Lineer Cebir ve Müh. Uyg. Doğrusal Dönüşümler

Lineer Cebir ve Müh. Uyg. Doğrusal Dönüşümler

17.12.2015
Lineer Cebir ve Müh. Uyg.
4.9. Rn’den Rm’e Doğrusal Dönüşümler
Doç.Dr. M. Kemal Güllü
Doğrusal Dönüşümler
• Fonksiyonlar ve Dönüşümler:
– Fonksiyon, A kümesindeki bir değerin B
kümesinde yalnızca bir değere karşılık geldiği
kuraldır.
1
17.12.2015
Doğrusal Dönüşümler
• Tanım: V ve W vektör uzayları, f ise V düzleminden W
alt düzlemine tanımlı bir fonksiyon ise; f, V’den W’ye
bir dönüşümdür.
• Eğer V=W ise f fonksiyonuna operatör denir.
Gerçek fonksiyonlar
Doğrusal Dönüşümler
• Matris Dönüşümleri:
• Diğer gösterimler:
,
2
17.12.2015
Doğrusal Dönüşümler
• Örnek:
Doğrusal Dönüşümler
• Dönüşümün özellikleri:
3
17.12.2015
Doğrusal Dönüşümler
Doğrusal Dönüşümler
• Matris Dönüşümü İçin Standart Matrisin
Bulunması:
4
17.12.2015
Doğrusal Dönüşümler
• Yansıma (reflection) Operatörleri:
Doğrusal Dönüşümler
5
17.12.2015
Doğrusal Dönüşümler
• İzdüşüm (projection) Operatörleri:
Doğrusal Dönüşümler
6
17.12.2015
Doğrusal Dönüşümler
• Dönme (rotation) Operatörleri:
R2:
Standart matris:
Doğrusal Dönüşümler
7
17.12.2015
Doğrusal Dönüşümler
• Örnek:
Doğrusal Dönüşümler
R3:
8
17.12.2015
Doğrusal Dönüşümler
Doğrusal Dönüşümler
9
17.12.2015
Doğrusal Dönüşümler
• Örnek: Sapma (yaw), Yunuslama (pitch) ve
Yuvarlanma (roll) açıları
– Havacılık ve uzaycılıkta kullanılır (aracın kontrolü)
Doğrusal Dönüşümler
• Yayılma (dilation) ve Büzülme (contraction)
Operatörleri:
10
17.12.2015
Doğrusal Dönüşümler
Doğrusal Dönüşümler
• Genişletme (expansion) ve Sıkıştırma
(compression) Operatörleri:
11
17.12.2015
Doğrusal Dönüşümler
Doğrusal Dönüşümler
• Kırpma (shear) Operatörleri:
12
17.12.2015
Doğrusal Dönüşümler
• Orjinden Geçen Doğru Üzerine Dikgen
İzdüşüm:
Doğrusal Dönüşümler
• T için standart matris:
13
17.12.2015
Doğrusal Dönüşümler
• Örnek:
Matris Dönüşümlerinin Özellikleri
• Dönüşümlerin Birleştirilmesi:
14
17.12.2015
Matris Dönüşümlerinin Özellikleri
• Not:
Matris Dönüşümlerinin Özellikleri
15
17.12.2015
Matris Dönüşümlerinin Özellikleri
• Örnek: 3 dönüşümün birleşimi
Matris Dönüşümlerinin Özellikleri
16
17.12.2015
Matris Dönüşümlerinin Özellikleri
• Bire Bir Matris Dönüşümü:
– Örn: Döndürme operatörü bire birdir. Dikgen
izdüşüm ise bire bir değildir.
Matris Dönüşümlerinin Özellikleri
– Örn: Döndürme operatörü bire bir iken, dikgen
izdüşüm bire bir değildir.
17
17.12.2015
Matris Dönüşümlerinin Özellikleri
• Teorem:
Matris Dönüşümlerinin Özellikleri
• Bire Bir Matris Operatörünün Tersi:
18