douglascollege

Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler
Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle
bulunması
GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda, trigonometrik oranları bulmak için
özellikle üçgenler üzerinden istenilen sonuçlar elde edilebilir. Örnek olarak; 300 ve 600’nin
trigonometrik oranlarını bulmak için, 300 – 600 – 900 üçgeni kullanılır:
Sin 300 = 1/2
Sin 600 =
Cos 300 =
Cos 600 = 1/2
/2
/2
Tan 300 =1/
Cot 300 =
Tan 600 =
Cot 600 = 1/
Aynı şekilde 450’nin trigonometrik oranları sorulduğunda, 450 – 450 – 900 üçgeni kullanılır:
Sin 450 =
/2
Cos 450 =
/2
Tan 450=1
Cot 450= 1
Görüldüğü gibi sonuçları bulmak için ilk olarak üçgenlerdeki bu özel üçgenlerdeki kenar
oranlarının, ikinci olarak da trigonometrik fonksiyonun içeriğinin ve hangi dik kenara göre
yapılacağının bilinmesi gerekir. Tabi ki 00 ve 900’nin trigonometrik oranlarını üçgen
üzerinden yorumlamak ve bulmak oldukça zor. Üçgenleri kullanmadan, çok kullandığımız 0,
30, 45, 60 ve 90 derecenin trigonometrik değerlerini farklı şekillerde nasıl bulabiliriz. Projede
yeni yöntemler nasıl çıkarabiliriz bunların üzerinde durdum.
Muslu Pratik Yöntemleri
1-) Kök İçi Ardışık Sıralama Yöntemi
a-) Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları için Kök içi Ardışık Sıralama Yöntemi
0, 30,45, 60 ve 90 derecenin sinüslerini bulmak için, açı değerlerini küçükten büyüğe
tabloya yerleştirelim ve altlarına 0’dan başlayarak ardışık doğal sayıları yazalım:
x
Sinx
00
300
450
600
900
0
1
2
3
4
(Tablo-1)
Sonrasında, verdiğimiz ardışık değerlerin kökünü alalım;
x
00
300
450
600
900
(Tablo-2)
Sinx
Şimdi de Tablo-2 deki değerleri 2 ye böldüğümüzde;
x
00
300
450
600
900
(Tablo-3)
Sinx
değerlerini elde ederiz. Yani, yerleştirdiğimiz ardışık sayı değerlerinin kökünü alıp 2 ye
böldüğümüzde istenilen sinüs değerlerini bulmuş oluyoruz.
Kosinüs değerleri için de aynı yöntemi kullanabiliriz. Kosinüste sinüsten farklı olarak,
bu defa ardışık doğal sayı değerlerini sağdan sola doğru yazarız:
x
00
300
450
600
900
Cosx
4
3
2
1
0
(Tablo-4)
Yine kökünü alıp ikiye böldüğümüzde:
00
x
300
450
600
900
(Tablo-5)
900
(Tablo-6)
Cosx
değerlerini elde ederiz. İki tabloyu birleştirelim:
x
00
300
450
600
Sinx
Cosx
Ayrıca sinüs değerleri bulunduğunda kosinüs değerini bulmakta oldukça kolay.
b-) Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları için Kök içi Ardışık Sıralama Yöntemi
0, 30, 45, 60 derecenin tanjantlarını bulmak için, açı değerlerini küçükten büyüğe
tabloya yerleştiririz ve altlarına 0 la başlayarak 3’ün kuvvetlerini yazarız. Sıralamada son
değer 90 dereceyi tanımsız olduğu için işleme sokmuyoruz:
x
00
300
450
600
(Tablo-7)
Tanx 0
Tablo-7 de elde edilen değerlerin köklerini alalım;
x
00
300
450
600
(Tablo-8)
Tanx
Şimdi Tablo-8 de elde ettiğimiz değerleri 3 e bölelim;
x
00
300
0
1/
450
600
(Tablo-9)
Tanx
1
Sonuçta, sırayla 0 la başlayarak ve 3 ün kuvvetleri yazılarak, bu kuvvetlerin kökleri 3 e
bölündüğünde tanjant değerlerini bulmuş oluruz. Son açı değerini de tanımsız olduğu için
almıyoruz
Kotanjant değerleri için aynı yöntemi kullanabiliriz. Kotanjant da ise değerleri
tanjantın tam tersi, sağdan sola yazarak işlem yaparız. Yine sağdan sola son açı değeri olan
0 dereceyi tanımsız olduğu için işleme almıyoruz:
x
300
450
600
1
1/
900
Cotx
0
(Tablo-10)
2-) Açı Katlarına Göre Bağıntı Bulma Yöntemi
Bu kısımda özellikle 30, 45 ve 60 değerleri için inceleme yapacağız. Bundan dolayı, elde
edeceğimiz değerler n’nin 2, 3 ve 4 değerleri için geçerli olacaktır. 15 in katlarına göre açıyı
ayrıştıralım;
n
2
15n
2.150
3
4
3.150
(Tablo-11)
4.150
sin15n
Tablo-11 e dikkat edilirse kök içindeki değerler, her zaman n değerlerinin bir eksiğidir. Buna
göre genel bir bağıntı yazabiliriz:
Benzer yöntemi kosinüs fonksiyonu için uyarlayalım:
n
2
3
15n
2.150
3.150
4
(Tablo-12)
4.150
cos15n
Tablo-12 ye dikkat edilirse kök içindeki değerler ile n değerleri toplamı her zaman 5 tir. Buna
göre genel bir bağıntı yazabiliriz:
Sinüs ve Kosinüs değerlerini biliyorsak Tanjant ve Kotanjant değerlerini de yazabiliriz:
=
=
İşlemleri 30 un katlarına da çekebiliriz. Bu sayede 90 ve 90 dereceden büyük açı değerlerine
de ulaşmış oluruz. Bunun için yarım açı bağıntılarını kullanabiliriz. Sinüsle başlayalım:
.
.
=
=
biçiminde yazılabilir.
Örnek: Sin900 = Sin(30.3) =
=1
Kosinüs değeri içinde yarım açı bağıntısını kullanalım:
– 1=
Örnek: Cos1200 = Cos (30.4) =
=
3-) Üçüncü Dereceden Denkleme Çevirme Yöntemi
Bu yöntemde 15 derecenin katlarını içeren genel bir formül bulmayı amaçlıyoruz. Daha
önceki yöntemlerde kullandığımız 15 in katı bağıntılarını alalım ve aralarındaki ilişkiyi
belirlemeye çalışalım. Burada yine amaç temel açı değerlerini elde etmek:
n
0
15n
0.150
2
2.150
3
4
6
3.150
4.150
6.150
sin15n
15 in katsayısına bağlı olarak kök içinde oluşan değeri bir fonksiyon olarak kabul edersek
bunu sağlayan fonksiyonun:
biçiminde olması gerekir. Bu fonksiyona göre de aynı zamanda aşağıdaki noktaların
sağlanması gerekir:
n=0 için A (0,0)
n=2 için B (2,1)
n=3 için C (3,2)
n=4 için D (4,3)
n=6 için E (6,4)
Şimdi elimizde noktalar da olduğuna göre fonksiyonu bulmaya çalışalım. Birinci ve ikinci
dereceden fonksiyonlar bu değerleri sağlayamaz. Çünkü birbirinde bağımsız çok nokta var.Bu
durumda üçüncü dereceden bir fonksiyon olur mu deneyelim:
genel denkleminde noktaları yerleştirerek a, b, c, d yi
bulalım.
A(0,0) noktası için
d
B (2,1) noktası için
C (3,2) noktası için
D(4,3) noktası için
E(6,4) noktası için
Ortaya çıkan dört denklemde ortak çözüm yapalım;
I/
II/
III/
IV/
II. ve IV. denklemleri alalım ve I. denklemi (-2) ile çarpalım, alt alta toplayalım:
I ve III. denklemleri alalım ve
eşitliğini yerleştirerek çözüm yapalım:
Bu iki denklemin ortak çözümünü yapalım, bunun için birinci denklemi (-2) ile çarpalım;
Bu durumda 3. dereceden denklemde a, b, c, d değerlerinin yerine bulduğumuz değerleri
yazarsak;
denklemi elde edilir. Graph programıyla bu fonksiyonun grafiğine bakalım;
Görüldüğü gibi noktalarımız fonksiyonu grafiksel olarak da sağlıyor.
Şimdi genel formülümüzü yazalım:
bağıntısı için;
değerini yerine yerleştirelim.
=
Şimdi bu fonksiyonu noktalarımız için deneyelim:
n=0 için
=
=0
n=2 için
=
=
n=3 için
=
= =
n=4 için
=
=
n=6 için
=
=1
=
Bütün noktaların sağladığını göstererek yöntemin doğruluğunu göstermiş olduk.
Sonuç ve tartışma
Projeye ilk başladığımda hedefim trigonometrik oranları yeni bir bakış açısı ile
değerlendirmek ve pratik yöntemler elde etmekti. Ancak bazı değerlerdeki uyumsuzluk ve
tanımsızlık sonuca varmakta zorlayıcı oldu. Bundan dolayı elde ettiğim yöntemleri tüm
değerler için genelleştirmek çok zor oldu. İlk iki yöntem pratik yöntemler oldu ama bazen
kapsamları çok geniş olmadı. Üçüncü yöntemde ise kesin ve genelleştirilmiş bir bağıntı elde
ettim ancak elde edilen bağıntı çok akılda kalıcı ve pratik bir yöntem olmadı. Pratiklikle genel
geçerlilik ters orantılı gelişti. Beni rahatlatan nokta ise sonuçların kesinliği ve doğruluğu oldu.
KAYNAKÇA
1-) Demir, A., (2008), 10.Sınıf Matematik Konu Anlatımlı, Ankara: Zafer Yayınları
2-) Yan, S.& Marchand, A., (2001), Graphing Functions: Douglas College
< http://www.douglas.bc.ca/services/learning-centre/pdf/math/MA1_80_Graphing_Functions.pdf>
3-) Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with
Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications.
<http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities>