ELASTİSİTE TEORİSİ (Stress-Strain) Gerilme

ELASTİSİTE TEORİSİ
(Stress-Strain)
Gerilme-Deformasyon
İlişkisi
Doç.Dr. Eşref YALÇINKAYA
(3. Ders)
Stress - Gerilme

Gerilme; birim alana düşen kuvvettir:
Gerilme = kuvvet / alan
burada
F/A
kuvvet = kütle x ivme
Gerilme birimi :
[(kg)(m/s2)](1/m2) = N/m2 = Pa (pascal)
1 bar = 105 Pa=106 dyne/cm2
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
2
1
Stress - Gerilme
Gerilmeye bir örnek basınçtır.
 Yerküre içinde hangi derinlikte basınç en
büyüktür ?
 24 km’de 0.6 GPa, 2900 km de ~135
GPa, yer içinin merkezinde ~ 350 GPa
 Derin okyanus araştırma araçları niçin
küçüktür ?

E.YALÇINKAYA
3
Stress - Gerilme

Bir cisim gerilme altında kaldığında, buna farklı
şekillerde cevap verir :
 Deforme olur (şekli veya hacmi değişir) – Bu
çoğu kez elastik deformasyondur ve gerilme
kalktığında cisim ilk haline döner. (Plastik
deformasyonda, cisim orijinal haline dönemez.
 Akar – Bu viskoz davranış biçimidir. Gerilme
kalktığında cisim ilk haline dönemez. Duktil
(ductile) davranış olarak ta bilinir.
 Kırılır – Bu kırılgan davranış şeklidir ve sadece
katı cisimlerde oluşur. Gerilme kalktığında cisim
ilk haline dönemez.
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
4
2
Strain - Deformasyon

Deformasyon ; uygulanan bir gerilme
karşılığında cisim içinde meydana gelen
şekil veya hacim değişikliğidir.

Deformasyon, birimsiz ve boyutsuzdur.
E.YALÇINKAYA
5
Strain - Deformasyon

Örnek : 5 cm uzunluğundaki bir lastiği
çekerek uzunluğunu 6 cm yapabilirsiniz. Bu
durumda deformasyon:

Deformasyon = 1 cm / 5 cm = 0.20 veya
20%

Deformasyonun birimi yoktur.
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
6
3
Strain - Deformasyon

Bazı materyaller küçük gerilmelerde çok
büyük deformasyonlara uğrarken, bazıları ise
büyük gerilmelerde çok küçük deformasyonlar
gösterirler

Bu nedenle gerilme ve deformasyon
arasındaki ilişki materyalin özelliğiyle (örneğin
yoğunluk) ilgilidir

Bu stress-strain ilişkisi, materyalin rheology
olarak tanımlanır.
E.YALÇINKAYA
7
Elastik Enerji
Elastik bir cisim deforme olduğunda,
kendisini deforme eden enerjiyi içinde
depolar.
 Bir fırsat verildiğinde depoladığı enerjiyi
serbest bırakabilir.
 Depremler, faylar etrafındaki kayalar
içinde depolanan büyük deformasyon
enerjilerinin açığa çıkması sonucu oluşur.

E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
8
4
Elastik cisim
Bir kuvvetin etkisi altında deformasyona uğrayan ve
kuvvet kaldırıldıktan sonra eski durumuna dönen
cisme elastik cisim, böyle bir deformasyona da
elastik deformasyon denir.
Lineer elastisite teorisinde deformasyon gerilmenin
devamı süresine bağlı değildir ve gerilme ile
deformasyon arasında doğrusal bir bağıntı vardır :
E
Hooke Kanunu
Deformasyon
Elastik
Parametre (Young modülü)
Gerilme
E.YALÇINKAYA
9
Gerilme ve Bileşenleri
Bir hacim elemanı yüzeyleri üzerinde gerilme dokuz bileşeni
ile tanımlanır :
z
zz
yz
xz
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
zy
zx
yy
xx
yx
xy
y
x
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
10
5
Denge durumunda, net
moment sıfırdır ;
xy
yx
yz
zy
xz
zx
Bu sebeple, daha önce tanımladığımız 9
gerilme bileşeninden sadece altısı birbirinden
bağımsızdır.
xx
xy
xz
xy
yy
yz
xz
yz
zz
E.YALÇINKAYA
zz
11
z
yz
xz
zy
xy
yy
yy
xy
xz
zy
y
yz
x
zz
Yüzeye dik olan bileşenler :Normal gerilmeler
( xx , yy , zz)
Yüzeye paralel olan bileşenler :Kayma
gerilmeleri ( xy , xz , yx , yz , zx , zy)
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
12
6
z
z
zz
zz
yy
yy
y
xx
xx
x
x
Normal gerilmeler pozitif ise;
Çekme (tension) gerilmeleri
Normal gerilmeler negatif ise;
Basınç (compression) gerilmeleri
E.YALÇINKAYA
xx
y
yy
13
İzotropik gerilme
zz
Gerilmeler negatif ise; hidrostatik basınç
hacimsel daralma
Gerilmeler pozitif ise; hacimsel genleşme
xx
yy
zz
Anizotropik gerilme
Şekil değişimi
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
14
7
Deformasyon (Strain) ve Bileşenleri
Deformasyon
; uygulanan bir gerilme
karşılığında cisim içinde meydana gelen şekil
veya hacim değişikliğidir.
E.YALÇINKAYA
x
O
M
x+u
O
O noktasında sabitlenmiş bir elastik
ip x yönünde gerilirse L noktası u
kadar yer değiştirip L’ noktasına; M
noktası ise u+ u kadar yer değiştirip
M’ noktasına gelir.
x
L
x+ u
L’
M’
x yönündeki deformasyon
xx =
xx
xx
;
LM uzunluğundaki değişim
orijinal LM uzunluğu
L M LM
LM
x → 0 durumunda ;
xx
x
u
x
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
15
u
x
x
u
x
16
8
u
u
x
xx
x → 0 durumunda ;
u
x
xx
x
v
y
w
z
yy
zz
E.YALÇINKAYA
17
Kayma (shear) deformasyonu;
u
xz
2
z
tan
1
w
tan
x
1
1
2
xz
xz
1
(
2
1
2
2
1
2
w
x
u
z
1
2
2
(çok küçük açıçılar )
(çok küçük açıçılar )
)
boyutlar → 0 durumunda ;
xz
E.YALÇINKAYA
1 w
(
2 x
u
)
z
E.YALÇINKAYA
18
9
E.YALÇINKAYA
19
Dönme deformasyonları ;
z
C’
x
y
z
v
z
u
z
v
x
w
y
w
x
u
y
C
B’
1
2
B
D’
x
y
A
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
1
2
D
x
20
10
Böylece, bir nokta için
u u u v v v w w w
,
,
, , , ,
,
,
x y z x y z x y z
gibi dokuz büyüklük bilinirse komşu noktaların
rölatif yerdeğiştirmeleri hesaplanabilir. Strain
katsayıları aşağıdaki gibi tanımlayalım :
E.YALÇINKAYA
u
x
1
2
1
2
v
x
w
x
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
1
2
u
y
u
z
u
y
v
x
v
y
1
2
w
y
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
21
v
z
1
2
1
2
u
z
v
z
w
x
w
y
w
z
22
11
Tek eksenli genleşme
3 0 0
u
x
0 0 0
0
0 0 0
Tek eksenli sıkışma
u
x
3 0 0
0
E.YALÇINKAYA
0
0 0
0
0 0
23
Basit kayma
u
y
0
Pure kayma
u
y
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
v
x
0
24
12
Dönme
u
y
E.YALÇINKAYA
v
x
0
25
Bu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ;
1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma ( xx, yy,
2. Şekil değişimi ( xy, yx, xz, zx, yz, zy)
3. Dönme ( x, y, z)
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
zz)
26
13
Dilatasyon
Dilatasyon; birim hacime tekabül eden hacim artmasıdır;
lim
V
0
xx
yy
zz
u
x
v
y
w
z
V
V
E.YALÇINKAYA
STRESS
27
STRAIN
xx
xy
xz
xx
xy
xz
yx
yy
yz
yx
yy
yz
zx
zy
zz
zx
zy
zz
E
Hooke Kanunu
Orantı sabiti
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
28
14
Gerilme – Deformasyon Bağıntıları
Elastik cisimlerde gerilme ile deformasyon arasındaki
ilişki Hook Kanunu ile tanımlanır. Hook kanununa
göre deformasyon uygulanan gerilme ile doğru
orantılıdır ;
ij
E ij ,
i, j
x, y, z
Buna göre, elastik cismin içinde herhangi bir noktada
gerilmenin bağımsız altı bileşeninden herbiri
strain’nin altı bileşeninin bir fonksiyonudur ;
E.YALÇINKAYA
29
c11
xx
c12
yy
c13
zz
c14
yz
c15
zx
c16
yy
c21
xx
c22
yy
c23
zz
c24
yz
c25
zx
c26
xy
zz
c31
xx
c32
yy
c33
zz
c34
yz
c35
zx
c36
xy
yz
c41
xx
c42
yy
c43
zz
c44
yz
c45
zx
c46
xy
zx
c51
xx
c52
yy
c53
zz
c54
yz
c55
zx
c56
xy
xy
c61
xx
c62
yy
c63
zz
c64
yz
c65
zx
c66
xy
xx
xy
Cmn katsayılarına malzemenin elastik sabitleri denir.
İzotrop, yani elastik davranışı istikamete bağlı
olmayan bir elastik cisim için bağımsız elastik
sabitlerin sayısı ikiye iner ; ,
. Lame sabitleri
olarak adlandırılan bu iki bağımsız elastik sabit
kullanılarak gerilme-deformasyon ilişkileri tekrar
E.YALÇINKAYA
30
yazılırsa;
E.YALÇINKAYA
15
xx
(
2 )
yy
xx
zz
xx
yz
yz
zx
zx
xy
xy
yy
zz
2
xx
yy
zz
2
yy
zz
2
zz
xx
(
2 )
yy
(
2 )
Yukarıda verilen ilişkiler ileride sismik dalgaları
tanımlarken kullanılacaktır. Aynı zamanda, sismik
dalga hızlarının elastik sabitlere bağlı olduğunu
göreceğiz. İzotrop bir ortam içinde sismik dalga
hızları yayıldıkları yöne bağımlı değildir.
E.YALÇINKAYA
31
; “rijidite (katılık)” veya “kayma modülü”; elastik
izotrop bir cismin kayma gerilmesine ( ör. xy) karşı
direnci olarak tanımlanabilir.
xy
xy
Yüksek değerine sahip bir cisim uygulanan kayma
gerilmesine çok küçük bir kayma deformasyonu ile
karşılık verir. Sıfır rijidite değeri kayma
gerilmelerinin oluşmadığı sıvı ortamlara karşılık
gelir.
Yerkabuğu için rijidite değeri yaklaşık ; 3 x 1011
dyne/cm2 dir. Çelik için
ise ; 8 x 1011 dyne/cm2 dir.32
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
16
Diğer bir elastik sabit “sıkışmazlık” veya “bulk
modülü - k” dür.
k
P
2
3
Bir cismin hacim değişikliğine karşı direnci olarak
tanımlanabilir. Uygulanan bir basınç altında büyük
k değeri daha küçük bir hacim değişikliğine işaret
eder. Sıvı içinde k= dir.
K
G
1.7 x 1011Pa 0.8
1.33
0.5
0.98
0.7
0.3
0.47
0.073
0.025
Demir
Bakır
Silikon
Kuvars
Buz
E.YALÇINKAYA
33
“Poisson oranı – v ” bir cisim üzerinde enine daralmanın
boyuna uzamaya oranı olarak tanımlanır.
v
yy
xx
2(
)
0 ile 0.5 arasında değişir. Hiç sıkışmayan ve tam sıkışan
sırasıyla. Sünger çok küçük bir poisson oranına sahip iken
metal bir silindir yüksek poisson oranına sahiptir. Düşük
poisson oranı aynı zamanda malzemenin yüksek oranda
potansiyel enerji depolayabildiğinin göstergesidir. Bazalt=0.25,
Kireçtaşı=0.32 Cam=0.24, Sünger=0.10 ..
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
34
17
“Young modülü – E ” bir cisim üzerinde boyuna
gerilmenin boyuna deformasyona oranı olarak
tanımlanır. Kabuk kayaları için E ≈ 1011 pascal.
(3
xx
E
2 )
xx
Elastik sabitler E, v ve k basit deneylerle kolayca
ölçülebilmeleri
nedeniyle
mühendislikte
sık
kullanılan sabitlerdir. Sismik dalga yayılımı için ise
ve , bazen de k daha yaygındır.
Çoğu sismolojik problem
=
kabul edilerek
basitleştirilir. Böyle bir cisim Poisson katısı olarak
bilinir ve yerküre için uygun bir yaklaşımdır. Bu
durumda Poisson oranı 0.25 değerine, Young
modülü E = (5/2) , bulk modülü k = (5/3) ‘e eşit
olur.
E.YALÇINKAYA
35
L+ L
L
b- b
b
v
xx
E
xx
F/A
L/ L
b/b
L/ L
yy
xx
V
F
P
F
V- V
xy
k
P
V /V
xy
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
F/A
36
18
Stress ve strain’e göre elastik davranış;
E
Uzama deformasyonu
Shear Stress’e göre elastik davranış;
G
S
Kayma deformasyonu
Hacim değişimindeki orantı sabiti ise;
K (V V0 ) / V0
Hacimsel deformasyonu
E.YALÇINKAYA
37
3 Boyutlu Dalga Denklemleri
2
u ( x, t )
x2
2
1
2
u ( x, t )
t2
1/ 2
( / )
u( x, t )
f (x
vt )
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
Bir Boyutlu Dalga
denklemi ve çözümü
38
19
z
ma
F
xx
2
u
t2
dxdydz
xy
dz
xx
x
(
xy
y
(
xz
z
y
dx
dy
xy
xy
y
x
xx
xx
x
xx
(
xy
xz
dx)dydz
xx
dydz
dy )dxdz
xy
dz )dxdy
xz
dxdz
dxdy
dy
dx
Üç Boyutlu Dalga
denklemleri
E.YALÇINKAYA
2
u
t
2
2
v
t
2
xx
x
w
t
2
xz
y
yx
x
2
xy
z
yy
yz
y
zx
x
z
zy
zz
y
z
39
Bu denklemeler gerilme-deformasyon ve deformasyonyerdeğiştirme ilişkileri kullanılarak yerdeğiştirmelere göre
yazılabilir :
2
u
t2
2
v
t2
2
w
t2
(
)
(
)
(
)
2
x
u
2
y
2
z
2
2
2
x2
y2
z2
v
w
2
Laplace operatörü
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
Üç Boyutlu Dalga
denklemleri
(yerdeğiştirmelere göre)
xx
yy
zz
u
x
v
y
w
z
Dilatasyon
40
20
Bu denklemeler, izotrop, tam elastik bir katı içinde üç
boyutlu hareket denklemlerini temsil ederler. Bu
denklemeler ortam içerisinde iki tür dalga yayılımını
belirlerler. Bunlar gerekli işlemlerden sonra ;
2
t
2
2
2
2
t
E.YALÇINKAYA
x
2
2
x
Bu denklem dilatasyonunun ( +2 / )1/2
hızı ile ortam içerisinde yayıldığını
gösterir ki bu P dalgası yayılma hızıdır. ;
kayma ve rotasyonun (dönme) olmadığı
hacimsel bir deformasyonu tanımlar.
Bu denklem ortam içerisinde x ekseni
boyunca x rotasyonunun ( / )1/2 hızı ile
yayıldığını gösterir ki bu S dalgası yayılma
hızıdır. Tanecik hareketi dalga yayılım
yönüne dik bir düzlem içinde sınırlıdır. x
deformasyonunu hatırlayınız.
E.YALÇINKAYA
41
E.YALÇINKAYA
42
21
İki farklı dalga türünün yayılması düzlem dalga hali gözönüne
alınarak basitçe gösterilebilir. Dalganın x yönünde yayıldığını
düşünürsek u, v, ve w yerdeğiştirmeleri ;
2
t
u
2
2
v
t2
2
t
w
2
(
2
2
)
2
v
( ) 2
x
2
( )
w
x2
u
x2
Görüldüğü
gibi
x
yayılma
doğrultusundaki yerdeğiştirme VP
hızı
ile,
buna
dik
yöndeki
yerdeğiştirmeler ise VS hızı ile
yayılırlar.
E.YALÇINKAYA
43
Z
2
S
P
1/ 2
P dalgası
X
1/ 2
Y
S dalgası
Sıvı içinde = 0 ve k = olduğu için sadece dilatasyon dalgası
(P dalgası) VP = (k/ )1/2 hızı ile yayılır.
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
44
22
Üç boyutlu dalga denkleminin çözümü
Üç boyutlu bir ortamda düzlemsel yayılan dalga durumunda
denklem çözümü :
u ( x, t )
f1 ( x ct )
f 2 ( x ct )
Üç boyutlu bir ortamda bir O merkezinden küresel yayılan
dalga durumunda (küresel koordinatlarda) denklem çözümü :
1
f1 (r
r
u (r , t )
ct )
1
f 2 (r
r
ct )
Küresel yayılan dalgalarda görüldüğü gibi dalga genliği r-1 ile
orantılı olarak azalır.
E.YALÇINKAYA
45
Bir eksene göre simetrik yayılan, yani silindirik olarak
yayılan dalga durumunda çözüm :
u (r , t )
1
r
1/ 2
f1 (r
ct )
1
r
1/ 2
f 2 (r
ct )
Silindirik dalga için dalga cephesi r ile orantılı genişlerken
dalga genliği r-1/2 ile orantılı olarak azalır.
E.YALÇINKAYA
E.YALÇINKAYA
46
23