Fourier Analizi Dersi Çalışma Soruları Final(Matematik Müh. Bölümü

Fourier Analizi Dersi Çalışma Soruları Final(Matematik Müh. Bölümü-2015)
S-1)
={
gösteri i i
S-2)
={
S-3)
={
,− < <
, fonksiyonunun Fourier integralini bulunuz ve integral
, �ğ ℎ
eye yakı sadığı ı elirti iz.
−
,
, fonksiyonunun Fourier integralini bulunuz ve integral gösteriminin
, <
eye yakı sadığı ı elirti iz.
gösteri i i
S-4)
cos
={
gösteri i i
S-5)
sin � , < <
, fonksiyonunun Fourier integralini bulunuz ve integral
, � ℎ
eye yakı sadığı ı elirti iz.
={
gösteri i i
,| | <
,| | >
�
�
, fonksiyonunun Fourier integralini bulunuz ve integral
eye yakı sadığı ı elirti iz.
�
,| | < | | <
,| | >
�
�
, fonksiyonunun Fourier integralini bulunuz ve integral
eye yakı sadığı ı elirti iz.
,| | <
, > fonksiyonunun Fourier integralini bulunuz ve
,
�
�
i tegral gösteri i i eye yakı sadığı ı elirti iz.
S-6)
={
− ,− < <
, < <
, fonksiyonunun � periyotlu Fourier serisini bulunuz ve
,
�
�
periyodik fo ksiyo u grafiği i çizi iz.
S-7)
S-8)
={
={
gösteri i i
S-9)
={
gösteri i i
− cosx, | | <
�
, fonksiyonunun Fourier integralini bulunuz ve integral
,
�
�
eye yakı sadığı ı elirti iz
− | |, | | <
, fonksiyonunun Fourier integralini bulunuz ve integral
,
�
�
eye yakı sadığı ı elirti iz
S-10)
= −| | , fonksiyonunun Fourier integralini bulunuz ve integral gösteriminin neye
yakı sadığı ı elirti iz
S-11)
={
gösteri i i
−x ,| | <
�
, fonksiyonunun Fourier integralini bulunuz ve integral
,
�
�
eye yakı sadığı ı elirti iz
1
,− < <
− , < <
S-12)
={
, fonksiyonunun Fourier integralini bulunuz ve integral
− − ,− < < −
,
�
�
gösteri i i eye yakı sadığı ı elirti iz
S-13) − 6′ �
S-14) ∫
∞ � 2
={
S-15)
={
S-16)
={
S-17)
ex −
ex +
− 2
=
− 2
=
−
−
=
S-19)
S-21)
x− ,
, >
=
S-18)
S-20)
�
−
=
S-22)
−
,
S-24)
S-25)
S-26)
S-27
S-28)
S-29)
−
,
,
−
,
,
�
�
= olduğu u gösteri iz.
= �∫
,
∞
, fonksiyonunun Fourier cosinüs integralini bulunuz
,
,| |
cosx,
={
,
x,
={
={
,
,
,
, fonksiyonunun Fourier cosinüs integralini bulunuz
, fonksiyonunun Fourier cosinüs integralini bulunuz
fonksiyonunun Fourier cosinüs integralini bulunuz.
,
fonksiyonunun Fourier cosinüs integralini bulunuz.
,
fonksiyonunun Fourier cosinüs integralini bulunuz.
fonksiyonunun Fourier cosinüs integralinin
− 2
cos
+ 2 2
= | � �|, | |
=
�
>�
= sin � , | |
= ,| |
�
>�
fonksiyonunun Fourier cosinüs integralini bulunuz.
+
olduğu u gösteri iz.
S-23)
∞ �
= eşitliği i doğruluğunu S-13 ve kıs i i tegrasyo da faydala arak
2
gösteriniz.
∫
� fonksiyonunun Fourier sinüs integralini bulunuz.
� fonksiyonunun Fourier sinüs integralini bulunuz.
� fonksiyonunun Fourier sinüs integralini bulunuz.
� fonksiyonunun Fourier sinüs integralini bulunuz.
>�
>
>
�
, ) fonksiyonunun Fourier sinüs integralini bulunuz
, fonksiyonunun Fourier sinüs integralini bulunuz
, fonksiyonunun Fourier sinüs integralinden yararlanarak
2
∫
∞ −�
S-30)
−
S-31)
−
�
S-32) � ∫
sin
�
i tegrali i hesaplayı ız.
= ∫
�
= ∫
�
∞
∞ � � �
∞
2+
sin
2+
+
�
� −
sağla dığı ı gösteri iz.
S-33)
��
∞ cos 2
∫
�
− 2
�
2
, olduğu u gösteriniz.
cos
cos
sağla dığı ı gösteri iz.
S-34)
, olduğu u gösteri iz.
sin
,
={
={
�
, −
,| | >
, = + cos −
Fourier serisi e açı ız.
+ sin
S-36)
, = 6 + cos
serisi e açı ız.
S-37)
, =
+ + sin
Fourier serisi e açı ız.
S-38)
, =| �
açı ız.
|+| �
S-39)
, =|
açı ız.
|+| �
−
�
>
�
+ � fonksiyonunu | | < �, | | < �,
, = −
− sin
−
ölgesi de Fourier serisi e açı ız.
S-35)
�
,
fonksiyonunu | | < �, | | < �, bölgesinde
+
fonksiyonunu | | < �, | | < �, bölgesinde Fourier
−
fonksiyonunu | | < �, | | < �, bölgesinde
| fonksiyonunu | | < �, | | < �, bölgesinde Fourier serisine
| fonksiyonunu | | < �, | | < �, bölgesinde Fourier serisine
S-40) Türetme teoreminden yararlanarak, [−�, �] de
= � � , �∈ \
fonksiyonunun Fourier serisinden yararlanarak [−�, �] aralığı da
=
� , � ∈ \ fonksiyonunun Fourier serisini elde ediniz.
S-41) [−�, �] de
=| �
|, fonksiyonunun Fourier serisinden ve türevinden
, −� < <
yararlanarak [−�, �] aralığı da
={
fonksiyonunun Fourier
−
, < <�
serisini elde ediniz.
3
S-42) −�, � aralığı da
aralıkta
ve
S-43)
∑∞=
=
=
− 8
fo ksiyo u u Fourier serisi de yararla arak, ay ı
=
fonksiyonunun Fourier serisini bulunuz. Bu seriyi kullanarak ∑∞=
serileri i topla ları ı elde edi iz.
− ,
<
< � fonksiyonunun Fourier cosinüs serisinden ve Parseval
özdeşliği de yararla arak ∑∞=
4
ediniz.
=
S-44)
, −� <
<� �∈
özdeşliği de yararla arak ∑∞=
+
ediniz.
ve ∑∞=
− 4
serileri i topla ları ı elde
fonksiyonunun Fourier serisinden ve Parseval
4
ve ∑∞=
− 4
serileri i topla ları ı elde
S-45)
|, < < � aralığı da Fourier si üs serisi e açı ız ve periyodik
=| �
fo ksiyo ları grafikleri i çizi iz.
S-46)
=
+ , < < aralığı da Fourier si üs serisi e açı ız ve periyodik
fo ksiyo ları grafikleri i çizi iz.
S-47)
= | − |, < < aralığı da Fourier osi üs serisi e açı ız ve periyodik
fo ksiyo ları grafikleri i çizi iz.
S-48)
= � , < < � aralığı da Fourier osi üs serisi e açı ız ve periyodik
fonksiyonları grafikleri i çizi iz.
S-49)
S-50)
− x, < <
, aralığı da Fourier osi üs serisi e açı ız ve periyodik
+ , < <8
fo ksiyo ları grafikleri i çizi iz.
={
x, < <
, aralığı da Fourier si üs serisi e açı ız ve periyodik
6− , < <8
fo ksiyo ları grafikleri i çizi iz.
={
S-51) Aşağıdaki fo ksiyo ları Fourier Dö üşü leri i ulu uz
a)
c)
− |x|, −
,| | >
cosx, −�
={
,| | > �
={
, b)
�
={
, d)
=
, −�
�
, �∈
|
|
,
>�
−�| |
,
∈
S-52) Aşağıdaki fo ksiyo ları Fourier sinüs ve Fourier cosinüs dö üşü leri i ulu uz
a)
b)
={
sin
={
sinx,
,
,
,
>�
>�
�
�
, b)
, d)
={
=
4
−
ℎ ,
, >�
, ∈
�
,
8
S-53)a) ∫
∞
�
=
�
−
�
∫
∞
=
Denklemlerinin çözümlerini bulunuz.
−� 2
S-54)
de kle i i Fourier dö üşü ü yardı ıyla çözü üz.
S-55) Fourier dö üşü leri özellikleri i kulla arak aşağıdaki fo ksiyo ları Fourier
dö üşü leri i ulu uz.
a)
b)
c)
S-56)
=
=
=
− 2
2+
�
=
+
−| |
=
,
− 2
∈
olduğu u gösteri iz.
ü
ℱ{ ∗ } =
∞
S-57) ko volüsyo özelliği i kulla arak ∫−∞
çözümünü bulunuz.
−
Doç.Dr. Mehmet MERDAN
Mate atik Mühe disliği Bölü ü
5
=
− 2
integral denkleminden