Teorem 3

1
5. BÖLÜM
TAM METRİK UZAYLAR
“
de boştan farklı üstten sınırlı herhangi bir alt kümenin en küçük üst sınırı vardır” gibi
’nin tamlık aksiyomunun bu ve bazı denklerini analizden biliyoruz. Daha genel hallerde
çoğu zaman tamlık özelliğine benzer bir özelliğe sahip olmak istenebilir. Bununla birlikte,
analizden bildiğimiz gibi, Cauchy kriteri tamlık aksiyomuyla yakından ilgilidir.
Bundan önceki bölümde de belirtildiği gibi,
( xn )
dizisi bir x noktasına yakınsıyor ise
dizinin belirli bir x n 0 terimden sonraki bütün terimleri, n büyüdükçe birbirlerine daha da
yakınsarlar. Ancak bunun tersi doğru değildir, yani dizinin terimlerinin birbirlerine
yakınsaması dizinin yakınsak olmasını gerektirmez. Bu kesimde inceleyeceğimiz tam metrik
uzaylarda ise terimlerin birbirlerine yakınsamaları dizinin yakınsamasını garanti eder. Tam
metrik uzay tanımına geçmeden önce özel bir dizi tanımlayalım.
5.1. Tanım: ( X, d ) metrik uzay ve ( x n ) bu uzayda bir dizi olsun. Verilen her ε > 0 sayısına
karşılık her n, m ≥ n 0 için d ( x n , x m ) < ε olacak şekilde bir n 0 doğal sayısı bulunabilirse
( xn )
dizisine ( X, d ) metrik uzayında bir Cauchy dizisi denir.
5.2. Teorem: ( X, d ) metrik uzayında yakınsak her bir
( xn )
dizisi bir Cauchy dizisidir.
Kanıt: ( x n ) , ( X, d ) metrik uzayında yakınsak ve ( x n ) → p ∈ X olsun. O halde verilen ε > 0
sayısına karşılık her n, m ≥ n 0 için d ( x n , p ) <
ε
ε
ve d ( x m , p ) < olacak biçimde bir n 0 doğal
2
2
sayısı vardır. Dolayısıyla aynı n 0 doğal sayısı için d ( x n , x m ) ≤ d ( x n , p ) + d ( x m , p ) < ε olur,
bu ise
( xn )
dizisinin Cauchy dizisi olduğunu gösterir.
5.3. Uyarı: (1) Bu teoremin tersi doğru değildir, yani her Cauchy dizisi yakınsak değildir.
⎛1⎞
Örneğin, x = ( 0,1) kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu kabul edersek ⎜ ⎟ dizisi X
⎝n⎠
2
metrik uzayında bir Cauchy dizisidir, ama n → ∞ için bu dizinin yakınsamak istediği 0
noktası bu uzayda değildir. Eğer uzayımız [ 0,1] aralığı olsaydı, yine x n =
1
Cauchy dizisi bu
n
uzayda yakınsak olurdu.
( 2)
f : X d1 → Yd 2 sürekli fonksiyonu verilsin. ( x n ) , X metrik uzayında Cauchy dizisi ise
( Yn ) = ( f ( x n ) )
dizisinin Y metrik uzayında Cauchy dizisi olması gerekmez. Örneğin,
( x n ) = ( arctan n ) ,
⎛ −π π ⎞
⎛ −π π ⎞
X=⎜
, ⎟ alışılmış uzayında bir Cauchy dizisidir. f : ⎜
, ⎟→
⎝ 2 2⎠
⎝ 2 2⎠
f ( x ) = tan x biçiminde tanımlı f fonksiyonu süreklidir ve ( f ( x n ) ) = ( n ) dizisi
,
alışılmış
uzayında bir Cauchy dizisi değildir.
5.4. Teorem: f : X d → Yp fonksiyonu verilsin. “f düzgün sürekli ⇔ X d uzayındaki her bir
( xn )
Cauchy dizisi için ( f ( x n ) ) , Yp metrik uzayında bir Cauchy dizisidir.”
Kanıt: ( ⇒ ) Herhangi ε > 0 sayısı verildiğinde d ( x, y ) < δ özelliğindeki her x, y ∈ X için
p ( f ( x ) , f ( y ) ) < ε olacak biçimde bir δ > 0 sayısı vardır. Diğer yandan ( x n ) bir Cauchy
dizisi olduğundan bu δ > 0 sayısına karşılık her n, m ≥ n 0 için d ( x n , x m ) < δ olacak biçimde
n 0 bir n 0 doğal sayısı vardır. Dolayısıyla her
( f ( x ) ) dizisi Y
n
( ⇐)
p
n, m ≥ n 0 için p ( f ( x n ) , f ( x m ) ) < ε yani
metrik uzayında bir Cauchy dizisidir.
f düzgün sürekli olmasın. Bu durumda öyle bir r > 0 sayısı ve öyle bir ( x n ) Cauchy
dizisi vardır ki yeterince büyük her m ≥ n için d ( x n , x m ) <
Yani ( xn ) Cauchy dizisi fakat ( f ( x n ) ) ,
Y
ρ
1
fakat p ( f ( x n ) , f ( x m ) ) > r dir.
n
metrik uzayında bir Cauchy dizisi değildir, bu
ise varsayım ile çelişir.
5.5. Teorem: ( X, d ) metrik uzayındaki her Cauchy dizisi sınırlıdır.
3
( xn ) ,
Kanıt:
X d metrik uzayında bir Cauchy dizisi olsun. Bu dizinin terimlerinin
oluşturduğu A = {x1 , x 2 ,..., x n ,...} kümesinin sınırlı olduğunu göstermek yeterlidir. Özel
olarak, ε = 1 alınırsa, her n, m ≥ n 0 için d ( x n , x m ) < 1 olacak şekilde bir n 0 doğal sayısı
{ (
}
)
vardır. Eğer r = max 1, d x i , x n0 | i = 1, 2,..., n 0 olarak alınırsa, her n ∈
(
)
için d x n , x n 0 < r
olur ki bu A kümesinin sınırlı olduğunu gösterir.
( )
5.6. Teorem: ( X, d ) metrik uzay ( xn ) bir Cauchy dizisi ve xni
bunun bir alt dizisi olsun.
( ) yakınsak ise ( x ) dizisi de yakınsaktır.
Eğer xni
n
(x ) → a
Kanıt:
ni
olduğunu varsayalım. Herhangi bir ε > 0 sayısı verilsin. ( xn ) bir Cauchy
dizisi olduğundan her n, m ≥ n 0 için d ( x n , x m ) <
(
)
n ≥ n 0 için d x ni , a <
seçilirse, her n ≥
ε
olacak biçimde bir n 0 doğal sayısı ve her
2
ε
olacak biçimde bir m 0 doğal sayısı vardır. N = max {n 0 , m0 } olarak
2
için
(
) (
)
d ( x n , a ) ≤ d x n , x ni + d x ni , a <
ε ε
+ =ε
2 2
yani ( x n ) → a olur.
5.7. Uyarı: Bu özelliğin, herhangi bir dizi için geçerli olmadığına dikkat ediniz.
5.8. Örnekler: (1) X ayrık metrik uzay olsun. ( an ) bu uzayda bir Cauchy dizisi ise, ( an )
(
)
dizisi, a1 , a 2 ,..., a n 0 , p, p,... şeklindedir. Gerçekten, ε =
olduğundan, n, m ≥ n 0 için d ( a m , a n ) < ε =
1
alınırsa
2
( an )
bir Caushy dizisi
1
yazılırsa a n = a m olacak şekilde bir n 0 ≥ N
2
(
)
pozitif tam sayısı vardır. Diğer bir değimle, ( an ) dizisi a1 , a 2 ,..., a n 0 , p, p, p,... şeklindedir.
Yani, bazı terimler sabit olarak devam eder.
(2) ( X, d ) metrik uzay a, b ∈ X ve b n → b ise d ( a, b n ) → d ( a, b ) dır.
4
Gerçekten üçgen eşitsizliğinden,
z = b n alınırsa,
d ( x, y ) − d ( x, z ) ≤ d ( y, z ) yazılabilir. x = a , y = b ,
d ( a, b ) − d ( a, b n ) ≤ d ( b, b n ) olur. Ayrıca d ( b, b n ) → 0 olduğundan,
d ( a, b n ) → d ( a, b ) çıkar.
(3) ( X, d ) metrik uzay, x n → x , y n → y bu uzayda iki dizi ise d ( x n , yn ) → d ( x, y ) dır. (2)
örnekten
d ( x, y ) − d ( x n , y n ) ≤ d ( x, y ) − d ( x n , y ) + d ( x n , y ) − d ( x n , y n ) ≤ d ( x, x n ) + d ( y, y n )
d ( x, x n ) → 0
ve
d ( y, y n ) → 0
lim d ( x, y ) − d ( x n , y n ) = 0
olduğundan
n →∞
⇒ d ( x, y ) = lim d ( x n , y n ) bulunur.
n →∞
5.9. Tanım: ( X, d ) metrik uzayındaki her bir Cauchy dizisi yakınsak ise X metrik uzayına
tam metrik uzay denir.
5.10. Örnekler: (1)
( xn ) ,
alışılmış metrik uzayı bir tam metrik uzaydır.
’de bir Cauchy dizisi olsun. Teorem 5.5’den ( xn ) sınırlıdır. İlk olarak ( xn ) Cauchy
dizisinin yakınsak bir alt dizisi olduğunu görelim. Şimdi A = {x1 , x 2 ,..., x n ,...} kümesini
dikkate alalım. Eğer A kümesi sonsuz öğeli bir küme ise Bolzano-Weierstrass Teoremi’nden
⎛ 1⎞
bir y ∈ A′ vardır. Şimdi, x n k ∈ B ⎜ y, ⎟ ∩ A olmak üzere oluşturulan x n k
⎝ k⎠
( )
(x ) → y
nk
olduğu açıktır. O halde, Teorem 5.6’ya göre
( xn )
alt dizisi için
yakınsaktır. Dolayısıyla
alışılmış uzayı tamdır.
(2)
n
uzayı tamdır.
n
içinde, m = 1, 2,..., n için,
(
x m = x1( m ) , x (2m ) ,....., x (nm )
)
olmak üzere bir ( xm ) Cauchy dizisini göz önüne alalım. ( xm ) dizisinin Cauchy dizisi olması
için, ∀ε > 0 sayısı için
5
⎛ n
m
k
n 0 ≤ m, k ⇒ d ( x m , x k ) = ⎜ ∑ x i( ) − x i( )
⎜ i =1
⎝
(
olacak şekilde bir n 0 ∈
)
2
1
⎞2
⎟⎟ < ε
⎠
sayısının varlığını gerektirir. Buradan,
n 0 ≤ m, k ⇒ d ( x m , x k ) < ε 2
ya da
n 0 ≤ m, k ⇒ x (i m ) − x (i k ) < ε
( )
elde edilir. Bu son eşitsizlikten, 1 ≤ i ≤ n olmak üzere belirli bir i için x (i m ) dizisinin
bir Cauchy dizisi olduğu çıkar.
x i(
m)
’de
tam olduğundan, her i = 1, 2,..., n için
→ xi
olacak biçimde bir x i ∈
vardır. Eğer, x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) dersek x ∈
n
olur. Öte yandan,
verilen her ε > 0 sayısına karşılık, i = 1, 2,..., n için
x i(
m)
→ xi
olduğundan, n i ≤ m ⇒ x i( m ) − x i <
ε
olacak biçimde n i doğal sayıları vardır.
n
Eğer, n′0 = max {n i : i = 1, 2,..., n} olarak seçersek,
⎛ n
m
n 0′ ≤ m ⇒ d ( x m , x ) = ⎜ ∑ x (i ) − x i
⎜ i =1
⎝
(
olur. Bu ise, x m → x demektir ve dolayısıyla
(3)
n
)
2
1
⎞2
⎟⎟ < ε
⎠
tamdır.
alışılmış metrik uzayı tam değildir. Gerçekten de,
1⎛
2⎞
x0 = 1, xn +1 = ⎜ xn + ⎟ , n = 1, 2,... biçiminde tanımlanan ( xn ) dizisi bir Cauchy dizisi.
2⎝
xn ⎠
Ancak ( xn ) → 2 ∉
olduğundan bu dizi yakınsak değildir.
(4) X = ( 0,1) kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayarsak, bu uzay da tam
⎛1⎞
⎛1⎞
değildir, çünkü, ⎜ ⎟ dizisinin yakınsadığı 0 sayısı bu uzaya ait değildir. Bu nedenle, ⎜ ⎟
⎝n⎠
⎝n⎠
dizisi bu uzayda yakınsak değildir.
6
(5) Örnekler 5.8.(1) den biliyoruz ki, ayrık metrik uzaylarda Cauchy dizilerinin sadece sonlu
tanesi birbirinden farklı diğerleri aynıdır ve dolayısıyla da yakınsaktır. O halde her ayrık
metrik uzay tamdır. Örneğin, X = ( 0,1) kümesi üzerinde ayrık metriğin olduğunu düşünerek
bu uzay tam olur. Ancak, (3). örnekte alışılmış metrikle ( 0,1) ’in tam olmadığını gördük.
Dolayısıyla tam uzay olma özelliği bir metrik değişmezi değildir.
(6)
alışılmış karmaşık uzayı tam metrik uzaydır. Gerçekten de, ( z n ) herhangi bir Cauchy
dizisi olsun. Bir ε > 0 sayısı alalım. O halde, n, m ≥ n 0 için z n − z m <
ε
olacak biçimde bir
2
n 0 ≥ N vardır. Diğer yandan,
z n − z m = a n − a m + i ( b n − b m ) ve
a n − a m ≤ zn − zm
bn − bm ≤ z n − z m
,
olduğundan ( a n ) ve ( bn ) birer gerçel Cauchy dizisidir ve
b n → b olacak biçimde bir a, b ∈
tam olduğundan a n → a ve
vardır. Eğer z = a + ib olarak alınırsa
z n − z = ( a n + ib n ) − ( a + ib ) ≤ a n − a + b n − b ve dolayısıyla z n → z olur.
(7) B ([ 0,1] ,
) = {f
| f : [ 0,1] →
sınırlı fonksiyon} kümesi her f , g ∈ B ([ 0,1] ,
{
) için
}
d ( f , g ) = sup f ( x ) − g ( x ) : x ∈ [ 0,1]
x∈[ 0,1]
metriği ile tam metrik uzaydır. ( f n ) , B [ 0,1] de herhangi bir Cauchy dizisi olsun. d metriğinin
tanımına dikkat edilirse, her bir x ∈ [ 0,1] için
fn ( x ) − fm ( x ) ≤ d ( fn , fm )
yazılabilir. Diğer yandan ( f n ( x ) ) ,
alışılmış uzayında bir Cauchy dizisidir ve
olduğundan yakınsaktır. Her bir x ∈ [ 0,1] için
f ∈ B ([ 0,1] ,
)
olduğunu görelim:
( fn )
(f ( x )) → f ( x )
n
tam
olduğunu varsayalım ve
Cauchy dizisi olduğundan her n, m ≥ n 0 için
d ( f n , f m ) < 1 olacak biçimde bir n 0 doğal sayısı vardır. Dolayısıyla her bir x ∈ [ 0,1] için
f n ( x ) − f m ( x ) ≤ 1 ve böylece her n > n 0 ve her bir x ∈ [ 0,1] için f n ( x ) − f n 0 +1 ( x ) < 1 olur.
7
f n0 +1 ( x ) ∈ B [ 0,1] olduğundan, her x ∈ [ 0,1] için f n 0 +1 ( x ) ≤ M olacak biçimde m > 0 vardır.
O halde, her n ≥ n 0 ve her x ∈ [ 0,1] için
f n ( x ) − f n0 +1 ( x ) < 1 ⇒ f n ( x ) < 1 + f n0 +1 ( x ) < 1 + M
olur. Diğer yandan ( f n ( x ) ) → f ( x ) olduğundan her n ≥ n 0 için f n ( x ) − f ( x ) < 1 olacak
biçimde bir n 0 ∈
vardır. Böylece
f ( x ) ≤ f ( x ) − f n ( x ) + f n ( x ) < 1 + (1 + M ) = 2 + M
yani f ∈ B ([ 0,1] ,
) dır.
Şimdi de ( f n ) → f olduğunu gösterelim. Herhangi bir ε > 0 sayısı verilsin. ( f n ) Cauchy
dizisi olduğundan her n, m ≥ n 0 için d ( f n , f m ) <
ε
olacak biçimde bir n 0 ∈
2
bir x ∈ [ 0,1] için k > n 0 sayısını f ( x ) − f k ( x ) <
vardır. Eğer her
ε
olacak biçimde seçersek, her n ≥ n 0 için
2
f ( x ) − fn ( x ) ≤ f ( x ) − fk ( x ) + fk ( x ) − fn ( x ) <
ε ε
+ =ε
2 2
ve dolayısıyla her n ≥ n 0 için d ( f , f n ) < ε , yani ( f n ) → f olur.
(8) C ([ 0,1] ,
) = {f
sürekli fonksiyon} kümesini her f , g ∈ B ([ 0,1] ,
| f : [ 0,1] →
{
) için
}
d ( f , g ) = sup f ( x ) − g ( x ) : x ∈ [ 0,1]
x∈[ 0,1]
metriği ile tam metrik uzaydır. ( f n ) , B [ 0,1] uzayında bir Cauchy dizisi olsun. Bu durumda
verilen bir ε > 0 sayısına karşılık
{
}
n 0 ≤ n, m ⇒ d ( f n , f m ) = sup f n ( x ) − f m ( x ) :x ∈ [ 0,1] < ε .....................................(*)
olacak biçimde bir n 0 ∈
doğal sayısı vardır. Buradan sabit bir x ∈ [ 0,1] için,
n 0 ≤ n, m ⇒ f n ( x 0 ) − f m ( x 0 ) < d ( f n , f m ) < ε
olur. Bu
( f ( x ) , f ( x ) ,...)
1
dizisinin
0
2
0
içinde bir Cauchy dizisi olduğunu gösterir.
fn ( x0 ) → f ( x0 )
tam olduğundan,
8
olacak biçimde bir f ( x 0 ) ∈
gerçel sayısı vardır. Bu yolla, her x ∈ [ 0,1] gerçel sayısına bir
tek f ( x ) gerçel sayısı karşılık getirerek, [ 0,1] üzerinde gerçel değerli bir f fonksiyonu,
f ( x ) = lim f n ( x )
x →∞
biçiminde tanımlayalım. (*) eşitsizliğinde, m → ∞ için
{
}
n 0 ≤ n ⇒ sup f n ( x ) − f ( x ) : x ∈ [ 0,1] < ε
ve buradan, her x ∈ [ 0,1] için,
n 0 ≤ n ⇒ f n ( x ) − f ( x ) < ε olur. Bu eşitsizlik, ( f n ) dizisinin f fonksiyonuna düzgün
yakınsadığını gösterir. Her n için f n fonksiyonu sürekli olduğundan f de süreklidir. Yani,
f ∈ C [ 0,1] olur.
5.11. Teorem: ( X, d ) tam metrik uzay ve ∅ ≠ Y ⊆ X verilsin.
" ( Y, d ) tam uzaydır ⇔ Y, ( X, d ) uzayında kapalıdır"
Kanıt: ( ⇒ :) x ∈ Y olsun. Teorem ??? den ( Y, d ) alt uzayında x ’e yakınsayan bir ( xn )
dizisi vardır.
( xn )
yakınsak olduğundan bir Cauchy dizisidir, böylece
( Y, d )
uzayı tam
olduğundan ( xn ) Y ’de bir noktaya yakınsar. Metrik uzaylarda limit tek olduğundan, ( xn )
dizisinin yakınsadığı nokta x olmak zorundadır. Buradan x ∈ Y dir. Bu ise Y ⊆ Y olduğunu
gösterir. Dolayısıyla Y = Y olur.
( ⇐: )
Y = Y olsun. ( xn ) , Y ’de bir Cauchy dizisi olsun. ( X, d ) tam olduğundan ve ( xn )
X ’de aynı zamanda bir Cauchy dizisi olduğundan ( x n ) → x 0 ∈ X olacak şekilde bir x 0 ∈ X
noktası vardır. Diğer yandan her bir n için x n ∈ Y olduğundan x 0 ∈ Y = Y dir, yani
( xn ) → x0 ∈ Y
dir. O halde Y tamdır.
5.12. Örnek: C ([ 0,1] ,
) ⊆ B ([0,1] , )
biliyoruz. O halde, C ([ 0,1] ,
)
olduğunu ve B ([ 0,1] ,
)
nin tam olduğunu
nin tam olduğunu göstermek için Teorem 5.11’e göre kapalı
olduğunu göstermek yeterlidir. g fonksiyonu C ([ 0,1] ,
)
nin bir yığılma noktası olsun. her
9
bir n için f n ∈ C ([ 0,1] ,
) ∩ B ⎛⎜ g, n1 ⎞⎟
⎝
olmak üzere
⎠
( fn )
fonksiyon dizisini oluşturarak
olduğu açıktır. Şimdi g ’nin sürekli olduğunu gösterelim. x 0 ∈ [ 0,1] ve ε > 0 sayısı verilmiş
olsun.
n 0 sayısını
1 ε
< olacak biçimde seçelim. Bu durumda
n0 3
d ( fn , g ) <
1
ε
<
n0
3
ve dolayısıyla her x ∈ [ 0,1] için
fn ( x ) − g ( x ) <
olur. f n ∈ C ([ 0,1] ,
ε
3
) olduğundan x ∈ [0,1] ve
g ( x ) − g ( x0 )
x − x 0 < δ olduğunda
≤ g ( x ) − fn ( x ) + fn ( x ) − fn ( x 0 ) + fn ( x 0 ) − g ( x 0 )
<
ε ε ε
+ + =ε
3 3 3
yani g , x 0 ∈ [ 0,1] noktasında süreklidir. Yani g ∈ C ([ 0,1] ,
) olup C ([0,1] , )
tamdır.
5.13 Önerme: Bir, f n : ( X, d ) → ( Y, ρ ) fonksiyon dizisi ile f : ( X, d ) → ( Y, ρ ) fonksiyonu
verilmiş olsun. Eğer ( Y,ρ ) tam ise, f n → f yakınsamasının düzgün olması için gerekli yeter
koşul her ε > 0
sayısı ve bütün
x∈X
öğeleri için n ε = n ( ε ) ≤ n, m
olduğunda,
ρ ( f n ( x ) , f m ( x ) ) < ε olacak şekilde sadece ε ‘a bağlı bir n ε sayısının varlığıdır.
Kanıt: ( ⇒ :) ε > 0 olsun. f n → f yakınsaması düzgün ise, her x ∈ X için n ε ≤ n, m
olduğunda ρ ( f n ( x ) , f ( x ) ) <
ε
ε
ve ρ ( f m ( x ) , f ( x ) ) < olacak şekilde en az bir n ε ∈
2
2
doğal
sayısı vardır. Üçgen eşitsizliğinden, ρ ( f n ( x ) , f m ( x ) ) < ε bulunur.
( ⇐:)
ε > 0 olsun. varsayım gereği n ε ≤ n ve n ε ≤ m olduğundan bütün x ∈ X öğeleri için
ρ ( f ( x n ) , f ( x m ) ) < ε olacak biçimde sadece ε ‘a bağlı bir n ε ∈
vardır. Bunun anlamı,
bütün x ∈ X öğeleri için ( f n ( x ) ) dizisinin ( Y,ρ ) içinde Cauchy dizisi olduğudur. ( Y,ρ ) tam
olduğundan, Y içinde lim f n ( x ) limiti vardır. Bu limit yardımıyla, f : ( X, d ) → ( Y, ρ ) ,
n →∞
10
f ( x ) = lim f n ( x ) biçiminde bir f fonksiyonu tanımlayalım. Bu durumda, her x ∈ X için
n →∞
( Y,ρ )
içinde f n ( x ) → f ( x )
olur. Şimdi f n → f
yakınsamasının düzgün olduğunu
gösterelim. Diğer bir deyişle, her ε > 0 sayısı için n ε ≤ n olduğunda bütün x ∈ X öğeleri için
ρ ( f n ( x ) , f ( x ) ) < ε olacak biçimde ε ‘a bağlı bir n ε ∈
olduğunu göstereceğiz. Olmayana
ergi yöntemini izleyip, bütün n = 1, 2,....... doğal sayıları için
ε0 ≤ ρ ( f n ( x 0 ) , f ( x 0 ) )
biçiminde bir ε0 > 0 sayısı ile bir x 0 ∈ X öğesinin bulunduğunu varsayalım. Buradan,
( Y,ρ ) içinde f n ( x 0 )
( Y,ρ )
dizisinin f ( x 0 ) ’a yakınsamayacağı sonucu çıkar. Bu ise her x ∈ X için
içinde f n ( x ) → f ( x ) oluşu ile çelişir. Şu halde varsayım yanlıştır. Yani f n → f
düzgündür.
i = 1, 2,......., n için ( Xi , d i ) metrik uzayını göz önüne alalım. Bunlar yardımıyla tanımlanan
d ∞ ( x, y ) = max {di ( x i , yi ) : i = 1, 2,..., n}
fonksiyonu , X = ∏ Xi çarpım kümesi üzerinde bir metrik olduğunu biliyoruz.
( Xi , d i )
5.14. Önerme: Her i = 1, 2,......., n için
metrik uzayı tam ise
(∏ X , d )
i
∞
çarpım
metrik uzayı da tamdır.
Kanıt:
( X, d∞ )
içinde bir ( u m ) Cauchy dizisi alalım. Dizinin her bir u m öğesi, k = 1, 2,.., n
(
için x mi ∈ X i olmak üzere x m = x m1 , x m2 ,...., x mn
)
biçimindedir. Keyfi bir ε > 0 sayısı
alalım. ( u m ) Cauchy dizisi olduğundan, m ε ≤ m, k olduğunda
{ (
}
)
d ∞ ( u m , u k ) = max d i x mi , x ki : i = 1, 2,..., n < ε
olacak biçimde bir m ε doğal sayısı vardır. Buradan, i = 1, 2,......., n olmak üzere m ε ≤ m, k
(
)
( )( )
(
olduğunda d i x mi , x ki < ε olur. Bu ise, x m1 , x m2 ,....., x mn
( X1 , d1 ) , ( X2 , d 2 ) ,....., ( X n , d n )
) dizilerinin sırasıyla
uzayları içinde bir Cauchy dizisi olduğu anlamına gelir.
di
→ x i biçiminde bir x i ∈ Xi
Bunların her biri tam olduklarından her i = 1, 2,......., n için x mi ⎯⎯
11
vardır. Şimdi bir ε > 0 sayısı alıp εi =
(
)
d i x mi , x i < ε i
olduğunda
{
ε
ve u = ( x1 , x 2 ,...., x n ) diyelim. Şu halde, m εi ≤ m
2
olacak
biçimde
bir
m εi ∈
vardır.
Eğer,
}
d∞
m ε = max m εi : i = 1, 2,....., n denirse, m ε ≤ m için, d ∞ ( u m , u ) < ε olur. Bu ise u m ⎯⎯
→u
olması demektir.
Ancak,
C [ 0,1]
1
ρ ( f , g ) = ∫ f ( x ) − g ( x ) .dx
üzerinde,
metriğinin olduğu varsayılırsa,
0
( C [0,1] ,ρ ) tam değildir. Gerçekten de, her x ∈ [0,1] için
⎧
⎪0
⎪
n
⎪
f n ( x ) = ⎨nx −
2
⎪
⎪
⎪1
⎩
1
⎫
⎪
2
⎪
1
1 1⎪
, ≤x≤ + ⎬
2
2 n⎪
1 1
⎪
, + ≤ x ≤1 ⎪
2 n
⎭
, 0≤x≤
biçiminde tanımlanan ( f n ) dizisinin C ([ 0,1]) içinde olduğu açıktır. Eğer m < n ise, her
x ∈ [ 0,1] için
fn ( x ) − fm ( x ) ≥ 0
1
1
0
0
olacağından ρ ( f n , f m ) = ∫ f n ( x ) − f m ( x ) .dx = ∫ ⎡⎣ f n ( x ) − f m ( x ) ⎤⎦ .dt
1
2
1 1
+
2 n
0
1
2
= ∫ ⎡⎣f n ( x ) − f m ( x ) ⎤⎦ .dx +
1
2
1 1
+
2 n
0
1
2
= ∫ 0.dx +
=
1 1
+
2 n
∫
f n ( x ) .dx −
1 1
+
2 n
∫
f m ( x ) .dx +
1
2
1 1
+
2 m
∫ f ( x ) .dx + ∫
n
1
2
∫
⎡⎣f n ( x ) − f m ( x ) ⎤⎦ .dt .
1 1
+
2 n
1.dt −
1 1
+
2 m
∫
1 1
+
2 n
1 1
+
2 m
∫
1
2
f m ( x ) .dx
1 1
+
2 m
∫
1 1
+
2 n
⎡⎣f n ( x ) − f m ( x ) ⎤⎦ .dt +
f n ( x ) .dx −
1 1
+
2 m
∫
1 1
+
2 n
f m ( x ) .dx +
1
∫
1 1
+
2 m
1
∫
1 1
+
2 m
0.dt
⎡⎣f n ( x ) − f m ( x ) ⎤⎦ .dt
12
=
1 1
+
2 n
∫
1
2
n⎞
⎛
⎛ 1 1⎞
⎜ nx − ⎟ .dx + ⎜ − ⎟ −
2⎠
⎝
⎝m n⎠
1 1
+
2 m
∫
1
2
m⎞
1⎛ 1 1⎞
⎛
⎜ mx − ⎟ .dx = ⎜ − ⎟
2⎠
2⎝m n⎠
⎝
1⎛ 1 1⎞
1
sayısından
olur. Buradan, ρ ( f n , f m ) < ⎜ + ⎟ elde edilir. Verilen bir ε > 0 sayısı için
2⎝m n ⎠
ε
büyük ilk büyük tam sayıya n 0 diyelim. Bu durumda,
n 0 ≤ n, m ⇒ ρ ( f n , f m ) < ε olacağından ( f n ) bir Cauchy dizisidir.
Her f ∈ C ([ 0,1]) için
1
1
2
1 1
+
2 n
0
1
2
ρ ( f n , f ) = ∫ f n ( x ) − f ( x ) .dx = ∫ f n ( x ) − f ( x ) .dx +
0
1
= ∫ f ( x ) .dx +
1 1
+
2 n
0
∫
f n ( x ) − f ( x ) .dx +
1
2
1
∫
∫
f n ( x ) − f ( x ) .dx +
1
∫
f n ( x ) − f ( x ) .dx
1 1
+
2 n
1 − f ( x ) .dx
1 1
+
2 n
olur. İntegrali alınan terimler negatif değildirler. Bu nedenle, sağ yandaki integrallerin hiçbiri
negatif değildir.
Eğer f n → f ya da ρ ( f n , f ) → 0 olsaydı integrallerin her biri 0’a yakınsayacaktı. Buradan da
⎡ 1⎞
⎛1 ⎤
f sürekli olduğundan, her x ∈ ⎢ 0, ⎟ için f ( x ) = 0 ve her x ∈ ⎜ ,1⎥ sayısı için f ( x ) = 1
⎝2 ⎦
⎣ 2⎠
elde edilecekti. Bu ise f ∈ C ([ 0,1]) olması ile çelişir. O halde ( f n ) Cauchy dizisi C ([ 0,1])
içinde hiçbir öğe yakınsamaz. Sonuç olarak, ( C [ 0,1] ,ρ ) uzayı tam değildir.
5.15. Tanım: f : ( X, d ) → ( Y, ρ ) dönüşümünü göz önüne alalım. Eğer, her x, x ' ∈ X için
(
d ( x, x ' ) = ρ f ( x ) , f ( x ' )
)
oluyorsa, f dönüşümüne bir izometri ya da metriği koruyan bir
dönüşüm ya da eşmetrel bir dönüşüm denir.
5.16. Sonuç: Her f : ( X, d ) → ( Y, ρ ) eşmetrel dönüşümü birebirdir.
Gerçekten, f ( x ) = f ( y ) ⇒ d ( x, y ) = ρ ( f ( x ) , f ( y ) ) = 0 ⇔ x = y ‘dir.
13
Eğer, eşmetrel dönüşümü örten ise buna eşmetrel eşyapı dönüşümü (izometrik izomorfizma )
bu uzaylara da eşmetrel eşyapılı uzaylar denir.
5.17 Örnekler: (1) Her ( X, d ) metrik uzayı birim dönüşümü kendisi ile eşmetrel eşyapılıdır.
(2) a ∈
n
n
sabit bir nokta olmak üzere, f :
eşyapı dönüşümüdür. Öncelikle, x, y ∈
n
→
n
, f ( x ) = x + a dönüşümü ile bir eşmetrel
için
d ( f ( x ) , f ( y ) ) = f ( x ) − f ( y ) = x − y = d ( x, y ) olduğundan, f bir eşmetrel dönüşümüdür.
f ‘nin örten olduğu açıktır.
(3) f :
n
→
, f ( x, y ) = x + iy dönüşümü bir eşmetrel eşyapı dönüşümüdür.
d ( f ( x, y ) , f ( u, v ) ) = d ( x + iy, u + iv ) =
=
(x − u) + i( y − u)
( x + iy ) − ( u + iv )
=
( x − u ) + ( y − v)
2
2
= d ( ( x, y ) , ( u, v ) )
olur. Tanımından f ’nin örten olduğu açıktır.
5.18. Önerme: f : ( X, d ) → ( Y, ρ ) eşmetrel eşyapı dönüşümü ise f −1 : ( Y, ρ ) → ( X, d ) de
eşmetrel eşyapı dönüşümüdür.
Kanıt: u, v ∈ Y olsun. f örten olduğundan f ( x ) = u , f ( y ) = v olacak şekilde x, y ∈ X
vardır. f 1 − 1 olduğundan, x = f −1 ( u ) ve y = f −1 ( v ) olur. O halde,
δ ( u, v ) = δ ( f ( x ) , f ( y ) ) = d ( x, y ) = d ( f −1 ( u ) , f −1 ( v ) ) bulunur.
f −1 de örten olduğundan kanıt biter.
5.19. Önerme: ( X, d ) ile ( Y,ρ ) metrik uzaylar ve f : X → Y örten bir izometri (eşmetrel)
olsun. bu durumda, ( X, d ) uzayının tam olması için gerek yeter koşul ( Y,ρ ) uzayının tam
olmasıdır.
14
Kanıt:
( X, d )
tam ve Y içinde bir Cauchy dizisi ( yn ) olsun. X içinde, bir ( x n ) dizisini de
her n = 1, 2,..... için f ( x n ) = ( y n ) biçiminde seçelim. f izometri olduğundan
ρ ( yn , y m ) = ρ ( f ( x n ) , f ( x m ) ) = d ( x n , x m ) olur. Buradan, ( x n ) dizisine X içinde bir Cauchy
dizisi olduğu ortaya çıkar. ( X, d ) tam olduğundan lim ( x n ) = x ve f sürekli olduğundan,
n →∞
lim f ( x n ) = lim ( y n ) = f ( x ) olacak şekilde bir x ∈ X vardır. Yani,
n →∞
n →∞
( yn )
dizisi Y içinde
f ( x ) ’e yakınsar.
5.2. Bir Metrik Uzayın Tamlaması
Bundan önceki kesimde tam metrik uzay tanımı, tam olan ve olmayan metrik uzay örneklerini
ve tam metrik uzayın bir alt uzayının tam olma koşullarını vermiştik. Bu kesimde ise tam
olmayan bir ( X, d ) metrik uzayına karşılık tam olan öyle bir metrik uzay oluşturacağız ki
( X, d ) metrik uzayı bir eşmetrel dönüşüm yardımıyla bunun içine yoğun olarak gömülebilsin.
(1) ( X, d ) metrik uzay ve bunun içindeki bütün Cauchy dizilerinin kümesi C ( X ) olsun:
( x n ) , ( y n )∈C ( X )
olmak üzere
" ( x n ) ∼ ( yn ) ⇔ lim d ( x n , y n ) = 0"
n →∞
olarak tanımlayalım. " ∼ " bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu gösterelim.
⎡ lim d ( x n , x n ) = 0 ⇒ ( x n ) ∼ ( y n )
⎤
⎢ n →∞
⎥
⎢ lim d ( x n , y n ) = 0 ⇔ lim d ( y n , x n ) = 0
⎥
n →∞
⎢ n →∞
⎥
⎢ lim d ( x n , y n ) = 0 ∧ lim d ( y n , z n ) = 0 ⇒ d ( x n , z n ) ≤ d ( x n , y n ) + d ( y n , z n ) ⎥
n →∞
⎢ n →∞
⎥
⎢ olduğundan lim d ( y n , z n ) = 0 bulunur.
⎥
n →∞
⎣
⎦
Böylece C ( X ) denklik sınıflarına ayrılmış olur. Bir ( x n ) ∈ C ( X ) öğesinin denklik sınıfını
⎡⎣( x n ) ⎤⎦ ile gösterelim, yani
⎡⎣( x n ) ⎤⎦ = { ( y n ) ∈ C ( X ) | ( x n ) ∼ ( y n ) } olur.
Şimdi denklik sınıfları kümesini X̂ ile gösterelim, yani,
15
C(X)
∼
{
= X̂ = ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ | ( x n ) ∈ C ( X )
}
olur.
(2) X̂ üzerindeki d̂ metriğini,
(
)
d̂ ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ , ⎡⎣( y n ) ⎤⎦ = lim d ( x n , y n )
n →∞
olarak tanımlayalım. d̂ ’nin iyi tanımlı olabilmesi için eşitliğin sağ tarafındaki değerin var
olması gerekir. İlkin, Ödevler 1.13.(7) ye göre
d ( x n , yn ) − d ( x m , ym ) ≤ d ( x n , x m ) + d ( yn , ym )
olduğundan
(d ( x
n
, y n ) ) dizisi
(
içinde bir Cauchy dizisidir.
, .
)
tam olduğundan,
lim d ( x n , yn ) değeri vardır.
n →∞
İkinci olarak, ( x n ) , ( u n )∈ ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ ve ( y n ) , ( v n )∈⎡⎣( y n ) ⎤⎦ dizileri için
lim d ( x n , u n ) = 0 , lim d ( y n , v n ) = 0 olması ve
n →∞
n →∞
0 ≤ d ( x n , yn ) − d ( u n , vn ) ≤ d ( x n , u n ) + d ( yn , vn )
eşitsizliği lim d ( x n , y n ) = lim d ( u n , v n ) olmasını gerektirir.
n →∞
n →∞
5.2.1. Önerme: Yukarıda tanımlanan d̂ dönüşümü X̂ üzerinde bir metriktir.
(
)
Kanıt: (M.1) Her n için d ( x n , y n ) ≥ 0 olduğundan, d̂ ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ , ⎡⎣( y n ) ⎤⎦ = lim d ( x n , y n ) ≥ 0 dır.
n →∞
Diğer yandan,
(
)
d̂ ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ , ⎡⎣( y n ) ⎤⎦ = 0 ⇒ lim d ( x n , y n ) = 0 olur. Bu ise
n →∞
( x n ) ∼ ( yn )
ya da
( xn )
Cauchy dizilerinin aynı denklik sınıfından oldukları anlamına gelir. Bu ise
demektir. Tersine, ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ = ⎡⎣( y n ) ⎤⎦
( y n ) ∈ ⎡⎣( y n ) ⎤⎦
ve
( yn )
[ x n ] = [ yn ]
olsun. bu durumda, her
( x n ) ∈ ⎡⎣( x n )⎤⎦
(
)
ve her
için ( x n ) ∼ ( yn ) olur. Buradan, lim d ( x n , y n ) = 0 = dˆ ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ , ⎡⎣( y n ) ⎤⎦ bulunur.
n →∞
(M.2) , (M.3) özellikleri de kolayca elde edilir.
16
Şimdi x ∈ X alalım. Terimleri x olan
( x ) ∈ C(X)
( x, x, x,.....)
dizisi bir Cauchy dizisidir. O halde
olup, bunun ∼ denklik bağıntısına göre denklik sınıfını x ile gösterip,
ˆ , T(x) = x
T :X → X
biçimde bir T dönüşümünü tanımlayalım. Bu durumda, her ( x n ) ∈ x ve her ( yn ) ∈ y için
d̂ ( x, y ) = lim d ( x n , y n ) = lim d ( x, y ) = d ( x, y )
n →∞
n →∞
olduğundan, T dönüşümü eşmetrel bir dönüşüm ve dolayısıyla
( X, d ) ile ( T ( X ) , dˆ )
uzayları
eşmetrel eş yapılı olurlar.
(
)
( )
5.2.2. Önerme: T ( X ) , dˆ uzayı X̂, dˆ içinde yoğundur.
ˆ ve r > 0 olsun. ( x ) Cauchy dizisi olduğundan
Kanıt: Bir ( x n ) ∈ C ( X ) için ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ ∈ X
n
(
)
n r ≤ n olduğunda, d x n r , x n <
(x
nr
)
r
olacak biçimde bir n r ∈
2
doğal sayısı vardır. X içinde,
( )
, x n r ,...., x n r ,... sabit dizisi, T x n r = x n r denklik sınıfı için
r
d̂ ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ , x n r = lim d x n , x n r ≤ < r
n →∞
2
(
(
)
(
)
)
ˆ olduğunu gösterir.
olacağından B ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ , r ∩ T ( x ) ≠ ∅ olur. Bu ise, T ( X ) = X
( )
5.2.3. Önerme: X̂, dˆ uzayı tamdır.
( )
Kanıt: X̂, dˆ içinde bir
( ⎡⎣( x )⎤⎦ ) Cauchy dizisi alalım. Yukarıdaki önermeden, her
n
n∈
için
1
d̂ ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ , T ( x n ) <
n
(
)
.....................................................(*)
olacak biçimde bir x n ∈ X öğesi vardır. Bu yolla, X içinde bir ( x n ) dizisi ve X̂ içinde
( T ( x ) ) dizisini oluşturulur. ⎡⎣( x )⎤⎦
n
n
(
dizisinin Cauchy olması ve
)
(
)
(
dˆ ( T ( x n ) , T ( x m ) ) ≤ dˆ T ( x n ) , ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ + dˆ ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ , ⎡⎣( x m ) ⎤⎦ + dˆ ⎡⎣( x m )⎤⎦ , T ( x m )
)
17
≤
1
1
+ d̂ ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ , ⎡⎣( x m ) ⎤⎦ +
n
m
(
)
(
)
eşitsizliği, ( T ( x n ) ) dizisinin T ( X ) , dˆ içinde bir Cauchy dizisi olduğunu verir. Öte yandan,
ˆ dönüşümünün eşmetrel olması, d ( x , x ) = dˆ ( T ( x ) , T ( x ) ) olmasını gerektirir.
T :X → X
n
m
n
m
Bu eşitlik ve ( T ( x n ) ) dizisinin Cauchy olmasından, ( x n ) dizisinin ( X, d ) içinde Cauchy
dizisi olduğu çıkar.
( xn )
Cauchy dizisinin denklik sınıfını
[x]
ile gösterelim. Üçgen
eşitsizliği ve (*) kullanılarak, n = 1, 2,.... için
1
dˆ ( xˆ n , xˆ ) ≤ dˆ ( xˆ n , T ( x n ) ) + dˆ ( T ( x n ) , xˆ ) < + dˆ ( T ( x n ) , xˆ )
n
elde edilir. Buradan,
( x n , x n ,...., x n ,....) ∈ T ( x n )
ve
( x1 , x 2 ,..., x n ,...) ∈ [ x ]
olduğundan
1 ˆ
1
dˆ ([ x n ] , [ x ]) <
+ d ( T ( x n ) , xˆ ) = + lim d ( x n , x m )
n
n n →∞
( )
bulunur. Bu eşitsizlik ve ( x n ) dizisinin ( X, d ) içinde Cauchy dizisi olması X̂, dˆ içinde
lim ⎡⎣( x n ) ⎤⎦ = [ x ] olduğunu verir ve ispat tamamlanmış olur.
n →∞
5.2.4. Tanım: Eğer bir ( X, d ) metrik uzayı, bir eşmetrel dönüşüm yardımıyla, bir ( Y,ρ ) tam
metrik uzayı içine yoğun olarak gömülebiliyorsa, ( Y,ρ ) uzayına ( X, d ) metrik uzayının bir
tamlaması denir.
Yukarıda bir
( X, d )
metrik uzayının bu anlamda bir
( X̂, dˆ )
tamlaması oluşturuldu. Bu
tamlama, aşağıdaki önermede ifade edilen anlamda tektir.
5.2.5. Önerme: Bir
( X, d )
metrik uzayının bütün tamlamaları birbirleri ile eşmetrel
eşyapılıdır.
Kanıt: ( X, d ) metrik uzayının yukarıda oluşturulan
( X̂, dˆ ) tamlaması ile başka bir ( Y,ρ)
tamlamasını göz önüne alalım. Şimdi S :X → Y bir eşmetrel dönüşüm ve S ( X ) = Y olsun.
Bir y ∈ Y öğesi alalım. O halde, S ( X ) içinde y noktasına yakınsayan bir ( yn ) dizisi vardır.
Bu dizi yakınsak olduğundan bir Cauchy dizisidir. Öte yandan, her n = 1, 2,.... için
18
S ( x n ) = yn olacak biçimde X içinde bir ( x n ) dizisi vardır ve dolayısıyla bu dizi de bir
Cauchy dizisi olur. Bu dizinin denklik sınıfını x̂ ile gösterelim ve
( )
ˆ dˆ , H ( y ) = xˆ
H : ( Y, ρ ) → X,
biçiminde tanımlı H dönüşümünü göz önüne alalım. (Bu dönüşüm iyi tanımlıdır). Şimdi
u, v ∈ Y noktaları alalım. S ( X ) içinde bu öğelere yakınsayan diziler sırasıyla ( u n ) ve ( vn )
olsun.
n = 1, 2,.... için
S( xn ) = un
ve
S ( yn ) = vn
olmak üzere X içindeki ( x n ) ve ( yn ) Cauchy dizilerinin denklik sınıflarına, sırasıyla x̂ ve
ŷ denilir ve
{x
n
→ x , y n → y, d ( x n , y n ) → d ( x, y )} olduklarını hatırlarsak!
(
)
ρ ( u, v ) = ρ lim ( u n ) , lim ( v n ) = lim ρ ( u n , v n ) = lim ρ ( S ( x n ) ,S ( y n ) )
n →∞
x →∞
n →∞
n →∞
ˆ yˆ ) = dˆ ( H ( u ) , H ( v ) )
= lim d ( x n , y n ) = dˆ ( x,
n →∞
elde edilir. Bu eşitlik, H ’nin eşmetrel olduğunu verir. Şimdi de H ’nin örten olduğunu
gösterelim.
ˆ alalım.
Bunun için bir x̂ ∈ X
( xn )
dizisi x̂ denklik sınıfının bir temsilcisi olsun.
( xn )
Cauchy dizisi ve S eşmetrel bir dönüşüm olduğundan ( S ( x n ) ) dizisi de S ( X ) dolayısıyla Y
içinde bir Cauchy dizisidir. ( Y,ρ ) tam olduğundan bir y ∈ Y noktasına yakınsar. Bu y
noktası ve yukarıda alınan x̂ için H ( y ) = xˆ olur. O halde, H eşmetrel eşyapı dönüşümüdür.
( )
Dolayısıyla ( H,ρ ) ve X̂, dˆ metrik uzayları eşmetrel eşyapılı olurlar.
( )
Şimdi bir ( X, d ) metrik uzayının, yukarıdaki önermeden dolayı X̂, dˆ tamlaması ile eşmetrel
eşyapılı olacak olan, başka bir tamlamasını oluşturalım. ( X, d ) metrik uzayından sabit bir x 0
noktası alıp her x ∈ X için
fx : X →
, f x ( y ) = d ( y, x ) − d ( y, x 0 )
biçiminde bir f x fonksiyonu tanımlayalım. Burada,
f x ( y ) = d ( y, x ) − d ( y, x 0 ) ≤ d ( x, x 0 )
olduğundan f x fonksiyonu sınırlı yani f x ∈ B ( X ) olur. Ek olarak f x ∈ C ( X ) dir.
19
Bu f x fonksiyonu yardımıyla
T : ( X, d ) → ( B ( x ) , d ∞ ) , T ( x ) = f x
biçiminde bir T dönüşümü tanımlayalım. Her y ∈ X için
f x ( y ) − f x ′ ( y ) ≤ d ( x, x ′ )
olması
d ∞ ( T ( x ) , T ( x′ ) ) ≤ d ( x, x′ )
olmasını gerektirir. Öte yandan y = x alınırsa,
f x ( x ) − f x′ ( x ) = −d ( x, x ′ ) = d ( x, x ′ )
ya da
{
}
d ( x, x′ ) = f x ( x ) − f x ′ ( x ) ≤ sup f x ( y ) − f x′ ( y ) :y ∈ X = d ∞ ( T ( x ) , T ( x′ ) )
bulunur. d ∞ ( T ( x ) , T ( x′ ) ) ve d ( x, x′ ) sayıları arasındaki eşitsizliklerden,
d ∞ ( T ( x ) , T ( x′ ) ) = d ( x, x′ )
elde edilir. Bu eşitsizlik, T dönüşümünün bir eşmetrel dönüşüm olduğunu verir.
(T ( X) , d )
∞
(
uzayı bu
)
∞
( T ( X ), d ) uzayı da tam olur. T ( X ) = T ( X )
( T ( X ), d ) tam uzayı içinde yoğun olduğundan
uzayı tam ve T ( X ) kapalı olduğundan,
olduğundan,
(B(X) , d )
yukarıdaki önermeden T ( X ), d ∞ uzayı
∞
∞
( X, d ) metrik uzayının tamlaması olur.