6.Konu Bir matrisin tersi ve Gramer Kuralı 6.1. Bir matrisin tersi 1

6.Konu Bir matrisin tersi ve Gramer Kuralı 6.1. Bir matrisin tersi 1

6.Konu
Bir matrisin tersi ve Gramer Kuralı
6.1. Bir matrisin tersi
] bir nxn tipinde matris olsun. O zaman
[
1. Teorem:
İspat: A’nın i-inci satırı ile k-inci satırının yerini değiştirmesiyle A’dan elde edilen B
matrisini göz önüne alalım. Bu durumda B iki özdeş satıra (i-nci ve k-inci satırlar)
sahip bir matristir böylece det(B)=0 olur. Şimdi det(B)’nın k-inci satır boyunc
açılımını yapalım. B’nin k-inci satırının elemanları
kofaktörleri ise
olur. Böylece
göstermek istediğimiz şeydir.
İkinci formül de benzer şekilde ispatlanabilir.
1.Ö.:
[
] olsun. O zaman
|
|
|
|
|
|
olur. Şimdi
1.Tanım:
A’nın ek matrisi(adjointi)
[ ] bir nxn tipinde matris olsun.
diye adlandırılan nxn tipindeki ek A matrisinin (i,j) elemanı, ’nin
kofaktörüdür.
Böylece
[
] olur.
2.Ö.:
[
] olsun. ek A’yı hesaplayalım.
|
|
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[
|
|
[
2. Teorem: Eğer
|
]
] bir nxn tipinde matris ise o zaman
olur.
İspat:
[
][
]
A(ekA) çarpım matrisindeki (i,j) –inci eleman
{
olur. Bu
[
]
sonucunu ifade eder. A(ekA) çarpım matrisindeki (i,j) –inci eleman
{
olur. Böylece
3.Ö.:
[
olur.
] olsun.
[
[
Sonuç: Eğer
][
[
]
]
[
] bir nxn tipinde matris ve
2
]
[
ise, o zaman
]
[
]
biçimindedir.
İspat:
(
)
4.Ö.:
3-4.örneklerdeki A matrisi için
[
]
Gramer Kuralı
3.Teorem:
n bilinmeyenli n denklemli bir sistem ve
[ ] katsayılar matrisi olsun böylece
verilen sistemi
biçiminde yazabiliriz. Burada
[
Eğer
]
[
].
ise sistemin
şekilinde bir tek çözümü vardır. Burada
, A’nın i-inci sütununun b ile yer
değişmesiyle elde edilen matristir.
İspat:
Eğer
ise A singüler değildir. Böylece
3
[
]
[
[
]
]
olur.
Bu i=1,2,…,n için
anlamını taşır.
Şimdi
[
]
olsun. Eğer i-inci sütunun kofaktörleri boyunca açılımı ile
’yi hesaplarsak
olduğunu biliyoruz. Sonuç olarak
için
olur.
5.Ö:
sistemin çözümünü Gramer Kuralı ile çözünüz.
| |
|
|
|
elde ederiz. Bu durumda
|
|
|
|
|
olur.
4
1.
2.
ise, o zaman
ise, o zaman
3.
. kA’ yı bulu uz .
A ’ yı bulunuz. iii. matrisin tersini bulunuz.
] olsun.
[
. kA’ yı bulu uz .
5.
z.
] olsun.
[
4.
6.Ödevler:
ol uğu u gös r
‘yı bulu uz.
ise
A ’ yı bulu uz.
[
. ma r s
] matrisin tersini
kullanarak bulunuz.
6.
[ ] bir nxn tipinde matris olsun. O zaman
ol uğu u gös r
7.
z.
sistemin çözümünü Gramer Kuralı ile çözünüz.
1.
sistemin çözümünü Gramer Kuralı ile çözünüz.
.
sistemin çözümünü Gramer Kuralı ile çözünüz.
10.
sistemin çözümünü Gramer Kuralı ile çözünüz.
5
rs
bulu uz.
formülü