piezo elektrik malzemelerin bünye denklemleri

piezo elektrik malzemelerin bünye denklemleri

PİEZOELEKTRİK MALZEMELERİN
BÜNYE DENKLEMLERİ
SEMİH DOĞRUKOL
Yüksek Lisans Tezi
MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI
ISPARTA 2002
T.C.
SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
PİEZOELEKTRİK MALZEMELERİN
BÜNYE DENKLEMLERİ
SEMİH DOĞRUKOL
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI
ISPARTA, 2002
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğüne
Bu çalışma jürimiz tarafından MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI’nda YÜKSEK
LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.
Başkan
: .............................................................
Üye
: .............................................................
Üye
: .............................................................
ONAY
Bu tez ..../....../ 2002
tarihinde Enstitü Yönetim Kurulunca belirlenen yukarıdaki
jüri üyeleri tarafından kabul edilmiştir.
...../....../ 2002
S.D.Ü. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRÜ
Adı Soyadı : Prof. Dr. Orhan AYDEMİR
İmza
:
i
İÇİNDEKİLER
Sayfa
İÇİNDEKİLER.....................................................................................................
ÖZET....................................................................................................................
ABSTRACT.........................................................................................................
ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR......................................................................................
SİMGELER DİZİNİ.............................................................................................
ŞEKİLLER DİZİNİ..............................................................................................
ÇİZELGELER DİZİNİ.........................................................................................
1. GİRİŞ................................................................................................................
1.1. Piezoelektrik ve Piroelektrik.........................................................................
1.1.1. Elektriksel, mekanik ve termal sistemler arası etkileşim prosesleri...........
1.2. Elektromekanik Etkileşim ve Piezoelektrik İlişkilerin Termodinamik
Yönleri...........................................................................................................
1.2.1 Lineer bağlı bir sistemde yapısal ilişki ve bağlama katsayısının genel
tanımı..........................................................................................................
1.2.2. Fiziksel büyüklüklerin tansörel açıklaması................................................
1.2.3. Bağlı sistemdeki fiziksel sabitler................................................................
1.2.4. Bağlı sistemdeki termodinamik fonksiyonlar.............................................
1.2.4.1. Yapısal ilişkinin termodinamik türetimi..................................................
1.2.4.2. Farklı durumlar için fiziksel sabitler arasındaki ilişki.............................
1.2.5. Temel piezoelektrik ilişkiler.......................................................................
1.2.5.1. (S,P) tipi ilişki..........................................................................................
1.2.5.2. Çeşitli bağımsız değişken kümeleri için temel ilişkiler...........................
1.2.6. Elektromekanik bağlantı katsayısı..............................................................
1.2.6.1. Bağlantı katsayısı tanımları.....................................................................
1.2.6.2. Bağlantı katsayısı ve enerji iletim katsayısı............................................
1.2.7. Elastik sabitlerde depolarize alan etkisi......................................................
1.2.8. Daha yüksek dereceli elektromekaniksel etkileşimler................................
1.2.8.1. Elektrostriksiyon......................................................................................
1.2.8.2. Diğer nonlineer efektler...........................................................................
1.3. Kristal Simetri ve Fiziksel Sabitler................................................................
1.3.1. Kristollagrafik eksenler ve dörtgensel koordinatlar...................................
1.3.2. Kristollagrafik nokta grupları ve limitleme grupları..................................
1.3.3. Fiziksel özelliklerin simetrisi......................................................................
1.3.4. Tansör index kısaltmaları...........................................................................
1.3.5. Tansörlerin geometrik simetrisi..................................................................
1.3.6. Kristal oryantasyon ve piezoelektrik işaret................................................
1.3.6.1. Kristal kesim dizaynı...............................................................................
1.3.6.2. Piezoelektrik işaret..................................................................................
2. KAYNAK BİLGİSİ..........................................................................................
3. MATERYAL ve METOD................................................................................
3.1. Materyal.........................................................................................................
3.1.1. Elektromagnetizma.....................................................................................
i
iii
iv
v
vi
viii
ix
1
7
10
11
12
15
18
21
21
25
26
26
28
31
31
36
41
47
47
48
49
49
51
53
55
58
61
61
64
65
69
69
69
ii
3.1.2. Enerji balansı..............................................................................................
3.2. Metod.............................................................................................................
3.2.1. Bünye bağıntıları........................................................................................
3.2.2. Piezoelektrik diferansiyel denklemler........................................................
3.2.3. Yeni notasyonda piezoelektrik denklemler ve bağıntılar...........................
4. BULGULAR....................................................................................................
5. SONUÇLAR.....................................................................................................
6. KAYNAKLAR.................................................................................................
ÖZGEÇMİŞ..........................................................................................................
75
81
81
84
86
94
105
107
110
iii
ÖZET
Son zamanlarda ve özellikle de günümüzde, mekanik ve malzeme bilimindeki
ilerlemeler ve eşzamanlı olarak ortaya çıkan dizayn ve imalat teknolojilerindeki
gelişmeler çok sayıda yeni ve ileri derecede mühendislik malzemesi üretti. Bu
fonksiyonel malzemeler, mekanik, elektrik, magnetik alan veya ısınma gibi bir dış
fiziksel olayın etkisinde kaldığı zaman şeklini ve maddesel özelliklerini değiştirme
konusunda farklı özellikler ve kapasiteler sergiler. Akıllı bir malzeme kendi
içerisindeki ve çevresindeki değişikliklere reaksiyon gösterebilen verilen bir görevi
tüm kullanım süresi boyunca optimum şekilde yerine getirebilen malzemedir.
En çok bilinen akıllı malzemeler piezolektrik ve magnetostriktif malzemeler, şekil
hafızalı alaşımlar, elektro ve magneto reolojik akışkanlar ve polimer hidrojeller
olarak sınıflandırılabilir. Akıllı maddesel sistemler ve fonksiyonel malzemeler
yaygın bir şekilde yeni teknolojik alanlarda kullanılmaktadır. Bu teknolojik alanlar;
genel ve yapısal alanda insan sağlığını takip eden tıbbi cihazlar, akıllı imalat
sistemleri, aktif çatlak kontrolü, titreşim ve deformasyon kontrolü, sensör-uyarıcı
sistemler için çok fonksiyonlu malzeme geliştirme, astronot ve havacılık
uygulamaları, biyoteknoloji, esnek yapı teknolojileri, mikro elektromekanik
sistemler, nano teknoloji, cerrahi cihazlar ve bilgisayar destekli cerrahi operasyonlar,
iklimlendirme, gürültü kontrolü, sonar cihazlar, hidrofonlar, infrared dedektörler,
savaş alanında askerlerin yaşam belirtilerini algılayabilen monitör ve cihazlar.
Bu çalışma, modern algılama ve uyarma uygulamaları için gittikçe önem kazanan
piezolektrik malzemelerin yapısal davranışları ile ilgili bir incelemedir. Önce bu
malzemelerin temel özellikleri bağımsız bir değişkenler cümlesi ve değişik sabitler
cinsinden ele alınmıştır. Daha sonra lineer olarak bağlantılı bir sistemde bünye
bağıntısı ve kapling katsayısı termodinamik şartlar ve fenomolojik yaklaşımlar
çerçevesinde belirlenmiştir. Çalışmanın devamında, fiziksel özelliklere ait simetriler,
tansör index kısaltmaları ve tansörlerin geometrik simetrileri açıklanmıştır.
Elektromagnetizmanın temel denklemleri, enerji balansı ve piezoelektrik
malzemenin diferansiyel denklemleri yeni bir notasyonla açıklanmış gerektiğinde bu
denklemlere ait matris formlara da yer verilmiştir. Son olarak teorinin
uygulanabilirliğini göstermek amacıyla sonlu elemanlar metodunu (ANSYS 5.7
programı ile) kullanarak bir piezoelektrik malzeme olan PZT4 için yer değiştirme
gerilme ve potansiyel farkı dağılımları elde edilmiştir. Kısa devre rezonans durumu
ve açık devre anti-rezonans durumu için doğal frekans modları belirlenmiştir.
Anahtar Kelimeler: Akıllı malzemeler, Birleşme katsayısı, Bünye bağıntısı, Doğal
frekans, Piezolektrik malzemeler,Sonlu elemanlar metodu.
iv
ABSTRACT
In recent years and specially in our days, progress in mechanical and material
scienses simultaneously developments in design and manufacturing technologies
have produced a number of new advanced engineering materials. These functional
materials also called smart or intelligent materials because these non-traditional
materials offer the distinct features and capacity of changing shape or material
properties when loaded to an external pyhsical phenomenon, such as mechanic,
electric, magnetic field or heating. An intelligent material is a material which is able
to react to changes within it self and its environment and perform a given task to an
optimum degree over its entire lifetime.
The wel-known intelligent materials are piezoelectric and magnetostrictive materials,
shape memory alloys, electro and magneto rheological fluids and polymer hidrogels.
Intelligent materials system and functional materials have been used extensively in
the new technologies such as: structural helth monitoring, smart manufacturing,
active fracture control, vibration and deformation control, multifunctional material
development, for sensory actuators, astronautical and aeronautical applications,
biotechnology, flexible manufacturing, micro electronic machine systems,
nanofabrication, surgical instruments, computer asisted surgery operations, to control
climate, noise attenuation, sonar arrays, hydrophones, infrared dedectors, to monitör
vital signs for soldiers on the battlefield.
The study deals with the constitutive modeling og piezoelectric materials which are
of gaining importance for modern sensing and actuation applications. First the basic
properties of these material will be discussed in terms of their various independent
variable sets and various constant. Then contitutive relation and cupling coefficient
in a linearly coupled system is looked at, considering thermodynamic considerations
and phenomemological approchs. Next, symmetry of pysical properties, tensor index
abbreviations and geometrical symmetry of tensors have been explained. Basic
equations of electromagnetism, energy balance and differential equations of
piezolectricity are demonstrated by using a new notation and required matrix formz
finally, to demonstrate the applicability of the theory, numerical calcultions by finite
element method (using ANSYS 5.7) are performed to give the displacement, stresses,
potential ditrubitions etc., for piezoelectric material PZT4. The first two coupled
mode natural frequencies for the shor circuit (resonance) case and open circuit (antiresonance) case have been determined.
Key Words: Coupling coefficent, Constitutive relation, Finite element method,
Functional materials, Naturel frequency, Piezolectric materials, Smart or Intelligent
materials, Stress.
v
ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR
Son yıllarda dünya endüstrisinde hızla yaygınlaşarak kullanılan akıllı malzemeler
gelecekteki yaşamda bugün kullanılan bir çok malzemenin yerini alacaktır. Bunlar
özellikle şekil hafızalı alaşımlar, polimer hidrojeller, magnetostriktif materyaller,
elektro ve magneto reolojik akışkanlar, piezoelektrik malzemeler olarak sıralanabilir.
Özellikle
piezoelektrik
malzemeler,
kompozit
malzemelerin
ve
yapıların
deformasyon , titreşim ve hasar mekanizmalarını kontrol etmek için kullanılan zeki
maddesel sistemlerde önemli bir unsurdur. Piezoelektrik malzemeler günümüzde
otomotiv
teknolojisinde,
biyoteknolojide,
uzay
teknolojisinde
ve
savunma
teknolojisinde yaygın olarak kullanılmaktadır.
Ülkemizde ise; piezoelektrik malzemeler konusunda yeterli sayıda çalışma
yapılamamıştır. Bunun en önemli nedeni, konu ile ilgili özellikle Türkçe kaynak
bulunamamasıdır. Bu çalışmanın piezoelektrik konusunda çalışma yapacak olan
araştırmacılara az da olsa yardımcı olmasını dilerim.
Böyle bir konuda çalışmamı öneren ve çalışmamın her safhasında çeşitli kaynak,
bilgi ve teşvikleri ile yardımlarını esirgemeyen kıymetli danışman hocam Yrd.Doç
Dr. M.Reşir USAL’ a şükranlarımı sunarım.
Bugünlere gelmemde desteğini esirgemeyen eşime ve mesai arkadaşlarıma
teşekkürlerimle.
vi
SİMGELER (KISALTMALAR) DİZİNİ
CE
Katılık katsayısı
E
Piezoelektrik sabit
k
Kapling katsayısı
β,ε
Dielektrik sabit
λ
Enerji transmisyon katsayısı
εijk
Rotasyon tansörü
C
Özgül ısı
S
Gerinme
T
Gerilme
σ
Entropi
Θ
Sıcaklık
p
Yoğunluk
c
Elastik katılık sabiti
s
Elastik uygunluk sabiti
E
Elektrik alan
D
Elektrik akı yoğunluğu
U
İç enerji
T
Piroelektrik katsayı
E
P
Ters piroelektrik katsayı
H
Entalpi
P
Polarizasyon
Uelas
Elastik enerji
Uint
Etkileşim enerjisi
Uelec
Elektrik enerjisi
α
Sıcaklık genişleme katsayısı
βθ
İzoterminol sıkıştırılabilirlik
T
Basınç
µ
Lame katsayısı
δ
Entalpi
P
vii
[a ij]
Dönüşüm matrisi
W
Enerji, iş
F
Kuvvet
V
Voltaj
I
Elektrik akımı
CKL , CKL-1
Green ve Piola deformasyon tansörleri
ckl , ckl-1
Cauchy ve Finger deformasyon tansörleri
G
Gibbs serbest enerjisi
δα
Adyabatik Sabit
δβ
İzoterm sabit
∇
Gradyan operatörü
X K , x k (K, k = 1, 2, 3)
Maddesel ve uzaysal koordinatlar
η
Birim kütle başına entropi yoğunluğu
εK LM , εklm
Maddesel ve uzaysal koordinatlarda permütasyon
tansörleri
Ikl
İkinci dereceden birim tansör bileşenleri
viii
ŞEKİLLER DİZİNİ
Sayfa
Şekil 1.1. Elektrik mekanik ve termal sistemler arasındaki etkileşimler..............
Şekil 1.2. Baskı altındaki piezoelektrik gövde de depolarize alan etkisi..............
Şekil 1.3. Elektromekanik eşleşme sabitinin baskı-gerilme döngüsünün tanımı.
Şekil 1.4. Kristollagrafik eksenlere göre dörtgensel kooordinat sistemi..............
Şekil 1.5. Sınırlama gruplarının simetrisini gösteren katılar................................
Şekil 1.6. GT- kristal kesimi.................................................................................
Şekil 1.7. Kristaldeki dikdörtgensel koordinat sistemi.........................................
Şekil 4.1. Geometrik boyutlar...............................................................................
Şekil 4.2. Kirişin mesh yapılmış hali....................................................................
Şekil 4.3. Serbetlik derecelerinin kaldırılması ve yükün uygulanması.................
Şekil 4.4. Toplam deformasyonlar........................................................................
Şekil 4.5. Toplam potansiyel fark.........................................................................
Şekil 4.6. Toplam elektrik akı yoğunluğu.............................................................
Şekil 4.7. Elektrik potansiyel değişiminin farklı açılardan ifadesi.......................
Şekil 4.8. Elektrik akı yoğunluğunun değişik tarzda görüntüleri.........................
Şekil 4.9. Elektrik alandaki değişim.....................................................................
Şekil 4.10. Gerilme dağılımı.................................................................................
Şekil 4.11. Gerinme dağılımı................................................................................
Şekil 4.12. 10. moda ait toplam deformasyonlar..................................................
Şekil 4.13. Potansiyel farkının değişimi...............................................................
Şekil 4.14. Toplam yer değiştirme (anti-rezonans)...............................................
Şekil 4.15. Elektrik potansiyel dağılımı................................................................
11
44
46
50
52
62
63
95
95
96
97
97
98
98
99
99
100
100
102
102
103
104
ix
ÇİZELGELER DİZİNİ
Sayfa
Çizelge 1.1. Temel pizoelektrik ilişki tipleri........................................................
Çizelge 1.2. Çeşitli sabitler arasındaki ilişki.........................................................
Çizelge 1.3. Kristallerin simetrisi sınırlama grupları............................................
Çizelge 1.4. Sınırlama grupları.............................................................................
Çizelge 1.5. 1.Rank polar tensörlerin simetrisi.....................................................
Çizelge 1.6. 2.Rank polar tensörlerin simetrisi.....................................................
Çizelge 1.7. 3.Rank polar tensörlerin simetrisi.....................................................
29
31
51
53
59
60
60
1
1. GİRİŞ
Son on yıl içerisinde malzeme bilimindeki gelişmeler kaliteyi ve güvenilirliği
arttıran, maliyeti azaltan çok sayıda yeni ve ileri düzeyde malzemeler üretti. İleri
malzeme teknolojisinin etkileri malzeme seçimi ve modellemesi ile uğraşan dizayn
mühendislerinin de bakış açısını değiştirdi. Dizayn proseslerini yoğun bir şekilde
etkileyen yeni bir malzeme sınıfı ortaya çıktı ve fonksiyonel malzemeler olarak
adlandırıldı. Bu malzemeler, elektrik alan, magnetik alan veya ısınma gibi belirli
fiziksel olayların etkisinde kaldıkları zaman şeklini ve maddesel özelliklerini
değiştirme konusunda benzersiz ve olağan üstü kapasitelere sahiptir. Şekil hafızalı
alaşımlar
ve
plastikler,
magnetostriktif
ve
piezoelektrik
malzemeler
ve
elektroreolojik akışkanlar fonksiyonel malzemelerin tipik örneklerini oluşturur. Aynı
zamanda, akıllı veya zeki malzemeler (intelligent or smart materials) şeklinde de
adlandırılan fonksiyonel malzemeler bir dizayn mühendisi için çok geniş kapsamlı
teknolojik fırsatların oluşturulabileceği ortamlar teşkil eder. Sensörler, optik fiberler
ve sinir ağları ile birlikte küçük tetikleyicilerden oluşmuş bir mekanizma fiziksel
şartları incelenen yapının kendine has özelliklerini çok rahat takip edebilir (Tani ve
Takogi 1998). Çok sayıda uygulamalar için büyük potansiyellerin varlığı literatürde
özetlenirken bu fırsatlardan bazıları günümüzde oldukça başarılı bir şekilde
insanlığın hizmetinde kullanılmaktadır. Fonksiyonel malzemelerin en çarpıcı özelliği
kuvvet ve konum kontrolünde çok basit ve anlaşılır düzeyde kullanım kolaylığı
göstermeleridir (Burman, 2000). Genellikle uygulanan etki tersinirdir yani malzeme
üzerindeki fiziksel etki kaldırıldığında malzeme orijinal durumuna dönecektir.
Konvensiyonel mühendislik malzemeleri genellikle destekleme, katılık sağlama,
bağlama v.b. gibi pasif yapısal fonksiyonlar üretme yeteneğine sahiptir. Başarılı bir
şekilde standardize edilmiş malzeme özelliklerini dikkate alarak konvensiyonel
mühendislik malzemelerinin seçimi az veya çok alışılmış ve bilinen bir prosedür
çerçevesinde gerçekleştirilir. Diğer taraftan, fonksiyonel bir malzeme seçiminde
dizayn mühendisi oldukça kompleks problemlerle karşı karşıya gelir. Pasif
fonksiyonlara ilave olarak şeklini ve maddesel özelliklerini değiştirme gibi aktif
fonksiyonlar da üreten bu malzemeler bir mekanik bileşenler topluğunun üstleneceği
2
görevleri de
yapabilmelidir (Wang, 1992). Fonksiyonel malzemenin dizayncı
tarafından önerilen fonksiyonlara katkıda bulunup bulunamayacağını araştırmak için
gerekli olan malzeme özelliklerini belirleyecek olan kavramsal dizayn fazına
(aşamasına) önemli kaynaklar ayrılmalıdır.
Aktif fonksiyonu yerine getirecek yetenekleri tanımlayan malzeme özellikleri lineer
değildir ve genellikle de zamana bağlıdır (Daros ve Antes, 1999). Sonuç olarak,
standardize hale getirilmiş malzeme özellikleri ile birlikte fonksiyonel malzemelerin
kullanılma ihtimali zayıftır, ve gerçek dizayn problemi ile ilgili bilgi azdır, bazı
durumlarda güvenilmez durumdadır. Bu yüzden bir kavramın çalışma ilkesini
tanımlamak ve doğrulamak için dizayn mühendisine gerekli olan bilgi günümüzde
neredeyse yalnızca deneysel araştırmalarla sağlanabilmektedir. Bu kompleks seçim
prosesinin bir sonucu olarak fonksiyonel malzemeleri kullanan bir çok dizayn projesi
kavramsal dizayn aşamasından öteye geçememektedir.
Dizayn metodolojisi çerçevesinde önemli araştırma aktiviteleri mühendislik dizayn
proseslerinin alışılagelmiş modellerini elde etmek veya dizayn prosesinde kısalık
sağlamak için çok fazla sayıda teşebbüsleri gerçekleştirmişlerdir. Sıkı kurallar koyan
dizayn prosedürü modellerinin geliştirilmesindeki asıl amaç teklif edilen metotla
dizayn problemine nasıl yaklaşılacağına, ne kadar etkili olunacağına ve en iyi
sonuçların nasıl elde edileceğine ait bir teori geliştirmektir. Böyle bir modele
dayanarak dizayn prosedürünün yani dizayn fazının ana amaçlarını belirlemek ve
eğer gerekiyorsa, dizayn metotlarını ve dizayn tekniklerini geliştirmek için bu fazları
temel aktivitelere ayrıştırmak mümkündür.
Belirli bir dizayn görevine adapte olunduğu zaman, dizayn prosedürü modelleri
dizayncının neyi ne zaman yapacağını planlamasına yardımcı olmakla kalmaz aynı
zamanda dizayn işlemini nasıl gerçekleştirmesi konusunda da rehberlik eder. Açıkça
söylemek gerekirse dizayn prosedürü modelleri dizayncının verilen görevi nasıl
gerçekleştireceğini belirleyen esnek, subjektif ve kesinleşmemiş bir tabloyu dizayn
mühendisinin görüşlerine sunar. Nitekim bu modeller ana iskeletin oluşturulmasına
ve dizayn prosesine mükemmel bir temel yaklaşım ve öngörü sunduğu için,
3
mühendislik dizaynında fonksiyonel malzemelerin karmaşası ortaya çıktığı zaman
çok daha fazla önem arz etmektedir. Modelin kendi kalitesinden başka bu dizayn
prosedürü modelleri, ürünün geliştirilmesi amacıyla teknik açıdan tercih edilmiş ve
yönlendirilmiş fonksiyonel malzemeler üzerine önemli bir bakış açısı getirdiği için
temel referans prosedürleri olarak göz önüne alınmalıdır.
Mühendislik dizaynında fonksiyonel malzemeleri tartışırken bir alternatif olarak zeki
veya akıllı malzemeler gibi terimlerde göz önüne alınmalıdır. Genel anlamda akıllı
bir malzeme kendi içerisindeki ve çevresindeki değişikliklere reaksiyon gösterebilen
ve verilen bir görevi tüm yaşamı süresince optimum şekilde yerine getiren bir
malzeme olarak tanımlanmaktadır (Craig ve Shankar, 1994). Zeki veya akıllı
malzemeler terimi malzeme biliminin belli alanlarında kabul görmesine rağmen bu
terimler çok dikkatli kullanılmalıdır. Çünkü bu malzemeler biyolojik malzemelerin
karakteristik özeliklerini göstermezler. Üstelik, dizayn prosesinde dizayncı için
önemli bir görev de malzemenin hangi fonksiyonlara katkıda bulunacağını
belirlemektir. Bu sebepten ve incelenen malzemenin hem aktif hem de pasif
özelliklere sahip olmasından dolayı bu gruptaki malzemeler daha öncede belirtildiği
gibi fonksiyonel malzemeler olarak isimlendirilmiştir. Bu kelimenin içerisinde
fonksiyonel malzeme kullanımının çok daha basit bir dizayn sağladığı görüşü de yer
almaktadır. Örneğin, fonksiyonel bir malzeme kullanan tetikleyicilerdeki mekanik
bileşenlerin sayısı aynı amacı yerine getiren elektromekanik tetikleyicilere yardımcı
olan mekanik bileşenlerin sayısından oldukça azdır (Ding ve Gou, 1999). Young
modülü, akma mukavemeti ve elektriksel direnç gibi yapısal malzeme özellikleri
konvensiyonel mühendislik uygulamalarında sabit değerler olarak göz önüne
alınmaktadır. Fonksiyonel malzemelerde, aktif fonksiyonu yerine getirmek için
malzemenin yeteneğini tanımlayan özellikleri de bünyesinde barındıran bu özellikler
operasyonel bir aralık üzerinde önemli ölçüde değişiklik gösterir. Kompleks
malzeme davranışına ve fonksiyonel malzemeleri kullanan dizayncının hangi
zorluklarla karşı karşıya geldiğini ifade edebilmek için yaygın olarak kullanılan üç
farklı malzemenin karakteristikleri ve dizayn prosedürü ile ilgili özellikleri bazı
detayları ile birlikte aşağıda verilmeye çalışılmıştır. Bunlar ; şekil hafızalı alaşımlar,
piezoelektrik malzemeler ve magnetostriktif malzemelerdir.
4
Difüzyonun yer almadığı martenzitik transformasyonlarla üretilirler. Şekil hafızalı
alaşımlar (shape memory alloys - SMA) belirli bir sıcaklık değişimine maruz
kaldıkları zaman önceden tanımlanmış bir şekil veya ölçüye dönmek yeteneğine
sahip malzemelerdir. Şekil hafızalı alaşımlar çok yüksek gerinme ve gerilme
değerleri gösterebilirler, ve tetikleyicilerde, tek çevrimli kaplinglerde ve bağlama
elemanlarında olduğu gibi nispeten büyük miktarlarda işi yerine getirmek için
uygulamalarda büyük potansiyellere sahip malzemelerdir. Tipik uygulamalarda, şekil
hafızalı alaşımlar nispeten düşük sıcaklıklarda deforme olurlar belirli bir sıcaklık
artışının etkisinde kaldıkları zaman orijinal şekillerine geri dönebilirler. Bu etkinin
kullanılmasını içeren bir dizayn görevinde başarılı olmak için ilk adımlardan biri ,
transformasyonun oluştuğu sıcaklıklar ile transformasyon tarafından oluşturulan
gerilme ve gerinme gibi şekil hafıza özelliklerinin belirlenmesini gerektirir. Zamanla
ve gerçekleştirilen transformasyonların sayısı ile değişmekle birlikte, termomekanik
çevrimden dolayı oluşan histerisis yüzünden bu özellikler birbirleri ile etkileşim
halindedir. Sonuç olarak, bir dizayn mühendisinin ana görevi zamanın ve
termomekanik çevrimlerin bir fonksiyonu olarak gerilme, -gerinme- ve sıcaklık
eksenleri boyunca histerisisin şeklini, büyüklüğünü ve yerini önceden tahmin
edebilmektir.
Piezoelektrik özellik malzemenin kristal yapı yöneliminin bir sonucudur. Bu özellik,
mekanik gerilmelerin etkisinde kaldığı zaman bir elektrik alanı üretebilen veya
tersine elektrik alana sokulduğu zaman deforme olabilen belirli kristal yapıdaki
malzemelerin bir yeteneği olarak ta tanımlanabilir (Tani ve Takogi, 1998).
Piezoelektrik malzemeler, gösterdikleri hızlı davranıştan dolayı titreşim kontrolü ve
aktif yapısal akustik kontrol gibi küçük strokların gerekli olduğu yüksek frekans
uygulamalarında tercihli bir şekilde kullanılmaktadırlar. Bir tetikleyicide veya
sensörde kullanılan piezoelektrik davranış bir elektrik alanın sebep olduğu gerinmeyi
hesaplayarak önceden tahmin edilebilir, veya bu prosesin terside kullanılabilir.
Genellikle, gerinme ve elektrik alan arasındaki bağıntı non-lineerdir ve çevrim
esnasında gerinme-elektrik alan düzleminde bir histerisis olarak gözlenir (Xiao ve
Bai, 1998). Bu bağıntıyı tesis etmek için, dizayncı zamanla, sürtünme etkisiyle,
5
yaşlanma ve piezoelektrik etkinin azalması ile değişen malzeme özelliklerini
belirlemek zorunda kalacaktır.
Magnetostriktif malzemeler, magnetik alanın etkisinde kaldığı zaman boyutsal
değişiklik gösterme yeteneğine sahip malzemeler şeklinde ifade edilebilir.
Magnetostriktif malzemeler, uygulanan alanla sıraya sokulduklarında mekanik bir
harekete neden olan, rast gele yönlenmiş kuzey-güney kutuplara sahip magnetik
domenlerden oluşmuş bir malzeme olarakta düşünülebilir (Pelrine ve Kornbluh,
1999). Magnetostriktif malzemeler şekil hafızalı alaşımlara göre çok daha küçük
stroklar gösterir ve mekanik davranışları piezoelektrik malzemelerden daha yavaştır.
Onların uygulama alanları transduser cihazlar ve ultrasonik ses üretim sistemleridir
(Suresh, 1999). Bu malzemelerde de gerinme ve magnetik alan arasındaki ilişki
lineer değildir. Histerisis karakteristiklerinden anlaşıldığı kadarıyla, bu tip
malzemeler kullanıldığında ortaya çıkan asıl dizayn problemleri homojen olmayan
magnetik alanların ve kenar (eddy) akımlarının üretilmesidir. Bu yan etkiler daha
sonra mekanik dalgaların ilerlemesine neden olabilir.
Fonksiyonel malzemelerin non-lineer ve zamana bağlı değişimlerinden, dizaynda
yapısal değişikliklerle birlikte kendi yapılarında da değişiklikler gösteren aktif
fonksiyonlara sahip bu malzemelerin asıl kullanım amaçlarından dolayı mühendislik
dizaynında
bu
malzemeleri
kullanan
bir
dizayncının
yeni
problemlerle
karşılaşabileceği açıkça gözükmektedir. Fonksiyonel malzeme kullanan veya bu
malzemelerden oluşan elemanların çalışma ilkelerini belirlemeye çalışan bir
mühendis için asıl görev kavramsal dizayn fazını başarıyla yerine getirmektir (Kögl
ve Gaul, 2000). Fonksiyonel malzemelerin davranışı ile ilgili olan dizayn ilkeleri bu
aşamada malzeme özelliklerinin doğru bir şekilde belirlenmesi sayesinde önceden
tahmin edilebilir.
Bilindiği gibi çalışan sistemlerin , doğru çalışma peryodlarını sürdürebilmeleri için
dış parametrelerin değişimlerini en çabuk şekilde ve doğru algılayabilmeleri
6
gereklidir. Bu algılama sırasında kullanılan ve parametre değişikliklerini sisteme
uyarlayan elemanlara genel olarak algılayıcı ve tetikleyiciler adı verilir.
Dış parametrelerde meydana gelebilecek değişiklikleri ; algıladığı özelliğin dışında
başka bir özellikle sisteme aktarmak gerekliliği doğabilir. Örneğin mekaniksel bir
hareketin algılanarak elektriksel bir uyarıya dönüştürülmesi veya ısıl bir değişim
algılanarak elektriksel bir uyarıya dönüştürülmesi veya elektriksel bir uyarı
algılanarak mekanik bir uyarı oluşturulması gibi. Tüm bu ve benzeri işlevleri yerine
getirmek amacıyla akıllı maddesel sistemler kullanılmaktadır (Haojing, ve Weigiu,
1997).
Akıllı maddesel sistemler (İntelligent Material Systems), bünyesinde barındırdıkları ;
algılayıcı, uyarıcı ve kontrol edici mekanizmaların özelliklerini kullanarak canlı
sistemlerinkine benzer uygulamalar ile dış veya iç parametrelerin değişmelerine göre
davranışlarını ayarlayabilen yapılardır (Kallenbach ve Kube, 1999).
Piezoelektrik malzemeler elektrik enerjisini mekanik enerjiye mekanik enerjiyi
elektrik enerjisine çevirme yeteneğine sahip malzemelerdir (Xu ve Rajapakse,
1999). Bu özelliklerden faydanılarak algılayıcı (sensör) ve tetikleyici (actuator)
olarak sıkça kullanılmaktadır. Elektrodlar yardımı ile bir gerilim uygulandığında
mekanik bir hareketle cevap vermesi veya mekanik bir baskı sonucunda bünyesine
bağlanan elektrodlardan gerilim elde edilmesi bu sert malzemelerin öncelikli olarak
yapısal sistemlerin üzerine araştırma yapılmasını ortaya çıkarmıştır (He ve Ng,
2000).
Yapısal olarak incelemeye başlandığında , bir piezoelektrik malzemenin Gerilme (T)
Gerinme (S) tansörleri ile Elektrik alan (E) ve Elektrik deplasman (D)
vektörlerindeki değişimler ilk olarak ele alınması gereken değerlerdir. Bu değerler
arasındaki ilişki aşağıdaki bünye denklemi ile tanımlanabilir.
{ T }= [C E ] {S} - [e ]T { E }
{ D }= [ e ]{S}+ [ε S ] { E }
7
denklemlerde kullanılan [C E ],[e] ve [ε S ] sırasıyla katılık katsayısı , piezoelektrik
sabit , dielektrik sabittir.
Mekanik özellikleri ile dikkat çeken piezoelektrik malzemelerin yanısıra termal (ısı)
özellikleri ile önplana çıkan piroelektrik malzemeler de kontrol sistemlerinde
kullanılmaktadır.
Bu çalışmada mekanik ve elektrik etkileşimlerin sonucu olan piezoelektrik özelliğin
malzemede nasıl ortaya çıktığı bünye denklemleri yardımı ile ifade edilmektedir.
Ayrıca birbirinden farklı sistemler arasında etkileşimin oluşturulması açısından
bakıldığında birbiri ile bağlanan sistemler arasındaki enerji etkileşimi ve bağlantı
katsayısı denklemleri ortaya konmaktadır.
1.1. Piezoelektrik ve Piroelektrik
1824’te Brewster çeşitli türdeki kristallerin etkisini gözlemlemiş ve “Piroelektrik”
terimini bulmuştur. Lord Kelvin piroelektriğin sürekli kutuplaşmaya dayandığını
kaydetmiştir. Bu teoriye göre, Piroelektrik etki, bu kutuplaşmanın sıcaklık kat
sayısının basit bir görünümüdür. Dolayısıyla, bu etki elektriksel ve ısıl sistemlerin
arasındaki etkileşim olarak bilinir.
Piezoelektrik etki 1880’de Pierre ve Jacgues Curie tarafından keşfedilmiş, ve
önemsiz bir keşif gibi görünmüştür. Pierre Curie önceleri Piroelektrik ve kristal
simetrisi arasındaki ilgi üzerine çalışmıştır. Bu çalışma, kardeşleri sadece basınçtan
meydana gelen elektriklenmeyi aramak zorunda bırakmış, fakat tahmini olarak
basıncın ne yönde uygulanabileceği ve kristal sınıflarının etkisi açıklanmıştır. Aynı
fenomen (olay), turmalin ve Rochelle tuzu gibi birçok diğer kristalde de
bulunmuştur. Hankel “piezoelektrik” ismini önermiştir. Piezoelektrik elektriksel ve
mekanik sistemler arasındaki bir etkileşimdir. Doğrudan (direkt) piezoelektrik etki
mekanik gerilme tarafından üretilen elektrik kutuplanmasıdır. Bununla ilgili olarak,
8
bir elektrik alan uygulandığında ters etki vasıtasıyla kristal şekil değiştirmektedir
(genleşmektedir). Her iki etki de kristalin aynı temel özelliğinin yansımasıdır.
Doğrudan etkinin keşfini izleyen yılda, Lippmann ters etkinin varlığının
termodinamik temellerden kaynaklandığını tahmin etti. Onun tahmini 1881’in
sonunda önce Curie’ler tarafından doğrulandı. Sonrada kuvarsın piezoelektrik
katsayısının hem ters hem de doğrudan etki için aynı değere sahip olduğunu
gösterdiler.
Piro ve piezoelektrik arasındaki ilişki çok tartışıldı ve Woldemar Voight doğru ve
ters Piroelektrik arasında bir ayrım olmasına işaret etti.
Piezoelektriğin fenomensel teorisi, Lord Kelvin tarafından termodinamik prensiplere
dayanarak bildirdi. Piezoelektriğin formülasyonu Pierre Puhem ve F. Pockels
tarafından daha fazla detayla tamamlandı, fakat Voight bu alanda en etkili kişi
olduğunu kanıtladı. Kristal fizikte bugün kullandığımız formülasyonu 1910’da çıkan,
Voight’in anıtsal eseri Lehrbucholer Kristallphysic’e borçluyuz. Bir kafes –
dinamiksel teori de Max Born tarafından 1920’de verildi ve kuvars’da piezoelektrik
kutuplanmanın nitel açıklamalı bir atom modeli, 1925’te Bragg ve Gibbs’in çalıştığı
X – ışın analizi yardımıyla gösterildi.
1917’de Robert A Millikan liderliğinde Ulusal Araştırma Konsülü sponsorluğunda
bir konferans toplandı. Cady konferansa ilgi alanı olan ultrasonik dalgalar yardımıyla
denizaltı tespiti konusundan dolayı davet edildi, Paul Langevin, kuvars – çelik
sandviç transdüserler yardımıyla ultrasonik dalgaları oluşturduğunu
bildirdi. Bu
Langevin – tipi transdüser olarak adlandırıldı ve ultrasonik mühendislikte orijinal
uygulamaya dönüştü.
Toplantı, Cady’nin ilgisini piezoelektriğe döndürdü. İlk olarak bir General Electric
grubu ile işbirliği yaparak kuvars ve Rochelle tuz kristalleri üzerinde çalıştı. 1921’de
piezoelektrik kuvars rezonatörünün bir frekans standardı veya bir filtre olarak
kullanabileceğini gösterdi.
9
Jaffe 1935’te Birleşik Devletlere gitti ve Cady’ye Rochelle tuzunu araştırmada
yardım etti. Bu çaba bir kristali kuvars gibi kararlı, sağlam ve Rochelle tuzu gibi
güçlü piezoelektrik yapmaya adaydı. ADP kristali bir cevap olarak bulundu.
Rochelle tuzu ferroelektrik kristallerin ilkiydi. Birçok yeni ferroelektrik kristal
başarıyla keşfedildi, örneğin KDP ve BaTiO 3 çoğu ferroelektrik kristal kuvvetli
olarak Piroelektrik ve piezoelektriktir.
Yeni piezoelektrik malzemeler sık sık meydana çıkmaktadır. Bunların tümü, Warren
P. Mason tarafından başkanlık edilen Bell Telefon Laboratuarları Grubunun
aktivitesi olarak tüm niteliğiyle kaydedilebilmektedir. Suda çözünen kristallere
bakıldığında kuvars yerini keşfedilen EDT, DKT, vs’e bırakmıştır. Diğer elden,
hidrotermal yetiştirme (büyütme) tekniği kullanılarak kuvars kristallerin üretimini
arttırmak için çok fazla çaba sarf olunmuştur. Bugün, sentetik kuvars imalatı kendi
alanında bir endüstri olmuştur.
BaTiO3’ün ferrolektirk seramikleri piezoelektrik malzemeler alanı dışında İkinci
Dünya Savaşı’ndan sonra gelişmiştir. Yeni seramik malzemeler incelenmiş ve PbO3
ve ilgili malzemelerin gelişmesine yol açmıştır.
Yüzey-akustik-dalgalı cihazlarda kullanılan en önemli kristaller LiNbO 3 ve
LiTaO3’tür. Piezoelektrik yarı iletken film transdüserler ve piezoelektrik polimler de
ultrasonik elektriğinde hayati rol oynamaktadırlar.
Ön sayfada ifade edildiği üzere, bu çalışmanın amacı, piezoelektrik ve ilgili
konulardaki çalışmalar için makraskobik ve kristallografik metodolojiyi (metotları)
sunmaktır. Atomik yaklaşımlar, yukarıda kısaca özetlendiği üzere, bu çalışmanın
alanı dışındadır.
10
1.1.1. Elektriksel mekanik ve termal (ısıl) sistemler arasındaki etkileşim
prosesleri
Piezoelektrik, elektriksel ve mekanik sistemler arasındaki, Piroelektrik elektriksel ve
ısıl sistemlerin arasındaki bir lineer etkileşimdir.
Etkileşimli prosesler Şekil 1.1’de gösterildiği üzere elektriksel, mekanik ve ısıl gibi
iki veya üç sistem arasında mümkündür. Benzer diyagramlar kristal fizikle ilgili
birçok kitapta bulunabilir. Dıştaki üçgendeki büyüklükler yoğun değişkenleri, içteki
çizgiler daha esnek kendine özgü sistemleri göstermektedir. Bir çizgi her bir
göstergeyi kendine özgü değişkenlerle bağlamakta, burada asıl olmayan semboller
doğrudan (direkt) etkiyi ve asıl olanlar ise ters etkiyi göstermektedir.
Bu diyagramda gösterilen etkileşimli prosesler herhangi iki sistem arasındaki
doğrusal etkileşimlerdir. Buradan çeşitli kavramlar yapısal ilişkiler, kapling
katsayıları, sabitlerdeki durum spesifikasyonları, v.s. sıklıkla bu çalışmada
görülebilir, herhangi bir etkileşimli proseste yaygın olarak uygulanabilirliği vardır.
Bu çalışma bu konuların piezoelektrikle nasıl ilgili olduğunu göstermenin yanında,
lineer etkileşimli proseslerin genel olarak anlaşılmasına da, piezoelektrik
etkileşiminin bir çalışması olarak liderlik edebilir.
11
Şekil.1.1. Elektrik mekanik ve termal sistemler arasındaki etkileşimler (Ikeda, 1990)
1.2. Elektro Mekanik Etkileşim ve Piezoelektrik İlişkilerin Termodinamik
Yönleri
Bu bölümde bir lineer bağlı sistemde, yapısal ilişki ve bağlantı katsayısı öncelikle
tartışılmıştır. Piezoelektrik etkileşim için kristal fiziğinin formülasyonu olan temel
piezoelektrik ilişki, termodinamik değerlerden türemiştir. Elektromekanik bağlantı
katsayısı ve kutupsallığı bozulmuş (depolarize) alan etkisi detayla dikkate alınmıştır,
çünkü bir piezoelektrik ortamda elektro mekanik proseslerde ses ve titreşimin ele
alınmasında bunlar önemlidir.
12
1.2.1. Lineer (doğrusal) bağlı bir sistemde yapısal ilişki ve bağlama
katsayısının genel tanımı
Lineer bir sistemin, iki farklı lineer bağlı fenomeni için değişkenlerin tek olduğunu
düşünürüz.. Bu iki fenomen arasındaki enerji dönüşümü fiziksel durum
değişkenlerindeki bir çeşitlilik vasıtasıyla üretilebilir. Bu etkileşimli proses, enerji
dönüşüm formunun bir yarı – statik dönüşüm sınıflamasının
kategorisi altında
meydana gelir.
Sistemdeki serbest enerji “F” tek olarak, iki bağlı sistemlerin durum değişkenlerine
tahsis edilmiş iki parametre ile açıkça belirtilir. Eğer bu değişkenleri η ve x ile
gösterirsek F homojen kuadratik (karesel) ifade
1
1
F (η , x ) = a11 η 2 + a12 η x + a 22 x 2
2
2
(1.1)
ile verilir.
Burada η = x = 0 durumu bir eşitliktir. Bu F(0,0) = 0 olarak farz edilir. Burada η
ve x’in her ikisi de esnek değişkenlerdir. Genelleştirilmiş kuvvetleri yoğun
değişkenler
η ve x ile bağlandığında H ve X ile gösterilir, sırayla kesin
diferansiyelleri ,
dF = Hdη + Xdx.
(1.2a)
ile verilir.
Buna göre;
H = ∂F / ∂η and
X = ∂F / ∂ x
(1.2b)
13
ile diferansiyeli alınırsa yapısal ilişkiye neden olur ve aşağıdaki gibi iki lineer
eşitlikle kurularak verilir.
H = a11 η + a12 x ve
X = a12 η + a22 x.
(1.3)
İlişkinin alternatif bir türetilmesi ise H ve X’in sırayla η ve x üzerine Taylor açılımı
ile mümkündür. Böylece ikinci eşitlikteki η terimi katsayısı X için a 21 şeklinde
yazılabilir. Bununla birlikte a 21 = a 12 olduğu bilinir ve yukarıdaki termodinamik
argümanla kolayca ispat edilir. Başka bir deyişle, bu kesin diferansiyelin varlığının
sonucudur. a 12 = a 21 ilişkisi karşıtlık kanununu gösterir.
a 11 ve a 22 katsayıları sıraylaη ve x sistemlerinin ana sabitleridir. Hiçbir bağlantı
olmadığında, örneğin a 12 = 0 olduğunda söylenebilir ki her bir katsayı bir ters
hassasiyet veya bir sağlamlıktadır. Bağlı sistemde bununla birlikte ana sabitler ayrı
olarak belirtilmez, her bir engelleyici, sistemde durumların tarifi altında
belirlenmelidir. Yukarıdaki ilişkide sabit X (veya x=0) ve sabit η (veya η = 0)
durumları için sırayla
a 11
x
a 11 ve
a 22
tespit edilmiştir. bu nedenle onları
η
ve a 22 olarak göstermek tercih olunur, burada x ve η üsleri ana sabitleri
ölçerken sabitlerin büyüklüklerini sabit tutmaya yarar.
Bağlantı magnitütünü göstermek için kapling katsayısı k tanımlanır. Bu
k
2
2
= a 12 / a 11 a 22.
(1.4)
ile belirlenir.
Bağlantı katsayısı bununla birlikte bir dönüşüm verimini göstermez. Yarı – statik
enerji dönüşüm şeklinde prensipte net verim, eğer sistemden herhangi bir kayba
müsaade yoksa % 100’ dür (Zhu, 2000). Enerji çevirimi tamamlandığında
dönüştürülenden daha fazla enerji sağlamak gereklidir. Çevrim tamamlandığında
14
fazla enerji kaynağa geri döner. Buna göre k, enerjinin kullanılmayan veya verimsiz
kısmın küçüklüğünün bir ölçüsüdür.
Bir an için η sisteminden x sistemine enerji dönüşümünü düşünelim. Çıkış enerjisi
Ex’in giriş enerjisine oranının gösterimi λ = − E x / H η , maksimum değeri kolayca
2
λ
max
1
1




2
2
1
1
1
1




=  −  2 − 1  =  +  2 − 1 
k  k
k  k
 
 




−2
.
(1.5)
olarak bulunur.
Bu bir enerji transmisyon katsayısı olarak adlandırılır.
Eşitlik (1.3) de verilen yapısal ilişki η ve x bağımsız değişkenleri ile açıklanır.
Parantez içinde açıkça belirtilerek bu bağımsız değişken grubunu ( η ,x) tipi olarak
adlandıralım. Farklı değişken gruplarının seçimi diğer tipleri verir : ( η ,x) , (H,X ). İlk
seçim ( η ,x) η ve x eksen değişkenlerinde en basit tipi olarak düşünülebilir ki ,bu
durum değişkenler için en uygunudur. Böylece a 11
x
η
ve a 22 sırayla η ve x için
asal sabitler olarak düşünülebilir. (H,X ) tipi ilişki (1.3) eşitliğinin yeniden
düzenlenmesiyle kolayca bulunur :
η=
a
1
H − 12x x ve
x
a11
a11
X=
 η a12 2 
a12
 a22 − x  x
H
+
x

a11
a11 

(1.6)
İkinci eşitlikteki x teriminin katsayısı, sabit – H ( veya H = 0 ) durumu için x
sisteminin katılığıdır, a 22
H
η
x
x
H
ile gösterilir. Böylece
η
(
)
a 22 = a 22 − a12 / a11 = a 22 1 − k 2 .
olur.
(1.7)
15
Özetle, lineer etkileşimli prosesin önemli özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir:
1. Açıkça bağlı bir yada iki sistemin ana sistem sabitinin (Örn.Katılık) belirlenmesine
karşılık, diğer sistemin durumunun hal olarak kesinlikle belirtilmesi gerekir.
2. Hiçbir bağlantı yok iken bir ara sabit, asal sabitten daha büyük olamaz. Başka bir
deyişle, ortamda hiçbir etkileşimli proses olamaz.
3. Sabit, esnek değişkenlerin durumu için diğer sistemin asal sabiti bağlantı katsayısı
olarak kullanılan 1 - k 2 değişkeni ile ilişkilidir.
Bu anlatım oldukça genel olmasına rağmen ana kısımlar tam olarak dikkatlice
belirtilmiştir. Esnek değişkenler, bağlı bir sistemin iç durumunu açıklamak için en
uygun durum değişkenleri olarak düşünülür: bu, ( η , x) tipinin temel form olarak
alınmasıyla var olan bir ilişkidir. (H, X) tipi gibi yoğun tiple başlarsak, benzer bir
arguman mümkündür. Ana sabitler esnek olanlar veya hassas olanlardan sonradır. Bu
durumda sabit η için eksen olan sabit, sabit H için olandan daha küçüktür. Bu
sonuca yukarıdaki 2. madde ile aynıdır. Bununla birlikte sonraki tartışmalar
maddelerden orijinal görüntü tabanlıdır, örneğin hangi sabitlerin ve değişkenlerin
temel olarak alınacağına karar vermek gibi.
Böylece bir esnek değişken grubunu belirlemek, ölçümü göz önünde tutmaya
başlamaktır.
1.2.2. Fiziksel büyüklüklerin tansörel açıklaması
Fiziksel değişkenler ve sabitler genellikle tansörlerle ifade edilir. Bu nedenle, tansör
cebrinin temelleri aşağıda kısaca açıklanmıştır.
Tansörler bir koordinat sisteminin dönüşüm ilişkisi ile belirtilebilir. Bir kartezyen
sisteminin lineer dönüşümü;
16
0 − x1 x 2 x3
′
′ ′ ′
den 0 − x1 x 2 x3 ’ne xi = aij x j (i, j = 1,2,3)
(1.8)
ile ifade edilir.
[ ]
aij , dönüşümün matrisi aij ’nin elemanlarıdır. Einstein toplama uzlaşımı izlenirse,
1’den 3’e kadar olan toplam terimdeki tekrarlanan indislerden alınır.
n. rankın bir kutupsal tansörü n’in alt indis olarak verildiği
′
Wij Κ n = aip a jq Λ a nt W pq Κ t
(1.9)
ile belirtilir. Bir skaler değer sıfırıncı rankın bir tansörüdür. Bir kutupsal vektör
′
Pi = aij Pj
(1.10)
benzetilerek dönüştürülen birinci ranktan tansördür. Koordinat dönüşümü için bu
[ ]
(1.8) eşitliği ile aynı formdadır.Eğer dönüşüm matrisi aij ’nin determinantına A
dersek, onun özellikleri ;
 +1
A = det aij = 
− 1
[ ]
(1.11)
olabilir +1 durumunda eşitliğin her iki tarafı değişebilir –1 durumunda her iki tarafı
değişmez.
“Eşitsizlik ” terimi, soldan sağa ve sağdan sola koordinat sistemini belirtir.
Eksenel bir tansör;
17
~
′
V ij Κ m = A aip a jp Λ amt V pq Κ t .
(1.12)
ile verilir.
Böylece eksenel bir vektör;
~
~
q = A aij q j .
(1.13)
ile ifade edilebilir.
Bu, bir ters işlem (xi ) → (− xi ) altında işaret değiştirilmez.
İki vektörün sonucu için, p = ( pi ) ve q = (q j ) söylenebilir, üç çeşit bilinir: bir direkt
sonuç Vij ; bir skaler (iç) sonuç S, ve bir vektör (dış) sonuç ri bunlar aşağıdaki gibi
belirlidir:
~
vij = p i q j , s = pi q i , r = ε
ijk
p j qk .
Rotasyon (döndürme) tansörü ε
ε
ijk
(1.14)
ijk
+ 1 1, 2, 3 indislerinin çift permütasyonları için

= − 1 1, 2, 3 indislerinin tek permütasyonları için
 0 iki veya daha fazla indis esitse

(1.15)
Levicıvata rotasyonuyla belirlidir.
~
Sıradan vektör cebirinde s ve r i
s = p . q veya
( p , q ),


r = p x q veya [ p , q ]. 
~
(1.16)
18
olarak açılabilir.
Kutupsal ve eksenel tansörlerin belirtilmesiyle, tüm tansör çeşitleri için vektörler de
dahil aşağıdaki şekilde açıklanabilir;
Kutupsal x Kutupsal = Kutupsal,
Eksenel x Eksenel = Kutupsal,
Kutupsal x Eksenel = Ekseneldir.
ε
ijk
üçüncü rank eksenel tansör olduğundan, iki kutupsal vektörün bir vektör sonucu
ekseneldir. Görüntünün başka bir noktasından bir vektör sonucunun bileşenleri, bir
antisimetrik ikinci ranktan kutupsal tansörün çapraz olmayan bileşenlerine eşittir.
Vij = − pi q j + p j qi ,
işareti indislerin kendi aralarında değiştiği,
(1.17)
ij
→
ji
için değişir.
1.2.3. Bağlı sistemdeki fiziksel sabitler
Bağlı sistemin yapısal ilişkisini tartışmadan önce başka bir sistemle bağlantısı
olmayan her bir sistemin durum denklemi gözden geçirilmelidir.
Isıl sistemde, entropi σ (birim hacmindeki) esnek değişken farz edilmeli, ve sıcaklık
Θ yoğun değişken olarak alınmalıdır (Li ve Dunn, 1998). Eğer sırayla δ σ ve δ Θ
diferansiyelleri gösterilirse, ilişki
δ σ = ( p C / Θ )δ Θ
olarak açıklanır, burada C birim kütledeki özgül ısı ve p yoğunluktur.
(1.18)
19
Mekanik sistemdeki değişkenler olan gerinme S ij ve gerilme Tij , her ikisi de ikinci
ranktan kutupsal tansörlerdir. Şekil değiştirme tansörü bileşenleri;
S ij =
1  ∂u j ∂u i
+
2  ∂xi ∂x j




(1.19)
ile ifade edilir, burada (u i ) bir yer değiştirme vektörüdür. Buradaki yer değiştirme
mühendislikteki yer değiştirmeden farklı olarak, genellikle bu tansörel yer değiştirme
ile aynı olmayan, elastik tayf (sürem) mekaniğinde kullanılan yer değiştirme olup bu
daha sonra tartışılmıştır elastik ilişki;
Tij = cijkl S kl
veya S ij = sijkl Tkl
(1.20)
ile verilir. c sabiti elastik katılık sabiti ve s elastik uygunluk katsayısıdır. Her ikisi
de döndürücü rank’tan tansörlerdir.
Elektriksel sistemde, yoğun değişken genellikle elektrik alan Ei ’dir, burada esnek
değişken tam elektrik akı yoğunluğu (veya elektrik yer değiştirmesi) Di veya
kutuplaşma Pi ’dir. Kutuplaşma teorik işlem için uygundur, fakat Di pratik analizde
daha uygun ve kullanışlıdır. Böylece yapısal ilişki;
Di = ε
ij
Ej
veya E j = β ij D j
(1.21)
olur, burada ε ve β dielektrik sabitlerdir ve dielektrik geçirmezlik, sırasıyla her
ikisinin ikinci ranktan tansörleridir.
Etkileşimli proseste yapısal ilişki üzerinden hareket edilirse, söylenebilir ki ısıl ve
mekanik sistemler arasında bir termomekanik etkileşim varsa, özgül ısı ve elastiste
bağımsız değildir. Yapısal ilişki bağlama terimlerini de içeren grup aşağıdaki
eşitliklerle verilir.
20
(
)
δ σ = pC T / Θ δ Θ + α kl′ Tkl
(1.22a)
Θ
S ij = α ij δ Θ + s ijkl Tkl
(1.22b)
burada α ısıl genleşme katsayısı ve α ′ ters etkiyi ifade eder. Zaten α ve α ′
arasındaki eşitlik genel olarak ters kabul edilir. Spesifik ısı C T sabit T durumunu
ifade eder, örneğin bir serbest kristal için. s Θ ise sabit Θ içindir, örneğin bir
izoterm.
Bu ilişki (δ Θ , T ) tipinindir. Eğer (δ Θ , S ) tipi ilişkisi olarak yeniden düzenlenirse,
sabit S için veya sıkıştırılmış kristal için spesifik ısı C S ’i buluruz.
Bir gaz için uygun spesifik sıcaklıklar C p ve C v ’dir; bunlar bir gaz içerisinde çok
büyük hacim değişiklikleri olduğunda ayrıca kullanılırlar. C p ve C v arasındaki
fark
ihmal
CT
edilemez.
ve C S
arasındaki
düzenlendiğinde kolayca belirlenebilir. C S = C T
ilişki
( −k )
formüller
yeniden
ile verilir, burada k
termomekanik etki için kapling katsayısıdır ve
k
2
=
Θ α
i j
α k′
l
p C
 s
− 1

θ
i j k l
T
(1.23)
[ ] , [s] tansörünün bir tersidir. Böylece [c] tansörüyle aynı
ile verilir, burada s −1
olur.
Elektriksel ve ısıl sistemler arasındaki etkileşim hem elektrokalorik hem de
piroelektriktir (Kalpakidis, 1992). Elektromekanik etkileşim piezoelektriktir. Bu
etkiler gelecek bölümlerde incelenecektir.
21
1.2.4. Bağlı sistem termodinamik fonksiyonları
1.2.4.1. Yapısal ilişkinin termodinamik türetimi
Şimdi ısıl, mekanik ve elektriksel sistemler arasında etkileşimli prosesler olduğunu
varsayalım. Yoğun değişkenler grubundan δ Θ , T ve E ilk farz edilen bağımsız
değişkenlerdir. İlgili termodinamik fonksiyon birim hacmindeki Gibss serbest enerji
G (Θ , T , E ) ’dir. Bu
G = U − Θσ − Tij S ij − En Dn
(1.24)
ile ifade edilir, burada U iç enerjidir ve σ , S ve D’nin bir fonksiyonudur. Kesin
diferansiyelden;
d G = − σ d Θ − S ij d Tij − Dn d E n
(1.25a)
olur ve
 ∂G 
 ∂G 
 ∂G 
σ =   , S ij = −   , Dn = −   .
 ∂Θ  T .E
 ∂Θ  Θ. E
 ∂Θ  Θ.T
(1.25b)
elde edilir.
G fonksiyonu sırayla δ Θ , Tij ve E n ile lineer etkileşimlerin sahası ile genişletilirse,
G=
1 
∂
∂
∂
δΘ
+ Tij
+ En

2
∂Θ
∂Tij
∂E n

  δ Θ ∂ + Tkl ∂ + E m ∂

∂Θ
∂Tkl
∂E m

elde edilir. Sonra aşağıdaki sabitler belirlenir.

 G.

(1.26)
22
S ijkl
ε nm
E ,Θ
T ,Θ
 ∂ 2G 
 ∂S ij 
= −
=

 ,
 ∂Tij ∂Tkl  E ,Θ  ∂Tkl  E ,Θ
 ∂ 2G 
 ∂Dn 
= −
 =

 ∂E n ∂E m  T , E  ∂E m  T ,Θ
(1.27a)
(1.27b)
 ∂ 2G 
pC T
 ∂σ 
= − 2  =   ,
Θ
 ∂Θ  T , E  ∂Θ  T , E
(1.27c)
 ∂ 2G 
 ∂Dn 
 ∂S ij 
Θ
d nij = − 
=
 =

 ,
 ∂Tij ∂E n  Θ  ∂Tij  E ,Θ  ∂E n  T ,Θ
(1.27d)
 ∂ 2G 
 ∂α 
 ∂S ij 
E
α ij = − 
=
 =

 ,

 ∂Tij ∂Θ  E  ∂Θ  T , E  ∂Tij  E ,Θ
(1.27e)
 ∂ 2G 
 ∂α 
 ∂Dn 
T
=
pn = − 
 =
 .

 ∂Θ ∂En  T  ∂Θ  T , E  ∂En  T ,Θ
(1.27f)
S ,ε , C ve α sabitleri daha önceden belirtildiği anlamları taşırken, d bir piezoelektrik
sabit ve P bir Piroelektrik katsayısıdır. Bunların ilk üçü sıralı kendine özgü
sistemlerde ana sabitlerdir; sonraki üçü ise iki sistem arasındaki kapling sabitleridir.
G fonksiyonu eşitlik (1.25b)’e uygun diferansiyel edilirse ve yukarıdaki sabitler
kullanılırsa aşağıdaki denklemler bulunur:
(
)
E
T
δσ = pC T , E / Θ δ Θ + α ij Tij + p m E m ,
(1.28a)
E ,Θ
(1.28b)
E
S ij = α ij δ Θ + sijkl
Θ
Tkl + d mij Em ,
23
T
Θ
Dn = pn δ Θ + d nkl Tkl + ε
T ,Θ
nm
Em .
(1.28c)
Bu üç eşitlik grubu kapıl sistemde bünye bağıntısını ifade eder. Burada daha önceden
ifade edilen dizayn esasları takip edilerek (δ Θ , T , E ) tipi ilişki olarak adlandırılır,
bunu izleyen şekillendirme Bölüm 1.2.1’de verilmiştir. Kapling sabitleri d , α ve p
sırayla elektromekanik, termomekanik ve termoelektrik etkilere uyar.
Fiziksel sabitler ilgili termodinamik fonksiyonun ikinci türevi olarak tanıtılmıştır.
Her bir kapling sabiti iki farklı değişkene göre ikinci dereceden bir türevidir ve
böylece türevin sırası değiştiği zaman kupling sabitlerin farklı anlamlar taşıdığı
düşünülebilir. Örneğin (1.27b) eşitliğinin tanımından iki çeşit piezoelektrik sabit
 ∂D 
Θ
d nij =  n 
 ∂ Tij  E ,Θ
ve d nij
′Θ
 ∂S ij 
=
 ,
∂
E
n

 T ,Θ
(1.29)
türetilir.
İlk bahsedilen d birim gerilmeye karşı gelen elektrik akı yoğunluğunu gösterir,
sonraki d ise birim elektrik alana karşılık gerinmeyi gösterir. Bu sırayla uygun direkt
ve ters piezoelektrik etkilere dönüşür. Eşitlik (1.28c)’deki piezoelektrik bağlantı
terimi direkt etkiyi gösterirken; (1.28b) eşitliğindeki ters etkiyi ifade eder. Böylece
ters ve direkt etkilerin eşitliği kendince bellidir. Prosedür, Bölüm 1.1’in genel
argümanının içeriğidir. α ve p sabitleri için benzer gerçekler bulunmuştur. (1.28a)
eşitliğindeki pE terimi, elektrokalorik etki olarak adlandırılan ters Piroelektrik etkiyi
ifade eder.
Yukarıdaki ilişki başka bir yolla türetilebilir. Bağımlı değişkenler δ σ , S ve D
basitçe aynı bağımsız değişkenlerle genişletilebilir. Bu durumda direkt ve ters
etkilerin eşitliği aynı termodinamik ilke üzerinde araştırılır.
24
Bu diğer yapısal ilişkilerle de mümkündür. Farklı bir grup bağımsız değişken için,
başka bir ilgili termodinamik fonksiyon seçilmek zorundadır. Örneğin, entalpi
H (α , T , E ) , bir (δ α , T , E ) tipi ilişkiye yol açar. Şöyleki
(
δ Θ = Θ / pC
T ,E
)δ
E
E ,σ
T
σ
S ij = aij δ σ + sijkl
E
T
+ a kl T kl + b m E m ,
σ
Tkl + d mij Em ,
Dn = bn δ σ + d nkl Tkl + ε
T ,σ
nm
Em .
(1.30a)
(1.30b)
(1.30c)
Çeşitli tiplerdeki yapısal ilişkilerin tümü burada lineer düşünülmüştür; bununla
birlikte bir bağıntının transformasyonu bir diğer bağıntıya rehberlik eder. Böylece,
çeşitli sabitlerin arasındaki ilişkiler belirlenebilir. (1.28) ve (1.30) eşitliklerindeki
sabitler için
E
E
aij = Θα ij / pC T ,E ,
T
(1.31a)
T
bn = Θp n / pC T ,E ,
s ijkl
E ,σ
σ
= s ijkl
E ,Θ
Θ
(1.31b)
E
E
− Θα ij α kl / pC T , E
T
E
d nij = d nij − Θp n α ij / pC T ,E ,
ε nm
T ,σ
= ε nm
T ,Θ
T
T
− Θp n p m / pC T , E .
(1.31c)
(1.31d)
(1.31e)
25
1.2.4.2. Farklı durumlar için fiziksel sabitler arasındaki ilişki
Üç sistem arasındaki lineer etkileşim hakkındaki daha önceki tartışmalar dikkatleri
diğer sistemler için alt indisle gösterilen durumların iki türüne çeker. Herhangi iki
sistem arasında bir kapling sabiti bir üst indis ile gösterilirken, her bir sistemin asal
sabiti iki üs ile gösterilir. Örneğin iki üs E ve Θ elastik sabit s’e mekanik sistemdeki
bir ana sabite elektriksel ve ısıl sistemlerdeki durumları göstermesi için eşitlik
(1.27a)’da görüldüğü üzere sırayla eklenir. Eşitlik ( 1.31c)’de farklı ısıl durumlar için
uygun sabitler arsındaki ilişkiler, örneğin sabit σ (adyabatik) ve sabit Θ (izoterm)
için, verilmiştir. E indisi formüldeki tüm sabitler için ortaktır. Sıralı sabitler
arasındaki fark mekanikten ısıla etkileşim için bağlantı sabiti olan, ısıl genleşme α
ile verilmiştir. Böylece elektriksel sistem sadece indirekt ilişkili değil, bilindiği
kadarıyla bu bağlantıyla ilişkilidir. Diğer bir deyişle üçüncü sistemden başka bir şey
değildir. Eğer
S α / S Θ = 1 – A oluşturulur ve A’yı aşağıdaki gibi ifade edersek sorun kalmaz
A = ( Direkt bağlı iki sistem arasındaki kapling katsayısı k ) 2
= (kapling sabiti) 2 /[(bir sistemin asal sabiti)x(karşı sistemin asal sabiti)]
(1.32)
Diğer taraftan piezoelektrik sabit d denklem (1.27d)’de Θ üst indis ile belirtilmiştir.
Eşitlik (1.31d)’deki ilişki sabit σ ve sabit Θ için geçerli olan durmlar arasındaki
farkı ifade eder. Elektriksel mekanik kapling ifade eden bu sabit d faktörüdür,
üçüncü sistemle ilişkili olan temel şartı ise ya σ yada Θ sağlar. Eğer d σ / d Θ = 1 – B
ise, o zaman;
B =[( Bir sistem ve üçüncü sistem arasındaki kapling sabiti ) x (zıt sistem ve üçüncü
sistem arasındaki kapling sabiti)] / (ilk sistem ve zıt sistem arasındaki kapling sabiti )
(1.33)
B’nin işareti belli olmadığı halde, A daima pozitiftir. Üçüncü sisteme olan bağlantılar
araştırılmadan B’nin ne işaretini ne de büyüklüğünü tahmin edemeyiz.
26
Başka iyi bir örnek piroelektrikte görülür. Elektriksel Gibss fonksiyonu G2 (Θ , S , E )
ile başladığında özgül ısı C S , E ve piroelektrik katsayısı p n bulunduğunda (δσ , T , E )
S
T
tipi yapısal ilişki elde edilir. Bunlar yukarıda C T , E ve pn ile sırayla aşağıdaki gibi
ilişkilidir.
E
E
E
[ ]
pC T , E / Θ − pC S , E / Θ = α ij λij = α ij s −1
T
S
E
Θ
E
[ ]
p n − p n = α kl λnkl = α kl s −1
E ,Θ
klij
ijkl
E ,Θ
E
α kl ,
Θ
d nij ,
(1.34a)
(1.34b)
İlk bahsedilen termomekanik kapling α dikkate alınarak elde edilen 1 – A formunda
bir bağıntıdır. Sonraki ise 1 – B formundadır. Piroelektrik ilişki bir termoelektrik
kapling olup (1.34b) denklemi verilen fark üçüncü mekanik sistemden dolayı ortaya
çıkmıştır. P S büyüklüğü olayın asıl tabiatından kaynaklanır ve birincil veya doğru
piro elektrik etki olarak adlandırılır. Aksine P T termal gerinme tarafından
indüklenen piezoelektrik yükten doğan bir katkı olup ikincil veya ters piroelektrik
etki adını alır. Termomekanik bilgiye sahip olmadıkça, P T veya’nin hangisinin daha
büyük olduğunu ilk anda anlamamız imkansızdır.
1.2.5. Temel piezoelektrik ilişkiler
1.2.5.1. (S,P) Tipi ilişki
Şimdiki tartışmamızı bir elektromekanik bağlı sistem üzerine odaklayalım. Daha
önceki bölümde ısıl sistemin, üçüncü bir sistem olarak az veya çok derecede, elastik,
dielektrik ve piezoelektrik sabitlere etkilerini incelemiştik. Bununla birlikte, termal
şartın örneğin izoterm mi veya adyabatik mi olduğunu belirlemek gereklidir. Tüm
elektromekanik ölçümler bir alternatif alan veya gerilim altında yapıldığında,
gözlemlenen sabitler adyabatiktir. Diğer taraftan, katı hal fiziğinde faz dönüşümü
tartışması izoterm sabitler bilgisini gerektirir. Gerçekte, izoterm ve adyabatik sabitler
arasındaki ayırım nadir olarak verilir, çünkü elektrikselden ısıla ve mekanikten ısıla
bağlantılar çok az özel durum dışında oldukça zayıftır.
27
İç enerjiyle U (σ , S , P ) ile başlandığında, termodinamikten adyabatik sabitleri (sabit
-σ
için) türetiriz bununla birlikte, Helmholtz serbest enerjisi F ( Θ ,S,P) yi
incelediğimizde, sabitler izotermdir (sabit- Θ için). Eğer dikkatle sadece mekanik ve
elektriksel sistemler üzerine odaklanırsak, sonuçlar temel olarak, sırayla S ve P ye
göre aynıdır. Bu nedenler izoterm sabitler üzerine konsantre olabilir ve Θ indisini
ihmal edebiliriz.
İlgili termodinamik fonksiyon bir bağımsız değişken kümesinin seçimine bağlıdır. F
(S , P) ile başlayalım. Yukarıdaki argümanı izlediğimizde,
F (S , P ) =
1
1
P
S
cijkl S ij S kl − a nij Pn S ij + χ mn Pm Pn ,
2
2
(1.35)
gibi açık ifadeleri bulmak mümkündür. Burada kapling teriminin negatif işareti d ve
e ile işaret tutarlılığı sağlamak içim gereklidir.
F’nin kesin diferansiyeli ise
dF = Tij dS ij + E n dPn .
(1.36a)
ile verilir.
 ∂F 
Tij = 

 ∂ S ij  p
ve
 ∂F 
En = 
 ,
 ∂ Pn  S
(1.36b)
ifadeleri temel alınarak,(1.37a) denklemi yazılmıştır.Bünye bağıntısının bir kapıl
denklemler cümlesinden oluştuğunu tespit etmek kolaydır.
P
Tij = cijkl S kl − a mij Pm
ve
S
En = χ nm Pm − a nkl S kl .
(1.37a,b)
28
Bu ilişki bağımsız değişkenler S ve P terimleriyle açıklanır. Eşitliklerde görünen
piezoelektrik sabit α ’dır, piezoelektrik sabit a ile gösterilecektir (1.37a) ve (1.37b)
eşitlikleri kümesi ile açılarak ilişki (S,P) tipi (a formunda)’nin temel piezoelektrik
ilişkisi olarak adlandırılır.
Değişik bağımsız değişken kümelerinin çeşitli seçimleri için benzer ilişkiler bulunur.
Diğer formlar (şekiller) aşağıda anlatılmıştır.
1.2.5.2. Değişik bağımsız değişken kümeleri için temel ilişkiler
Mekanik değişkenler genellikle gerinme S ve gerilme T’dir. Elektriksel değişkenler
olarak intensif değişken daima elektrik alan E olmasına rağmen ekstensif değişken
olarak ya polarizasyon P ya da akı yoğunluğu D seçilebilir.
Teorik olarak, P en çok tercih edilen seçimdir, bununla birlikte, ses ve titreşimin
pratik analizleri düşünüldüğünde D daha çok tercih sebebidir. Hem P’yi hem de D’yi
temel ilişkilerin serisinin geliştirilmesi için kullanabiliriz. Böylece bu ilişkiler iki tipe
bölünebilir: bir kutuplaşma şeması ve bir elektrik akı yoğunluğu şeması. Bundan
sonra, bunlar sırayla P – şeması ve D – şeması olarak anılacaktır.
Temel Bağıntıların sınıflandırılması Çizelge 1.1’de gösterilmiştir. Tüm eşitlikler
gerçekten tansörelken, kısalığı sağlamak amacıyla indisler ihmal edilmiştir.
29
Çizelge 1.1. Temel Piezoelektrik bağıntı tipleri
(a) Polarizasyon Şeması
________________________________________________________
Bağımsız
Piezoelektrik Bağıntı
Termodinamik Fonksiyon
Değişken
________________________________________________________
S,P
T = c P S − aP


S
 E = − aS + χ P

T,E
S = s E T − dE


T
 P = dT + k E

T,P
S = s P T − bP


T
 E = − bT + χ P

Elastik Gibss Enerjisi
1
1
G1 = s P T 2 − bTP + χ T P 2
2
2
S,E
T = c E S − λE


S
 P = − λS + k E

Elektrik Gibss Enerjisi
1
1
G2 = c E S 2 − λSE − k S E 2
2
2
Helmholtz Serbest Enerjisi
1
1
F = c P S 2 − aSP + χ S P 2
2
2
Gibss Serbest Enerjisi
1
1
G = − s E T 2 − dTE + k T E 2
2
2
________________________________________________________
G = F – TS – EP, G1 = TS, G2 = F – EP
30
(b) Elektrik Akı Yoğunluğu Şeması (Elektrik Yer değiştirme Şeması )
__________________________________________________________
Bağımsız
Tipi
Piezoelektrik Bağıntısı
Form (Şekil)
Değişken
__________________________________________________________
S,D
Esnek
T = c D S − hD

 E = − hS + β S D
h – Formu
T,E
Yoğun
S = s E T + dE

 D = dT + ε T E
d – Formu
Karışık
S = s D T + gD

 E = − gT + β T D
g – Formu
Karışık
T = c E S − λE

 D = λS + ε S E
e – Formu
T,D
S,E
__________________________________________________________
Her bir tip ilişki kendine ait termodinamik fonksiyondan başlanarak, çizelgedaki P –
şemasında gösterildiği gibi türetilebilir. Bununla birlikte, farklı prosedürlerde
mümkündür. Örneğin elastik Gibss fonksiyonu G1 ; G1 = F − Tij S ij olduğunda F’ten
türetilir. Bu yaklaşımın sonucu (T,P) tipi bir ilişkidir. Formüllerin bir alternatif
türetilmesi sadece bağıntının bir tipinden diğer bir tipine transformasyonu ile
sağlanır.Bununla birlikte, uygun eşitliğin yeniden düzenlenmesinde dikkatli
olunmalıdır; eşitlik bir katsayı ile bölünemeyebilir. Çünkü ifade tansöreldir. Bu
durumda bu katsayıya karşılık gelen tansörün tansörü ile çarpılması gereklidir. Farklı
bağıntılar arasındaki bunun gibi dönüşüm denemeleri ile çeşitli sabitler arasındaki
bağıntılar bulunmuştur. Bu gibi denemelerin sonuçları Çizelge 1.2’de gösterilmiştir.
Her bir bağıntının birinci ve ikinci denklemlerindeki kapling terimlerinin işareti
ekstensif ve intensif değişkenlerden ibaret olan karma tipteki terimlerin işaretine
terstir. Ancak onlar ya ekstensif ya da intensif küme için aynıdır.
31
Adyabatik sabitler hakkında kısa birkaç kelime söyleyelim. Başlangıçları öncelikle
termodinamik fonksiyonları gerektirir, Θ yerine ısıl bağımsız değişken σ ’yı
içerirler. U , H , H 1 ve H 2 , sırayla F , G , G1 ve G2 için kullanılırlar, burada U iç
enerji U = F + Θα , H entalpi
H = G + Θα vb.
Çizelge 1.2. Çeşitli sabitler arasındaki ilişki
__________________________________________________________
T
d nij = ε nm g mij = λnkl s klij
β np ε pm = δ nm
s
T
λnij = ε nm hmij = d nkl c klij
ε nm − ε nm = d nkl λ mkl
T
s
g nij = β nm d mij = hnkl s klij
cijpq s pqkl = δ (ij )(kl )
hnij = β nm d mij = g nkl c klij
β np − β nm = g nkl hmkl
D
E
E
D
E
T
E
T
D
s
D
cijkl − cijkl = λ mij hmkl
s ijkl − sijkl = d mij g mkl
(c
= (s λµ ) = (− 1)
−1
λµ
k nl χ lm = δ nm ,
µ +λ
s
∆ µλ / ∆s
)
k nm = ε nm − ε 0
P
E
S
d nij = k nm bmij
E
P
T
λ nij = k nm a mij
cijkl − cijkl = a nij k nm a mkl
s ijkl − sijkl = bnij k nm bmkl
T
S
__________________________________________________________
1.2.6. Elektromekanik kapling katsayısı
1.2.6.1. Kapling katsayısı tanımları
Bağlantı katsayısı Bölüm 1.2.1’de kısaca tanıtılmıştır. Bu bir lineer etkileşimli
sistemde efektif enerji dönüşümünün varlığını ifade eder. Burada, piezoelektrik
transdüserin elektromekanik bağlantı katsayısı (sık sık bağlantı faktörü olarak
adlandırılır) dikkate alınmaktadır.
32
Kapling katsayısını belirlemek için, kristal yönlenmeleri, giriş ve çıkış üzerine
düzenlemeler hakkında gerekli bilginin mevcut olduğu kabul edilmiştir.Transdüserin
statik limitinde ( W → O ) titreşim moduna karşılık gelen modda bu katsayı
tanımlanmıştır. Kapling katsayısı k pek çok durumda yüzdelerle ölçülür. Bununla
birlikte onu enerji oranını gösteren karesi k 2 ile ele almak daha mantıklıdır.
Elektromekanik kapling katsayısının fiziksel anlamını açıklamak için katsayıyı
tanımlamanın değişik yollarını araştırmak yeterlidir. Bizim ilgimiz sadece ortak
fikirsel yönler üzerinedir, çeşitli transdüserlerin gerçek detayları burada gerekli
değildir. Uygulamada kullanılan pratik örnekler genellikle ses ve titreşim analizleri
için dikkat çekicidir.
Tanımlar:
1. Aşağıdaki tanım Mason tarafından ileri sürülmüştür:
k 2 =(depolanan mekanik enerji)/(sağlanan elektrik enerjisi)
(1.38a)
veya
k 2 = (depolanan elektrik enerjisi)/(sağlanan mekanik enerji )
(1. 38b)
2. Elastik, elektrik ve etkileşimli enerjilerin artışının sırayla U elas , U elec ve 2U int ile
gösterilmesiyle, toplam artış U = U elas + 2U int + U elec ile verilir. Kapling katsayısı
2
k 2 = U int / U elasU elec .
(1.39)
ile tanımlanır.
Bu tanım IRE standardıdır (1958). U formülündeki terimler eşitlik (1.1)’deki sıralı
terimlere uyar, netice olarak bu tanımın sonucu eşitlik (1.4)’ün aynıdır.
33
3. Farklı elektriksel koşullar için elastik sabitler veya değişkenler, Bölüm 1.2.1’de
açıklandığı üzere her biri diğerine 1 - k 2 faktörü ile doğru ilişkilendirilmiştir. Bu
aynı zamanda dielektrik sabitler veya geçirmezlik durumu da için geçerlidir. Bu
yaklaşımla, katsayıları aşağıdaki gibi tanımlamak mümkündür.
1 − k 2 = c E / c D , s D / s E , ε S / ε T , veya β T / β S .
(1.40)
4 . Temel piezoelektrik ilişkisi bağımsız değişken terimler olarak açıklanan iki eşitlik
kümesi ile açıklanır. İlgili terimlerin katsayılarına dikkat edildiği zaman kapling
katsayısı aşağıdaki gibi tanımlanabilir,
k 2 = (etkileşim teriminin katsayısının karesi ) / [asal (diagonal) terimlerin
katsayılarının çarpımı]
(1.41)
Bu çok basit bir metot olmasına rağmen, ilgili temel bağınıtıyı seçerken dikkatli
olunmalıdır. Karma tipte bir bağıntı bu tanıma uymaz.
5. Bir transdüserün gerçek düzenlenmesi verildiğinde dört uçlu bir ağ için, temel
ilişki integral formda bulunabilir. Benzer olarak, bir piezoelektrik birim için temel
bağıntı bir eşitlik kümesi olarak ;
x = c11 F + c12 E ve q = c12 F + c 22 E
(1.42)
gibi verilir, bu durum limit W → O için geçerlidir. Burada x ve F sırayla mekanik
sınırındaki yer değiştirme ve kuvvet q ve E elektriksel sınırdaki yük ve alandır.
Kapling katsayısı aşağıdaki ifade ile tanımlanmıştır;
2
k 2 = c12 / c11c 22 .
(1.43)
34
Bu durumda şunu vurgulamakta fayda vardır. (1.42) bağıntısı F matrisine benzer bir
ifadeye dönüştürülürse;
E = AF + B(− x ) ve q = CF + D(− x ),
(1.44)
yazılabilir.
Hesaptaki AD – BC = 1 olduğu dikkate alınarak;
k 2 = 1 / AD,
(1.45)
bulunur.
6. Piezoelektrik transdüserün analizi aşağıdaki gibi ifade edilen dört uçlu ifade ortaya
çıkarır.
I = y11V + y12 F
veya v = y12V + y 22 F ,
(1.46)
burada I,V,v ve F sırasıyla elektrik akı, voltaj, yer değiştirme hızı ve kuvvettir. Eğer
tanım 4 entegre edilmiş bağlantıya uygulanırsa, bir tip kapling katsayısı;
2
2
k v = y12 / y11 y 22 .
(1.47)
den bulunabilir. Düşük frekanslı limitini düşündüğümüzde
2
2
k v = lim k v ,
w→0
(1.48)
transdüserün kapling katsayısı belirlenebilir. I = jwQ ve v = jwx göz önüne alınırsa,
denklem (1.46) Jw sapması ile bölündüğünde, W → O
benzer bir form ortaya çıkar.
iken denklem (1.42) ile
35
[ ]
Admittans matrisi yij
temelli olan ifade (1.46) temel ilişkinin intensif tipine uyar.
Eğer I ve v bağımsız değişkenler olarak seçilirse ekstensif tiple bileşke empedans –
matris bağıntısı k’ya benzer bir tanım için kullanılır. Tersine şebeke bağlantısı için
kullanışlı olan F-matris bağıntısı tanım-4’e göre k’yı tanımlamak için uygun değildir.
7. Piezoelektrik üzerine yeni bir standart IEEE (1978) tarafından sunulmuştur. IEEE
Standardı Tanım 2’de gösterilen etkileşim enerjisi U int temelli kapling katsayısını
terk etmiştir. Maddesel kapling faktörleri tanımlanmıştır çünkü bu faktörler bir tek
rezonans elemanı gibi kullanılan piezoelektrik bir katının elektriksel olarak tahrik
edilen titreşimleri için analitik çözümlerde doğal olarak kendiliğinden ortaya çıkar.
Diğer taraftan piezoelektrik bir katı statik olarak büyük bir rezonans yapının bir
kısmı gibi kullanıldığı zaman, kapling faktörü önceden tanımlanan gerinme-gerilme
çevriminde ortaya çıkan büyüklükler cinsinden tanımlanan bir oran üzerine
oturtulmuş olur, burada ideal elektrik yükü çevrimi tanımlamak için devreye
sokulmaktadır. Eğer uygulanan mekanik enerji ve yükleme esnasında kaybolan
elektrik enerjisi sırasıyla W ve W1 ile gösterilirse kapling faktörü aşağıdaki şekilde
tanımlanır;
k 2 = W1 / W
(1.49)
Bir elektromekanik bağlantı katsayısı fikri, bir transformatördeki indükif bağlantının
derecesini gösteren faktörden gelmiş gibidir. Bu, k T = M / (L1 L2 )
1
2
faktörü M’nın
giriş indüktansı L1 ve çıkış indüktansı L2 ’ye karşı ortak M endüktansının
performansının bir ölçüsüdür. Bir transformatör bir dört uçlu şebekeye basit bir
2
örnektir ve açıklaması Tanım 6’daki k T ’ye uyar.
Kapling katsayılarının pek çok tanımlaması araştırılmıştır. Bunlardan, Tanım 5 ve
Tanım 6’da dört – uçlu şebeke ifadesinde integre edilmiş eşitlikler temel alınmıştır.
Herhangi bir pratik transdüserün analizi genel olarak bir entegre edilmiş eşitlik gibi
sunulacaktır. Eğer bu, herhangi bir sebepsiz tahmin veya yaklaşıma hiçbir yere
başvurmadan varıyorsa, Tanım 5 veya 6 k 2 ’nin bulunması için en anlamlı
36
tanımlardır. Diğer taraftan, Tanım 3 ve 4 diferansiyel formunda temel piezoelektrik
ilişki ile ilgilidir. Transduser boyutlarını herhangi bir şekilde dikkate almadıkları için
onlar k 2 ’yi bir malzeme sabiti olarak tatışıldığı ortamlar için daha uygundur.
Gerçek titreşim analizlerinde, Tanım 7’de önerildiği gibi, ardışık tranformasyon
denklemleri ile ilgili olarak doğal bir şekilde k 2 terimi ilgili denklemlerde yerini alır.
Buna göre tanım-3 de görüldüğü gibi 1 - k 2 ifadesi belirli bir şart için gerekli olan
asal sabiti bir diğer şartın asal sabiti ile irtibatlandıran diferansiyel bir taban gibi
davranmasında yatmaktadır.
Tüm tanımlar yakın olarak birbiriyle bağlı olmasına rağmen, her bir tanımın kendi
özel niteliği vardır. Bu nedenle, verilen bir transdüserün işleyişine uygun kabul
edilen bir tanım k 2 ile başlayabilir. Bununla birlikte, diferansiyel formundaki bir
ilişki temel alınan tanım daha tercih ediliyor gibi görünebilir, çünkü tartışma
boyunca k 2 ’nin tanımı göz önüne alınmıştır. Böylece burada, ana olarak Tanım 3
veya 4’ü izleyeceğiz.
1.2.6.2. Bağlantı katsayısı ve enerji iletim katsayısı
Bağlantı katsayısı bir transdüserün performansı için bir çeşit karakteristik indeks
veya onun malzemesinin yararıdır. Gerçekte, k’nın yüksek bir değeri piezoelektrik
malzemenin uygulanabilirliğini önerir; k 2 değeri transdüser bant genişliğinin
büyüklüğünün bir ölçüsüdür. Enerji dönüşümünü dikkate almakla birlikte, dönüşüm
verimliliğinin doğrudan ölçümü gerekli değildir. Verimlilik sağlanan giriş enerjisine
oranı ile ölçülür. Bu oranın maksimumu genellikle Bölüm 1.2.1’de tanıtıldığı gibi
λ max ile verilir. bir enerji dönüşüm sisteminin performansı k 2 ’den ziyade, λ max k 2
ile bire – bir uygun olduğunda, λ max ile açıklanır.
k 2 ’nin anlamını, λ max ’la ilişki içerisinde açıklamak için, IEEE Standardı (1978)
tarafından verilen Tanım 7’yi deneriz. Tavsiye edilen gerilme – yer değiştirme
çevrimi aşağıdaki gibidir. Mekanik iş W, elektrik şartı E = O altında uygulanan
37
gerilim ile sağlanır. Gerilme daha sonra farklı bir durum D = O altında kaldırılır.
Kalan yer değiştirme ideal elektrik yüküne bağlantı ile giderilir. (elimine edilir).
Böylece, çevrim tamamlanır. Eğer dağıtılan enerji W1 ile gösterilirse; k 2 ,
k2 =
W1 / W ile tanımlanır. Bu son prosedürün gerekliliği, E = O ve D = O için sabitlerin
farklılığından meydana gelir.
Gerilme – yer değiştirme çevrimi örneğinde, W1 , mekanik enerjinin W tarafından
sağlanan kısmı olan, depolanan elektrik enerjisidir. Bununla birlikte W1 , çevrim
tamamlanmadan önce bilinmektedir, W1 sadece bu çevirimin sonucundan sonra
gözlemlenebilir. Yukarıda söylendiği üzere IEEE Standardı (1978) Tanım 2’yi,
U int ’ in gözlemlenebilir olmasından sonra terk etmiştir.
Benzer bir duruma Tanım 1 ile de rastlanır. Bir tür enerji (mekanik) sağlandığı anda,
giriş enerjisinin hangi kısmının başka bir enerji (elektrik) formundan depolandığına
daima söyleyemeyiz. Tanım 1, gerçek bir transdüserün k 2 değerini belirlemekte,
bağlantı katsayısının bir fikirsel resmine sahip olmasına rağmen etkili değildir ancak
kullanışlıdır.
Yukarıdaki argüman termodinamikteki Carnot çevrimini hatırlatan gerilme – yer
değiştirme çevrimini içermektedir. Bununla birlikte, λ max veya k 2 kavramları bir
termik makinenin veriminden farklıdır. Sonraki ise termodinamiğin ikinci kanunu ile
yakın olarak ilgilidir.
Karşıt olarak ,doğrusal etkileşim işlemi için λmax veya k2 sabitesi ortaya bağımlıdır .
Örnek olarak gazdan oluşmuş bir termomekanik çevirme sistemi göz önüne alalım.
Termal değişkenler şimdi δθ ve δσ mekanik değişkenler de δp ve δv yarı-durgun
dönüşme işlemi sırasında, değişim hafif olmasına rağmen, değişkenlerin denge
değerleri ilk değerden değiştirilmiştir. Bu değişimle beraber olarak sıcaklık sisteme
akarsa, giriş termal enerjisinin bir kesri, çıkış mekanik enerjisi olacaktır. λmax’ ın
bilgisi, net enerjinin ne kadarlık kesrinin uygun olduğunu tanımlamak için gereklidir.
Enerjiler burada -δθ δσ ve -δpδv olarak anılacaktır.
38
Bu yönde enerji çevrimi ele almak için maddeyi yapı denkleminin terimleri şeklinde
tartışmak daha uygun olacaktır , örnek olarak gazın yapı denklemi bu birim hacim
için aşağıdaki denklemlerle verilir.
δν/ν=βθ(-δp)+αδθ,
(1.50a)
δσ=α(−δp)+(pcp/θ)δθ,
(1.50b)
βθ
izoterminol sıkıştırılabilirlik , cp sabit basınçta birim kütleye verilen sıcaklık ve
α da hacim sıcaklık genişleme katsayısıdır. Bu eşitlikler katılar için verilen
eşitlik
(1.22b) ve (1.22a )‘ ya paraleldir. Bu sebepten λmax –e k2 sistemin fiziksel
sabitleridir. Örnek olarak
k2=α2/(βθδcp/θ)
(1.51)
denklemi yukarıdaki bağıntıdaki sabitler kullanılarak bulunur. Tabi ki bu bağıntı
cv/cp=βσ/βθ=1−k2
(1.52)
cv için bulunur ki sabit hacimdeki belirli sıcaklıktır ve β ’ da ısısız sıkıştırılabilirliktir.
Eğer bağıntıyı δσ bazında vereceksek eşitlik şu şekilde değişir
δσ/ν=α(−δp)+(Cp/νθ)δθ,
(1.50c)
Burada Cp sabit basınçtaki molar özgül sıcaklıktır ve ν ’ de molar hacimdir. 1 mol
ideal gaz ve ısısız işlem için;
pν=Rθ , Cp/Cv=γ , ve pvγ= sabit
( 1.53)
39
Her bir sabitte şöyle verilir:
βθ=1/p= v/ Rθ ,
α=1/θ=R/pv
(1.54)
Cp=Rγ/(γ -1) ,
Cv=R/(γ-1).
Eşleme sabitesi şöyle bulunur;
k2=α2/(βθCp/νθ)=R/Cp=(γ-1)/γ
(1.55)
Eş olarak, eğer gaz molekülündeki serbestlerin derecesinin sayısı n ile işlemlenirse
(n= 3,5 veya 6) , o zaman γ=(n+2)/n ve sonuç olarak
k2 = 2/ (n+2) elde edilir.
Sabitler λmax ve k2 ilişkilendirildiği sürece, termodinamiğin ikinci kanunu etki etmez.
Bunlar durumdaki uygun denklemlerin içerisindeki sabitler yardımıyla tanımlanır.
Bu durum her doğrusal etkileşim işleminde aynıdır.
Her bir bağımsız değişken setindeki eşleme sabiti uygunluğu gerçek transdüserde
titreşim modu tanımlandığında, koordinat sisteminin doğru tercihi, titreşim işleyişini,
bağımsız değişkenler olan mekanik kısmı ve elektriksel kısmı ile sağlar. Bu durumda
Çizelge (1.2) ‘de listelenen bağıntılardan bizim bağımsız değişken setimize uygun bir
ana denklem seçebiliriz.
Misal olarak , bir çubuğun uzama modunu ele alalım. (Titreşim detaylarına burada
ihtiyaç yoktur çünkü amaç her k2 tanımlarının özelliklerini incelemektir) Uygun ana
denklem şimdi (T,E) tipleri ve (d-form) dan biridir.
S=sET+dE
ve
D=dT+εTE.
(1.57)
40
İlk önce tanımlama 4’ ü uygulayarak
k2=d2/εTsE
(1.58)
T=0 (Basınç-serbest) durumda elektrik alan E uygulanırsa tanımlama 1
½(dE)²/sE
k²=
½εTE²
şeklinde bir sonuç verir ki bu üstekiyle aynıdır. Eğer değişkenlerden biri, E veya T
elenirse diğer ana sabitler bulunur.
SD=SE -d²/ εT
ve
εs=εT-d²/sE
(1.59a)
Tanım 3’ü uygulayarak:
1-k²=SD/SE=εS/ε
(1.59b)
aynı k² ile sonuçlanır.
Sonuç farklı bir tip bağıntı (Örnek (S.D) tip) ile başlarsak aynı olacaktır. Her nasılsa
bazı istisnalar vardır. Şimdi (S,E) tip bir bağıntıyla başlayalım.
T=cES-eE
ve
D=eS+εsE
(1.60)
Tanım 4 bir eşleme sabitesi önerir.
ke²=cD/cE=εT/εs,
bu eşitlik
(1.61)
(1.58)’den farklıdır. CE/Cp ve εS/εT oranları Tanım 4 de bulunup
kullanılırsa farklı bir bağıntı karşımıza çıkar.
41
1+ke²=cD/CE=εT/εs,
(1.62)
Bu aynı zamanda (T,D) tip bağıntıdan besleme durumudur. Görüldüğü üzere istisna,
kullanılan bağıntı karışık tipse açığa çıkıyor. Derin veya yüzeysel tiple başlamak,
sebepli sonuçların ortaya çıkmasına yarar.
Bağıntının diğer tipini alarak, o tipe uygun olan değişik eşleşme sabitlerini buluruz.
Sonuçlar Şekil 1.2’de gösterilmiştir. Karışık tip için eşleşme sabitesi “expediend=
uygun” anlamına gelen “e” ile gösterilmiştir. Şekildeki oklar, değişik durumlar
(elektriksel, mekanik) için ana değişkenler arasındaki bağıntıyı gösterir, okun
kuyruğunda bulunan sabite okun üzerindeki faktör ile çarpıldığında ok’ un ucundaki
değer bulunur. Anlaşılır ki uygun eşleşme kat sayısının terimlerinde çarpım faktörü
1+ ke²’ dir. Aynı ok fakat ters durumdaki faktör 1-k² dir. O halde bağıntı :
ke²=k²/(1-k²)
(1.63)
halindedir.Tanımlama 3’de anlatılan uygun eşleşme kat sayısı asıl durum için doğru
bir eşleşme kat sayı değildir. Mason’un kitabındaki açıklamadan sonra (Bechmann
,1955) de göstermiştir ki eşleşme kat sayısı:
kmixed²=khomog²/(1-khomog²),
burada khomog derin veya yüzeysel değişken setinden elde edilmiştir. Bu parametreler
khomog ve kmixed sırayla k ve ke’ye eşdeğerdir.
1.2.7. Elastik sabitlerde depolarize-alan etkisi
Ana elastik sabitteki elektriksel durum Sabit – D veya Sabit – E ile tanımlanır. Bu
nedenle elektriksel durumdaki fark depolarize alandakine uyacaktır. Depolarize–alan
etkisi piezoelektrik fenomeninde en önemli özelliktir.
42
İlk önce, transduser ayarlamasıyla ilgili düşüncelerin verilmediği, elektriksel
durumun Sabit “– E” veya Sabit “– D” ile olduğu, mekanik bir durum göz önüne
alalım. Bu durum eşitlik (1.57) ile verilen (T,E) tipini ana bağıntısı üzerine
kurulmuştur. Baskı T E= 0 olduğunda uygulanmıştır, gerilim artar.
σ=sET
(1.64)
Sonra yukarıdaki durumla D= 0 durumların gerilmesini karşılaştıralım.İlk deneyde,
D= dT , D=0 durumunu anlamak için yeni bir ters akış yolunu ilavesi ile (D∋=-dt )
akım yoğunluğu yok edilmelidir ki bu yeni gerilmeye artış katan yeni bir elektriksel
alan olan E∋=(1/eT) D∋ nü oluşturur.
σ∋=dE∋=-(d²/εT)T.
(1.65)
Sonuç olarak son gerilim (D =0 için)
S= σ + σ∋=(sE-d²/εT)T
(1.66)
ile verilmiştir. Son durum aşağıdaki şemayla gösterilmiştir.
(E=0) sE
σ
D=0
T
-d
D’
σ’
E’
1/εT
S
(1.67)
d
Yeni durumdaki uyulacak olan sD değeridir ve denklem (1.66)’ yı kullanarak
sD=sE-d² / εT
(1.68)
43
bulunur. Orta halin her evresinde bu durum değişmesi homojen olarak sürecektir. Bu
yüzden değişik formdaki bir bağıntı üzerindeki yorumlama bu durum içinde uygun
olacaktır.
Depolarize alanı görsellemek
için, sonlu transdüserdeki yüzey yük dağılımı
gözlemek yerinde bir karar olacaktır .
Şekil 1.2a’da gösterilen iki yüzü elektrotlu olan X-kesimli ve uzunluğu Y
doğrultusunda olan quartz çubuğu alalım. Kısa devre durumunda (E=0) yayılmış bir
T boşluğu uygulandığında yayılmış gerilme σ artar ve polarizasyon P Şekil (1.2b)’
deki gibi kalınlık yönünde indüklenir. Polarızasyon sarjı (-p/ε0)’dan dolayı olusan
alan ile kompanze edilir çünkü E=D/ε0-P=0’dır.toplam alan veya depolarize olmuş
alan bu sartlar altında belirir. Açık devre Durumunda (D=0), herhangi bir gerçek yük
elektrot üzerinde görülmez,alan yüzey sarjından dolayıdır. Bu sebepten depolarize
olmuş alan E =-p/ε0 bulunmaz (şekil 1.2 c). Sonuç gerilimi σ+σ’ dır. Buna bağlı
olarak D=0 durumu –P /ε0 depolarize olmuş alanına bir artış verir fakat E =0 durumu
bir depolarize olmuş alanla beraber değildir.
Elektriksel durum Maxwell denklemlerinin temeline dayanmaktadır. Yukarıda
gösterilen şemadaki yük davranışı da aynıdır çünkü bu şema, gerçek ve serbest
yükler cinsinden Maxwell denklemlerinin sonuçlarının ifadesidir.
Yukarıda ,biz ilk önce durum b ve durum c ‘yi ele aldık bu toplam gerilmede σ ve σ∋
‘nın oynadığı rollerin görülmesini kolaylaştırmıştır. Gerçek
olarak,baskı devam
ederken durum b ‘de elektrodlar açık devre hale getirilmiş olsalar da durum c fark
edilememektedir. Baskı D=0 durumunda uygulandığında ve elektrodlar kısa devre
edildiğinde durum c ve durum b basarıyla gözlemlemiştir.
44
(T=0)
(a)
E=0
T
(b)
D
P
T
(c)
E
P
Y
x
b
(d)
c
a
Şekil 1.2. Baskı altında Piezoelektrik gövdedeki depolarize alan etkisi (Ikeda, 1990)
45
Şekil 1.2d’deki baskı gerilme diyagramında gösterilmiştir ki burada oklar a→c→b
rotasını gösterir.
T çıkarıldığında durum, ilk durum olan a’ya döner. ac ve ab gradientleri sD ve sE
ye duyarlılık vermektedir. İşlem c ab joule ısı dağlımı ile eş gitmektedir.T baskısı ile
toplam mekaniksel işi yarı miktarı getirir ki bu acb üçgeninin alanıdır .
Bu örnekleme, depolarize olmuş alan etkisinin değişik elektriksel durumla ve benzer
şekilde sD ve sE ‘nin farkıyla bağıntılı olduğunu göstermektedir. Diğer bir durumda
önceki bölümlerde açıklandığı gibi değişik durumlar için elastik sabitler eşlerine
eşleşme katsayısı ile bağlantılıdır.
sD/sE=cE/cD=1-k²
(1.69)
bu yüzden depolarize olmuş akım etkisi eşleşme katsayısına ilişkilenmiştir.
Tekrar IEEE standardı (1978) ile ileri sürülmüş Tanım 7 deki baskı-gerilme
döngüsünü ele alalım. Yukarıdaki bu örneği kullanarak 0→A→B→0 Şekil 1.3
rotayla gösterilen döngü ile gösterilir. 0→A işlemi E=0 durumunda takip edilmekte,
bu yüzden A Şekil 1.2d’deki b ile eşleşmektedir. Uygulanan mekanik iş W dir.
Baskının çıkarılmasından önce, elektrotlar açık devre edilmiştir, o halde A→B işlemi
D=0 durumunda takip edilmektedir. Durum B de bir alan meydana getirilmektedir ve
artık gerilim OB oluşmaktadır. Bunlar bir ideal elektrik yükü kullanılarak elde edilir,
dağıtılmış elektrik enerjisi W1 dir ki bu OAB üçgenin alanına eşittir. Elektriksel
durum şekilde konulan çizimle gösterilmiştir. OA ve AB işlemleri herhangi bir
elektriksel işe ilişkilendirilmemiştir. Fakat BO işlemi W1 ile olmaktadır eşleşme kat
sayısı k2 =W1/W olarak tanım veri dayanağıyla tanımlanmıştır.
46
A
D
S
SE
B
A
B
O
E
O
Şekil 1.3. Elektromekanik eşleşme sabitinin baskı gerilme döngüsünün tanımı (Ikeda,
1990).
Şekil 1.3 (T,E) tipi ilişkiye dayandırılmıştır. Benzer davranış diğer tip bağıntılar
içinde mümkündür, fakat bağımsız değişkenler gibi geniş değerleri içeren
bağıntılarla başlamak biraz güç olabilecektir çünkü dış büyüklükleri kontrol etmek
bayağı zor olacaktır.
Her nasılsa (S-P) tipi bağıntı üzerine kurulan tartışma bazen kullanışlıdır bilhassa
teorik tartışmalarda (S-P) tipi şema aşağıda gösterilmiştir.
(P=0)
cP
τ
E=0
S → E’ → P ’→ τ’
a
1/χs
T,
(2.70)
-a
Burada τ ve τ’ baskılardır ve E’ = - E = aS bu yüzden
T=τ+τ’(cp-a²/χs)S=cES
(2.71)
47
E=0 durumu için ortaya çıkar.
1.2.8. Daha yüksek dereceli elektromekaniksel etkileşimler
1.2.8.1. Elektrostriksiyon
Pieozelektrik mekanik ve elektriksel değişkenler arasında çift çizgili bir eşleşmedir.
elektrostriksiyon yüksek dereceli elektromekanik eşleşmenin en yaygın olanıdır.
Pieozelektrik olmayan maddelerde, elektrik alanla arttırılan gerilmenin alan
kuvvetinin karesiyle orantılı olduğu biliniyordu. Bu elektromagnetik teorideki
dielektrik sabitinin gerilme bağımsızlığından açıklanmıştır.
Elektrostriktive sabiti
4. derece tansördur ve bu yüzden izotropik ortamda bile bulunur.
Elektostriksiyon, kristal fiziğinde, bir enerji ifadesindeki elektrik değişkenlerinin
quadratik ürünleri ve mekanik bir değişkenler arasındaki terimlerin eşleşmesiyle
ortaya çıkarılır. Pieozelektrikle beraber, değişik elektrostriktif sabitler, bağımsız
değişken setlerinin seçimine bağımlı olarak oluşturulmuştur. (S-P) tipi setle
elektrosriktif enerji terimi
δijmnSijPmPn
(1.72)
dir. Ve bağımsız enerjiye ilave edilir. Burada sabit δ isotermaldir. Fakat son θ,
piezoelektrik sabitlerden olduğu için ihmal edilir. G1, G2 ve G ilişkili termodinamik
fonksiyonlar olarak seçilirse enerji terimleri toplanarak
-QijmnTijPmPn,
-dijmnSijEmEn,
-qijmnTijEmEn,
(1.73)
haline gelir. Elektrostriktif sabitlerin sembolleri piezoelektrik sabitler kadar çok
bilinen değildir.
Piezoelektrik olmayan bir madde ki temel elektrostriktif bağıntı ilişkili termodinamik
fonksiyonun diferansiyelinden elde edilebilir, piezoelektrik bağıntılarda da durum
aynıydı örneğin; (S-P) tipi için elektrostriktif bağıntı şu eşitliklerle verilir.
48
Tij=CijkiPSkl+δijmnPmPn ,
(1.74a)
En=XnmSPm+2δklmnSklPm
(1.74b)
İkinci denklemdeki 2 nin sebebi aynı eşitliğin diferansiyelinin alınmasıyla
denklemde iki defa yer almasıdır.
1.2.8.2. Diğer nonlineer efektler
Elektrostriksiyon mekanik değişkenle lineer değiştiği halde elektriksel değişkenle
quadratiktir. Mekanik olarak yüksek derecede bir etki göz önüne alındığında sonsuz
gerilme Sij yerine sonlu bir gerilme olan σij yerine alınmalıdır.
Bu yüzden (G,P) tip bağıntı için serbest enerji şu şekilde verilir:
F=1/2 CijklPσijσkl+1/6CijklrsPσijσklσrs+⋅⋅⋅
+1/2χmnσPmPn+1/6χmnpσ PmPnPp+⋅⋅⋅
-anijPnσij+1/2δijmnσijPmPn+1/2ϕnijklPnσijσkl+⋅⋅⋅
Burada cijklp , χmnσ , anij
ve
(1.75)
δijmn öncekiyle aynı anlamdadır fakat Xmnpσ dielektirk
nonlinear sabite Cijklrsp göre nonlineerlik 3.derece piezoelektirik sabit ϕnijkl dir.
Sonlu bir gerilme şöyle açıklanır. Materyal nokta (ai)→(xi) ye deformasyon sonucu
değiştiğinde yer değiştirme şöyle olacaktır .
ui=xi-ai
(1.76)
Burada ai Eulerian kordinaati ,xi de lagrangian kordinatıdır. Gerilme σ∋ şöyle
tanımlanır.
Dxidxi-daidai=2σjkdaidak
(1.77)
49
Bunda dolayı ;
σ jk
=
1
2
 ∂u k ∂u
∂u ∂ui

+
+ i
 ∂a
 j ∂ak ∂a j ∂ak




(1.78a)
Denklemi sonlu gerilme tansörunu verir. 3. terim ihmal edilirse σ→S haline
dönüşür.şu şekilde yazarsak ;

1  ∂x ∂xi
σ jk =  i
− δ jk 

2  ∂a j ∂ak

(1.78b)
Nonlineer gerilme efektlerinin sabitlerini tanımlamak gerekirse, ses hızları değişik
yönlerdeki tek eksenli vurgular şeklinde ölçülür. Sonlu büyüklükteki ses yayılması
sesin 2. harmoniğine artış verir.
1.3. Kristal simetri ve fiziksel sabitler
Etkileşim yöntemlerinin makroskopik çalışmaları için, simetri gruplarının (nokta ve
limit grupları) anlaşılması ve tansör cebrinin öğrenilmesi gereklidir. Bu konuda,
kristal fiziğin temellerini ve bununla alakalı konuları açıklayacağız. Bu açıklama
kristal grafik kordinatları, tansörel fiziksel özelliklerin geometrik simetrisini ve
kristal yönelmeleri içermektedir.
1.3.1. Kristallografik eksenler
Fiziksel büyüklükler ve sabitler her zaman tansörler yardımıyla belirtilir. Tansörler
koordinat sistem çevriminin temeliyle açıklanır. Buna göre kristal-fiziksel
özelliklerin ele alınması için dörtgensel korezyen koordinat sistemi temel olarak
tanımlanmalıdır. Koordinat sistemi, her bir kristal sistemindeki kristallografik
eksenler için IRZ standartları (1961) ve IEEE standartları (1978-1987) ile gösterilir.
50
1. Triclinic sistem: Kristallografik a,b ve c eksenleriyle kartezyen koordinat x,y,z
eksenleri arasındaki bağıntı Şekil (1.4)’ de canlandırılmış ve tanımlanmıştır. z ekseni
c ye paraleldir ve y eksenide ac düzleminin normalidir. X ekseni ac düzleminde c’ ye
diktir. Tabiki eksenler sağ el sistemine göredir.
2. Monoclinic sistem: Tek eksenin iki misli veya ayna düzlemini normal olan eksen b
ekseni olarak alınır. A ve c eksenleri b eksenine diktir ve eksen açısı β geniş açıdır.
(β > 90) eksenlerce b x ve y olarak alınır ve x sağ el sistemine göre alınır. Bu yüzden
pozitif x ac düzleminde β açısıyla uzanır.
3. Orthorombic Sistem: Kristollografik eksenler dörtgenseldir. c<a<b prensibine
göre alınır. a,b,c eksenleri sıra ile x,y,z olarak alınır.
4. Tetragonol Sistem: 4 misli eksen c’ dir ve b biribirine eşit ve c’ ye diktir.a,b,c
eksenleri x,y,z olarak alınır.
5. Trigonal (rhombohedral) Sistem: 3 misli eksen c olarak alınır. Olusan kafes
hexagonaldır.
6. Hexagonal Sistem: 6 kat eksen c’ dır.c’ ye diktır.düzlemde birbirleriyle 120° ile
bulunan a1,a2,a3 eş eksenleri vardır.a1,a2,a3 den biri x seçilir ,c ekseni z dir,y de sağ
el sistemine göre alınır .
7. Kübik Sistem: Eş a, b ve c eksenleri x,y,z olarak alınır.
β
a
α
γ
b
Şekil 1.4. Kristallografik eksenlere göre dörtgensel koordinat sistemi (Ikeda, 1990)
51
Tam olarak olarak sağ el kuralı benimsense de kristallografık eksen yönelmesi kendi
basına tanımlanamaz. Bir pozitif yönelme, kendi
piezoelektirik sabitini pozitif
yapmak için seçilir.
1.3.2. Kristallografik nokta grupları ve limitleme grupları
32 nokta gurubu kristal sınıflar, simetri elementlerin terimleri cinsinden kristal
simetrinin sınıflandırılmasıyla türetilir. Bunlar: Rotasyon ters çevirme, yansıma ve
bunların birleşimidir. Detaylar genelde kristallografi hatlarında verildiği için burada
daha fazla açıklama yapılmadan, sonuçlar Çizelge 1.3’de listelenmiştir.
Çizelge 1.3. Kristallerin simetrisi (Nokta grubu)
Nokta Grubu
Kristal Sistemi
Schoenfli
Hermann-mauguin
Elementler
Piezoelektrik
Piroelektrik
es
Triclinic
Monoclinic
Optik
Enantiomor
Aktivite
phism
C1
1
1
1
+
+
+
+
Ci,S2
Ī
Ī
2
-
-
-
-
Cs,Ch
m=2
m
2
+
+
+
-
C2
2
2
2
+
+
+
+
C2h
2/m
2/m
4
-
-
-
-
C2v
2mm,m2m
mm2
4
+
+
+
-
mm2
D2,V
222
222
4
+
-
+
+
D2h,Vh
2/m,2/m,2
mmm
8
-
-
-
-
Orthorombic
Tetragonal
/m
S4
4
4
4
+
-
+
-
C4
4
4
4
+
+
+
+
C4h
4/m
4/m
8
-
-
-
-
D2d,Vd
42m,4m2
42m
8
+
-
+
-
C4v
4mm
4mm
8
+
+
-
-
D4
422
422
8
+
-
+
+
D4h
4/m,2/m,2
4/mmm
16
-
-
-
-
/m
C3
3
3
3
+
+
+
+
C3i,S6
3
3
6
-
-
-
-
52
Nokta grupları. Genelde çizelgede gösterildiği üzere Schoenfies veya HermannMauguin sembolleri ile gösterilir. Aşağıdaki dört sütun fiziksel özellikleri işaretler,
artı işareti bu özellikte kristalin aktif olduğunu, eksi işaret ise aktif olmadığını
gösterir. Piezoelektrik, piroelektrik ve optik aktiviteler, 3. dercede polar tansör, polar
vektör
ve
ikinci
derece
axial
tansör
görünmediği
için
tanımlanmıştır.
Enantiomorfizm, ters çevirme ve ayna simetrilerin bulunmadığı sınıfta yer alır.
Centrosimetrik sınıflar piezoelektrikliği her zaman aktif olmayan gruptadır.
Enantiomorfus sınıflar her zaman optik olarak aktiftir. Optik olarak aktif olan 4 sınıf
vardır. Fakat bunlar enantiomorfus değildir: m, mm2, 4 ve 42m.herbir sınıf ayna
düzleminin dışında 2 zıt optik aktif eksen ihtiva eder.
∞2
∞
∞/∞2
∞/m
∞/mmm
∞mm
∞/∞/mmm
Şekil 1.5. Sınırlama gruplarının simetrisini gösteren katılar (Ikeda, 1990).
53
Nokta gruplarının, fiziksel özellikleri simetrisi tartışılırken yeterli olmadığı açıkça
belirgin hale gelir. Her bir tansörun simetrisi ele almak için, dış hareket veya
izotropik gövde gibi nokta grup elemanlarından başka simetri elemanları da
gereklidir. Currie’nin sonsuz rotasyon simetrisi, sınıflandırıcı grubuna dikkat
çekmiştir. Sınırlama grubunda 7 tane sınıf olduğu bilinmektedir. ∞ , ∞mm, ∞/mmm,
∞/∞2, ∞/∞/mmm
herbir sınıfın simetrisi, Şekil 1.5’deki yaklaşık diyagramla
gösterilmiştir, fiziksel özellikteki aktiflerde Çizelge 1.4’de listelenmiştir. Yarısınırlayıcı gruplarının 5 tane daha sınıfı vardır. Fakat bunlar sadece sınırlama grubu
aH gruplarıdır. Bu yüzden bunların açıklanmasına gerek görülmemiştir. Zheludev
(1976)’ in kitabı daha ince detaylar için tavsiye edilmektedir. Sınırlama gruplarının
makroskobik metodolojideki faydaları açıklanmıştır.
Çizelge 1.4. Sınırlama grupları
Sınırlama grubu
Katı
Piezoelektricity
Piroelectricity
Optik
Enantiomorphism
Aktivite
∞
Dönen Koni
+
+
+
+
∞mm
Sabit koni
+
+
-
-
∞2
Bükülmüş Silindir
+
-
+
+
∞/m
Dönen Silindir
-
-
-
-
∞/mmm
Sabit Silindir
-
-
-
-
∞/∞2
Simetri düzleminde
-
-
+
+
-
-
-
-
dönen küre
∞/∞/mmm
Simetri düzlemi küresi
1.3.3. Fiziksel özelliklerin simetrisi
Neumann ‘ ın ilkelerine göre, herhangi bir fiziksel özelliğin simetri elemanları,
kristal nokta grubunun simetri elemanlarını içermektedir. Diğer bir değişle, fiziksel
özellik çevirisi, kristalin kendi simetrisine her zaman eşit veya bu simetriden büyük
olmalıdır .
54
Her bir fiziksel özellik bir tansör vasıtasıyla temsil edilir. Simetri özelliği, bu yüzden,
karşılık gelen tansörun simetrisidir.
Tansör simetrisiyle ilişkili iki nokta vardır. Birincisi indislerin değiş tokuşuyla
ilgilenir ki bu kendi tansörü ile verilen fiziksel özelliğin doğruluğuna bağlıdır. Bu
gerçek (asal) simetri olarak adlandırılır.
Diğeri ise nokta veya sınırlama
grubu simetrisi ile ilgili olan özellik tansör
simetrisidir ki bu, malzemenin ait olduğu nokta veya sınırlama grubunun simetri
elemanı işlemi altında tansör bileşen değişimi demektir. Bu geometrik simetri olarak
isimlendirilir.
Gerçek simetrinin gerilme ile alakalı bir örneği gösterilmiştir. Sij deki i ve j indisleri,
materyal simetrisini değiş tokuş önemsizliğidir. Bu ij ifadesiyle gösterilir. Bu
çalışmadaki örneklerde termal genişleme (ij), dielektirik özellikler (mn) piezoelektirik
özellikler n(ij),lineer elektrooptik özellikler (ij)n, elastik özellikler ((ij)(kl)),
elektrostriksiyon (ij)(kl) ve magnetik anizotropik (ijkl) olarak alınmıştır .
Herhangi fiziksel özellik tansörunun ele alınmasında IEEE standartlarına uyan
eksenlere dörtgensel koordinat sisteme uydurularak kullanılmıştır. Her nasılsa ,tansör
simetrisi aslında tansör özelliğidir ve koordinat sitemine bağımlı değildir. Eğer her
hangi bir koordinat alırsak ,karşılık gelen tansörü sonuç matrisi durumdan duruma
farklılık gösterecektir. Bu da gereksiz bir karmaşıklığa sebep olur. Bu yüzden uygun
koordinat sistemi yerleşimi yapılmalıdır.
İkinci derce Wij tansöru her zaman simetrik bir Sij= 1/2 ( Wij+Wji) tansöru ve anti
simetrik bir aij=1/2( Wij - Wji) tansörünün toplamıyla verilir. Her bir aij tansörünün
3∗3 lük matrisi incelenerek Sij için dört ve aij için bir tane form bulunur keyfi bir
simetrik ikinci derece tansör, uygun koordinat çevrimi ile köşegenleştirilebilir. Sij
nin dört formunda her biri bu köşegen matrislerin her birine karşılık gelir. Tansör Wij
nin simetrik kısmı köşegenleştildiğinde bu matris formuna tansör kanonik formu
denir. Bu yüzden ikinci dereceye tansörlar kendi kanonik formlarında sınıflandırılır.
55
Her nasılsa IEEE standart koordinat sistemleri her zaman ikinci derece tansörler
konanik formda ifade edemez.
1.3.4. Tansör index kısaltmaları
Değiş tokuş edebilen indexler bir set halinde meydana getirebildiği halde tansör
gösterimleri index kısaltmaları ile basit matris ifadelerine dönüştürülebilir.
i ve j indisleri değiş tokuş edilebilir olduğundan (ij) λ = 1- 6 olacak şekilde λ’ ya
kısaltılabilir. Şöyle ki
11→1,22→ 2, 33→3, 23→4, 31→5, 12→6
(1.78)
veya
λ=½(i+j)δij+[9−(i+j)](1−δij)
(1.78b)
Kısaltma sembolleri tanımında ,eş tansör bileşenleri sembol bileşenleri halinde
düzenlenir. Bu yüzden karşılık gelen tansör bileşeni bir, tarihsel durumu ve pratik
adetler gözönüne alınarak şeçilir. Bu yüzden kısaltılmış bileşen her zaman karşılık
gelen tansör bileşeni ile uyuşmadığı için dikkat gösterilmelidir (Mikata, 1999).
Mesela mühendislik kurma gerilmesi s4 , s5veya s6 tansör gerilmesi olan s23,s31 ve
s12 ile uyuşmaz fakat sonucunun iki katıdır. Önemli sembollere karşılık gelen
tansörlerle aşağıda ki gibi eşleştirilir.
Vurgu: Tij+Tλ
Gerilme : Sij→Sλ for i=j(λ=1−3) ve 2Sij→Sλ for i≠j(λ=4−6)
Elektrostriktif sabite : genelde Qijkl→Qλµ (M=1-3 ve ,2Qijhl→Qλµ ve µ=4−6) λ ve µ
elektiriksel ve mekanik büyüklüklere karşılık gelir ve değiş tokuş edilemezler . Bazı
56
bilimciler her koşulda Qijkl→Qλµ sağlarlar. Bu yüzden tanımlamada bahsedilmesi ve
hangi durumun gözönüne alınacağı gösterilmektedir.
Elastik sertlik sabitesi : Cijkl→Cλµ
Elastik duyarlılık sabitesi : Sijkl→Sλµ for i=j ve k=l(λ,µ=1−3)
2Sijkl→Sλµ for i=j ve k≠l veya vice versa
(λ=1−3 ve µ=4−6 veya vice versa) ve
4Sijkl→Sλµ for i≠j ve k≠l (λ,µ=4−6)
koordinat transfer hesaplama işlemine ayrıca bir dikkat gösterilmesi gerekmektedir.
Kısaltmanın her zaman bir tansörü temsil etmediğini düşünüldüğünde, kısaltma
tansör cebrinde her zaman transfer kurallarına uyamayacaktır. Çevrilmiş kristal kesit
için kısaltma bileşenlerini bulmak ilk önce tansör kurallarına göre karşılık gelen
tansör bileşenleri bulmak ve daha sonra uygun katsayıları kullanarak onları yeni
sembol bileşenlerine uydurmak gereklidir.
Önceki konuda belirtildiği gibi kısaltmalar termodinamik enerji ifadeleri
basitleştirmek içinde kullanılmıştır. Örneğin Gibbs fonksiyonu veya serbest enerji
cinsinden elastik enerji terimleri şöyle gösterilir.
1/2CijklSijSkl→1/2CλµSλSµ veya 1/2SijklTijTkl→1/2SλµTλTµ
sonuç olarak oluşturulan bağıntı sadeleştirilmiş halde elde edilir örnek olarak eşitlik
(1.37a) ve (1.37b) ile verilen ana denklem
Tλ=CλµpSµ−amλPm
(1.80a)
En=XnmsPm−anµSµ
(1.80b)
Haline gelir ilk eşitlik λ=1−6 için ve ikinci
n=1−3 içindir. Bu yüzden bağıntı 9
eşitlikten oluşur. Kısaltmaların en fazla etkisi matris hesabı uygulamalarında göz
57
önüne gelir. Kısaltmaların çoğu değişiklikler için iki indisle belirtilir. ij, iλ veya λµ
(i,j=1-3,ve λµ=1-6). Bu yüzden kazancın tüm değişken ve sabitleri 1x3, 3x1, 3x3,
1x6, 6x1, 3x6, 6x3 veya 6x6 matrisle ile ifade edilir. Buna bağlı olarak oluşturulan
bağıntı matris eşitlikleriyle verilir. Örneğin, (δθ,T,E)- tipi bağıntı gözönüne alınsın.
Kısaltmaların kullanım durumuna göre tek eşitlik (1.28a), 6 eşitlik (1.28b), 3 eşitlik
(1.28c) şeklinde verilebilir. Matris ifadeleri kullanılırken oluşturulacak bağıntıyı
vermek için aşağıdaki 3 eşitlik yeterlidir.
δσ=(ρCT,E/θ)δθ+atE+ptTE,
(1.81a)
S=aEδθ+aE,θT+dtθE,
(1.81b)
D=pTδθ+dθT+εT,θE,
(1.81c)
D=
S=
D1
E1
D2
E= E2
D3
E3
ε11 ε12 ε13
P1
P=
P2
ε=
ε21 ε22 ε23
ε31 ε32 ε33
P3
S1
T1
α1
S2
T2
α2
S3
,
T=
T3
α=
,
α3
S4
T4
α4
S5
T5
α5
S6
T6
α6
S11 S12 S13 S14 S15 S16
S12 S22 S23 S24 S25 S26
S=
S13 S23 S33 S34 S35 S36
S14 S23 S34 S44 S45 S46
d11 d12 d13 d14 d15 d16
d=
d21 d22 d23 d24 d25 d26
d31 d32 d33 d34 d35 d36
S15 S25 S35 S45 S55 S56
S16 S26 S36 S46 S56 S66
( 1.82)
58
Üst indis t matrisin transpozesi demektir. Bu yüzden form ve sabitler matris cebri
kullanılarak çevrilebilir. Örneğin s-1 matrisinin soldan çarpımı denklemde T’ yi verir.
Bu matris s matrisinin tersi veya karşıt matrisidir ve c‘ ye eşittir. O halde c=s –1 dir.
Bileşenler cinsinden yazılırsa;
cλµ = ( -1) µ+λ∆µλs/∆s,
(1.83)
ki burada ∆ssµλ nin determinantı ∆µλs da s matrisinden µ . cü satır ve λ . sutun
çıkarılarak elde edilen minör matrisidir.
1.3.5. Tansörlerin geometrik simetrisi
Özel tansörlerin geometrik simetrisi, nokta ve sınırlama gruplarının simetri elemanı
işlemleri altında tansör bileşenlerinin değişimi gözlenerek denetlenmiştir. Gözlemin
değişik metodları vardır: direkt hesaba alma, analitik ve kuram grubu.
Simetri eleman işleminin iki ayrı metodu vardır. Birinde koordinat sisteminde bir
gözlemciyi bir simetri işlemine göre çevrilen kristal sabit dururken koordinat
sisteminde bulunan gözleyiciyi döndürülerek inceleme yapar. Koordinat sistemleri
durumuna uygun düştüğü için bu çalışmada sonucu gözlem açıklanacaktır.
Analitik denetim şu şekilde olur. Her bir simetri işlemine karşılıklı gelen bir aij
transfer matrisi tanımlanır. Tansör transfer kuralına göre çevrilen koordinat sistemine
uyan yeni bileşenler hesaplanır. Simetri işlemi değişmezliği yeni ve esas tansör
bileşenlerinin komple eşitliğine gerek duyar. Benzer prosedürler baz alınan
kristaldeki tüm nokta grup simetri elamanları için tekrarlanır. Sonuç olarak bazı
bileşenler kaybolur, yani daha az bileşen arasında bir bağıntı ortaya çıkar.
Bazı özel tensorlerdeki geometrik simetri Çizelge 1.5 ve Çizelge 1.6 da
gösterilmiştir. Sonuçlar yukarıda anlatılan denetleme metotlarına bağımlı değildir.
59
Bu çizelgeler çeşitli özel tansörların ders kitaplarındaki formları cinsinden
matrislerin kısaltmalarıyla listeler. Çizelge 1.5, 1.6 ve 1.7’de axial tansörlar
cinsinden gösterimini verir.
Piezoelektrik sabiti için, çizelge bağımsız olarak sonuçları diλ ve eiλ cinsinden
gösterir. Bunun sebebi bu sabitlerde çarpım faktörlerinin kısaltmalarında değişiklik
göstermesidir. Örnek olarak, 32. nokta grubunda e sabiti için e26=-e11 olduğu
bilinmektedir. Fakat d sabiti için d26=-2d11 ‘ dir. Elastik sabiti için c ve s ayrı olarak
gösterilmiştir. Bu buluşa göre, kitaplarda çok çeşitli göstergeler kullanılmıştır, örnek
olarak bazıları d ve s’i kullanılır fakat bazıları da e ve c’ yi kullanır. Bazı kişiler ise
d ve e veya s ve c’ yi aynı çizelgelarda kullanılmaktadır. Bu çalışmalarda ayrık
göstergeler kullanılmasının sebebi karmaşayı azaltmasıdır.
İzotropik maddelerin elastik sabitelerinde bir nokta daha not edilmelidir. İzotropik
bir ortam dolu ses ve titreşim tartışmaları her zaman c veya s sabitlerini kullanmaz
aşağıdaki sabitlerin herhangi ikisi kullanmak yeterlidir.
Young modülü E(=1/s11),
sertlik modülü G(=1/s44)
,
Poisson oranı σ(= - s12/s11), hacim modülü: B(=c11+2c12),
(1.84a)
Veya lame katsayıları aşağıdaki gibi oluşur.
λ(=c12),
µ[=c44=1/2(c11c12)].
(1.84b)
Çizelge 1.5 1.Rank Polar tansörlerin simetrisi
•
. 


Pn : 1 • , 2 • , m
•
. 
•
⋅ 
 
•
4, 4mm, mm2
• •
• •
 3, 3m,
 
• •
6, 6mm,
. 
.  , diğerleri=0
 
•
60
Çizelge 1.6
2. Rank Polar tansörlerin simetrisi
• • •  2
ε mn :1/1  • • , 2m

• 2/m
• . • 
 • . ,



•
mm2
222
mmm
• . . 
 • .



•
3,3’,4,4’,4/m,6,6’,6/m
• . . 
 • .



•
32,3m,3’m,422,4mm,4’2m,4/mmm
622,6mmm,6’m2,6/mmm
• . . 
 • .



•
23, m2, 4’3m, 432, m3m
Çizelge 1.7 3. Rank polar tansörlerin simetrisi
• • • • • •
eiλ :1 • • • • • • ,
• • • • • •
 ⋅ ⋅ ⋅ • ⋅ •
2 • • • ⋅ • ⋅  ,
 ⋅ ⋅ ⋅ • ⋅ •
• • • ⋅ • ⋅ 
m  ⋅ ⋅ ⋅ • ⋅ •
• • • ⋅ • ⋅ 
∞mm
∞2
~
d iλ :
∞/m
⋅ ⋅ ⋅ • ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ο ⋅ ,


⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
∞ / mmm
∞
 ⋅ ⋅ ⋅ • • ⋅
 ⋅ ⋅ ⋅ • ο ⋅ , diğerleri = 0


• • • ⋅ ⋅ ⋅
61
1.3.6. Kristal oryantasyon ve piezoelektrik işaret
1.3.6.1. Kristal kesim dizaynı
Kristal kesim oryantasyonunun dizaynı için gerekli bilgiler IEEE (1978,1987),
standartlarında verilmiştir.
İlk olarak x,y,z eksenlerine paralel olacak şekilde bir dikdörtgenler prizması referans
alınarak çizilir. Bu çizim değişik yörüngeler üzerinde çevirilerek son oryantasyona
ulaşılmaya çalışılır. Dizayn şu prosedürlerin tanımlanmasından gelmektedir.
Birinci olarak elimizdeki düzlemin kalınlığı ve uzama yönleri x,y,z harfleri
kullanılarak tanımlanır. Daha sonra başarılı dönüş yönünün eksenleri l,w ve t olarak
belirtilir (uzunluk, genişlik, kalınlık). Bu harfler parantezler içerisinde yazılır.daha
sonra, dönüş açıları sırasıyla yazılır. Genelde üç dönüş yaptıktan sonra son
oryantasyona ulaşılır. Bu yüzden notasyon ikiden beşe kadar parantez içi harflerden
ve de sıfırdan üçe kadar açıdan oluşmaktadır. Orijinden bakıldığı zaman eğer dönüş
yönü saat yönünün tersi ise (sol el kuralı) açının işareti pozitif olacaktır. Bu yüzden;
(YXlwt) Φ / Θ / Ψ
eşitliği dönüşü tam olarak temsil etmektedir. Bu demektir ki: kendi kalınlığı y ekseni
üzerinde ve uzun kenarı x ekseni üzerinde bulunan bir dikdörtgenler prizması l
ekseni üzerinde Φ açısıyla çevrilmesi, daha sonra w ekseni üzerinde Θ açısıyla
çevrilmesi
ve t ekseninde Ψ açısıyla çevrilmesidir. Bu prosedürlerde Eulerian
açılarının tanımlanmasındakine benzer uygulamalar kullanılmıştır. Fakat Eulerian
açılarında kullanılan dönüş prosedürleri tam olarak bunlara uymamaktadır.
62
Şekil 1.6. GT- kristali kesimi (Ikeda, 1990)
Bir dizayn örneği olarak Şekil 1.6’da GT–kesim bir kristali gösterilmiştir.
Hipotetihal kesim YX düzlemindedir ve l ve t eksenleri +x
ve +y ile uyum
sağlayacak şekilde seçilmiştir. Düzlem l1 ekseni etrafında –510 çevrilmiştir ve daha
sonra t ekseni üzerinde 450 çevrilmiştir. Bu yüzden dizayn (Y*lt)-510/450 şeklinde
tanımlanmştır. Eğer kesim 2X ekseninde yapılacak olsaydı gösterim (2Xlt) 390/-450
olması gerekirdi.
Şimdiye kadar kullanışlı kesimler değişik adlarla isimlendirilmiştir. Bizim
metodumuzdaki şöyle özetlenebilir. X-kesim Y-çizgi (XY) kristalin AT kesimi (YXl)
-35.250 veya (YZw)-35.250
63
(a)
(b)
Şekil 1.7. Kristaldeki dikdörtgensel koordinat sistemi. (a) Sol (b) Sağ (Ikeda, 1990)
64
1.3.6.2. Piezoelektrik işaret
Piezoelektrik sabit işareti, pozitif bir baskı altında, pozitif eksen yönünde, pozitif bir
şarj durumunda pozitif olarak alınmaktadır. Bu aynı zamanda kesim bileşeninin
durumudur. Mesela pozitif baskı T6 (.XOY açısını dar açı yapan) +Z yönünde pozitif
bir şarj yaparsa d36>0 tanımlanabilir. Bazen kristollografik eksen hassasiyeti tabiri
kullanılır bu tabir kullanıldığında piezoelektrik sabit pozitiftir.
Enantiomorfus kristal sınıflarında piezoelektrik işarete daha fazla dikkat edilmelidir.
Eğer sağ el kuralına göre koordinat sistemini sağ kristal, sol el kuralına göre
koordinat sistemini sol kristal için kullanıyorsak kristal fiziğinde yapılan tanımayla
aynı tanımlama yapmış olunur. Şekil 1.7’de görüldüğü üzere sağ kristalde –a ekseni
X ekseni olarak, sol kristalde +a ekseni X ekseni olarak alınmıştır ve burada sağ el
koordinat sistemi kullanılmıştır. X ekseni üzerindeki bir baskı sağ kristalde +X
yönünde pozitif şarjı gösterir. Bu sebeple d11,e11 ve e14 pozitif, d14‘ de negatif sağ
kristal işaretleri olur.
65
2. KAYNAK BİLGİSİ
Eringen (1963)., elektroelastostatiğin temelleri üzerine yaptığı çalışmada mekanik ve
elektrostatik balans denklemleri üzerinde durmuş ve dielektrik malzemelere ait
bünye
denklemlerini
sürekli
ortamlar
mekaniği
çerçevesinde
incelemiştir.
Geliştirdiği teoriyi örnek bir problem üzerinde açıklayan Eringen, gerilme ve
polarizasyona ait bünye denklemleri üzerinde oldukça kapsamlı ve doyurucu
açıklamalarda bulunmaktadır. Bu konuda İkeda (1990) ve Kalpakidis(1999)’ in
çalışmaları da oldukça dikkat çekici ve önemlidir.
Ding v.d., (2000)’ nin “ Transvers izotropik piezoelektrik malzemelerin piezo-termoelastisitesi için genel bir çözüm ve uygulamaları ” konulu çalışması dinamik piezotermo-elastik problemler için genel çözümler üzerinde durmaktadır. Atalet terimleri
göz ardı edilecek olursa genel çözüm yarı-statik problemlerin çözümlerine
indirgenmiş olur. Çalışmanın sonunda nümerik bir çözüm gerçekleştirilmiştir. Bu
çalışmanın sonunda; diferansiyel operatörlere ait cebirsel operasyonlar kullanılarak
6mm sınıfına ait kristal yapıların
piezo-termo-elastisitesi için genel çözüm
üretilmiştir. Ayrıca, farklı karakteristik kökler durumunda ortaya çıkacak olan genel
çözüm de verilmiştir. Çok katlı karakteristik kökler durumu da benzer bir genel
çözüm prosedürü ile elde edilebilmektedir. Nümerik örnekte Cadmiyum selenide ait
gerçek değerler kullanılmıştır.
Heterojen piezoelektrik katılarda mikroyapısal alanların analizi konusunda Li ve
Dunn (1999) önemli bir araştırma yapmış ve bir teori geliştirmişlerdir. Bu teoride,
dış yükleme ve alanlardan kaynaklanan iç alanların ortalama değerleri ve değişimleri
için elde edilen ifadeler kullanılmaktadır. Elde edilen genel teori çok kristalli
seramiklere ve matris tabanlı kompozitlere de uygulanabilmektedir. Teori aynı
zamanda çok fazlı matris tabanlı kompozitlere de uygulanmış ve iki fazlı kompozitler
için kesin bağıntılar elde edilmiştir. Efektif termal özellikler ve efektif elastisite
modülü arasındaki kesin ilişkiler tesis edilmiş ve bu bağıntıların daha önceki benzer
çalışmalarla tutarlı olduğu kaydedilmiştir. Aynı zamanda, heterojen katılar için
depolanan entalpi efektif termo-elektro-elastik özelliklerin kesin bir fonksiyonu
66
olarak ifade edilmiştir. Sonuç olarak, teorinin uygulanabilirliğini göstermek
amacıyla, polimer bir matrise gömülü olan sürekli piezoelektrik fiberlerden oluşmuş
iki fazlı bir kompozit için ortalama alanlar ve alan değişimleri için sayısal sonuçlar
sunulmuştur.
Uyarlanabilen kompozit yapıların modellenmesi ve dizaynı konusunda Correia v.d.,
(2000)’ nin yaptığı incelemede; piezoelektrik tetikleyici ve sensörlerin dağılı
vaziyette yer aldığı adaptif kompozit yapılardaki en son gelişmeler verilmiş ve
araştırma gruplarının dikkati, kompozit piezoelektriklerden faydalanarak, ticari
kullanımı çok fazla olan titreşim sönümleme, gürültüyü azaltma, şekil kontrolü ve
kesin konum belirleme gibi konulara çekilmiştir. Adaptif tabakalı kompozitlerin
dizayn ve fabrikasyonundaki karmaşıklık onların maddesel özelliklerini ve mekanik
davranışlarını incelemek için güvenilir ve hassas modeller geliştirmek ihtiyacından
kaynaklanmaktadır. Bu aşamada, gömülü ve /veya bağlı piezoelektrik tetikleyiciler
ve sensörler içeren uygun kompozit yapıların mekaniğini incelemek için yüksek
dereceden sonlu elemanlar formülasyonu ve kapalı analitik çözümler geliştirilmeye
çalışılmaktadır.
Adaptif
kompozit
yapıların
optimizasyonu
da
tetikleyici
performansını maksimize etmek için önemli bir dizayn faktörü olarak karşımıza
çıkmaktadır. Bu çalışmada, tabaka kalınlığı, tetikleyicinin ölçüsü/büyüklüğü ve
yerinin dizayn değişkeni olarak seçildiği iki optimizasyon şeması göz önüne
alınmıştır. Önerilen modellerin geçerliliğini, faydasını ve verimliliğini açıklamak için
birkaç açıklayıcı örnek sunulmuş ve tartışılmıştır. Bu çalışmada, bazı piezoelektrik
malzemelere ait veriler sunulmakta ve sonlu eleman çözümleri ifade edilmektedir.
Piezoelektrik kompozitlerde birleşik etkilerin incelenmesi bir birim hücre modeline
dayandırılarak Pettermann ve Suresh (2000) tarafından verilmiştir. Bu makalede,
sürekli fiberlerin periyodik olarak sıralanmış vaziyette yer aldığı kompozitler için
herhangi bir yükleme durumu sonlu eleman birim hücre modeli ile incelenmiştir.
Mekanik ve elektriksel yüklemeden kaynaklanan genel deformasyonun bütün
modlarının simülasyonuna imkan tanıyan sınır şartlarının formülasyonu üzerine
oturtulmuş özel örnekler verilmiştir. Bu çalışmada kurulan model genel elastik,
dielektrik ve piezoelektrik kompozit malzemelere uygulanmıştır. Piezoelektrik
67
seramikler ve piezoelektrik fiberlerle takviye edilmiş polimer matrisli kompozitler
arasındaki farklar ve fiber düzenlemelerinin etkileri incelenmiştir.
Wu (2000), boşluklar içeren piezoelektrik malzemelerin elektro-elastik özelliklerini
mikro mekanik metodlarla incelemeye çalışmıştır. Boşluklar sıfır elastisite modülüne
sahip küresel şekiller olarak modele dahil edilmiştir. Boşlukları çevreleyen
malzemenin lineer piezoelastik ve transvers izotropik yapıda olduğu kabul edilmiştir.
Küresel boşluklar için elektroelastik Eshelby tansörleri faklı açılardan sayısal olarak
işlemlere dahil edilmiştir. Boşluklar ve matris yapı arasındaki etkileşimi dikkate
almak için Mori-Tanaka ortalama alan teorisi kullanılmış ve malzemelerin efektif
elektroelastik özellikleri elde edilmiştir. Sayısal örnekler de PZT-5H ve BaTiO3
kullanılmıştır. Malzeme özellikleri üzerinde boşlukların oranı ve hacımsal yüzdeleri
incelenmiştir. Malzemenin piezoelastik kapling etkisi özellikle vurgulanmaktadır.
Her iki malzeme için piezoelastik kapling malzemeler üzerinde katılaşma etkisi
sağlamakta, boşluk hacmı arttığında ve boşluk oranı azaldığında kaplingin etkisi çok
belirgin bir şekilde ortaya çıkmaktadır.
Holmes v.d., (2000) sensör uygulamaları için yeni piezoelektrik yapılar hakkında
ilginç araştırmalarda bulunmuşlardır. Bu araştırmalarda piezoelektrik seramik
cihazlar helisel bir yay şeklinde sinterlenmiş bir seramik tüp formunda oluşturulmuş,
tüpün iç ve dış yüzeyleri üzerine elektrodlar yerleştirilmiştir. Bu yapılar düşük elastik
uygunluk ve düşük doğal rezonans frekanslarına sahiptir. Cihazların rezonans
frekanslarını önceden belirleyebilen denklemler geliştirilmiş, bu denklemlerden elde
edilen sonuçların ölçülen değerlerle uyum içerisinde olduğu görülmüştür. İncelenen
cihazın frekans davranışı belirlenmiş ve klasik elektromagnetik jeofonlarla
kıyaslanmıştır. Klasik piezoelektrik sensörler piezoelektrik malzemeden yapılmış
bloklar veya diskler şeklindedir, hidrofonlarda veya ivme ölçerlerde basınç
dalgalarının ölçülmesi amacıyla kullanılırlar. Bu incelemenin asıl amacı sensör
uygulamaları için seramiklerin kesin şekli veya formu üzerinde bir inceleme yapmak
bu formların avantajlarını net bir şekilde belirlemektir. Kullanılan malzeme PZT
cinsinden bir piezoelektrik malzemedir.
68
Cohen (2000), Ferroelektriklerin teorisi üzerine bir inceleme yapmış ve gelecekte
bilim dünyasına ferroelektriklerden beklentilerini temel fiziksel kavramlar
çerçevesinde açıklamaya çalışmıştır. Bu çalışmada faz diyagramları, elektromekanik
ve elastik özellikler, kusurlar ve yüzeylerin özelliklerinin sayısal metodlarla
belirlenmesinin gereği vurgulanmaktadır. Dielektriklerde polarizasyonun anlaşılması
için geliştirilen yeni tekniklerden bahsedilmektedir. Bir literatür çalışması şeklinde
yapılan bu incelemede toplam enerji ve elektronik yapı kafes dinamiğinin lineer
davranışlarına ait ilkeler, periyodik sınır şartlarına polarizasyon yoğunluğu teorisi
piezoelektriklik, kusurlar, alan sınırları ve yüzeyler, relaksör sistemler yeni
piezoelektrik
malzemeler
ve
dizayn
ilkeleri
hakkında
yapılan
çalışmalar
özetlenmektedir.
Tauchert v.d., (2000), akıllı kompozit yapılarla ilgili termo-piezo-elastisite
teorisindeki gelişmeler hakkında teorik incelemeleri gözden geçirmişlerdir. Piezotermo-elastik ortamın lineer davranışını yöneten denklemler belirlenmiş, potansiyel
fonksiyonlara dayalı bir genel çözüm prosedürü tanımlanmıştır. Önceden belirlenen
termal
yükler
ve
elektriksel
potansiyel
dağılımlarının
sonucunda
sensör
uygulamalarının sonuçları belirlenmiş kiriş, plak ve kabuk gibi kompozit yapıların
piezoelektrik tetikleyicilerle nasıl kontrol edileceği anlatılmıştır.
Burny v.d., (2000), akıllı ortopedik implantlara ait dizayn, fabrikasyon ilkelerini ve
bu konudaki ilginç kavramları açıklayan bir çalışma yapmışlardır. Weston köprüsü
ile irtibatlandırılmış gerinme ölçen cihazların ortopedik implantların dizaynında
yaygın bir şekilde kullanıldığı belirtilmektedir. İmplantların deformasyonları direnici
gerinme ölçüm cihazları ile belirlenmekte imalat prosesleri için kişisel bilgisayarlara
sinyal bilgisi şeklinde aktarılmaktadır. Bu çalışmada implantların mekanik
karakterizasyonu, levhalar üzerinde statik eğilme testleri, kritik ara yüzeylerde
korozyon direncinin elektron mikroskopisi, spektroskopi ve atomik absorbsiyon
spektroskopisi ile nasıl belirlendiği detaylı bir şekilde açıklanmaktadır. Bu konuda
yapılan ilginç klinik uygulamalar ve proje çalışmaları, bu makalenin sonunda
özetlenmektedir.
69
3. MATERYAL VE METOT
3.1. Materyal
3.1.1. Elektromagnetizma
Quartz, Turmalin, Seignette tuzu gibi belirli kristaller gerilmenin etkisi altında
kaldığı zaman elektriksel olarak polarize olurlar. Bu basit piezoelektrik etkidir.
Tersine, bir dış elektromagnetik alan pizoelektrik bir kristalde deformasyon üretir.
Bu ters piezoelektrik etki H.G. Lippmann tarafından termodinamik şartlara
dayanarak belirlenmiş ve 1881 yılında J. ve P. Currie kardeşler tarafından deneysel
olarak doğrulanmıştır. Piezoelektrik malzemelerin lineer teorisi ise W. Voigt
tarafından oluşturulmuştur.
Piezoelektrik etkilerin en çok bilinen pratik uygulamaları ultrasonik dalgaların
üretilmesi, elektromagnetik enerjinin mekanik enerjiye dönüştürülmesi veya tersi
işlemlerin yapılması şeklinde ifade edilebilir.
Problemin elektromagnetik temellerini aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:
rot H=
∂D
+J ,
∂t
(3.1)
∂B
,
∂t
(3.2)
rot E = -
Burada,
H Magnetik alan vektörü, E Elektrik alan vektörü, B Magnetik indüksiyon vektörü,
D Elektriksel yer değiştirme vektörü, J İletim akımı vektörü olarak verilmektedir.
Bir katıda alan vektörleri için aşağıdaki bünye bağıntılarının varlığı Elektromagnetik
teoriden çok iyi bilinmektedir.
70
D = ε0 E + P ,
(3.3)
B = µ 0 (H + M).
(3.4)
P Elektriksel polarizasyon vektörü, M Magnetizasyon vektörü, ε 0 , µ 0 sırasıyla sabit
elektriksel ve magnetik permeabiliteleri göstermektedir. (3.1) ve (3.2) denklemleri
aşağıda verilen
div D = ρ e
(3.5)
,
ve
div B = 0.
(3.6)
Gauss denklemi ile tamamlanmak zorundadır. Burada,
ρ e elektriksel yükleri tanımlar. (3.1) ve (3.5) denklemleri birlikte aşağıda ifade edilen
elektriksel yüklerin korunum denklemini verir.
∂ρ λ
+ divJ = 0 .
∂t
(3.7)
İncelediğimiz Piezoelektrik malzemenin herhangi bir B bölgesini göz önüne alalım,
bu bölge ∂ B yüzeyi ile sınılandırılmış olsun. B
bölgesinin iç kısımlarında B
elektromagnetik alanının varlığını kabu edelim. Bu elektromagnetik alan Elektrik
akımları ve Joule ısısı üretmektedir.
(3.1) denklemini E ile, (3.2) denklemini H ile çarparak birbirinden çıkartıp elde
edilen ifadenin B bölgesi üzerinde integrasyonunu gerçekleştirirsek aşağıdaki ifadeyi
elde ederiz.
∫
B
( E rot H – H rot E ) dv=
∫
B
⋅
⋅
( E D + HB )div + ∫ E J dv .
B
(3.8)
71
Vektör cebirinden faydalanarak
E rot H rotE = - div(E × H) ,
eşitliğini yazarız. Gauss transformasyonunu kullanarak (3.8) denkleminden aşağıdaki
ifadeyi elde ederiz.
⋅
⋅
- ∫ n•h da = ∫ ( E D + HB )dv + ∫ E J dv
∂B
B
B
(3.9)
Burada Poynting vektörü olarak adlandırılan vektörü
h=E × H .
formunda yazabiliriz.
Denklem (3.9) Maxwell denklemlerinin matematiksel bir sonucudur ve fiziksel
olarak elektromagnetik enerji balansı şeklinde yorumlanabilir. Böylece, n•h terimi
∂ B yüzeyi boyunca cisimden çevreye elektromagnetik enerji akısını ifade eder.
⋅
⋅
E D + H B terimi ise Υ e elektromagnetik enerjinin zamana göre değişimini gösterir.
Sonuç olarak E J terimi ise Joule ısısını temsil eder.
Bu durumda (3.9) denklemi aşağıdaki formda yazılabilir.
∂
∂t
∫
Υ e dv = -
B
∫
n • h da -
∂B
∫
E•J dv
( 3.10 )
B
Yukarıda verilen (3.10) enerji balansı denklemine göre elektromagnetik enerjinin
zamana göre değişimi ∂ B yüzeyinden geçen enerji miktarı ile ısıya dönüşerek
kaybolan
elektromagnetik
enerjinin
toplamına
eşittir.
Denklem
elektromagnetik alan için enerjini korunumu yasasının global ifadesidir.
(3.10)
72
İleride cismin deformasyonunu da dikkate alarak genelleştirilmiş enerji balasını
yeniden ifade edeceğiz. Maxwell
denklemlerine geri dönelim. Denklem (3.6)
uyarınca B vektörü solenoidal bir vektördür bu yüzden, A0 vektörünün rotasyonu
cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
B = rot A0
(3.11)
Ancak (3.11) eşitliği A0 vektörünü benzersiz ve tek bir şekilde ifade etmeye yetmez.
Bu yüzden aşağıda verilen ifadeleri
A = A0 – grad ψ
B = rot A ,
(3.12)
(3.2) numaralı denkleme taşıyarak
.
rot (E + A 0) = 0 ,
.
rot (E + A ) = 0 ,
(3.13)
eşitliklerini elde ederiz. Bu ifadelerden faydalanarak
.
E = - A 0– grad ϕ 0
.
E = - A - grad ϕ ,
Bağıntılarını yazabiliriz. Bu bağıntılarda yer alan ϕ , ϕ 0 , ψ
(3.14)
ı aşağıda
verilen eşitlikle birbirleri ile irtibatlıdır.
ϕ - ϕ0=
∂ψ
.
∂t
(3.15)
Yukarıda verilen (3.12) ve (3.14) eşitlikleri dikkate alınarak Maxwell denklemlerini
vektörel potansiyel A ve skaler potansiyel ϕ cinsinden aşağıda verilen denklemlerle
ifade edebiliriz.
.
rot H = D + J,
(3.16)
73
B = rot A ,
(3.17)
.
E = - grad ϕ - A
(3.18)
(3.3), (3.4) bünye bağıntıları ve Gauss denklemi değişmeden kalacaktır.
h Poynting vektörü A ve ϕ potansiyelleri cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
.
.
h = E × H = ϕ (J + D ) - A × H .
(3.19)
Şimdi dielektrik malzeme olarak da ifade edilebilen piezoelektrik cisimleri göz
önüne alalım. Genellikle bu cisimler elektriksel olarak dengede olup, aynı miktarda
pozitif ve negatif yüklere sahip olduklarından akım iletmezler. Dielektrik bir
malzemenin elektromagnetik bir alana yerleştirilmesi durumu daha sonra
incelenecektir. Sonuç olarak E ve D vektörler paralel değildir ve polarizasyon
vektörü P kadar birbirlerinden fark gösterirler.
Piezoelektrik malzemeleri magnetize olamayan dielektrikler gibi düşünerek bazı
basitleştirmeleri aşağıdaki eşitlikler şeklinde yazabiliriz
J = 0 , ρe = 0 , M = 0 .
(3.20)
Bu kabuller altında (3.16) ve (3.18) Maxwell denklemleri aşağıdaki gibi yeniden
yazılabilir.
rot H =D
(3.21)
B = rot A ,
(3.22)
.
E = - grad ϕ - A .
(3.23)
74
(3.3) nolu bünye bağıntısı değişmeden aynen kalır oysa (3.4) bağıntısı şimdi
aşağıdaki formda ifade edilmelidir.
B = µ0 H
(3.24)
Serbest yükün bulunmadığı ρ e = 0 gerçeğini dikkate alırsak (3.6) denklemi homojen
bir denklem olup
div D = 0 .
(3.25)
şeklinde ifade edilir. Bu durumda Poynting vektörü daha basit formda
.
.
h = ϕ D -A × H .
(3.26)
şeklinde yazılır. Daha ileri derecede bir basitleştirme (3.23) denklemindeki magnetik
terimi ihmal ederek (A=0) yapılabilir. Böylece aşağıdaki bağıntıya ulaşmış oluruz.
E = - grad ϕ
(3.27)
Bu basitleştirmeler dielektrik yer değiştirmenin diverjansının sıfır olduğunu ortaya
çıkarır.
div D = 0 ,
(3.28)
Bu durumda bünye bağıntısı aşağıdaki formda yazılır.
D = ε0 E + P .
(3.29)
Poynting vektörü ifadesinde magnetik terimi ihmal ettiğimiz zaman
.
h= ϕ D .
(3.30)
75
eşitliğini yazabiliriz. Bu basitleştirmelerin doğruluğu deneysel olarak kanıtlanmış
olup Tiersten tarafından yayınlanan ilginç bir makalede takdim edilmiştir.
Bu basitleştirmeler elastik dalgalarla etkileşim halinde olmayan elektromagnetik
dalgalar için geçerlidir ve dalga uzunluklarının elastik dalgaların uzunluğuna çok
yakın olduğunu kabul ediyoruz (aynı frekanslı elektromagnetik dalgalardan çok daha
kısa olanlarını da dikkate almak mümkündür) .
Denklem (3.10) için verilen enerji balasına geri dönersek piezoelektrikler için B = 0 ,
J = 0 olduğunu dikkate alarak ve (3.30) daki poynting vektörü ifadesini de hesaba
katarak,
∂
∂t
∫
Υ e dv = -
.
∫
nί D ί ϕ da
∂B
B
yazabiliriz. Bu eşitliğin sağ tarafına Gauss transformasyonu uygulanarak aşağıdaki
ifade elde edilebilir.
∂
∂t
∫
B
.
Υ e dv = - ∫ ϕ ,i D ίdv
(3.31)
B
Sonuç olarak aşağıdaki ifade yazılır.
∂
∂t
∫
B
Υ e dv =
∫
.
Eί D ίdv
(3.32)
B
Şimdi ise enerji balansında cismin deformasyonunu göz önüne alacağız.
3.1.2. Enerji balansı
Zamanla değişen dış yükler ve elektromagnetik alandan dolayı cismin deformasyona
uğradığı kabul edelim aynı zamanda cismin içinde ısı kaynağı bulunmadığını ve
76
kondüksiyon vasıtasıyla ısı iletimi olmadığını kabul edelim. ∂ B yüzeyi ile
sınırlandırılmış cismin herhangi bir B bölgesine enerjinin korunumu ilkesi
uygulanırsa;
∂
∂t
∫
(
B
1
ρ vίvί+ Υ ) dv = ∫ xίvί dv +
2
B
∫
pίvίda +
∂B
∫
.
Eί D ίdv ,
(3.33)
B
Burada
K=
1
2
∫
ρ vίvίdv .
(3.34)
B
Kinetik enerjiyi, Υ iç (mekanik ve elektromagnetik ) enerjiyi ifade derken;
L = ∫ xίvί dv +
B
∫
pίvίda
(3.35)
∂B
Mekanik gücü temsil etmektedir. Denklem (3.33) deki son integral ∂ B yüzeyi
boyunca elektromagnetik enerji akışını ifade eder.
D= -
∫
∂B
.
ϕ D ί nίda =
∫
.
Eί D ίdv .
(3.36)
B
Enerjinin korunumu ilkesine göre kinetik ve iç enerjilerin zamana göre değişimi dış
kuvvetlerin ve ∂ B yüzeyi boyunca akan elektromagnetik enerjinin gücüne eşittir. Bu
durumda denklem (3.33) aşağıdaki formda yazılabilir.
d
(K + U ) = L + D ,
dt
U =
∫
Υ dv ,
(3.37)
B
Denklem (3.33) deki yüzey integralini bir hacim integraline dönüştürelim, bu
dönüşümü yaparken aşağıdaki bağıntıyı kullanalım,
77
p= σ ji ni
(3.38)
Burada ni yüzeyden dışarıya doğru yönlenmiş birim normal vektörü göstermektedir.
Gauss tranformasyonunu da kullanırsak aşağıdaki denkleme ulaşırız.
.
∫
U dv =
B
∫ [
.
.
( σ ji ,j + xi - ρ v i) vί + σ ji vί,j + Eί D ί
] dv ,
(3.39)
B
Bu denklem cismin her kısmı için sağlanmak zorunda olan global korunum
denklemidir böylece enerjinin lokal korunum denklemini (3.39) denkleminden
istifade ederek aşağıdaki gibi yazabiliriz.
.
.
.
U =σ ji vί,j + ( σ ji ,j + xi - ρ v i
) vί + Eί D ί
(3.40)
(3.40) denkleminin cismin rijit hareketler altında invaryant kalacağını düşünerek ilk
önce öteleme hareketini aşağıdaki gibi göz önüne alalım.
vί → vί + bi
(3.41)
Burada bi herhangi bir sabit vektördür. ρ , Υ , Xi , σ
ji ,
Eί büyüklüklerinin sabit
kaldığını kabul ediyoruz. (3.41) denklemini (3.40) denkleminde kullanacak olursak
.
U =( vί + bi
)(
.
σ ji ,j + Xi - ρ v i
.
) + σ ji vί,j + Eί D ί ,
(3.42)
denklemini yazabiliriz. (3.42) denkleminden (3.41) denklemini çıkarırsak aşağıdaki
bağıntıyı elde ederiz.
bi
(
.
σ ji ,j + Xi - ρ v i
)=0
78
Bu bağıntı herhangi bir bi vektörü için sağlanmak zorundadır. Böylece aşağıda
verilen hareket denklemine ulaşmış oluruz.
σ
.
ji ,j
+ Xi = ρ v i .
(3.43)
Bu denklem basitçe enerji balansını aşağıdaki gibi ifade etmemize yardımcı olur.
.
.
U =σ ji vί,j + Eί D ί .
(3.44)
Kabullerimiz uyarınca (3.44) ifadesi herhangi bir rijit rotasyona göre invaryant
olmak zorundadır. Böylece aşağıdaki transformasyonu göz önüne alarak
vί → vί ε ikl Xk Ω l , vi,j → vi,j- ε ikl Ω l , Ω = const .
(3.45)
ve bu transformasyonu (3.44) ifadesinde kullanarak
.
U =σ
(
ji
vί,j - ε ikl Ω l
)
.
+ Eί D ί
denklemini yazarız. (3.46) denkleminde (3.44) ifadesini çıkarak ve Υ , σ
(3.46)
ji ,
Eί
büyüklüklerinin invaryant olduğunu düşünerek aşağıdaki ifadeyi yazarız
Ω l ε ikl σ
jk
= 0,
(3.47)
Bu sonuç gerilme tansörünün aşağıda görüldüğü gibi simetrik olduğunu ifade eder.
ε ijk σ
jk
= 0 , σ ji = σ
ij
.
(3.48)
Sonuç olarak,
.
.
U = σ ji vi,j + Eί D ί .
(3.49)
79
eşitliği yazılır. Ayrıca şimdi gerilme tansörünün simetrik bir tansör olduğunu da
biliyoruz. Elastisitedeki tanımlardan faydalanarak
ε ij = 1 (
2
ui,j + uj,i
),
ω ij =
1
2
(
ui,j - uj,i
)
(3.50)
yazarız. Bu durumda,
.
.
ε ij + ω ij
vi,j =
yazılabilir. Burada ε i j ve wi j sırasıyla simetrik gerinme ve antisimetrik rotasyon
tansörlerini ifade eder. Böylece σ ij ω ij = 0 yazabiliriz.
Yukarıda verilen enerji balansı (3.49) şimdi aşağıdaki formu alır.
.
.
Υ = σ ij ε ij + Eί D ί
(3.51)
Bu ifadeden görüleceği üzere sistemin enerjisi Υ = Υ
(
ε ij , Di
)
şeklinde gerinme
tansörünün ve elektriksel yer değiştirmenin fonksiyonudur. Bu fonksiyonun türevini
alırsak
.
U=
∂Υ .
∂Υ .
ε ij +
Dί .
∂ ε ij
∂ Di
(3.52)
elde ederiz. Böylece (3.51) ve (3.52) denklemleri dikkate alınarak aşağıdaki ifade
yazılabilir.
(
σ ij -
∂Υ
∂ ε ij
.
) ε ij + (
Eί -
∂Υ
∂ Di
.
) Dί= 0
(3.53)
80
Bu denklem ε i j , D&i nin herhangi bir değeri için geçerli olmalıdır. Bu mantıkla
(3.53) nolu denklemden faydalanarak aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.
σ ij =
∂Υ
∂Υ
, Eί=
∂Di
∂ε ij
(3.54)
σ i j ve Di büyüklüklerinin ε ij , Eί büyüklüklerine bağlı olarak ifade edilen bünye
bağıntılarını kullanmak uygun bir yaklaşımdır. Elektriksel entalpiyi
H = Υ - Eί Di .
(3.55)
Eşitliği ile tanımlarız. (3.51) ve (3.55) ifadelerinden U& terimini elimine edersek
aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.
.
.
H = σ ij ε ij - Di E i
(3.56)
(3.56) ifadesinden H ≡ H ( ε ij , Eί
.
H=
) olduğunu görüyoruz.
∂H
∂H .
ε ij +
Ei
∂ε i
∂Ei
(3.57)
olduğundan (3.56) ve (3.57) denklemleri aşağıdaki ifadeyi yazmamıza imkan tanır.
(
σ ij -
∂H
∂ε ij
) ε ij
(
-
Di +
∂H
∂Ei
) Ei
.
=0 ,
(3.58)
.
Denklem (3.58) ε ij , E i nin herhangi bir değeri için sağlanmak zorunda olduğundan
σ ij =
∂H
,
∂ε ij
Di = -
∂H
∂Ei
.
(3.59)
81
eşitliklerini yazarız. Bu bağıntılar daha sonra bünye denklemlerinin türetilmesinde
kullanılacaktır.
3.2. Metot
3.2.1. Bünye bağıntıları
Elektriksel entalpi H ( ε ij , Eί
)
nin doğal durum ( ε ij , Eί = 0 , Eί = 0) civarında
bir Mac Laurin serisine açılabildiğini ve ikinci dereceden daha yüksek terimlerin
ihmal edildiğini kabul edecek olursak homojen anizotropik bir cisim için aşağıdaki
açılımı yazabiliriz.
H ( ε ij , Eί ) =
1
1
Cijkl ε ij ε kl - ekij ε ij Ek - ε ij Eί Ej
2
2
(3.60)
Bu açılımda cisim içerisinde başlangıçta gerilme ve elektrik alanın bulunmadığını
kabul ediyoruz.
σ ij =
∂H
∂ε ij
, Di = -
∂H
∂Ei
,
(3.61)
Bağıntıları bizi aşağıdaki bünye denklemlerine götürür.
σ ij = Cijkl ε kl - ekij Ek ,
(3.62)
Di = eikl ε kl + ε ik Ek ,
(3.63)
Burada Ci j k l = CiEj k l
elastik katılık tansörünün bileşenlerini,
piezoelektrik sabitleri ve ε ij permitivite sabitlerini
Eί=sabit, ekij
ε kl = sabit için göstermektedir.
(3.60) ve (3.61) ifadelerini göz önüne alarak aşağıdaki bağıntıları yazabiliriz.
82
∂2H
∂2H
=
∂ε i ∂ε j
∂ε kl ∂ε ij
veya
∂2H
∂2H
=
∂Ei ∂E j
∂E j ∂Ei
veya
∂σ ij
∂ε kl
=
∂σ kl
∂ε ij
∂D j
∂Di
=
∂E j
∂Eij
,
(3.64)
.
yukarıdaki bağıntılar
Cijkl = C klij , ε ij = ε ji
.
(3.65)
eşitliklerinin yazılmasına yol açar. σ
ij ,
ε ij tansörlerinin simetrisini de dikkate alacak
olursak,
Cijkl = C jikl Cijkl
,
=
Cijlk
,e= ekji
kij
(3.66)
yazabiliriz. ε ij tansörü ve ekij polar tansörü j ve i indislerine göre simetriktir.
Triclinic kristal yapının genel durumunda Cijkl matrisine ait elastik sabitlerin sayısı
21, Piezoelektrik matris ekij nin sabitlerinin sayısı 18 ve permitivite sabitlerinin ε ij
sayısı 6 dır.
Bir simetri merkezine sahip olmayan malzemelerde de piezoelektrik etkinin
oluşabileceği bilinmektedir ele alınan cisimde bir simetri merkezinin varlığı kabul
edildiğinde polar bir tansör olan ε kij nin etkisi yok olur, dolayısıyla bu terim
denklemlerde gözükmez.
İzotropik bir cismin özel bir durumunu göz önüne alalım. İzotropik tansörler için
aşağıdaki bağıntıların yazılabileceğini klasik tansör cebrinden biliyoruz:
Cijkl
µ ( δ ik δ jl + δ il δ jk ) + λ δ ij δ kl ,
=
ekij = ε ki e ,
ε ijl = δ ij ∈ .
(3.67)
83
Burada ε kij antisimetrik Ricci tansörüdür. Yukarıda verilen (3.67) ifadelerini (3.62)
ve (3.63) denklemlerine taşıyacak olursak ,
σ ij = 2 µ ε ij + λε kk - e ε kij E ,
(3.68)
Di = ikle ε kl + δ ij Ek ,
(3.69)
Denklemleri elde edilir. σ i j , ε i j tansörleri simetrik ek i j tansörü antisimetrik
olduğundan (3.68) ve (3.69) denklemlerindeki piezoelektrik terim ortadan kalkar.
Böylece,
σ ij = 2 µε ij + λδ ij ε kk ,
Di = ε Ei .
ifadelerini yazabiliriz. Şimdi tekrar elektriksel entalpi H = Υ - Ei Di
(3.70)
ifadesine
dönelim ve bu ifadeyi
Υ = H + Di Ei .
(3.71)
şeklinde göz önüne alalım. (3.60) ve (3.63) numaralı denklemlerden faydalanarak Di
ifadesini uygun şekilde bu denklemlerde yerine yazarak aşağıda verilen denklemi
elde ederiz.
Υ=
1
1
Cijkl ε ij ε kl + ε ij Ei E j
2
2
(3.72)
U ifadesi negatif olmayan skaler bir değer olduğundan (3.72) denkleminin sağ tarafı
pozitif tanımlı quadratik bir form olmak zorundadır, ancak bu şart sağlanırsa
çözümün kararlılığı garanti edilir.
84
3.2.2. Piezoelektriklerin diferansiyel denklemleri
Piezeelektrik malzemelere ait denklemleri ve bağıntıları bir araya getirecek olursak,
hareket denklemlerini ve elektrik alan denklemini
σ ji, j + X i =ρ üi ,
(3.73)
Di ,i = 0 .
(3.74)
formunda ifade ederiz. Bu ifadeleri bünye denklemleri ile tamamlayacak olursak,
σ ij = Cijkl ε kl - ekijEk
(3.75)
,
Di = ρ ikl ε kl + ε ik Ek ,
E k = − ϕ ,k ,
(3.76)
eşitliklerine ulaşırız. Yukarıdaki bağıntılarda yer alan gerinme tansörü aşağıdaki gibi
tanımlanmıştır.
1
ε ik = ( Υ i, j + Υ j,i ) .
2
(3.77)
(3.75) ve (3.76) bağıntılarını (3.73) ve (3.74) diferansiyel denklemlerinde yerine
yazıp (3.77) ifadesi ile verilen tanımı kullanacak olursak, Ui yer değiştirme vektörü
ve ϕ potansiyelini bilinmeyen olarak kabul eden 4 adet skaler denklem elde ederiz.
Cijkl Uk,lj + ekij ϕ ,ki + X i =ρ üi
(3.78)
eiklUk,li- ε ik ϕ ,ki = 0 .
(3.79)
85
Bu diferansiyel denklemler başlangıç ve sınır şartları ile tamamlanmak zorundadır.
Eğer cismin ∂B1 kısmı üzerinde yer değiştirmeler, ∂B2 tamamlayıcı kısmı üzerinde
gerilme vektörleri pi ler belirlenmişse
ui = Υ i (x , t) on ∂B1 , pi = σ ji n j = pi (x, t) on ∂B2 , ∂B1 Υ ∂B2 = ∂B
(3.80)
ifadelerini yazabiliriz.
∂ B3 üzerinde elektriksel potansiyel ve ∂B4 üzerinde yüzey yükleri aşağıdaki gibi
verilmiş olsun.
ϕ = Φ (x , t) on ∂ B3 , Dknk = - σ on ∂B4 , ∂ B3 ∪ ∂B4 = ∂B .
(3.81)
Eğer (3.78)-(3.79) denklem sisteminin çözümünü (ui, ϕ ) biliyorsak , Ek parametresini
Ek = ϕ ,k formülünden başarılı bir şekilde belirleyebiliriz, (3.77) de verilen tanımı
kullanarak (3.75) ve (3.76) bünye bağıntılarından faydalanarak gerilme ve elektriksel
yer değiştirme de bulunabilir. Ei ve Di fonksiyonları hakkında elde edilen bilgiler
elektriksel polarizasyonu
Pi = Di - ε 0 Ei ,
(3.82)
İfadesinden faydalanarak belirlememizi sağlar. Burada ε 0 boşluğun permitivitesidir.
Piezoelektrik etkinin mevcut olmadığı durumda (3.78) numaralı denklem aşağıdaki
formu alır.
cijkl u kli
ρ üi . =
(3.83)
Diğer taraftan piezeelektrik etki mevcut fakat deformasyon ihmal edilmişse (3.79)
denklemi aşağıdaki forma indirgenmiş olur.
ε ij ϕ ,ij = 0 .
(3.84)
86
(3.83) numaralı denklem (3.80) ifadesinde verilen sınır şartları ile (3.84) numaralı
denklem ise, (3.81) da verilen sınır şartları ile tamamlanmıştır.
3.2.3. Yeni notasyonda piezoelektrik denklemler ve bağıntılar
Uygulamaya yönelik bir çok problemde indis karmaşasından kurtulmak ve daha
kullanışlı ifadeler elde etmek için; ij ve kl indisleri yerine, p ve q indislerini
kullanacağız. Burada i, j, k ve l indisleri 1, 2, 3 değerlerini alırken; p ve q indisleri
ise sırasıyla 1 den 6 ya kadar değerler alacaktır. Bu yaklaşıma göre
Cijkl
=
C pq , eikl
=eiq
σ ij, = Ti = T p .
(3.85)
eşitliklerini yazarız. Bu durumda daha önce verilen bünye denklemleri aşağıdaki
gibi yeniden ifade edilebilir.
T p =C pq S q
Di = eiq S q
-ekp Ek
+ε ik Ek
(3.86)
,
i,k = 1,2,3, p,q = 1,2,....,6
(3.87)
Burada ;
eij = S p eğer i= j , p= 1,2,3 ise
(3.88)
2 eij =S p eğer i ≠ j , p= 4,5,6 ise
bu kısaltılmış notasyon kullanıldığında bünye bağıntılarında ortaya çıkan gerilme
bileşenleri aşağıdaki gibi ifade edilir.
T1 = T11 = σ 11 , T2 = T22 = σ 22 , T3 = T33 = σ 33 , T4 = T23
σ 23 = σ 32
=
87
T5 = T31 = σ 31 = σ 13 , T6 = T12 = σ 12 = σ 31
şimdi, daha önce verilen bünye bağıntıları matris formda ifade edilebilir.
T1  C11
T  
 2  C12
T3  C13
  =
T4  C14
T5  C
   15
T6  C16
C12
C13
C14
C15
C 22
C 23
C 24
C 25
C 26
C 23
C33
C34
C35
C36
C 24
C34
C 44
C 45
C 46
C 25
C35
C 45
C55
C56
C16 

C 26 
C36 

C 46 

C56 
C66 
 S1   e11
 S  e
 2   12
 S 3  e13
  - 
 S 4  e14
 S 5  e15
  
 S 6  e16
e21
e22
e23
e24
e25
e26
e31 
e32 
e33 

e34 
e35 

e36 
 E1 
 
 E2 
 E3 
(3.89)
ve
 D1   e11 e12
 D  = e
 2   21 e22
 D3  e31 e32
(3.89) ve (3.90)
e13
e23
e33
e14
e24
e34
e15
e25
e35
e16 
e26 
e36 
 S1 
S 
 2
S3 
 +
S 4 
S5 
 
 S 6 
ε 11 ε 12
ε
 21 ε 22
ε 31 ε 32
ε 13 
ε 23 
ε 33 
 E1 
E 
 2
 E3 
(3.90)
grubunda yer alan ilk bağıntılar açıkça ifade edilecek olursa
aşağıdaki eşitlikler yazılır.
T1 = σ 11 =c11 u1,1 + c12u2,2 + c13u3,3 + c14(u2,3+u3,2) + c15(u3,1+u1,3) + c16(u1,2+u2,1) +
e11 ϕ ,1 + e21 ϕ , 2 + e31 ϕ ,3 ,
Ek = - ϕ ,k
(3.91)
T2 = . . . .
D1 = e11 u1,1 + e12u2,2 + e13u3,3 + e14(u2,3+u3,2) + e15(u3,1+u1,3) + e16(u1,2+u2,1) - ε11 ϕ ,1 -
ε 12 ϕ , 2 - ε 13 ϕ ,3 ,
(3.92)
88
D2 = . . . .
En genel anizotropik malzeme durumunda
Cpq = Cqp , ε ik = ε ki
yazılabilir. Böylece, Cpq elastik sabitleri için 21 adet, ε ik dielektrik sabitler için 6
adet, Ekp piezoelektrik sabitler için 18 adet bağımsız sabit parametre söz konusudur.
Bunların toplamı olan 45 adet bağımsız maddesel sabitin belirlenmesi ancak
deneysel metodlarla mümkündür. Kristal yapı n inci mertebeden bir simetri eksenine
sahip olduğu zaman bu sayı daha da küçülür. X1 ekseninin diagonal eksen olarak
alındığı monoklinik kristal durumunda bünye denklemlerini matris formu aşağıdaki
gibidir.
T1 
T 
 2
T3 
 =
T4 
T5 
 
T6 
 D1 
 
 D2  =
 D3 
C11

C12
C
 13
C14

 0
 0
C12
C13
C14
0
C 22
C 23
C 24
0
0
C 23
C33
C34
0
0
C 24
C34
C 44
0
0
0
0
0
C55
C56
e11 e12
0 0

 0 0
e13
0
0
e14
0
0
0
e25
e35
0 

0 
0 

0 

C56 
C66 
0
e26 
e36 
 S1   e11
 S  e
 2   12
 S 3  e13
 -
 S 4  e14
 S5   0
  
 S 6   0
 S1 
S 
 2  ε
 S 3   11
  +  0
S 4   0
 S5  
 
 S 6 
0
0
0
0
e25
e26
0
ε 22
ε 32
0
0 
0

0
e35 

e36 
0 
ε 23 
ε 33 
 E1 
E 
 2
 E3 
 E1 
E 
 2
 E3 
(3.93)
(3.94)
Bu konunun detaylarına girmeden gerek duyulan bilgileri J.F. Nye’nin meşhur
monografını referans veriyoruz. Şimdi yalnızca piezoelektrik malzemelerde yaygın
bir şekilde kullanılan (6mm) ve (622) hexagonal kristal sınıfı için bünye bağıntılarını
aşağıdaki gibi ifade etmekle yetiniyoruz
89
T1 
T 
 2
T3 
 =
T4 
T5 
 
T6 
C11

C12
C
 13
C14

 0
 0
 D1   0
D  =  0
 2 
 D3  e31
C66=
C12
C13
C14
0
C 22
C 23
C 24
0
0
C 23
C33
C34
0
0
C 24
C34
C 44
0
0
0
0
0
C55
0
0
0
e32
0
0
e33
0
e15
0
0
0
0
e15
0
0
0   S1   0
  
0  S 2   0
0  S3   0
  - 
0  S 4   0

0   S 5  e15
  
C66   S 6   0
 S1 
S 
 2  ε
 S 3   11
  +  0
S 4   0
 S5  
 
 S 6 
0
ε 22
ε 32
0
0
0
e15
0
0
0
ε 23 
ε 33 
e31 
e32 
e33 

0
0

0 
 E1 
 
 E2 
 E3 
(3.95)
 E1 
E  ,
 2
 E3 
1
(C11-C12)
2
(3.96)
Beş elastik sabit, üç piezoelektrik sabit ve iki dielektrik sabit olmak üzere toplam 10
bağımsız sabitten oluşan bu sistem polarize olmuş seramik ferro elektrikler için
karakteristik bir yapı oluşturur.
Bu tip malzemeler güçlü piezoelektrik kuplinge sahip malzemelerdir. (622) kristal
sınıfı için bünye bağıntıları aşağıdaki formda yazılır.
T1  C11
T  
 2  C12
T3  C13
  =
T4   0
T5   0
  
T6   0
C66 =
C12
C13
0
0
C11
C13
0
0
0
C13
C33
0
0
0
0
0
C 44
0
0
0
0
0
C55
0
1
(C11-C12)
2
0 

0 
0 

0 
0 

C66 
 S1   0
S   0
 2 
S3   0
  - 
 S 4  e14
S5   0
  
 S 6   0
0
0
0
0
− e14
0
0
0
0

0
0

0
 E1 
 
 E2  ,
 E3 
(3.97)
90
 D1  0 0 0 e14
  
 D2  = 0 0 0 0
 D3  0 0 0 0
0
0
0
0
− e14
0
 S1 
S 
 2  ε
0
 S 3   11
  +  0 ε 22
S 4   0
0
S5  
 
 S 6 
0   E1 
0   E2 
ε 33   E3 
(3.98)
Burada da beş elastik sabit Cpq , yalnızca bir piezoelektrik sabit eip ve iki dielektrik
sabit ε ij söz konusudur. Yani toplam sekiz bağımsız maddesel sabit vardır. (6mm)
malzeme sınıfı için geçerli olan (3.95) ve (3.96) bünye bağıntılarını
Tji,j = ρ üij
Di,j = 0
.
Şeklinde ifade edilen piezoelektrik denklemlere taşımaya çalışalım. Bu durumda
aşağıda ifade edilen dört denklemden oluşmuş bir skaler denklem sistemine ulaşırız.
C66 ∇ 21 u1 + (C66+ C12)(u1,11+u2,12) + C44u1,33 +
+( C13+ C44) u3,13 + (e31 + e15) ϕ ,13 = ∇ ü1 ,
(3.99)
C66 ∇ 21 u2 + (C66+ C12)(u1,12+u2,22) + C44u2,33 +
+( C13+ C44) u2,23 + (e15 + e31) ϕ , 23
=
∇ ü2 ,
(3.100)
C44 ∇ 21 u3 + C33u3,33 +(C13+ C44)(u1,31+u2,32) +
e15 ∇
2
1
ϕ + e33 ϕ ,33 = ∇ ü3 ,
(3.101)
e15(u3,11 + u3,22 + u1,31 + u2,32 ) + e31(u1,13 + u2,23) +
+ e15 u3,33 – ( ε 11 ρ
2
1
ϕ + ε 33 ϕ ,33 ) = 0 .
Burada
2
2
∇12 = ∂1 + ∂ 2 ,
C66 =
1
( C11- C12 )
2
(3.102)
91
Şeklinde ifade edilmektedir.
Monoklinik bir ortamda bir düzlem dalgayı göz önüne alalım yer değiştirme ve
elektriksel potansiyelin yalnızca X2 ve t değişkenlerine bağlı olduğunu kabul ederek
aşağıdaki dört denklemi yazabiliriz.
C66 u1,31 + e31 ϕ 2, 2 = ρ ü1
(3.103)
C22 u1,31 + C24 u3,22 = ρ ü2
(3.104)
C24 u2,22 + C44 u3,22 = ρ ü3
(3.105)
C26 u1,22 - ∈ ϕ
(3.106)
=0 .
Bu durumda yalnızca yer değiştirme u1 ve potansiyel ϕ kapıl durumda görünecektir.
u2=u3=0 olduğunu kabul ederek (3.103) ve (3.106) denklemlerine yoğunlaşmamız
gereklidir. İlk önce, sabit bir c hızıyla X2 yönünde hareket eden bir düzlem dalgayı
göz önüne alalım. (3.103) (3.106) denklemlerinde bu şartları kullanırsak
u1 = U0 e ik ( x2 −ct ) , ϕ = Φ 0 e ik ( x2 −ct )
(3.107)
ifadelerini ve aşağıdaki denklemi elde ederiz.
U 0 ( k cˆ66 − ρ ω 2 ) = 0
2
c66 = c66 +
2
e26
ε 22
(3.108)
Burada aşağıdaki eşitliklerde kullanılmıştır.
1/ 2
c 
C =  66 
 ρ 
, C=
ω
.
k
(3.109)
Şimdi 2h kalınlığında bir tabakayı göz önüne alalım ve sınırlarda uygulanan bir
potansiyelden dolayı zorlanmış titreşimlerin gerçekleştiğini düşünelim.
92
ϕ = ± ϕ 0 e −iwt ,
x2 = ± h
için
(3.110)
x2 = ± h sınırlarında gerilme vektörlerinin serbest olduğunu kabul ediyoruz. Böylece
σ 21 = T21 = (C66 u1 + e26 ϕ ), 2 = 0 .
x2 = ± h
için
(3.111)
(3.103) ve (3.106) denklemlerinde
u1 = U1(x2) e −iwt , ϕ = φ (x2) e −iwt ,
(3.112)
ifadelerini kullanacak olursak, aşağıda görülen
eω 2
n2 =
C66
( ∂ 22 + n 2 ) U
1= 0 .
(3.113)
ve
∂ 22 ( U 1
ε 22
e26
Φ )=0.
(3.114)
denklemleri elde edilir. (3.113) ve (3.114) denklemlerinin çözümü
U1 = A cos η
Φ =
e26
ε 22
η
=
U1 + C + x2D
(3.115)
formunda ortaya çıkacaktır.
(3.110) da verilen sınır şartları Φ (x2) fonksiyonunun antisimetrik olduğuna işaret
eder, böylece A=C=0 olur. (3.110) da verilen sınır şartı aynı zamanda X2=h için
aşağıdaki bağıntıyı ortaya çıkarır.
93
ϕ0 =
e26
ε 22
B sin n h + Dh .
(3.116)
(3.111) de verilen sınır şartını dikkate alacak olursak aşağıdaki denklemi elde ederiz.
C66
η
e26
η
(3.117)
(3.116) ve (3.117) denklemlerinden D sabitini elimine edecek olursak
2


e26
sin λ 
B  C66 λ cos λ −
ε 22


ϕ 0 e26 , λ = η
Bağıntısına ulaşırız. (3.116) nolu ifade
==
-
(3.118)
D sabitinin belirlenmesine hizmet eder.
Böylece çözüm tamamlanmış olur.
Rezonans durumunda,
tg λ =
C66
ε 22
2
e26
(3.119)
olacaktır. Serbest ve zorlanmış titreşimleri ilgilendiren bazı problemler H.F. Tiersten
tarafından çözülmüş olup, Rayleigh yüzey dalgalarının ilerlemesi literatürde çok
yoğun bir şekilde araştırılmıştır.
94
4. BULGULAR
PZT-4 türünden bir piezoelektrik malzeme için şekli aşağıda görülen 100 mm
uzunluğunda ve 20X20 kesitinde bir kiriş eleman sol tarafındaki yüzeyinden ankastre
olarak mesnetlenmiş olup sağ tarafındaki yüzeyinin üst sınırında yer alan çizgisel
eleman üzerine – 50000 N’ lık mekanik yükle yüklenmiştir. Bu malzemeye ait
dielektrik matrise ait veriler her bir eleman için X10-9 F/m biriminde :
0
0 
 7.124
 0
7.124
0 

 0
0
7.124 

piezoelektrik matrise ait elemanlar ise C/m2 biriminde ;
0
 0

0
 0
 0
0

0
 0
 0 10,5

10,5 0

− 4,1

− 4,1
14,1 

0 
0 
0 
Katılık matrisine ait elemanlar da 10-10 N/m2 birimlerinde olmak üzere;
0 0 0 
13.2 7.1 7.3


13.2 7.3
0 0 0 


11.5
0 0 0 


3.0 0
0 


2.6 0 


2.6 

formunda verilmektedir.
95
İncelenen kiriş ANSYS sonlu elemanlar paket programının kütüphanesinde yer alan
ve katı model türündeki elemanları modellemek için kullanılan SOLID98 türünden
bir elemanla mesh jenerasyonuna tabi tutulmuştur. Kirişin geometrik ölçüleri ve
mesh yapılmış şekli aşağıda yer alan iki şekilde verilmektedir.
Şekil 4.1 Geometrik boyutlar
Şekil 4.2 Kirişin mesh yapılmış hali
96
Buraya kadar yapılan işlemler PREPROCESSİNG fazında yer alan işlemler olup,
yükleme işlemi SOLUTION modunda ele alınmaktadır. Yüklemenin yapıldığı durum
ise aşağıda gösterilmektedir.
Şekil 4.3. Serbestlik derecelerinin kısıtlanması ve mekanik yükün uygulanması
çözüm gerçekleştirildikten sonra ortaya çıkan yer değiştirmeler, potansiyel farkları,
elektrik alan değişimleri, gerilmeler ve gerinmeler aşağıda yer alan şekillerde
gösterilmektedir.
97
Şekil 4.4 Toplam deformasyonlar
Şekil 4.5. Toplam potansiyel farkı (volt)
98
Şekil 4.6. Toplam elektrik akı yoğunluğu
Şekil 4.7
Elektriksel potansiyeldeki değişimin simetrisi farklı açılardan ifade
edilmeye çalışılmaktadır.
99
Şekil 4.8 Elektrik akı yoğunluğunun değişik tarzda görünümleri
Şekil 4.9 Elektrik alandaki değişim
100
Şekil 4.10 Gerilme dağılımı( Von-Mises gerilmeleri)
Şekil 4.11 Gerinme ( Von-Mises) dağılımı
101
Aynı özelliklere sahip malzemenin her iki ucuna 1 voltluk bir gerilim uygulandıktan
sonra 10 doğal titreşim modunda yani rezonas halinde ki durumları incelenmiştir.
ANSYS programı bu modları aşağıdaki gibi belirlemiştir:
INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE *****
SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE
1
0.72603E-05
1
1
1
2
0.11603E-04
1
2
2
3
0.14715E-04
1
3
3
4
0.17275E-04
1
4
4
5
0.19502E-04
1
5
5
6
0.21500E-04
1
6
6
7
6.0903
1
7
7
8
6.3020
1
8
8
9
9.2182
1
9
9
10
14.472
1
10
10
En ilginç olan modlardan 10. moda ait deformasyon durumu aşağıda görülmektedir:
102
Şekil: 4.12 10. moda ait toplam deformasyonlar
Şekil 4.13 Potansiyel farkının dağılımı
103
Daha sonra bir uçtaki 1 voltluk gerilim kaldırıldı ve anti rezonans durumuna ait kritik
modlardan 7.’ ye ait olan sonuçlardan toplam yer değiştirme ve potansiyel dağılımı
aşağıdaki gibi elde edildi.
Şekil 4.14 Toplam yer değiştirme (anti-rezonans)
104
Şekil 4.15 Elektriksel potansiyel dağılımı
105
5. SONUÇLAR
Bu tez çalışmasında, teknolojide yaygın olarak kullanılmaya başlanan akıllı veya
zeki maddesel sistemlerin önemli bir sınıfını teşkil eden piezoelektrik malzemeler
incelenmektedir. Tezin akışı içerisinde de bahsedildiği gibi Elektro-mekanik
etkileşim ve piezoelektrik ilişkilerin termodinamik yönleri ele alınmış ve lineer bağlı
bir sistemde yapısal ilişki ve kuplaj katsayısının genel tanımı verilmiştir. Bu
bağlamda, lineer etkileşimli proseslerin önemli özellikleri açıkça ifade edilmiştir.
Temel piezoelektrik ilişki tipleri ve çeşitli sabitler arasındaki bağıntılar tablo halinde
sunulmuştur. Bağlantı katsayıları ile birlikte enerji iletim katsayıları tanımlanmış ve
Elastik sabitlerde depolarize alan etkisi açıklanmıştır. Yüksek mertebeden
elektromekanik etkileşim olan Elektrostriksiyon ve diğer non-lineer etkiler hakkında
bilgi verilmiştir. Kristal simetrisi , kristallografik eksenler, kristallografik nokta
grupları, tensörlerin fiziksel simetrisi ve piezoelektrik işaret detaylı bir şekilde ifade
edilmiştir.
Elektromagnetizmanın temel ilkeleri ve enerji balansı ifade edildikten sonra, gerilme
ve elektriksel yer değiştirmeye ait bünye bağıntıları verilmiştir. Piezoelektrik
malzemelere ait diferansiyel denklemler ve gerekli görülen matris formlar
yazılmıştır.
Tezin bulgular kısmı teorinin uygulanabilirliğini göstermek amacıyla hazırlanmış bir
bölüm olup, temelde sonlu elemanlar yöntemini kullanan bir paket program olan
ANSYS 5.7 den faydalanılmıştır. Piezoelektrik bir malzeme olan PZT-4 türünde ve
belli geometriye sahip bir malzeme seçilmiş, şekillerde gösterildiği gibi negatif yekseni doğrultusunda 50.000 N lık bir yükle yüklenmiştir. Bu malzemey ait katılık,
dielektrik ve piezoelektrik sabitler matris formda ifade edildiği haliyle programa
tanıtılmıştır. Mesh jenerasyonu yapabilmek için kapıl sistemlerde çözüm üretme
yeteneğine sahip ve özellikle piezoelektrik malzemeler için geliştirilen eleman
ailesinden olan SOLID98 kullanılmıştır.
106
Elde edilen sonuçlar grafik ortamda sunulmaktadır. Bu şekillerde, mekanik
yüklemeden kaynaklanan toplam deformasyon , toplam potansiyel farkı ve toplam
elektrik akı yoğunluğu açıkça ifade edilmektedir. Toplam elektrik akı yoğunluğu bir
anlamda polarizasyon etkisini de ifade ettiğinden değişik açılardan ifade edilmiştir.
Elektrik akı yoğunluğu simetrik bir şekilde mesnetlenmiş bölgeye yakın yerlerde
maksimuma ulaşmaktadır. Elektrik alandaki değişim de ilginç bir görünüm arz
etmekte ve doğal olarak antisimetrik bir form sergilemektedir. Ayrıca, mekanik
yükleme halinde piezoelektrik malzemede ortaya çıkan ortalama gerilme ve gerinme
dağılımları Von-Mises gerilme ve gerinmeleri şeklinde ifade edilmiştir.
Son olarak, özellikleri daha önce belirtilen piezoelektrik malzeme üzerindeki bütün
mekanik yükler ve kısıtlamalar kaldırılarak, kiriş iki ucundan 1 voltluk potansiyelle
yüklenmiş ve 10 tane doğal titreşim modundaki durumu incelenmiştir. Bu doğal
frekanslar tablo halinde verilmiş ve ilginç olan modlara ait çıktılar grafik halinde
sunulmuştur. Daha sonra bir uçtaki gerilim kaldırılarak anti rezonans durumuna ait
sonuçlar elde edilmiştir.
Gerek teorisi ve gerekse uygulamaları açısından ilginç bir konu olan piezoelektrik
malzemeler günümüzdeki ileri teknolojinin bir çok alanında kullanıldığı için daha
ileri boyutlarda araştırılması gerekmektedir. Bu çalışma piezoelektrik malzemeleri
bazı detayları ile ele alarak daha kapsamlı çalışmalara ışık tutmak amacını
taşımaktadır. Piezoelektrik malzemeler gösterdikleri mekanik ve elektriksel davranış
ile özellikle tetikleyici ve uyarıcı olarak rahatlıkla kullanılabilirler. Sayısal örnekten
de anlaşılacağı üzere gösterdikleri deformasyon, gerilme ve polarizasyon alanları
mikro-elektro-mekanik cihazlar içinde uygun görülmektedir.
107
6. KAYNAKLAR
Arafa, M., ve Baz, A., 2000. Dynamics of Active Piezoelectric Damping Composites.
Composites, 31, 255-264.
Burman, A., 2000. On the Infulance of Functional Materials on Engineering Design.
Research in Engineering Design,12, 39-47.
Burny, F., ve Dankerwolcke, M., 2000. Concept, Design and Fabrication of Smart
Orthopedic İmplants. Medical Engineering & Physics, 22,469-479.
Cohen, R. E., 2000. Theory of Femoelectrics: A Vision for the Next. Decade and Beyond.
Journal of Physics and Chemistry of Solid, 61,139-146.
Correia,V. M. ve Gomes, M.A., 1999. Modelling and Design of Adaptive Composite
Structures. Comput. Methods Appl.Mech.Eng.,185,325-346
Craig, L. H., ve Shankar, N., 1994. A finite Element Method for Electrostrictive Ceramic
Devices. Journal of the European Ceramic Society, 0020, 7683.
Daros, C. H., ve Antes, H., 1999. On Strong Ellipticity Conditions for Piezoelectric
Materials Crystal Clasess 6 MM and 622. WaveMotion, 31, 237-253.
Ding, H. J., Hou, P. F., ve Gou, F., 1999. The Elastic and Electric Field for Three
Dimensional Contact for TransVersely İsotropic Piezoelectric Materials. Solid and
Structure, 37, 3201-3229.
Ding, H. J., ve Hou, P. F., 1999. A General Solution for Piezothermoelasticity. International
Journal of Engineering Science, 38, 1415-1440.
Eringen, A. C., 1963. On the Fondations of Electroelastostatics. Int. J. Engng, 1, 127-153.
Haojing, D., ve Weigiu, C., 1997. A Boundary Integrel Formulation and 2D Fundamental
Solution for Piezoelectric Media. Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering, 158, 65-80
He, X.A. ve Ng, T.Y., 2000. Active Control of FGM Plates with Integrated Piezoelectric
Sensor and Actuators. Solids and Structures, 38, 1641-1655.
Holmes, J. E., 2000. Novel Piezoelectric Structures for Sensor Applications. Journal of the
European Ceramic Society, 20-2701.
Ikeda, J., 1990. Fundamental of Piezoelectricity. Oxford University Prees, 257 p, Tokyo.
Kallenbach, E., ve Kube, H., 1999. New Polarized Electromagnetics Actuators as Integrated
Mechatronic Components Design and Application. Mechatronics, 9, 769-784.
108
Kalpakidis, V.K., 1992. Theory of Thermoelectroelasticity: an Extension. Int. J. Engng, 31,
157-164.
Kögl, M., ve Gaul, L., 2000. A Boundary Element Method for Transient Piezoelectric
Analysis. Engineering Analysis with Boundary Element, 24, 591,-598.
Li, J.Y., ve Dunn, M.L., 1998. Analysis of Microstructural Field in Heterogeneous
Piezoelectric Solids. Int. Journal of Engineering Science, 37, 665-685.
Mikata, Y., 1999. Determination of Piezoelectric Eshelby Tensor in Transversely Isotropic
Piezoelectric Solid. Int. Journal of Engineering Science, 38, 605-641.
Peery, A., ve Bowen, C.R., 1999. Finite Element Modelling of 3-3 Piezocomposites. Scripta,
41, 1001-1007.
Pelrine, R., ve Kornbluh, R., 1999. High Field Deformation of Elastometric Dielectrics for
Actuators. Materials Siciences and Engineering, 11, 89-100.
Petterman, H. E., ve Suresh, S., 1999. A Comprenshive Unitcell Model: A study of Compled
Effect in Piezoelectric 1-3 Composites. Solid and Structure, 37, 5447-5464.
Shafer, R., 2000. Dowain in Extremely Soft Magnetics Materials. Journal of Magnetism and
Magnetics Materials, 215-216, 652-663.
Suresh, S., 1999. Theory of Indetation of Piezoelectric Materials. Acta Mat., 47, 7, 21532164.
Tani, J., ve Takogi T., 1998. Intelligent Materials System: Application of
Materials. ASME, 51, 8.
Functional
Tauchert, T.R., 1999. Developments in Thermopiezo Elasticity with Relevance to Smart
Composite Structure. Composite Structures, 48, 31-38.
Tiersten, H.F., 1971. On the Nonlinear Equtions of Thermo Electroelasticity. Int. J. Engng,
9, 587-604.
Usal, M.R., 1994. Fiber Takviyeli Elastik Dielektrik Ortamların Elektro Termomekanik
Davranışlarına ait Matematiksel Bir Model. Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri
Enstitüsü, Doktora Tezi, 108s, Kayseri.
Wang, B., 1992. Effective Behavior of Piezoelectrics Composites. Solid and Structures, 29,
293.
Wu, T., 1999. Micromechanics Determination of Electroelastic Properties of Piezoelectric
Materials Containing Voids. Materials Science and Engineering, A280, 320-327.
109
Xiao, Z. M., ve Bai, J., 1998. On Piezoelectric Inhomogenity Related Problem Part II: A
Close from Solution for the Stress Field Antside A circular Piezoelectric in
Homogenity. Int. Journal of Engineering Science, 37, 945-959.
Xu, X.L., ve Rajapakse, R.K., 1999. On Signalatuties in Composite Piezoelectric Wedges
and Junctions. Solid and Structures, 37, 3253-3275.
Zhu, X., 2000. Microdisplacement Characteristics and Microstructures of Fuctionally
Graded Piezoelectric Ceramic Actuator. Material and Design, 21, 561-566.
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Semih DOĞRUKOL
Doğum Yeri
: Eskişehir
Doğum Yılı
: 09.07.1971
Medeni Hali
: Evli
Eğitim ve Akademik Durumu :
Lise
: 1985-1988 Eskişehir Atatürk End.Mes.Lisesi
Lisans
: 1988-1992 Gazi Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi
Elektrik-Elektronik Eğitimi Bölümü
Yabancı Dil
: İngilizce
İş Deneyimi :
1992-1996 Milli Eğitim Bakanlığı (Öğretmen)
1996-........ Süleyman Demirel Üniversitesi Uluborlu M.Y.O
(Öğretim Görevlisi)