mühendisler için vektör mekaniği:dinamik

Transkript

10.Basım
BÖLÜM
11
MÜHENDİSLER İÇİN
VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Phillip J. Cornwell
Lecture Notes:
Brian P. Self
California Polytechnic State University
Parçacık Kinematiği
Çeviri: Mühendisler
Mekaniği:
Dinamik
faydalanılmıştır.
için Vektör
kitabından
Yrd. Doç. Dr. Cihan MIZRAK
Karabük Üniversitesi
Mekatronik Mühendisliği Bölümü
© 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
10.
Basım
MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK
Contents
Giriş
Parçacıkların Doğrusal Hareketi:
Konum, Hız ve İvme
Parçacığın Hareketinin
Belirlenmesi
Örnek Problem 11.2
Örnek Problem 11.3
Düzgün Doğrusal Hareket
Sabit İvmeli Doğrusal Hareket
Birden Fazla Parçacığın Hareketi:
Bağıl Hareket
Örnek Problem 11.4
Birden Fazla Parçacığın Hareketi :
Bağımlı Hareket
Örnek Problem 11.5
Doğrusal Hareket Problemlerinin
Grafik Çözümleri
Diğer Grafik Yöntemleri
Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum,
Hız ve İvme
Vektör Fonksiyonlarının Türevleri
Hız ve İvmenin Dik Bileşenleri
Ötelenen Bir Çerçeveye Göre Hareket
Teğetsel ve Normal Bileşenler
Radyal ve Enine Bileşenler
Örnek Problem 11.10
Örnek Problem 11.12
11 - 2
10.
Basım
ÖNEMLİ HATIRLATMALAR
• Ders, sınıfın kapısı kapandığı andan itibaren
başlayacaktır. Kapıyı kapalı görenler bir sonraki
derse gelebilir.
• Ders süresince kendi aranızda
konuşmak yasaktır. Bir sorunuz
olursa bana yöneltin.
• Ders süresince telefonlar sessiz
konumda olmalıdır.
• Ders dahil tüm soru ve görüşleriniz için;
Eposta: [email protected]
http://web.karabuk.edu.tr/cihanmizrak/
10.
Basım
Ders Kitabı (Türkçe) :
Beer, Johnston, Cornwell-Mühendisler
için Vektör Mekaniği: Dinamik Çevirisi
(Ömer Gündoğdu, Osman Kopmaz)
Yaşar Pala-Mühendislik Mekaniği
Dinamik
10.
Basım
• Temel matematik bilgilerinizi
tazeleyin (trigonometrik dönüşümler,
türev, integral)
• Bunun yanında Mühendislik
Mekaniği-STATİK (Birim
vektör, Serbest Çizim
Diyagramı)
10.
Basım
DİNAMİK NEDİR
Türk Dil Kurumu’na göre;
Mekaniğin KUVVET, HAREKET,
ENERJİ arasındaki ilişkilerini inceleyen
dalı.
Diğer bir deyiş ile;
HAREKET’e sebep olan ve
hareketi değiştiren unsurlar
ile HAREKETin sonuçlarını
inceler.
Öyle ise
HAREKET
olmasaydı
10.
Basım
Katı
Elastik
Akışkan
MEKANİK NEDİR
KUVVETlerin etkisi
altındaki cisimlerin HAREKET
li ve DURAĞAN hâllerini
inceleyen bilim dalıdır.
MÜHENDSİLİK MEKANİĞİ
MÜHENDSİLİK MEKANİĞİ
DİNAMİK
STATİK
KİNETİK
HAREKETin sebebi
KİNEMATİK
HAREKETin sonucu
10.
Basım
HAREKET NEDİR
Sebep
ENERJİ
Sonuç
Dönme
T=Iα
KUVVET
MOMENTUM
YER
DEĞİŞTİRME
HAREKET İVME
Öteleme
F=ma
Yada;
∫
HIZ
Dönme+Öteleme
KİNEMATİK
KİNETİK
Şeklindedir.
10.
Basım
HAREKET NEREDE GERÇEKLEŞİR
Üç Boyutta
(Uzay)
Tek Boyutta
(Doğrusal)
HAREKET
Dört Boyutta
İki Boyutta
(Düzlemsel)
10.
Basım
ÜÇ
z BOYUTTA KOORDİNAT SİSTEMLERİ
z
k
j
y
.
i
.
x
z
KOORDİNAT
SİSTEMLERİ
Kartezyen
z
r
y
.
ϕ
x
θ
Küresel
x
θ r
y
Silindirik
10.
Basım
Ne hareket Eder
KÜTLESİ OLAN HERŞEY
Peki
IŞIK
O zaman;
Parçacık:
Cismin kütlesinin bir noktada toplandığı
varsayılarak işlem yapılan cisimlerdir.
Bu cisimlerin ataleti
Katı Cisim:
İç ve dış etkilerle şeklini değiştirmeyen (Kabul. N.Ş.A’da böyle
değildir), yani esnemeyen ve ataleti olan cisimdir.
10.
Basım
Göreceğİmİz konular
TOPARLAYACAK OLURSAK;
Parçacıkların
KİNEMATİK
Analizi
Katı Cisimlerin
KİNETİK
10.
Basım
Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız ve İvme
• Doğrusal hareket: Bir doğru
boyunca parçacığın hareketi.
• Konum koordinatı: Bir doğru
üzerinde parçacığın orijinden pozitif
yada negatif olan uzaklığı belirtir.
• Bir parçacığın yer koordinatı her t
zamanı için biliniyorsa, parçacığın
hareketi biliniyordur deriz.
• Hareketin zaman tablosu x ve t
cinsinden mesela;
x  6t 2  t 3
gibi bir denklem yada yandaki şekilde x
ve t ye bağlı grafik olarak verilebilir.
11 - 13
10.
Basım
• Parçacığın t zamanında işgal ettiği P yerini
ve buna karşılık gelen x koordinatını göz
önüne alalım. Aynı zamanda parçacığın
t+Dt, zamanında bulunduğu P’ yerini
düşünelim. Buna göre;
Dx
Ortalama hız 
Dt
Dx
Anlık hız  v  lim
Dt  0 D t
• Anlık hız pozitif yada negatif değer alabilir.
Ani hızın şiddeti ise parçacığın süratini
verir.
• Türevin tanımından;
Dx dx
v  lim

dt
Dt 0 Dt
e.g., x  6t 2  t 3
dx
v
 12t  3t 2
dt
11 - 14
10.
Basım
• Parçacığın t anındaki hızı v ve daha sonraki
bir t+Dt anındaki hızı v+Dv ise parçacığın;
Dv
Anlık ivmesi  a  lim
Dt 0 Dt
• Anlık ivme;
- Pozitif: Pozitif hız artabilir yada
Negatif hız azalabilir.
- Negatif: Pozitif hız azalabilir yada
Negatif hız artabilir.
• Türevin tanımından;
Dv dv d 2 x
a  lim

 2
dt dt
Dt  0 D t
e.g. v  12t  3t 2
a
dv
 12  6t
dt
11 - 15
10.
Basım
İçerik Quiz
Parçacığın kinematiği için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
a) Parçacığın hızı daima pozitiftir.
b) Konum-zaman grafiğinin eğimi hızı verir.
c) Parçacığın konumu sıfır ise hız sıfır olmak
zorundadır.
d) Parçacığın hızı sıfır ise ivmesi sıfır olmak
zorundadır.
2 - 16
10.
Basım
• Örneğimizden,
x  6t 2  t 3
v
dx
 12t  3t 2
dt
dv d 2 x
a

 12  6t
dt dt 2
• t = 2 s için x, v, ve a nedir?
- at t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• Dikkat edilirse a=0 olduğunda vmax olur. Bu
nedenle hız-zaman eğrisinin türevi bu noktada
sıfırdır.
• t = 4 s için x, v, ve a ne olur ?
- at t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
11 - 17
10.
Basım
• İvme genellikle uygulanan kuvvetten yola çıkarak elde
edilmektedir. (Bu konu kinetik kısmında detaylı
anlatılacaktır) Generally have three classes of motion
- ivme, zamanın bir fonksiyonu olarak, a = f(t)
- ivme, konumun bir fonksiyonu olarak, a = f(x)
- ivme, hızın bir fonksiyonu olarak, a = f(v)
ifade edilebilir.
• Kuvvetin pozisyonun bir fonksiyonu olduğu fiziksel
bir örnek düşünebilirmisiniz?
yay
sürtünme
11 - 18
10.
Basım
İvme, zamanın, konumun ve hızın birer fonksiyonu ise;
Eğer…
a  a t 
a  a  x
Kinematik ilişki
dt 
dx
dv
and a 
v
dt
dv
 a (v )
dt
dv
v
 a v
dx
v
t
v0
0
 dv   a  t  dt
dv
 a (t )
dt
v dv  a  x  dx
a  a v
İntegral
v
x
v0
x0
 v dv   a  x  dx
v
t
dv
v a  v   0 dt
0
x
v
v dv
x dx  v a  v 
0
0
2 - 19
10.
Basım
Örnek Problem 11.2
SOLUTION:
• v(t) ve y(t) değerleri için sabit
ivmeden yola çıkılarak integre
edilecek
• Hızın sıfır olduğu noktada maksimum
yükseklik olur ve buradan bu noktaya
çıkmak için gerekli olan t süresi ve y
mesafesi bulunur.
Bir top yerden 20 m yukarıdaki bir
pencereden düşey olarak yukarı doğru
10 m/s’lik bir hızla atılıyor. Topun
• Top yere çarptığında ise y=0 olur ve
2
ivmesinin sabit ve aşağı doğru 9.81 m/s
buradan gerekli süre ile topun hızı
olduğu bilindiğine göre;
bulunur.
• Herhangi bir t anında ve herhangi bir
yükseklikteyken v hızını ve y yüksekliğini,
• Topun ulaştığı maksimum yüksekliği ve
buna karşılık gelen t zamanını,
• Topun yere çarptığı zamanı ve bu sıradaki
hızı belirleyip v-t ve y-t eğrilerini çiziniz.
11 - 20
10.
Basım
Örnek Problem 11.2
ÇÖZÜM:
• v(t) ve y(t) için integrasyon işlemleri
dv
 a  9.81 m s 2
dt
v t 
t
vt   v0  9.81t
 dv    9.81 dt
v0
0
vt   10
dy
 v  10  9.81t
dt
y t 
t
 dy   10  9.81t dt
y0
0
m 
m
  9.81 2  t
s 
s 
y t   y0  10t  12 9.81t 2
m
 m 
y t   20 m  10 t   4.905 2 t 2
 s 
s 
11 - 21
10.
Basım
Örnek Problem 11.2
• Hızın sıfır olduğu noktada t;
vt   10
m 
m
  9.81 2  t  0
s 
s 
t  1.019 s
• Bu zaman süresince topun aldığı mesafe ve pozisyonu;
m
 m 
y t   20 m  10 t   4.905 2 t 2
 s 
s 
m

 m
y  20 m  10 1.019 s    4.905 2 1.019 s 2
 s

s 
y  25.1 m
11 - 22
10.
Basım
Örnek Problem 11.2
• Topun son pozisyonu sıfır olduğundaki t;
m
 m 
y t   20 m  10 t   4.905 2 t 2  0
 s 
s 
t  1.243 s manasiz 
t  3.28 s
• Bu noktadaki hızı;
m 
m
vt   10   9.81 2  t
s 
s 
v3.28 s   10
m 
m
  9.81 2  3.28 s 
s 
s 
v  22.2
m
s
11 - 23
10.
Basım
Örnek Problem 11.3
ÇÖZÜM:
a  kv
v(t)’yi bulmak için;
• Integrate a = dv/dt = -kv
v(x)’yi bulmak için;
Belli tipteki silahlarda geri tepmeyi
azaltmak için kullanılan bu fren
mekanizması, esas itibari ile namluya
bağlı ve yağla doldurulmuş sabit bir
silindir içinde hareket eden bir pistondan
ibarettir. Namlu v0 hızı ile geri teptiğinde
piston hareket eder ve yağ, piston ve
namlunun hızlarıyla orantılı
yavaşlamasına neden olacak tarzda,
pistondaki deliklerden geçmeye zorlanır.
Yani a=-kv’dir. Buna göre v’yi t
cinsinden, x’i t cinsinden, v’yi t cinsinden
ifade ediniz ve hareket eğrilerini çiziniz.
• Integrate a = v dv/dx = -kv
x(t)’yi bulmak için;
• Integrate v(t) = dx/dt
11 - 24
10.
Basım
Örnek Problem 11.3
ÇÖZÜM:
• v(t) için Integrate a = dv/dt = -kv
v
dv
a
 kv
dt
t
dv
v v  k 0 dt
0
ln
v t 
v0
 kt
vt   v0 e kt
• x(t) için Integrate v(t) = dx/dt.
v t  
dx
 v0 e  kt
dt
x
t
0
0
 kt
dx

v
e
0

 dt
t
 1

x  t   v0   e  kt 
 k
0
xt  

v0
1  e  kt
k
11 - 25

10.
Basım
Örnek Problem 11.3
• v(x) için Integrate a = v dv/dx = -kv.
dv
a  v   kv
dx
dv   k dx
v
x
v0
0
 dv  k  dx
v  v0   kx
v  v0  kx
• Alternatif,

v0
1  e  kt
k

with
xt  
and
vt   v0 e  kt or e  kt 
then
xt  
v0  vt  
1 

k 
v0 
vt 
v0
v  v0  kx
11 - 26
10.
Basım
Group Problem Çözümü
Bir bovling topu, bir bottan gölün yüzeyine 8 m/s’lik
hızla çarpacak şekilde bırakılıyor. Su içindeyken
topun aşağıya doğru a=3-0.1v2 ivmesine sahip
olduğunu kabul ederek topun gölün tabanına
vurduğundaki hızını bulunuz.
+y
Hangi integrasyonu kullanmak gerekir?
v
(a)
(b)
t
 dv   a  t  dt
v0
0
x
v
v dv
x dx  v a  v 
0
0
(c)
v
x
v0
x0
 v dv   a  x  dx
v
(d)
t
dv
v a  v   0 dt
0
2 - 27
10.
Basım
ÇÖZÜM:
• Uygun kinematik ilişkileri kullanarak
zamana, konuma yada hıza bağlı
ivme ifadesini belirleyin.
Durgun pozisyondan harekete geçen
otomobil hızla orantılı olarak
• Aracın yolun yarısına kadar olan kat
ettiği mesafeyi bulun.
• Hızı bulmak için integrasyon yapın.
a  3  0.001v 2
eşitliği ile ivmelenmektedir. 200 m
yarıçapa sahip dairesel bir yol üzerinde
ilerleyen aracın yolun yarısına geldiği
andaki hızı ne olur?
11 - 28
10.
Basım
Grup Problem Çözümü
Verilen: a  3  0.001v 2
vo = 0, r = 200 m
Bulunacak: v, ½ yol
Maximum hız
Uygun kinematik ilişkiyi seç.
İvme hızın bir fonksiyonu olduğundan
katedilen mesafe, aşağıdaki kinematik ilişki
yardımıyla elde edilir. Onun için zamana
bağlı kinematik ilişkileri kullanmaya gerek
yoktur.
dv
v
 a v
dx
x
v
v dv
a v
v0
 dx  
x0
Yolun yarısına kadar olan toplam
yerdeğiştirme
x   r  3.14(200)  628.32 m
2 - 29
10.
Basım
Verilenlere göre integral ve sınırları
x
v
v dv
dx

x
v a  v 
0
0
628.32

0
v
v
dv
2
3  0.001v
0
dx  
İntegralin hesaplanması ve hızın elde edilmesi
1
2 v
628.32  
ln 3  0.001v 
0
0.002
628.32(0.002)  ln 3  0.001v 2   ln 3  0.001(0) 
ln 3  0.001v 2   1.2566  1.0986=  0.15802
Her iki taraf e tabanında yazılmasıyla
3  0.001v 2  e0.15802
2 - 30
10.
Basım
Buradan v
3  0.001v 2  e0.15802
3  e0.15802
v 
 2146.2
0.001
v  46.3268 m/s
2
Maksimum hız nasıl hesaplanacak?
Hızın maksimum olduğu yerde
ivme sıfırdır.
0.001v 2  3
Buradan
vmax 
a  3  0.001v 2
3
0.001
vmax  54.772 m/s
2 - 31
10.
Basım
Düzgün Doğrusal Hareket
Serbest
düşüş
esnasında
paraşütlünün sahip olduğu
maksimum hız, paraşütlünün
ağırlığının
havanın
direnç
kuvvetine eşit olduğu zaman
gerçekleşir. Bu hareket düz bir
çizgi boyunca devam ederse
buna düzgün doğrusal hareket
denir.
Düzgün doğrusal hareket
yapan parçacık için hız
sabit ve bu nedenle de
ivme sıfıra eşittir.
dx
 v  constant
dt
x
t
x0
0
 dx  v  dt
x  x0  vt
x  x0  vt
BU DURUM SADECE
DÜZGÜN DOĞRUSAL
HAREKETTE GEÇERLİDİR.
11 - 32
10.
Basım
Eğer cisim üzerine
uygulanan kuvvet sabit ise
bu cisim için sabit ivmeli
doğrusal hareket yapıyor
denir.
Sürtünmenin ihmal
edildiği durum için serbest
düşme hareketi.
11 - 33
10.
Basım
Sabit ivmeli doğrusal hareket yapan bir parçacığın ivmesi sabittir.
Gördüğünüz Fizik I dersinden tanıdık gelecek ifadeler;
dv
 a  constant
dt
dx
 v0  at
dt
x
v
t
 dv  a  dt
v0
0
t
 dx    v0  at  dt
x0
dv
v  a  constant
dx
v  v0  at
x  x0  v0t  12 at 2
0
v
x
v0
x0
 v dv  a  dx
v 2  v02  2a  x  x0 
BU DURUM SADECE SABİT İVMELİ
DOĞRUSAL HAREKETTE GEÇERLİDİR.
11 - 34
10.
Basım
Birden Fazla Parçacığın Hareketi
Birden fazla parçacığın hareketini düşünecek olursak, bu parçacıklar
birbirinden bağımsız yada bağımlı olarak hareket edebilmektedirler.
2 - 35
10.
Basım
Birden Fazla Parçacığın Hareketi: Bağıl Hareket
• İki parçacığın aynı doğru üzerindeki hareketi
için zaman aynı başlangıç anından itibaren
kaydedilmeli ve yer değiştirmelerde aynı
orijinden ve aynı doğrultuda ölçülmelidir.
 x B  x A  B’nin A’ya göre bağıl
yer değiştirmesi
xB  x A  xB A
xB
A
 v B  v A  B’nin A’ya göre bağıl
hızı
vB  v A  vB A
vB
A
 a B  a A  B’nin A’ya göre bağıl
ivmesi
aB  a A  aB A
aB
A
11 - 36
10.
Basım
Örnek Problem 11.4
ÇÖZÜM:
• Topun hareketin sabit ivmeli doğrusal
bir hareket olduğu görülüp, başlangıç
anındaki konum, hız ve ivme
değerlerinin belirlenmesi
• Asansörün hareketinin sabit hızla
doğrusal hareket olduğu ve buradan yer
değiştirmesinin belirlenmesi
Bir top asansör boşluğunda 12 m’den
•
düşey doğrultuda 18 m/s’lik bir
başlangıç hızıyla yukarıya fırlatılıyor.
Aynı anda açık platformlu bir asansör,
yukarı doğru 2 m/s’lik sabit hızla
hareket halinde 5 m yükseklikten
•
geçiyor. (a) Topun ne zaman ve nerede
asansöre çarpacağını (b) top asansöre
çarptığı anda topun asansöre göre bağıl
hızını
bulunuz
Top asansöre çarptığında birbirlerine
göre bağıl yer değiştirmelerinin aynı
olduğu ve buradan çarpma zamanının
belirlenmesi
Topun asansöre göre bağıl hızını
bulmak için topun hızı ve asansörün
hızının bağıl hız ifadesinde yerlerine
konulması
11 - 37
10.
Basım
Örnek Problem 11.4
ÇÖZÜM:
• O orijini yer seviyesinde yerleştirip pozitif yönü
yukarı doğru seçersek, topun başlangıç konumu,
y0=+12 m, başlangıç hızı v0=+18 m/s ve ivme a=9.81 m/s2 ‘den;
v B  v0  at  18
m 
m
  9.81 2 t
s 
s 
m
 m 
y B  y0  v0t  12 at 2  12 m  18 t   4.905 2 t 2
 s 
s 
• Tekrardan O orijini yer seviyesinde yerleştirip
pozitif yönü yukarı doğru seçersek, asansörün
başlangıç konumu, y0=+5 m, başlangıç hızı v0=+2
m/s ‘den;
m
vE  2
s
 m
y E  y0  v E t  5 m   2 t
 s
11 - 38
10.
Basım
Örnek Problem 11.4
• Topun asansöre göre bağıl konumu çarpma anında aynı
olduğundan;
yB
E


 12  18t  4.905t 2  5  2t   0
t  0.39 s meaningles s 
t  3.65 s
• Çarpma zamanı elde edildikten sonra asansörün som
konumu ve topun asansöre göre olan bağıl hızı;
y E  5  23.65
vB
E
y E  12.3 m
 18  9.81t   2
 16  9.813.65
v B E  19.81
m
s
11 - 39
10.
Basım
Birden Fazla Parçacığın Hareketi: Bağımlı Hareket
• Parçacığın konumu bir yada birden fazla parçacığın
konumuna bağlı olabilir.
• B kütlesinin konumu A kütlesinin konumuna bağlıdır.
Halat esnemeyen sabit uzunlukta olduğu için her bir
kütlenin referans düzlemine göre olan mesafelerinin
toplamı sabittir.
x A  2 x B  sabit (tek serbestlik dereceli)
• A, B ve C kütleleri birlikte bağımlı hareket gerçekleştirir.
2 x A  2 x B  xC  sabit (iki serbestlik dereceli)
• Konumun doğrusal hareketi için hız ve ivme ifadeleri
de benze şekildedir.
dx
dx A
dx
 2 B  C  0 or
dt
dt
dt
dv
dv
dv
2 A  2 B  C  0 or
dt
dt
dt
2
2v A  2v B  vC  0
2 a A  2 a B  aC  0
11 - 40
10.
Basım
Örnek Problem 11.5
ÇÖZÜM:
• Orijin üst yatay yüzeye yerleştirilir ve
pozitif yönü aşağı doğru seçilir.
• A bileziğinin sabit ivmeli doğrusal
hareketinden L mesafesini alması için
gerekli t bulunur.
A bileziği ve B bloğu şekilde gösterildiği
gibi C, D ve E gibi üç makaradan geçen
• D makarasının sabit ivmeli doğrusal
bir kabloyla bağlanmışlardır. C ve E
hareketinden t zamanındaki son konumu,
makaraları sabittir. Buna karşılık D
makarası 75 mm/s’lik sabit bir hızla
• B bloğunun hareketi A bileziği ve D
aşağıya doğru çekilen bir bileziğe
makarasına bağlı olduğundan t zamanı
tutturulmuştur. t=0’da A bileziği K
için bloğun bağımlı hareketi,
yerinden itibaren sabit bir ivmeyle ve ilk
hızsız olarak aşağıya doğru hareket
etmeye başlamaktadır. L noktasından
• Konumun türevlendirilmesi ile B bloğunun
geçerken A bileziğinin hızının 300 mm/s
hızı ve ivmesi elde edilmiş olur.
olduğu bilindiğine göre tam bu sırada B
bloğunun yüksekliğindeki değişim, hız ve
11 - 41
ivmesini
bulunuz.
© 2013 The
McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
10.
Basım
Örnek Problem 11.5
ÇÖZÜM:
• Orijin üst yatay yüzeye yerleştirilir ve pozitif yönü
aşağı doğru seçilerek
• A bileziğinin sabit ivmeli doğrusal hareketinden
sırasıyla ivme ve t zamanı;
v A2  v A 0  2a A x A   x A 0 
2
2
mm 

300

  2a A 200 mm 
s 

a A  225
mm
s2
v A  v A 0  a At
mm
mm
300
 225 2 t
s
s
t  1.333 s
11 - 42
10.
Basım
Sample Problem 11.5
• D makarasının düzgün doğrusal hareketinden t
zamanı için konumu;
xD  xD 0  vD t
 mm 
xD  xD 0   75
1.333 s   100 mm
s 

• B bloğunun A ve D’ye göre olan bağımlı
hareketinden, halatın boyu sabit olacağından t
zamanı için orijine göre olan herbirinin konumları
toplamı;
x A  2 x D  x B   x A 0  2 x D 0   x B 0
x A   x A 0   2x D   x D 0   x B   x B 0   0
8 in.  24 in.  x B   x B 0   0
xB   xB 0  400 mm
11 - 43
10.
Basım
Örnek Problem 11.5
• B bloğunun konum ifadesi türevlendirilerek hız ve
ivme;
x A  2 xD  xB  sabit
v A  2v D  v B  0
mm   mm 

 300
  2 75
  vB  0
s  
s 

a A  2a D  a B  0
mm 

 225 2   vB  0
s 

mm
vB  450
s
mm
a B  225 2
s
11 - 44
10.
Basım
Grup Problemi
A bloğu 6 m/s’lik sabit hızla sola doğru
hareket ediyor. Buna göre B bloğunun
hızını bulunuz.
Çözüm adımları
• Serbest çizim diagramı çizilir ve
koordinat ekseni tanımlanır.
• Kısıt eşitliği yazılır.
• Kısıt eşitliği türevlendirilerek hız
değeri elde edilir.
2 - 45
10.
Basım
Verilenler: vA= 6 m/s sol tarafa hareket
Bulunacak: vB
xA
Bloğun ne kadar hareket ettiği önemsiz.
Çünkü halatın boyu sabit.
yB
Serbest Çizim diagramı çizilir ve koordinat
eksenleri tanımlanır.
Kısıt eşitliğinden;
xA  3 yB  constants  L
Kısıt eşitliğinin birinci mertebeden
türevi;
6 m/s + 3vB  0
v B  2 m/s 
Burada xA ‘nın büyük, yB’nin diğerine göre küçük değer aldığı görülmektedir. NEDEN
2 - 46
Mühendisler genellikle konum, hız ve ivme değerlerini
sensörler aracılığı ile veri şeklinde elde ederler. Grafik
çözüm yöntemi bu verilerin analiz edilmesinde sıklıkla
kullanılmaktadır.
Data Fideltity / Highest Recorded Punch
180
160
Boksörün vuruş
anında yumruğundan
ivme sensörü aracılığı
ile alınmış zamana
göre ivmelenme
değerleri
140
Acceleration (g)
10.
Basım
Doğrusal Hareket Problemlerinin Grafik Çözümleri
120
100
80
60
40
20
0
47.76
47.77
47.78
47.79
47.8
47.81
Time (s)
2 - 47
10.
Basım
• Verilen x-t eğrisinin eğiminden elde
edilen, v-t eğrisi
• Verilen v-t eğrisinin eğiminden elde
edilen, a-t eğrisi
11 - 48
10.
Basım
• Verilen a-t eğrisin t1 ve t2 zaman aralığı için altında kalan
alanın hesaplanması ile elde edilen v-t eğrisi
• Verilen v-t eğrisin t1 ve t2 zaman aralığı için altında kalan
alanın hesaplanması ile elde edilen x-t eğrisi
11 - 49
10.
Basım
Diğer Grafik Metodları
• Moment-alan metodu bir parçacığın her hangibir andaki
yerini a-t grafiğinden elde etmek için kullanılır.
x1  x0  altıltınd alan v  t eğğisinin
v1
 v0t1   t1  t dv
v0
dv = a dt eşitliğinden
x1  x0  v0t1 
v1
 t1  t  a dt
v0
v1
 t1  t  a dt  a-t eğrisinin t = t1 çizgisine göre
v0
birinci eylemsizlik momenti under.
x1  x0  v0t1  area under a-t curve t1  t 
t  abscissa of centroid C
11 - 50
10.
Basım
Diğer Grafik Metodları
• Parçacığın ivmesinin v-x eğrisi yardımıyla bulunması:
dv
dx
 AB tan 
av
 BC  subnormal to v-x curve
11 - 51
10.
Basım
Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız ve İvme
Bezbol ve otomobilin eğrisel hareketi
• Parçacığın doğrusal hareketten farklı olarak
bir eğri boyunca iki boyutta gerçekleştirdiği
hareket eğrisel hareket.
11 - 52
10.
Basım
• Parçacığın verilen bir t anında işgal ettiği P yerini tanımlamak için
öncelikle x, y, z gibi sabit referans sistemi seçilir ve O orijiniyle P noktasını
bağlayan r vektörü çizilir. Bu r vektörüne t zamanında parçacığın yer
vektörü de denilir.
• Parçacığın t + Dt anında işgal ettiği P’ yerini tanımlayan r’ vektörünü ele
alacak olursak
11 - 53
10.
Basım
Ani hız
Ani Sürat
(Vektör)
(skaler)
Dr dr
v  lim

Dt  0 D t
dt
Ds ds

Dt  0 D t
dt
v  lim
11 - 54
10.
Basım

v
• Parçacığın herhangi bir t anında sahip olduğu hız, ve t+∆t anında sahip

v
olduğu hız  ise;
Dv dv
a  lim

 anlık ivme (vektör)
Dt  0 D t
dt
• Parçacığın herhangi bir t anında ve t+∆t anındaki hızı düşünüldüğünde;
• İvme vektörünün doğrultusu genellikle
parçacığın yörüngesine ve hızına teğet değildir.
11 - 55
10.
Basım
• Parçacığın hız vektörünün zamana göre değişiminden elde edilen
yörüngeye parçacığın ivmesi her zaman teğettir. Bu yörüngeye hodograf
denir.
11 - 56
10.
Basım
Vektör Fonksiyonlarının
Türevleri

•
Pu  u, skaler değişkenine bağlı vektör fonksiyonu olsun




dP
DP
Pu  Du   Pu 
 lim
 lim
du Du 0 Du Du 0
Du
• Türevlerin toplamı

 

d P  Q  dP dQ


du
du du
• Skaler ve Vektörel fonksiyonların çarpımların türevi



d  f P  df
dP

P f
du
du
du
• İki fonksiyonun skaler ve vektörel çarpımlarının türevleri

 

d P  Q  dP   dQ

Q  P 
du
du
du

 



d P  Q  dP
dQ

Q  P
du
du
du
11 - 57
10.
Basım
• P parçacığının r yer vektörünü dik bileşenlere
ayırarak




r  xi  y j  zk
• Hız vektörü,



 dx  dy  dz 
v  i  j  k  xi  y j  zk
dt
dt
dt



 vx i  v y j  vz k
• İvme vektörü,



 d 2 x d 2 y  d 2 z 
a  2 i  2 j  2 k  xi  y j  zk
dt
dt
dt



 ax i  a y j  az k
11 - 58
10.
Basım
• Mesela bir top mermisinin hareketi düşünüldüğünde
hava direnci ihmal edildiğinde her bir eksen için ayrı
ayarı ivme ifadeleri düzenlenebilir.
a x  x  0
a y  y   g
a z  z  0
Başlangıç koşullarından,
v x 0 , v y  , v z 0  0
x0  y 0  z 0  0
0
İki kere integrasyon işleminden sonra,
v x  v x 0
x  v x 0 t
v y  v y   gt
0
y  v y  y  12 gt 2
0
vz  0
z0
• Hareketin yatay bileşeni sabit hızlı doğrusal hareket
• Hareketin dikey bileşeni sabit ivmeli doğrusal hareket
• Eğik atış hareketinde dik bileşenler üzerindeki
hareket dik bileşenler üzerinde ayrı ayrı
değerlendirilir.
11 - 59
10.
Basım
Örnek Problem 11.7
ÇÖZÜM:
• Yatay ve dikey bileşenlerdeki hareketler
ayrı ayrı düşünülür.
• y-yönündeki hareket denklemleri yazılır
• x-yönündeki hareket denklemleri yazılır.
• Yatay doğrultudaki mesafeden yola
Bir
top
mermisi
150
m
çıkarak merminin toplam uçuş süresi
yükseklikteki
bir
uçurumun
hesaplanır.
kenarından yatayla 30 açıda 180
m/s’lik bir başlangıç hızıyla • v =0 anında merminin çıkabileceği azami
y
ateşleniyor. Hava direncini ihmal
yükseklik hesaplanır.
ederek (a) Topla merminin yere
düştüğü nokta arasındaki uzaklığı
(b) merminin yerden itibaren
ulaşabileceği en fazla yüksekliği
bulunuz.
11 - 60
10.
Basım
Örnek Problem 11.7
ÇÖZÜM:
Verilenler:
(v)o =180 m/s
(y)o =150 m
(a)y = - 9.81 m/s2
(a)x = 0 m/s2
Dikey hareket– sabit ivmeli
Yatay hareket – sabit hızlı:
Choose positive x to the right as shown
11 - 61
10.
Basım
Örnek Problem 11.7
ÇÖZÜM:
Yatay mesafe için,
Merminin zeminde ulaşacağı son
konumu
(2) nolu denklemde yerine yazılırsa,
Merminin toplam havada kalma zamanı t bulunur.
(4) nolu denklemde bulunan t zamanı yerine yazıldığında
Azami yükseklik vy=0 olduğu anda gerçekleşir.
Merminin zeminden ulaşabileceği azami yükseklik=
11 - 62
10.
Basım
Concept Quiz
Eğer mermi 150 m
yükseklikten tekrar ateşlenirse
yatay yönde alabileceği mesafe
aşağıdaki durumlardan
hangisinde daha fazla olur?
a)
b)
c)
d)
Fırlatma açısı 45 olma durumunda
Fırlatma açısı 45 ’den küçükse
Fırlatma açısı 45 ’den büyükse
Başlangıç hızını dikey bileşeni artırıldığında
2 - 63
10.
Basım
12.2 m
1.5 m
ÇÖZÜM:
Bir beyzbol makinesi, beyzbol
toplarını yatay v0 hızıyla
fırlatıyor. h yüksekliğinin 788
mm olması istendiğine göre (a)
v0 bulunuz.
• Yatay ve dikey bileşenlerdeki hareketler
ayrı ayrı düşünülür.
• y-yönündeki hareket denklemleri yazılır
• x-yönündeki hareket denklemleri yazılır
• Topun 788 mm deki pozisyonu için varış
zamanı bulunur
11 - 64
10.
Basım
Verilenler : x= 12.2 m,
yo = 1.5 m, yf= 788 mm.
Bulunacak: vo
y-yönündeki
hareketin analizi
y f  y0  (0)t 
x-yönündeki
hareketin analizi
1 2
gt
2
x  0  (vx )0 t  v0t
12.2 m  (v0 )2.047 s
1 2
0.788  1.5  gt
2
 0.712 m  4.905t
2
v0  5.96 m / s
t  2.047 s
2 - 65

mühendisler için vektör mekaniği:dinamik

Transkript

Benzer belgeler

DİNAMİK

Halk Sağlığında vektör kontrolü

Prof. Dr. Kadir ÖZER “ ÇOCUKLAR BİZDEN, BİZ

ArtCAM 2015`teki Yenilikler