Slayt 1 - anadolu üniversitesi eczacılık fakültesi

Transkript

Varyans Analizi (ANOVA)
Kruskal-Wallis H Testi
Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi
Tıp Fakültesi
Biyoistatistik Anabilim Dalı
Konu Başlıkları
• Tek Yönlü Varyans Analizi
• SPSS’de Tek Yönlü Varyans Analizi
• Kruskal-Wallis H Testi
• SPSS’de Kruskal-Wallis H Testi
Varyans Analizi
Varyans analizi (ANALYSIS OF VARIANCE), normal
dağılım
gösteren
bağımlı
ya
da
bağımsız
toplumların ortalamalarına ilişkin hipotezlerin test
edilmesinde yararlanılan bir analiz yöntemidir.
Varyans Analizi
Varyans analizi (ANOVA), k gruptan (k>2) elde
edilen veri setinde incelenen değişkene ait olan
genel varyansı (genel değişimin), bu değişime
katkıda bulunan öğelerine ayırarak analiz etmeyi
sağlayan bir yöntemdir.
Varyans Analizi
Varyans analizi veri yapısına bağlı olarak çok değişik
işlevler yerine getiren bir yöntemdir.
Veri yapısına ve çalışma dizaynına göre değişik
modeller içerir.
Bu derste tek yönlü varyans analizi incelenecektir.
Tek Yönlü Varyans Analizi
Bağımsız k>2 gruplu bir çalışma dizaynında,
incelenen bir değişkene ait elde edilen verilerin
analizinde yararlanılan bir yöntemdir.
K bağımsız örneklem varyans analizi olarak
tanımlanabilmektedir.
Bağımsız
örneklerde
t
testinin ikiden fazla grup için genellenmiş bir şekli
diyebiliriz.
Tek yönlü varyans analizine ait varsayımlar;
• İncelenen değişken (Y) her bir toplumda normal
dağılım göstermelidir.
• Toplum etkileri toplanabilir olmalı ve etkilerin
toplamı sıfır olmalıdır.
• Grup
ortalamaları
ve
standart
arasında bir doğrusallık olmamalıdır.
sapmaları
Birbirinden bağımsız 𝜇1 , 𝜇2 , … , 𝜇𝑘 ortalamalı ve 𝜎 2
varyanslı
normal
dağılım
gösteren
k
tane
toplumdan ni hacimli (i=1,2,…,k) rastgele örnek
alınarak elde edilen veri setini analiz etmek için tek
yönlü varyans analizi kullanılır.
Tek yönlü varyans analizinde test edilen hipotezler
aşağıdaki gibidir.
𝐻0 : 𝜇1 = 𝜇2 = ⋯ = 𝜇𝑘
𝐻1 : en az bir grup ortalaması diğerlerinden farklıdır.
Burada toplumlardan alınan örnekler birbirlerinden
bağımsızdır ve örnek birim sayılarının benzer
olması gerekmez.
İncelene değişken genel olarak 𝑌𝑖𝑗 olarak gösterilir.
Burada;
i=1,2,…,k ve j=1,2,…, ni olmak üzere
k: grup sayısını
j: birim sayısını
ni: i. grupa ait örnek büyüklüğünü göstermektedir.
Buradan yola çıkarak incelenen değişkene ait genel
ortalama,
𝑌=
𝑛𝑖
𝑗=1 𝑌𝑖𝑗
𝑘
𝑖=1
𝑁
,
𝑁=
𝑘
𝑖=1
Burada genel kareler toplamı,
𝐺𝐾𝑇 =
𝑘
𝑛𝑖
𝑖=1
𝑗=1
𝑛𝑖
(𝑌𝑖𝑗 −𝑌)2
Genel kareler toplamı gruplar arası kareler toplamı
ve grup içi kareler toplamı olarak parçalanabilir.
GKT=GAKT+GİKT
Grup içi kareler toplamına hata kareler toplamında
denilmektedir.
Bu durumda genel kareler toplamı,
𝐺𝐾𝑇 =
=
Burada
𝑘
𝑖=1
𝑘
𝑛𝑖
𝑖=1
𝑗=1
𝑘
𝑛𝑖
𝑖=1
𝑗=1
𝑛𝑖
𝑗=1 𝑌𝑖𝑗
2
denir DT ile gösterilir.
(𝑌𝑖𝑗 )2 −
(𝑌𝑖𝑗 −𝑌)2
𝑘
𝑖=1
𝑛𝑖
𝑗=1 𝑌𝑖𝑗
2
𝑁
𝑁 ifadesine düzeltme terimi
Gruplar arası kareler toplamı,
𝑘
𝑖=1
𝐺𝐴𝐾𝑇 =
2
𝑛𝑖
𝑌
𝑗=1 𝑖𝑗
𝑛𝑖
− 𝐷𝑇
Grup içi kareler toplamı,
𝐺İ𝐾𝑇 =
𝑘
𝑛𝑖
𝑖=1
𝑗=1
(𝑌𝑖𝑗 )2 −
𝑘
𝑖=1
2
𝑛𝑖
𝑗=1 𝑌𝑖𝑗
𝑛𝑖
Genel serbestlik derecesi (gsd)=N-1
Gruplar arası serbetlik derecesi(gasd)=k-1
Grup içi serbestlik derecesi (hsd)=N-k
N-1=(k-1)+(N-k)
Kare toplamları ve bir kare toplamına ait serbestlik
dereceleri kullanılarak varyans tahminleri olan Kare
Ortalamaları hesaplanır.
Gruplar arası kareler ortalaması=GAKT/gasd
Grup içi kareler ortalaması=GİKT/hsd
Grup içi kareler ortalaması aynı zamanda hata kareler
ortalaması
tahmincisidir.
olarak
bilinir
ve
toplum
varyansının
Gruplar arasınsaki değişimin önemliliğini test
etmek için F test istatistiği kullanılır.
𝐹=
𝐺𝐴𝐾𝑂
𝐻𝐾𝑂
F test istatistiği iki serbestlik derecesine sahip F dağılımı
gösterir. Bu dağılımın birinci serbestlik derecesi pay
serbestlik derecedir sd1=gasd’dir. İkinci serbestlik derecesi
payda serbestlik derecesidir ve sd2=hsd’dir.
Bu durumda hesaplanan F test istatistiği F
dağılımından elde edilen F kritik değerine göre
karşılaştırılır ve
Ftest < F0.05,sd1,sd2 ise p>0.05 olarak hesaplanır. Bu
durumda H0 hipotezi kabul edilir.
Eğer Ftest > F0.05,sd1,sd2 ise p<0.05 olarak hesaplanır.
Bu durumda da H1 hipotezi kabul edilir.
Tek yönlü varyans analizi sonuçları aşağıdaki gibi
özet bir tablo halinde sunulur.
Değişim
Kaynağı
Serbestlik
Derecesi
Kareler
Toplamı
Kareler
Ortalaması
F istatistiği
P değeri
Gruplar Arası
k-1
GAKT
GAKO
GAKO/GİKO
P
Grup İçi (Hata)
N-k
GİKT
GİKO
Toplam (Genel)
N-1
GKT
-
Tek yönlü varyans analizi sonucuna göre F’in
olasılığı önemli olarak nitelendiriliyor ise yani p
değeri 0.05’den küçük ise grup ortalamalarından en
az bir tanesi diğerlerinden farklıdır hipotezi kabul
edilir.
Bu durumda hangi grup ya da grupların
diğerlerinden farklı olduğu nasıl belirlenir?
Farklı
olan
grupların
belirlenmesinde
çoklu
karşılaştırma testlerinden yararlanılır. Çok sayıda
çoklu karşılaştırma testi vardır. Eşit varyans
varsayımının ya da farklı varyans varsayımının
dikkate alınmasına göre ikiye ayrılır.
Bu sınıflardaki testler, ortalamaların farklarının
önemliliğini birbirleri işe eşanlı karşılaştırma,
gruplardan birini kontrol grubu alarak diğerleri ile
karşılaştırma,
ağırlıklı
karşılaştırma,
ortalamaları
dizerek
karşılaştırma
katsayılar
gibi
yaklaşımları içeren testlerdir.
kullanarak
büyüklük
farklı
sırasına
karşılaştırma
Bu derste ortalamalar arasındaki farkları eşanlı
olarak karşılaştırmayı sağlayan Bonferroni (Dunn),
Tukey HSD, Tamhane T2 ve kontrol grubuna göre
diğer ortalamaları ikili karşılaştırmayı sağlayan
Dunnett çoklu karşılaştırma testleri açıklanacaktır.
Bonferroni (Dunn) testi k grup varyanslarının
türdeş olduğu durumlarda k ortalamanın ikili
karşılaştırmalarını ya da ortalamaları gruplayarak
ağırlıklı olarak birbirleri ile karşılaştırmayı sağlayan
bir testtir.
Bonferroni testte ikili çiftler için arasındaki
karşılaştırmalar için kullanılan test istatistiği,
𝑡=
𝑌𝑖 − 𝑌𝑙
2𝐻𝐾𝑂
𝑛
şeklindedir. Burada i ve l karşılaştırılacak iki grubu
göstermektedir. 𝑡 istatistiğinin önemliliği Dunn
olasılıklar tablosuna göre belirlenir.
Tukey HSD testinde grup ortalamaları büyüklük
sırasına dizilir ve grup ortalamaları arasındaki
farklar (Dil) bulunur. HKO ve ortak birim sayısı n0
belirlenir.
Qα, k, hsd tablo değeri Q kritik değerler tablosundan
belirlenir.
Ortalamalar
arasında
bulunabilecek
müsaade edilebilir fark (Dmax) hesaplanır.
1
𝑛0 =
𝑁−
𝑘−1
𝑆𝐻 =
𝑘
𝑖=1 𝑛𝑖
𝑁
𝐻𝐾𝑂
; 𝐷𝑚𝑎𝑥 = 𝑄𝛼,𝑘,ℎ𝑠𝑑 × 𝑆𝐻
𝑛0
Eğer iki grup ortalaması arasındaki fark Dmax
değerinden büyükse bu gruplar birbirlerinden
farklıdır.
Dunnett testi, k gruptan biri kontrol grubu alınarak
diğer
deneme
sonuçlarının
kontrole
göre
farklılığının analizde kullanılır. İ normal bir grubu
k’da kontrol grubunu göstermek üzere
𝐷0.05 𝑌𝑘 − 𝑌𝑖 = 𝑄0.05
2𝐻𝐾𝑂
𝑛
Kontrol
grubuna
göre
grup
ortalamalarının
önemliliği aşağıdaki gibi belirlenir.
𝑌𝑘 − 𝑌𝑖 < 𝐷0.05
ise p>0.05 olur önemli fark
yoktur.
𝑌𝑘 − 𝑌𝑖 > 𝐷0.05 ise p<0.05 olur önemli fark vardır.
Tamhane
T2
testi
ise
grupların
varyansları
heterojen olduğunda kullanılan çoklu karşılaştırma
testidir. Grupların varyansları Levene testi ile
değerlendirildiğinde, varyanslar heterojen çıkarsa
yararlanılır.
Burada
verilmeyecektir.
hesaplama
formülleri
SPSS’de
40 yaş grubu sağlıklı kadınlarda dört farklı boy
grubunda FEV1 (litre) değerleri aşağıdaki tabloda
verilmiştir.
Boy grupları arasında FEV1 (litre) değerleri
bakımından farklılık olup olmadığını tek yönlü
varyans analizi ile karşılaştıralım.
SPSS’de
Örneğe ait hipotezler aşağıdaki gibi kurulur.
H0: µ1=µ2=µ3=µ4
H1:Ortalamalardan en az biri diğerlerinden farklıdır.
SPSS’de
155 cm
2.57
2.49
2.56
2.55
2.35
2.42
2.57
2.48
2.49
2.72
165 cm
2.82
2.78
2.88
2.70
2.91
2.76
2.80
2.86
2.80
2.87
175 cm
3.09
3.02
3.06
3.17
3.08
3.16
3.11
3.09
3.07
3.04
185 cm
3.30
3.45
3.20
3.37
3.36
3.33
3.38
3.33
3.30
3.27
SPSS’de
Veriler yanda görüldüğü iki sütun
halinde SPSS veri sayfasına girilir.
FEV1 değişkeni 4 grup alt alta
gelecek
şekilde
girilir.
Grup
sütununa ise FEV1 ölçümlerinin
hangi boy grubuna ait olduğunu
gösteren grup kodları girilir.
SPSS’de
Örnekte yer alan verilerin tek yönlü varyans analizi
ile analiz edilebilmesi için öncelikle normal dağılım
göstermesi gerekmektedir.
Bunun için verilerin normal dağılıma uygun olup
olmadıkları test edilir.
SPSS’de
Analyze -> Descriptive Statisticsc -> Explore menüsü
kullanılır.
SPSS’de
Açılan Explore penceresinde FEV1 Dependent List alanına taşınır. Factor
List alanına ise Grup değişkeni atanır. Çünkü her dört grupta da verilerin
normal dağılıma uygun olup olmadığı test edilmelidir.
SPSS’de
Plots düğmesi tıklanır ve açılan pencerede Normality plots with test
seçeneği seçilir. Continue ve OK tıklanır.
SPSS’de
Kolmogorov-Smirnov ve Shapiro-Wilk test sonuçlarına göre
dört farklı boy grubunda FEV1 değerleri normal dağılım
göstermektedir. Çünkü test sonuçlarında yer alan anlamlılık
düzeyleri her grup içinde 0.05 değerinden büyüktür.
SPSS’de
Tek yönlü varyans analizi uygulamak için Analyze ->
Compare Means -> One-Way ANOVA seçeneği tıklanır.
SPSS’de
Açılan pencerede Dependent List alanına FEV1 ve Foctor alanına ise
boy değişkeni alınır. Options… düğmesi tıklanır.
SPSS’de
Açılan pencerede Descriptive
seçeneği
verilere
işaretlenerek
ait
tanımlayıcı
istatistikler istenir.
Homogenity of variance test
işaretlenerek de varyansların
homojen olup olmadığı test
edilir.
SPSS’de
Çoklu karşılaştırma için PostHoc… düğmesi tıklanır.
SPSS’de
Açılan pencerede varyansların eşit olduğu varsayımı altında çoklu
karşılaştırmalardan Tukey testi, varyansların eşit olmadığı durumda
kullanılacak olan Tamhane T2 testi seçilir.
SPSS’de
Yukarıda gruplara göre FEV1 ölçümlerinin tanımlayıcı istatistikleri ve
Levene testi sonuçları verilmiştir. Levene testi sonuçlarına göre
varyanslar homojendir.
SPSS’de
Varyans analizi sonuçları aşağıdaki gibi elde edilir.
SPSS’de
Sonuçlar incelendiğinde FEV1 değerlerinin dört
farklı boy grubunda farklılık gösterdiği saptanmıştır
(F=232.679, p<0.001).
Bu durumda H1 hipotezi
kabul edilir.
Peki hangi gruplar birbirlerinden farklıdır?
SPSS’de
Bu sorunun cevabını bulmak için çoklu karşılaştırma sonuçları
incelenmelidir.
SPSS’de
Çoklu karşılaştırma sonuçları incelendiğinde tüm
grupların FEV1 değişkeni bakımından farklı olduğu
saptanmıştır.
Kruskal-Wallis H testi
Kruskal-Wallis H testi (KWH) parametrik olmayan
tek yönlü varyans analizi yöntemidir. K bağımsız
örneğin benzer ortanca değerli toplumların rastgele
örnekleri olup olmadığını test eder.
KWH testi uygulanacak verilerin aralıklı ya da
oransal ölçekli olması gerekir.
KWH testinde aşağıdaki hipotezler test edilir.
H0: k örnek benzer medyanlı toplumlardan alınmış
örneklerdir.
H1: k örnekten an az birinin medyanı diğerlerinden
farklıdır.
KWH testinde gözlem değerleri yerine bu değerlere ait
sıralama puanları kullanılır. Her grubun sıralama puanları
toplamı ele alınarak H test istatistiği aşağıdaki gibi
hesaplanır.
𝐻=
12
𝑘
𝑖=1 𝑛𝑖 (𝑅𝑖
− 𝑅)2
𝑁(𝑁 + 1)
Burada 𝑅𝑖 i. gruba ait sıralama puanlarının ortalamasını, 𝑅
ise sıralama puanlarının genel ortalamasını göstermektedir.
H test istatistiği (k-1) serbestlik dereceli ki-kare dağılımı
gösterir ve
𝐻 < 𝜒0.05,(𝑘−1) ise p>0.05 olarak elde edilir ve grupların
medyan değerleri farklı değildir sonucuna varılarak H0
hipotezi kabul edilir.
𝐻 > 𝜒0.05,(𝑘−1) ise p<0.05 olarak elde edilir ve grupların
medyan değerleri farklıdır sonucuna varılarak H1 hipotezi
kabul edilir.
KWH testinde anlamlı sonuç bulunduktan sonra
hangi grupların birbirlerinden farklı olduğunu
belirlemek
için
parametrik
olmayan
çoklu
karşılaştırma testleri kullanılır. Burada parametrik
olmayan
çoklu
karşılaştırma
testlerine
ait
hesaplamalar gösterilmeyecek SPSS uygulamasında
anlatılacaktır.
SPSS’de Kruskal-Wallis H testi
Önceki örnekteki veriler aşağıdaki gibi elde edilmiş
olsun. Aynı şekilde dört farklı boy grubuna göre
FEV1 değerleri bakımından fark olup olmadığını
araştıralım.
155 cm
3.90
2.49
2.56
2.55
3.85
2.42
2.10
2.48
2.49
2.72
165 cm
3.80
2.78
2.88
2.70
2.91
2.76
2.80
2.86
2.80
2.87
175 cm
3.09
3.02
3.06
3.17
3.08
3.16
3.11
3.09
3.07
3.04
185 cm
3.30
3.45
3.20
3.37
3.36
3.33
3.38
3.33
3.30
3.27
Veriler yanda görüldüğü iki sütun
halinde SPSS veri sayfasına girilir.
FEV1 değişkeni 4 grup alt alta
gelecek
şekilde
girilir.
Grup
sütununa ise FEV1 ölçümlerinin
hangi boy grubuna ait olduğunu
gösteren grup kodları girilir.
Örnekte yer alan verilerin tek yönlü varyans analizi
ile analiz edilebilmesi için öncelikle normal dağılım
göstermesi gerekmektedir.
Bunun için verilerin normal dağılıma uygun olup
olmadıkları test edilir.
Analyze -> Descriptive Statisticsc -> Explore menüsü
kullanılır.
Açılan Explore penceresinde FEV1 Dependent List alanına taşınır. Factor
List alanına ise Grup değişkeni atanır. Çünkü her dört grupta da verilerin
normal dağılıma uygun olup olmadığı test edilmelidir.
Plots düğmesi tıklanır ve açılan pencerede Normality plots with test
seçeneği seçilir. Continue ve OK tıklanır.
Kolmogorov-Smirnov ve Shapiro-Wilk test sonuçlarına göre
155cm ve 165cm boy grubunda grubunda FEV1 değerlerinin
normal dağılım göstermemektedir. Bu durumda tek yönlü
varyans analizi kullanılamaz.
Bu şartlar altında tek yönlü varyans analizinin
parametrik olmayan alternatifi olan Kruskal-Wallis H
testi kullanılır.
Analyze -> Nonparametric Tests -> Independent samples… seçeneği
tıklanır.
Açılan pencerede
Fields
sekmesinde Test
Fields
alanına
FEV1 ve Groups
alanına ise boy
değişkeni alınır.
Sonra
Settings
sekmesi tıklanır.
Açılan
pencerede
Customize
tests
işaretlenir.
Sonra
Kruskal-Wallis
1-way
ANOVA (k samples)
işaretlenir ve Multiple
comparions’dan
All
pairwise seçilir. Run
düğmesi tıklanır.
Analiz
sonucunda
sonuçlar elde edilir.
aşağıdaki
tabloda
gösterilen
Sonuçlar incelendiğinde FEV1 değerlerinin dört farklı
boy
grubunda
farklılık
gösterdiği
saptanmıştır
(p<0.001). Bu durumda H1 hipotezi kabul edilir.
Peki hangi gruplar birbirlerinden farklıdır?
Farklı grupları belirlemek için öncelikle elde edilen
analiz sonuçlarını gösteren tablonun üzerine çift
tıklanır. Model Viewer penceresi açılır.
Model Viewer penceresi
Model Viewer penceresinde View alanında Pairwise
Comparisons seçilerek çoklu karşılaştırmalar elde
edilir.
Sonuçlar
incelendiğinde
155cm
ile
185cm ve 165cm
ile 185cm boy
gruplarında
farklılık
olduğu
gözlenmektedir.

Slayt 1 - anadolu üniversitesi eczacılık fakültesi

Transkript

Benzer belgeler

polycom soundstation2

Octava Pink Doctors Prospect Turkish_for print

FİRMA BİLGİLERİ YORUM NUMUNE BİLGİLERİ SON 2

Twister - Aksiyon Teknoloji Hizmetleri