PROJENİN ADI KÜLTÜRLÜ ŞİFRELER PROJEYİ HAZIRLAYANLAR

PROJENİN ADI
KÜLTÜRLÜ ŞİFRELER
PROJEYİ HAZIRLAYANLAR
BERKAY KORKMAZ
OKUL ADI VE ADRESİ
ÖZEL KÜLTÜR LİSESİ
Ataköy 9.-10. Kısım 34156 Bakırköy-İstanbul
DANIŞMAN ÖĞRETMEN
ÇİĞDEM TERKOĞLU BOSTANCI
PROJENİN ADI: KÜLTÜRLÜ ŞİFRELER
PROJEYİ HAZIRLAYANLAR: BERKAY KORKMAZ
PROJE DALI:
MATEMATİK
PROJE ÖĞRETMENİ:
ÇİĞDEM TERKOĞLU BOSTANCI
PROJE AMACI: Fonksiyonlar yardımıyla şifreleme yöntemi elde etmek.
GİRİŞ: Kriptoloji tanımı ve örnek yöntem:
Kriptoloji, şifre bilimidir. Çeşitli iletilerin, yazıların belli bir sisteme göre şifrelenmesi, bu mesajların
güvenlikli bir ortamda alıcıya iletilmesi ve iletilmiş mesajın deşifresiyle uğraşır.
Kriptoloji algoritmaları tamamen matematiksel fonksiyonlardan oluşur. Örneğin Sezar
şifresinde A harfi yerine D, B harfi yerine E kullanılmıştır... ve bu şekilde devam etmektedir. Bu da
demek oluyor ki algoritma gördüğü her harf yerine alfabede ona karşılık gelen harfin üç ilersindeki
harfi getirerek şifrelenmiş (kriptolu) metni oluşturmuş oluyor. İlk zamanlarda kriptolu metinlerin
güvenliği için şifreleme ve deşifreleme algoritmaları saklı tutulurdu ve gizli bir anahtar bulunurdu.
Fakat günümüzde kriptolojinin güvenliğinden bahsedecek olursak algoritma bilinse dahi yazı metninin
çözülmemesi gerekir. Burada da devreye açık anahtarlı kripto algoritmaları girmektedir. Bunlar bir
Public Key (genel anahtar) –ki bu herkesin görebileceği bir anahtardır. Secret Key ise sadece yazının
çözülmüş (deşifrelenmiş) halini elde etmeye yarayacak olan anahtardır.
Yapılan bu proje çalışmasında Fonksiyonlar ve modüler aritmetik yardımıyla
şifreleme tekniği elde edilecektir. Bunun için ilk olarak alfabemizde bulunan 29 harfin yer
aldığı ve her harfe karşılık 1’den 29’ a kadar sayıların atandığı daire şeklinde iki çark
hazırlanacaktır.
Daire şeklinde çarklar A 1,B 2, C
3,…. , Z 29 olacak şeklide üst üste
monte edilir. Böylelikle istenen numaraların hangi harfe karşılık geldiği ve hangi harfin hangi
numaraya karşılı geldiği rahatça belirlenir.
Elde edilecek şifreleme yönteminde Doğrusal Fonksiyonları kullanılır.
Bu fonksiyonlarda kullanılacak işlemler:
Toplama İşlemi: f(x)=x+5 olarak tanımlayalım. B harfinin tanımlanan bu fonksiyon
ile hangi harfe dönüşeceğini görmek için ilk önce harfin numarasına bakılır. B harfi çarkta 2
sayısına karşılık gelir ve 5 ekleme yapılırsa toplamı 7 olacaktır. 7 sayısının çarkta karşılık
geldiği harfe bakılır. O halde f(B)=B+5= F harfi elde edilir. Eğer fonksiyon f(x)=x+55 olarak
tanımlanır ve V harfinin dönüşeceği harf aranırsa; V harfi çarkta 27 sayısına karşılık gelir ve
27 ye 55 eklenirse f(V)=V+55=82 olacaktır. Çarkı 29 adım ilerletmekle aynı noktaya
geleceğimiz aşikar. Dolayısıyla çarkta göremediğimiz sayıları mod 29 da işlem yapmak
gerekecektir. 82 24(mod 29) olduğuna göre 24.sayının karşılık geldiği harfe bakılır ve
f(V)=V+55=T harfi elde edilir.
Çıkarma İşlemi: f(x)=x-3 olarak tanımlayalım. D harfinin tanımlanan bu fonksiyon
ile hangi harfe dönüşeceğini görmek için ilk önce harfin numarasına bakılır. D harfi çarkta 4
sayısına karşılık gelir ve 3 çıkarma işlemi yapılması ile 1 sayısı elde edilir ve çarkta 1 e
karşılık gelen harf A harfidir. f(D)=D-3=A elde edilir. f(x)=x-32 olarak tanımlayalım. G
harfinin tanımlanan bu fonksiyon ile hangi harfe dönüşeceğini görelim. G harfi çarkta 8
sayısına karşılık gelmektedir. 8 sayısından 32 eksiltmek bize (-24) sonucunu verecektir.
-24 5(mod 29) olduğundan çarkta 5 sayısına karşılık gelen harf, istenilen harftir.
f(G)=G-32=D harfi elde edilir.
Çarpma İşlemi: f(x)=2x şeklinde tanımlayalım. E harfinin tanımlanan bu fonksiyon
ile hangi harfe dönüşeceğini görmek için ilk önce harfin numarasına bakılır. E harfi çarkta 6
sayısına karşılık gelmektedir. Fonksiyonun işlevi x in değerini 2 katına çıkarmak olduğuna
göre 12 sayısına karşılık gelen harf çarkta bulunur. f(E)=2.E=İ elde edilir. Fonksiyon
f(x)=15x olarak tanımlansın. P harfinin dönüşeceği harfi bulalım. P harfinin çarkta 20 sayısına
karşılık geldiği görülür. 20.15 10 (mod 29) işleminin sonunda çarkta 10 sayısına karşılık H
harfi gelmektedir. O halde f(P)=15P=H dönüşümü elde edilir.
Bölme İşlemi: Toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde yapılan işlemler benzer
şekilde yapılacaktır ancak bölme işleminin sonuncu her zaman tamsayı olmayabilir. Bu
durumlarda modüler aritmetik özellikleri kullanılacaktır. f(x) = x/5 olarak tanımlanır. L
harfinin tanımlanan bu fonksiyon ile hangi harfe dönüşeceğini görmek için ilk önce harfin
numarasına bakılır. L harfi çarkta 15 sayısına karşılık gelmektedir. Fonksiyonun işlevi x in
değerini 5 e bölmek olduğuna göre 15/5 = 3 sayısına karşılık gelen harf çarkta bulunur.
O halde f(L)=L/5=C dönüşümü elde edilir. f(x) = x/6 fonksiyonunun H harfini dönüştüreceği
harfi bulmak için H nin çarkta karşılık gelen değeri bulunur ve fonksiyon işlemi uygulanır.
f(10)= = ancak elde edilen sonuç tamsayı olmadığı için çarkta karşılık geleceği harf
bulunamaz. Modüler aritmetik işlemi özellikleri kullanılarak tamsayıya dönüştürülür.
Elde edilen denklemde a’ nın değerini bulmak için 5
f(H)
5 + 2.29 63 (mod 29) olduğuna göre
elde edilir. O halde 21 sayısına karşılık gelen harf çarkta R harfine karşılık gelecektir.
= R dönüşümü elde edilir.
Toplama, çıkarma, çarpma ve Bölme işlemlerini tanımladıktan sonra örnek doğrusal
bir fonksiyon üzerinde örnek bir şifreleme yapılır.
‘’KÜLTÜR’’ kelimesini şifrelenmesi:
fonksiyonu tanımlansın.
f(x) =
K harfi: K harfi çarkta 14 sayısına karşılık gelmektedir.
=
7 (mod 29) olduğuna göre 7 sayısı çarkta F harfine karşılık gelir.
f(K)=F
Ü harfi: K harfi çarkta 26 sayısına karşılık gelmektedir.
=
2 (mod 29) olduğuna göre 2 sayısı çarkta B harfine karşılık gelir.
f(Ü)=B
L harfi: K harfi çarkta 15 sayısına karşılık gelmektedir.
=
9 (mod 29) olduğuna göre 9 sayısı çarkta Ğ harfine karşılık gelir.
f(L)=Ğ
T harfi: K harfi çarkta 24 sayısına karşılık gelmektedir.
=
(mod 29) olduğuna göre 27 sayısı çarkta V harfine karşılık gelir.
f(T)=V
R harfi: K harfi çarkta 21 sayısına karşılık gelmektedir.
=
21(mod 29) olduğuna göre 21 sayısı çarkta R harfine karşılık
gelir.
f(R)=R
Sonuç olarak KÜLTÜR kelimesi f(x) =
fonksiyonu ile FBĞVBR şeklinde şifrelenir.
GELİŞTİRME: Projede şifreleme için kullanılan doğrusal fonksiyon yerine Polinom fonksiyonları
tanımlanabilir bunun için ise kuvvet alma işlemi tanımlanmalıdır. Ayrıca kök alma işlemi de
şifrelemede tanımlanarak kullanılabilir.
Kaynaklar:
1) http://tr.wikipedia.org/wiki/Kriptoloji
2) http://kriptoloji.net/basit-sifreleme-teknikleri