Meijer`in G fonksiyonu ve istatistik teorisinde kullanımı

Meijer`in G fonksiyonu ve istatistik teorisinde kullanımı

www.istatistikciler.org
statistikçiler Dergisi 2 (2009) 59-69
statistikçiler
Dergisi
Meijer’in G fonksiyonu ve istatistik teorisinde kullan m
Funda Erdugan
Sevgi Yurt Öncel
Çukurova Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi,
statistik Bölümü,01330 Yüre ir-Adana, Türkiye
[email protected]
K)r)kkale Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi,
statistik Bölümü,71450 Yah.ihan-K)r)kkale, Türkiye
[email protected]
Özet
Bu çal mada, Matematik, "statistik, Fizik ve ili kili di$er bilim dallar nda geni bir uygulama alan na sahip
olan Meijer’in G fonksiyonu incelenmi tir. G fonksiyonunun baz temel özellikleri tan t lm ve türevleri ile
ilgili baz özellikleri verilmi tir. Ayr ca s k kullan lan baz temel fonksiyonlar, G fonksiyonu olarak ifade
edilmi ve örnekler verilmi tir. Son olarak ise sürekli rastgele de$i kenlerin çarp m n n da$ l m n n elde
edilmesinde Meijer’in G fonksiyonunun kullan m ve çe itli uygulamalar verilmi tir.
Anahtar sözcükler: Meijer’in G fonksiyonu; Mellin dönü.ümü; Rastgele de i.kenlerin dönü.ümünün da )l)m).
Abstract
The Meijer’s generalized function
In this study Meijer’s G function investigated which is application area in Mathematics, Statistics, Physics
and connected other science branches. Some basic properties of G function have been defined and then its
derivative properties have been given. Besides some frequently appearing elementary functions are expressed
in terms of the G function and then are illustrated. Lastly, it was mentioned from Meijer’s G function
technique for obtain for the distribution of continuous random variables multiplied and gave some
applications.
Keywords: Meijer’s G function; Mellin transformation; Distribution of random variables transformation.
1. Giri
Bu çal mada C.S. Meijer taraf ndan ileri sürülen ve genelle tirilmi bir fonksiyon olan G fonksiyonu
tan t lacak ve istatistiksel uygulamalar na de$inilecektir. Meijer’in G fonksiyonunun özel durumlar n n
farkl disiplinlerdeki pek çok bilimsel çal mada kullan ld $ görülmektedir. Özellikle integral hesab n
kolayla t rd $ ndan, istatistik ve fizik problemlerinde Meijer’in G fonksiyonuna büyük önem
verilmektedir.
"statistik teorisinde, rastgele de$i kenlerin bir dönü ümünün da$ l m n belirleyebilmek önemli bir
problemdir. Springer (1979), rastgele de$i kenlerin çarp mlar n n da$ l mlar n n Laplace ve Mellin
dönü ümü yard m yla bulunmas n ifade etmi tir. Rastgele de$i kenlerin bir fonksiyonunun da$ l m n n
bulunmas hakk nda yap lan benzer çal malar Springer (1966, 1970), Glen ve ark. (2004), Salo ve ark.
(2006), Nadarajah and Kotz (2006), Beutner and Kamps (2008), Nadarajah ve Gupta (2008), Glickman ve
Xu (2008), Nadarajah, (2008) taraf ndan yap lm t r. Bu problemin çözümünde kullan lan klasik
tekniklerden biri de olas l k yo$unluk fonksiyonu tekni$idir. <amilov ve arkada lar (2006), olas l k
yo$unluk fonksiyonu tekni$inde kar la lan yeni ek rastgele de$i kenler tan mlama, rastgele de$i kenler
F. Erdugan, S. Y. Öncel / statistikçiler Dergisi 2 (2009) 59-69
60
aras nda birebir dönü üm yapma ve Jakobiyen hesaplama zorluklar ndan kurtulabilmek için Heaviside ve
Dirac genelle tirilmi fonksiyonunu kullanm lard r. Bu çal mada ise rastgele de$i kenlerin çarp m n n
olas l k yo$unluk fonksiyonu, Mellin dönü ümü ve ters Mellin dönü ümünden yararlanarak Meijer’in G
fonksiyonu biçiminde elde edilmi tir.
2. Meijer’in G fonksiyonunun tan#t#m#
1,
i=
z 0 ve L ,
’de kapal uygun bir e$ri olmak üzere
m
G pm,,qn z
a1,…, a p
b1,…, bq
=
1
2 iL
(b
j =1
q
(1
j = m +1
j
+ s)
bj
n
(1
j =1
s)
p
j = n +1
s)
aj
(a
j
+ s)
(1)
z s ds
eklinde tan mlanan fonksiyona Meijer’in G fonksiyonu veya k saca G fonksiyonu denir ve
G pm,,qn z
a1,…, a p
b1,…, bq
G pm,,qn z
ap
G pm,,qn ( z ) G ( z )
bq
(2)
ifadelerinden birisi ile gösterilir. Burada,
•
(.) , ( z) = t z 1e t dt biçiminde tan mlanan Gamma fonksiyonu,
0
•
0 m q, 0 n
•
a1, , a p ve b1, , bq parametreleri
p,
(b
j
+ s ) ’nin kutup noktalar olmayan ancak
(1
ak
s ) ’n n
kutup noktalar olabilen kompleks say lar,
•
b j v 1 ak + , j = 1,2, , m ; k = 1,2, , n; v,
= 0,1,
d r.
2.1. Meijer’in G fonksiyonu için varl)k ko.ullar)
G fonksiyonu, ya j = 1,2, , m için
(b
j
+ s ) ’in kutup noktalar ya da k = 1,2, , n için
(1
ak
s ) ’in
kutup noktalar yard m yla hesaplanmaktad r. Bu nedenle, G fonksiyonu için varl k ko ullar a a$ daki
gibidir.
i) q 1 , q > p : z 0 olan tüm z ’ler için G ( z ) mevcuttur,
ii) q 1 , q = p : z <1 için G ( z ) mevcuttur,
iii) p 1 , p > q : z 0 olan tüm z ’ler için G ( z ) mevcuttur,
iv) p 1 , q = p : z >1 için G ( z ) mevcuttur.
F. Erdugan, S. Y. Öncel / statistikçiler Dergisi 2 (2009) 59-69
(b
(i) ve (ii) durumlar nda G ( z ) , j = 1,2, , m için
(1
(iii) ile (iv) durumlar nda ise G ( z ) ,
toplam ndan elde edilir. [3, 7]
j
61
+ s ) ’in kutup noktalar ndaki rezidüleri toplam ndan ve
s ) , k = 1,2, , n ’in kutup noktalar ndaki rezidüleri
ak
2.2 Meijer’in G fonksiyonunun baz) temel özellikleri
Bu kesimde G fonksiyonuna ve türevine ait temel özellikler a a$ da maddeler halinde verilecek ve bu
özelliklerin baz lar n n kullan m 4. bölümde örneklerle aç klanmaya çal lacakt r.
1.
z G pm,,qn z
a1,…, a p
b1,…, bq
a1,…, a p
= G pm,,qn z
= Gqn,, pm
a1 + ,…, a p +
d r.
b1 + ,…, bq +
1 1 b1,…,1 bq
1
= arg ( z ) d r.
, arg
z 1 a1,…,1 a p
z
2.
G pm,,qn z
3.
1 n
4.
(1
a1 + b1 ) G pm,,qn z
5.
zk
a1,…, a p
dk
G pm,,qn z
k
b1,…, bq
dz
6.
z
a1,…, a p
a1 1,…, a p
ap
d m, n
= G pm,,qn az
+ ( a1 1) G pm,,qn az
, n 1 d r.
G p ,q az
b1,…, bq
b1,…, bq
bq
dz
7.
ap
d k -b1 m, n
z G p ,q az
k
bq
dz
8.
d k a1 1 m, n a a p
z Gp,q
z bq
dz k
b1,…, bq
p 1 için ( a p
a1,…, a p
a1 ) G pm,,qn z
a1,…, a p
b1,…, bq
= G pm,,qn z
a1 1, a2 ,…, a p
b1,…, bq
= G pm+, n1,+q1+1 z
= ( 1) z
k
k b1
= ( 1) z a1
k
= G pm,,qn z
b1,…, bq
k 1
+ G pm,,qn z
0, a1,…, a p
b1,…, bq , k
G pm,,qn az
G pm,,qn
a1 1, a2 ,…, a p
b1,…, bq
a1,…, a p
b1 + 1, b2 ,…, bq
+ G pm,,qn z
, m, n 1
a1,…, a p 1, a p 1
b1,…, bq
d r.
d r.
d r.
ap
b1 + k , b2 ,…, bq
, m 1, k = 1,2,
a a1 k , a2 ,…, a p
z b1,…, bq
n 1, k = 1,2,
d r.
d r [4, 7].
2.3 Meijer’in G fonksiyonunun Mellin dönü.ümü
f ( z) =
x =0
x z 1 f ( x ) dx ifadesi f ( x ) fonksiyonunun Mellin dönü ümü ve f ( x ) =
ise f ( p ) fonksiyonunun ters Mellin dönü ümüdür.
c+i
1
2 i z =c
x z f ( z ) dz ifadesi
i
f ( x) x z 1dx integrali z > 0 için s n rl ise f ( z )
0
dönü ümü vard r. c > z için ise f ( x ) fonksiyonunun tersi al nabilir. (1) ile tan mlanan G fonksiyonuna
ters Mellin dönü ümü uygulan rsa
x s 1G pm,,qn x
0
a1,…, a p
b1,…, bq
dx = g ( s )
(3)
F. Erdugan, S. Y. Öncel / statistikçiler Dergisi 2 (2009) 59-69
elde edilir. (1) denkleminin sol taraf nda yer alan G fonksiyonunda ki z de$i kenine
uyguland $ nda
s
g ( s ) = x s 1G pm,,qn
x
0
a1,…, a p
b1,…, bq
62
z
dönü ümü
(4)
dx
elde edilir ve 2. özellikten
s
1 1 b1,…,1 bq
dx
x 1 a1,…,1 a p
g ( s ) = x s 1Gqn,, pm
0
1
=y
x
bulunur. (5) e itli$inde
s
g (s) = y
(5)
de$i ken de$i tirmesi yap l rsa
y 1 b1,…,1 bq
dy
1 a1,…,1 a p
s 1
Gqn,, pm
0
(6)
elde edilir. (4), (5) ve (6) denklemlerinde genel olarak p q e itsizli$ini göz önüne alabiliriz. E$er p q
olursa (6) denkleminin yerine (4) denklemi kullan labilir.
3. Uygulamalar
3.1 Keyfi olarak seçilmi. parametrelerle Meijer’in G fonksiyonunun de erlendirilmesi
Meijer’in G fonksiyonunun parametreleri keyfi (özel) olarak seçilince son derece basit fonksiyonlara e it
oldu$u görülebilir. Bunlardan baz lar
•
1,0
G0,1
( z a ) = z ae z , z
0
a 1
a (1 z )
z =
,
0
( a)
•
G
•
1,0
G1,1
z
1,0
1,1
22 a 1,2
G
(2a) 2,2
•
•
•
•
+ +1
a
/
( )
1,1
G1,1
az
z2
=
z (1 z )
,
( + 1)
1 a,
0,
z <1
1
2
1
2
+ /
1
/
a
z <1
= (1 + z )
=
1,2
±z
G2,2
1,1
= ln (1 ± z ),
1,0
1,2
zG2,2
1
,0
1+ z
z2 2
= ln
,
1
1 z
0,
2
2a
z
(1 + az )
z <1
z <1
+ (1 z )
2a
,
, az < 1
z <1
F. Erdugan, S. Y. Öncel / statistikçiler Dergisi 2 (2009) 59-69
63
eklindedir. Bu örnekler kolayl kla ço$alt labilir.
3.2 Mathematica program)nda Meijer’in G fonksiyonu
G fonksiyonu ile i lemler çe itli bilgisayar paket programlar na da yap labilmektedir. Örne$in
parametreleri belirlenmi bir G fonksiyonu, Mathematica (v.5) paket program nda
2ekil 1. Mathematica (v.5) paket program nda Meijer’in G fonksiyonu
1,0
<ekil 1’deki biçiminde tan mlanmaktad r. Örnek olarak G0,1
z
1,2
G2,2
z
b
1,0
, G0,1
z
0
1,0
, G0,1
3
b
1,2
, G2,2
z
1/ 3, 1
2 + 3i,1
2 + 3i,1
1,2
1,2
, G2,2
, G2,2
z
fonksiyonlar n n ifadesi s ras yla
1
1,0
1,0
0,1/ 3
2ekil 2. Mathematica (v.5) paket program nda istenen fonksiyonlar n ç kt s
1,1
,
1,0
F. Erdugan, S. Y. Öncel / statistikçiler Dergisi 2 (2009) 59-69
64
biçiminde Mathematica (v.5.) den hesaplanabilir. Yukar daki örneklerde parametre de$erlerindeki küçük
bir de$i ikli$in sonuçlardaki büyük etkisini gösterebilmek için m, n, p, q de$erleri ayn kalm t r.
3.3 Meijer’in G Fonksiyonunu kullanarak sürekli rastgele de i.kenlerin çarp)mlar)n)n da )l)m)n)n elde
edilmesi
"statistik teorisinde, rastgele de$i kenlerin bir dönü ümünün da$ l m n belirleyebilmek önemli bir
problemdir. Bu problemin çözümü için iyi bilinen tekniklerden birisi de olas l k yo$unluk fonksiyonu
tekni$idir. Rohatgi (1976, syf. 141), X ve Y sürekli rastgele de$i kenlerinin ortak olas l k yo$unluk
fonksiyonu f X ,Y ( x, y ) olmak üzere V = X .Y ’nin olas l k yo$unluk fonksiyonunun fV ( v ) =
f X ,Y x,
v 1
dx
x x
olarak elde edilebilece$ini ortaya koymu tur. Daha sonra bu teknik ikiden fazla rastgele de$i kenin bir
fonksiyonunun (dönü ümünün) da$ l m n n bulunmas için geli tirilmi tir. Ancak bu tekni$in
uygulanmas nda yeni ek rastgele de$i kenler tan mlama, rastgele de$i kenler aras nda birebir dönü üm
yapma ve Jakobiyen hesaplama zorluklar mevcuttur.
Özellikle rastgele de$i kenlerin çarp mlar n n veya birbirlerine oranlar n n da$ l m n n elde edilmesinde
Mellin dönü ümü büyük kolayl k sa$lam t r ve yeni rastgele de$i kenin olas l k fonksiyonu Meijer’ n G
fonksiyonu olarak kar m za ç kmaktad r.
f j ( x j ) olas l k yo$unluk fonksiyonuna sahip rastgele
X 1, X 2 ,…, X k birbirinden ba$ ms z ve her biri
de$i kenler olmak üzere Y =
k
j =1
X j dönü ümüyle verilen Y rastgele de$i keninin olas l k yo$unluk
fonksiyonunu elde edebilmek için izlenecek ad mlar öyledir:
1. X j ’nin ( s 1) inci momenti E ( X sj
1
)=
0
x sj 1 f j ( x j ) dx j elde edilir. Burada E ( X sj
1
) , f j ( x j ) ’nin Mellin
dönü ümüne kar l k gelir.
( ) 'ler kullan larak ve X , X
E (Y ) =
E ( X ) elde edilir.
2. 1. Ad mda elde edilen
E X sj
ba$ ms zl $ ndan yararlan larak
1
1
k
s 1
1
) ’nin
,…, X k
rastgele de$i kenlerinin
s 1
j =1
3. E (Y s
2
j
ters Mellin dönü ümü al narak Y rastgele de$i keninin olas l k yo$unluk fonksiyonu
fY ( y ) bulunur.
4. Elde edilen fY ( y ) fonksiyonu, Meijer’in G fonksiyonu cinsinden ifade edilir.
Örnek 3.3.1 X 1, X 2 ,…, X k Beta da$ l m na sahip ba$ ms z rastgele de$i kenler olmak üzere X j ’in olas l k
yo$unluk fonksiyonu,
f j ( xj )
!
""
=#
"
"$0
olmak üzere. Y =
( + )x
( ) ( )
j
j
j
j
j
j
1
(1
xj )
j
1
, 0 < x j < 1,
j
> 0,
j
> 0, j = 1, , k
, d . y.
k
i =1
X i rastgele de$i keninin olas l k yo$unluk fonksiyonu nedir?
F. Erdugan, S. Y. Öncel / statistikçiler Dergisi 2 (2009) 59-69
65
Çözüm: Bu durumda X sj 1 ’in beklenen de$eri f j ( x j ) ’nin Mellin dönü ümü olmak üzere
1
E ( X sj 1 ) = x j s 1 f j ( x j ) dx j
=
(
)
( ) ( )
+
j
j
j
(
j
1
xj
j
+s 2
0
)& (
( ) ( ) (
=
j
+
j
j
(
)x 1
(
( ) ( )
x sj 1
0
0
=
1
j
j
+
j
j
j
j
(1
xj )
+ s 1)
j +s+
j
j
xj )
j
1
dx j
1
dx j
( )
1)
, R(
j
j
1
j
j
+ s 1) > 0 , j = 1, , k
biçiminde elde edilir. X 1, X 2 ,…, X k ’nin istatistiksel olarak ba$ ms zl $ n kullanarak
E (Y s 1 ) = E ( X 1s 1 ) & E ( X 2s 1 ) E ( X ks 1 ) = C
(
k
yaz labilir. Burada C =
j
+
( )
j =1
j
)
dir. E (Y s
k
(
j =1
1
(
j
j
+
) ’nin
+ s 1)
j
+ s 1)
ters Mellin dönü ümü al narak Y rastgele
j
de$i keninin olas l k yo$unluk fonksiyonu
fY ( y ) =
c +i
C
2 ic
k
(
j =1
i
(
j
j +
+ s 1)
j + s 1)
y s ds , 0 < y < 1
olarak elde edilir. fY ( y ) fonksiyonu ise Meijer’in G fonksiyonu yard m yla
fY ( y ) = CGkk,,0k y
j
j
+
j
1, j = 1,…, k
, 0 < y <1
1, j = 1,…, k
olarak yaz labilir. [7]
Örne$in, k = 2 için X 1 ve X 2 s ras yla ( 1 , 1 ) ve ( 2 , 2 ) parametrelerine sahip Beta da$ l m na sahip
ba$ ms z rastgele de$i kenler olsun. Y = X 1 & X 2 dönü ümü yap ld $ nda Y rastgele de$i keninin olas l k
yo$unluk fonksiyonu
fY ( y ) =
(
1
) ( 2 + 2 ) G 2,0
2,2
( 1) ( 2 )
+
1
y
1
1
+
1
1,
1,
2
2
1
+
2
1
, 0 < y < 1 için
olarak elde edilir ve keyfi olarak seçilen parametre de$erleri için Mathematica paket program nda çizilen
grafikler <ekil 3’de verilmi tir.
F. Erdugan, S. Y. Öncel / statistikçiler Dergisi 2 (2009) 59-69
fY ( y )
66
fY ( y )
0.035
0.15
0.03
0.125
0.025
0.1
0.02
0.075
0.015
0.05
0.01
0.025
0.005
(
0.2
1
= 5,
1
0.4
= 1)
0.6
ve (
2
= 4,
0.8
2
= 2 ) için
1
(
0.2
1
= 5,
1
= 1)
0.4
ve (
0.6
2
0.8
= 4,
2
= 1) için
1
2ekil 3. Y rastgele de$i keninin olas l k yo$unluk fonksiyonunun grafi$i
3.4 Bir astrofizik probleminin istatistiksel yöntemlerle çözümünde Meijer’in
kullan)m)
G
fonksiyonunun
Y ld zlar ve kozmoloji nükleer bile imi alanlar ndaki ara t rmalar n en önemli amaçlar ndan birisi,
termonükleer reaksiyon oranlar n bulmakt r. Füzyon plazmalar n n tüm uygulamalar pratik olarak
termonükleer reaksiyon oranlar n n özel durumlar ndaki teorileri ile kontrol edilir. t
n'
e at e
zt
n
m
dt integrali,
0
oran teorisi, nükleer enerji üretme, nötron problemi ve astrofizi$in di$er dallar nda kullan lan temel
integrallerden birisidir. Bu integralin sonucunun elde edilmesinde kullan lan istatistiksel yöntemler ve
sonucun G fonksiyonu ile nas l ifade edildi$i a a$ daki örnekle verilecektir.
Örnek 3.4.1
t
n'
e at e
zt
n
m
dt = ?
0
n
Çözüm: X 1 ve X 2 rastgele de$i kenleri birbirinden ba$ ms z ve s ras yla f1 ( t ) = c1t1 n' e t ve f 2 ( t ) = c2e t m
( c1 ve c2 sabit olmak üzere ) olas l k yo$unluk fonksiyonlar na sahip rastgele de$i kenler olsun. Önce
Y = X 1 & X 2 dönü ümü ile verilen Y rastgele de$i keninin olas l k yo$unluk fonksiyonunu bulabilmek için
Y = X 1 & X 2 ve U = X 1 olarak seçilerek Rohatgi (1976, syf. 141)’nin verdi$i
f ( y ) = f1 ( u ) f 2
0
y
u 1du
u
(7)
m
(7) e itli$inde u = at ve y = az n biçiminde de$i ken de$i tirmesi yap l rsa
n
m m
f ( y ) = c1c2 ( at )
0
1
1 n'
( at )
e at e
zn
t
dt = c1c2 a1
n'
t
n'
e at e
zt
n
m
dt
(8)
0
elde edilir. Ayr ca kesim 4.4’de verilen teknik kullan larak Y ’nin olas l k yo$unluk fonksiyonu
elde edebilmek için f1 ( t ) ve f 2 ( t ) ’nin s ras yla Mellin dönü ümleri al n rsa
f ( y ) ’yi
F. Erdugan, S. Y. Öncel / statistikçiler Dergisi 2 (2009) 59-69
(
g1 ( s ) = E X 1s
1
g 2 ( s ) = E ( X 2s
)=
1
t s 1 f1 ( t ) dt = c1 t1
0
)=
67
e t dt =c1 (1 n' + s ) , R (1 n' + s ) > 0
n' + s 1
0
t s 1 f 2 ( t ) dt = c2 t s 1e
0
n
tm
dt =c2
0
m
n
ms
,
n
R(s) > 0
elde edilir. X1 ve X 2 rastgele de$i kenlerinin birbirinden ba$ ms zl $ kullan larak
(
E Ys
1
) = E ( X ) & E ( X ) = c (1
s 1
1
s 1
2
n' + s ) c2
1
m
n
ms
n
e itli$i üzerinden ters Mellin dönü ümü al nd $ nda
f ( y) =
c +i
1
2 ic
m
n
c1c2
i
ms
n
m
(1
n' + s ) az n
s
(9)
ds
elde edilir. Y ’nin olas l k yo$unluk fonksiyonu f ( y ) , olas l k yo$unluk fonksiyonu tekni$i ile (8), Mellin
dönü ümü tekni$i ile (9) biçiminde elde edilmi tir. (8) ve(9) denklemlerinin birbirine e itli$i kullan l r ve
gerekli sadele tirmeler yap ld $ nda
a
n ' +1
t
n'
e at e
n
m
zt
dt =
0
c +i
1
2 ic
m
n
i
s
=k
n
elde edilir.(10) e itli$inin sa$ taraf nda
a
n ' +1
t
n'
e at e
'
n
m
zt
dt =
0
ms
n
1 c +i
m
2 i c' i
(1
s
m
n' + s ) az n
ds
(10)
dk
(11)
dönü ümü yap l rsa
( mk ) (1
n' + nk ) ( a n z m )
nk
elde edilir.(11) e itli$inin sa$ taraf nda yer alan Gamma fonksiyonlar n n çoklu çarp m formülleri
1 m
2
( mk ) = ( 2 )
= (2
(1
1 m
2
)
m
m
1
2
mk
mk
(k )
1
2
(k )
1 n
n' + nk ) = ( 2
)2
= (2
)2
1 n
k+
m 1
j =1
1 n ' + nk
n
1 n ' + ns
n
1
m
k+
1
2
k+
j
,
m
k+
1 n
2
j =1
n ' +1
t
0
n'
e at e
zt
n
m
dt =
1 n'
n
s+
olmak üzere (11) e itli$inde yerine yaz l rsa
a
m 1
m
j n'
n
k+
2 n'
n
k+
n n'
n
F. Erdugan, S. Y. Öncel / statistikçiler Dergisi 2 (2009) 59-69
=
c' + i
1
2 i c'
1
=
1
m2n2
m(2
)
1 m
2
1
1
ms
1
2
(s)
i
n'
(2 )
2 m n '
c +i
2
2 i
= m2n2
m
n'
(2 )
(s)
c' i
2 m n
2
G0,mm+ n+,0n
m 1
j =1
m 1
j =1
s+
s+
j
(2
m
j
m
n
j =1
1 n
)2
1 n ' + ns
n
s+
1 n
2
j =1
j n'
n
s+
j n'
n
( m mn na n z m )
s
(an z m )
68
s
ds
ds
z man
n n'
1
m 1 1 n'
m m nn 0, ,…,
,
,…,
m
m
n
n
biçiminde aranan integralin de$eri G fonksiyonuna ba$l olarak elde edilir. [7, 8]
4. Sonuç ve öneriler
Meijer’in G fonksiyonu Matemati$in çe itli alanlar nda kullan ld $ gibi özel durumlar "statistik,
Ekonometri, Fizik ve ili kili di$er alanlarda da görülmektedir. Al nmas zor integrallerin say sal
hesaplamalar G fonksiyonu ile yap labilmektedir. Ayr ca çe itli matematiksel yaz l m programlar ndan
da faydalan larak keyfi parametre de$erleri için kompleks integralin de$eri bilinen fonksiyonlar cinsinden
de ifade edilebilmektedir. "statistik teorisinde önemli bir problem olan rastgele de$i kenlerin bir
fonksiyonunun da$ l m n n elde edilmesi probleminde olas l k yo$unluk fonksiyonu ve da$ l m
fonksiyonu tekniklerine alternatif olarak, sürekli da$ l mlar için Meijer’in G fonksiyonu ve Mellin
dönü ümünden yararlan lmaktad r. Dolay s yla bu yöntemde yeni ek rastgele de$i kenler tan mlama,
rastgele de$i kenler aras nda birebir dönü üm yapma ve Jakobiyen hesaplama i lemlerini yapmaya gerek
yoktur. Ayr ca Fizikte, rezonans, biten rezonans, termonükleer reaksiyon oran için baz integrallerin
hesaplanabilmesi için de istatistiksel teknikler kullan larak Meijer’in G fonksiyonu cinsinden sonuçlar
elde edilebilmektedir.
"statistikte kullan m alan oldukça geni olan s ra istatistikleri, rekor de$erler ve bu rastgele de$i kenlerin
en genel hali olan genelle tirilmi s ra istatistiklerinin önemi büyüktür. Meijer’in G fonksiyonu
yard m yla sürekli da$ l mlar n olas l k yo$unluk fonksiyonlar , da$ l m fonksiyonlar ve bunlardan
yararlanarak momentleri ifade edilebilmektedir. Literatürde mevcut olan baz karakterizasyon
problemlerinin çözümleri Meijer’ n G fonksiyonu kullan larak incelenebilir.
Kaynaklar
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
M. Abramowitz, I. A. Stegun, (1970), Handbook Of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, And
Mathematical Tables, National Bureau Of Standards Applied Math. Series 55, 10th Printing.
E. Beutner, U. Kamps , (2008), Models Of Ordered Data And Products Of Beta Random Variables,
Advances In Mathematical And Statistical Modeling, 101-106, Chapter 8, Birkhäuser Boston, Edit By Bc
Arnold, N Balakrishnan, Jm Sarabia, R.
F. Erdugan, (2007), Meijer’in Genelle.tirilmi. Fonksiyonu Ve statistikte Kullan)m), Yüksek Lisans Tezi,
K r kkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal , K r kkale (Yay nlanmam Yüksek
Lisans Tezi).
E. E. Fitchard, V. Franco, (1980), Differential Properties Of Meijer’s G-Function, J.Phys. A.Math.Gen., 13,
2331–2340.
A. G. Glen, L. M. Lemis, J. H. Drew, (2004), Computing The Distribution Of The Product Of Two
Continuous Random Variables, Computational Statistics And Data Analysis, 44, 3, 451-464.
T. S. Glickman, F. Xu, (2008), The Distribution Of The Product Of Two Triangular Random Variables,
Statistics And Probability Letters, 78, 16, 2821-2826.
A. M. Mathai, (1993), A Handbook Of Generalized Special Functions For Statistical And Physical Sciences,
Clarendon Press, Oxford.
A. M. Mathai, H. J. Haubold, (2002), Review Of Mathematical Techniques Applicable In Astrophysical
Reaction Rate Theory, Astrophysics And Space Science, 282, 265-280.
F. Erdugan, S. Y. Öncel / statistikçiler Dergisi 2 (2009) 59-69
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
69
S. Nadarajah, S. Kotz, (2006), Comments On “On The Distribution Of The Product Of Independent
Rayleigh Random Variables”, Ieee Transactions On Antennas And Propagation, 54, 11, 3570-3571.
S. Nadarajah, A. K. Gupta, (2008), A Product Pareto Distribution, Metrika, 68, 2, 199-208.
S. Nadarajah, (2008), Exact Distribution Of The Linear Combination Of P Gumbel Random Variables,
International Journal Of Computer Mathematics, 85, 9, 1355–1362.
V. K. Rohatgi, (1976), An Introduction To Probability Theory Mathematical Statistics, Wiley, New York.
J. Salo, H. M. El-Sallabi, P. Vainikainen, (2006), The Distribution Of The Product Of Independent Rayleigh
Random Variables, Ieee Transact ons On Antennas And Propagat on, 54, 2, 639-643.
M. D. Springer, W. E. Thompson, (1966), The Distribution Of Products Of ndependent Random Variables.
Siam Journal On Applied Mathematics 14, 3, 511–526.
M. D. Springer, W. E. Thompson, (1970), The Distribution Of Products Of Beta, Gamma And Gaussian
Random Variables, Siam Journal On Applied Mathematics, 18, 4, 721–73.
M. D. Springer, (1979), The Algebra Of Random Variables, Wiley, New York.
A. <amilov, E. A$ao$lu, Y. M. Kantar, (2006), Dirac Ve Heaviside Genelle.tirilmi. Fonksiyonlar)n)
Kullanarak Rastgele De i.kenlerin Da )l)mlar)n)n Elde Edilmesi, "statistik Günleri Sempozyumu, Antalya,
123-128.