—1 — SOYUT CEB˙IR ÇALISMA SORULARI HALKALAR I Soru 1

—1 — SOYUT CEB˙IR ÇALISMA SORULARI HALKALAR I Soru 1

–1 –
SOYUT CEBI·R ÇALIŞMA SORULARI HALKALAR I
Soru 1 Standart toplama ve
:a
b = 0 olarak tan¬mlanan işlemler alt¬nda (Z; +; ) nin
bir halka yap¬s¬oluşturup oluşturmad¬¼g¬n¬inceleyiniz.
Soru 2 a; b 2 Z , b tek say¬ olmak üzere (a; b) = 1 ve A = f ab : a; b 2 Zg biçimnde yaz¬lan
tüm rasyonel say¬lar¬n oluşturdu¼gu kümenin bilinen toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda bir
halka yap¬s¬oluşturup oluşturmad¬¼g¬n¬inceleyiniz.
Soru 3 Z+ kümesi bilinen toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda bir halka yap¬s¬ oluşturur
mu?
Soru 4 2Z
Z kümesi toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda bir halka yap¬s¬oluşturur mu?
Soru 5 H kümesi üzerinde \ + " ve \ " ikili işlemleri tan¬ml¬ve (H; +) bir grup ve (H; )
birimli yar¬grup (yani sadece G1 özelli¼gi geçerli) ve her x; y; z 2 H için
x (y + z) = x y + x z ve (x + y) z = x z + y z
ise bu durumda (H; +; ) n¬n bir halka oldu¼gunu gösteriniz.
(Yol: (a + b)(1 + 1) i sa¼gdan ve soldan da¼g¬lma özelli¼gini kullanarak her iki durumda
hesaplay¬n¬z.)
Soru 6 X bir küme ve P (X) nin bütün altkümelerin bir ailesi olsun. P (X) kümesinin
A + B = (A [ B)
(A \ B) ve A B = A \ B
işlemlerine göre bir halka oldu¼gunu gösteriniz.
–2 –
b) Bir H halkas¬n¬nda her x 2 H için x2 = x ise H ya bir Boolean halkas¬denir. a)
da verilen P (X) halkas¬n¬n bir Boolean halkas¬oldu¼gunu gösteriniz.
c) Z2 ve Z2
Z2 halkalar¬n Boolean halkas¬oldu¼gunu gösteriniz.
Soru 7 (H; +) bir Abel grubu olsun. Her a; b 2 H için ab = 0 ise (H; +; ) n¬n bir halka
oldu¼gunu gösteriniz.
Soru 8 Aşa¼g¬daki kümeler, C nin birer althalkas¬m¬d¬r?
a) f0 + ib : b 2 Rg
b) fa + ib : a; b 2 Qg
c) fz 2 C : jzj
1g
Soru 9 Aşa¼g¬daki kümeler, M at2 2 (Z) nin birer althalkas¬m¬d¬r? Neden?
80
9
1
<
=
a
a+b
A : a; b 2 Z
a) @
: a+b
;
b
9
80
1
=
<
a
a b
A : a; b 2 Z
b) @
;
: a b
b
80
9
1
< a a
=
@
A
c)
: a; b 2 Z :
: b b
;
Soru 10 H bir halka ve X
H olsun.
M (X) = fa 2 H : her x 2 X için ax = xag
kümesine X nin H halkas¬ndaki merkezi denir.
a) M (X) kümesinin H n¬n bir althalkas¬oldu¼gunu gösteriniz.
–3 –
b) H = M at2 2 (R) ve
9
80
1
=
< x y
A : x; y 2 R
X= @
;
: 0 0
ise M (X) i hesaplay¬n¬z.
Soru 11 H bir de¼gişmeli halka ve X
H olsun.
S(X) = fa 2 H : her x 2 X için ax = 0g
kümesine X nin H halkas¬ndaki s¬f¬rlay¬c¬s¬denir.
a) S(X) kümesinin H n¬n bir althalkas¬oldu¼gunu gösteriniz.
b)H = M at2 2 (R) ve
ise S(X) i hesaplay¬n¬z.
Soru 12
;
2 C ve
,
9
80
1
=
< x y
A : x; y 2 R
X= @
;
: 0 0
n¬n eşleni¼gi olmak üzere
80
1
<
A: ;
H= @
:
9
=
2C
;
kümesinin M at2 2 (C) halkas¬n¬n bir alt halkas¬ oldu¼gunu gösteriniz. Bu halkaya
quaterniyonlar halkas¬denir.
Soru 13 Althalkalar¬n birleşiminin althalka olmad¬¼g¬n¬gösteriniz.
Soru 14 Birimli bir halkan¬n, birimi farkl¬alt halkas¬olabilece¼gine örnek veriniz.
Soru 15 Aşa¼g¬da verilen halkalar¬n tersinerlerini hesaplay¬n¬z.
a) Z5
b) Z
Q
Z
c) Z4
–4 –
Soru 16 H birimli halka olsun. Z
H kümesi üzerine
(m; x) + (n; y) = (m + n; x + y);
(m; x) (n; y) = (mn; nx + my + xy);
işlemlerini tan¬mlayal¬m.
a) (Z
H; +; ) üçlüsünün bir halka oldu¼gunu gösteriniz.
b) Z
H nin birim eleman¬n¬bulunuz.
c) Z
H n¬n de¼gişmeli olmas¬için gerek ve yeter şart H n¬n de¼gişmeli olmas¬gerekti¼gini
ispatlay¬n¬z.
Soru 17 (H; +) de¼gişmeli grup olsun. Her x; y 2 H için x y = x oldu¼guna göre (H; +; )
üçlüsünün bir halka olup olmad¬¼g¬n¬inceleyiniz.
Soru 18 Birimli bir halkada terslenebilir bir eleman¬n tersi tek midir?
Soru 19 Birimli bir halkan¬n althalkas¬da birimli midir?
Soru 20 R halkas¬n¬n iki alt halkas¬A ve B olsun, bu durumda A \ B ninde R nin bir alt
halkas¬oldu¼gunu gösteriniz.
Soru 21 f : H ! K bir halka homomor…zmi ise f (H) n¬n K n¬n alt halkas¬ oldu¼gunu
gösteriniz.
Soru 22 f : H ! K bir homomor…zm ve H de¼gişmeli ise f (H)n¬n da de¼gişmeli oldu¼gunu
gösteriniz.
–5 –
Soru 23 f : H ! K bir homomor…zm olsun.f nin 1
1 olmas¬için gerek ve yeter şart¬n
çekf = 0H oldu¼gunu gösteriniz.
Soru 24 H birimli halka f : H ! K bir örten homomor…zm ve h 2 H terslenebilir
olsun.f (h) 2 K n¬n da terslenebilmesi için gerek ve yeter şart¬n h 2çekf
=
oldu¼gunu
gösteriniz.
Soru 25 f1 : H ! K1 ve f2 : H ! K2 halka homomor…zmi olsun. Her x 2 H için;
f:
H ! K1
K2
x ! (f1 (x); f2 (x))
fonksiyonunun bir halka homomor…zmi oldu¼gunu gösteriniz.
Soru 26 Aşa¼g¬daki kümelerden herbirinin, tan¬mlanan işlemlerle birlikte halka olup
olmad¬¼g¬n¬gösteriniz.
p
a) a + b 5 : a; b 2 Z
b) Determinant¬s¬f¬r olan 2
2 tipinde olan bütün matrislerin kümesi
c) (Z; +; ) ; + bilinen toplama işlemi ve her a; b 2 Z için a b = 0 dir
d) (Z; +; ) ; + bilinen toplama işlemi ve her a; b 2 Z için a b = 1 dir
e) Q rasyonel say¬lar kümesi üzerinde; a; b 2 Q olmak üzere birinci işlem ab ve ikinci
işlem a + b şeklinde tan¬mlanmaktad¬r.
Soru 27 H bir halka olsun. H
H kümesi üzerinde
(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)
(a; b) (c; d) = (ac; ad + bc)
–6 –
işlemlerini tan¬mlayal¬m.
a) (H
H; +; ) üçlüsünün bir halka oldu¼gunu gösteriniz.
b)
f: H
H
(a; b)
!
7!
M at2 2 (H)
0
1
a b
@
A
0 a
fonksiyonunun bir halka homomor…zmi oldu¼gunu gösteriniz.
Soru 28 (H; +; ) birimli halka olsun. H üzerinde
x
y = x + y + 1 ve x
y =x y+x+y
işlemlerini tan¬mlayal¬m. (H; ; ) nin birimli halka oldu¼gunu gösteriniz. (H; ; ) n¬n
birim eleman¬ve s¬f¬r eleman¬nedir?
Soru 29 X bir elemanl¬bir küme ise P (X) = Z2 oldu¼gunu ispatlay¬n¬z.
Soru 30 Z ve 2Z halkalar¬n¬n izomorf olmad¬klar¬n¬gösteriniz.