JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT

Transkript

KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ
MÜHENDĐSLĐK FAKÜLTESĐ
HARĐTA MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ
JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ
Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT
Ders Notu
KOCAELĐ
Eylül, 2011
KOCAELĐ ÜNĐVERSĐTESĐ
MÜHENDĐSLĐK FAKÜLTESĐ
HARĐTA MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ
JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ
Ders Notu
KOCAELĐ
Eylül, 2011
ĐÇĐNDEKĐLER
Sayfa
ĐÇĐNDEKĐLER...........................................................................................................................ii
SĐMGE LĐSTESĐ ....................................................................................................................... iv
KISALTMA LĐSTESĐ ................................................................................................................ v
ŞEKĐL LĐSTESĐ ........................................................................................................................ vi
ÇĐZELGE LĐSTESĐ ..................................................................................................................vii
ÖNSÖZ....................................................................................................................................viii
ÖZET .........................................................................................................................................ix
ABSTRACT ............................................................................................................................... x
1.
MATEMATĐK MODEL OLUŞTURMA................................................................ 1
2.
MATEMATĐK MODEL TESTĐ.............................................................................. 3
2.1
2.2
Kuramsal Varyans Biliniyorsa................................................................................. 3
Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa.............................................................................. 3
3.
UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTĐ ......................................................................... 4
3.1
3.2
4.
PARAMETRE TESTĐ ............................................................................................. 5
4.1
4.2
4.3
Bilinmeyenlerin (Parametrelerin) Fonksiyonlarının Testi....................................... 6
5.
UYGULAMALAR .................................................................................................. 7
5.1
5.2
5.3
5.4
5.4.1
5.4.2
5.4.2.1
5.4.2.2
5.4.2.3
5.4.3
5.4.4
Parametre Testi ile Fonksiyonel Modelin Test Edilmesi......................................... 7
Parametrelerin Anlamlılık Testi .............................................................................. 8
Uyuşumsuz Ölçüler ve Eşdeğerlik Testleri ........................................................... 11
Dönüşümlerde Uyuşumsuz Ölçüler ve Parametre Anlamlılık Testleri ................. 14
1B Dönüşümler...................................................................................................... 14
2B Dönüşümler...................................................................................................... 14
Bilineer Dönüşüm.................................................................................................. 15
Afin Dönüşümü ..................................................................................................... 16
Benzerlik (Helmert) Dönüşümü ............................................................................ 18
Matematik Modelin Oluşturulması Ve Çözümü.................................................... 20
Dönüşüm Sonuçlarının Test Edilmesi ................................................................... 20
ii
5.4.4.1
5.4.4.2
5.4.4.3
5.4.5
5.4.5.1
Matematik Model Testi.......................................................................................... 21
Uyuşumsuz Ölçüler Testi ...................................................................................... 21
Parametre Anlamlılık Testi.................................................................................... 22
Uygulama............................................................................................................... 22
Açık Afin Matematik Modelinin Değerlendirilmesi ............................................. 25
6.
ÖDEVLER............................................................................................................. 38
KAYNAKLAR......................................................................................................................... 42
EKLER ..................................................................................................................................... 43
Ek 1 Normal Dağılım Tablo Değerleri ..................................................................................... 44
Ek 2 χ2-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α:Güven aralığı)........................................................ 45
Ek 3 t-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α:Güven aralığı) .......................................................... 46
Ek 4 τ-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α:Güven aralığı).......................................................... 47
Ek 5 F-Dağılımı Tablo Değerleri (α=%5)................................................................................ 48
Ek 6 F-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α=%975)..................................................................... 49
Ek 7 F-Dağılımı Tablo Değerleri (α=%1)................................................................................ 50
3
SĐMGE LĐSTESĐ
A
x
σ2
Σ
λ
Bilinmeyenlerin katsayılar matrisi
Bilinmeyenler vektörü
Kuramsal varyans
Kuramsal varyans-kovaryans matrisi
Dalga boyu
iv
KISALTMA LĐSTESĐ
GNSS
HGK
IERS
KOÜ
TKGM
Global Navigation Satellite System
Harita Genel Komutanlığı
International Earth Rotation Service
Kocaeli Üniversitesi
Tapu Kadastro Genel Müdürlüğü
v
ŞEKĐL LĐSTESĐ
Sayfa
vi
ÇĐZELGE LĐSTESĐ
Sayfa
ÇĐZELGE 1 Ölçüler ve kalibrasyon baz uzunlukları. ................................................................ 8
vi
ÖNSÖZ
Harita (Jeodezi ve Fotogrametri) Mühendisliği mesleğinin deneysel verileri arazide yapılan
geometrik ölçmelerden oluşur. Çoğunlukla bulunmak istenen bilgiye ulaşmak için gereğinden
fazla ölçü yapılır. Bu ölçülerin planlanması aşamasında; kalite ve güven ölçütlerinden
yararlanılırken, değerlendirme aşamasında hipotez testlerinden yararlanılır.
Jeodezik verilerin irdelenmesi dersi; yapılan ölçülerin değerlendirilmesi ve yorumlamasını
aşamalarını kapsamaktadır. Bu ders kapsamında öğrencinin;
•
Jeodezik ölçülerin modellenmesi,
•
Bilinmeyenlerin ve ölçülerin EKK (En Küçük Kareler) yöntemine göre kestirlmesi,
•
Matematik modelin test edilmesi,
•
Uyuşumsuz ölçülerin test edilmesi ve ayıklanması,
•
Parametrelerin test edilmesi,
yetilerini geliştirmesi öngörülür.
Eylül 2011, Kocaeli
vii
ÖZET
Anahtar Sözcükler: Matematik Model Testi, Uyuşumsuz Ölçüler Testi, Parametre Testi.
ix
ABSTRACT
(ANALYSIS of GEODEDIC DATA)
Keywords: Mathematical Model Test, Outlier Test, Parameter Test.
x
1. MATEMATĐK MODEL OLUŞTURMA
Jeodezik ölçülerin EKK yöntemine göre değerlendirilmesinde kullanılan en önemli
dengeleme yöntemi dolaylı ölçüler yöntemidir. Nokta koordinatlarının yada nokta
yüksekliklerinin bilinmeyen seçildiği bir çok jeodezik problemin çözümünde, bilinmeyen
nokta koordinatları ve yükseklikler arasındaki ilişkiler jeodezik ölçüler ile sağlanır.
b
Jeodezik ölçülerin ve ağın boyutu ( b=1,2,3 )
m
Ölçü grubu sayısı
p
Nokta sayısı
s
Sabit nokta sayısı ( Serbest ağlarda s=0 )
n=b*m
Ölçü sayısı
u=n-b*(p-s)
Bilinmeyen sayısı ( Serbest ağlarda u=b*p )
d
Datum parametre sayısı ( Serbest ağlarda d>0 )
f=n-u+d
Serbestlik derecesi
σ0
Birim ölçünün karesel ortalama hatasının öncül değeri
L
Ölçüler
v
Düzeltmeler
Kl
Ölçülerin Varyan-Kovaryans Matrisi
−1
P = σ2 K l
Ölçülerin ağırlık matrisi
x = x0 + x
Bilinmeyenler
L = L + v = Φ( x )
Fonksiyonel model
L + v = Φ( x 0 ) +
∂Φ( x )
∂x
x =x0
x + K Bilinmeyenlere göre doğrusallaştırma
Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT (1 / 62)
l = L − Φ( x 0 ) , l = l + v , A =
l=Ax
P
Matematik model
v = A x−l
P
Matematik model
T
T
∂Φ( x )
∂ x x=x
A PA x = A Pl
Normal denklemler
Qx
Bilinmeyenlerin ters ağırlığı
0
( A T P A ) −1 rank{A} = u ve d = 0

Q x = ( A T P A ) − rank{A} < u ve d > 0 ve x TD x D = min
( A T P A ) + rank{A} < u ve d > 0 ve x T x = min

T
x = Qx A P l
Normal denklemlerin çözümü (dengeleme bilinmeyenleri)
x = x0 + x
Dengeli bilinmeyenler
l =l+v
Dengeli ötelenmiş gözlemler
L=L+v
Dengeli ölçüler
T
v Pv
f
m0 = ±
Q l = A Qx A
Birim ölçünün soncul duyarlığı
T
Qv = Q − Q l = P
l
Dengeli ölçülerin ters ağırlığı
−1
− Ql
h = ϕ( x )
dh =
Bilinmeyenlerin fonksiyonları
∂ ϕ( x )
∂x
Düzeltmelerin ters ağırlığı
dx = H dx
x
Qh = H Qx H
T
Bilinmeyenlerin fonksiyonunun ters ağırlığı
2. MATEMATĐK MODEL TESTĐ
Foksiyonel ve stokastik modelin her ikisinin birden testini kapsar.
2.1
Kuramsal Varyans Biliniyorsa
Kuramsal varyans bilinmesi deneyimlere dayanabilir yada yönetmelikte verilen bir değer
kuramsal varyans olarak seçilir.
{ }
Sıfır hipotezi
{ }
Seçenek hipotezi
H 0 : E m 02 = σ 02
H S : E m 02 ≠ σ 02
T=
2.2
T
m 02
v Pv
χ2
=
f
2
2 ~ ( f ,1−α )
σ0
σ0
Kuramsal Varyans Bilinmiyorsa
Kuramsal varyans bilinmiyorsa, denetlenmiş benzer bir problemin sonuçları yada kendi
problemimizden yararlanarak elde edebileceğim bir değer (örneğin Ferrero bağıntısı) model
testi yapılabilir.
{ } { }
Sıfır hipotezi
{ } { }
Seçenek hipotezi
H 0 : E m 02 = E m 02 = σ 02
H S : E m 02 ≠ E m 02
T=
m 02
~ F(f ,f ,1−α )
m 02
2
2
( m0 > m 0 )
T=
m 02
~ F(f ,f ,1−α )
m 02
2
2
( m0 < m0 )
3. UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTĐ
Model testi geçersiz ise uyuşumsuz ölçüler araştırılır. i. ölçü grubunun kaba hata kestirim
değeri ve onun ters ağırlığı,
∆ i = (Q ∆ P v ) i
b boyutlu i. ölçü grubu
Q ∆ = (P Q v P) ii−1
b boyutlu i. ölçü grubunun ters ağırlığı
i
ile bulunur. i. ölçü grubunun soncul varyansa etkisi aşağıdaki bağıntı ile gösterilir.
−1
R i = (P v ) iT (P Q v P) ii−1 (P v) i = ∆ i Q ∆ ∆ i
T
i
 ∆1 
∆ 
 2
=
Q
P
v
=
∆
∆
L
n×1
 
∆ m 
 (P Q v P)11
 (P Q P)
21
v

, P Qv P =  L
n×n

(P Q v P) m1
 (P v)1 
 ( P v) 
2

=
, Pv  L 
n×1


( P v ) m 
(P Q v P)12
(P Q v P) 22
L
(P Q v P) m 2
L (P Q v P)1m 
L (P Q v P) 2 m 

L
L

L (P Q v P) mm 
Sıfır hipotezi ve seçenek hipotezi aşağıdaki şekilde kurulur.
H 0 : E{∆ i } = 0
Sıfır hipotezi
H S : E{∆ i } ≠ 0
Seçenek hipotezi
Kuramsal varyansın bilinmesine ve bilinmemesine göre test aşağıdaki dağılımlarla
gerçekleştirilir. Yanılma olasılığı α ise α0=α/n>0.001 olarak bulunursa α0=0.001 alınabilir.
3.1
T=
3.2
Ri
χ2
σ 02 ~ ( b ,1−α0 )
Dengeleme sonunda ede edilen soncul varyanstan yararlanarak uyuşumsuz ölçü testi
aşağıdaki gibi yapılır.
T=
Ri
F( b ,f ,1−α0 )
b m 02 ~
4. PARAMETRE TESTĐ
Parametre testi; bilinmeyenler yada bilinmeyenlerin bir fonksiyonunun (örneğin deformasyon
analizinde) anlamlık testi şeklinde olmak üzere, kuramsal varyansın bilinmesi yada
bilinmesine göre aşağıdaki şekilde gerçekleştirilir.
T
x i = ( Q x A P l )i
b boyutlu i. parametre grubu
Q x = (Q xx ) ii
b boyutlu i. ölçü grubunun ters ağırlığı
i
ile bulunur. i. ölçü grubunun soncul varyansa etkisi aşağıdaki bağıntı ile gösterilir.
T
 x1 
x 
2
T
x = Qx A P l =  
L 
u×1
 
 x p 
−1
R i = xi Qx xi
i
 (Q x )11
( Q )
 x 21
Q
=
, x  L
u×u

(Q x ) p1
(Q x )12 L (Q x )1p 
(Q x ) 22 L (Q x ) 2 p 
L
L
L 

(Q x ) p 2 L (Q x ) pp 
Sıfır hipotezi ve seçenek hipotezi aşağıdaki şekilde kurulur.
H 0 : E{x i } = 0
Sıfır hipotezi
H S : E{x i } ≠ 0
Seçenek hipotezi
Kuramsal varyansın bilinmesine ve bilinmemesine göre test aşağıdaki dağılımlarla
gerçekleştirilir.
4.1
kuramsal varyans olarak seçil
T=
4.2
Ri
2
2 ~ χ ( b ,1−α )
σ0
Dengeleme sonunda ede edilen soncul varyanstan yararlanarak uyuşumsuz ölçü testi
aşağıdaki gibi yapılır.
T=
Ri
F( b ,f ,1−α )
b m 02 ~
4.3
Bilinmeyenlerin (Parametrelerin) Fonksiyonlarının Testi
Bilinmeyenlerin (parametrelerin) fonksiyonlarından oluşan vektör h = ϕ( x ) biliniyor ise bu
fonksiyon grubunun anlamlılığı aşağıdaki şekilde test edilir.
h = ϕ( x )
Bilinmeyenlerin (parametrelerin) fonksiyonu
Qh = H Qx H
T
Fonksiyonların ters ağırlık matrisi
r = rank{Q h }
T
−1
R = h Qh h
Fonksiyonların modele etkisi
T=
R
2
σ 02 ~ χ ( r ,1−α )
Kuramsal varyans biliniyorsa
T=
R
r m 02 ~ F( r , f ,1−α )
Kuramsal varyans bilinmiyorsa
5.
5.1
UYGULAMALAR
Parametre Testi ile Fonksiyonel Modelin Test Edilmesi
SV11 numaralı uydunun bir güne ait uydu saat hataları 2 saat aralıklı olarak belirlenmiştir.
Verilenlerden yararlanarak; uydu saat hatası için kurulacak olan modeli belirleyiniz. Aşağıda
verilen modellerden hangisi uygundur. Bulunuz. Saat hatalarının -102.000µ
µs ötelenmiş
değerleri kulanılmıştır.
i ti [h] δi [µ
µs] δi [ns]
1
0
-0.755
-755
2
2
-0.775
-775
3
4
-0.794
-794
4
6
-0.814
-814
5
8
-0.834
-834
6
10
-0.854
-854
7
12
-0.873
-873
8
14
-0.893
-893
9
16
-0.913
-913
10
18
-0.933
-933
11
20
-0.953
-953
12
22
-0.973
-973
13 23.75 -0.990
-990
A
x
b
1.00 0.00
0.00 a0
-755
1.00 2.00
4.00 a1
-775
1.00 4.00
16.00 a2
-794
1.00 6.00
36.00
-814
1.00 8.00
64.00
-834
1.00 10.00 100.00
-854
1.00 12.00 144.00
-873 =
1.00 14.00 196.00
-893
1.00 16.00 256.00
-913
1.00 18.00 324.00
-933
1.00 20.00 400.00
-953
1.00 22.00 484.00
-973
1.00 23.75 564.06
-990
vTv= 0.773410 ns2
bTb–bTx=0.773410 ns2
T
AA
A Tb
13.00
155.75
2588.06
-11354.00
m0= 0.278 ns
155.75 2588.06 48244.48 -143180.50
2588.06 48244.48 957750.50 -2431197.88
v [ns]
-0.052
0.301
-0.375
-0.080
0.185
0.421
-0.372
-0.194
-0.046
0.073
0.163
0.223
-0.248
Bütün parametreler %95 güvenle ANLAMLI bulunmuştur. Đkinci derece model uygundur.
Qxx
0.51943 -0.08352
-0.08352 0.01976
0.00280 -0.00077
0.00280
-0.00077
0.00003
x
-755.052
-9.816
-0.004
mx
Tx
0.20 3767.10
0.04 251.07
0.00
2.32
KARAR
ANLAMLI
ANLAMLI
ANLAMLI
t
> 2.23
Açıklama:
Parametre grubunun test edilen boyutu b=1 dir. Yukarıda tanımlanan test büyüklüğü
T=
x iT q −x1i x i
b m 02
=
xi
x i2
F(1,f ,1−α ) yada Tx = T =
t
= F(1,f ,1−α )
~
2
m 0 q x i ~ (f ,1−α )
m 0 q xi
Eğer kuramsal varyans bilinseydi aşağıdaki bağıntılar kullanılacaktı.
T=
x iT q −x1i x i
σ 02
=
xi
x i2
χ (21,1−α ) yada Tx = T =
Z (1−α / 2 ) = χ (21,1−α )
~
~
2
σ
q
σ 0 q xi
0
xi
5.2
Parametrelerin Anlamlılık Testi
Alet
Reflektör
a1
a2
a1
a2
ŞEKĐL 1 Elektronik uzunluk ölçerlerde (EUÖ) kalibrasyon.
Sik
: Ölçülen Uzunluk
a=a1+a2 : Ek sabite (Sıfır Noktası Eki)
AD
xik : Verilen ya da gerçek uzunluk
b : Ölçek düzeltmesi
: Alet düzeltmesi
I. Gerçek Uzunlukları Bilinen Kalibrasyon Bazlarında Ek Sabitenin (Sıfır noktası Ekinin)
ve Ölçek Düzeltmesinin Belirlenmesi:
Sayısal Uygulama : 5 noktalı bir EUÖ kalibrasyon bazında ölçülmüş olan kenarlar, gerçek
değerleri ile birlikte aşağıda verilmiştir. Ölçü yapılan aletin, alet düzeltmesini bulunuz.
ÇĐZELGE 1 Ölçüler ve kalibrasyon baz uzunlukları.
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
i-k
1-2
1-3
1-4
1-5
2-3
2-4
2-5
3-4
3-5
4-5
Sik (m)
30.0235
100.0121
180.0029
300.0033
69.9931
149.9844
269.9823
79.9959
199.9959
120.0060
vTv =
I
II
xik (m)
vik (mm)
vik (mm)
30.0191
0.40
0.77
100.0073
0.25
0.00
179.9986
0.68
-0.16
299.9971
-0.42
-0.61
69.9882
0.05
0.01
149.9795
0.34
-0.64
269.9780
1.37
1.40
79.9913
0.38
0.03
199.9898
-0.68
-0.02
119.9985
-2.37
-0.77
9.1045 3.9672
Çözüm :
n = 10
Ölçü sayısı
u=2
Bilinmeyen sayısı
a
= a0 + da
Sik = a
b
a0 = 0
+ b xik
= b0 + db
xik = -(a/b) + (1/b) Sik
b0 = 1
Gerçek Uzunluk
Sik + vik = (a0 + da) + (b0 + db) xik
vik = da + xik db – (Sik – a0 - b0 xik)
v=Ax-l
1
1

1

1
1
v = 
1
1

1

1
1
ATA x = ATl
0.0300191
0.1000073

0.0799986

0.2999971
0.0699882

0.1499795
0.2699780

0.0799913

0.1999898
0.1199985
4.4
4.8


4.3


6.2
4.9
da
db − 4.9


 
4.3


4.6


6.1
7.5
[mm ]
10.0000
 1.3999

1.3999
.2684
da
52.0000
db =  7.5427
 


x = (ATA)-1 ATl
.3707 - 1.9339  52.0000
4.6914 [mm ]

da

= 

db = - 1.9339



13.8141  7.5427
3.6331 [mm / km ] 
 

a=
a0 + da = 4.69
b = b0
S
+ db = 1.00000363
= a + b x = 4.69 mm + 1.00000363 x
x = -4.69mm + 0.99999637 S
Gerçek uzunluk
AD = -4.69mm – 3.63 (S[m]/1000)= -4.69mm – 3.63ppm
Alet düzeltmesi
II. Gerçek Uzunlukları Bilinmeyen Kalibrasyon Bazlarında Ek Sabitenin (Sıfır noktası
Ekinin) Belirlenmesi:
Çözüm :
n=10
u = 5 (Bir ek sabite + 4 adet baz uzunluğu)
a0 = 0
x1(0) = S12
x2(0) = S13
x3(0) = S14
x4(0) = S15
Sik + vik = (a0 + da) + (x(k-1)(0)+ dx(k-1))
vik = da + dx(k-1) – (Sik – a0 – x(k-1)(0))
v=Ax-l
1
1

1

1
1
v = 
1
1

1

1
1
 10
− 2

 0

 2
 4

1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
-1
1
0
-1
0
1
-1
0
0
0 -1
1
0 -1
0
0
0 -1
− 2
0
4 − 1 −
− 1
4 −
− 1 − 1
− 1 − 1 −
0
0

0

1
0

0
1

0

1
1 
0.0
0.0


0.0
da 




0.0
dx
 1
4.5
dx2  − 



5.0
dx3 
2.5
dx 


 4
5.1


4.7
5.6
[mm ]
2
4 da 
 27.4
 − 12.0 
1 − 1 dx1 



1 − 1 dx2  =  − 5.3 

 


4 − 1 dx3 
4.5 

 12.8 
1
4 dx4 


x = (ATA)-1 ATl
 da 
 0.50 − 0.20 − 0.40 − 0.60 − 0.80  27.4
 5.280
dx 
− 0.20



 − 4.512
0.48
0.36
0.44
0.52
− 12.0
 1

 



dx2  = − 0.40
0.36
0.72
0.68
0.84  − 5.3  =  − 5.284



 



0.44
0.68
1.12
1.16 
4.5 
dx3 
− 0.60
− 5.436
dx4 
− 0.80
 − 5.888
0.52
0.84
1.16
1.68  12.8 





m0 = ± 0.89 mm
a = a0 + da = 5.28 mm
xik = (-0.00528 + Sik)[m]
Gerçek uzunluk
5.3
Uyuşumsuz Ölçüler ve Eşdeğerlik Testleri
Şekildeki nivelman ağında 1, 2, 3 numaralı noktaların yükseklikleri bilinmektedir. Nokta
yükseklikleri ve ölçü değerleri verilen bu ağda; a) Ölçüler uyuşumlu mudur, b) Dayanak
noktaları ağ ile uyumlu mudur, c) 4, 5 noktalarının yüksekliklerini bulunuz.
5
h5
4
h7
h8
h4
1
h6
h1
h2
3
h3
2
ŞEKĐL 2 Nivelman ağının kanavası.
i
1
2
3
Hi [m]
5.316
11.295
5.172
j
1
2
3
4
5
6
7
8
hj [m]
0.247
5.984
6.220
0.369
0.122
0.730
0.480
0.618
Sj[km]
0.8
0.9
1.2
0.6
0.5
0.4
1.0
1.1
ÇÖZÜM :
a) Serbest Dengeleme ve Uyuşumsuz Ölçüler Testi :
v
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
=
=
A
x
−
1
-1
0
-1
0
0
-1
0
δH1
δH2
δH3
δH4
δH5
[mm]
0
1
1
0
0
0
0
0
-1
0
-1
0
0
-1
0
-1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
-1
0
0
1
−
l
-103
-5
-97
0
-11
-106
0
-105
P
[mm]
boşk
1.25
0
1.11
0
0
0.83
0
0
0
1.67
0
0
0
0
2.00
0
0
0
0
0
2.50
0
0
0
0
0
0
1.00
0
0
0
0
0
0
0
0.91
[]
5.03
N=ATP A
-1.11 -1.25 -1.00
1.94 -0.83
0.00
5.49 -2.50
5.50
-1.67
0.00
-0.91
-2.00
4.58
Qx=(N+G G )− −G G
-0.04 -0.03 -0.03
0.36 -0.07 -0.12
0.13
0.00
0.14
T
0.13
x
1
δH1
δH2
δH3
δH4
δH5
T
-0.02
-0.13
-0.03
0.01
0.17
n=ATP l
-123.19
-86.39
=
570.04
-287.00
-73.46
x=Qx n
[ ]
-19.36
-20.31
boşluk
82.09
-24.80
-17.63
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
G GT
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
0.20
[mm]
v = A+x − l , Qv = P-1 − A Qx AT
v [mm]
1.55
4.05
-5.40
1.73
3.83
-0.89
-5.44
5.27
τ-Dağılımı
(Qv)ii mv
τ{αα;f}
[ ]
[mm]
0.48 4.06 0.38
0.33 3.34 1.21
0.58 4.46 1.21
0.27 3.03 0.57
0.21 2.65 1.45
0.14 2.18 0.41
0.66 4.75 1.15
0.75 5.07 1.04
t-Dağılımı
s0
sv
T
t{αα;f−−1}
[mm] [mm] [ ]
1.76 6.63 4.60 0.34 3.18
5.37 3.07 1.32
5.37 4.10 1.32
6.47 3.36 0.51
4.66 2.11 1.82
6.61 2.47 0.36
5.53 4.49 1.21
5.77 5.00 1.05
T
2
v Pv = 136.77 mm
m0
= 5.85 mm
Uyuşumsuz Ölçü Yoktur 
b) Dayanak Noktalarının Testi :
QD
0.13 -0.04 -0.03
0.36 -0.07
0.13
xD[mm]
-19.36
-20.31
82.09
i
1
2
3
Global Test
Lokal Test
T -1
T -1
xQ x
T [ ]
F{3f} xi Qi xi Ti [ ] F{1f}
56107.9 546.98
6.59 2915.06
85.25 7.7086
1153.04
33.72
53890.11 1576.07
* Yaklaşık yükseklikler ve ötelenmiş gözlemler tekrar belirlenerek, ağ tekrar serbest olarak
dengelenir.
n=
m=
u=
i
1
2
3
4
5
8
5
5
Hi [m]
5.316
11.295
5.075
5.796
5.685
d=
f=
j
1
2
3
4
5
1 6
4 7
8
hj
[m]
0.247
5.984
6.220
0.369
0.122
0.730
0.480
0.618
Sj[km]
0.8
0.9
1.2
0.6
0.5
0.4
1.0
1.1
pj [
]
1.25
1.11
0.83
1.67
2.00
2.50
1.00
0.91
l [mm]
-6
-5
0
0
-11
-9
0
-8
* Serbest ağ dengeleme sonuçları datumdan bağımsız olduğundan serbest ağ dengelemesi ve
uyuşumsuz ölçü sonuçları değişmez. Yeni dayanak noktaları, en son belirlenen serbest ağ
datumuna göre test edilir.
vTPv = 136.77 mm2
m0 = 5.85 mm
Uyuşumsuz Ölçü Yoktur 
QD
0.13 -0.04
0.36
xD[mm]
0.04
-0.91
Global Test
Lokal Test
T -1
T -1
xQ x
T [ ]
F{23f} xi Qi xi Ti [ ] F{21f}
2.34
0.03
6.94
0.01 0.0004 7.7086
2.30 0.0672
i
1
2
1 ve 2 dayanak noktaları serbest ağ sonuçları ile uyumludur 
c) Dayalı Dengeleme :
v
1.32
5.00
-4.68
1.83
3.87
-0.98
-5.30
5.15
=
=
-1
0
-1
0
0
A
0
0
0
0
1
0
0
0
1
-1
x
-1
0
-1
1
1
0
0
0
1
δH3
δH4
δH5
[mm]
−
l
-6
-5
0
0
11
-9
0
-8
[mm]
boşlu
1.25
0
1.11
0
0
0.83
P
0
0
0
1.67
0
0
0
0
2.00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2.50
0
1.00
0
0
0.91
[]
vTPv = 138.34 mm2
m0 = 5.88 mm
Dengeli Yükseklikler ve Duyarlıkları
0.29
Qx
0.18
0.33
T
0.14
0.18
0.32
AP l
37.27
-44.5
14.73
=
x [mm]
4.68
-5.30
1.83
boşluk
i
1
2
3
4
5
Hi [m]
5.316
11.295
5.075
5.796
5.685
Hi [m]
5.316
11.295
5.07968
5.79070
5.68683
mHi[mm]
0.00
0.00
3.14
3.37
7.96
Fark[m]
0.000
0.000
-0.092
Dengeli Ölçüler ve Duyarlıkları
0.29
0.00
0.00
Qh
0.29 -0.14 -0.04
0.00 0.00 0.00
0.29 -0.14 -0.04
0.32 -0.14
0.29
j h+v [m] mh
0.11 -0.18 0.15
1 0.24832
0.00 0.00 0.00
2 5.98900
0.11 -0.18 0.15
3 6.21532
0.04 0.18 0.19 boşluk 4 0.37083
0.11 0.15 -0.19
5 0.12587
0.26 0.15 0.15
6 0.72902
0.33 0.00
7 0.47470
0.34
8 0.62315
[mm]
3.14
0.00
3.14
3.35
3.19
2.98
3.37
3.43
Ödev: Bu ağı, yönetmelikte istenilen soncul KOH ±5mm/km değerine eşdeğer olmalı
koşuluna göre değerlendiriniz.
5.4
Dönüşümlerde Uyuşumsuz Ölçüler ve Parametre Anlamlılık Testleri
5.4.1 1B Dönüşümler
5.4.2 2B Dönüşümler
Uygulamada yaygın olarak kullanılan 2B benzerlik (Helmert) ve afin dönüşüm modelleri her
bir koordinat çifti için yazılan polinomsal fonksiyonun özel halleridir. Dönüştürülen
koordinatlar (xy) ve dönüşen koordinatlar (XY) olacak şekilde gösterilirse, polinomsal model
aşağıdaki gibi yazılır (ŞEKĐL 2).
d
d
X k = ∑ ∑ aij xki ykj
(3a)
j =0 i =0
d
d
Yk = ∑ ∑ bij xki ykj
(3b)
j =0 i = 0
(3) bağıntılarındaki d polinomun derecesini göstermektedir. Bu bağıntılarda d=1 alınırsa,
bilineer dönüşüm modeli, ek olarak i+j≤d koşulu eklenirse afin dönüşüm modeli ve bunlara
ek olarak a10=b01 ve –a01=b10 alınırsa benzerlik (Helmert) dönüşüm modeli elde edilir.
X
x
yk
xk
β
α
(xk ,yk )
(Xk ,Yk )
Xk
a00
y
b00
Y
Yk
ŞEKĐL 2 Afin (α≠β, kx≠ky, a11=b11=0) ve benzerlik (α=β, kx=ky, a11=b11=0) dönüşümü.
Yukarıda genel şekli verilen ve özetlenen 2B dönüşümlerin fonksiyonel modelleri, ayrı
başlıklar altında ayrıntılı olarak incelenecektir (ŞEKĐL 2).
Ayrıca bu dönüşüm modellerinin geometrik yapısı, ÇĐZELGE 1’de verilen ve kenarı 5 birim
olan bir karenin kenarları üzerindeki yer alan nokta koordinatları üzerinden incelenecektir.
ÇĐZELGE 1 Bir karenin kenarlarına ait nokta koordinatları.
x
1
1
1
1
1
NN
A
y
1
2
3
4
5
NN
B
x
1
2
3
4
5
y
6
6
6
6
6
x
6
6
6
6
6
NN
C
y
6
5
4
3
2
x
6
5
4
3
2
NN
D
y
1
1
1
1
1
5.4.2.1 Bilineer Dönüşüm
Bilineer dönüşüm modelinin kapalı bağıntıları olan (3) bağıntılarında d=1 alınarak doğrudan
elde edilir. Nokta sayısı n olmak üzere, bilineer dönüşüm modelinin açık bağıntılar aşağıdaki
şekilde verilir.
X k = a00 + a10 xk + a01 y k + a11 xk y k
(4a)
Yk = b00 + b10 xk + b01 y k + b11 xk y k
(4b)
k = 1,2,K , n
Sözgelimi a00=2, a10=0.8019, a01=−0.3812, a11=0.2 ve b00=1, b10=0.4086, b01=0.5871,
b11=0.1 olan bir bilineer dönüşümü ÇĐZELGE 1’de verilen kare koordinatlarını ŞEKĐL 3’de
verilen herhangi bir dörtgene dönüştürür.
13
x
12
C
11
10
9
8
7
D
D
6
C
5
4
A
3
B
2
1
0
y
B
A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ŞEKĐL 3 Karenin bilineer dönüşümü.
Bilineer dönüşümün geometrisinin anlaşılabilmesi için, ŞEKĐL 3 de uygulanan bilineer
dönüşüm parametreleri abartılı olarak seçilmiştir.
Uygulamada bilineer dönüşüm parametreleri n adet ortak noktadan yararlanarak dengelemeli
olarak elde edilir. u=8 bilinmeyen parametreli olan bilineer dönüşümde tek anlamlı çözüm
için en az 4 ortak noktaya ihtiyaç duyulur (n≥4 olmalı). Tek bir nokta için fonksiyonel model
aşağıdaki şekilde kurulur.
x k
v X 
v  =  0
 Y k 
0  a   X 
−
x k  b   Y  k
xTk = [1 xk
yk
(5a)
xk y k ] , aT = [a00
vk = Aka − lk
a10
a01
a11 ] , bT = [b00
b10
b01
k = 1,2,K , n
b11 ]
(5b)
Bilineer dönüşümde a11 ve b11 parametreleri sırasıyla x ve y yönlerindeki koordinatların
sünmelerine neden olurken; diğer parametrelerin öteleme, ölçek ve dönüklükle ilişkileri
vardır. Bu ilişkiler afin ve benzerlik dönüşümlerinde gösterilecektir.
5.4.2.2 Afin Dönüşümü
Afin dönüşümünde temel özelliği paralelliği korumasıdır. Afin modeli (3) kapalı bağıntısında
d=1 ve i+j≤d koşulu ile yada (4) bağıntılarından a11=b11=0 alınarak elde edilir. Nokta sayısı
n olmak üzere, afin dönüşüm modelinin açık bağıntılar aşağıdaki şekilde yazılır.
X k = a00 + a10 xk + a01 y k = a00 + λ cos α xk − µ sin β y k
(6a)
Yk = b00 + b10 xk + b01 y k = b00 + λ sin α xk + µ cos β y k
(6b)
k = 1,2,K , n
Ayrıca (6) bağıntılarında polinomsal katsayıların dönüşümün geometrisi ile ilgili bağıntıları
da verilmiştir (ŞEKĐL 2).
(6) bağıntılarında λ ve α parametreleri sırasıyla x-X eksenleri arasındaki ölçek ve dönüklüğü,
µ ve β parametreleri de sırasıyla y-Y eksenleri arasındaki ölçek ve dönüklüğü göstermektedir.
λ, µ, α, β biliniyorken a10, a01, b10, b01 polinom katsayıları (6) bağıntılarından hesaplanır.
Polinom katsayıları biliniyorken, ölçek ve dönüklük parametereleri aşağıdaki bağıntılardan
bulunur.
2
2
2
2
λ = a10
+ b10
, µ = a01
+ b01
(7a)
 b10 
 − a01 
 , β = arctan 

 a10 
 b01 
α = arctan 
(7b)
Sözgelimi a00=2, a10=0.8019, a01=−0.3812 ve b00=1, b10=0.4086, b01=0.5871 (bilineer
dönüşümden farkı a11=b11=0) olan bir afin dönüşümü ÇĐZELGE 1’de
verilen kare
koordinatlarını ŞEKĐL 4’de verilen bir paralel kenara dönüştürür.
7
x
D
D
6
C
5
C
4
3
A
2
1
A
B
B
y
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
ŞEKĐL 4 Karenin afin dönüşümü.
Örnekte verilen polinomsal katsayılar (7) bağıntıları yardımı ile ölçek ve dönüklük
parametrelerine dönüştürülür. Hesaplanan bu parametreler ve ötelemeler ile dönüşüm
bağıntıları Xk=2+0.9cos27°xk−0.7sin33°yk ve Yk=1+0.9sin27°xk+0.7cos33°yk olarak elde
edilir.
Uygulamada afin dönüşüm parametreleri n adet ortak noktadan yararlanarak dengelemeli
olarak elde edilir. u=6 bilinmeyen parametreli olan afin dönüşümde tek anlamlı çözüm için en
az 3 ortak noktaya ihtiyaç duyulur (n≥3 olmalı). Tek bir nokta için fonksiyonel model
aşağıdaki şekilde kurulur.
x k
v X 
v  =  0
 Y k 
0
x k 
a   X 
b  −  Y 
   k
x Tk = [1 x k
vk = Aka − lk
(8a)
y k ] , a T = [a00
a10
a01 ] , b T = [b00
k = 1,2,K , n
b10
b01 ]
(8b)
(8) bağıntısı ile elde edilen polinomsal katsayılar, istenirse (7) bağıntıları yardımıyla ölçek ve
dönüklük parametrelerine kolayca dönüştürülebilir.
5.4.2.3 Benzerlik (Helmert) Dönüşümü
Benzerlik dönüşümü afin dönüşümün özel bir halidir. Benzerlik dönüşümü hem paralelliği
hem de dikliği korur. Dönüşüm sonucunda geometrik şeklin ötelenmişi, ölçeklendirilmişi ve
döndürülmüşü elde edilirken benzerliği korunur. Afin dönüşümünde a10 = b01 ve a01 = −b10
alınarak benzerlik dönüşüm modeli elde edilir.
X k = a00 + a10 x k − b10 y k = a00 + λ cos α x k − λ sin α y k
(9a)
Yk = b00 + b10 x k + a10 y k = b00 + λ sin α x k + λ cos α y k
(9b)
k = 1,2,K , n
Ayrıca (9) bağıntılarında polinomsal katsayıların dönüşümün geometrisi (λ=µ ve α=β) ile
ilgili bağıntıları da verilmiştir (ŞEKĐL 2).
(9) bağıntılarında λ ve α parametreleri sırasıyla her iki eksen yönündeki ölçek ve dönüklüğü,
göstermektedir. λ, α biliniyorken a10, b10 polinom katsayıları (9) bağıntılarından hesaplanır.
Polinom katsayıları biliniyorken, ölçek ve dönüklük parametereleri aşağıdaki bağıntılardan
bulunur.
2
2
λ = a10
+ b10
 b10 

 a10 
α = arctan 
(10a)
(10b)
Sözgelimi a00=2, a10=0.6928 ve b00=1, b10=0.4000 (afin dönüşümden farkı a01=b10 ve
b01=a10) olan bir benzerlik dönüşümü ÇĐZELGE 1’de verilen kare koordinatlarını ŞEKĐL
4’de verilen bir kareye dönüştürür.
7
x
D
6
C
D
5
4
C
3
A
2
1
B
A
y
B
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
ŞEKĐL 5 Karenin benzerlik dönüşümü.
Örnekte verilen polinomsal katsayılar (10) bağıntıları yardımı ile ölçek ve dönüklük
parametrelerine dönüştürülür. Hesaplanan bu parametreler ve ötelemeler ile dönüşüm
bağıntıları Xk=2+0.8cos30°xk−0.8sin30°yk ve Yk=1+0.8sin30°xk+0.8cos30°yk olarak elde
edilir.
Uygulamada benzerlik dönüşüm parametreleri n adet ortak noktadan yararlanarak
dengelemeli olarak elde edilir. u=4 bilinmeyen parametreli olan afin dönüşümde tek anlamlı
çözüm için en az 2 ortak noktaya ihtiyaç duyulur (n≥2 olmalı). Tek bir nokta için fonksiyonel
model aşağıdaki şekilde kurulur.
v X 
1
 v  = 0
 Y k 
vk = Aka − lk
xk
yk
a00 
0 − y k  a10   X 
−
1 x k   b00   Y  k
 
 b10 
(11a)
k = 1,2,K , n
(11b)
(11) bağıntısı ile elde edilen polinomsal katsayılar, istenirse (10) bağıntıları yardımıyla ölçek
ve dönüklük parametrelerine kolayca dönüştürülebilir.
5.4.3 Matematik Modelin Oluşturulması Ve Çözümü
Yukarıda ilgili başlıklar altında verilen bilineer, afin ve benzerlik dönüşüm modellerinin
fonksiyonel modeller (5), (8) ve (11) bağıntıları ile verilmiştir. Uygulamada her bir nokta çifti
için eşit ağırlıklı ve korelasyonsuz alındığından stokastik model P=I matris olur. Bu koşullar
altında bütün dönüşüm modelleri için genel matematik model aşağıdaki bağıntı ile verilir.
v = Ax−l
P=I
(12)
Bilinmeyen sayısından fazla olan denklemler arasındaki tutarsızlıkları gidermek için EKK (En
Küçük Kareler) amaç fonksiyonuna yararlanılarak bilinmeyenlerin ve istenen diğer
parametrelerin (sözgelimi düzeltmeler, bilinmeyenlerin fonksiyonları vb.) en olasılıklı
değerleri hesaplanır.
x = ( A T A ) −1 A T l
(13)
Bilinmeyenler hesaplandıktan sonra (12) bağıntısından düzeltmeler elde edilir. Düzeltmeler
ve istenen parametrelerin ters ağırlıklarından yararlanarak duyarlık hesapları yapılır. Bir
koordinatın karesel ortalama hatası, bilinmeyenlerin ters ağırlığı ve düzeltmelerin ters
ağırlıkları aşağıdaki bağıntılarla hesaplanır.
m0 = ±
vT v
f
f = 2n − u
(14a)
Q x = ( A T A) −1
(14b)
Q v = I − A Q AT
(14c)
Bilinmeyenlerin fonksiyonlarının ters ağırlıkları hata yayılma kuralı ile elde edilir.
f = Φ( x)
Q f = F Q x FT
(15a)
F=
∂Φ(x)
∂x
(15b)
(15) bağıntıları polinomsal dönüşüm katsayılarından ölçek, dönüklük parametreleri ve bu
parametrelerin ters ağırlıklarına ulaşabilmek için kullanılır.
5.4.4 Dönüşüm Sonuçlarının Test Edilmesi
Dönüşüm sonuçları kuramsal varyansın bilinip bilinmemesine göre farklılık gösterir.
Matematik model, uyuşumsuz ölçüler ve parametre anlamlılık testleri kuramsal varyansa
bağımlı olarakbu durumlara göre değişmektedir.irme çalışmasında seçilen örnek uygulamada
üç dönüşüm modeli incelenmiştir. Bu dönüşüm modelleri üzerinde uyuşumsuz ölçüler testi ve
parametre testi gerçekleştirilmiş ve genelde deneysel birim ölçünün soncul değeri
kullanılmıştır.
5.4.4.1 Matematik Model Testi
Kuramsal varyansın biliniyorsa, bilinen birim ölçünün kuramsal varyans ile istatistiksel
eşdeğeri deneysel varyans karşılaştırlır.
T=
vT P v
σ 02
=f
m02
σ 02
~ χ {21−α , f } = F{1−α , f , ∞}
(16a)
Aynı türden deneysel iki sonucun karşılaştırılmasında kullanılır.
T=
2
m10
~ F{1−α , f 1 , f 2 }
2
m20
( Tk ≥ 1 olmalı)
(16b)
Test büyüklükleri (T), ilgili dağılımın sınır değerinden küçük ise matematik model 1-α
güvenle geçersiz sayılamaz. T sınır değerden büyük ise önce stokastik model gözden geçirilir,
hala geçersiz ise uyuşumsuz ölçü testi yapılır.
5.4.4.2 Uyuşumsuz Ölçüler Testi
Çalışmanın temel konusunu oluşturan dönüşüm modellerinde bir noktaya ait koordinat çiftleri
kullanılmaktadır.
Bir
noktanın
üretilmesinde
yapılan
hata
iki
koordinatı
birlikte
etkileyeceğinden, uyuşumsuz ölçüler testi koordinat çiftlerini birlikte test edebileceğimiz,
koordinat çiftlerinde uyuşumsuz ölçüler testi şeklinde gerçekleştirilmiştir. Tek bir koordinat
çifti için uyuşumsuz ölçüler test büyüklüğü aşağıdaki bağıntı ile elde edilir.
Tk =
Tk =
v Tk Pvk v k
σ
2
0
vTk Pvk v k
r m02
~ χ {21−α0 , f }
(17a)
~ F{1−α 0 , r , f }
(17b)
k = 1,2,K , n , vTk = [v X
vY ]k , Pvk = (Q v ) −k 1 , α 0 =
α
n
, r = rank{Pv k }
(16) bağıntısında; α yanılma olasılığı, α0 tek bir nokta çiftinin yanılma olasılığı, vk ve Pvk
k’ıncı noktaya ait koordinatların düzeltmeler vektörü ve bu düzeltmeler vektörünün 2×2
boyutlu ağırlık matrisi, r test edilen düzeltme grubunun boyutu ve F{1−α 0 , r , f } Fisher
dağılımının sınır değeridir. α0≈0 ise α0≈0.01 alınabilir. Çalışmada iki boyutlu dönüşümler
incelendiğinden daima r=2’dir.
5.4.4.3 Parametre Anlamlılık Testi
Parametre testi, tek bir parametre yada bir grup parametrenin testi şeklinde olabileceğinden
aşağıdaki test büyüklüğü genellenerek verilmiştir. Bir grup parametrenin anlamlılık testi
aşağıdaki bağıntı ile elde edilir.
Tk =
Tk =
xTk Px k x k
σ
2
0
x Tk Pxk x k
r m02
~ χ {21−α ,r } = F{1−α , r , ∞}
(18a)
~ F{1−α , r , f }
(18b)
Pxk = (Q x ) k−1 , r = rank{Px k }
(17) bağıntısında; xk ve Pxk k’ıncı grup parametre ve bu parametrelerin ağırlık matrisi, r test
edilen parametre grubunun boyutu, χ {21−α ,r } Ki-kare ve F{1−α , r , f } Fisher dağılımının sınır
değerleridir. Genellikle α=0.05 alınır.
5.4.5 Uygulama
Aşağıda ortak nokta koordinatları verilen iki farklı sistem arasındaki uygun dönüşüm
modelini belirleyiniz.
==
i
==
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
==
====
NN
====
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
====
KOORDINATLAR
=========== ===========
x [m]
y [m]
=========== ===========
22644.3300
18214.3000
12910.4900
18011.6900
18047.3900
16776.6700
15932.9400
15231.9600
18350.3400
11587.6400
16048.4600
25654.1800
10586.0300
6135.8000
25220.8000
19608.8700
16048.6200
22850.6500
12295.5400
15852.5900
=========== ===========
===========
X [m]
===========
13802.9000
4823.4300
10055.0500
8655.6300
12242.4800
4935.5500
7022.7200
15687.2500
5965.2400
5044.3900
===========
===========
Y [m]
===========
26549.3700
22786.1300
23523.9400
21310.5900
18808.6400
31047.2200
10886.0700
28792.7400
28439.5900
20552.0100
===========
a) Bilineer Dönüşüm modeli:
Qx
21.862 -0.00152276 -0.0012461
8.5177e-08
0
0
0
0
-0.00152276 1.12167e-07 8.62397e-08 -6.22635e-12
0
0
0
0
-0.0012461 8.62397e-08 7.7431e-08 -5.1745e-12
0
0
0
0
0
0
0
0
8.5177e-08 -6.22635e-12 -5.1745e-12 3.65831e-16
0
0
0
0
21.862 -0.00152276 -0.0012461
8.5177e-08
0
0
0
0 -0.00152276 1.12167e-07 8.62397e-08 -6.22635e-12
0
0
0
0 -0.0012461 8.62397e-08 7.7431e-08 -5.1745e-12
0
0
0
0 8.5177e-08 -6.22635e-12 -5.1745e-12 3.65831e-16
x=
a00
a10
a01
a11
b00
b10
b01
b11
=
-570.468
0.930145
-0.367245
-4.83107e-11
1290.88
0.367272
0.930165
-1.04962e-09
UYUSUM TESTI
====== ============== ====== ====== ======
v'Q^v
v'Q^v ======
v[cm]
(Qvv)ii
mv[cm]
Tv[]
Tau
[m2]
2m0^2
F
====== ============== ====== ====== ====== ====== ====== ======
0.58 0.7069 -0.0000
1.36
0.43
0.0002
0.33
0.94 -0.0000 0.7069
1.36
0.69
-----------------------------------------------------------------------------------2
2
1.37 0.7564 -0.0000
1.40
0.98
0.0005
0.90
1.29 -0.0000 0.7564
1.40
0.92
-----------------------------------------------------------------------------------3
3
0.45 0.8606 -0.0000
1.50
0.30
0.0001
0.11
-0.52 -0.0000 0.8606
1.50
0.35
-----------------------------------------------------------------------------------4
4
-3.01 0.8427 -0.0000
1.48
2.03
1.92 0.0011
2.13
-0.55 -0.0000 0.8427
1.48
0.37
-----------------------------------------------------------------------------------5
5
1.03 0.3850 -0.0000
1.00
1.03
0.0003
0.53
-0.11 -0.0000 0.3850
1.00
0.11
-----------------------------------------------------------------------------------6
6
-1.38 0.5276 -0.0000
1.17
1.17
0.0004
0.70
0.14 -0.0000 0.5276
1.17
0.12
-----------------------------------------------------------------------------------7
7
0.65 0.0598 -0.0000
0.39
1.65
0.0007
1.36
-0.01 -0.0000 0.0598
0.39
0.03
-----------------------------------------------------------------------------------8
8
-0.72 0.3551 -0.0000
0.96
0.75
0.0002
0.29
-0.15 -0.0000 0.3551
0.96
0.16
-----------------------------------------------------------------------------------9
9
2.90 0.7309 -0.0000
1.38
2.10
1.92 0.0013
2.41
-0.89 -0.0000 0.7309
1.38
0.64
-----------------------------------------------------------------------------------10
10
-1.87 0.7750 -0.0000
1.42
1.32
0.0005
0.87
-0.12 -0.0000 0.7750
1.42
0.09
-----------------------------------------------------------------------------------t(0.025,11)=2.2016
Tau(0.025,12)=1.9158
F(0.050,2,12)=3.8976
vv= 0.0031 m2
f=12
m0= 1.61 cm
====
SN
====
1
======
NN
======
1
*****Bilineerlik Katsayilari*****
Qf
f
3.65831e-016
0
-4.83107e-011
0
3.65831e-016
-1.04962e-009
Bilineerlik Testi :
R= 30.1789 cm2
T= 5.7993 ~ F(0.978,2,12)= 5.8082
b) Afin Dönüşüm modeli:
*****Donusum Parametreleri*****
2.03011 -7.30687e-05 -4.13089e-05
0
0
0
-7.30687e-05 6.19617e-09 -1.82903e-09
0
0
0
-4.13089e-05 -1.82903e-09 4.24024e-09
0
0
0
0
0
0
2.03011 -7.30687e-05 -4.13089e-05
0
0
0 -7.30687e-05 6.19617e-09 -1.82903e-09
0
0
0 -4.13089e-05 -1.82903e-09 4.24024e-09
a00
a10
a01
b00
b10
b01
x=
=
-570.457
0.930144
-0.367245
1291.12
0.367254
0.93015
-570.457
0.930144
-0.367245
1291.12
0.367254
0.93015
UYUSUM TESTI
====== ============== ====== ====== ======
v'Q^v
v'Q^v ======
v[cm]
(Qvv)ii
mv[cm]
Tv[]
Tau
[m2]
2m0^2
F
====== ============== ====== ====== ====== ====== ====== ======
0.59 0.7087 -0.0000
1.76
0.33
0.0002
0.28
1.17 -0.0000 0.7087
1.76
0.67
-----------------------------------------------------------------------------------2
2
1.33 0.7869 -0.0000
1.86
0.71
0.0002
0.27
0.33 -0.0000 0.7869
1.86
0.18
-----------------------------------------------------------------------------------3
3
0.41 0.8893 -0.0000
1.97
0.21
0.0003
0.29
-1.45 -0.0000 0.8893
1.97
0.74
-----------------------------------------------------------------------------------4
4
-3.06 0.8877 -0.0000
1.97
1.55
0.0014
1.58
-1.72 -0.0000 0.8877
1.97
0.87
-----------------------------------------------------------------------------------5
5
0.88 0.7309 -0.0000
1.79
0.49
0.0016
1.86
-3.34 -0.0000 0.7309
1.79
1.87
-----------------------------------------------------------------------------------6
6
-1.33 0.5542 -0.0000
1.56
0.86
0.0005
0.59
1.03 -0.0000 0.5542
1.56
0.66
-----------------------------------------------------------------------------------7
7
0.80 0.4074 -0.0000
1.34
0.60
0.0027
3.09
3.22 -0.0000 0.4074
1.34
2.41
1.92
-----------------------------------------------------------------------------------8
8
-0.62 0.5130 -0.0000
1.50
0.41
0.0009
1.00
2.03 -0.0000 0.5130
1.50
1.35
-----------------------------------------------------------------------------------9
9
2.91 0.7346 -0.0000
1.79
1.62
0.0012
1.36
-0.55 -0.0000 0.7346
1.79
0.31
-----------------------------------------------------------------------------------10
10
-1.90 0.7871 -0.0000
1.86
1.02
0.0005
0.60
-0.72 -0.0000 0.7871
1.86
0.39
-----------------------------------------------------------------------------------t(0.025,13)=2.1609
Tau(0.025,14)=1.9235
F(0.050,2,14)=3.7819
vv= 0.0061 m2
f=14
m0= 2.09 cm
====
SN
====
1
======
NN
======
1
*****Afinlik Parametreleri*****
Qf
1.04364e-008 -1.03398e-024
-1.03398e-024
1.04364e-008
f
-6.69273e-006
8.43903e-006
Afinlik Testi :
R= 111.1587 cm2
T= 12.6724 ~ F(0.990,2,14)= 7.8371
Afin Donusum Parametreleri
L=
1.000021
M=
1.315427
A= 23.939859 g
B= 23.939203 g
c) Benzerlik Dönüşüm modeli:
*****Donusum Parametreleri*****
1.35503
-3.69269e-005
1.14904e-015
3.7331e-005
-3.69269e-005
2.19692e-009
-3.7331e-005
3.48563e-025
9.38817e-016
-3.7331e-005
1.35503
-3.69269e-005
3.7331e-005
9.3906e-027
-3.69269e-005
2.19692e-009
-570.47
0.930149
1291.21
0.36725
UYUSUM TESTI
====== ============== ====== ====== ======
v'Q^v
v'Q^v ======
v[cm]
(Qvv)ii
mv[cm]
Tv[]
Tau
[m2]
2m0^2
F
====== ============== ====== ====== ====== ====== ====== ======
3.21 0.8219 0.0000
2.98
1.08
0.0014
0.66
-1.22 0.0000 0.8219
2.98
0.41
-----------------------------------------------------------------------------------2
2
-1.27 0.8643 0.0000
3.05
0.42
0.0005
0.24
1.70 0.0000 0.8643
3.05
0.56
-----------------------------------------------------------------------------------3
3
1.18 0.8965 -0.0000
3.11
0.38
0.0006
0.26
-1.90 -0.0000 0.8965
3.11
0.61
-----------------------------------------------------------------------------------4
4
-2.73 0.8915 -0.0000
3.10
0.88
0.0010
0.46
-1.16 -0.0000 0.8915
3.10
0.38
-----------------------------------------------------------------------------------5
5
4.21 0.8306 -0.0000
2.99
1.41
0.0034
1.58
-3.26 -0.0000 0.8306
2.99
1.09
-----------------------------------------------------------------------------------6
6
-5.73 0.7339 0.0000
2.81
2.04
1.93 0.0045
2.08
0.25 0.0000 0.7339
2.81
0.09
-----------------------------------------------------------------------------------7
7
2.40 0.5560 -0.0000
2.45
0.98
0.0097
4.52
3.70
6.96 -0.0000 0.5560
2.45
2.84
1.93
-----------------------------------------------------------------------------------8
8
2.76 0.7295 -0.0000
2.80
0.99
0.0014
0.63
-1.53 -0.0000 0.7295
2.80
0.54
-----------------------------------------------------------------------------------9
9
-0.20 0.8233 0.0000
2.98
0.07
0.0001
0.06
-0.99 0.0000 0.8233
2.98
0.33
-----------------------------------------------------------------------------------10
10
-3.83 0.8524 0.0000
3.03
1.26
0.0019
0.87
1.15 0.0000 0.8524
3.03
0.38
-----------------------------------------------------------------------------------t(0.025,15)=2.1320
Tau(0.025,16)=1.9290
F(0.050,2,16)=3.6970
vv= 0.0173 m2
f=16
m0= 3.28 cm
====
SN
====
1
======
NN
======
1
Benzerlik Donusum Parametreleri
L=
1.000025
A= 23.939505 g
5.4.5.1 Açık Afin Matematik Modelinin Değerlendirilmesi
Đki koordinat sistemi arasındaki afin dönüşüm parametrelerinin, dönüşüm parametrelerine göre
doğrudan kurulan modele göre hesaplanması ve sonuçların test edilmesi.
Afin dönüşüm modeli
 X  a  cos α
 = +
 Y  b   sin α
Bilinmeyenlerin Kesin değerleri
aˆ  a0  δa 
 ˆ  =  b  + δb 
b   0   
− sin β   λ

cos β   µ
αˆ  α 0  δα 
 ˆ  = β  +  
 β   0  δβ 
x

y
 λˆ   λ0  δλ 
 = + 
 µˆ   µ 0  δµ 
Matematik Model
 − λ 0 sin α 0 x
[ cm ]
[ cm ]
v X  1 0 δa  
ρ [c]

=
+
 v  0 1 δb   λ cos α x
0
0
  
 Y 

[c]
ρ

[cmcc ]
 cm 
 ppm 
− µ 0 cos β 0 y  [ cc ]
 cos α 0 x
 δα  
[c]
4
ρ

+  10
− µ 0 sin β 0 y  δβ   sin α 0 x

 10 4
ρ [c]

− sin β 0 y  [ ppm]
[ cm ]
 δλ  l X 
4
10

=
cos β 0 y  δµ   l Y 

10 4
[ cm ]
l X  10 2 {X − (a + λ0 cos α 0 x − µ 0 sin β 0 y )} 

l  =  2
 Y   10 {Y − (b + λ0 sin α 0 x + µ 0 cos β 0 y )} 
1 0
P=I= 

0 1
UYGULAMA:
NN
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
x [m]
14225.86
13052.18
21332.87
18092.88
12052.39
3189.38
22587.71
13925.94
8324.06
13245.95
y [m]
3828.95
10671.37
21561.02
13925.07
18338.34
14178.25
7634.80
13476.90
16999.09
28633.85
X [m]
8126.42
3389.21
4332.73
5816.39
-1655.32
-6779.90
13026.50
2579.40
-4036.58
-6309.45
Y [m]
7171.86
12246.98
25895.26
17733.84
18106.78
9763.83
14943.57
15071.73
14940.50
27367.77
ÇÖZÜM:
********************** Yaklasik Degerler ************************
a0 = -454.3133 m
b0 = -4011.1127 m
α0 = 40.791973 g
β0 = 40.791973 g
λ0 = 1.00000000
µ0 = 1.00000000
************************ 1. Itersayon ***************************
Qx
================================================
1.3857 -0.0000 0.1963 0.1927 -0.4134 0.2257
1.3857 -0.2632 0.1437 -0.3083 -0.3027
0.1371 0.0000 0.0000 0.0179
0.0918 -0.0179 0.0000
0.3383 -0.0000
0.2266
================================================
m0 = 2.96 cm
f = 14
a = -1662.5363 m
b = -3838.3308 m
α = 36.997780 g
β = 36.996217 g
λ = 0.99824359
µ = 0.99824259
x
============
-120822.3029
17278.1850
-37941.9271
-37957.5544
-1756.4091
-1757.4145
============
δa
δb
δα
δβ
δλ
δµ
[cm]
[cm]
[cc]
[cc]
[ppm]
[ppm]
************************ 2. Itersayon ***************************
Qx
================================================
1.3857 0.0000 0.1806 0.2013 -0.4311 0.2073
1.3857 -0.2749 0.1322 -0.2831 -0.3156
0.1376 0.0000 -0.0000 0.0179
0.0922 -0.0179 -0.0000
0.3383 0.0000
0.2266
================================================
m0 = 2.96 cm
f = 14
a = -1662.5363 m
b = -3838.3308 m
α = 36.995607 g
β = 36.994043 g
λ = 1.00002116
µ = 1.00002162
x
============
-0.0000
-0.0000
-21.7324
-21.7425
1777.5644
1779.0295
============
************************ 3. Itersayon ***************************
Qx
x
================================================ ============
1.3857 -0.0000 0.1802 0.2009 -0.4311 0.2073
-0.0000
1.3857 -0.2744 0.1319 -0.2831 -0.3156
-0.0000
0.1371 0.0000 0.0000 0.0179
0.0386
0.0918 -0.0179 -0.0000
0.0387
0.3383 0.0000
0.0006
0.2266
0.0006
================================================ ============
m0 = 2.96 cm
f = 14
a = -1662.5363 m
b = -3838.3308 m
α = 36.995611 g
β = 36.994047 g
λ = 1.00002116
µ = 1.00002162
************************ 4. Itersayon ***************************
Qx
x
================================================ ============
1.3857 -0.0000 0.1802 0.2009 -0.4311 0.2073
0.0000
1.3857 -0.2744 0.1319 -0.2831 -0.3156
-0.0000
0.1371 0.0000 0.0000 0.0179
0.0000
0.0918 -0.0179 0.0000
-0.0000
0.3383 0.0000
0.0000
0.2266
0.0000
================================================ ============
m0 = 2.96 cm
f = 14
a = -1662.5363 m
b = -3838.3308 m
α = 36.995611 g
β = 36.994047 g
λ = 1.00002116
µ = 1.00002162
UYUSUM TESTI
====== ====== ====== ======
v'Q^v ======
v[cm] mv[cm]
Tv[]
Tau
2m0^2
F
====== ====== ====== ====== ====== ======
-1.49
2.33
0.64
0.24
0.67
2.33
0.29
-----------------------------------------------------------2
02
-3.16
2.73
1.15
0.85
-1.65
2.73
0.60
-----------------------------------------------------------3
03
2.55
2.27
1.12
0.87
1.56
2.27
0.69
-----------------------------------------------------------4
04
-1.73
2.72
0.64
1.46
4.31
2.72
1.59
-----------------------------------------------------------5
05
-2.21
2.75
0.81
1.18
-3.60
2.75
1.31
-----------------------------------------------------------6
06
0.52
2.09
0.25
0.05
0.46
2.09
0.22
-----------------------------------------------------------7
07
1.91
2.22
0.86
0.77
-2.00
2.22
0.90
-----------------------------------------------------------8
08
0.80
2.80
0.29
0.19
-1.52
2.80
0.54
-----------------------------------------------------------9
09
5.52
2.63
2.10
1.92
2.83
2.94
2.63
1.12
-----------------------------------------------------------10
10
-2.70
2.05
1.32
1.03
-1.16
2.05
0.57
-----------------------------------------------------------Tau(0.975, 14) = 1.92
F(0.950, 2, 14)= 3.78
====
SN
====
1
======
NN
======
01
5.4.5.2 3B Benzerlik Dönüşümünün Afin Matematik Modelinin Değerlendirilmesi
3B benzerlik dönüşümü genellikle yersel datumlar arasında uygulanır. Bu tür datumlar arasındaki
dönüşümlerde sırasıyla X, Y ve Z eksenleri etrafındaki dönüklükler α≈β≈γ≈0 ve ölçek katsayısı k≈1
dir.
Şekil 3B Dönüşümlerin Geometrik Yapısı
[
uj = uj
vj
[
t = tx
ty
xj =t+λ R uj
[
]
, xj = xj
tz
]
 1
, R =  − γ
 β
T
T
[
yj
zj
γ
1
−α
]T
, j ∈ {1,2, K , n}
−β 
α  , λ = 1 + ∆
1 
Bursa-Wolf
α =[α
x j −uj = I Dj
wj
uj
]
t 
α 
 
∆ 
β γ
]
T
 0

, D j =  wj
− v j

− wj
0
uj
vj 

−uj
0 
Bursa-Wolf Çözüm
x j = t0 + λ R u j
Molodensky-Badekas
 0

u j = u j − u s , x j = x j − x s , t0 = t0 − u s , D j =  w j
− v j

[
x j −u j = I Dj
[
x j −uj = I Dj
uj
uj
[
0
uj
vj 

−uj
0 
]
 t0 
 
 α
 ∆ 
Molodensky-Badekas 1. Çözüm { t = u s + t 0 − λ R u s }
]
 t0 
 α
 
 ∆ 
Molodensky-Badekas 2. Çözüm { t = t 0 − λ R u s }
x j = ts + λ R u j
xj −uj = I Dj
− wj
Merkeze Ötelenmiş Model { t s ≈ 0 }
uj
]
 ts 
 α
 
 ∆ 
Merkeze Ötelenmiş Çözüm { t = x s + t s − λ R u s }
R = R 1 (α ) R 2 ( β ) R 3 (γ )
cosβ cosγ


R =  sinα sinβ cosγ − cosα sinγ
 cosα sinβ cosγ + sinα sinγ
χs =
1 n
∑χ j
n j =1
cosβ sinγ
− sinβ
sinα sinβ sinγ + cosα cosγ
cosα sinβ sinγ − sinα cosγ

sinα cosβ 
cosα cosβ 
χ ∈ {x, y, z, u , v, w}
x=t+λ Ru
3B benzerlik dönüşüm bağıntısı
x = t + λ R 1 (α ) R 2 ( β ) R 3 (γ ) u
3B benzerlik dönüşüm bağıntısı
α ≈ β ≈ γ ≈ 0 olduğundan bu açıların kosinüsleri ~1, sinüsleri de açıların raydan değerlerine eşit ve
α β ≈ α γβ ≈ β γ ≈ 0 olur.
0
 1
1
R = R 1 (α ) R 2 ( β ) R 3 (γ ) =  0
 0 − α
 1
R =  − γ
 β
γ
1
−α
0
α 
1 




0 −β
1
0 
0
1
1
0
β
 1
− γ

 0
γ
1
0
0
0 
1
−β
α 
1 
Yukarıdaki kapalı 3B-benzerlik dönüşüm bağıntısı açık olarak yazılırsa aşağıdaki bağıntı elde edilir.
 X  t X 
Y  = t  + λ
  Y
 Z   t Z 
 1
 −γ

 β
 X j  1 0 0
  
 Y j  = 0 1 0
 Z j  0 0 1
  
γ
1
−α
0
Wj
−Vj
−β
α 
1 
−W j
0
Uj
U 
V 
 
W 
Vj
−U j
0
Uj

Vj 
W j 
t X 
t 
Y
tz 
 
α 
β 
 
γ 
λ 
 
Yukarıdaki model her bir datum parametre grubunun (ötelemeler, dönüklükler ve ölçek) katsayılar
matrisleri modelin katsayılar matrislerinin alt matrisleri şeklinde yeniden düzenlenirse aşağıdaki
bağıntılar elde edilir.
t 
x = [ I D u ] α  = t + D α + u λ
λ 
Bu modelde λ = 1 + ∆ olarak alınırsa x = t + D α + u (1 + ∆ ) olarak elde edilir. Denklem birimlere
göre yeniden düzenlenerek;
 X j  U j  1 0 0
    
 Y j  −  V j  = 0 1 0
 Z j  W j  0 0 1
    
0
− W j / ρ cc
W j / ρ cc
0
− U j / ρ cc
U j / ρ cc
0
− V j / ρ cc
V j / ρ cc
 tX 
 t 
 Y 
6
U j / 10  t Z 
  cc 
V j / 10 6   α 
cc
W j / 10 6   β 
 cc 
γ 
∆ 
 ppm 
modeli elde edilir. Bu model hem ilk koordinatlara göre yazılmış ve hem de yuvarlatma
hatalarının hesaplanan parametrelerdeki etkileri azaltılmış olur. Ağırlık merkezine ötelenmiş
koordinatlar kullanılırsa, orijinal modele göre korelasyon kayıpları olmasına rağmen,
yuvarlatma hatalarının etkilerinin daha da azaltılmasına yardımcı olacağı açıktır.
Uygulama: Beş adet eşlenik noktadan yararlanarak, Bursa-Wolf dönüşüm katsayılarını,
bunların duyarlıklarını ve uyuşumsuz nokta testi için gerekli olan test büyüklüklerini
hesaplayınız (Yönetmelikte istenen birim ölçünün soncul değer σ0=±
±3cm‘dir).
NN
N1
N2
N3
N4
N5
U [m]
4242664.7158
4241932.2373
4240592.4087
4237589.8400
4239778.5272
WGS84
V [m]
2445911.5376
2466461.2238
2446096.5011
2451171.9849
2435273.7728
W [m]
4072699.6496
4061241.3849
4074739.9490
4074848.9157
4081959.4385
X [m]
4242741.4383
4242009.1742
4240669.1224
4237666.6161
4239855.1148
ITRF08
Y [m]
2445896.7885
2466446.4146
2446081.6574
2451157.2501
2435259.0062
Z [m]
4072677.1848
4061218.6811
4074717.5254
4074826.4581
4081937.1407
ÇÖZÜM
Bursa-Wolf
x j = t + λ R uj
 X j   U j  1 0 0
    
 Y j  −  V j  = 0 1 0
 Z j  W j  0 0 1
    
 X j  t X 
 1
   

 Y j  =  tY  + (1 + ∆ )  − γ
 Z j  tZ 
 β
   
0
− W j / ρ cc
W j / ρ cc
0
− V j / ρ cc
γ
1
−α
V j / ρ cc
− U j / ρ cc
U j / ρ cc
0
−β
α 
1 
U j 
 
Vj 
W j 
 
U j / 10 6 

V j / 10 6 
W j / 10 6 

 tX 


 tY 
 tZ 
 cc 
α 
 β cc 
 cc 
γ 
∆

 ppm 
Düzeltme Denklemleri
y
[m]
76.72
-14.75
-22.46
76.94
-14.81
-22.70
76.71
-14.84 _=_
-22.42
76.78
-14.73
-22.46
76.59
-14.77
-22.30
A
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
[]
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
6.3974
-3.8420
0
6.3794
-3.8743
0
6.4006
-3.8423
0
6.4008
-3.8503
0
6.4119
-3.8253
x
[m/cc]
-6.3974
0
6.6644
-6.3794
0
6.6632
-6.4006
0
6.6611
-6.4008
0
6.6564
-6.4119
0
6.6598
3.8420
-6.6644
0
3.8743
-6.6632
0
3.8423
-6.6611
0
3.8503
-6.6564
0
3.8253
-6.6598
0
[m/ppm]
4.2427
tX [m]
2.4459
tY
4.0727
tZ
4.2419 __ α [cc]
2.4665
β
4.0612
γ
4.2406
∆ [ppm]
2.4461
4.0747
4.2376
2.4512
4.0748
4.2398
2.4353
4.0820
Normal Denklemler
0.00
5.00
0.00
5.00
0.00
0.00
0.00 31.99
-31.99
0.00
19.23 -33.30
21.20 12.24
0.00
0.00
5.00
-19.23
33.30
0.00
20.37
ATA
0.00 -31.99
31.99
0.00
-19.23
33.30
278.67 -128.12
-128.12 426.52
-213.08 -123.06
0.00
0.00
19.23
-33.30
0.00
-213.08
-123.06
295.84
0.00
21.20
12.24
20.37
0.00
0.00
0.00
202.85
x
tX
tY
tZ
α =
β
γ
∆
ATy
383.74
-73.90
-112.35
-40.64
-3203.49
1968.46
988.65
Bilinmeyenlerin Ters Ağırlık Matrisi
908593.67 -451715.34 -618527.32 5449.01 99431.74 -64641.49 -5603.60
-451715.34 293641.08 325961.62 -6424.92 -50667.62 36722.65 -3236.19
-618527.32 325961.62 501573.77 -1809.94 -73054.30 45218.62 -5382.37
T
-1
Q= (A A) =
5449.01
-6424.92
-1809.94 580.68
607.08
-406.81
0.00
99431.74 -50667.62 -73054.30 607.08 11318.10 -7023.52
0.00
-64641.49 36722.65 45218.62 -406.81 -7023.52 5122.35
0.00
-5603.60
-3236.19
-5382.37
0.00
0.00
0.00 1321.44
Bilinmeyenler ve Duyarlıkları
tX
tY
tZ
α
β
γ
∆
qX
x
Birim
14.7350
908593.67
-13.6289
m
293641.08
-13.0108
501573.77
5.6676
580.68
-1.4872
cc
11318.10
7.6252
5122.35
5.4626 ppm
1321.44
mX
35.51
20.19
26.38
0.90
3.96
2.67
1.35
Düzeltmeler ve Uyuşumsuz Ölçüler Testi
v [m]
-0.0011
-0.0777
0.0154
-0.0001
0.0014
0.0106
0.0034
0.0609
-0.0114
-0.0144
0.0167
-0.0150
0.0123
-0.0013
0.0004
0.6278
-0.0882
-0.1487
0.1931
-0.0083
-0.0140
0.7837
-0.0011
-0.0018
0.5097
-0.1526
-0.2575
0.4416
-0.0032
-0.0053
Qv [ ]
-0.0882
0.7304
-0.0856
-0.0083
0.2032
-0.0079
-0.0011
0.7848
-0.0011
-0.1526
0.6917
-0.1463
-0.0032
0.4454
-0.0030
R [m2]
-0.1487
-0.0856
0.6370
-0.0140
-0.0079
0.1946
-0.0018
-0.0011
0.7836
-0.2575
-0.1463
0.5315
-0.0053
-0.0030
0.4421
T[]
0.0085
F{r,f,αα} [ ] P(F{T,1,f})
4.07
95.00%
2.03
81.21%
0.0006
0.14
6.88%
0.0049
1.18
62.29%
0.0016
0.39
23.96%
0.0003
0.08
3.24%
Model Testi
vTv= 0.0111 [m2]
m0= 0.0373 [m]
σ0= 0.0300 [m]
Test
Tablo
12.34
15.51
T=
P(T)= 86.32% 95.00%
Bursa-Wolf Dönüşüm Parametreleri
xj =
t
+
λ
R
uj
14.7350
1
1.19776E-05 2.33605E-06
Xj
1
8.90271E-06
Yj = -13.6289 + 1.000005463 -1.19776E-05
-13.0108
-2.33605E-06 -8.90271E-06
1
Zj
Uj
Vj
Wj
Uygulama: Beş adet eşlenik noktadan yararlanarak, Moledensky-Badekas dönüşüm katsayılarını,
bunların duyarlıklarını ve uyuşumsuz nokta testi için gerekli olan test büyüklüklerini hesaplayınız
±3cm‘dir)
(Yönetmelikte istenen birim ölçünün soncul değer σ0=±
NN
N1
N2
N3
N4
N5
u
4242664.7158
4241932.2373
4240592.4087
4237589.8400
4239778.5272
WGS84
v
2445911.5376
2466461.2238
2446096.5011
2451171.9849
2435273.7728
w
4072699.6496
4061241.3849
4074739.9490
4074848.9157
4081959.4385
x
4242741.4383
4242009.1742
4240669.1224
4237666.6161
4239855.1148
ITRF08
y
2445896.7885
2466446.4146
2446081.6574
2451157.2501
2435259.0062
z
4072677.1848
4061218.6811
4074717.5254
4074826.4581
4081937.1407
Dönüştürülen Sistemin (WGS84) Ağırlık Merkezi Koordinatları
NN
vS
wS
uS
S
4240511.5458 2448983.0040 4073097.8675
Dönüştürülen Sistemin (WGS84) Ağırlık Merkezine Ötelenmiş Koordinatları
NN
u-uS
v-vS
w-wS
2153.1700
-3071.4664
-398.2179
N1
1420.6915
17478.2198 -11856.4826
N2
80.8629
-2886.5029
1642.0815
N3
-2921.7058
2188.9809
1751.0482
N4
-733.0186 -13709.2312
8861.5710
N5
ÇÖZÜM
[
x j −u j = I Dj
uj
]
 t0 
 
 α
 ∆ 
Molodensky-Badekas 1. Çözüm { t = u s + t 0 − λ R u s }
U j = U j − U S , V j = V j − V S , W j = W j − WS
t 0 = t 0 − u s ; Modelden Kestirilen Ötelemeler t = u s + t 0 − λ R u s (Kurt, 2015).
 X j  U j  1 0 0
    
 Y j  −  V j  = 0 1 0
 Z j  W j  0 0 1
    
0
− W j / ρ cc
W j / ρ cc
0
− U j / ρ cc
U j / ρ cc
0
− V j / ρ cc
V j / ρ cc
 t0 x 
t 
 0y 
6
U j / 10  t0 z 
  cc 
V j / 10 6   α 
cc
W j / 10 6   β 
 cc 
γ 
∆ 
 ppm 
Düzeltme Denklemleri
A
y
[cm]
[]
[cm/cc]
[cm/ppm]
7672.25
1 0 0
0
0.0626 -0.4825 0.2153
-1474.91
0 1 0 -0.0626
0
-0.3382 -0.3071
-2246.48
0 0 1 0.4825 0.3382
-0.0398
0
7693.69
1 0 0
0.1421
0
1.8624 2.7455
-1480.92
0 1 0 -1.8624
0
-0.2232 1.7478
-2270.38
0 0 1 -2.7455 0.2232
-1.1856
0
7671.37
1 0 0
0
-0.2579 -0.4534 0.0081
-1484.37 = 0 1 0 0.2579
0
-0.0127 -0.2887
-2242.36
0 0 1 0.4534 0.0127
0.1642
0
7677.61
1 0 0
0
-0.2751 0.3438 -0.2922
-1473.48
0 1 0 0.2751
0.2189
0
0.4589
-2245.76
0 0 1 -0.3438 -0.4589
0.1751
0
7658.76
1 0 0
0
-1.3920 -2.1534 -0.0733
-1476.66
0 1 0 1.3920
0
0.1151 -1.3709
-2229.78
0 0 1 2.1534 -0.1151
0.8862
0
x
t0x [cm]
t0y
t0z
α [cc]
β
γ
∆ [ppm]
Dönüşüm Parametreleri ve Ters Ağırlık Matrisi
x
7674.7360
-1478.0680
-2246.9520
-5.6676
1.4872
-7.6252
5.4626
Q
0.2000
0
0
0
0
0
0
0
0.2000
0
0
0
0
0
0
0
0.2000
0
0
0
0
0
0
0
0.0581 0.0607 -0.0407
0
0
0
0
0.0607 1.1318 -0.7024
0
0
0
0
-0.0407 -0.7024 0.5122
0
0
0
0
0
0
0
0.1321
Dönüşüm Parametreleri, Duyarlıkları ve Anlamlılık testleri
x
x
± mX
[cm]
R
[cm2]
T
[]
t0x [cm] 7674.7360 1.67 294507863.35 21220069.41
t0y
-1478.0680 1.67 10923425.06
787061.63
t0z
-2246.9520 1.67 25243966.45 1818894.46
α
5.6676 0.90
553.18
39.86
β [cc]
-1.4872 3.96
1.95
0.14
γ
7.6252 2.67
113.51
8.18
∆ [ppm]
5.4626 1.35
225.82
16.27
F{1-αα,1,f} P(F{T,1,f}) P(F{F,1,f})
[]
[]
5.32 100.00%
100.00%
100.00%
99.98%
28.28%
97.88%
99.62%
Karar
95.00% Anlamlı
Anlamlı
Anlamlı
Anlamlı
Anlamsız
Anlamlı
Anlamlı
NN
N1
N2
N3
N4
N5
v
[cm]
-0.11
-7.77
1.54
-0.01
0.14
1.06
0.34
6.09
-1.14
-1.44
1.67
-1.50
1.23
-0.13
0.04
Düzeltmeler ve Uyuşumsuz Ölçü Testi
Qv
R
T
2
[]
[cm ]
[]
0.6278 -0.0882 -0.1487
-0.0882
0.7304 -0.0856 84.64
2.03
-0.1487 -0.0856 0.6370
0.1931 -0.0083 -0.0140
-0.0083
0.2032 -0.0079
5.96
0.14
-0.0140 -0.0079 0.1946
0.7837 -0.0011 -0.0018
-0.0011
0.7848 -0.0011 49.06
1.18
-0.0018 -0.0011 0.7836
0.5097 -0.1526 -0.2575
-0.1526
0.6917 -0.1463 16.44
0.39
-0.2575 -0.1463 0.5315
0.4416 -0.0032 -0.0053
-0.0032
0.4454 -0.0030
3.44
0.08
-0.0053 -0.0030 0.4421
F{r,f,a} P(F{T,1,f})
[]
[]
4.07 95.00%
81.21%
6.88%
62.29%
23.96%
3.24%
vTv= 111.03 [cm2]
3.73 [cm]
m0=
3.00 [cm]
σ0=
Model Testi
T=
P(T)=
Test
12.34
Tablo
15.51
86.32%
95.00%
Bursa-Wolf Ötelemeleri (t)
λ=
1.00000546
76.7474
-14.7807
-22.4695
m
t0 =
14.7348
m
t=us+t0-λ R us =
R=
1
-1.19776E-05
-2.33605E-06
us =
1.19776E-05
1
-8.90271E-06
2.33605E-06
8.90271E-06
1
4240511.5458 m
2448983.0040
4073097.8675
-13.6288
-13.0106
6. ÖDEVLER
Aşağıda, konuların pekiştirilebilmesine katkı sağlayacak ödevler yer almaktadır.
Ödev 1: Bir noktanın 3B (üç boyutlu) kartezyen koordinatlarını belirlemek için, 3 sabit
noktaya dayalı olarak 3 adet baz ölçüsü yapılmıştır. Bilinmeyen nokta koordinatlarını
hesaplamak
için
kurulan
matematik
model
ile
oluşturulan
normal
denklemler
T
T
( A P A x = A P l ) ve düzeltmelerin kareleri toplamı aşağıda verildiğine göre; (a) kurulan
matematik modeli şartnamede istenen σ0=±
±15mm değerine göre test ediniz, (b)
hesaplayacağınız
dengeleme
bilinmeyenlerinin
ve
(c)
dengeleme
bilinmeyenlerinin
fonksiyonlarının u=x−
−y+z ve w=2x+3y−
−z/2 anlamlı olup olmadıklarını irdeleyiniz.
30,2
Sim.
-8,2
29,5
16,2
-6,8
40,4
x
y
z
=
56,0
48,0
15,0
mm
α=%5 alınız.
vTP v = 4526,00 mm2
Ödev 2: Ölçü sayısı 8 ve bilinmeyen nokta sayısı 2 olan, 2B (iki boyutlu) bir ağ dengelemesi
T
T
sırasında oluşturulan normal denklemler ( A P A x = A P l ) aşağıda verilmiştir; (a) kurulan
matematik modeli şartnamede istenen σ0=±
±15mm değerine göre test ediniz, (b) her bir
noktaya ait koordinat çiftlerinin anlamlılıklarını şartnameye göre test ediniz, (c) her bir
noktanın konum değişiminin {δ
δsk=(δ
δxk2+δ
δyk2)1/2,k=1,2} anlamlılığını test ediniz.
18.2 -8.2 10.2
27.5 -26.8
36.4
Sim.
9.1
-15.6
21.1
29.6
[ ]
51.0
δ x1
δy1 = 45.0
32.0
δ x2
27.0
δ y2
[mm]
α=%5 alınız.
vTP v = 1476.00 mm2
Ödev 3: Aşağıda şekli verilen kalibrasyon bazının 1,2,3,4 noktaları arasındaki gerçek
uzunlukları bilinmektedir. Kalibre edilmek istenen bir EUÖ (Elektronik Uzunluk Ölçer) ile bu
kalibrasyon bazında ölçüler yapılmış, gerçek uzunlukları ile birlikte aşağıdaki tabloda
verilmiştir. Ölçülen uzunluklar ile gerçek uzunluklar arasında xik=a+bSik şeklinde kurulacak
olan doğrusal ilişki katsayılarında anlamlı bir değişim olmuş mudur? (E{a}=0, E{b}=1
midir?) (Not:llik=xik−Sik=a+bSik, modelini a[mm] ve b[mm/km] olacak şekilde kurunuz).
1
2
3
4
i-k
1-2
1-3
1-4
2-3
2-4
3-4
xik 30.020 100.005 180.000 69.985 149.980 79.995
Sik 30.030 100.019 180.028 69.998 149.984 80.011
Ödev 4: Ölçü sayısı 15 ve bilinmeyen nokta sayısı 2 olan 3B (Üç Boyutlu) bir ağın
T
T
dengelemesi sırasında oluşturulan normal denklemler ( A P A x = A P l ) aşağıda verilmiştir;
(a) kurulan matematik modeli, (b) her bir noktaya ait koordinat üçlülerinin anlamlılıklarını,
(c) her bir noktanın konum değişiminin {δ
δsk=(δ
δxk2+δ
δyk2+δ
δzk2)1/2,k=1,2} anlamlılığını
şartnameye göre test ediniz. (Şartnamede: Dengeleme sonucunda elde edilen birim ölçünün
duyarlığı σ0=±
±10mm olmalı. Sonuçları 1/100 mm’ye kadar yazınız.)
15
-8
9
4
-3
5
-8
27
3
3
-2
9
9
3
24
10
8
6
4
3
1
35
21
10
-3
-2
8
21
48…
-9
5
9
6
10
-9
37
[ ]
23
δ x1
51
δ y1
-36
δ z1
=
-48
δ x2
15
δ y2
-36
δ z2
[mm]
α=%10 alınız.
vTP v = 1687,00 mm2
Ödev 5: Başlangıçları aynı (ötelemeleri sıfır) olan iki koordinat sistemi arasında öngörülen
AFĐN dönüşümü için kurulan matematik model aşağıda verildiğine göre; (a) Matematik
model testini, (b) uyuşumsuz nokta çiftleri testini, (c) E{a}=E{d} ve E{b}=E{c} olup
olmadığını, şartnameye göre test ediniz. (Şartnamede: Dönüşüm sonucunda birim ölçünün
soncul duyarlığı σ0=±
±4cm olmalı.)
[m]
[km]
[m/km]
vXj
vYj
xk
0
-yk
0
0
xk
0
yk
a
vX1
vY1
vX2
vY2
vX3
vY3
5.763
0
22.031
0
11.824
0
-13.153
0
15.632
0
2.419
0
0
5.763
0
22.031
0
11.824
0
13.153
0
15.632
0
2.419
a
b
c
d
=
[m]
-
-
Xk
Yk
α=%10
7131.21
12463.65
23570.82
13196.43
12014.49
1146.36
Çözüm:
A [km]
================================
5.763 -13.153
0.000
0.000
0.000
0.000
5.763 13.153
22.031 -15.632
0.000
0.000
0.000
0.000 22.031 15.632
11.824 -2.419
0.000
0.000
0.000
0.000 11.824
2.419
================================
L [m]
=========
7131.21
12463.65
23570.82
13196.43
12014.49
1146.36
=========
Qx []
================================
0.0055 0.0058 0.0000 0.0000
0.0085 0.0000 0.0000
0.0055 -0.0058
0.0085
================================
x [m/km]
==========
994.3191
-106.5112
-106.4567
994.2311
==========
a
b
c
d
Qv []
================================================
0.2241 -0.0000 -0.2412 -0.0000 0.3401 -0.0000
0.2241 -0.0000 -0.2412 -0.0000 0.3401
0.2596 -0.0000 -0.3661 -0.0000
0.2596 -0.0000 -0.3661
0.5164 -0.0000
0.5164
================================================
(a)
p' = [
s0=
T=
4.00 cm
4.38
m0= 5.92 cm
X2(0.95,2) = 5.99
994.3191 -106.5112 -106.4567
f=
v [m]
==========
-0.0069
-0.0390
0.0074
0.0420
-0.0104
-0.0592
==========
2
α=0.10, 1-α/2=0.95
GECERLI
994.2311 ]
m/km
(b)
NN | v[cm]
Pv[]
vTPvv[cm2] vTPvv/σ
σo2 χ2{0.95,2}
KARAR
==== | ======= ============ ======= ======= ====== =========
-0.69
4.46
0.00
70.05
4.38
5.99
ANLAMSIZ
1 |
|
-3.90
0.00
4.46
----------------------------------------------------------------2 |
0.74
3.85
0.00
70.05
4.38
ANLAMSIZ
4.20
0.00
3.85
|
----------------------------------------------------------------3 |
-1.04
1.94
0.00
70.05
4.38
ANLAMSIZ
|
-5.92
0.00
1.94
----------------------------------------------------------------(c)
Ho
=====
|a-d|
|b-c|
| f[cm/km]
σf[cm/km]
| ======== ==========
|
8.80
0.4734
|
5.45
0.4734
Tf[]
=======
18.60
11.52
Z(0.95)
=======
1.6450
KARAR
========
ANLAMLI
ANLAMLI
Ödev 6: Bir nirengi ağındaki açılardan biri 30 kez ölçülmüştür ve aşağıdaki değerler elde
edilmiştir. Ölçülerin normal dağılımlı olup olmadığını MANN-WALLD uyum testi ile
belirleyiniz ve verilerin histogramını çiziniz (30).
x [g] =
64,76 135g
139
124
131
141
132
133
124
133
138
118
135
134
142
145
126
132
102
129
137
122
127
133
137
133
131
129
136
158
134
Ödev 7: Yukarıdaki tabloda verilen verilerin ortalama değerinin ve ortalama değerin standart
sapmasının s=%90 a karşılık gelen güven bölgelerini belirleyiniz.
Ödev 8: Yukarıdaki verilerin normal dağılımlı olup olmadığını, Çarpıklık ve Basıklık testi ile
irdeleyiniz.
Ödev 9: Bir vadinin iki yamacında bulunan A ve B noktaları arasındaki uzunluk aynı aletle,
aynı atmosfer koşullarında, aynı ölçme ekibince t1 zamanda 6 kez, t2 zamanda 8 kez
ölçülmüştür. Đki zaman arasında geçen süre içinde bölgede anlamlı bir deformasyon oluşup
oluşmadığını irdeleyiniz.
t1
i Si[m]
1 1023
2
3
4
5
6
,5242
,5240
,5223
,5250
,5263
,5233
t2
i Si[m]
1 1023
2
3
4
5
6
,5162
,5175
,5137
,5153
,5146
,5137
,5128
,5152
Ödev 10: Bir noktanın 3B (üç boyutlu) kartezyen koordinatlarını belirlemek için, 3 sabit
noktaya dayalı olarak 3 adet baz ölçüsü yapılmıştır. Bilinmeyen nokta koordinatlarını
hesaplamak için kurulan matematik model ile oluşturulan normal denklemler ve düzeltmelerin
kareleri toplamı aşağıda verildiğine göre; kurulan matematik modeli şartnamede istenen
σ0=±15mm değerine göre test ediniz ve hesaplayacağınız dengeleme bilinmeyenlerinin
anlamlı olup olmadıklarını irdeleyiniz.
12,2
-8,2
16,2
-8,2
21,5
-26,8
16,2
-26,8
35,4
x
y
z
=
51,2
43,7
34,8
mm
vTP v = 4289,00 mm2
KAYNAKLAR
RÜEGER, J., M. (1990), Electronic Distance Measurment, Springer-Verlag Berlin
Heidelberg, Germany.
KOCH, Karl-Rudolf (1999), Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models,
Springer-Verlag Berlin Heidelberg Newyork, ISBN-540-65257-4.
ÖZTÜRK, Ergün ve ŞERBETÇĐ, Muzaffer (1992), Dengeleme Hesabı Cilt 3, KTÜ-MMF,
Genel Yay No:144, Trabzon.
ULSOY, Ekrem (1974), Dengeleme Hesabı, En Küçük kareler Metodu, ĐDMMA yayınları,
Sayı: 87, Đstanbul.
ULSOY, Ekrem (1980), Pratik Matris Hesabı, ĐDMMA yayınları, Sayı: 91, Đstanbul.
EKLER
Ek 1
Ek 2
Ek 3
Ek 4
Ek 5
Ek 6
Ek 7
Normal dağılım tablo değerleri.
χ2-Dağılımı tablo değerleri.
t-Dağılımı tablo değerleri.
τ-Dağılımı tablo değerleri.
F-Dağılımı tablo değerleri (α=%5).
F-Dağılımı tablo değerleri (α=%2.5).
F-Dağılımı tablo değerleri (α=%1).
Ek 1 Normal Dağılım Tablo Değerleri
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
2.00
2.10
2.20
2.30
2.40
2.50
2.60
2.70
2.80
2.90
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
3.00 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000
44
Ek 2 χ2-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α
α:Güven aralığı)
s
s
0.005
0.010
0.025
0.050
0.950
0.975
0.990
0.995
1
2
3
4
5
0.0000
0.0100
0.0717
0.2070
0.4118
0.0002
0.0201
0.1148
0.2971
0.5543
0.0010
0.0506
0.2158
0.4844
0.8312
0.0039
0.1026
0.3518
0.7107
1.1455
3.8415
5.9915
7.8147
9.4877
11.0705
5.0239
7.3778
9.3484
11.1433
12.8325
6.6349
9.2104
11.3449
13.2767
15.0863
7.8794
10.5965
12.8381
14.8602
16.7496
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.6757
0.9893
1.3444
1.7349
2.1558
0.8721
1.2390
1.6465
2.0879
2.5582
1.2373
1.6899
2.1797
2.7004
3.2470
1.6354
2.1673
2.7326
3.3251
3.9403
12.5916
14.0671
15.5073
16.9190
18.3070
14.4494
16.0128
17.5345
19.0228
20.4832
16.8119
18.4753
20.0902
21.6660
23.2093
18.5475
20.2777
21.9549
23.5893
25.1881
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.6032
3.0738
3.5650
4.0747
4.6009
3.0535
3.5706
4.1069
4.6604
5.2294
3.8157
4.4038
5.0087
5.6287
6.2621
4.5748
5.2260
5.8919
6.5706
7.2609
19.6752
21.0261
22.3620
23.6848
24.9958
21.9200
23.3367
24.7356
26.1189
27.4884
24.7250
26.2170
27.6882
29.1412
30.5780
26.7569
28.2997
29.8193
31.3194
32.8015
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
5.1422
5.6973
6.2648
6.8439
7.4338
5.8122
6.4077
7.0149
7.6327
8.2604
6.9077 7.9616
7.5642 8.6718
8.2307 9.3904
8.9065 10.1170
9.5908 10.8508
26.2962
27.5871
28.8693
30.1435
31.4104
28.8453
30.1910
31.5264
32.8523
34.1696
31.9999
33.4087
34.8052
36.1908
37.5663
34.2671
35.7184
37.1564
38.5821
39.9969
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
8.0336 8.8972 10.2829 11.5913
8.6427 9.5425 10.9823 12.3380
9.2604 10.1957 11.6885 13.0905
9.8862 10.8563 12.4011 13.8484
10.5196 11.5240 13.1197 14.6114
32.6706
33.9245
35.1725
36.4150
37.6525
35.4789
36.7807
38.0756
39.3641
40.6465
38.9322
40.2894
41.6383
42.9798
44.3140
41.4009
42.7957
44.1814
45.5584
46.9280
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
11.1602
11.8077
12.4613
13.1211
13.7867
12.1982
12.8785
13.5647
14.2564
14.9535
13.8439
14.5734
15.3079
16.0471
16.7908
15.3792
16.1514
16.9279
17.7084
18.4927
38.8851
40.1133
41.3372
42.5569
43.7730
41.9231
43.1945
44.4608
45.7223
46.9792
45.6416
46.9628
48.2782
49.5878
50.8922
48.2898
49.6450
50.9936
52.3355
53.6719
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
20.7066
27.9908
35.5344
43.2753
51.1719
59.1963
67.3275
22.1642
29.7067
37.4848
45.4417
53.5400
61.7540
70.0650
24.4331
32.3574
40.4817
48.7575
57.1532
65.6466
74.2219
26.5093 55.7585 59.3417 63.6908
34.7642 67.5048 71.4202 76.1538
43.1880 79.0820 83.2977 88.3794
51.7393 90.5313 95.0231 100.4251
60.3915 101.8795 106.6285 112.3288
69.1260 113.1452 118.1359 124.1162
77.9294 124.3421 129.5613 135.8069
f
f
66.7660 40
79.4898 50
91.9518 60
104.2148 70
116.3209 80
128.2987 90
140.1697 100
Ek 3 t-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α
s
0.005
0.010
0.025
1
2
3
4
5
0.0079
0.0071
0.0068
0.0067
0.0066
0.0157
0.0141
0.0136
0.0133
0.0132
6
7
8
9
10
0.0065
0.0065
0.0065
0.0064
0.0064
11
12
13
14
15
0.050
0.990
0.995
s
0.950
0.975
0.0393
0.0354
0.0340
0.0333
0.0329
0.0787 12.7062
0.0708
4.3027
0.0681
3.1824
0.0667
2.7765
0.0659
2.5706
25.4519
6.2054
4.1765
3.4954
3.1634
0.0131
0.0130
0.0129
0.0129
0.0129
0.0327
0.0325
0.0323
0.0322
0.0321
0.0654
0.0650
0.0647
0.0645
0.0643
2.4469
2.3646
2.3060
2.2622
2.2281
2.9687
2.8412
2.7515
2.6850
2.6338
3.7074
3.4995
3.3554
3.2498
3.1693
4.3168
4.0294
3.8325
3.6896
3.5814
6
7
8
9
10
0.0064
0.0064
0.0064
0.0064
0.0064
0.0128
0.0128
0.0128
0.0128
0.0127
0.0321
0.0320
0.0319
0.0319
0.0319
0.0642
0.0640
0.0639
0.0638
0.0638
2.2010
2.1788
2.1604
2.1448
2.1315
2.5931
2.5600
2.5326
2.5096
2.4899
3.1058
3.0545
3.0123
2.9768
2.9467
3.4966
3.4284
3.3725
3.3257
3.2860
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.0064
0.0064
0.0064
0.0063
0.0063
0.0127
0.0127
0.0127
0.0127
0.0127
0.0318
0.0318
0.0318
0.0318
0.0317
0.0637
0.0636
0.0636
0.0635
0.0635
2.1199
2.1098
2.1009
2.0930
2.0860
2.4729
2.4581
2.4450
2.4334
2.4231
2.9208
2.8982
2.8784
2.8609
2.8453
3.2520
3.2224
3.1966
3.1737
3.1534
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0.0063
0.0063
0.0063
0.0063
0.0063
0.0127
0.0127
0.0127
0.0127
0.0127
0.0317
0.0317
0.0317
0.0317
0.0317
0.0635
0.0634
0.0634
0.0634
0.0633
2.0796
2.0739
2.0687
2.0639
2.0595
2.4138
2.4055
2.3979
2.3910
2.3846
2.8314
2.8188
2.8073
2.7970
2.7874
3.1352
3.1188
3.1040
3.0905
3.0782
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0.0063
0.0063
0.0063
0.0063
0.0063
0.0127
0.0126
0.0126
0.0126
0.0126
0.0316
0.0316
0.0316
0.0316
0.0316
0.0633
0.0633
0.0633
0.0633
0.0632
2.0555
2.0518
2.0484
2.0452
2.0423
2.3788
2.3734
2.3685
2.3638
2.3596
2.7787
2.7707
2.7633
2.7564
2.7500
3.0669
3.0565
3.0470
3.0380
3.0298
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
0.0063
0.0063
0.0063
0.0063
0.0063
0.0063
0.0063
0.0126
0.0126
0.0126
0.0126
0.0126
0.0126
0.0126
0.0315
0.0315
0.0315
0.0315
0.0314
0.0314
0.0314
0.0631
0.0630
0.0630
0.0629
0.0629
0.0629
0.0629
2.0211
2.0086
2.0003
1.9944
1.9901
1.9867
1.9840
2.3289
2.3109
2.2990
2.2906
2.2844
2.2795
2.2757
2.7045
2.6778
2.6603
2.6479
2.6387
2.6316
2.6259
2.9712 40
2.9370 50
2.9146 60
2.8987 70
2.8870 80
2.8779 90
2.8707 100
f
63.6559 127.3211
9.9250 14.0892
5.8408
7.4532
4.6041
5.5975
4.0321
4.7733
f
1
2
3
4
5
Ek 4 τ-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α
s
s
0.005
0.010
0.025
0.050
0.950
0.975
0.990
0.995
2
3
4
5
0.0111
0.0087
0.0079
0.0075
0.0222
0.0173
0.0157
0.0149
0.0555
0.0433
0.0393
0.0373
0.1110
0.0866
0.0786
0.0746
1.4099
1.6454
1.7567
1.8143
1.4140
1.7147
1.9175
2.0509
1.4140
1.7147
1.9175
2.0509
1.4142
1.7234
1.9481
2.1057
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.0072
0.0071
0.0069
0.0069
0.0068
0.0144
0.0141
0.0139
0.0137
0.0136
0.0361
0.0353
0.0347
0.0343
0.0340
0.0722
0.0706
0.0695
0.0686
0.0679
1.8481
1.8698
1.8848
1.8957
1.9039
2.1421
2.2075
2.2562
2.2938
2.3236
2.1421
2.2075
2.2562
2.2938
2.3236
2.2182
2.3011
2.3643
2.4138
2.4536
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0.0067
0.0067
0.0067
0.0066
0.0066
0.0135
0.0134
0.0133
0.0133
0.0132
0.0337
0.0335
0.0333
0.0332
0.0330
0.0674
0.0670
0.0666
0.0663
0.0661
1.9103
1.9155
1.9196
1.9231
1.9261
2.3478
2.3678
2.3846
2.3989
2.4113
2.3478
2.3678
2.3846
2.3989
2.4113
2.4862
2.5133
2.5363
2.5560
2.5730
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.0066
0.0066
0.0065
0.0065
0.0065
0.0132
0.0131
0.0131
0.0131
0.0130
0.0329
0.0328
0.0327
0.0326
0.0326
0.0658
0.0656
0.0655
0.0653
0.0652
1.9286
1.9308
1.9327
1.9343
1.9358
2.4220
2.4315
2.4398
2.4472
2.4539
2.4220
2.4315
2.4398
2.4472
2.4539
2.5879
2.6010
2.6126
2.6230
2.6323
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0.0065
0.0065
0.0065
0.0065
0.0065
0.0130
0.0130
0.0130
0.0129
0.0129
0.0325
0.0325
0.0324
0.0324
0.0323
0.0651
0.0649
0.0648
0.0648
0.0647
1.9371
1.9383
1.9394
1.9403
1.9412
2.4599
2.4654
2.4703
2.4749
2.4790
2.4599
2.4654
2.4703
2.4749
2.4790
2.6408
2.6485
2.6555
2.6619
2.6678
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0.0065
0.0064
0.0064
0.0064
0.0064
0.0129
0.0129
0.0129
0.0129
0.0129
0.0323
0.0322
0.0322
0.0322
0.0321
0.0646
0.0645
0.0644
0.0644
0.0643
1.9420
1.9428
1.9434
1.9441
1.9447
2.4829
2.4864
2.4897
2.4928
2.4956
2.4829
2.4864
2.4897
2.4928
2.4956
2.6732
2.6782
2.6829
2.6872
2.6912
26
27
28
29
30
40
50
60
70
80
90
100
0.0064
0.0064
0.0063
0.0063
0.0063
0.0063
0.0063
0.0128
0.0127
0.0127
0.0127
0.0127
0.0126
0.0126
0.0319
0.0318
0.0317
0.0317
0.0316
0.0316
0.0316
0.0639
0.0637
0.0635
0.0634
0.0633
0.0632
0.0632
1.9488
1.9512
1.9527
1.9538
1.9546
1.9552
1.9557
2.5161
2.5282
2.5363
2.5420
2.5462
2.5496
2.5522
2.5161
2.5282
2.5363
2.5420
2.5462
2.5496
2.5522
2.7205
2.7379
2.7495
2.7578
2.7640
2.7688
2.7726
40
50
60
70
80
90
100
f
f
Ek 5 F-Dağılımı Tablo Değerleri (α
α=%5)
P(T≤F{f1f20.95})=%95
f2
f1
1
5
10
15
20
25
30
40
70
100
1
161.4462 6.6079
4.9646
4.5431
4.3513
4.2417
4.1709
4.0847
3.9778
3.9362
5
230.1604 5.0503
3.3258
2.9013
2.7109
2.6030
2.5336
2.4495
2.3456
2.3053
10 241.8819 4.7351
2.9782
2.5437
2.3479
2.2365
2.1646
2.0773
1.9689
1.9267
15 245.9492 4.6188
2.8450
2.4034
2.2033
2.0889
2.0148
1.9245
1.8117
1.7675
20 248.0156 4.5581
2.7740
2.3275
2.1242
2.0075
1.9317
1.8389
1.7223
1.6764
25 249.2598 4.5209
2.7298
2.2797
2.0739
1.9554
1.8782
1.7835
1.6638
1.6163
30 250.0965 4.4957
2.6996
2.2468
2.0391
1.9192
1.8409
1.7444
1.6220
1.5733
40 251.1442 4.4638
2.6609
2.2043
1.9938
1.8718
1.7918
1.6928
1.5661
1.5151
70 252.4976 4.4220
2.6095
2.1472
1.9323
1.8069
1.7240
1.6205
1.4857
1.4303
100 253.0433 4.4051
2.5884
2.1234
1.9066
1.7794
1.6950
1.5892
1.4498
1.3917
P(T≤F{f1f20.05})=%5
f2
1
5
10
15
20
25
30
40
70
100
1
0.0062
0.0043
0.0041
0.0041
0.0040
0.0040
0.0040
0.0040
0.0040
0.0040
5
0.1513
0.1980
0.2112
0.2165
0.2194
0.2212
0.2224
0.2240
0.2261
0.2270
10
0.2014
0.3007
0.3358
0.3515
0.3605
0.3663
0.3704
0.3758
0.3832
0.3863
15
0.2201
0.3447
0.3931
0.4161
0.4296
0.4386
0.4451
0.4537
0.4657
0.4709
20
0.2298
0.3689
0.4259
0.4539
0.4708
0.4822
0.4904
0.5015
0.5175
0.5245
25
0.2358
0.3842
0.4471
0.4787
0.4981
0.5114
0.5211
0.5342
0.5534
0.5620
30
0.2398
0.3947
0.4620
0.4963
0.5177
0.5324
0.5432
0.5581
0.5801
0.5900
40
0.2448
0.4083
0.4814
0.5196
0.5438
0.5607
0.5733
0.5907
0.6171
0.6292
70
0.2514
0.4263
0.5079
0.5520
0.5806
0.6010
0.6165
0.6385
0.6731
0.6897
100 0.2541
0.4338
0.5190
0.5658
0.5965
0.6187
0.6356
0.6600
0.6992
0.7185
f1
Ek 6 F-Dağılımı Tablo Değerleri (s=1-α
α=%975)
P(T≤F{f1f20.975})=%97.5
f2
f1
1
5
10
15
20
25
30
40
70
100
1
647.7931
10.0069 6.9367
6.1995
5.8715
5.6864
5.5675
5.4239
5.2470
5.1786
5
921.8347
7.1464
4.2361
3.5764
3.2891
3.1287
3.0265
2.9037
2.7537
2.6961
10 968.6337
6.6192
3.7168
3.0602
2.7737
2.6135
2.5112
2.3882
2.2374
2.1793
15 984.8736
6.4277
3.5217
2.8621
2.5731
2.4110
2.3072
2.1819
2.0277
1.9679
20 993.0809
6.3285
3.4185
2.7559
2.4645
2.3005
2.1952
2.0677
1.9100
1.8486
25 998.0868
6.2678
3.3546
2.6894
2.3959
2.2303
2.1237
1.9943
1.8334
1.7705
30 1001.4046 6.2269
3.3110
2.6437
2.3486
2.1816
2.0739
1.9429
1.7792
1.7148
40 1005.5955 6.1751
3.2554
2.5850
2.2873
2.1183
2.0089
1.8752
1.7069
1.6401
70 1011.0089 6.1074
3.1819
2.5064
2.2045
2.0319
1.9195
1.7810
1.6038
1.5320
100 1013.1625 6.0800
3.1517
2.4739
2.1699
1.9955
1.8816
1.7405
1.5581
1.4833
P(T≤F{f1f20.025})=%2.5
f2
1
5
10
15
20
25
30
40
70
100
1
0.0015
0.0011
0.0010
0.0010
0.0010
0.0010
0.0010
0.0010
0.0010
0.0010
5
0.0999
0.1399
0.1511
0.1556
0.1580
0.1595
0.1606
0.1619
0.1637
0.1645
10
0.1442
0.2361
0.2690
0.2840
0.2925
0.2981
0.3020
0.3072
0.3143
0.3173
15
0.1613
0.2796
0.3268
0.3494
0.3629
0.3718
0.3783
0.3868
0.3990
0.4042
20
0.1703
0.3040
0.3605
0.3886
0.4058
0.4174
0.4258
0.4372
0.4536
0.4608
25
0.1759
0.3196
0.3826
0.4148
0.4347
0.4484
0.4584
0.4721
0.4921
0.5011
30
0.1796
0.3304
0.3982
0.4334
0.4555
0.4709
0.4822
0.4978
0.5210
0.5315
40
0.1844
0.3444
0.4187
0.4583
0.4836
0.5014
0.5147
0.5333
0.5615
0.5745
70
0.1906
0.3631
0.4470
0.4932
0.5236
0.5454
0.5620
0.5859
0.6235
0.6418
100 0.1931
0.3709
0.4589
0.5081
0.5410
0.5648
0.5831
0.6097
0.6527
0.6742
f1
Ek 7 F-Dağılımı Tablo Değerleri (α
α=%1)
P(T≤F{f1f20.99})=%99
f2
f1
1
5
10
15
20
25
30
40
70
100
1
4052.1845
16.2581
10.0442
8.6832
8.0960
7.7698
7.5624
7.3142
7.0114
6.8953
5
5763.9554
10.9671
5.6364
4.5556
4.1027
3.8550
3.6990
3.5138
3.2907
3.2059
10
6055.9250
10.0511
4.8491
3.8049
3.3682
3.1294
2.9791
2.8005
2.5852
2.5033
15
6156.9735
9.7223
4.5582
3.5222
3.0880
2.8502
2.7002
2.5216
2.3055
2.2230
20
6208.6619
9.5527
4.4054
3.3719
2.9377
2.6993
2.5487
2.3689
2.1504
2.0666
25
6239.8612
9.4492
4.3111
3.2782
2.8434
2.6041
2.4526
2.2714
2.0503
1.9651
30
6260.3503
9.3794
4.2469
3.2141
2.7785
2.5383
2.3860
2.2034
1.9797
1.8933
40
6286.4274
9.2912
4.1653
3.1319
2.6947
2.4530
2.2992
2.1142
1.8861
1.7972
70
6320.8863
9.1763
4.0577
3.0224
2.5822
2.3373
2.1808
1.9911
1.7537
1.6594
100
6333.9248
9.1300
4.0137
2.9772
2.5353
2.2888
2.1307
1.9383
1.6954
1.5977
P(T≤F{f1f20.01})=%1
f2
1
5
10
15
20
25
30
40
70
100
1
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
0.0002
5
0.0615
0.0912
0.0995
0.1029
0.1047
0.1058
0.1066
0.1076
0.1090
0.1095
10
0.0996
0.1774
0.2062
0.2194
0.2270
0.2320
0.2355
0.2401
0.2464
0.2491
15
0.1152
0.2195
0.2628
0.2839
0.2966
0.3050
0.3111
0.3193
0.3309
0.3359
20
0.1235
0.2437
0.2969
0.3238
0.3404
0.3517
0.3599
0.3711
0.3873
0.3944
25
0.1287
0.2594
0.3195
0.3509
0.3705
0.3840
0.3940
0.4077
0.4278
0.4369
30
0.1322
0.2703
0.3357
0.3703
0.3924
0.4077
0.4191
0.4349
0.4586
0.4693
40
0.1367
0.2846
0.3571
0.3966
0.4221
0.4403
0.4538
0.4730
0.5022
0.5159
70
0.1426
0.3039
0.3868
0.4337
0.4650
0.4877
0.5051
0.5302
0.5702
0.5898
100 0.1450
0.3119
0.3995
0.4498
0.4839
0.5089
0.5282
0.5564
0.6026
0.6259
f1
ÖZGEÇMĐŞ
Doğum tarihi
14.02.1967
Doğum yeri
Đstanbul
Lise
1981-1984
Vakfıkebir Lisesi
Lisans
1987-1991
KTÜ Mühendislik Fakültesi
Jeodezi ve Fotog. Mühendisliği Bölümü
Akademik ve Mesleki Deneyimler
1996-2004
ZKÜ-Müh.Fak.-Jeodezi ve Fotog.Müh.Bölümü
2004-Devam
KOÜ-Müh.Fak.-Harita.Müh.Bölümü

JEODEZĐK VERĐLERĐN ĐRDELENMESĐ Yrd.Doç. Dr. Orhan KURT

Transkript

Benzer belgeler