Üç boyutlu öklidyen ve minkowski uzayında yüzeyler

V.ÇİÇEK,2015
T.C.
NİĞDE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA
NİĞDE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
YÜZEYLER
VEYSİ ÇİÇEK
Şubat 2015
T.C.
NİĞDE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA
YÜZEYLER
VEYSİ ÇİÇEK
Yüksek Lisans Tezi
Danışman
Doç. Dr. Atakan Tuğkan YAKUT
Şubat 2015
Vcysi ÇİÇEK tarafından Doç. Dr. Atakan Tuğkan YAKUT danışmanlığında
hazırlanan “Üç Boyutlu Öklidyen ve Minkowski Uzayında Yüzeyler” adlı bu çalışma
jürimiz tarafından Niğde Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Ana Bilim
Dalımda Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Başkan
: Doç. Dr. Durmuş DAĞHAN
(Niğde Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü)
Üye
: Yrd. Doç. Dr. Murat SAVAŞ
(Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü)
Üye
: Doç. Dr. Atakan Tuğkan YAKUT
(Niğde Üniversitesi Fen-Edebiya Fakültesi Matematik Bölümü)
ONAY:
Bu tez, Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulunca belirlenmiş olan yukarıdaki jüri
üyeleri tarafından ..../..... 120.... tarihinde uygun görülmüş ve Enstitü Yönetim
Kurulu’n u n __/ __/20_tarih v e ................................ sayılı kararıyla kabul edilmiştir.
./..... / 2 0 ...
Doç. Dr. Murat BARUT
MÜDÜR
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin bilimsel ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek
sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana
ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
Veysi ÇİÇEK
ÖZET
ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA
YÜZEYLER
ÇİÇEK, Veysi
Niğde Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Ana Bilim Dalı
Danışman:
Doç. Dr. Atakan Tuğkan YAKUT
Şubat 2015, 77sayfa
Bu çalışmada üç ve dört boyutlu Öklid ve Minkowski uzayında Frenet çatıları ile üç
boyutlu uzayda yüzeyler incelendi. Birinci bölümde kısa bir literatür özeti verildi. İkinci
bölümde konuyla ilgili temel kavramlar verildi. Üçüncü bölümde ise üç ve dört boyutlu
Öklid ve Minkowski uzayında Frenet çatıları irdelendi. Dördüncü bölümde de üç
boyutlu Minkowski uzayında minimal ve öteleme yüzeyleri incelendi. Beşinci bölümde
ise sonuçlar verildi.
Anahtar Sözcükler: Frenet çatısı, Minkowski uzayı, Minimal yüzey, Öteleme yüzeyi.
iv
SUMMARY
SURFACES IN THREE DIMENSIONAL EUCLIDEAN AND MINKOWSKI
SPACES
ÇİÇEK, Veysi
Nigde University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Matematics
Advisor:
Assoc. Prof. Dr. Atakan Tuğkan YAKUT
February 2015, 77 pages
In this study, we examined Frenet frames in 3 and 4 dimensional Euclidean and
Minkowskian spaces and surfaces in 3 dimensional space. In the first chapter, we give
literature summary. In the second chapter we give some basic concepts. In the third
chapter, the Frenet frames is given in 3 and 4 dimensional Euclidean and Minkowskian
spaces. In the fourth chapter, we discussed minimal and translation surfaces in
Minkowskian 3-spaces. In the last chapter, we give conclusions.
Keywords: Frenet frames, Minkowski space, Minimal surface, Translation surface.
v
ÖN SÖZ
Yüksek lisans tez çalışmamın yürütülmesi esnasında, çalışmalarıma yön veren, bilgi ve
yardımlarını esirgemeyen ve bana her türlü desteği sağlayan danışman hocam, Sayın
Doç.Dr. Atakan Tuğkan YAKUT' a en içten teşekkürlerimi sunarım. Yüksek lisans tez
çalışmam esnasında tecrübelerine başvurduğum Doç. Dr. Serkan KADER, Doç.Dr.
Durmuş DAĞHAN, Doç.Dr. Adnan TUNA ve Matematik Bölümü Öğretim Üyelerine
müteşekkir olduğumu ifade etmek isterim. Bu tezin hazırlanması esnasında sık sık
yardımlarına başvurduğum kıymetli arkadaşlarıma minnet ve şükran duygularımı
belirtmek isterim.
Bu tezi, sadece bu çalışmam boyunca değil, tüm öğrenim hayatım boyunca maddi ve
manevi desteğini esirgemeyen aileme ithaf ediyorum.
vi
İÇİNDEKİLER
ÖZET ...............................................................................................................................iv
SUMMARY......................................................................................................................v
ÖN SÖZ ..........................................................................................................................vi
İÇİNDEKİLER DİZİNİ..................................................................................................vii
ŞEKİLLER DİZİNİ .......................................................................................................viii
SİMGE VE KISALTMALAR .........................................................................................xi
BÖLÜM I GİRİŞ .............................................................................................................1
BÖLÜM II TEMEL KAVRAMLAR ...............................................................................5
BÖLÜM III ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA FRENET
ÇATISI…………………………………………………………………………………10
3.1 Üç Boyutlu Öklid Durumu ………………………………………………………...10
3.2 Üç Boyutlu Minkowski Durumu ..............................................................................13
3.3 Dört Boyutlu Öklid Durumu.....................................................................................16
3.4 Dört Boyutlu Minkowski Durumu............................................................................21
BÖLÜM IV MİNKOWSKİ UZAYINDA MİNİMAL VE ÖTELEME
YÜZEYLERİ ..................................................................................................................33
4.1 Gauss ve Ortalama Eğrilik .......................................................................................33
4.2 Minimal Yüzeyler ....................................................................................................35
4.3 Sabit Ortalama Eğrilikli Öteleme Yüzeyleri ............................................................39
BÖLÜM V SONUÇLAR ..............................................................................................74
KAYNAKLAR ...............................................................................................................75
ÖZ GEÇMİŞ ...................................................................................................................77
vii
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 4.1.Scherk yüzeyi………………………………………………………………………39
1  2
2
Şekil 4.2. z 
. 1  4.H 2 .  x  c1   c2  . y (a)   3, H  2 ve (b)   0, H  1
2.H
alınarak elde edilen yüzey………………………………………………………... 50
1 2
2
Şekil 4.3 z 
1  4 H 2  x  c1    y (a)   0, H  1 ve
2.H
(b)  
1
, H  1
2
alınarak elde edilen yüzey……………………………………………...………….51
Şekil 4.4. z 
.
1 2
2.H
4 H 2  x  c1   1  c 2  y (a)   0, H  1 ve (b)  
2
1
,H  2
2
alınarak elde edilen yüzey…………………………..…………......……….……...51
Şekil4.5. z 
2 1
2.H
1  4 H 2  x  c1   c 2  y (a)   3, H  2 ve (b)   2, H 
2
1
2
alınarak elde edilen yüzey…………………………………………….………….…52
Şekil 4.6. g ( y) 
 2 1
2.H
1  4 H 2  y  c1   c 2 (a)   3, H  2 ve (b)   3, H 
2
1
2
alınarak elde edilen yüzey…………………………...………………….…………53
  2 1
2
Şekil 4.7. g ( y ) 
4 H 2  y  c1   1  c 2 (a)   2, H  1 ve (b)   3, H  2
2.H
alınarak elde edilen yüzey……………………...………………………...………..54
1  2
1
2
1  4 H 2  y  c1   c 2 (a)   0, H  2 ve (b)   , H  1
Şekil 4.8. g ( y) 
2.H
2
alınarak elde edilen yüzey…………………………...…………………………….54
viii
Şekil 4.9. z 
1

log  cosh( x)  
1

log  cosh( y)  (a)  
1
ve (b)   4
2
alınarak elde edilen yüzey……………………………………………...………….59
Şekil 4.10. x 
1

log  cos( y)  
1

log  sinh( z)  (a)   2 ve (b)  
1
50
alınarak elde edilen yüzey……………..………………………………………….62
Şekil 4.11. z  g ( x)  h( y) 
1
1
log  cosh( x)  


log  sinh( y)  (a)   2 ve (b)  
1
50
alınarak elde edilen yüzey………………………………….…………………….64
Şekil 4.12. z  g ( x)  h( y) 
1
log  sinh( x)  

1

log  cosh( y)  (a)   2 ve (b)  
1
20
alınarak elde edilen yüzey………………………………….……………….……65
Şekil 4.13. z  g ( x)  h( y) 
1
log  sinh( x)  

1

log  sinh( y)  (a)   1 ve (b)   
1
30
alınarak elde edilen yüzey……………………………………………….……….66
1
1
1
Şekil 4.14. x  g ( y)  h(z)   log  cosh( y)   log  cosh( z )  (a)   1 ve (b)   

30

alınarak elde edilen yüzey…………………………..…………………….............67
Şekil 4.15. x  g ( y)  h(z) 
1

log  cosh( y)  
1

log  cosh( z )  (a)   1 ve (b)   
1
30
alınarak elde edilen yüzey…………………………………….…….……………68
Şekil 4.16. g 
1
log sec  c  u  .v   c1   c2 c  4 ve   1
c
alınarak elde edilen yüzey………………………………………………………………………………………...70

1
Şekil 4.17 . h  log sec c
c


 2  1 v  c1  c2 c  4 ve   2
alınarak elde edilen yüzey……………………………………………………...71
ix
1
Şekil 4.18. g  log sec  c  u  .v   c1   c2
c
c  4 ve   1
alınarak elde edilen yüzey…………………………………………………….…...72
1
Şekil 4.3 h  log  cv  c1   c2
c
c4
alınarak elde edilen yüzey……………………………………………...…...…….73
x
SİMGE VE KISALTMALAR
Simgeler
Açıklamalar
En
n-boyutluÖkliduzayı
E3
ÜçboyutluÖkliduzayı
E13
ÜçboyutluMinkowskiuzayı
T
Teğetvektöralanı
N
Normal vektöralanı
B
Binormalvektöralanı
T , N , B1
Frenet 3-ayaklısı
T , N , B1 , B2 
Frenet 4-ayaklısı
H
Ortalamaeğrilik
V
Vektöruzayı
k1
Eğrilik
k2
Burulma
xi
BÖLÜM I
GİRİŞ
Öklidyen düzlemde eğrilerin diferansiyel geometrisi üzerinde çalışan ilk bilim adamı
Hollanda’lı bilim adamı Huygens’dir. O, düzlemde herhangi bir noktadaki düzlem
eğrilerinin eğriliğini ortaya koymuştur. Fakat eğriyi düzlemde bir noktanın hareketi ile
bir t parametresine bağlı olarak  (t )  1 (t ),  2 (t )  şeklinde ilk tanımlayan Newton
olmuştur. Newton düzlemde bir eğrinin eğriliğini de tanımlamıştır. Eğri üzerinde a ve
b şeklinde birbirine yakın iki nokta bunların ikisinin arasında bir p noktası göz önüne
almıştır. Bu üç nokta genellikle m merkezli bir çember belirtirlimit durumunda hem a
hem de b ,  eğrisi boyunca p ’ye yaklaştığında bu özel bir çember belirler ki bu p
noktasın da  ’ya teğettir. (yani p noktasın da  eğrisi ile bu çember aynı teğet doğruya
sahiptir). Bu çember p noktasında  ’nın oskülatör çemberi olarak adlandırılır.
Bu çemberin merkezi c yarıçapı r ise bu c Newton tarafından eğrilik merkezi olarak
adlandırılmış eğrilik yarıçapı r olarak ifade edilmiş ve p noktasında  eğrisinin
eğriliği ise k1 
k eğriliği k 
1
şeklinde gösterilmiştir.
r
1 ' 2 '' 1 '' 2 '
  ' 
1
2
  2 ' 
2

3
şeklinde ifade edilir.
2
s yay parametresi ve keyfi t için 1 '   2 '  1 dir. T ( s) ,  ’nın birim teğet
2
2
vektörü ve N ( s) , s noktasında birim normal vektörü olsun. N ( s) birim vektörü T ( s) ’e
diktir ve T ( s), N ( s) R 2 de standart yönlendirilmişidir.  ’nın s noktasındaki k ( s)
eğriliği, T '(s)  k (s) N (s) ile ifade edilir.  '( s) ’in uzunluğu k (s)   ''( s) olsun.
 '( s) ’e dik birim vektörü  '( s) ve  ''( s) vektörleri tarafından belirlenen dikdörtgensel
bölgenin alanı k1 ( s) ’dir. det  '(s),  ''( s)  ile ifade edilen bu alan
1
k1 ( s) 
1 '( s) 1 ''( s)
 1 '( s) 2 ''( s)  1 ''( s) 2 '( s)
 2 '( s)  2 ''( s)
şeklinde Newton tarafından ifade edilmiştir. Öklidyen hareketlere bağlı olarak verilen s
değişkenli, sürekli k1 fonksiyonu için E 2 ’de s yay parametreli bir tek  eğrisi vardır ve
 ( s) noktasında  ’nın eğriliği k1 ( s) ’dir. Yani Öklidyen düzleminde dönmeler ve
ötelemelere bağlı olarak E 2 de bir eğri, onun eğriliği tarafından tamamıyla karakterize
edilir.
E 3 ’de uzay eğrilerin diferensiyel geometrisinin çalışılması için Serret-Frenet formülleri
büyük bir sıçrama tahtası olmuştur.
E 3 ’de uzay eğrilerinin diferansiyel geometrileri hakkındaki çalışmalar ise 1847’de
Frenet, 1851’de ise Serret tarafından birbirinden habersiz olarak yapılan çalışmalar ile
ortaya çıkmıştır. Onlar, bir s yay parametresi tarafından parametrize edilen bir  uzay
eğrisi boyunca T , N , B Frenet çatısı olarak bilinen ortonormal çatıyı tanımlamıştır.
 ( s) noktasındaki  eğrisinin ivme vektörü T ’ye dik olan  ''( s) ivme vektörüdür. B
binormal vektör alanı ise T ve N ’nin vektörel çarpımı olarak belirlenir. Serret-Frenet
ayaklı formülü ise;
T '  k1 N
N'  k1T  k2 N
B '  k2 N
şeklinde ifade edilir. Burada k1 eğriliği, k 2 burulmayı ifade eder. Öklidyen uzay
eğrilerinin temel teoremi, eğer k1 ve k 2 s ’nin sürekli iki fonksiyonu ise bu taktirde s
yay uzunluğu ile parametrize edilen bir  eğrisi vardır ki bu eğrinin sırasıyla eğrilik ve
burulma fonksiyonları k1 ve k 2 ’dir. Bu ifade ilk defa 1876’da Aoust tarafından ifade
edilmiştir. k1 eğriliğinin 1775’de Monge’de analitik olarak ifade etmiştir fakat burulmayı
belirlememiştir. Burulmayı1806’da ilk kez Lancret ifade etmiştir. 1826’da Cauchy ilk
kez  eğrisinin ardışık türevlerini kullanarak uzay eğrilerinin çalışmasını sistematik
2
olarak
ifade
edilmiştir. E 3 ’deki
yüzeylerin
çalışmasıda
böylelikle
çalışılmaya
başlanmıştır. Düzlemde eğrilerin teorisi bilindiğinden yüzeyin farklı düzlemlerle
arakesitleri alınarak eğrilerin araştırılmasıyla yüzeylerin tanımlanması sağlanmıştır. Bu
ise ilk defa 1760’da Euler sayesinde olmuştur. M  R3 yüzeyi üzerinde bir p noktası
boyunca bir l doğrusu düşündüğümüzde, bu doğru p noktasında M üzerindeki teğet
düzleme diktir. Teğet düzlem üzerindeki her bir X birim vektörü için hem X vektörü
hemde l doğrusunu içeren p boyunca bir düzlem göz önüne alınırsa M ile bu
düzlemin arakesiti  ( x0 )  p olmak üzere  ( x) eğrisinin görüntüsüdür.  ( x) yay
uzunluğu ile verildiğinde  '( x0 )  X dir. X ve l boyunca bütün düzlemler p noktasında
M ’nin teğet düzlemine dik olan bir v p vektörü seçilerek yönlendirilebilir. Böylece
X , v p ile pozitif olarak yönlendirilmiş olur. Bu taktirde  X , sıfır noktasında bir işaretli
eğriliğe sahiptir bu ise k1X şeklinde ifade edilir. k1X ’lerin hepsi eşit değil ise, bu taktirde
x1 birim vektörü ile gösterilen bir doğrultu vardır öyleki burada k X , k1  kX1
minumum değerine ve k2  kX 2 maksimum değerine sahiptir. Bu ise X 1 ve X 2
doğrultuları diktir ve eğer X , X 1 ile  açısı yapıyor ise bu taktirde
k X  k1 cos2   k2 sin 2 
dır.
Daha sonra bu konu da Gauss’un yapmış olduğu
’Disquisitiones generales circa
superficies curvas’ isimli çalışması önemli yer tutmuştur.
Gauss çalışmasında M yüzeyinin herhangi bir t noktasındaki teğet düzleme dik bir v p
vektörü almış ve Gauss dönüşümü olarak adlandırılan dönüşümü tanımlayarak p
noktasındaki M yüzeyinin K p eğriliği
K p  lim
A p
AlanV (A)
AlanA
şeklinde vermiştir. Buradaki A bölgesi p ’nin çok küçük bir komşuluğudur.
Yüzeyler üzerinde daha sonra Riemann’ın çalışmaları önemli yer tutmaktadır.
Minkowski uzayında eğrilerin diferansiyel geometrisini ilk çalışan kişi W.B.Bonner’dir.
3
Johan Walrave Doktora tezinde üç ve dört boyutlu Minkowski uzayında eğrilerin
spacelike, timelike ve null olması durumlarına göre bir sınıflandırma yapmıştır.
Devamında ise Minkowski uzayında yüzeylerden bahsetmiştir. Biz burada literatürde
yapılmış olan çalışmaları inceledik.
4
BÖLÜM II
TEMEL KAVRAMLAR
Tanım 2.1 (Eğri )
I
biraçık aralık olmak üzere, ( I ,  )
koordinat komşuluğu ile tanımlanan
 : I  E n diferansiyellenebilir dönüşümüne E n de bir eğri denir.
Buradaki I 
aralığına  eğrisinin parametre aralığı ve t  I değişkenine de 
eğrisinin parametresi denir(Hacısalihoğlu,1993).
Tanım 2.2 (Bir eğrinin tanjant uzayı)
M  E n eğrisi verilsin. M eğrisinin m  M noktasındaki tanjant uzayı diye, m  M
noktasında M ’nin hız vektörlerini içine alan TM (m)  V (m) vektör uzayına denir.
m  M seçilmiş bir nokta olmak üzere, E n in TM (m) ile birleşen alt afin uzayına da, M
eğrisinin m  M noktasındaki teğet doğrusu denir(Hacısalihoğlu,1993).
Tanım 2.3 ( Skaler hız fonksiyonu ve skaler hız)
M  E n eğrisi ( I ,  ) koordinat komşuluğu ile verilsin.
' :I R
t   ' (t )   '(t )
şeklinde tanımlı  ' fonksiyonuna, M eğrisinin ( I ,  ) koordinat komşuluğuna göre
skaler hız fonksiyonu ve  '(t ) reel sayısına da M nin ( I ,  ) koordinat komşuluğuna
göre  (t ) noktasındaki skaler hızı denir(Hacısalihoğlu,1993).
Tanım 2.4 ( Birim hızlı eğri)
M eğrisi ( I ,  ) koordinat komşuluğu ile verilmiş olsun. Eğer s  I için,
5
 '(s)  1
ise M eğrisi ( I ,  ) ’ya göre birim hızlı eğridir denir. Bu durumda, eğrinin s  I
parametresine yay-parametresi adı verilir(Hacısalihoğlu,1993).
Tanım 2.5 ( Regüler eğri)
Her noktasındaki hız vektörü sıfırdan farklı olan eğriye regüler eğri denir.
(Hacısalihoğlu,1993).
Tanım 2.6 (Serret-Frenet r-ayaklı alanı)
M  E n eğrisi ( I ,  ) koordinat komşuluğu ile verilsin. Bu durumda    ',  '',... ( r ) 
sistemi lineer bağımsız ve  ( k ) , k  r , için:
 ( k )  Sp  
Olmaküzere,  den elde edilen V1 ,...,Vr  ortonormal sistemine, M eğrisinin SerretFrenet r-ayaklı alanı ve m  M için V1 (m),...,Vr (m) ye ise m  M noktasındaki
Serret-Frenet r-ayaklısı denir. Her bir Vi ,1  i  r , ye Serret-Frenet vektörü adı verilir.
(Hacısalihoğlu,1993).
Tanım 2.7 V bir reel vektör uzayı olsun. V üzerinde tanımlı
g : V V 
dönüşümü bilineer ve simetrik ise g’ye V üzerinde simetrik bilineer form denir. Bu
dönüşüm aynı zamanda non-dejenere ise g’ye V üzerinde bir skaler çarpım, bu durumda
V vektör uzayına da skaler çarpım uzayı denir.
Ayrıca;
(i) v V ve v  0 için g (v , v )  0 ise g simetrik bilineer formu pozitif tanımlıdır,
(ii) v V ve v  0 için g (v , v )  0 ise g simetrik bilineer formu negatif tanımlıdır,
(iii) v V ve v  0 için g (v , v )  0 ise g simetrik bilineer formu yarı- pozitif
tanımlıdır,
6
(iv) v V ve v  0 için g (v , v )  0 ise g simetrik bilineer formuna yarı-negatif
tanımlıdır.
Bundan başka,
(a) g’nin non-dejenere dir  g (v , w)  0 ve w V için v  0 dır.
(b) g’nin dejenere dir  g (v , w)  0 ve w V için v  0 dır(O’Neill,1983).
Tanım 2.8 V bir skaler çarpım uzayı , W ’ de üzerindeki skaler çarpım negatif olacak
şekilde V ’nin en büyük boyutlu alt uzayı olsun. Bu durumda W ’nin boyutuna g skaler
çarpımın indeksi denir.
g skaler çarpım indeksi v ise 0  v  boyV dir. Ayrıca V skaler çarpım indeksi,
üzerinde tanımlı g skaler çarpım indeksi olarak tanımlanır(O’Neill,1983).
Tanım 2.9 V skaler çarpım uzayı olsun. V ’nin indeksi
v olmak üzere v  1 ve
boyV  2 ise skaler çarpım uzayına Lorentz uzayı denir(O’Neill,1983).
Tanım 2. 10 V bir Lorentz uzay olsun. v için
(i) g (v , v )  0 veya v  0 ise v ’ye spacelike vektör,
(ii) g (v , v )  0 ise v ’ye timelike vektör,
1
(iii) g (v , v )  0 veya v  0 ise v ’ye null(lightlike) vektör ve v  g (v , v ) 2 sayısına da
v vektörünün normu denir.
V Lorentz uzayında tüm timelike vektörlerin cümlesi  olsun. u  için
C (u)  v  g (u , v )  0 kümesine u vektörünü kapsayan V Lorentz uzayının timekonisi denir(O’Neill,1983).
Tanım 2.11 Rvn yarı-öklidyen uzayında v  1 ve n  2 ise Rvn yarı-öklidyen uzayına
Minkowski n-uzay denir(O’Neill,1983).
Tanım 2.12 M bir yarı Riemann manifoldu ve
 : 
M
7
diferansiyellenebilir bir eğri olsun.  eğrisinin teğet vektör alanı  (t)  T olmak
üzere
i) T , T  0 ise  eğrisine spacelike eğri
ii) T , T  0 ise  eğrisine null eğri
iii) T , T  0 ise  eğrisine timelike eğri denir(O’Neill,1983).
Tanım 2.13 f : E 2 
bir fonksiyon olmak üzere
 : E 2  E3
(u, v)  (u, v, f (u, v))
şeklinde tanımlanan yüzey Monge yüzeyi adını alır( Hacısalihoğlu, 1994).
Tanım 2.14 Monge yüzeyinde f (u, v)  h(u)  g (v) biçiminde ise bu yüzeyi
 (u, v)  (u, v, h(u )  g (v))
 (u, v)  (u, 0, h(u ))  (0, v, g (v))
ve ya
 (u, v)   (u)   (v)
şeklinde yazabiliriz. Bu durumda yüzey öteleme yüzeyi adını alır(Hacısalihoğlu,1994).
Ayrıca E 3 ya da E13 de bir S yüzeyi
z  g ( x)  h( y) şeklinde yazılabiliyorsa S yüzeyi yine öteleme yüzeyi adını alır.
Tanım 2.15 (inclussion)
M  M diferensiyellenebilir iki manifold olmak üzere i : M  M dönüşümü i( x)  x
şeklinde ise i ’ye inclussion(sokma) fonksiyonu denir(Hacısalihoğlu,1994).
Tanım 2.16 (immersion)
M ve M birer

iki manifold olsun. f : M  M ,

fonksiyonu olmak üzere f
’nin f Jakobiyen matrisi p  M noktasında regular ise f dönüşümüne M ’den
M içine bir immersion denir. Yani Rankf  BoyM ise f bir immersiyondur.
(Hacısalihoğlu,1994).
8
Tanım 2.17 (embedding)
Tanım (2.16) da f tek değişkenli ise f ’ye embedding denir. (Hacısalihoğlu,1994).
Tanım 2.18 (yüzey)
U
2
düzlemsel bir bölge olmak üzere
 :U  E 3
 u, v     u, v    f  u , v  , g  u , v  , h  u , v  
şeklinde ifade edilen  dönüşümüne E 3 de bir yüzey denir. Bu yüzeyin parametrik
gösterimidir(Hacısalihoğlu,1994).
9
BÖLÜM III
ÜÇ BOYUTLU ÖKLİDYEN VE MİNKOWSKİ UZAYINDA FRENET ÇATISI
3.1 Üç Boyutlu Öklid Durumu
I
,  : I  E 3 eğrisi ve s yay parametresi olmak üzere  (s)  (1 ( s),  2 ( s), 3 ( s))
şeklinde tanımlanan eğri ve g  dx12  dx22  dx32 E 3 ’ de bir metrik olmak üzere
g( ',  ')  1dir. T ,  ' ’nün birim teğet yada hız vektör alanıdır. Eğer  ''(s)  0 ise;
 ''(s) , T ( s) ’e  ( s) noktasında dik olan ivme vektörüdür. N ,  ''(s) ’in normalleştirilmiş
esas vektör alanıdır. B , binormal vektör alanı ise T ve N ’nin vektörel çarpımı olarak
ifade edilir. Bu durumda Frenet 3-ayaklısı,
T '  k1 N
N'  k1T  k2 N
B '  k2 N
ya da
T '   0
  
 N '    k1
B'   0
  
k1
0
k1
0  T 
 
k2  N 

0 
 B 
(3.1)
şeklindedir. Burada k1 ve k 2 ,  ’nın birinci ve ikinci eğriliği yada k1 eğrilik, k 2 burulma
olarak adlandırılır.
İspat:
N , N  T , T  B, B  1ve N , T  T , B  B, N  0 olmak üzere
T '  k1 N
olduğundan
N '  aT  bN  cB
yazılabilir. Her iki tarafın T ile iç çarpımı alınırsa
N ', T  a T , T  b N , T  c B, T  a1  b0  c0  a
10
N , T  0  N ', T  N , T '  0
olup buradan
N ', T   N , T '   N , k1N  k1
elde edilir.
O halde a  k1 olur. Benzer şekilde
N '  aT  bN  cB
yazılabilir. Bu eşitliğin N ile iç çarpımı alınırsa
N ', N  a T , N  b N , N  c B, N  a0  b1  c0  b
elde edilir ve
N , N  1  N ', N  N , N '  0  N ', N  0
olduğundan b  0 bulunur.
Aynı şekilde
N '  aT  bN  cB
ifadesinin, B ile iç çarpımı alınırsa
N ', B  a T , B  b N , B  c B, B  a0  b0  c1  c.
N , B  0  N ', B  N , B '  0  N ', B   N , B '  (k2 )  k2
olur. Dolayısıyla c  k2 bulunur. O halde
N '  k1T  k2 B dır.
B '  aT  bN  cB
olsun. T ile iç çarpımı alınırsa
B ', T  a T , T  b N , T  c B, T  a1  b0  c0  a.
ve
B, T  0  B ', T  B, T '  0  B ', T   B, T '   B, k1N  0
ve a  0 bulunur.
B '  aT  bN  cB
ifadesi N ile iç çarpımı alınırsa
B ', N  a T , N  b N , N  c B, N  a0  b1  c0  b.
B, N  0  B ', N  B, N '  0
 B ', N   B, N '   B, k1T  k2 B  k2
11
olur ve b  k2 bulunur.
B '  aT  bN  cB
ifadesi B ile iç çarpım uygulanırsa
B ', B  a T , B  b N , B  c B, B  a0  b0  c1  c.
ve
B, B  1  B ', B  B, B '  0
 B ', B  0
olduğundan c  0 dır. Bu durumda B '  k2 N bulunur. O halde Frenet 3-ayaklısı
T '   0
  
 N '    k1
B'   0
  
k1
0
 k2
0  T 
 
k2  N 

0 
 B 
şeklindedir.
Teorem 3.1 (Denklik Teoremi):  ,  : I  E 3 birim hızlı eğri öyle ki
k1  k1  0
(3.2)
ve
k2  k2
(3.3)
ise  ve  eğrilerine denktir denir.
Bazı özel eğrilerin durumlarına göre özellikleri aşağıda verilmiştir.
Özellik 3.1
k1  0 ancak ve ancak  eğrisi bir doğruya karşılık gelir.
k2  0 ancak ve ancak  düzlemsel eğrisidir,
k2  0 ve k1  0 sabittir ancak ve ancak  çemberdir,
k2  0 sabit ve k1  0 sabittir ancak ve ancak  dairesel helisdir.
(H.Hacısalihoğlu,1993).
12
3.2 Üç Boyutlu Minkowski Durumu
Bu bölümde Minkowski uzayında Frenet ayaklısı ve formülleri verilmiştir.
g  dx12  dx22  dx32
metriği ile tanımlanan
 : I  R :
3
1
3
öklidyen uzayına Minkowski uzayı denir.
3
1
ile gösterilir.
eğrisi  (s)  1 ,  2 , 3  verildiğinde
(i) g ( ',  ')  0 ise spacelike eğri
(ii) g ( ',  ')  0 ise null eğri
(iii) g ( ',  ')  0 ise timelike eğri denir.
Bu ise  ’nın casual karakterleri olarak adlandırılır. (Walrave, J.,1995)
Bu durumda T , N , B . Frenet 3-ayaklısı aşağıda incelenmiştir.
Durum 1  spacelike eğri
s  ’nın yay parametresi öyle ki g( '(s), '(s))  1 dir. T (s) ’ de ,  (s) ’ in birim teğet
vektör alanıdır.  ''(s)  0 durumunda  ''( s) , T ( s) ’e diktir. Öyle ki N (s)   ''( s) ,
  R ve   0 dir.
 ''( s) casual karakterinin durumları aşağıdadır.
Durum 1.1 g( ''(s),  ''( s))  0
N ( s) normal vektör alanı  ''( s) ’in normalleştirilmiş halidir. B( s) binormal vektör alanı
T (s), N (s)
spacelike düzlemine  ( s) ’in her s noktasında dik olan tek timelike
vektördür. Bu durumda E13 ’deki Frenet 3-ayaklısı
T '   0
  
 N '    k1
B'   0
  
k1
0
k2
0  T 
 
k2  N 

0 
 B 
(3.4)
şeklindedir.
13
Durum 1.2 g( ''(s),  ''(s))  0
N ( s) ,  ''( s) ’in normalleştirilmiş timelike vektör alanıdır. B( s) binormal vektör alanı
T (s), N (s)
timelike yüzeyine  ( s) ’in her s noktasında dik olan tek spacelike
vektördür. Bu durumda Frenet 3-ayaklısı
 T '   0 k1
  
 N '    k1 0
B'   0 k
2
  
0  T 
 
k2  N 

0 
 B 
(3.5)
şeklindedir.
Durum 1.3 g( ''(s),  ''( s))  0
Farz edelim ki  ''(s)  0 olsun. N ( s) ,  ''( s) normal vektör alanıdır. B( s) binormal
vektör alanı T ( s) ’e dik tek null vektördür ve  ( s) ’in her noktasın da N , B  1 dir.
Bu durum da Frenet 3-ayaklısı
T '   0
  
 N '   0
 B '   k
   1
k1
k2
0
0  T 
 
0  N 

k2 
 B 
(3.6)
şeklindedir.
Burada k1 eğriliği sadece iki değer alır.  ’nın doğru olduğunda 0, diğer durumlarda ise 1
dir. Eğer  ( s) doğru ise  ''(s)  0  T '( s) dir. Bunun anlamı ise k1  0 dır. Eğer  ( s)
doğru değil ise, bir  ''(s)  0 olacak şekilde bir I aralığı vardır ve N (s)   ''(s)  T '(s)
dir.
Böylece k1  1 dir. T , N , B ise E13 ’de pseudo-ortonormaldir. Bunun anlamı ise
N '  a1T  b1 N  c1B
B '  a2T  b2 N  c2 B öyle ki
N , N  N , T  B, B  0
dır. Buradan c1  a1  b2 dır.
14
N , B  1 ve T , B  0 ifadeleri göz önüne alınırsa
N ', B  N , B '  0 ve B ', T  B, T '  0
ve dolayısıyla
b1  c2 ve a2  k1  1
elde edilir. Bu ise b1  k2 olacak şekilde tek bir eğrinin olduğunu gösterir.
Durum 2  time-like eğri
s  I yay parametresi olmak üzere g( '(s),  '(s))  1 olsun. T ( s) ,  ’nın birim teğet
timelike vektör alanıdır.  ''( s) , T ( s) ’e diktir ve N ( s) ,  ''( s) ’in normalleştirilmiş
spacelike vektör alanıdır. Binormal vektör alanı B( s) , T ( s), N ( s) timelike yüzeyine
 ( s) ’in her noktasında dik olan tek spacelike birim vektör alanıdır. Bu durumda
T , N , B ile E13 ’ün yönü aynıdır.
Bu durum da Frenet 3-ayaklısı
T '   0
  
 N '    k1
B'   0
  
k1
0
k2
0  T 
 
k2  N 

0 
 B 
(3.7)
şeklindedir.
Durum 3  null eğri
g( '(s),  '(s))  0 ise  null eğridir ve  '(s)  T (s) null vektör alanıdır. Bu durumda
 ''(s)  0 olmak üzere  '' T ’ye dik spacelike vektör alanıdır.
 null doğru değil ise, g( ''(s),  ''(s))  1 alınır ve N,  '' ’nün her s noktasında birim
vektör alanıdır. Bu durumda B( s) vektör alanı  ’nın her  ( s) noktasında N ( s) ’e dik
tek null vektör alanıdır.
T , T  B, B  N , B  0
T, B  N, N  1
olmak üzere, Frenet 3-ayaklısı
15
T '   0
  
 N '    k2
B'   0
  
k1
0
 k2
0  T 
 
k1  N 

0 
 B 
(3.8)
şeklindedir. Burada k1 eğriliği  bir null doğru olduğunda 0, diğer durumlarda 1 dir.
Eğer  ( s) bir null doğru ise  ''(s)  0  T '( s) dir. Bunun anlamı ise k1  0 olmasıdır.
Eğer  ( s) doğru değil ise, bir  ''(s)  0 olacak şekilde bir
N (s)   ''(s)  T '(s) şeklinde tanımlanır ve k1  1 dir.
T , N , B
I aralığı vardır,
ise E13 ’de pseudo-
ortonormal bir bazdır. Bunun anlamı
N '  a1T  b1 N  c1B
B '  a2T  b2 N  c2 B
olmasıdır. Burada
N , N  B, T  1 ve B, B  0
dır. Buradan b1  c1  a2  0 dir.
N , T  0 ve N , B  0 olduğundan
T ', N  T , N '  0 ve N ', B  N , B '  0
dır. O halde
c1  k1  1 ve a1  b2
elde edilir. Bu durum da a1  k2 olacak şekilde tek bir eğri vardır.
3.3 Dört Boyutlu Öklid Durumu
s  I yay parametresi ve bu parametreye bağlı eğrimiz
 (s)  (1 (s),  2 (s), 3 (s),  4 (s))
olsun ve her s için g( '(s),  '( s))  1 olmak üzeredört boyutlu Öklid uzayında
g  dx12  dx22  dx32  dx42
metriği verilsin.  eğrisi boyunca Frenet çatısı T , N , B1 , B2  şeklinde ifade edilir. Bu
çatı aşağıdaki şekilde belirlenir. T ,  ’nın birim teget vektör alanı veya hız vektörü
olsun. Eğer  ''(s)  0 ise  ''( s) ivme vektörü  ( s) noktasında T ( s) ’e diktir. N normal
vektör alanı  ''( s) ‘in normalleştirilmiş ivme vektör alanıdır. B1 birim vektör alanı, N '
’nün iki bileşene ayrılması ile belirlenir. Bunlardan bir tanesi T ’nin doğrultusundaki
16
teğet vektör alanıdır diğeri ise B1 doğrultusundaki normal vektör alanıdır. B2 vektör
alanı ise birim T , N , B1 üç boyutlu alt uzayına dik bir tek vektör alanıdır. Öyle ki
T , N , B1, B2 
çatısının yönü E 4 ’ün yönü ile aynıdır. Bu duruma karşılık gelen Frenet
formülleri
T '  k1.N
N '  k1T  k2 B1
(3.9)
B1 '  k2 N  k3 B2
B2 '  k3 B1
ya da
T'  0

 
 N '    k1
 B1 '   0

 
 B2 '   0
k1
0
 k2
0
0
k2
0
k3
0  T 
 
0  N 
k3   B1 
 
0   B2 
(3.10)
şeklinde ifade edilir.
İspat: T '  k1 N olduğundan
N '  aT  bN  cB1  dB2
yazılabilir. T ile iç çarpımı alınırsa
N ', T  a T , T  b N , T  c B1 , T  d B2 , T  a1  b0  c0  d 0  a.
ve
N , T  0  N ', T  N , T '  0  N ', T   N , T '   N , k1N  k1
ve a  k1 olur.
N '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi N ile iç çarpım alınırsa
N ', N  a T , N  b N , N  c B1 , N  d B2 , N
 a0  b1  c0  d 0  b.
elde edilir ve
N , N  1  N ', N  N , N '  0  N ', N  0
Olduğundan b  0 bulunur.
N '  aT  bN  cB1  dB2
17
ifadesi B1 ile iç çarpım uygulanırsa
N ', B1  a T , B1  b N , B1  c B1 , B1  d B2 , B1  a0  b0  c1  c.
ve
N , B  0  N ', B  N , B '  0  N ', B   N , B '  (k2 )  k2
olup c  k2 bulunur.
Aynı şekilde N '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi B2 ile iç çarpım uygulanırsa
N ', B2  a T , B2  b N , B2  c B1 , B2  d B2 , B2  a0  b0  c0  d1  d.
ve
N , B2  0  N ', B2  N , B2 '  0  N ', B2  0
dır. Buradan d  0 olur. O halde
N '  k1T  k2 B1
bulunur.
B1 '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi T ile iç çarpımı alınırsa
B1 ', T  a T , T  b N , T  c B1 , T  d B2 , T  a1  b0  c0  d 0  a.
B1 , T  0  B1 ', T  B1 , T '  0
 B1 ', T   B1 , T '   B1 , k1 N  0
olur ve a  0 bulunur.
B1 '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi N ile iç çarpım uygulanırsa
B1 ', N  a T , N  b N , N  c B1 , N  d B2 , B1  a0  b1  c0  d 0  b.
ve
B1 , N  0  B1 ', N  B1 , N '  0
 B1 ', N   B1 , N '   B1 , k1T  k2 B1  k2
dolayısıyla b  k2 bulunur.
B1 '  aT  bN  cB1  dB2
şeklinde olup B1 ile iç çarpımı alınırsa
18
B1 ', B1  a T , B1  b N , B1  c B1 , B1  d B2 , B1  a0  b0  c1  d 0  c.
ve
B1 , B1  1  B1 ', B1  B1 , B1 '  0
 B1 ', B1  0
olduğundan c  0 bulunur.
B1 '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi B2 ile iç çarpım uygulanırsa
B1 ', B2  a T , B2  b N , B2  c B1 , B2  d B2 , B2  a0  b0  c0  d1  d.
B1 , B2  0  B1 ', N  B1 , B2 '  0
 B1 ', B2   B1 , B2 '  k3
ve d  k3 bulunur. O halde
B1 '  k2 N  k3 B2
bulunur.
Şimdi de B2 '  aT  bN  cB1  dB2 olsun. Her iki tarafın T ile iç çarpımı alınırsa
B2 ', T  a T , T  b N , T  c B1 , T  d B2 , T  a1  b0  c0  d 0  a.
ve
B2 , T  0  B2 ', T  B2 , T '  0
 B2 ', T   B2 , T '   B2 , k1 N  0
olur ve a  0 bulunur.
B2 '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi N ile iç çarpım uygulanırsa
B2 ', N  a T , N  b N , N  c B1 , N  d B2 , B1  a0  b1  c0  d 0  b.
ve
B2 , N  0  B2 ', N  B2 , N '  0
 B2 ', N   B2 , N '   B2 , k1T  k2 B1  0
olup b  0 bulunur.
B2 '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi B1 ile iç çarpımı alınırsa
19
B2 ', B1  a T , B1  b N , B1  c B1 , B1  d B2 , B1  a0  b0  c1  d 0  c.
ve
B2 , B1  0  B2 ', B1  B1 , B2 '  0
 B2 ', B1   B2 , B1 '  k3
ve buradan c  k3 bulunur.
B2 '  aT  bN  cB1  dB2
yazılabilir. Bu eşitliğin B2 ile iç çarpımı alınırsa
B2 ', B2  a T , B2  b N , B2  c B1 , B2  d B2 , B2  a0  b0  c0  d1  d.
ve
B2 , B2  1  B2 ', B2  B2 , B2 '  0
 2 B2 ', B2  0
Buradan da d  0 bulunur. O halde
B2 '  k3 B1
dır.
O halde Frenet 4-ayaklısı
T'  0

 
 N '    k1
 B1 '   0

 
 B2 '   0
k1
0
 k2
0
0
k2
0
k3
0  T 
 
0  N 
k3   B1 
 
0   B2 
şeklindedir.
k1 , k2 , k3  ’nın birinci, ikinci ve üçüncü eğrisidir. E 4 ’dede Öklid deki gibi benzer
değerler alır. Bazı özel eğrilerin karakterleri
k1  0 ancak ve ancak  bir doğru belirtir,
k2  0 ancak ve ancak  planar(düzlemsel) eğri,
k3  0 ancak ve ancak  , E 4 ’de üç boyutlu alt uzayda yatar,
k2  0 ve k1  0 sabittir ancak ve ancak  çember,
k3  0 ve k2  c2 , k1  c1 c1 , c2  R0 ancak ve ancak  dairesel helis’dir,
20
k3  c3 k2  c2 k1  c1 c1 , c2 , c3  R0 ancak ve ancak
 ( s) 
1
1
sin(1 s)V1 
1
1
cos(1 s)V2 
1
2
sin(2 s)V 3
1
2
sin(2 s)V4
K  c12  c22  c32 ,
12 
K  K 2  4c12c32
2
(3.11)
(3.12)
, 22 
K  K 2  4c12c32
2
(3.13)
dır.
Vi , V1 ,V1  V2 ,V2 ve V3 ,V3  V4 ,V4 ortogonal ve sürekli ve bu eşitlikleri sağlar. 
doğrusu
1
yarıçaplı kürededir.
c3
3.4 Dört Boyutlu Minkowski Durumu
Dört boyutlu Minkowski uzayında bir eğrinin Frenet ayaklıları ve bunlara bağlı eğrilik
formülleri hakkında temel kavramlar verilmiştir.
4
’de
g  dx12  dx22  dx32  dx42
metriği verilsin. E14 ’de  ( s) eğrisinin spacelike, null ve timelike olma durumlarına
göre T , N , B1 , B2  Frenet çatısının durumlarına bakılacaktır.
Durum 1  spacelike eğri
s parametresine bağlı yay uzunluğu g( '(s),  '(s))  1 olsun, T ,  nın birim teğet
vektör alanıdır. Eğer  ''(s)  0 ise  '' , T ’ye diktir öyleki N ,  '' nün doğrultusundadır.
 '' ’nün casual karakterlerine göre durumlarını verelim.
Durum 1.1 g( ''(s),  ''(s))  0
N asli normal vektör alanı,  '' ’ne karşılık gelen normalleştirilmiş vektör alanıdır. B1
vektör alanı T , N  düzlemine göre N ' ’nün C  normal bileşeninin doğrultusundadır.
Aşağıda B1 ’in bütün casual karakterleri verilmiştir.
21
Durum 1.1.1 g(C  , C  )  0
Bu durumda B1 vektör alanı C  normalleştirilmiş vektör alanıdır ve B2 vektör alanı
üç boyutlu
T , N , B1
T , N , B1, B2  çatısının
alt uzayına dik tek timelike birim vektör alanıdır öyle ki
yönü E14 ’uzayının yönü ile aynıdır. Bu durum da Frenet 4-
ayaklısı
T'  0

 
 N '    k1
 B1 '   0

 
 B2 '   0
k1
0
 k2
0
0
k2
0
k3
0  T 
 
0  N 
k3   B1 
 
0   B2 
(3.14)
şeklindedir.
İspat:
B1 , T  B1 , N  B2 , T  N , T  B2 , N  B1 , B2  0
T , T  N , N  B1 , B1  1
B2 , B2  1
T '  k1 N
olduğundan
N '  aT  bN  cB1  dB2
yazılabilir. Bu eşitliğin her iki yanını T ile iç çarpım uygulanırsa
N ', T  a T , T  b N , T  c B1 , T  d B2 , T  a1  b0  c0  d 0  a.
ve
N , T  0  N ', T  N , T '  0
 N ', T   N , T '   N , k1N  k1
olduğundan a  k1 olur.
N '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi N ile iç çarpım uygulanırsa
22
N ', N  a T , N  b N , N  c B1 , N  d B2 , N  a0  b1  c0  d 0  b.
ve
N , N  1  N ', N  N , N '  0
 N ', N  0
dır. Dolayısıyla b  0 bulunur.
N '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi B1 ile iç çarpımı alınırsa
N ', B1  a T , B1  b N , B1  c B1 , B1  d B2 , B1  a0  b0  c1  c.
ve
N , B  0  N ', B  N , B '  0
 N ', B   N , B '  (k2 )  k2
olup c  k2 bulunur.
N '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi B2 ile iç çarpım uygulanırsa
N ', B2  a T , B2  b N , B2  c B1 , B2  d B2 , B2  a0  b0  c0  d (1)  d .
N , B2  0  N ', B2  N , B2 '  0
 N ', B2  0
dır. Buradan d  0 olur. O halde
N '  k1T  k2 B1
bulunur. Şimdi de
B1 '  aT  bN  cB1  dB2
olsun. Her iki tarafı T ile iç çarpım uygulanırsa
B1 ', T  a T , T  b N , T  c B1 , T  d B2 , T  a1  b0  c0  d 0  a.
ve
B1 , T  0  B1 ', T  B1 , T '  0
 B1 ', T   B1 , T '   B1 , k1 N  0
olur. Dolayısıyla a  0 bulunur.
B1 '  aT  bN  cB1  dB2
23
ifadesi N ile iç çarpımı alınırsa
B1 ', N  a T , N  b N , N  c B1 , N  d B2 , B1  a0  b1  c0  d 0  b.
ve
B1 , N  0  B1 ', N  B1 , N '  0
 B1 ', N   B1 , N '   B1 , k1T  k2 B1  k2
Buradan b  k2 bulunur.
B1 '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi B1 ile iç çarpımı alınırsa
B1 ', B1  a T , B1  b N , B1  c B1 , B1  d B2 , B1  a0  b0  c1  d 0  c.
ve
B1 , B1  1  B1 ', B1  B1 , B1 '  0
 B1 ', B1  0
olduğundan c  0 bulunur.
B1 '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi B2 ile iç çarpım uygulanırsa
B1 ', B2  a T , B2  b N , B2  c B1 , B2  d B2 , B2  a0  b0  c0  d (1)  d .
ve
B1 , B2  0  B1 ', N  B1 , B2 '  0
 B1 ', B2   B1 , B2 '  k3
O halde d  k3 bulunur. Buradan
B1 '  k2 N  k3 B2
bulunur. Benzer şekilde
B2 '  aT  bN  cB1  dB2
olsun. Eşitliğin T ile iç çarpımı alınırsa
B2 ', T  a T , T  b N , T  c B1 , T  d B2 , T  a1  b0  c0  d 0  a.
ve
B2 , T  0  B2 ', T  B2 , T '  0
 B2 ', T   B2 , T '   B2 , k1 N  0
24
dan a  0 bulunur.
B2 '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi N ile iç çarpım uygulanırsa
B2 ', N  a T , N  b N , N  c B1 , N  d B2 , B1  a0  b1  c0  d 0  b.
ve
B2 , N  0  B2 ', N  B2 , N '  0
 B2 ', N   B2 , N '   B2 , k1T  k2 B1  0
Buradan b  0 bulunur.
B2 '  aT  bN  cB1  dB2
nin B1 ile iç çarpımı alınırsa
B2 ', B1  a T , B1  b N , B1  c B1 , B1  d B2 , B1  a0  b0  c1  d 0  c.
ve
B2 , B1  0  B2 ', B1  B1 , B2 '  0
 B2 ', B1   B2 , B1 '  k3
olduğundan c  k3 bulunur.
B2 '  aT  bN  cB1  dB2
ifadesi B2 ile iç çarpım uygulanırsa
B2 ', B2  a T , B2  b N , B2  c B1 , B2  d B2 , B2  a0  b0  c0  d (1)  d .
ve
B2 , B2  1  B2 ', B2  B2 , B2 '  0
 2 B2 ', B2  0
Buradan da d  0 bulunur. O halde
B2 '  k3 B1 dır. Sonuç olarak Frenet 4-ayaklısı
T'  0

 
 N '    k1
 B1 '   0

 
 B2 '   0
k1
0
 k2
0
0
k2
0
k3
0  T 
 
0  N 
k3   B1 
 
0   B2 
şeklindedir.
25
Durum 1.1.2 g(C  , C  )  0
Bu durum da B1 vektör alanı C  normalleştirilmiş timelike vektör alanıdır ve B2 ise
T , N , B1 üç
boyutlu alt uzaya dik tek birim spacelike vektör alanıdır öyle ki
T , N , B1, B2  çatısının yönü
E14 ’ün yönü ile aynıdır.
Bu durum da Frenet 4-ayaklısı
T'  0

 
 N '    k1
 B1 '   0

 
 B2 '   0
k1
0
k2
0
0
k2
0
k3
0  T 
 
0  N 
k3   B1 
 
0   B2 
(3.15)
şeklindedir.
Durum 1.1.3: g(C  , C  )  0
B1 , C  vektör alanı olduğundan ve B2 , T , N  düzlemine dik tek null vektör alanıdır
öyle ki B1 , B2  1 . Bu durum da Frenet 4-ayaklısı
T'  0

 
 N '    k1
 B1 '   0

 
 B2 '   0
k1
0
0
 k2
0
k2
k3
0
0  T 
 
0  N 
0   B1 
 
k3   B2 
(3.16)
dır.
Böyle bir  eğrisine kısmi null eğrisi denir ve yukarıdaki Frenet formüllerinden, bu
eğrinin üç boyutlu alt uzayda yattığı kolaylıkla görülür. Bir null dönme yapılarak, yani;
bir null tetratdan diğer null tetrata dönüşüm yapılarak T ve N ’yi sabitlenir. k3  0
alındığında B1 sabit bir null vektördür. Bu durumu görebilmek için aşağıdaki null
dönme yapılabilir.
26
1
T' 

 0
N
'


 B1 '   0

 
 B2 '   0

0
0
1
0
1
a
0
0
0


k1  k1 , k2  ak2 ve
0
 T 
0 
N
 
0   B1 
  B 
a  2 

a '
k3 
 k3 .
a
(3.17)
olup, bu durum da Frenet 4-ayaklısı
   
 T ''   0
    
 N '     k1
  
 B1'   0
  
 B2'   0
  

k1
0
0
k2


0
k3

k2
0
  
0  T 
  
0  N 
  
0   B1 
   
 k 3   B2 
(3.18)

şeklindedir. Böylece  ( s) ’ de k 3  0 seçilebilir. Bunun anlamı B1  0 olmasıdır. Diğer

bir deyişle B1 sabit null vektördür. Bu durum da sadece iki eğrilik vardır, ikinci eğrilik
sadece sabit bir çarpana göre belirlenir. Kısmi null eğri, kısmi özel bir null belirtir. Yani
k1 , k 2 sabitleri sıfırdan farklı olmak üzere eğri yukarıdaki Frenet formüllerini sağlar. Bu
eğri

 ( s)   cs,


1
1
cos(k1s), sin(k1s), cs 
k1
k1

(3.19)
şeklinde olup c  0 sabit ve bir null eksenli dairesel helisdir.
Durum 1.2 g( ''(s),  ''(s))  0
N ,  ''( s) ’in normalleştirilmiş timelike vektör alanıdır. B1 birim vektör alanı ise N '
’nünnormal bileşeni doğrultusundaki spacelike vektör alanıdır. B2 de T , N , B1 ’ e dik
tek birim spacelike vektör alanıdır öyle ki T , N , B1 , B2  çatısının yönü E14 ’ ün yönü ile
aynıdır. Bu durumda Frenet 4-ayaklısı
27
T' 0

 
 N '    k1
 B1 '   0

 
 B2 '   0
k1
0
k2
0
0
k2
0
k3
0  T 
 
0  N 
k3   B1 
 
0   B2 
(3.20)
şeklindedir.
Durum 1.3 g( ''(s),  ''(s))  0
 pseudo null eğri olsun. Eğer  ''(s)  0 ise N   ''(s) dir.  '''(s) spacelike ya da null
vektör alanı olabilir. Eğer  '''( s) spacelike ise, bu taktirde B1 de  '''( s) ’nün
normalleştirilmiş vektör alanıdır. B2 , T , B1 alt uzayına dik tek null vektör alanıdır
öyle ki N , B2  1 ve Frenet4-ayaklısı ise
T'  0

 
 N'  0
 B1 '   0

 
 B2 '   k1
k1
0
k3
0
0
k2
0
 k3
0  T 
 
0  N 
k2   B1 
 
0   B2 
(3.21)
şeklinde olup k1 eğriliği sadece iki değer alır,  null doğru olduğunda eğrilik 0, diğer
durumlarda 1 değerini alır. Eğer  ''' null vektör alanı ise
 (s)   f (s), s,0, f (s) 
(3.22)
şeklinde ifade edilen  pseudo-null eğridir ve iki boyutlu dejenere yüzeyde yatar.
Burada
f , s ’nin keyfi bir fonksiyonudur.
Durum 2:  timelike eğri
 eğrisi s parametresine bağlı ve yay uzunluğu g( '(s),  '(s))  1 olsun. T ,  ' ’nın
oluşturduğu birim teğet vektör alanıdır.  '' , T ’ye diktir öyle ki N ,  '' nün
normalleştirilmiş spacelike vektör alanıdır.
B1 birim spacelike vektör alanı T , N 
düzlemine göre N ' nün normal bileşeni doğrultusundadır. B2 , T , N , B1 ’e dik olan tek
birim spacelike vektör alanıdır. Bu T , N , B1 , B2  ’nin yönü E14 ’ün yönü ile aynıdır. Bu
durum da Frenet 4-ayaklısı
28
T' 0

 
 N '    k1
 B1 '   0

 
 B2 '   0
k1
0
 k2
0
0
k2
0
k3
0  T 
 
0  N 
k3   B1 
 
0   B2 
(3.23)
şeklindedir.
Durum 3:  null eğri
T   ' null vektör alanı olsun. Doğrular hariç  için s pseudo-yay uzunluğu
kullanılırsa, g( ''(s),  ''(s))  1 dir. Böylece N   '' ve B1 , T , N  düzlemine göre  '''
'nün normal bileşeni olsun.
g( '(s),  '''( s))  1
ve
g( ''(s),  '''( s))  0
olduğundan B1 , B1  0 olmak zorundadır ve B1 ise T , B1  1 ifadesinden tamamen
belirlenebilir. B2 ,
T , N , B1
üç boyutlu alt uzayına dik tek spacelike birim vektör
alanıdır ve T , N , B1 ile E14 ’ün yönü aynıdır. Bu durum da Frenet formülasyonu
T'  0

 
 N '    k2
 B1 '   0

 
 B2 '   k3
k1
0
 k2
0
0
k1
0
0
0  T 
 
0  N 
k3   B1 
 
0   B2 
(3.24)
şeklindedir.
k1 eğriliği sadece iki değer alır.  null doğru olduğun da 0, diğer durumlarda 1 dir.
T , N , B1, B2 
dörtlüsünull eğriler için Cartan dörtlüsü olarak bilinir. Diğer dörtlüler ise
kanonik ve screw dörtlülerdir(Bonner, W.B.,1969).
Bir null eğrisi esasen sadece k 2 ve k3 eğriliklerine sahiptir. k3 , E 4 ’de bir eğrinin
üçüncü eğriliğine benzer bir role sahiptir. Bunun anlamı  null eğrisi E14 ’ün üç boyutlu
alt uzayında yatar ancak ve ancak k3  0 . k 2 ’nin geometrik anlamı ise belirli değildir.
29
k2  0 olacak şekilde null helisler vardır. Eğer tek bir eğri varsa k2  k3  0 olacak
şekilde null kübiktir. Bundan dolayı sadece sabit eğrilikli null eğriler çalışılmıştır.
Durum 1. k2  k3  0 ise;
Frenet eşitliklerinden  ''''  0 .
Böylece A, B, C, D 
4
olmak üzere
 (s)  As3  Bs 2  Cs  D,
(3.25)
ve
 '(s)  3 As 2  2Bs  C,
(3.26)
 ''(s)  6 As  2B,
(3.27)
 '''(s)  6 A,
(3.28)
B1 , B1  0   '''',  ''''
olduğundan A, sabit bir null vektördür.
Pseudo yay
parametresi s olmak üzere
g ( ''(s),  ''(s))  1
ve  null eğrisi ise
g ( '(s),  '(s))  0 .
A, B, C, D vektörleri üzerinde aşağıdaki şartlar belirlenebilir.
A, A  C, C  A, B  B, C  0 , A, C 
1
1
, B, B 
6
4
Örneğin

s
s s2 
 ( s)   s3  , s3  , ,0 
12
12 2 

(3.29)
ifadesi null kübiğin parametrizasyonudur.
30
Durum 2. k2 , k3 her ikisinde sıfır olmayan sabitler olsun.
Durum 2.1 k3  0 ise;
d 4T
d 2T

2
k
 k32T  0
2
4
2
ds
ds
(3.30)
diferensiyel denklemi çözülürse
 ( s) 
1
1
sinh(1s)V  cosh(1s)W  
Z , Z  W ,W  Y , Y   V ,V 
1 
k22  k32  k2 , 2 
1
2
sinh(2 s)Z  cosh(2 s)Y 
1
  22
2
1
k22  k32  k2
(3.31)
(3.32)
(3.33)
bulunur. Bu ise bir dairesel silindir üzerinde yatan null helis’in parametrizasyonudur.
Burada k 2 ’nin  eğrisinin null helis olması ile ilgili bir rolü yoktur. k2  0 alınarak da
null helis olduğu görülebilir.
Durum 2.2 k3  0 ise;
Eğriler üç boyutlu alt uzayda yatar. Frenet eşitliklerinden ve
d 4T
dT
 2k 2
4
ds
ds
(3.34)
diferensiyel denkleminin çözümünden iki farklı durumdan söz edilebilir.
(i) k2  0 ise,
 ( s) 
1 
sinh 2k2 s, cosh 2k2 s, 2k2 s, 0  ,
2k 2 
31
(3.35)
(ii) k2  0 ise,
 ( s) 
1 
0, 2k2 s,sinh 2k2 s, cosh 2k2 s  ,
2k2 
32
(3.36)
BÖLÜM IV
MİNKOWSKİ UZAYINDA MİNİMAL VE ÖTELEME YÜZEYLERİ
4.1Gauss ve Ortalama eğrilik
E  u , u
F  u , v
G  v , v
L
M
N
1
EG  F 2
1
EG  F 2
1
EG  F 2
det(u , v , uu )
det(u , v , uv )
det(u , v , vv )
ve
  Edu 2  2Fdudv  Gdv2
  Ldu 2  2Mdudv  Ndv2
olmak üzere,
kn 
 L 2  2M   N


E 2  2 F   G
eşitliği yüzeyin normal eğriliği olarak tanımlanır. Bu oran
yardımıyla
F (kn ,  )  ( L  kn E) 2  2(M  kn F )  ( N  knG)  0
diferensiyel denklemi yazılır. Bu denklemin  ’ya göre türevi alınırsa
33
(4.1)
F (kn ,  )  2( L  kn E)  2(M  kn F )  0
(4.2)
 ( L  kn E)  (M  kn F )  0
elde edilir.
(4.1) denklemi düzenlenirse
 ( L  kn E)  (M  kn F )  (M  kn F )  ( N  knG)  0
elde edilir.
(4.2) ifadesinden yararlanılırsa
 ( L  kn E)  (M  kn F )  0 (M  kn F )  ( N  knG)  0
eşitlikleri elde edilir. O halde
( L  kn E )  (M  kn F )  0
(M  kn F )  ( N  knG)  0
şeklindedir. Bu denklemler için
 L  kn E
det 
 M  kn F
M  kn F 
0
N  knG 
bulunur. Buradan
( EG  F 2 )kn 2  ( EN  2FM  GL)kn  LN  M 2  0
elde edilir.
Bu ikinci derece denklemin kökleri k1 ve k 2 olmak üzere yüzeyin H ve K eğrilikleri
sırasıyla
2H 
EN  2MF  GL
EG  F 2
ve
K
LN  M 2
EG  F 2
şeklindedir.
34
4.2Minimal Yüzeyler
Tanım 4.1 S 
2H 
3
bir yüzey olsun.
EN  2MF  GL
EG  F 2
ortalama eğrilik olmak üzere H  0 olması durumunda S yüzeyi minimal yüzey adını
alır.(Aksoy, 2005).
Tanım 4.2 x   x1 , x2 , x3  olmak üzere X : M 
bir Riemann yüzeyinin
3
3
içine
izometrik immersiyonu olsun. Eğer her bir i için xi , M üzerinde bir harmonik
fonksiyon oluyorsa X ’e minimaldir denir. Yani,  , M üzerindeki Riemanian Laplace
operatörü olmak üzere X i  0 olmalıdır.
Bir M
Riemann yüzeyi ile onun izometrik embedding altındaki görüntüsünü
özdeşlemek oldukça faydalıdır.
Harmoniklik lokal bir kavram olduğundan minimallik kavramı da M 
3
immerse
edilmiş yüzeyine de uygulanabilir(inclusion dönüşümü ile indirgenmiş Riemann yapısı
yardımıyla).
H , X ’in ortalama eğrilik fonksiyonu olsun ve
N : M  S2 
3
dönüşümü de X ’in Gauss dönüşümü veya onun birim normali olsun.
X :M 
3
izometrik immersiyonu için X  2HN vektör değerli formülü geçerlidir.
Bu durum ise minimalliğin aşağıdaki tanımına denktir. (Meeks vePerez,2011).
Tanım 4.3
M
3
yüzeyi minimaldir  Onun ortalama eğriliği sıfıra eşittir.
u  u  x, y  fonksiyonun grapfı olarak M 
3
regüler yüzeyini lokal olarak
belirlenebilir. 1776’da Meusnier ortalama eğriliğin özdeş olarak sıfır olma şartını
quasilineer ikinci mertebeden eliptik kısmı diferansiyel denklem olarak belirlemiştir.
Bu denklem 1762’de Langrange tarafından
1  u .u
2
x
yy
 2ux .u y .uxy  1  u y2  uxx  0
(4.3.1)
şekilde bulunmuştur(Meeks ve Perez, 2011).
35
Tanım 4.4 M 
3
minimaldir  M ,(4.3.1) denkleminin bir çözümünün grafiği
olarak lokal anlamda belirlenebilir.  , bir M 
3
yüzeyinde kompakt, kapalı,
yönlendirilebilir bir alt bölge olsun. Eğer,  üzerindeki inclussion dönüşümü
u  C0    fonksiyonu ile kompakt olarak ifade edilirse bu taktirde x  t.u.N yine bir
immersiyondur. M ’nin H ortalama eğrilik fonksiyonu
A  t   Alan   x  t.u.N    
alan ifadesiyle ilişkilidir.
Burada A  0   2 u.HdA ve dA , M ’nin alan elementidir. Bu varyasyonel ifade ile

minimalliğin aşağıdaki tanımına denktir. (Meeks ve Perez, 2011).
Tanım 4.5 M 
3
minimaldir  bu alan fonksiyonelinin kritik bir noktasıdır.
(Meeks ve Perez, 2011).
Tanım 4.6 M 
3
minimaldir  p  M
noktası çok küçük alanlı bir komşuluğa
sahiptir, bu ise onun sınırına bağlıdır. A, alan fonksiyonelinin yanı sıra varyasyonların
calculusteki iyi bilinen bir diğer fonksiyoneli ise,
2
E   X .dA

Dirichlet enerji fonksiyonelidir.
Burada X : M  R3 bir izometrik immersiyon  
ise kompakt kapalı bir alt
bölgesidir. Bu fonksiyoneller arasında E  2. A eşitsizliği vardır.
E  2. A olması için  X : M 
3
İmmersiyonu konformal olmalıdır. (Meeks ve Perez, 2011).
Tanım 4.7 M 
3
minimaldir  g : M 
  stereografik izdüşümü Riemann
yüzeyi yapısı altında meromorfiktir(bu stereografik izdüşüm dönüşümü Gauss
dönüşümüdür). (Meeks ve Perez, 2011).
Yukarıda minimalliğin yedi tanımı verilmiştir. Minimalliğin ve minimal yüzey
ifadelerinin bu denk tanımları minimal yüzey teorisi ile kompleks analiz arasında ileri
derecede bir bağıntı olduğunu göstermiştir. Bu çalışmaların yapıldığı dönem klasik
minimal yüzey teorisinin birinci altın çağı olarak adlandırılmıştır. Bu dönemde
36
Beltrami, Bonnet, Catalan, Darboux, Enneper, Lie, Riemann, Schoenflies, Schwarz,
Serret, Weierstrass vs.gibi matematikçiler bu alanda oldukça kayda değer çalışmalar
yapmışlardır. Birinci altın çağ 1885-1890 tarihleri arasını kapsamaktadır. 1930-1940
aralığında klasik minimal yüzey teorisinin ikinci altınçağı yaşanmış, bu dönemde öne
çıkan matematikçiler ise, Courant, Douglas, Morrey, Morse, Rudo ve Shiffman
olmuştur. Bu dönemdeki en büyük başarı ise Douglas’ ın Plateau Problemi’ni
çözmesidir. Pek çok geometrici 1980’lerin başından beri klasik minimal yüzey
teorisinin üçüncü altın çağının yaşandığına inanmaktadır. Günümüzde bu alanda interdisipliner bir çalışma alanı oluşmuş, matematiğin diğer branşları fizik ve bilgisayar
teknolojisinde kullanılarak oldukça başarılı çalışmalar yapılmaktadır.
Lemma 4.1 Genel olarak bir  u, v    u, v, h(u, v)  Monge yüzeyi bir minimal yüzeydir
 1  hv 2  huu  2hu hv huv  1  hu 2  hvv  0
dır.
Burada h ’nin özel seçimi ile minimal yüzeylerin ilginç bir örneğini bulabiliriz.
1835’te Scherk  u, v    u, v, h(u, v)  formunun, yani öteleme yüzeyinin minimal olma
şartı saptanmıştır. Bu, aşağıdaki teoremle verilecektir. (Liu,1999).
Teorem 4.1 Eğer Monge yüzeyi X : U  M h(u, v)  f (u)  g (v) minimal öteleme
yüzeyi ise M ya bir düzlem parçasıdır ya da   0 olmak üzere
f (u ) 
1

h(u, v) 
log(cos( u )) ve g (v) 
1

log(cos( v))
 cos  v 
log 


 cos  u 
1
dır. (Liu,1999).
İspat:
h(u, v)  f (u)  g (v)
huu  f ''(u )
huv  0
hvv  g ''(v)
37
1  h  h
2
v
uu
 2hu hv huv  1  hu 2  hvv  0
1  g '(v)  f ''(u)  1  f '(u)  g ''(v)  0
2
2
dan
f ''(u )
g ''(v)

2
1  f '(u )
1  g '(v) 2
bulunur.
f ''(u )
g ''(v)
,
 
2
1  f '(u )
1  g '(v) 2
f ' p
f ''  p '
ise
p'

1  p2
olup. O halde
p'
 1 p
2
dp    du
den arctan( p)  u  c1
dır. Buradan
p  tan(u  c1 )
f ' p
df
 tan(u  c1 )
du
df  tan(u  c1 )du
f (u )  
sin(u  c1 )
du
cos(u  c1 )
f (u )  
1
f (u )  

1

log(cos(u )  c1 ) , c1  0
log(cos(u ))
elde edilir. Benzer şekilde

g ''(v)
1  g '(v) 2
38
eşitliğinden
g (v ) 
1

log(cos(v))
bulunur. Böylece
h(u, v) 
 cos  v 
log 
 elde edilmiş olur.

 cos u 
1
Bulunan bu yüzey Scherk yüzeyi adını alır ve

1
 cos  v  
Scherk     u, v    u, v, log 


 cos u  

şekilde ifade edilir.
Bu durumda Scherk yüzeyi öteleme yüzeyleri içinde minimal olan tek yüzeydir ve
.
Şekil 4.1 Scherk yüzeyi
şekilde görüldüğü gibidir.
4.3 Sabit Ortalama Eğrilikli Öteleme Yüzeyleri
Bu bölümde
E 3 ve E13 de sabit ortalama eğrilik ya da sabit Gauss eğrilikli öteleme
yüzeyleri konusunda bir sınıflandırma yapılacaktır. Keyfi spacetime’daki spacelike
ortalama eğrilik li hiperyüzeylerin relativite teorisiyle ilgisi vardır. E 3 3-boyutlu Öklid
2
2
2
uzayı .,.  dx  dy  dz
39
metriği ile E13 de 3-boyutlu Lorentz uzayı da
.,.  dx2  dy 2  dz 2
metriği ile verilsin. E 3 deki ya da E13 deki bir S yüzeyi de
 (u, v)  1 (u, v), 2 (u, v), 3 (u, v)
ile gösterilirse,
S yüzeyinin birinci esas formu
  Edu 2  2Fdudv  Gdv2
şeklinde ifade edilir. Burada
E  u , u F  u , v G  v , v
u 
r (u, v)
r (u, v)
v 
u
v
dır.
E 3 deki yüzey için EG  F 2  0
E13 deki spacelike yüzey için EG  F 2  0
E13 deki timelike yüzey için EG  F 2  0 dir.
I.temel formun ispatı aşağıdaki şekildedir.
M yarı-Riemann manifoldu olarak 3-boyutlu R13 Minkowski uzayı ve M yarı-Riemann
hiperyüzey olarak da (U ,  ) parametrizasyonu ile verilen
 :U 
2

3
1
(u, v)   (u, v)  (1 (u, v), 2 (u, v), 3 (u, v))
 (u ) yüzeyi göz önüne alınırsa,
  d   d 
*  du  , *  dv  
    
lineer bağımsız olmak üzere yüzeyin vektör alanının bir bazı
  d   d 
*  du  , *  dv  
    
d
d
dir. *   ve *   yerine sırasıyla u ve v alınırsa o zaman
 du 
 dv 
40
yüzeyin normali N  u xv olur..
Ayrıca
N , N  u xv , u xv
dir. Lagrange özdeşliğinden dolayı
N , N  u , v  u , u v , v
yazılırsa ve
E  u , u F  u , v G  v , v
katsayıları kullanılırsa
N , N  F 2  EG
elde edilir.
Şimdi yüzeyin birinci temel formunu hesaplayalım.  ’nin tam diferansiyeli
 
 
dir.

u v
   ds    , 
2

 
 
 
,
du 2  2
,
dudv 
,
dv 2 dir.
u u
u v
v v
Buradan da
  Edu 2  2Fdudv  Gdv2
elde edilir.
S yüzeyinin ikinci esas formu
  Ldu 2  2Mdudv  Ndv2
şeklinde tanımlanır.
Burada;
L
M
1
EG  F 2
1
EG  F 2
det(u , v , uu )
det(u , v , uv )
41
N
1
EG  F 2
det(u , v , vv )
şeklindedir.
Şimdi II. temel formun ispatını verelim.
X , Y   (M ) için yüzeyin esas formu S ( X )  dN olmak üzere
  X , Y   S ( X ), Y
şeklindedir. Ayrıca
N , Y  0 denkleminde türev alınırsa
N ', Y  N , Y '  0
yani,
N ', Y   N , Y '
bulunur.
  X , Y   N ', Y   N , Y '
yazılabilir. Buradan Y ' ifadesini hesaplanırsa
 
 
du 
dv 
Y '   '  
v 
 u
'
  2 2

 2 2 
  2 du  2
dudv  2 dv 
uv
v
 u

şeklindedir.
Bu ifade ikinci temel form tanımında yerine yazılırsa
 2

 2
2
N , Y ' 
, N du  2
, N dudv 
, N dv 2
2
2
u
uv
v
ve
  X , Y   Ldu 2  2Mdudv  Ndv 2
42
elde edilir.
Teorem 4.2 S, 3-boyutlu Öklid uzayı E 3 de ya da 3-boyutlu Lorentz uzayı E13 de K
sabit Gauss eğrilikli bir öteleme yüzeyi olsun. Bu durumda S bir silindir ve dolayısıyla
K  0 dır (Liu 1999).
İspat: E 3 Öklid uzayında, S öteleme yüzeyi
z  g ( x)  h( y)
(4.1)
dönüşümü ile verilsin.
Bu durumda S’nin Gauss eğriliği K hesaplanırsa yapılırsa,
 ( x, y)   x, y, g ( x)  h( y) 
x  1,0, g '( x) 
 y   0,1, h '( y) 
xy   0,0,0 
xx   0,0, g ''( x) 
 yy   0,0, h ''( y) 
E  x , x  1, 0, g '( x)  , 1, 0, g '( x)   1  g '( x) 2
F  x ,  y  1, 0, g '( x)  , 1, 0, h '( y)   h '( y).g '( x)
G  x , x   0,1, h '( y)  ,  0,1, h '( y)   1  h '( y) 2
E.G  F 2  1  g '( x)2  1  h '( y)2    h '( y) g '( x)  1  h '( y) 2  g '( x) 2
2
1 0
g '( x)
1 0
g '( x)
1 0
g '( x)
det  x ,  y ,  xx   0 1 h '( y )  g ''( x)
0 0 g ''( x)
det  x ,  y ,  xy   0 1 h '( y)  0
0 0
0
det  x ,  y ,  yy   0 1 h '( y)  h ''( y )
0 0 h ''( y )
43
L
M
N
K
1
E.G  F 2
1
E.G  F 2
1
E.G  F 2
det  x ,  y ,  xx  
1
1  h '( y)2  g '( x) 2
det  x ,  y ,  xy  
g ''( x)
1
1  h '( y)2  g '( x) 2
det  x ,  y ,  yy   
00
1
1  h '( y)2  g '( x) 2
h ''( y )
LN  M 2
EG  F 2
eşitliğinden
K
 g ''( x)h ''( y )
1  h '( y)
2
 g '( x) 2 
(4.2)
2
elde edilir. Eğer K sabit ise, g ''( x)  0 olduğu kabul edelip her iki tarafın y’ye göre
türevi alınırsa
h ''( y) 1  h '( y)2  g '( x)2   4h '( y)h ''( y) 2  0
elde edilir.
h ''( y)  0 olduğu kabul edelirse ve her iki tarafın y’ye göre türevi alınırsa
g ''( y) 1  h '( y)2  g '( x)2   4 g '( y) g ''( y) 2  0
bulunur.
Burada g ''( x)  0 yada h ''( y)  0 dır.
g ''( x)  0 ise
a, b  R olmak üzere g ( x)  ax  b
olarak elde edilir. Dolayısıyla
 ( x, y)  ( x, y, ax  b  h( y))  (0, y, b  h( y))  x.(1,0, a)
bir silindir yüzeyidir.
E13 Lorentz uzayında S öteleme yüzeyi
z  g ( x)  h( y)
( 4.3)
x  g ( y)  h( z )
(4.4)
dönüşümleriyle verilebilir.
S’nin K Gauss eğriliği, yukarıdaki benzer hesaplamalar yapılarak sırasıyla
44
K
 g ''( x)h ''( y )
2
(4.5)
2
(4.6)
1  h '( y)2  g '( x)2 
yada
K
 g ''( y )h ''( z )
 h '( z)
2
 g '( y )  1
2
şeklinde elde edilir.
K sabitse g ''  0 ya da h ''  0 olup yüzey bir silindir yüzeyidir.
Teorem 4.3
(I) S, 3-boyutlu Öklid uzayı E 3 de sabit ortalama eğriliği H  0 olan bir öteleme yüzeyi
olsun. Bu durumda S, E 3 de aşağıdaki gibi bir yüzey yada yüzeyin parçasıdır.
z
1 2
1  4H 2 x2   y   
2H

(4.7)
(II) S, 3-boyutlu Lorentz uzayı E13 de sabit ortalama eğriliği H  0 olan bir öteleme
yüzeyi olsun. Bu durumda;
(i) Eğer S spacelike bir yüzey ise bu taktirde; S aşağıdaki gibi bir yüzey ya da bu
yüzeyin bir parçası olur;
z
1 2
1  4 H 2 x 2   y    1
2H
x  y 
1 2
2H
(4.8)
4H 2 z 2  1
(4.9)
veya
x
 2 1
2H
1  4 H 2 y 2   z    1
(4.10)
dir.
45
(ii) Eğer S timelike bir yüzey ise bu durumda; S aşağıdaki gibi bir yüzey ya da yüzeyin
bir parçası olur.
1 2
z
2H
4 H 2 x 2  1   y    1
(4.11)
 2 1
1  4 H 2 x 2   y    1
(4.12)
z
2H
x  y 
x
1  2
1  4H 2 z 2
2H
(4.13)
 2 1
4 H 2 y 2  1   z    1
2H
(4.14)
ya da,
x
1 2
2H
1  4 H 2 y 2   z    1
(4.15)
(Liu, 1999).
İspat:
(I) S, E 3 Öklid uzayında, sabit ortalama eğriliği H  0 olan bir yüzey olsun.
z  g ( x)  h( y) den H hesaplanırsa
H
g ''( x). 1  h '( y ) 2   h ''( y ). 1  g '( x) 2 
2. 1  h '( y )  g '( x)
2
(4.16)
3
2 2

şeklinde elde edilir.
Bu son eşitlikte x’e göre türev alınırsa
g ''' 1  h '   2  g ' g '' h ''  1  g '  h '
2
2
2

3
2
5
3g ' g ''  g '' 1  h '2   h '' 1  g '2   1  g '2  h '2  2  0
3
 g ''' 1  h '2   2  g ' g '' h '' 1  g '2  h '2  2  6 Hg ' g '' 1  g '2  h '2   0


1
46
 g ''' 1  h '   2  g ' g '' h '' 1  g '  h '


2
2
2

1
2
 6 Hg ' g ''
elde edilir. y ye göre türev alınırsa
 2h ' h '' g '' 2 g ' g '' h ''' 1  g '
2
 h'
2

1
2
h ' h ''  g ''' 1  h '   2 g ' g '' h '' 1  g '  h '
2
2
2

3
2
0
denklemi bulunur. Bu denklemi H ’ye göre düzenlenirse;
 2h ' h '' g '' 2 g ' g '' h ''' 1  g '
2
 h'
 2h ' h '' g '' 2 g ' g '' h ''' 1  g '
2
2

 h'
1
2
 6Hg ' g '' h ' h '' 1  g '2  h '2   0
1
2 2

1
 6Hg ' g '' h ' h ''  0
elde edilir.
g ''( x)  0 ve h ''( y)  0 olduğu kabul edilirse,
1
 g '''
h ''' 
2
2 2
3H  

 1  g '  h ' 
 g ' g '' h ' h '' 
bulunur.
Burada x’e göre türev alınır ve tekrar düzenlenirse,
3
 g ''' 
2
2 2

 1  g '  h '   3Hg ' g ''  0
 g ' g '' 
eşitliğini elde edilir.
g ''( x)  0 ve h ''( y)  0 olduğundan H  0 bulunur. Bu da H  0 ile çelişir. O halde,
g ''  0 veya h ''  0 olmalıdır.
h ''  0 olursa, h( y)  . y  c seklinde (4.16) denkleminde yerine yazılırsa,
3
g ''( x) 1   2   2 H 1  g '2  h '2  2
(4.17)
elde edilir. Bu denklem çözülürse;
g '  p ve
g ''  p
dp
dg
değişken değiştirmesiyle,
47
1   2  p
3
dp
 2 H 1   2  p 2  2
dg
1    p
2
1  
2
p
dp  2 Hdg
3
2 2

1   2  p2  u
2. p.dp  du
1    du  2Hdg
2
3
2
u2
1    du 
2

2
u
3
2
 2Hdg
1
 1 2  u 2
 2 Hg  c1


 2  1
2
1   
2

1  
2
p
1   

2
1
2 2

 2 Hg  c1
1
2 Hg  c1
 1   2  p 2  2
bu ifade düzenlenirse,
1   
2 2
 2Hg  c1 
2
 1   2  p2
1   
2 2
p2 
 2Hg  c1 
 1   2 
1     1     2Hg  c 
2 2
p
2
2
1
 2 Hg  c1 
2
 2Hg  c1  .dg
1   2  1   2    2Hg  c1 2 
1
1 2
 2 Hg  c1 
1   2    2Hg  c1 2
2

dg
dx
 dx
dg  dx
48
2.H .g  c1  v
elde edilir. Türev alınırak
2.H .dg  dv
dg 
dv
2.H
1
1
1   2H
v
1     v
2
2
dv  dx
2
1   2  v2  t
2.v.dv  dt
1
1 
2
.
1  1  dt
.   .  dx
2.H  2  12
t
elde edilir. Tekrar integral alınırsa,

1
2
1
t
 x  c2
4H 1   1
2
2
1
t 2  2H 1   2  x  c2 
t  4H 2 1   2   x  c2 
2
1   2  v2  4H 2 1   2   x  c2 
1     4H 1     x  c 
2
2
2
2
2
1    1  4H  x  c    v
2
2
2
2
 v2
2
2
v  1   2 1  4 H 2  x  c2 
2
Buradan da
v  2Hg  c1
2 Hg  c1  1   2 1  4 H 2  x  c2 
g
2
1
2
1   2 1  4 H 2  x  c2   c1 .
2.H
c1 ve c2 sabitleri yeniden düzenlenirse;
g
1
2
1   2 1  4 H 2  x  c1   c2 .
2.H
49
elde edilir.
Yüzey z  g ( x)  h( y) şeklinde olduğu için
z
1 2
2
1  4 H 2  x  c1   c2   y şeklindedir.
2.H
a
b
Şekil 4.2 Öteleme yüzey (a)   3, H  2 ve ( b)   0, H  1
(II) S, E 3 Lorentz uzayında, sabit ortalama eğriliği H  0 olan bir yüzey olsun.
z  g ( x)  h( y) den H için,
H
g ''( x) 1  h '( y )2   h ''( y ) 1  g '( x) 2 
2 1  h '( y)  g '( x)
2
(4.18)
3
2 2
ve
x  g ( y)  h( z ) için,
H
g ''( y )  h '( z ) 2  1  h ''( z ) 1  g '( y ) 2 
2 h '( z )  g '( y )  1
2
2
(4.19)
3
2
şeklindedir. (I).dekine benzer hesaplamalarla
z  g ( x)  h( y)
eşitliğinden
1 2
z
2.H
1  4 H 2  x  c1    y
2
50
elde edilir. Buda ispatı tamamlar.
a
b
Şekil 4.3 Öteleme yüzey (a)   0, H  1 ve (b)  
1
, H  1
2
Şimdi de,

g ''( x) 1   2   2 H g '( x)  1   2 

3
2
diferensiyel denklemi çözülürse, (I).dekine benzer hesaplamalarla; z  g ( x)  h( y)
eşitliğinden
z
1 2
2.H
4 H 2  x  c1   1  c 2  y elde edilir.
2
a
b
Şekil 4.4 Öteleme yüzey (a)   0, H  1 ve
51
(b)  
1
,H  2
2
3
  1 ise g ''( x)   2  1  2 H   2  1  g '( x)2  2
diferensiyel denklemi yine I.deki gibi çözülürse,
z  g ( x)  h( y)
eşitliğinden
z
2 1
1  4 H 2  x  c1   c 2  y
2
2.H
elde edilir.
a
b
Şekil 4.5 Öteleme yüzey (a)   3, H  2 ve (b)   2, H 
(4.4) deki yüzey için g ''  0 olduğunda E13 de bir öteleme olarak,
g ( y)  . y  c yazılabilir.
(4.18) den, x  g ( y)  h( z ) için,
h ''( z ) 1  
2
  2H  h '( z)
2
  2H  
2
   1
2
3
2
ya da
h ''( z ) 1  
2
 1  h '( z )
3
2 2

diferensiyel denklemi bulunur. Bu denklemler sırayla çözülürse,
52
1
2
h( z ) 
1  2
2.H
4 H 2  z  c1   1  c 2  c1 , c2  R 
2
(4.19)
ve
h( z ) 
 1 2
2.H
4 H 2  z  c1   1  c 2  c1 , c2  R 
2
(4.20)
elde edilir.
h ''  0 olduğundan, h( z )  .z olduğunu farz edilirse (4.19) dan,
3
g ''( y)   2  1  2 H   2  1  g '( y) 2  2
(4.21)
ve
g ''( y)    1  2 H  g '( y)  1  
2
2
3
2 2

(4.22)
denklemlerine ulaşılır. (4.19) un çözümünden;  c1 , c2  R,   1 olmak üzere
g ( y) 
 2 1
2.H
1  4 H 2  y  c1   c 2
2
spacelike yüzeyi elde edilir.
a
b
Şekil 4.6 Öteleme yüzey (a)   3, H  2 ve (b)   3, H 
53
1
2
(4.22) denkleminin çözümünden,
g ( y) 
  2 1
2
4 H 2  y  c1   1  c 2  c1 , c2  R,   1
2.H
timelike yüzeyi bulunur.
a
b
Şekil 4.7 Öteleme yüzey (a)   2, H  1 ve (b)   3, H  2
g ( y) 
1  2
2
1  4 H 2  y  c1   c 2  c1 , c2  R,   1
2.H
timelike yüzeyi elde edilir.
a
b
Şekil 4.8 Öteleme yüzey (a)   0, H  2 ve (b)  
54
1
, H  1
2
olarak elde edilir. Bunlar da Teorem 4.3 nin ispatını tamamlar.
Teorem 4.4
(I) S, 3-boyutlu Öklid uzayı E 3 de sıfır ortalama eğrilikli bir öteleme yüzeyi olsun.
Bu durum da S, E 3 de aşağıdaki gibi bir yüzey veya bu yüzeyin bir parçası olur.
z
1

log  cos( x)  
1

log  cos( y)     0,   R 
(II) S, 3-boyutlu Lorentz uzayı E13 de sıfır ortalama eğrilikli bir öteleme yüzeyi olsun.
Bu durumda;
(i) Eğer S, spacelike yüzey ise E13 uzayında bulunan aşağıdaki yüzeyin bir spacelike
parçasına eşit olur.
z
x
1

1

log  cosh( x)  
log  cos( y)  
1

1

log  cosh( y) 
(4.23)
log  sinh( z) 
(4.24)
(ii)Eğer S, timelike yüzey ise (4.21) ve (4.22) eşitliklerinin timelike kısımlarına ya da
aşağıdaki gibi E13 ün bir parçasına eşit olur.
z
z
z
1

1

1

log  sinh( x)  
log  cosh( x)  
log  sinh( x)  
1

1

1

log  cosh( y) 
(4.25)
log  sinh( y) 
(4.26)
log  sinh( y) 
(4.27)
ya da,
55
x
1

log  cosh( y)  
1

log  cosh( z ) 
(4.28)
(Liu, 1999).
İspat:
(1) 3-boyutlu E 3 Öklid uzayında sıfır ortalama eğrilikli S yüzeyini ele alalım.
z  g ( x)  h( y) olsun.
H
g ''( x) 1  h '( y ) 2   h ''( y ) 1  g '( x) 2 
2 1  g '( y )  h '( z )
2
3
2 2
0
alınırsa
g ''( x) 1  h '( y)2   h ''( y) 1  g '( x) 2   0
 g ''( x) 1  h '( y)2   h ''( y) 1  g '( x) 2 
olur. Her iki tarafı 1  h '( y)2 1  g '( x)2  ile bölünürse;
 g ''( x) 1  h '( y )2 

h ''( y ) 1  g '( x)2 
1  h '( y) 1  g '( x)  1  h '( y) 1  g '( x) 
2
2
2
2
den
 g ''( x)
h ''( y )

2
1  g '( x) 1  h '( y) 2
elde edilir. Bu ifade  sabitine eşitlenerek çözülürse; z  g ( x)  h( y) olduğundan,
z
1

log  cos( x)  
1

log  cos( y) 
olarak bulunur. Buda ispatı tamamlar.
(2) 3-boyutlu E13 Lorentz uzayında sıfır ortalama eğrilikli S yüzeyini ele alınırsa:
(i) S spacelike olsun.  E.G  F 2  0 
(a) z  g ( x)  h( y)
56
ve
(b) x  g ( y)  h( z )
olsun. Bu durum da z  g ( x)  h( y) den
H
g ''( x) 1  h '( y ) 2   h ''( y ) 1  g '( x) 2 
2 1  g '( x)  h '( y )
2
3
2 2
,
(4.29)
,
(4.30)
ve x  g ( y)  h( z )
H
g ''( y )  h '( z ) 2  1  h ''( z ) 1  g '( y ) 2 
2 h '( z )  g '( y )  1
2
2
3
2
dir.
(4.14) da H  0 için
g ''( x) 1  h '( y)2   h ''( y) 1  g '( x)2   0
g ''( x) 1  h '( y)2   h ''( y) 1  g '( x) 2 
g ''( x)
h ''( y)

.
2
1  g '( x) 1  h '( y) 2
olur. İlk olarak
g ''( x)

1  g '( x) 2
denklemi ele alınırsa,
g' p 
dg
dx
g ''  p ' 
dp
dx
değişken değiştirmesiyle
dp
dx  
1  p2
1
dp  .dx olur.
1  p2
Buradan integral alınırsa,
1
 1 p
2
.dp   .dx
57
1  1
1 


 dp    dx

2  1  p  1  p  

1
1

  1  p   1  p   dp  2 .dx


 ln 1  p   ln 1  p   2 x  ln  c1 
 1 p 
ln 
  2 x  ln  c1 
 1 p 
1 p
 c1e2  x
1 p
1  p  c1e2 x 1  p 
1  p  c1e2 x  c1e2 x p
p 1  c1e2 x   c1e2 x  1
p
c1e2 x  1
1  c1e2 x
p  g'
c1e2 x  1
c1e2 x  1
dg c1e2  x  1

dx c1e2  x  1
g
c1e2 x  1
dx
c1e2 x  1
c1  1
g
e2 x  1
dx
e2 x  1
g   tanh( x)dx  
g ( x) 
1

sinh( x)
.dx
cosh( x)
log  cosh( x) 
elde edilir. Benzer şekilde,
h ''( y)

1  h '( y) 2
denklemi çözülürse,
58
h( y ) 
1

log  cosh( y) 
bulunur.
z  g ( x)  h( y) olduğundan,
z
1

log  cosh( x)  
1

log  cosh( y) 
yüzeyi elde edilir.
a
b
Şekil 4.9 Minimal yüzey (a)  
(b) x  g ( y)  h( z )
H
g ''(y)  h '(z)2  1  h ''( y ) 1  g '(y) 2 
2 h '(z)  g '(y)  1
2
2
3
2
0
den,
g ''( y).  h '( z )2  1  h ''( z ). 1  g '( y) 2   0
 g ''( y).  h '( z )2  1  h ''( z ). 1  g '( y) 2 

g ''( y)
h ''( z )


2
1  g '( y)
h '( y) 2  1
eşitliği çözülürse öncelikle

g ''( y )

1  g '( y )2
denklemi ele alınırsa ve
59
1
ve (b)   4
2
dg
dx
g' p 
g ''  p ' 
dp
dx
değişken değiştirmesi yapılırsa
dp
dy

1  p2

1
dp   dy
1  p2
olur. Buradan integral alınırsa
1
 1 p
dp    dy
2
 arctan( p)   y  c1
p   tan( y  c1 )
dg
  tan( y  c1 )
dy
g' p 
dg   tan( y  c1 )dy
elde edilir. Tekrar iki tarafın integralı alınırsa,
g ( y)  
g ( y) 
1

sin( y  c1 )
dy
cos( y  c1 )
log  cos( y  c1 ) 
c1  0
g ( y) 
1

log  cos( y) 
bulunur.
Benzer şekilde,
h ''( z )

h '( y) 2  1
denklemi ele alınırsa
h'  p 
dh
dz
h ''  p ' 
dp
dz
60
alınarak,
dp
dz  
p2 1
1
dp  .dz
p 1
2
elde edilir. Tekrar integral alınırsa,
p
1
dp    dz
1
2
1  1
1 


 dp    dz
2   1  p  1  p  

1
1

   p  1  1  p   dp  2  dz


ln  p  1  ln  p  1  2 z  ln  c1 
 p 1 
ln 
  2 z  ln  c1 
 p 1 
p 1
 c1e2  z
p 1
p  1  c1e2 z  p  1
p  1  c1e2 z p  c1e2 z
p 1  c1e2 z   c1e2 z  1
p
1  c1e2 z
1  c1e2  z
1  c1e2 z
p  h' 
1  c1e2 z
dh 1  c1e2 z

dz 1  c1e2 z
h
1  c1e2 z
dz
1  c1e2 z
c1  1
h
1  e2 z
dz
1  e2 z
61
h   coth( z )dz  
h( z ) 
1

cosh( z )
dz
sinh( z )
log  sinh( z ) 
bulunur.
Böylece, x  g ( y)  h( z ) için,
x
1

log  cos( y)  
1

log  sinh( z)  .
yüzeyi elde edilir.
a
b
Şekil 4.10 Minimal yüzey (a)   2 ve (b)  
(ii) S bir timelike yüzey olsun.  E.G  F 2  0 
z  g ( x)  h( y) için,
H
g ''( x) 1  h '( y ) 2   h ''( y ) 1  g '( x) 2 
2 1  g '( x) 2  h '( y ) 2
3
2
dir.
H  0 için,
g ''( x) 1  h '( y)2   h ''( y) 1  g '( x)2   0
g ''( x) 1  h '( y)2   h ''( y) 1  g '( x) 2 
62
1
50
g ''( x)
h ''( y )


2
1  g '( y)  1  h '( y)2 
elde edilir.
Timelike olması yani,
1  g '( x)2  h '( y)2  0
olması durumu incelememiz için bakmamız gereken dört farklı durum vardır.
1.Durum
g '( x)  1 ve h '( y)  1 ise
g ''( x)
h ''( y )


2
1  g '( x)  1  h '( y)2 
denkleminin çözümünden,
g ( x) 
1
log  cosh( x)  .

ve
h( y ) 
1

log  cosh( y)  .
olur. Buradan z  g ( x)  h( y) 
1

log  cosh( x)  
1

log  cosh( y)  .
elde edilir.
2.Durum
g '( x)  1 ve h '( y)  1 ise
g ''( x)
h ''( y )


2
1  g '( x)   h '( y)2 1
denkleminin çözümünden,
g ( x) 
1

log  cosh( x)  .
ve
h( y ) 
1

log  sinh( y)  .
olup z  g ( x)  h( y) 
1

log  cosh( x)  
1

log  sinh( y)  .
63
yüzeyi elde edilir.
a
b
Şekil 4.11 Minimal yüzey (a)   2 ve (b)  
1
50
Bu yüzey 2.Çesit Scherk Yüzeyiolarak adlandırılmıştır(Woestjne,W.D.I.,1990).
3.Durum
g '( x)  1 ve h '( y)  1 ise
g ''( x)
h ''( y )


 g '( x)2  1 1  h '( y)2 
denkleminin çözümünden,
g ( x) 
h( y ) 
1

1

log  sinh( x)  .
.log  cosh(. y)  .
dır. O halde
z  g ( x )  h( y ) 
1

log  sinh( x)  
1

log  cosh( y)  .
yüzeyi elde edilir.
64
a
b
Şekil 4.12 Minimal yüzey (a)   2 ve (b)  
1
20
Bu yüzey 3.Çesit Scherk Yüzeyi olarak adlandırılır(Woestjne,W.D.I.,1990).
4.Durum
g '( x)  1 ve h '( y)  1 ise
g ''( x)
h ''( y )


2
 g '( x)  1  h '( y)2 1
denkleminin çözümünden,
g ( x) 
h( y ) 
1

1

log  sinh( x)  .
log  sinh( y)  .
bulunur. Buradan
z  g ( x )  h( y ) 
1

log  sinh( x)  
1

log  sinh( y)  .
yüzeyi elde edilir.
65
a
b
Şekil 4.13 Minimal yüzey (a)   1 ve (b)   
1
30
x  g ( y)  h( z ) için,
H
g ''( y )  h '( z ) 2  1  h ''( z ) 1  g '( y ) 2 
3
2 h '( z )2  g '( y )2  1 2
olur.
H  0 için,
g ''( y)  h '( z )2  1  h ''( z ) 1  g '( y) 2   0
g ''( y)  h '( z )2  1  h ''( z ) 1  g '( y) 2 
g ''( y )
h ''( z )

2
1  g '( y)   h '( z)2 1
elde edilir.
Burada da h '( z )2 nin 1 den küçük ve 1 den büyük olması durumları vardır.
(a) h '( z )2  1 ise
g ''( y )
h ''( z )


2
1  g '( y)   h '( z)2  1
denkleminin çözümünden,
1
g ( y)   log  cos( y)  .

ve
66
1
h( z )   log  cosh( z )  .

olur. Dolayısıyla
1
1
x  g ( y)  h(z)   log  cosh( y)   log  cosh( z )  .


yüzeyi elde edilir.
a
b
Şekil 4.14 Minimal yüzey (a)   1 ve (b)   
1
30
Bu yüzey 2.Çesit Scherk Yüzeyi olarak adlandırılır(Woestjne,W.D.I.,1990).
(b)
h '( z )2  1 ise
g ''( y )
h ''( z )


2
1  g '( y)   h '( z)2  1
denkleminin çözümünden,
g ( y) 
h( z ) 
1

1

log  cos( y )  .
log  sinh( z )  .
olup,
x  g ( y)  h(z) 
1

log  cos( y)  
1

log  sinh( z )  .
yüzeyi elde edilir
67
a
b
Şekil 4.15 Minimal yüzey (a)   1 ve (b)   
1
30
Bu da Teorem 4. 4' ün ispatını tamamlar.
E13 Minkowski uzayında spacelike, timelike ve ligthlike doğrultulara göre öteleme
yüzeyleri altı çeşit olarak göz önüne alınabilir.
1.Çeşit spacelike doğrultu boyunca ve spacelike doğrultuda,
2.Çeşit spacelike doğrultu boyunca ve timelike doğrultuda,
3.Çeşit ligthlike doğrultu boyunca ve ligthlike doğrultuda,
4.Çeşit ligthlike doğrultu boyunca ve spacelike doğrultuda,
5.Çeşit timelike doğrultu boyunca ve ligthlike doğrultuda,
6.Çeşit timelike doğrultu boyunca ve timelike doğrultuda,
5. ve 6. Çeşit öteleme yüzeyi
S   (u, v)  1 (u, v), 2 (u, v), 3 (u, v)
 g (u  v)  h(v), u, v
i)
  1 yüzey 5.çeşittir.
ii)
  1 yüzey 6.çeşittir.
u 
 (u, v)
 (u, v)
, v 
u
v
olmak üzere, S ’nin 1.temel formu
I  E.du 2  2.F.du.dv  G.dv2
68
E  u , u  gu 2  1
F  u , v  gu (.gv  hv )
G  v , v  (.gu  hv )2  1
şeklinde ifade edilir.
E13 de spacelike ve timelike yüzey için sırasıyla
E.G  F 2  0 ve E.G  F 2  0
Olmak üzere S yüzeyinin II. temel formunun katsayıları
guu
L
  gv  hv 
 g v2  1
2
 guv
M
  gv  hv 
2
 gv2  1
 2 gvv
N
  gv  hv 
2
 gv2  1
olmak üzere,
II  L.du 2  2.M .du.dv  N.dv2
şeklindedir. Bu durumda S yüzeyinin Gauss ve Ortalama eğrilikleri
K
H

guu   2 gvv  hvv    2 guv2

(4.31)
  gv  hv   gu2  1   gv  hv   gu2  1
g
2
2
u
2


 1  2 gvv  hvv   2 gu guu   g v  hv   guu   g v  hv   1


2   gv  hv   g  1
2
2
u
  gv  hv 
şeklindedir.
69
2
2
 g 1
2
u
(4.32)
Sonuç:
y  u  .v ve z  v dönüşümü ile
 ( y, z )
0
  u, v 
ve (4.31) ve (4.32) den ve   1 olmak üzere
K
H
g yy hzz


   2 g y  hz   g y2  1
2
2
hzz  g y2  1  g yy   4  1  hz2 


2    g y  hz   g  1
2
2
2
y
3
2
şeklindedir.
Teorem 4.5
S , E13 de 6.çeşit öteleme yüzeyi olsun. Bu taktirde eğer S minimal ise S bir düzleme
özdeştir ya da g ve h fonksiyonları
c1 , c2 , c sabit ve c  0 olmak üzere
g
1
log sec  c  u  .v   c1   c2
c
Şekil 4.16 Minimal yüzey c  4 ve   1
70

1
h  log sec c
c


 2  1 v  c1  c2
Şekil 4.17 Minimal yüzey c  4 ve   2
şeklindedir(Yuan ve Lıu, 2011).
Teorem 4. 6
S 6. çeşit öteleme yüzeyi ve H  0 ise bu taktirde;
(i) S spacelike ise aşağıdaki yüzeylerin birine ya da bunların açık bir parçasına denktir.
(a) c 
 (u, v) 
olmak üzere
 1  c2
2H
4 H 2u 2  1   2cv  c  u  v 
(b)
 (u, v) 
 c2   4  1
2H  4  1
4.H 2
 2cu  4   3  1
2
u



1


cv


 4 1
 4 1
 4 1
şeklindedir.
71
(ii) S timelike ise aşağıdaki yüzeylerin birine ya da bunların açık bir parçasına denktir.
(c)
 1  c2
 (u, v) 
2H
4 H 2u 2  1   2cv  c  u  v 
(d)
 (u, v) 
 c2   4  1
2H  4  1
4H 2
 2cu  4   3  1
2
u     1   4 1   4 1 cv
 4 1
şeklindedir(Yuan ve Lıu, 2011).
Teorem 4.7
K  0 ise 5. ve 6. Çeşit öteleme yüzeyi yoktur(Yuan ve Lıu, 2011).
Teorem 4.8
  u, v   g  u  v   h(u), u, v
bir öteleme yüzeyi olsun. Bu yüzey 5. Çeşit minimal yüzeydir
c1 , c2 , c sabit ve c  0 olmak üzere yüzey bir düzlemdir, h ve g fonksiyonu
1
g  log sec  c  u  .v   c1   c2
c
Şekil 4.18 Minimal yüzey c  4 ve   1
72
1
h  log  cv  c1   c2
c
Şekil 4.19 Minimal yüzey c  4
şeklindedir(Yuan ve Lıu, 2011).
73
BÖLÜM V
SONUÇLAR
1995 yılında Johan Walrave doktora tezinde 3 ve 4 boyutlu Minkowski uzayında eğriler
ve yüzeyleri incelemiş ve bir sınıflama yapmıştır. Bu çalışmada ise eğriler ve yüzey
eğrileri üzerine kurulan Frenet çatıları verilmiş ve 3 boyutlu Minkowski uzayında
minimal ve öteleme yüzeyleri incelenmiştir.
74
KAYNAKLAR
Walrave, J., Curves and Surfaces in Minkowski Space, Doktora Tezi, K.U.Leuven
Üniversitesi, Faculteit Der Wetenschappen, 1995.
Bonner, W.B.,Null Curves in a Minkowski Spacetime,Tensör, 1969.
O’Neill, B., Semi-Riemannian Geometry, Academic Pres, New-York, 1983.
Hacısalihoğlu, H.H., Diferensiyel Geometri, Cilt I, Ankara Üniversitesi, Fen Fakültesi
Yayınları, 1993.
Hacısalihoğlu, H.H., Diferensiyel Geometri, Cilt II, Ankara Üniversitesi, Fen
Fakültesi Yayınları, 2000.
Woestijne, V.I.D., Minimal Surfaces of the 3-dimentional Minkowski space, World
Scientific Publishing, Singapore, 1990.
Liu, H.L., Translation surfaces with dependent Gauss and mean curvature in 3-space
J.Northeast Üviversty Tech, 14, 88-93., 1993.
Verstraelen, L. Walrave, J.and Yaprak, Ş., The minimal translation surfacesin
Euclidean space, Soochow Journal of Mathematics, 20, 77-82., 1994.
Liu, H.L., Translation surfaces with constant mean curvature in 3-space J.Geom, 64,
141-149., 1999.
Dede, M., 3-boyutlu Minkowski uzayında Minimal Regle yüzeyler, Yüksek Lisans
Tezi, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Eskişehir, 2006.
Aksoy, Ö., Öteleme Yüzeyleri Üzerine, Ankara Üniversitesi, Yüksek Lisans Tezi, Fen
Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 2005.
75
Meeks, W. H.andPerez J., The classical theory of minimal surfaces, 2011,
Preprint,available,at
http://www.ugr.es/local/jperez/papers/papers.html
Yuan, Y and Lıu, H.L., Some Translation Surfaces in 3-Mminkowski Space, Journal
of Matematical Resarch Exposition., Vol. 31, 1123-1128, 2011.
76
ÖZ GEÇMİŞ
Veysi ÇİÇEK, 01.05.1986 tarihinde Hizan/Bitlis’de doğdu. İlköğretim ve lise
öğretimini Mersin’de tamamladı. 2006 yılında girdiği Niğde Üniversitesi Fen Edebiyat
Fakültesi Matematik Bölümünden Ağustos 2010’da mezun oldu ve aynı yıl Niğde
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Bölümünde yüksek lisans öğrenimine
başladı.
77