cantor k¨umeler˙ı

CANTOR KÜMELERİ
H. Turgay Kaptanoğlu
∗
Yazımızın başlığında adı geçen Alman
matematikçisi Georg Cantor (1845–1918), modern matematiğin temeli olan kümeler teorisinin
kurucusu olarak kabul edilir. Cantor, 19. yüzyılın
sonlarında yazdığı makalelerinde, sonsuzluğu
ve sonsuz kümeleri matematiksel ciddiyetle inceleyen ilk kişidir. Çeşitli sonsuzlukları birbirleriyle karşılaştırmış ve sonsuz büyüklüklerin
de kendi aralarında bir aritmetiği olduğunu farketmiştir. Sonsuzluklarla ilgilenen okurlara bu
derginin daha önceki bir sayısındaki (cilt:2, sayı:5,
sayfa:1–9) bir yazıyı öneriyoruz.
Bu yazıda inceleyeceğimiz kümeleri
Cantor, konuya oldukça ilgisiz gibi görünen
trigonometrik serilerle ilgili bir problemi çözmek
için bulmuştur. Bu kümelerin insanın sezgisine
çok aykırı gelen özellikleri vardır. Bundan dolayı
daha çok, ilk bakışta doğru gibi görünen bazı
iddiaların yanlışlığını göstermede örnek olarak
kullanılırlar.
birlik açık aralıklardan meydana gelen
1 2 [ 7 8
,
,
V2 = J2,1 ∪ J2,2 =
9 9
9 9
kümesini atalım. Geriye kalan C2 kümesi uzunlukları 19 olan dört kapalı aralıktan oluşur:
C2 = I2,1 ∪ I2,2 ∪ I2,3 ∪ I2,4
1 [ 2 1 [ 2 7 [ 8
= 0,
,
,
,1 .
9
9 3
3 9
9
Yukarıda V1 = J1,1 de diyebiliriz.
aşamada ise atılanlar
Üçüncü
V3 = J3,1 ∪ J3,2 ∪ J3,3 ∪ J3,4
1 2 [ 7 8
=
,
,
27 27
27 27
[ 19 20 [ 25 26 ,
,
27 27
27 27
ve kalanlar
A. Cantor’un Üçte Birlik Kümesi
Önce en basit haliyle bir Cantor kümesinin
nasıl inşa edildiğini göreceğiz. Reel sayılardaki
[0, 1] kapalı aralığını C0 ile gösterelim. C0 bizim
evrensel kümemiz olacak ve bütün işlemleri onun
içinde yapacağız. C0 ’in tam ortasındaki üçte birlik kısım olan
1 2
J1,1 =
,
3 3
açık aralığını çıkartalım. Geriye uzunlukları
olan iki kapalı aralık kalır:
I1,1 = 0,
1
3
ve
I1,2 =
1
3
kümeleridir.
Genel olarak n’nci aşamada atılan açık
aralıklar 2n−1 tanedir ve
Vn = Jn,1 ∪ · · · ∪ Jn,2n−1 =
2
,1 .
3
Bunların ikisine birden C1 diyelim; yani C1 =
I1,1 ∪ I1,2 . Kümemizin inşasının ilk adımını
böylece tamamladık.
Şimdi, I1,1 ve I1,2 ’den, ortalarındaki üçte
∗ ODTÜ
C3 = I3,1 ∪ I3,2 ∪ I3,3 ∪ I3,4
∪I3,5 ∪ I3,6 ∪ I3,7 ∪ I3,8
1 [ 2 1 [ 2 7
= 0,
,
,
27
27 9
9 27
[ 8 1 [ 2 19 [ 20 7 ,
,
,
27 3
3 27
27 9
[ 8 25 [ 26 ,
,1
9 27
27
Matematik Bölümü öğretim üyesi
15
ile gösterilirler.
tanedir ve
n−1
2[
Jn,k
k=1
Kalan kapalı aralıklar ise 2n
n
Cn = In,1 ∪ · · · ∪ In,2n =
2
[
k=1
In,k
Kaptanoğlu
ile gösterilirler. Vn ve Cn ’yi meydana getiren
her bir parçanın uzunluğu 31n ’dir ve bu parçalar
birbirlerinden ayrıktır. İlk bir kaç aşamada elde
edilenler Şekil 1’de görülüyor.
0
1
ve
C=
∞
\
n=1
Cn = C1 ∩ C2 ∩ · · · .
V atılan kümelerin hepsidir; C de elimizde kalan
kısımlardır. Tanım gereği,
V ∪ C = [0, 1]
ve
V ∩C =∅
(1)
olduğu açıktır.
0
2
3
1
3
0
1
9
2
9
1
3
2
3
1
7
9
8
9
1
Özellik K1. Cantor kümesi,
aralığının bir alt kümesidir.
[0, 1]
kapalı
İlk bakışta C ’de bir şey kalmamış gibi
görünse de, C boş küme değildir; örneğin 0 ve
1 noktaları C ’dedir; yani V 6= [0, 1]. Hatta,
In,k kapalı aralıklarının her birinin uçnoktaları,
hep ortadan attığımız için, C ’dedir. Ama sonsuz
sayıda In,k aralığı vardır.
Şekil 1
Okuyucuya düşen görev, burada ve aşağıda
sözü edilen bütün kümeleri şekilde bulmak ve
verilen eşitlikleri kontrol etmektir. Bu kümeler
arasındaki bazı bağıntıları yazalım:
Vn ∪ Cn = Cn−1
Tanım. C ’ye Cantor kümesi adı verilir.
(n = 1, 2, 3, . . .)
bize bir önceki aşamadaki Cn−1 kümesinin
atılan ( Vn ) ve kalan ( Cn ) kısımlardan meydana
geldiğini söyler.
[0, 1] = C0 ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ C3 ⊃ · · ·
ise bize n’nci aşamada kalan kısımların, bir
önceki aşamada kalan kısımların bir parçası
olduğunu belirtir.
Dikkatli okurlar, n =
1, 2, 3, . . . ve k = 1, 2, . . . , 2n−1 için
Özellik K2. Cantor kümesi sonsuz sayıda nokta
içerir.
Akla gelebilecek bir soru,
C ’de
uçnoktalardan başka noktalar da olup olmadığıdır. Bu sorunun cevabını B kısmında K7
özelliğinde vereceğiz.
Açık küme diye açık aralıkların sonlu veya
sonsuz bileşimlerine diyoruz. Açık kümelerin
tümleyenlerine de kapalı kümeler denir.
Cn
kümelerinin her biri kapalıdır, çünkü sonlu sayıda
kapalı aralığın bileşimidir. Vn kümelerinin her
biri açıktır, çünkü açık kümelerin bileşimidir. V
ise açık kümelerin bileşimi olduğundan açıktır.
C kapalı kümelerin kesişimidir; dolayısıyla kapalıdır. Bunu görmenin bir başka yolu da, (1)
denklemlerini kullanmaktır.
In,2k−1 ∪ Jn,k ∪ In,2k = In−1,k
Özellik K3. Cantor kümesi kapalı bir kümedir.
eşitliğinin de doğru olduğunu da görmüşlerdir.
Bu eşitlik, atılan ve kalan parçaların daha
ayrıntılı bir hesabını tutar. Bir diğer nokta da, n
arttıkça Vn kümelerinin [0, 1] aralığının daha fazla kısmını kapladıkları, Cn kümelerinin de daha
fazla köşeye sıkıştığıdır.
Artık atma işlemini elimize geçen her kapalı aralık için yapıp, bu süreci hiç bir sınır
tanımadan devam ettirelim; yani n’yi sonsuza
gönderelim. O zaman iki yeni kümemiz daha olur:
Biraz da elde ettiğimiz kümelerin uzunluklarını hesaplayalım. A kümesinin uzunluğunu
m(A) ile gösterelim. Daha önce de söylediğimiz
gibi, 1 ≤ k ≤ 2n ve 1 ≤ l ≤ 2n−1 için,
V =
∞
[
n=1
V n = V1 ∪ V2 ∪ · · ·
m(In,k ) = m(Jn,l ) =
doğrudur. Bu kümeler ayrık olduğundan, Cn
ve Vn ’nin uzunlukları kendilerini meydana getiren eşit uzunluktaki aralıkların uzunluklarının
toplamlarıdır. Hesaplarsak,
m(Cn ) =
16
1
3n
2n
3n
ve
m(Vn ) =
2n−1
3n
Kaptanoğlu
olur. x1 üçte birler, x2 dokuzda birler, x3 yirmi
yedide birler, . . . basamağıdır. Bazı sayılar için
bu cinsten biri sonlu, diğeri sonsuz iki açılım
vardır; örneğin 13 = 0.3 1 = 0.3 0222 · · · ve
2
3 = 0.3 2 = 0.3 111 · · · . Bu belirsizliği ortadan
kaldırmak için, x ’in sonlu açılımının son rakamı
2 ise sonlu açılımı, değilse sonsuz açılımı tercih edeceğiz; yani 13 = 0.3 0222 · · · ve 23 = 0.3 2
alacağiz. Ayrıca 0 = 0.3 0 ve 1 = 0.3 222 · · ·
kullanacağız. Bu kısımdaki bütün açılımlar 3 tabanında olacaktır.
buluruz. Vn ’ler de birbirlerinden ayrık olduklarından,
m(V ) = m(V1 ) + m(V2 ) + m(V3 ) + · · ·
∞
X
1 2
4
2n−1
= + +
+ ··· =
3 9 27
3n
n=1
yazarız. Elde ettiğimiz bu toplam bir sonsuz ge1
ometrik seridir;
2ilk
terimi a = 3 ve ortak çarpanı
2
r = 3 ’tür. 3 < 1 olduğundan, bu toplamı
aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz:
1
a
= 3 2 = 1.
1−r
1− 3
Sonra da m [0, 1] = 1 ve (1)’i kullanarak
m(C) = 0 olduğunu görürüz.
İddiamız, Cn kümesini meydana getiren
her kapalı aralığın sol uçnoktasının açılımının
ilk n basamağının yalnız 0 ve 2’lerden ibaret
olduğu ve n+1’inci ve sonraki basamakların hepsinin 0 olduğudur. Bu iddiamızı tümevarım ile
ispatlayacağız. n = 1 iken, C1 kümesindeki
iki aralığın sol uçnoktaları 0 ve 23 ’tür. Önceki
paragrafta gösterildiği gibi, birinin ilk basamağı
0, diğerinin 2’dir; ve sonraki basamakları 0’dır.
Böylece tümevarımın ilk adımını bitirdik.
m(V ) =
Özellik
sıfırdır.
K4. Cantor
kümesinin
uzunluğu
Şimdi α < β ve (α, β) ⊂ [0, 1] olmak üzere
bir açık aralık alalım. 31n < β − α olacak şekilde
büyük bir n bulabiliriz. O zaman (α, β) aralığı,
In,k aralıklarından daha uzun olur ve onların hiç
birinin içinde olmaz. Böyle bir aralığın C ’de olmasına imkân yoktur.
İkinci olarak, Cn kümesi hakkındaki iddiamızdan, Cn+1 kümesi hakkındaki iddiamızın
doğruluğunu elde edelim. Cn ’nin bileşimindeki
aralıklardan biri [a, b] = [0.3 a1 a2 · · · , 0.3 b1 b2 · · ·]
ise, a1 , . . . , an ’nin 0 ve 2’lerden meydana
geldiğini ve 0 = an+1 = an+2 = · · · olduğunu
kabul ediyoruz.
Cn+1 ’in aralıklarından biri
[c, d] = [0.3 c1 c2 · · · , 0.3 d1 d2 · · ·] ise, yukarıdaki
[a, b] gibi bir aralığın orta kısmının atılmasıyla
ortaya çıkar. Eğer [c, d] sol tarafta kalan kısımsa,
c = a’dır. O zaman da yukarıdaki kabul gereği,
c1 , . . . , cn+1 ’in 0 ve 2’lerden oluştuğu (özellikle
cn+1 = 0) ve 0 = cn+1 = cn+2 = · · · olduğu
görülür. Eğer [c, d] sağ tarafta kalan kısımsa,
n+1’inci adımda atılan ve kalan aralıkların uzun1
2
lukları 3n+1
olduğundan dolayı, c = a + 3n+1
’dir.
2
Fakat 3n+1 = 0.3 0 · · · 02’dir ve 2 rakamı n+1’inci
2
basamaktadır. Yani, hem a’nın, hem de 3n+1
’in
n + 2’nci ve sonraki basamakları hep 0’dır (ayrıca
an+1 = 0). Bu da cn+1 = 2 ve 0 = cn+2 =
cn+3 = · · · verir. Böylece tümevarım sona erdi ve
iddiamızın doğruluğunu ispatladık.
Özellik K5. Cantor kümesi hiç bir açık aralık
içermez.
B. Üç Tabanına Göre Yazılım
[0, 1] aralığındaki her x sayısı 10 tabanında, yani her zaman kullandığımız sayı sisteminde, 0.x1 x2 x3 · · · şeklinde yazılabilir. Burada xn ’lerin her biri 0, 1, . . . , 8, 9 rakamlarından
biridir. x1 onda birler, x2 yüzde birler, x3 binde
birler, . . . basamağını gösterdiğinden, bu açılımı
∞
X
xn
x = 0.x1 x2 x3 · · · =
n
10
n=1
şeklinde de yazabiliriz. xn ’ler bir noktadan sonra
9
hep 0 da olabilir, 16
= 0.5625000 · · · = 0.5625
örneğinde olduğu gibi. 1 için 0.999 · · · açılımını
kullanırız. Bu konuda çok daha fazla bilgi, bu
dergide daha önce çıkan bir yazıdan (cilt:1, sayı:2,
sayfa:2-5) elde edilebilir.
Aynı tip bir açılımı, xn ’ler için yalnız 0, 1
ve 2 rakamlarını kullanarak, 3 tabanına göre de
yapabiliriz. O zaman
x = 0.3 x1 x2 x3 . . . =
Bu
sonucu
şöyle
kullanacağız:
Cn ’nin
aralıklarından
birine
[a, b]
=
[0.3 a1 · · · an , 0.3 b1 b2 · · ·] dersek, a hakkında iddiamız geçerlidir ve b = a + 31n ’dir. Fakat
1
= 0.3 0 · · · 0222 · · · yazıldığında, 2’lerden
3n
önce tam n tane 0 vardır. O zaman da b =
0.3 a1 . . . an + 0.3 0 . . . 0222 · · · = 0.3 a1 · · · an 222 · · ·
olur. 2 = bn+1 = bn+2 = · · · olduğu da
∞
X
xn
3n
n=1
17
Kaptanoğlu
buradan çıkan bir başka sonuçtur.
Kelimelerle tekrarlarsak, [a, b] aralığında a’dan b’ye
giderken değişiklik sadece n + 1 ’inci ve sonraki
basamaklarda olmaktadır. Başka bir deyişle,
x = 0.3 x1 x2 · · · ∈ [a, b] ise, x1 = a1 , . . . ,
xn = an ’dir. Buradan çıkaracağımız sonuç,
Cn ’de alınan her hangi bir x noktasının 3 tabanına göre açılımında ilk n basamağın 0 ve
2’lerden oluştuğudur.
n’nci adımda atılan her açık aralığı b, b +
1
şeklinde yazabiliriz. b = 0.3 a1 . . . an 222 · · ·
3n
açılımında son 0 rakamı k ’nci basamakta olsun;
yani ak = 0 ve ak+1 = · · · = an = 2 olsun. Elimizdeki aralıktaki her hangi bir noktayı
t = 0.3 t1 t1 · · · ile gösterirsek, tk = 1 olur, çünkü
artık k ’nci basamak değişmek zorundadır ve
ayrıca aralığın uzunluğu, yukarıda da gösterildiği
gibi, sadece n + 1 ’inci ve sonraki basamaklarda
değişikliğe
izin vermektedir. Örneğin, n = 1 iken,
1 2
,
’te
alınan
her t sayısının açılımı 0.3 1 · · ·
3 3
ile başlamak zorundadır. 0.3 1222
· · · olduğunda
bunu 0.3 2 diye yazar ve 23 , 1 ’e girmiş oluruz.
Cantor kümesinde alacağımız bir x =
0.3 x1 x2 · · · noktası bütün Cn ’lerin içinde olacaktır. Bu da bize n = 1, 2, . . . için xn = 0
veya xn = 2 olduğunu söyler. Eğer t 6∈ C
ise, t bir aşamada atılan açık aralıkların birinde
olacağından, t’nin açılımında mutlaka 1 vardır.
Şimdi bu ifadeleri birleştirelim:
Özellik K6. Cantor kümesi tamı tamına [0, 1]
aralığındaki, 3 tabanına göre açılımlarında yalnız
0 ve 2 rakamları bulunan sayılardan oluşur.
Bu sonucu kullanarak, Cantor kümesinde
In,k aralıklarının uçnoktalarından başka eleman bulunup bulunmadığını görebiliriz.
Bu
uçnoktaların her biri k ve m negatif olmayan birer tamsayı olmak üzere, 3km şeklinde
yazılabilir. 14 ’ün ise böyle yazılamayacağı açıktır.
Fakat,
∞
X
1
2
=
= 0.3 020202 · · ·
4 n=1 32n
1
açılımından görüleceğı gibi,
Cantor
4
kümesindendir. Geometrik seri toplamlarını kullanarak, C ’de bu cinsten diğer sayılar bulmayı
okuyuculara bırakıyoruz.
Özellik K7. Cantor kümesinde In,k kapalı
aralıklarının uçnoktalarından başka noktalar da
vardır.
Bu uçnoktalar gene de C ’nin önemli elemanlarıdır. Verilen bir n için, k 6= l ise, In,k ve
18
In,l birbirlerinden ayrık olduğundan, x ∈ C ise,
x bu tip yalnız bir tek aralıktadır. Diyelim ki
x ∈ [an , bn ]. Cantor kümesinin elde edilişinden,
n arttıkça, an ’lerin arttığını ve bn ’lerin azaldığını
anlarız. Üstelik,
1
lim m [an , bn ] = lim (bn − an ) = lim n = 0
n→∞
n→∞
n→∞ 3
olduğundan,
x = lim an = lim bn
n→∞
n→∞
sonucunu elde ederiz. Bu yöntemi kullanarak,
x = 14 ’e yakınsayan dizilerin
{a1 , a2 , a3 , a4 , . . .} =
{0., 0.3 02, 0.3 0202, 0.3 020202, . . . }
ve
{b1 , b2 , b3 , . . . } =
{0.3 0222 · · · , 0.3 020222 · · · , 0.3 02020222 · · · , . . . }
olduğunu görürüz. x uçnoktalardan biri değilse,
an ’lerin ve bn ’lerin hiç biri x ’e eşit değildir.
Özellik K8. Cantor kümesinin her elemanı, In,k
kapalı aralıklarının uçnoktalarından oluşan, biri
artan, diğeri azalan iki tekdüze dizinin limitidir.
Kapalı ve her noktası, diğer noktalarının
bir limiti olarak elde edilebilen kümelere yetkin
(veya mükemmel) kümeler denir. Yetkin bir
kümenin hiç bir noktası diğerlerinden yalıtık olamaz. Diğer bir deyişle, böyle bir kümenin her
noktasının her komşuluğunda gene bu kümeden
sonsuz çoklukta nokta vardır. Hatırlanacağı gibi
C de kapalı bir kümedir.
Özellik K9. Cantor kümesi yetkin bir kümedir.
Okuyucuyu (ve de yazarı) tümevarım ispatlarıyla daha fazla sıkmamak için aşağıdaki
özelliği ifade etmekle yetineceğiz.
Özellik K10. x ∈ C ise, x3 ∈ C ve 32 + x3 ∈ C
olur. Ayrıca, y ∈ V ise, y3 ∈ V ve 23 + y3 ∈ V
olur. Hatta, y ∈ Jn,k ise, y3 ∈ Jn+1,k ve
y
2
n
3 + 3 ∈ Jn+1,2 +k de doğrudur.
Bu kısmı C ’nin çok şaşırtıcı bir özelliğiyle
kapatalım. Önce bir tanım:
C + C = { x + y : x ∈ C, y ∈ C }.
Kaptanoğlu
z = x + y ∈ C + C ise, z ’nin [0, 2] aralığında
olacağı açıktır. Ama z hangi noktalara erişebilir?
z=
B ’de alacağımız her x noktasına karşılık,
(0, 1)’de bir y sayısı bulabiliriz; bu işlemin tersini
de yapabiliriz. Verilen bir x ’in 3 tabanında
açılımındaki 2’leri 1’lere çeviririz ve yeni sayıyı 2
tabanında okuruz; bu y olur. Örneğın, x = 20
27 =
0.3 202’in karşılığı y = 0.2 101 = 58 ’dir. Daha açık
olarak yazarsak,
∞
X
xn
3n
n=1
∞
∞
∞
X
X
xn + yn
xn X yn
+
=
n
n
3
3
3n
n=1
n=1
n=1
yazdığımızda, xn ve yn yalnız 0 ve 2 değerlerini
alırlar; dolayısıyla, xn + yn ya 0’dır, ya 2’dir, ya
da 4’tür. xn + yn = 2zn dersek, zn , 0, 1 veya 2
olmalıdır. O halde
noktası
∞
X
zn
n
3
n=1
sayısına karşılık gelir. Diğer yöndeki gönderimde
bu işlemi tersine çeviririz. Kabullenişlerimiz
sayesinde, B ’deki her elemanın 3 tabanında ve
(0, 1) ’deki her noktanın 2 tabanında tek bir
açılımı olduğu için, her iki yöndeki gönderim bire
birdir. İlk bakışta (0, 1)’de 0.2 0111 · · · gibi noktalar elde edilmez gibi görünse de, bunlar değişik
şekilde de, 0.2 1 gibi, yazılabilirler ve B ’deki 0.3 2
gibi sayılardan elde edilirler. Böylece B ile (0, 1)
arasında bire bir eşleme kurmuş olduk.
Reel sayılar kümesini R ile gösterelim ve
f : (0, 1) → R olmak üzere
2x − 1
f (x) =
x ∈ (0, 1)
x(1 − x)
açılımında [0, 1] aralığındaki her hangi bir sayı
çıkabilir. Dolayısıyla
z=
∞
∞
X
X
2zn
zn
=
2
,
n
n
3
3
n=1
n=1
[0, 2] aralığındaki her hangi bir sayı olabilir.
Başka bir deyişle, Cantor kümesi [0, 1] aralığına
son derece seyrek dağılmış bir küme olmasına ve
hiç bir aralık içermemesine rağmen, iki tanesinin
küme toplamı bir aralık edebilmektedir.
Özellik K11. C + C = [0, 2].
fonksiyonunu tanımlayalım.
Okurlara, f ’nin
(0, 1) üzerindeki grafiğini çizmeyi öneriyoruz.
C. Cantor Kümesinde Kaç Nokta Vardır?
lim f (x) = +∞
B kısmının başında 10 ve 3 tabanı için
yaptığımızı şimdi de 2 tabanında yapalım. [0, 1]
aralığında aldığımız bir x sayısını, bilgisayarların
yaptığı gibi, xn ’ler için yalnızca 0 ve 1 değerlerini
kullanarak,
x = 0.2 x1 x2 x3 · · · =
∞
∞
X
xn /2 X xn
=
2n
2n+1
n=1
n=1
x→1
x∈(0,1)
ile
lim f (x) = −∞
x→0
x∈(0,1)
olduğundan ve f de (0, 1) üzerinde sürekli
olduğundan, f ’nin değerleri her gerçel sayıyı alır;
yani f örtendir. Ayrıca,
2x2 − 2x + 1
f 0 (x) =
x ∈ (0, 1) .
(x − x2 )2
∞
X
xn
2n
n=1
Paydaki polinomun kökleri karmaşık sayılar
olduğundan, polinom (0, 1) üzerinde
ya hep eksi,
ya da hep artı işaretlidir. f 12 = 21 > 0
olduğundan dolayı, (0, 1) aralığında pay hep pozitif olur. Payda zaten pozitiftir. Dolayısıyla,
aralığımızda f (x) > 0’dir.
Bu da f ’nin
tekdüze artan ve bunun sonucu olarak da bire bir
olduğunu verir. Özetlersek, f fonksiyonu (0, 1)
ile R arasında bire bir eşlemedir.
Böylece B ile R arasında bire bir eşleme
kurabileceğimizi gösterdik. Bu, her ikisinin aynı
çoklukta elemanı olduğu anlamına gelir. Cantor
kümesi B ’den büyüktür, fakat R’nin içindedir.
Sonuç olarak, C ile R’nin aynı çoklukta eleman
içerdiğini anlarız.
şeklinde yazabiliriz.
Gene bazı sayıların iki
açılımı vardır; 12 = 0.2 1 = 0.2 0111 · · · gibi. 1 =
0.2 111 · · · sayısının birinci cinsten açılımı yoktur.
0’ı da ilgi alanımızdan çıkartalım. Eğer ikinci cinsten açılımları kullanmamayı kabul edersek, (0, 1)
açık aralığındaki her sayının bir tek açılımı olur.
Bunun faydası, 2 tabanına göre açılımlarda aynı
sayıyı iki kere saymamamızdır.
Şimdi Cantor kümesinden 0’ı ve 3 tabanındaki açılımlarında bir basamaktan sonra
hep 2’ler olan sonsuz çokluktaki noktaları
çıkartalım ve kalan noktalara B kümesi diyelim.
2
3 = 0.3 2 ∈ B , fakat 1 = 0.3 222 · · · 6∈ B ve
1
3 = 0.3 0222 · · · 6∈ B olur.
19
Kaptanoğlu
Özellik K12. Cantor kümesinde, reel sayılarda
olduğu kadar, yani sayılamayacak çoklukta nokta
vardır.
D. Lebesgue’in Tekil Fonksiyonu
Henri Lebesgue (1875–1941), modern integral teorisini başlatan Fransız matematikçisidir.
1902’de yayımladığı doktora tezinde, o zamana
dek bilinen integral anlayışını genişleterek integrali, sonsuzluklarla daha iyi iş gören ve limit
alma işlemi altında daha iyi davranış gösteren
hale getirmiştir.
Bugün de matematikte en
çok kullandığımız integral, Lebesgue integralidir.
Bu kısımda tanımlayacağımız fonksiyon, Cantor
kümesi üzerinde ilginç özellikleri olan ve türevinin
sonsuz sayıda tekil noktası olan bir fonksiyondur.
Cantor kümesini inşa ederken attığımız
açık aralıklara değişik isimler vererek başlayalım.
Her aşamanın sonunda, o ana kadar attığımız
(daha önceki aşamalarda attıklarımız dahil)
aralıklara Ln,k diyeceğiz; burada k = 1 , . . . ,
2n − 1 değerlerini alır. Örneğin, L1,1 = J1,1 ,
L2,1 = J2,1 , L2,2 = J1,1 L2,3 = J2,2 , L3,1 = J3,1 ,
L3,2 = J2,1 , L3,3 = J3,2 , L3,4 = J1,1 , L3,5 =
J3,3 , L3,6 = J2,2 , L3,7 = J3,4 , . . . . Böylece
her aralığın Ln,k ’ler cinsinden birden fazla ismi
olur. Jn,k ’lerin olduğu gibi, Ln,k ’lerin de hepsinin bileşimi V kümesidir:
∞ 2[
−1
[
n
V =
n=1
k=1
Ln,k .
Artık fonksiyonumuzu
tanımlayabiliriz:
F (x) =
k
= cn,k
2n
V
üzerinde
(x ∈ Ln,k )
(2)
deriz; bu F ’yi her Ln,k aralığı üzerinde
sabit yapar. Aslında F her aşamada, daha
önceki aşamalarda atılan aralıklar üzerinde tekrar
tanımlanmaktadır; ama bu önceki tanımları
değiştirmeyecek şekildedir, çünkü, 1 ≤ k ≤ 2n−1
için, Ln+1,2k = Ln,k ve cn+1,2k = cn,k ’dir. F ’nin
tanımı gereği V üzerinde artan bir fonksiyon
olduğu kolayca görülür; yani x < y ise F (x) ≤
F (y)’dir. Ayrıca, F (0) = 0 ve F (1) = 1 diyelim;
şimdi her x ∈ V için, 0 ≤ F (x) ≤ 1 sağlanır.
Şekil 2, F ’nin grafiğinin bir kısmını gösteriyor.
20
0
1
9
2
9
1
3
2
3
7
9
8
9
1
Şekil 2
x ∈ Ln−1,k ve y ∈ Ln,k ise,
k
k−1
1
− n = n
2n
2
2
olur. Ln,k−1 ve Ln,k aralıkları arasında uzunluğu
1
3n olan In,k kapalı aralığı vardır. Bu yüzden,
x, y ∈ V ve y −x < 31n ise, x ve y artık n+1’inci
ve daha sonraki aşamalardaki açık aralıklardadır;
F ’nin artan olma özelliğinden
F (y) − F (x) =
1
2n
elde ederiz. Bu son eşitsizlikten, x ve y ’nin
birbirlerine yaklaştıklarında, F (x) ve F (y)’nin
de birbirlerine yaklaştıkları sonucu çıkar. Bu da
F ’nin V üzerinde sürekli olduğunu söyler.
Biz F fonksiyonunu, artan olma ve
süreklilik özelliklerini bozmadan, bütün [0, 1]
aralığı üzerinde tanımlamak istiyoruz. Bunun
için F ’yi C üzerinde uygun biçimde tanımlamak
yeter. Önce In,k aralıklarının uçnoktalarında,
bitişik oldukları Ln,k−1 ve Ln,k ’deki değerleri
alacak şekilde tanımlayalım F ’yi. Eğer In,k =
[a, b] ise,
F (y) − F (x) ≤
k
k−1
ve
F (b) = n
(3)
n
2
2
olsun. x ∈ C bir uçnokta değilse, K8 özelliğini
kullanarak, x ’e yakınsayan tekdüze {an } ve {bn }
F (a) =
Kaptanoğlu
dizilerini buluruz. F artan olduğundan, F (an )
ve F (bn ) dizileri de tekdüzedir.
Üstelik
F ’nin değerleri alttan 0 ve üstten 1 ile sınırlı
olduğundan, bu son iki dizinin limitleri vardır.
Limitlere sırasıyla c ve d diyelim.
d − c = lim F (bn ) − F (an )
n→∞
k
k−1
1
= lim
−
= lim n = 0
n→∞ 2
n→∞ 2n
2n
tanımından dolayı, bu eşitliğin doğru olduğunu
sadece In,k ’lerin uçnoktalarında göstermek yeter.
Bir kez daha tümevarım
kullanacağız.
n=
1 halinde, (3)’ten F 13 = 12 ve F 23 = 12 ’dir.
Aynı zamanda, geometrik dizi toplamı formülü
sayesinde,
F
ve
bize c = d verir ve 0 ≤ c ≤ 1 . x ’e yakınsayan
her dizi, {an } ve {bn } dizileri arasında kalmak
zorundadır.
Böyle bir dizinin F altındaki
görüntüsü de c ’ye yakınsar. Artık F (x) = c diye
tanımlayabiliriz. Böylece F bütün [0, 1] aralığı
üzerinde tanımlanmış olur. Böyle bir tanımın
F ’nin artanlığını koruyacağı açıktır.
Özellik F1. F
fonksiyondur.
X
X
∞
∞
1
2
2
1
=F
=
= 4
l
l+1
3
3
2
1−
l=2
l=2
: [0, 1] → [0, 1] artan bir
F (a) = F
lim g(xn ) = g(x)
n→∞
d=a+
eşitliği sağlanıyorsa, g fonksiyonu x noktasında
sürekli olur.
Yukarıdaki F , V üzerinde
sürekliydi. C üzerindeki tanımını da sürekli olacak şekilde yaptık.
=
n
X
k−1
al
=
.
l+1
2
2n
l=1
n+1
X
F (0) = 0 ve F (1) = 1 olduğunu
hatırlayalım. F ’nin sürekli olmasını Ara Değer
Teoremi ile birleştirirsek, F ’nin 0 ile 1 arasında
her değeri aldığını görürüz.
l=1
c=a+
∞
X
1
2
=
a
+
3n
3l
l=n+2
n
X al
dl
2
1
=
+ n+2 = F (a) + n+1
2l+1
2l+1
2
2
l=1
k−1
1
2k − 1
+ n+1 = n+1 = F (d)
2n
2
2
ve
∞
n
∞
X
X
X
cl
al
cl
=
+
2l+1
2l+1
2l+1
Şimdi bu fonksiyonun Cantor kümesi
üzerinde aldığı değerlere biraz daha yakından göz
atalım. x = 0.3 x1 x2 · · · ∈ C alalım ve K6
özelliğini hatırlayalım. Göstermek istediğimiz
xl
3l
ve
=
: [0, 1] → [0, 1] örten bir
∞
X
xl
=
2l+1
2
3n
ortasından
olduğundan, 0.3 d1 · · · dn dn+1 = 0.3 a1 · · · an 2 ve
0.3 c1 · · · cn cn+1 cn+2 · · · = 0.3 a1 · · · an 022 · · · olur.
(3) ise F (c) = F (d) = 2k−1
2n+1 verir. Fakat
Özellik F2. F : [0, 1] → [0, 1] sürekli bir
fonksiyondur.
l=1
al
3l
n + 1’inci aşamada [a, b]’nin
Ln+1,2k−1 = (c, d) aralığını atarız.
olan her {xn } dizisi için
F (x) = F
X
n
l=1
lim xn = x
1
2
2
2
1
F
= 2 =
3
2
2
n→∞
X
∞
=
olur.
(4)’ün, n ’nci aşamadaki bütün kapalı aralıkların uçnoktaları için doğru olduğunu
varsayalım. Bunlardan biri In,k = [a, b] olsun. Uçnoktaların 3 tabanındaki açılımlarının
nasıl olduğunu B kısmından hatırlayalım. (2)’den
ve varsayımımızdan
Eğer elimizde bir g fonksiyonu varsa ve
Özellik F3. F
fonksiyondur.
1
2
l=1
l=1
= F (a) +
l=n+2
∞
X
l=n+2
(4)
=
l=1
eşitliğidir. x = 0 ve x = 1 ’de yapacak bir şey
yoktur. K8 özelliğinden ve F ’nin C üzerindeki
2
2l+1
2k − 1
= F (c),
2n+1
(4)’ün doğruluğunu ispatlar.
21
=
1
k−1
2n+2
+
2n
1 − 12
Kaptanoğlu
Özellik F4. x = 0.3 x1 x2 · · · Cantor kümesinde
ise,
∞
X
xn
.
F (x) =
2n+1
n=1
F ’nin sağladığı bazı denklikleri görelim
şimdi de. x ∈ C ise
∞
∞
2 x 2 1 X xn
2 X xn
+ = +
+
=
3 3 3 3 n=1 3n
3 n=1 3n+1
=
∞
X
x2
2 x1
xn
+
+
+ ··· =
n+1
3
9
27
3
n=0
olur; son ifadede x0 = 2 diye yazdık. Buradan
da, K10 ve F4 özelliklerini kullanarak,
X
∞
∞
X
x
xn
xn
2F
= 2F
=
2
n+1
n+2
3
3
2
n=1
n=1
=
∞
X
xn
= F (x)
2n+1
n=1
ve
2 x
2F
+
3 3
− 1 = 2F
=2
=
=
X
∞
xn
n+1
3
n=0
−1
∞
X
xn
−1
2n+2
n=0
∞
X
xn
−1
2n+1
n=0
∞
2F
2 x
+
3 3
Z
b
a
g 0 (x) dx = g(b) − g(a)
teoremine aykırı gibi görünür. Fakat bu teorem,
g ’nin (a, b) aralığının her noktasında (hemen
her yerde olması yetmez) türevli olmasını gerektirdiğinden, çelişki yoktur.
E. Genel Cantor Kümeleri
Yazımızın başlığında birden fazla Cantor
kümesindan bahsetmişitk. Son olarak, Cantor
kümelerinin genel olarak nasıl elde edilebileceğine
kısaca değinelim. Gene [0, 1]’de kapalı aralıkların
tam ortasından parçalar atarız; fakat kalan In,k
kapalı aralıklarının uzunluklarını 31n yerine tn
gibi 0 < 2tn < tn−1 eşitsizliklerini sağlayan
sayılardan seçeriz; o zaman atılan Jn,k açık
aralıklarının uzunluları rn = tn−1 − 2tn olur.
2n + k
−1
2n+1
2n + k 2n
=
− n
2n
2
k
= n = F (x)
2
− 1=2
V
Bu eşitsizlik, klâsik
2 X xn
+
− 1 = F (x)
2 n=1 2n+1
V
= 0 · m(V ) = 0 · 1 = 0 < 1
= 1 − 0 = F (1) − F (0).
ve
Bunlar gibi, bir fonksiyonun bazı noktalardaki değerlerini başka noktalardaki değerleri
cinsinden veren denklemlere fonksiyonel denklemler denir. Bu konuda bir yazı bu dergide daha
önce (cilt:2, sayı:4, sayfa:22–25) çıkmıştı. Şimdi
okuyuculara (ve de o yazının yazarına) bir kaç sorumuz var: F5 özelliğindeki denklemleri sağlayan
ve F ’nin bazı özelliklerine sahip F ’den başka
fonksiyon bulunabilir mi? F ’nin başka hangi
özellikleri (sürekli, artan, örten, . . . ) çözümün
sadece F olmasını sağlar?
Fonksiyonumuz V ’nin her bir parçasında
sabit değerli ve m(V ) = 1 olduğundan, [0, 1]
üzerinde hemen her yerde, yani uzunluğu 0 olan
bir parça dışında, F ’nin türevi F 0 (x) = 0 olur.
Böyle fonksiyonlara tekil fonksiyon diyoruz. Bu
bize F ’nin yalnız C üzerinde
arttığını söyler.
R1
m(C) = 0 nedeniyle, 0 F 0 (x) dx integralini,
sadece V üzerinde integral alarak hesaplayabiliriz; tabii Lebesgue integrali kullanarak.
Z 1
Z
Z
0
0
F (x) dx =
F (x) dx =
0 dx
0
özdeşliklerini elde ederiz.
x ∈ Jn,k ⊂ V ise, K10 özelliğini ve (2)’yi
kullanarak,
x
k
k
2F
= 2 n+2 = n+1 = F (x)
3
2
2
Özellik F5. Lebesgue fonksiyonu, x ∈ [0, 1]
için, aşağıdaki denklikleri sağlar:
2 x
x
= F (x)
ve
2F
+
−1 = F (x).
2F
3
3 3
olduğunu görürüz.
22
Kaptanoğlu
Örneğin, I1,1 = [0, t1 ], I1,2 = [1 − t1 , 1] ve
J1,1 = (t1 , 1−t1 ); I2,1 = [0, t2 ], I2,2 = [t1 −t2 , t1 ],
I2,3 = [1 − t1 , 1 − t1 + t2 ] , I2,4 = [1 − t2 , 1] ve
J2,1 = (t2 , t1 − t2 ), J2,2 = (1 − t1 + t2 , 1 − t2 ) ; . . . .
Cn , C , Vn ve V ’nin de tanımları aynı kalır.
Uzunlukları önceki gibi hesaplarız; (Cn ) =
2n tn ve m(Vn ) = 2n−1 rn buluruz. O zaman
F. Kaynakça
m(V ) = lim 2n−1 rn = 1 − m(C)
Bu yazıda anlattıklarımız, genellikle
üniversitelerin matematik bölümlerinde 4. sınıfta
veya yüksek lisansta okunan ve Lebesgue integrali kullanan Reel Analiz derslerinin konusudur.
Bu konuda daha fazla bilgi edinmek isteyenler böyle bir ders kitabına başvurabilirler. Biz,
İngilizce olmalarına rağmen, nispeten daha fazla
bilgi veren 3 tanesini önereceğiz. Aşağıdaki kitapların ilki, genel Cantor kümeleri için, üçüncüsü
ise, Lebesgue tekil fonksiyonun değişik bir tanımı
için faydalıdır.
olur; yukarıda tn ’ler üzerine koyduğumuz şarttan
dolayı bu limitler vardır. Tabii artık m(C) = 0
olması gerekmez. Hatta, bir 0 ≤ s < 1 alıp,
K. R. Stromberg, An Introduction to Classical
Real Analysis, Wadsworth, Belmont, 1981.
m(C) = lim 2n tn
n→∞
ve
n→∞
tn =
s
1−s
+ n
n
2
3
I. P. Natanson, Theory of Functions of a Real
Variable, Frederick Ungar, New York, 1955.
seçerek m(C) = s olmasını sağlayabiliriz.
Özellik K13. Genel bir Cantor kümesi, basit
Cantor kümesinin K1, K2, K3, K7, K9, K11
ve K12 özelliklerini paylaşır. Ayrıca uzunluğu 0
ile 1 arasındaki her hangi bir değeri alabilir.
W.
23
Rudin, Real and Complex
McGraw-Hill, New York, 1974.
Analysis,