ve
c
b2 = 8 ⇒ b = ± 2 2 olup,
b2
l2 : y = –
c
c2 = 12 + 8 ⇒ c = ± 2 5 tir.
hiperbolün doğrultmanlarıdır.
Böylece hiperbolün ekseni y ekseni olduğundan,
ÖRNEK – 1
doğrultman doğruları y = ±
y2
x2
= 1 hiperbolünün doğrultmanlarını
–
14 11
O halde doğrultmanlar;
y=±
bulalım.
ÇÖZÜM
8
2 5
=!
4 5
doğrularıdır.
5
-:
y
a2 = 14 ⇒ a = ±
14 ve
b2 = 11 ⇒ b = ±
11 olup,
F1 2 5
c2
b2
şeklindedir.
c
2 2
y=
= 14 + 11 ⇒ c = ± 5 tir.
Böylece hiperbolün ekseni x ekseni olduğundan,
doğrultman doğruları x = ±
–2 3
a2
şeklindedir.
c
O halde doğrultmanlar; x = ±
O
2 3
–2 2
14
doğrularıdır.
5
4 5
5
x
4 5
y=–
5
F2 –2 5
y
11
F2
–5
F1
– 14
O
14
5
x
NOT :
– 11
14
x=–
5
Hiperbolün iki tane simetri ekseni vard›r ve merkezine göre 180° dönme simetrisine sahiptir.
14
x=
5
301
HİPERBOL
Hiperbolün Asimptotları
ÖRNEK – 1
Hiperbolün kollarına sonsuzda teğet olan ve orijinden geçen doğrulara hiperbolün asimptotları denir.
x2 – 3y2 = 7 hiperbolünün asimptotlarını bulalım.
ÇÖZÜM
Yatay hiperbol ;
y
7 yerine 0 yazalım.
b
c
a
–a
F2
1
x2 – 3y2 = 0 ⇒ y = ±
O
–c
-:
F1
3
x
O halde,
x
y=
–b
1
x ve y = –
3
1
3
x
doğruları hiperbolün asimptotlarıdır.
y=bx
a
Asimptotlarla birlikte hiperbolün grafiği;
y=– bx
a
y=–
b
Yatay hiperbolün asimptotları y = ! x dir.
a
y
1
3
Düşey hiperbol ;
30º
y
O
y=
1
3
30º
x
y=bx
a
F1
b
O
–a
a
x
ÖRNEK – 2
–b
F2
y=– bx
a
Düşey hiperbolün asimptotları y = !
A(k, 2) noktas›
asimptotları üzerinde oldu€una göre, k nin de€erlerini bulalım.
b
x dir.
a
ÇÖZÜM
¸
Pratik Bilgi
f
a2
–
y2
b2
-:
2
x2 y
= 1 hiperbolünün asimptotlar›,
–
4
6
y=±
Bir hiperbolün denkleminde eşitliğin sağ tarafı 0 yapılırsa,
x2
2
x2 y
–
= 1 hiperbolünün
4
6
6
x do€rular› olup,
2
A(k, 2) noktas› denklemi sa€lar.
= 1denkleminde 1yerine 0 yaz›l›rsa p
O halde,
asimptotların denklemleri bulunur.
2= ±
302
6
4
k ⇒ k=±
bulunur.
2
6
HİPERBOL
d(F , l) =
ÖRNEK – 3
3y2
–
12x2
3.5 – 4.0
2
3 +4
2
= 25 hiperbolünün asimptotlarını
15
= 3 birim bulunur.
5
y
bulalım.
ÇÖZÜM
=
-:
y=
4x
3
H
3
3 birim
25 yerine 0 yazalım.
–4
3y2 – 12x2 = 0 ⇒ y = ± 2x
x
F
4
–3
O halde, y = 2x ve y = –2x
doğruları hiperbolün asimptotlarıdır.
Asimptotlarla birlikte hiperbolün grafiği;
y
y = –2x
¸
y = 2x
x2
a2
O
Pratik Bilgi
–
y2
b2
= 1 hiperbolünde odaklardan birinin
asimptotlardan birine uzaklığı |b| birimdir.
x
ya da
y2
b2
–
x2
a2
= 1 hiperbolünün odaklarından birinin
asimptotlarından birine uzaklığı |a| birimdir.
y
b
ÖRNEK – 4
H
b
O
–a
a
2
y
x2
= 1 hiperbolünde odaklardan birinin
–
16
9
asimptotlardan birine uzaklığını bulalım.
x
F
–b
Yatay hiperbol
ÇÖZÜM
-:
y
a2 = 16 ⇒ a = ±4 ve b2 = 9 ⇒ b = ±3 olup,
F
a
c2 = 16 + 9 ⇒ c = ±5 olup,
Hiperbolün asimptotları y = ±
b
–a
–b
Hiperbol yatay hiperbol olduğundan bir odak noktasının koordinatları F(5, 0) dır.
3x
O halde, F(5, 0) noktasının y =
. . . (,) doğrusu4
nun uzaklığını arıyoruz.
Düfley hiperbol
303
b
x
a
H
O
3
x . (l) bulunur.
4
y=
a
x
HİPERBOL
İkizkenar Hiperbol
x2
y2
a2
–
=
ya da
kenar hiperbol denir.
y2
–
x2
=
a2
ÇÖZÜM
-:
y2
x2
= 1 şeklinde yax2 – y2 = 12 denklemi,
–
12 12
zılabilir.
hiperbolüne ikiz-
a2 = 12 ⇒ a = ± 2 3 ve
b2 = 12 ⇒ b = ± 2 3 olup,
y
a
F2
–a 2
F1
–a
a
c2 = 12 + 12 ⇒ c = ± 2 6 dır.
x
Böylece hiperbolün ekseni x ekseni olduğundan
grafiği aşağıdaki gibidir.
a 2
–a
y
Yatay hiperbol
2 3
–2 6
y
F2
–2 3
2 3
F1 a 2
O
–a
2 6
O
F1
x
–2 3
a
–a
a
x
Böylece hiperbolün,
a)
Asal eksen uzunluğu |2a| = 4 3 birim
b)
Yedek eksen uzunluğu |2b| = 4 3 birim
c)
Dış merkezliği e =
2 6
c
=
= 2
a
2 3
d)
Asimptotları y = ±
b
x ⇒ y = ±x tir.
a
F2 –a 2
Düfley hiperbol
ÖRNEK – 1
x2 – y2 = 12 hiperbolünün,
a)
b)
c)
d)
NOT :
Asal eksen uzunluğunu
Yedek eksen uzunluğunu
Dış merkezliğini
Asimptotlarını
bulalım.
304
2 dir.
ü
Bir ikizkenar hiperbolün dış merkeliği e =
ü
Bir ikizkenar hiperbolün asimptotları y = ±x
doğrularıdır.
HİPERBOL
Hiperbolün Parametrik Denklemi
x2
–
a2
y2
b2
ÖRNEK – 2
0 ≤ α < 2π olmak üzere parametrik denklemi,
= 1 hiperbolü ve 1 + tan2α = sec2α
x = 1 + 2tanα ve y = 3 – 4secα
özdeşliği birlikte düşünülürse,
1 + tan2α = sec2α ↔ 1 +
y
b
= tana ve
y2
b
2
=
olan hiperbolün standart denklemini bulalım.
x
2
a2
eşleşmesinden,
ÇÖZÜM
x
= seca yazılabilir.
a
-:
x = 1 + 2tanα ⇒ tanα =
x –1
2
y = 3 – 4secα ⇒ secα =
Böylece,
x
2
a2
–
y2
b2
y–3
–4
1 + tan2α = sec2α eflitli€inden,
= 1 hiperbolünün parametrik denklemi,
1+
x = asecα ve y = btanα şeklinde yazılabilir.
(x – 1) 2
4
(y – 3) 2
16
–
=
(y – 3) 2
16
(x – 1) 2
4
olup,
= 1 hiperbolü elde edilir.
Dikkat edilirse,
(y – 3) 2
16
y2
16
–
–
(x – 1) 2
4
= 1 hiperbolü,
x2
= 1 hiperbolünün
4
v = (1, 3) do€rultusunda ötelenmiflidir.
ARAfiTIRALIM – Ö⁄RENEL‹M
ÖRNEK – 1
0 ≤ a < 2π olmak üzere parametrik denklemi,
Hiperbol, elips ve parabol kadar do€ada ve günlük yaflamda s›k görülen bir e€ri de€ildir. Ama yine de
salonumuzda görme flans›m›z var : Konik bir abajurun
duvarda b›rakt›€› gölge bir hiperboldür.
x = 7tanα ve y = 6secα
olan hiperbolün standart denklemini bulalım.
ÇÖZÜM
-:
tanα =
Alt›gen bir kurflun kalemi kalem traflla açarsan›z da
hiperbolleri görürsünüz.
y
x
ve secα =
olup,
7
6
1 + tan2α = sec2α eşitliğinden
1+
y2
y2
x2
x2
–
=
⇒
=1
36 49
49
36
Çok h›zl› giden bir uça€›n ard›nda b›rakt›€› ses
dalgalar› bir koni biçiminde yay›l›rlar ve yeryüzünün
bir düzlem oldu€unu varsayarsak; ayn› anda yere çarpan ses dalgalar›n›n oluflturdu€u noktalar kümesi bir
hiperbolün parças›d›r.
(M.D. 2005 Yaz Say› : 2)
düşey hiperbolü elde edilir.
305
HİPERBOL
1.
4.
F1 ve F2
hiperbolün odaklar›
y
F1
b
F2
b
F1
O
–a
F1 ve F2
y
a
–a
x
O
a
x
–b
–b
F2
x2 y2
–
=1
25 9
a = ........... , b = ...........
2.
a = ........... , b = ...........
5.
F1 ve F2
y
y2 – x2 = 4
F1 ve F2
y
F1
3
F2
F1
O
–c
c
2
–2
x
O
x
–3
F2
2x2 – 3y2 = 12
c = ...............................
3.
Hiperbolün denklemi = ...................
6.
F1 ve F2
y
F1
F1 5
b
4
a
–a
O
x
x
O
–4
–b
F2
F1 ve F2
y
F2 –5
y2 x2
–
=1
15 8
a = ........... , b = ...........
306
HİPERBOL
1.
4.
F1 ve F2
y
F1 ve F2
y
F1 10
6
F2
F1
–c
c
O
x
x
O
–6
F2 –10
x2 – 3y2 = 48
c = ...............................
2.
D›fl merkezlik = e = .............
5.
F1 ve F2
y
y
b
F2
b
F1
O
–a
a
F2
x
F1
O
–a
a
–b
x
–b
x2 y2
–
=1
25 9
x y . x y
–
+ =1
5 4
5 4
a = ........... , b = ...........
3.
F1 ve F2
D›fl merkezlik = e = .............
6.
F1 ve F2
y
F1 ve F2
y
F1
3
F2
x
O
2
–3
P
F2
F1
O
–2
y2 x2
–
=1
40 20
PF1 – PF2 = ................
D›fl merkezlik = e = .............
307
x
HİPERBOL
1.
4.
F1 ve F2
PF2 – PF1 = 10 birim
y
F1 ve F2
y
P
F2
F1
O
–7
7
F2
x
F1
O
x2 y2
–
=1
a2 b2
x2 y2
–
=1
25 12
a = ........... , b = ...........
2.
Do¤rultmanlar = ....................
5.
F1 ve F2
Ç(PF1F2) = 24 birim
y
x
F1 ve F2
y
F1 6
P
5
F2
F1
O
x
x
O
–5
F2 –6
x2 y2
–
=1
16 9
PF2 = ..........................
3.
Do¤rultmanlar = ....................
6.
F1 ve F2
y
; do¤rultman
F1 ve F2
y
P
H
F2
F1
O
F2
x
F1
O
2x2 – 3y2 = 24
3x2 – 4y2 = 60
PF1
=............................
PH
PF1 – PF2 = .....................
308
P
x
HİPERBOL
1.
4.
F1 ve F2
y
y
F1 ve F2
b
F2
F1
O
–a
–c
a
c
F2
x
F1
O
x
–b
x2 – y2 = 23
x2 – y2 = 16
a = ........... , b = ........... , c = ...........
2.
D›fl merkezlik = ...................
5.
F1 ve F2
y
y
F1
F1 ve F2
P
4
4
–4
F2
x
O
F1
O
x
–4
F2
x2 – y2 = 36
PF2 – PF1 = .....................
3.
6.
F1 ve F2
y
y
F1 ve F2
b
F2
–c
F1
O
–a
a
c
F2
x
F1
O
–b
x2 – y2 = 25
x2 – y2 = 4
a = ........... , b = ........... , c = ...........
Do¤rultmanlar = ....................
309
x
HİPERBOL
1.
y
F2
4.
F1 ve F2
F1
O
y
F2
x
F1
O
Asimptotlar = .....................
: asimptot ise
= .....................
5.
F1 ve F2
y
x
x2 – y2 = 35
9x2 – 25y2 = 225
2.
F1 ve F2
y
F1
F1 ve F2
3
5
–5
O
F2
x
F1
O
x
–3
F2
3x2 – y2 = 12
y = mx
Asimptotlar = .....................
3.
: asimptot ise m = ....................
6.
F1 ve F2
y
y
F1 ve F2
H
F2
F1
O
O
x
F2
x2 y2
–
=1
33 16
4x2 – 9y2 = 36
: asimptot do¤rusunun denklemi = .....................
: asimptot ise F1H = ....................
310
F1
x
TEST
HİPERBOL
1.
|PF2| = 12 br
|A›F2| = 2 br
|PF1| = 4 birim
P
F2ı
A›ı O
y2
x2
–
=1
16
4
5.
y
A
F1
1
Hiperbolünün odaklarının koordinatları nedir?
x
A) (± 2 5 , 0)
B) (± 3 5 , 0)
C) (± 4 5 , 0)
D) (± 5 5 , 0)
E) (± 6 5 , 0)
|F1F2| (odakları arası uzaklık) kaç birimdir?
A) 4
2.
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
A) 8x2 – 16y2 = 123
B) 9x2 – 16y2 = 144
C) 16x2 – 9y2 = 72
D) 12x2 + 15y2 = 125
2
x2 y
–
=1
3
8
6.
Asal eksen uzunluğu 8 birim, yedek eksen
uzunluğu 6 birim olan hiperbolün asal ekseni
x ekseni olduğuna göre, denklemi nedir?
Hiperbolünün odakları arası uzaklığı kaç birimdir?
A) 2 10
E) 3x2 + 4y2 = 215
C) 4 3
D) 2 13
y2
x2
–
=1
25
9
3.
B) 2 11
7.
E) 2 14
3x2 – y2 = 3
Hiperbolünün asal eksen uzunluğu kaç birimdir?
Hiperbolünün asimptotları arasındaki geniş
açının ölçüsü kaç derecedir?
A) 12
A) 105
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
y2
x2
–
=1
25 16
4.
8.
B) 7
C) 8
D) 9
Dış merkezliği
C) 115
D) 120
E) 135
5
ve asal eksen uzunluğu 16
4
birim olan hiperbolün odaklar arası uzaklığı
kaç birimdir?
Hiperbolünün yedek eksen uzunluğu kaç birimdir?
A) 6
B) 110
E) 10
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
311
1. E
2. B
3. C
4. C
5. A
6. B
7. D
8. B
TEST
HİPERBOL
9.
1
13. Parametrik denklemi,
x2 – y2 = 24
Hiperbolünün odakları arası uzaklığı kaç birimdir?
x = 6 tanθ
y = 6 secθ
A) 4 3
olan hiperbolün denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
B) 6 3
D) 10 3
C) 8 3
E) 12 3
A) y2 – 6x2 = 36
B) x2 – 6y2 = 36
C) x2 – 6y2 = 42
D) 6 x 2 – y 2 = 36
6 x 2 = 36
E) y2 –
10.
x2
–
y2
14.
= 36
B) 5
C) 6
D) 7
A)
E) 8
11. Odakları F1(0, 6) ve F2(0, – 6) noktaları olan
ve P(0, – 4) noktasından geçen hiperbolün
denklemi nedir?
A) 5x2 – 14y2 = 146
B) 5x2 – y2 = 160
C) 5y2 – 4x2 = 81
D) 5y2 – 4x2 = 80
2x – 3y
p. f
4
2x + 3y
9
p= 1
hiperbolünün dış merkezliği kaçtır?
Hiperbolünün bir odağının, asimptotlardan birine olan uzaklığı kaç birimdir?
A) 4
f
13
4
B)
13
C)
3
65
4
D)
97
E)
3
77
5
y2
x2
–
=1
25
9
15.
Hiperbolünün asimptotlarından birinin denklemi nedir?
A) 3y = 2x
E) 10y2 – 14x2 = 121
B) 2y = 3x
D) 5y = 3x
C) 3y = 5x
E) 2y = 5x
16. A(– 6, 0) ve B(6, 0) noktaları veriliyor.
|PA| – |PB| = 10 birim
olacak şekilde P(x, y) noktalarının geometrik
yerinin denklemi nedir?
12. Odaklar arası uzaklığı 12 birim olan ikizkenar
hiperbolün denklemi aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A) 11x2 – 25y2 = 275
B) 25x2 – 11y2 = 275
A) y2 – x2 = 18
B) y2 – x2 = 16
C) 12x2 + 16y2 = 265
C) y2 – x2 = 14
D) y2 – x2 = 12
D) 12x2 – 16y2 = 165
E) 15x2 + 16y2 = 124
E) y2 – x2 = 10
312
9. C
10. C
11. D
12. A
13. A
14. B
15. D
16. A
PARABOL
Parabol
Tanım – 1 : Düzlemde sabit bir noktaya (odak) ve
sabit bir doğruya (doğrultman) eşit uzakl›kta bulunan
noktaların geometrik yerine parabol denir.
NOT :
F den geçen ve l doğrusuna teğet olan çember
sayısı yeterince çoğaltılırsa parabol daha net görülür.
Parabolün Tepe Noktası
parabol
F
A
B
C
E
D
K
F + e .D
olduğunu hatırla1+e
Tepe noktasının, T =
yalım.
Bu durumda, e = 1 olduğunda T =
L
F+D
bulunur.
2
Tepe noktasını (0, 0) seçersek bu durumda,
F = –D bulunur.
Yani; D ile F noktalar› orijine göre simetriktir.
F : Parabolün odağı
l : Parabolün doğrultmanı
e=
d (F, A)
d (A, ,)
=
d (F, B)
d (B, ,)
=... =
d (F, K)
d (K, ,)
=...= 1
parabolün dış merkezliği : e = 1 dir.
Merkezcil Parabol
1. Durum :
Tanım – 2 : Düzlemde sabit bir noktadan (odaktan)
geçen ve sabit bir doğruya (doğrultmana) teğet olan
çemberlerin merkezlerinin geometrik yeri bir paraboldür.
Parabolün tepe noktasını orijin ve eksenini x ekseni seçelim.
y
Parabolün
do¤rultman›
Parabol
Parabolün
ekseni
F
D(–c, 0)
T
Parabolün
tepe
noktas›
F(c, 0)
x
Parabolün
oda¤›
x = –c
e : 1 (yarıçap eşitliği)
F : Parabolün odağı
D(–c, 0) : doğrultman ile parabolün ekseninin kesiştiği nokta.
l : Parabolün doğrultmanı
313
PARABOL
2. Durum :
4. Durum :
Parabolün tepe noktasını orijin ve eksenini x ekseni seçelim.
y
Parabol
Parabol
ekseni
F(–c, 0)
y
Do¤rultman
D(c, 0)
T
Parabol
oda¤›
Parabolün tepe noktasını orijin ve eksenini y ekseni seçelim.
Do¤rultman
y=c
x
D(0, c)
Parabolün
tepe
noktas›
Parabolün
tepe
noktas›
T
x
x=c
F(0, –c)
Parabol
Parabol
oda¤›
D(c, 0) : doğrultman ile parabol ekseninin kesiştiği nokta.
Parabol
ekseni
D(0, c) : doğrultman ve parabol ekseninin kesiştiği nokta.
3. Durum :
Parabolün tepe noktasını orijin ve eksenini y ekseni seçelim.
Parabolün
ekseni
y
Parabolün
oda¤›
Parabol
F(0, c)
T
x
Parabolün
tepe
noktas›
D(0, –c)
y=–c
Do¤rultman
D(0, –c) : doğrultman ve parabol ekseninin kesiştiği nokta.
314
PARABOL
Parabolün Denklemi
O halde,
y2 = 4cx parabolü ;
Tepe noktası orijin ve ekseni x ekseni olan parabolün denklemi ;
¸
¸
¸
¸
¸
y
F(c, 0)
O
D
x
Tepe noktası : Orijin
Odak noktası : F(c, 0)
Doğrultmanı : x = – c
Ekseni : x ekseni
Dış merkezliği : e = 1
olan bir koniktir.
x = –c
ARAfiTIRALIM – Ö⁄RENEL‹M
Parabolik bir bilardo masas›nda odak noktas›na
konulan bir top ›stakayla herhangi bir istikamete do€ru
vurulursa, parabole çarpan top parabolün simetri eksenine paralel gider.
Parabol üzerinde değişken bir nokta P(x, y) olsun
P noktası odak ve doğrultmana eşit uzaklıkta bulunduğundan,
y
H
P(x, y)
O
D
F(c, 0)
x
x = –c
|PF| = |PH|
Bu özellik arabalar›n farlar›nda kullan›l›r : Bir parabolü simetri ekseni etraf›ndan döndürerek bir yüzey elde edelim. Bu yüzeyi yans›t›c› bir maddeyle
kaplayal›m. Odak noktas›na yerlefltirilmifl bir ampul
parabolik yüzeye çarparak dümdüz ileri gidecek ve
gecemizi ayd›nlatacakt›r. E€er ampül odak noktas›n›n
biraz üstüne yerlefltirilirse, ›fl›€›n yo€unlu€u azal›r ve
karfl›dan gelen araban›n sürücüsü ›fl›ktan rahats›z olmaz.
ya da d(P , F) = d(P , l) eşitliği ile,
(x – c) 2 + y 2 = x + c olup,
her iki yanın karesini alalım.
x2 – 2xc + c2 + y2 = x2 + 2xc + c2
y2 = 4cx elde edilir.
y
D
O
F(c, 0)
x = –c
x
Bunun tersi de yap›labilir. Günefl ›fl›nlar› tek bir
noktaya odaklaflt›r›larak yo€un bir ›s› yada ›fl›k elde
edilebilir. Günefl enerjisi ile bu yöntem kullan›larak su
›s›t›labilir.
y2 = 4cx
315
PARABOL
+ Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.
¶
y
¸
y
x2 = 4y
F(0, 1)
F(2, 0)
T
O
D
x
x
OT
y2 = 8x
x = –2
y = –1
D
Yukarıdaki parabol ;
¸
¸
¸
¸
¸
Tepe noktas› : orijin
¸
¸
¸
¸
¸
Odak noktası : F(2, 0)
Doğrultmanı : x = –2
Ekseni : x ekseni
olan bir koniktir.
Odak noktası : F(0, 1)
Doğrultmanı : y = –1
Ekseni : y ekseni
olan bir koniktir.
·
y
y
¹
D
F(–3, 0)
T
O
y2 = –12x
D
x
O T
F(0, –5)
x=3
x2
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
¸
Odak noktası : F(–3, 0)
Doğrultmanı : x = 3
Ekseni : x ekseni
olan bir koniktir.
Odak noktası : F(0, –5)
Doğrultmanı : y = 5
Ekseni : y ekseni
olan bir koniktir.
316
= –20y
y=5
x
PARABOL
y2 = 4cx parabolü;
ÖRNEK – 1
y
(do¤rultman)
y2 = 12x parabolünün,
F(c, 0)
x
O
ü
Köşesini
ü
Odağını
ü
Doğrultmanını
ü
Eksenini
bulalım.
x = –c
ÇÖZÜM
-:
4c = 12 ⇒ c = 3 olup parabolün grafiği,
y2 = –4cx parabolü
y
F(–c, 0)
y
do¤rultman
(do¤rultman)
T
O
x
O
y2 = 12x
F(3, 0)
x
x=–3
x=c
Köşesi O(0, 0), odağı F(3, 0), doğrultmanı x = –3,
ekseni x eksenidir.
x2 = 4cy parabolü
y
ÖRNEK – 2
y2 = –8x parabolünün,
F(0, c)
x
O
ü
Köşesini
ü
Odağını
ü
Doğrultmanını
ü
Eksenini
bulalım.
y = –c
(do¤rultman)
ÇÖZÜM
-:
4c = –8 ⇒ c = –2 olup parabolün grafiği,
x2 = –4cy parabolü
y
y
y=c
(do¤rultman)
O
F(–2, 0)
x
F(0, –c)
T
O
x
x=2
Köşesi O(0, 0), odağı F(–2, 0), doğrultmanı x = 2,
ekseni x eksenidir.
317
PARABOL
ÖRNEK – 3
ÖRNEK – 5
x2 = 16y parabolünün,
Odak noktası F(1, 0) ve doğrultmanı x = –1
doğrusu olan parabolün grafiğini çizelim.
ü
Köşesini
ü
Odağını
ü
Doğrultmanını
ü
Eksenini
bulalım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
-:
-:
4c = 4 ⇒ c = 1 olup y2 = 4cx eşitliğinden,
parabolün denklemi y2 = 4x bulunur.
4c = 16 ⇒ c = 4 olup parabolün grafiği,
y
y
do¤rultman
y2 = 12x
F(0, 4)
x
O T
y = –4
T
O
do¤rultman
F(3, 0)
x
x=–3
Köşesi O(0, 4), odağı F(0, 4), doğrultmanı y = –4,
ekseni y eksenidir.
ÖRNEK – 4
ÖRNEK – 6
x2 = –10y parabolünün,
Odak noktası F(0, –2) ve doğrultmanı y = 2
ü
Köşesini
ü
Odağını
ü
Doğrultmanını
ü
Eksenini
bulalım.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
-:
c = –2 ⇒ 4c = –8 olup x2 = 4cy eşitliğinden,
5
4c = –10 ⇒ c = – olup parabolün grafiği,
2
do¤rultman
y
-:
parabolün denklemi x2 = –8y bulunur.
y=5
2
do¤rultman
y=2
T
x
F(0, – 5 )
2
x
F(0, –2)
x2 = –8y
5
5
Köşesi O(0, 0), odağı F(0, – ), doğrultmanı y = ,
2
2
ekseni x eksenidir.
318
y
PARABOL
Parabolün Parametresi
ÖRNEK – 7
Odak noktası F( –
Parabolün odak noktası ile doğrultmanı arasındaki uzaklığa parabolün parametresi denir.
3
3
, 0) ve doğrultmanı x =
2
2
y
ÇÖZÜM
-:
2c
3
c=
⇒ 4c = 6 olup y2 = –4cx eşitliğinden,
2
parabolün denklemi y2 = –6x bulunur.
y
y2 = –6x
y2 = 4cx
F(c, 0)
O
do¤rultman
x
x = –c
Parametre : 2c
x
F( – 3 , 0)
2
y2 = 4cx parabolünün parametresi |2c| dir.
x=3
2
ÖRNEK – 1
ÖRNEK – 8
y2 = 8x parabolünün parametresini bulalım.
Odak noktası F(0, 1) ve doğrultmanı y = –1
ÇÖZÜM
-:
4c = 8 ⇒ c = 2 olup,
ÇÖZÜM
-
parabolün parametresi 2c = 4 birim dir.
:
c = 1 ⇒ 4c = 4 olup x2 = 4cy eşitliğinden,
parabolün denklemi x2 = 4y bulunur.
y
ÖRNEK – 2
x2 = 4y
F(0, 1)
O
y = –1
x2 = 7y parabolünün parametresini bulalım.
x
ÇÖZÜM
-:
4c = 7 ⇒ c =
do¤rultman
7
olup,
4
parabolün parametresi 2c =
319
7
birim dir.
2
PARABOL
Ötelenmiş Parabol
(Merkezcil Olmayan Parabol)
1.
y2 = 12x
y
y2 = 4cx parabolün u = (a, b) doğrultusunda ötelenmişi ile,
ü
Köşesi (a, b) noktası
ü
Odağı F(c + a, b)
ü
Doğrultmanı x = –c + a
F(3, 0)
x
O
olan (y – b)2 = 4c(x – a) parabolü elde edilir.
x = –3
2.
(y – 1)2 = 12(x + 3)
y
F(0, 1)
–3
ÖRNEK – 1
(y – 1)2 = 12(x + 3) parabolünün,
ü
Köşesini
ü
Odağını
ü
Doğrultmanını
ü
Eksenini
x
x = –6
Tablo dikkatlice incelenirse;
2. parabol, 1. parabolün 3 birim sola (←) ve 1 birim yukarıya (↑) ötelenmesi ile elde edilmiştir.
bulalım.
ÇÖZÜM
O
-:
(y – 1)2 = 12(x + 3) parabolü y2 = 12x parabolünün u = (–3, 1) doğrultusunda ötelenmişidir.
O halde,
y2 = 12x parabolünün tüm elemanlarını u = (–3, 1)
doğrultusunda ötelersek (y – 1)2 = 12(x + 3) parabolünü elde ederiz.
y2 = 12x
(y – 1)2 = 12(x + 3)
Köşesi
:
(0, 0)
→
(–3, 1)
Odağı
:
(3, 0)
→
(0, 1)
Doğrultmanı :
x = –3
→
x = –6
Ekseni
x ekseni →
(y = 0)
:
y=1
Bir çok tarihi eserde parabolik yap›lar görülmektedir.
320
PARABOL
ÖRNEK – 2
ÖRNEK – 3
y2 = 8(x – 5) parabolünün,
(y + 1)2 = –12x parabolünün,
ü
Köşesini
ü
Köşesini
ü
Odağını
ü
Odağını
ü
Doğrultmanını
ü
Eksenini
ü
Doğrultmanını
ü
Eksenini
bulalım.
bulalım.
-:
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
y2 = 8(x – 5) parabolü; y2 = 8x parabolünün,
u = (5, 0) doğrultusunda ötelenmişidir.
(y + 1)2 = –12x parabolü y2 = –12x parabolünü,
u = (0, –1) doğrultusunda ötelenmişidir.
Yani, y2 = –12x parabolünün tüm elemanlarını 1
birim aşağı ötelersek (y + 1)2 = –12x parabolünün grafiğini elde edebiliriz.
Yani, y2 = 8x parabolünün tüm elemanlarını 5 birim sağa ötelersek y2 = 8(x – 5) parabolünün grafiğini
elde ederiz.
O halde,
O halde,
y2 = 8x
:
(0, 0)
→
(5, 0)
Odağı
:
(2, 0)
→
(7, 0)
x = –2
→
x=3
Doğrultmanı :
:
y2 = –12x
y2 = 8(x – 5)
Köşesi
Ekseni
-:
x ekseni →
x ekseni
¸ Parabolün ekseninin değişmediğine dikkat edelim.
(y + 1)2 = –12x
Köşesi
:
(0, 0)
→
(0, –1)
Odağı
:
(–3, 0)
→
(–3, –1)
Doğrultmanı :
x=3
→
x=3
Ekseni
x ekseni →
(y = 0)
:
y = –1
¸ Parabolün doğrultmanının değişmediğine dikkat
edelim.
y2 =–12x ve (y + 3)2 = –12x
y2 = 8x ve y2 = 8(x – 5)
y
y2 = –12x
y
y2 = 8x
y2 = 8(x – 5)
F(–3, 0)
F(2, 0)
(5, 0)
O
F› (7, 0)
x
x
F› (–3, –1)
x = –2
T
O
–1
x=3
(y +1)2 = –12x
321
x=3
PARABOL
ÖRNEK – 4
ÖRNEK – 5
(y – 1)2 = 16(x + 2) parabolünün,
(x – 3)2 = 8(y + 1) parabolünün,
ü
Köşesini
ü
Köşesini
ü
Odağını
ü
Odağını
ü
Doğrultmanını
ü
Doğrultmanını
ü
Eksenini
ü
Eksenini
bulalım.
ÇÖZÜM
bulalım.
-:
ÇÖZÜM
-:
(y – 1)2 = 16(x + 2) parabolü y2 = 16x parabolünün,
u = (–2, 1) doğrultusunda ötelenmişidir.
(x – 3)2 = 8(y + 1) parabolü x2 = 8y parabolünün,
u = (3, –1) doğrultusunda ötelenmişidir.
Yani, y2 = 16x parabolünü tüm elemanlarını 2 birim sola, 1 birim yukarıya ötelersek (y – 1)2 = 16(x + 2)
parabolünün grafiğini elde ederiz.
Yani, x2 = 8y parabolünün tüm elemanlarını 3 birim
sağa, 1 birim aşağıya ötelersek (x – 3)2 = 8(y + 1) parabolünün grafiğini elde ederiz.
O halde,
O halde,
y2 = 16x
(y – 1)2 = 16(x + 2)
x2 = 8y
(x – 3)2 = 8(y + 1)
Köşesi
:
(0, 0)
→
(–2, 1)
Köşesi
:
(0, 0)
→
(3, –1)
Odağı
:
(4, 0)
→
(2, 1)
Odağı
:
(0, 2)
→
(3, 1)
Doğrultmanı :
x = –4
→
x = –6
Doğrultmanı :
y = –2
→
y = –3
Ekseni
x ekseni →
(y = 0)
y = 1 doğrusu
Ekseni
y ekseni →
:
y2 = 16x ve (y – 1)2 = 16(x + 2)
y
:
y2 = 8x ve y2 = 8(x – 5)
y
(y
–1)2
= 16(x + 2)
x2 = 8y
F(0, 2)
1
F(4, 0)
–2
x=3
O
3
x
O
x
y = –2
–1
y = –3
y2 = 16x
x = –6 x = –4
322
(x –3)2 = 8(y + 1)
PARABOL
Bir Parabole Üzerindeki Bir Noktadan
Çizilen Teğet Doğrusunun Denklemi
ÿ
ÖRNEK – 1
y2 = 4cx parabolüne üzerindeki A(x0, y0) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi;
y2 = 8x parabolüne A(2, –4) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini bulalım.
y0 . y = 2c(x + x0) ile bulunabilir.
ÇÖZÜM
-:
A(2, –4) noktasının koordinatları y2 = 8x parabolünü sağladığından, nokta parabol üzerindedir.
A(x0, y0)
O halde teğet doğrusunun denklemi,
–4y = 4(x + 2)
y = –x – 2 bulunur.
Yani;
y2 = 2cx
y
y2 = 8x
l : y0 . y = 2c(x + x0)
O
ÿ
x2 = 4cy parabolüne üzerindeki A(x0, y0) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi;
2
–4
x
A
y = –x – 2
x0 . x = 2c(y + y0) ile bulunabilir.
ÖRNEK – 2
A(x0, y0)
x2 = 9y parabolüne A(6, 4) noktasından çizilen
teğet doğrusunun denklemini bulalım.
ÇÖZÜM
-:
A(6, 4) noktası parabol üzerinde olduğundan A
noktasından geçen teğet doğrusunun denklemi;
x2 = 4cy
l : x0 . x = 2c(y + y0)
6x =
9
(y + 4) ⇒ 4x – 3y – 12 = 0 bulunur.
2
y
x2 = 9y
4x – 3y – 12 = 0
4
T O
323
A
6
x
PARABOL
ÖRNEK – 3
ÖRNEK – 5
y2 = –ax parabolü üzerindeki A(–6, 6) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemini bulalım.
ÇÖZÜM
y2 = 12x parabolü üzerinde olup, y = 3x + 2
doğrusuna en yakın olan noktanın koordinatlarını
bulalım.
-:
ÇÖZÜM
A(–6, 6) noktası parabol üzerinde olduğundan
noktanın koordinatları denklemi sağlar.
-:
Parabol üzerinde olup y = 3x + 2 doğrusuna en
yakın olan nokta K(A, B) olsun.
62 = –a(–6) ⇒ a = 6 olup,
O halde, K noktasından çizilen teğet doğrusu,
y = 3x + 2 doğrusuna paralel olup eğimleri eşittir.
y2 = –6x parabolüne A(–6, 6) noktasından çizilen
teğet doğrusunun denklemi,
6y = –3(x – 6) ⇒ 2y + x – 6 = 0 bulunur.
K noktasından çizilen teğet doğrusu;
By = 6(x + A) dır.
Eğimler eşitliğinden
6
=3 ⇒ B=2
B
Parabol denkleminde yerine yazılırsa,
1
bulunur.
3
22 = 12 . A ⇒ A =
1
Böylece en yakın nokta, K d , 2 n bulunur.
3
y = 3x + 2
By = 6(x + A)
K
(A, B)
ÖRNEK – 4
= 2y parabolüne üzerindeki A(a, b) noktasından çizilen teğet doğrusu y = 2x + 3 olduğuna
a
göre,
oranını bulalım.
b
ÇÖZÜM
1
3
2
x2
1
y2 = 12x
-:
A(a, b) noktasından çizilen teğet doğrusunun
denklemi,
ax = y + b ⇒ y = ax – b olup,
O halde,
y = 2x + 3 ile y = ax – b aynı doğrular olup,
a
a
2
b
⇒
bulunur.
=–
=–
2
3
3
b
324
2
PARABOL
Bir Parabol İle Bir Doğrunun Teğetlik Şartı
ÖRNEK – 2
y2 = ax parabolü y = 2x – 3 doğrusuna teğet
ise a değerini bulalım.
Teorem :
y2 = 4cx parabolü ile y = mx + n doğrusu teğet ise
c = m . n dir.
ÇÖZÜM
-:
y2 = ax parabolünde, 4c = a ⇒ c =
‹spat :
a
ve
4
y = 2x – 3 doğrusunda, m = 2 ve n = –3 tür.
Teğetlik şartı, c = m . n olup,
Parabol ile doğru denklemlerinin ortak çözümünden
Δ yı sıfıra eşitleyelim.
a
= 2(–3) ⇒ a = – 24 bulunur.
4
y2 = 4cx denkleminde y yerine mx + n yazalım.
(mx + n)2 = 4cx
m2x2 + 2mnx + n2 – 4cx = 0
m2x2 + (2mn – 4c)x + n2 = 0 ve Δ = 0 olacağından
Δ = (2mn – 4c)2 – 4 . m2 . n2 = 0
ÖRNEK – 3
2mn – 4c = –2mn ⇒ c = mn bulunur.
y = mx + n
y2 = 16x parabolüne A(–1, 3) noktasından çizilen teğet doğrularının eğimleri toplamını bulalım.
ÇÖZÜM
c=m.n
-:
Aranan doğru y = mx + n olsun.
A(–1, 3) noktası doğru denklemini sağlamalıdır.
y2 = 4cx
3 = –m + n
Parabol denkleminde,
4c = 16 ⇒ c = 4 tür.
Teğetlik şartı, c = m . n olduğundan,
ÖRNEK – 1
4 = m . (3 + m)
m2 + 3m – 4 = 0 ⇒ m1 + m2 = –3 bulunur.
y2 = 8x parabolü y = 5x + k doğrusuna teğet
ise k değerini bulalım.
ÇÖZÜM
Yani,
y = m 1x + n 1
-:
A(–1, 3)
y2 = 8x parabolünde, 4c = 8 ⇒ c = 2 ve
y = 5x + k doğrusunda, m = 5 ve n = k dir.
O halde, teğetlik şartı, c = m . n olup,
2=5.k ⇒ k=
y2 = 16x
2
bulunur.
5
325
PARABOL
Teorem :
NOT :
1. Durum :
Bir parabolde doğrultman doğrusu üzerinde
alınan bir noktadan çizilen teğet doğruları dik kesişir.
y = mx + n
‹spat :
c=m.n
y2
y2 = 4cx parabolünün doğrultmanı x = –c olup,
doğrultman üzerindeki bir nokta K(–c, d) olsun.
= 4cx
2. Durum :
1
y = mx + n
x= 1 y– n
m
m
: y = mx + n
K(–c, d)
y2 = 4cx
c= 1 . – n
m
m
x = –c
x2 = 4cy
2
K(–c, d) noktası y = mx + n üzerinde ise,
2. durumda x ile y nin rollerinin değiştirildiğini böy1
n
lece m yerine
ve n yerine –
yazıldığına
m
m
dikkat edelim.
d = –mc + n ve
teğetlik şartı olan c = m . n eşitliğinden,
c = m(d + mc) elde edilir.
ÖRNEK – 4
m2c + md – c = 0 olup,
x2
= –12y parabolü y = 5x + n doğrusuna teğet
ise n değerini bulalım.
ÇÖZÜM
Bu denklem m ye bağlı 2. dereceden gibi düşünülürse kökler çarpımından,
-:
m1 . m2 = –1 bulunur.
4c = –12 ⇒ c = –3 olup,
O halde l1 ⊥ l2 dir.
c = m . n teğetlik şartında,
m yerine
–3 =
n
1
ve n yerine –
yazalım.
5
5
Dikkat edilirse eğimler çarpımı d ordinat›ndan bağımsızdır.
1
n
. d – n ⇒ n = 75 bulunur.
5
5
326
PARABOL
2.
y
ÖRNEK – 5
5
, –3 n noktas›ndan çi2
zilen te€et do€rular›n›n e€imleri çarp›m›n› bulal›m.
x2 = 12y parabolüne A d
ÇÖZÜM
c
O
x
-:
y2 = –4cx
5
A d , –3 n noktas› x2 = 12y parabolünün do€rult2
man› üzerindedir.
x=c
O halde A noktas›ndan parabole çizilen te€et
do€rular› dik kesiflti€inden e€imler çarp›m› –1 dir.
3.
ÖRNEK – 6
y
x2 = 4cy
2y2 = 5x parabolüne A(m, n) noktas›ndan çizilen te€etlerin dik kesiflmesi için m nin de€erini
bulal›m.
ÇÖZÜM
O
-:
x
y = –c
–c
Bir parabolde dik kesiflen te€etlerin kesim
noktalar›n›n geometrik yeri parabolün do€rultman›d›r.
O halde A noktas› 2y2 = 5x parabolünün do€rult5
man› olan x = – do€rusu üzerindedir.
8
Böylece, m = –
5
bulunur.
8
4.
y
SONUÇLAR :
1.
c
y
O
x
y=c
x
x2 = –4cy
y2 = 4cx
O halde, bir parabolde dik kesişen teğetlerin kesim noktalarının geometrik yeri doğrultman doğrusudur.
x = –c
327
PARABOL
1.
y
F
O
5.
F odak
y
F
x
5
O
y2 = 4cx
c =.........................
Parabolün denklemi =.........................
y
y2 = 4cx
6.
F odak
F
y
F odak
O
x
–8
c =.........................
3.
y
y2 = 4cx
F
x
O
–3
x
12
y2 = 4cx
2.
F odak
7.
F odak
x2 = 4cy
y
F odak
x2 = 4cy
4 F
7 F
x
O
c =.........................
4.
y
8.
F odak
O
x
O
y
F odak
O
x
–2 F
x
–5 F
x2
x2 = 4cy
= 4cy
c =.........................
328
PARABOL
1.
y
5.
F odak
F
O
y
F
O
x
6
y2 = 16x
c =.........................
Parabolün do¤rultman› =.....................
y
y2 = 4cx
F
6.
F odak
O
c
y
x2 = 4cy
y
F odak
x2 = 24y
c F
x
O
y
c =.........................
8.
F odak
O
y
c F
= 4cy
x
x2 = –12y
c =.........................
329
F odak
O
x
x2
x
O
–5 F
x
O
7.
F odak
8 F
4.
F odak
c =.........................
3.
y
y2 = –20x
F
x
–4
x
c
y2 = 4cx
2.
F odak
PARABOL
1.
y
5.
F odak
do¤rultman
F
y
H
x
O
do¤rultman
O
x
F
y2 = 4cx
y2 = 4cx
x = –2
PH
=...........................
PF
c =.........................
2.
F odak
P
y
y2 = 4cx
6.
F odak
do¤rultman
F
F odak
P
do¤rultman
H
5
x
O
y
y2 = –16x
x
O
F
x=4
x=4
PH =...........................
3.
y
7.
F odak
do¤rultman
x2 = 4cy
y
F odak
do¤rultman
x2 = 4cy
F
F
4
x
O
x
O
y=k
y = –2
k =.........................
4.
y
y=1
8.
F odak
O
y
F odak
do¤rultman
do¤rultman
x
O
F
x2
F
= 4cy
3
P
x2 = 4cy
330
x
TEST
PARABOL
1.
5.
Odak noktası F(0, 4) ve simetri ekseni Oy ekseni olan merkezil parabolün denklemi nedir?
A) x2 = 16y
B) y2 = 12x
C) x2 = 12y
D) y2 = 16x
1
y
A
O
x
P (6, 0) T
E) x2 = 14y
B
Şekildeki y2 = – 24x parabolüne P(6, 0) noktasından çizilen teğetler [PA ve [PB olduğuna
göre, APT açısının ölçüsü kaç derecedir?
2.
A) 90
Odak noktası F(0, – 8) ve simetri ekseni Oy
ekseni olan merkezil parabolün doğrultmanı
aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 4
B) y = 5
D) y = 7
B) 105
C) 135
D) 150
C) y = 6
E) y = 8
6.
y
y = 2x
[AB] ⊥ [Ox
A
O
3.
C
Odak noktası F(0, – 7) ve doğrultmanı y = 7
doğrusu olan parabolün denklemi nedir?
A) y2 = – 14x
C)
y2
A) 1
7.
(x – 2)2 = 12(y – 1)
parabolünün odağının koordinatları nedir?
A) (1, 2)
B) ( – 2, 3)
D) (2, 4)
y2 = 4x
|OA| uzunluğu kaç birimdir?
D) x2 = 14y
E) x2 = 28y
4.
x
B
B) x2 = – 28y
= 14x
E) 165
C) (3, 4)
B) 2
C) 3
D) 5
E) 6
A(2, 3) noktasından geçen ve y = 2x – 3 doğrusuna teğet olan çemberlerin merkezlerinin
geometrik yerinin denklemi nedir?
A) Parabol
B) Elips
C) Hiperbol
D) Paralel iki doğru
E) Kesişen iki doğru
E) (– 5, 6)
331
1. A
2. E
3. B
4. D
5. C
6. D
7. A
TEST
PARABOL
8.
11. y2 = 12x parabolü ile x2 = 16y parabolünün
doğrultman doğrularının kesim noktasının
orijine uzaklığı kaç birimdir?
y
|TP| = 1 birim
|PF| = 5 birim
P
y2 = 4cx
O
F
H
T
K
A) 2 2
x
B) 2
C) 3
D) 4
y = sinθ , x =
E) 5
C) 2 5
D) 5
E) 6
1 – cos 2i
16
olan parabolün oda€›n›n koordinatları toplamı
kaçtır?
A) 1
9.
B) 2 3
12. Parametrik denklemi,
Odağı F olan y2 = 4cx parabolünde l doğrusu
parabolün doğrultmanı olduğuna göre, |TK|
uzunluğu kaç birimdir?
A) 1
1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8
Köşe noktaları,
y2 = 12x
x2 = 14y
,
,
13. (y + 2)2 = 4(x + 1) parabolünün köşe koordinatları nedir?
y2 = – 8x
x2 = – 6y
A) (– 1, – 2)
parabollerinin odakları olan dörtgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir?
A)
25
2
B)13
C)
27
2
D) 14
E)
B) ( 2, 1)
D) (– 2, 0)
C) (– 2, – 1)
E) (– 2, 3)
29
2
14.
y
y = mx + n
A
10. y = 3 doğrusuna teğet olan ve P(1, – 1) noktasından geçen çemberlerin merkezlerinin geometrik yerinin denklemi nedir?
P
x
O
B
y2 = 12x
A) (x – 1)2 = – 3y + 3
B) (x + 1)2 = 3y + 2
C) (x – 1)2 = – 8 (y – 1)
D) (x –
1)2
|AP| = |PB| ve P(3, 1) olduğuna göre, n kaçtır?
= 7y + 4
E) (x – 1)2 = 2y + 1
A) –14
B) –15
C) –16
D) –17
E) –18
332
8. D
9. A
10. C
11. D
12. B
13. A
14. D
ETKİNLİKLERİN CEVAP ANAHTARLARI
ETK‹NL‹K – 1
ETK‹NL‹K – 14
1. 100°
1. 2 3 br
2. 5 br
3. 28 br2
4.
5. 4 3 br
6. 6 br
7. 72 br2
8. 16 br2
2. 80° 3. 40° 4. 100° 5. 85° 6. 35°
ETK‹NL‹K – 2
1. 66 br
4. 11 br
2. 2 30 br 3. 5 br
5. 2 21
6. 9 br
ETK‹NL‹K – 15
1. 4 2 br2
5. 9 2 br2
ETK‹NL‹K – 3
1. 28 br
4. 30 br2
2.10 br
5. 18 br
3. 22 br
6. 30 br2
1. 14 br
4. 11 br2
2. 81
5. 45 br2
3. 112
6. 7 br
1. 16 3 br2 2. 36 br2
5. 6 br
6. 2 br
br2
1. 6
4. 49 br2
2. 7 br
5. 40 3 br2
3. 4 br
7. 40°
4. 120°
8. 6 br
3. 56°
7. 40°
4. 72°
8. 4 3 br
3. 13 br
7. 4 br
4. 30 br
8. 10 br
3. 12 br
7. 224 br2
4. 30°
8. 4 br2
ETK‹NL‹K – 17
1. 2 6 br
5. 21 br
ETK‹NL‹K – 5
br2
2. 49 br2
6. 5 br
ETK‹NL‹K – 16
ETK‹NL‹K – 4
br2
5 +1
2
3. 68
6. 18br2
br2
2. 1 br
6. 4 5 br
ETK‹NL‹K – 18
ETK‹NL‹K – 6
99 2
1.
br
2
4. 39 br2
2. 48
br2
5. 72 br2
3. 57
1. 120°
5. 32 br2
br2
6. 20 br2
ETK‹NL‹K – 19
13
6
5
5.
2
1.
ETK‹NL‹K – 7
1. 25 br
4. 15 br
2. 15 br
5. 23 br
3. 18 br
6. 20 br
ETK‹NL‹K – 8
1. Çizilemez
5. Çizilebilir
1
5
1
6.
9
2.
3.
1
8
7. 3
2. Çizilebilir
6. Çizilebilir
3. Çizilemez
7. Çizilebilir
4. Çizilemez
8. Çizilebilir
3. 7 br
7. 80°
4. 4 3 br
8.105°
1. 3 br
5. 64 br2
2. 116°
6. 135°
3. 18 br2
7. 35 br
4. 4 br
8. 8 br
3. 24 br2
7. 57°
4. 20 br
7. 30 br
ETK‹NL‹K – 21
2. 32°
6. 118°
ETK‹NL‹K – 10
1. 5 br
2. 12 br
5. 30°
6. 12 br
9 3
br
2
7. 8 br
3.
1. 4 br
5. 160 br2
2. 8 br
6. 4 3 br
ETK‹NL‹K – 22
4. 24 br
8. 8 br
1. 4 br
2. 4 br
3. 132 br2
5. 11 br
6. 4 br
7. 20 br2
4. 17°
25
8.
br
2
3. 34 br
4. 108°
7. 5 br
8. 2 10 br
3. 40 br2
7. 17 br2
4. 16
8. 1
3. 40 br2
7. 60 br2
4. 24 br
8. 12 br2
ETK‹NL‹K – 11
1. 14 br
5. 16 br
11
br
2
6. 2 br
2.
ETK‹NL‹K – 23
3. 18 br
4. 11 br
7. 14 br
8. 8 br
3. 11 br
7. 12 br
4. 9 br
8. 3 5 br
ETK‹NL‹K – 24
3. 18 br
4. 8 br
ETK‹NL‹K – 25
8. 16 br
1. 60°
5. 2 7 br
1. 72°
5. 24 br2
ETK‹NL‹K – 12
1. 8 ya da –8 2. 8 br
5. 12 br2
6. 3 br
ETK‹NL‹K – 13
1. 3 br
5.
3
10
2.
1
4
1
8.
5
4.
ETK‹NL‹K – 20
ETK‹NL‹K – 9
1. 70°
5. 3
2. 4 br
6. 7 br
8
br
3
6. 4
7.
64
br
3
1. 12 br2
5. 28 br2
333
2. 5 br
36
6.
br
5
2. 48 br2
6. 6 br
2. 117 br2
6. 7 br
ETK‹NL‹K – 26
1. 32
5.
br2
22 br
2. 144 3
ETK‹NL‹K – 39
br2
6. 8 br
3. 10 6
br2
7. 12 5 br
4. 48
24
8.
br
5
1. Paralelkenar, dikdörtgen, eflkenar dörtgen, kare
2. Eflkenar dörtgen, kare
3. Paralelkenar, eflkenar dörtgen, dikdörtgen, kare
4. Dikdörtgen, kare, paralelkenar, eflkenar dörtgen
5. Dikdörtgen, kare
6. Paralelkenar, eflkenar dörtgen, kare, dikdörtgen
7. Dikdörtgen, kare, ikizkenar yamuk
8. Eflkenar dörtgen, kare, deltoid
9. Paralelkenar, eflkenar dörtgen, dikdörtgen, kare
10. Yamuk
11. Kare, eflkenar dörtgen
br2
ETK‹NL‹K – 27
64
br
7
5. 24 br2
1.
2. 12 br2
3. 64 br2
4. 9 br
6. 1
7. 6 br
8. 36 2 br2
ETK‹NL‹K – 28
1. 16 br2
5. (3, –2)
2. 9 3 br2
6. 3 13 br
3. 6 br
7. 2 br
4. 12 2 br2
8. 27 3 br
ETK‹NL‹K – 40
1. 48 br2 2. 2 3 + 4 br 3. 2 13 br 4. 80°
5. 7,5 br2 6. 4 br
7. 3 br
8. 8 3 br2
ETK‹NL‹K – 41
ETK‹NL‹K – 30
5. 54°
1. 24 br2
5. 70 br2
ETK‹NL‹K – 42
1. 54°
5. 68°
ETK‹NL‹K – 29
1. 42°
2. 72 br2
3. 16 3 br2 4. 16 3 br2
6. 20 6 br2 7. 36 br2
8. 12 br2
1. 150°
5. 126°
ETK‹NL‹K – 31
1. 94 br
5. 120°
2. 2 16 br
6. 10 br2
3. 88°
7. 3 br
4. 42°
8. 4 3 br
2. 7 br
3. 145°
6. 28 3 br2 7. 80 br2
1. 24°
5. 48°
4. 57 br
8. 20 br
2. 6 br
6. 36 br2
1. 18°
3. 7 br
7. 15°
5. 2 2 br2
4. 4 2 br
8. 67,5°
2. 2 5 br 3. 35°
6. 8 3 br2 7. 30°
1. 51°
5. 2 br
4. 32 br2
8. 22,5°
2. 7 br
6. 36 br2
1. 45°
3. 3 br
7. 10 br
4. 28 br
7. 63°
8. 32
3. 45°
7. 54°
4. 16°
8. 10°
2. 18°
6. 68°
3. 150°
7. 26°
4. 156°
8. (2b+a) br
2. 36°
4
6.
3
3. 54°
4. 54°
7. 72°
8. 2 3 br
2. 24°
6. 2 3 br
3. 18°
7. 4 2 br
4. 40 br
8. 7 br
3. 15°
4. 45°
7. 2 13 br
8. 2 3 br
ETK‹NL‹K – 46
ETK‹NL‹K – 35
1. 6 2 br
5. 36 br2
3. 54°
ETK‹NL‹K – 45
ETK‹NL‹K – 34
1. 64 br2
5. 16 br
2. 42°
6. 4 3 br
4. 24°
8. 150°
ETK‹NL‹K – 44
ETK‹NL‹K – 33
1. 15°
5. 34 br
3
2
6. 36°
2.
3. 8 br
7. 6 br
ETK‹NL‹K – 43
ETK‹NL‹K – 32
1. 106°
5. 14 br
2. 16°
6. 63°
4. 50
8. 2 2 br
br2
5. 96°
2. 45°
6.
3
4
ETK‹NL‹K – 47
ETK‹NL‹K – 36
1. 14 ya da 2
2. 35°
5. 2 6 + 6 2 br 6. 8 br
3. 6 br
7. 1,5 br
4. 12 br
8. 130 br2
5. 3 13 br
6.
2. 2 br2
3. 16 br
4. 39 br
1. 2 7 br
6. 78°
7. 40 br2
8. 168 br2
5. 10°
2. 4 br
6. –2
10
br
3
1
3
7. 45°
2. (8, 2 3 )
27 3
6.
br2
2
ETK‹NL‹K – 49
ETK‹NL‹K – 38
1. 54 br2
5. 99°
2. 2 19 br 3.
4. 15 3 br2
8.
73 br
ETK‹NL‹K – 48
ETK‹NL‹K – 37
1. 36 br
2
5.
3
1. 4 7 br
3. 55 br
7. 10 br
5.
334
4. 18 3 br2
7. 6 br
8. 8 3 br2
27 3
br2 4. 9 br
2
3 + 3 br 6. 24 3 br2 7. 150°
8. 75°
1. 16 3 br2 2. 6 3 br2 3.
4. 1 br
8. 2 10 br
3. 3 br
ETK‹NL‹K –50
ETK‹NL‹K –62
1. 32 3 br2 2. 9 3 br2 3. 5 br
4.
5. 4 2 br
8.
6. 2 6 br
7. 9 br
1.
3
2
3
1
2
5. 8°
3. 15°
4.
6. 6
7. 10
8. 18
3. 4 3 br
5
7.
3
4. 15 br
ETK‹NL‹K –51
ETK‹NL‹K –63
1.
1. 6 5 – 6 br 2. 2 br
3
2
5. 18 br2
2. 4 3 br2 3. 2 br2
4. 12 br2
16 3
4
6.
br 7. 2 7 br 8.
br2
3
3
5. 2 6 br
2. 65°
6. 46°
3. 125°
7. 115°
1. 1,6 br
5. 5 br
4. 44°
8. 54°
2. 10°
6. 17°
3. 120°
7. 14°
4. 35°
8. 10°
3. 60°
7. 104°
4. 28°
8. 120°
3. 4 2 br
7. 4 3 br
4. 4 br
8. 5 2 br
3. 2 6 br
4. 6 br
1
8.
2
1.
2. 80°
6. 30°
2. 5 br
6. 8 br
1. 3 10 br
5. 2
5.
21 br
2. 4 3 br
6
6.
3
7. 6 br
1. 16 br
5. 59 br
2. 2 3 br
6. 3 br
1. 2 58 br
5. 1 br
3. 16 br
7. 10 br
4.4 ya da 6
8. 2 3 br
1. 5 br
5. 3 br
2. 10 3 br 3. 4 br
6. 3 br
7. 4 br
2. 70°
3. 108°
5. 12 br
6. 4 br
7. 20 br2
4. 2,5 br
8. 230°
1. 23 br
5. 6 br
4. 2 3 br
8
8.
br
3
1. 102°
5. 55°
3. 130°
7. 90°
4. 100°
8. 6°
3. 72°
7. 3 3 br
4. 80°,
8. 4 3 br
ETK‹NL‹K –61
2. 60°
6. 100°
8. 5 br
2. 1/3 br
6. 25°
3. 5 br
7. 67,5°
4. 6 br
8. 4 br
2. 14 br
6. 8 br
3. 3 6 br
7. 45°
4. 9 br
8. 89 br
2. 13 br 3. 13 – 5 2 br 4. 12 br
6. 2 34 br 7. 5 br
8. 4 2 br
2. 3 br
6. 2 br
3. 4 br
7. 9 br
4. 5 br
8. 5 br
2. 5 br
6. 3 br
3. 6 br
7. 3 5 br
4. 2 br
8. 2,4 br
2. 60°
6. 80°
3. 112°
7. 30°
4. 106°
8. 131°
ETK‹NL‹K –72
ETK‹NL‹K –60
1. 45°
5. 156°
7. 2 br
ETK‹NL‹K –71
1. 122°
2. 2
6. 20°
4. 12 br
ETK‹NL‹K –70
ETK‹NL‹K –59
1. 60°
5. 30°
6. 90°
3. 2 3 br
ETK‹NL‹K –69
ETK‹NL‹K –58
1. 14 br
5. 8 br
6
3
4. 12 – 4 3 br
8. 10 br
ETK‹NL‹K –68
ETK‹NL‹K –57
1. 16 br
5. 18 br
2.
3. 3 br
7. 6 br
ETK‹NL‹K –67
ETK‹NL‹K –56
1. 8 br
8. 6
ETK‹NL‹K –66
ETK‹NL‹K –55
1. 2 3 br
5. 5 2 br
6
2
5. 8 br
ETK‹NL‹K – 54
1. 72°
5. 50°
2. 3 5 br
6. 4 br
ETK‹NL‹K –65
ETK‹NL‹K – 53
1. 67,5°
5. 125°
6. 14 br
ETK‹NL‹K –64
ETK‹NL‹K – 52
1. 30°
5. 40°
51
26
2. 60°
9
16
1. 48°
2. 58°
3.
4. 58°
5. 110°
6. 64°
7. 7 br
8. 9 3 br2
3. 5 br
7. 130°
4. 3 br
8. 25°
ETK‹NL‹K –73
1. 146°
5. 60°
335
2. 32 br
6. 104°
ETK‹NL‹K –74
ETK‹NL‹K –84
1. 8 br
2.
130 br 3. 2 5 – 2 br 4. 2 3 br
5. 2 5 br
6. 4 br
7. 10 br
8.
2 +1
5.
ETK‹NL‹K –75
18 5
br
5
6. 3 2 – 3 br 7. 3 br
1. 5 – 5 br 2. 2 5 br2
5. 22,5°
3.
375 2
32
br 3. 9 – 6 2 br 4.
br
2
3
25
6.
br
13
1. 1,5 br2
4. 24 br
2.
18
br
5
ETK‹NL‹K –85
8. 20 br
1. 25 br2
ETK‹NL‹K –76
2.
9 2
br
4
3.
4. 4 5 br2 5. 5π–10 br2
1. 15
2. 2π br
5. 8 3 – 3r 6. 12π br2
br2
3. 96 – 25π 4. 6π – 9 3
7. 16π br2 8. 18 br2
ETK‹NL‹K –86
1. 0.8
ETK‹NL‹K –77
1. 12π br2
2.4π br2
3. 8 3 –
8r 2
br 4. 12 br2
3
5. 8 br
6. 3 3 br2 7. 3π br2
8.10π br2
4. y = ±
2. x = ±
25
4
6. 15π – 30 br2
49
6
3
5
3.
55
8
5.
3
5
6. x = ±
25
2
ETK‹NL‹K –87
ETK‹NL‹K –78
1. 5 – 3
2.
3. 2 2 – 15
10
1. 48° 2. 16π – 32 br2 3. 18π – 18 br2
4. 30π
5. 9 br2 6. 8 br2
7. 39 – 9π br2 8. 8π – 8 3 br2
4. 2 – 2
ETK‹NL‹K –79
ETK‹NL‹K –88
1. 18π br 2. 36π br2 3. 36π br2 4. 24π – 18 3 br2
1. 8 2. 5 – 3 3. 4 10 4.
5. 18 3 – 6r br2 6.
9
4
7. 5π br2
8. 18 br2
5.
y
2
9
–
x2
=1
4
5
3
6.
5.
y2
16
41
5
–
x2
=1
9
6.
13
2
ETK‹NL‹K –89
1. 5 – 2 6
ETK‹NL‹K –80
3
4r
2. 0,8
3. 24π – 18 3 br2 4.
+ 4 br2
3
3
8 2
27r
4r
5.
br
7.
– 18 br2 6.
+ 3 br2
r
4
3
1.
2. 11
25
4. x = ±
3. 4 5
5. y = ±
37
25
6
6.
15
3
ETK‹NL‹K –90
8. 64r – 128 br2
1. 4 – 4 – 4 2 2. y2 – x2 =16 3. 5 – 5 – 5 2
4. 2
5. 12
6. x = ± 2
ETK‹NL‹K –81
9 3
9 3
br2 2. 6r –
br2 3. 8r – 16 br2
2
2
4. 10π – 8 br2 5. 8 6. 4π br2 7. 14π br2 8. 9π br2
ETK‹NL‹K –91
1. 6r –
1. y = ±
4. 45°
ETK‹NL‹K –82
1.
4.
2
y2
y2
x2 y
x2
x2
+
= 1 2.
+
= 1 3.
+
=1
25
9
16 36
45 36
4.
1. y2 = 20x
5. 3
y2
y2
y2
x2
x2
x2
+
= 1 5.
+
= 1 6.
+
=1
49 16
64 55
16 36
5.
3
3x
2x
3. y = ±
5
3
6. 4
2. y2 = –12x 3. x2 = 16y
6. –8
7. 7
4. x2 = –8y
8. –5
ETK‹NL‹K –93
1. x = –6
5. 4
2
y2
x2 y
x2
+
= 1 2.
+
= 1 3. 11
10
9
36 35
2. x = 4
6. –5
3. y = –8
7. 6
4. y = 5
8. –3
ETK‹NL‹K –94
2
y2
x2 y
x2
+
= 1 5.
+
= 1 6. 54
16
9
49 40
1. 2
5. 1
336
2. y = ±
ETK‹NL‹K –92
ETK‹NL‹K –83
1.
3x
5
2. y2 = –16x 3. x2 = 8y
6. 5
7. –4
4. x2 = –4y
8. x2 = –6y

"ekstrem" 11.sınıf geometri konu anlatımlı soru bankası

Transkript

Benzer belgeler

Vize-II Sınavı Soruları ve Cevapları

kfd talep ve transfer formu