Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda

Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile Titreşimli Ortamda

УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАЗОВАНИЕ
TOM IV (1) 2008
MANAGEMENT AND EDUCATION
VOL. IV (1) 2008
Basitleştirilmiş Kalman Filtresi ile
Titreşimli Ortamda Sıvı Seviyesinin Ölçülmesi
M. Ozan AKI
Yrd.Doç Dr. Erdem UÇAR
ABSTRACT: Bu çalışmada, sıvıların seviye ölçümünde dalgalanmalardan kaynaklı meydana gelen ölçme
gürültüsünün kalman filtresi ile öngörülebilir değerlere dönüştürülmesi amaçlanmıştır. Böylece, çalkantılı ortamdan
alınan gürültülü seviye verilerinin kalman filtresi yardımıyla kullanılabilir ve stabilizasyonu yüksek değerlere
dönüştürmesi üzerine bir uygulama gerçekleştirilmiştir. Özellikle hareketli kara ya da deniz taşıtlarında bulunan çeşitli
sıvı tankları (yakıt, su, yağ, v.b.) hareket sırasında sıvı üzerine uygulanan kuvvetler neticesinde dalgalanır ve
çalkantılara neden olur. Bu çalkantılar, tank çeperlerine ve tabanına ani ve büyük kuvvet darbeleri meydana getirir.
Tank boyutlarına bağlı olarak sıvının belirli seviyelerinde dalgalanma rezonansa girebilir. Bu durumda, çalkalanma
maksimum düzeye ulaşır. Bu dalgalanmalar bazı durumlarda çok ciddi zararlar verebilir. Bu koşullara altında,
tanktaki sıvının seviyesini ölçen sistemler çalışmayı sürdürmek durumundadır. Ancak, dalgalanmadan dolayı
transdüserlerin üzerine etkiyen kuvvetler ölçüm değerlerinde ani sapmalara neden olurlar. Bu çalışmada, çalkantılı
ortamdan alınan gürültülü verilerin kalman filtresi yardımıyla kullanılabilir ve stabilizasyonu yüksek değerlere
dönüştürmesi üzerine bir uygulama gerçekleştirilmiştir.
Key words: liquid level measurement, kalman filter, simplified kalman filter, sloshing liquid, level monitor, liquid level
monitor, sloshing liquid level.
1. Giriş
Günlük hayatımızın birçok alanında çeşitli sıvıları
depolamak için depo, yada diğer adıyla tanklar kullanırız.
Burada bahsettiğimiz “sıvı”, içmek yada kullanmak amacıyla
depolamak istediğimiz su olabileceği gibi, kalorifer kazanı
için fuel-oil, mazot yada köylerden toplanarak depolanmış süt
olabilir. Bu sıvı ayrıca bir yağ fabrikasındaki yağ dolu
kazanlar veya bir imalathanede asit dolu bir depo olabilir. Bu
liste dahada uzatılabilir [7, 8].
Depolanan sıvı her ne olursa olsun, bunun miktarını her
zaman bilmek isteriz. Ne kadar suyumuz kaldı, fuel-oil bu kışı
atlatmaya yetecek mi?, ne kadar süt toplanmış, bu benzin bizi
daha ne kadar götürür gibi sorular sürekli aklımızdadır.
Günlük hayattaki basit ölçümler çoğu zaman gözle
“görsel” olarak yapılır ancak miktarın “önemli” olduğu yada
miktarın sürekli değiştiği dinamik bir sistemde yada
“insansız” bir sistemde bu miktarları ölçmek için çeşitli
yöntemler geliştirilmiştir.
Bir depodaki sıvının miktarı genellikle taban düzleminden
sıvının yüzeyine olan uzunluk ölçüsü olarak ölçülür. Eğer
gerekliyse bu yükseklik bilgisi daha sonra kolayca litre yada
hacim birimine dönüştürülebilir.
Ölçüm sisteminden herhangi seviye bilgisi elde etmenin
birçok yöntemi bulunmaktadır.
Şamandıralı ölçme sistemi en basit seviye transdüseridir.
Bu yöntemde, sıvının yüzeyinde yüzebilen bir hacim vardır ve
bu şamandıranın pozisyonu genellikle açısal transdüserler
yada doğrusal değişkenli pozisyon algılayıcıları (LVDT) ile
ölçülür.
İçinde sıvı bulunan bir kap, kabın iç çeperlerine ve
tabanına bir basınç uygular. Bu basınç, sıvının kap
içerisindeki yüksekliği ile doğru orantılıdır. Burada hareketle
sıvı tankına monte edilen bir basınç transdüseri ile
P = ρ gh + atm
(1)
denkleminden basınç ile seviye arasındaki doğrusal
ilişkiden yararlanılabilir.
Eğer metal, yani iletken bir sıvı tankına sahipsek, bu tankı
dev bir kapasite olarak düşünebiliriz ve bu tankın içerisine
daldırılan bir iletken çubuk ile tank yüzeyi arasında bir
kapasite oluşur. Bu kapasite, dielektrik madde olan sıvının
seviyesi ile orantılı olarak değişir. Böylece ölçülen kapasite
değerinden seviye hakkında çıkarımlar elde edebiliriz.
Diğer bir yöntem, sıvı yüzeyine sabit bir noktadan
gönderilen ultrasonik ses dalgalarının yansıma zamanını
ölçmektir. Böylece sıvının yüzeyi referans noktasına göre
tespit edilebilir [1].
Bunların dışında daha az yaygın olan diğer başka
yöntemlerde kullanılmaktadır.
Ancak hangi yöntem kullanılıyor olursa olsun, sıvı
yüzeyinde meydana gelen doğal veya uygulanan herhangi
kuvvet neticesinde meydana gelen dalgalanma ve
çalkalanmalar ölçüm değerlerini olumsuz etkileyen
gürültülere neden olurlar. Yerküre üzerine konumlandırılmış
olan çoğu tankta bu etkiler yoğun olmamasına karşın hareket
halindeki taşıtlarda bulunan sıvı tanklarında bu etki büyük
ölçüde ölçüm değerlerini etkilemektedir.
Özellikle kara ve deniz araçlarında bulunan çeşitli sıvı
tanklarındaki seviyenin ölçülmesinde kaşılaşılan en büyük
problemlerden biri, hareketten dolayı sıvıda meydana gelen
dalgalanma ve çalkantılardır. Eğer ölçme işlemi bir basınç
sensörü ile yapılıyor ise, burada ek olarak sistemin
eylemsizliğinden dolayı ek gürültüler meydana gelecektir.
Gerçek ölçüm değerinin çevresinde ani değişimler gösteren bu
çalkantı gürültüsünü sönümlemenin çeşitli yöntemleri
bulunmaktadır.
Bu çalışmanın odak noktası ise tam buradadır. Gürültülü
bir seviye ölçümünden elde edilen verilerden anlamlı bir
seviye bilgisi etmenin yöntemleri üzerinde bir çalışma
yapılmıştır. Çalışma sonucunda gerçek ortamda modellenen
bir su tankında yapay olarak elde edilen dalgalanmalar
ölçülerek bu ölçüm değerlerinden kalman filtresi ile
öngörülebilir seviye bilgisi elde edilmeye çalışılmıştır [3].
УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАЗОВАНИЕ
TOM IV (1) 2008
MANAGEMENT AND EDUCATION
VOL. IV (1) 2008
2. Uygulama Modeli
Resim 2
bağlantısı
Uygulamada kullanılacak model tek boyutlu olup, girdi
olarak sadece transdüserden alınan seviye bilgisi
kullanılmaktadır.
Şamandıra
kolunun
potansiyometreye
Açısal transdüser, arabirim kartı üzerindeki analog-sayısal
dönüştürücüye bağlanmıştır. Böylece elde edilen açı bilgisi
sayısal değere dönüştürülerek işlemeye hazır hale
getirilmiştir.
Arabirim kartının diğer bir fonksiyonu ise transdüserden
aldığı bu bilgiyi bilgisayara iletmektir. Bunun için ise basitçe
RS232 haberleşme arabirimi kullanılmaktadır. Arabirim kartı,
ayarlanan periyotlarda ölçüm yaparak bu ölçüm değerlerini
istendiğinde bilgisayara göndermekle görevlidir. Böylece ham
seviye bilgisini bilgisayara ulaştırmış olduk.
3. Kalman Filtresi
Şekil 1Ölçme Sisteminin Blok Diagramı
Bu seviye bilgisi, mikrokontrolör tabanlı bir arabirim kartı
üzerinden bilgisayar ile okunmaktadır. Seviye transdüseri
olarak şamandıranın ucuna bağlanmış açısal bir
potansiyometre kullanılmıştır.
Kalman filtresi, gürültülü ölçümlerden olasılıklı tahmin
(stochastic estimation) çıkarımında bulunabilen ünlü ve
yaygın bir kullanım alanına sahip matematiksel bir araçtır.
Rudolpf E. Kalman tarafından 1960 yılında yayınlanmıştır.
Kalman filtresinin en önemli özelliği, modellenen sistemin
geçmiş, şimdiki ve gelecekteki durumlarını öngörebilir
olmasıdır [3]
4. Ayrık-Zamanlı Kalman Filtresi
Sayısal işaret işlemede yaygın bir şekilde kullanılan ayrık
(discrete) kalman fitresi, tekrarlamalı (recursive) işlemler
yapan bir dizi matematiksel denklemleri içerir. [3].
Öngörülen durum değişkeni n boyutlu bir vektör
x ∈ℜn olmak üzere durum denklemi
xk = Axk −1 + Buk −1 + wk −1
ve
(3)
z ∈ ℜn olmak üzere ölçüm çıkışı
zk = Hxk + vk
(4)
olarak ifade edilir. Burada uk ölçüm girişi, wk proses
gürültüsü ve vk ölçme gürültüsünü temsil eder. k indisi, zaman
aralılarını göstermektedir. [3]
Resim 1 Arabirim kartının görünümü
5. Geliştirilmiş Ayrık Zamanlı Kalman Filtresi
Bu düzenlemenin yapısı basit olmakla beraber çıkış
doğrusal olmayıp derinlik;
h = H − L ⋅ sin θ
(2)
Denklemi ile ifade edilir [1]. Burada h sıvı seviyesinin
tabandan olan yüksekliği, H tabandan açısal pozisyonlu
transdüserein konumuna olan yükseklik, L ise, açısal
transdüser ile şamandıra arasındaki kolun uzunluğudur.
Geliştirilmiş ayrık-zamanlı kalman filtresi temelde iki
denklem grubundan meydana gelmektedir. Zaman güncelleme
denlemleri, geçmiş ölçümlerden elde edilen kazanç ile yeni
bir değer kesitiriminde bulunur. Ölçüm güncelleme olarak
adlandırılabilecek ikinci denklem takımında ise, yeni gelen
ölçüm değeriyle katsayılarda düzentme yapılır.
Zaman Güncelleme (tahmin) denklemleri
xˆk− = f ( xˆk −1 , uk −1 , 0)
−
k
(5)
P = Ak Pk −1 A + Wk Qk −1W
T
k
T
k
(6)
Ölçme güncelleme (düzeltme) denklemleri
K k = Pk− H kT ( H k Pk− H kT + Vk RkVkT ) −1
−
k
−
k
xˆk = xˆ + K k ( zk − h( xˆ , 0))
−
k
Pk = ( I − K k H k ) P
(7)
(8)
(9)
Şeklinde ifade edilir.
Denklem (3)’te durum zamanla değişmediğinden A = 1,
herhangi kontrol girişi uygulanmayacağından u = 0,
УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАЗОВАНИЕ
TOM IV (1) 2008
Dalgalanma gürültüleri doğrudan
ölçümle
geldiğinden H = 1 kabul edilirse yeni denklem;
xk = xk −1 + wk
MANAGEMENT AND EDUCATION
VOL. IV (1) 2008
beraber
(10)
Olacaktır. denklem (3)’ten ölçüm denklemi ise;
zk = xk + vk
(11)
Olur. Böylece zaman güncelleme denlemleri;
xˆk− = xˆk −1
(12)
−
k
P = Pk −1 + Q
Ve ölçüm güncelleme denklemleri ise;
K k = Pk− ( Pk− + R)−1
(13)
−
k
P
Kk = −
Pk + R
(14)
xˆk = xˆk− + K k ( zk − xˆk− )
−
k
Pk = (1 − K k ) P
(15)
(16)
Bu denklemlerde Q proses, R ölçüm varyansı ve P ise
tahmin hata kovaryansıdır.
Geliştirilmiş ayrık zamanlı kalman filtresi denklemlerinde,
filtrenin davranış biçimini belirleyen iki parametre vardır.
Proses varyansı Q, prosesteki değişimlere ayak
uydurabilme yeteneği olarak tanımlanabilir. Q değeri küçük
alındığında sistem çalışmasını kararlılığa zorlar ve filtrelenmiş
bileşen orjinal bileşenin hareket dinamiğinde meydana gelen
değişiklikleri iyi takip edemez ve sapmalar gösterir ancak
buna karşın üst düzeyde stabilizasyon sağlar. Q değeri büyük
alındığında ise orjinal hareketteki değişimler yakından takip
edilir ancak stabilizayon performansı düşer. Optimum bir
düzgünleştirme için Q değeri 0 ile 1 arasında tanımlanmalıdır
[5]. Gerçekte Q parametresi başlangıç değeri için 0 kabul
edilebilir ancak sıfır olmayan çok küçük bir değerin verilmesi,
filtrenin adaptasyonunda esnekli sağlar [3].
Ölçüm varyanı R parametresi ise, ölçüm değerinin
ağırlığını, yada diğer bir deyişle güvenirliğini belirler. R
değeri küçük alındığında, ölçüm değerlerinin güvenilir olduğu
kabul edilir ve anlık ölçüm değerlerinin tahmin üzerindeki
ağırlığı artar. Dolayısıyla ölçüm değerinde meydana gelene
anlık değişmeler yada gürültüler tahmin çıkışına kolayca
yansır. Küçük R değerinde tahmin, ölçüm değerlerindeki
değişimlere daha çabuk tepki verir [3],[5].
Diğer yandan büyük değerlikli bir R parametresi ise,
ölçüm değerlerinin güvenirliğinin düşük olduğunu ifade eder
ve anlık ölçüm değerlerinin, tahmin üzerindeki ağırlığı azalır.
Bundan dolayı sistemin anlık değişimlere verdiği tepki
yavaşlar. Ancak sistemin stabilizasyonu yükselir ve daha
kararlı çalışır [3],[5].
Resim 3 Uygulama yazılımının ekran görüntüsü
Sıvı tankı olarak 32 cm uzunluğunda, 21 cm genişliğinde
ve 14 cm yüksekliğinde dikdörtgen şekle sahip PVC bir su
tankı üzerinde gerçeklenmiştir. Bu su tankı ölçülerine göre
minimum seviye 1 cm ve maksimum seviye 12 cm olarak ele
alındığında,
fn =
nπ g
 nπ hs 
⋅ tanh 

l
 l 
(17)
Denklemine göre en düşük ve en yüksek dalgalanma
frekansları 0.4885 Hz ve 1.42 Hz olmaktadır [6]. Dolayısıyla
0.704 ile 2.047 saniye zaman aralığında meydana gelen
değişimler dalgalanma osilasyonları olacağından bu
osilasyonlar absorbe edilmelidir.
Resim 4 Sıvı tankı ve arabirim kartının genel
görünümü
Kalman filtresinin Q ve R parametrelerinin çeşitli
değerleri için deneysel olarak basamak fonksiyonuna verdiği
cevap ve oturma zamanı Tablo 1’de verilmiştir.
Tablo 1 Çeşitli Q ve R parametreleri için kalman
filtresinin basamak fonksiyonuna tepki zamanları
6. Deneysel Uygulama
Öncelikle uygulama için bir bilgisayar yazılımı
geliştirilmiştir. Bu yazılım, sahadan aldığı ham seviye
bilgisini belirlenen zaman aralıklarında kaydederek her bir
ölçüm için kalman filtre çıkışını hesaplar ve hem ham seviye
hemde kalman filtre çıkışını grafiksel olarak ekrana çizer.
1
2π
#
1
2
3
4
5
6
7
8
Q
0.0001
0.001
0.01
0.1
0.0001
0.0001
0.0001
0.0001
R
0.01
0.01
0.01
0.01
0.0001
0.001
0.1
1
T (sn)
6.2
2.2
0.6
0.01
0.8
1.8
17.3
49.1
УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАЗОВАНИЕ
TOM IV (1) 2008
MANAGEMENT AND EDUCATION
VOL. IV (1) 2008
120
Osilasyon frekansının dışında, Q ve R parametrelerinin
değeri belirlenirken dikkat edilmesi gereken bir diğer husus,
olası en yüksek doldurma ve boşaltma debilerini göz önünde
bulundurmak olmalıdır. Zira tanktaki seviyenin değişim hızı,
doldurma yada boşaltma debisini aşamaz.
Ancak bu çalışmadaki deneyde, sıvı tankı statik olup
herhangi doldurma/boşaltma mekanizmasına sahip değildir.
Bu nedenle sadece dalgalanmanın etkisi incelenerek çeşitli Q
ve R parametreleri için değerler alınmıştır. Doldurma ve
boşaltma durumları ile ilgili çalışma yapılmamıştır.
100
80
60
40
0
140
20
40
60
80
100
60
80
100
60
80
100
60
80
100
Şekil 5 Q=0.001 ve R=0.1
120
140
100
120
80
100
80
60
60
40
0
20
40
60
80
100
Şekil 2 Q=0.0001 ve R=0.001
40
20
0
120
20
40
Şekil 6 Q=0.001 ve R=0.3
140
100
120
80
100
60
80
40
60
0
20
40
60
80
100
Şekil 3 Q=0.0001 ve R=0.01
40
0
120
20
40
Şekil 7 Q=0.1 ve R=0.3
100
140
80
120
60
100
40
80
20
60
0
20
40
Şekil 4 Q=0.0001 ve R=0.1
60
80
100
40
0
20
40
Şekil 8 Q=0.00001 ve R=0.05
УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАЗОВАНИЕ
TOM IV (1) 2008
MANAGEMENT AND EDUCATION
VOL. IV (1) 2008
Şekillerdeki grafiklerde sürekli çizgiler ölçüm değerlerini
temsil ederken kesikli çizgiler kalman filtresinin çıkış değerini
göstermektedir. Grafikler incelendiğinde Q değerinin
minimum ve R değerinin maksimum olduğu Şekil 10’da, filtre
çıkışının stabilizasyonunun en düzgün olduğu durum
gözlenmektedir.
140
120
100
7. Sonuçlar ve Tartışma
80
60
40
0
20
40
60
80
100
60
80
100
60
80
100
Şekil 9 Q=0.0001 ve R= 0.05
140
120
100
80
60
40
0
20
40
Şekil 10 Q=0.0001 ve R=0.5
120
100
80
60
40
0
20
40
Şekil 11 Q=0.0005 ve R=0.01
Bu çalışma sonucunda, kalman filtresinin, dalgalı ve
çalkantılı ortamlardaki seviye ölçümü için oldukça uygun ve
kullanılabilir bir matematiksel araç olduğu gözlemlenmiştir.
Özellikle hareketli araçlar tarafından taşınan sıvı tanklarındaki
seviye ölçümlerinde stabilitesi yüksek sonuçlar elde
edilebildiği gözlemlenmiştir.
Tek boyutlu matris vektörüne indirgendiğinde oldukça
basit denklem formları elde edilebildiğinden, özellikle mikrodenetleyici uygulamalarında kullanmak mümkündür.
Ölçüm sistemine özgü matematiksel model ya da durum
denklemleri kullanılmadığından uygulama bağımsızdır ve
taşınabilir özelliğe sahiptir. Diğer bir deyişle, seviye ölçümü
için optimize edilmiş bir kalman filtresi herhangi boyut ve
hacimdeki farklı tanklarda benzer davranış gösterecektir.
Bu çalışmada he ne kadar Q ve R parametrelerine
deneysel olarak sabit değerler atansa da, bu konudaki
çalışmanın bir sonraki adımı, tank boyutlarına bağlı olarak bir
denklem oluşturularak uygulamaya yönelik en uygun
parametreleri belirleme çalışması yapılabilir. Sıvının
vizkozitesi, ya da yoğunluğu denklem sistemine dahil
edilebilir.
Daha ileri bir çalışma ise, Q ve R parametrelerinin sistem
durumuna göre dinamik olarak değiştirilmesi olabilir. Böylece
gerektiği durumda tepki zamanı kısa, hızlı bir okuma yada
gerektiği zamanda stabilitesi yüksek, kararlı değerler
okunabilir. Örneğin, bir gemi durgun sularda giderken R
değeri düşürülerek tanklardaki sıvı seviyesinin değişimi daha
hızlı bir şekilde gözlenebilir. Ancak fırtınalı bir bölgede
tanklardaki sıvı sürekli osilasyon yapacağından R değeri
yükseltilerek seviye stabilizasyonu sağlanabilir.
Bu çalışmada 32 cm uzunluğunda, 21 cm genişliğinde ve
14 cm yüksekliğinde dikdörtgen şekle sahip PVC bir su tankı
kullanılmıştır. Benzer şekilde, bu çalışmanın gerçek
uygulamada bir sıvı taşıyan tankere veya gemi tanklarındaki
ölçüm sistemlerine uyarlanabileceği düşünülebilir. Örneğin
deniz araçlarında yakıt tankı göstergesi yada dengeleme
tanklarınındaki seviye ölçümü yada kara taşıtlarından
tankerler için seviye ölçümünde kullanılabilir bir model
olacağı düşünülmektedir.
140
8. Kaynakça
120
100
80
60
40
0
20
40
Şekil 12 Q=0.0005 ve R=0.01
60
80
100
[1] Parr E. A. Endüstriyel Kontrol El Kitabı,
Transdüserler, MEB Yayınları, 1997.
[2] Kuo B. C. Otomatik Kontrol Sistemleri, Literatür
2005.
[3] Welch G. ve Bishop G., An Introduction to the
Kalman Filter University of North Carolina, 2006
[4] http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/
[5] Güllü M. K., Yaman E., Ertürk S. Bulanık Denetleç
Uyumlaması Kullanılan Kalman Filtresi İle Görüntü
Stabilizasyonu, Kocaeli Üniversitesi, İzmit.
[6] T. Nasar, S. A. Sannasiraj, V. Sundar. Experimental
Study of Sloshing Dynamics in a Barge Carrying Tank.
Indian Institute of Technology Madras, India, 2007.
УПРАВЛЕНИЕ И ОБРАЗОВАНИЕ
TOM IV (1) 2008
[7] S. Mitra, K.P. Sinhamahapatra. Slosh Dynamics of
Liquid Filled Containers with Submerged Components using
pressure-based finite element method. Department of
Aerospace Engineering , IIT Kharagpur, West Bengal.
[8] W. Rumold. Modelling and Simulation of Vehicles
Carrying Liquid Cargo. Institute B of Mechanics, University
of Stuttgart, Germany 2000.
MANAGEMENT AND EDUCATION
VOL. IV (1) 2008