Akışkan hareketini kuvvetleri göz önüne almadan yerdeğiştirmeler

Akışkan hareketini kuvvetleri göz önüne almadan yerdeğiştirmeler

3. AKIŞKANLARIN KĐNEMATĐĞĐ
Kinematik: Akışkan hareketini kuvvetleri göz önüne almadan yerdeğiştirmeler, hızlar ve
ivmeler cinsinden ifade eder.
3.1 Akışkan Hareketinin Matematiksel Tanımı
Akışkan hareketinin matematiksel olarak tanımlanmasındaki zorluklar akışkan parçacıklarının
rölatif hareketlerinin zaman göre değişiminden kaynaklanmaktadır. Akım alanı içinde her bir
parçacık yere ve zamana göre değişen hız ve ivmeye sahip olabilir. Ayrıca akışkan
parçacıkları bir noktadan diğer bir noktaya giderken deforme olur ve/veya dönmeye maruz
kalabilir.
Akışkan hareketinin tanımlanmasında iki yol mevcuttur:
-
Lagrange Tanımlama Yöntemi
-
Euler Tanımlama Yöntemi
3.1.1 Lagrange Tanımlama Yöntemi
Lagrange tanımlamasına göre akım alanındaki her bir parçacığın bir zaman başlangıcındaki
yer koordinatları (x0, y0, z0) belirlenir ve parçacıkların yörünge, yoğunluk, hız ve diğer
karakteristikleri başlangıç koordinatları ve zamanın fonksiyonu cinsinden ifade edilir.
t0 zamanında bir parçacığın başlangıç koordinatı (x0, y0, z0) olsun. Buna göre parçacığın
herhangi bir t anındaki koordinatları:
x = x(x0, y0, z0, t), y = y(x0, y0, z0, t) , z = z(x0, y0, z0, t)
1
3.1.2 Euler Tanımlama Yöntemi
Euler tanımlamasına göre akım alanında hız, ivme ve diğer değişkenler, yerin ve zamanın
fonksiyonu olarak ifade edilir. Örnek olarak hız alanının bileşenleri aşağıdaki gibi yazılır:
u = u (x,y,z,t)
v = v (x,y,z,t)
w = w (x,y,z,t)
Akışkan hareketinin tanımlanmasında Euler yöntemi daha fazla tercih edilen bir tanımlama
biçimidir. Bu derste de Euler yöntemi esas alınmıştır.
FARK: Lagrange bakış açısı, akışkan parçacıklarının teker teker hareketini inceliyor. Eulerde
akışkan parçacığının akım alanının her noktasında hızın, basıncın yere ve zamana göre
değişimini inceliyor.
3.2 Zamanla Değişen ve Zamanla Değişmeyen Akım
Bir noktada akımlarla ilgili büyüklükler (hız) zamanla değişmiyorsa, bir başka noktada da
yine aynı durum var ise böyle bir akıma Zamanla Değişmeyen Akım (permenant akım)
denir. Eğer akımla ilgili büyüklükler zamanla değişiyorsa, böyle bir akıma da Zamanla
Değişen (permanan olmayan) Akım denir.
3.3 Akım Çizgisi ve Akım Borusu
Akım Çizgisi: Herhangi bir anda akışkan parçacıklarının hız vektörlerine teğet olan hayali
çizgilerdir. Bu şekilde akım alanını, herhangi bir andaki akış yönünü göstermek üzere sınırsız
sayıda akım çizgileri ile temsil etmek mümkündür.
2
xyz uzayında akım çizgilerinin denklemi :
dx dy dz
= =
u
v w
Akım alanındaki sınır yüzeyler birer akım çizgisidir.
Akım Yolu (Yörünge): Akım alanı içinde bir akışkan parçacığının belirli bir zaman
aralığında takip ettiği yoldur. Aşağıdaki şekilde akışkanın A’dan B’ye giderken üzerinden
geçtiği yörüngedir.
Yörünge denklemi: u =
dy
dx
dz
,v=
,w=
dt
dt
dt
3
Akım çizgisi ile yörünge çakışır mı?
Bu akımın zamanla değişip değişmemesine bağlıdır.
-
Eğer akım permanant ise akım çizgisi ile yörünge üst üste düşer.
-
Zamanla değişen akım durumunda bunlar farklı farklı şeylerdir.
Akım Borusu (akım tüpü): akımda kapalı bir eğri üzerinden geçen akım çizgilerinin
oluşturduğu borudur. Akım çizgileri hız vektörlerine teğettir. O halde bu yüzeyde dışarıdan
içeriye, içeriden dışarıya geçiş yoktur. Bu borunun çeperi akım çizgilerinden oluşmuştur.
Sonsuz küçük kesitli bir akım borusu bir akım çizgisi gibi düşünülebilir.
4
3.4 Bir, Đki ve Üç Boyutlu Akımlar
Bir boyutlu akımda hız, basınç vb. akım özellikleri, akım borusunun kesiti içinde konumdan
konuma değişmez; değişiklik ancak tek boyutta, yani akım borusu boyunca olur. Akım
özelliklerinin değişimi bir boyutta olduğu için, bu akımlara bir boyutlu akımlar denir.
Sonsuz küçük kesitli bir akım borusu içerisindeki akım, tam anlamı ile bir boyutlu akımdır.
Akım borusunun kesit alanı o kadar küçüktür ki hız, basınç vb. akım özelliklerinin kesit
içerisindeki değişimi ihmal edilebilir.
Hidrolikte herhangi bir boru hattındaki hız dağılımında ortalama hız kullanılır.
Đki boyutlu akımlarda hız, basınç gibi akım özellikleri, şekil düzlemi üzerinde konumdan
konuma değişir. Akım özellikleri sadece iki boyutta değiştiği için bu akımlara iki boyutlu
akımlar denir.
Üç boyutlu akımda hız basınç gibi akım özellikleri uzay içerisinde konumdan konuma üç
boyutta değişir.
5
4. BĐR BOYUTLU AKIMLARIN TEMEL DENKLEMLERĐ
4.1 Süreklilik Denklemi
Kabuller:
1. Sıkışmayan akışkan (ρ=sbt)
2. Permanan hareket (hız zamanla değişmiyor)
3. Akım borusu sonsuz küçük (akım ipçiği)
Akım borusunun
1-1 kesitindeki kesit alanı dA1,
2-2 kesitindeki kesit alanı dA2 olsun.
Kesit alanı sonsuz küçük ise hız ve basınç gibi akım özelliklerinin kesit içerisindeki değişimi
ihmal edilebilir, dolayısı ile akım borusunun bir kesiti için, bir tek hızdan ve bir tek basınçtan
söz edilir.
Akım borusunun
1-1 kesiti için hız u1, basınç p1 ve
2-2 kesiti için hız u2, basınç p2 olsun.
Hareket sırasında, bir t anında 1221 hacmini işgal eden akışkan t+dt anında 1’2’2’1’ hacmini
işgal edecektir.
6
Kütlenin korunumu ifadesine göre;
t anındaki akışkanın kütlesi =
(t+dt) anındaki akışkanın kütlesi
(4.1)
m11’ + m1’2
=
m1’2 + m2’2
(4.2)
ρ.dA1.ds1
=
ρ.dA2.ds2
(4.3)
ds1 = u1.dt ve ds2 = u2.dt ise u1.dA1.dt
=
u2.dA2.dt
u1.dA1 = u2.dA2
(4.4)
Bu denklem sıkışmayan akışkanlar için süreklilik denklemidir.
4.2 Enerji Denklemi
t anında 1221 hacmini işgal eden akışkanın yüzeylerine etkiyen gerilmeler:
- dA1 ve dA2 kesitlerine etkiyen p1 ve p2 basınç gerilmeleri
- akım borusunun yanal yüzeylerine etkiyen sürtünme gerilmeleridir.
t anında 1221 konumunda bulunan akışkan, t+dt anındaki 1’2’2’1’ konumuna gelirken, bu
gerilmeler birer iş yapacaktır.
Enerjinin korunumu ilkesine göre,
t anında
+
dt zaman aralığında
sistemin enerjisi
Et
=
yapılan iş
(t+dt) anında
sistemin enerjisi
+ Basınç gerilmelerinin + Sürtünme gerilmelerinin = Et+dt
yaptığı iş
yaptığı iş
dB: dt zaman zarfında basınç gerilmelerinin yaptığı iş
dS: Sürtünme gerilmelerinin yaptığı iş
Et
+
dB
-
E11’ + E1’2 + dB - dS
dS
=
Et+dt
=
E1’2 + E2’2
(4.5)
(4.6)
2
u
E 11′ = ρds1dA 1 1 + ρds1dA 1 gz 1
1
424
3 2 1
424
3
m
m
142
4
43
4 142
43
Kinetik Enerji
(4.7)
Potansiyel Enerji
(4.8)
dB = ρ1dA1ds1
2
u
E 22' = ρds 2 dA 2 2 + ρds 2 dA 2 gz 2
1
424
3 2
1
424
3
m 244
m
14
4
3 142
4
43
4
Kinetik Enerji
(4.9)
Potansiyel Enerji
7
2
ρds1dA 1
2
u1
u
+ ρds1dA 1gz 1 + p1dA 1ds1 = ρds 2 dA 2 2 + ρds 2 dA 2 gz 2 + p 2 dA 2 ds 2 + dS (4.10)
2
2
Bütün terimler γdt’ye bölünürse:
γdt = ρ.g.dt
2
u 1dA1
2
u1
p
u
p
dS
+ u 1dA1 z 1 + u 1dA1 1 = u 2 dA 2 2 + u 2 dA 2 z 2 + u 2 dA 2 2 +
2g
γ
2g
γ γdt
(4.11)
Bu ifadedeki bütün terimlerde u.dA’ya bölünürse:
2
2
u1
p u
p
dS
+ z1 + 1 = 2 + z 2 + 2 +
2g
γ 2g
γ udA.γ .dt
ENERJĐ DENKLEMĐ
(4.12)
Enerji kaybı (ısıya harcanan enerji)
2
2
u1 u 2
: 1 ve 2 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın kinetik enerjisi
,
2g 2g
z1, z2 : 1 ve 2 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın potansiyel enerjisi
p1
γ
,
p2
γ
: 1 ve 2 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın basınç enerjisi
4.3 Đmpuls – Momentum Denklemi
Momentumun korunumu denklemi (Newton’un ikinci denklemi):
r d r
ΣF = (mv)
dt
(4.13)
Momentumda birim zamandaki değişim dış kuvvetlere eşittir.
r
ΣF : m kütlesine etkiyen kuvvetlerin toplamı
r
v : m kütlesinin hızı
r
mv : momentum
r
ΣF dt : impuls
8
t anındaki sistemin momentumu = t + dt anındaki sistemin momentumu
r
r
r
r
=
(4.14)
M 11' + M 1' 2
M 1' 2 + M 22'
r
r
=
(4.15)
ρds1dA 1 u 1
ρds 2 dA 2 u 2
r
r
r
(4.16)
Momentumdaki değişim : dM = ρds 2 dA 2 u 2 - ρds1dA 1 u 1
Bu ifadenin zamana göre değişimi dış kuvvetleri verir.
r
r dM
r
r
= ρu 2 dA 2 u 2 - ρu 1dA 1 u 1
ΣF =
dt
ĐMPULS – MOMENTUM DENKLEMĐ
(4.17)
9
5. ĐDEAL AKIŞKANLARIN BĐR BOYUTLU AKIMLARI
Đdeal Akışkan : Sürtünmesiz akışkan, dolayısı ile viskozitesi sıfırdır(µ=0), kayma gerilmeleri
(τ=0) oluşmaz. “Mükemmel akışkan” da denir. Hız enkesit içinde değişmiyor, sabittir.
(du/dy= 0)
Kabuller:
1. Sonlu kestili bir akım borusu
2. Đdeal akışkan
5.1 Süreklilik Denklemi
u1.dA1 = u2.dA2 (sonsuz küçük kesitli akım borusu)
∫ u dA
1
A1
1
=
∫ u dA
2
(5.1)
2
A2
1-1 kesitin de u1 = v1 = sabit
(ideal akışkan, sürtünme yok)
2-2 kesitin de u2 = v2 = sabit
(5.2)
(5.3)
bu ifadeler (5.1) bağıntısında yerine konursa v1 ∫ dA1 = v 2 ∫ dA2
A1
A2
10
v1.A1 = v2.A2
(5.4)
Debi Tanımı: 1-1 kesitinden birim zamanda geçen akışkanın hacmi
Q = A1ds1 = A1(v1.1) = v1.A1
(5.5)
(5.4) ve (5.5) denklemelerinden
Q = v1.A1 = v2.A2
(5.6)
Debi, bir kesitten birim zamanda geçen akışkan hacmidir.
5.2 Enerji Denklemi
5.2.1 Denklem (Bernoulli Denklemi)
Sonsuz küçük kesitli akım borusu için enerji denklemi
2
u 1dA 1
2
u1
p
u
p
dS
+ u 1dA 1 z 1 + u 1dA 1 1 = u 2 dA 2 2 + u 2 dA 2 z 2 + u 2 dA 2 2 +
2g
γ
2g
γ γdt
ideal akışkan, sürtünme yok, (dS/γdt) = 0, enerji kaybı yoktur. Buna göre enerji denklemi
u 2
p
u 1dA 1  1 + z1 + 1
γ
 2g

u 2
p
 = u 2 dA 2  2 + z 2 + 2

 2g
γ






(5.7)
u1.dA1 = u2.dA2 olduğuna göre
 u12
p1

 2g + γ + z 1

  u22

p2
=

  2g + γ + z 2 
 

(5.8)
Đdeal akışkanda hız kesit içerisinde değişmez. Yani;
1-1 kesitinde u1 = v1 =sabit
(5.9)
2-2 kesitinde u2 = v2 =sabit
(5.10)
Bu değerler (5.8) bağıntısında yerine konursa
11
 v1 2
p1

 2g + γ + z1


=


 v22

p2


+
+
z
2
 2g

γ


BERNOULLĐ DENKLEMĐ
(5.11)
Bu (5.11) bağıntısına denir.
Akışkan ideal,
ρ= sabit (sıkışmayan akışkan)
Akım permanan
Sonlu kesitli akım borusu
-
 v1 2
p1

+
+ z1
 2g
γ


=


Bu koşullar altında elde edilen enerji denklemine
BERNOULLĐ DENKLEMĐ denir.
 v22

p2


+
+
z
2
 2g

γ


Bernoulli denkleminde görülen her bir terim uzunluk boyutundadır.
2
2
v1
v
, 2 : hız yüksekliği
2g 2g
p1
γ
,
p2
γ
BERNOULLĐ DENKLEMĐNĐN
: basınç yüksekliği
GEOMETRĐK ANLAMI
z1, z2 : geometrik kot adı verilir.
Bernoulli Denkleminin FĐZĐKSEL ANLAMI;
2
2
v1
v
, 2 : bir kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın KĐNETĐK enerjisi
2g 2g
p1
γ
,
p2
γ
: bir kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın BASINÇ enerjisi
z1, z2 : bir kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın POTANSĐYEL enerjisi
12
2
v
p
H 1 = 1 + 1 + z1
2g
γ
(5.12)
H1 : 1-1 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın toplam enerjisi
H2: 2-2 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın toplam enerjisidir.
5.2.2 Bernoulli Denkleminin Pratikteki Uygulamaları
5.2.2.1 Venturi Ölçeği (Venturimetre)
Venturi ölçeği, bir boru içerisindeki akımın debisini ölçmeye yarayan bir sistemdir. Çalışma
ilkesi Bernoulli Denklemine dayanır.
-1-1 ve 2-2 kesitleri birbirine çok yakın, sürtünmeler ve enerji kaybı ihmal, ideal akışkan
13
1-1 ve 2-2 kesitleri arasında Bernoulli Denklemi
2
2
v1
p
v
p
+ 1 = 2 + 2 (kıyas düzlemi boru ekseni seçildiği için z1 = z2 = 0)
2g
γ
2g
γ
(5.13)
Manometre ve hortum bağlantıları için akışkanlar statiği kanunları geçerlidir.
p1 = γ (h+z)
,
p2 = γ z
⇒
p 2 − p1
γ
Süreklilik denklemi : Q = v1.A1 = v2.A2 ⇒ v1 =
=−h
Q
Q
, v2 =
A1
A2
(5.14)
(5.15)
(5.14) ve (5.15) ifadeleri(5.13)’de yerine konacak olursa:
Q = A1
2 gh
 A1

 A2
(5.16)
2

 − 1

bağıntısı elde edilir.A1 ve A2 belli, h ölçülür. Gerçek akışkanda enerji kaybı meydana
geleceğinden debi Cd (debi) katsayısı ile çarpılarak bulunur.
Q = C d A1
2 gh
 A1

 A2
2

 − 1

(5.17)
Cd katsayısı 1’e çok yakın fakat 1’den küçük bir sayıdır.
5.2.2.2 Bir Kabın Dibindeki Delikten Akış
- kab su seviyesi sabit
- Enerji kaybı ihmal, ideal akışkan
1-1 ve 2-2 kesitleri arasında Bernoulli Denklemi
2
2
v1
p
v
p
+ 1 + z1 = 2 + 2 + z 2
2g
γ
2g
γ
(5.18)
1-1 ve 2-2 kesitleri atmosfere açık
p1 = p2 = p0 = Atmosfer Basıncı , z1 – z2 = h, v1 = 0 (çünkü su seviyesi sabit)’dır.
Bu değerler (5.18) ifadesinde yerine konursa
14
v 2 = 2gh
(5.19)
bağıntısı elde edilir. Bu (5.19) bağıntısı Toricelli Bağıntısı olarak bilinir. Gerçekte sürtünme
etkisi dolayısı ile φ < 1 olmak üzere v 2 = φ 2gh şeklindedir.
5.2.2.3 Kabarma Basıncı
Bir akım içerisine bir cisim konursa, cismin burnunda ikiye
ayrılan akım çizgisi görülür. 1 ve 2 noktası akım çizgisi üzerinde
iki nokta olsun. 1 noktası 2 noktasına oldukça yakın bir noktadır.
Dolayısı ile bu iki nokta arasında meydana gelen enerji kaybı
ihmal edilebilir.
O halde Bernoulli Denklemi:
2
2
v1
p
v
p
+ 1 = 2 + 2 (kıyas düzlemi boru ekseni seçildiği için z1 = z2 = 0)
2g
γ
2g
γ
(5.20)
Tam 2 noktasında hız sıfırdır (v2 = 0) O halde (5.20) denklemi
p 2 = p1 +
ρv 1
2
2
(5.21)
Bağıntısına dönüşür. Bu bağıntıya göre 2 noktasındaki basınç 1’e göre (ρv12/2) kadar
yükselmiştir. Buna kabarma basıncı denir. 2 noktasına kabarma noktası denir.
5.2.2.4 Pitot Borusu
Akımı değiştirmemesi için iki tane çok ince boru
akım ortamına daldırılıyor.
I.borunun ağzı : akıma dik
II.borunun ağzı : akıma paralel
Pitot borusunun burnu bir kabarma noktasıdır.
Buradaki basınç kabarma basıncına eşittir. Yani p +
II.boruda
I.boruda
v=0⇒
ρv 2
’e eşittir.
2
v2
=0
2g
v≠0
su P.Ç’ne kadar yükselecek
E.Ç = P.Ç
Su enerji çizgisine kadar yükselecek
15
Akışkanlar statiğinde biliyoruz ki bir nivo yüzeyi üzerinde basınç sabittir.
p+
ρv 2
= γ(h + z)
2
p = γ.z
ρv 2
= γh
2
(5.22)
(5.23)
⇒ v = 2gh
(5.24)
Bu bağıntıdan yararlanarak manometre borularındaki seviye farkı, yani h ölçmke sureti ile bir
noktadaki v hesaplanır.
Pitot borusu, laboratuarda gerek su gerek hava akımlarında, noktasal hızları ölçmek amacı ile
kullanılan bir araçtır.
5.2.2.5 Bir Borunun Muhtelif Noktalarındaki Basınç
16