genelleştirilmiş caputo kesirli türevi ve uygulamaları yüksek lisans tezi

genelleştirilmiş caputo kesirli türevi ve uygulamaları yüksek lisans tezi

T.C.
AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
GENELLEŞTİRİLMİŞ CAPUTO KESİRLİ
TÜREVİ VE UYGULAMALARI
Yusuf SÖKMEN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
KIRŞEHİR
AĞUSTOS - 2012
T.C.
AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
GENELLEŞTİRİLMİŞ CAPUTO KESİRLİ
TÜREVİ VE UYGULAMALARI
Yusuf SÖKMEN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
DANIŞMAN:
YRD. DOÇ. DR. İ. ONUR KIYMAZ
KIRŞEHİR
AĞUSTOS - 2012
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü’ne
Bu çalışma jürimiz tarafından MATEMATİK Anabilim Dalında YÜKSEK
LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Başkan: Prof. Dr. Mahir KADAKAL
Akademik Ünvanı, Adı-Soyadı
Üye: Yrd. Doç. Dr. İ. Onur KIYMAZ
Akademik Ünvanı, Adı-Soyadı
Üye: Yrd. Doç. Dr. Yasemin KIYMAZ
Akademik Ünvanı, Adı-Soyadı
Onay
Yukarıdaki imzaların, adı geçen öğretim üyelerine ait olduğunu onaylarım.
.../.../20..
Doç. Dr. Mahmut YILMAZ
Enstitü Müdürü
ÖZET
Özarslan ve Özergin 2010 yılında yayınladıkları bir makalelerinde [1], orijinal Riemann-Liouville kesirli türev operatörüne ekstra bir parametre ekleyerek
operatörü genişletmişlerdir.
Biz bu tez çalışmasında, aynı fikirden etkilenerek, Caputo kesirli türev
operatörünün bir genelleştirilmesini tanımlayacağız. Ayrıca bu operatörün bazı
özelliklerini verecek ve elementer fonksiyonların bir sınıfının genelleştirilmiş türevlerini elde edeceğiz.
Anahtar Kelimeler: Kesirli türev operatörü, Hipergeometrik fonksiyonlar, Caputo kesirli türevi, Mellin Dönüşümü.
i
ABSTRACT
In 2010, Özarslan and Özergin give an extension of Riemann-Liouville
fractional derivative operator with including an extra parameter to the original
operator [1].
In this thesis, inspired by the same idea, we introduce an extension of
Caputo fractional derivative operator. The extended Caputo fractional derivatives of some elementary functions and some properties of the extended fractional
derivative operator are also presented.
Keywords: Fractional derivative operator, Hypergeometric functions, Caputo
fractional derivative, Mellin transform.
ii
TEŞEKKÜR
Yüksek Lisans eğitimim süresince değerli ve derin bilgileriyle bana yol
gösteren, çalışmamın her aşamasında yakın ilgi ve yardımlarını esirgemeyerek
destek olan danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. İ. Onur KIYMAZ’a, titiz
çalışma prensibiyle bana örnek olan büyük yardımlarını gördüğüm, bilgi ve deneyimlerinden yararlandığım Sayın Yrd.
Doç.
Dr.
Ayşegül ÇETİNKAYA’ya,
eğitim-öğretim hayatım boyunca maddi ve manevi desteklerini benden hiçbir zaman esirgemeyen sevgili aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
Yusuf SÖKMEN
iii
İÇİNDEKİLER DİZİNİ
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
İÇİNDEKİLER DİZİNİ
iv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SİMGELER VE KISALTMALAR
. . . . . . . . . . . . . . .
vi
1 GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 TEMEL KAVRAMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1 GAMA FONKSİYONU . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 BETA FONKSİYONU . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3 GENELLEŞTİRİLMİŞ FONKSİYONLAR . . . . . . .
10
2.4 HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR . . . . . . .
12
3 KESİRLİ TÜREV ve İNTEGRALLER . . . . . . . . . . .
17
3.1 R-L KESİRLİ TÜREV VE İNTEGRALİ . . . . . . .
17
3.2 ORTAK GÖSTERİM . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3 GENELLEŞTİRİLMİŞ R-L KESİRLİ TÜREVİ . . . .
29
3.4 CAPUTO KESİRLİ TÜREVİ . . . . . . . . . . . . .
30
iv
4 GENELLEŞTİRİLMİŞ CAPUTO KESİRLİ TÜREVİ . . .
34
4.1 TÜREVİN BAZI UYGULAMALARI . . . . . . . . .
36
4.2 MELLİN DÖNÜŞÜMÜ . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
ÖZGEÇMİŞ
55
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
SİMGELER VE KISALTMALAR
Γ(x)
: Gama fonksiyonu
Γp (x)
: Genelleştirilmiş Gama fonksiyonu
B(x, y) : Beta fonksiyonu
Bp (x, y) : Genelleştirilmiş Beta fonksiyonu
2 F1
: (Gauss) Hipergeometrik fonksiyon
Fp
: Genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyon
(α)n
: Pochhammer sembolü
Izα
: Riemann-Liouville kesirli integrali
D−α
z
: Riemann-Liouville kesirli integrali
Dαz
: Riemann-Liouville kesirli türevi
D−α,p
z
: Genelleştirilmiş Riemann-Liouville kesirli türevi
Dzα
: Caputo kesirli türevi
Dzα,p
: Genelleştirilmiş Caputo kesirli türevi
M
: Mellin dönüşümü
Re(x)
: x kompleks değişkeninin reel kısmı
vi
1
GİRİŞ
Kesirli mertebeden türev ve integral, Leibniz ve Newton tarafından ayrıntılı olarak incelenen klasik türev ve integral kavramlarının
genelleştirilmesidir. Kesirli mertebeden türev ile ifade edilmek istenen
aslında herhangi bir mertebeden türevdir. Kesirli mertebeden türev ve
integral kavramları tamsayı mertebeden türev ve integral kavramları
kadar eski olup, kesirli türev ifadesi birçok kaynakta da belirtildiği
gibi ilk defa 1695 yılında Leibniz’in L’Hospital’a yazdığı mektupta
geçmektedir [2]. Leibniz’in mektubunda L’Hospital’a yönelttiği “Tamsayı basamaktan türevler kesirli basamaktan türevlere genişletilebilir
mi?” sorusu kesirli diferensiyel kavramının ilk ortaya çıkışı olarak gösterilebilir. Leibniz’in yanı sıra Liouville, Riemann, Weyl, Lagrange,
Laplace, Fourier, Euler ve Abel gibi birçok matematikçi de aynı konu
üzerine çalışmışlardır [3].
Kesirli türev için literatürde çeşitli tanımlar verilmiştir. Bunlardan bazıları Riemann-Liouville (R-L), Caputo, Grünwald-Letnikov,
Wely, Riesz kesirli türevleridir [4-7]. Ancak, kesirli mertebeden türev
nasıl tanımlanırsa tanımlansın türev, mertebesi tamsayıya eşit olacak şekilde seçildiğinde ortaya çıkan ifade tam sayı mertebeden türev
ifadesi ile aynı olmaktadır. Yapılan bazı çalışmalarda belirli şartlar
altında bu tanımların eşdeğer olduğu gösterilmiştir [4-7]. Birbirleri
arasında geçişler olmasına rağmen, tanımları ve tanımlarının fiziksel
yorumları farklılık gösterir [4-7]. Kesirli analizde birden fazla türev
tanımının olması, problemin türüne göre en uygun olanının kullanıl-
1
masını ve böylece problemin en iyi çözümünün elde edilmesini sağlar.
Caputo kesirli türev tanımı, Riemann-Liouville tanımının Laplace dönüşümü uygulamalarında ortaya çıkan başlangıç değerlerinin hesaplanması veya deneysel yolla ölçülmesi problemini ortadan kaldırmak için 1960’lı yıllarda İtalyan matematikçi M. Caputo tarafından
önerilmiştir. Caputo yaklaşımının temel avantajı, Caputo türevli kesirli diferansiyel denklemler için tanımlanan başlangıç koşulları ile
tamsayı mertebeli diferansiyel denklemler için tanımlanan başlangıç
koşullarının aynı olmasıdır. Bu yüzden literatürde yer alan son çalışmalarda, kesirli diferensiyel denklemlerin analitik ve nümerik çözümlerinde Riemann-Liouville kesirli türev operatörü yerine Caputo kesirli
türev operatörü daha çok tercih edilmektedir.
Son yıllarda kesirli adi ve kısmi diferensiyel denklemler ile kesirli integral denklemlerinin çözümlerinin elde edilmesine yönelik çalışmalar artmıştır. Kesirli diferensiyel denklemlerin bir çoğunun analitik çözümü bulunamadığından yaklaşık ya da sayısal çözümlerinin
bulunması için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Bu yöntemlerin kesirli diferensiyel denklemlere uygulamalarında, kesirli integral ve türev
operatörleri etkili bir şekilde kullanılmaktadır [8-12].
Literatürde, Riemann-Liouville kesirli türevi ile kastedilen sol
türevdir.
Keyfi bir [a, b] aralığında tanımlanan ve fiziksel sistem
sürecini ifade eden f (t) fonksiyonunu ele alalım. Sol ve sağ kesirli
türevler için kullanılan gösterimler sırasıyla a Dαt , t Dαb olmak üzere,
sağ türev f fonksiyonunun gelecekteki durumunu ifade eder. Ancak,
f sürecinin şimdiki durumu gelecekteki durumuna bağlı değildir. Bu
2
yüzden fiziksel bir problemin tanımlanmasında sağ türev genellikle
ihmal edilir [4]. Bu çalışmada kesirli türev tanımı olarak sol türev ve
Dαt gösterimi kullanılacaktır.
Bu çalışmada genel olarak Riemann-Liouville kesirli türev ve integral tanımları ile Caputo kesirli türev tanımı ele alınmış ve genelleştirilmiş Riemann-Liouville kesirli türevinden yola çıkılarak genelleştirilmiş Caputo kesirli türev tanımı verilmiştir.
Tez dört ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, önbilgiler ve diğer bölümlerde kullanılacak bazı tanım, lemma ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde
Riemann-Liouville kesirli türev ve integral tanımlarının elde edilmesi,
bunların ortak gösterimi, genelleştirilmiş Riemann-Liouville kesirli türevi ve Caputo kesirli türev tanımı ele alınmıştır. Dördüncü bölümde
ise genelleştirilmiş Caputo kesirli türevi tanımlanıp, bazı hipergeometrik fonksiyonlara hem klasik hem de genelleştirilmiş Caputo türevi uygulanarak elde edilen sonuçlar kıyaslanmıştır.
3
2
TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, tez çalışmasının ilerleyen bölümlerinde kullanılacak bazı temel bilgiler verilecektir.
2.1 GAMA FONKSİYONU
Gama fonksiyonunu ifade etmek için
Z ∞
1
(2.1)
F (u) =
e−ut dt =
u
0
integrali ile tanımlanan fonksiyonu ele alalım. Bu integral c > 0 olmak
1
u
üzere her c ≤ u ≤ d sonlu aralığında
değerine düzgün yakınsaktır
[13].
(2.1) eşitliğinden u değişkenine göre türevler alarak
Z ∞
1
0
−F (u) =
te−ut dt = 2
u
Z0 ∞
2!
F 00 (u) =
t2 e−ut dt = 3
u
Z0 ∞
3!
−F 000 (u) =
t3 e−ut dt = 4
u
0
devam edilirse n. mertebeden türev için
Z ∞
(−1)n F (n) (u) =
tn e−ut dt
0
n!
un+1
eşitliği elde edilir. Bu son eşitlikte u = 1 alınırsa;
Z ∞
tn e−t dt = n!
=
0
4
olur. Burada n değerleri pozitif tamsayılar olarak alınmıştır. Halbuki
n değerinin herhangi bir reel sayı olması halinde de bu genelleştirilmiş
integral tanımlıdır.
x > 0 olan herhangi bir reel sayı olmak üzere;
Z ∞
Γ(x) =
tx−1 e−t dt
(2.2)
0
genelleştirilmiş integrali yardımıyla tanımlanan fonksiyona Gama fonksiyonu denir [13].
Gama fonksiyonun tanımından
Z ∞
Γ(x + 1) =
tx e−t dt
0
= x!
yazılabilir. Buradan görülüyor ki, −1 değerinden büyük olan tüm
reel sayıların faktöriyel değerlerini sonlu bir reel sayı olarak tanımlamak mümkündür. Bundan dolayı Gama fonksiyonuna genelleştirilmiş
faktöriyel fonksiyonu da denir.
x = 0 olduğu zaman faktöriyel fonksiyonunun değeri
Z ∞
0! =
e−t dt = 1
0
olur. Bu sonuç 0! değerinin neden 1 olarak tanımlanması gerektiğini
açıklar.
Matematikte n faktöriyel, n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 3.2., çarpımı
ile verilir. Bu özellik, n! = n(n−1)! eşitliğini içerdiğinden, eğer x = n
bir tamsayı ise
Γ(n + 1) = n! = n(n − 1)! = nΓ(n)
5
yazılabilir. Eğer x bir tamsayı değilse
Z ∞
Z b
x −t
Γ(x + 1) =
t e dt = lim
tx e−t dt
b→∞ 0
0
Z ∞
x −t b
tx−1 e−t dt
= lim (−t e ) 0 + x
b→∞
0
= xΓ(x)
olacağından Γ fonksiyonu,
Γ(x + 1) = xΓ(x)
(2.3)
eşitliğini tüm x > 0 değerleri için sağlar [14].
(2.3) özelliği yardımıyla Gama fonksiyonu için, argümentin herhangi iki tamsayı arasındaki değerlerine karşılık gelen sonuçların bilinmesi halinde diğer aralıklardaki fonksiyon değerleri de kolayca hesaplanabilir.
Daha önce pozitif x değerleri için tanımlanan Gama fonksiyonu
negatif x değerleri içinde tanımlanabilir. Yani Γ(x) tüm reel sayılara
genişletilebilir. 1 ≤ x ≤ 2 için
Γ(x) =
Γ(x + 1)
x
(2.4)
özelliği kullanılarak Gama fonksiyonunun bilinen değerlerinden yararlanıp her x ∈ R için Γ(x) değerleri elde edilebilir.
Negatif x değerleri için;
−1 < x < 0 ise (2.4) eşitliğinde 0 < x + 1 < 1 olacağından ve
(x + 1) ∈ (0, 1) aralığındaki Γ(x + 1) değerleri bilindiğinden, Γ(x)
değerleri x ∈ (−1, 0) için bulunabilir.
6
Benzer şekilde, −2 < x < −1 ise 0 < x + 2 < 1 olup, Γ(x) değerleri
Γ(x) =
Γ(x + 2)
x(x + 1)
yardımıyla bulunabilir.
Genellenerek, −n < x < −n + 1 ise 0 < x + n < 1 olduğundan
Γ(x) =
Γ(x + n)
x(x + 1)(x + 2) . . . (x + n − 1)
eşitliği ile Γ(x) değerleri hesaplanabilir. Buradan Gama fonksiyonunun
sıfır ve negatif tamsayılar için sınırsız yani değerinin sonsuz olduğu
görülür.
2.2 BETA FONKSİYONU
B(x, y) ile gösterilen Beta fonksiyonu,
Z 1
B(x, y) =
tx−1 (1 − t)y−1 dt,
Re(x) > 0, Re(y) > 0
(2.5)
0
genelleştirilmiş integrali yardımıyla tanımlanan iki değişkenli bir fonksiyon olup
Z
B(x, y) = 2
Z
B(x, y) =
π/2
(sinθ)2x−1 (cosθ)2y−1 dθ
(2.6)
0
∞
ux−1
du
x+y
(1
+
u)
0
Γ(x)Γ(y)
B(x, y) =
Γ(x + y)
(2.7)
(2.8)
biçimlerinde de ifade edilebilir. Beta fonksiyonunun yukarıda verilen
dört tanımı eş anlamlıdır [13]. Şöyle ki: (2.5) tanımında t = sin2 θ
alınırsa dt = 2 sin θ cos θdθ olup
7
1
Z
tx−1 (1 − t)y−1 dt
B(x, y) =
Z0 π
2
=
(sin2 θ)x−1 (1 − sin2 θ)y−1 sin 2θdθ
0
π/2
Z
(sinθ)2x−1 (cosθ)2y−1 dθ
=2
0
(2.6) tanımı elde edilir.
u
(2.5) tanımında t = 1+u
alınırsa,
Z 1
B(x, y) =
tx−1 (1 − t)y−1 dt
Z0 ∞
u y−1 du
u x−1
) (1 −
)
=
(
1+u
1+u
(1 + u)2
0
Z ∞
ux−1
=
du
x+y
(1
+
u)
0
(2.7) tanımı bulunur.
Beta fonksiyonunun Gama fonksiyonu cinsinden ifadesini veren
(2.8) tanımında, Gama fonksiyonunun tanımlandığı (2.2) integralinde
t = s2 dönüşümü yapılırsa
Z ∞
Z
x−1 −t
Γ(x) =
t e dt = 2
0
∞
2
s2x−1 e−s ds
0
bulunur ve aynı şekilde
Z
∞
2
t2y−1 e−t dt
Γ(y) = 2
0
yazılabilir. Buradan,
Z
∞Z ∞
Γ(x)Γ(y) = 4
0
2
s2x−1 t2y−1 e−(s
0
8
+t2 )
dtds
olup, s = r cos θ, t = r sin θ kutupsal koordinatlara geçilirse,
Z πZ ∞
2
2
Γ(x)Γ(y) = 4
r2(x+y)−2 (cos θ)2x−1 (sin θ)2y−1 e−r rdrdθ
0
0
Z
Z ∞
π
2
2x−1
2y−1
2(x+y)−1 −r2
= 2
(cos θ)
(sin θ)
dθ 2
r
e dr
0
0
= B(x, y)Γ(x + y)
(2.8) tanımı bulunur. Ayrıca Beta fonksiyonunun Gama fonksiyonu
ile ilişkisini veren (2.8) eşitliğinden
B(x, y) = B(y, x)
olduğu görülmektedir. Bu eşitlik Beta fonksiyonunun simetri özelliği
olarak adlandırılır.
Beta fonksiyonunun (2.7) tanımında x + y = 1 alınırsa
Z ∞ x−1
u
du
B(x, 1 − x) =
1+u
0
elde edilir. Bu integralin değeri rezidü yardımıyla hesaplandığında
0 < x < 1 için
π
sin πx
olur. Bu özellikten yararlanarak x = 21 için,
2
1 1
1
,
= Γ
B
2 2
2
π
=
=π
sin π2
B(x, 1 − x) =
olur ve böylece Γ( 12 ) değeri
√
1
Γ
= π
2
olarak hesaplanır.
9
2.3 GENELLEŞTİRİLMİŞ GAMA VE BETA FONKSİYONLARI
Özel fonksiyonların tanım kümesi genişletilerek elde edilen fonksiyonlardan, bu özel fonksiyonların önemli özelliklerini sağlaması beklenir. Elbette orijinal özel fonksiyon ve özellikleri, genelleştirmenin
bir özel durumu olarak tekrar düzenlenmelidir.
Euler faktöriyel fonksiyonunu, doğal sayılardan kompleks düzlemin sağ yarısı üzerinde
Z
∞
Γ(α) =
tα−1 e−t dt, Re(α) > 0
(2.9)
0
şeklinde tanımlı Gama fonksiyonuna genellemiştir.
Legendre (2.9) integralini parçalayıp sırasıyla üst ve alt sınırlarını x alarak Gama fonksiyonunu
Z x
γ(α, x) =
tα−1 e−t dt
Z0 ∞
Γ(α, x) =
tα−1 e−t dt
x
şeklinde γ(α, x), Γ(α, x) parçalayarak tam olmayan Gama fonksiyonlarını tanımlamıştır [14,15].
Chaudhry ve Zubair, (2.9) integraline düzenleyici bir e
ekleyerek genelleştirilmiş Gama fonksiyonunu
Z ∞
p
Γp (α) =
tα−1 e−t− t dt, Re(p) > 0
−p
t
çarpanı
(2.10)
0
şeklinde tanımlamış ve Gama fonksiyonunun tanım kümesini tüm
kompleks düzleme genişletmişlerdir [17]. Bu çarpan, Re(p) > 0 için
10
t = 0 limitinden gelen tekilliği kaldırır ve p = 0 için genelleştirilmiş
fonksiyonu orijinal Gama fonksiyonuna indirger.
Bu Γp genelleştirilmiş Gama fonksiyonunun Macdonald fonk√
siyonu Kα (2 p) ile
Z ∞
p
α
√
Γp (α) =
tα−1 e−t− t dt = 2p 2 Kα (2 p) Re(p) > 0
(2.11)
0
şeklinde bir ilişkisi vardır [16]. Ayrıca genelleştirilmiş Gama fonksiyonu aşağıdaki indirgeme bağıntısı ve yansıma formülünü sağlar:
Γp (α + 1) = αΓp (α) + pΓp (α − 1),
Γp (−α) = p−α Γp (α).
Burada dikkat edilmelidir ki genelleştirilmiş Macdonald ve Gama
fonksiyonları arasındaki (2.11) ilişkisi orijinal Gama fonksiyonunda
görülmez.
Literatür tarandığında genelleştirilmiş Gama fonksiyonunun çeşitli mühendislik ve fiziksel problemlerde oldukça etkili olduğu görülmüştür [17-20].
Ayrıca düzenleyici e
−p
t
çarpanının Riemann’ın Zeta fonksiyonu-
nun tanım kümesinin genişletilmesinde de oldukça kullanışlı olduğu
saptanmıştır [20].
Gama ve Zeta fonsiyonları için bu düzenleyici e
−p
t
çarpanının
geçerliliği dikkate alınarak, başta Euler’in Beta fonksiyonu olmak üzere
diğer özel fonksiyonların tanım kümelerinde de benzer şekilde genişletme yapmanın faydalı olabileceği düşünülmüştür.
11
Euler’in Beta fonksiyonu
Z 1
B(x, y) =
tx−1 (1 − t)y−1 dt,
Re(x) > 0, Re(y) > 0
0
şeklinde integral gösterimine sahiptir ve Gama fonksiyonu ile arasında
Γ(x)Γ(y)
B(x, y) = B(y, x) =
Γ(x + y)
kapalı bir ilişki vardır [14,15].
Beta fonksiyonu için de aynı şekilde genelleme düşünülürse,
Gama fonksiyonu için kullanılan e
−p
t
düzenleyicisinin Beta fonksiyonu
için çok önemli olan simetri özelliğini bozacağı görülür. Bu simetrinin
korunması için t ve 1 − t integrandı simetrik olmalıdır. Bu yüzden
−p
genelleştirilmiş Beta fonksiyonu, Beta fonksiyona e t(1−t) çarpanı eklenmesiyle
1
Z
−p
tx−1 (1 − t)y−1 e t(1−t) dt, Re(x) > 0, Re(y) > 0 (2.12)
Bp (x, y) =
0
şeklinde tanımlanmıştır [16].
Genelleştirilmiş Beta fonksiyonu, Beta fonksiyonunun birçok özelliğini taşır. Hata ve Whittaker fonksiyonları ile olan ilişkilerini gerçekler. Açıkça görülebilir ki genelleştirilmiş Beta fonksiyonu p = 0 durumunda orijinal Beta fonksiyonuna dönüşür [16].
2.4 HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR
α, β ve γ reel ya da kompleks sabitler olmak üzere
αβ x α(α + 1)β(β + 1) x2
+
+ ...
1+
γ 1!
γ(γ + 1)
2!
12
(2.13)
olarak ifade edilen seri matematikte büyük bir öneme sahiptir. Bu
seri
2
1 + x + x + ... =
∞
X
xn
n=0
geometrik serisinin bir genelleştirmesi olduğundan hipergeometrik seri
adını alır. (2.13) ifadesinden görülmektedir ki, γ değeri sıfır ya da
negatif bir tamsayı olmamalıdır. (2.13) hipergeometrik serisi |x| < 1
için yakınsak, |x| > 1 için ise ıraksaktır. |x| = 1 için eğer γ > α + β
ise seri mutlak yakınsak olur. Ayrıca x = −1 iken γ > α + β − 1 ise
seri yakınsaktır [13,14].
α reel ya da kompleks bir sayı, n sıfır ya da pozitif bir tamsayı
olmak üzere (α)n ifadesi
(α)n = α(α + 1)(α + 2) . . . (α + n − 1)
(α)0 = 1,
(2.14)
α 6= 0
olarak tanımlanır. Bu ifade Pochhammer sembolü olarak bilinir ve
aşağıdaki özelliklere sahiptir [13]:
Γ(α + n)
Γ(α)
= α(α + 1)n
(α)n =
(α)n+1
(2.15)
Pochhammer sembolünün (2.14) gösterimi dikkate alınarak, (2.13)
hipergeometrik serisi
2 F1 (α, β, γ; x)
=
∞
X
(α)n (β)n xn
n=0
(γ)n
n!
(2.16)
şeklinde yazılabilir. (2.16) eşitliğinde görülen F fonksiyonunun her
iki yanındaki 2 ve 1 alt indisleri yapısında biri α ve β diğeri γ olmak
13
üzere iki tip parametre bulunduğunu ifade eder. (2.16) eşitliğinin
genelleştirilmiş ifadesi
p Fq (α1 , α2 , . . . , αp , γ1 , γ2 , . . . , γq ; x)
=
∞
X
(α1 )n (α2 )n . . . (αp )n xn
n=0
(γ1 )n (γ2 )n . . . (γq )n n!
şeklindedir. Hipergeometrik fonksiyonu ifade eden
2 F1
gösterimi ye-
rine genellikle sadece F kullanılır. Yani,
2 F1 (α, β, γ; x)
= F (α, β, γ; x)
olup, bu fonksiyon Gauss hipergeometrik fonksiyonu olarak tanımlanır. (2.15) eşitliğinden hipergeometrik fonksiyonun α ve β değişkenlerine göre simetrik olduğu görülür.
Hipergeometrik fonksiyonun birinci mertebeden türevi
∞
X (α)n (β)n xn−1
d
F (α, β, γ; x) =
dx
(γ)n (n − 1)!
n=1
=
=
∞
X
(α)n+1 (β)n+1 xn
n=0
∞
X
n=0
(γ)n+1
n!
α(α + 1)n β(β + 1)n xn
γ(γ + 1)n
n!
∞
αβ X (α + 1)n (β + 1)n xn
=
γ n=0
(γ + 1)n
n!
=
αβ
F (α + 1, β + 1, γ + 1; x)
γ
olup, benzer şekilde m. türevi
dm
(α)m (β)m
F
(α,
β,
γ;
x)
=
F (α + m, β + m, γ + m; x)
dxm
(γ)m
şeklinde bulunur [13,14].
14
(2.17)
Aşağıdaki teorem integral ve toplam sembollerinin yer değiştirmesi
ile ilgilidir.
P
fn [a,b] üzerinde sınırlı, reel değerli ve integrallenebilir
P
fonksiyonların bir serisi olsun.
fn serisi düzgün yakınsak ise
!
Z b X
∞
∞ Z b
X
fn (x) dx =
fn (x)dx
Teorem 2.1
a
n=1
n=1
a
olur [24].
Lemma 2.2 F (α, β, γ; x) fonksiyonu
Z 1
1
tβ−1 (1 − t)γ−β−1 (1 − xt)−α dt (2.18)
F (α, β, γ; x) =
B(β, γ − β) 0
şeklinde bir integral gösterimine sahiptir [13,14].
İspat. Beta fonksiyonunun
Z
1
tx−1 (1 − t)y−1 dt
B(x, y) =
0
tanımından ve Pochhammer sembolünün özelliklerinden
(β)n
B(β + n, γ − β)
=
(γ)n
B(β, γ − β)
Z 1
1
=
(t)β+n−1 (1 − t)γ−β−1 dt
B(β, γ − β) 0
(2.19)
yazılabilir. Buradan (2.19) ifadesi (2.16) ifadesinde yerine yazılırsa
Z
∞
X
1
(α)n n 1 β+n−1
F (α, β, γ; x) =
x
(t)
(1 − t)γ−β−1 dt
B(β, γ − β) n=0 n!
0
olur. Seri düzgün yakınsak olduğundan toplam ile integrasyon işleminin sırası değiştirilirse
1
F (α, β, γ; x) =
B(β, γ − β)
Z
1
β−1
(t)
0
γ−β−1
(1 − t)
∞
X
(α)n
n=0
15
n!
(xt)n dt
elde edilir. Diğer taraftan (1 − xt)−α ifadesinin binom açılımından
dolayı
∞
X
(α)n
n=0
n!
(xt)n = (1 − xt)−α
olduğu dikkate alınırsa istenilen sonuç
Z 1
1
F (α, β, γ; x) =
tβ−1 (1 − t)γ−β−1 (1 − xt)−α dt
B(β, γ − β) 0
şeklinde elde edilir. Hipergeometrik fonksiyonun bir integral gösterimini veren bu formül |x| < 1 ve 0 < β < γ için geçerlidir.
Tanım 2.3 Re(p) > 0, Re(γ) > Re(β) > 0 ve | z |< 1 olmak üzere
∞
X
(α)n Bp (β + n, γ − β) n
Fp (α, β; γ; z) =
z
n!
B(β,
γ
−
β)
n=0
şeklinde tanımlanan fonksiyona Genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyon denir [21].
Tanım 2.4 Hipergeometrik serilerin parametre sayısı artırılarak elde
edilen
F1 (α1 , β1 , β2 ; γ1 ; x, y) =
F2 (α1 , β1 , β2 ; γ1 , γ2 ; x, y) =
F3 (α1 , α2 , β1 , β2 ; γ1 ; x, y) =
F4 (α1 , β1 ; γ1 , γ2 ; x, y) =
∞ X
∞
X
(α1 )m+n (β1 )m (β2 )n xm y n
m=0 n=0
∞ X
∞
X
m=0 n=0
∞ X
∞
X
m=0 n=0
∞ X
∞
X
m=0 n=0
(γ1 )m+n
m! n!
(α1 )m+n (β1 )m (β2 )n xm y n
(γ1 )m (γ2 )n
m! n!
(α1 )m (α2 )n (β1 )m (β2 )n xm y n
(γ1 )m+n
m! n!
(α1 )m+n (β1 )m+n xm y n
(γ1 )m (γ2 )n m! n!
iki değişkenli hipergeometrik serilere Appell hipergeometrik fonksiyonu
denir [22]. Burada F1 , F2 , F3 ve F4 sırasıyla birici, ikinci, üçüncü ve
dördüncü çeşit Appell hipergeometrik fonksiyonlardır.
16
3
KESİRLİ TÜREV ve İNTEGRALLER
Keyfi mertebeden diferensiyel ve integral kavramları, tamsayı
mertebeli türev ve integralin tam olmayan (keyfi) mertebelere genişletilmiş şeklidir. Bu kavramlar 17. yüzyıldan itibaren Liouville, Leibniz,
Euler, Abel, Caputo ve diğer birçok matematikçi tarafından çalışılmıştır. Son yıllarda matematik, fizik, biyoloji ve mühendislik alanlarında
oldukça geniş uygulama alanı bulmuştur [25-28].
Literatürde kesirli türevin birçok tanımı mevcuttur. Birden fazla tanımının olması, problemin türüne göre en uygun olanının kullanılması ve böylece problemin en iyi çözümünün elde edilmesini sağlar.
Bu tanımların bazıları Grünwald-Letnikov, Wely, Riesz, RiemannLiouville (R-L) ve Caputo kesirli türevleridir [4-7].
Bu bölümde ilk olarak Riemann-Liouville kesirli türev ve integral tanımı, kesirli türev ve integralin ortak gösterimi, genelleştirilmiş
Riemann-Liouville kesirli türevini ele alacağız. Daha sonra klasik Caputo kesirli türev tanımı inceleyerek, Riemann-Liouville kesirli türevi
arasındaki farklara değineceğiz.
3.1 RIEMANN-LIOUVILLE KESİRLİ TÜREV VE İNTEGRALİ
Kesirli integral tanımının ve buna bağlı olarak da kesirli türev
tanımının ortaya çıkısına neden olan farklı yaklaşımlar mevcuttur.
Bunların başlıcaları diferensiyel denklem yaklaşımı, kompleks değişken
17
yaklaşımı ve tekrarlı integral yaklaşımıdır. Bu bölümde, tekrarlı integral yaklaşımının kesirli integral tanımını nasıl ortaya çıkardığı ele alınacak ve daha sonra Abel integrali yardımıyla Riemann-Liouville kesirli türevi elde edilecektir. Önce Abel integral denkleminin tanımını
verelim.
Tanım 3.1 0 < α < 1 olmak üzere,
Z x
1
f (x) =
φ(s)(x − t)α−1 dt, x > 0
Γ(α) a
şeklinde tanımlanan integral denklemine Abel integral denklemi denir
[23].
Kesirli integralin çıkışına yardımcı olan n katlı
Z x Z σ1 Z σ2
Z σn−1
···
f (σn )dσn dσn−1 . . . dσ2 dσ1
a
a
a
(3.1)
a
integralini ele alalım. (3.1) integralinde integrasyon sırasını ve buna
bağlı olarak sınırları
a < σ1 < x
σ2 < σ1 < x
a < σ2 < σ1
..
.
σ3 < σ2 < x
..
.
a < σn−1 < σn−2 σn < σn−1 < x
a < σn < σn−1
a < σn < x
şeklinde değiştirilirse (3.1) n katlı integrali
Z x Z σ1
Z σn−1
Z xZ x
Z x
···
f (σn )dσn . . . dσ1 =
···
f (σn )dσ1 . . . dσn
a
a
a
a
σn
σ2
Z x
Z x
Z x Z x
=
f (σn )
...
dσ1 dσ2 . . . dσn−1 dσn(3.2)
a
σn
σ3
18
σ2
şeklinde yazılabilir. (3.2) ifadesinin sağ tarafı terim terim
Z x
dσ1 = (x − σ2 )
σ2
Z
x
..
.Z
x
(x − σ3 )2
(x − σ2 )dσ2 =
2!
σ3
(x − σn−1 )dσn−1
σn
hesaplanırsa
Z x Z σ1
Z
···
a
a
a
σn−1
(x − σn )n−1
=
(n − 1)!
1
f (σn )dσn . . . dσ1 =
(n − 1)!
Z
x
f (σn )(x−σn )n−1 dσn
a
eşitliği elde edilir. Burada Γ(n) = (n − 1)! eşitliği kullanılırsa
Z x Z σ1
Z σn−1
Z x
1
···
f (σn )(x − σn )n−1 dσn
f (σn )dσn . . . dσ1 =
Γ(n) a
a
a
a
yazılabilir. Bu eşitliğin sağ tarafındaki n pozitif bir tamsayıdır. Gama
fonksiyonu tamsayılar dışında da ifade edilebildiğinden, n değerinin
tamsayı olmaması durumunda eşitliğinin sağ tarafı için aşağıdaki tanım
verilebilir.
Tanım 3.2 α ≥ 0 ve f , [a, b] ⊂ R olmak üzere
Z z
1
α
Iz f (z) =
f (t)(z − t)α−1 dt
Γ(α) a
Iz0 f (z) = f (z)
(3.3)
integrallerine α. mertebeden Riemann-Liouville kesirli integrali denir
[4,29].
19
Teorem 3.3 Re(α) > 0 ve Re(λ) > −1 olmak üzere f (z) = z λ
fonksiyonunun α. mertebeden Riemann-Liouville kesirli integrali
Izα z λ =
Γ(λ + 1)
z λ+α
Γ(λ + α + 1)
(3.4)
şeklindedir.
İspat. (3.3) Riemann-Liouville kesirli integral tanımı kullanılarak
istenilen eşitlik
Izα
λ
z =
=
=
=
=
Z z
1
(z − t)α−1 tλ dt {t = uz, dt = zdu}
Γ(α) 0
Z 1
1
z α−1 (1 − u)α−1 uλ z λ zdu
Γ(α) 0
Z
z λ+α 1
(1 − u)α−1 uλ du
Γ(α) 0
B(α, λ + 1) λ+α
z
Γ(α)
Γ(λ + 1)
z λ+α
Γ(λ + α + 1)
şeklinde elde edilir.
Örnek 3.4 f (z) = z fonksiyonunun 12 . mertebeden integralini alalım.
(3.4) eşitliğinde λ = 1 ve α =
1
2
1
2
alınırsa
Γ(1 + 1) 1+ 1
z 2
Γ( 52 )
4 3
= √ z2
3 π
Iz {z} =
Aşağıdaki tanım kesirli türev kavramının tanımı için gerekli olacaktır.
20
Tanım 3.5 Ω1 = [a, b], Ω2 = [c, d], f (x, y), Ω1 × Ω2 kümesinde
ölçülebilir fonksiyon ve −∞ ≤ a < b ≤ ∞, −∞ ≤ c < d ≤ ∞ olsun.
O zaman
Z
b
d
Z
dx
Z
f (x, y)dy =
a
c
b
Z
d
dy
a
f (x, y)dx
c
eşitliğine Dirichlet formülü denir [23].
Kesirli türev için 0 < α < 1 olmak üzere,
Z t
1
φ(s)(t − s)α−1 ds, t > a
f (t) =
Γ(α) a
(3.5)
Abel integral denklemini göz önüne alalım. (3.5) ifadesinin her iki
yanı (x−t)−α ile çarpılarak a değerinden x değişkenine kadar integrali
alınırsa;
Z x
a
dt
(x − t)α
Z
a
t
φ(s)
ds = Γ(α)
(t − s)1−α
Z
a
x
f (t)
dt
(x − t)α
(3.6)
elde edilir. Burada Dirichlet formülü kullanılarak sınır değişimi yapılırsa
Z x
Z x
Z x
dt
f (t)
φ(s)ds
=
Γ(α)
dt
(3.7)
α
1−α
α
a
s (x − t) (t − s)
a (x − t)
olduğu görülür. (3.7) ifadesindeki iç integralde t = s + τ (x − s)
değişken değiştirmesi yapılırsa bu integral
Z 1
Z x
dt
=
τ α−1 (1 − τ )−α dτ
α
1−α
s (x − t) (t − s)
0
= B(α, 1 − α)
Γ(α)Γ(1 − α)
=
Γ(α + 1 − α)
(3.8)
olarak hesaplanır. Elde edilen (3.8) eşitliği (3.6) denkleminde kullanılırsa
21
Z
x
Z
x
f (t)
Γ(α)Γ(1 − α)
φ(s)ds = Γ(α)
dt
α
a
a (x − t)
Z x
Z x
f (t)
1
dt
φ(s)ds =
Γ(1 − α) a (x − t)α
a
(3.9)
bulunur. (3.9) eşitliğinin x değişkenine göre türevini almak için Leibniz formülü kullanılırsa
d
1
φ(x) =
Γ(1 − α) dx
Z
a
x
f (t)
dt
(x − t)α
(3.10)
elde edilir. Elde edilen (3.10) ifadesine α. mertebeden kesirli türev ya
da Riemann-Liouville kesirli türevi denir.
Bu türev formülü daha genel olarak aşağıdaki şekilde de ifade
edilir.
Tanım 3.6 f fonksiyonu her sonlu (a, x) aralığında sürekli ve integrallenebilir olsun. m ∈ Z+ , m − 1 ≤ α < m olmak üzere x > a
için reel bir f fonksiyonunun α. mertebeden Riemann-Liouville kesirli
türevi
Dαx f (x)
1
dm
=
Γ(m − α) dxm
x
Z
f (t)(x − t)m−α−1 dt
(3.11)
a
şeklindedir [4,29].
3.2 KESİRLİ TÜREV ve İNTEGRALİN ORTAK GÖSTERİMİ
Bu bölümde ayrı gösterime sahip türev ve integral operatörleri aynı gösterim altında birleştirilecektir. Bu birleştirme işleminin
22
sebebi, 3.1. Bölümde ifade edilen kesirli mertebeden türev ve integral
tanımlarını tek bir operatör ile gösterilmesinin yazımda ve hesaplamada kolaylık sağlamasıdır. Bu birleştirme işlemi tamsayılar için yapılacaktır. Öncelikle ileride kullanacağımız aşağıdaki teoremi verelim.
Teorem 3.7 Eğer f : [a, b] → R sürekli bir fonksiyon ise
Z b
n
b−a
b−aX
f a+k
lim
=
f (x)dx
n→∞ n
n
a
k=1
olur [24].
Şimdi y = f (t) şeklindeki sürekli bir fonksiyonu ele alalım.
Türev tanımına göre f (t) fonksiyonunun birinci basamaktan türevi
f 0 (t) =
f (t) − f (t − h)
df
= lim
dt h→0
h
(3.12)
şeklindedir. Bu ifadenin ardışık olarak türevleri alınır
d2 f
f 0 (t) − f 0 (t − h)
=
lim
dt2 h→0
h
1 f (t) − f (t − h) f (t − h) − f (t − 2h)
= lim
−
h→0 h
h
h
f (t) − 2f (t − h) + f (t − 2h)
= lim
(3.13)
h→0
h2
f 00 (t) =
ve (3.12), (3.13) eşitlikleri kullanılırsa
d3 f
f 00 (t) − f 00 (t − h)
=
lim
dt3 h→0
h
1 f (t) − 2f (t − h) + f (t − 2h)
= lim
h→0 h
h2
f (t − h) − 2f (t − 2h) + f (t − 3h)
−
h2
f (t) − 3f (t − h) + 3f (t − 2h) − f (t − 3h)
= lim
(3.14)
h→0
h3
f 000 (t) =
23
elde edilir. Tümevarımla n pozitif tamsayı olmak üzere n. mertebeden
türev
n
n
X
d
f
1
n
f (n) (t) = n = lim n
(−1)r
f (t − rh)
h→0 h
dt
r
r=0
(3.15)
şeklinde olduğu gösterilebilir. Burada,
n
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − r + 1)
=
(3.16)
r!
r
ifadesi binom sabitleri için genel gösterimdir. p herhangi bir tamsayıyı
olmak üzere (3.12)-(3.15) eşitliklerindeki kesirlerin genel ifadesini
n
1 X
(p)
r p
fh (t) = p
(−1)
f (t − rh)
(3.17)
h r=0
r
şeklinde yazalım. (3.16) ifadesinde pp teriminden sonraki bütün terimler sıfır olacağından p ≤ n için
dp f (t)
= f (t) =
dtp
olur. Şimdi p değişkeninin negatif değerlerini ele alalım. Yazma kolay(p)
lim fh (t)
h→0
(p)
lığı için
" #
p
=
p(p − 1)(p − 2) . . . (p − r + 1)
r!
r
gösterimi kullanılırsa
" #
p
−p
−p(−p − 1) . . . (−p − r + 1)
=
= (−1)r
r
r!
r
(3.18)
şeklinde yazılabilir. (3.17) eşitliğinde p yerine −p alarak (3.18) eşitliği
bu ifadede yerine konulursa;
" #
n
X
p
1
(−p)
fh (t) = −p
(−1)r (−1)r
f (t − rh)
h r=0
r
" #
n
X
p
= hp
f (t − rh)
r
r=0
24
elde edilir. Burada p pozitif bir tam sayıdır.
(−p)
Eğer n sonlu bir değer alınırsa, fh
(t), h → 0 için sıfır değerine
yakınsar. Sıfırdan farklı bir limit değerine ulaşmak için h → 0 iken
n → ∞ kabul etmemiz gerekir. Böylece, a herhangi bir reel sabit
olmak üzere h =
t−a
n
(−p)
alınabilir ve fh
(t) değerinin sonlu ya da sonsuz
olan limit değeri düşünülebilir. Bunu
(−p)
lim fh
h→0
nh=t−a
(−p)
(t) = a Dt
f (t)
ile göstereceğiz. p = 1 için
(−1)
fh
(t) = h
" #
n
X
1
r
r=0
f (t − rh)
olur. t − nh = a olduğu göz önüne alınıp, f (t) fonksiyonunun sürekli
olduğu kabul edilirse, Teorem 3.7 kullanılarak
(−1)
lim fh
h→0
nh=t−a
(−1)
(t) = a Dt
= lim h
n
X
h→0
Z
f (t)
f (t − rh)
r=0
t−a
f (t − z)dz
=
(t − z = τ )
0
Z
=
t
f (τ )dτ
a
elde edilir. Şimdi p = 2 alalım. Bu durumda
" #
2
2.3. . . . (2 + r − 1)
=
=r+1
r!
r
olup
(−2)
fh (t)
=h
n
X
(r + 1)hf (t − rh)
r=0
25
(3.19)
elde ederiz. t + h = y alınırsa, {f (t − rh) = f (y − (r + 1)h) olur}
(−2)
fh (t)
=h
n+1
X
rhf (y − rh)
r=1
ve h → 0 için
(−2)
lim fh
h→0
nh=t−a
(−2)
(t) = a Dt
Z
f (t)
t−a
zf (t − z)dz
=
0
Z
t
(t − τ )f (τ )dτ
=
(3.20)
a
elde edilir, çünkü h → 0 iken y → t olur.
(−p)
için genel ifadeyi gösterecektir.
p = 3 durumu a Dt
" #
3
3.4. . . . (3 + r − 1)
1
=
=
(r + 1)(r + 2)
r!
1.2
r
olduğundan
n
(−3)
fh (t)
h X
=
(r + 1)(r + 2)h2 f (t − rh)
1.2 r=0
bulunur. Aynı şekilde t + h = y alınırsa,
n+1
(−3)
fh (t)
h X
(r)(r + 1)h2 f (y − rh)
=
1.2 r=1
bulunur. Bu
n+1
(−3)
fh (t)
n+1
h2 X
h X
2
(rh) f (y − rh) +
(rh)f (y − rh)
=
1.2 r=1
1.2 r=1
şeklinde yazılabilir. Böylece, h → 0 için y → t ve
Z t
n+1
h2 X
lim
(rh)f (y − rh) = lim h (t − τ )f (τ )dτ = 0
h→0 1.2
h→0
a
r=1
26
olduğundan
(−3)
lim fh
h→0
nh=t−a
(−3)
(t) = a Dt
f (t)
Z
1 t−a 2
=
z f (t − z)dz
2! 0
Z
1 t
=
(t − τ )2 f (τ )dτ
2! a
(3.21)
elde edilir. (3.19)-(3.21) eşitliklerindeki ilişkiden genel gösterim
" #
n
X
p
(−p)
f (t) = lim hp
f (t − rh)
a Dt
h→0
r
r=0
nh=t−a
Z t
1
(t − τ )p−1 f (τ )dτ
(3.22)
=
(p − 1)! a
şeklinde elde edilir.
Şimdi (3.22) eşitliğinin p-katlı bir integral ifadesi olduğunu gösterelim. (3.22) ifadesinin her iki tarafının türevini alınırsa
Z t
o
1
d n
(−p)
f (t) =
(t − τ )p−2 f (τ )dτ
a Dt
dt
(p − 2)! a
(−p+1)
= a Dt
f (t)
(3.23)
bulunur ve (3.23) ifadesinin a değerinden t değişkenine integralinin
alınmasıyla
(−p)
f (t)
a Dt
=
Z t
dt
(3.24)
dt
(3.25)
(−p+1)
f (t)
a Dt
a
(−p+1)
f (t)
a Dt
=
Z t
(−p+2)
f (t)
a Dt
a
elde edilir. (3.24) ve (3.25) ifadeleri birleştirilirse
27
(−p)
f (t)
a Dt
Z
t
=
dt
Za t
=
Z t
Za t
dt
dt
a
Z
a
t
=
dt
|a
Z t
dt
(−p+3)
f (t)
a Dt
dt
a
t
Z
(−p+2)
f (t)
a Dt
Z
t
dt
a
Z
...
a
{z
p defa
a
t
f (t)dt
}
bulunur. Böylece türev operatörü ile integral operatörü tek bir gösterim altında birleştirilmiş olur ve en genel halde
n
X
p
(p)
−p
(−1)r
f (t − rh)
a Dt f (t) = lim h
h→0
r
r=0
(3.26)
nh=t−a
biçiminde gösterilebilir. Burada m pozitif bir tamsayı olmak üzere
p = m olduğunda m. mertebeden türev elde edilir. p = −m olduğunda
ise m katlı integral elde edilir.
p değerinin tamsayı olmaması durumunda da türev ve integral
operatörüne ilişkin ortak gösterimin geçerli olduğu [30] yayınında gösterilmiştir. Yani (3.3) ile ifade edilen Riemann-Liouville kesirli integrali α > 0 ve f ∈ [a, b] ⊂ R olmak üzere
Z z
1
Izα f (z) = D−α
f (t)(z − t)α−1 dt
z f (z) =
Γ(α) a
(3.27)
ve Riemann Liouville kesirli türevi de m − 1 ≤ α < m olmak üzere
Z z
1
dm
α
Dz f (z) =
f (t)(z − t)m−α−1 dt
(3.28)
m
Γ(m − α) dz a
şeklinde ifade edilebilir.
28
3.3 GENELLEŞTİRİLMİŞ RIEMANN-LIOUVILLE KESİRLİ
TÜREVİ
Kesirli türev ve integralin (3.27) ve (3.28) eşitliklerindeki ortak
gösteriminden yararlanılarak Re(α) < 0 olmak üzere α. mertebeden
klasik Riemann-Liouville kesirli türevi
Z z
1
α
(z − t)−α−1 f (t)dt
Dz f (z) =
Γ(−α) 0
(3.29)
şeklinde tanımlanmıştır [1]. Burada integral yolu, kompleks t-düzleminde 0 değerinden z değişkenine bir çizgi boyuncadır.
m − 1 < Re(α) < m (m = 1, 2, 3, . . .) durumunda ise
dm α−m
α
Dz f (z) = m Dz f (z)
dz Z z
dm
1
−α+m−1
(z − t)
f (t)dt
= m
dz
Γ(−α + m) 0
olarak tanımlanır. Re(α) < 0, Re(p) > 0 olmak üzere (3.29) eşitliğine
yeni bir parametre eklenerek Riemann-Liouville kesirli türevinin genelleştirilmişi
1
Dα,p
z f (z) =
Γ(−α)
Z
z
(z − t)−α−1 f (t)e
−pz 2
t(z−t)
dt
(3.30)
0
ve m − 1 < Re(α) < m (m = 1, 2, 3, . . .) için
dm α−m
α,p
Dz f (z) = m Dz f (z)
dz Z z
−pz 2
1
dm
−α+m−1
= m
(z − t)
f (t)e t(z−t) dt
dz
Γ(−α + m) 0
şeklinde tanımlanmıştır [1]. Burada integral yolu, kompleks t-düzleminde 0 değerinden z değişkenine bir çizgi boyuncadır. p = 0 durumunda
klasik Riemann-Liouville kesirli türev operatörü elde edilir.
29
Teorem 3.8 Re(λ) > −1, Re(µ) < 0 ve Re(p) > 0 olmak üzere
λ
Dµ,p
z {z } =
Bp (λ + 1, −µ) λ−µ
z
Γ(−µ)
eşitliği sağlanır.
İspat. (3.30) genelleştirilmiş Riemann-Liouville kesirli türev ve genelleştirilmiş Beta fonksiyonu tanımları kullanılırsa,
Z z
−pz 2
1
µ,p λ
λ
−µ−1 t(z−t)
Dz {z } =
dt
t (z − t)
e
Γ(−µ) 0
Z 1
−pz 2
1
λ −µ−1
−µ−1 uz(z−uz)
=
(uz) z
(1 − u)
e
zdu
Γ(−µ) 0
Z 1
−p
z λ−µ
=
(u)λ (1 − u)−µ−1 e( u(1−u) ) du
Γ(−µ) 0
Bp (λ + 1, −µ) λ−µ
=
z
Γ(−µ)
istenilen eşitlik elde edilir.
3.4 CAPUTO KESİRLİ TÜREVİ
Riemann-Liouville (3.11) kesirli türev tanımı, kesirli türev ve
integral teorisinin gelişmesinde ve bunların matematikteki uygulamalarında önemli bir rol oynar.
Uygulama problemleri, başlangıç koşulları fiziksel olarak yorumlanabilir kesirli türev tanımları gerektirir. Bu açıdan bakıldığında,
Riemann-Liouville yaklaşımının problemlerin yorumlanmasında yetersiz kaldığı ortaya konmuştur [30]. Çünkü Riemann- Liouville yaklaşımı t = a noktasında, Riemann- Liouville kesirli türevinin limit
30
değerleri biçiminde tanımlanan başlangıç koşullarına sahiptir. Örneğin;
b1 , b2 , . . . , bm keyfi sabitler olmak üzere
f (z) = b1
lim a Dα−1
t
t→a
f (z) = b2
lim a Dα−2
t
t→a
... = ...
f (z) = bm
lim a Dα−m
t
t→a
biçiminde tanımlanan başlangıç koşulları meydana gelir. Bu tipteki
başlangıç koşullarına sahip başlangıç-değer problemleri matematiksel
olarak başarılı bir şekilde çözülmesine rağmen, bunların sonuçları kullanışlı değildir. Çünkü bu tipteki başlangıç koşullarının bilinen fiziksel
yorumu yoktur.
Kesirli diferensiyel tekniğinde başlangıç koşullarını fiziksel yorumlara en uygun şekilde veren M. Caputo olmuştur. Caputo’nun
tanımı; m pozitif tamsayı olmak üzere m − 1 < α < m için
Z z
1
α
(z − t)m−α−1 f (m) dt
a Dz f (z) =
Γ(m − α) a
(3.31)
şeklindedir [29,30].
f (z) fonksiyonunun normal koşullar altında, α → m için Caputo türevi, f (z) fonksiyonunun m. basamaktan klasik türevine eşittir.
Varsayalım ki,
0 ≤ m − 1 < α < m ve f (z) fonksiyonu her T > a için [a, T ]
aralığında (m + 1) kez sürekli ve sınırlı türeve sahip olsun. O halde
31
lim
α→m
α
a Dz f (z)
f (m) (a)(t − a)m−α
= lim
+
α→m
Γ(m − α + 1)
Z z
= f (m) (a) +
f (m+1) (t)dt
Z
a
z
(z − t)m−α f (m+1) (t)
dt
Γ(m − α + 1)
a
=f
(m)
, (m = 1, 2, . . .)
elde edilir.
Riemann-Liouville ve Caputo tanımları arasındaki önemli bir
fark da sabitin türevidir. Sabit bir sayının Caputo türevi sıfırdır.
Ancak sonlu bir alt sınır değeri için Riemann-Liouville kesirli türevi
sıfır değildir. Bir problemin fiziksel olarak yorumunun yapılabilmesi
için sabitin kesirli türevinin sıfıra eşit olması gerekir.
Eğer (3.31) eşitliğinde α = µ ve f (z) = z λ alınırsa
Z z
m
λ
1
m−µ−1 d
µ
{tλ }dt
(z − t)
Dz z =
m
Γ(m − µ) 0
dt
Z z
1
(z − t)m−µ−1 λ(λ − 1) . . . (λ − m + 1)tλ−m dt
=
Γ(m − µ) 0
Z 1
1
Γ(λ + 1)
λ−µ
=
z
(1 − u)m−µ−1 uλ−m du
Γ(m − µ) Γ(λ − m + 1)
0
Γ(λ + 1)B(m − µ, λ − m + 1) λ−µ
=
z
Γ(m − µ)Γ(λ − m + 1)
Γ(λ + 1) λ−µ
z
(3.32)
=
Γ(λ − µ + 1)
elde edilir. Burada m pozitif tamsayı, m−1 < µ < m ve Re(λ) > −1
olur.
Örnek 3.9 f (z) = z fonksiyonunun m = 1 olmak üzere 21 . mertebe-
32
den Caputo türevini alalım. (3.31) eşitliğinden
Z z
1
1
d
1
Dz2 {z} =
(z − t)1− 2 −1 {t}dt
1
dt
Γ(1 − 2 ) 0
Z z
1
1
= 1
(z − t)− 2 dt {t = uz, dt = zdu}
Γ( 2 ) 0
Z 1
1
1
z2
= 1
(1 − u)− 2 du
Γ( 2 ) 0
B( 12 , 1) 1
z2
=
1
Γ( 2 )
2 1
= √ z2
(3.33)
π
elde edilir. Şimdi elde edilen fonksiyonun tekrar 21 . mertebeden Caputo türevini alırsak
Z z
1
1
1
2
2
1
d 1
Dz2 √ z 2 = √
(z − t)1− 2 −1 {t 2 }dt
1
dt
π
π Γ(1 − 2 ) 0
Z z
1 1
1
2 1
=√
(z − t)− 2 t− 2 dt
1
2
π Γ( 2 ) 0
Z 1
1
− 12 − 21
(1
−
u)
=√
u du
πΓ( 21 ) 0
B( 12 , 21 )
=√
=1
(3.34)
πΓ( 21 )
elde ederiz. Buradan da görüldüğü gibi f (z) = z fonksiyonunun iki
defa 12 . mertebeden Caputo kesirli türevi, bu fonksiyonun birinci mertebeden klasik türevini verir.
33
4
GENELLEŞTİRİLMİŞ CAPUTO KESİRLİ TÜREVİ
m pozitif bir tamsayı ve m − 1 < Re(µ) < m olmak üzere f (x)
fonksiyonunun µ. mertebeden klasik Caputo kesirli türevi
Z z
m
1
µ
m−µ−1 d
Dz f (z) =
(z − t)
f (t)dt
Γ(m − µ) 0
dtm
(4.1)
şeklinde tanımlanmıştır [29,30]. (4.1) klasik Caputo türev tanımına
yeni bir parametre ekleyerek Genelleştirilmiş Caputo kesirli türevi
Re(p) > 0 için
1
Dzµ,p f (z) =
Γ(m − µ)
Z
z
(z − t)m−µ−1 e
−pz 2
t(z−t)
0
m
d f (t)
dt
dtm
(4.2)
şeklinde tanımlanabilir. Burada m−1 < Re(µ) < m (m = 1, 2, 3, . . .)
ve integral yolu kompleks t-düzleminde 0 değerinden z değişkenine
bir çizgi boyuncadır. Burada p = 0 durumunda klasik Caputo kesirli
türev operatörünü elde ederiz.
Teorem 4.1 m pozitif bir tamsayı, m − 1 < Re(µ) < m, Re(p) > 0
ve Re(λ) > m − 1 olmak üzere
Dzµ,p z λ =
Γ(λ + 1)Bp (m − µ, λ − m + 1) λ−µ
z
Γ(λ − µ + 1)B(m − µ, λ − m + 1)
(4.3)
eşitliği sağlanır.
İspat. f (z) = z λ fonksiyonuna (4.2) genelleştirilmiş Caputo kesirli
türev tanımı uygulanırsa
Dzµ,p
λ
z =
1
Γ(m − µ)
Z
z
m−µ−1
(z − t)
0
34
e
−pz 2
t(z−t)
m λ
d t
dt
dtm
=
=
=
=
Z z
−pz 2
1
Γ(λ + 1)
m−µ−1 λ−m t(z−t)
(z − t)
t
e
dt
Γ(m − µ) Γ(λ − m + 1) 0
Z 1
−p
z λ−µ
Γ(λ + 1)
(1 − u)m−µ−1 uλ−m e( u(1−u) ) du
Γ(m − µ) Γ(λ − m + 1) 0
Γ(λ + 1)Bp (m − µ, λ − m + 1) λ−µ
z
Γ(m − µ)Γ(λ − m + 1)
Γ(λ + 1)Bp (m − µ, λ − m + 1) λ−µ
z
(4.4)
Γ(λ − µ + 1)B(m − µ, λ − m + 1)
istenilen eşitlik elde edilir.
(4.4) eşitliğinde p = 0 alınırsa genelleştirilmiş Beta fonksiyonunun
B0 (x, y) = B(x, y) özelliğinden dolayı (3.32) eşitliğinin aynısı
Dzµ,0 z λ =
Γ(λ + 1) λ−µ
z
Γ(λ − µ + 1)
elde edilir.
Örnek 4.2 f (z) = z fonksiyonunun m = 1 olmak üzere 21 . mertebeden genelleştirilmiş Caputo türevini alalım. (4.3) eşitliğinde m = 1,
µ=
1
2
ve λ = 1 alırsak
1
2 ,p
Dz
Γ(2)Bp ( 21 , 1) 1
{z} =
z2
1
3
Γ( 2 )B( 2 , 1)
2 Bp ( 21 , 1) 1
=√
z2
π B( 12 , 1)
(4.5)
elde ederiz. p = 0 durumunda B0 (x, y) = B(x, y) olduğundan
1
2 1
Dz2 {z} = √ z 2
π
bulunur. Bu sonuç klasik Caputo türevi ile elde edilen (3.33) eşitliğinin
aynısıdır.
35
(4.5) eşitliğinin de 12 . mertebeden genelleştirilmiş Caputo türevini
alalım. (4.3) eşitliğini tekrar kullanırsak
1
1
B
(
,
1)
1
2 Bp ( 21 , 1) 12 ,p n 1 o
2
p
,p
2
2
√
z2 = √
Dz
Dz
z2
π B( 12 , 1)
π B( 21 , 1)
2 Bp ( 21 , 1) Γ( 23 )Bp ( 21 , 21 ) 1 − 1
=√
z2 2
π B( 21 , 1) Γ(1)B( 12 , 12 )
Bp ( 12 , 1)Bp ( 21 , 12 )
=
B( 12 , 1)B( 21 , 21 )
elde ederiz.
p = 0 durumunda klasik Caputo türevi ile elde edilen (3.34)
eşitliğinin aynısını elde ederiz.
4.1 KLASİK ve GENELLEŞTİRİLMİŞ CAPUTO TÜREVİNİN
BAZI FONKSİYONLARA UYGULANMASI
Bu bölümde bazı hipergeometrik fonksiyonlara klasik ve genelleştirilmiş Caputo türevleri ayrı ayrı uygulanmıştır. Genelleştirilmiş Caputo türeviyle elde edilen sonuçların p = 0 özel durumunda, klasik
Caputo türevi ile elde edilen sonuçların aynısını verdiği gösterilmiştir.
Teorem 4.3 Eğer f (z) fonksiyonu | z |< ρ diskinde analitik ise
f (z) =
∞
X
an z n ,
| z |< ρ
n=0
şeklinde bir kuvvet serisine açılabilir. O halde Re(p) > 0, m pozitif
36
tamsayı, m − 1 < Re(µ) < m olmak üzere
Dzµ,p
∞
λ−1
X
z f (z) =
an Dzµ,p z λ+n−1
n=0
∞
Γ(λ)z λ−µ−1 X (λ)n Bp (m − µ, λ + n − m)an z n
=
Γ(λ − µ) n=0 (λ − µ)n B(m − µ, λ + n − m)
yazılabilir. Burada Re(λ) > Re(µ) > 0 ve Re(λ) > m − n dir.
İspat.
Dzµ,p
)
(
∞
X
an z n
z λ−1 f (z) = Dzµ,p z λ−1
n=0
=
=
=
∞
X
n=0
∞
X
n=0
∞
X
an Dzµ,p z λ+n−1
an
Γ(λ + n)Bp (m − µ, λ + n − m) λ+n−µ−1
z
Γ(λ + n − µ)B(m − µ, λ + n − m)
an
Γ(λ)(λ)n Bp (m − µ, λ + n − m)
z λ+n−µ−1
Γ(λ − µ)(λ − µ)n B(m − µ, λ + n − m)
n=0
∞
(λ)n Bp (m − µ, λ + n − m) n
Γ(λ) λ−µ−1 X
=
z
an
z
Γ(λ − µ)
(λ
−
µ)
B(m
−
µ,
λ
+
n
−
m)
n
n=0
elde edilir. Böylece ispat tamamlanmış olur.
Teorem 4.4 Re(α) > 0, Re(λ) > Re(µ) > 0, m bir pozitif tamsayı
ve m − 1 < Re(λ − µ) < m olmak üzere
Γ(λ) µ−1
Dzλ−µ z λ−1 (1 − z)−α =
z F (α, λ; µ; z)
Γ(µ)
eşitliği sağlanır.
37
(4.6)
İspat. (4.6) eşitliğinin sol tarafındaki (1 − z)−α ifadesinin seri açılımı
kullanılır ve (4.1) klasik Caputo kesirli türev operatörü uygulanırsa
)
(
∞
n
X
z
Dzλ−µ z λ−1 (1 − z)−α = Dzλ−µ z λ−1
(α)n
n!
n=0
=
=
∞
X
(α)n
n=0
∞
X
n=0
n!
Dzλ−µ z λ+n−1
(α)n Γ(λ + n) µ+n−1
z
n! Γ(µ + n)
∞
Γ(λ) µ−1 X (α)n (λ)n n
z
z
=
Γ(µ)
n!
(µ)
n
n=0
=
Γ(λ) µ−1
z F (α, λ; µ; z)
Γ(µ)
istenilen eşitlik elde edilir.
Teorem 4.5 Re(p) > 0, m pozitif tamsayı, m − 1 < Re(λ − µ) < m
ve Re(α) > 0 olmak üzere
)
(
∞
n
X
z
Dzλ−µ,p z λ−1 (1 − z)−α = Dzλ−µ,p z λ−1
(α)n
n!
n=0
(4.7)
∞
Γ(λ) µ−1 X (λ)n Bp (λ − m + n, m − λ + µ)
zn
=
z
(α)n
Γ(µ)
(µ)
B(λ
−
m
+
n,
m
−
λ
+
µ)
n!
n
n=0
[Re(λ) > Re(µ) > 0, Re(λ) > m − n]
biçiminde elde edilir.
İspat. (4.7) eşitliğinin sol tarafındaki (1 − z)−α ifadesinin seri açılımı
kullanılır ve (4.2) genelleştirilmiş Caputo kesirli türev operatörü uygulanırsa
38
(
Dzλ−µ,p {z λ−1 (1 − z)−α } = Dzλ−µ,p
z λ−1
∞
X
n=0
=
=
∞
X
(α)n
n=0
∞
X
n=0
n!
n
(α)n
z
n!
)
Dzλ−µ,p z λ+n−1
(α)n Γ(λ + n) Bp (λ − m + n, m − λ + µ) µ+n−1
z
n! Γ(µ + n) B(λ − m + n, m − λ + µ)
∞
Γ(λ) µ−1X (λ)n Bp (λ − m + n, m − λ + µ) (α)n z n
=
z
Γ(µ)
(µ)n B(λ − m + n, m − λ + µ) n!
n=0
[Re(λ) > Re(µ) > 0, Re(λ) > m − n]
elde edilir.
(4.7) eşitliğinde p = 0 alınırsa, genelleştirilmiş Beta fonksiyonunun B0 (x, y) = B(x, y) özelliği kullanılarak gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra klasik Caputo türevi ile elde edilen (4.6) eşitliğinin
aynısı bulunur.
Teorem 4.6 Re(α) > 0, Re(β) > 0, Re(λ) > Re(µ) > 0, m pozitif
bir tamsayı ve m − 1 < Re(λ − µ) < m olmak üzere
λ−1
Γ(λ)z µ−1
−α
−β
F1 (λ, α, β; µ; az, bz) (4.8)
z (1−az) (1−bz) =
Γ(µ)
Dzλ−µ
eşitliği yazılabilir.
Burada F1 birinci çeşit Appell hipergeometrik
fonksiyondur.
İspat. (4.8) eşitliğinin sol tarafındaki (1 − az)−α ve (1 − bz)−β
ifadelerinin seri açılımı kullanılır ve (4.1) klasik Caputo kesirli türev
operatörü uygulanırsa
39
Dzλ−µ z λ−1 (1 − az)−α (1 − bz)−β
(∞ ∞
)
X X (α)n (β)k
= Dzλ−µ
an bk z λ+n+k−1
n! k!
n=0
k=0
=
=
∞
X
n,k=0
∞
X
n,k=0
=z
µ−1
(α)n (β)k n k λ−µ λ+n+k−1 a b Dz
z
n! k!
(α)n (β)k n k Γ(λ + n + k) n+k+µ−1
a b
z
n! k!
Γ(n + k + µ)
∞
X
(α)n (β)k n k Γ(λ)(λ)n+k n+k
a b
z
n! k!
Γ(µ)(µ)n+k
n,k=0
∞
(az)n (bz)k
Γ(λ) µ−1 X (λ)n+k
z
(α)n (β)k
=
Γ(µ)
(µ)n+k
n! k!
n,k=0
=
Γ(λ) µ−1
z F1 (λ, α, β; µ; az, bz)
Γ(µ)
elde edilir. Burada Re(α) > 0, Re(µ) > 0 dır.
Teorem 4.7 Re(p) > 0, m pozitif tamsayı, m − 1 < Re(λ − µ) < m,
Re(α) > 0 ve Re(β) > 0 olmak üzere
×
Γ(λ) µ−1
Dzλ−µ,p z λ−1 (1 − az)−α (1 − bz)−β =
z
Γ(µ)
∞
X
(λ)n+k Bp (λ − m + n + k, m − λ + µ)
n,k=0
(λ − m)n+k
B(λ − m, m − λ + µ)
(4.9)
(az)n (bz)k
(α)n (β)k
n! k!
eşitliği sağlanır. Burada Re(λ) > Re(µ) > 0 ve Re(λ) > m olur.
İspat. (4.9) eşitliğinin sol tarafındaki (1 − az)−α ve (1 − bz)−β
ifadelerinin seri açılımı kullanılır ve (4.2) genelleştirilmiş Caputo ke-
40
sirli türev operatörü uygulanırsa
Dzλ−µ,p {z λ−1 (1 − az)−α (1 − bz)−β }
)
(∞ ∞
X X (α)n (β)k
an bk z λ+n+k−1
= Dzλ−µ,p
n! k!
n=0
k=0
=
=
∞
X
n,k=0
∞
X
n,k=0
(α)n (β)k n k λ−µ,p λ+n+k−1 a b Dz
z
n! k!
Aan bk
A=
(α)n (β)k
n! k!
Γ(λ + n + k)Bp (λ − m + n + k, m − λ + µ) µ+n+k−1
z
Γ(λ − m + n + k)Γ(m − λ + µ)
∞
Γ(λ) µ−1 X (λ)n+k A(az)n (bz)k Bp (λ − m + n + k, m − λ + µ)
=
z
Γ(µ)
(λ − m)n+k
B(λ − m, m − λ + µ)
n,k=0
bulunur. Elde edilen son eşitlikte p = 0 alınıp,
(λ − m)n+k =
Γ(λ − m + n + k)
Γ(λ − m)
eşitliği kullanılır ve B0 (x, y) = B(x, y) olduğundan Beta fonksiyonu
Gama fonksiyonu cinsinden yazılarak gerekli sadeleştirmeler yapılırsa
Dzλ−µ,0 {z λ−1 (1 − az)−α (1 − bz)−β }
∞
(az)n (bz)k
Γ(λ) µ−1 X (λ)n+k
=
z
(α)n (β)k
Γ(µ)
(µ)n+k
n! k!
n,k=0
=
Γ(λ) µ−1
z F1 (λ, α, β; µ; az, bz)
Γ(µ)
(4.10)
elde edilir. Böylece klasik Caputo türevi ile elde edilen (4.8) eşitliği
elde edilmiş olur.
Teorem 4.8 m pozitif bir tamsayı, m − 1 < Re(µ) < m olmak
üzere F (a, b; c; z) hipergeometrik fonksiyonunun µ. mertebeden klasik
41
Caputo kesirli türevi C =
Dzµ {F (a, b; c; z)}
= Cz
(a)m (b)m
(c)m
m−µ
∞
X
n=0
olmak üzere
(a + m)n (b + m)n z n
(4.11)
(c + m)n Γ(n + m − µ + 1)
şeklindedir.
İspat. F (a, b; c; z) hipergeometrik fonksiyonuna (4.1) klasik Caputo
türev operatörü uygulanırsa
)
(∞
X (a)n (b)n z n
Dzµ {F (a, b; c; z)} = Dzµ
(c)n n!
n=0
=
=
=
∞
X
(a)n (b)n
n=0
∞
X
(c)n n!
Dzµ {z n }
(a)n (b)n Γ(n + 1) n−µ
z
(c)n n! Γ(n − µ + 1)
n=0
∞
X
(a)n+m (b)n+m
Γ(n + m + 1) n+m−µ
z
(c)
(n
+
m)!
Γ(n
+
m
−
µ
+
1)
n+m
n=−m
= Cz
m−µ
∞
X
(a + m)n (b + m)n
(c + m)n
n=0
zn
Γ(n + m − µ + 1)
elde edilir.
Burada m = µ alınırsa F (a, b; c; z) hipergeometrik fonksiyonunun
(2.17) eşitliği ile verilen klasik türevi elde edilir.
Teorem 4.9 Re(p) > 0, m pozitif bir tamsayı, m − 1 < Re(µ) < m
olmak üzere F (a, b; c; z) hipergeometrik fonksiyonunun µ. mertebeden
genelleştirilmiş Caputo kesirli türevi
42
Dzµ,p
(a)m (b)m m−µ
F (a, b; c; z) =
z
(c)m
∞
X
(a + m)n (b + m)n
Bp (m − µ, n + 1) z n
×
(c + m)n
Γ(n + m − µ + 1)B(m − µ, n + 1)
n=0
şeklindedir.
İspat. F (a, b; c; z) hipergeometrik fonksiyonuna genelleştirilmiş Caputo türev operatörü uygulanırsa
(∞
)
X (a)n (b)n z n
Dzµ,p {F (a, b; c; z)} = Dzµ,p
(c)n n!
n=0
=
=
=
∞
X
(a)n (b)n
n=0
∞
X
(c)n n!
Dzµ {z n }
(a)n (b)n Γ(n + 1)Bp (m − µ, n − m + 1) n−µ
z
(c)n n! Γ(n − µ + 1)B(m − µ, n − m + 1)
n=0
∞
X
(a)n+m (b)n+m Γ(n + m + 1)Bp (m − µ, n + 1) n+m−µ
z
(c)
(n
+
m)!
Γ(n
+
m
−
µ
+
1)B(m
−
µ,
n
+
1)
n+m
n=−m
= Cz
m−µ
∞
X
(a + m)n (b + m)n
n=0
(c + m)n
Bp (m − µ, n + 1) z n
Γ(n + m − µ + 1)B(m − µ, n + 1)
bulunur. Burada p = 0 alınırsa (4.11) eşitliğindeki F (a, b; c; z) hipergeometrik fonksiyonunun klasik Caputo türevi ve p = 0, m = µ
alınırsa (2.17) eşitliği ile verilen klasik türevi elde edilir.
Teorem 4.10 m bir pozitif tamsayı, m − 1 < Re(λ − µ) < m,
Re(λ) > Re(µ) > 0, Re(α) > 0, Re(γ) > Re(β) ve | x | + | z |< 1
olmak üzere
43
Dzλ−µ z λ−1 (1 − z)−α Fp (α, β; γ;
Γ(λ) µ−1
x
) =
z
1−z
Γ(µ)
∞
X
(λ)k Bp (β + n, γ − β)
xn z k
×
(α)n+k
(4.12)
(µ)k B(β, γ − β)
n! k!
n,k=0
olur.
İspat. (4.12) eşitliğinde Fp genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyonunun ve (1 − z)−α ifadesinin seri açılımı kullanılıp, gerekli düzenlemeler yapılarak klasik Caputo kesirli türev operatörü uygulanırsa
Dzλ−µ
x
z λ−1 (1 − z)−α Fp (α, β; γ;
)
1−z
(
n )
∞
X
x
(α)n Bp (β + n, γ − β)
= Dzλ−µ z λ−1 (1 − z)−α
n!
B(β, γ − β)
1−z
n=0
(
)
∞
n
X
B
(β
+
n,
γ
−
β)
x
p
(α)n
= Dzλ−µ z λ−1
(1 − z)−α−n
B(β, γ − β) n!
n=0
=
=
∞ X
∞
X
Bp (β + n, γ − β) xn (α)n (α + n)k
n=0 k=0
∞
X
Bp (β
n,k=0
B(β, γ − β)
n!
k!
Dzλ−µ z λ+k−1
+ n, γ − β) xn (α)n+k Γ(λ + k) µ+k−1
z
B(β, γ − β) n! k! Γ(µ + k)
∞
xn z k
Γ(λ) µ−1 X (λ)k Bp (β + n, γ − β)
=
z
(α)n+k
Γ(µ)
(µ)k B(β, γ − β)
n! k!
n,k=0
(Re(λ) > Re(µ) > 0, Re(γ) > Re(β), | x | + | z |< 1)
elde edilir.
p = 0 durumunda Beta fonksiyonunun Gama fonksiyonu cinsinden ifadesi ve Pochhammer sembolünün (2.15) özelliği kullanılarak
44
gerekli işlemler yapıldığında
λ−µ
Dz
z λ−1 (1 − z)−α F0 (α, β; γ;
x
)
1−z
∞
Γ(λ) µ−1 X (λ)k (β)n
xn z k
z
(α)n+k
=
Γ(µ)
(µ)k (γ)n
n! k!
n,k=0
=
Γ(λ) µ−1
z F2 (α, λ, β; µ, γ; x, z)
Γ(µ)
(4.13)
eşitliği bulunur. Buradaki F2 (α, λ, β; µ, γ; x, z) ikinci çeşit Appell
hipergeometrik fonksiyondur.
Teorem 4.11 Re(p) > 0, m pozitif tamsayı, m−1 < Re(λ−µ) < m,
Re(α) > 0, Re(γ) > Re(β) ve | x | + | z |< 1 olmak üzere
x
Γ(λ) µ−1
Dzλ−µ,p z λ−1 (1 − z)−α Fp (α, β; γ;
) =
z
(4.14)
1−z
Γ(µ)
∞
X
(λ)k Bp (β + n, γ − β) Bp (λ − m + k, m − λ + µ)
xn z k
×
(α)n+k
(µ)k B(β, γ − β) B(λ − m + k, m − λ + µ)
n! k!
n,k=0
eşitliği sağlanır. Burada Re(λ) > Re(µ) > 0 ve Re(λ) > m − k olur.
İspat. (4.14) eşitliğinde Fp genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyonunun ve (1 − z)−α ifadesinin seri açılımı yerine yazılıp gerekli
düzenlemeler yapılarak genelleştirilmiş Caputo kesirli türev operatörü
uygulanırsa
Dzλ−µ,p
= Dzλ−µ,p
z
(
λ−1
−α
(1 − z)
x
)
Fp (α, β; γ;
1−z
∞
X
(α)n Bp (β + n, γ − β)
z λ−1 (1 − z)−α
n=0
(
=
Dzλ−µ,p
z
λ−1
n!
∞
X
B(β, γ − β)
(
x n
)
1−z
)
Bp (β + n, γ − β) xn
(α)n
(1 − z)−α−n
B(β, γ − β) n!
n=0
45
)
=
=
∞ X
∞
X
Bp (β + n, γ − β) xn (α)n (α + n)k
n=0 k=0
∞ X
n,k=0
B(β, γ − β)
n!
k!
Dzλ−µ,p z λ+k−1
Bp (β + n, γ − β) xn (α)n+k
B(β, γ − β) n! k!
Γ(λ + k)Bp (λ − m + k, m − λ + µ) µ+k−1
z
×
Γ(m + k)B(λ − m + k, m − λ + µ)
∞ Γ(λ) µ−1 X (λ)k Bp (β + n, γ − β)
=
z
Γ(µ)
(µ)k B(β, γ − β)
n,k=0
Bp (λ − m + k, m − λ + µ)
xn z k
(α)n+k
×
B(λ − m + k, m − λ + µ)
n! k!
elde edilir.
p = 0 durumunda gerekli işlemler yapıldığında
Dzλ−µ,0
z
λ−1
−α
(1−z)
x Γ(λ)z µ−1
F0 (α, β; γ;
) =
F2 (α, λ, β; µ, γ; x, z)
1−z
Γ(µ)
şeklinde (4.13) eşitliğinin aynısı elde edilmiş olur. Burada F2 ikinci
çeşit Appell hipergeometrik fonksiyondur.
Teorem 4.12 Re(p) > 0, m pozitif bir tamsayı ve m−1 < Re(µ) < m
olmak üzere f (z) = ez fonksiyonunun genelleştirilmiş Caputo kesirli
türevi
∞
Dzµ,p {ez }
z m−µ X z n
=
Bp (m − µ, n + 1)
Γ(m − µ) n=0 n!
ifadesine eşittir.
İspat. f (z) = ez fonksiyonuna genelleştirilmiş Caputo kesirli türev
operatörü uygulanırsa
Dzµ,p {ez }
1
=
Γ(m − µ)
Z
z
m−µ−1
(z − t)
0
46
e
−pz 2
t(z−t)
m t
d e
dt
dtm
1
=
Γ(m − µ)
m−µ
=
z
Γ(m − µ)
z m−µ
=
Γ(m − µ)
∞ n
X
t
z
Z
m−µ−1
(z − t)
0
n=0
∞
X
n=0
∞
X
n=0
n
z
n!
Z
1
n!
e
−pz 2
t(z−t)
dt
−p
(1 − u)m−µ−1 un e( u(1−u) ) du
0
zn
Bp (m − µ, n + 1)
n!
elde edilir.
p = 0 için,
Dzµ,0 {ez }
=
∞
X
zn
n=0
Γ(n + 1)
z m−µ
n! Γ(m + n − µ + 1)
klasik Caputo türevi elde edilir. p = 0 ve m = µ durumunda ise
f (z) = ez fonksiyonunun
f (z) =
∞
X
zn
n=0
n!
klasik türevi elde edilmiş olur.
4.2 MELLİN DÖNÜŞÜMÜ
Bu bölümde genelleştirilmiş Caputo türevlerini elde ettiğimiz
iki fonksiyon sınıfının Mellin dönüşümlerini hesaplayacağız. Öncelikle
Mellin dönüşümünün tanımını verelim.
Tanım 4.13 (0, ∞) aralığında tanımlı reel değerli bir f (x) fonksiyonu verilsin.
Z
M [f (x) : s] = F (s) =
0
47
∞
xs−1 f (x)dx
(4.15)
ifadesine f (x) in Mellin dönüşümü denir ve M [f (x) : s] ile gösterilir
[29].
Örnek 4.14 n > 0 olmak üzere f (x) = e−nx fonksiyonunun Mellin
dönüşümünü bulalım. (4.15) eşitliğinden
M [f (x) : s] = M e−nx : s
Z ∞
=
xs−1 e−nx dx
0
yazılabilir. Buradan nx = t alınırsa (x = nt , dx = dt
n)
Z ∞ s−1 −t
−nx e
t
dt
M e
:s =
n
n
0
Z
1 ∞ s−1 −t
= s
t e dt
n 0
Γ(s)
= s
n
elde edilir.
Teorem 4.15 (4.3) eşitliğinin Mellin dönüşümü m pozitif tamsayı,
m − 1 < Re(α) < m, ve Re(λ) > m − 1 olmak üzere
α,p λ Γ(λ + 1)Γ(s)B(m − α + s, λ − m + s + 1)z λ−α
M Dz z : s =
Γ(λ − m + 1)Γ(m − α)
şeklindedir. Burada Re(p) > 0 ve Re(s) > 0 olur.
İspat. (4.15) Mellin dönüşümü tanımı kullanılarak
Z ∞
M Dzα,p z λ : s =
ps−1 Dzα,p z λ dp
Z ∞ Z z0
m λ
−pz 2
1
s−1
m−α−1 t(z−t) d t
p
(z − t)
e
dtdp
=
m
Γ(m − α) 0
dt
0
48
Z ∞ Z z
−pz 2
Γ(λ + 1)
s−1
m−α−1 λ−m t(z−t)
=
p
dtdp
(z − t)
t
e
Γ(λ − m + 1)Γ(m − α) 0
0
Z ∞ Z 1
−p
Γ(λ + 1) z λ−α
=
ps−1 (1 − u)m−α−1 uλ−m e( u(1−u) ) dudp
Γ(λ − m + 1)Γ(m − α) 0
0
elde edilir. Burada
Z
1
−p
(1 − u)m−α−1 uλ−m e( u(1−u) ) du
0
ve
Z
∞
−p
ps−1 e( u(1−u) ) dp
0
integralleri düzgün yakınsak olduğundan integrasyon sırası yer değiştirilerek
Γ(λ + 1)z λ−α
Γ(λ − m + 1)Γ(m − α)
Z 1
Z
m−α−1 λ−m
×
(1 − u)
u
M Dzα,p z λ : s =
0
bulunabilir. Bu integralde r =
∞
−p
ps−1 e( u(1−u) ) dpdu
0
p
u(1−u)
değişken değiştirmesi yapılırsa
α,p λ Γ(λ + 1) z λ−α
M Dz z : s =
Γ(λ − m + 1)Γ(m − α)
Z 1
Z ∞
m−α−1 λ−m
×
(1 − u)
u
us (1 − u)s rs−1 e−r drdu
0
0
λ−α
Γ(λ + 1) z
Γ(λ − m + 1)Γ(m − α)
Z 1
Z
×
(1 − u)m−α+s−1 uλ−m+s
=
0
∞
rs−1 e−r drdu
0
λ−α
Γ(λ + 1) z
B(m − α + s, λ − m + s + 1)Γ(s)
Γ(λ − m + 1)Γ(m − α)
Γ(λ + 1)Γ(s)
=
B(m − α + s, λ − m + s + 1)z λ−α
Γ(λ − m + 1)Γ(m − α)
=
elde edilir.
49
Teorem 4.16 m pozitif bir tamsayı, m−1 < Re(α) < m, Re(s) > 0,
Re(p) > 0 ve | z |< 1 olmak üzere
∞
α,p Γ(s) z m−α X
B(m − α + s, n + s + 1)
−a
(α)n z n
M Dz (1−z) :s =
Γ(m − α) n=0
Γ(n + 1)
eşitliği sağlanır.
İspat. (1 − z)−a ifadesinin seri açılımı kullanılır ve 4.15. Teoremde
λ = n alınırsa
) #
"
(∞
X (a)n
M Dzα,p (1 − z)−a : s = M Dzα,p
zn : s
n!
n=0
=
∞
X
(a)n
n=0
n!
M [Dzα,p {z n } : s]
∞
Γ(s) z −α X B(m − α + s, n − m + s + 1)
(α)n z n
=
Γ(m − α) n=0
Γ(n − m + 1)
∞
Γ(s) z m−α X B(m − α + s, n + s + 1)
=
(α)n z n
Γ(m − α) n=0
Γ(n + 1)
ifadesi elde edilir.
50
KAYNAKLAR
[1] Özarslan, M. A.; Özergin, E. Some generating relations for extended hypergeometric functions via generalized fractional derivative operator, J. Comput. Appl. Math. 2010, 52, 1825-1833.
[2] Dalir M.; Bashour M. Applications of Fractional Calculus, Applied Mathematical Sciences, 2010, 21, 1021-1032.
[3] Loverro A. Fractional Calculus. History, Defination and Applications for the Engineer, USA, 2004.
[4] Podlubny, I. Fractional differential equations, Academic Pres,
New York, 1999.
[5] Oldham, K.B.; Spanier, J. The fractional calculus, Academic
Pres, New York, 1974.
[6] Miller, K.S.; Ross, B. An introduction to the fractional calculus
and fractional differential equations, Wiley, New York, 1993.
[7] Hilfer, R. Applications of fractional calculus in physics, World
Scientific, Singapore, 2000.
[8] Momani, S.; Odibat, Z. Numerical approach to differential equations of fractional order, J. Comput. Appl. Math. 2007, 207,
96-110.
[9] Momani S.; Noor M. A. Numerical methods for fourth-order
fractional integro- differential equations, Appl. Math. Comput.
2006, 182, 754-760.
51
[10] Odibat Z.; Momani S. Application of variational iteration method
to nonlinear differential equations of fractional order, Internatioanal Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation,
2006, 1, 27-34.
[11] Momani, S. Explicit and numerical solutions of the fractional
KdV equation, Math. Comput. Sim. 2005, 70, 110-118.
[12] Kumar P.; Agrawal O. P. An approximate method for numerical
solution of fractional differential equations, Signal Processing,
2006, 86, 2602-2610.
[13] Altın, A. Uygulamalı Matematik, Gazi Kitapevi, Ankara, 2011.
[14] Andrews, L.C. Special Functions for Engineers and Applied Mathematicians, Macmillan, New York, 1985.
[15] Chaudhry, M. A.; Zubair, S.M. Generalized incomplete gamma
functions with applications, J. Comput. Appl. Math. 1994, 55,
99-124.
[16] Özarslan, M. A.; Özergin, E.; Altın, A. Extension of gamma,
beta and hypergeometric functions, J. Comput. Appl. Math.
2010, 235, 4601-4610.
[17] Qadir, A. The generalization of special functions, Appl. Math.
Comput. 2007, 187, 395-402.
[18] Chaudhry, M. A.; Zubair, S.M. On the decomposition of generalized incomplete gamma functions with applications to Fourier
transforms, J. Comput. Appl. Math. 1995, 59, 253-284.
52
[19] Chaudhry, M. A.; Zubair, S.M. Analytic study of temperature
solution due to gamma type moving point-heat sources lnternat
J. Heat Mass TransJer 1993, 36, 1633-1637.
[20] Chaudhry, M. A.; Qadir, A.; Boudjelkha, M.T.; Rafique, M.;
Zubair, S.M. Extended Riemann zeta function, Rocky Mountain
J. Math. 2001, 31, 237-1263.
[21] Chaudhry, M. A.; Qadir, A.; Srivastava, H. M.; Paris, R.B.
Extended hypergeometric and confluent hypergeometric function,
Appl. Math. Comput. 2004, 159, 589-602.
[22] Bailey, W.N. Generalized hpergeometric series, Cambridge University Press, 1964.
[23] Samko, S.G.; Kilbas, A.A.; Marichev, O.I. Fractional Integrals
and Derivatives Theory and Applications, Gordon and Breach,
Longhorne, 1993.
[24] Balcı, M. Analiz, Balcı Yayıncılık, Ankara, 2005.
[25] Magin, R.L. Fractional Calculus in Bioengineering, Critical Reviews in Biomedical Engineering, 2004, 32, 11.
[26] Mainardi, F. Fractional Calculus: Some basic problems in continuum and statistical mechanics, Fractals and Fractional Calculus in Continum Mechanics, 291, 1997.
[27] Distefano, J.J.; Stubberud, A.R.; Williams, I.J. Schaum’s outline
of theory and problems of feedback and control systems, McGrawHill, 1995.
53
[28] Giona, M.; Cerbelli, S.; Roman, H.E. Fractional diffusion equation and relaxation in complex viscoelastic materials, Physica A,
1992, 191, 449.
[29] Kılbas, A.A.; Srivastiva H.M.; Trujillo, J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equation, Elsevier B.V., Amsterdam, 2006.
[30] Podlubny I. Fractional Order Systems and PID Controllers IEEE
Transactions on Automatic Control 1999, 44, 208-214.
54
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Adı ve Soyadı : Yusuf SÖKMEN
Doğum Yeri
: Denizli
Doğum Tarihi : 30.10.1986
Ünvanı
: Yüksek Lisans Öğrencisi
Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim
Orta Öğrenim : Acıpayam Anadolu Lisesi, 2002-2006.
Lisans
: Ahi Evran Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi,
Matematik Bölümü, 2006-2010.
Yüksek Lisans : Ahi Evran Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü,
Matematik Anabilim Dalı, 2010-. . .
55