MİLLER ve KİRİŞLER

2010 Ağustos
www.guven-kutay.ch
MİLLER ve KİRİŞLER
06a
Özet
M. Güven KUTAY
İÇİNDEKİLER
1
Ortadan tek kuvvet etkisindeki klasik kiriş ............................................................................................................... 4
2
Asimetrik tek kuvvet etkisindeki klasik kiriş ............................................................................................................ 5
3
Simetrik iki kuvvet etkisindeki klasik kiriş............................................................................................................... 7
4
Çift taraf çıkmalı, çıkmada simetrik iki kuvvet etkisindeki klasik kiriş.................................................................... 9
5
Çıkma kiriş ucundaki tek kuvvet etkisindeki klasik kiriş........................................................................................ 11
6
Asimetrik moment etkisindeki klasik kiriş.............................................................................................................. 13
7
Sabit mafsallı tarafta moment etkisindeki klasik kiriş............................................................................................. 15
8
Hareketli tarafta moment etkisindeki klasik kiriş.................................................................................................... 17
9
Tam yayılı yük etkisindeki klasik kiriş ................................................................................................................... 19
10
Ortada simetrik yayılı yük etkisindeki klasik kiriş.................................................................................................. 21
11
Tam yayılı üçken yük etkisindeki klasik kiriş, taban hareketli yatak tarafında....................................................... 23
12
Tam yayılı simetrik üçken yük etkisindeki klasik kiriş........................................................................................... 25
13
Çıkmalı klasik kiriş, çıkma tarafındaki yayılı yük etkisinde ................................................................................... 27
14
Çift taraflı çıkmalı klasik kiriş, tam yayılı yük etkisinde ........................................................................................ 29
15
Tek kuvvet etkisindeki çıkma kiriş ......................................................................................................................... 31
16
Serbest uçta moment etkili çıkma kiriş ................................................................................................................... 32
17
Düzgün yayılı yük etkisindeki çıkma kiriş.............................................................................................................. 33
18
Üçken yayılı yük etkisindeki çıkma kiriş (üçken tabanı sabit tarafta)..................................................................... 34
19
Üçken yayılı yük etkisindeki çıkma kiriş (üçken tabanı boş tarafta)....................................................................... 35
20
Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli otadan tek yük etkisindeki kiriş .................................................................... 36
21
Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli asimetrik tek yük etkisindeki kiriş ................................................................ 38
22
Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli tam yayılı yük etkisindeki kiriş..................................................................... 40
23
Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli üçken yayılı yük etkisindeki kiriş ................................................................. 42
24
Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli üçken yayılı yük etkisindeki kiriş ................................................................. 44
25
Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli moment etkisindeki kiriş............................................................................... 46
26
Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli, çıkma ucunda tek kuvvet etkisindeki kiriş ................................................... 48
27
Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli, çıkma ucunda moment etkisindeki kiriş....................................................... 50
28
Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli, çıkmalı tam yayılı yük etkisindeki kiriş ....................................................... 52
29
İki tarafı sabit, ortadan tek kuvvet etkisindeki kiriş ................................................................................................ 54
30
İki tarafı sabit, asimetrik tek kuvvet etkisindeki kiriş ............................................................................................. 56
31
İki tarafı sabit, tam yayılı yük etkisindeki kiriş....................................................................................................... 58
32
İki tarafı sabit, üçken yayılı yük etkisindeki kiriş ................................................................................................... 60
33
İki tarafı sabit, bağlantı yerinde tek kuvvet etkisindeki kiriş................................................................................... 62
34
İki tarafı sabit, asimetrik moment etkisindeki kiriş ................................................................................................. 63
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
3
Miller ve akslarda (kirişlerde) moment, kuvvet ve sehim, eğim tabloları
Aşağıdaki formüllerde verilen sembollerin birimleri şu anlamdadır:
Sembol
L
x, y
f
fm
α
F
q
M
I
W
*)1
m
m
m
m
N
N/m
Nm
m4
m3
Birimler *)1
cm
mm
cm
mm
cm
mm
cm
mm
kp
N
kp/cm N/mm
kpcm
Nmm
4
cm
mm4
cm3
mm3
Tanım
Destek veya yataklama arası, veya kiriş boyu
Elastik eğri üzerinde herhangi bir noktanın koordinatları
Sehim
Maksimum sehim
Herhangi bir noktadaki teğetin x-ekseni ile yaptığı açı
Kuvvet
Yayılı kuvvetşn birim değeri
Eğilme momenti
Atalet momenti
Karşı koyma momenti
Hesaplamada daima aynı sütundaki birimler kullanılmalıdır. Yoksa yapılan hesaplar karma
karışık olur.
Temel konstrüksiyon ilkesi
Konstrüksiyonda dikkat edilecek en önemli ilke “Klasik Kiriş” Konstrüksiyonunun yapılmasıdır.
Buda şu demektir:
Klasik kiriş; Bir ucu mafsallı sabit diğer ucu haraketli destekli kiriştir. Bir rijit kiriş en fazla iki
yerden yataklanmalıdır. Bu yataklardan bir tanesi her yönde sabit kalacak şekilde konstrüksiyonu
yapılmalıdır. Diğeri, yani ikinci yatak, diklemesine sabit fakat boylamasına hareketli olmalıdır.
Böylece hesaplarda mekaniğin altın teorisi denilen üç teori sakıncasız uygulanabilir.
Bu şekilde konstrüksiyonu yapılmayan kirişler durumlarına göre, birinci veya ikinci dereceden
belirsiz kirişler olur. Belirsiz kirişlerin hesapları bundan sonra verilen formüllerle değil, özel
hesaplama usülleri ile yapılmış elektronik hesap programlarıyla yapılır.
F
A taraf1
B taraf1
L
F
FA
LA
LB
Klasik kiriş
www.guven-kutay.ch
FB
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
4
Ortadan tek kuvvet etkisindeki klasik kiriş
Mmax
1
F
A
y
FA
FB
Eğilme momenti
M = F.x/2 *)1
Mmax = F.L/4
f max = f =
L
Şekil 1
F ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
Elastik eğrinin x ≤ L/2 için formülü;
y=
L/2
L/2
FA=FB = F/2
max. Sehim
αB
fmax
x
αA
B
A ve B kuvveti
F ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
Eğim açısı
 3⋅ x 4 ⋅ x3 
 *)1
⋅
−
3 
 L
L 

F ⋅ L2
αA = αB =
16 ⋅ E ⋅ I y
Şekil 1 için örnek;
Kuvvet
Kiriş boyu
Elastiklik modülü
Atalet momenti
x in A ya mesafesi
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
max. Moment *)1
X noktasında moment
max. Sehim
F=
L=
E=
Iy =
x=
2'000
1'000
210'000
333'333
300
N
mm
N/mm2
mm4
mm
FA = F/2 = 2'000 / 2
FB = F/2 = 2'000 / 2
F⋅L
MX =
4
F⋅ x
MX =
2
F ⋅ L3
f max = f =
48 ⋅ E ⋅ I y
F ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
 3 ⋅ x 4 ⋅ x3 

⋅
−
3 
 L
L


X noktasında sehim *)1
y=
Eğim açısı
F ⋅ L2
αA =
16 ⋅ E ⋅ I y
αA = αB
FA =
FB =
Mmax =
500 Nm
Mx =
300 Nm
fmax =
0,60 mm
fx =
0,47 mm
αA =
0,0018 Rad
αA° =
αB =
0,1023 °
2
F⋅L
16 ⋅ E ⋅ I y
αB =
αB° =
*)1
1'000 N
1'000 N
0,0018 Rad
0,1023 °
Dikkat: Bu formüller x ≤ L/2 için geçerlidir. Hesaplarda x > L/2 değeri olduğunda x için
x = (L – x) değerini veriniz.
www.guven-kutay.ch
5
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
2
Asimetrik tek kuvvet etkisindeki klasik kiriş
F
A
f1
fC
fm
a
X1
f2
xm
αA
A yatağı kuvveti;
FA =
F⋅b
L
B yatağı kuvveti;
FB =
F⋅a
L
B
C
x1
FA
Mmax
Yatak kuvvetleri:
C Xm
L
x2
αB
X2
FB
b
Eğilme momentleri:
M max =
max Moment;
F⋅a ⋅b
L
Şekil 2
XA noktasında moment
0 ≤ xa ≤ a;
M Xa =
F⋅b
⋅ xa
L
*)1
XB noktasında moment
0 ≤ xb ≤ b ;
M Xb =
F⋅a
⋅ xb
L
*)2
Xm noktasında moment
M Xm =
F⋅a
⋅ xm
L
*)2
max. Sehim
F ⋅ a ⋅ L2 − a 2
f max =
9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L
max. Sehim mesafesi
xm = L −
C noktasında sehim ;
F ⋅ a 2 ⋅ b2
fC =
3 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L
)3
(
(L − a )/ 3
2
2
Elastik eğri:
 L x a2 

⋅ 1 + −


⋅
b
a
b


*)1
*)2
XA noktasında sehim 0 ≤ xa ≤ a ;
F ⋅ a ⋅ b2 ⋅ x a
ya =
6 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L
XB noktasında sehim 0 ≤ xb ≤ b ;
yb =
F ⋅ a 2 ⋅ b ⋅ x b  L x 2b 
⋅ 1+ −
6 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L  a a ⋅ b 
A yatağında eğim açısı
αA =
F ⋅ a ⋅ b ⋅ (L + b )
6 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L
B yatağında eğim açısı
αB =
F ⋅ a ⋅ b ⋅ (L + a )
6 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L
Dikkat: Burada a < b dir, eğer a > b ise, a ile b vede xa ve xb yer değiştirir.
*)1 0 ≤ xa ≤ a büyüklüğünde alınmalıdır.
*)2 0 ≤ xb ≤ b büyüklüğünde alınmalıdır.
www.guven-kutay.ch
6
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 2 için örnek;
Kuvvet
F=
2'000 N
Kiriş boyu
L=
1'000 mm
Kirişin a boyu
a=
300 mm
Kirişin b boyu
b=
700 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
x in A ya mesafesi
xa =
200 mm
x in B ye mesafesi
xb =
500 mm
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
max. Moment
Xa noktasında moment
Xb noktasında moment
Xm noktasında moment
F⋅b
L
F⋅a
FB =
L
F⋅a ⋅b
M max =
L
F⋅b
M Xa =
⋅ xa
L
F⋅a
M Xb =
⋅ xb
L
F⋅a
M Xm =
⋅ xm
L
FA =
)3
(
max. Sehim
F ⋅ a ⋅ L2 − a 2
f max =
9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L
xm mesafesi
xm = L −
C noktasında sehim
fC =
Xa noktasında sehim
Xb noktasında sehim
A yatağında eğim açısı
(L − a )/ 3
2
2
F ⋅ a 2 ⋅ b2
3 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L
 L x2 
⋅ 1 + − a 

b a ⋅ b 

F ⋅ a 2 ⋅ b ⋅ x b  L x 2b 
yb =
⋅ 1+ −
6 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L  a a ⋅ b 
F ⋅ a ⋅ b ⋅ (L + b )
αA =
6 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L
ya =
F ⋅ a ⋅ b2 ⋅ x a
6 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L
b=L–a
FA =
1'400
FB =
600
αB =
F ⋅ a ⋅ b ⋅ (L + a )
6 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L
420 Nm
MXa =
280 Nm
MXb =
300 Nm
MXm =
270 Nm
fmax =
0,48 mm
xm =
449,2 mm
fC =
0,42 mm
ya =
0,31 mm
yb =
0,47 mm
αA =
0,0017 Rad
αB =
αB° =
www.guven-kutay.ch
N
Mmax =
αA° =
B yatağında eğim açısı
N
0,0974 °
0,0013 Rad
0,0745 °
7
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Simetrik iki kuvvet etkisindeki klasik kiriş
Mmax
3
F
A
F
C
B
D
a
αC
y1
f
X2
y2
fmax
αA
f
FA
c
X1
FA = F
B yatağı kuvveti
FB = F
Eğilme momentleri:
x1
x2
Yatak kuvvetleri:
A yatağı kuvveti
max Moment
FB
M max = F ⋅ a
a
C ile D arası moment sabittir.
L/2
L
M C;D = M max = F ⋅ a
Şekil 3
D ve B arasında moment
0≤x≤a
M x = FA ⋅ x = F ⋅ x
C ile D arası çemberin yarı çapı
ρ = E ⋅ Iy / M
max. Sehim
f max =
Kuvvet noktalarında sehim
F ⋅ L ⋅ a2  4 ⋅ a 
f C;D =
⋅ 1 −

2 ⋅ E ⋅ Iy  3 ⋅ L 
X1 noktasında sehim
x1 ≤ a ≤ 0,5.L
y1 =
F ⋅ L2 ⋅ x1  a  a  x12 
⋅  ⋅ 1 −  −

2 ⋅ E ⋅ I y  L  L  3 ⋅ L2 
X2 noktasında sehim
a ≤ x2 ≤ 0,5.L
y2 =
F ⋅ L2 ⋅ a  x 2  x 2  a 2 
⋅  ⋅ 1 −
−

2 ⋅ E ⋅ I y  L 
L  3 ⋅ L2 
Eğim açısı
A ve B yataklarında
αA = αB =
F ⋅ a ⋅ (a + c )
2 ⋅ E ⋅ Iy
Eğim açısı
C ile D noktalarında
αC = α D =
F⋅a ⋅c
2 ⋅ E ⋅ Iy
F ⋅ L2 ⋅ a  4 ⋅ a 2 
⋅ 1−
8 ⋅ E ⋅ I y  3 ⋅ L2 
www.guven-kutay.ch
8
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 3 için örnek;
Kuvvet
F=
2'000 N
Kiriş boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
Kirişin a boyu
a=
350 mm
Kirişin b boyu
c=
300 mm
x in A ya mesafesi
x=
250 mm
x1 in A ya mesafesi
x1 =
400 mm
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
max. Moment
C ile D arası moment
D ve B arasında
moment
C ile D arası çemberin
yarı çapı
c = L – 2.a
FA = F
FB = F
M max = F ⋅ a
FA =
FB =
Mmax =
2'000 N
2'000 N
700 Nm
M C;D = M max = F ⋅ a
MC;D =
700 Nm
MX =
500 Nm
M x = FA ⋅ x = F ⋅ x
ρ = E ⋅ Iy / M
F ⋅ L2 ⋅ a  4 ⋅ a 2 
⋅ 1−
8 ⋅ E ⋅ I y  3 ⋅ L2 
max. Sehim
f max =
C ve D noktalarında
sehim
f =
X1 noktasında sehim
x1=200 ≤ a ≤ 0,5.L
y1 =
X2 noktasında sehim
a ≤ x2=400 ≤ 0,5.L
y2 =
A yatağında eğim açısı
αA = αB =
ρ=
fmax =
1,05 mm
f=
0,93 mm
F ⋅ L2 ⋅ x1  a  a  x12 
⋅  ⋅ 1 −  −

2 ⋅ E ⋅ I y  L  L  3 ⋅ L2 
y1 =
0,74 mm
F ⋅ L2 ⋅ a  x 2  x 2  a 2 
⋅  ⋅ 1 −
−

2 ⋅ E ⋅ I y  L 
L  3 ⋅ L2 
y2 =
1,00 mm
αA =
0,0033 Rad
F ⋅ L ⋅ a2  4 ⋅ a 
⋅ 1 −

2 ⋅ E ⋅ Iy  3⋅ L 
F ⋅ a ⋅ (a + c )
2 ⋅ E ⋅ Iy
αA° =
B yatağında eğim açısı
αA = αB =
F ⋅ a ⋅ (a + c )
2 ⋅ E ⋅ Iy
αB =
αB° =
C ile D noktalarında
eğim açısı
100,00 m
αC = α D =
F⋅a ⋅c
2 ⋅ E ⋅ Iy
αC =
αC° =
www.guven-kutay.ch
0,1862 °
0,0033 Rad
0,1862 °
0,0015 Rad
0,0859 °
9
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
4
Çift taraf çıkmalı, çıkmada simetrik iki kuvvet etkisindeki klasik kiriş
F
F
B
Mmax
A
1
a
X2
FA
fM
y
y1
αE X
B yatağı kuvveti
FB = F
max Moment
αA
FB
0,5L
αE
a
M max = F ⋅ a
fE
fE
E
FA = F
Eğilme momentleri:
x2
x1
Yatak kuvvetleri:
A yatağı kuvveti
A ile B arası moment sabittir.
E
L
M A;B = M max = F ⋅ a
Şekil 4
E ile B arasındaki moment 0 ≤ x ≤ a
Mx = F ⋅ x
A ile B arası çemberin yarı çapı
ρ = E ⋅ Iy / M
Orta noktada sehim
fM =
Uç noktalarında sehim
F ⋅ L ⋅ a2  2 ⋅ a 
⋅ 1 +
fE =

2 ⋅ E ⋅ Iy  3 ⋅ L 
X1 noktasında sehim
x1 ≤ a
y1 =
F ⋅ L3
2 ⋅ E ⋅ Iy
X2 noktasında sehim
x2 ≤ L
y2 =
F ⋅ L ⋅ a ⋅ x2  x2 
⋅ 1 −

2 ⋅ E ⋅ Iy 
L 
Eğim açısı
A ve B yataklarında
αA = αB =
Eğim açısı
E noktalarında
αE =
F ⋅ L2 ⋅ a
8 ⋅ E ⋅ Iy
 x3
a ⋅ x  a  a 2  2 ⋅ a 
⋅  1 3 − 2 1 ⋅ 1 −  + 2 ⋅ 1 +

L  L  L  3 ⋅ L 
 3 ⋅ L
4 ⋅ fM
L
4 ⋅ fM  a 
⋅ 1 + 
L  L
www.guven-kutay.ch
10
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 4 için örnek;
Kuvvet
F=
2'000 N
Kiriş boyu
L=
1'000 mm
Kirişin a boyu
a=
300 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
x in A ya mesafesi
x=
200 mm
x1 in A ya mesafesi
x1 =
250 mm
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
FA = F
FB = F
max. Moment
M max = F ⋅ a
A ile B arası moment
M A;B = M max = F ⋅ a
A ile B arası çemberin
yarı çapı
E ve B arasında
moment
ρ = E ⋅ Iy / M
Orta noktada sehim
L/2 noktası
fM =
E noktalarında sehim
fE =
X1 noktasında sehim
x1=200 ≤ a ≤ 0,5.L
y1 =
X2 noktasında sehim
x2 =250 ≤ 0,5.L
y2 =
A yatağında eğim açısı
αA = αB =
Mx = F ⋅ x
FA =
FB =
Mmax
=
MC;D
=
2'000 N
2'000 N
ρ=
116,67 m
500 Nm
F ⋅ L2 ⋅ a
8 ⋅ E ⋅ Iy
fM =
1,07 mm
F ⋅ L ⋅ a 2  2a 
⋅ 1 +

2 ⋅ E ⋅ I y  3L 
fE =
1,54 mm
y1 =
0,22 mm
y2 =
0,90 mm
αA =
0,0043 Rad
F ⋅ L3
2 ⋅ E ⋅ Iy
 x3
a ⋅ x  a  a 2  2 ⋅ a 
⋅  1 3 − 2 1 ⋅  1 −  + 2 ⋅ 1 +

L  L  L  3 ⋅ L 
 3 ⋅ L
F ⋅ L ⋅ a ⋅ x2  x2 
⋅ 1 −

L 
2 ⋅ E ⋅ Iy 
4 ⋅ fM
L
αA = αB =
4 ⋅ fM
L
αB =
αB° =
E noktalarında eğim
açısı
αE =
600 Nm
MX =
αA° =
B yatağında eğim açısı
600 Nm
4 ⋅ fM
L
 a
⋅ 1 + 
 L
αC =
αC° =
www.guven-kutay.ch
0,2456 °
0,0043 Rad
0,2456 °
0,0056 Rad
0,3192 °
11
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
5
Çıkma kiriş ucundaki tek kuvvet etkisindeki klasik kiriş
Yatak kuvvetleri:
F
A yatağı kuvveti;
 a
FA = F ⋅ 1 + 
 L
B yatağı kuvveti;
FB = F ⋅
A
B
fC
X1
αC
a
αB
X2
max Moment;
x1
Şekil 5
0 ≤ x1 ≤ a
M x1 = FB ⋅ x1 = F ⋅
F ⋅ L2 ⋅ a
9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy
xf noktasıdaki max. sehim
xf mesafesi
xf = L / 3
C noktasında sehim
fC =
X1 noktasında sehim
F ⋅ L ⋅ a ⋅ x1  x12 
⋅ 1−
y1 =
6 ⋅ E ⋅ I y  L2 
X2 noktasında sehim
x2 ≤ a
Eğim açısı
A yatağında
Eğim açısı
B yatağında
Eğim açısı
C noktalarında
a ⋅ x1
L
M x 2 = F ⋅ (a − x 2 )
f xf =
x1 ≤ L
M max = M A = F ⋅ a
A ile B arası moment 0 ≤ x1 ≤ L.
L
A ile C arasındaki moment
a
L
Eğilme momentleri:
y1
αA
xf
fxf
x2
y
2
Mmax
C
y2 =
F ⋅ L ⋅ a2
3 ⋅ E ⋅ Iy
x f = 0,57735 ⋅ L
a

⋅ 1 + 
L

F ⋅ L2 ⋅ x 2  2 ⋅ a 3 ⋅ a ⋅ x 2 x 22 
⋅
+
−
6 ⋅ E ⋅ I y  L
L2
L2 
αA =
F⋅a ⋅ L
3⋅ E ⋅ Iy
αB =
F⋅a ⋅ L
6 ⋅ E ⋅ Iy
αC =
F ⋅ a ⋅ (2 ⋅ L + 3 ⋅ a )
6 ⋅ E ⋅ Iy
www.guven-kutay.ch
12
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 5 için örnek;
Kuvvet
F=
2'000 N
Kiriş boyu
L=
1'000 mm
Kirişin a boyu
a=
300 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X1 in B ye mesafesi
x1 =
300 mm
X2 nin A ya mesafesi
x2 =
100 mm
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
max. Moment
B ile A arasındaki X1
noktasında moment
B ile A arasındaki xf
noktasında moment
A ile C arasındaki X2
noktasında moment
 a
FA = F ⋅ 1 + 
 L
a
FB = F ⋅
L
M max = F ⋅ a
2'600 N
FB =
600 N
Mmax =
600 Nm
MX1 =
180 Nm
MXf =
346,2 Nm
M x 2 = F ⋅ (a − x 2 )
MX2 =
400 Nm
F ⋅ L2 ⋅ a
9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy
fxf =
0,550 mm
x f = 0,57735 ⋅ L
xf =
577,35 mm
a

⋅ 1 + 
L

fC =
1,114 mm
y1 =
0,390 mm
y2 =
0,324 mm
αA =
0,0029 Rad
a ⋅ x1
L
a ⋅ xf
M xf = FB ⋅ x f = F ⋅
L
M x1 = FB ⋅ x1 = F ⋅
xf noktasında max.
sehim
f xf =
xf mesafesi
xf = L / 3
C noktasında sehim
fC =
F ⋅ L ⋅ a2
3 ⋅ E ⋅ Iy
X1 noktasında sehim
x1 =250 ≤ L
y1 =
F ⋅ L ⋅ a ⋅ x1  x12 
⋅ 1−
6 ⋅ E ⋅ I y  L2 
X noktasında sehim
x2 =100 ≤ a
F ⋅ L2 ⋅ x 2  2 ⋅ a 3 ⋅ a ⋅ x 2 x 22 
⋅
+
−
6 ⋅ E ⋅ I y  L
L2
L2 
F⋅a ⋅ L
αA =
3⋅ E ⋅ Iy
A yatağında eğim açısı
FA =
y2 =
αA° =
B yatağında eğim açısı
αB =
F⋅a ⋅ L
6 ⋅ E ⋅ Iy
αB =
αB° =
C noktalarında eğim
açısı
αC =
F ⋅ a ⋅ (2 ⋅ L + 3 ⋅ a )
6 ⋅ E ⋅ Iy
αC =
αC° =
www.guven-kutay.ch
0,1637 °
0,0014 Rad
0,0819 °
0,0041 Rad
0,2374 °
13
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Asimetrik moment etkisindeki klasik kiriş
B
f bmax
αB
αA
A yatağı kuvveti;
FA =
Mb
L
B yatağı kuvveti;
FB =
Mb
L
Eğilme momentleri: eğer a>b ise
y
x
fC
famax
C
Mmax
A
Yatak kuvvetleri:
Mb
Mmin
6
αC
X
M max A = FA ⋅ a
max Moment
b
a
L
Sistemde max moment
Şekil 6
A ile C arasındaki moment
0 ≤ x1 ≤ a
M X1 = FA ⋅ x1
C ile B arasındaki moment
b ≤ x2 ≤ L
M X 2 = FB ⋅ (L − x 2 )
M max = M b
3
a kısmında max. sehim
M ⋅ L2
fa max = b
3 ⋅ E ⋅ Iy
 1 b2 

⋅
−
 3 L2 


b kısmında max. sehim
M ⋅ L2
f b max = b
3 ⋅ E ⋅ Iy
 1 a2 

⋅
−
 3 L2 


C noktasında sehim
fC =
Mb ⋅ a ⋅ b  a b 
⋅ − 
3⋅ E ⋅ Iy  L L 
y1 =
M b ⋅ L ⋅ x1  3 ⋅ b 2 x12 
⋅ 1−
−
6 ⋅ E ⋅ I y 
L2
L2 
y2 =
M b ⋅ L  x 2   3 ⋅ a 2 2 ⋅ x 2 x 22 
⋅ 1 −
−
+
⋅
6 ⋅ E ⋅ Iy 
L   L2
L
L2 
X1 noktasında sehim
x1 ≤ a
X2 noktasında sehim
a ≤ x2 ≤ L
Eğim açısı
A yatağında
αA =
Mb ⋅ L
6 ⋅ E ⋅ Iy
 3 ⋅ b2 
⋅ 1 − 2 

L 

Eğim açısı
B yatağında
αB =
Mb ⋅ L
6 ⋅ E ⋅ Iy
 3⋅ a2 
⋅ 1 − 2 

L 

Eğim açısı
C noktasında
αC =
Mb ⋅ L  3⋅ a ⋅ b 
⋅ 1 − 2 
3⋅ E ⋅ Iy 
L 
3
Dikkat! Burada formüller a>b ise geçerlidir. Eğer a<b ise a ve b değerleri yer değiştirir.
www.guven-kutay.ch
14
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 6 için örnek;
Moment
Mb =
1'500 Nm
Kiriş boyu
L=
1'000 mm
Kirişin a boyu
a=
700 mm
Kirişin b boyu
b=
300 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X1 in A ya mesafesi
x1 =
400 mm
X2 nin A ya mesafesi
x2 =
800 mm
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
max. Moment
C noktasında moment
a kısmında sehim
b kısmında sehim
C noktasında sehim
X noktasında sehim
x1 = 400 ≤ a
X noktasında sehim
x2 = 800 ≤ L
A yatağında eğim
açısı
FA =
b=L–a
Mb
L
Mb
L
M max = FA ⋅ a
M C max = FA ⋅ a
M C min = FB ⋅ b
FB = FA =
M ⋅ L2
fa max = b
3 ⋅ E ⋅ Iy
 1 b2 

⋅
−
 3 L2 


 1 a2
⋅
−
 3 L2

M ⋅a ⋅b  a b 
fC = b
⋅ − 
3⋅ E ⋅ Iy  L L 
M ⋅ L2
f b max = b
3 ⋅ E ⋅ Iy
FA =
1'500 N
FB =
1'500 N
Mmax =
MCmax=
MCmin=
1’050 Nm
1’050 Nm
450 Nm
famax =
0,86 mm
fbmax =
-0,44i mm
fC =
0,60 mm
y1 =
0,81 mm
y2 =
0,36 mm
αA =
0,0026 Rad
3




3
M b ⋅ L ⋅ x1  3 ⋅ b2 x12 
⋅ 1−
−
y1 =
6 ⋅ E ⋅ I y 
L2
L2 
M ⋅ L  x 2   3 ⋅ a 2 2 ⋅ x 2 x 22 
y2 = b
⋅ 1 −
−
+
⋅
L   L2
L
6 ⋅ E ⋅ Iy 
L2 
M b ⋅ L  3 ⋅ b2 
αA =
⋅ 1− 2
6 ⋅ E ⋅ I y 
L 
αA° =
B yatağında eğim
açısı
αB =
Mb ⋅ L
6 ⋅ E ⋅ Iy
 3⋅ a2 
⋅ 1 − 2 

L 

αB =
αB° =
C noktalarında eğim
açısı
αC =
Mb ⋅ L  3⋅ a ⋅ b 
⋅ 1 − 2 
3⋅ E ⋅ Iy 
L 
αC =
αC° =
www.guven-kutay.ch
0,1494 °
-0,0017 Rad
-0,0962 °
0,0026 Rad
0,1494 °
15
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
7
Sabit mafsallı tarafta moment etkisindeki klasik kiriş
Mb
Yatak kuvvetleri:
Mmax
B
A
x
xm
L/2
Xm
FA =
Mb
L
B yatağı kuvveti;
FB =
Mb
L
Eğilme momentleri:
f
fmax
yx
αA
αB
A yatağı kuvveti;
X
L
max Moment
M max = FB ⋅ L
Sistemde max moment
M b = M max
Şekil 7
X noktasında moment
M X = FB ⋅ (L − x )
max. sehim
f max = f m =
xm mesafesi
1 

x m = 1 −
⋅L
3

L/2 noktasında sehim
M b ⋅ L2
f =
16 ⋅ E ⋅ I y
X noktasında sehim
yx =
M b ⋅ L2
6 ⋅ E ⋅ Iy
Eğim açısı
A yatağında
αA =
Mb ⋅ L
3 ⋅ E ⋅ Iy
Eğim açısı
B yatağında
αB =
Mb ⋅ L
6 ⋅ E ⋅ Iy
M b ⋅ L2
9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy
1−
1
= 0,42265
3
 2 ⋅ x 3 ⋅ x 2 x3 
⋅
−
+ 
2
 L
L
L3 

www.guven-kutay.ch
16
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 7 için örnek;
Moment
Mb =
1'500 Nm
Kiriş boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in A ya mesafesi
x=
Yatak kuvveti A
FA =
200 mm
Mb
L
FA =
1'500 N
Mb
L
FB =
1'500 N
max. Moment
M max = FB ⋅ L
Mmax =
1'500 Nm
Sistemde max moment
M b = M max
Mb =
1'500 Nm
X noktasında moment
M X = FB ⋅ (L − x )
MX =
1'200 Nm
max Sehim
f max = f m =
fmax =
1,375 mm
xm mesafesi
1 

x m = 1 −
⋅L
3

xm =
422,65 mm
L/2 noktasında sehim
f =
f=
1,339 mm
X noktasında sehim
M b ⋅ L2
yx =
6 ⋅ E ⋅ Iy
yx =
1,029 mm
A yatağında eğim açısı
αA =
αA =
0,0071 Rad
Yatak kuvveti B
FB = FA =
M b ⋅ L2
9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy
1−
1
= 0,42265
3
M b ⋅ L2
16 ⋅ E ⋅ I y
Mb ⋅ L
3 ⋅ E ⋅ Iy
 2 ⋅ x 3 ⋅ x 2 x3 
⋅
−
+ 
2
 L
L
L3 

αA° =
B yatağında eğim açısı
αB =
Mb ⋅ L
6 ⋅ E ⋅ Iy
αB =
αB° =
www.guven-kutay.ch
0,4093 °
0,0036 Rad
0,2046 °
17
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
8
Hareketli tarafta moment etkisindeki klasik kiriş
Yatak kuvvetleri:
Mb
A
Mmax
L/2
X
Mb
L
B yatağı kuvveti;
FB =
Mb
L
Eğilme momentleri:
αB
fmax
f
yx
αA
FA =
B
xm
x
A yatağı kuvveti;
Xm
L
max Moment
M max = FB ⋅ L
Sistemde max moment
M b = M max
Şekil 8
X noktasında moment
M X = FA ⋅ x
max. sehim
M b ⋅ L2
f max = f m =
9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy
xm mesafesi
xm =
L/2 noktasında sehim
f =
X noktasında sehim
yx =
Eğim açısı
A yatağında
αA =
Mb ⋅ L
6 ⋅ E ⋅ Iy
Eğim açısı
B yatağında
αB =
Mb ⋅ L
3⋅ E ⋅ Iy
1
= 0,57735
3
L
3
M b ⋅ L2
16 ⋅ E ⋅ I y
M b ⋅ L2
6 ⋅ E ⋅ Iy
 x x3 
⋅ − 
 L L3 


www.guven-kutay.ch
18
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 8 için örnek;
Moment
Mb =
1'500 Nm
Kiriş boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in A ya mesafesi
x=
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
FA =
200 mm
Mb
L
max. Moment
Sistemde max moment
X noktasında moment
Mb
L
M max = FB ⋅ L
M b = M max
M X = FA ⋅ x
max Sehim
f max = f m =
xm mesafesi
xm =
L/2 noktasında sehim
f =
X noktasında sehim
M b ⋅ L2
yx =
6 ⋅ E ⋅ Iy
A yatağında eğim açısı
αA =
B yatağında eğim açısı
FB = FA =
M b ⋅ L2
9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy
1
= 0,57735
3
L
3
M b ⋅ L2
16 ⋅ E ⋅ I y
αB =
 x x3 
⋅ − 
 L L3 


Mb ⋅ L
6 ⋅ E ⋅ Iy
Mb ⋅ L
3⋅ E ⋅ Iy
FA =
1'500 N
FB =
1'500 N
Mmax =
Mb =
MX =
1'500 Nm
1'500 Nm
300 Nm
fmax =
1,375 mm
xm =
577,35 mm
f=
1,339 mm
yx =
0,686 mm
αA =
0,0036 Rad
αA° =
αB =
αB° =
www.guven-kutay.ch
0,2046 °
0,0071 Rad
0,4093 °
19
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
9
Tam yayılı yük etkisindeki klasik kiriş
B
x
L/2
αB
fm
αA
yx
A
M max
q
X
L/2
L
Şekil 9
A yatağı kuvveti
FA =
q⋅L
2
B yatağı kuvveti
FB =
q⋅L
2
max Moment
q ⋅ L2
M max =
8
X noktasında moment
MX =
max. sehim
f max = f m =
X noktasında sehim
yx =
Eğim açısı
A yatağında
q ⋅ L3
αA =
24 ⋅ E ⋅ I y
Eğim açısı
B yatağında
q ⋅ L3
αB = αA =
24 ⋅ E ⋅ I y
q⋅x
⋅ (L − x )
2
5 ⋅ q ⋅ L4
384 ⋅ E ⋅ I y
q ⋅ L4
24 ⋅ E ⋅ I y
 x 2 ⋅ x3 x4 
⋅ − 3 + 4 
L
L
L 

www.guven-kutay.ch
20
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 9 için örnek;
Yayılı yük
q=
Kiriş boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in A ya mesafesi
x=
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
max. Moment
X noktasında moment
max Sehim
10 N/mm
200 mm
q⋅L
2
q⋅L
FA =
2
q ⋅ L2
M max =
8
q⋅x
MX =
⋅ (L − x )
2
5 ⋅ q ⋅ L4
f max = f m =
384 ⋅ E ⋅ I y
FA =
xm mesafesi
xm =
L
2
X noktasında sehim
yx =
q ⋅ L4
24 ⋅ E ⋅ I y
A yatağında eğim açısı
αA =
q ⋅ L3
24 ⋅ E ⋅ I y
 x 2 ⋅ x3 x4 
⋅ − 3 + 4 
L
L
L 

FA =
5'000 N
FB =
5'000 N
Mmax =
1'250 Nm
MX =
800 Nm
fmax =
1,860 mm
xm =
500 mm
yx =
1,105 mm
αA =
0,0060 Rad
αA° =
B yatağında eğim açısı
αB = αA =
0,3410 °
3
q⋅L
24 ⋅ E ⋅ I y
αB =
αB° =
www.guven-kutay.ch
0,0060 Rad
0,3410 °
21
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
10 Ortada simetrik yayılı yük etkisindeki klasik kiriş
Mmax
q
A
b/2
B
b/2
a
x2
C
yx2
yx1
fmax
αA
fC
x1
αA
αB
X1
L/2
C
αB
X2
L
Şekil 10
q ⋅a
2
A yatağı kuvveti
FA =
B yatağı kuvveti
FB = FA =
max Moment
xMmax = 0,5.L
M max = 0,25 ⋅ q ⋅ a ⋅ (L − 0,5 ⋅ a )
X noktasında moment
x ≤ a/2
2
 L
 a
 
M x = 0,5 ⋅ q ⋅ a ⋅  − x  −  − x  
 
 2
  2
q⋅a
2
X noktasında moment
x > a/2
C noktalarında moment
M x = 0,5 ⋅ q ⋅ a ⋅ (0,5 ⋅ L − x )
max. Sehim
xm = 0,5.L
fm =
q ⋅ L4
384 ⋅ E ⋅ I y
C noktalarında sehim
xC = 0,5.b
fC =
q ⋅ a ⋅ b ⋅ L2  a ⋅ b 
⋅ 1 + 2 
48 ⋅ E ⋅ I y 
L 
X noktasında sehim
x ≤ a/2 için
y=
X noktasında sehim
x > a/2 için
M C = 0,25 ⋅ q ⋅ a ⋅ b
 b2  
b2 
⋅ 1 − 2  ⋅  5 − 2 
 L  
L 

 
 b 2  
b 2 24 ⋅ x 2  16 ⋅ x 4 
q ⋅ L4
⋅ 1 −  ⋅  5 −
−
+

2
2 
4
384 ⋅ E ⋅ I y  L2  

L
L
L


q ⋅ a ⋅ L3  2 ⋅ x   4 ⋅ x  x 
a2 
y=
⋅ 1 −
⋅ 1 −  + 2 − 
⋅
96 ⋅ E ⋅ I y 
L   L  L 
L2 
Eğim açısı
A ve B noktalarında
αA = αB =
q ⋅ a ⋅ L2
48 ⋅ E ⋅ I y

a2 
⋅3− 2 

L 

Eğim açısı
C ve D noktalarında
αC = α D =
q ⋅ a2 ⋅ L
24 ⋅ E ⋅ I y
2⋅a 

⋅3−

L 

www.guven-kutay.ch
22
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 10 için örnek;
Yayılı yük
q=
Kiriş boyu
L=
1'000 mm
Yayılı yük boyu
a=
600 mm
Yayılı yüksüz boy
b=
400
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X1 in A ya mesafesi
x1 =
200 mm
X2 nin A ya mesafesi
x2 =
400 mm
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
max. Moment
X1 noktasında moment
x ≤ a/2
FA =
10 N/mm
b=L–a
q ⋅a
2
q⋅a
2
M max = 0,25 ⋅ q ⋅ a ⋅ (L − 0,5 ⋅ a )
2
 L
 a
 
M x = 0,5 ⋅ q ⋅ a ⋅  − x  −  − x  
 2
 
  2
FB = FA =
FA =
3'000 N
FB =
3'000 N
Mmax =
1'050 Nm
MX1 =
850 Nm
MX2 =
300 Nm
MC =
600 Nm
fmax =
1,513 mm
xm =
500 mm
fC =
0,886 mm
X2 noktasında moment
x > a/2
C noktasında moment
M x = 0,5 ⋅ q ⋅ a ⋅ (0,5 ⋅ L − x )
max Sehim
fm =
xm mesafesi
xm = 0,5.L
C noktasında sehim
fC =
X1 noktasında sehim
y=
 b 2  
q ⋅ L4
b 2 24 ⋅ x 2  16 ⋅ x 4 
⋅ 1 −  ⋅  5 −
−
+

384 ⋅ E ⋅ I y  L2  
L2
L2 
L4 

yx1 =
1,222 mm
X2 noktasında sehim
y=
q ⋅ a ⋅ L3  2 ⋅ x   4 ⋅ x  x 
a2 
⋅ 1 −
⋅ 1 −  + 2 − 
⋅
96 ⋅ E ⋅ I y 
L   L  L 
L2 
yx2 =
0,464 mm
A ve B noktalarında
eğim açısı
q ⋅ a ⋅ L2
αA = αB =
48 ⋅ E ⋅ I y
αA =
0,0047 Rad
αA° =
αB =
αB° =
0,2701 °
0,0047 Rad
0,2701 °
αC =
0,0039 Rad
αC° =
αD =
αD° =
0,2210 °
0,0039 Rad
0,2210 °
M C = 0,25 ⋅ q ⋅ a ⋅ b
q ⋅ L4
384 ⋅ E ⋅ I y
 b2  
b2 
⋅ 1 − 2  ⋅  5 − 2 
 L  
L 

 
q ⋅ a ⋅ b ⋅ L2  a ⋅ b 
⋅ 1 + 2 
48 ⋅ E ⋅ I y 
L 

a 2 

⋅ 3− 2

L 

B yatağında eğim açısı
C noktalarında eğim
açısı
αC = α D =
q ⋅ a2 ⋅ L 
2⋅a 
⋅3−

24 ⋅ E ⋅ I y 
L 
D noktasında eğim açısı
www.guven-kutay.ch
23
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
11 Tam yayılı üçken yük etkisindeki klasik kiriş, taban hareketli yatak tarafında
Yatak kuvvetleri:
M max
q
A
FA =
q⋅L
6
B yatağı kuvveti;
FB =
q⋅L
3
B
xM
fmax
x
Yayılı yük kuvveti F =
αB
yx
αA
A yatağı kuvveti;
X
xm
q⋅L
2
Eğilme momentleri
L
max Moment
M max = 0,1284 ⋅ F ⋅ L = 0,06415 ⋅ q ⋅ L2
Şekil 11
1 / 3 = 0,57735
xMmax mesafesi
x M max = L / 3
X noktasında moment
Mx =
max. Sehim
f max =
xm mesafesi
x f max = 0,5193296 ⋅ L
X noktasında sehim
yx =
q ⋅ L3 ⋅ x
360 ⋅ E ⋅ I y
Eğim açısı
A yatağında
αA =
7 ⋅ q ⋅ L3
360 ⋅ E ⋅ I y
Eğim açısı
B yatağında
αB =
8 ⋅ q ⋅ L3
360 ⋅ E ⋅ I y
q ⋅ L ⋅ x  x 2 
⋅ 1−
 L2 
6


q ⋅ L4
(153,3) ⋅ E ⋅ I y
1−
8
= 0,5193296
15

 x4
x2
⋅ 3⋅
− 10 ⋅
+ 7

 L4
L2


www.guven-kutay.ch
24
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 11 için örnek;
Yayılı yükün max değeri
q=
Kiriş boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
x in A ya mesafesi
x=
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
Yayılı yük kuvveti
30 N/mm
300 mm
q⋅L
6
q⋅L
FB =
3
q⋅L
Fq =
2
FA =
max. Moment
M max = 0,1284 ⋅ F ⋅ L = 0,06415 ⋅ q ⋅ L2
xMmax mesafesi
x M max = L / 3
X noktasında moment
q ⋅ L ⋅ x  x 2 
Mx =
⋅ 1−
 L2 
6


max Sehim
f max =
xfmax mesafesi
x f max = 0,5193 ⋅ L
X noktasında sehim
q ⋅ L3 ⋅ x
yx =
360 ⋅ E ⋅ I y
A yatağında eğim açısı
αA =
1 / 3 = 0,57735
q ⋅ L4
(153,3) ⋅ E ⋅ I y
8
= 0,5193
15

x2
− 10 ⋅
+ 7

L2

1−
 x4
⋅ 3⋅
 L4

7 ⋅ q ⋅ L3
360 ⋅ E ⋅ I y
FA =
5'000 N
FB =
10'000 N
Fq =
15'000 N
Mmax =
1'925 Nm
xfmax =
577,35 mm
MX =
1'365 Nm
fmax =
2,80 mm
xfmax =
519,33 mm
yx =
2,19 mm
αA =
0,0083 Rad
αA° =
B yatağında eğim açısı
αB =
0,4775 °
3
8⋅q ⋅L
360 ⋅ E ⋅ I y
αB =
αB° =
www.guven-kutay.ch
0,0095 Rad
0,5457 °
25
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
12 Tam yayılı simetrik üçken yük etkisindeki klasik kiriş
Mmax
q
B
f max
A
x
αB
yx
αA
L/2
X
L/2
L
Şekil 12
A yatağı kuvveti
FA =
q⋅L
4
B yatağı kuvveti
FB =
q⋅L
4
Yayılı yük kuvveti
F=
max Moment
x ≤ L/2
M max =
X noktasında moment
x ≤ L/2
q ⋅ x  L2 x 2 
Mx =
⋅
−
L  4
3 
max. Sehim
f max =
Eğim açısı
A yatağında
αA =
q 2 ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
Eğim açısı
B yatağında
αB =
q 2 ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
FA = FB
q⋅L
2
q ⋅ L2
12
q ⋅ L4
120 ⋅ E ⋅ I y
www.guven-kutay.ch
x f max = 0,5 ⋅ L
αA = αB
26
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 12 için örnek;
Yayılı yükün max değeri
q=
Kiriş boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
x in A ya mesafesi
x=
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
Yayılı yük kuvveti
max. Moment
X noktasında moment
x ≤ L/2
30 N/mm
300 mm
q⋅L
4
q⋅L
FB =
4
q⋅L
Fq =
2
q ⋅ L2
M max =
12
q ⋅ x  L2 x 2 
Mx =
⋅
−
L  4
3 
FA =
q ⋅ L4
120 ⋅ E ⋅ I y
FA =
7'500 N
FB =
7'500 N
Fq =
15'000 N
Mmax =
2'500 Nm
MX =
1'980 Nm
fmax =
3,57 mm
max Sehim
f max =
xfmax mesafesi
x f max = 0,5 ⋅ L
xfmax =
500 mm
A yatağında eğim açısı
αA =
q 2 ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
αA =
0,0089 Rad
αA° =
B yatağında eğim açısı
αB =
0,5116 °
3
q2 ⋅ L
48 ⋅ E ⋅ I y
αB =
αB° =
www.guven-kutay.ch
0,0089 Rad
0,5116 °
27
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
13 Çıkmalı klasik kiriş, çıkma tarafındaki yayılı yük etkisinde
Yatak kuvvetleri:
q
x
X
B yatağı kuvveti;
a 

FB = q ⋅ a ⋅ 1 +

 2⋅L 
X1
αC
L
Eğilme momentleri
fC
xm
FA =
x1
fm
αA
αB
Xm
q ⋅ a2
2⋅L
A yatağı kuvveti;
C
B
yx1
Mmax
A
max Moment
M max = 0,5 ⋅ q ⋅ a 2
a
Şekil 13
q ⋅ a2
⋅x
2⋅L
X noktasında moment
x≤L
Mx =
X1 noktasında moment
x1 ≤ a
M x1 = 0,5 ⋅ q ⋅ (a − x1 )2
Xm noktasında Sehim
fm =
xm mesafesi
xm = L / 3
C noktasında Sehim
fC =
X noktasında Sehim
0≤x≤L
q ⋅ a 2 ⋅ L2  x x 3 
⋅
−
y=
12 ⋅ E ⋅ I y  L L3 
X1 noktasında Sehim
0 ≤ x1 ≤ a
y1 =
Eğim açısı
A yatağında
αA =
q ⋅ a2 ⋅ L
12 ⋅ E ⋅ I y
Eğim açısı
B yatağında
αB =
q ⋅ a2 ⋅ L
6 ⋅ E ⋅ Iy
Eğim açısı
C noktasında
αC =
q ⋅ a 2 (L + a )
6 ⋅ E ⋅ Iy
q ⋅ a 2 ⋅ L2
18 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ I y
1 / 3 = 0,57735
q ⋅ a 3 ⋅ (4 ⋅ L + 3 ⋅ a )
24 ⋅ E ⋅ I y
q ⋅ a4
24 ⋅ E ⋅ I y
 4 ⋅ L ⋅ x1 6 ⋅ x12 4 ⋅ x13 x14 
⋅
+ 2 − 3 + 4
 a2
a
a
a 

www.guven-kutay.ch
28
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 13 için örnek;
Yayılı yükün max değeri
q=
Kiriş boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in A ya mesafesi
x=
300 mm
X1 in B ye mesafesi
x1 =
100 mm
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
max. Moment
X noktasında
moment
X1 noktasında
moment
10 N/mm
q ⋅ a2
FA =
2⋅L
a 

FB = q ⋅ a ⋅ 1 +

 2⋅L 
M max = 0,5 ⋅ q ⋅ a 2
FA =
450 N
FB =
3'450 N
Mmax=
450 Nm
MX =
135 Nm
MX1 =
200 Nm
fm =
0,412 mm
xm =
577,35 mm
q ⋅ a 3 ⋅ (4 ⋅ L + 3 ⋅ a )
24 ⋅ E ⋅ I y
fC =
0,788 mm
q ⋅ a 2 ⋅ L2  x x 3 
⋅
−
12 ⋅ E ⋅ I y  L L3 
yx =
0,293 mm
yx1 =
0,240 mm
αA =
0,0011 Rad
Mx =
q ⋅ a2
⋅x
2⋅L
M x1 = 0,5 ⋅ q ⋅ (a − x )2
q ⋅ a 2 ⋅ L2
18 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ I y
Xm noktasında Sehim
fm =
xm mesafesi
xm = L / 3
C noktasında sehim
fC =
X noktasında sehim
0≤x≤L
y=
X1 noktasında sehim
0 ≤ x1 ≤ a
y1 =
A yatağında
eğim açısı
αA =
q ⋅ a4
24 ⋅ E ⋅ I y
1 / 3 = 0,57735
 4 ⋅ L ⋅ x1 6 ⋅ x12 4 ⋅ x13 x14 
⋅
+ 2 − 3 + 4
 a2
a
a
a 

q ⋅ a2 ⋅ L
12 ⋅ E ⋅ I y
αA° =
B yatağında
eğim açısı
C noktasında
eğim açısı
0,0614 °
2
αB =
q ⋅a ⋅ L
6 ⋅ E ⋅ Iy
αC =
q ⋅ a (L + a )
6 ⋅ E ⋅ Iy
αB =
αB° =
0,0021 Rad
0,1228 °
2
αC =
αC° =
www.guven-kutay.ch
0,0028 Rad
0,1596 °
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
29
14 Çift taraflı çıkmalı klasik kiriş, tam yayılı yük etkisinde
Yatak kuvvetleri:
MA
q
A yatağı kuvveti;
C
A
B
MC
E
E
B yatağı kuvveti;
x
x1
αA
E
a
L
X
W
fE
W
y
fC
fE
X1
a
E
Şekil 14
FA = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + 2 ⋅ a )
FB = FA
FB = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + 2 ⋅ a )
Dönüm noktası: x W = 0,5 ⋅ L ⋅ 1 − 4 ⋅ a 2 ⋅ L− 2
MA;B maksimum, eğer
a ≥ 8 .L = 0,35355.L ise
a ≤ 8 .L = 0,35355.L ise
MC maksimum, eğer
a = 0,5 L ise.
MC = 0, eğer
8 = 0,35355
− q ⋅ a2
2
Moment
A veya B noktasında
M A;B =
Moment
A ve B arasında
q ⋅ L2  4 ⋅ a 2  4 ⋅ x 2 

M AB =
−
⋅  1−
2 
2
8 

L
L


Moment
C noktasında,
x ≤ 0,5.L
x=0
MC =
q ⋅ L2  4 ⋅ a 2 
⋅ 1−
8 
L2 
Moment
X1 noktasında
− q ⋅ x12
M X1 =
2
E noktalarında Sehim
a = 0,3747.L ise fE = 0 olur.
q ⋅ L3 ⋅ a
fE =
24 ⋅ E ⋅ I y
 3 ⋅ a3 6 ⋅ a 2 
⋅
+
− 1
2
 L3

L


C noktasında Sehim
eğer
a = 0,4564.L ise fC = 0 olur.
5 / 24 = 0,4564
q ⋅ L4
fC =
16 ⋅ E ⋅ I y
 5 a2 
⋅ − 
 24 L2 


X noktasında Sehim
0 ≤ x ≤ 0,5.L
y=
Eğim açısı
A yatağında
αA = αB
q ⋅ L3
αA =
24 ⋅ E ⋅ I y
 6 ⋅ a2 

⋅ 1 −
2 

L 

Eğim açısı
B yatağında
αB =
q ⋅ L3
24 ⋅ E ⋅ I y
 6 ⋅ a2 

⋅ 1 −
2 

L 

eğer
q ⋅ L4
16 ⋅ E ⋅ I y
 4 ⋅ x 2   5 a 2  x 2 
 ⋅  −  −

⋅ 1 −
2   24
2
2



⋅
L
L
6
L

 

www.guven-kutay.ch
30
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 14 için örnek;
Yayılı yükün max değeri
q=
10 N/mm
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Kirişin a boyu
a=
300 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
x in C ye mesafesi
x=
250 mm
x in B ye mesafesi
x1 =
200 mm
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
FA = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + 2 ⋅ a )
FB = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + 2 ⋅ a )
FA =
FB =
Dönüm noktası:
x W = 0,5 ⋅ L ⋅ 1 − 4 ⋅ a 2 ⋅ L− 2
xW =
400 mm
A veya B noktasında
Moment
− q ⋅ a2
M A; B =
2
q ⋅ L2  4 ⋅ a 2  4 ⋅ x 2 

−
⋅  1−
M AB =
2 
2
8 

L
L


q ⋅ L2  4 ⋅ a 2 
⋅ 1−
MC =
8 
L2 
Mmax=
−450 Nm
Mmax=
−487,5 Nm
MC =
800 Nm
MX1 =
200 Nm
fE =
−0,677 mm
fC =
1,057 mm
yx =
0,723 mm
αA =
0,0027 Rad
A ve B arasında
Moment
C noktasında
moment
X1 noktasında
moment
E noktasında sehim
C noktasında sehim
X noktasında sehim
x ≤ 0,5.L
A yatağında
eğim açısı
M X1 =
− q ⋅ x12
2
 3 ⋅ a3 6 ⋅ a 2 
⋅
+
− 1
2
 L3

L


4
2
 5 a 
q⋅L
⋅ − 
fC =
16 ⋅ E ⋅ I y  24 L2 
q ⋅ L4  4 ⋅ x 2   5 a 2  x 2 

⋅
−
−
⋅ 1−
y=
16 ⋅ E ⋅ I y 
L2   24 L2  6 ⋅ L2 
q ⋅ L3  6 ⋅ a 2 
αA =
⋅ 1−
24 ⋅ E ⋅ I y 
L2 
fE =
q ⋅ L3 ⋅ a
24 ⋅ E ⋅ I y
αA° =
B yatağında
eğim açısı
αB =
q ⋅ L3
24 ⋅ E ⋅ I y
 6 ⋅ a2 

⋅ 1 −
2 

L 

αB =
αB° =
www.guven-kutay.ch
8'000 N
8'000 N
0,1569 °
0,0027 Rad
0,1569 °
31
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
15 Tek kuvvet etkisindeki çıkma kiriş
B kuvveti
FB = F
Eğilme momenti
M = F.x
B
F
Mmax
A
Mmax = F.L
x
F ⋅ L3
3⋅ E ⋅ Iy
Elastik eğri:
y=
y
f
f max = f =
max. Sehim
αA X
L
Eğim açısı
Şekil 15
F ⋅ L3
6 ⋅ E ⋅ Iy

3⋅ x x3 
⋅  2 −
+ 3 
L
L 

F ⋅ L2
3⋅ f
αA =
=
2 ⋅ E ⋅ Iy 2 ⋅ L
αX =
3⋅ y
2⋅L
Şekil 15 için örnek;
Tek yük
F=
2'000 N
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
x in A ya mesafesi
x=
Yatak kuvveti B
B noktasında Moment,
max moment
X noktasında moment
300 mm
FB = F
FB =
Mmax = F.L
M = F. x
Mmax=
2'000 Nm
MX =
600 Nm
fmax =
9,524 mm
y=
5,367 mm
αA =
0,0143 Rad
3
F⋅L
3⋅ E ⋅ Iy
A noktasında sehim
max sehim
f max = f =
X noktasında sehim
y=
A noktasında
eğim açısı
F ⋅ L2
3⋅ f
αA =
=
2 ⋅ E ⋅ Iy 2 ⋅ L
X noktasında
eğim açısı
3⋅ y
αX =
2⋅L
F ⋅ L3
6 ⋅ E ⋅ Iy
2'000 N

3 ⋅ x x 3 
⋅2 −
+

L
L3 

αA° =
αX =
αX° =
www.guven-kutay.ch
0,8185 °
0,0081 Rad
0,4612 °
32
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
16 Serbest uçta moment etkili çıkma kiriş
B
A
FB = 0
Eğilme momenti
M = sabit
Çemberin yarı çapı ρ = E ⋅ I y / M
x
f
y
Mb
B kuvveti
α X ρ
L
M b ⋅ L2
=f =
2 ⋅ E ⋅ Iy
Sehim
f max
Elastik eğri:
M b ⋅ L2  x 
⋅ 1 − 
y=
2 ⋅ E ⋅ Iy  L 
Eğim açısı
Şekil 16
αA =
Mb ⋅ L 2 ⋅ f
=
E ⋅ Iy
L
αX =
2⋅ y
L
Şekil 16 için örnek;
Moment
Mb =
1'500 Nm
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
x in A ya mesafesi
x=
500 mm
Yatak kuvveti B
FB = 0
FB =
Çemberin yarı çapı
ρ = E ⋅ Iy / M
A noktasında sehim
max sehim
f max = f =
X noktasında sehim
y=
A noktasında
eğim açısı
αA =
ρ=
M b ⋅ L2
2 ⋅ E ⋅ Iy
M b ⋅ L2  x 
⋅ 1 − 
2 ⋅ E ⋅ Iy  L 
αX =
46'667 m
fmax =
10,714 mm
y=
5,357 mm
αA =
0,0214 Rad
2
Mb ⋅ L 2 ⋅ f
=
E ⋅ Iy
L
αA° =
X noktasında
eğim açısı
0 kN
2⋅ y
L
αX =
αX° =
www.guven-kutay.ch
1,2278 °
0,0107 Rad
0,6150 °
2
33
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
17 Düzgün yayılı yük etkisindeki çıkma kiriş
FB = q ⋅ L
B kuvveti
q ⋅ L2
2
q ⋅ x2
MX =
2
q ⋅ L4
f max = f =
8 ⋅ E ⋅ Iy
M max =
Eğilme momenti
q
Mmax
A
Max. Sehim
f
y
x
B
α
q ⋅ L4
24 ⋅ E ⋅ I y
y=
Eğim açısı
αA =
q ⋅ L3
4⋅f
=
6 ⋅ E ⋅ Iy 3 ⋅ L
αx =
4⋅ y
3⋅ L
L
Şekil 17

4 ⋅ x x 4 
⋅3 −
+

L
L4 

Elastik eğri:
Şekil 17 için örnek;
Yayılı yük
F=
10 N/mm
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
x in A ya mesafesi
x=
300 mm
Yatak kuvveti B
FB = q ⋅ L
B noktasında moment,
max moment
X noktasında moment
A noktasında sehim
max sehim
q ⋅ L2
2
q ⋅ x2
MX =
2
q ⋅ L4
f max = f =
8 ⋅ E ⋅ Iy
X noktasında sehim
y=
A noktasında
eğim açısı
αA =
X noktasında
eğim açısı
4⋅ y
αx =
3⋅ L
FB =
M max =
q ⋅ L4
24 ⋅ E ⋅ I y

4 ⋅ x x 4 
⋅3 −
+

L
L4 

q ⋅ L3
4⋅f
=
6 ⋅ E ⋅ Iy 3 ⋅ L
Mmax=
5'000 Nm
MX =
450 Nm
fmax =
17,857 mm
y=
10,666 mm
αA =
0,0238 Rad
αA° =
αA =
αA° =
www.guven-kutay.ch
10'000 N
1,3642 °
0,0142 Rad
0,8148 °
34
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
18 Üçken yayılı yük etkisindeki çıkma kiriş (üçken tabanı sabit tarafta)
FB = 0,5 ⋅ q ⋅ L
B kuvveti
q
Mmax
A
B
max. Sehim
f
y
x
q ⋅ L2
6
3
q⋅x
MX =
6⋅L
q ⋅ L4
f max = f = 1
30 ⋅ E ⋅ I y
M max =
Eğilme momenti
αA X
L
q1 ⋅ L4
120 ⋅ E ⋅ I y

5 ⋅ x x 5 
⋅4 −
+

L
L5 

Elastik eğri
y=
Eğim açısı
αA =
q1 ⋅ L3
5⋅f
=
24 ⋅ E ⋅ I y 4 ⋅ L
αX =
5⋅ y
4⋅L
Şekil 18
Şekil 18için örnek;
Yayılı yük, B tarafı
F=
20 N/mm
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
x in A ya mesafesi
x=
300 mm
Yatak kuvveti B
FB = 0,5 ⋅ q ⋅ L
B noktasında Moment,
max moment
X noktasında moment
A noktasında sehim
max sehim
q ⋅ L2
6
3
q⋅x
MX =
6⋅L
q ⋅ L4
f max = f = 1
30 ⋅ E ⋅ I y
X noktasında sehim
y=
A noktasında
eğim açısı
αA =
X noktasında
eğim açısı
5⋅ y
αX =
4⋅L
FB =
M max =
q1 ⋅ L4
120 ⋅ E ⋅ I y

5 ⋅ x x 5 
⋅4 −
+

L
L5 

q1 ⋅ L3
5⋅f
=
24 ⋅ E ⋅ I y 4 ⋅ L
Mmax=
3'333 Nm
MX =
90 Nm
fmax =
9,524 mm
y=
5,958 mm
αA =
0,0119 Rad
αA° =
αA =
αA° =
www.guven-kutay.ch
10'000 N
0,6821 °
0,0074 Rad
0,4267 °
35
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
19 Üçken yayılı yük etkisindeki çıkma kiriş (üçken tabanı boş tarafta)
FB = 0,5 ⋅ q ⋅ L
B kuvveti
q ⋅ L2
3
q ⋅ ( L − x )3
MX =
3⋅ L
11 ⋅ q ⋅ L4
f max = f =
120 ⋅ E ⋅ I y
M max =
Eğilme momenti
q
Mmax
A
B
x
max. Sehim
f
y
Elastik eğri
αA
X
q 2 ⋅ L4
y=
120 ⋅ E ⋅ I y
L
Şekil 19
Eğim açısı
α=

15 ⋅ x 5 ⋅ x 4 x 5 

⋅ 11 −
+ 4 − 5 
L
L
L 

q 2 ⋅ L3
8 ⋅ E ⋅ Iy
Şekil 19 için örnek;
Yayılı yük, A tarafı
F=
30 N/mm
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
x in A ya mesafesi
x=
300 mm
Yatak kuvveti B
FB = 0,5 ⋅ q ⋅ L
FB =
B noktasında moment,
max moment
M max =
q ⋅ L2
3
Mmax=
10'000 Nm
q ⋅ ( L − x )3
3⋅ L
MX =
3'430 Nm
fmax =
39,286 mm
y=
23,350 mm
αA =
0,0536 Rad
X noktasında moment
MX =
A noktasında sehim
max sehim
11 ⋅ q ⋅ L4
f max = f =
120 ⋅ E ⋅ I y
X noktasında sehim
y=
q 2 ⋅ L4
120 ⋅ E ⋅ I y
A noktasında
eğim açısı
α=
q 2 ⋅ L3
8 ⋅ E ⋅ Iy

15 ⋅ x 5 ⋅ x 4 x 5 
⋅ 11 −
+ 4 − 5 
L
L
L 

αA° =
www.guven-kutay.ch
15'000 N
3,0694 °
36
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
20 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli otadan tek yük etkisindeki kiriş
Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli otadan simetrik yüklemeli kiriş
Yatak kuvvetleri:
MB
L/2
F
A
MC
C
B
xW
x
xm
X
y1
fC
αA
fm
y
x1
Xm C
A yatağı kuvveti
FA = 5 ⋅ F / 16
B yatağı kuvveti
FB = 11 ⋅ F / 16
Dönüm noktası
x W = 3 ⋅ L / 11
Eğilme momenti
X1
L
Şekil 20
B noktasında
M B = 3 ⋅ F ⋅ L / 16
C noktasında
M C = 5 ⋅ F ⋅ L / 32
Moment AC arası
X noktasında,
x ≤ 0,5.L
M X = 5 ⋅ F ⋅ x / 16
Moment BC arası
X1 noktasında x1 ≤ 0,5.L
M x1 =
max. Sehim
fm =
xm mesafesi
xm = 1/ 5 ⋅ L
L/2 noktasında sehim
f=
X noktasında Sehim
x ≤ 0,5.L
yx =
X noktasında Sehim
x1 ≤ 0,5.L
F⋅L 
x

⋅ 11 ⋅ 1 − 3 
16 
L

F ⋅ L3
F ⋅ L3
≈
48 ⋅ 5 ⋅ E ⋅ I y 107 ⋅ E ⋅ I y
1 / 5 = 0,44721...
7 ⋅ F ⋅ L3
F ⋅ L3
≈
768 ⋅ E ⋅ I y 110 ⋅ E ⋅ I y
F ⋅ L3
96 ⋅ E ⋅ I y
 3 ⋅ x 5 ⋅ x3 

⋅
−
3 
 L
L


y x1 =
F ⋅ L3
96 ⋅ E ⋅ I y
 9 ⋅ x12 11 ⋅ x13 

⋅
−
3 
 L2
L 

Eğim açısı
A yatağında
αA =
F ⋅ L2
24 ⋅ f
=
32 ⋅ E ⋅ I y 7 ⋅ L
Eğim açısı
X noktasında
αX =
24 ⋅ y x
7⋅L
www.guven-kutay.ch
37
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 20 için örnek;
Tek yük
F=
2'000 N
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in A ya mesafesi
x=
350 mm
X1 in B ye mesafesi
x1 =
250 mm
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
C noktasında
moment
B noktasında
moment
X noktasında
moment x ≤ 0,5.L
X noktasında
moment x1 ≤ 0,5.L
Dönüm noktası
FA = 5 ⋅ F / 16
FB = 11 ⋅ F / 16
FA =
FB =
625 N
1'375 N
M C = 5 ⋅ F ⋅ L / 32
MC=
312,5 Nm
M B = 3 ⋅ F ⋅ L / 16
MB=
375,0 Nm
M X = 5 ⋅ F ⋅ x / 16
MX =
218,75 Nm
MX =
31,25 Nm
xW =
272,7 mm
fmax =
0,266 mm
xm =
447,21 mm
f=
0,260 mm
yx =
0,249 mm
yx1 =
0,618 mm
αA =
0,0009 Rad
F⋅L 
x

⋅ 11 ⋅ 1 − 3 
16 
L

x W = 3 ⋅ L / 11
M x1 =
3
F⋅L
F⋅L
≈
48 ⋅ 5 ⋅ E ⋅ I y 107 ⋅ E ⋅ I y
max sehim
fm =
xm mesafesi
xm = 1/ 5 ⋅ L
1 / 5 = 0,44721...
3
3
7⋅F⋅L
F⋅L
≈
768 ⋅ E ⋅ I y 110 ⋅ E ⋅ I y
L/2 noktasında sehim
f=
X noktasında sehim
yx =
X1 noktasında sehim
3
 3 ⋅ x 5 ⋅ x3 

⋅
−
3 
 L
L 

F ⋅ L3  9 ⋅ x12 11 ⋅ x13 
⋅
−
y x1 =
96 ⋅ E ⋅ I y  L2
L3 
F ⋅ L3
96 ⋅ E ⋅ I y
A noktasında
eğim açısı
F ⋅ L2
24 ⋅ f
αA =
=
32 ⋅ E ⋅ I y 7 ⋅ L
X noktasında
eğim açısı
24 ⋅ y x
αX =
7⋅L
X1 noktasında
eğim açısı
α X1 =
αA° =
αX =
24 ⋅ y x1
7⋅L
0,0009 Rad
αX° =
0,0489 °
αX1 =
0,0021 Rad
αX1° =
www.guven-kutay.ch
0,0512 °
0,1215 °
38
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
21 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli asimetrik tek yük etkisindeki kiriş
Yatak kuvvetleri:
MB
F
MC
A
B
xW
x
xm
a
y1
fm
fC
x1
y
αA
a 
F ⋅ b2 
⋅
+
1


L2  2 ⋅ L 
B yatağı kuvveti FB = F − FA
η
Dönüm noktası x W = L ⋅
1+ η
b  a
η=
⋅ 1 + 
2⋅L  L 
Eğilme momenti
F⋅a ⋅b 
b 
MB =
⋅ 1 −
B noktasında

L
 2⋅L 
A yatağı kuvveti FA =
Xm1 X1
X C
xm1
b
L
Şekil 21
C noktasında
Moment AC arası
X noktasında,
x≤a
M x = FA ⋅ x
Moment BC arası
X1 noktasında x1 ≤ b
M x1 = FB ⋅ x1
C noktasında sehim
max. Sehim
fC =
F ⋅ a ⋅ b2 
a 
⋅ 1 +

 2⋅L 
L2
F ⋅ a 2 ⋅ b3
a 

⋅ 1 +

4 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L  3 ⋅ L 
2
a
2 ⋅ L ⋅ +a
a ≥ 0,4142.L
xm = L ⋅
a ≤ 0,4142.L
 L
b ⋅ 1 + 
 a
x1m =
b  a
1+
⋅ 1 + 
2⋅L  L 
xmax mesafesi
2 − 1 = 0,4142
MC =
X noktasında Sehim
x≤a
y=
F ⋅ L ⋅ b2  a ⋅ x 2 
a   x 3 
⋅  2 − ⋅ 1 +

⋅
4 ⋅ E ⋅ Iy  L
3  2 ⋅ L   L3 


X noktasında Sehim
x1 ≤ b
y1 =
a 2  x13 
F ⋅ L2 ⋅ a  a 2   x12  
⋅  1−
⋅
− 1−
⋅ 
4 ⋅ E ⋅ I y  L2   L2   3 ⋅ L2  L3 


Eğim açısı
A yatağında
αA =
F ⋅ a ⋅ b2
4 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L2
www.guven-kutay.ch
39
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 21 için örnek;
Tek yük
Kirişin L boyu
Kirişin a boyu
Kirişin b boyu
Elastiklik modülü
Atalet momenti
X in A ya mesafesi
X1 in B ye mesafesi
F=
L=
a=
b=
E=
Iy =
x=
x1 =
2'000
1'000
300
700
210'000
333'333
250
200
N
mm
mm
mm
N/mm2
mm4
mm
mm
b=L-a
B noktasında
Moment
F ⋅ b2 
a 
⋅
1
+


L2  2 ⋅ L 
FB = F − FA
F⋅a ⋅b 
b 
MB =
⋅ 1 −

L
 2⋅L 
C noktasında
Moment
MC =
X noktasında
moment
X1 noktasında
moment
M x = FA ⋅ x
M x1 = FB ⋅ x1
Dönüm noktası
xW = L ⋅
fmax mesafesi xmax
için
a ≥ 0,4142.L
xm = L ⋅
max. Sehim
xmax için
y=
fmax mesafesi x1max
için
a ≤ 0,4142.L
x1m =
max. Sehim
x1max için
y1 =
F ⋅ L2 ⋅ a  a 2   x12m  
a 2  x13m 
1
⋅
−
−
⋅  1− 2 ⋅

4 ⋅ E ⋅ I y  L   L2   3 ⋅ L2  L2 


C noktasında sehim
fC =
F ⋅ a 2 ⋅ b2  2 ⋅ a 2 ⋅ a 2 
⋅ 1−
−
4 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L  3 ⋅ L 6 ⋅ L2 
X noktasında sehim
y=
F ⋅ L ⋅ b2  a ⋅ x 2 
a   x 3 
⋅  2 − ⋅ 1 +

⋅
4 ⋅ E ⋅ Iy  L
3  2 ⋅ L   L3 


X1 noktasında sehim
y1 =
F ⋅ L2 ⋅ a  a 2   x12  
a 2  x13 
⋅ 
⋅  1− 2 ⋅ 2 − 1−
4 ⋅ E ⋅ I y  L   L   3 ⋅ L2  L2 


A noktasında
eğim açısı
αA =
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
FA =
F ⋅ a ⋅ b2 
a 
⋅ 1 +

 2⋅L 
L2
η
1+ η
η=
b  a
⋅ 1 + 
2⋅L  L 
a
2 ⋅ L ⋅ +a
F ⋅ L ⋅ b2  a ⋅ x m 2 
a   x 3m 

⋅
− ⋅ 1 +
⋅
4 ⋅ E ⋅ I y  L2
3  2 ⋅ L   L3 


(
b ⋅ 1 + L ⋅ a −1
−1
(
)
1 + 0,5 ⋅ b ⋅ L ⋅ 1 + L ⋅ a −1
)
F ⋅ a ⋅ b2
4 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L
FA =
1'127 N
FB =
873 N
MB=
273 Nm
MC=
338,1 Nm
MX =
281,7 Nm
MX1 =
174,6 Nm
xW =
285,1 mm
xm =
361,16 mm
fxmax =
0,253 mm
x1m =
625,43 mm
fx1max =
0,253 mm
fC=
0,243 mm
yx =
0,221 mm
yx1 =
0,061 mm
αA =
0,0011 Rad
αA° =
www.guven-kutay.ch
0,0602 °
40
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
22 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli tam yayılı yük etkisindeki kiriş
MB
Yatak kuvvetleri:
MC
q
A
A yatağı kuvveti FA = 3 ⋅ q ⋅ L / 8
B yatağı kuvveti FB = 5 ⋅ q ⋅ L / 8
B
C
xW = 3⋅ L / 4
Dönüm noktası
xW
xC
αA
fm
y
Eğilme momenti
x X
xm
Xm
L
x≤L
xC mesafesi
Mx =
q ⋅ L2
8
9 ⋅ q ⋅ L2
MC =
128
3⋅ L
xC =
8
C noktasında
Şekil 22
Moment
X noktasında,
M B = M max =
B noktasında
q ⋅ L2  3 ⋅ x 4 ⋅ x 2 
⋅
− 2
8  L
L 
q ⋅ L4
185 ⋅ E ⋅ I y
max. Sehim
f max = f m =
xmax mesafesi
xm =
C noktasında sehim
q ⋅ L4
fC ≈
187 ⋅ E ⋅ I y
X noktasında Sehim
y=
Eğim açısı
A yatağında
αA =
1 + 33
⋅L
16
q ⋅ L4
48 ⋅ E ⋅ I y
1
78 + 110 ⋅ 33
=
185
2 ⋅164
1 + 33
= 0,421535..
16
 x 3⋅ x3 2 ⋅ x4 
⋅ − 3 + 4 
L
L
L 

q ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
www.guven-kutay.ch
41
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 22 için örnek;
Yayılı yük
F=
2'000 N
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in A ya mesafesi
x=
300 mm
Yatak kuvveti A
Yatak kuvveti B
Dönüm noktası
xW mesafesi
FA = 3 ⋅ q ⋅ L / 8
FB = 5 ⋅ q ⋅ L / 8
3
xw = ⋅ L
4
B noktasında
Moment
MB =
C noktasında
Moment
X noktasında
moment
9 ⋅ q ⋅ L2
MC =
128
q ⋅ L2  3 ⋅ x 4 ⋅ x 2 
⋅
− 2
Mx =
8  L
L 
max sehim
f max = f m =
xm mesafesi
C noktasında sehim
FA =
FB =
q ⋅ L2
8
q ⋅ L4
185 ⋅ E ⋅ I y
1 + 33
⋅L
16
q ⋅ L4
fC ≈
187 ⋅ E ⋅ I y
xm =
3⋅ L
8
XC mesafesi
xC =
X noktasında sehim
y=
A noktasında
eğim açısı
q ⋅ L3
αA =
48 ⋅ E ⋅ I y
q ⋅ L4
48 ⋅ E ⋅ I y
 x 3⋅ x3 2 ⋅ x4 
⋅ − 3 + 4 
L
L
L 

xW =
750 mm
MB=
1'250 Nm
MC=
703 Nm
MX =
675 Nm
fmax =
0,772 mm
xm =
421,54 mm
fC =
0,764 mm
xC =
375 mm
yx =
0,700 mm
αA =
0,0030 Rad
αA° =
www.guven-kutay.ch
3'750 N
6'250 N
0,1705 °
42
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
23 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli üçken yayılı yük etkisindeki kiriş
Üçken tabanı sabit tarafta
Yatak kuvvetleri:
MC
MB
q
A
B
Dönüm noktası
xW
x
αA
xW = L ⋅ 3 / 5
y
Eğilme momenti
fm
xm
A yatağı kuvveti FA = q ⋅ L / 10
B yatağı kuvveti FB = 4 ⋅ q ⋅ L / 10
C
L
Şekil 23
B noktasında
M B = q ⋅ L2 / 15
C noktasında
M C = 0,0298 ⋅ q ⋅ L2
xC mesafesi
cC = x m = L / 5
Moment
X noktasında
q ⋅ L2  3 ⋅ x x 3 
⋅
−
Mx =
6  5 ⋅ L L3 
max. Sehim
C noktasında sehim
f max = f m =
xmax mesafesi
x m = 1 / 5 ⋅ L = 0,44721 ⋅ L
X noktasında Sehim
yx =
Eğim açısı
A yatağında
αA =
q ⋅ L3
7 ⋅ fm
≈
120 ⋅ E ⋅ I y 2 ⋅ L
Eğim açısı
X noktasında
αx ≈
7 ⋅ yx
2⋅L
q ⋅ L4
419 ⋅ E ⋅ I y
q ⋅ L4
120 ⋅ E ⋅ I y
1 / 5 = 0,44721
 x 2 ⋅ x3 x5 
⋅ −
+ 
3
L
L
L5 

www.guven-kutay.ch
43
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 23 için örnek;
Üçken yayılı yük
q=
20 N/mm
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in A ya mesafesi
x=
300 mm
Yatak kuvveti A
FA = q 2 ⋅ L / 10
FA =
2'000 N
Yatak kuvveti B
FB = 4 ⋅ q 2 ⋅ L / 10
FB =
8'000 N
Dönüm noktası
xW = L ⋅ 3 / 5
xW =
774,6 mm
B noktasında
Moment
M B = q 2 ⋅ L2 / 15
MB=
1'333 Nm
C noktasında
Moment
M C = 0,0298 ⋅ q 2 ⋅ L2
MC=
596 Nm
X noktasında
moment
q 2 ⋅ L2  3 ⋅ x x 3 
⋅
−
Mx =
 5 ⋅ L L3 
6


MX =
510 Nm
max sehim
f max = f m =
fmax =
0,682 mm
xm mesafesi
x m = 1 / 5 ⋅ L = 0,44721 ⋅ L
xm =
447,2 mm
X noktasında sehim
y=
yx =
0,592 mm
A noktasında
eğim açısı
αA =
αA =
0,0024 Rad
q 2 ⋅ L4
419 ⋅ E ⋅ I y
q 2 ⋅ L4
120 ⋅ E ⋅ I y
 x 2 ⋅ x3 x5 
⋅ −
+ 
3
L
L
L5 

q 2 ⋅ L3
120 ⋅ E ⋅ I y
αA° =
X noktasında
eğim açısı
αx =
7 ⋅ yx
2⋅L
αA =
αA° =
www.guven-kutay.ch
0,1364 °
0,0021 Rad
0,1186 °
44
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
24 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli üçken yayılı yük etkisindeki kiriş
Üçken tabanı hareketli tarafta
Yatak kuvvetleri:
A yatağı kuvveti FA = 9 ⋅ q ⋅ L / 40
B yatağı kuvveti FB = 11 ⋅ q ⋅ L / 40
A
MC
MA
q
xW
Dönüm noktası
B
( 3 / 5 − 0,5) = 0,2745
y
fm
xC
x
x W = L ⋅ ( 3 / 5 − 0,5)
X
Xm
xm
Eğilme momenti
αB
C
L
A noktasında
M A = 7 ⋅ q ⋅ L2 / 120
C noktasında
M C ≈ 0,0423 ⋅ q ⋅ L2
xC mesafesi
x C = L ⋅ 9 / 20 = 0,671 ⋅ L
Şekil 24
Moment
X noktasında
q ⋅ L2  x   x 2 x 7 
⋅ 1 −  ⋅ 2 + −
Mx = 1
6
L 20 
 L   L
max. Sehim
f max = f m ≈
xmax mesafesi
xm = 0,5975.L
X noktasında Sehim
q1 ⋅ L4
yx =
240 ⋅ E ⋅ I y
Eğim açısı
A yatağında
αA =
q1 ⋅ L3
4,1 ⋅ f m
≈
80 ⋅ E ⋅ I y
L
Eğim açısı
X noktasında
αx ≈
4,1 ⋅ y x
L
q1 ⋅ L4
328 ⋅ E ⋅ I y
 x5
x2
x3

⋅ 2⋅
−9⋅
+ 7⋅
 L5
L2
L3

www.guven-kutay.ch

−


45
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 24 için örnek;
Üçken yayılı yük
q=
20 N/mm
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in A ya mesafesi
x=
300 mm
Yatak kuvveti A
FA = 9 ⋅ q ⋅ L / 40
FA =
4'500 N
Yatak kuvveti B
FB = 11 ⋅ q ⋅ L / 40
FB =
5'500 N
xW =
274,6 mm
Dönüm noktası
x W = L ⋅ ( 3 / 5 − 0,5)
( 3 / 5 − 0,5) = 0,2745
A noktasında
Moment
M A = 7 ⋅ q ⋅ L2 / 120
MA=
1'167 Nm
C noktasında
Moment
M C ≈ 0,0423 ⋅ q ⋅ L2
MC=
846 Nm
X noktasında
moment
q ⋅ L2  x   x 2 x 7 
⋅ 1 −  ⋅ 2 + −
Mx = 1
6
L 20 
 L   L
MX =
93 Nm
max sehim
q1 ⋅ L4
f max = f m ≈
328 ⋅ E ⋅ I y
fmax =
0,871 mm
xm mesafesi
xm = 0,5975.L
xm =
597,5 mm
X noktasında sehim
yx =
yx =
0,467 mm
A noktasında
eğim açısı
q1 ⋅ L3
4,1 ⋅ f m
αA =
≈
80 ⋅ E ⋅ I y
L
q1 ⋅ L4
240 ⋅ E ⋅ I y
 x5
x3
x2
⋅2⋅
−9⋅
+ 7⋅
 L5
L3
L2


−


αA = 0,00357 Rad
αA° =
X noktasında
eğim açısı
αx ≈
4,1 ⋅ y x
L
αA =
αA° =
www.guven-kutay.ch
0,2046 °
0,0019 Rad
0,1096 °
46
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
25 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli moment etkisindeki kiriş
Mb
A
B
B yatağı kuvveti
3 ⋅ M b  b 2 
FB =
⋅ 1−
2 ⋅ L  L2 
C
x1
x m2
αC
αB
A yatağı kuvveti
fm2
yx1
y
x
f m1
fC
x
FB
X noktasında moment
0≤x≤a
M x = FA ⋅ x
x m1
b
a
FA = FB
X1 noktasında moment
a ≤ x1 ≤ L
M x1 = FB ⋅ (L − x1)
L
Şekil 25

M b ⋅ a 2 ⋅ b  a 2 4 ⋅ a
⋅
−
+ 2

4 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L  L2
L

C noktasında Sehim
fC =
Xm1 noktasında Sehim
M ⋅ L2
f m1 = b
9 ⋅ E ⋅ Iy
 1 b2 
⋅ − 
 3 L2 


3
 b2 
⋅ 1 − 
 L2 


−2
2 ⋅ L ⋅ (L2 − 3 ⋅ b 2 )
xm1 mesafesi
x m1 =
Xm2 noktasında Sehim
M ⋅a ⋅L  b 1  b 
fm2 = b
⋅  −  ⋅  + 1
2 ⋅ E ⋅ Iy
 L 3  L 
xm2 mesafesi
−1 

 b 1  b  

x m 2 = L ⋅ 1 −  −  ⋅  + 1

 L 3  L  


X noktasında Sehim
0≤x≤a
M b ⋅ x3
yx =
4 ⋅ E ⋅ Iy
Xm1 noktasında Sehim
a ≤ x1 ≤ L
y x1 =
M b ⋅ a ⋅ L  x1   x1 
a 
x  2⋅a
⋅ 1 −  ⋅  ⋅  2 −  ⋅  2 − 1  −
4 ⋅ E ⋅ Iy 
L  L 
L 
L  L 
Eğim açısı
B yatağında
αB =
Mb ⋅ a  3⋅ b 
⋅
− 1
4 ⋅ E ⋅ Iy  L

Eğim açısı
C noktasında
αC =
Mb ⋅ a
4 ⋅ E ⋅ Iy
3 ⋅ (L2 − b 2 )
3
−1
  b2  
x 
⋅  2 − 1 −  ⋅  3 −  
L 
  L2  

 3 ⋅ b2 
⋅  2 − 1
 L



www.guven-kutay.ch
47
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 25 için örnek;
Moment
Kirişin L boyu
Kirişin a boyu
Kirişin b boyu
Elastiklik modülü
Atalet momenti
X in A ya mesafesi
X1 in A ya mesafesi
Yatak kuvveti B
Mb =
L=
a=
b=
E=
Iy =
x=
x1 =
3 ⋅ Mb
FB =
2⋅L
1'500
1'000
400
600
210'000
333'333
200
500
Nm
mm
mm
mm
N/mm2
mm4
mm
mm
b=L-a
 b2 
⋅ 1 − 
 L2 


FB =
1'440 N
1'440 N
Yatak kuvveti A
X noktasında
Moment 0 ≤ x ≤ a
X1 noktasında
moment a ≤ x1 ≤ L
FA = FB
FA =
M x = FA ⋅ x
MX=
288 Nm
MX1 =
720 Nm
C noktasında sehim
fC =
fC =
0,288 mm
Xm1 noktasında
Sehim
M ⋅ L2
f m1 = b
9 ⋅ E ⋅ Iy
fm1 =
-0,155 mm
xm1 =
-83,33 mm
fm2 =
0,467 mm
xm2 =
591,75 mm
yx =
0,045 mm
yx1 =
0,429 mm
αB =
0,0017 Rad
M x1 = FB ⋅ (L − x1)

M b ⋅ a 2 ⋅ b  a 2 4 ⋅ a
⋅
−
+ 2

4 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L  L2
L

 1 b2 
⋅ − 
 3 L2 


3
 b2 
⋅ 1 − 
 L2 


−2
2 ⋅ L ⋅ (L2 − 3 ⋅ b 2 )
xm1 mesafesi
x m1 =
X m2 noktasında
sehim
M ⋅a ⋅L  b 1  b 
⋅  −  ⋅  + 1
fm2 = b
2 ⋅ E ⋅ Iy
 L 3  L 
xm2 mesafesi
X noktasında sehim
0≤x≤a
3 ⋅ (L2 − b 2 )
3
−1
−1 

 b 1  b  

x m 2 = L ⋅ 1 −  −  ⋅  + 1

 L 3  L  


M b ⋅ x 3   b 2  
x 
⋅  3 − 
yx =
⋅ 2 − 1 −
4 ⋅ E ⋅ I y   L2  
L 


X1 noktasında sehim
a ≤ x1 ≤ L
y x1 =
B noktasında
eğim açısı
αB =
M b ⋅ a ⋅ L  x1   x1 
a 
x  2⋅a
⋅ 1 −  ⋅  ⋅  2 −  ⋅  2 − 1  −
4 ⋅ E ⋅ Iy 
L L 
L 
L  L 
Mb ⋅ a  3⋅ b 
⋅
− 1
4 ⋅ E ⋅ Iy  L

αB° =
C noktasında
eğim açısı
αC =
Mb ⋅a
4 ⋅ E ⋅ Iy
 3⋅ b

⋅  2 − 1
 L



0,0982 °
2
αC =
αC° =
www.guven-kutay.ch
0,0002 Rad
0,0098 °
48
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
26 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli, çıkma ucunda tek kuvvet etkisindeki kiriş
MA
C
MB
Xm
FB
αB
yx
fm
X
FA = F ⋅
3⋅ a
2⋅L
Eğilme momenti:
MB = F ⋅ a
x1
αC
M A = −0,5 ⋅ F ⋅ a
X1
x fm
a
L
A kuvveti
fC
x
yx1
xW
3⋅ a 

FB = F ⋅ 1 +

 2⋅L 
F
B
A
B kuvveti
C
Dönüm noktası
xW = L / 3
M x = F ⋅ (L − x + a ) − FB ⋅ (L − x )
Şekil 26
M x1 = F ⋅ (a − x1)
C noktasında Sehim
fC =
F ⋅ a2 ⋅ L 
a
⋅3+ 
12 ⋅ E ⋅ I y 
L
Xm noktasında Sehim
fm =
F ⋅ a ⋅ L2
27 ⋅ E ⋅ I y
xfm mesafesi
xfm = 2.L/3
X noktasında Sehim
0≤x≤L
yx =
X1 noktasında Sehim
0 ≤ x1 ≤ a
F ⋅ L2 ⋅ x1  6 ⋅ a 3 ⋅ a ⋅ x1 x12 
y x1 =
⋅
+
−
24 ⋅ E ⋅ I y  L
L2
L2 
B noktasında
eğim açısı
αB =
F⋅a ⋅ L
4 ⋅ E ⋅ Iy
C noktasında
eğim açısı
αC =
F⋅a ⋅ L 
a
⋅2 + 
8 ⋅ E ⋅ Iy 
L
F ⋅ a ⋅ x2  x 
⋅ 1 − 
4 ⋅ E ⋅ Iy  L 
www.guven-kutay.ch
49
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 26 için örnek;
Moment
Mb =
1'500 Nm
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Kirişin a boyu
a=
400 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in A ya mesafesi
x=
200 mm
X1 in B ye mesafesi
x1 =
500 mm
Yatak kuvveti B
3⋅ a 

FB = F ⋅ 1 +

 2⋅L 
Yatak kuvveti A
FA = FB
B noktasında Moment
FB =
1'450 N
FA =
450 N
MB = F ⋅ a
MB =
300 Nm
A noktasında Moment
M A = −0,5 ⋅ F ⋅ a
MA =
−150 Nm
X noktasında Moment 0 ≤ x ≤
L
M x = F ⋅ (L − x + a ) − FB ⋅ (L − x )
MX=
30 Nm
X1 noktasında moment 0 ≤ x1
≤a
M x1 = FB ⋅ (L − x1)
MX1 =
100 Nm
C noktasında Sehim
fC =
F ⋅ a2 ⋅ L 
a
⋅3+ 
12 ⋅ E ⋅ I y 
L
fC =
0,354 mm
Xm noktasında Sehim
fm =
F ⋅ a ⋅ L2
27 ⋅ E ⋅ I y
fm =
0,159 mm
xfm mesafesi
xfm = 2.L/3
xfm =
666,67 mm
X noktasında Sehim
0≤x≤L
F ⋅ a ⋅ x2  x 
⋅ 1 − 
yx =
4 ⋅ E ⋅ Iy  L 
yx =
0,103 mm
X1 noktasında Sehim
0 ≤ x1 ≤ a
y x1 =
F ⋅ L2 ⋅ x1  6 ⋅ a 3 ⋅ a ⋅ x1 x12 
⋅
+
−
24 ⋅ E ⋅ I y  L
L2
L2 
yx1 =
0,231 mm
B noktasında
eğim açısı
αB =
F⋅a ⋅ L
4 ⋅ E ⋅ Iy
αB = 0,00123 Rad
FA = F ⋅
3⋅ a
2⋅L
αB° = 0,07060 °
C noktasında
eğim açısı
αC =
F⋅a ⋅ L
8 ⋅ E ⋅ Iy
a

⋅2 + 
L

αC = 0,00107 Rad
αC° = 0,06139 °
www.guven-kutay.ch
50
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
27 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli, çıkma ucunda moment etkisindeki kiriş
A ve B kuvveti
C
B
xw
FA =
3 ⋅ Mb
2⋅L
FA = FB
Eğilme momenti:
x
αB
x1
B
ρ
xm
MB = Mb
αC
X1
a
L
fc
fm
yx
X Xm
y1
FA
3 ⋅ Mb
2⋅L
Mb
FB
MB
MA
A
FB =
C
M A = −0,5 ⋅ M b
Dönüm noktası
Şekil 27
xw = L / 3
M x = M b − FB ⋅ (L − x )
x1 için
C noktasında Sehim
fC =
Mb ⋅ a ⋅ L  2 ⋅ a 
⋅ 1 +

4 ⋅ E ⋅ Iy 
L 
Xm noktasında Sehim
fm =
M b ⋅ L2
27 ⋅ E ⋅ I y
xfm mesafesi
x fm =
B ile C arası çemberin yarı çapı
ρ = E ⋅ Iy / M
X noktasında Sehim
0≤x≤L
yx =
Mb ⋅ x2  x 
⋅ 1 − 
4 ⋅ E ⋅ Iy  L 
X1 noktasında Sehim
0 ≤ x1 ≤ a
y x1 =
F ⋅ L ⋅ x1
24 ⋅ E ⋅ I y
B noktasında
eğim açısı
αB =
Mb ⋅ L
4 ⋅ E ⋅ Iy
C noktasında
eğim açısı
αC =
Mb ⋅ L  4 ⋅ a 
⋅ 1 +

4 ⋅ E ⋅ Iy 
L 
Mb = sabit
2⋅L
3
 2 ⋅ x1 
⋅ 1 +

L 

www.guven-kutay.ch
51
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 27 için örnek;
Moment
Mb =
1'500 Nm
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Kirişin a boyu
a=
400 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in A ya mesafesi
x=
400 mm
X1 in B ye mesafesi
x1 =
100 mm
Yatak kuvveti B
FB =
3 ⋅ Mb
2⋅L
FB =
2'250 N
Yatak kuvveti A
FA =
3 ⋅ Mb
2⋅L
FA =
2'250 N
B noktasında Moment
MB = Mb
MB =
1'500 Nm
A noktasında Moment
M A = −0,5 ⋅ M b
MA =
750 Nm
X noktasında Moment
0≤x≤L
M x = M b − FB ⋅ (L − x )
MX=
150 Nm
B ile C arası çemberin yarı
çapı
ρ = E ⋅ Iy / M
ρ=
46'667 mm
C noktasında Sehim
fC =
fC =
3,857 mm
Xm noktasında Sehim
M b ⋅ L2
fm =
27 ⋅ E ⋅ I y
fm =
0,794 mm
xfm mesafesi
x fm =
xfm =
666,67 mm
X noktasında Sehim
0≤x≤L
yx =
Mb ⋅ x2
4 ⋅ E ⋅ Iy
yx =
0,514 mm
X1 noktasında Sehim
0 ≤ x1 ≤ a
y x1 =
F ⋅ L ⋅ x1  2 ⋅ x1 
⋅ 1 +

24 ⋅ E ⋅ I y 
L 
yx1 =
0,643 mm
B noktasında
eğim açısı
αB =
Mb ⋅ L
4 ⋅ E ⋅ Iy
αB = 0,00536 Rad
Mb ⋅ a ⋅ L  2 ⋅ a 
⋅ 1 +

4 ⋅ E ⋅ Iy 
L 
2⋅L
3
 x
⋅ 1 − 
 L
αB° = 0,30694 °
C noktasında
eğim açısı
αC =
Mb ⋅ L  4 ⋅ a 
⋅ 1 +

4 ⋅ E ⋅ Iy 
L 
αC = 0,01393 Rad
αC° = 0,79805 °
www.guven-kutay.ch
52
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
28 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli, çıkmalı tam yayılı yük etkisindeki kiriş
Yayılı yük kuvveti
Fq = q ⋅ (L + a )
q
C
B
αB
x1
A kuvveti FA = Fq − FB
y
αC
fC
x
B noktasında moment
M B = 0,5 ⋅ a 2 ⋅ q
a
L
q ⋅ L 
8 ⋅ a 6 ⋅ a 2 
⋅ 3+
+
8 
L
L2 
y1
A
B kuvveti FB =
A noktasında moment
Şekil 28
M A = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + a ) 2 − FB ⋅ L
X noktasında moment
M x = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + a − x ) 2 − (L − x ) ⋅ FB
X1 noktasında moment
M x1 = 0,5 ⋅ q ⋅ (a − x1) 2
C noktasında Sehim
fC =
X noktasında Sehim
0≤x≤L
q ⋅ L2 ⋅ x 2  x    2 ⋅ a 2  2 ⋅ x 

yx =
⋅ 1 −  ⋅ 3 ⋅ 1 −
−
48 ⋅ E ⋅ I y  L   
L2  L 

X1 noktasında Sehim
0 ≤ x1 ≤ a
y x1 =
A ve B arasında iki max Sehim yeri
1
L
Eğer
olursa.
⋅L ≤ a ≤
6
2
B ve C arasında max Sehim yeri:
L
Eğer 0,34 ⋅ L ≤ a ≤
olursa.
6
3 ⋅ (2 + λ ) + 9 ⋅ (2 + λ )2 − 64 ⋅ λ
x m1 = L ⋅
16
q ⋅ a ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
 6 ⋅ a3 6 ⋅ a2 
⋅  3 + 2 − 1
 L

L


q ⋅ L3 ⋅ x1  6 ⋅ a 2
2 ⋅ x1  6 ⋅ a 2 4 ⋅ a ⋅ x1 x12 

⋅
−1+
⋅
−
+
2
2
48 ⋅ E ⋅ I y  L2
L  L2
L
L


3 ⋅ (2 + λ ) − 9 ⋅ (2 + λ )2 − 64 ⋅ λ
x m2 = L ⋅
16
Faktör λ
 2 ⋅ a2 
λ = 3 ⋅ 1 − 2 

L 

B noktasında
eğim açısı
αB =
q ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
 6 ⋅ a2 
⋅  2 − 1
 L



C noktasında
eğim açısı
αC =
q ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
 8 ⋅ a3 6 ⋅ a2 
⋅  3 + 2 − 1
 L

L


www.guven-kutay.ch
53
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 28 için örnek;
Yayılı yük
q=
20 N/mm
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Kirişin a boyu
a=
400 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in A ya mesafesi
x=
400 mm
X1 in B ye mesafesi
x1 =
200 mm
Yayılı yükün kuvveti
Fq = q ⋅ (L + a )
Fq =
28'000 N
Yatak kuvveti B
q ⋅ L 
8 ⋅ a 6 ⋅ a 2 
FB =
⋅ 3+
+
8 
L
L2 
FB =
10'100 N
Yatak kuvveti A
FA = Fq − FB
FA =
17'900 N
B noktasında Moment
M B = 0,5 ⋅ a 2 ⋅ q
MB =
1'600 Nm
A noktasında Moment
M A = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + a ) 2 − FB ⋅ L
MA =
1'700 Nm
X noktasında Moment
0≤x≤L
M x = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + a − x ) 2 − (L − x ) ⋅ FB
MX =
−740 Nm
X1 noktasında moment
M x1 = 0,5 ⋅ q ⋅ (a − x1) 2
MX1 =
400 Nm
C noktasında Sehim
fC =
q ⋅ a ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
 6 ⋅ a3 6 ⋅ a2 
⋅  3 + 2 − 1
 L

L


fC =
0,819 mm
X noktasında Sehim
0≤x≤L
yx =
q ⋅ L2 ⋅ x 2  x    2 ⋅ a 2  2 ⋅ x 

−
⋅ 1 −  ⋅ 3 ⋅ 1 −
48 ⋅ E ⋅ I y  L   
L2  L 

yx =
0,709 mm
X1 noktasında Sehim
0 ≤ x1 ≤ a
y x1 =
q ⋅ L3 ⋅ x1  6 ⋅ a 2
2 ⋅ x1  6 ⋅ a 2 4 ⋅ a ⋅ x1 x12 

⋅
−1+
⋅
−
+
2
48 ⋅ E ⋅ I y  L
L  L2
L2
L2 

yx1 =
0,276 mm
B noktasında
eğim açısı
αB =
q ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
 6 ⋅ a2 
⋅  2 − 1
 L



αB = 0,00024 Rad
αB° = 0,01364 °
C noktasında
eğim açısı
αC =
q ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
 8 ⋅ a3 6 ⋅ a2 
⋅  3 + 2 − 1
 L

L


αC = 0,00281 Rad
αC° = 0,16097 °
www.guven-kutay.ch
54
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
29 İki tarafı sabit, ortadan tek kuvvet etkisindeki kiriş
C
MC
A
MB
MA
F
xw
W
X
B kuvveti
FB = FA
Eğilme momenti:
C X
fW
yx
x
fC
yx
fW
αw
FA =
B
xw
x
F
2
A kuvveti
W
M max = F ⋅ L / 8
αw
Mmax = MA = MB =MC
L/2
L
Şekil 29
Dönüm noktası mesafesi
xWM = L/4
F⋅L 1 x 
⋅ − 
2 4 L
X noktasında moment
0 ≤ x ≤ 0,5.L
MB =
max Sehim
C noktasında
f max = f C =
W noktasında sehim
Dönüm noktasında
fW =
F ⋅ L3
384 ⋅ E ⋅ I y
Dönüm noktası mesafesi
xw =
L
4
X noktasında Sehim
0 ≤ x ≤ 0,5.L
y=
Eğim açısı
Dönüm noktasında
αW =
F ⋅ L3
192 ⋅ E ⋅ I y
F ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
f W = 0,5 ⋅ f max
 3⋅ x2 4 ⋅ x3 
⋅ 2 − 3 
 L
L 

3 ⋅ F ⋅ L2
384 ⋅ E ⋅ I y
www.guven-kutay.ch
FB =
F
2
55
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 29 için örnek;
Kuvvet
F=
2'000 N
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in ortaya mesafesi
x=
300 mm
Yatak kuvveti A
FA =
F
2
FA =
1'000 N
Yatak kuvveti B
FB =
F
2
FB =
1'000 N
max Moment
M max = F ⋅ L / 8
Dönüm noktası mesafesi
xw =
L
4
X noktasında Moment
0 ≤ x ≤ 0,5.L
MB =
F⋅L 1 x 
⋅ − 
2 4 L
max Sehim
C noktasında sehim
W noktasında sehim
Dönüm noktasında Sehim
MB =
250 Nm
xw =
250 mm
MX =
-50,0 Nm
F ⋅ L3
f max = f C =
192 ⋅ E ⋅ I y
fC =
0,149 mm
fW =
F ⋅ L3
384 ⋅ E ⋅ I y
fw =
0,0745 mm
X noktasında Sehim
0 ≤ x ≤ 0,5.L
yx =
F ⋅ L3
48 ⋅ E ⋅ I y
yx =
0,052 mm
Dönüm noktasında
eğim açısı
3 ⋅ F ⋅ L2
αW =
384 ⋅ E ⋅ I y
f W = 0,5 ⋅ f max
 3 ⋅ x 2 4 ⋅ x3 

⋅
−
3 
 L2
L 

αB = 0,00022 Rad
αB° = 0,01279 °
www.guven-kutay.ch
56
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
30 İki tarafı sabit, asimetrik tek kuvvet etkisindeki kiriş
Yatak kuvvetleri:
F ⋅ b2 
a 
⋅
1
+


L2  2 ⋅ L 
B yatağı kuvveti FB = F − FA
MA
A yatağı kuvveti FA =
MC
A
MB
F
C
F ⋅ a2  2 ⋅ b 
FB = 2 ⋅ 1 +

L 

L
B
x1w
xw
x
Xm
a
A noktasındamoment
MA =
B noktasında moment
MB =
x1
C
b
L
Dönüm noktası
Şekil 30
L2
MC =
X noktasında moment
F ⋅ b 2 
a x a
Mx =
⋅ 1 + 2 ⋅  ⋅ − 
L 
L  L L
X1 noktasında moment
M x1 =
fC =
− F ⋅ b ⋅ a2
a⋅L
2⋅a + L
b⋅L
x1w =
2⋅b + L
L2
xw =
2 ⋅ F ⋅ a 2 ⋅ b2
C noktasında moment
C noktasında Sehim
− F ⋅ a ⋅ b2
y1
fC
αC
fm
y
xm
L3
F ⋅ a 2 
b x
b
⋅ 1 + 2 ⋅  ⋅ 1 − 
L 
L  L L
F ⋅ a 3 ⋅ b3
3 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L3
a>b
fm =
2 ⋅ F ⋅ a 3 ⋅ b2  L 
⋅

3 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L2  L + 2 ⋅ a 
xm =
2⋅a ⋅ L
2⋅a + L
a<b
2 ⋅ F ⋅ a 2 ⋅ b3  L 
fm =
⋅

3 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L2  L + 2 ⋅ b 
xm =
2⋅b⋅L
2⋅b + L
X noktasında Sehim
0≤x≤a
yx =
F ⋅ L ⋅ b2  3 ⋅ a ⋅ x 2  2 ⋅ a  x3 
⋅
− 1 +
⋅ 
6 ⋅ E ⋅ I y  L3
L  L3 

X1 noktasında Sehim
0 ≤ x1 ≤ b
y x1 =
F ⋅ L ⋅ a 2  3 ⋅ b ⋅ x12  2 ⋅ b  x13 
⋅
− 1 +
⋅ 
6 ⋅ E ⋅ I y  L3
L  L3 

C noktasında
eğim açısı
αC =
Xm noktasında Sehim
ve xm mesafesi
F ⋅ a 2 ⋅ b 2 ⋅ (b − a )
2 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L4
www.guven-kutay.ch
57
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 30 için örnek;
Kuvvet
Kirişin L boyu
Kirişin a boyu
Kirişin b boyu
Elastiklik modülü
Atalet momenti
X in A ya mesafesi
X1 in B ye mesafesi
F=
L=
a=
b=
E=
Iy =
x=
x1 =
2'000
1'000
600
400
210'000
333'333
200
300
Yatak kuvveti A
FA =
Yatak kuvveti B
FB = F − FA
N/mm
mm
mm
mm
N/mm2
mm4
mm
mm
b=L-a
F ⋅ b2 
a 
⋅
1
+


L2  2 ⋅ L 
A noktasında Moment
MA =
B noktasında Moment
MB =
C noktasında moment
MC =
FB =
F ⋅ a2  2 ⋅ b 
⋅ 1 +

L 
L2 
− F ⋅ a ⋅ b2
L2
− F ⋅ b ⋅ a2
L2
2 ⋅ F ⋅ a 2 ⋅ b2
FA =
704 N
FB =
1'296 N
MA =
-192 Nm
MB =
-288 Nm
MC =
230,4 Nm
MX =
-51,2 Nm
MX1 =
100,8 Nm
fC =
0,132 mm
X noktasında Moment
0≤x≤a
L3
F ⋅ b 2 
a x a
⋅ 1 + 2 ⋅  ⋅ − 
Mx =
L 
L  L L
X1 noktasında moment
0 ≤ x1 ≤ b
M x1 =
C noktasında Sehim
fC =
Xm noktasında Sehim
fm =
2 ⋅ F ⋅ a 3 ⋅ b2  L 
⋅

3 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L2  L + 2 ⋅ a 
fm =
0,136 mm
xm mesafesi
xm =
2⋅a ⋅ L
2⋅a + L
xm =
545,45 mm
X noktasında Sehim
0≤x≤a
yx =
F ⋅ L ⋅ b2  3 ⋅ a ⋅ x 2  2 ⋅ a  x3 
⋅
− 1 +
⋅ 
6 ⋅ E ⋅ I y  L3
L  L3 

yx =
0,041 mm
X1 noktasında Sehim
0 ≤ x1 ≤ b
y x1 =
F ⋅ L ⋅ a 2  3 ⋅ b ⋅ x12  2 ⋅ b  x13 
⋅
− 1 +
⋅ 
6 ⋅ E ⋅ I y  L3
L  L3 

yx1 =
0,102 mm
C noktasında
eğim açısı
αC =
F ⋅ a 2 
b x
b
⋅ 1 + 2 ⋅  ⋅ 1 − 
L 
L  L L
F ⋅ a 3 ⋅ b3
3 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L3
F ⋅ a 2 ⋅ b2 ⋅ (b − a )
2 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L4
C noktasında
eğim açısı
αC = 0,00016 Rad
αB° = 0,00016 Rad
www.guven-kutay.ch
58
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
31 İki tarafı sabit, tam yayılı yük etkisindeki kiriş
q
C
B
MC
A
MB
MA
Yayılı yük kuvveti Fq = q ⋅ L
FA =
B kuvveti
FA = FB
q⋅L
FB =
2
xw
yx
fC
x
Eğilme momenti:
C
L/2
q⋅L
2
A kuvveti
q ⋅ L2
MA =
12
L
Şekil 31
M A = M B = 2 ⋅ MC
q ⋅ L2
12
B noktasında moment
MA = MB
C noktasında moment
q ⋅ L2
MC =
= 0,5 ⋅ M A
24
Dönüm noktası
xw =
L
2⋅ 3
X noktasında moment
Mx =
q ⋅ L2 
x2 
⋅ 1 − 12 ⋅ 
24 
L2 
C noktasında Sehim
fC =
X noktasında Sehim
0 ≤ x ≤ 0,5.L
q ⋅ L4
yx =
384 ⋅ E ⋅ I y
MB =
q ⋅ L4
384 ⋅ E ⋅ I y
www.guven-kutay.ch

x2 
⋅ 1 − 4 ⋅ 

L2 

2
59
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 31 için örnek;
Yayılı yük
q=
20 N/mm
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Kirişin a boyu
a=
400 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in ortaya mesafesi
x=
200 mm
Yayılı yükün kuvveti
Fq = q ⋅ L
Fq =
20'000 N
Yatak kuvveti A
FA =
q⋅L
2
FA =
10'000 N
Yatak kuvveti B
FB =
q⋅L
2
FB =
10'000 N
A noktasında Moment
MA =
q ⋅ L2
12
MA =
1'667 Nm
B noktasında Moment
q ⋅ L2
MB =
12
MB =
1'667 Nm
C noktasında Moment
MC =
q ⋅ L2
= 0,5 ⋅ M A
24
MC =
833,3 Nm
Dönüm noktası
xw =
L
2⋅ 3
xW =
288,68 mm
X noktasında Moment
0 ≤ x ≤ 0,5.L
Mx =
q ⋅ L2 
x2 
⋅ 1 − 12 ⋅ 
24 
L2 
MX =
433,3 Nm
C noktasında Sehim
0,5 . L
fC =
fC =
0,744 mm
X noktasında Sehim
0 ≤ x ≤ 0,5 . L
q ⋅ L4
yx =
384 ⋅ E ⋅ I y
yx =
0,525 mm
q ⋅ L4
384 ⋅ E ⋅ I y

x2 
⋅ 1 − 4 ⋅ 

L2 

www.guven-kutay.ch
2
60
32
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
İki tarafı sabit, üçken yayılı yük etkisindeki kiriş
Üçken tabanı herhangi sabit tarafta.
Yayılı yük kuvveti Fq = 0,5 ⋅ q ⋅ L
C
x w1
xC
A kuvveti
FA =
3⋅ q2 ⋅ L
20
B kuvveti
FB =
7 ⋅ q2 ⋅ L
20
B
MC
A
MB
MA
q
x
xm
Eğilme momenti:
fm
yx
x w2
Xm
A noktasında
q ⋅ L2
MA = 2
30
B noktasında
q 2 ⋅ L2
MB =
20
L
Şekil 32
Dönüm noktası xw1
x w1 = 0,237 ⋅ L
Dönüm noktası xw2
x w 2 = 0,808 ⋅ L
C noktasında moment
M C = −0,0429 ⋅ Fq ⋅ L
xC mesafesi
x C = 0,3 ⋅ L
max Sehim
fm =
q 2 ⋅ L4
764 ⋅ E ⋅ I y
xm mesafesi
xm =
(
X noktasında sehim
y=
q 2 ⋅ L4
120 ⋅ E ⋅ I y
www.guven-kutay.ch
)
21 / 20 − 0,5 ⋅ L
 2 ⋅ x 2 3 ⋅ x3 x5 
⋅ 2 − 3 + 5 
 L
L
L 

61
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 32 için örnek;
Yayılı yük B tabanı
q=
20 N
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in A ya mesafesi
x=
400 mm
Yayılı yükün kuvveti
Fq = 0,5 ⋅ q ⋅ L
Fq =
10'000 N
A kuvveti
FA =
3 ⋅ q2 ⋅ L
20
FA =
3'000 N
B kuvveti
FB =
7 ⋅ q2 ⋅ L
20
FB =
7'000 N
A noktasında Moment
q ⋅ L2
MA = 2
30
MA =
666,67 Nm
B noktasında Moment
q ⋅ L2
MB = 2
20
MB =
1'000 Nm
Dönüm noktası xw1
x w1 = 0,237 ⋅ L
xw1 =
237 mm
Dönüm noktası xw2
x w 2 = 0,808 ⋅ L
xw2 =
808 mm
C noktasında Moment
M C = −0,0429 ⋅ Fq ⋅ L
MC =
−429 Nm
xC mesafesi
x C = 0,3 ⋅ L
xC =
547,72 mm
max Sehim
q 2 ⋅ L4
fm =
764 ⋅ E ⋅ I y
fm =
0,374 mm
xm mesafesi
xm =
xm =
524,7 mm
X noktasında Sehim
q 2 ⋅ L4
y=
120 ⋅ E ⋅ I y
yx =
0,329 mm
(
)
21 / 20 − 0,5 ⋅ L
 2 ⋅ x 2 3 ⋅ x3 x5 
⋅ 2 − 3 + 5 
 L
L
L 

www.guven-kutay.ch
62
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
33 İki tarafı sabit, bağlantı yerinde tek kuvvet etkisindeki kiriş
MB
F
A
MA
B
A ve B kuvveti : FA = 0
f =
F⋅L
2
F ⋅ L3
12 ⋅ E ⋅ I y
y
Sehim
f
MA = MB =
Eğilme momenti:
x
FB = F
F ⋅ L3
Elastik eğri: y x =
12 ⋅ E ⋅ I y
L
 3 ⋅ x 2 2 ⋅ x3 

⋅
−
3 
 L2
L 

Şekil 33
Şekil 33 için örnek;
Kuvvet
F=
2'000 N
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm2
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in B ye mesafesi
x=
600 mm
Yatak kuvveti B
FB = F
A ve B noktalarında Moment
MA = MB =
A noktasında Sehim
f =
X noktasında Sehim
0≤x≤L
F ⋅ L3
yx =
12 ⋅ E ⋅ I y
FB =
F⋅L
2
F ⋅ L3
12 ⋅ E ⋅ I y
 3 ⋅ x 2 2 ⋅ x3 

⋅
−
3 
 L2
L 

www.guven-kutay.ch
2'000 N
MA=MB=
11'000 Nm
f=
2,381 mm
yx =
1,543 mm
63
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
34 İki tarafı sabit, asimetrik moment etkisindeki kiriş
Mb
A
B
FA =
B kuvveti :
FB = FA
C
x m2
xm1
f m1
yx1
X1
fC
C
X m1
a
X m2
X2
FB =
f m2
x1
yx2
x2
− 6 ⋅ a ⋅ b ⋅ Mb
A kuvveti :
L3
− 6 ⋅ a ⋅ b ⋅ Mb
L3
Eğilme momenti:
b
MB =
L
Şekil 34
Mb ⋅ a 
3⋅ a 
⋅2 −

L 
L 
M b ⋅ a 2 ⋅ b2 ⋅ (b − a )
C noktasında Sehim
fC =
Xm1 noktasında Sehim
a bölgesinde max sehim
f m1 =
 3⋅ a 
⋅
− 1

54 ⋅ E ⋅ I y ⋅ a 2  L
xm1 mesafesi
x m1 =
L2  a 1 
⋅ − 
a  L 3
Xm2 noktasında Sehim
b bölgesinde max sehim
fm2 =
 3⋅ b 
⋅
− 1

54 ⋅ E ⋅ I y ⋅ b 2  L
xm2 mesafesi
x m2 =
L2
3⋅ b
X1 noktasında Sehim
0≤x≤a
Mb ⋅ b ⋅ x 2  3 ⋅ a 2 ⋅ a ⋅ x 
y x1 =
⋅ 1 −
+

L
2 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L 
L2 
X2 noktasında Sehim
a≤x≤L
yx2 =
Mb ⋅ a ⋅ L  x   2 ⋅ b ⋅ x a 
⋅ 1 −  ⋅ 
+ 
2 ⋅ E ⋅ I y  L   L2
L
C noktasında
eğim açısı
αC =
Mb ⋅ a ⋅ b  3⋅ a ⋅ b 
⋅ 1 −

E ⋅ Iy ⋅ L 
L2 
2 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L3
M b ⋅ b ⋅ L3
M b ⋅ a ⋅ L3
2
www.guven-kutay.ch
3
3
64
M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R
Şekil 34 için örnek;
Moment
Mb =
1'500 Nm
Kirişin L boyu
L=
1'000 mm
Kirişin a boyu
a=
600 mm
Kirişin b boyu
b=
400 mm
b=L–a
2
Elastiklik modülü
E=
210'000 N/mm
Atalet momenti
Iy =
333'333 mm4
X in mesafesi
x1 =
200 mm
X in mesafesi
x2 =
600 mm
A kuvveti
FA =
B kuvveti
FB =
Eğilme momenti
L3
− 6 ⋅ a ⋅ b ⋅ Mb
L3
M ⋅a 
3⋅ a 
MB = b ⋅ 2 −

L 
L 
C noktasında Sehim
fC =
Xm1 noktasında Sehim
a bölgesinde max sehim
f m1 =
xm1 mesafesi
Xm2 noktasında Sehim
b bölgesinde max sehim
− 6 ⋅ a ⋅ b ⋅ Mb
M b ⋅ a 2 ⋅ b2 ⋅ (b − a )
2 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L3
M b ⋅ b ⋅ L3
 3⋅ a 
⋅
− 1

54 ⋅ E ⋅ I y ⋅ a 2  L
M b ⋅ a ⋅ L3
 3⋅ b 
⋅
− 1

54 ⋅ E ⋅ I y ⋅ b 2  L
FB =
−2'160 N
MB =
180 Nm
fC =
−0,123 mm
fm1 =
0,226 mm
xm1 =
444,4 mm
fm2 =
0,012 mm
xm2 =
833,3 mm
yx1 =
−0,096 mm
yx2 =
0,123 mm
3
X1 noktasında Sehim
0≤x≤a
L2
x m2 =
3⋅ b
M ⋅ b ⋅ x2  3 ⋅ a 2 ⋅ a ⋅ x 
y x1 = b
⋅ 1 −
+

2 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L 
L
L2 
X2 noktasında Sehim
a≤x≤L
M ⋅a ⋅L  x   2⋅b⋅x a 
yx2 = b
⋅ 1 −  ⋅ 
+ 
2 ⋅ E ⋅ I y  L   L2
L
C noktasında
eğim açısı
αC =
xm2 mesafesi
−2'160 N
3
L2  a 1 
x m1 =
⋅ − 
a  L 3
fm2 =
FA =
2
Mb ⋅ a ⋅ b  3⋅ a ⋅ b 
⋅ 1 − 2 
E ⋅ Iy ⋅ L 
L 
α°C = αC ⋅180 / π
www.guven-kutay.ch
αC = 0,00144 Rad
αC° = 0,08251 °