∑ ∑ ∑ ∑

BÖLÜM III
3. SPEKTRUM HESAPLAMALARINDA ÖN İŞLEMLER VE PENCERELER
3.1 Spektrum Hesaplamalarında Ön İşlemler
Verilen bir fonksiyonun tanımlandığı ortamın belirli koordinat noktalardaki ayrık
değerlerinin elde edilmesi işlemine örnekleme denir. Örnekleme, örneklenen fonksiyonun
kaydedildiği ortama göre adlandırılır. Örneğin, zaman ortamında kaydedilen bir
fonksiyonun (sismogram gibi) örneklenmesine zaman örneklemesi denir. Fonksiyon
genlik veya güç spektrumu gibi frekans ortamında tanımlanmış ise, bunun örneklenmesine
frekans örneklemesi denir.
Örnekleme, matematiksel olarak, f(t) fonksiyonunun Birim Dirac Tarak, δ ∆t (t ) ,
fonksiyonu ile çarpılmasıdır. f$ ( t ) ayrık fonksiyonu
fˆ (t ) = f (t )δ ∆t (t )
∞
= f (t ) ∑ δ (t − n∆t )
n = −∞
=
∞
∑ f (n∆t )δ (t − n∆t )
(3.1)
n = −∞
bağıntısı ile gösterilebilir.
(3.1) bağıntısındaki δ ∆t (t ) birim tarak fonksiyonu
δ ∆t (t ) =
∞
∑ δ (t − n∆t )
(3.2)
n = −∞
şeklindedir ve daha önce belirtildiği gibi δ(t) birim impuls fonksiyonunun ∆t aralıklarıyla
yinelenmesinden oluşan peryodik bir fonksiyondur. Spektral genliklerin birim olması
nedeniyle bu fonksiyonun Fourier dizisi
1 ∞ inω0 t
(3.3)
∑e
∆t n = −∞
bağıntısı ile gösterilebilir. Burada ω 0 = 2π ∆t dir. Toplam işareti altındaki terimin Fourier
δ ∆t ( t) =
dönüşümü
F{δ ∆t ( t )} = ω 0
∞
∑ 2πδ(ω − nω
n = −∞
0
)
dir. Buna göre δ ∆t ( t ) ’nin Fourier dönüşümü
F{δ ∆t ( t )} = ω 0
∞
∑ δ(ω − nω
n = −∞
0
)
(3.4)
Şekil 3.1 Bir verinin örneklenmesi
(a) Sonlu uzunluktaki veri,
(b) Birim sonsuz tarak fonksiyonu,
(c) Birim sonsuz tarak fonksiyonu ile sonlu uzunluktaki verinin çarpımından oluşan örneklenmiş
veri.
Şekil 3.2 (a) Birim Dirac tarak fonksiyonu,
(b) Fourier spektrumu.
69
olur. Buradan şunu görürüz: Sonsuz birim impuls treninin Fourier dönüşümü yine impuls
trenidir.
Buna göre ∆t aralıkları ile örneklenmiş bir f$ ( t ) fonksiyonunun Fourier spektrumu kısaca
1 ∞
Fˆ (ω ) =
(3.5)
∑ F (ω − nω 0 )
∆t n = −∞
olarak gösterilebilir. Bu da eşit aralıklarla örneklenmiş band sınırlı bir verinin
spektrumunun, sürekli zaman fonksiyonunun ω 0 frekans aralıkları ile tekrarlanmasından
oluştuğunu gösterir.
Band sınırlı bir veri sözkonusu olduğundan veri içerisindaki ω M gibi bir enbüyük frekans
değerinden daha yüksek frekans olmayacaktır. Band sınırlı bir veride ω 0 örnekleme
aralığının yarısına eşit olan ω N frekansına Nyquist frekans yada Katlanma frekansı
denir. ±ω N frekans aralığına temel frekans aralığı denir.
3.1.1 Frekans katlanması (Aliasing)
Örnekleme frekans f0 = 1 ∆t dir. Veri band sınırlı olduğuna göre en yüksek frekans f M ve
görüntü (imaj) spektrumlarının band genişliği 2f M dir. Şekil 3.3c’de görüldüğü gibi f0 〉 2 f M
olduğu sürece görüntü spektrumlar esas spektrumdan ve birbirlerinden ayrılırlar. Bu da
örnekleme aralığının 1 ( 2 f M ) den daha küçük ( ∆t 〈1 2 f M ) seçilmesi ile olanaklıdır.
Örnekleme aralığı ∆t = 1 2 f M seçilmesi halinde limit durumu oluşur. Esas ve görüntü
spektrumlar
Şekil 3.3 (a) Band sınırlı bir fonksiyonun
(b) Gerçek,
(c) Ayrık Fourier spektrumu
f0 = 1 ∆t : Örnekleme frekansı
70
Şekil 3.4 Örnekleme aralığının 1/2fN olarak seçilmesi durumunda ayrık spektrum. Spektrum 1/2fN (Nyquist)
frekansı etrefında katlanmaktadır.
birbirlerini etkilememekte ve spektrum f N frekansı etrafında katlanmamaktadır. Bu
nedenle veride yer alan en yüksek frekanstan daha büyük frekans olarak seçilmesi gereken
f N frekansına, bu olayı ilk kez vurgulayan Nyquist’in adından dolayı, Nyquist frekansı
veya katlanma (folding) frekansı adı verilmektedir.
Şekil 3.5 Örnekleme aralığının yeterince küçük alınmaması sonucu oluşan frekans katlanması (aliasing).
Taralı alan gerçek spektrumun, kalın çizgi katlanmış spektrumu göstermektedir.
Örnekleme frekansının 2f M ’den daha küçük, diğer bir deyişle ∆t = 1 2 f M den daha büyük
seçilmesi halinde görüntü spektrumlar esas spektrumdan ve birbirlerinden yeterince
ayrılamazlar ve birbirlerinin üzerine binerler. Aliasing adı verilen bu olay sonunda yüksek
frekanstaki bilgiler temel frekans aralığına sızmış olur. Şekilden de görüleceği gibi
katlanma nedeniyle gerçek spektrumdan çok farklı spektrum elde edilir.
3.1.2 Yönseme (trend) Giderilmesi
Gözlemsel veriler çoğu zaman çok alçak frekanslı gürültüler ya da doğrusal kayma
içerirler. Bunlar bazen çevresel etkenlerden bazen de aygıtın özelliklerinden ileri gelir.
Örneğin bazı aygıtlar günlük sıcaklık değişiminden etkilenerek algılanan sinyallerin
üzerine alçak frekanslı olayların binmesine neden olurlar. Doğrusal kayma aygıttan
kaynaklanabileceği gibi çoğunlukla sayısallaştırma yapılırken yatay eksenin yeterince
duyarlı yerleştirilmemesinden kaynaklanmaktadır.
71
Nedeni ne olursa olsun yönseme spektral işlemler öncesinde giderilmelidir. Çünkü
spektrumun özellikle alçak frekans bölgesini önemli ölçüde etkiler. Aşağıdaki örnek şekil
bu etkiyi iyi bir şekilde açıklamaktadır.
Şekil 3.6 (a) Doğrusal yönseme (trend) içeren bir sinüzoidal sinyalin spektrumu,
(b) Doğrusal yönsemesi giderilmiş verinin spektrumu.
3.2 Pencereler
3.2.1 Sonlu Uzunluklu Veriler ve Dikdörtgen Pencere
Bir verinin sonlu (N∆t) uzunlukta alınması, geri kalan kısmının atılması demektir. Yani bu
bir bakıma veriye dikdörtgen bir pencereden bakılması anlamına gelir. Matemetiksel
olarak bu işlem verinin
1
W( t ) = 
0
t ≤T 2
(3.6)
diger
şeklinde bir dikdörtgen (Box car) pencere ile çarpılmasına eş değerdir. Verilerin bir zaman
penceresi ile kesilmesinin iki önemli etkisi vardır.
1. Frekans seçilebilirliğinin azalması
2. Verinin iki ucunda oluşan süreksizlik nedeniyle frekans ortamında yan
salınımların oluşması (gibs olayı).
72
Şekil 3.7 (a) T uzunluklu bir veri,
(b) Dikdörtgen pencere,
(c) Verinin dikdörtgen pencere ile çarpımı.
Seçilebilirlik spektral band genişliğinin fonksiyonudur. Dikdörtgen pencere durumunda
1
k
k = 0,1,....N - 1 ve
∆f =
(3.7)
N∆t
T
dir. Frekans seçilebilirliği örnekleme aralığına (∆t) değil, verinin uzunluğuna yani T’ye
fk =
bağlıdır. T büyüdükçe ∆f küçülür, frekans seçilebilirliği artar. Diğer bir deyişle birbirine
yakın frekansları ayırma olanağı artar.
Şekil 3.8 T uzunluklu bir verinin ayrık Fourier spektrumunda frekans seçilebilirliği.
Verinin bir pencere ile kesilmesi işlemi
xT (t ) = x(t )w(t )
(3.8)
bağıntısı ile gösterilebilir. Burada x(t) sonsuz uzunluktaki zaman fonksiyonunu, x T ( t )
pencerelenmiş sonlu uzunluklu zaman fonksiyonunu ve w(t) ise pencere fonksiyonunu
göstermektedir. (3.8) bağıntısının her iki yanının Fourier dönüşümünden
X T (ω ) = X (ω ) * W (ω )
(3.9)
elde edilir. Görüldüğü gibi sonlu uzunluktaki verinin spektrumu, sonuz uzunluktaki verinin
spektrumu ile pencere fonksiyonunun spektrumunun konvolüsyonuna eşittir. Diğer yandan,
bir fonksiyonun birim impuls fonksiyonu ile evrişimi (konvolüsyonu) yine kendisine eşit
olduğundan, pencerelenmiş fonksiyonun gerçek spektrumuna eşit olabilmesi için (3.9)
bağıntısında
73
X T (ω ) = X (ω ) * δ (ω )
(3.10)
yani W( ω ) ≡ δ ( ω ) olması gerekir. Başka bir ifadeyle, pencere fonksiyonunun Fourier
dönüşümünün birim impuls fonksiyonuna özdeş olması gerekir. Bu, ulaşılması olanaksız
bir durumdur. Nitekim, (3.6) bağıntısı ile verilen dikdörtgen pencerenin Fourier dönüşümü
W (ω ) = T
sin
ωT
2
(3.11)
ωT
2
olup, impuls fonksiyonu değil, bir sinc fonksiyonudur. Burada T dikdörtgen pencerenin
genişliğini, yani veri boyunu simgelemektedir. (3.11) bağıntısı kısaca
 ωT 
W (ω ) = Tsinc 

 2 
şeklinde de yazılabilir.
Dikdörtgen fonksiyonun değeri (3.9) bağıntısında yerine koyarsak sonlu uzunluktaki
fonksiyonun Fourier dönüşümü
X T (ω ) = X (ω ) * T
sin
ωT
2
(3.12)
ωT
2
olarak bulunmuş olur. Bu durumda, sonlu uzunluktaki verinin spektrumu hesaplandığında,
gerçek spektrum frekans ortamında sinc fonksiyonu ile evrişmektedir. Bu evrişimin
sonuçlarını görebilmek için sinc fonksiyonunun özelliklerini bilmek gerekir.
Şekil 3.9’da görüldüğü gibi bir sinc fonksiyonu ω=0 da en büyük değerini kazanmaktadır.
Fonksiyon ilk sıfırına 2π/T değerinde ulaşır. Fonksiyon artı ve eksi değerli yan bölmelere
sahiptir ve yan bölmelerin genlikleri sonsuzda sıfıra yaklaşır.
Şekil 3.9 Değişik boylarda Sinc fonksiyonunun değişimi.
74
Sinc fonksiyonunun ana bölme genişliği dikdörtgen pencerenin genişliği ile ters orantılıdır.
Pencere genişledikçe T büyümekte ve sinc fonksiyonunun ana bölme genişliği
daralmaktadır. T→∞ için fonksiyonun giderek impuls’a yaklaşacağı açıktır. Bu durmda,
sonlu uzunluklu verilerin gerçek spektruma yaklaşabilmesi için yeterince uzun olması
gerekir.
Verilerin bir dikdötgen pencere ile kesilmesinin yarattığı bir başka sorunda enerji
sızmasıdır. Verilen bir frekanstaki genlik veya faz değerinin hesaplanmasında buna komşu
frekanslardaki enerjinin sızarak gerçek spektrumdan farklı spektrum elde edilmesine neden
olması şu şekilde açıklanabilir. Konuyu basitleştirmek için, sonlu uzunluklu verinin
spektrumunu hesaplamak isteyelim. Böyle bir fonksiyonun Fourier dönüşümü
1
X (ω ) =
Ta
Ta 2
∫ x(t )e
− iω n t
dt
n=0,±1,±2,......,±∞
−Ta 2
dir. Burada integralin bir peryod boyunca alınması gerekir. Temel frekans ve
harmoniklerine ilişkin sıfırdan farklı tüm genlikler spektrumda bir çizgi biçiminde
görülecektir. Yani integral tam bir peryod boyunca alınmalıdır. Peryodik fonksiyonların
spektrumlarının hesaplanmasında veri boyu temel peryod veya onun katları kadar
alınmadığında spektrum yanlış hesaplanmış olur.
Peryodik fonksiyonun temel peryodunun tam katı genişliğinde bir dikdörtgen pencere ile
kesilmesi halinde, sinc fonksiyonunun sıfırları 2π/T frekanslarında yer aldığından,
peryodik fonksiyonun temel frekans ve harmoniklerindeki genlikler sinc fonksiyonunun
sıfırlarına rastlayacaktır. Bunun sonucu olarak ta peryodik fonksiyonun gerçek spektrumu
frekans ortamında sinc fonksiyonu ile evrişirken değişmeyecek ve gerçek spektrum elde
edilmiş olacaktır. Şekil 3.10’da görüldüğü gibi ardışık iki frekanstaki genlikler
ayrılabilecektir.
Şekil 3.10 Sadece iki frekans değerinde sıfırdan farklı genliklere sahip iki peryodik verinin, temel frekansın
tam katı genişliğinde kesilmesi ile elde edilen, genlik spektrumu.
75
Aynı peyodik fonksiyonun boyu temel peryodun tam katı olarak alınmaz ise peryodik
fonksiyonun sıfırdan farklı genliklere sahip olan frekansları sinc fonksiyonunun sıfırları ile
çakışmayacaktır. Bu durumda, bu genlik değerleri evrişim sırasında sinc fonksiyonunun
sıfırdan farklı değerleri ile çakışacağından, yan bölmelerdeki enerji ana bölme içerisine
sızacak ve gerçekten farklı bir spektrum elde edilecektir. Spektrumun biçimi bileşenlerin
genliklerinin dağılımına ve frekans ekseni üzerindeki yerlerine bağlı olmakla birlikte,
genelde, ötelenmiş sinc fonksiyonlarının yığışımının oluşturduğu bir şekil kazanır.
Şekil 3.11 Şekil 3.10’da verilen peryodik verinin, temel frekansın tam katı genişliğinde kesilmemesi
durumunda elde edilen genlik spektrumu.
Ayrık dikdörtgen pencere matematiksel olarak (3.6) bağıntısı ile tanımlanır. Örnekleme
aralığının ∆t olması halinde, ayrık dikdörtgen pencerenin Fourier dönüşümü
W p (ω ) = e
iω∆t
2
Nω∆t
)
2
ω∆t
sin(
)
2
sin(
(3.13)
bağıntısı ile verilir. Bu bağıntıya ‘Dirichlet çekirdeği’ adı verilir. Ayrık dikdörtgen
pencerenin genlik spektrumu desibel ölçeğinde Şekil 3.12’deki gibidir. Şekil 3.12’den
görüleceği üzere, yansalınım genliği oldukça yüksektir. Ilk yansalınım genliği ana bölme
genliğinden yalnızca 13dB aşağıdadır.
Sonlu uzunluklu bir verinin spektrumunun hesaplanmasında bir pencere fonksiyonunun
uygulanması kaçınılmazdır. Güvenilir spektrum elde etmek için uygulanacak pencerede şu
özelliklerin bulunması gerekir.
1- Pencerenin yansalınım genliklerinin olabildiğince alçak düzeyde olması gerekir.
2- Yan salınımlardaki genlik azalım oranının olabildiğince hızlı olması gerekir.
3- Pencerenin ana bölme genişliğinin fazla olmaması gerekir.
76
Şekil 3.12 Dikdörtgen frekans penceresi.
Şekil 3.13: Bartlett üçgen frekans penceresi
Çeşitli araştırmacılar bu niteliklere ulaşabilmek için dikdörtgenden farklı biçimlerde
pencere fonksiyonlarını denemişlerdir. Ancak bunların tümünde pencere yan salınımlarının
genlikleri azalırken, ana bölme band genişliği artmaktadır. Bu nedenle pencere
düzenlemede bu iki nitelikten birinde bir oranda kazanç sağlanırken, diğerinden ödün
vermek gerekmektedir. Pencere düzenlemelerinde zaman ortamında pencere bağıntısına
zaman penceresi, bunun Fourier dönüşümü ise frekans penceresi denir.
3.2.2 Üçgen Pencere (Bartlett Penceresi)
n

n = 0,1,2,..., N 2

W( n ) =  N 2
W( N − n ) n = N 2 ,..., N
(3.14)
bağıntısı ile tanımlanır. Bu ayrık pencere fonksiyonunun Fourier dönüşümü
N


sin( ω∆t ) 
N

1
−
i
(
−
)
ω
∆
t
2
4
W (ω ) = e 2


N
 sin( ω∆t ) 


2
2
(3.15)
bağıntısı ile gösterilebilir. Üçgen pencere beklendiği gibi yan salınımları önemli ölçüde
azaltır. İlk yan salınım genliği ana bölme genliğinden 26dB daha düşüktür. Ancak ilk
bölmenin band genişliği ω=4π/T ’ye yükselmiştir. Bu da pencerelenmiş verinin
spektrumunun yuvarlatılması-na neden olur.
77
3.2.3 Genelleştirilmiş Kosinüs Pencereleri
Kosinüs pencerelerinin tümünde yapılan işlem, zaman dizisinin kesilmesinden olışan
süreksizliği bir kosinüs fonksiyonu ile yumşatmaktan ibarettir. Bu amaçla
N 2
W ( n ) = ∑ ( −1) m a m cos(
m=0
2π
nm)
N
n=0,1,2,.....,N
(3.16)
şeklinde gösterilen bir kosinüs fonksiyonu kullanılır. Burada N veri sayısı, n pencere
fonksiyonunda kullanılacak kosinüslü terimlerin sayısı, am harmoniklerin genliklerini
göstermektedir. Bu bağıntıyı açarsak
W( n ) = a 0 − a 1 cos(
2π
2π
2π
n ) + a 2 cos( 2n ) − a 3 cos( 3n )
N
N
N
2π
+ a 4 cos( 4n ) − ...
N
(3.17)
n = 0,1,..., N
am katsayılarının toplamı 1 (bir) olmalıdır. Pencere genişliği N olduğuna göre m’in değeri
en çok N/2 olabilir. Ancak bu güne kadar ençok üç alınmıştır.
Genelleştirilmiş kosinüs penceresinin Fourier dönüşümü alınarak frekans penceresi (∆t=1
alınarak)
N 2
W (ω ) = ∑ ( −1) m
m=0
am
2π
2π
(W D (ω − m) + W D (ω +
m))
2
N
N
bulunur. Burada WD(ω) ayrık dikdörtgen pencereye ilişkin Dirichlet çekirdeği olup
W D (ω ) = e
i
ω
sin(
2
Nω
)
2
ω
sin( )
2
şeklinde tanımlanır. Frekans penceresini açik biçimde yazarsak
a1
2π
2π
(W D (ω −
) + (W D (ω +
))
N
N
2
a
4π
4π
+ 2 (W D (ω −
) + (W D (ω +
))
N
N
2
a
6π
6π
− 3 (W D (ω −
) + (W D (ω +
))
N
N
2
a
8π
8π
+ 4 (W D (ω − ) + (W D (ω + )) − .....
N
N
2
W (ω ) = a 0W D (ω ) −
78
(3.18)
3.2.4 İki Terimli Kosinüs Pencereleri
(3.16) bağıntısında m=1 alınarak iki terimli pencere bağıntıları elde edilebilir. Buna göre
iki terimli zaman penceresi
W ( n) = a 0 − a1 cos(
2πn
)
N
n=0,1,2,...,N
(3.19)
Bu bağıntıdan yararlanarak toplamları 1 olan a0 ve a1 katsayıları belirlenerek iki terimli
zaman penceresi elde edilir. Burada eskiden beri kullanılan iki tanesi incelenecektir.
3.2.5 Hann (Hanning) Penceresi
Katsayıları a0=a1=0.5 tir. Zaman ortamında
W ( n) = 0.5 − 0.5 cos(
2πn
)
N
n=0,1,2,...,N
(3.20)
Bunun frekans penceresi
W (ω ) = 0.5W D (ω ) − 0.25(W D (ω −
2π
2π
) + (W D (ω +
))
N
N
(3.21)
Burada WD(ω) Dirichlet çekirdeğidir. Ilk yan salınım genliği ana bölme genliğinden 32dB
düşüktür. Yan salınım genlikleri frekansın kübü ile ters orantılı olarak azalır.
Şekil 3.14: Hann frekans penceresi
Şekil 3.15: Hamming frekkans penceresi
79
3.2.6 Hamming Penceresi
Katsayıları a0=0.54 ve a1=0.46 dır. Hann penceresinin iyileştirilmiş durumu olarak bakılır.
Zaman penceresi
W ( n) = 0.54 − 0.46 cos(
2πn
)
N
n=0,1,2,...,N
(3.22)
Bunun frekans penceresi
2π
2π
) + (W D (ω +
))
N
N
Yan salınım düzeyi 43dB düşüktür. Ancak yan salınım genlik azalımı yavaştır.
W (ω ) = 0.54W D (ω ) − 0.23(W D (ω −
(3.23)
3.2.7 Üç terimli Kosinüs Pencereleri
(3.16) bağıntısında m=2 alınarak elde edilirler. yani a0, a1 ve a3 gibi üç katsayılıdırlar.
Zaman ortamında
2πn
4πn
) + a 3 cos(
)
n=0,1,2,...,N
N
N
şeklinde tanımlanırlar ve yine a0+a1 +a3=1 olmalıdır.
W ( n) = a 0 − a1 cos(
(3.24)
3.2.8 Blackman Penceresi
Katsayıları a0=0.42, a1=0.5 ve a3=0.08 dir. Zaman penceresi
2πn
4πn
) + 0.08 cos(
)
n=0,1,2,...,N
(3.25)
N
N
Frekans penceresi genelleştirimiş ifadede yerine konularak bulunabilir. Bu pencerede ilk
W ( n) = 0.42 − 0.5 cos(
san salınımın genliği 53dB daha aşağıdadır. Yan salınımgenlik azalımı 18dB olarak çok
hızlıdır. İlk yan salınımgenliğini en iyileştiren katsayılar şunlardır.
a0=0.42659071
a1=0.49656062
a3=0.07684867
Bu katsayılarla hesaplanan Blackman penceresine Tam Blackman Penceresi denir. Bu
durumda ilk yansalınım genliği 72dB düşer.
80
Şekil 3.16: Blackman frekans penceresi
a0=0.42, a1=0.50 ve a2=0.08
Şekil 3.17:Tam Blackman frekans penceresi
3.2.9 Blackman-Harris Penceresi
Bunlar Harris tarafından iyileştirilen pencerelerdir. Birincisinin katsayıları
a0=0.42323
a1=0.49755
a3=0.07922
Yan salınım genlikleri önemli ölçüde azalmışsada yan salınım genlik azalım oranı
yavaşlamıştır. Ikincisinin katsayıları
a0=0.44959
a1=0.49364
a3=0.05677
Yan salınım genlikleri daha da azalmıştır.
3.2.10 Geçkinli-Yavuz Penceresi
Blacman penceresinin ikinci katsayısı 0.5 değeri sabit tutularak 1. ve 3. katsayılarının
değiştirilmesi ile uygun pencere elde edilmeye çalışılır.
W ( n) =
1 − 2β
2πn
4πn
) + β cos(
)
− 0.5 cos(
N
N
2
n=0,1,2,...,N
(3.26)
ile verilir. β=0.1565 için ilk yan salınımın genliği 52dB, β=0.084 için 62dB düşüktür.
Genel davranışı Blackman penceresine benzerdir.
81
Şekil 3.18: Blackman-Harris frekans penceresi
a0=0.42323, a1=0.49755 ve a2=0.07922
Şekil 3.19: Blackman-Harris frekans penceresi
a0=0.44959, a1=0.49364 ve a2=0.05677
Şekil 3.20: Geçkinli ve Yavuz frekans penceresi
β=0.1565
Şekil 3.21: Geçkinli ve Yavuz frekans penceresi
β=0.084
82
3.2.11 Dört Terimli Pencereler
Dört terimli kosinüs pencereleri Harris tarafından verilmiştir.
Birincisi:
a0=0.40217
a1=0.49703
a3=0.09392
a4=0.00183
Yan salınım genlikleri -74dB düşüktür.
İkincisi:
a0=0.35875
a1=0.48829
a3=0.14128
a4=0.01168
Yan salınım genlikleri -92dB düşüktür.
Şekil 3.22: Dört terimli Blackman-Harris frekans penceresi
a0=0.35875, a1=0.48829, a2=0.14128 ve a3=0.01168
Şekil 3.23: Dört terimli Blackman-Harris frekans penceresi
a0=0.40217, a1=0.49703, a2=0.09392 ve a3=0.00183
83
3.2.12 Diğer Sık Kullanılan Pencereler
3.2.12.1 Perzen Penceresi
Yan salınım genlikleri çok güşük ve eksi değerleri olmadığından tercih edilir. Uzunluğu
2M olan Parzen penceresi

2n
2n 2
)
1 − 6( ) (1 −
M
M

2n 3

2(1 −
)
W ( n) = 
M

0



0≤ n ≤M 4
M 4≤ n ≤M 2
(3.27)
n ≥M 2
bağıntısı ile verilir. Frekans penceresi
W (ω ) =
sin
ωM
3M
8 )4
(
ωM
8
8
(3.28)
yan salınımları ω-4 ile azalır.
-aŞekil 3.24: a) Parzen penceresi
b) Fourier dönüşümü
-b-
3.2.11.2 Dolph-Chebyshev Penceresi
Pencerenin ayrık Fourier dönüşümünün eşit aralıklarla örneklenmiş değerleri cinsinden
tanımlanır:
W ( k ) = ( −1)
cos( M (cos −1 ( β cos(
k
πk
M
cosh( M cosh −1 ( β ))
Burada 0 ≤ k ≤ M − 1 ve β = cosh(
))
1
cosh −1 (10 α ))
M
84
(3.29)
x
−1
2
 − tan ( x − 1 − x )
cosh ( x ) =  2
 log( x + x 2 − 1)

−1
x ≤1
x ≥1
dir.Pencerenin zaman fonksiyonu W(n)’yi bulmak için W(k)’nın ayrık ters Fourier
dönüşümü alındıktan sonra elde edilen değerler birim tepe genliğe göre ölçeklenir. α
değişkeni ana bölme seviyesinin yan bölme seviyesine oranının logaritmasını gösterir.
α‘ya çeşitli değerler verilerek pencereler türetilebilir.
-aŞekil 3.25: a) Dolph-Chebyshev penceresi
b) Fourier dönüşümü
-b-
AÇIKLAMA
Desibel: Desibel alışılmışın dışında bir birimdir. O kadar dışındaki bir çok kişi onun bir ölçü birimi
olduğundan şüpheye düşer. Desibelin boyutsuz bir büyüklüktür. Desibel daima iki değer arasındaki
karşılaştırmadır.
N=10log10 (P1/P2)
Bağıntısı ile tanımlanır. Burada P1 ilk değer P2 ikinci değerdir. Çoğu kez P değerleri farklı olmasına rağmen
desibel sayısı aynıdır. Örneğin bir vericinin gücü 1W`tan 2W`a çıkartılırsa, güçteki desibel cinsinden artış;
N=10 log (2/1) = 3dB
Şimdi elimizde 5KW`lık bir verici olsa, biz bunun gücünü 10KW`a çıkartırsak desibel cinsinden artış,
güçlerin değişik olmasına rağmen önceki örnekle aynıdır.
N=10 log (10/5) = 3dB
Bu örneklerlerden bir sonuç çıkaracak olursak güçteki iki katlık bir artış +3dB, yarı yarıya azalış ise 3dB ile ifade edilir.
Görüldüğü gibi desibel bize göreceli sonuçlar verir. Desibel’in tipik bir özelliği sıfır değerinin anlamıdır.
Bütün ölçü birimlerinde sıfır, ölçülen niceliğin yokluğunu gösterir. Örneğin bir devrede giriş ve çıkış güçleri
birbirine eşit olacak olursa;
N=10log10 (P1/P2)
P1=P2 olursa P1/P2=1 olur ve N=0 olacaktır.
85
Elektronikte çoğunlukla bir devrenin girişinden çıkışına doğru ölçme yapıldığı düşünülürse aşağıdaki formül
uygulamalarının sonuçları pozitif çıkarsa bir kazançtan, negatif çıkarsa kayıptan söz edebiliriz.
N=10 log10 (Pçıkış/Pgiriş)
N=20 log10 (Eçıkış/Egiriş)
3.3 Pencere Uygulamaları
1. Aşağıda verilen zaman dizisini üçgen (Bartlett) penceresi ile pencereleyiniz.
F(t)=(0.0, 0.5, 1.6, 2.2, 2.0, 1.3,-0.2,-0.8,-0.5, -0.7, -0.4, -0.1, 1.2, 1.9, 1.7, 1.2, 0.0)
Üçgen pencere fonksiyonunun katsayılarının hesaplanması:
n

n = 0,1,2,..., N 2

W( n ) =  N 2
W( N − n ) n = N / 2,..., N
olduğuna göre
N=16 yerine konur ise (n=0’dan başladığı için N=17 yerine 16 alınır ve
veri boyu tek sayıda olmalıdır.);
n

n = 0,1,2,..., 16 2

W( n ) =  16 2
W(16 − n ) n = 16 2 ,...,16
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
W(0)=0/8
W(1)=1/8
W(2)=2/8
W(3)=3/8
W(4)=4/8
W(5)=5/8
W(6)=6/8
W(7)=7/8
W(8)=8/8
W(9)=W(7)
W(10)=W(6)
W(11)=W(5)
W(12)=W(4)
W(13)=W(3)
W(14)=W(2)
W(15)=W(1)
W(16)=W(0)
W(n)
0.000
0.125
0.250
0.375
0.500
0.625
0.750
0.875
1.000
0.875
0.750
0.625
0.500
0.375
0.250
0.125
0.000
Zaman dizi
0.0
0.5
1.6
2.2
2.0
1.3
-0.2
-0.8
-0.5
-0.7
-0.4
-0.1
1.2
1.9
1.7
1.2
0.0
86
Pencerelenmiş fonksiyon
0.000
0.0625
0.400
0.825
1.000
0.812
-0.150
-0.700
-0.500
-0.612
-0.300
-0.062
0.600
0.712
0.425
0.1500
0.000
3
(a )
2
1
0
-1
0
3
6
9
12
15
18
1 .0
(b)
0 .5
0 .0
0
3
6
9
12
15
18
(c)
1
0
0
3
6
9
12
15
18
-1
Şekil 3.26: a) Pencerelenmemiş zaman dizisi,
b) üçgen pencere fonksiyonu,
c) pencerelenmiş zaman dizisi
2.Aşağıdaki zaman fonksiyonunu Hann(Hanning) penceresi ile pencereleyiniz.
F(t)=(0.0, 0.5, 1.6, 2.2, 2.0, 1.3,-0.2,-0.8,-0.5, -0.7, -0.4, -0.1, 1.2, 1.9, 1.7, 1.2, 0.0)
Hann pencere fonksiyonu
W ( n) = 0.5 − 0.5 cos(
2πn
)
N
n=0,1,2,...,N
olduğuna göre, bağıntıda N=16 konularak
W( n ) = 0.5 − 0.5 cos(
n=0,1,2,…,16
değerleri
2πn
)
16
verilerek
pencere
fonksiyonunun
katsayıları
hesaplanır.
Pencerelenecek zaman dizisi ile pencere katsayılarının çarpımı pencerelenmiş fonksiyonu
verecektir. Pencere fonksiyonunun katsayıları ve pencerelnmiş fonksiyon aşağıdaki tabloda
verilmiştir.
87
Tablo 3.1 Hann penceresi
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
W(n)
2π * 0
)
16
2π * 1
W(1) = 0.5 − 0.5 cos(
)
16
2π * 2
W( 2) = 0.5 − 0.5 cos(
)
16
2π * 3
W(3) = 0.5 − 0.5 cos(
)
16
W(0) = 0.5 − 0.5 cos(
2π * 15
)
16
2π * 16
W(16) = 0.5 − 0.5 cos(
)
16
W(15) = 0.5 − 0.5 cos(
Zaman dizi
Pencerelenmiş
fonksiyon
.0000
0.0
.0000
.0381
0.5
.0190
.1464
1.6
.2343
.3087
2.2
.6790
.5000
.6913
.8536
.9619
1.0000
.9619
.8536
.6913
.5000
.3087
.1464
2.0
1.3
-0.2
-0.8
-0.5
-0.7
-0.4
-0.1
1.2
1.9
1.7
1.0000
.8987
-.1707
-.7696
-.5000
-.6734
-.3414
-.0691
.6000
.5865
.2490
.0381
1.2
.0457
.0000
0.0
.0000
88
3
(a )
2
1
0
0
3
6
9
12
15
18
-1
1 .0
(b)
0 .5
0 .0
0
3
6
9
12
15
1
18
(c)
0
0
3
6
9
-1
Şekil 3.27: a) Pencerelenmemiş zaman dizisi,
b) Hann pencere fonksiyonu,
c) Pencerelenmiş zaman dizisi
89
12
15
18