optimal kontrol - TOK2013

Transkript

Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK2013, 26-28 Eylül 2013, Malatya
OPTİMAL KONTROL
763
Kesir Dereceli PID Kontrolörler İçin Referans Model Tabanlı Optimizasyon
Yöntemi
A. Ateş(1) B. B. Alagöz (2), B. Şenol(1),C. Yeroğlu(1)
(1)
(2)
Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Elektrik Elektronik Mühendisliği Bölümü
İnönü Üniversitesi Malatya
Geleneksel PID kontrolör performansını artırmaya
dönük bir diğer çalışma alanı ise kesir dereceli PID
yapıları için açılmıştır [2-5]. Kesir dereceli PID
yapılarında, geleneksel PID katsayıları K p , K i ve
Özetçe
Kesir Dereceli PID kontroller, geleneksel PID
kontrollerine göre üstün kontrol performansı
sergileyebilmeleri nedeni ile araştırmacıların ilgilerini
çekmeye başlamıştır. Bu çalışmada, kesir dereceli kapalı
çevrim PID kontrolör yapısının, bir referans modele
göre optimizasyon problemi için çözüm önerisi
sunulmuştur. Referans model olarak Bode’nin ideal
kontrol döngüsü seçilmiş TRMS’nin ana ve kuyruk
rotor birim basamak cevabının, bu referans modelin
hedeflenen bir cevabına yakınsaması sağlanmıştır.
kesir türev derecesi (  ) ve kesir
integral derecesi (  ) parametreleri kontrolör yapısına
kazandırılmıştır. Ayarlanabilir beş parametreye sahip
olan kesir dereceli PID kontrolörlerin ( PI  D  ), üç
parametreye sahip geleneksel PID kontrolörüne göre
daha iyi bir kontrol performansı sergileyebildiği
görülmüştür [12, 16]. Bunun başlıca nedeni, PI  D 
kontrol yapılarının, PID’lere göre daha geniş bir
yelpazede kontrolör cevabı sunabilmesidir. PI  D 
kontrolör yapılarının pratikte uygulama sahası
bulabilmesi için, beş kontrolör parametresinin
( K p , K i , K d ,  ,  ) istenen bir kontrol sistemi cevabı
için optimize edilmesi etkin bir kontrol sağlayabilir.
Bu
çalışmada,
kontrolör
yapısının
PI  D 
( K p , K i , K d ,  ,  ) katsayılarının Bodenin ideal kapalı
çevrim
kontrol
döngüsünün
cevabına
göre
optimizasyonu hedeflenmiştir. Kesir dereceli bir sistem
olan, Bode’nin ideal kapalı çevrim kontrol döngüsü (BKD), istenen sistem cevabına iki parametre (  , c )
yardımı ile ayarlanabilmektedir [17, 18]. Bu çalışmada,
kapalı çevrim PI  D  kontrolör yapısının kontrol
cevabının, teorik referans sistem B-KD’nin kontrol
cevabına yakınsaması amaçlanmıştır. Bu işlem,
stokastik parametre vektörü optimizasyonu yöntemi ile
gerçekleştirilmiştir. Böylece, referans sistemin cevabı
(  , c ) parametreleri yardımı ile istenen bir birim
basamak cevabına ayarlanarak, PI  D  kontrolör
yapısının, bu cevabı verebilmesi sağlanmıştır. Bu amaç
doğrultusunda,
optimizasyon
iki
aşamalı
gerçekleşmektedir: Birinci aşamada, hem referans
sistem katsayıları (  , c ) hem de kontrolör yapısı
( K p , K i , K d ,  ,  ) katsayıları iki sistemin birim
basamak cevaplarının birbirine yakınsaması için,
birlikte optimize edilmektedir. İki sistem cevabının
eşleşmesi durumu kenetlenme olarak adlandırılmıştır.
Kenetlenme gerçekleştikten sonra referans sistemin
parametreleri adım adım istenen değerlerine çekilerek,
kapalı çevrim PI  D 
kontrolör yapısının bu cevaba
K d ‘ye ek olarak,
1. Giriş:
Kesir dereceli türev ve integraller yaklaşık 300 yıldır
biliniyordu [1]. Fakat son yıllarda, sistem
modellemesinde ve mühendislik uygulamalarında tam
değer integro-diferansiyel ifadelerin yerine kesir
dereceli integro-diferansiyel ifadeler yoğunlukla
kullanılmaya başlanmıştır [1]. Yapılan çalışmalar
sonucunda kesir dereceli sistemlerin tam sayı dereceli
sistemlere göre daha iyi sonuçlar üretebildiği
gözlemlenmiştir [2].
Kesir dereceli aritmetikteki sağlanan gelişimle birlikte,
kontrol uygulamalarında kesir dereceli sistemler, tam
sayı dereceli sistemlerin yerine kullanılmaya
başlanmıştır. İlk olarak PID kontrolörün kesir dereceli
versiyonu Podlubny tarafında önerilmiştir [2]. Sistemin
genel formu aşağıda gösterildiği gibidir:
C ( s)  K p  Ki
1
 Kd s 
s
(1)
Ayrıca literatürde kesir dereceli kontrol sistemlerine
ilişkin birçok çalışma yapılmıştır [3-5]. Geleneksel PID
kontrolörler, kolay gerçeklenebilir olması ve iyi
çalışılmış bir kontrolör yapısı olmaları gibi avantajları
nedeni ile endüstriyel proseslerde, otomasyon
sistemlerinde, güç elektroniğinde yaygın olarak
kullanılmıştır [6-11]. Günümüzde, gelişen teknoloji
daha karmaşık ve ileri kontrol tekniklerinin
uygulanmasına imkân sağlar duruma gelmiş, bu nedenle
geleneksel PID kontrolör yapısını geliştirmeye dönük
çalışmalar son dönemde artmıştır: Yapay sinir ağları
PID ile kullanılmıştır [12,13], değişken PID (Variable
PID) [14] ve adaptif PID yapıları [15] geliştirilmiştir.
764
sürüklenmesi sağlanmıştır. Bu süreç sürüklenme olarak
adlandırılmıştır. Sürüklenme sürecinde sadece PI  D 
kontrolör yapısının ( K p , K i , K d ,  ,  ) katsayıları
optimize edilmektedir.
R( s )
2.2.Stokastik Parametre Vektörü Optimizasyonu:
ob
B-KD
c
Maksimum aşım, yükselme süresi, yerleşme süresi gibi
birim basamak performans parametreleri,  ve c
katsayılarının yardımı ile kolaylıkla ayarlanabilmektedir
[18].
Stokastik parametre vektörü optimizasyonu, optimize
edilecek parametrelerin, artan veya eksilen yönlerde
belli bir aralık içinde random değiştirilmesine
dayanmaktadır. Bu durum, matematiksel olarak random
n
n
sapma X  v 
ile ifade edilebilir. Burada,
e

Optimizasyon
k p ki k d  
PI  D 
r
u
G(s)
vn  [1, 0] random sayı ve  adım uzunluğu
katsayısıdır. Parametrenin, artan yönde değiştirilmesi
n
n
durumu ( X  v  ), ileri yönlü test, azalan yönde
n
n
değiştirilmesi durumu ( X  v  ), geri yönde test
için kullanılmaktadır. Test sonucunda,
op
Şekil 1. Sistemin genel mimarisi
E ( X n  X n )  E ( X n )  0
Şekil 1’de optimizasyon sisteminin genel mimarisi
gösterilmiştir. Bu yöntemin en önemli avantajı, iyi
bilinen ve kolay yönetilebilir bir referans sistem

koşulunu sağlıyorsa, optimizasyona bu parametrenin
yeni değeri ile devam edilir. Burada E(.) optimizasyon
için hata fonksiyonudur. Hata fonksiyonu olarak, birim
basamak cevaplarının L örneklik ortalama karesel hatası
kullanılmıştır:

modelinin, PI D kontrol sistemine kenetlenerek,
kontrol sistemin cevabını hedeflenen bir birim basamak
cevabına götürmesidir. Bu, model karmaşıklığı ne
olursa olsun, kenetlenme gerçekleştikten sonra, referans
sistemin (  , c ) katsayıları yönetilerek, kapalı çevrim


PI D kontrol
yapısının hedeflenen bir
cevabına yakınsaması sağlanabilmektedir.
E
sistem
(5)


PI D
edilecek
kontrol
yapısı
n
X

[
K
K
K


]
ve optimize
parametrelerini
P
p
D
I
n
edilecek referans sistem parametrelerini X R  [ wC ]
vektörleri ile gösterelim. Stokastik vektör optimizasyon
yöntemi, her iterasyon adımında sadece bir vektör
bileşenini ileri ve geri yönde test eder. İleri yönde test
koşulları, her iki sistem ayrı ayrı,
2. Metot:
2.1.Bode’nin İdeal Kontrol Döngüsü:
n
E( X Pn  vP
 )  E( X Pn )  0
H.W. Bode 1945 yılında, ideal geri beslemeli kontrol
sistemi için [17], aşağıdaki kapalı çevrim sistemi
önermiştir.
n
E( X Rn  vR
 )  E( X Rn )  0
(6)
(7)
n
ile ifade edilir. Bu koşulu sağlayan vP  ve
n
vR  sapmaları ile parametre vektörleri güncellenir:
(2)
n
X Pn 1  X Pn  vP

n
X Rn 1  X Rn 1  vR

Burada, Bode’nin ideal kontrol sistemin açık çevrim
transfer fonksiyonu, Denklem 3 ile ifade edilmiştir.
(8)
(9)
Geri yönde test koşulları, her iki sistem için ayrı ayrı,
n
E( X Pn  vP
 )  E( X Pn )  0
(10)

 
L( s )   c  ,   R
 s 
1 L
 (Obn  Opn )2
L n 1
Optimize
Gelecek bölümlerde, Bode ideal kontrol döngüsü ve
stokastik parametre vektörü optimizasyon yöntemi
kısaca incelendikten sonra, TRMS simülasyon modeli
üzerinde önerilen optimizasyon yöntemin sonuçları
tartışılmıştır.
L( s )
1
T ( s) 

, 1   2
1  L ( s )  s 
   1
 c 
(4)
(3)
n
E( X Rn  vR
 )  E( X Rn )  0
765
(11)
ifade edilir. Bu koşulları sağlanırsa, parametre vektörü
şöyle güncellenir:
n
X Pn 1  X Pn  vP

X
n 1
R
X
n 1
R
sağlayabilmektedir. Çünkü optimizasyon sürecinde
kontrol edilen sistem ile referans sistemin kenetlenmesi
hata uzayında bir minimum noktası oluşturmaktadır.
Sürüklenme işlemiyle beraber bu lokal minimum,
hedeflenen bir sistem cevabı için kaydırılabilmektedir.
(12)
 
n
vR
(13)
Her iki sistemin optimizasyonu ardışık olarak yürütülür.

Optimizasyon Süreci

PI D kontrol
Öncelikle,
yapısının
bütün
parametreleri tek tek ileri ve geri yönde test edilir ve
optimizasyon hatasını azaltan yönde denklem (8) ve
(12) uyarınca güncellenir. Sonra, referans sistem
parametreleri ileri ve geri yönde test edilir ve denklem
(9) ve (13) uyarınca güncellenir. Daha sonra tekrar,
PI  D  kontrol yapısına dönülerek aynı işlemler
tekrarlanır. Sistemin hatası bir kenetlenme hata eşiği
altına indiği zaman ( E  EK ) iki sistem “kenetlenme
durumuna” ulaşmış olur. Bu durum iki sistemin birim
basamak cevaplarının birbirine arzu edildiği oranda
yaklaştığını gösterir. Bu durumda, referans sistemin
optimizasyonu durdurularak, bu sistemin parametreleri
adım adım hedeflenen optimal değerlerine doğru
götürülür:
X Rn  [ n wCn ]  [ opt wopt ]
(14)
Başlangıç

PI D
Kenetlenme
2
güncellenmiştir.
denklemlerde
1
PI  D 
B-KD
E  EK
Optimizasyon
E  EK
Sürüklenme

PI D

B-KD
Şekil 2. Optimizasyon Süreci, kenetlenme ve
sürüklenme durumları
3. Simülasyon
3.1. TRMS (Twin Rotor MIMO System)’ nin
Matematiksel Modelinin Belirlenmesi
TRMS dikey seviye hareketini sağlayan asıl motor ve
yatay seviye hareketini sağlayan kuyruk rotorlarından
oluşan helikopter deney platformudur. Sistem, Şekil-3
de gösterilmektedir [19].
(16)
Bu
Optimizasyon
Sürükleme
Bu çalışmada, kontrol edilen sistem, düşük aşımlı ve
hızlı bir birim basamak cevabına sürüklenmesi istendiği
n
için, maksimum aşımı artıran yönde etki eden  adım
adım azaltılır iken yükselme süresini azaltan yönde etki
n
eden wC parametresi adım adım artırılmıştır. Yani
sürüklenme sürecinde bu parametreler,
 n 1   n  1
(15)
ile
B-KD
Optimizasyon
Bu süreçte “sürüklenme durumu” gerçekleşir. Bu
optimizasyon süreçleri, Şekil 2’de temsili olarak
gösterilmektedir.
wCn 1  wCn   2
E  EK

ve
sürüklenme adım aralıklarıdır. Bu güncellemeler
 
sürükleme durumunda, PI D kontrol
optimizasyonu devam ettirilmektedir.
 
PI
D kontrol yapısının, referans sisteme
Böylece,
kenetli olarak hedeflenen cevaba doğru sürüklenmesi
sağlanmaktadır.
sürecinde,
yapısının
Bu yöntemin getirdiği avantaj, iyi bilenen teorik bir
referans model yardımı ile karmaşık ve model
belirsizliği içerebilen bir sistemin optimizasyonunun
yönetilebilmesidir. Diğer bir ifade ile sürüklenme
durumunda, optimizasyon sürecinin referans sistemle
yönetilebilmesi sağlanmıştır. Bu avantaj kontrol
sisteminin iyi cevap üretmeyen bir lokal minimum
noktasında takılı kalmasının önüne geçilmesini
Şekil 3. TRMS (Twin Rotor MIMO System)
TRMS’nin
hareketlerini
sağlayan
motorların
matematiksel modelinin belirlenmesi için, TRMS’ye
uygulanan giriş voltajı ile dikey ve yatay rotor açıları
766
arasındaki ilişkinin belirlenmesi gerekir. Bunun için,
sistemin öncelikle ayrık zamanda modeli elde edilmiş,
ardında bu model kullanılarak s domenindeki (sürekli
zaman) modeli elde edilmiştir. Bu çalışmada sistemin
dikey seviye hareketini sağlayan ana rotor ve yatay
seviye hareketi
sağlayan
kuyruk rotorlarının
matematiksel modelleri Denklem 17 ve 18’deki gibi
elde edilmiş ve çalışmada simülasyonlar bu modeller
üzerinden yürütülmüştür [12, 16].
3.2.
G1 ( s) 
0.06725s  1.359
s 2  0.7906s  3.666
(17)
G2 ( s) 
0.01514s  0.3042
s 2  0.2803s  0.619
(18)
-3
x 10
(a)
15
1
2
E  EK
E  EK
E 10
5
0
50
100
150
200
250
300
350
(b)
Optimizasyon Sonuçları ve Tartışma
TRMS’nin ana ve kuyruk rotorlarının simülasyon
modelleri üstünde yapılan optimizasyon çalışmalarında
elde edilen sonuçlar Şekil 4 ve 5’de görülmektedir.
Şekil 4(a) ve Şekil 5(a)’da optimizasyon süreci boyunca
ortalama hatanın değişimleri verilmiştir. Kenetlenme
durumu 1 numaralı bölgede sağlanmıştır. Sürükleme
işlemi ise 2 numaralı bölgede yürütülmüştür. Şekil 4(b)
ve Şekil 5(b)’de optimizasyon boyunca parametrelerin
değişimi gösterilmiştir. Optimizasyon sürecinde
K p , K i ,  ve 
parametreleri düzeyini korurken,
KD
n
15
Kp
10
5 KI
wC
 
K d parametresinin sürekli düştüğü görülmüştür. Bu
durum, maksimum aşımın önemli ölçüde düşürdüğüne
işaret eder. Sürüklenme sürecinde, referans sistem (BKD) parametrelerininden, maksimum aşımı artıran
parametre olan  ’nın düşürüldüğü ve yükselme
zamanını artıran parametre olan c ’nin arttığı açıkca
görülmektedir. Bu durum sürüklenmenin gerçekleştiğini
göstermektedir. Şekil 4(c) ve Şekil 5(c)’de referans
sistemin ve kontrol yapısının birim basamak cevapları
verilmiştir. Kontrol yapısının da referans sistem birim
basamak cevabına yakınsadığı açık bir şekilde
görülmektedir. Optimizasyonlar neticesinde ana ve
kuyruk rotoru için elde edilen parametreler aşağıda
sunulmaktadır.

0
50
100
150
200
250
300
350
400
n
(c)
0.7
B-KD
PI  D 
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
Ana rotor için türetilen değerler;
K p = 8.897988, K i = 8.083841, K d = 10.595935
0
 = 0.827872,  = 0.901992
w c = 2.260247,  = 0.004054
0
5
10
15
20
25
30
t
Şekil 4. Ana rotor için, (a) Ortalama hata fonksiyonun
iterasyon adımlarına göre değişimi.(1. Bölge
kenetlenme
süreci,
2.
Bölge
sürüklenme
4
süreci, EK  2.10
alınmıştır.) (b) Katsayıların
Kuyruk rotoru için türetilen değerler;
K p = 9.592281, K i = 7.609993, K d = 13.157695
 = 0.881505,  = 0.835942
w c = 2.523658,  = 0.005826
değişimi, (c) Referans sistem ve
yapısının birim basamak cevapları
767
PI  D  kontrol
(a)
4. Sonuçlar ve Tartışma
0.025
1
E  EK
0.02
E
2
Bu çalışmada, PI  D kapalı çevrim kontrol yapısının
birim basamak cevabı, Bode’nin ideal kontrol döngüsü
(referans model) ile ayarlanabileceği gösterilmiştir.
Stokastik parametre vektörü optimizasyonu ile iki
aşamalı optimizasyon yönetimi gerçekleştirilmiştir.
Birinci aşamada, iki bağımsız optimizatör, referans
model ile PI  D kapalı çevrim kontrol yapısının birim
basamak cevaplarını benzeştirmiştir. Kenetlenmeden
sonra, referans model parametreleri istenilen bir birim
basamak cevabını vermek için ayarlanırken, kenetli
durumdaki PI  D kapalı çevrim kontrol yapısının da
bu birim basamak cevaba sürüklenmesi sağlanmıştır.
TRMS’nin ana ve kuyruk rotor kontrolü üzerinde,
simülasyonu yapılmış ve elde edilen sonuçlar detaylı
olarak değerlendirilmiştir.
Bu çalışmada kapalı çevrim PI  D kontrolör yapısının,
bir teorik referans model cevabına göre karakterize
edilebileceği görülmüştür. Bunun yanı sıra önerilen
yöntem optimizasyonu lokal minimuma takılma
sorununa belli ölçülerde çözüm sağlayabilmiştir.
E  EK
0.015
0.01
0.005
0
0
50
100
n
150
(b)
KD
15
Kp
10
KI
5
Teşekkür
Bu çalışma İnönü Üniversitesi Bilimsel Araştırma
Projeleri Birimi tarafından 2012/199 nolu proje ile
desteklenmiştir.
wC
 

0
20
40
60
n
80
100
120
140
5.Kaynakça
(c)
[1] R. Caponetto, G. Dongola, L. Fortuna, I. Petras,
Fractional Order Systems Modeling and Control
Applications, World Scientific Publishing Co. Pte.
Ltd. 2010.
[2] I. Podlubny, Fractional-Order Systems and PID
Controllers, IEEE Transactions on Automatic
Control, vol. 44, no. 1, pp. 208–214, 1999.
[3] C. Yeroglu, N. Tan, Classical controller design
techniques for fractional order case, ISA TRANS.
V. 50, Issue: 3, pp. 461-472, July, 2011.
[4] B. Şenol, C. Yeroglu, N. Tan, Kesir Dereceli
Kontrol Sistemlerinin Analizi İçin Kolay
Kullanımlı Program, Otomatik Kontrol Ulusal
toplantısı, TOK11, İzmir, 2011.
[5] B. Şenol Kesir Dereceli Sistemlerin Frekans
Cevaplarının Analizi İçin Matlab Ortamında
Toolbox (Yüksek Lisans Tezi Danışman; C.
Yeroglu) İnönü Üniversitesi F.B.E., 2011.
[6] M. Kano, K. Tasaka, M. Ogawa, S. Otakara, A.
Takinami, S. Takahashi, and S.Yoshii, Practical
Direct PID/I-PD Controller Tuning and Its
Application to Chemical Processes, Control
Application (CCA),
2010 IEEE International
Conference on Control Applications, Yokohama,
Japan, September 8-10, 2010, pp. 2426- 2431.
0.7
B-KD
0.6
PI  D 
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
30
t
Şekil 5. Kuyruk rotor için, (a) Ortalama hata
fonksiyonun iterasyon adımlarına göre değişimi.(1.
Bölge kenetlenme süreci, 2. Bölge sürüklenme süreci,
EK  3.104 alınmıştır.) (b) Katsayıların değişimi, (c)
Referans sistem ve
basamak cevapları
PI  D 
kontrol yapısı birim
768
[7] Á. Cuenca, J. Salt, A. Sala and R. Pizá, A DelayDependent Dual-Rate PID Controller Over an
Ethernet Network, IEEE Transactions on Industrial
Informatics, vol. 7, no. 1, pp. 18-29, February
2011.
[8] F. J. V. Parada, J. A. O. Tapia and J. A. Ramirez,
Effective Medium Equations for Fractional Fick
Slaw in Porous media, Physica A, vol. 373 pp. 339353, 2007.
[9] P. Arena, R. Caponetto, L. Fortuna and D. Porto,
Nonlinear Non-integer Order Circuits and Systems
- An Introduction, World Scientic, Singapore, 2000.
[10] M. F. Silva, J. A. T. Machado and A. M. Lopes,
Fractional order control of a hexapod robot,
Nonlinear Dynamics, vol. 38, pp. 417-433, 2004.
[11] B. M. Vinagre, Y. Q. Chenand I. Petras, Two direct
Tustin discretization methods for fractional-order
diferentiator/integrator, J. Franklin Institute, vol.
340, pp. 349-362, 2003.
[12] A. Ates, C. Yeroğlu, M. F. Talu, Gerçek Zamanlı
TRMS için Geliştirilen YSA Algoritması, Otomatik
Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK12, Niğde, 2012.
[13] M. Ö. Efe PI  D Control via Neural Networks,
UAV Laboratory of TOBB University of
Economics and Technology.
[14] W. K. Ho, T. H. Lee, H. P. Han, and Y. Hong,
“Self-Tuning IMC-PID Transactions on Control
System Technology, vol. 9, no. 3, May 2001.
[15] T. K. Liuand J. G. Juang, “A SingleNeuron PID
Control for Twin Rotor MIMO System”,
IEEE/ASME
International
Conference
on
Advanced
Intelligent
Mechatronics Suntec
Convention and Exhibition Center, July 2009.
[16] A. Ateş, C. Yeroğlu, TRMS İçin Referans Modele
Dayalı Optimal Kesir Dereceli PID Tasarımı,
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı, TOK12,
Niğde, 2012.
[17] S. R. Barbosa, J.A.T. Machado and M.F. Isabel,
Tuning of PID Controllers Based on Bode’s Ideal
Transfer Function Nonlinear Dynamics 38:3005321, 2004.
[18] C. Yeroglu, N. Tan, Classical controller design
techniques for fractional order case, ISA TRANS.
V. 50 Issue: 3, pp. 461-472, JULY 2011
[19] Feedback Instruments Twin Rotor MIMO System
Control Experiments 33-949S (For use with
MATLAB R2006bversion 7.3, 2006) Control with
Interval Gain and Phase Margins Assignment”,
IEEE
769
Gerçek Verili Ani ve Kısa Süreli Bozucu Durumlarında Yolcu Uçağının Yunuslama
Açısının Karşılaştırmalı Denetimi
Elif Pınar Hacıbeyoğlu1
Ahmet Emin Kuzucuoğlu2
Elbrus Caferov3
1
Fen Edebiyat Fakültesi Bilgisayar Bilimleri Bölümü
İstanbul Bilgi Üniversitesi, İstanbul
[email protected]
2
Teknoloji Fakültesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü
Marmara Üniversitesi, İstanbul
[email protected]
3
Uçak ve Uzay Bilimleri Fakültesi Uçak Mühendisliği Bölümü
İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul
[email protected]
durum geri besleme kazançları ile kısmi doğrusallaştırma
yapılarak Parallel Distributed Compensation (PDC) yapısına
uygulanmıştır. 3-DOF doğrusal olmayan uçak modeli
tanımlanarak sürüklenme yörünge kontrolü için bu bulanık
tabanlı denetleyici tasarlanmış, NASA HL-20 tipi uçaklarda
1000m irtifa, 10o yaklaşma açısı, 120m/sn doğrusal hız, 12.5 o
hücum (atak) açısı senaryosunda yapılan benzetimde başarılı
sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca sisteme bozucu eklenerek de
dayanıklılık tesleri yapılmıştır [2]. Lee ve Juang, 2011 yılında,
değişen rüzgar durumlarında Otomatik İniş Sistemi (Automatic
Landing System (ALS)) limitlerini geliştirebilmek amacıyla bir
çalışma sunmuşlardır. Gerçek çıkış ve istenen çıkış arasındaki
hataya göre bellek ağırlıklarını güncelleyen, tip-2 Cereballar
Model Articulation Controller (CMAC) tasarımı yapılmıştır.
Yapılan benzetimlerde PID denetleyicilerin basit ve verimli
sonuçlar ürettiği ancak bu denetleyici ile ilgili bazı çekincelerin
olduğu saptanmıştır. PID denetleyici ile rüzgardaki değişim
oranı 11ft/sn(3.3m/sn)'ye kadar yükselebilirken, CMAC ile
59ft/sn(18m/sn) değişim oranına kadar başarılı sonuçlar elde
edilmiştir [3]. Pilotların tecrübelerinden esinlenerek iniş
güvenliğini arttırmak amacıyla, Zhi ve Yong, 2012 yılında,
katmanlı hiyerarşik bulanık denetleyici tasarımı (HLC)
gerçekleştirmiştir. Hiyerarjik yapıdaki birinci seviye, dalış oranı
ve yunuslama açısının denetimi sağlanırken, ikinci seviyede,
hibrit bulanık denetleyici ve PI denetleyici ile yunuslama açısı,
dalış oranı, dalış oranındaki hata, yunuslama açısındaki sapma
ve irtifa denetimini amaçlanmıştır. Benzetimlerde iniş
koşullarındaki hatalar, aerodinamik katsayılardaki hatalar,
stokastik rüzgar sabiti, hız ölçümündeki hatalar gibi bazı
belirsizlikleri de hesaplamalara katılarak, sistem dayanıklılığının
ve güvenliğinin artışı sağlanmıştır [4]. Aynı yıl, Roy ve
arkadaşları, İnsansız Otonom Helikoperlerin (Unmanned
Autonomous Helicopter (UAH)) olumsuz hava (4m/sn ve 6m/sn
Özetçe
Uçuş sürecini tehlikeye düşürebilecek en büyük dış etkenler,
rüzgar hızındaki ve yönündeki ani değişiklik gibi önceden
kestirilememiş olanlardır. Özellikle son yaklaşma ve iniş evreleri
gibi irtifanın düşük, enerjinin yüksek olduğu durumlarda bu tip
etkenler, kontrol edilemeyecek kadar kısa sürede, istenmeyen
sonuçlara neden olabilir. Bu çalışmada, benzeri sorunlara çözüm
arayışı düşüncesiyle, sürecin küçük bir modeli çıkartılmaya ve
gereken denetim yapılmaya çalışılmıştır. İlk aşamada, hareket
denklemleri ve Airbus 320 (A320) tipi yolcu uçaklarının fiziksel
özelliklerinden faydalanılarak iniş denklemleri elde edilmiş;
ikinci adımda, gerçek uçuşlardan toplanan verilerle istenen
yunuslama açısı davranışı belirlenmiş ve son olarak İkinci
Dereceden Doğrusal Düzenleyici (Linear Quadratic Regulator
(LQR)) ve klasik PID tasarımları yapılarak, ani ve kısa süreli
bozucu durumunlarında sistem cevapları incelenmiştir.
1. Giriş
Wahid ve Rahmat'ın 2010 yılında sundukları çalışmalarında,
uçaklardaki yunuslama kontrolünün, zaman cevaplarının,
modern ve akıllı denetleyici performansları bakımından
kıyaslanması yapılmış, Bulanık Mantık Denetleyici (Fuzzy
Logic Controller (FLC)) ve İkinci Dereceden Doğrusal
Düzenleyici (Linear Quadratic Regulator (LQR)) kullanılarak
yapılan benzetimlerde, yükselme zamanına göre LQR'ın
FLC'den 10 kat, oturma zamanına göre 8 daha hızlı olduğu,
kalıcı hal hatalarında yine LQR'nin üstünlüğü gözlemlenmiştir.
Yalnız FLC sıfır aşımla kararlılığa erişirken LQR %4.35 aşıma
ulaşmıştır [1]. Aynı yıl, Farajollah ve Markazi'nin çalışmasında,
rüzgarın bozucu olarak eklendiği doğrusal olmayan bir uçuş
sistemi için Takagi-Sugeno bulanık modeli kullanılmış, LQR ve
770
[ ]
lik ani rüzgar) koşullarındaki, uzunlamasına ve yanal konum
kararlılıklarını incelemiş, Lyapunov yaklaşımı ile elde edilen
sonuçlar, LQR kullanılarak tasarlanmış başka bir denetleyicinin
sonuçlarıyla karşılaştırılmış, her iki tasarımda da ani rüzgar
durumunda başarılı sonuçlar elde edilmiştir [5]. 2012 yılındaki
bir başka çalışmada Boughari ve Botez, teknolojideki
gelişmelere karşın gerçek zamanlı uçuş kontrol sistemlerindeki
problemler
üzerindeki
çalışmaların
artmasından
ve
belirsizliklerin varolmasından yola çıkarak, önce doğrusal
olmayan Hawker 800 XP modelini elde edip, Küçük Bozuntular
Yaklaşımı (Small Perturbation Approach) ile doğrusal modeli
oluşturduktan sonra LQR tekniği ile bu araçların arzu edilen
dinamik karakteristiğe ulaşmasını sağlamışlardır [6].
ΣM = d
H
dt I
⃗ =⃗r × ( m V
⃗)
H
(3)
Uçak denge durumundayken taşıma, sürükleme, itki ve
yerçekimi kuvvetleri ve momentleri toplamı sıfır olmalıdır. Bu
kuvvetlerin toplamı, eksenler boyunca kullanılan birim
vektörlerle birlikte, 4 ve 5 nolu eşitliklerde verilmiştir [7], [8].
ω×V T = i ( WQ−VQ ) +j ( UR −WP ) +k ( VP−UQ )
ΣΔF = iΣΔF +jΣΔF +kΣΔF
x
y
z
ΣΔF = m ( U̇ +WQ −VR )
x
Literatür taraması da göstermiştir ki, uçuş denetimi
üzerinde daha çok çalışılması gereken, geniş bir konudur. Farklı
denetleyici tasarımları bu sistem üzerine uygulanabilmekte,
ancak en uygun sonuçları modern kontrol teknikleri
üretmektedir. Bu motivasyonla, çalışmada iniş sürecinin son
evrelerinde, yunuslama açısının denetimini sağlayan ve
bozuculara karşı istenen sonuçları üreten PID ve LQR
denetleyicilerin performansları karşılaştırılmıştır.
(4)
(5)
ΣΔF = m ( V̇ +UR− WP )
y
ΣΔF = m ( Ẇ +VP −UQ )
z
2.1. Boylamasına Hareket Denklemleri
Dünya eksen takımında X kuzeyi, Y doğuyu ve Z ise aşağıyı
gösterecek şekilde kabul edildiğinde, ara eksen takımları ile
Dünya eksen takımı aralarındaki geçişler Eşitlik 6'da
tanımlanmıştır.
2. Hareket Denklemleri
Bu bölümde yolcu uçaklarının kontrol yüzeyleri, uçuş sırasında
uçağa etki eden kuvvet ve moment bileşenleri üzerinde kısaca
durulmuş ve takip eden bölümlerde kullanılacak hareket
denklemleri için zemin hazırlanmıştır.
Uçaklar ağırlık merkezi sabit kabul edilerek,
birbirlerine dik üç ayrı eksende serbestçe hareket edebilirler. Bu
eksenler, istikamet dümeni (rudder) tarafından kontrol edilen,
düşey eksen; kanatçık (aileron) veya hava freni (spoiler) ile
kontrol edilen, uzunlamasına eksen; irtifa dümeni (elevator)
veya hareketli yatay stabilizatör ile kontrol edilen, yanal
(enlemesine) eksen [7].
Şekil 1: Yer ve ara eksen takımına göre Euler açıları.
m ( U̇ +QW − RV ) = −mg sinθ+ ( −D cos α+Lsin α ) +T cos φT
Q̇ I yy −PR ( I zz −I xx )+( P 2 +R 2 ) I xz = M A +M T
Matematiksel model çıkartılmasına, uçağın katı bir
cisim oluşu, uçağın kütlesinin herhangi bir parçasal dinamik
analizine sahip olması, Dünya'nın uzayda sabitliği ve Şekil 1'de
gösterildiği gibi uçağın XZ düzleminde simetrik oluşu
kabulleriyle başlanır. Uçak hareketleri için sabit eksen dünyanın
merkezini orijin kabul eden yer eksenidir. Yer eksen takımı,
uçağın kütle merkezine paralel olarak kaydırılıp, sırasıyla Z, Y
ve X eksenleri etrafında döndürülülerek Euler açıları bulunur.
Uçağa etki eden 4 temel kuvvet vardır; aerodinamik kuvvetler,
tepki kuvveti, ağırlık kuvveti ve atalet kuvveti. Bu kuvvetler
toplamı Eşitlik 1 ve 2'de tanımlanmıştır [7], [8], [9]. H açısal
momentumuna sahip bir yolcu uçağında momentler toplamı ise
Eşitlik 3'de gösterilmektedir.
ΣF =
ΣΔF =
[
]
d
mV T )
dt (
I
[
m ( Ẇ +PV −QU ) = mg cos θcos ϕ+ ( −D sin α− L cos α )−T sin ϕ T
(1)
]
dV T
dm
V T+ m
dt
dt
I
(6)
(2)
771
U
Φ
P
V
θ
Q
W
ψ
R
Ix
L
Iy
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
X eksenindeki doğrusal hız (ft/sn)
X eksenindeki açısal hız değişimi (rad/sn)
X eksenindeki açısal hız (rad/sn)
Y eksenindeki doğrusal hız (ft/sn)
Y eksenindeki açısal hız değişimi (rad/sn)
Y eksenindeki açısal hız (rad/sn)
Z eksenindeki doğrusal hız (ft/sn)
Z eksenindeki açısal hız değişimi (rad/sn)
Z eksenindeki açısal hız (rad/sn)
X eksenindeki atalet momenti (kg.m)
Taşıma (Lift) kuvveti (Nm) (Ixy = 0)
Y eksenindeki atalet momenti (kg.m)
Iz
: Z eksenindeki atalet momenti (kg.m)
M : Y eksenindeki moment (Nm) (Iyz = 0)
A: Aerodinamik moment T: Tepki (itki) momenti
N : Z eksenindeki moment (Nm) (Ixz ≠ 0)
α : Hücum açısı (rad)
D : Sürüklenme (Drag) kuvveti (Nm)
T : Çekiş (Thrust) gücü (Nm)
Şekil 2: 1. Uçuşa ait sayısal veriler.
Doğrusal olmayan bu denklemler Küçük Bozuntular
Yaklaşımı kullanılarak doğrusallaştırılmış ve Laplace dönüşümü
uygulanarak Eşitlik 7'de gösterilen sistem karakteristiği elde
edilmiştir [8].
(7)
Şekil 3: 2. Uçuşa ait sayısal veriler.
4. İkinci Dereceden Doğrusal Düzenleyici
Son olarak, kararlılık türevleri eklenerek denklem
genişletilmiş ve irtifa dümenindeki değişime bağlı olan,
yunuslama açısı θ'yı ifade eder transfer fonksiyonu Eşitlik 8'de
verilmiştir [8], [9].
İkinci Dereceden Doğrusal Düzenleyici, Linear Quadratic
Regulator (LQR), ẋ = Ax + Bu şeklinde ifade edilen bir sisteme
u = Fx formunda, durum geri beslemeli denetimi amacı ile
tasarlanır. “F”in değeri geçici durum cevabı ile denetim başarısı
arasındaki dengeyi kurmaya dayanır. Optimal Kontrol
yaklaşımında bu denge durumu performans indeksi veya maliyet
fonsiyonu ile tanımlanır ve bu indeksi en küçükleyecek u = Fx
aranır. Eşitlik 9'da performans indeksinin genel hali
bulunmaktadır.
(8)
3. Gerçek Uçuş Verileri
Avrupa ve Amerika'daki tüm havalimanlarına yapılan seferlerin
bilgilerini sunan, İstanbul Atatürk Havalimanı Hava Trafiği
Takip Sitesi, http://www.iststatus.com/ dan elde edilen gerçek
uçuşlara ait sayısal değerlerle, A320 tipi yolcu uçaklarının son
yaklaşma ve iniş süreçlerinde takip ettikleri irtifa ve hız bilgileri
incelenmiş, böylece benzetimlerde gerçekçiliği sağlamak
amaçlanmıştır. Rastgele seçilen 2 örnek uçuşun son 90sn'deki
verileri Şekil 2 ve 3'de gösterilmektedir;
∞
[
T
]
T
J= ∫ x (t ) Qx ( t ) +u ( t ) Ru ( t ) dt
(9)
0
Burada, Q, simetrik, yarı kesin pozitif ve R, simetrik,
kesin pozitif matrislerdir.
Performans indeksi J'yi en küçükleyecek u(t) = Fx(t)
nin bulunması için sistem koşullarının ve J'nin durumlarının net
ifade edilmesi ayrıca düzenleyicisi tasarlanan sistemin kontrol
edilebilir ve gözlemlenebilir olması gereklidir. ẋ = Ax + Bu ve
performans indeksi Eşitlik 9'da verildiği gibi olsun. Q = MT M
ve R simetrik, kesin pozitif matris ise, optimal kararlılık
denetimi;
−1 T
(10)
u ( t ) =−R B Px
Uçuş 1:
Havalimanı: İstanbul Atatürk
Rakım: 37m
Rüzgar: 11km/sa, Güney
Yaklaşmaya göre rüzgar yönü: Yan rüzgar (Crosswind)
Sıcaklık: 13oC
Görüş: 10km
Ani rüzgar: Yok
Uçuş 2:
Havalimanı: Londra Heathrow
Rakım: 24m
Rüzgar: 32km/sa, Doğu
Yaklaşmaya göre rüzgar yönü: Karşı rüzgar (Headwind)
Sıcaklık: 5oC
Görüş: 6km
Ani rüzgar: Yok
eşitliği ile tanımlanabilir. P, simetrik ve yarı kesin pozitif matrisi
Riccati Denklemi, Algebraic Riccati Equation (ARE), çözümü
ile bulunabilir. ARE Eşitlik 11'de gösterilmiştir.
T
PA+A P+Q−PBR
−1
BP= 0
(11)
ARE çözümünde birden fazla sonuç çıkabilir. Ancak
bunlardan sadece bir tanesi yarı kesin pozitifdir [10].
772
(1)
4.1. LQR Tasarımı
Durum geribesleme kontrolü u = Fx ise, tasarım adımları
şunlardır;
1. Adım: Q ve R, Q = MT M ve R = RT>0 olacak şekilde seçilir.
2. Adım: ARE çözülür ve F = –R-1 BT P hesaplanır.
3. Adım: ẋ = (A+BF) x'in başlangıç durumu, farklı başlangıç
koşulları için modellenir.
4. Adım: Geçici durum cevabı ve/veya genlik koşulları uygun
değilse 1. Adım'a dönülerek yeni Q ve/veya R değerleri seçilir.
Şekil 4: LQR ile yunuslama açısı cevabı.
5.1. LQR Tasarımında “Q” ve “R”nin Etkileri
Kısacası, LQR en uygun kontrol girdisini hesaplamak
için performans indeksi ve durum değişkenlerini kullanarak
yapılan hesaplamalarla tasarlanır. Hesaplamalar yapılmadan önce
sistemin kontrol edilebilir ve gözlemlenebilir olduğundan emin
olunmalıdır [10].
Q ve R pozitif, reel ve Hermisyen matrislerdir. R matrisi Q'dan
daha büyük seçilirse, sistem küçük bir eforla durum vektörü
sıfıra yaklaşır fakat sistemin cevap süresi uzar. Aksi durumda ise,
yani R matrisi Q'dan küçük olursa, sistem daha büyük bir efor
harcayarak, hızlı bir şekilde cevaba ulaşacaktır. İşte bu iki durum
arasında denge LQR tasarımındaki esastır. Öte yandan, R ve Q
değerleri büyüdükçe hata azalır ve sistem hızlanır. Bu durumda
da, kontrol eforunun çok yüksek bir değere ulaşıp ulaşmadığı
denetlenmelidir [10]. Şekil 5'de, yunuslama açısının farklı “R”
ve “Q” değerlerinde sistemin verdiği cevaplar gösterilmektedir.
5. Yunuslama Açısı Denetimi için LQR Tasarımı
Yukarıda belirtildiği gibi, LQR tasarımına geçmeden önce,
sistemin kontrol edilebilir ve gözlemlenebilir olup olmadığının
testleri yapılmıştır.
[A,B,C,D] = tf2ss(num,denum)
Kont_M = ctrb(A,B);
Kont_Rank = rank(Kont_M)
Gozlem_M = obsv(A,C);
Gozlem_Rank = rank(Gozlem_M)
Yunuslama açısı için istenen değer sabit 0.3 rad (17o) olsun:
p = 100;
Q = p*C'*C;
R = 1;
[K] = lqr (A, B, Q, R)
Nbar = rscale (A, B, C, D, K)
sys_cl = ss (A–B*K, B*Nbar, C, D);
step(0.3*sys_cl)
[
−1.1528
A= 1
0
0
C = [0
−1. 4188
0
1
0
−1.0941
−0 .0460
0
0
1
Şekil 5a: Farklı R değerleri ile yunuslama açısı cevabı.
−0.0324
0
0
0
−0. 7241 −0 .0373 ]
] []
1
B= 0
0
0
D=0
Şekil 5b: Farklı Q değerleri ile yunuslama açısı cevabı.
eig(A) = –5694 ± 1.0272i ve –0.0070 ± 0.1530i
Yapılan MATLAB çalışmasına ait bazı çıktılar şöyledir;
Hesaplama sonucunda geribesleme kazanç katsayı
matrisi K ve düzenleme değeri Nbar değerleri;
p1 = 10
Q1 = 0 0 0 0
0 11.9710 7.9226 0.4086
0 7.9226 5.2433 0.2704
0 0.4086 0.2704 0.0139
R1 = 1
K1 = 1.8594 3.8722 2.3272 0.0901
Nbar1 = 3.2789
K = [4.0024 12.6234 7.3499 0.3425]
Nbar = 10.0375
Elde edilen bu değerler sonucunda yunuslama
açıındaki değişim Şekil 4'de gösterilmiştir. Şekilden de
anlaşılacağı gibi, kabul edilebilir bir aşımla (~%3) ve 3sn'nin
altında bir zamanda arzu edilen yunuslama açısına erişmek
mümkün kılınmıştır.
##########
p2 = 10
Q2 = 0 0 0 0
0 11.9710 7.9226 0.4086
0 7.9226 5.2433 0.2704
0 0.4086 0.2704 0.0139
773
R2 = 10
K2 = 0.6756 1.0071 0.7239 0.0171
Nbar2 = 1.3233
Şekil 8'de görüldüğü gibi, gerek LQR gerekse PID sıfır
hata ile, 90sn içinde yunuslama açısı arzu edilen değere
ulaşmıştır. LQR ile aşım yokken, PID denetleyici ile %1 aşım ve
oturma zamanında, LQR'a göre %10 gecikme görülmüştür. Bu
sonuçların elde edilmesin için kullanılan katsayı değerleri
şunlardır;
##########
p3 = 10
Q3 = 0 0 0 0
0 11.9710 7.9226 0.4086
0 7.9226 5.2433 0.2704
0 0.4086 0.2704 0.0139
PID denetleyici için:
KP = – 3, KI = – 0.6, KD = – 1.5
R3 = 100
K3 = 0.1854 0.2309 0.2152 0.0021
Nbar3 = 0.9225
LQR denetleyici için;
Nbar = – 100, K = [14.238 117.7869 72.8674 3.7026]
Q=
1.0e+003 *
0
0
0
0
0 1.1971 0.7923 0.0409
0 0.7923 0.5243 0.0270
0 0.0409 0.0270 0.0014
R = 0.1
5.2. Bozucu Etki ile Benzetim Sonuçları
LQR ile yapılan kontrol ve benzetimlerin sonraki adımında, inişi
riske sokabilecek etkileri yansıtabilmek amacıyla, bozucular
sürece dahil edilmiştir. Bu bozucular, sisteme 3 farklı zaman
dilimlerinde uygulanmıştır. Şekil 6'da bu bozucu sinyaller
görülmektedir.
Şekil 6: Bozucu girişler.
Şekil 8: LQR ve PID ile sistem cevabı.
Şekil 5'de gösterildiği gibi, herhangi bir bozucu etki
olmaksızın hücum açısı yaklaşık 30sn de arzu edilen çıkışa, sıfır
hata ile ulaşmaktadır (R = 1 durumu için). Bu süreyi inişin son
90sn'lik bölümüne yaymakta mümkündür. Şekil 7'de, ilgili
katsayılar kullanılarak tasarlanan MATLAB diagramı yer
almaktadır.
İniş anının farklı 3 evresinde, kısa zaman aralıklarında
ve geçici olarak uygulanan bozuculara karşın sistemin verdiği
cevaplar Şekil 9'da sunulmuştur.
Şekil 9a: Bozucu etkilerle PID cevapları.
Şekil 7: MATLAB Simulink şeması.
Şekil 9b: Bozucu etkilerle LQR cevapları.
774
özellikle önem verilmiş, benzetimler bu gerçek veriler
doğrultusunda yapılmıştır. PID ve LQR ile yapılan
benzetimlerde, sıfır hata, makul aşım ve doğru oturma zamanı
gibi olumlu sonuçlar gözlendikten sonra bu düzenleyicilerin
bozucu olma durumunda nasıl davranacağı 3 farklı senaryoda
test edilmiş, testlerde de başarılı sonuçlar alınmıştır.
Üzerinde durulan 90sn ise, inmekte olan bir yolcu
uçağının yaklaşık 1300ft'den iniş anına kadar geçen süredir.
6. Benzetim Sonuçlarının Değerlendirilmesi
Benzetimler göstermiştir ki, hem PID denetleyici hem de LQR
denetleyici yunuslama açısının denetimi için uygun sonuçlar
üretmektedir. Sistemin hızı ve aşımı, LQR'ın yapısal
özelliklerinden dolayı daha kolay ayarlanabilmektedir.
Gelecek Hedefleri
Bu çalışmada elde edilmiş sonuçların iyileştirilmesi, farklı uçak
tiplerinde ve farklı senaryolarda da güvenli inişi sağlamak
amacıyla araştırmalarımızın ilerletilmesi hedeflenmektedir.
İniş sürecinin farklı evrelerinde uygulanan bozucular,
sistemde geçici hatalara yol açsa da, bozucu etkinin
sonlanmasını takip eden 5 – 7sn süre zarfında sistem arzu edilen
cevaba, yine sıfır hata ile, erişmektedir. Ancak, aynı genlikte
bozucular uygulanmış olsa da cevaplardaki salınımlarda
farklılıklar gözlemlenmiştir. İrtifa azaldıkça, artan sapma
miktarları bu çalışmada gözlenen en ilgi çeken sonuçtur. Bunun
nedeni uçağın, iniş sırasında, göreceli olarak daha düşük irtifada
kritik kararlılığa yaklaşmasıdır. Uçak havada kalabilmesi için
gereken en az hızda olmalı iken yaklaşık 10sn sonra uçağın yere
iniş anında (touchdown) fazla enerjili olmamalıdır. Bu denge
durumunun sağlanması için LQR uygun bir yöntem olarak
görülmüştür. Çünkü LQR tasarımın doğası, kontrol eforu ve arzu
edilen değeri yakalama arasındaki dengenin kurulmasıdır.
Yukarıda gözlenen sonuçlar LQR'ın yüksek eforda gösterdiği
davranıştır. Bu da, R değerinin çok küçük seçilmesi ile
sağlanmıştır.
Kaynakça
[1] Wahid N., Rahmat M. F.: “Pitch Control System Using
LQR and Fuzzy Logic Controller”, IEEE Symposium on
Industrial Elecronics and Applicationa (ISIEA 2010), ISBN:
978 – 1 – 4244 – 7647 – 3, 2010
[2] Farajollah M., Markazi A. H. D.: “PDC Controller Design
For Aircraft Glide-Slope Trajectory Tracking”, IEEE
Explore, ISBN: 978 – 1 – 4244 – 6349 – 7, 2010
[3] Lee C. L., Juang J. G.: “Aircraft Landing Control in Wind
Shear Condition”, Proceedings of the 2011 International
Conference on Machine Learning and Cybernetics, IEEE
Explore, ISBN: 978 – 1 – 4577 – 0308 – 9, 2011
[4] Zhi L., Yong W..: “Intelligent Landing of Unmanned Aerial
Vehicle Using Hierarchical Fuzzy Control”, IEEE Explore,
ISBN: 978 – 1 – 4477 – 0557 – 1, 2012
[5] Roy T. K., Pota H. R., Garratt M., Teimoon H.: “Robust
Control for Longitudinal and Lateral Dynamics of Small
Scale Helicopter”, Proceedings of the 31st Chinese Control
Conference, Sayfa: 2607 – 2612, 2012
[6] Boughari Y., Botez R. M.: “Optimal Flight Control on the
Hawker 800 XP Business Aircraft”, IEEE Explore, ISBN:
978 – 1 – 4673 – 2421 – 2, 2012
[7] Schmidt L.V.: “Introduction to Aircraft Flight Dynamics”,
American Institute of Aeronautics and Astronautics,
Education Series, 1998
[8] Yechout T.R., Morris S.L., Bossert D.E., Hallgren W.F.:
“Introduction tı Aircraft Flight Mechanics,Performance,
Static Stability, Dynamic Stability, and Classical Feedback
Control”, AIAA Education Series, 2003
[9] Hacıbeyoğlu E.P., Kuzucuoğlu A.E., Caferov E.: “Bulanık
Mantıklı ve PID-Denetleyicilerinin Yolcu Uçağı Modelleri
Üzerinde Karşılaştırmalı Simülasyonu”, TOK 2012
Otomatik Kontrol Ulusal Toplantısı Bildiriler Kitabı, Cilt 2,
ISBN: 978 – 605 – 86655 – 0 – 7, 2012
[10] Anderson B. D. O., Moore J. B.: “Optimal Control – Linear
Quadratic Methods”,Prentice Hall, ISBN: 0 – 13 – 638651
– 2, 1989
Yapılan benzetimlerde sisteme etki eden bozucular,
referans girişle karşılaştırıldığında yaklaşık +%50'lik bir fark
yaratmaktadır. Bu söz konusu sistem için küçümsenmeyecek bir
değerdir.
Mevcut yolcu uçaklarında, yer seviyesiyle 2500ft irtifa
arasındaki rüzgar hareketlerini takip eden ve iniş
prosedürlerindeki sınırların üzerinde, ki bu değerler en çok karşı
rüzgarda 30knot (~15m/sn), yan rüzgarda 20 – 25knot (~10 –
13m/sn), kuyruk rüzgarında 10 – 15knot(~5 – 7m/sn)'tır, bir
ölçüm algıladığında pilota bunun sinyalini veren “wind shear
alert” sistemi mevcuttur. Pilot bu uyarıyı aldığı zaman, uçağı
eğer bağlanmışsa ALS'den çıkartıp, inişi pas geçmek zorundadır.
Bu çalışmada amaçlanan, inişin gerçekleştiği durumlarda
oluşabilecek anlık bozucularda, yakın inişlerde oluşabilecek
hava basıncı değişimi, rüzgar hızı ve yönündeki ani değişim
gibi, sistemin karalılığının sağlanmasıdır.
7. Sonuçlar
Bu çalışmada, yolcu uçaklarının iniş anında olası, ani rüzgar
değişimi olarak ifade edilebilecek, bozucuların sistem cevabını
nasıl etkilediği incelenmiş ve güvenli inişi gerçekleştirebilmek
için uygun yunuslama açısının elde edilebilmesini sağlayan 2
yöntem, PID ve LQR denetleyici tasarımı, yapılmıştır.
Bu amaç doğrultusunda, önce uçuş kinematiği ve
hareket denklemleri üzerinde durulmuş, A320 tipi yolcu
uçaklarının fiziksel özelliklerinden ve iniş prosedürlerinden
yararlanılarak kesin bir transfer fonksiyonu elde edilmiştir.
Çalışma sürecinde yapılan araştırmalarda, gerçek uçuş verilerine
775
YARI-OPTİMAL KAYMA KİPLİ KONUM KONTROLLÜ SERVO
SİSTEMDE ERİŞİM KURALI PARAMETRELERİNİN ETKİLERİ
Mehmet İlyas BAYINDIR1, Mehmet ÖZDEMİR2, Z. Hakan AKPOLAT3
1
Teknik Bilimler MYO, Elektronik ve Otomasyon Bölümü, Fırat Üniversitesi, Elazığ
[email protected]
Mühendislik Fakültesi, Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü, Fırat Üniversitesi, Elazığ
2
[email protected]
Teknoloji Fakültesi, Mekatronik Mühendisliği Bölümü, Fırat Üniversitesi, Elazığ
3
[email protected]
etkileşimler sonucunda örneğin yük momenti gibi bozucular
meydana çıkabilmektedir.
Model belirsizlikleri ve
bozucuların, kontrol sistemlerine kötü etkileri vardır.
Dayanıklı
kontrol
yaklaşımının
özünde,
sistemde
karşılaşılabilecek belirsizlikler, tanımlanmış bir aralıkta
kalması şartıyla, performansını koruyan bir kontrol sisteminin
kurulması vardır. Kontrolör, nominal parametreleri içeren
sabit bir yapıya sahiptir.
Kayma kipli kontrol sistemlerinin tasarım prosedürü;
anahtarlama yüzeyinin seçimini, süreksiz anahtarlama
fonksiyonu ve buna bağlı anahtarlama mantığının
belirlenmesini kapsar. Anahtarlama yüzeyleri, genellikle sabit
olup durum uzayında tanımlanır. Birden fazla anahtarlama
yüzeyi varsa, kayma yüzeyini bunların kesişimi oluşturur.
Amaç ise, sistemin durum yörüngesinin herhangi bir başlangıç
şartından kayma yüzeyine sürülmesidir. Kayma kipi
başladıktan sonra, sadece kayma yüzeyinde kalmak üzere
kontrol işareti üretilir [4]. Kayma kipinde çalışan bir sistemin
mertebesi düşürülür ve dinamik davranışı düşük mertebeli bir
“eşdeğer sistem” ortaya çıkarılır. Kayma kipli kontrol tasarımı
klasik olarak Lyapunov kararlılık kriterine dayalı olarak
yapılır. Bu kriter esas alınarak geliştirilen bir yöntem olan
erişim kuralı yaklaşımı son yıllarda tercih edilir hale gelmiştir
[5]. Çünkü bu yaklaşım ile kayma kipli kontrolün kararlılığı
sağlanırken hem erişme hem de kayma kiplerinin dinamiğinin
iki ayrı parametre ile yönetilmesi sağlanmaktadır.
Sayısal işlemciler ve güç elektroniği devrelerindeki
ilerlemeler, vektör kontrol ve doğrudan moment kontrol
uygulamalarını kolaylaştırmıştır. Endüstrideki en yaygın
motor çeşiti olan asenkron motorlarda bu yöntemler ile
sağlanan moment kontrolü üzerine yüksek performanslı
sürücülerin kurulması yaygınlaşmıştır [6]. Vektör kontrollü bir
asenkron motor sisteminin pratik büyüklükleri göz önüne
alınarak hem dayanıklı hem de yüksek performanslı bir konum
kontrol yönteminin tasarımını ve dayanıklılığını incelemek
için bu çalışma yapılmıştır.
İdeal minimum-zaman kontrol yöntemiyle aşmasız ve en hızlı
cevap elde edilen konum kontrolü yapılır [7,8]. Ancak
uygulanması, tam doğru bir model, doğru paramtreler ve
herhangi bozucu ve gürültü olmaması şartıyla başarılabilir.
Yaklaşık minimum-zaman servomekanizma (Proximate timeoptimal Servomechanism, PTOS) yöntemi ideal bang-bang
kontrole dayalı geliştirilmiş ve hard disk sürücülerinde (HDD)
başarıyla uygulanmıştır [9-11]. Kayma kipli yaklaşık
Özetçe
Elektriksel sürücü sistemler için atalet ve sürtünme
katsayılarının değişimine ve harici bozuculara karşı dayanıklı
ve yüksek performanslı bir konum kontrolü sistemi
incelenmektedir. Vektör kontrollü asenkron motorun moment
komutu, konum kontrolörünün çıkışı olarak belirlenmektedir.
Çok güçlü bir dayanıklı kontrol yöntemi olan kayma kipli
kontrol yöntemiyle tasarlanan kontrolör için zamanla değişken
yarı-optimal kayma yüzeyi seçilmiştir. Kontrol algoritması,
daha yeni ve ilgi gören bir yöntem olan erişim kuralına dayalı
tasarlanmıştır. Matematiksel olarak dayanıklılığı garanti
edilebilen bu yöntemin uygulandığı konum kontrol sisteminde,
dayanıklılık ve performans üzerine erişim kuralının etkileri
incelenmiştir. Sistem modelindeki atalet ve sürütünme
katsayılarının nominal değerden farklı olduğu parametre
belirsizlik durumları ve yük momenti olan bozucunun varlığı
göz önüne alınmıştır. Farklı konum referansları için
dayanıklılık ve performans üzerine erişim kuralının iki
parametresinin etkileri incelenmiştir.
1. Giriş
Elektrikli sürücülerin kullanıldığı endüstriyel sistemlerde ya
doğrudan motor milinin yada bir yükün sabit veya hareketli bir
referans açısı kadar döndürülmesini sağlayan konum kontrol
sistemlerine sık sık ihtiyaç duyulur. Ancak bu sistemlerin
birçoğunda belirsizlikler ve harici bozucular gibi performansı
kötüleştiren etkenler kaçınılmazdır [1]. Bu durumda parametre
değişimlerine, modellenmemiş dinamiklere ve harici bozucu
girişlere karşı istenen kontrol performansını muhafaza eden
veya kabul edilebilir sınırlar içinde tutan “dayanıklı kontrol
sistemleri” çok uygun bir çözüm olmaktadır. Klasik doğrusal
kontrolörler
genellikle
parametre
değişimlerine,
modellenmemiş dinamiklere ve bozucu girişlere karşı tatmin
edici sonuçlar vermezler. Bu nedenle dayanıklı kontrol
yöntemlerine başvurulur. Kayma kipli kontrol (KKK) yöntemi
basitliği ve etkinliği ile dikkat çeken bir dayanıklı kontrol
yöntemidir. KKK, uygulandığı sistemlere teorik olarak
değişmezlik özelliği kazandırdığından, çok tercih edilir [2-3].
Konum
kontrol
sistemlerinde
belirsizliklere
sıkça
rastlanmaktadır. Örnek olarak farklı cisimleri tutan bir robot
kolunun toplam atalet değeri belirsizlik gösterir. Sürtünmenin
doğrusal kabul edilmesi ise içerdiği ihmal ile bir
modellenmemiş belirsizlik oluşturur. Ayrıca pratikte çevre ile
776
x1(t )  θ
x2 (t )  x1(t )  
minimum-zaman servomekanizma (sliding mode proximate
time-optimal servomechanism, SMPTOS) yöntemi diğer bir
yaklaşım olup kayma kipli ve optimal kontrol yöntemlerinin
birleşimidir. SMPTOS yöntemi de HDD sistemlerinde küçük
parametre değişimleri için başarıyla uygulanmıştır [11-13].
Bu çalışmada, genel amaçlı bir konum kontrolü, yüksek
performansı optimal kontrolden alınarak, dayanıklılığı KKK
yönteminden alınarak oluşturulan yarı-optimal kayma kipli
kontrol (YOKK) yöntemi sunulmaktadır. Öz itibariyle optimal
kontrol yörüngeleri kayma kipli kontrolün kayma yüzeyi
olarak uyarlanmaktadır. Parametre değişimi ve konum
referans aralıklarının genişliğinin pratik değerlere uygun
olduğu bir sistem tasarlanmaktadır[14-15].
Bir servo-sistemde, kontrol işareti olan moment pratik nedenle
sınırlı iken performansın korunması ve belirsizliklere
dayanıklılığın sürdürülebilmesinin kayma yüzeyine bağımlı
olduğu ispatlanmıştır. Kayma yüzeyinin parametre belirsizlik
aralığını dikkate alıp konum referans değerine bağlı olarak
optimize edilmesi gerektiği gösterilmiştir [16]. Minimumzaman konum kontrolü probleminin çözümü olan bang-bang
kontrolün faz düzlemindeki optimal yörüngesinin kayma
yüzeyi olarak atanmasına dayalı RQTOS yöntemiyle, konum
referansına bağımlı olarak zamanla değişen ve parametre
belirsizlik sınırını da hesaba katan yarı-optimal kayma yüzeyi
aracılığı ile başarılı sonuçlar elde edilmiştir [15]. Böylece
minimum aşma, cevap süresi ve sürekli durum hatası
özellikleri ile sonuçlanan yeni bir dayanıklı konum kontrolü
oluşturulmuştur. Bu yöntem, performans ve dayanıklılık
arasında bir optimizasyonu, kayma yüzeyi üzerinden
geliştirmiştir. Ancak kayma kipli kontrolör tasarımının
dayandırıldığı erişim kuralı yaklaşımının parametrelerinin
etkilerinin ne olabileceği araştırılmamıştır.
sırasıyla θ, ω motor milinin açısal konumunu ve hızını
gösterir. Sistemin kontrol işareti (u) olarak elektromekanik
moment alınacaktır. Böylece servomotor sisteminin dinamik
denklemi,
Jx1  Bx1  u  TL
(4)
olur. Durum denklemleri de aşağıdaki gibi elde edilir:
x1  x2
(5)
B
1
x1  x2   x2  (u  TL )
J
J
Durum uzayı modelinin matris gösterimi için,
0 1 
0
x 
B , B  1 
X   1 , A  
0  J 
J 
 x2 


 
(6)
matrisleri tanımlanarak aşağıdaki denklem elde edilir.
  AX  B(u  T )
(7)
X
L
şeklinde sistemin durum değişkenleri olarak tanımlanır.
Konum kontrolü için durum değişkenlerinin başlangıç şartları
ve istenen son değerleri,
 x1 (0)  0
 x1 (T )   ref 
(8)

 ,



x
(
0
)
0
 2   
 x2 (T )  0 
olarak tanımlanır. Böylece vektör kontrollü motor sisteminin
durum denklemi aşağıdaki şekilde elde edilir:
 x1 (t )  0 1   x1 (t )   0 
(9)


   kT  u (t )  TL 

 x2 (t ) 0  a   x2 (t )  J 
Denklem (11) de a=B/J kısaltması kullanılmıştır. Kontrol
büyüklüğü u(t)=isq moment akımıdır. TL, yük momenti yani
harici bozucu etkiyi temsil eder.
Bu çalışmanın 2.kısmında servo-motorun modeli, 3.kısmında
kontrolör tasarımı, 4.kısmında yarı-optimal kayma yüzeyi
tasarımı, 5.kısmında erişim kuralının dayanıklılık ve
performans üzerindeki etkilerini gösteren benzetim sonuçları
ve irdelenmesi sunulmaktadır.
+
Bu çalışmada, vektör kontrollü asenkron motorun moment
kontrolü ideal olarak ele alınmıştır. Bu kabul, içteki moment
kontrol çevrimi dıştaki konum kontrol çevrimine göre çok
daha hızlı çalıştığı için yapılabilir. Konum kontrolörünün
örnekleme periyodu, moment kontrolörününkine göre çok
daha büyük seçilmesi bunu sağlanmaktadır [16]. Benzetimde
moment kontrol çevriminin cevap gecikmesi yani elektriksel
dinamikleri ihmal edilmiştir. Kontrol girişi motor momenti
olup atalet ve sürtünme katsayılarından oluşan mekanik bir
servo-sistem modeli kurulmuştur. Asenkron motorun vektör
kontrolünde moment, aşağıdaki gibi akımların fonksiyonu
olarak ifade edilebilir [6].
-
Kayma Kipli
Konum
Kontrolörü
isq
kT
Te
+
1
Js+B
x2
1
x1
S
Şekil 1. Tasarlanan konum kontrollü servo-sistemin
basitleştirilmiş blok diyagramı
3. Kayma Kipli Konum Kontrolörünün Erişim Kuralına
Dayalı Tasarımı
Konum kontrolü için referans matrisi,
 ref 
ref1=  ref
R   1 ,
ref2 
olarak tanımlandıktan sonra, kayma
anahtarlama fonksiyonu
L2m
3 P
3 P
(1)
kT 
isd
isd isq  kT isq
2 2 Lr
2 2 Lr
Servo sistemin hareketini yöneten diferansiyel denklemi
aşağıdaki gibidir [1].
J    B    Te  TL
(2)
Burada J sistemin toplam atalet katsayısını, B sürtünme
katsayısını, Te, TL sırasıyla üretilen moment ile yük momentini
göstermektedir. Durum değişkenleri olarak
Te 
TL -
ref
2. Servomotor Sisteminin Durum Uzayı Modeli
L2m
(3)
(10)
kipli
kontrolün
CT   1
(11)
s  CT R  X ,
olarak seçilir. Konum kontrolünde hız referansı ref2=0
alınmaktadır. Buradaki  parametresi ikinci mertebeden sistem
için seçilen anahtarlama yüzeyinin eğimi olup sistemin kayma
777
kipindeki davranışını, dolayısıyla sistemin performansını
belirleyen birincil bir tasarım kriteridir.
Kayma kipinin karakterinin tasarlandığı gibi oluşup sistemin
davranışına hakim olabilmesi için anahtarlama fonksiyonu
kararlı şekilde azalmalı ve hızla sıfır değerine ulaşmalıdır.
İdeal olarak anahtarlama fonksiyonu sıfıra düştüğünde
sistemin yörüngesi kayma yüzeyine oturmuş ve böylece sistem
dayanıklılığın sağlandığı kayma kipine girmiştir denilir.
Erişim kuralına göre anahtarlama fonksiyonunun uyması
istenilen dinamik genellikle aşağıdaki gibi seçilir:
(12)
s  q  s    sgn(s)
Burada q parametresi erişim kipinin, ε ise kayma kipinin
dinamiğini yönetmek üzere tanımlanan ikincil tasarım
kriterleridir. Bu kuralı sağlayan kontrol işaretine ulaşmak için
(12) denkleminin açık ifadesi (5) ve (11) denklemleri
kullanılarak yazılmalıdır:
k
B

(13)
s  q  s    sgn(s)       x2  T  u
J
J

Erişim kuralının gerektirdiği dinamik davranışın erişme ve
kayma kiplerinde gerçekleşmesini sağlayacak uk ifadesi
yukarıdaki eşitliği sağlayan değerlerden oluşacaktır.
1
Bn    J n  x2  q  J n  s  J n    sgn(s)
s 
(14)
kT
(14) denklemindeki (Jn,Bn) parametre değerleri nominal
değerler olarak sabit kalacaktır. Yapılan incelemelerde
parametre belirsizliklerine örnek oluşturmak için iki farklı
durum seçilmiştir. Bu durumlar; I ve II durumları diye
tanımlanarak parametre değişim değerleri Tablo 3’de
gösterilmiştir. Pratiğe uygun şekilde, parametre değişiminin
alt sınırı olarak inf(J)=0.8Jn, üst sınırı olarak sup(J)=5Jn
seçilmiştir. I. durum ölçme hatası olarak, II. durum ise motor
miline
mekanik
bağlantılar
eklenmesi
sonucunda
görülebilecek makul belirsizlik durumlarıdır.
(Şekil 2) [15,19]. Sürtünme katsayısı ihmal edilen servosisteme ait minimum-zaman kontrolün faz düzlemindeki
yörüngesi
Sopt ( X ))  sgn( ref  x1 ) 2 
umax
 ref  x1  x2
sup( j )
(15)
denklemiyle ifade edilir. Düşük hızlarda çalışılan sistemlerde
sürtünme kolaylıkla ihmal edilebilir [8,11]. İdeal minimumzaman kontrol tam doğru model, doğru paramtreler ve
herhangi bozucu ve gürültü olmaması şartıyla başarılabilir.
Yinede çok iyi bir referans yörünge olabilir [19]. Anlık konum
bilgisinden Sopt(X)=0 yörüngesinde karşılık gelen x2opt hız
değeri bulunur, eğimi ise (16) denklemiyle hesaplanır.
x2opt
(16)

 ref  x1
140
HIZ (x2,rad/s)
120
100
80
60
40
20
0
14
16
18
20
22
24
26
KONUM (x1,rad)
28
30
32
Şekil 2. Optimal yörüngenin referansa vardıkça artan eğimi
Sürtünmesiz servo-sistem için maksimum ivmelenme, %50
oranında referans konuma ulaşılıncaya kadar sürer, ardından
maksimum frenleme aşamasına geçilir. Sürtünme hesaba
katılıyorsa, katsayı ne kadar büyükse bu oran da o kadar artar
[13]. RQTOS yönteminde buna benzer (β) denilen bir orana
erişiline kadar () yeterince yüksek seçilir maksimum
ivmelenme sürdürülür. Bundan sonra kayma yüzeyi olarak,
parametre belirsizlik üst sınırına ait optimal yörüngenin eğimi
takip edilir. Böylece yarı-optimal dayanıklı konum kontrolü
sağlanır. Ayrıca, pratik olarak optimal yörüngenin takip
edilebilmesi için sistemin örnekleme frekansının çok yüksek
olması gerekir. Bu yüzden yarı-optimal yörüngenin başarıyla
izlenebilmesi için bir ingirgeme katsayısı () uygulanır. ()
değeri RQTOS yönteminde, konum referansına ve belirsizlik
üst sınırına bağlı bir amprik fonskiyon olarak tanımlanmıştır.
=0.12+0.76*tanh(θref/(sup(J))) sup(J)=sup(J)/Jn
(17)
İndirgeme katsayısı () iki yerde kullanılır. Birincisi
maksimum ivmelenme oranı (β), ikincisi denklem (16) ile
bulunan eğim () ile çarpılır [15].
4. Yüksek performanslı ve dayanıklı konum kontrolü için
yarı-optimal kayma yüzeyi tasarımı
Yüksek performanslı kontrol istendiği zaman, tasarımda
birinci önemli karar kayma yüzeyinin eğiminin belirlenmesidir
[16]. Kayma yüzeylerinin tasarlanması için literatürde farklı
yöntemler geliştirilmiştir. Bunlardan en yaygın olarak bilinen
başlıca iki yöntem vardır. İlk yöntem, kökdeğeri atamasıdır.
Bu yöntemin esası, kayma kipi süresindeki kök yapısının
anahtarlama yüzeyi üzerinden atanmasıdır. Diğer önemli bir
yöntem ise performans endeksi minimizasyonudur. Bu
yöntemde anahtarlama yüzeyi, sistemin performansına ilişkin
bir amaç fonksiyonu minimize edilecek şekilde optimize edilir
[17].
Kayma yüzeyinin eğimi () ne kadar yüksek olursa yükselme
zamanı o kadar kısalır. Konum referansı ve belirsizlik arttıkça
() azaltılmalı ki istenmeyen salınımlar oluşmasın. Ancak
sürekli durumda, () değeri düşük olduğu zaman bozuculara
karşı dayanıklılık zayıflayacaktır. Bunun çözümü her konum
referansı için zamanla değişen, referansa yaklaştıkça yükselen
bir kayma yüzeyini fonksiyon olarak atamaktır [16,18]. Bu
gereklilikler minimum-zaman (bang-bang) konum kontrol
yönteminde teorik olarak mevcuttur [7,8]. Bang-bang kontrol
profili maksimum ivmelenme ve maksimum frenleme diye iki
ayrı kip demektir. Her konum referansınının kendine has
optimal yörüngesi olup anlık çalışma noktasındaki eğimi
hesaplanarak kayma yüzeyinin () değeri olarak atanabilir
5. Benzetim Sonuçları
Tasarlanan kontrol sisteminin Matlab Simulink şeması
Şekil.3’de gösterilmektedir. Benzetimde örnekleme peryodu
2ms. alınmıştır. Pratik olarak yaklaşık 200 µs sürebilen
moment kontrol çevriminin yaklaşık 10 katı büyük örnekleme
ile çalışılmıştır. Davranış üzerinde oldukça etkili olan bu
seçim, vektör kontrol çevriminin dinamiğini ihmal edebilmeyi
garanti altına alınmakatadır [15].
Kullanılan motor parametreleri Tablo 1’de, model belirsizlik
durumları ise Tablo 2’de sunulmaktadır.
778
Durum I
hız(rad/s)
konum(rad.)
Sistemin genel davranışının tüm değişkenler üzerinden
izlenmesi amacıyla, Durum I, II belrisizlikleri ve nominal
parametre şartlarında, q=25, ε=25 sistemin birim basamak
cevabı, sürekli durumda bozucu etkisini de kapsayarak Şekil
4’te sunulmaktadır. q=25, ε=25 alınmıştır. Bu grafikte faz
düzlemi eğrisinde yeşil çizgiyle minimum-zaman yörüngesi
çizdirilmiştir.
Nominal
6
4
2
0
0
60
40
20
0
x2
Durum II
6
4
2
0
0.5
0
1
0.5
1.5
1
1.5
6
4
2
0
0
60
40
20
0
0
0.5
0.5
1
1.5
1
1.5
60
40
20
0
0
0.5
1
1.5
0
0.5
1
1.5
0
0.5
1
Zaman(s)
1.5
TL
iq(A.)
To Workspace
In1
In2
1
1
s
x1
j.s+b
SERVOSYSTEM
Integrator
To Workspace1
kt
Out1
moment sabiti
RLC
u
t
Clock
To Workspace2
2
0
-2
0
X2(rad/s)
Konum
Ref
2
0
-2
0.5
1
Zaman(s)
1.5
50
0
To Workspace3
2
0
-2
0
0.5
1
Zaman(s)
1.5
50
0
5
0
50
0
X1(rad.)
5
0
0
5
X1(rad.)
X1(rad.)
Şekil 4. ref=360, iki belirsizlik ve nominal parametre şartları
için benzetim sonuçlarından konum, hız, moment akımı
değişimleri ve faz düzlemi eğrileri (t=1sn’de TL=1Nm yük)
Kontrolörün erişim kuralı parametrelerine bağlı olarak iki ayrı
belirsizlik durumları, düşük ve yüksek konum referansları için
performans incelemesi yapılmaktadır. Şekil 5’te Durum I
belirsizliği altında ref=45 ve ref=180 değerlerinde ε=25
iken üç ayrı q değerleri için konum ve faz düzlemi
çizdirilmiştir.
lamda0
Constant2
1
Switch
f(u)
In1
.12+.76*tanh(ref/jh)
lamda1
Gain1
Switch1
lamda
Tablo 2. İncelemelerdeki parametre belirsizliği durumları
Durum adı
J(atalet)
B(sürtünme)
To Workspace4
jn*eps
Product2
Sign
s
Gain2
jn*q
1
Saturation
Gain
Out1
I.durum
-0.2·Jn
-0.2·Bn
II.durum
5·Jn
5·Bn
2
Durum I, Ref=45drc
In2
Durum I, Ref=180drc
Product
0.8
konum(rad.)
jn
Product1
Constant1
bn
Constant
Şekil 3. Tasarlanan kontrol sisteminin ve kontrolör içyapısının
Simulink benzetim modelleri
2
215 mH
Rs
2.8 
Ls
15.1 mH
Rr
2.2 
Lr
15.1 mH
2
0
0.5
1
0
0
0.5
1
50
20
X2(rad/s)
Lm
1
0.2
0
4
q=25
q=50
q=125
0.4
Tablo 1. Benzetimlerde kullanılan motora ait bilgiler
P
3 HP
Vn
380V
Kutup sayısı
3
0.6
40
15
30
10
20
10
Jn
0.0055kg-m
isd(Alan akımı)
2A.
5
Bn
0.0011kgm2/s
isq,max(max.mom.
akımı)
2A.
0
0
0.2
0.4
X1(rad.)
0.6
0
0
1
2
3
X1(rad.)
Şekil 5. Durum I belirsizliği, ref=45 ve ref=180 için üç ayrı
q değerlerine göre konum ve faz düzlemi değişimleri (ε=25)
779
Durum II, Ref=45drc
konum(rad.)
2
q=25
q=50
q=125
0.4
1
0.2
0
0
0.5
1
10
0
0
0.5
10
5
0
0.2
0.4
0.6
X1(rad.)
0.8
0
0
0.5
1
1
2
X1(rad.)
0.5
1
15
10
4
0
3
0
6
5
2
0
0
20
8
15
eps=25
eps=100
eps=250
1
10
4
0
2
0.4
0
1
6
2
3
0.6
0.2
20
8
Durum II, Ref=180drc
0.8
3
0.6
X2(rad/s)
konum(rad.)
0.8
X2(rad/s)
Durum II, Ref=45drc
Durum II, Ref=180drc
0
0.2
0.4
0.6
X1(rad.)
0.8
0
0
1
2
X1(rad.)
3
Şekil 6.Durum II belirsizliği, ref=45 ve ref=180 için üç ayrı
q değerlerine göre konum ve faz düzlemi değişimleri(ε=25)
ε değerlerine göre konum ve faz düzlemi değişimleri (q=25)
Şekil 6’da ise sadece Durum II belirsizliği şartları için önceki
grafiğin tarzı tekrar izlenerek sonuçlar çizdirilmiştir. q
değerinin düşük olması, hem erişim kipini yavaşlatmakta hem
de sürekli durumda bozucuya karşı dayanıklılığı kötü
etkilemektedir. Ayrıca Şeki 6’da belirsizlik büyük olduğunda
istenmeyen aşmalar doğurmuştur.
Şekil 7-8, tıpkı Şekil 5-6’daki q yerine üç ayrı ε değerleri için
q=25 iken konum ve faz düzlemi değişimlerini
göstermektedir. Bu grafiklerde, ε yüksek olsa da erişim kipine
faydalı olamadığı, ancak fazla yüksek olmasının hızda çatırtı
oluşturduğu görülmüştür.
6. Sonuç
Bir servomotor sisteminde erişim kurallı kayma kipli dayanıklı
ve yüksek performanslı bir konum kontrol yönteminin tasarımı
ve erişim kuralı parametrelerinin performans ve dayanıklılık
üzerine etkleri incelenmiştir. Tasarlanan kontrolörde erişim
kuralı yaklaşımı sayesinde, erişim ve kayma kiplerinin
dinamiğinin belirlenebildiği gösterilmiştir. Anahtarlama
fonksiyonunun kararlı şekilde azalmasını sağlayan erişim
kuralının (q,) parametrelerinin uygun seçilmesinin önemi
irdelenmiştir. Yarı-optimal dayanıklı kontrol stratejisi
gereğince, birincil görev olarak kayma yüzeyi tasarlandıktan
sonra erişim kuralının da sistem cevabına iki ayrı parametre ile
etkileri olduğu gösterilmiştir. q değerinin hem erişim kipini
hızlandırmak hem de sürekli durumda bozucuya karşı
dayanıklılığı sürdürebilmek için yeterince yüksek tutulmasının
önemi gösterilmiştir. ε değerinin erişim kipi üzerinde etkili
olmadığı yeterince yüksek olmasının performansı koruduğu
gösterilmiştir. Diğer taraftan fazla yüksek ε değerinin hız
üzerinde bıraktığı salınımlar bu tür elektromekanik sistemlere
zararlı olan çatırtı problemini doğurmuştur. Her iki parametre
düşükken belirsizlik yüksek ise istenmeyen aşma problemi de
açıkça ortaya çıkmıştır. Sunulan kontrolör tasarımında, erişim
kuralı paramtrelerinin dayanıklılık ve performans açısından
erişim ve kayma kipleri üzerinde önemli etkileri oldukları
gösterilmiştir.
Durum I, Ref=45drc
Durum I, Ref=180drc
konum(rad.)
0.8
3
0.6
2
eps=25
eps=100
eps=250
0.4
1
0.2
0
0
0.5
1
0
0
0.5
1
50
X2(rad/s)
20
40
15
30
10
20
5
10
0
0
0.2
0.4
X1(rad.)
0.6
0
Kaynakça
0
1
2
3
1.
W. Leonhard, Control of Electrical Drives, SpringerVerlag, 2001.
2.
V.I. Utkin, J. Guldner, J. Shi, Sliding Mode Control in
Electromechanical Systems, Taylor&Francis, 1999.
3.
S.K. Spurgeon, C. Edwards, Sliding Mode Control
Theory and Applications, Taylor&Francis, 1998.
4.
J.Y. Hung, W.B. Gao, J.C. Hung, “Variable structure
control: A survey”, IEEE Trans Ind Electronics 40(1),
p.2-22, 1993.
X1(rad.)
ε değerlerine göre konum ve faz düzlemi değişimleri (q=25)
780
5.
Gao, W.B., and Hung, J.C., 1993, Variable structure
control of nonlinear systems : A new approach, IEEE
Trans. Ind. Electron., vol. 40, no. 1, 45-55.
6.
D.W. Novotny, T.A. Lipo, Vector Control and Dynamics
of AC Drives, Oxford Un. Press Inc, New York, 1996.
7.
A. P. Sage, C.C. White, Optimum Systems Control,
Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice Hall Inc., 1977.
8.
A.E. Bryson, Y.C. Ho, Applied optimal control (Revised
Printing). Taylor& Francis, 1975.
9.
M.L. Workman, R.L. Kosut, G.F. Franklin, “Adaptive
proximate time optimal servomechanisms: Continuoustime case,” Proceedings of the 1987 American Controls
Conference. AACC IEEE 589–94, 1987.
10. M.L. Workman, R.L. Kosut, G.F. Franklin, “Adaptive
proximate timeoptimal servomechanisms: Discrete-time
case,” Proceedings of the 26th IEEE Conference on
Decision and Control IEEE 1548–53, 1987.
11. G. Guo, Y. Wang, R. Zhou, J. Zhou, “Improved
proximate time optimal sliding mode control of hard disk
drives,” IEE Proc.-Control Theory Appl 148(6): 516-22,
2001.
12. G.F. Franklin, J.D. Powell, M.L. Workman, Digital
Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley, 1990.
13. H. Alli, M.İ. Bayındır, “Time-energy optimal control of
vector controlled induction motor”, COMPEL: The
Intern. Jour. for Computation and Math. in Electrical and
Electronic Eng., Vol. 21 No. 2, pp. 235-251, 2002.
14. M.İ. Bayındır, H. Can, Z.H. Akpolat, M. Özdemir, E.
Akın, “High performance sliding mode position control
with proximate-optimal sliding surfaces,” Int. Aegean
Conf. on Electr. Mach & Pow. Electr. (ACEMP2004)
Istanbul-TURKEY 521-6, 2004.
15. M.İ. Bayındır, H. Can, Z.H. Akpolat, M. Özdemir and E.
Akın, Robust quasi-time-optimal discrete-time sliding
mode control of a servomechanism, Electric Power
Components and Systems, 35 (8): 885-905, 2007.
16. M.İ. Bayındır, H. Can, Z.H. Akpolat, M. Ozdemir,
E.Akın, “Application of reaching law approach to the
position control of a vector controlled induction motor
drive,” Electrical Engineering 87: 207–15, 2005.
17. V.I. Utkin, K.K.D. Young, “Methods for constructing
discontinuity planes in multidimensional variable
structure systems,” Automation and Remote Contr
39(10):1466-70, 1979.
18. J.J.E. Slotine, W. Li, Applied Nonlinear Control. PrenticeHall, New Jersey, 1991.
19. G. X. Guo, D. Q. Zhang,, “Discrete-time sliding mode
proximate time optimal seek control of hard disk drives,”
IEE Proc.-Control Theory Appl., Vol 147, No. 4, p.440446, 2000.
781
Birinci Dereceden Gecikmeli Proses Modelleri için,
Oransal-Integral Kontrol Edicinin Optimum Kontrol
Parametrelerinin Yeni Korelasyonlarla Belirlenmesi
Gamze İş1,2, Erdoğan Alper3, Ali Elkamel4, C.R. Madhuranthakam4
1,2
Kimya Mühendisliği Bölümü
Hacettepe Üniversitesi, Ankara
[email protected]
3
Kimya Mühendisliği Bölümü
Hacettepe Üniversitesi, Ankara
[email protected]
4
Department of Chemical Engineering
University of Waterloo, Waterloo, Ontario, Canada
Oransal-integral kontrol ediciler, kimyasal süreç endüstrisinde
yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu makale, birinci dereceden
gecikmeli sistemlerin geri beslemeli kontrolünde kullanılan
oransal-integral
kontrol
edicinin
optimum
kontrol
parametrelerinin belirlenmesini sağlayan yeni korelasyonları
içermektedir. Bu korelasyonlar; farklı minimum performans
kriterleri ayrı ayrı amaçlanarak, servo kontrol ve regülatif
kontrol için ayrı ayrı elde edilmiş ve sunulmuştur. Sonuç
olarak; proses kontrol parametrelerini, proses parametrelerinin
fonksiyonu olarak belirten korelasyonlar elde edilmiş ve
literatürdeki diğer tuning yöntemleri ile karşılaştırılmıştır.
beslemeli kontrol ile yeterli bir şekilde kontrol edilebildiği
dikkate değer bir gerçek olduğundan[5]; Madhuranthakam ve
ark.nın ileri sürdüğü prosedür izlenerek, oransal-integral
kontrol edici için, hatanın mutlak değerinin integrali (IAE),
zaman ağırlıklı hatanın mutlak değerinin integrali (ITAE),
hatanın karesinin integrali (ISE) ve zaman ağırlıklı hatanın
karesinin integrali (ITSE) ile belirtilen farklı minimum
performans kriterleri amaçlanarak her biri için ayrı ayrı servo
ve regülatif kontrol tuning korelasyonları oluşturulmuştur. Bir
çok kimyasal prosesin dinamik davranışı ise birinci dereceden
gecikmeli proses sistemi (FOPTD) olarak (yada yaklaşık
olarak) tanımlanabilir. Bu nedenle korelasyonlar bu proses
modeli için oluşturulmuştur.
1. Giriş
2. Tuning Korelasyonları
Tuning; istenen kapalı döngü cevabını elde edebilmek için,
geri beslemeli kontrol edici parametrelerinin ayarlanması
olarak ifade edilir. Tuning parametrelerinin değerleri, istenen
kapalı döngü cevabına ve kontrol döngüsündeki diğer
elemanların, özellikle prosesin, dinamik karakterine bağlıdır
[1]. Bu nedenle belirlenen bir sistem için, en uygun kontrol
parametrelerinin seçilmesini amaçlayan bir çok çalışma
yapılmış, literatürde bir çok tuning prosedürü ve formülü
geliştirilmiş ve ileri sürülmüştür. Bunlardan en çok bilineni ise
Ziegler-Nichols yöntemidir[2]. Bir diğer çalışma ise Zhuang
ve Atherton tarafından yapılmış ve hatanın karesinin integrali
(ISE) dahil bir çok minimum performans kriterlerini
amaçlayan tuning formüllerini ileri sürmüşlerdir[3].
Madhuranthakam ve ark.[4], birinci dereceden gecikmeli
proses modeli (FOPTD), ikinci dereceden gecikmeli proses
modeli (SOPTD) ve ‘lead’li ikinci dereceden gecikmeli
proses
modeli
(SOPTDLD)
için
proses
kontrol
parametrelerini, proses parametrelerine bağlayan tuning
korelasyonlarını içeren yeni bir oransal-integral-türevsel (PID)
kontrol edici tuning yöntemi ileri sürmüşlerdir[4].
Çalışmalarında, hatanın mutlak değerinin integrali (IAE)
minimizasyonunu amaçlanmış; servo ve regülatif kontrol
tuning korelasyonları ayrı ayrı elde edilmiştir. Kimya
endüstrisindeki birçok sürecin kontrolü oransal-integral geri
Önerilen metotta, Şekil 1’de gösterilen geri beslemeli kontrol
sistemi blok diyagramı kullanılmıştır. Bu diyagramda; GP(s)
proses transfer fonksiyonunu, GC(s) kontrol edicinin transfer
fonksiyonunu, d(s) bozucu giriş değişkeninindeki sapmayı,
u(s) kontrol edicinin çıkışını, r(s) set noktasının yatışkın
durumdan sapmasını ve y(s) ise kontrol edilen değişkenin
yatışkın durumdan sapmasını göstermektedir. Hata ise e(s) ile
gösterilmektedir ve (1) denklemi ile gösterildiği gibi
hesaplanmaktadır. Bu diyagramda, servo kontrol için, r(s)
değişkenine birim basamak etkisi uygulanırken, d(s) değeri
sıfır olarak ayarlanmış; regülatif konrol için ise,
d(s)
değişkenine birim basamak etkisi uygulanırken, r(s) değeri
sıfır olarak ayarlanmıştır.
Özetçe
(1)
İdeal oransal-integral kontrol edicinin transfer fonksiyonu ise
(2) denklemi ile gösterilmiştir.
(2)
KC oransal kazanç, τI ise integral sabitini göstermektedir.
782
belirlenen birinci dereceden gecikmeli proses parametreleri,
uygun ölçeklerle çarpılarak/bölünerek boyutsuzlaştırılırlar.
Boyutsuzlaştırılan
kontrol
edici
parametrelerinin,
boyutsuzlaştırılan proses parametrelerine karşı grafikleri
çizilir. Regresyon tekniği ile bu grafiklerden, basit ve doğru
korelasyonlar elde edilir.
Sonuç olarak, birinci dereceden gecikmeli proses modeli için,
her bir minimizasyon ölçütüne göre, (9) ve (10)
denklemlerinde gösterildiği gibi oransal – integral kontrol
edici parametrelerini proses parametrelerine bağlayan servo ve
regülator tuning korelasyonları elde edilmiştir.
Şekil 1: Geri Beslemeli Kontrol Sistemi Blok Diyagramı
Bu blok diyagramda sensör ve final kontrol elemanları ayrı
olarak gösterilmemiş, proses transfer fonksiyonu bloğunun bu
elemanları da içerdiği kabul edilmiştir. Bu proses transfer
fonksiyonu, GP(s) ise birinci dereceden gecikmeli proses
modeli (FOPTD) ile tanımlanmış ve (3) denklemi ile ifade
edilmiştir.
(9)
(10)
(3)
Elde edilen korelasyon grafikleri Şekil 2’de gösterilmiştir.
Elde edilen ve ileri sürülen tuning korelasyonları ise Tablo
1’de verilmiştir.
KP proses kazancını, τ1 proses zaman sabitini, θ ise ölü zamanı
göstermektedir.
Ayrıca, kullanılan minimizasyon ölçütleri; IAE, ITAE, ISE ve
ITSE ifadeleri sırasıyla (4), (5), (6) ve (7) denklemlerinde
ifade edilmiştir.
3. FOPTD Durum Çalışmaları
(5)
Bu bölümde farklı minimizasyon ölçütlerine göre elde edilen
korelasyonların performansı, çok iyi bilinen diğer tuning
yöntemleri; Ziegler – Nichols kapalı çevrim ve Cohen-Coon
tuning [6] yöntemlerinin performansları ile karşılaştırılmıştır.
Bu amaçla, 3 farklı örnek proses belirlenmiş ve bu proseslerin
transfer fonksiyonları sırasıyla (11), (12) ve (13) denklemleri
ile gösterilmiştir.
(6)
(11)
(4)
(7)
(12)
Çalışma sırasında sırasıyla şu basamaklar izlenmiştir:
Birinci dereceden gecikmeli (FOPTD) proses modeli
incelendiği için, bu proses tipinde; τ1, proses zaman sabiti ile
θ, ölü zaman değerleri, 1 ile 50 arasında değişen proses
modelleri kümesi oluşturulmuştur.
Belirlenen proses
modellerindeki, proses zaman sabitlerinin, ölü zaman
değerlerine oranı aralığı (8) denklemi ile gösterilmiştir.
(13)
Bu örnek proseslere, sırasıyla Ziegler-Nichols kapalı çevrim
yönteminden, Cohen-Coon yönteminden ve ileri sürülen
korelasyonlardan elde edilen oransal-integral kontrol edici
parametrelerinin kullanıldığı geri beslemeli kontrol sistemi
simulink programı ile uygulanmış ve simulasyon sonuçları
Şekil 3’de ve elde edilen cevaptaki en büyük aşım (Os),
yükselme zamanı (Tr), yerleşme zamanı (Ts) ve performans
kriterleri değerleri (IAE, ITAE, ISE ve ITSE) Tablo 2’de
verilmiştir. Şekil 3 ve Tablo 2 incelendiğinde, ileri sürülen
korelasyonların, klasik tuning yöntemleri olarak bilinen bu iki
yöntemden pek çok bakımdan, çok daha iyi sonuç verdiği
görülmüştür.
Şekil 3a, 3b ve 3c grafikleri; sırasıyla GP1, GP2, ve GP3
prosesleri için, set noktası değişimine verilen kapalı döngü
cevaplarıdır. Bu grafiklere karşılık gelen, performans değerleri
ise Tablo 2’de mevcuttur. Her üç durum çalışmasında da; ileri
sürülen korelasyonların cevabı, Ziegler-Nichols ve CohenCoon yöntemlerinden daha kısa yerleşme zamanı (Ts), daha
küçük en büyük aşım değeri (Os) ve daha küçük performans
kriterleri değerlerine (IAE, ITAE, ISE ve ITSE değerleri)
sahiptir. Özellikle, Ziegler-Nichols yönteminin, ölü
zaman/proses zaman sabiti oranı (θ/τ1) arttıkça, ileri sürülen
(8)
Belirlenen her proses modeli için Ziegler-Nichols kapalı
çevrim tuning yöntemi uygulanmış ve bu yönteme göre elde
edilen optimum oransal-integral kontrol edici parametreleri
(KC oransal kazanç ve τI integral sabiti) Matlab programında
yürütülen optimizasyon programında başlangıç değerleri
olarak kullanılmıştır.
Matlab ve Simulink programının eş zamanlı çalıştırılması ile
gerçekleştirilen optimizasyon işlemi ile sırasıyla birinci
basamakta belirlenen her proses modeli için
her bir
minimizasyon ölçütünün (IAE, ITAE, ISE ve ITSE)
değerlerinin minimum olduğu oransal-integral kontrol edici
parametreleri elde edilir.
Her bir minimizasyon ölçütü için; elde edilen optimum
oransal-integral kontrol edici parametreleri ve ilk basamakta
783
KcKp
8,0
KcKp
y = 0,4591x-1,126
R² = 0,9747
7,0
6,0
12,0
10,0
y = 0,4755x-1,269
R² = 0,9837
8,0
y = 0,4834x-1,21
R² = 0,9678
0,417x-1,174
y=
R² = 0,946
5,0
4,0
IAE- SERVO
6,0
ITAE-SERVO
4,0
IAE-LOAD
3,0
ITAE-LOAD
2,0
2,0
1,0
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
θ/(θ+τ1)
0,8
0,0
1,0
0,0
0,2
0,4
θ/(θ+τ1)
0,6
0,8
1,0
(e)
(a)
KcKp
9,0
KcKp
14,0
y = 0,478x-1,183
R² = 0,9982
8,0
12,0
7,0
y = 0,4342x-1,177
R² = 0,9938
6,0
y = 0,5387x-1,315
R² = 0,9905
10,0
8,0
5,0
4,0
3,0
ISE-SERVO
6,0
ITSE-SERVO
4,0
y = 0,5036x-1,288
R² = 0,9902
ISE-LOAD
2,0
1,0
2,0
0,0
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
θ/(θ+τ1)
0,8
1,0
ITSE-LOAD
0,0
0,2
0,4
θ/(θ+τ1)
0,6
0,8
1,0
(f)
(b)
τi/θ
τi/θ
4,0
12,0
y = 0,8197x-1,068
R² = 0,9609
10,0
y = 3,5423x2 - 6,7028x + 4,1042
R² = 0,9517
3,5
3,0
y = 0,7372x-1,1
R² = 0,9307
8,0
y = 2,1202x2 - 5,0508x + 3,666
R² = 0,9243
2,5
2,0
6,0
4,0
IAE-SERVO
2,0
ITAE-SERVO
1,5
IAE-LOAD
1,0
ITAE-LOAD
0,5
0,0
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
θ/(θ+τ1)
0,8
0,0
1,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
θ/(θ+τ1)
(g)
(c)
τi/θ
τi/τ1
20,0
y=
R² = 0,9949
18,0
16,0
14,0
3,5
3,0
y = 0,6721x-1,253
R² = 0,9856
12,0
y = 3,0447x2 + 1,5048x + 0,3332
R² = 0,977
4,0
0,7326x-1,331
y = 1,8377x2 + 2,1668x + 0,1714
R² = 0,9729
2,5
10,0
2,0
8,0
6,0
1,5
ISE-SERVO
4,0
ISE-LOAD
1,0
ITSE-LOAD
ITSE-SERVO
2,0
0,5
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0
θ/(θ+τ1)
0,0
0,2
0,4
θ/(θ+τ1)
0,6
0,8
1,0
(h)
(d)
Şekil 2: İleri sürülen korelasyonların elde edildiği, boyutsuz kontrol parametrelerinin boyutsuz proses parametrelerine karşı
grafikleri: (a,b, c ve d) servo kontrol, (e,f, g ve h) regülatif kontrol korelasyonlarını göstermektedir.
784
Tablo 1: İleri Sürülen Oransal-İntegral (PI) Tuning Korelasyonları
Tuning Parametresi
Servo Kontrol
IAE Minimizasyonu Korelasyonu
Regülatif Kontrol
KC
τI
ITAE Minimizasyonu Korelasyonu
KC
τI
ISE Minimizasyonu Korelasyonu
KC
τI
ITSE Minimizasyonu Korelasyonu
KC
τI
4. Sağlamlık Çalışmaları
korelasyonlardan ve Cohen-Coon yönteminden çok daha kötü
cevap verdiği görülebilir.
Ziegler-Nichols yöntemi, ikinci durum çalışmasında (θ/τ1
oranı 1 iken); yükselme zamanı değerinde, istenen set noktası
değeri üzerine çıkamamış ve set noktası değerinin altında
osilasyon yaparak, istenen set değerine çok geç ulaşmıştır.
Aynı durum, üçüncü durum çalışmasında (θ/τ1 oranı 2 iken);
çok daha net olarak görülebilmektedir. Hatta, bu durumda
yerleşme zamanına kadar istenen set noktasına hiç
ulaşılamamıştır. Dolayısıyla; yükselme zamanı, yerleşme
zamanına eşit olmuştur. Durum çalışmalarındaki yükselme
zamanları kıyaslandığında ise; ilk iki durum çalışmasında,
Cohen-Coon
yönteminin
nispeten
ileri
sürülen
korelasyonlardan daha kısa yükselme zamanına sahip olduğu
ancak, θ/τ1 oranının 2 olduğu üçüncü durum çalışmasında ise
ileri sürülen korelasyonların daha küçük yükselme zamanına
sahip olduğu görülmektedir.
Şekil 3d, 3e ve 3f grafikleri; sırasıyla GP1, GP2, ve GP3
prosesleri için, bozucu etki değerindeki birim değişime
verilen kapalı döngü cevaplarıdır. Bu grafiklere karşılık
gelen, performans değerleri ise Tablo 2’de mevcuttur. Her üç
durum çalışmasında da; ileri sürülen korelasyonların
cevabından elde edilen performans kriterleri değerlerinin
(IAE, ITAE, ISE ve ITSE), diğer yöntemlerden elde edilen
değerlere göre daha düşük olduğu Tablo 2’den
görülebilmektedir. (Sadece üçüncü durum çalışmasında
Cohen-Coon yönteminden elde edilen ITAE değeri ileri
sürülen korelasyonlardan daha düşük olarak elde edilmiştir.)
Ayrıca, θ/τ1 oranının nispeten yüksek olduğu ikinci ve
üçüncü proses tipinde, servo kontrol kısmında olduğu gibi,
yine Ziegler-Nichols yönteminin, set noktasına ulaşmadan
osilasyon yaparak, çok geç set değerine ulaştığı
görülmektedir.
Bir
kontrol
sisteminin
sağlamlığının
(robustness)
değerlendirilmesi genel olarak; o sistemdeki proses
parametrelerini rastgele değiştirirken, proses kontrol
parametrelerini sabit tutarak gerçekleştirilir. Bu çalışma;
(proses modellerinde kesinlik olmadığı yada hata olduğu
durumlar) proses parametrelerinde değişiklik olduğunda, öne
sürülen kontrol parametrelerinin performansının nasıl
değiştiğini test etmek amacıyla yapılır. Öne sürülen
korelasyonların
proses modeli parametreleri belirsizliği
karşısında sağlamlığını test etmek için, denklem (14) ile
belirtilen proses modelinin parametreleri, % 20 oranında
değiştirilirken, proses kontrol parametreleri aynı bırakılmış
ve bu durumda sistemdeki performans değişimi
incelenmiştir[7]. Proses modelinin parametreleri, % 20
oranında değiştirilirek elde edilen proses modeli denklem
(15) ile gösterilmiştir.
(14)
(15)
Kullanılan proses kontrol parametreleri Tablo 3’de, elde
edilen performans değerleri ise Tablo 4’de gösterilmiştir.
Sağlamlık açısından,
Ziegler-Nichols ve Cohen-Coon
yöntemleri ile karşılaştırabilmek amacıyla, simülasyon
grafikleri Şekil 4’de verilmiştir. Şekil 4a, GP4 proses
modelinin, ileri sürülen IAE minimizasyonu korelasyonu,
Ziegler-Nichols yöntemi ve Cohen-Coon yönteminden elde
edilen tuning parametrelerinin kullanıldığı set noktasında
birim değişim için kapalı döngü cevabını göstermektedir.
785
(a) τ1=5, θ=1
(d) τ1=5, θ=1
(b) τ1=5, θ=5
(e) τ1=5, θ=5
(c) τ1=5, θ=10
(f) τ1=5,θ=10
Şekil 3: Korelasyonların diğer tuning yöntemleri ile karşılaştırıldığı durum çalışmaları grafikleri*
Tablo 2: Durum çalışmalarında kullanılan tuning parametreleri ve elde edilen performans değerleri*
Servo Kontrol
Proses
Metod
Kc
τi
Tr
Z-N
3.86
3.08
C-C
4.58
2.35
Regülatif Kontrol
ITAE
ISE
ITSE
Kc
τi
IAE
ITAE
ISE
ITSE
2.71
6.24
1.72
2.10
3.86
3.08
0.802
3.09
0.136
0.419
3.97
15.48
2.30
4.68
4.58
2.35
0.790
3.69
0.110
0.340
Ts
Os
IAE
2.20
7.25
1.44
2.00
12.25
1.74
PMIAE
3.45
5.56
2.50
4.55
1.17
2.15
-
-
-
4.62
3.09
0.712
-
-
-
PMITAE
3.42
5.29
2.50
4.65
1.18
-
3.44
-
-
4.23
2.88
-
2.70
-
-
GP1(s)
PMISE
3.98
7.95
2.3
7.15
1.20
-
-
1.50
-
5.68
3.34
-
-
0.099
-
PMITSE
3.58
6.34
2.50
7.05
1.16
-
-
-
1.24
5.06
2.92
-
-
-
0.310
Z-N
1.03
12.91
11.90
46.45
-
12.56
192.5
7.45
38.62
1.03
12.91
12.55
317.3
4.43
68.96
C-C
0.983
5.69
10.10
40.15
1.38
12.18
136
7.69
40.0
0.983
5.690
8.309
142.4
3.52
44.49
PMIAE
1.00
8.59
10.9
29.6
1.14
9.91
-
-
-
1.15
8.191
7.70
-
-
-
PMITAE
0.94
7.90
11.20
29.85
1.13
-
74.29
-
-
1.12
8.35
-
125.4
-
-
PMISE
1.09
9.22
10.30
28.95
1.174
-
-
7.02
-
1.34
9.23
-
-
3.20
-
GP2(s)
GP3(s)
*
PMITSE
0.98
8.01
10.80
29.65
1.155
-
-
-
28.08
1.23
8.57
-
-
-
40.72
Z-N
0.691
22.88
116.8
116.8
-
31.79
1103
16.61
244.7
0.691
22.88
31.27
1502.1
13.40
422.3
PMIAE: IAE minimizasyonu için ileri sürülen korelasyonlar yöntemi
PMITAE: ITAE minimizasyonu için ileri sürülen korelasyonlar yöntemi
PMISE: ISE minimizasyonu için ileri sürülen korelasyonlar yöntemi
PMITSE: ITSE minimizasyonu için ileri sürülen korelasyonlar yöntemi
Z-N: Ziegler-Nichols tuning yöntemi
C-C: Cohen-Coon tuning yöntemi
786
C-C
0.533
7.35
21.10
55.15
1.20
19.12
269.4
13.97
108.54
0.533
7.342
17.15
461.8
10.12
224.1
PMIAE
0.72
12.64
20.10
51.45
1.09
18.74
-
-
-
0.795
12.11
17.07
-
-
-
PMITAE
0.67
11.52
20.70
52.05
1.07
-
263.8
-
-
0.79
12.41
-
513.0
-
-
PMISE
0.77
12.57
19.20
50.55
1.15
-
-
13.31
-
0.92
13.45
-
-
9.17
-
PMITSE
0.70
11.17
19.90
51.55
1.13
-
-
-
100.5
0.85
12.16
-
-
-
207.2
(a)
(b)
Şekil 4: Sağlamlık Çalışmaları Grafikleri*
Tablo 3: Sağlamlık Çalışmalarında Kullanılan Tuning Parametreleri*
Metot
PMIAE
PMITAE
PMISE
PMITSE
ZN
CC
KC
0.26
0.24
0.28
0.26
0.281
0.2867
τI
2.18
2.02
2.48
2.12
2.742
1.4328
Tablo 4: Sağlamlık Çalışmalarında Elde Edilen Performans Değerleri*
Proses
Önerilen metot
Ziegler - Nichols
Cohen-Coon
IAE
ITAE
ISE
ITSE
IAE
ITAE
ISE
ITSE
IAE
ITAE
ISE
ITSE
GP4(s)
2.05
3.03
1.44
1.14
2.19
4.86
1.44
1.21
2.85
7.85
1.70
2.16
GP5(s)
4.77
18.8
2.67
6.45
5.39
38.7
2.53
7.99
8.20
89.7
3.68
22.4
Şekil 4b ise, GP5 proses modelinin, yine aynı tuning
parametrelerinin kullanıldığı set noktasında birim değişim
için kapalı döngü cevabını göstermektedir. Bu durumda
oluşan, performans değişimine bakıldığında Ziegler-Nichols
ve ileri sürülen korelasyonlarda yaklaşık olarak aynı derecede
değişim olduğu görülmüştür (Tablo 4). Ancak, Cohen- Coon
yönteminde ise proses parametrelerinin değişmesi ile sistem
kararlı olmayan cevap vermiştir.
Kaynakça
[1] C. A. Smith, Principles and Practice of Automatic
Control, 2 ed.: John Wiley & Sons, Inc., 1997.
[2] J. Ziegler and N. Nichols, "Optimum settings for
automatic controllers," trans. ASME, vol. 64, 1942.
[3] M. Zhuang and D. P. Atherton, "Automatic Tuning of
Optimum Pid Controllers," Iee Proceedings-D Control
Theory and Applications, vol. 140, pp. 216-224, May
1993.
[4] C. R. Madhuranthakam, A. Elkamel, and H. Budman,
"Optimal tuning of PID controllers for FOPTD, SOPTD
and SOPTD with lead processes," Chemical
Engineering and Processing, vol. 47, pp. 251-264, Feb
2008.
[5] M. W. Foley, N. R. Ramharack, and B. R. Copeland,
"Comparison of PI controller tuning methods,"
Industrial & engineering chemistry research, vol. 44,
pp. 6741-6750, 2005.
[6] G. Cohen and G. Coon, "Theoretical consideration of
retarded control," Trans. Asme, vol. 75, pp. 827-834,
1953.
[7] S. Tavakoli and M. Tavakoli, "Optimal tuning of PID
controllers for first order plus time delay models using
dimensional analysis," in Control and Automation,
2003. ICCA'03. Proceedings. 4th International
Conference on, 2003, pp. 942-946.
4. Sonuçlar
Bu makalede; proses kontrol parametrelerini, proses
parametrelerine bağlayan tuning korelasyonlarını içeren yeni
oransal-integral kontrol edici tuning korelasyonları ileri
sürülmüştür. Elde edilen korelasyonların performansı,
belirlenen üç örnek durum çalışmasında incelenmiş ve diğer
tuning yöntemlerinin performansları ile karşılaştırılmıştır.
İleri sürülen yöntemin, özellikle yerleşme zamanı (Tr), en
büyük aşım değeri (Os) ve minimizasyonu istenen
performans kriteri (IAE, ITAE, ISE veya ITSE) bakımından
bu yöntemlerden daha iyi sonuç verdiği görülmüş, özellikle
ölü zaman/proses zaman sabitinin nispeten yüksek olduğu
durumlarda bu yöntemlere göre çok daha iyi performans
gösterdiği görülmüştür. Ayrıca, ileri sürülen yöntemin
sağlamlılık çalışmaları gerçekleştirilmiş ve tüm proses
parametrelerinde % 20 değişim olması durumunda
gerçekleşen performans değişimi incelenmiştir.
787
Doğrusal Olmayan Sistemlerin Optimal Denetimi için
Yakınsama Yaklaşımı ve Uygulaması
Nurdan Bilgin1, Metin U. Salamcı2
1
Gazi Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi,
Makine Mühendisliği Bölümü
Otomatik Kontrol Laboratuvarı, Maltepe/Ankara
[email protected]
2
Gazi Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi,
Makine Mühendisliği Bölümü, Maltepe/Ankara
[email protected]
Doğrusal olmayan sistemler için durum geri besleme
denetimci tasarımı da önemli yer tutmaktadır. Bu alandaki
yaklaşımlardan biri, Durum Değişkenine Bağlı Riccati
Denklemi çözümleri kullanılarak bir nevi durum değişkenine
bağlı geri besleme kazanç katsayıları kullanmayı öneren
SDRE (State Dependent Riccati Equation) yöntemidir.
Yöntem, doğrusal olmayan sistemlerin denetim tasarımında
özellikle benzetimlerde oldukça tatminkar sonuçlar verirken,
sadece lokal kararlılığın ispatlanmış olması nedeniyle
uygulama alanında aynı ölçüde çalışma sonuçları
yayınlanmamıştır [6].
Özetçe
Bu çalışmada, doğrusal olmayan sistemlerin denetimi için
ardışık Doğrusal Zamanla Değişen (DZD) sistemlerin
yakınsama algoritması ele alınarak denetici girişi –yakınsama
modelindeki durum değişkenleri cinsinden- yeniden
düzenlenmektedir. Önce ardışık doğrusal zamanla değişen
yakınsamanın, doğrusal olmayan sistem için var olan optimal
denetimi belirlemede kullanılabileceği gösterilmekte, daha
sonra ardışık doğrusal zamanla değişen sistem için optimal
denetim algoritması kullanılarak bu denetimin doğrusal
olmayan sisteme uygulanabilmesi sağlanmaktadır. Yöntemin
geçerliliği, rijit bir uydu modelinin konumunun optimum
denetimi amacıyla benzetimlerle gösterilmektedir.
Doğrusal olmayan sistemlerin durum geri besleme denetimci
tasarımı için diğer bir yaklaşım ise, doğrusal olmayan
sistemlerin, yine ardışık Doğrusal Zamanla Değişen (DZD)
sistemler olarak ele alınması yaklaşımıdır. Bu yaklaşım ile
ilgili teorik sonuçlar daha önceki çalışmalarda verilmiştir [1,
2, 7-8]. Özetle; önce doğrusal olmayan sistem, durum
değişkenine bağlı katsayılar matrisleri oluşturularak durum
değişkenleri ve denetim giriş vektörleri cinsinden doğrusal
hale getirilmektedir. Daha sonra, ardışık olarak durum
değişkenine bağlı katsayılar matrisi (durum değişkenlerine
bağlı olarak) değerlendirilmek suretiyle doğrusal zamanla
değişen sistemler elde edilmektedir. Böylelikle denetim
algoritmasının ardışık DZD sistemler için tasarlanması
mümkün olabilmektedir. Diğer bir ifade ile, ardışık DZD
sistemler için durum geri besleme veya optimum denetim
tasarımı gibi farklı denetim tasarımları yapılabilmektedir.
1. Giriş
Doğrusal olmayan dinamik sistemlerin denetimi, matematik,
fizik ve mühendislik alanlarında, çoğunlukla gerçek
sistemlerin doğrusal olmamaları nedeniyle, önemli bir
araştırma alanını oluşturmaktadır. Uygulama kolaylığı
nedeniyle, bazı kabullerle sistemleri belirli çalışma aralıkları
içerisinde doğrusallaştırarak (veya doğrusal kabul ederek)
denetim algoritmaları tasarlamak yaygın ve geçerli bir yöntem
olarak kabul görmüştür. Ancak günümüz teknolojisinde,
özellikle robotik, havacılık ve savunma sanayi gibi yüksek
doğruluk
gerektiren
alanlarda
dinamik
sistemleri
doğrusallaştırma yaklaşımı yeterli olmamaktadır. Bu durum
araştırmacıları doğrusal olmayan sistemler için geçerli olacak
yeni yöntemler geliştirmeye yönlendirmiştir. Bu yöntemlerden
birisi, doğrusal olmayan sistemlerin ardışık doğrusal zamanla
değişen sistemler dizisi olarak ele alınmasına dayanmaktadır
[1-3]. Doğrusal olmayan sistem, ardışık doğrusal zamanla
değişen sistemler dizisi olarak ele alındığında, doğrusal
sistemler için geliştirilmiş birçok denetim algoritması doğrusal
olmayan sistemler için de kullanılabilir olmaktadır. Böylelikle
yöntemin
çok
değişik
alanlarda
uygulanabilmesi
sağlanmaktadır. Örneğin, doğrusal olmayan sistemlerin ardışık
doğrusal zamanla değişen sistemler olarak ele alınması ile
kayan kipli denetim tasarımı ve doğrusal olmayan sistemin
denetiminin gerçekleştirilmesine yönelik farklı çalışmalar
litaratürde yerini almıştır [4-5].
Bu çalışmada, ardışık DZD yaklaşımının optimum denetim
tasarımı ile ilgili uygulamaları ele alınmaktadır. Daha önce
yapılan çalışmalarda, ardışık DZD sistemi için tasarlanan
optimum denetimin DZD sisteme uygulanması sonucunda
elde edilen zaman cevabının doğrusal olmayan sistemin zaman
cevabına yakınsadığı ispat edilmiştir [7-10]. Ancak, ardışık
DZD sistemi için tasarlanan optimum denetimin doğrusal
olmayan sistemin optimum denetimi olduğu kanıtlanmamıştır.
Bu çalışmada, doğrusal olmayan sistem için tasarlanmış
optimum denetimin ardışık DZD sistemleri yardımıyla elde
edilebileceği gösterilmiş, daha sonra doğrusal olmayan
sistemler ardışık DZD ile modellenerek optimum denetim
tasarlanmıştır. Önerilen algoritma, optimum denetimin
788
[ ]
aralığında
,
ise
{ [ ] ( )}
( )
denilebilmektedir. Böylelikle, doğrusal olmayan sistem,
ardışık DZD sistemleri ile modellenebilmekte ve doğrusal
olmayan sistemin analizi veya doğrusal olmayan sistem için
denetim algoritması tasarımı ardışık DZD sistemleri
vasıtasıyla yapılabilmektedir [1-5, 7-10]. Bu çalışmada,
doğrusal olmayan sistem için optimum denetimci tasarımı için
ardışık DZD modelleri kullanılmaktadır.
belirlenmesi için daha önce önerilmiş başka bir yakınsama
algoritmasının [11] sonuçlarının bulunmasında kullanılmıştır.
İlgili makalede seçilen örnek, kolaylık sağlaması açısından bu
çalışmada
da
kullanılarak,
her
iki
yöntemin
karşılaştırılabilmesi sağlanmıştır. Bu çalışmada daha önce
yapılan çalışmalardan farklı olarak hem sistem denklemlerinde
hem de optimum denetimin belirlenmesinde yakınsama
yaklaşımı kullanılmıştır. Önerilen yöntem, doğrusal olmayan
sistem için optimal bir denetim varsa bu denetimin ardışık
DZD algoritması ile bulunmasını garanti etmektedir. Bu
amaçla çalışma, bölüm 3’de özet olarak verilen Taylor serileri
temelinde, doğrusal olmayan sistemler için yaklaşık optimum
denetim öneren yaklaşım [11] ile karşılaştırılarak, bu
çalışmaya konu olan yöntemin uygulama kolaylığı açısından
avantajları sergilenmektedir.
3. Taylor Seri Açılımı Temelli Yöntem
Doğrusal olmayan sistemlerin optimum denetiminin
belirlenmesi için farklı yöntemler önerilmektedir. Bu bölümde
Chen ve arkadaşları tarafından [11]’de önerilen yöntem, bu
çalışmada verilen yöntemin karşılaştırılması için, ele
alınmıştır. [11]’de doğrusal olmayan sistemin optimum
denetim problemi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
Çalışmanın 2. bölümünde ardışık DZD yakınsama yöntemi, 3.
bölümünde ise doğrusal olmayan sistemlerin optimum
denetiminin belirlenmesi amacıyla [11]’de tanımlanan yöntem
aktarılmaktadır. 4. bölümde ise optimum denetim için
geliştirilen yöntemin temel teorisi aktarılmaktadır. Ardından
bölüm 5’de önerilen yöntem bir rigit uydu modeline
uygulanmakta ve elde edilen benzetim sonuçları
sunulmaktadır. Sonuçlar ise 6. bölümde tartışılmaktadır.
(T1)
( )
̇( )
(K1) ( )
Taylor serisi açılımıyla denge (veya çalışma noktası) etrafında
doğrusal olmayan sistemlerin doğrusallaştırılması, sistem
davranışının çalışılmasında ve uygun denetçi tasarımında
oldukça yaygın olarak kullanılmaktadır. Ancak bu yöntem
denge noktalarının yakın komşuluklarında etkilidir ve
doğrusal olmayan sistemin tüm çalışma koşulları için
geçerliliğini genellikle koruyamaz. Bu bölümde, doğrusal
olmayan sistemlerin bir grubu için doğrusal olmayan sistemin,
ardışık doğrusal zamanla değişen sistemler olarak ele alınması
olarak ifade edilebilen yakınsama tekniği (sayfa sınırlaması
nedeniyle ispatı verilmeksizin) anlatılmaktadır (İspat için
bknz. [1-3]). Aşağıdaki gibi doğrusal olmayan sistem
düşünülürse,
( )
( )
(K2)
̇[
](
̇ [ ]( )
[ ](
)
(
(
[
[
](
](
[ ](
)
))
))
[
[ ](
](
)
)
[
[ ](
](
)
( )
( )
( )
( )
Burada
( )
∑
( )
∑
ve
( ) kuvvet
( ) ’in kuvvet
( )
(K4) kabulüyle, optimum geribesleme denetim girişi aşağıdaki
gibi tanımlanabilir,
( )
( )
( )
( )
Burada (T1)’de verilen ( ), Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)
eşitliğini sağlayan fonksiyonun değeridir. (İspat için Bkz.
[11])
( )
( )
(
( )
)
( )
(
)
( ( )) ( )]
() ()
( ) ( ) ( ) ( ) analitik
sonsuza dek türevlenebilir fonksiyonlardır.
(K5)
serisi
( )
)
( )
(K4) (T1) ile verilen tanım optimal denetim olarak kabul
edilir.
( )
( )
( ( )) ( )
( )
(K3) ( )
serisini temsil etmekte ve ( )
Durum değişkenlerine bağlı katsayı matrisi ( )’in Lipschitz
koşulunu sağladığı varsayılarak, (1)’de verilen doğrusal
olmayan sistemin, takibeden doğrusal zamanla değişen
sistemler olarak ifade edilmesi mümkündür.
̇ [ ]( )
( ( ))
( ( )) ( )
Burada ( ) minimize edilecek karesel bir maliyet fonksiyonu
( )
[
ve ( )
) dir. Aynı çalışmada
optimum denetimin belirlenmesi için aşağıdaki kabuller
yapılmaktadır.
2. Yakınsama Yöntemi: Doğrusal Olmayan
Sistemin, Doğrusal Zamanla Değişen Sistemler
Olarak Ele alınması
̇
∫ [ ( )
( )
( )
)
( )
( )
( )
( )
Bu dizinin çözümü, { [ ] ( )} ,doğrusal olmayan sistemin
çözümüne yakınsar, başka bir ifade ile t belirli bir zaman
789
(K1)-(K5)’de verilen kabüller temelinde, ( ) ( )( ) ( )
()
() ()
()
( ) fonksiyonları orijin etrafında
kuvvet (Taylor) serileriyle açılabilir, yani;
( )
( )
( )
∑
∑ ( )
( )
∑
yerine, sistemin her bir yakınsama için, herbir adımda bir
önceki yakınsamanın aynı adımında üretilen durum
değişkenlerini ve sistem matrislerini kullanarak çözdüğü
Diferansiyel Riccati Denkleminin sonucunu kullanması yolu
gözetilmiştir. Diferansiyel Riccati denklemi, son değeri sıfır
olarak verilerek geri integrasyon yöntemiyle çözülmüştür.
Özetle, doğrusal zamanla değişen sistem için optimal geri
besleme kazanç katsayı matrisinin bulunması, yukarıda
bahsedilen yaklaşımla
( )
( )
( )
̇ [ ]( )
( )
∑ ( )
( )
( )
[ ](
( )
[]
( )
( )
Burada ( )
( ) i. dereceden uygun olan
skaler veya matris polinomları temsil etmektedir. Aşağıda bu
çalışmanın konusu yöntem anlatılmakta, ardından [11]’de
verilen örnek her iki yöntemle tekrar çözülerek
karşılaştırılmaktadır.
( )
( )
[]
( ( )
( ) ( ))
( )
( )
̃( )
(
̃( )
[ ](
[ ](
)
)
)
(
(
̃( )
](
)
̃(
̃(
̇ [ ]( )
[
[
](
](
))
))
[
[ ](
](
)
[
)
[ ](
)
](
)
̇
[ ]
̇
)
(
)
(
)
[ ](
)}
[
](
[]
))
( )
( )
[
](
))
[]
()
[
]
[
]
Minimize edilecek karesel maliyet fonksiyonundaki ağırlık
( )
[
[
]
ve
başlangıç
koşulları
]
Bölüm 3’de verilen yöntemle bulunan optimum denetim girişi
fonksiyonunun beşinci dereceden yaklaşık değeri aşağıdaki
gibi bulunmuştur [11].
Bölüm 2’deki yaklaşımla, bu dizinin çözümü de,
{ [ ] ( )} ,doğrusal olmayan sistemin çözümüne yakınsar,
aynı şekilde t belirli bir zaman aralığında [ ] , ise
{
(
( )
matrisleri,
̇[
))
Aşağıdaki örnekte, bölüm 3 verilen optimum denetim
belirleme yöntemi sonucunda elde edilen denetim girişi,
ardışık DZD yardımıyla elde edilmektedir. Böylelikle,
doğrusal olmayan sistemler için varsa optimum denetimin
ardışık DZD ile belirlenebileceği gösterilmektedir. Örnek
[11]’den alınmıştır. Sürekli karıştırılan tank reaktörün sistem
denklemleri,
̃ ( ) matrisinin Lipschitz koşulunu sağladığı kabul
edilmektedir. Uygun kazanç katsayısı bulunabildiğinde,
(10)’da verilen doğrusal olmayan sistemin, ardışık doğrusal
zamanla değişen sistemler olarak ifade edilmesi mümkündür.
̇ [ ]( )
](
şeklinde bulunur.
( )
( )
))
[]
))
( )
̇
formuna dönüşür. Kapalı çevrim sistem matrisi, ̃ ( )
( )
( ) ( ) şeklinde tanımlanırsa, sistem aşağıdaki gibi
yazılabilir;
̇
](
](
[
elde edilir. Burada yakınsama sayısını ifade etmektedir. Elde
edilen kazanç katsayısının, sistemin çözümünde yerine
konulmasıyla kapalı çevrim sistem denklemi
( ) ( ) var
Doğrusal olmayan sistem için optimal bir
olduğu kabul edilirse, optimum geri besleme kazanç katsayı
matrisi ardışık DZD ile tanımlanabilir, yani [ ] ( )
( ) ( )
( [ ] ( )) şeklinde yazılabilir [12]. Böylece
(8)’de yerine konularak, denklemin yeni şekli
̇
[
[
( ) (
şeklinde ifade edilebilen (İspat için bknz. [7, 8]), simetrik,
yarı-pozitif tanımlı denkleminin çözümü ile
Bu çalışmada aşağıdaki gibi tanımlanabilen doğrusal olmayan
sistemler ele alınmaktadır. Sistem, durum değişkenlerine bağlı
katsayılar matrisleri kullanılarak standart doğrusal sistem
formuna benzetilmektedir.
( )
( ) (
(
4. Yakınsama Yönteminin Optimal Denetim için
Genişletilmesi
̇
[]
)
( )
( ) denilebilmektedir.
Uygun kazanç katsayısının bulunması problemine geri
dönülürse, başka yöntemlerle kazanç katsayısı oluşturmak
790
Belirlenen denetim girişi, bir kez de ardışık DZD yaklaşımı ile
hesaplanmaktadır. Verilen örneğin, bölüm 3 ve bölüm 4’de
anlatılan yöntemlerle çözümünün benzetim sonuçları
aşağıdaki gibidir.
İkinci Durum Değişkenleri x2 karşılaştırılması
3
x2 Önerilen Yöntem
x2 Yue Chen ve ark.
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
200
250
300
Zaman, sn
Şekil 2: İkinci durum değişkenleri
karşılaştırılması
Şek. 3’te iki yöntemin kullandığı denetim girişleri-zaman
değişimi karşılaştırılmaktadır.
Şekil 1: Birinci durum değişkenleri
Kontrol Girişleri Karşılaştırılması
karşılaştırılması
0.2
Şek. 1-3’te bölüm 3 ve 4’de anlatılan iki yöntemin
çözümlerinin karşılaştırılması verilmektedir. Şek.1’de birinci
durum değişkenlerinin karşılaştırması vardır, birbirine çok
yakın olduğu için (Şek.1’de görüleceği gibi) her iki yöntemin
çözümü çakışık görünmektedir. Farkı gösterebilmek açısından,
Şek.1’nin 16 ve 18. saniyeler arasındaki davranışı
büyütülerek, grafiğe eklenmiştir. Buradaki amaç, yöntemlerin
birbirine benzer fakat aynı olmayan davranışının ortaya
konulmasıdır.
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
Şek.2’de ve Şek. 3’te de benzer davranış görülmektedir. Aynı
sonuca ulaşıldığı halde bölüm 3’de anlatılan yöntemin işlem
yoğunluğu, yöntemin ikiden fazla durum değişkeni olan
sistemlerde kullanabilirliğini kısıtlamaktadır. Taylor serisi
açılımının birden çok değişkenli sistemler için Eş. 14 ile ifade
edildiği düşünüldüğünde, bu yöntemin kullanımının çok
değişkenli sistemler için zorlaştığı, hatta neredeyse imkansız
hale geldiği söylenebilir.
(
∑
)
(
-0.4
-0.5
0
(
50
100
150
200
250
300
Zaman, sn
Şekil 3: Denetim girişleri karşılaştırılması
5. Rijit Uydu Matematik Modeli ve Benzetim
Sonuçları
∑ ∑
)
u Önerilen Yöntem
u Yue Chen ve ark.
)
(
)(
)(
)
Bölüm 4’de anlatılan yöntemin ise değişken sayısına bağlı bir
kısıtı yoktur. Bu çalışmada önerilen yöntemin uygulama
kolaylığı, beşinci bölümde altı durum değişkenli rijit uydu
modelinin optimal denetiminin belirlenmesi ve benzetimleri
ile sunulmaktadır.
Yukarıda teorik arka planı sunulan yöntem, doğrusal olmayan
hareket denklemlerine sahip bir uydu modeline uygulanarak
geçerliliği sınanmaktadır. Uydu modeli [13] nolu kaynaktan
alınmış olup, hareket denklemleri aşağıdaki gibi verilmektedir.
̇
̇
(
̇
791
)
Konum Açılarında Yakınsaklığın Gösterimi
]
] [
[
[ ]
20
Yunuslama[Pitch] Açısı (deg.)
̇
[ ̇ ]
̇
) sırasıyla yalpa, yunuslama ve sapma açıları,
Burada: (
(
) ise uydunun açısal hız bileşenleridir. uydunun,
simetrik pozitif tanımlı atalet momenti matrisidir. Kullanılan
kaynakta belirtilmediği için bu çalışmada atalet moment
matrisi aşağıdaki gibi alınmıştır.
[
]
15
10
5
0
-5
0
Burada, (
) gaz jet motoru tarafından sağlanan torkları
temsil etmektedir. Bölüm 4’de verilen kontrol algoritması ile,
doğrusal olmayan dinamik uydu modelinin kontrolünün
benzetim sonuçları aşağıda verilmektedir. Her yakınsamanın
ilk değeri
1. Yakınsama.
3. Yakınsama.
5. Yakınsama.
Doğrusallaştırılmış
50
100
Zaman (sn.)
150
200
Şekil 5: Yunuslama açısı için yakınsaklığın gösterimi.
5
] alınmıştır.
0
Sapma[Yaw] Açısı(deg.)
[
ve
[
[
]
-5
-10
-15
1. Yakınsama.
3. Yakınsama.
5. Yakınsama.
-20
-25
] tamamen keyfi olarak seçilmiştir.
-30
0
Grafiklerde,
doğrusallaştırılmış
sistemin
cevabı
ve
yakınsamaların sabit bir çözüm kümesine yakınsadığının
görülmesi açısından 1, 3 ve 5. yakınsamaların grafikleri
verilmiştir.
50
100
Zaman (sn.)
150
200
Şekil 6: Sapma açısı için yakınsaklığın gösterimi.
Açısal Hızların Yakınsaklığının Gösterimi
0.4
Yalpa[Roll] Açısı Değişimi(deg/s)
Şek. 4’de uydunun yalpa açısının zamana bağlı değişimi
görülmektedir. Şek. 5’te ise uydunun yunuslama açısının
zamana bağlı değişimi görülmektedir. Sapma açısının zamana
bağlı değişimi ise Şek.6’da verilmektedir.
30
1. Yakınsama.
3. Yakınsama.
5. Yakınsama.
Yalpa[Roll] Açısı(deg.)
25
20
15
0.2
0
-0.2
-0.6
-0.8
-1
0
10
1. Yakınsama.
3. Yakınsama.
5. Yakınsama.
-0.4
50
100
Zaman (sn.)
150
200
5
Şekil 7: Yalpa açısının değişimi için yakınsaklığın gösterimi.
0
Şekil 7-9 sırasıyla yalpa, yunuslama ve sapma yönlerindeki
açısal hız değişimlerini göstermektedir.
-5
0
50
100
Zaman (sn.)
150
200
Şekil 4: Yalpa açısı için yakınsaklığın gösterimi.
792
Yunuslama[Pitch] Açısı Değişimi (deg/s)
6. Sonuçlar
0.2
Doğrusal olmayan sistemlerin, ardışık doğrusal zamanla
değişen sistemler dizisi olarak ele alınabileceği dikkate
alınarak, önce doğrusal olmayan sistemler için var olan
optimum denetimin ardışık DZD yaklaşımı ile bulunabileceği
gösterilmiştir. Daha sonra, doğrusal olmayan sistem için
optimum denetim tasarlamak yerine ardışık DZD için
optimum denetim tasarlayıp bunun doğrusal olmayan sisteme
uygulanabileceği gösterilmiştir. Yöntem bir rijit uydu
modelinin denetimine uygulanmıştır.
0
-0.2
1. Yakınsama.
3. Yakınsama.
5. Yakınsama.
-0.4
-0.6
0
50
100
Zaman (sn.)
150
Kaynakça
[1] Salamcı, M. U., “Two new switching surface design
techniques for nonlinear systems with their applications
to missile control” Doktora Tezi, ODTÜ Fen Bilimleri
Enstitüsü, Ankara, 1999.
[2] Bilgin, N., “Esnek sistemlerin kayan kipli denetimi ve bir
uydu modeline uygulanması” Yüksek Lisans Tezi, Gazi
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 2007.
[3] Tomás-Rodríguez, M., Banks S. P., “Linear, Timevarying Approximations to Nonlinear Dynamical
Systems with Applications in Control and Optimization”,
Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2010.
[4] Bilgin, N., Salamcı M.U., “Esnek kanada sahip bir uydu
modeli için kayan kipli denetci tasarımı”, 13. UMTS,
309-316, 2007.
[5] Salamcı, M. U., and Banks, S.P., “Optimal Sliding
Surface Design for a Class of Nonlinear Systems”, 4th
International Conference on Optimization: Techniques
and Applications, 2:743-750, Perth, Australia, (1998).
[6] Çimen, T., “Survey of State-Dependent Riccati Equation
in Nonlinear Optimal Feedback Control Synthesis”,
Journal Of Guidance, Control, and Dynamics, Vol. 35,
No. 4, s.1025-1048, 2012.
[7] Banks, S.P., Dinesh, K., “Approximate Optimal Control
and Stability of Nonlinear Finite and InfiniteDimensional Systems.”, Ann. Op. Res. 98, 19–44 (2000).
[8] Çimen, T., Banks, S.P., “Global optimal feedback control
for general nonlinear systems with nonquadratic
performance criteria”, Systems & Control Letters,
53:5,327–346, 2004.
[9] Bilgin, N., Salamcı, M. U., “Bir Uydu Modelinin Kayan
Kipli Denetçi ile Konum ve Titreşim Kontrolü için iki
Farklı Denetim Yöntemi”, TOK 2011 İzmir.
[10] Bilgin, N., Salamcı, M. U., “Rijit bir uydu için durum
geri besleme denetim algoritması tasarımı”, UMTS 2013,
Erzurum.
[11] Chen Y., Edgar T., Manousiouthakis V., “On infinitetime nonlinear quadratic optimal control, Systems &
Control Letters 51 259 – 268, 2004.
[12] E.W. Kamen, P. P. Khargonekar, A. Tannenbaum,
“Control of Slowly-Varying Linear Systems”, IEEE
Transactions on Automatic Control, 34(12):1283-1285
(1989).
[13] Marino, R., Tomei P., "Nonlinear Control Design"
Prentice Hall, 1995.
200
Şekil 8: Yunuslama açısının değ. için yakınsaklığın gösterimi.
Sapma[Yaw] Açısı Değişimi (deg/s)
1.2
1. Yakınsama.
3. Yakınsama.
5. Yakınsama.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
Zaman (sn.)
150
200
Şekil 9: Sapma açısının değişimi için yakınsaklığın gösterimi.
Aşağıda verilen son grafik Şek. 10, 5. Yakınsamada kullanılan
denetim girişlerini göstermektedir.
Son Yakınsama Kontrol Girişleri(Newton)
U1
2
0
U2
-2
0
1
100
150
200
50
100
150
200
50
100
Time sec
150
200
0
-1
0
1
U3
50
0
-1
0
Şekil 10: Son yakınsamanın denetim kuvvetlerinin gösterimi.
793
Doğrusal Olmayan Sistemlerin Optimal Kayma Yüzeyi Kullanılarak
Denetimi İçin Yeni Bir Denetleyici Tasarımı
Fatma Irmak1, Metin U. Salamcı2, Engin Hasan Çopur3
1
Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu
Teknoloji ve Yenilik Destek Programları Başkanlığı, Ankara
[email protected]
2
Makina Mühendisliği Bölümü
Gazi Üniversitesi, Ankara
[email protected]
3
Electronics and Electrical Engineering
University of Southampton, Southampton, U.K.
[email protected]
olmayan kayma yüzeyi” gibi farklı kayma yüzeyleri barındıran
Özetçe
KKD tasarım yöntemleri önerilmiştir [1, 2, 3, 4, 6, 7, 8]. Bu
yöntemlerden birisi de, “Durum Bağımlı Riccati Denklemi
Bu çalışmada, doğrusal olmayan sistemler için, eğimi belirli
(SDRE-State Dependent Riccati Equation)” yöntemidir.
bir maliyet fonksiyonuna göre optimal olarak belirlenen
Burada, doğrusal olmayan sistem, duruma bağlı katsayılar
zamanla değişen doğrusal kayma yüzeyi kullanılarak yeni bir
matrisleri yardımıyla doğrusal yapıya benzer bir biçimde ifade
Kayan Kipli Denetim (KKD) yöntemi önerilmiştir. Yöntem,
edilmekte ve böylelikle doğrusal zamanla değişmeyen
doğrusal olmayan sistemin durum değişkenlerine bağlı
sistemler için uygulanan denetim tasarım yöntemlerinin
katsayılar matrisi kullanılarak tanımlanmasına ve daha sonra
doğrusal olmayan sistem için de uygulanabilmesi
duruma bağlı katsayılar matrislerinin seçilen her bir zaman
sağlanmaktadır [9, 10, 11]. SDRE yöntemi benzetimlerde
aralığında değerlendirilerek doğrusal zamanla değişmeyen
oldukça tatminkar sonuçlar vermekle birlikte, özellikle
sistemler elde edilmesine dayanmaktadır. Belirli bir çalışma
optimum denetim algoritmalarının her bir zaman aralığında
koşulu dikkate alınarak her bir zaman aralığında elde edilen
yeniden çözülmesi zorunluluğu nedeniyle, işlem süresi
doğrusal sistemler için optimum kayma yüzeyi eğimleri
uzamaktadır. Bu dezavantaj yüzünden, SDRE tabanlı denetim
belirlenmekte ve bu eğimler doğrusal olmayan sistemin KKD
algoritmalarının gerçek zamanlı (pratik) uygulamaları sınırlı
tasarımı için kullanılmaktadır. Çalışmada, kayma yüzeyi
kalmaktadır.
eğimlerinin belirlenmesi amacıyla Durum Bağımlı Riccati
Denklemi (State Dependent Riccati Equation-SDRE)
Bu çalışmada, SDRE yöntemi kullanılarak doğrusal olmayan
yönteminden yararlanılmaktadır. Önerilen yöntem ile önceden
sistemler için belirli bir maliyet fonksiyonunu minimum
kayma yüzey eğimleri belirlendiğinden KKD hesaplanması
kılacak optimum kayma yüzeyi tasarlanmakta ve yöntemin
için gerekli olan işlem süresi kısalmakta ve gerçek zamanlı
uygulanması sonucunda elde edilen zamanla değişen optimum
uygulama mümkün olabilmektedir. Geliştirilen metot, bir ters
kayma yüzeyi eğimleri kaydedilmektedir. Belirli bir çalışma
sarkaç modeline uygulanmış ve benzetim sonuçları elde
koşul aralığı dikkate alınarak belirlenen optimum kayma
edilmiştir.
yüzeyi değerleri genelleştirilerek, daha sonra (çalışma koşulu
kapsamında kalan) diğer çalışma koşulları için de
1. Giriş
kullanılmaktadır. Böylelikle doğrusal olmayan sistemin
Doğrusal sistemler için Kayan Kipli Denetim (KKD) tasarımı;
denetimi için optimum kayma yüzey değerleri önceden
kayma yüzeyi ve denetçi tasarımı olmak üzere iki adımda
belirlenmiş ve daha sonra yapılacak matematiksel işlemler
gerçekleştirilir. Farklı tasarım yöntemleri olmakla birlikte [1,
azaltılarak sistemin zaman cevabının daha hızlı elde edilmesi
2, 3], kayma yüzeyinin ve denetçinin tasarlanabilmesi için
sağlanmıştır.
sistemin “Düzenli Biçim” (Regular Form) denilen yeni bir
koordinat düzleminde tanımlanması en yaygın kullanılan
Çalışmanın 2. bölümünde doğrusal olmayan sistemler için
tasarım yöntemidir [4, 5]. Yeni koordinat düzleminde doğrusal
zamanla değişen yüzey kullanılarak KKD tasarımı, 3.
sistem, denetim girişi teriminin olduğu ve olmadığı iki alt
bölümünde Durum Bağımlı Riccati Denklemi (SDRE-State
sisteme ayrılır. Kayma yüzeyi, denetim teriminin olmadığı alt
Dependent Riccati Equation) tabanlı denetim tekniği
sistemi kararlı kılacak şekilde tasarlanır. Yüzey eğimlerinin
kullanarak kayma yüzeyi tasarımı yöntemi ele alınmıştır. 4.
belirlenmesinde, kutup yerleştirme yöntemi kullanılabileceği
bölümde ise bir ters sarkaç mekanizmasına zamanla değişen
gibi optimum denetim yöntemi de kullanılabilir. Denetçi ise
doğrusal yüzey kullanılarak KKD yöntemi uygulandığında
sistemi kayma yüzeyine yönlendirecek ve daha sonra bu yüzey
elde edilen benzetim sonuçları, belirli bir başlangıç koşulunda
üzerinde tutacak şekilde tasarlanır [4, 5].
zamanla değişen kayma yüzeyi eğimleri kullanılarak elde
edilen benzetim sonuçları ile beraber sunulmuştur. 5. bölümde
Doğrusal olmayan sistemler için “doğrusal kayma yüzeyi”,
ise sonuç verilmiştir.
“zamanla değişen doğrusal kayma yüzeyi” ve “doğrusal
794
2. Doğrusal Olmayan Sistemler İçin Kayan
Kipli Denetim Tasarımı
̃( )
Doğrusal olmayan sistemlerin kayan kipli denetimi için farklı
yöntemler önerilmiş ve benzetim sonuçları yayınlanmıştır [16]. Önerilen yöntemler içerisinde yaygın olarak
kullanılanlardan birisi de, doğrusal olmayan sistemler için
kayma yüzeyi tasarımını, doğrusal zamanla değişmeyen
sistemler için kayma yüzeyi tasarım yöntemine
dayandırmaktır. Böylelikle, doğrusal zamanla değişmeyen
sistemler için tasarlanan “doğrusal” veya “optimum” kayma
yüzeyleri,
doğrusal
olmayan
sistemler
için
de
uyarlanabilmektedir. Burada doğrusal olmayan sistem,
doğrusal zamanla değişmeyen sistemler halinde anlık olarak
modellenerek, her an değişen kayma yüzeyi tasarımı elde
edilebilmektedir [5-8].
( )
( )
( )
(1)
]
( )
̃ ( )
̃ ( )
̇
̃ ( )
̃ ( )
5(a)
( )
5(b)
)
( )
(6)
( )
için ̇ ( )
( )
için ̇ ( )
(7)
Eşdeğer denetim terimi, sistemi kayma yüzeyine
yönlendirecek şekilde, kayma yüzeyi denkleminin (Denklem
(6)) türevi alınarak aşağıdaki gibi bulunur.
̇(
̃
)
̃
̇
̇
̇
(̃
̃
)+ ̇ =0 (8)
Denklem düzenlenirse,
(2)
[( ̃
̇
̃ )
(̃
̃ ) ]
(9)
Sistemi kayma yüzeyi üzerinde tutacak doğrusal olmayan
denetim terimi ise
[
]
( )
(10)
Toplam denetim girişi u ise,
(11)
bulunur.
(3)
̃( )
[
Sistemi kayma yüzeyi üzerine yönlendirecek ve bu yüzey
üzerinde tutacak denetim girişi aşağıdaki şartları sağlayacak
şekilde tasarlanır.
3. SDRE Denetim Tekniği ile Optimal Kayma
Yüzeyi Tasarımı
Koordinat dönüşümü ile sistem aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
̃( )
̃ ( )
],
̃ ( )
Sistem kayma yüzeyi boyunca kararlı davranacak şekilde,
zamanla değişen kayma yüzeyi eğimleri seçilebilir. Kayma
)
yüzeyi üzerinde (
( )
olduğundan, kayma yüzeyi eğimleri bir geri besleme kazanç
matrisi olarak değerlendirilir. C(t) kayma yüzeyi eğimleri geri
besleme denetim girişi olarak düşünülerek
alt sistemini
(Denklem 5(a)) kararlı kılacak şekilde seçilir [7].
Denklem (1) ile ifade edilen sistem için kayma yüzeyi
tasarımı için aşağıdaki gibi durum değişkenlerine bağlı ve her
bir durum değişkeni vektörü için tekil olmayan bir koordinat
dönüşüm matrisi tanımlanabilir.
̇
( ) ( )
̇
(
Denklem (1) ve (2) ile ifade edilen sistemlerin zamanla küçük
değişimler gösterdiği varsayılmıştır. Böylelikle standart
kararlılık ve geri besleme denetim tasarım yöntemlerindeki
sonuçlar kullanılabilir [12], [13].
( )
̃ ( )
̃ ( )
Burada
,
,
,
şeklinde
tanımlıdır. Kayma yüzeyi, yapılan koordinat dönüşümü
sonucunda aşağıdaki gibi ifade edilir.
Denklem (1) ile ifade edilen sistem, seçilen her bir zaman
aralığında o andaki durum değişkenleri ile değerlendirilerek
zamanla değişmeyen sistem dizileri elde edilir. Elde edilen
zamanla değişmeyen sistemlerin kararlığı sağlandığında,
denklem (1) ile ifade edilen doğrusal olmayan sistemin
kararlılığı da belirli bir bölge için sağlanmış olacaktır.
Yöntemin lokal kararlılık sonuçları [10] ve [14]’de
verilmektedir. Her bir zaman aralığında durum değişkenlerine
bağlı katsayı matrislerinin değerlendirilmesi ile değişen
sistem, zamanla değişen doğrusal sistem olarak da
değerlendirilebilir. Bu durumda, t bir sonsuz boyutlu zamanla
değişen parametre vektörü olmak üzere sistem aşağıdaki
biçimde ifade edilirse,
( )
[
şeklinde uygun matris boyutları ile ifade edilebilir. Böylece
sistem aşağıdaki gibi iki alt sisteme ayrılır.
Burada
,
, ( )
, ( )
şeklinde tanımlıdır ve { ( ) ( )} matris çiftinin tüm
durum değişkenleri için anlık denetlenebilir olduğu kabul
edilmektedir. Doğrusal olmayan bir sistemin Denklem (1) ile
verilen bir biçime nasıl dönüştürülebileceği ve buradaki
durum değişkenlerine bağlı katsayılar matrisleri olan ( ) ve
( ) matrislerinin birden fazla farklı biçimde nasıl
tanımlanacağı ile ilgili ayrıntılar [9]’da bulunabilir.
̇
( )
̃( )
Bu çalışmada aşağıdaki gibi ifade edilebilen bir grup doğrusal
olmayan sistem ele alınmıştır.
̇
( ) ( )
(4)
SDRE denetim yöntemi, denklem (1) ile ifade edilebilen
doğrusal olmayan dinamik sistemler için, doğrusal zamanla
Burada,
795
değişmeyen sistemlerde kullanılan denetim teknikleri esas
alınarak önerilen bir yöntemdir. Denklem (1)’de verilen
doğrusal olmayan sistemin optimal denetimi, aşağıda verilen
karesel maliyet fonksiyonunu minimum yapacak şekilde
tasarlanabilir.
( )
∫
( ) )
4. Ters Sarkaç Mekanizması
Uygulama için seçilen ters sarkaç modeli Şekil 1’de
görülmektedir. Ters sarkaç modeli ve model parametreleri
Kaynak [15]’den alınmıştır.
(12)
Burada Q(x) ve R(x) durum bağımlı ve pozitif tanımlı ağırlık
matrisleridir. Denetim terimi ise,
( )
( ) ( )
(13)
olarak verilmektedir. Görüldüğü üzere denetim, durum
bağımlı
en
iyi
kazanç
katsayısı
( )
( ) ( ) ( ) terimini içeren bir geri
besleme denetim girişidir. Burada P(x) matrisi ise aşağıdaki
Durum Bağımlı Riccati Denklemi (SDRE) çözümünden elde
edilmektedir.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
(
Şekil 1: Ters Sarkaç Mekanizması
Sistem parametreler aşağıda verilmiştir.
M=3 kg platformun kütlesi
m=0,5 kg sarkacın kütlesi
l=0,5 m sarkacın boyu
b=2 kg/s sürtünme katsayısı
)
Böylelikle denetim uygulanmış sistemin dinamiği
̇
( ( )
( )
( ))
( )
Sistemin hareket denklemleri Denklem(1) ile tarif edilebilir.
Buradaki durum değişkenlerine bağlı katsayılar matrisleri
aşağıda verilmektedir.
(15)
şeklinde ifade edilebilir.
( )
Kayma yüzeyi eğimleri, SDRE denetim tekniği kullanılarak
belirlenebilir. Burada bir nevi optimum kayma yüzeyi
eğimleri elde edilebilmektedir. Bunun için, Denklem (5a) ile
verilen denetim girişinin bulunmadığı alt sistemi kararlı
kılacak bir kayma yüzeyi eğimi belirlenmektedir. Bu amaçla,
(
)
( )
şeklinde doğrusal olarak seçilen
̃ ( )
̃ ( )
kayma yüzeyi eğimi, C(t); ̇
alt
sistemi için bir nevi geri besleme denetim girişi kazanç
katsayı matrisi olarak düşünülebilir. Böylece SDRE kontrol
tekniği kullanılarak kayma yüzeyi eğimleri hesaplanır ve
kayma yüzeyi belirlenir. Yöntem ile ilgili daha fazla ayrıntı
[8]-[11]’de bulunabilir.
( )
( )
( )
( )
[
(
( )
[
)
(
(
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
]
( )
( )
,
( )
)
)
]
Denklem (1) ile verilen doğrusal olmayan sistem denklemi
her bir zaman aralığında dondurulur ve bu noktalardaki durum
değişkenleri yerlerine yazılırsa, ardışık, zamanla değişmeyen
doğrusal sistemler elde edilir. Bir t=ts an için bulunan
zamanla değişmeyen doğrusal sistem, uygun koordinat
dönüşümü uygulanarak aşağıdaki biçime getirilebilir [16].
SDRE tabanlı algoritma kullanılarak kayma yüzeyi eğim
matrisi, denklem (14) ile verilen Riccati denklemi çözülerek,
optimum olarak belirlenebilir. Ancak her bir durum değişkeni
vektörü için Riccati denkleminin çözümünün elde edilmesi
gerekliliği, işlem süresini uzatmakta ve yöntemin pratikte
uygulanmasını güçleştirmektedir. Bu çalışmada, doğrusal
olmayan sistemin önceden belirlenen bir çalışma aralığı için
optimum kayma yüzeyi SDRE tekniği ile belirlenmiş ve daha
sonraki uygulamalarda kullanılmak üzere kaydedilmiştir.
Diğer bir ifade ile doğrusal olmayan sistemin kayan kipli
denetimi için gerekli olan doğrusal olmayan (veya durum
değişkenlerine bağlı optimum) kayma yüzeyi belirlenmiştir.
Doğrusal olmayan sistem, daha sonra bu optimum kayma
yüzeyine yönlendirilmiş ve sistem yörüngelerinin yüzey
üzerinde kalması sağlanmıştır. Böylelikle optimum kayma
yüzeyinin her seferinde yeniden hesaplanması gereği ortadan
kaldırılmış ve işlem süresi belirgin bir şekilde azaltılmıştır.
Bu şekilde, yöntemin pratik uygulaması için gerekli
düzenleme yapılabilmiştir. Bölüm 4’de, yöntemin bir örneğe
uygulanması ve işlem süreleri verilmektedir.
̇
]
[
[
]
(16)
Kayma yüzeyi denklemi ise aşağıdaki gibi ifade edilir.
(17)
Sistem aşağıdaki gibi iki alt sisteme bölünebilir.
̇
̇
[
796
][ ]
[
]
(18)
(19)
belirtilmiştir. Şekil 2, 3 ve 4’de
[
] başlangıç
koşulu için denetlenmiş sisteme ait benzetim sonuçları
verilmektedir. Benzetim sonuçları ancak, 629,34 saniyede elde
edilebilmiştir. Şekil 4’de ise θ=75° derecede hesaplanan
kayma yüzeyi eğimleri verilmiştir. Hesaplanan bu kayma
yüzeyi eğimleri ters sarkaç mekanizmasında KKD
hesaplanmasında kullanılarak sistemin denetimi sağlanmıştır.
Kayma yüzeyi eğimlerini hesaplamak için sistemin denetim
terimi içermeyen alt sistemi denklem kullanılır.
̅
] ̅
[
[
] olmak üzere,
Her bir zaman aralığı için aşağıda verilen Ricatti denklemi
çözülürse,
̅ ( ) ( )
( )
( ) ̅( )
( ) ̅( )
( )̅ ( ) ( )
(20)
Optimum kayma yüzeyi eğimleri,
( )
( ) ( )
[
]
(21)
Şeklinde bulunur. Bu çalışmada Q ve R ağırlık matrisleri gelişi
güzel belirlenmiş ve belirlenen bir sistem cevabı
hedeflenmemiştir. Bu matrisler,
[
(
)
] ve R=[0,07]
Şekil 3: θ=75° için kontrol girişi
olarak seçilmiştir. Denetim terimi içeren alt sistemdeki
denetim girişi (u), Bölüm 2’de anlatılan metot kullanılarak
belirlenir.
5. Benzetim Sonuçları
Ters sarkaç mekanizmasına, optimum kayma yüzeyleri
kullanılarak KKD yöntemi uygulanmış ve k=3, t=0,01
seçilerek dört başlangıç koşulu için benzetim sonuçları elde
edilmiştir.
Şekil 4: θ=75° için kayma yüzeyi eğimleri
Şekil-2: θ=75° için sistem cevabı
Ters sarkaç mekanizmasında
[
] çalışma koşulu
olarak belirlenmiştir. Bu çalışma koşulunda elde edilen
optimum kayma yüzeyi eğimleri, ters sarkaç mekanizmasında
KKD hesaplanmasında kullanılarak sistemin denetimi
sağlanmıştır. Ayrıca tasarım parametreleri aynı tutularak, her
bir çalışma koşulu için optimum kayma yüzeyi eğimleri
belirlenmiş ve KKD hesaplanarak doğrusal olmayan sistem
denetlenmiştir. Her iki durumda elde edilen benzetim
sonuçları bir arada sunulmuş ve gerekli olan işlem süreleri de
Şekil 5: θ=60° için sistem cevabı (kesikli çizgi=KKD
belirlenmesinde 75° ‘de elde edilen kayma yüzeyi eğimleri
kullanıldığında elde edilen cevaplar)
797
Şekil 5 ve 6’da
[
] başlangıç koşulu için
denetlenmiş sisteme ait benzetim sonuçları verilmektedir. Ters
sarkaç modeline optimum kayma yüzeyi eğimleri belirlenerek
KKD uygulandığında sistem cevabı 624,45 saniyede elde
edilirken, KKD belirlenmesinde θ=75° derecede elde edilen
kayma yüzeyi eğimleri kullanıldığında ise sistem cevabı 19,43
saniyede elde edilmiştir.
Şekil 8: θ=45° için kontrol girişi (kesikli çizgi=KKD
Şekil 9 ve 10’da
[
Şekil 6: θ=60° için kontrol girişi (kesikli çizgi=75° ‘de
hesaplanan kayma yüzeyi eğimleri kullanıldığında elde edilen
cevaplar)
Şekil 7 ve 8’de
[
798
[3]
[4]
[5]
[6]
Şekil 10:θ=20° için kontrol girişi (kesikli çizgi=KKD
[7]
Tablo-1’de optimum kayma yüzeyi eğimleri belirlenerek KKD
uygulandığında elde edilen benzetim süreleri ile KKD
hesaplanmasında θ=75° derecede belirlenen kayma yüzeyi
eğimleri kullanıldığında elde edilen benzetim süreleri
karşılaştırmalı olarak verilmiştir.
Tablo-1-Benzetim Süreleri
75° ‘de kaydedilen
Başlangıç
kayma yüzeyi eğimleri
koşulu
kullanıldığında elde
edilen benzetim süresi
(sn)
[
]
17,64
[
]
18,01
[
]
19,43
[8]
Kayma yüzeyi
eğimleri
belirlenerek elde
edilen benzetim
süresi (sn)
619,51
619,89
624,45
[9]
[10]
[11]
6. Sonuç
[12]
Bu çalışmada, doğrusal olmayan sistemlerin denetimi için
belirli bir çalışma aralığında belirlenen optimum kayma
yüzeyleri kullanılarak KKD yöntemi önerilmiş ve yöntem
doğrusal olmayan hareket denklemlerine sahip bir evrik sarkaç
modeline uygulanarak benzetim sonuçları elde edilmiştir.
Tasarım parametreleri aynı tutularak, her bir çalışma koşulu
için optimum kayma yüzeyi eğimleri belirlenmiş ve belirlenen
kayma yüzeyi eğimleri kullanılarak KKD elde edilmiş ve aynı
sarkaç modeline uygulanarak benzetim sonuçları elde
edilmiştir. Ayrıca sonuçları elde etmek için gerekli olan işlem
süresi karşılaştırılmıştır. Elde edilen benzetim sonuçları ve
sonuçları elde etme için gerekli olan işlem süresi önerilen
yöntemin başarısını göstermektedir.
[13]
[14]
[15]
[16]
7. Kaynakça
[1] M. U. Salamcı, “Two new switching surface design
techniques for nonlinear systems with their applications
to missile control”, Doktora Tezi, ODTÜ Fen Bilimleri
Enstitüsü, Ankara, s:86-114, 1999.
[2] M.U. Salamcı ve S.P. Banks, “Optimal Sliding Surface
Design for a Class of Nonlinear Systems”, 4th
International Conference on Optimization: Techniques
799
and Applications, Perth, Austuralia, Cilt:2, s:743-750,
1998.
M.Tomas-Rodriguez, S.P. Banks ve M.U. Salamci
“Sliding Mode Control for Nonlinear Systems: An
Iterative Approach”, Proc. 45th IEEE Conference on
Decision and Control, San Diego, Kaliforniya-ABD,
2006.
V. I. Utkin, “Variable Structure Systems with Sliding
Modes”, IEEE Transactions on Automatic Control, Cilt:
AC-22, No. 2, s: 212-222, 1977.
B. Gökbilen, ve M.U. Salamcı, “Zamanla Değişen
Doğrusal Yüzeyler Tasarlayarak Doğrusal Olmayan
Sistemlerin Kayan Kipli Kontrolü”, TOK 2006-Otomatik
Kontrol Ulusal Toplantısı, Ankara-Türkiye, 2006.
M.U. Salamcı, ve G.S. Tombul, “Sliding Mode Design
with Time Varying Sliding Surfaces for a Class of
Nonlinear
Sytems”, CCA’06, IEEE, International
Conference on Control Applications, Münih-Almanya,
2006.
G.S.Tombul, M.U.Salamcı, ve C. Doğan, “Nonlineer
Sistemler için Değişken Yüzey Kullanılarak Kayan Kipli
Denetim Tasarımı”, TOK’05 Otomatik Kontrol
Toplantısı, İstanbul Teknik Üniversitesi, İstanbul, s:8387, 2005.
M.U. Salamcı ve B. Gökbilen, “SDRE Missile Autopilot
Design using Sliding Mode Control with Moving Sliding
Surfaces”, Proceedings of The IFAC Symposium on
Automatic Control in Aerospace, Toulouse-Fransa, 2007.
T. Çimen, “State-Dependent Riccati Equation (SDRE)
Control: A Survey”, Proceedings of the 17th IFAC World
Congress, Seul, Kore, s:3761-3775, 2008.
C.P. Mracek ve J.R. Cloutier, “Control Designs for the
Nonlinear Benchmark Problem via the State Dependent
Riccati Equation Method”, International Journal of
Robust and Nonlinear Control, Cilt: 8,s:401-433, 1998.
E.B. Erdem ve A.G. Alleyne, “Design of a Class of
Nonlinear Controllers via the State Dependent Riccati
Equations”, IEEE Transactions on Control Systems
Technology, Cilt: 12, s:2986-2991, 2004.
C.A.Desoer, “Slowly Varying System”, IEEE
Transactions Automatic Control, Cilt: 14, No: 6, s:780781, 1969.
E.W. Kamen, P.P. Khargonekar, A. Tannenbaum,
“Control of Slowly Varying Systems”, IEEE Trans.
Automatic Control, Cilt: 34, No: 12, s:1283-1285, 1989.
H.H. Rosenbrock, “The Stability of Linear Timedependent Control Sytems”, J.Electronics and Control,
Cilt: 15 s:73-80, 1963.
R.N.Gasimov,A. Karamanoğlu, Yazıcı, “A nonlinear
Programming Approach for the Sliding Mode Control
Design”, Applied Mathematical Modelling, Cilt: 29, s:
1135-1148, 2004.]
Katsuhiko Ogata “Modern Control Engineering”, 2001.

optimal kontrol - TOK2013

Transkript

Benzer belgeler

Newtonsal Olmayan Akışkanlar (Non-Newton

AL-MoS2 +400°C Lack Sprey

Ders Dosyası

amaç ue3070300 ue3070300 maltese-cross tüpü

8.2.3. Doğrusal Denklem Sistemleri

GOT-It 2.0.1 ile Elektromanyetik Sistemlerin