Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları

Selçuk Üniversitesi
Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi
Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
ÖĞRETMEN ADAYLARININ MATEMATİK
ÖĞRETİMİNDE ANALOJİ KULLANIMLARI
KONUSUNDAKİ GÖRÜŞ VE YETERLİLİKLERİ
İbrahim Bayazit
Erciyes Üniversitesi, Eğitim Fakültesi/ Kayseri, [email protected]
ÖZET
Bu çalışmada öğretmen adaylarının matematik öğretiminde analoji kullanımları
konusundaki görüş ve yeterlilikleri incelenmektedir. Nitel yöntemlerin
kullanıldığı bu araştırmanın örneklem uzayı 22 tane öğretmen adayından
oluşmaktadır. Kuramsal çerçeve olarak öğrenme-öğretme süreçlerinde analoji
kullanımlarını ve fonksiyon kavramının doğasını inceleyen bilimsel
çalışmalardan yararlanılmıştır. Sonuçlar, öğretmen adaylarının analoji
kullanımlarının etkinliğine inandıklarını göstermektedir. Katılımcılar bu
husustaki düşüncelerini analoji kullanımının anlamlı öğrenmenin oluşumuna
katkı sağlayacağı ve öğrencilerdeki matematik korkularını gidereceği gibisinden
birçok bilişsel ve psikolojik gerekçelerle desteklemişlerdir. Ancak, öğretmen
adaylarının kullandıkları analojilerden birçoğunun içeriksel açıdan geçersiz
olduğu görülmüştür. İçeriksel açıdan geçerli analojiler kullananlarında kaynak
(analog) ile hedef kavram (fonksiyon kavramı) arasında var olan anlamsal
ilişkileri izah etmede zorlandıkları görülmüştür.
Anahtar kelimeler: Öğretmen adayları, matematik öğretimi, analojiler,
fonksiyon kavramı.
Selçuk Üniversitesi
Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi
Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
PROSPECTIVE TEACHERS’ VIEWS ABOUT THE ROLE
OF ANALOGIES IN TEACING AND LERARNING
MATHEMATICS
İbrahim Bayazit
Erciyes University, Education Faculty / Kayseri, [email protected]
ABSTRACT
This paper examines prospective teachers’ views about the role of instructional
analogies in teaching and learning mathematics. It explores their proficiency in
using analogies to teach the functions. The study was carried out with 22
prospective high school teachers. The research employed a qualitative inquiry
and used written exam and semi-structured interviews as the main source of data.
Data were analysed using qualitative methods which included content and
discourse analysis methods. The results indicated that the participants had strong
beliefs in the effectiveness of analogy use in teaching and learning mathematical
notions, and they claimed that appropriate analogies would promote meaningful
learning and improve students’ attitudes towards mathematics. Nevertheless, the
participants indicated lack of proficiency in using analogies to teach the concept
of functions and its sub-notions. Most of the analogies that they used had no
content validity. The majority of them had also difficulty in establishing
structural relations between the analogues and the targeted concepts.
Key words: Prospective teachers, mathematics teaching, instructional analogies,
function concept.
Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları…
141
GİRİŞ
Eğitimciler fen ve matematik öğretiminde analoji kullanımlarının önemine vurgu
yapmaktadır (Gick&Holyoak, 1980; Shulman, 1986; Dagher, 1994; Reiner,
Slotta, Chi&Resnick, 2000; Podolefsky&Finkelstein, 2006). En sade şekliyle
analoji iki somut veya soyut nesne arasındaki benzerliğin ifade edilmesi olarak
tanımlanabilir (Dagher, 1994). Bu benzerliğin kıyaslamalar yoluyla ifade
edilmesi ve varlıkların benzer yönleri arasında ilişkilendirmelerin yapılması
durumunda analoji (benzetim yoluyla izah) gerçekleşmiş olur. Analoji yeni
öğrenilen/öğretilen bir düşünceyi açıklamak için daha önceden bilinen bir
varlığın kullanımını gerektirir. Burada, daha önceden bilinen nesne analog veya
kaynak olarak adlandırılırken yeni öğrenilen/öğretilen ve bilinene benzetilerek
açıklanan düşünceye hedef kavram denilmektedir (Spellman&Holyoak, 1996).
Analojiler öğretmenlerin pedagojik alan bilgilerinin önemli bir bileşenini
oluşturmaktadır (Shulman, 1986). Alan bilgilerini farklı bilişsel düzeylere sahip
öğrencilerin anlayabileceği şekilde yeniden yapılandırıp sunabilmeleri için
öğretmenlerin analoji kullanımları konusunda yeterli düzeyde bilgi ve deneyim
sahibi olmaları gerekmektedir (Wilson, Shulman&Richert, 1987). Uygun
analojiler yardımıyla öğretim sürecinin en önemli evresi olan açıklama
(explanation) aşaması (Leinhardt, 1993) çok daha etkili bir şekilde yürütülebilir
ve hedef kavramın esası ve temel özelliklerine ilişkin bilgiler daha kısa ve özlü
bir şekilde öğrencilere izah edilebilir (Rattermann, 1997). Öğretmenler uygun
analojiler kullanarak öğrencilerdeki eleştirel ve yaratıcı düşüncenin gelişimini
destekleyebilir, adapte ederek fraklı alanlarda kullanabilecekleri türden esnek
bilgiler geliştirmelerine yardımcı olabilirler (Holyoak&Thagard, 1995). Ancak,
analojiler yardımıyla düşünebilme noktasında öğrencilerin ciddi sıkıntılar
yaşadıkları bilinmektedir (Bayazit&Ubuz, 2008). Analojiksel düşünce olarak
adlandırabileceğimiz bu zihinsel süreç analogdan hedef kavrama bilgi transferi
yapmayı içerir. Dolayısıyla bu süreçte kullanılan analogun yapısını bilmenin
yanı sıra analog ile hedef kavram arasındaki anlamsal ilişkilerin ve benzerliklerin
anlaşılması önem arz etmektedir (English, 1997).
Analojiksel düşüncenin yapılandırmacı öğrenme teorisi açısından özel bir önemi
vardır (Wittrock&Alesandrini, 1990). Bu teori bilginin zihinsel bir yapı olduğu,
dolayısıyla her bireyin kendi bilgisini ancak kendisinin geliştirebileceği tezini
savunur (Glaser, 1991). Anlamlı öğrenmenin gerçekleşebilmesi için öğrencilerin
yansıtıcı düşünceyi de işe koşarak öğrenilen kavram üzerinde aktif olarak fikir
yürütmeleri gerekir. Ancak bu tarz aktif düşünme eylemleri neticesinde
kavramlar arası ilişkiler kurabilir ve yeni öğrendikleri kavramı bilgi sistemlerinin
anlamlı bir parçası kılabilirler. Analojiler anlamlı öğrenmenin gerçekleşmesine
iki açıdan katkı sağlar. Birincisi, öğrencilerin yeni öğrendikleri bilgileri geçmiş
bilgileriyle ilişkilendirerek zihinsel haritalarının bütünleşik bir parçası
kılmalarına olanak verir. İkincisi, analojiler insan hafızası üzerindeki zihinsel
yükü azaltır; oldukça zengin ve geniş bilgileri daha kısa kodlarla şifreleyerek
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
142
İ.Bayazit
uzun süre hafızalarında tutmalarına yardımcı olur. Bu ise bilginin hatırlanması ve
adapte edilerek farklı alanlarda kullanılması gibi kolaylıkları beraberinde getirir.
Matematik öğretiminde analoji kullanımlarını inceleyen çok sayıda çalışma
bulunmaktadır (Alexander, White&Daugherty, 1997; Kathy, Rod&Tom, 1999;
Richland, Holyoak&Stigler, 2004). Fast (1999) yapmış olduğu çalışma
neticesinde uygun analojiler kullanılarak öğrencilerin olasılık kavramı
hakkındaki bilgilerini yeniden yapılandırmalarına yardımcı olunabileceğini
göstermiştir. Kathy v.d. (1999) kesirler konusunun öğretim ve öğrenim sürecinde
analoji kullanımlarının sağladığı katkıları deneysel bir çalışmayla incelemiş ve
bu süreçte yedi çeşit somut analog kullanmıştır. Araştırmacılar kullanılan
analogları reel geçerlilik ve paylaşım kolaylığı kriterleri çerçevesinde
değerlendirmiştir. Reel geçerlilik kullanılan analogların kesir kavramıyla alakalı
bilgileri açıklamak için ne ölçüde gerçekçi bir ortam sağladığı hususuyla alakalı
iken paylaşım kolaylığı analogların fiziksel olarak eş parçalara bölünebilmesi
özelliğiyle ilgili bir olgudur. Çalışmanın sonuçları analoglarda var olan reel
geçerlilik ve paylaşım kolaylığı kriterlerinin öğrencilerin kesir kavramıyla alakalı
gerekli soyutlamaları yapabilmeleri için önemli olduğunu göstermiştir.
Araştırmacılar reel geçerlilik özelliğini sağlamak koşuluyla kesir şeritlerini
andıran ince ve uzun yapıdaki analogların, diğerlerine kıyasla (daire ve üçgen
modelindeki analoglar, v.s.), kesir kavramının öğrenim ve öğretiminde çok daha
etkili olduğunu belirtmektedir.
Buraya kadar sunulan bilgilerden hareketle analoji kullanımının matematiksel
kavramların öğrenim ve öğretimini kolaylaştıracağını söyleyebiliriz. Ancak, bu
husustaki başarının içeriksel açıdan uygun analog kullanmanın yanı sıra
analogtan hedef kavrama bilgi transferi sürecinin iyi işletilmesine bağlı olduğu
unutulmamalıdır (English, 1997). Bu sebeple, öğretmenlerin analoji seçim ve
kullanımları konusunda yeterli düzeyde bilgi ve deneyim sahibi olmaları
gerekmektedir. Eldeki çalışmada ortaöğretim matematik öğretmen adaylarının
analoji kullanımlarının yararlarına ilişkin düşünceleri ve analoji kullanımları
konusundaki yeterlilikleri araştırılmaktadır. Bu amaçla aşağıdaki araştırma
problemlerine yanıt aranmıştır:
1.
Öğretmen adayları matematik öğretiminde analoji kullanımının faydalı
olacağına inanıyorlar mı? Eğer inanıyorlarsa, analoji kullanımının öğrencilere ne
tür katkılar sağlayacağını düşünüyorlar?
2.
Öğretmen adayları fonksiyonlar konusunun öğretimi için ne tür
analojiler kullanmayı tercih ediyorlar? Söz konusu analojileri hangi amaçlar için
kullanıyorlar, analojilerin seçim ve kullanımı sürecindeki yeterlilikleri ne
düzeydedir?
Araştırma yöntemine geçmeden önce çalışmanın kuramsal çerçevesinden ve
fonksiyon kavramının doğasından kısaca bahsedilecektir. Sunulacak bilgiler
araştırma bulgularının anlaşılması noktasında teorik alt yapıyı sağlayacağı için
önem arz etmektedir.
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları…
143
Kuramsal çerçeve
Günümüz matematik kitapları incelendiğinde içeriksel açıdan oldukça yakın
ancak aralarında birtakım farklılıkların bulunduğu iki tür fonksiyon düşüncesi
göze çarpmaktadır. Bunlardan birincisi fonksiyonun iki değişken arasındaki ilişki
(x bağımsız değişkenindeki artma veya azalmaya karşın y bağımlı değişkeninde
meydana gelen değişim) olduğu düşüncesidir. Ağırlıklı olarak reel değişkenli
fonksiyon düşüncesini içeren bu anlayış fonksiyon kavramını cebir ve geometri
(grafik) alanına kısıtlamaktadır. İkinci algı türü ise fonksiyonun iki kümenin
elemanları arasında eşleme yapan özel bir bağıntı olduğu fikrini içermektedir.
Bu ikinci yaklaşım fonksiyonu tanım ve değer kümelerinden bağımsız tek bir
matematiksel varlık olduğu düşüncesini içermekte, tanım ve değer kümelerinin
ise fonksiyonun ayrılmaz parçaları olduğunu kabul etmektedir. Bir bağıntının
fonksiyon olabilmesi için iki özelliği sağlaması şartını koşmaktadır. Birincisi
(univalence condition) ‘tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve
yalnız bir elemana eşlenmesi’ kuralıdır. İkincisi ise (arbitrariness condition) ‘bir
fonksiyonun eşleme işlemini aritmetiksel veya cebirsel bir kural aracılığıyla
yapmak zorunda olmadığı, bu eşlemeyi tamamen gelişigüzel bir şekilde
yapabileceği’ düşüncesini içermekte, tanım ve değer kümesinin elemanlarının da
her türlü varlıklar olabileceği açılımını getirmektedir (Malik, 1980). Yukarda
bahsedilen algı türlerinin yanı sıra en genel manasıyla fonksiyon girdileri
çıktılara dönüştüren dinamik bir süreç (process) olarak düşünülebilir (Sfard,
1992).
Toplanılan verilerin analizinde fonksiyon kavramının epistemolojisini ve bu
kavrama ilişkin algı türlerini inceleyen çalışmalardan faydalanılmıştır (Sfard,
1992; Dubinsky&Harel, 1992). Bunun yanı sıra matematik ve fen bilimleri
konularının öğretiminde analoji kullanımlarını inceleyen araştırmalardan
kuramsal çerçeve oluşturmak adına yararlanılmıştır (Fast, 1999; Kathy v.d.,
1999; Podolefsky&Finkelstein, 2006). Bu bağlamda, araştırmada kullanılan 2.
sorunun üretmiş olduğu verilerin analizinde iki temel düşünceden
yararlanılmıştır: analojilerin kullanım amaçları (purpose of use) ve analojilerin
içeriksel açıdan geçerliliği (content valididty) (Bayazit&Ubuz, 2008). Kullanım
amacı, analojilerin fonksiyon kavramını açıklamak için mi, yoksa fonksiyon
düşüncesiyle alakalı işlemsel bilgilerin izahı için mi kullanıldığıyla alakalı bir
durumdur. Analojilerin geçerliliği ise iki açıdan değerlendirilmiştir. Birincisi,
kullanılan analogların hedef kavramı temsil yeteneğine sahip olup olmadığıyla
alakalı bir durumdur ki bu tespiti yapabilmek için kullanılan analogların
karakteristik özellikleri fonksiyon kavramının doğasına atıfla incelenmiştir.
İkinci olarak, analogtan hedef kavrama bilgi transfer süreci incelenmiş ve
öğretmen adaylarının bu iki yapı arasında var olan anlamsal ilişkileri nasıl ve ne
ölçüde izah ettikleri tespit edilmeye çalışılmıştır. Fonksiyonların alt kavramlarını
açıklamak için kullanılan analojilerin incelenmesinde de aynı yöntem ve
yaklaşımlar sergilenmiştir.
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
144
İ.Bayazit
YÖNTEM
Araştırma yöntemi
Çalışma konusuyla alakalı gerçekçi ve zengin bilgilerin üretilmesi, mevcut
durumun daha bütüncül bir yaklaşımla incelenmesi için eldeki çalışmada nitel
araştırma metotlarından örnek olay (Yin, 2003) yöntemi kullanılmıştır.
Çalışmanın örneklem uzayı matematik eğitimi alanında Tezsiz Yüksek Lisans
yapan toplam 22 öğretmen adayından oluşmaktadır. Çalışmanın yapıldığı tarih
itibariyle katılımcılar mesleğe yönelik bilgi ve beceri geliştirmeleri için önemli
olan Özel Öğretim Yöntemleri I-II ve Öğretmenlik Uygulaması gibi alan eğitimi
derslerinin tamamını almış bulunmaktaydılar.
Veriler yazılı sınav ve mülakat teknikleri kullanılarak toplanmıştır. Öğretmen
adaylarına toplam iki tane açık uçlu soru içeren yazılı sınav uygulanmış, daha
sonrada üç adayla yarı-yapılandırılmış mülakatlar gerçekleştirilmiştir. Mülakata
katılanlar sınav kâğıtlarının ön analiz sonuçları göz önünde bulundurularak
belirlenmiş ve her başarı grubundan (başarılı, orta düzeyde başarılı ve az başarılı)
bir öğrenciyle mülakat yapılmıştır. Mülakatta yazılı sınavda kullanılan sorular
öğretmen adaylarına teker teker yöneltilmiş, konuyla alakalı görüş düşüncelerini
açıklamaları istenmiştir. Klinik mülakat (Gingsburg, 1981) yönteminin
öngörülerinden faydalanılmış, verdikleri yanıtlara göre yeni sorular yöneltilerek
katılımcıların konuyla alakalı bilgi ve düşüncelerinin bütün boyutlarıyla ortaya
çıkarılması hedeflenmiştir. Mülakatlar ses kayıt cihazları kullanılarak
kaydedilmiştir; buna ilaveten önemli noktalar araştırmacı tarafından yazılı olarak
ta not edilmiştir.
Veri toplama araçları
Yazılı sınav ve mülakat kapsamında kullanılan sorularla en temelde analoji
kullanımının öğrencilere sağlayacağı katkılar ve analojilerin kullanım sürecinde
dikkat edilmesi gereken pedagojiksel prensiplere ilişkin öğretmen adaylarının
görüş ve düşüncelerinin ortaya çıkarılması amaçlanmıştır. Analoji kavramının ne
olduğu konusunda fikir birliği oluşturmak için sınav kâğıdında şu açıklamaya yer
verilmiştir: Bir matematiksel kavramı açıklamak için matematik disiplininden
veya dışarıdan verilen her türlü örneğe ANALOG denir. ANALOJİ ise
matematiksel kavramaların bu örnekler üzerinden benzetim yoluyla
açıklanmasıdır. Benzer açıklamalar mülakata katılan adaylara da yapılmıştır.
Veri toplama araçlarının güvenilirlik ve geçerliliğini artırmak için kullanılan
soruların hedefe uygunluğu ve geçerliliği matematik eğitimcileriyle tartışılmıştır.
Araştırmada kullanılan sorular şu şekildedir:
S1. Geleceğin öğretmenleri olarak matematik öğretiminde analoji kullanımının
faydalarına inanıyor musunuz? Yanıtınız ‘EVET’ ise sizce analoji kullanımı
niçin önemlidir, öğrencilere ne tür katkılar sağlar? Açıklayınız.
S2. Fonksiyonlar konusunun öğretiminde kullanabileceğiniz analojiler nelerdir,
yazınız. Fonksiyon kavramını ve bu düşüncenin alt kavramlarını (sabit
fonksiyon, parçalı fonksiyon, v.b.) açıklamak için bu analojileri nasıl
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları…
145
kullanırsınız; kullandığınız analojilerin etkin olabilmesi için bu süreçte nelere
dikkat edersiniz? Açıklayınız.
Veri analizi
Toplanılan veriler daha önce açıklanmış olan kuramsal çerçeve ışığında
yürütülmüştür. Verilerin analizinde içerik (content) ve diskur (discourse)
(Miles&Huberman, 1994) analizi yöntemleri kullanılmış, bununla katılımcıların
yazılı ve sözlü ifadelerindeki manalara ulaşılması hedeflenmiştir
(Philips&Hardy, 2002). Araştırmacıdan kaynaklanması muhtemel sınırlılıkların
önüne geçmek için üye kontrolü metodundan (Miles&Huberman, 1994)
yararlanılmış, üretilen kodlar ve kategoriler konunun uzmanı eğitimcilerle
tartışılmıştır. Analizin ilk aşamasında sınav kâğıtları satır satır incelenmiş ve öne
çıkan düşüncelerin kısa özetleri yazılmıştır. İkinci aşamada öğretmen adaylarının
yanıtlarındaki manaların incelenmesine devam edilmiş ve yazılan özetler kısa
kodlarla ifade edilmiştir. Sınavda kullanılan I. soruyla alakalı üretilen kodlardan
bazıları şunlardır:
BİL-KAL. (Bilginin kalıcılığını artırır), BİL-SOM. (Bilgiyi somutlaştırır), MATSEV. (Matematiği sevdirir), GÜD-MOT. (Güdüler-motive eder), HAT-KOL.
(Hatırlamayı kolaylaştırır).
Sınavda kullanılan II. sorunun ürettiği verilerin analizi kendi içerisinde çok
yönlü ve katmanlı olarak yürütülmüştür. İlk olarak kullanılan analogların ve
hedef kavramların tespiti yapılmıştır. Daha sonra, analojilerin kavramlarımı
yoksa işlemsel bilgilerimi açıklamak için verildiği, kullanılan analojilerin
dönüştürme ve eşleme mantığını esas alan fonksiyon düşüncelerinden hangisini
vurguladığı, analojilerin geçerliliği (analogların hedef kavramı temsil yeteneğine
sahip olup olmadığı ve analog-hedef kavram ilişkisinin kurulup kurulmadığı)
konuları incelenmiştir. Bütün bu hususlara ilişkin yapılan tespitler kısa kodlarla
ifade edilmiştir. Analiz işleminin son aşamasında ise üretilmiş olan kodlar bir
bütün olarak değerlendirilmiş ve içeriksel açıdan aynı temalara sahip olanlar
genel kategoriler altında toplanmıştır.
Yazılı sınav verilerinin analizinde takip edilen yöntem ve yaklaşımlar mülakat
verilerinin analizinde de tekrarlanmıştır. Ses kayıt cihazlarına depolanmış olan
veriler çözümlenerek analiz işlemleri bu dokümanlar üzerinden yürütülmüştür.
İlk olarak katılımcıların yanıtları dikkatlice incelenmiş ve edinilen manaların
kısa özeti yazılmıştır. Bir sonraki aşamada yazılan bu özetler kısa kodlarla ifade
edilmiştir. Analizin son aşamasında ise üretilmiş olan kodlar bir bütün olarak
değerlendirilmiş ve aynı temaya sahip olan düşünceler daha genel kategoriler
altında toplanmıştır.
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
146
İ.Bayazit
BULGULAR
Sonuçlar öğretmen adaylarının analoji kullanımının yararlarına inandıklarını
ancak fonksiyon kavramıyla alakalı düşüncelerin izahı için kullandıkları
analojilerden önemli bir kısmının içeriksel açıdan geçersiz olduğunu
göstermektedir. Çok sayıda öğretmen adayının ise fonksiyonlarla alakalı
kavramları değil, işlemsel bilgileri açıklamak için analojiler kullandıkları
görülmüştür. Bu kısımda, ilk olarak analoji kullanımlarının sağlayacağı katkılara
ilişkin öğretmen adaylarının görüş ve düşünceleri ele alınacak, daha sonrada
fonksiyonlar konusunun öğretimi için kullandıkları analoji türleri ve bunları nasıl
kullandıklarıyla alakalı bulgular paylaşılacaktır. Çalışma konusuyla alakalı daha
kapsamlı bilgiler verebilmek amacıyla yazılı sınav ve mülakat sonuçları
bütünleşik olarak sunulacaktır.
Katılımcıların 1. soruya verdiği yanıtlar analojilerin öğrencilere üç temel alanda
katkı sağlayacağına inandıklarını göstermektedir: bilişsel, sosyal-psikolojik ve
matematik-güncel yaşam ilişkisi (katılımcıların verdiği yanıtların özeti Tablo 1
de sunulmuştur). Tabloda görüldüğü üzere katılımcıların neredeyse tamamı
bilişsel kazanımlara vurgu yapmaktadır ki bu durum analojilerin sağlayacağı
bilişsel katkıları önemsediklerini göstermektedir. Belirtilen bilişsel kazanımlar
kendi içerisinde çeşitlilik arz etse de yapılan yorumlar en temelde analojilerin
soyut matematiksel kavramları somutlaştıracağı, dolayısıyla hedef kavramın
anlamlı bir şekilde öğrenilmesini kolaylaştıracağı noktasında birleşmektedir. Bu
hususa ilişkin örnek bir yanıt şu şekildedir:
… Kavramaların öğrenciler tarafından daha iyi anlaşılmasını sağlar. Çünkü
matematiksel ifadeler [kavramlar] öğrencilere soyut geliyor, analojilerle bunlar
somutlaştırıldığı için daha iyi anlaşılıyor, ezber olmaktan çıkıyor ve uzun süre
hatırlanıyor [11]1.
Tablo 1: Matematik öğretiminde analoji kullanımının öğrencilere sağlayacağı kazanımlar
konusundaki yazılı sınav bulgularının özeti.
Kazanımlar
Gerekçeler
Öğr. sayısı
• Hedef kavramı somutlaştırır, anlamayı kolaylaştırır.
• Öğrenme süreci kısalır.
• Ezbercilikten kurtarır, anlamlı öğrenmenin
gerçekleşmesine olanak sağlar.
• Bilgiler arası ilişkilerin kurulmasına fırsat verir.
• Bilginin daha sağlıklı bir şekilde kodlanarak bellekte uzun
Bilişsel
21
süre tutulmasına yardımcı olur.
kazanımlar
• Bilginin hatırlanmasını kolaylaştırır.
• Yaparak ve yaşayarak öğrenmenin önünü açar.
• Eleştirel ve yaratıcı düşüncenin gelişimine katkı sağlar.
• Bilginin kullanımını kolaylaştırır.
• Hazır bulunuşluluğu artırır.
1
[11]: Yazılı sınava katılan 11 numaralı öğrenciyi temsil etmektedir. Yazılı sınav kâğıtlarından yapılan alıntılarda bu sunum şekli kullanılacaktır. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları…
Sosyal &
psikolojik
kazanımlar
Mat.–güncel
yaşam ilişkisi
• Derse katılımı artırır.
• Matematiği sevdirir.
• Dikkat çeker, ilgi uyandırır.
• Öğrencileri motive eder.
• Korku ve kaygıları giderir.
• Matematiğin günlük yaşamın bir parçası olduğu
düşüncesini kazandırır.
147
7
4
Öğretmen adaylarından 7 tanesi analoji kullanımlarının derse karşı ilgi
uyandıracağı, matematiği sevdirip korku ve kaygıları gidereceği, öğrencileri
motive edeceği ve derse katılımı artıracağı yorumunda bulunmuştur. Verdikleri
yanıtlardan sosyal-psikolojik alanlardaki kazanımların neticede bilgi ve düşünce
gelişiminin önünü açacağına inandıkları anlaşılmaktadır. Bu hususla alakalı
örnek bir yanıt şu şekildedir:
… Şöyle ki, öğrencilerin büyük kısmı matematikten korkar; tanımlar onlar için
sıkıntı teşkil eder. Günlük hayattan örnekler [analojiler] verdiğimiz zaman
öğrencilerde güdüleme oluşur ki buda konunun daha iyi kavranmasında yardımcı
olur.…. [16].
Katılımcılardan dört tanesi matematiğin güncel yaşamın bir parçası olduğu
fikrinin öğrencilere kazandırılması için analoji kullanımının önemli olduğunu
belirtmiştir.
Mülakatlar yazılı sınav sonuçlarıyla oldukça benzer bulgular üretmiştir (bakınız
Tablo 2). Mülakata katılanlar ağırlıklı olarak analoji kullanımının sağlayacağı
bilişsel katkılara vurgu yapmış, bunun yanı sıra sosyal-psikolojik kazanımlardan
da bahsetmiştir.
Tablo 2: Analojilerin öğrencilere sağlayacağı kazanımlar konusundaki mülakat bulgularının özeti.
Ayhan
Gökçe
Kazanımlar
İlker2
• Bilgiyi
• Bilgiyi somutlaştırır.
• Hazır bulunuşluluğu
somutlaştırır.
artırır.
• Ezbercilikten kurtarır,
Bilişsel
• Anlamlı ve kalıcı
• Bilginin
anlamlı öğrenmenin
kazanımlar
öğrenmeye imkân
anlamlandırılmasına
gerçekleşmesine olanak
verir.
yardımcı olur.
sağlar.
• Bilginin
• Bilgiler arası ilişkilerin • Bilginin hatırlanmasını
hatırlanmasını
kolaylaştırır.
kurulmasına fırsat verir.
kolaylaştırır.
• Hatırda tutmaya
• Bilginin kafada
yardımcı olur.
canlanmasını sağlar,
• Düşüncenin gelişimine
bilginin kullanımını
katkı sağlar.
kolaylaştırır.
• Dikkat çeker, ilgi
• Öğrencileri güdüler.
• Motivasyonu artırır.
Sosyal
uyandırır.
• Matematiği korkulu bir • Öğrencilerin
&psikolojik • Öğrencileri motive ders olmaktan çıkarır.
matematiğe bakış açısını
kazanımlar eder.
düzeltir.
• İlgilerini çeker, dersi
• Korku ve kaygıları
• İlgi uyandırır, derse
sevdirir.
giderir.
severek katılırlar.
2
Bilimsel etik gereği öğrencilerin gerçek isimleri yerine kod adları kullanılmıştır. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
148
İ.Bayazit
Her üç katılımcıda analojileri yardımcı unsur olarak gördüklerini ve analojilerin
özellikle dersin giriş ve açıklama aşamalarında kullanılmasının yararlı olacağını
belirtmiştir. Aşağıda İlker isimli öğrenciyle yapılan mülakattan bir alıntı
sunulmuştur (Diyalog 1):
İlker: … Her şeyden önce öğrencilerin ilgisini çeker. Düşünsenize matematiksel
bir kavram güncel yaşamdan bir örnekle izah ediliyor…öğrenciye çok ilginç
gelir. Öğrenci matematiğin korkulacak bir şey olmadığını anlar ve dersi
sevemeye başlar…
Araştırmacı: Öğreniciye bilişsel katkılarının olacağını düşünüyor musun? Bu
konuda ne dersin?
İlker: Bilişsel katkı derken?
Araştırmacı: Öğrenme açısından sağlayacağı kazanımları kastediyorum.
İlker: … Elbette, biraz önce dediğim gibi dersi sevmesini sağlar, dersi seven
öğrenci daha bir istekli olarak matematiği öğrenmeye çalışır… Verilen örnekler
konuyu somutlaştırır, örnek sayesinde öğrenci bilgiyi kafasında
canlandırır…yani daha anlamlı bir şekilde öğrenir. … Birde analojiler
hatırlamaya katkı sağlar.
Araştırmacı: Hatırlamaya katkı sağlar derken neyi kastediyorsun? Bunu biraz
açar mısın?
İlker: … Tanım gibi, teorem gibi şeyleri öğrencilerin akılda tutması zordur…
Bizde bunları hep unuturduk. Ama günlük yaşamdan verilen örnekler hep kalıcı
olur…demek istediğim bu örnekler sayesinde öğrenciler o konuyu hatırlarında
daha iyi tutarlar. … Sınavlarda falan o konuyla alakalı bir soruyla karşılaşırsa
hemen aklına günlük hayattan verilen o örnek gelir. Bu sayede [analoji
üzerinden] o bilgileri de hatırlamış olurlar. …
İlker, öğrencilerin motive edilmesi, kaygı ve korkularının giderilmesi için
analojilerin uygun araçlar olduğunu düşünmektedir. Bu psikolojik kazanımların
neticede bilişsel kazanımları getireceğine inanmaktadır. Bilişsel kazanımlar
bağlamında da analojilerin bilgiyi somutlaştırmak, daha anlaşılır kılmak, bilginin
kodlanarak bellekte tutulmasına yardımcı olmak ve hatırlamayı kolaylaştırmak
gibi birçok katkısından bahsetmektedir.
Araştırmada kullanılan 2. sorunun üretmiş olduğu verilerin analizi neticesinde 22
katılımcıdan 14 tanesinin fonksiyon kavramını açıklamak için analojiler
kullandığı görülmüştür (bakınız Tablo 3).
Tablo 3: Fonksiyon kavramını açıklamak için kullanılan analojilerin geçerlilik kriterine göre
dağılımı.
Öğr. sayısı
Kullanılan analojiler
Kullanıcı sayısı
Geçerlilik
1.İller-bölgeler ilişkisi
1
Eşleme
2.Anne-çocuk ilişkisi
5
mantığını
10
Geçerli
3.Mektup-adres ilişkisi
3
esas alan
4.Kişiler ve gidecekleri
analojiler
1
yerler arasındaki ilişki
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları…
Dönüştürme
mantığını
esas alan
analojiler
4
149
1.Çamaşır makinesi
1
2.Mesaj iletim sistemleri
1
3.Torna makinesi
4.Fabrika
1
1
Kısmen
geçerli
Kısmen
geçerli
Geçerli
Geçerli
Bu analojilerden 10 tanesi eşleme mantığını 4 tanesi ise fonksiyonun dönüştürme
yapan bir süreç olduğu fikrini içermektedir. Yapılan incelemeler eşleme
mantığını esas alan analojilerin tamamının içeriksel açıdan geçerli olduğunu
göstermiştir. Öğrenciler, bu analojiler üzerinden fonksiyonun iki kümenin
elemanları arasında eşleme yapan bir bağıntı olduğu düşüncesini ve fonksiyon
olma şartlarından ‘tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve
yalnız bir elemana eşlenmesi’ kuralını açıklamışlardır. Eşleme mantığını esas
alan analojilerin nasıl kullanıldığına ilişkin örnek bir yanıt şu şekildedir:
Fonksiyon kavramını açıklamak için hepimizin çok sık kullandığı anne-çocuk
ilişkisini verebiliriz…yani fonksiyonu, çocukları annelerine eşleyen bir bağıntı
olarak tanımlayabiliriz. … [Bu durumda] tanım kümesinin elemanları çocuklar,
değer kümesinin elemanları da anneler olur. …her çocuğun bir tane annesi
olacağı için ancak bir anneye eşlenecektir. Her çocuğun mutlaka annesi olacağı
için tanım kümesinde açıkta eleman da kalmaz. … Ayrıca bir annenin birden çok
çocuğu olabilir, yani tanım kümesindeki birden fazla çocuk tek bir anneye
eşlenebilir…[14].
Fonksiyonun girdileri çıktılara dönüştüren bir süreç olduğu fikrini içeren
analojilerden iki tanesinin (fabrika ve torna tezgâhı örnekleri) içeriksel açıdan
geçerli, diğer ikisinin ise kısmen geçerli olduğu tespit edilmiştir. Bu konuda
geçerli bir analoji örneği şu şekildedir:
Örneğin, fonksiyonu bir fabrikaya benzetebiliriz. Fabrikaya giren ürünler ve
üretim sonucu çıkan ürünler olacaktır. Aynen bunun gibi bir fonksiyonda
girdileri çıktılara dönüştürür; örneğin bir f fonksiyonu x hammaddesini alır, işler
ve daha sonrada y gibi bir ürün verir [3]. ...
Kısmen geçerli olan analojilerin yüzeysel kıyaslamalar içerdiği, ancak girdi,
dönüştürme süreci ve çıktı üçlüsü ekseninde analog ile hedef kavram arasında
ilişkiler kurmadığı anlaşılmıştır:
… İşte fonksiyon çamaşır makinesi gibi bir şeydir. Çamaşır makinesi kirli
çamaşırları temizler. Makinenin bir programı vardır, çamaşırlarınız beyaz ise ona
göre veya renkli ise ona göre programı kurarsınız, deterjan falan koyarsınız ve
makine çamaşırları temizleyerek size verir. … Fonksiyonu böyle bir örnekle
açıklarsak daha kolay anlaşılır [7].
Bu alıntıda çamaşır makinesinin işlevi açıklanmakta, ancak bunun fonksiyon
kavramıyla ilişkisi izah edilmemektedir. Bu ilişkinin kurulmamış olması olayın
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
150
İ.Bayazit
anlaşılmasını zorlaştırmaktadır; örneğin, verilen örnekte girdilerin çamaşırlar mı
yoksa deterjan mı olduğu belli değildir. Çok sayıda analojinin kullanıldığı bir
diğer alan ise fonksiyonların alt kavramlarını içermektedir (bakınız Tablo 4).
Tablo 4: Fonksiyonların alt kavramlarını açıklamak için kullanılan analojilerin kullanım amacı ve
geçerlilik kriterine göre dağılımı.
Öğrenci
Kullanılan analojiler
Kullanıcı
Kullanım
Geçerlilik
sayısı
sayısı
amacı
1. Devlet başkanları
1
Geçersiz
2.Fabrika örneği
1
Geçerli
3.Geri dönüşüm fabrikası
1
Geçerli
4.Ekmek fırını
1
Geçersiz
5.Öğrenci-sınıf ilişkisi
1
Geçersiz
6.Çocuk-anne ilişkisi
5
Geçerli
7.Hoca-öğrenci ilişkisi
1
Geçersiz
Sabit
Kavram
19
fonksiyon
8.Seyahat örneği
2
Geçersiz
9.Ses-eşik şiddeti ilişkisi
1
Geçersiz
10.Kanalizasyon sistemi
1
Geçersiz
11.Öğrenci-bölüm ilişkisi
1
Geçersiz
12.Gezegen-güneş ilişkisi
1
Geçersiz
13.Ortak anten örneği
1
Geçersiz
14.Cumhurbaşkanı örneği
Geçersiz
1-1&örten
1.Birey-yaş ilişkisi
Kavram
Geçerli
1
1
fonksiyon
1.Çiftler arası evlilik
Ters
Kavram
Geçerli
1
ilişkisi
1
fonksiyon
1.Şehirlerarası yolculuk
1
İşlem
Geçersiz
2.Hava sıcaklığı-giyilen
1
İşlem
Geçersiz
elbise
3.Alınan notlar1
Kavram
Geçerli
yerleştirilen bölüm
4.Müzik aleti-ses şiddeti
1
İşlem
Geçersiz
5.İnsan hayatının evreleri
1
İşlem
Geçersiz
6.Sosyal gelir grupları
1
İşlem
Geçersiz
Parçalı
11
fonksiyon
7.Ders geçme sistemi
1
İşlem
Geçersiz
8.Miras ve boşanma
1
İşlem
Geçersiz
davaları
9.Benzin istasyonu-alınan
1
İşlem
Geçersiz
yakıt türleri
10.TV programları-reyting
1
İşlem
Geçersiz
zamanları
11.Öğrenci-bölüm ilişkisi
1
İşlem
Geçersiz
1
Birim
1
1. Fabrika örneği
Kavram
Geçerli
fonksiyon
1
Bileşke
1
1. Döviz bürosu
Kavram
Geçerli
fonksiyon
Bu bağlamda en fazla analoji sabit fonksiyon kavramını açıklamak için
kullanılmıştır. Bu analojilerden sadece 3 tanesinin (toplam 7 öğrenci tarafından
kullanılmış) geçerli olduğu anlaşılmıştır ki bunlar fabrika, geri dönüşüm
fabrikası ve çocuk-anne ilişkisi örneklerini içermektedir. Geçerli olarak kabul
edilen analojilerden iki tanesi şu şekildedir:
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları…
151
… Geri dönüşüm fabrikasına giden tüm kâğıtlar hamur olarak çıkar. … Sabit
fonksiyonda tüm değerleri [girdileri] tek bir değere eşler [11].
… Tanım kümesindeki beş çocuğun beşi de değer kümesinde aynı anneye
eşlenir. Sabit fonksiyon işte böyle bir şeydir; bütün elemanları tek bir elemana
eşler. …[15].
Geçersiz olarak kabul edilen bir analoji ise şu şekildedir:
… Önce [sabit fonksiyonun] tanımı hatırlayalım, her elemanı sabit bir sayıya
[tek bir elemana] götüren fonksiyondur. … Avrupa ülkelerinin devlet
başkanlarını bir konferansta toplayalım… Bu konferanstan kimi seçersek seçelim
seçtiğimiz kişi kesinlikle başkandır [1].
Öğrenci sabit fonksiyonun tanımını hatırlatarak açıklamalarına başlamaktadır ki
bu durum analog ile hedef kavram arasında içeriksel açıdan uyumun olması
gerektiğine inandığının açık bir göstergesidir. Ancak yaptığı açıklamalardan
tanım ve değer kümesinin elemanları ve bunlar arasındaki eşlemenin nasıl
yapıldığına ilişkin bir çıkarımda bulunmak mümkün gözükmemektedir. Devlet
başkanlarının tanım kümesinin elemanları olarak kabul edilmesi halinde ise
bunlardan sadece bir tanesi seçildiği için diğerleri açıkta kalmaktadır ki buda
fonksiyon olma şartlarına aykırıdır.
Çok sayıda analojinin kullanıldığı bir diğer alt alan ise parçalı fonksiyon
kavramını içermektedir. Ancak, bir tanesi hariç kullanılan analojilerin tamamı
parçalı fonksiyon kavramıyla alakalı işlemsel bilgileri (hangi aralıkta hangi
kuralın kullanılacağı düşüncesi) ve yüzeysel özellikleri (bir parçalı fonksiyonun
farklı aralıklarda farklı kuralla tanımlandığı gerçeği) açıklamak için
kullanılmıştır. Bu konuda örnek bir analoji şu şekildedir:
Mahkeme davalarını örnek verebiliriz. … Boşanmak isteyen kişiler boşanma
davalarına, miras konusunda da miras davalarına bakan mahkemeye gider; bunu
parçalı fonksiyona örnek olarak verebiliriz [17].
Ters fonksiyon, birim fonksiyon, 1-1 ve örten fonksiyon kavramlarını açıklamak
için birer tane analoji kullanılmış ve bunların tamamının geçerli olduğu
anlaşılmıştır. Örneğin, ters fonksiyon kavramını açıklamak için kullanılmış olan
çiftler arası evlilik ilişkisi analojisi şu şekildedir:
… Tanım kümesini erkeler ve değer kümesini de bayanlar oluştursun… Bu
bağıntıya tersinden baktığımızda her kadının bir erkekle eşleştiğini
görürüz….buna da karı-koca ilişkisi diyelim. Buda yine bir fonksiyondur, çünkü
ilk başta tanımladığımız çiftler arsındaki evlilik bağıntısı 1-1 ve örtendi de onun
içim [22].
Bu analojinin ters fonksiyon kavramıyla alakalı temel düşünceleri – 1-1 ve
örtenlik şartı ile ters fonksiyon, fonksiyonun yaptığı işlemleri tersinden (sondan
başa doğru) çözümler – açıkça vurguladığı görülmektedir.
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
152
İ.Bayazit
Mülakata katılan adaylardan iki tanesi (Ayhan ve Gökçe) eşleme mantığını bir
tanesi de (İlker) hem eşleme hem de dönüştürme mantığını esas alan analojiler
kullanmıştır (bakınız Tablo 5).
Tablo 5: Mülakatta kullanılan analojilerin kullanım amacı ve geçerlilik kriterine göre dağılımı.
Kullanılan analojiler
İller-bölgeler ilişkisi
İlker
Nakil aracı
Minibüs yolculuğu
Çocuk-anne ilişkisi
Ayhan
Gökçe
Kullanım amacı
Fonksiyon kavramı ve
özellikleri
Tam değer fonksiyonu ile
alakalı işlemsel bilgiler
Fonksiyon kavramı ve
özellikleri
Geçerlilik
Geçerli
Geçersiz
Geçersiz
Geçerli
Milletvekilleri arasından bir
kişinin seçim işlemi
Sabit fonksiyon kavramı
Geçersiz
Türkiye-Amerika yolculuğu
Parçalı fonksiyonlarla alakalı
işlemsel bilgiler
Geçersiz
Her ilden bir vekilin seçim
işlemi
1-1 fonksiyon kavramı
Geçersiz
Çocuk-anne ilişkisi
Fonksiyon kavramı ve
özellikleri
Geçerli
Gezegen-güneş ilişkisi
Sabit fonksiyon kavramı
Geçersiz
Futbol ve basketbol
takımlarına öğrenci
seçimleri
Parçalı fonksiyonlarla alakalı
işlemsel bilgiler
Geçersiz
Her üç öğretmen adayının da çocuk-anne ilişkisi gibi belli türdeki analojileri
başarılı bir şekilde kullandıkları görülmüştür. Aşağıda Ayhan’ın kullandığı
çocuk-anne ilişkisi analojisinden bir alıntı sunulmuştur (Diyalog 2):
Ayhan: [Fonksiyonun tanımını veriyor]…bu tanımdaki bilgileri şöyle öğretirim;
her çocuğun bir tane annesi vardır… Burada tanım kümesini çocuklar değer
kümesini anneler oluşturuyor…[Tanım kümesi çocuklar, değer kümesi
annelerden oluşan bir bağıntı yazıyor]. … Alinin annesi Ayşe olsun;
Mehmet’inki Fatma olsun; Hasan’ınki Mehtap [çocukları annelerine eşliyor].
Zehra açıkta kalsın; Mehtabın çocuğu olmayabilir, ama bu fonksiyon şartını
bozmaz, yani değer kümesinde açıkta eleman kalabilir… Ama kesinlikle tanım
kümesinde açıkta eleman kalamaz çünkü her çocuğun mutlaka bir annesi
vardır…
Araştırmacı: Devam edelim; açıklamak istediğin başka özellik var mı?
Ayhan: …birde şunu belirtmeliyiz, mesela Ali’nin annesi hem Ayşe hem Fatma
olamaz. … Öyleyse tanım kümesindeki bir eleman değer kümesinde iki elemana
gidemez…
Ancak, farklı analojiler kullanmaları istendiğinde katılımcıların uygun örnekler
bulmakta zorlandıkları ya da analog-hedef kavram ilişkisini kurmada sıkıntı
yaşadıkları görülmüştür. Aşağıda buna ilişkin bir alıntı sunulmuştur (Diyalog 3):
Araştırmacı: Fonksiyon kavramını farklı bir analojiyle daha açıklamak ister
misin?
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları…
153
İlker: … Fonksiyon bir yerden bir yere götüren şey anlamında; işte belli bir
kural.
Araştırmacı: Kuraldan kastın nedir?
İlker: Kuraldan kastım işte kelime manasından geliyor, dönüştürme yapan
mekanizma lazım…
Araştırmacı: Nedir bu mekanizma; cebirsel veya aritmetiksel işlemler zincirini
mi kastediyorsun?
İlker: Evet, cebirsel kuralları kastediyorum?
Araştırmacı: Biraz önce verdiğin örnekteki eşlemeyi yapan cebirsel kural nedir?
İlker: Yok, burada kesinlikle öyle bir kural yok…
Araştırmacı: Bir fonksiyonun illaki cebirsel bir kuralla mı ifade edilmesi
gerekiyor?
İlker: [sessizlik] Hayır diyeceğim; hayır, değil…
Araştırmacı: Fonksiyonu dönüştürme yapan bir mekanizma olarak tarif
etmiştin. Bu düşünceyi açıklamak için kafanda bir analoji var mı? Zaman
kısıtlamamız yok, istediğin kadar düşünebilirsin.
İlker: … [Sessizlik] … Şu anda yok, aklıma gelmiyor.
Diyalogdan İlkerin fonksiyonu dönüştürme yapan bir mekanizma olarak
tanımlarken tamamen cebirsel kuralları kastettiği anlaşılıyor. Araştırmacının
yönelttiği sorular karşısında bu düşüncesinin hatalı olduğunu anlamış olsa da
dönüştürme mantığını esas alan ve içeriksel açıdan çok daha uygun bir analoji
üretemediği görülmektedir.
Katılımcıların fonksiyonların alt kavramlarını açıklamak için analoji kullanırken
çok daha fazla zorlandıkları görülmüştür. Bu alandaki analojilerin büyük
çoğunluğu işlemsel bilgilerin izahı için kullanılmıştır. Örneğin, Gökçe parçalı
fonksiyon kavramını açıklamak için ‘basketbol ve hentbol takımlarına öğrenci
seçim işlemi’ örneği üzerinden şu açıklamayı yapmıştır:
… Bir grup öğrenci arasından spor takımları oluşturalım. Boyu 180 ve üzeri
olanlar basketbol, 180 den küçük olanlar hentbol takımına seçilsin. Buda bir
parçalı fonksiyon [örneği] olur.
Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanmış olsa da parçalı
fonksiyon esas itibariyle iki kümenin elemanları arasında eşlemeler yapar.
Ancak, Gökçenin açıklamalarında bu hususa hiç değinilmemekte, yapılacak
işlemlerin beli bir kriter çerçevesinde nasıl yürütüleceğine ilişkin işlemsel
bilgiler ima yoluyla izah edilmektedir.
Ayhan sabit fonksiyon kavramını açıklamak için ‘milletvekilleri arasından bir
temsilcinin seçimi’ örneğini kullanmış ve aşağıdaki açıklamaları vermiştir
(Diyalog 4):
Ayhan: … Meclisi düşünelim; cumhurbaşkanı bunlar arasından kimi seçersen
seçsin bu kişi milletvekilidir… Sabit fonksiyonu bu örnekle açıklarız; oda böyle
bir şeydir işte.
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
154
İ.Bayazit
Araştırmacı: Bu örnekle sabit fonksiyon arasında nasıl bir ilişki var?
Varsayalım ki öğrencilerin anlamdı, bu ilişkiyi öğrencilerine nasıl anlatırsın?
Ayhan: … Önce sabit fonksiyonu tanımlayalım sabit fonksiyon neydi; f(x)=c idi
yani…umm…milletvekilleri tanım kümesi olsun, seçimi yapan cumhurbaşkanı f
fonksiyonu olsun; işte tek bir kişi seçiyor bunlar arasından ve bu kişi hala
milletvekilidir… Yani cinsiyeti rengi ne olursa olsun bu kişi milletvekilidir.
Diyalogun son kısmında Ayhan analog ile hedef kavram arasında ilişki kurmaya
çalışmakta, milletvekillerini tanım kümesinin elemanları, seçimi yapan
cumhurbaşkanlığı makamını da fonksiyon olarak tanımlamaktadır. Ancak,
seçilen vekil ile tanım kümesindeki diğer vekiller arasındaki ilişki belirsizliğini
korumaktadır. Bu ise seçilen kişi hariç geri kalan vekillerin tanım kümesinde
açıkta kaldığını, dolayısıyla da verilen bağıntının fonksiyon olamayacağı
düşüncesini uyandırmaktadır.
TARTIŞMA VE SONUÇ
Bu çalışma matematik öğretiminde analoji kullanımının faydaları ve bu süreçte
dikkat edilmesi gereken prensipler bağlamında önemli bulgular ortaya
koymuştur. Sonuçlar öğretmen adaylarının analoji kullanımının sağlayacağı
kazanımlar konusunda pozitif düşüncelere sahip olduğunu göstermektedir. Bu
kazanımlar sosyal-psikolojik ve bilişsel kazanım alanlarını içermektedir.
Öğretmen adayları, öğrencilerin motive edilmesi, derse karşı olumlu tutum ve
davranış geliştirmeleri, muhtemel korku ve kaygılarının giderilmesi ve bunların
sonucu olarak ta derse aktif katılımlarının sağlanması konularında analojilerin
olumlu rol oynayacağına inanmaktadır. Verdileri yanıtlardan sosyal-psikolojik
kazanımları ayrık olarak değerlendirmedikleri, bilişsel kazanımların edinilmesi
adına uygun öğrenme-öğretme ortamlarının oluşturulması için sosyal-psikolojik
kazanımları önemsedikleri anlaşılmaktadır. Bu düşünceler sosyal çevrenin bilgi
gelişimi üzerindeki etkilerine dikkat çeken, ne denli zengin ve iletişime açık bir
çevrede öğrenim görürlerse o denli kalıcı bilgiler edinilebileceği tezini savunan
sosyo-kültürel teorinin (Daniels, 2001) öngörüleriyle uyumluluk göstermektedir.
Öğretmen adayları bilişsel kazanımlar konusunda çok daha kapsamlı yorumlar
yapmıştır (bakınız Tablo 1). Yakından incelendiğinde bu yorumların
yapılandırmacı öğrenme teorisi (constructivism) (Noddings, 1990) ve bilgi-işlem
teorisinin (information-processing theory) (Rattermann, 1997) öngörüleriyle
paralellik arz ettiği görülmektedir. Katılımcıların büyük çoğunluğu analoji
kullanımlarının soyut matematiksel düşünceleri somutlaştıracağı, dolayısıyla da
anlamlı öğrenmeyi kolaylaştıracağına inanmaktadır. Öğrencilerin hedef kavram
üzerinde daha rahat soyutlamalar yaparak zengin ve doğru bilgiler
geliştirmelerine yardımcı olacağını düşünmektedir. Kimi katılımcılar ise
analojilerin bilgiler arası ilişkiler kurmayı kolaylaştıracağını savunmaktadır ki bu
tez kavramsal bilgi (Hiebert&Lefevre, 1986) – içeriksel açıdan zengin ve diğer
kavramlarla ilişkilendirilmiş bilgi demektir – geliştirme sürecinde analojilerin
oynayabileceği pozitif role inandıklarını göstermektedir. Bazı öğretmen adayları
ise (örneğin, bakınız Diyalog 1) analojilerin matematiksel bilgilerin kodlanarak
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları…
155
uzun süre bellekte tutulmasına yardımcı olacağını ve bilginin hatırlanmasını
kolaylaştıracağını dile getirmiştir. Bu görüşler yine yapılandırmacı kuramın
takipçisi olan matematik eğitimcilerinin (Gray, Pinto, Pitta & Tall, 1999)
fikirleriyle paralellik arz etmektedir. Bu eğitimciler insan aklının soyut
matematiksel düşünceleri tutmakta zorlanacağını, bireylerin bu düşünceleri
semboller – cebirsel simgeler, grafikler, şekil ve şemalar, analojiler, v.b. – gibi
zihinsel araçlar yardımıyla kodlayarak belleklerinde muhafaza edebileceğini
belirmektedir.
Analojilerin yararları konusunda güçlü inançlara sahip olmalarına karşın
öğretmen adaylarının bu araçları kullanırken birtakım sıkıntılar yaşadıkları
görülmektedir. Yazılı sınava katılan 22 öğretmen adayından 14 tanesi fonksiyon
kavramını açıklamak için analoji kullanmıştır (bakınız Tablo 3). Bu analojilerden
12 tanesinin geçerlilik kriterini sağladığı, 2 tanesinin de kısmen geçerli olduğu
anlaşılmıştır. Eşleme mantığını esas alan analojiler kullanan öğrencilerin bu
örnekler üzerinden fonksiyonun özel bir bağıntı olduğu düşüncesinin yanı sıra
fonksiyon olma koşullarını da izah ettikleri görülmektedir. Yaptıkları
açıklamalar analojiksel düşüncenin en kritik aşaması olan analogtan hedef
kavrama bilgi transferini (English, 1997) başarıyla yürüttüklerini göstermektedir.
Lise-I ders kitaplarında (MEB, 2006) fonksiyon kavramının özel bir bağıntı
şeklinde tanımlandığı düşünülecek olursa eşleme mantığını içeren analojiler
kullanan öğretmen adaylarının analoji-müfredat uyumluluğunu gözettikleri
anlaşılmaktadır.
Katılımcıların en büyük sıkıntıyı fonksiyonların alt kavramlarını açıklamak için
analoji kullanımlarında yaşadıkları anlaşılmaktadır. Bu amaç için kullandıkları
analojilerin büyük çoğunluğunun içeriksel açıdan geçersiz olduğu görülmüştür
(bakınız Tablo 4). Geçersizlik durumu kendini iki şekilde göstermektedir.
Birincisi, hedef kavramın doğasıyla uyumlu analogların kullanılmamış olması;
ikincisi ise uygun örnekler kullanıldığı durumlarda analog-hedef kavram
ilişkisinin kurulamamış olmasıdır (örneğin, bakınız Diyalog 4). Çalışmanın bir
diğer sonucu ise fonksiyonların alt kavramlarıyla alakalı kullanılan analojilerin
büyük bölümünün kavramı değil o kavramla alakalı işlemsel bilgileri açıklamak
için kullanılmış olmasıdır. İşlemsel bilgilerin açıklanması amacıyla analoji
kullanımlarına itirazımızın olamayacağını belirtmek isteriz. Ancak, bu hususta
aşırıya kaçmanın öğrencilerin dikkatlerini işlemlere odaklayacağını, dolayısıyla
da öğrencilerin kavram algılarını ilgili işlemlere kısıtlamak gibi bir sınırlılığa
sebep olabileceğini belirtmek isteriz.
Çalışmanın bir diğer önemli sonucu ise öğretmen adaylarının anne-çocuk ilişkisi
ve mektup-adres ilişkisi türündeki analojileri başarılı bir şekilde kullandıkları
gerçeğidir. Bu analojilerin çok sayıda katılımcı tarafından kullanılmış olması
(bakınız Tablo 3) ve kimi öğrencilerinde bunlardan ‘çok kullanılan’ örnekler
olarak bahsetmesi söz konusu analojilerin kullanımına ilişkin daha önceden bilgi
sahibi olduklarını göstermektedir. Buradan hareketle lisans eğitimi ve hizmet içi
eğitim kursları kapsamında analoji seçim ve kullanımları konusunda yapılacak
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
156
İ.Bayazit
bilgilendirme çalışmalarının öğretmenlerin bu alandaki yeterliliklerini artırmak
adına yararlı olacağını belirmek isteriz. Ayrıca, bu alandaki ihtiyaçlara cevap
vermek adına öğretmen kılavuz kitaplarında analoji örekelerine yer verilebilir ve
var olanlar geliştirilerek öğretmenlerin kullanımına sunulabilir.
Son olarak, pratik bazı sebeplerden ötürü az sayıda katılımcıyla yapılmış olması
eldeki çalışmanın bir sınırlılığı olarak düşünülebilir. Araştırmanın nitel karakterli
olmasının bu sınırlılığı belli ölçüde de olsa tolere ettiği kanaatini taşımaktayız.
Ayrıca, araştırmanın nitel karakterli olması sebebiyle bu makalede sunulan
bulguların katılımcılar dışındaki bir gruba genellenemeyeceğini belirtmek isteriz.
Daha büyük bir örneklem grubuyla yapılacak benzer çalışmaların analoji
kullanımları konusunda çok daha aydınlatıcı bilgiler üreteceği muhakkaktır.
Özellikle analoji kullanımlarını içeren öğretim yaklaşımlarının öğrencilerin
bilişsel ve psikolojik gelişimleri üzerindeki etkilerini konu edinen çalışmalara
öncelik verilmesinin yararlı olacağını düşünmekteyiz.
KAYNAKÇA
Alexander, P. A., White, C. S., & Daugherty, M. (1997).Analogical Reasoning
and Early Mathematical Learning. In L. D. English (Ed.), Mathematical
Reasoning: Analogies, Metaphors, and Images (p. 117-147). New Jersey:
Lawrence Erlbaum Associates, Inc., Publisher.
Bayazit, I.,&Ubuz, B. (2008). Instructional Analogies and Student Learning: The
Concept of Function. Proceeding of the 32rd Conference of the International
Group for the Psychology of Mathematics Education, 2(145-153).
Dagher, Z. R. (1994). Does the Use of Analogies Contribute to Conceptual
Change?.Science Education, 76(6), 601-616.
Daniels, H. (2001). Vygotsky and Pedagogy.RoutledgeFalmer: New York.
Dubinsky, Ed.,&Harel, G. (1992).The Nature of the Process Conception of
Function. In G. Harel& Ed. Dubinsky (Eds.), The Concept of Function: Aspects
of Epistemology and Pedagogy (p. 85-107). United States of America:
Mathematical Association of America.
English, L. D. (1997). Analogies, Metaphors, and Images: Vehicles for
Mathematical Reasoning. In L. D. English (Ed.), Mathematical Reasoning:
Analogies, Metaphors, and Images(p. 3-18). New Jersey: Lawrence Erlbaum
Associates Inc.
Fast, G. R. (1999).Analogies and Reconstruction
Knowledge.School Science and Mathematics, 99(5), 230-240.
of
Probability
Gick, M. L., &Holyoak, K. J. (1980).Analogical Problem Solving.Cognitive
Psychology, 12, 306-355.
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
Öğretmen Adaylarının Matematik Öğretiminde Analoji Kullanımları…
157
Gingsburg, H. (1981). The Clinical Interview in Psychological Research on
Mathematical Thinking: Aims, Rationales, Techniques. For the Learning of
Mathematics, 1(3), 57-64.
Glaser, R. (1991). The Maturing of the Relationship between the Science of
Learning and Cognition and Educational Practice.Learning and Instruction, 1(2),
129-144.
Gray, E., Pinto, M., Pitta, D., & Tall, D. (1999).Knowledge construction and
diverging thinking in elementary and advanced mathematics.Educational Studies
in Mathematics, 38(1), 111-133.
Heibert, J., &Lefevre, P. (1986).Conceptual and Procedural Knowledge: The
Case of Mathematics. New Jersey: Lawrence Erlbaum Assocıates Inc.
Holyoak, K. J., &Thagard, P. (1995).Mental Leaps: Analogy in Creative
Thought. Cambridge, MA: MIT Press.
Kathy, C., Rod, N., & Tom, C. (1999).Mathematical Analogs and the Teaching
of Fractions.Paper Presented at the Annual Meeting of the Australian
Association for Research in Education and the New Zealand Association for
Research in Education. Australia: Melbourne.
Leinhardt, G. (1993). On Teaching. In R. Glaser (Ed.), Advances in Instructional
Psychology (4, 1-54). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Malik, M. A. (1980). Historical and Pedagogical Aspects of the Definition of
Function.International Journal of Mathematical Education in Science and
Technology, 11(4), 489-492.
MEB. (2006). OrtaöğretimMatematik: 9. Sınıf. MilliEğitimBakanlığıYayınları:
Ankara.
Miles, M. B., &Huberman, A. M. (1994).Qualitative Data Analysis:An
Expanded Sourcebook. London: Sage Publications
Noddings, N. (1990). Constructivism in Mathematics Education. In R. B. Davis,
C. A. Maher, and N. Noddings (Eds.), Constructivist Views On The Teaching
and Learning of Mathematics (p. 7-19). NCTM: Virginia.
Phillips, N. & Hardy, C. (2002).Discourse Analysis: Investigating Processes of
Social Construction. United Kingdom: Sage Publications Inc.
Podolefsky, N. P., & Finkelstein, N. D. (2006).Use of Analogy in Learning
Physics.Physics Education Research, 2 (2), 101-110.
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011
158
İ.Bayazit
Rattermann, M. J. (1997). Commentary: Mathematical Reasoning and Analogy.
In L. D. English (Ed.), Mathematical Reasoning: Analogies, Metaphors, and
Images (pp. 247-264). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates Inc.
Reiner, M., Slotta, J. D., Chi, M. T. H., &Resnick, L. B. (2000). Naive Physics
Reasoning: A Commitment Substance-Based Conceptions. Cognition and
Instruction, 18, 1-34.
Richland, L. E., Holyoak, K. J., & Stigler, J. W. (2004).Analogy Use in EightGrade Mathematics.Cognition and Instruction, 22(1), 37-60.
Sfard, A. (1992). Operational Origins of Mathematical Objects and the Quandary
of Reification-The Case of Function. In Harel& Ed. Dubinsky (Eds.), The
Concept of Function Aspects of Epistemology and Pedagogy (p. 59-85). United
States of America: Mathematical Association of America.
Shulman, L. (1986). Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching.
Educational Researcher, 15, 4-14.
Spellman, B. A.,&Holyoak, K. J. (1996).Pragmatics
Mapping.Cognitive Psychology, 31, 307-346.
in
Analogical
Wilson, S. M., Shulman, L. S., &Richert, A. E. (1987). “150 Different Ways” of
Knowing: Representations of Knowledge in Teaching. In J. Calderhead (Ed.),
Exploring Teachers’ Thinking (p. 104-124). London: Cassel Education Ltd.
Wittrock, M. C., &Alesandrini, K. (1990).Generation of Summaries and
Analogies and Analytic and Holistic Abilities.American Educational Research
Journal, 27(3), 489-502.
Yin, R. K. (2003).Case Study Research: Design and Methods. United Kingdom:
Sage Publications Ltd.
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 31, Sayfa 139-158, 2011