de morgans teoremi

MATM 133
MATEMATİK LOJİK
Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
1.KONU
Sembolik Mantık; Önermeler,
Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat
yöntemleri
KAYNAKLAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A., 1998; Soyut
Matematik, Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Yayınları
Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A., 1998;
Çözümlü Soyut Matematik Problemleri
Çelik, B.,B. 2010 ; Soyut Matematik I, Dora Yayınevi, Bursa
Özer, O.,Çoker, D.,Taş, K., 1996; Soyut Matematik, İzgi Yayınevi.
Fraleigh, J.B., 1982; First Course in Abstract Algebra, Addison-vesley
Karaçay, K., 2009; Soyut Matematiğe Giriş, ttm Yayınları, Ankara.
1. Giriş
2. Önerme ve doğruluk değeri
3. Denk önermeler
4. Bir önermenin olumsuzu
5. Bileşik önermeler
6. Önerme Formülü
7. Uyuşma ve Çelişme
8. Mantıksal Denklik
9. Temel özelikler
10. Teoremler için İspat yöntemleri
11. Bir önermenın yanlış oldugunu göstermek
12. Mantıksal gerektirme
13. Açık önerme
14. Evrensel niceleyici
15. Varlıksal niceleyici
16. Nıceleycıler ve bağlaçlar
17. Niceleyicilerle olumsuzlama
18.Niceleyicilerin dağıtıcılığı
1. Giriş
MANTIK
«Gerçeği ararken yapılan zihin
işlemlerınden hangilerinin doğru ve
hangilerinin yanlış yola çıktığını gösteren
bilim»
Mantık, doğru düşünme kuralları bilgisidir.
Sembolik mantık.
Bu dil yardımıyla karışık kavramları
öğrenmek ve matematik konularını daha
kesin bir anlatımla vermek kolaylaşacaktır.
2. Önerme ve doğruluk değeri
1. Tanım: Doğru ile yanlıştan biri ve yalnız biri
ile nitelenebilen bir bildiri cümlesine
önerme denir.
Emir, soru ve ünlem cümleleri önerme değildir.
1. Örnek: her biri önermedir
a) 2+3=9
b) Asal ve çift olan bir tam sayı vardır
c) 𝝅 sayısı 22/7 sayısına eşitdir
2.Örnek: hiç biri önerme değildir
a) Dersden sonra şehri gezelim.
b) Kaç yaşındasınız?
c) 𝒙 + 𝟑 = 𝟕
2. Önerme ve doğruluk değeri
2.Tanım: Bir önerme doğru ise bu önermeye 1
sayısı (veya D harfi), yanlış ise 0 sayısı (veya Y
harfi) karşılık getirilir. Bu sayıya, önermenin
doğruluk değeri denir.
3. Örnek:
1. 𝝅 =3,1416 (doğruluk değeri 0)
2. 2+2=4 (doğruluk değeri 1)
2. Önerme ve doğruluk değeri
Önermeler p,q,r, ... gibi küçük harflerle
gösterilir. Doğruluk değeri bakımından bir
önerme için iki durum, iki önerme için dört
durum vardır. Birbirınden farklı n tane önerme
verildiğinde, doğruluk değerleri bakımından
bunlar arasında birebirine göre 𝟐𝒏 farklı durum
vardır.
p
q
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
P
3. Denk önermeler
1. Tanım: Doğruluk değerleri eşit olan iki
önermeye mantıkça denk veya kısaca denk
(eşdeğerli) önermeler denir.
p ve q önermelerinin denkliği p≡q biçiminde
gösterilir.
1. Örnek:
p: 1+1=2
q: Ankara Türkiyenin başkentidir.
Bu önermelerin her ikisinin doğruluk değeri 1
olduğundan bu önermeler mantıkça denk iki
önermedir.
p≡q
4. Bir önermenin olumsuzu.
1. Tanım: Bir p cümlesine önermesi verilmiş olsun. p önermesi doğru
ise bundan bir yanlış bir önerme, yanlış ise doğru bir önerme elde
etmeye önermeyi olumsuzlama veya önermeyi değilleme denir. p
önermesinden olumsuzlama ile elde edilen önermeye p önermesinin
olumsuzu veya değili denir.
p önermenin olumsuzu p’, 𝐩, ~𝐩 veya ¬𝐩 simgelerinden biri ıle
gösterilir.
1. Örnek:
p: 2<3
p’: 2≥3
q: Ben ögrenciyim
q’: Ben ögenci değilim
5. Bileşik önermeler
İki ya da daha çok önerme «ve», «veya», «ise» ve «ise ve
yalnız böyle ise» bağlaçlarından en az biri ile birbirine
bağlanarak yeni önermeler tanımlanabilir. Bu önermelere
bileşik önermeler denir.
1. Tanım: «p ve q» ifadesi p ve q önermelerinden her
ikisi doğru olduğu zaman doğru öteki durumlarda
yanlış olan bir bileşik önermedir. Bu önermeye p ve q
önermelerinin kesişimi denir. p⋀q
1.Örnek:
2+𝟑 = 𝟓 ⋀ 1+2=4
Doğruluk değerı 0
p
q
p⋀q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
5. Bileşik önermeler
2.Tanım: «p veya q» ifadesi p ve q önermelerinden her
ikisi yanlış olduğu zaman yanlış, öteki durumlarda doğru
olan bir bileşik önermedir. Bu önermeye p ve q
önermelerinin birleşimi denir. p⋁𝒒
2.Örnek:
Ankara Türkiyededir ⋁ 1+2=4
Doğruluk değerı 1
p
q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
p⋁𝒒
5. Bileşik önermeler
3.Tanım: «p ise q» ifadesi p doğru, q yanlış oldugu zaman
yanlış, öteki durumlarda doğru olan bir bileşik önermedir.
Bu önermeye koşullu (şartlı) önerme denir.
p önermesine koşullu önermenin hipotezi (varsayımı), q
önermesıne de hükmü (yargısı) denir.
p⟹ q
2.Örnek:
Bursa Türkiyede
ise 1+1=3 dür.
Doğruluk değeri 0
p
q
p⟹ q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
5. Bileşik önermeler
4.Tanım: p⟹ q bir koşullu önerme olsun, p önermesıne q için
yeter koşul, q önermesine p için gerek koşul denir.
a) p ise q dur
b) p, q yu gerektirir
c) p, q için yeter koşuldur
d) q, p için gerek koşuldur
5.Tanım: p⟹ q bir koşullu önerme olsun, p’⟹ q’,
q ⟹ p ve q′ ⟹ p′, önermelerine sıra ile, p⟹ q önermesin
tersi, karşıtı, karşıt tersi denir.
6.Tanım: Doğru oldukları önceden ispatlanmış olan
önermelere teorem denir.
7.Tanım: p ve q herhangi iki önerme olduğuna göre,
(p⟹ q )⋀ q ⟹ p
bileşik önermesine 𝐢𝐤𝐢 𝐲ö𝐧𝐥ü 𝐤𝐨ş𝐮𝐥𝐥𝐮 ö𝐧𝐞𝐫𝐦𝐞 denir.
p⟺q
5. Bileşik önermeler
p
q
p⟹ q
q⟹p
(p⟹ q )⋀ q ⟹ p
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
p⟺q
4.Örnek: « Bursa Türkiyede ise ve yalnız böyle ise,
2+2=6 dır.» önermesinin doğruluk değeri nedır?
p⟺q
a) p ise q dur ve q ise p dir.
b) p, q yu gerektirir ve q, p yi gerektirir
c) p için gerek ve yeter koşul q dur
d) p için q olması gerek ve yeterdir
6. Önerme Formülü
1.Tanim: p,q,r, ... Harflerden her biri degişken
önermeleri göstermek üzere, bunlar yerine
degişmez önermenler konduğunda önermeye
dönüşen ifadelere önerme formülü denir.
1.Örnek: p,q değişken önerme göstermek üzere
p, p’ ∧ 𝑞, p’⟹ 𝑞, ve (p’⟺ 𝑞 )∨q’ ifadelerinden
her biri önerme formülüdür.
6. Önerme Formülü
2.Örnek: (p∧ 𝑞′)′ önerme formülünün doğruluk
çizelgesini düzenleyiniz.
p
q
𝑞′
p∧ 𝑞′
(p∧ 𝑞′)′
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
7. Uyuşma ve Çelişme
1.Tanım: Değişkenleri yerıne yazılacak her bir
önerme için doğru bir önerme veren önerme
formülüne uyuşma (topoloji), yanlış bir önerme
veren önerme formülüne çelişme denir.
Uyuşmaya bazan çelişmez de denir.
1. Örnek: p∨ 𝑝′ önerme formülünün uyuşma,
p∧ 𝑝′ önerme formülünün çelişme olduğunu
gösteriniz.
𝑝
𝑝′
p∧ 𝑝′
𝑝
𝑝′
p∨ 𝑝′
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1.Teorem: Uyuşmanın olumsuzlugu çelişme,
çelişmenin olumsuzu uyuşmadır.
8. Mantıksal Denklik
1.Tanım: Değişkenleri yerine yazılacak her önerme için
aynı doğruluk değerinde önermeler veren iki önerme
formülüne birbirine mantıkça denk veya kısaca denk
önerme formülleri denir.
işareti: ≡
1.Örnek: (𝒑 ∨ 𝒒) ∧ 𝒑′ ≡ 𝒑′ ∧ 𝒒 olduğunu gösteriniz.
𝒑
𝒒
𝒑∨𝒒
𝒑′
(𝒑 ∨ 𝒒) ∧ 𝒑′
𝒑
𝒒
𝒑′
𝒑′ ∧ 𝒒
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
9. Temel özelikler
1.Teorem: p,q ve r değişken önermeleri, f degişken doğru önermeleri,
t de değişken yanlış önermeleri gösterdiğine göre, aşağıdaki özelikler
vardır.
1) Tek kuvvet özelikleri:
• 𝒑∨𝒑≡𝒑
• 𝒑∧𝒑≡𝒑
2) Değişme özelikleri:
• 𝒑∨𝒒≡𝒒∨𝒑
• 𝒑∧𝒒≡𝒒∧𝒑
3) Birleşme özelikleri:
• 𝒑∨ 𝒒∨𝒓 ≡ 𝒑∨𝒒 ∨𝒓
• 𝒑∧ 𝒒∧𝒓 ≡ 𝒑∧𝒒 ∧𝒓
4) Dağılma özelikleri:
• 𝒑 ∨ 𝒒 ∧ 𝒓 ≡ 𝒑 ∨ 𝒒 ∧ (𝒑 ∨ 𝒓)
• 𝒑 ∧ 𝒒 ∨ 𝒓 ≡ 𝒑 ∧ 𝒒 ∨ (𝒑 ∧ 𝒓)
•
𝒑∧𝒒 ∨𝒓≡ 𝒑∨𝒓 ∧ 𝒒∨𝒓
•
𝒑∨𝒒 ∧𝒓≡ 𝒑∧𝒓 ∨ 𝒒∧𝒓
9. Temel özelikler
5) Özdeşlik özelikleri:
•
𝒑 ∨ 𝒕 ≡ 𝒑 ve 𝒑 ∨ 𝒇 ≡ 𝒇
•
𝒑 ∧ 𝒕 ≡ 𝒕 ve 𝒑 ∧ 𝒇 ≡ 𝒑
6) Tamlama özelikleri:
•
𝒑 ∨ 𝒑′ ≡ 𝒇
•
𝒑 ∧ 𝒑′ ≡ 𝒕
7) İnvolusyon (çifte degilleme) özelliği:
•
𝒑′ ′ ≡ 𝒑
8) De Morgan özelikleri:
•
𝒑 ∨ 𝒒 ′ ≡ 𝒑′ ∧ 𝒒′
•
(𝒑 ∧ 𝒒)′ ≡ 𝒑′ ∨ 𝒒′
2.Teorem: p ve q değişken önermeler olduğuna göre,
𝑝 ⟹ q ≡ 𝑝′ ∨ 𝑞 dır.
İspat:
𝑝
q
𝑝⟹q
𝑝′
𝑝′ ∨ 𝑞
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
9. Temel özelikler
3.Teorem: p ve q değişken önermeler olduğuna göre,
𝑝 ⟹ q ≡ 𝑞′ ⟹ p′ dür.
İspat:
𝑝 ⟹ q ≡ 𝑝′ ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝′ ≡ (𝑞 ′ )′ ∨ 𝑝′ ≡ 𝑞′ ⟹ p′
4.Teorem (Tümdengelim ilkesi): p,q ve r herhangi üç önerme
olduğuna göre, (𝑝 ⟹ r) ∧ (r ⟹ q) bileşik önermesinin doğru olduğu
durumlarda 𝑝 ⟹ q bileşik önermesi de doğrudur.
İspat:
𝑝
q
r
𝑝⟹q
𝑝⟹r r ⟹q
(𝑝 ⟹ r) ∧ (r ⟹ q)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
10. Teoremler için İspat yollary
Teoremlerin 𝑝 ⟹ 𝑞 biçiminde olduğunu ifade etmek mümkindir.
Teoremi ispat edebilmek için bilmemiz gereken iki şey vardır:
1) Bir önermenin doğru olduğunun nasıl ğösterileceği,
2) Bir önermenin yanlış olduğunun nasıl ğösterileceği.
Doğrudan ispat
𝑝 ⟹ 𝑞 nun doğru olduğunu göstermek için 𝑝 ⟹ 𝑟1 ∧ (𝑟1 ⟹ 𝑞) nun
doğru olduğunu göstermek yeterlidir.
𝑟1 ⟹ 𝑞 nun doğru olduğunu göstermek için 𝑟1 ⟹ 𝑟2 ∧ (𝑟2 ⟹ 𝑞)
nun doğru olduğunu göstermek yeterlidir. Benzer şey 𝑟2 ⟹ 𝑞 için
tekrarlanarak bu işleme n gezek adım devam edildiği düşünülürse, sonunda
𝑝 ⟹ 𝑞 nun doğru olduğunu göstermek için
𝑝 ⟹ 𝑟1 ∧ (𝑟1 ⟹ 𝑟2 ) ∧ 𝑟2 ⟹ 𝑟3 … ∧ 𝑟𝑛 ⟹ 𝑞 nun doğru olduğunu
göstermenin yeterli olacağı anlaşılır.
1.Örnek: n doğal sayısı tek ise 𝑛2 nin tek olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
• n tek ⟹ n=2k+1 (tek sayı tanımı)
• n=2k+1 ⟹ 𝑛2 = 4𝑘 2 +4k+1 (çarpma kuralları)
• 𝑛2 = 4𝑘 2 +4k+1 ⟹ 𝑛2 = 2(2𝑘 2 +2k)+1 (toplama)
• 𝑛2 = 2(2𝑘 2 +2k)+1 ⟹ 𝑛2 = 2k’+1 (2𝑘 2 +2k yerine k’ yazılacak)
• 𝑛2 = 2k’+1⟹ 𝑛2 tek sayı
10. Teoremler için İspat yollary
Dolaylı ispat
𝑝 ⟹ 𝑞 ≡ q′ ⟹ 𝑝′
𝑝 ⟹ 𝑞 nun doğru olduğunu göstermek için q′ ⟹ 𝑝′ nun doğru
olduğunu göstermek yeterlidir.
Olmayana ergi yöntemiyle ispat
2.Örnek: 𝟑𝒙 + 𝟐 ≠ 𝟓ise 2𝑥 + 3 ≠ 5 olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
(𝟑𝒙 + 𝟐 ≠ 𝟓 ⟹ 2𝑥 + 3 ≠ 5) ≡ (2𝑥 + 3 = 5 ⟹ 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟓)
• 2𝑥 + 3 = 5 ⟹ 2𝑥 + 3 = 2 + 3 (toplama tanımı)
• 2𝑥 + 3 = 2 + 3 ⟹ 2𝑥 = 2
(sadeleşdirme özeliği)
• 2𝑥 = 2 ⟹ 𝑥 = 1
(sadeleşdirme özeliği))
• 𝑥 = 1 ⟹ 3𝑥 = 3
(iki yana 3 ile çarpmak)
• 3𝑥 = 3 ⟹ 3𝑥 + 2 = 3+2
(iki yana 2 ekleyerek)
• 3𝑥 + 2 = 3+2 ⟹ 3𝑥 + 2 = 5
(toplama tanımı)
10. Teoremler için İspat yollary
𝑝 ⟹ 𝑞 ≡ (p′ ∨ 𝑞) ≡ (p ∧ q′)′
Çelişki bulma yöntemi
3.Örnek: 2𝑥 + 3 = 5 ise 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟓 olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
(2𝑥 + 3 = 5 ⟹ 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟓) ≡ (2𝑥 + 3 = 5 ∧ 𝟑𝒙 + 𝟐 ≠ 𝟓) ′
(2𝑥 + 3 = 5 ∧ 𝟑𝒙 + 𝟐 ≠ 𝟓) ⟹ (2𝑥 + 3 = 2 + 3 ∧ 𝟑𝒙 + 𝟐 ≠ 𝟑 + 𝟐)
⟹ (2𝑥 = 2 ∧ 𝟑𝒙 ≠ 𝟑)
⟹ (𝑥 = 1 ∧ 𝒙 ≠ 𝟏)
olduğundan,
2𝑥 + 3 = 5 ∧ 𝟑𝒙 + 𝟐 ≠ 𝟓 ifadesi yanlıştır.
Dolayısıyla
2𝑥 + 3 = 5 ∧ 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟓 ifadesi doğrudur.
11. Bir önermenın yanlış oldugunu göstermek
Akşine örnek bulma
𝑝 ⟹ 𝑞 ifadesi verilmiş olsun. 𝑝 ⟹ 𝑞 ′ = 𝑝 ∧ 𝑞′
𝑝 ∧ 𝑞′ nun doğru olduğunu gösteren bir tek örnek
bulunursa 𝑝 ⟹ 𝑞 nun yalnış ifade olduğu gösterilmiş olur.
1.Örnek: Bir doğal sayı 6 ve 4 sayılarına ayrı ayrı bölünürse
bu doğal sayı 24 ile bölünür.
Çözüm: 𝒏∣6 ∧ n∣4 ⟹ n∣24
p: 𝒏∣6 ∧ n∣4
q: n∣24
n=60 için q önermesi yanlıştır, 𝑝 ∧ 𝑞′ önermesi
doğrudur. Buna göre, 𝑝 ⟹ 𝑞 yanlış olur.
11. Bir önermenın yanlış oldugunu göstermek
Çelişme bulma
𝑝 ⟹ 𝑞 ifadesi verilmiş olsun.
Onun doğru mu yoksa yanlış mı olduğu bilinmiyorsa, bu önermey doğru
varsayılarak önermeden bazı sonuçla elde edilir. Elde edilen sonuçlar
bilinerle ya da birbiri ile çelişilse, 𝑝 ⟹ 𝑞 biçiminde ifade edilen
önermenin yanlış olduğu sonuçuna varılır.
2.Örnek: «Bir doğal sayı tek ise bu doğal sayın karesi çift sayıdır.»
önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
Çözüm:
«n tek sayı» ⟹ «𝑛2 çift sayı» ( I. sonuç)
Öte yandan
n tek sayı⟹ n=2k+1
n=2k+1 ⟹ 𝑛2 = 4𝑘 2 +4k+1
𝑛2 = 4𝑘 2 +4k+1 ⟹ 𝑛2 = 2(2𝑘 2 +2k)+1
𝑛2 = 2(2𝑘 2 +2k)+1 ⟹ 𝑛2 tek sayıdır.
Yani,
«n tek sayı» ⟹ «𝑛2 teksayı» ( II. sonuç) önermesi doğrudur.
Birinci ve ikinci sonuçlarda elde edilenler birbiriyle çeliştiğinden
verilen önerme yanlıştır.
12. Mantıksal gerektirme
1.Tanım: A ve B ile gösterilen iki önerme kalıbı için, A ⟹B
önerme kalıbı geçerli bir önerme kalıbı (totoloji) ise, A
önerme kalibi, B önerme kalıbını mantıksal olarak gerektirir,
denir.
işareti:𝐀 ⊢B
1. Örnek: p ve q basit önerme kalıpları olmak üzere,
(p ∧ 𝑞) önerme kalıbı q önerme kalıbını gerektirir. (p ∧ q) ⊢q
2. Örnek: (p ∧ 𝑞) önerme kalıbı (p ∨ 𝑞) önerme kalıbını
gerektirir, diyemeyiz.
3.Örnek: p ∧ p ⟹ q önerme kalıbı, q önerme kalıbını
mantıksal gerektirir. [p ∧ p ⟹ q ] ⊢q
p
𝑞
p∧𝑞
(p ∧ 𝑞) ⟹q
p∨𝑞
p ∨ 𝑞 ⟹ (p ∧ 𝑞)
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
12. Mantıksal gerektirme
[p ∧ p ⟹ q ] ⊢q
p
p⟹q
______
∴ q
p önermesi ve p ⟹ q önermesi doğru ise bunların
doğruluğundan zorunla olarak, q nün doğruluğu çıkar.
4. Örnek:
p⟹q
q⟹r
______
∴ p⟹r
çıkarımı geçerli bir çıkarım mıdır?
13. Açık önerme
1.Tanım: İçinde değişken (ya da değişkenler) bulunduran ve
değişkenin (ya da değişkenlerin) aldığı her bir değer için bir önerme
olan ifadelere açık önerme denir.
1.Örnek: Aşağıdakilerden yer biri açık önermedir.
a) x tam sayısı sıfırdan büyüktür.
b) x=3 ve y=3 dir.
c) x2 +y 2 = 1 𝑑𝑖𝑟.
2.Örnek: x herhangi bir doğal sayı olmak üzere x+2>7 ifadesi doğal
sayılar cümlesi üzerinde tanımlanan açık bir önermedir. Bu
önermeni p(x) ile gösterelim.
2. Tanım: Bir A cümlesi üzerinde tanımlanan p(x) açık
önermesininden x yerine yazıldığında doğru önermeler veren
elemanların cümlesine p(x) açık önermesinin doğruluk cümlesi
denir.
3.Örnek: x+3>11açık bir önermenin doğruluk cümlesini D ile
gösterelim. D={9,10,11, ….} dir.
13. Açık önerme
3.Tanım: A cümlesinde tanımlanan iki açık önerme p(x)
ve q(x) ollsun. A’nın her bir n elemani için bu açık
önermelerden elde edilen p(n) ve q(n) önermeleri
birbirine denk ise, p(x) ve q(x) açık önermelerine
birbirine denk açık önermeler denir.
4.Örnek: Doğal sayılar cümlesinde tanımlanan x+2>7 açık
önermesi ile x>5 açık önermesi birbirine denktir.
14. Evrensel niceleyici
p(x), A cümlesinde tanımlanan bir açık önerme olsun.
«Her 𝑥 ∈ 𝐴 için p(x) dir» ifadesi bir önermedir. Bu önerme, A
nın her x elemanı için p(x) den elde edilen önermelerın her biri
doğru ise doğrudur, aksi halde yanlıştır.
«Her 𝑥 ∈ 𝐴 için p(x) dir» ifadesi kısaca, «∀𝒙 ∈ 𝑨 , p(x) »
biçiminde gösterilir.
∀ simgesine evrensel niceleyici denir ve «her» diye okunur.
1.Örnek: «Her insan yüz yaşında değildir» önermesinın doğruluk
değeri nedir? 0
2.Örnek: «∀𝒙 ∈ 𝑵 için x+4>3» önermesinın doğruluk değeri
nedir? 1
3.Örnek: «∀𝒙 ∈ 𝑵 için x+2>8» önermesinın doğruluk değeri
nedir? 0
15. Varlıksal niceleyici
p(x), A cümlesinde tanımlanan bir açık önerme olsun.
«En az bir 𝑥 ∈ 𝐴 için p(x) dir» ifadesi bir önermedir. Bu
önerme, A nın en az bir x elemanı için p(x) den elde edilen
önerme doğru ise doğrudur, aksi halde yanlıştır.
«En az bir 𝒙 ∈ 𝑨 için p(x) dir» ifadesi kısaca, «∃𝒙 ∈ 𝑨 , p(x) »
biçiminde gösterilir.
∃ simgesine varlıksal niceleyici denir ve «en az bir» veya «bazı»
diye okunur.
1.Örnek: «Bazı insanlar yüz yaşındadır» önermesinın doğruluk
değeri nedir? 1
2.Örnek: «∃𝒙(𝒙 ∈ 𝑵 ve (x-1)(x+2)» önermesinın doğruluk
değeri nedir? 1
16. Niceleyiciler ve bağlaçlar
A ={𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , ..., 𝑎𝑛 } olmak üzere, A cümlesinde
tanımlanan bir açık önerme p(x) olsun.
«∀𝒙 ∈ 𝑨 , p(x) » önermesinin doğruluk değeri ıle,
𝑝(𝑎1 ) ∧ 𝑝(𝑎2 ) ∧p(𝑎3 ) ∧ ... ∧ p(𝑎𝑛 )
önermesinin doğruluk değeri eşittir.
Bu nedenle,
[ ∀𝒙 ∈ 𝑨 , p(x)] ≡ [𝑝(𝑎1 ) ∧ 𝑝(𝑎2 ) ∧p(𝑎3 ) ∧ ... ∧ p(𝑎𝑛 )]
yazılabilir.
Benzer biçimde
[∃𝒙 ∈ 𝑨 , p(x)] ≡ [𝑝(𝑎1 ) ∨ 𝑝(𝑎2 ) ∨p(𝑎3 ) ∨...∨p(𝑎𝑛 )]
17. Niceleyicilerle
olumsuzlama
1.Teorem (De Morgan): A cümlesinde tanımlanan bir açık önerme p(x)
olduğun göre,
′
a) [∀𝒙 ∈ 𝑨 , 𝒑(𝒙)]′ ≡ [∃𝒙 ∈ 𝑨, 𝒑 𝒙 ]
′
b) [∃𝒙 ∈ 𝑨 , 𝒑(𝒙)]′ ≡ [∀ 𝒙 ∈ 𝑨, 𝒑 𝒙 ]
İspat:
a) [∀𝒙 ∈ 𝑨 , 𝒑(𝒙)] önermesi doğru ise, ′p(x) açık önermesinin doğruluk cümlesi
A cümlesine eşittir. Bu durumda 𝒑 𝒙 açık önermesının doğruluk cümlesi ø
dir. Yani,
[∀𝒙 ∈ 𝑨 , 𝒑(𝒙)] önermesi doğru ise,
′
[∃𝒙 ∈ 𝑨, 𝒑 𝒙 ] önermesi yanlıştır.
Benzer bicimde,
[∀𝒙 ∈ 𝑨 , 𝒑(𝒙)] önermesi yanlış ise,
′
[∃𝒙 ∈ 𝑨, 𝒑 𝒙 ] önermesi doğrudur.
Buradan,
′
[∀𝒙 ∈ 𝑨 , 𝒑(𝒙)]′ ≡ [∃𝒙 ∈ 𝑨, 𝒑 𝒙 ]
elde edilir.
18. Niceleyicilerin dağıtıcılığı
1.Teorem : A cümlesinde tanımlanan iki açık önerme p(x) ve q(x)
olsun.
a) ∀𝒙 ∈ 𝑨 , (𝒑 𝒙 ∧ 𝒒 𝒙 ) ≡ [(∀𝒙 ∈ 𝑨 , 𝒑 𝒙 ) ∧( ∀𝒙 ∈ 𝑨 , 𝒒 𝒙 )]
b)∃𝒙 ∈ 𝑨 , (𝒑 𝒙 ∨ 𝒒 𝒙 ) ≡ [(∃𝒙 ∈ 𝑨 , 𝒑 𝒙 ) ∨(∃𝒙 ∈ 𝑨 , 𝒒 𝒙 )]